Escher-Parkette

oder

Regelmaßige Flachenaufteilungen

Parkette

Parkettstein:

zunachst beliebige Teilmenge der Ebene, die sich durch um-

kehrbare und stetige Deformation aus einer abgeschlossenen

Kreisscheibe herstellen laßt.

Parkett:

luckenlose und uberlappungsfreie Uberdeckung der Ebene

mit Parkettsteinen, so daß

• das entstehende Muster in mindestens zwei verschiede-

nen Richtungen periodisch ist,

• sich jeder Parkettstein im Muster durch eine Deckab-

bildung des gesamten Musters auf jeden anderen Par-

kettstein abbilden laßt.

Konsequenz:

In jedem Parkett tritt jeweils nur eine Art von Parkettstein

auf. Sonst spricht man von Kachelungen oder Mosaiken.

Deckabbildungen der Ebene

• Translationen T

• Spiegelungen S

• Gleitspiegelungen G

• Punktspiegelungen P

• Drehungen C

Wegen der Periodizitat eines Parkettes konnen nur die fol-

genden elementaren Drehungen auftreten

• um 60o (C6),

• um 90o (C4),

• um 120o (C3),

• um 180o (P).

Escher-Parkette

“Leblose Gegenstande, die als ein bestimmtes, bekann-

tes Ding zu erkennen sind, gehoren fast immer zu der

Kategorie der von Menschen hergestellten Gebrauchsge-

genstande. Ihr Schattenbild wird meistens durch eine Li-

nie begrenzt, die zu simpel, zu gerade oder zu einfachge-

bogen, zu wenig bizarr ist. Auch sind sie ofters zweiseitig

symmetrisch.”

(M. C. Escher, “Regelmatige vlakverdeling”, 1958)

Escher-Parkett:

Parkett, bei dem der Parkettstein keine Kante besitzt, die

eine gerade Linie ist, und bei dem sich jeder Parkettstein

durch genau eine Deckabbildung auf jeden anderen abbilden

laßt.

Konsequenz: Hierdurch werden genau die Spiegelungen

als Deckabbildungen ausgeschlossen.

Der Begriff wurde 1994 von Quaisser in seinem Buch “Diskrete Geo-

metrie” gepragt.

Klassifikation der Parkette

Knupfmuster:

Sequenz der Wertigkeiten der Ecken des Parkettsteins

hier: (3,3,3,3,3,3)

Ergebnis:

Es gibt fur beliebige Parkette genau 11 verschiedene Knupf-

muster. Bei Escher-Parketten bleiben hiervon 10.

(3,3,3,3,3,3) (3,3,3,3,6) (3,3,3,4,4) (3,3,4,3,4)

(3,4,6,4) (3,6,3,6) (3,12,12) (4,4,4,4) (4,8,8)

(4,6,12) (kein Escher-Parkett) (6,6,6)

Symmetrieabbildungen:

Sequenz der charakteristischen Symmetrieabbildungen der

Kanten eines Parkettsteins.

hier: (C31, C3−11 , C32, C3−1

2 , C33, C3−13 )

Ergebnis:

Es gibt fur beliebige Parkette genau 81 verschiedene solcher

Sequenzen. Bei Escher-Parketten bleiben hiervon 28.

Im Werk Eschers finden sich zwar nicht alle, aber ca. 25 verschiedene

derartige Parkettklassen realisiert!

Diese 28 Klassen von Escher-Parketten wurden bereits 1932 von

Heesch entdeckt und 1963 allgemein veroffentlicht.

1 Knupfmuster (3,3,3,3,3,3)

EP1: (T1, T2, T3, T−11 , T−1

2 , T−13 )

Die Ecken bilden ein zentralsymmetrisches Sechseck.

EP2: (T,G1, G−11 , T−1, G2, G

−12 )

EP3: (T,G1, G2, T−1, G−1

2 , G−11 )

EP4: (T, P1, P2, T−1, P3, P4)

Der auf A2 folgende Punkt ist keine Ecke sondern ein Dreh-

zentrum!

EP5: (T,G,G−1, T−1, P1, P2)

EP6: (P1, G1, P2, G2, G−11 , G−1

2 )

EP7: (C31, C3−11 , C32, C3−1

2 , C33, C3−13 )

2 Knupfmuster (3,3,3,3,6)

EP8: (P,C3, C3−1, C6, C6−1)

3 Knupfmuster (3,3,3,4,4)

EP9: (T, P1, P2, T−1, P3)

EP10: (T,G,G−1, T−1, P )

4 Knupfmuster (3,3,4,3,4)

EP11: (G1, G2, G−11 , G−1

2 , P )

EP12: (P,C41, C4−11 , C42, C4−1

2 )

5 Knupfmuster (3,4,6,4)

EP13: (C6, C6−1, C3, C3−1)

Die Ecken bilden ein Drachenviereck mit Gegenwinkeln von

60o und 120o und damit zwei rechten Winkeln.

6 Knupfmuster (3,6,3,6)

EP14: (C31, C3−11 , C32, C3−1

2 )

Die Ecken bilden eine Raute mit einem Innenwinkel von 60o.

7 Knupfmuster (3,12,12)

EP15: (P,C3, C3−1)

Die Ecken bilden ein gleichschenkliges Dreieck mit einem

Winkel von 120o.

8 Knupfmuster (4,4,4,4)

EP16: (T1, T2, T−11 , T−1

2 )

Die Ecken bilden ein Parallelogramm.

EP17: (T,G, T−1, G−1)

Die Ecken bilden ein Parallelogramm.

EP18: (G1, G2, G−12 , G−1

1 )

Die Ecken bilden einen symmetrischen Drachen.

EP19: (P1, P2, P3, P4)

Die Mittelpunkte der vier Kanten bilden ein Parallelo-

gramm. (Satz von Varignon)

EP20: (T, P1, T−1, P2)

Die Ecken bilden ein Parallelogramm.

EP21: (P1, G, P2, G−1)

Die Ecken bilden ein gleichschenkliges Trapez.

EP22: (G1, G2, G−11 , G−1

2 )

Die Ecken bilden ein beliebiges Rechteck.

EP23: (P1, G,G−1, P2)

EP24: (C41, C4−11 , C42, C4−1

2 )

Die Ecken bilden ein Quadrat.

9 Knupfmuster (4,8,8)

EP25: (P,C4, C4−1)

Die Ecken bilden ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck.

10 Knupfmuster (6,6,6)

EP26: (P1, P2, P3)

Die Ecken konnen ein beliebiges Dreieck bilden.

EP27: (P,G,G−1)

Die Ecken konnen ein beliebiges gleichschenkliges Dreieck

bilden.

EP28: (P,C6, C6−1)

Die Ecken bilden ein gleichseitiges Dreieck. (90o ist ein Tipp-

fehler!)

Unberucksichtigte Aspekte

Farbsymmetrien

Kachelungen mit mehr als einem Baustein

Nicht-euklidische Ebenen