Amandus- Abendroth- Gymnasium Abendrothstraße 10 27474 Cuxhaven

Facharbeit

im Leistungskurs Mathematik

Thema:

Umfang eines Kreises und sein Durchmesser- ein besonderes Verhältnis

Verfasser: Nico Kramer

Fachlehrer: Herr Berndt

Abgabetermin: 10.04.2000

1

Inhaltsverzeichnis

Seite

1. Einleitung ................................................................................................... 1

2. Geschichte der Kreiszahl ππππ ..................................................................... 1

2.1. Der elementar- geometrische Zeitraum .............................................. 2

2.1.1. Altertum .................................................................................... 2

2.1.2. Die erste „Ära“ in der Numerik .............................................. 2

2.2. Der arithmetische- trigonometrische Zeitraum ...................................... 2

2.3. Der algebraische Zeitraum ..................................................................... 3

2.4. Die Computer- Ära ............................................................................ 3

3. Berechnungsmethoden und Formeln für die Kreiszahl ππππ ....................... 3

3.1. Herleitung der Formel für den Kreisflächeninhalt ............................... 3

3.2. Die Königin der Formeln ..................................................................... 4

3.3. Eine Formel des 20. Jh. ..................................................................... 4

3.4. Die Methode nach Archimedes ............................................................. 4

3.5. Das japanische Rechtecksummenverfahren ...................................... 7

3.6. Monte- Carlo- Verfahren ..................................................................... 8

4. Beweis der Irrationalität ............................................................................ 9

5. Transzendenz von ππππ .................................................................................... 12

5.1. Das Problem der Quadratur des Kreises .............................................. 12

5.2. Idee eines Beweises zur Transzendenz von π ...................................... 13

6. ππππ und kein Ende ........................................................................................... 14

6.1. Der aktuelle Berechnungsrekord und dessen Sinnlosigkeit ................ 14

6.2. Ist π normal ? .................................................................................... 15

6.3. Merkverse für π ............... ..................................................................... 15

7. Schlusswort ................................................................................................... 15

8. Anhang .......................................................................................................... 16

2

1. Einleitung

„Stört mir meine Kreise nicht!“ (Archimedes, 212 v. C.)1

Das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser eines Kreises beschäftigt die Mathematiker

schon seit fast 4000 Jahren. Es ist unbekannt, wann und wer als erster beobachtet hat, dass bei

einem Kreis, der sich vergrößert, Umfang U und Durchmesser d in konstantem Verhältnis

zueinander anwachsen, d.h. U = ad⋅ . Dieser Proportionalitätsfaktor a ist zu bestimmen, um

den Umfang und, wie sich dann später herausstellen sollte, den Flächeninhalt eines Kreises zu

berechnen. Für diese Konstante verwendete man ab dem 18. Jh. den griechischen Buchstaben

π. Die ersten 50 Stellen der Kreiszahl π lauten:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...

π ist die wahrscheinlich berühmteste und zugleich mysteriöseste Zahl. Beschäftigten sich

Mathematiker früher mit der Berechnung der Zahl, unter anderen auch Archimedes (287- 212

v. C.), der die noch heute übliche Näherung von 722

berechnet hat und von dem das obige

Zitat stammt, so beschäftigten sie sich im 20. Jh. mit der Normalität von π. Die Zahl fasziniert

die Menschheit also schon seit langem. Von keiner anderen Zahl wurden so viele Stellen

berechnet. π kommt in einem Kreis vor, der einfachsten Form des Universums; und kann

dennoch niemals vollständig ausgerechnet werden. Die Kreiszahl ist nämlich irrational und

transzendent. Auf diese und weitere Eigenschaften werde ich im folgenden näher eingehen.

2. Die Geschichte der Kreiszahl ππππ

Die Geschichte der Kreiszahl π, die eng mit dem Problem der Quadratur des Kreises

zusammenhängt, lässt sich in 4 Zeiträume unterteilen2:

1. Der elementar- geometrische Zeitraum von den Anfängen mathematischer Untersuchungen

bis zur Erfindung der Differential- und Integralrechnung.

2. Der arithmetische- trigonometrische Zeitraum von 1654- 1766, in welchem π durch

analytische Ausdrücke mittels einer unendlichen Reihe von Operationen dargestellt wird.

3. Der algebraische Zeitraum von 1766- 1882 mit dem Beweis der Irrationalität und der

Transzendenz von π.

4. Die Computer- Ära von 1940- heute mit der Berechnung von weit über 1000 Stellen mit

den Hochleistungsalgorithmen.

1 [2], S.21, Z.13 2 vergl. [1], [2], [3]

3

2.1. Der elementar- geometrische Zeitraum

2.1.1. Altertum

Aus den ältesten mathematischen Aufzeichnungen, den Tontäfelchen aus Babylonischer Zeit,

also ungefähr 2000 v.C., lässt sich der Wert π Babylonier 813= ableiten. Dabei wurde der

Kreisumfang mit dem eines einbeschriebenen Sechsecks verglichen.

Die früheste bekannte Aufzeichnung der Berechnung zur Kreisfläche stammt von dem

ägyptischen Schreiber Ahmes von etwa 1850 v.C. auf einem Rhind- Papyrus. Nach ihm ist

π Ägypter2

916)(= . Ein Näherungswert, der um weniger als ein Prozent den richtigen Wert

verfehlt.

In den indischen Sulvasutras wird aus der Beschreibung einer Kreisflächenberechnung

0883,32

2

ds4

Inder ==π deutlich.

Auch in der Bibel (1. Buch der Könige 7:23) steht ein Näherungswert: „Und er machte das

Meer, gegossen, von einem Rand zum anderen zehn Ellen weit..., und eine Schnur von dreißig

Ellen war das Maß ringsherum.“ Das ergibt einen Wert 3Bibel =π .

Die griechischen Mathematiker vom 5. bis 3.Jh. v.C., wie z.B Euklid, haben keine

Verbesserungen des Zahlenwertes vorgenommen. Sie waren Geometer und befassten sich

deshalb mit der Quadratur des Kreises. Von dem Nicht- Mathematiker Platon wird allerdings

gesagt, er habe den Wert 32 + benutzt, also 3,1462...

2.1.2. Die erste „Ära“ in der ππππ- Numerik

Die erste „Ära“ in der π- Numerik eröffnete Archimedes von Syrakus (287-212 v.C.), indem

er π erstmals systematisch approximierte und folgende Näherung fand: 7110

71 33 <π< . Die

Methode von Archimedes blieb fast 2000 Jahre das nahezu einzige Verfahren zur Berechnung

von π. Der Chinese Tsu Ch´ung Chi (430- ca. 500 n.C.) berechnete die Näherung

113355

= 3,1415929... mit einbeschriebenen Polygonen mit bis zu 24576 Seiten. Diese Näherung

weicht lediglich um acht Millionstel eines Prozents vom richtigen Wert ab. Anfang des 17. Jh.

gelangen dem Holländer Ludolph van Ceulen (1539- 1610) die Berechnung von 35

Nachkommastellen. Dabei brauchte er Polygone von 29260⋅ Seiten. Durch seinen Rekord

wurde π in Deutschland noch bis zum Ersten Weltkrieg die „Ludolphsche Zahl“ genannt.

2.2. Der arithmetische- trigonometrische Zeitraum

4

Die zweite Ära in der π- Berechnung begann mit den unendlichen Produkten und den

Arcustangens- Reihen. In diesem Zeitraum wurden bis zu 112 korrekte Stellen von π

berechnet. Die wichtigsten Mathematiker, die sich mit der Berechnung bzw. mit Gleichungen

für π beschäftigten waren Wallis, Gregory, Leibniz, Newton, Sharp und De Lagny. Wallis`

Formel war folgendes unendliches Produkt: ...7755331...8664422

2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅π = . Gregory berechnete die Reihe:

...xxarctan 7x

5x

3x 753 +−+−= , welche für x = 1 ergibt: ...1 7

151

31

4 +−+−=π

2.3. Der algebraische Zeitraum

In der Zeit von 1766- 1882 wurde der Berechnungsrekord auf 527 korrekte Stellen von

Shanks ausgeweitet und neue Formeln und Reihen gefunden. Allerdings wurden keine neue

Verfahren entdeckt. Neben Euler und Rutherford ragten in diesem Zeitraum besonders

Lambert und Lindemann heraus, die die Irrationalität (s. 4.) und Transzendenz (s. 5.) von π

bewiesen haben und dadurch das eigentliche Wesen der Zahl π bekannt wurde.

2.4. Die Computer- Ära

Ab Mitte 1940 wurden erstmals Computer zur π- Berechnung eingesetzt. Waren es anfangs

noch Tischrechner, sind es heute Hochleistungscomputer. Und so verwundert es nicht, dass

die Anzahl der berechneten Stellen von 530 auf über 200 Milliarden Stellen emporstieg.

Allerdings waren für die Berechnung zwei Entdeckungen notwendig. Erstens eine neue

Methode zur Multiplikation, die „Fourier- Transformation“ (1965), und zweitens die Wieder-

Entdeckung des Gauß- AGM- Algorithmus (1976), der zur Auswertung von elliptischen

Integralen diente. Ein Algorithmus ist ein sich immer wiederholender Rechenvorgang. Im

Stile dieser wurde von den Gebrüdern Borwein weitere Hochleistungsalgorithmen für π

entwickelt, die für die heutige Berechnungen verwendet werden.

3. Berechnungsmethoden und Formeln für die Kreiszahl ππππ

3.1. Herleitung der Formel für den Kreisflächeninhalt

Im Wesentlichen gibt es zwei Möglichkeiten zur Herleitung der Formel für den

Kreisflächeninhalt.

α) Da man nach Archimedes jeden Kreis mit

dem Radius r und dem Umfang U in ein inhalts-

gleiches, rechtwinkliges Dreieck verwandeln kann, r

indem man den Umfang „abrollt“ und der Radius 2πr

5

der Höhe entspricht3, ist: UrA 21 ⋅= ⇔ drA 2

1 ⋅π⋅= = 2r⋅π .

β) Die Formel U = πd (s. 1.) kann auch als Funktion aufgefasst werden. So berechnet man die

Fläche unter der Geraden f (r) = 2πr. Also:

)r(f dr = πr2 dr = πr 2 , was der Fläche eines Kreises entspricht.

3.2. Die Königin der Formeln

Als Königin aller mathematischen Formeln gilt die folgende Gleichung von Leonard Euler

aus dem Jahre 17384. Sie verbindet fünf Basisgrößen der Mathematik (π, e, i, 0 und 1) und

vier Basisoperatoren (+, =, ∗ und Exponentiation) zu einem einzigen Ausdruck:

01ei =+π⋅

Diese Formel hat die Mathematiker immer wieder begeistert. Vielleicht deshalb, weil sie zwar

schön anzuschauen ist, aber überhaupt nicht anschaulich ist. Sie besagt nämlich nichts

weniger, als dass die transzendente Zahl e, potenziert mit der transzendenten Zahl π und dann

wiederum potenziert mit der imaginären Zahl i genau –1 ergibt. Benjamin Peirce (1809-1880)

bemerkte bei einer Vorlesung: „Gentlemen, die Formel ist gewiss korrekt, sie ist aber auch

absolut paradox, wir können sie nicht verstehen, wir haben nicht die leiseste Ahnung, was sie

sagt, aber wir dürfen sicher sein, dass sie etwas sehr Wichtiges sagt.“

3.3. Eine Formel des 20. Jh.

Die Brüder Peter und Jonathan Borwein sind in der π- Forschung besonders herauszuheben.

Von ihnen stammen nahezu alle Hochleistungsalgorithmen, mit denen π berechnet wird. Eine

Reihe für π von ihnen lautet5:

π =

∞

==

+−+1n

n

1k

2

1n

)k

)1((

6

13

(J. und P. Borwein, 1987)

Für die Berechnung von 51,5 Milliarden Stellen verwendete Weltrekordler Kanada 1995 eine

sog. „quartische Borwein- Iteration“, bei der pro Iterationsschritt viermal mehr genaue Stellen

produziert werden.

3.4. Die Methode nach Archimedes

Archimedes von Syrakus (287- 212 v. C.) war einer der bedeutendsten Mathematiker und

3 [2], S.90 4 [1], S.7 5 [1], S.153

6

Physiker der Zeit. Neben vielen anderen Verdiensten erzielte er um 250 v. C. mit einer neuen

Berechnungsmethode für π einen entscheidenden Umbruch. Dabei besticht bei der

Berechnung nicht so sehr die Näherung, sondern eher die Methode6. Denn er approximierte π

erstmals systematisch und fand so eine obere und untere Grenze für π. Nämlich:

71103 < π < 3 7

1 ( 3,1408... < π < 3,1428...).

Archimedes Methode beruht auf der Berechnung von Umfängen regelmäßiger Polygone in

und um einen Kreis. Er begann mit 6 Seiten und steigerte die Anzahl mit dem Faktor 2 bis er

zum 96-seitigen Polygon kam. Die aufsteigende bzw. absteigende Folge von Umfängen der

einbeschriebenen bzw. umbeschriebenen Polygone laufen so auf den Umfang eines Kreises,

also auf d⋅π , zu.

Beweis: Ausgangspunkt war ein Einheitskreis, dem regelmäßige Polygone mit 6, 12, 24, 48

und 96 Seiten ein- und umbeschrieben waren.

M sei der Mittelpunkt des Kreises mit dem Radius r = MA und A der Berührpunkt des

Sechsecks mit dem Kreis. So gilt:

MA : AC= 23

: 21

= 3 : 1

Für 3 nimmt Archimedes den etwas zu kleinen Wert 153265

, sodass die Proportion entsteht

MA : AC> 265: 153.

Daraus folgt (MA + MC): AC> (265 + 2∗ 153) : 153 = 571 : 153. (1)

Nun verdoppelt man die Seitenzahl, indem man den ∠ AMC durch MD halbiert. DC ist die

halbe 12- Eckseite, und es gilt:

MC: MA = CD: AD

⇔ (MC+ MA ) : MA = (CD+ AD ) : AD

⇔ (MC+ MA ) : MA = AC : AD

⇔ (MC+ MA ) : AC = MA : AD

6 vergl. [1], S.117ff.; [3], S.16ff.

7

In (1) eingesetzt, ergibt sich:

MA : AD > 571 : 153 (2)

und quadriert: MA ²: AD ² > 571² : 153²,

woraus (MA ² + AD ²) : AD ² > (571² + 153²) : 153² entsteht.

Durch Anwendung des Satzes von Pythagoras im ∆ MDA bekommt man

MD ² : AD ² > 349450 : 153² �

MD : AD > 59181 : 153 (3)

Erneutes Verdoppeln der Seitenanzahl zum 24- Eck ergibt ME und es gilt wie oben

MD : MA = DE : AE

⇔ (MD + MA ) : MA = (DE + AE ) : AE = AD : AE

⇔ (MD + MA ) : AD = MA : AE (4)

Da AE = 21

S24 folgt aus (2) und (3)

(MD + MA ) : AD > (59181+ 571) : 153 = 11628

1 : 153

(4)�

MA : AE > 116281 : 153

⇔ r : 21

S24 > 116281 : 153

Diese Prozedur wird nun mit immer verdoppelnder Seitenanzahl bis zum 96- Eck

durchgeführt. Damit findet Archimedes schließlich

r : 21

S96 > 467321

: 153

⇔ r : U96 > 467321

: 29376

Da U96 > 2πr ist und das Verhältnis von Kreisumfang zu seinem Durchmesser gesucht ist,

ergibt sich 2πr : 2r < 29376 : 2∗ 467321

= 29376 : 9347 = 393471335

Durch Abrundung nach oben erhält man

393471335

< 3 93451335

= 3 71

> π.

Die untere Grenze bestimmt Archimedes, indem er vom einbeschriebenen gleichseitigen

Dreieck ausgeht. Durch Halbierung der Winkel beim Mittelpunkt (Zentriwinkel) steigt er

durch erneute Verdoppelung der Seitenanzahl zum 96- Eck auf und erhält schließlich für den

Umfang U96

U 96 : 2r > 6336 : 201741

8

also 2πr : 2r > 6336 : 201741

= 3 2017285

> 3 2059290

= 71103 < π.

Daraus folgt die berühmte Ungleichung des Archimedes

71103 < π < 37

1.

3.5. Das japanische Rechtecksummen-Verfahren

Die japanische Methode7 beruht auf der Aufspaltung des Kreises in schmale rechteckige

Streifen. Sie stützt sich darauf, dass der Inhalt eines Kreises πr² ist. Das bedeutet, dass der

Inhalt des Kreises π Flächeneinheiten beträgt, wenn der Radius gleich der Längeneinheit ist.

Zeichnet man nämlich auf kariertem Papier einen Kreis (s.Skizze 1), dann erkennt man, dass

die Fläche des Kreises zwischen den Flächen zweier Folgen übereinanderliegender länglicher

Streifen liegt. Bei jeder Kreishälfte beträgt die Anzahl der äußeren oder längeren Streifen eins

mehr als die der inneren oder kürzeren Streifen.

Der Viertelkreis oben ist von fünf rechteckigen Streifen gleicher Breite eingeschlossen und

umschließt selbst vier darübergelagerte rechteckige Streifen der gleichen Breite. An der Art,

wie die Rechtecke gezeichnet wurden, ist sofort zu erkennen, warum das fünfte innere

Rechteck verschwindet. Ist der Radius des Kreises die Längeneinheit, so ist die Breite jedes

Streifens 51. Der Inhalt Ac aller Rechtecke der äußeren Folge ist

51(y 0 +y1+y 2 +y 3 +y 4 ).

Für einen vollen Kreis ergeben die zugehörigen rechteckigen Streifen das Vierfache dieses

Betrages, also

Ac = 54

(y 0 +y1+y 2 +y 3 +y 4 ).

Die Werte von y1, y 2 usw. ergeben sich nach dem Satz von Pythagoras. Aus ∆ ABC folgt

nämlich:

r2 = y22 +( AB ) 2 .

Da aber der Radius gleich 1 ist und AB zwei Fünftel der Einheit misst, gilt:

7 siehe auch: [4], 3, S.8ff.

9

y22 = 1 - ( 5

2) 2 d.h. y2 =

252)(1− = 2

22

525 −

= 22

51 25 − .

Auf die gleiche Weise findet man:

y1 = 51

22 15 − ; y3 = 51

22 35 − ; y4 = 51

22 45 − .

Beachtet man noch, dass y0 = 1 ist, so darf man schreiben:

Ac = )45352515( 225122

5122

5122

51

55

54 −+−+−+−+

⇔ A c = )453525155( 22222222

542 −+−+−+−+

⇔ A c = )3421245(254 ++++ = 3,4370...

Auf ähnliche Weise erhält man für die inneren Rechtecke:

Ai = )45352515( 22222222

542 −+−+−+−

⇔ A i = )342124(254 +++ = 2,6370...

Da der Inhalt des Kreises, dessen Radius gleich der Längeneinheit ist, zwischen Ac und Ai

liegt, und andererseits dieser Inhalt gleich π ist, liegt π zwischen 3,4370... und 2,6370... .

Daher ergibt sich als erste Annäherung 3,0370... .

Die Formel für dieses Verfahren lautet also, wenn n = Anzahl der Streifen ist:

Ac = 4/n²(n+ n²-1²+ n²-2²+ n²-3²+ n²-4²+...)

und Ai = 4/n²( n²-1²+ n²-2²+ n²-3²+ n²-4²+...).

Die folgende Tabelle zeigt, wie viele Streifen nötig sind, um vier

Dezimalstellen zu berechnen:

3.6. Monte- Carlo– Verfahren

Die Monte- Carlo- Verfahren erbringen ihre Ergebnisse durch Zufallsexperimente8. Sie sind

zwar einfach zu realisieren, doch man braucht sehr viele Versuche um nur ein paar Stellen

8 siehe auch: [1], [2],[4]

Streifen π

10 3,1045...

82 3,1400...

158 3,1410...

544 3,1415...

10

von π zu bekommen. Darüber hinaus ist es nicht sicher, dass man bei längerer Durchführung

auch einen besseren Wert für π erzielt.

Ein Verfahren, das häufig benutzt wird, ist die Methode der Zufallspunkte, die im Folgenden

erläutert wird.

Einem Quadrat mit der Seitenlänge a=1 sei ein Kreis einbeschrieben

(s. Zeichnung). In das Quadrat lasse man nun Zufallspunkte fallen. Die

Anzahl derer, die in den Kreis gefallen sind (N � ), im Verhältnis zu der Gesamtanzahl(Nges)

und dieses mit 4 multipliziert entspricht dann dem Näherungswert von π. Denn:

gesges A

A

N

N �� ≈= 2

2

a

rπ= 2

221

1

)(π= 1

4π

= 4

π

� π ≈ 4∗ gesN

N �

Der Vorteil dieser Methode ist, dass man (bis auf eine Division) nur mit ganzen Zahlen

rechnet. Dennoch wird diese Methode nicht zur π- Berechnung benutzt. Denn das Verhältnis

von Genauigkeit zu Aufwand ist sehr schlecht. Bei einer Genauigkeit von 10 Stellen bräuchte

man ungefähr 10 Milliarden Punkte.

4. Beweis der Irrationalität von ππππ

Die Irrationalität einer Zahl besagt, dass sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar

ist. Einen solchen Beweis für π hat als erster 1761 Johann Heinrich Lambert (1728-1777)

durchgeführt. Der nun folgende Beweis ist nicht von ihm, sondern von Iven Niven9.

Der Beweis der Irrationalität wird indirekt geführt:

Zu zeigen: π ∈ R\ Q , d.h. π ≠ ba

Annahme: π ∈ Q , also π = ba

; a, b ∈ N

Es werden zwei Funktionen f(x) und F(x) definiert, wobei gilt: F´(x) ≠ f (x)

f (x) : = !n

)bxa(x nn − , n ∈ N , x ∈ R

und F (x) : = f (x) - f )2( (x) + f )4( (x) - ... + (-1)n f )n2( (x)

Nun ist: f (0) = 0 , da f (0) = !n

)0ba(0 nn ⋅− = 0 und

f (π) = 0 , da f (π) = !n

)ba( nn π−π = !n

)ba( nban ∗−π

= !n

)0( nnπ = 0.

9 vergl. [5], [6]

11

So ist zu zeigen: f )k2( (0) ∈ Z , k ∈ [0;n]

und f )k2( (π) ∈ Z

Im Folgenden wird zunächst die i-te Ableitung von f (x) gebildet, wobei i ∈ [0;2n] ist:

f )1( (x) = !n

n)bxa)(b(x)bxa(nx 1nnn1n ⋅−−+− −−

= )!1n(

)bxa)(b(x)bxa(x 1nnn1n

−−−+− −−

= )!1n(

))b(x)bxa(()bxa(x 1n1n

−−+−−⋅ −−

= )!1n(

)bx2a()bxa(x 1n1n

−−− −−

f )2( (x) = )!1n(

)bx2a()bxa)(1n((x)bx2a()bxa(x)1n( 2n1n1n2n

−−−−+−−− −−−−

+ )!1n(

))bx2a)(b2()bxa( 1n

−−−− −

= )!1n(

)bx2a)(1n(x)bx2a)(bxa)(1n(()bxa(x 2n2n

−−−+−−−− −−

+ )!1n(

)bx2a)(b2)(bxa(x

−−−−

= )!1n(

)b2)(bxa(x)1n(x)bxa)(1n)((bx2a()bxa(x 2n2n

−−−+−+−−−− −−

f )i( (x) = )!1n(

))x(P()bxa(x iinin

−− −−

Pi (x) ist ein Polynom und spielt bei dem Beweis keine Rolle. Der andere Term ergibt sich

jeweils durch Ausklammerung.

Der Beweis der i-te Ableitung erfolgt durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang: f)1( (x) = )!1n(

))x(P()bxa(x 11n1n

−− −−

(wahr)

Induktionsvoraussetzung: f)i( (x) = )!1n(

))x(P()bxa(x iinin

−− −−

Induktionsbehauptung: f )1i( + (x) = )!1n(

))x(P()bxa(x 1i)1i(n)1i(n

−− +

+−+−

Beweis: dx

d

f )i( (x) = )!1n(

))x(P)(b)(1in()bxa((x())x(P()bxa(x)in( i1inin

iin)1i(n

−−−−⋅−+−− −−−−+−

12

+ )!1n(

)))x(P()bxa( idxdin

−⋅− −

= )!1n(

))x(P()b)(1in((x())x(P)(bxa)(in(()bxa(x ii1in)1i(n

−⋅−−−+−−− −−+−

+ )!1n(

))x(P()bxa( idxd

−⋅−

= )!1n(

))x(P()bxa(x 1i)1i(n)1i(n

+− +

+−+−

= f )1i( + (x) q. e. d.

Da 2k ein Teilbereich von i ist, gilt:

f )k2( (x) = )!1n(

))x(P()bxa(x k2k2nk2n

−− −−

� f )k2( (0) = )!1n(

))0(P()0ba(0 k2k2nk2n

−⋅− −−

= 0 ∈ Z

f )k2( (π) = )!1n(

))x(P()ba( k2k2nk2n

−π⋅−π −−

= )!1n(

))x(P()ba( k2k2n

bak2n

−⋅−π −−

= )!1n(

))(P()0( k2k2nk2n

−ππ −−

= 0 ∈ Z

Nun wird eine dritte Funktion definiert:

λ(x) : = F´(x) sin x – F(x) cos x

λ´(x) = F´´(x) sin x + F´(x) cos x – F´(x) cos x + F(x) sin x

= sin x (F´´(x) + F(x))

Oben war: F(x) = f (x) – f )2( (x) + f )4( (x) – ...

F´´(x) = f )2( (x) – f )4( (x) + f )6( (x) – …

Beide Gleichungen addiert, ergibt: F(x) + F´´(x) = f(x)

� λ(x)

∧= Stammfunktion für f(x) sin x

π

0

xsin)x(fdx = λ(π) - λ(0)

= – F(π) cos π + F(0) cos (0)

= F(π) + F(0) ∈ Z , da

13

f )k2( (0) und f )k2( (π) ∈ Z sind und F(x) nur aus Summanden und Subtrahenden von

Ableitungen aus f(x) besteht.

Für 0 < x < π gilt: 0 < f (x) < !n

annπ

Außerdem gilt: 0 < sin x < 1

Beide Ungleichungen multipliziert, ergibt: 0 < f (x) sin x < !n

annπ

Nun ist !n

annπ < π

1

, da

!n

)a( n⋅ππ < 1

2(k³-k²)- Faktoren

mit !n

)a( n⋅ππ < !n

)a(4 n⋅π = n...k...k...k...54321

)a)...(a)(a)...(a()a(432 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅π⋅π⋅π⋅π⋅⋅π⋅ ,

wobei k ∈ N mit k-1 < πa < k. (k³-k²)-Faktoren

Da sich die ( 23 kk − )- Faktoren im Nenner mit )kk(2 23 −⋅ im Zähler bei einer Abschätzung

wegheben, da ik

a

+⋅π

< 1 , ∀ i ∈ N , d. h. 1ii kk −− Faktoren, im Gegensatz zu

)kk)(1i( 1ii −−− Faktoren, bleibt ein gekürzter Bruch zurück, der kleiner als 1 ist. Also darf

man schreiben: 0 < f (x) sin x < !n

annπ < π

1

Integriert ergibt sich:

0 <

π

0

xsin)x(fdx <

π

π0

dx1

= 1 �

, da

π

0

xsin)x(fdx ∈ Z.

Folglich ist π irrational.

5. Transzendenz von ππππ

Die Transzendenz einer Zahl besagt, dass verschiedene Summen und Differenzen, die aus den

Potenzen der Zahl gebildet werden, niemals denselben Wert haben können. Die Transzendenz

von π10 hat als erster der Mathematiker Ferdinand Lindemann (1852-1939) mit einem

berühmten, anspruchsvollen Beweis nachgewiesen. Dieser besagt, dass π nicht die Wurzel

14

eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sein kann. Zwar ist z.B. 14922409 24 +π−π

ungefähr 0 (genauer: -0,02323...), es ist aber unmöglich einen Ausdruck zu finden, der exakt 0

ergibt.

5.1. Das Problem der Quadratur des Kreises

Die Quadratur des Kreises10 bedeutet, ein Quadrat zu konstruieren, dass genau den gleichen

Flächeninhalt hat, wie ein gegebener Kreis. Euklid (330?- 275? v.C.) knüpfte allerdings zwei

Bedingungen an das Problem: Erstens durften dabei nur Zirkel und Lineal verwendet werden

(damit sich der Beweis vollständig auf Euklids Lehrsätze zurückführen ließ) und zweitens

musste die Lösung in einer endlichen Anzahl von Schritten erreicht werden. Wenn man nur

eine dieser Bedingungen aufhebt, lässt sich natürlich ein Kreis quadrieren. Archimedes konnte

beweisen, dass die Fläche eines Kreises der eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht, wenn

die eine Kathete dem Radius und die andere dem Umfang des Kreises entspricht (s. hierzu

auch 3.1.). Folglich probierten die „Kreisquadrierer“ den Umfang eines Kreises und damit

auch π zu bestimmen. Vor ungefähr 2000 Jahren nahmen die Menschen durchaus an, dass es

eine Lösung geben müsste. Erst ab dem 16.Jahrhundert wurde den Mathematikern langsam

klar, dass es keine Lösung gibt. Trotzdem hielten manche noch immer an der verlockenden

Vorstellung fest, das uralte Problem lösen zu können.

Der erste Rückstoß für die „Kreisquadrierer“ war der Beweis der Irrationalität von π durch

Johann Heinrich Lambert 1761 (s. 4.). Aber für sie gab es noch eine Hoffnung, da sich

manche irrationalen Zahlen auch geometrisch darstellen lassen (z.B.2 ). Diese erlosch aber

1882 als Ferdinand Lindemann die Transzendenz von π nachwies, wodurch π also nicht

algebraisch ist. Somit war das Problem der Kreisquadratur erledigt. Unbeeindruckt des

Beweises versuchten es Menschen auch noch in jüngster Zeit den Kreis zu quadrieren und

fanden sogar, nach ihrer Ansicht, eine richtige Lösung.

5.2. Idee eines Beweises zur Transzendenz von ππππ

Der gesamte Beweis der Transzendenz von π liegt über dem Niveau der gymnasialen

Oberstufe und würde außerdem durch seine Länge das Ausmaß der Facharbeit stark

beeinträchtigen. Der Beweis geht mit Erklärungen und Einführungen über die

Exponentialfunktionen (z.B. Potenz mit irrationalem Exponenten, Eulersche Zahl mit der

10 vergl. [1], [2], [3], [8], [9]

15

Funktion xe und Logarithmen komplexer Zahlen) über ungefähr 10 Seiten. Daher sei hier nur

die Idee des Beweises aufgeführt. Der komplette Beweis mit vollständiger Einführung findet

sich in [8].

Der Ausgangspunkt des Beweises bildet der von Euler entdeckte Zusammenhang der

trigonometrischen Funktionen mit der Exponentialfunktion

xsinixcoseix += .

Da cos π = 1− und sin π = 0 ergibt sich: 1ei −=π ⇔ 01ei =+π

. (1)

Der Beweis der Transzendenz hängt also mit dem für die Zahl e eng zusammen.

Der Beweis wird indirekt geführt. Man geht von der allgemeinen Form der Gleichung (1) aus.

cea =⋅ α , a, α, c ∈ Z

Nun setzt man )(

)(e

αΦαΨ≈α

, also `R

)(

)(e +

αΦαΨ=α

⇔ )(`R)()(e αΦ⋅+αΨ=αΦ⋅α , wobei α eine hohe Potenz ist, damit

αe nicht zu klein wird.

Außerdem ist zu zeigen, dass

1. )(`R)()(e αΦ⋅=αΨ−αΦ⋅αoder

)(`R)()(a

c αΦ⋅+αΨ=αΦ,

also )(`Ra)(a)(c αΦ⋅⋅=αΨ⋅−αΦ⋅ (1) niemals Null werden kann, aber eine ganze Zahl ist.

2. Der Rest )(`R αΦ⋅ kann absolut genommen beliebig klein, also auch < 1 gemacht werden.

Unter diesen beiden Bedingungen erweist sich die Gleichung

)()(e αΨ−αΦ⋅α= )(`R αΦ⋅

als unmöglich, denn nach (1) ist )(`R αΦ⋅ eine ganze Zahl, die nach Bedingung 2 kleiner als

eins ist. Zwischen Null und eins existiert jedoch keine ganze Zahl. Damit ist dann die

Annahme, π sei eine algebraische Zahl, widerlegt.

6. ππππ und kein Ende

6.1. Der aktuelle Berechnungsrekord und dessen Sinnlosigkeit

Von keiner anderen irrationalen Zahl sind mehr Nachkommastellen berechnet worden, als von

π. Besonders engagiert in der π- Berechnung ist Yasumasu Kanada von der Universität Tokio.

Seit 1981 sind mit ihm 15 von 24 Weltrekorden verbunden. Im Jahr 1999 berechnete er die

16

Kreiszahl π auf 206.158.430.000 Nachkommastellen genau11. Diese Stellen dürften z.B. nur

circa 0,2mm breit sein, damit sie als aneinandergereihte Ziffernfolge einmal um den Äquator

der Erde reichen.

Der Sinn dieser Berechnung galt zum einen dem Austesten eines neuen Computers. Denn ein

noch so winziger Fehler in der Hardware oder Software kann sofort zu einem Fehler führen.

Zum anderen ist es vielleicht die Faszination, dass uns ein tieferes Verständnis für π ganz

neue mathematische und physikalische Erkenntnisse erschließen könnte.

Für mathematische und physikalische Berechnungen sind 200 Milliarden Stellen völlig

unsinnig. Wenn man z.B. den Umfang der Erde auf einen Millimeter genau bestimmen will

genügen zehn Dezimalen. Bei einem Radius, der so groß ist wie die Entfernung der Sonne zur

Erde (≈ 150 Mio. km) genügen 15 Dezimalen. Mit π = 3 zu rechnen ist dagegen auch völlig

unsinnig. Denn bei dieser Zuordnung sind alle Kreise Sechsecke, die das Umfang- zu-

Durchmesser- Verhältnis 3 haben. Im Allgemeinen reicht es, mit π ≈ 3,14 zu rechnen.

6.2. Ist ππππ normal ?

Eine Zahl wird als normal bezeichnet, wenn in ihr alle gleichlangen Ziffernblöcke mit

gleicher Häufigkeit vorkommen12. In einer normalen Zahl tritt also beispielsweise die Ziffer 0

mit der Häufigkeit 1/10 auf. Über die Normalität von π weiß man noch nichts. Weder für

noch gegen die Normalität ist bisher ein Beweis gelungen. Und ob ein solcher Beweis

überhaupt möglich ist, weiß man auch noch nicht. Ferner ist auch noch nicht bewiesen, ob

Größen wie π+e , π⋅e , eπ

, log π oder eπ irrational sind.

6.3. Merkverse für ππππ

11 s.[10] 12 s.[1], S.3

17

Es gibt viele Menschen, die sich die Kreiszahl π einprägen. Eine Möglichkeit dafür ist ein

Gedicht auswendig zu lernen wie z.B. folgendes, wobei die Buchstabenzahl der Wörter 24

Stellen von π ergeben:

Wie, o dies π

Macht ernstlich so vielen viele Müh`

Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein,

Wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein!

7. Schlusswort

Viele Beweise der Kreiszahl π stehen also noch aus. Ich bin gespannt, ob und wann diese

bewiesen werden. Der Geist der Zahl π wird also in jedem Fall die Mathematiker auch in

Zukunft beschäftigen. Auch ich konnte durch diese Arbeit, neben meinem persönlichen

Interesse, mein Wissen über die Zahl π erweitern. So habe ich auch während der Arbeit

bemerkt, dass man über einfache mathematische Sachverhalte sehr leicht an die Grenzen der

Schulmathematik stoßen kann, sie aber auch über Transferleistungen zu überwinden sind.

!Möge π stets mit uns sein!

8. Anhang

Vereinbarungen der Symbolik

N : Menge der natürlichen Zahlen ohne Null

Z : Menge der ganzen Zahlen

R : Menge der reellen Zahlen

Q : Menge der rationalen Zahlen

)x(f )n(: n-te Ableitung der Funktion f(x)

n! : n...321 ⋅⋅⋅⋅

18

Verzeichnis der verwendeten Literatur

[1]: Jörg Arndt; Christoph Haenel:

Pi

Algorithmen, Computer, Arithmetik

Springer- Verlag Berlin, 1998

[2]: David Blatner:

π

Magie einer Zahl

Rowohlt Verlag, 2000

[3]: Mathematische Bibliothek (herausgegeben von W.Lietzmann und A.Witting):

Die Quadratur des Kreises

Verlag von B.G.Teubner Leipzig- Berlin (1913)

[4]: Freunde der Zahl π (Herausgeber: Albert Washüttl):

pi vobiscum 1,3

19

1996, 1998

[5]: Lennart Berggren, Jonathan Borwein, Peter Borwein:

Pi: A Source Book

Springer- Verlag N.Y., 1997

[6]: J. M. Borwein:

Pi and the AGM

Wiley & Sons, Inc, Canada, 1987

[7]: H.-D. Ebbinghaus:

Zahlen

Springer- Verlag Berlin, 1992

[8]: G.I. Drinfel`d:

Quadratur des Kreises und Transzendenz von π

VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1980

[9]: Heinrich Tietze:

Gelöste und ungelöste mathematische Probleme

aus alter und neuer Zeit

Verlag C. H. Beck München, 1980

[10]: http://www.ast.univie.ac.at/~wasi/PI/pi_klub.html

Hiermit versichere ich, dass ich die Arbeit selbstständig angefertigt, keine

anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und die Stellen der Facharbeit, die im Wortlaut oder im wesentlichen Inhalt aus anderen Werken entnommen wurden, mit genauer Quellenangabe kenntlich gemacht habe. Verwendete Informationen aus dem Internet sind dem Lehrer vollständig im Ausdruck zur Verfügung gestellt worden.

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Cuxhaven, den 09.April 2000

Nico Kramer Hiermit erkläre ich, dass ich damit einverstanden bin, wenn die von mir verfasste Facharbeit der schulinternen Öffentlichkeit zugänglich gemacht wird. Cuxhaven, den 09.April 2000

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Nico Kramer