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Prof. Dr. Johann Graf Lambsdorff

Universität Passau

SS 2009

12. Zur Bildung von Zyklen

Empfohlene Lektüre:

Chiang, A. (1984), Fundamental Methods of Mathematical Economics, S. 591-596.

Spahn, H.-P. (2009), Geldpolitik. Finanzmärkte, neue Makroökonomie und zinspolitische Strategien, S. 214-216.

• Die Auswirkungen von erwarteten Preis- und Lohnreaktionen auf das Verhalten von Unternehmen und Gewerkschaften wird im folgenden im Rahmen eines formalen Modells dargestellt. • Dabei wollen wir den Erwartungskanal insofern vereinfachen, als dass wir die Wirkung auf das Realzinsniveau vernachlässigen. • Die Möglichkeit, Preissteigerungen auch ohne Überschussnachfrage durchzusetzen wollen wir aber beibehalten. • Im Zentrum des Modells soll daher die Auswirkung der Erwartungsbildung von Wirtschaftssubjekten auf makroökonomische Entwicklungen stehen (Konjunkturzyklen; Stagflation).

0 3 6 9 12

4

8

12

16

20

6 16 8

7 2

7 3

7 4

7 5

8 0

8 58 9

A rbeitslosenquote (% )

Im monetaristischen „Angebots-Nachfrage-Modell“ wird besonderes Gewicht auf die Modellierung von Preisreaktionen gelegt. Dies erschien insbesondere notwendig nach den Erfahrungen mit hohen Inflationsraten in den 70er und 80er Jahren.

Die Philips-Kurve für Deutschland 1965 – 1999 (alte Bundesländer)

Arbeitslosenquote

Infl

atio

nsra

te

Quelle: Jan-Egbert Sturm, Konstanz 2004

• Solche Zyklen können dadurch entstehen, dass der Realzins nicht unmittelbar auf die Güternachfrage wirkt, sondern mit einer zeitlichen Verzögerung.• Im Keynesianischen Konsensmodell gilt dann:

• Wird die Taylorregel der Periode -1 in die IS-Kurve eingesetzt, so folgt:

' ; ', , 0rP I P Ir r Y Y r

0 1 1 0 1; , 0.rY b b r b b

1 1 , 0rY Y

0 1 1 1 1' (2 ')r rI PY b b r b Y Y

• Gemäß Inflationsfunktion gilt:

• Wird dies in (2‘) eingesetzt, so folgt:

• In Standardnotation „schieben“ wir die Gleichung eine Perioden nach vorne:

1 11 sowie r rY Y Y Y

1 10 1 1 1' I PY b b r b

1 0 1 1 1 1 1' I Pb b r Y b b

1 1 1 1 0 11 'P I Pb b b b r Y

2 1 1 1 0 11 'P I Pb b b b r Y

Hierzu bestimmen wir eine partikuläre Lösung, P , welche durch die langfristige Gleichgewichtslösung bestimmt ist: t+2= t+1 = t = P .

Die partikuläre Lösung bildet zusammen mit der Lösung des homogenen Teils der Differenzengleichung die gesamte Lösung. Für den homogenen Teil, c, gilt:

1 1 0 11 'P P P I P Pb b b b r Y

0 1

1

'P

I

b b r Y

b

2 1 1 11 0P I Pb b

Wir vermuten, dass ein exponentieller Term der Form Act als Lösung für den homogenen Teil für t in Frage kommt. Dies impliziert

t+1 = Act+1 und

t+2 = Act+2

Wird dies eingesetzt, so folgt:

2 11 11 0t t t

P I PAc b Ac b Ac

21 11 0P I Pc b c b

a1 a2

Dies wird die „charakteristische Gleichung“ genannt. Sie hat zwei charakteristische Wurzeln:

Es gibt somit zwei voneinander unabhängige Lösungen. Beide sind Bestandteil der allgemeinen Lösung der Differenzengleichung, jeweils mit einer Konstanten multipliziert. Einsetzen erbringt:

21 241

1 2

-a a ac , c =

2

2

1 1 11 1 4P P I P

1 2

b b bc , c =

2

Falls c1c2<0 sind Wurzeln mit umgekehrten Vorzeichen vorhanden. In diesem Fall resultiert eine alternierende Entwicklung. Dies gilt bei

0I P

• Ebenfalls eine alternierende Bewegung ergibt sich bei c1;c2<0.

• Gilt hingegen und , so sind beide Wurzeln positiv und es liegt eine monotone Entwicklung vor.

• Ist eine Wurzel größer als 1, so ergibt sich eine divergente Entwicklung.

• Falls , steht unter der Wurzel ein negativer Term. In diesem Fall muss die Lösung komplex sein.

2

1 14 1I P Pb b

I P 11 0Pb

Die beiden Lösungen lassen sich dann so schreiben:

c1,c2=h±vi ,

mit dem Realteil: h=-a1/2

und dem imaginären Teil:

Die Lösung, c=A1(h+vi)t +A2(h-vi)t, ist nicht leicht zu interpretieren. Sie kann aber in trigonometrische Funktionen transformiert werden:

(h±vi)t=Rt(cost±i.sint).

Hierbei gilt

sowie

und

2 2 2 21 2 1 2( 4 ) / 4R= h v a a a a

1 2cos 2h R a a

21 2sin 1 4v R a a

22 14 2v= a a

Aus c=A1(h+vi)t +A2(h-vi)t wird dann:

c=A1Rt(cost + i.sint)+A2Rt(cost - i.sint)

=Rt(A3cost +A4.sint); A3=A1+A2; A4=(A1-A2)i

Die Werte der Konstanten A3 und A4 lassen sich jeweils aus den Anfangswerten bestimmen.

Beispiel: t+2+1/4. t = 5.

Offensichtlich ergeben sich komplexe Wurzeln. Es

gilt h=0; v=1/2 sowie R=1/2. Daraus folgt cos =0 und

sin =1, was jeweils bei =/2 erfüllt ist. Da ferner

P=4, folgt:

t= (1/2)t .(A5cos(/2.t) +A6.sin(/2.t))+4.

Es liegt Konvergenz vor, falls:

Dies impliziert, dass bei einer zu hohen Inflationspräferenz Zyklenbildung entstehen kann. Im extremen Fall kann diese sogar divergent sein.

Bei einer hohen Beschäftigungspräferenz könnte ebenfalls Divergenz auftreten, allerdings ohne Zyklenbildung, sondern alternierend.

Das Modellverhalten kann auch mit Hilfe einer Excel-Tabelle ermittelt werden.

2 11

11I P I PR a b

b

Es ergibt sich insgesamt die folgende Übersicht für alternative Werte der Beschäftigungspräferenz und Inflationspräferenz bei b1=1, =0,4

I

P

0,625 1 2 3

1

2

Divergente Zyklen

Kovergente Zyklen

Kovergente,

alternierende

Entwicklung

Divergente,

alternierende

Entwicklung

4

Kovergente,

monotone

Entwicklung