F

Fn

z

115F

ˆ 2.4z

Prof. Dr. Johann Graf Lambsdorff

Universität Passau

SS 2012

10. Zur Bildung von Zyklen

Empfohlene Lektüre:

Chiang, A. (1984), Fundamental Methods of Mathematical Economics, S. 576-596.

Spahn, H.-P. (2009), Geldpolitik. Finanzmärkte, neue Makroökonomie und zinspolitische Strategien, S. 214-216.

• Eine Zentralbank wird die Steuerung des Zinsniveaus mit dem Ziel einer Stabilisierung von Inflation und Produktionslücke durchführen. • Dabei steht sie vor dem Problem, dass ihr heutiger Instrumenteneinsatz erst in der Zukunft wirken wird. Sie muss daher die Wirkungsverzögerungen ihrer Aktionen berücksichtigen. • Sie sieht sich dabei zum einen konfrontiert mit den Konjunkturzyklen, auf die sie reagieren muss. • Zum anderen ist sie in der Gefahr, selbst diese Zyklen zu erzeugen. Dies resultiert insbesondere dann, wenn sie mit ihrem Instrumenteneinsatz den richtigen Zeitpunkt verpasst.

0 3 6 9 12

4

8

12

16

20

6 16 8

7 2

7 3

7 4

7 5

8 0

8 58 9

A rbeitslosenquote (% )

Die Relevanz von Zyklen zeigt sich für Großbritannien in den Jahren 1961-1989.

Die Philips-Kurve für Deutschland 1965 – 1999 (alte Bundesländer)

Arbeitslosenquote

Infl

atio

nsra

te

Quelle: Jan-Egbert Sturm, Konstanz 2004

• Solche Zyklen können insbesondere dann entstehen, wenn der Realzins nicht unmittelbar auf die Güternach-frage wirkt, sondern mit einer zeitlichen Verzögerung.• Im Keynesianischen Konsensmodell gilt dann:

• Wird die Taylorregel der Periode -1 in die IS-Kurve eingesetzt, so folgt:

' ; ', , 0 P I P Ir r y r0 1 1 0 1; , 0. y b b r b b

1 1, 0 y

0 1 1 1 1' (2 ') I Py b b r b y

• Gemäß Inflationsfunktion gilt:

• Wird dies in (2‘) eingesetzt, so folgt:

• In Standardnotation „schieben“ wir die Gleichung eine Perioden nach vorne:

1 11 sowie

y y

1 10 1 1 1'

I Pb b r b

1 0 1 1 1 1 1' I Pb b r b b

1 1 1 1 0 11 ' P I Pb b b b r

2 1 1 1 0 11 ' P I Pb b b b r

Hierzu bestimmen wir eine partikuläre Lösung, P , welche durch die langfristige Gleichgewichtslösung bestimmt ist: t+2= t+1 = t = P .

Die partikuläre Lösung bildet zusammen mit der Lösung des homogenen Teils der Differenzengleichung die gesamte Lösung. Für den homogenen Teil, c, gilt:

1 1 0 11 ' P P P I P Pb b b b r

0 1

1

'

P

I

b b r

b

2 1 1 11 0P I Pb b

Wir vermuten, dass ein exponentieller Term der Form Act als Lösung für den homogenen Teil für t in Frage kommt. Dies impliziert

t+1 = Act+1 und

t+2 = Act+2

Wird dies eingesetzt, so folgt: 2 1

1 11 0t t tP I PAc b Ac b Ac

21 11 0P I Pc b c b

a1 a2

Dies wird die „charakteristische Gleichung“ genannt. Sie hat zwei charakteristische Wurzeln:

Es gibt somit zwei voneinander unabhängige Lösungen. Beide sind Bestandteil der allgemeinen Lösung der Differenzengleichung, jeweils mit einer Konstanten multipliziert. Einsetzen erbringt:

21 241

1 2

-a a ac , c =

2

2

1 1 11 1 4P P I P

1 2

b b bc , c =

2

Falls c1c2<0 sind Wurzeln mit umgekehrten Vorzeichen vorhanden. In diesem Fall resultiert eine alternierende Entwicklung. Dies gilt bei 0I P

• Ebenfalls eine alternierende Bewegung ergibt sich bei c1<0 und c2<0.

• Gilt hingegen und , so sind beide Wurzeln positiv und es liegt eine monotone Entwicklung vor. • Ist eine Wurzel größer als 1, so ergibt sich eine divergente Entwicklung. • Falls , steht unter der Wurzel ein negativer Term. In diesem Fall muss die Lösung komplex sein.

2

1 14 1I P Pb b

I P 11 0Pb

Die beiden Lösungen lassen sich dann so schreiben:

c1,c2=h±vi ,

mit dem Realteil: h=-a1/2

und dem imaginären Teil:

Die Lösung, c=A1(h+vi)t +A2(h-vi)t, ist nicht leicht zu

interpretieren. Sie kann aber in trigonometrische

Funktionen transformiert werden:

(h±vi)t=Rt(cost±i.sint).

Hierbei gilt

sowie

und

2 2 2 21 2 1 2( 4 ) / 4R= h v a a a a

1 2cos 2h R a a

21 2sin 1 4v R a a

22 14 2v= a a

Aus c=A1(h+vi)t +A2(h-vi)t wird dann:

c=A1Rt(cost + i.sint)+A2Rt(cost - i.sint)

=Rt(A3cost +A4.sint); A3=A1+A2; A4=(A1-A2)i

Die Werte der Konstanten A3 und A4 lassen sich jeweils

aus den Anfangswerten bestimmen.

Beispiel: t+2+1/4.t = 5.

Offensichtlich ergeben sich komplexe Wurzeln. Es gilt h=0; v=1/2 sowie R=1/2. Daraus folgt cos =0 und sin =1, was jeweils bei =/2 erfüllt ist. Da ferner P=4, folgt:

t= (1/2)t .(A5cos(/2.t) +A6.sin(/2.t))+4.

Es liegt Konvergenz vor, falls:

• Dies impliziert, dass bei einer zu hohen Inflationspräferenz Zyklenbildung entstehen kann. Im extremen Fall kann diese sogar divergent sein. • Bei einer hohen Beschäftigungspräferenz könnte ebenfalls Divergenz auftreten, allerdings ohne Zyklenbildung, sondern mit einer alternierenden Entwicklung.• Das Modellverhalten kann auch mit Hilfe einer Excel-Tabelle ermittelt werden.

2 11

11I P I PR a b

b

Es ergibt sich insgesamt die folgende Übersicht für alternative Werte der Beschäftigungspräferenz und Inflationspräferenz bei b1=1, =0,4

I

P

0,625 1 2 3

1

2

Divergente Zyklen

Kovergente Zyklen

Kovergente,

alternierende

Entwicklung

Divergente,

alternierende

Entwicklung

4

Kovergente,

monotone

Entwicklung