Explorative und KonfirmatorischeFaktorenanalyse

Seminar: TestkonstruktionDozent: R. LeonhartReferentinnen: M. Albensöder, D. GreiffAlbert-Ludwigs-Universität FreiburgMittwoch, 14.06.2006

Gliederung Exploratorische Faktorenanalyse (EFA) Konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA)

Exploratorische Faktorenanalyse

Wozu: Datenreduktion Rückführung von Zusammenhängen auf

latente Variablen Komplexe Merkmalsbereiche homogen

untergliedern Aufwand von Einzelanalysen sehr groß

Faktorenanalyse

Exploratorische Faktorenanalyse

„ Ein effektives Verfahren zur Beurteilung vieler einzelner Korrelationen stellt die FA dar, insbesondere dann, wenn man a priori keine Annahmen über die Struktur eines Konstruktes hat.“ (Bühner, S.151)

Ordnung der Items nach korrelativer Ähnlichkeit Mitbestimmung der vorliegenden Stichprobe Reproduktion der Testwerte durch latente Variablen Zusammenhang von Item und Faktoren wird durch

Ladungen bestimmt.

Exploratorische Faktorenanalyse Vorgehen: Grundlegende Annahme:

Modell mehrerer gemeinsamer Faktoren:

Xim=fi1*am1+fi2*am2+fi3*am3….+fij*amj+….fiq*amq+ei

Wobei: Xim = Wert einer Person i auf Item m fi1 = Faktorwert der Person i auf Faktor 1 am1 = Ladung des Items m auf Faktor 1 fij =Faktorwert der Person i auf Faktor j amj =Ladung des Items m auf Faktor j q = Anzahl der Faktoren ei = Fehlerkomponente, die durch Faktorenanzahl nicht erklärt werden kann

ohne die Fehlerkomponente: Komponentenmodell!

„Eigenschaften, Merkmale oder Fähigkeiten einer Person können durch eine Kombination aus gewichteten Faktorwerten und einem Fehler beschrieben werden.“

Exploratorische Faktorenanalyse:Grundbegriffe der FA I

Zuordnung Variable zu Faktor: i.d.R. Zuweisung zu Faktor, auf dem höchste Ladung

Ladung: bei orthogonaler Rotation entspricht die Ladung der

Korrelation zwischen einem Item und einem Faktor die quadrierte Ladung daher bei orthogonaler Rotation

gemeinsamer Varianzanteil zwischen Faktor und Variable

Einfachstruktur: bezieht sich auf Struktur der Faktormatrix liegt vor, wenn Ladungen eines Items auf 1 Faktor sehr hoch

und auf restlichen Faktoren sehr niedrig

Exploratorische Faktorenanalyse:Grundbegriffe der FA II

Kommunalität: die durch alle extrahierten Faktoren aufgeklärte Varianz

eines Items (bei orthogonaler Rotation) ändert sich nicht durch Rotation- entspricht unrotierter

Lösung, lediglich Varianzanteile auf den Faktoren ändern sich durch Rotation

Je höher, desto besser durch Faktoren repräsentiert Mindestschätzung der Reliabilität

Faktorwert: Wert einer Person auf einem Faktor. Mittelwert Faktor=0 nur exakt berechenbar bei PCA Unterscheidung Faktorwert und Summenwert

Exploratorische Faktorenanalyse:Grundbegriffe der FA III Eigenwert:

aufgeklärte Varianz eines Faktors über alle Items aufgeklärte Varianz gibt Wichtigkeit des Faktors wieder sinnvoll: aufgeklärte Varianz vor und nach der Rotation

angeben

Fehler: bezeichnet Messfehler eines Items

Spezifität: systematische Varianz eines Items, die nicht durch

extrahierte Faktoren erklärt wird

Einzigartigkeit: Varianz des Items, dies mit keinem Testwert geteilt wird

Exploratorische Faktorenanalyse:Ladungsmatrix

Exploratorische FaktorenanalyseMethoden

Hauptachsenanalyse Maximum-Likelihood Analyse (ML) Hauptkomponentenanalyse (aber: nicht

Methode im eigentlichen Sinn, dient nur zur Datenreduktion und Itembeschreibung

Exploratorische Faktorenanalyse: Geometrische Modelle

Veranschaulichungshilfe – was geschieht bei FA Wichtige Räume hierbei:

* Personenraum: Die Achsen des Koordinaten-

systems stellen hierbei n Versuchspersonen dar, die

Punkte m Items

* Faktorraum: Hierbei stellen die Achsen q Faktoren

und die Punkte m Items dar. Die Items sind dabei mit

der Vektorlänge von 1 normiert. Die q Faktoren

bilden einen Unterraum des Personenraums!

Exploratorische Faktorenanalyse: Geometrische Modelle

Exploratorische Faktorenanalyse: Voraussetzung für die Berechnung

Linearität:

Beeinflussbar durch:

Ausreißerwerte Substanzielle Korrelationen Stichprobengröße und Itemanzahl generell: Stabilität der Faktorlösung steigt mit

Stichprobe ↑& Kommunalität / Reliabilität ↑

Exploratorische Faktorenanalyse: Welche Methode passt?

Hauptkomponentenanalyse (Principle Component Analysis-PCA):

Ziel: Datenreduktion Ausgehend von der Annahme: Varianz eines Items wird

vollständig durch Faktoren erklärt, weil Variablen frei von Messfehlern (Kommunalität wird auf 1 gesetzt)

Nach Faktorenextraktion: Varianz = durch Faktoren erklärte V und Restvarianz

Nur Aussagen über Verhältnisse in der Stichprobenkorrelationsmatrix

Normalverteilung und Intervallskalenniveau sind keine Voraussetzung

Exploratorische Faktorenanalyse: Welche Methode passt? Hauptachsenanalyse (Principle Axis Factor

Analysis -PAF): Ziel: Rückführung von Zusammenhängen zwischen Items

auf latente Variablen analysiert wird die Korrelationsmatrix zwischen den

Variablen oder Items Kommunalitäten sind hier am Anfang die quadrierten

multiplen Korrelationen – d.h. nur die Varianz, die Items gegenseitig auklären können.

ist der PCA bei Schätzungen von Ladungen einer Grundgesamtheit überlegen

es wird nur die Varianz faktorisiert, die durch alle anderen Variabeln vorhersagbar ist!

Normalverteilung und Intervallskalenniveau sind keine Voraussetzung

Exploratorische Faktorenanalyse: Welche Methode passt?

Maximum-Likelihood FA (ML) Schätzung von Faktoren aus der beobachteten

Stichproben Korrelationsmatrix, die möglichst viel Varianz in der Grundgesamtheit aufklären

Daten unter Modellannahme betrachtet Modelltest χ2 –Test entspricht Faktorenstruktur

der Datenstruktur Durchführung mit ausreichend großer Stichprobe,

da Populationsparameter geschätzt werden. alle eingehenden Variablen müssen multivariat-

normalverteilt sein!

Exploratorische Faktorenanalyse: Welche Methode passt?

Fazit Methoden: Bei Normalverteilung und hohen Reliabilitäten und

Kommunalitäten der Items kaum Unterschiede! Reliabilität gilt als guter Schätzer für die

Kommunalitäten Bei einer Festsetzung der Kommunalität auf 1 (PCA)

wird die Reliabilität überschätzt, bei quadrierten multiplen Korrelationen kommt es zu einer Mindestschätzung

Ergebnisunterschiede bei explorativer und konfirmatorischer FA v.a. von Methodenwahl abhängig

Exploratorische Faktorenanalyse:Extraktionskriterien I

Problem: kein generell anerkanntes Abbruchkriterium während der Faktorenextraktion

wichtig: inhaltliche Plausibilität Deshalb: Entwicklung von Methoden, durch die

bestimmt werden kann, wie viele Faktoren zu berücksichtigen sind!

Hypothetisches Modell: Bestimmt durch die Anzahl der Faktoren aus einer Theorie (a

priori bekannt und vorgegeben)

Exploratorische Faktorenanalyse:Extraktionskriterien II Eigenwert >1:

Summe der quadrierten Ladungen über alle Items auf einem Faktor wichtig: inhaltliche Plausibilität

Wichtigkeit eines Faktors Faktor soll zumindest so viel Varianz aufklären, wie eine

einzige Variable Alle Faktoren, deren Eigenwert größer 1 sind bedeutsam

Scree-Test nach Cattell: Suche nach einem bedeutsamen Eigenwertabfall

Parallelanalyse nach Horn: Bildung von Eigenwerten aus normalverteilten

Zufallsvariablen nach versch. Autoren beste Methode

Exploratorische Faktorenanalyse:Rotationstechniken I

es ändert sich nicht die Position des Items im Faktorraum sondern die Art, wie die Items durch die Faktoren beschrieben werden.

i.d.R. soll eine eindeutige Beschreibung der Items durch Faktoren erzielt werden.

daher zumeist Durchführung von Rotationen, die eine Einfachstruktur erzielen sollen.

Fälle möglich, in denen sich die Technik aus den theoretischen Vorstellungen ergibt, z.B. bei a priori Annahmen

Exploratorische Faktorenanalyse:Rotationstechniken II

Orthogonale Rotationstechniken führen zu unkorrelierten Faktoren Varimax Quartimax Equamax

Oblique Rotationstechniken führen zu korrelierten Faktoren Direct Oblimin Direct Quartimin Promax

Ausgabe 2er Matrizen: Mustermatrix u. Strukturmatrix

Exploratorische Faktorenanalyse:Rotationstechniken

Konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA)

Weshalb CFA? Testung von theoretisch oder empirisch gut fundierter

Modelle auf Modellgüte Basiert auf Weiterentwicklung der FA Erfassung latenter Variablen und Rückführung der Items

(Indikatorvariablen) kausal möglich Analyse von Kovarianz und Korrelationsmatrizen Häufig Zusammenfassung mit Pfadanalysen zu „linearen

Strukturgleichungsmodellen“ Im Gegensatz zur EFA keine Datenreduktion angestrebt,

sondern nur Testung der Passung

Konfirmatorische FaktorenanalyseUnterschiede CFA v.a. anzuwenden, wenn theoretisches Vorwissen über

das zu testende Modell besteht nicht alle möglichen Ladungen (wie bei EFA) werden

geschätzt, sondern nur die als relevant gesehenen Unterschied EFA – CFA: bei der EFA werden Ladungen

auf dem eigenen als auch auf dem fremden Faktor zugelassen, bei der CFA nur auf einem Faktor!

Konfirmatorische Faktorenanalyse Beispielvorgehen

Spezifizierung eines Modells Überprüfung der Nullhypothese mit Modelltest (S=K) Berechnung partieller Regressionsgewichte (Ladungen)

und Korrelationen Modelle ohne latente Variable: Pfadanalyse Für Modelle ohne mit latenten Variable sehr kompliziert Grundgleichungen für Modell mit latenter Variable

A= a11 * ξ + e1 B= a21 * ξ + e2

ξ

a11

a21 σB

σAItem A

Item B

e1

e2

a: Ladungene: Fehlerσ: Fehlervarianzξ: latente Variable

Konfirmatorische FaktorenanalyseSchätzmethoden I Es stehen unterschiedliche Verfahren zur

Parameterschätzung zur Verfügung Maximum-Likelihood (ML)

Wie wahrscheinlich ist das, was ich beobachte, wenn mein Modell gilt?

Generalized Least Squares (GLS) Unweighted Least Squares (ULS)

Methoden minimieren die quadrierten Abweichungen zwischen beobachteter u. durch das Modell festgelegter Korrelations- o. Kovarianzmatrix

Asymptotically Distribution-Free (ADF) basierend auf einer speziellen Varianz-, Kovarianz u.GLS Schätzung

Konfirmatorische FaktorenanalyseSchätzmethoden II

Auswahl der Schätzmethode abhängig von: Skalenqualität (ordinal – oder intervallskaliert) Art der Verteilung (normal vs. schief) Stichprobengröße

Voraussetzung für ML und GLS multivariate Normalverteilung und Intervalldatenniveau auch bei geringer Stichprobengröße (N<100) möglich

ADF nur bei extrem großen Stichproben, setzt aber formal keine Verteilungsannahmen voraus!!!

Konfirmatorische FaktorenanalyseModelltestung I

Exakter Modell-Fit: χ² -Test mit folgenden Hypothesen:

H0: Das Modell passt zur Datenstruktur (DS)

H1: Das Modell weicht von der DS ab. Auswirkungen der Stichprobengröße Achtung: Annahme der Nullhypothese sprich nicht

dafür, dass das Modell das „wahre Modell“ ist!!

Konfirmatorische FaktorenanalyseModelltestung II

Approximativer Modell-Fit: Fit Indizes Viele Fit-Indizes – können u.U. trotz großer

Stichprobe stark variieren. Prüfen: Abweichung von einem

Null-Model „Independence Modell“ „fully saturated „Modell

Generell 2 Klassen von Fit-Indizes Absolute Fit-Indizes inkrementelle Fit-Indizes / komparative Fit-Indizes

Konfirmatorische FaktorenanalyseVoraussetzungen Kovarianzen oder Korrelationen Verteilungen Linearität Kollinearität Stichprobengröße Anzahl von Indikatoren pro latenter Variable Identifikation (unteridentifiziert, gerade identifiziert und

überidentifiziert

Konfirmatorische FaktorenanalyseTesttheoretische Einbettung

CFA: Prüfung, ob Antworten oder Reaktionen von Personen in einer vorher spezifizierten Art einer latenten Variable zugeordnet werden können.

Prüfung mit Signifikanztest und Modellgüteindizes Bedeutung für die Reliabilitätsberechnung

Korrelierte Fehlervarianzen Minderungskorrigierte Korrelationen Zusammenfassung von Variablen oder Items Äquivalenz von Messungen Multi-Trait-Multi-Method-Ansatz

Konfirmatorische Faktorenanalyse

Worauf muss ich besonders achten? genügend Items mit guten psychometrischen Eigenschaften gefährlich: sehr viele Pfade/Korrelationen/Kovarianzen sind

anhand von Modifikationsindizes spezifiziert, so dass perfekter Modell-Fit – wenig aussagekräftig, wenn inhaltlich nicht gut begründbar

Verteilungen vor Durchführung CFA inspizieren Interpretation mit mindestens 2 Fit-Indizes Guter Fit ergibt nur Aussage über die

Modellübereinstimmung mit beobachteten Daten- sagt nichts über dessen Gültigkeit, außer Validitätskriterien fließen mit ein.

DANKE FÜR EURE AUFMERKSAMKEIT!