Bernard Ksiazek Flächeninhalt und Umfang vom Kreis · Tim und Lisa sollen die Fehler in den...

Bernard Ksiazek

Flächeninhalt und Umfang vom KreisDifferenzierte Aufgaben zum Üben und Festigen für das Gymnasium

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aus dem Originaltitel:

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Bernard Ksiazek: Flächeninhalt und Umfang vom Kreis© Persen Verlag 1

Dass eine der wichtigsten Ziele des Mathematikunterrichts darin besteht, die Schüler1 dazu zu befähi-gen, Mathematik anzuwenden, ist wohl ebenso unumstritten wie die Tatsache, dass dies ein relativ schwieriges Unterfangen ist. Dies geht erfahrungsgemäß am besten, wenn Sie Ihren Lerngruppen An-wendungsaufgaben aus dem Alltag anbieten können. Und dies fällt bei dem Thema „Flächen und Volu-men von Figuren und Körpern“ eigentlich nicht besonders schwer, da diese Thematik fest in unseren Lebensalltag integriert ist. Wir brauchen diese Thematik, um viele alltägliche Situationen zu beschreiben bzw. zu hinterfragen. Es gibt wohl kein Thema im Mathematikunterricht, dass sich so nah an der Umwelt und am gegenwärtigen und zukünftigen Alltag der Schüler orientiert. Das Thema findet sogar seinen eigenen Platz in den ma-thematischen Leitideen der KMK Bildungsstandards für Mathematik. Weiterhin ist das Thema hervorragend geeignet, um die entsprechenden mathematischen Kompeten-zen („Argumentieren“, „Problemlösen“, „Modellieren“, „mathematische Darstellungen verwenden“, „mit Mathematik symbolisch/formal/technisch umgehen“ und „Kommunizieren“) bei jedem Schüler auszu-bauen.Ziel der vorliegenden Veröffentlichung ist es, alle wesentlichen Inhalte der Größenthematik für die Klas-sen 7 bis 10 zu erarbeiten, zu üben und zu vertiefen. Dabei sollen vor allem auch zahlreiche oben er-wähnte mathematische Kompetenzen bei den Schülern ausgebaut werden. Bei der Konzeption der Arbeitsblätter wurde in allen Kapiteln eine besondere Akzentuierung auf den Aufbau von Größenvorstellungen gelegt. Diese Größenvorstellungen werden durch Übung und Anwen-dungen permanent ausgebaut und gefestigt. Innerhalb der vorliegenden Kopiervorlagen werden unter-schiedliche Leistungsniveaus angeboten. Jeder Aufgabe wurden die drei Kompetenzklassen bzw. An-forderungsbereiche der Bildungsstandards zugeordnet2:

Anforderungsbereich I: ReproduzierenDieses Niveau umfasst die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen und Verfahren in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden Zusammenhang.

Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellenDieses Niveau umfasst das Bearbeiten bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebie-ten erworben wurden.

Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und ReflektierenDieses Niveau umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u. a. mit dem Ziel, zu eigenen Pro-blemformulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu ge-langen.

Die entsprechende Angabe befindet sich in Klammern hinter jeder Aufgabe. Dabei steht „R“ für den Bereich „Reproduzieren“, „Z“ für den Bereich „Zusammenhänge herstellen“ und „V“ für den Bereich „Verallgemeinern und Reflektieren“.

Das Symbol bedeutet, dass die Schüler die Aufgabe im Heft oder auf einem Extrablatt lösen sollen.

Wir wünschen Ihnen viel Freude und Erfolg beim Einsatz dieses Buches.

Bernard KsiazekMarco BettnerErik Dinges

1 Der Einfachheit halber verwenden wir hier die verallgemeinernde Form. Selbstverständlich sind auch alle weiblichen Personen angespro-chen.

2 www.kmk.org/schul/Bildungsstandards/Mathematik_MSA_BS_04-12-2003.pdf

Vorwort

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2Bernard Ksiazek: Flächeninhalt und Umfang vom Kreis© Persen Verlag

Eigenschaften Kreis 1

Aufgabe 1 (R)

Zeichne zwei Kreise mit dem Durchmesser d = 5 cm. Trage im Anschluss folgende Begriffe bei dem entsprechenden Kreis ein.

a) Mittelpunkt M, Radius r, Durchmesser d, Kreisfläche AK, Umfang U

K

b) Kreissektor, Bogen, Sehne s, Tangente

Aufgabe 2 (R)

Gib die Kreiszahl als gerundeten Wert an. Wie wird die Kreiszahl noch genannt?

Aufgabe 3 (V)

Erläutere den Zusammenhang zwischen dem Umfang und dem Durchmesser.

gabe 3 (V)

re den

)

ert an. Wie w

Aufgabe

Gib die


Aufgabe 1 (R) Berechne den Umfang des Kreises. Runde sinnvoll.

a) d = 4 cm b) d = 3 cm c) r = 5,5 m

d) r = 0,7 m e) r = 10,3 cm f) d = 9,2 dm

Aufgabe 2 (R) Wie groß ist der Radius? Runde sinnvoll.

a) UK = 250 cm b) U

K = 8 cm c) U

K = 30,5 m

d) UK = 12,8 dm e) U

K = 6 cm f) U

K = 22,2 m

Aufgabe 3 (Z)

Berechne die fehlenden Größen.

a) b) c) d) e) f)

r 7 cm

d 23 cm 8,6 m

UK 886,68 dm 2,01 cm 380,13 dm

Aufgabe 4 (V)

Max und Tobias streiten sich, wer Recht hat. Tobias behauptet, dass nur die Gleichung „U

K = π · d“ den Kreisumfang korrekt berechnet – Max erwidert, dass die Formel „U

K = π · 2 · r“

genauso richtig ist.

a) Wer hat Recht und warum?

b) Kennst du eine andere Formel?

Umfangsberechnung 1 2

π · d“π d“auso richtig

hat Rec

bias streitenen Kreisumf

g ist.

sich,n

dm

8,6 m

ee) )b) c)

) UK =

f) UK = 2


Umfangsberechnung 2 3

r = 3 cmM

r = 2 cm

M

r = 1 cmM

Aufgabe 1 (Z) Berechne die Länge der Schlangenlinie.

Aufgabe 2 (Z) Berechne den Umfang der verschiedenen Figuren. Entnimm die Maße aus der Zeichnung.

a) b) c)

Aufgabe 3 (V) Tim und Lisa sollen die Fehler in den Berechnungen für den Kreisumfang finden. Kannst du ihnen dabei helfen? Erkläre was an den Rechnungen falsch ist.

a) UK

= 40,72 cm b) d = 10 m c) d = 5,6 cm

r = 40,72 : π UK

= π · 5 UK = π · r 2

r = 12,96 cm UK

= 15,71 cm UK

= 24,63 cm

be 3und Lisa

du ihnen

40,7

3 (V)sollen die

d

us der Ze chnung

b)

Figuren. Entnimm

M


Sachaufgaben Umfang 4

Aufgabe 1 (Z) Familie Bauer möchte ihren Vorgarten verschönern und plant, ihre beiden runden Blumen-beete mit Palisaden einzurahmen. Die Durchmesser der Beete betragen 1,8 m und 240 cm.

a) Berechne die Umfänge der beiden Blumenbeete.

b) Wie viele Palisaden benötigen sie, wenn eine Palisade einen Durchmesser von 16 cm besitzt?

c) Eine Palisade kostet 1,25 €. Wie viel muss Familie Bauer bezahlen?

Aufgabe 2 (Z) Die Torwand aus der Fernsehsendung „das aktuelle Sportstudio“ hat zwei Löcher mit je einem Durchmesser von 55 cm.

a) Berechne den Umfang.

b) Ein Fußball hat im Durchschnitt einen Umfang von 69 cm und wiegt zwischen 420–445 g. Wie viel Platz bleibt zwischen dem Ball und den Löchern der Torwand?

Aufgabe 3 (Z) Das zurzeit größte Riesenrad der Welt heißt „Singapore Flyer“ und steht im Stadtstaat Singapur. Es ist 165 m hoch und hat einen Durchmesser von 150 m.

Wie viele Meter würdest du zurücklegen, wenn du 6 Runden damit fahren würdest?

Aufgabe 4 (Z) Der Umfang der Erde beträgt ca. 40 000 km. Berechne den Radius und den Durchmesser.

abe 4Umfang de

ne den R

(Z)r Erde

ah

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SingapoSingapur. Durchmess

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größte Re Flyer“ undEs ist 165 er von 1

iesenrad derteht

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und dg von 69 cmen Löcher

udio h

d

at zwei Löch


Flächenberechnung 1 5

Aufgabe 1 (V)

Wie lässt sich die Flächeninhaltsformel für den Kreis ableiten?

a) Zeichne eine Skizze, mit deren Hilfe du die Flächeninhaltsformel näherungsweise bestim-men kannst.

b) Welche bekannte Fläche erhältst du? Notiere für diese, die dir bekannte Flächeninhalts-formel.

c) Stelle eine Flächeninhaltsformel für den Kreis auf. Achte auf die Abhängigkeit von Umfang und Radius.

d) Stelle eine neue Formel auf, indem du UK

aus c) sinnvoll ersetzt.

Aufgabe 2 (R) Berechne den Flächeninhalt A

K.

a) r = 25 cm b) r = 11 cm c) d = 5,4 m

d) d = 9 dm e) r = 10 cm f) d = 18,2 m

g) d = 42 cm h) r = 17,5 m

Aufgabe 3 (R)

Berechne den Radius r.

a) AK = 95,03 m2 b) A

K = 12 076,28 dm2 c) A

K = 514,72 cm2

d) AK = 113,10 cm2 e) A

K = 1 720,20 cm2 f) A

K = 320,47 dm2

gabe 2 (Rne den

R)

mel a em d

s auf. Achte auf die A

annte Flächenin alts-

) Stelleund Ra

S

ine Flächedius.

rhä

nhalts

ltst du? Notiere fü


Flächenberechnung 2 6

3,3 cm

9 cm

2,7 cm

Aufgabe 1 (Z)


a) b) c) d) e) f)

r 7 cm 24,6 m

d 42,8 m 33 dm

AK 1 158,12 m2

UK 8,8 cm

Aufgabe 2 (V)

Die Radien zweier Kreise stehen zueinander im Verhältnis 1: 3. In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte zueinander? Begründe.

Aufgabe 3 (Z)

Wie groß ist die weiße Fläche? Berechne den Verschnitt.

a) b) c)

Aufgabe 4 (Z)

Ein Diskuswerfer verwendet bei der Olympiade eine Wurfscheibe, die 2 kg schwer ist und einen einem Durchmesser von 22,1 Zentimeter vorweist.

Berechne den Umfang und den Flächeninhalt.

echn n Verschnitt

nis steh

Aufgab

Wie groß is

a)

3 (Z)

st die weiß

der im Verhältnis 1:3. In w

8,8 cm


Sachaufgaben Flächenberechnung 7

Aufgabe 1 (Z)

In der Mitte eines rechteckigen Dorfplatzes befindet sich ein Kreisrunder Brunnen mit einem Durchmesser von 7,8 m.

a) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Brunnens.

b) Wie lang und breit könnte der Dorfplatz sein, wenn er eine Gesamtgröße von 805 m2 be-sitzt. Gib zwei verschiedene Möglichkeiten an.

c) Wie viel Prozent vom Platz nimmt der Brunnen ein?

d) Welchen Durchmesser müsste der Brunnen besitzen, damit er denselben Flächeninhalt, wie der Dorfplatz besitzt?

Aufgabe 2 (Z)

Ein Kreis und ein Quadrat haben jeweils einen Umfang von 32 m.

Vergleiche die beiden Flächen miteinander.

Aufgabe 3 (Z)

Betrachte reale 1- und 2-Euro-Münzen.

a) Schätze den Flächeninhalt der beiden Münzen.

b) Berechne den Flächeninhalt der beiden Münzen und gib an, um welchen Faktor sich die beiden unterscheiden.

c) Wie gut hast du geschätzt? Vergleiche.

Aufgabe 4 (V)

Frau Springe möchte auf ihrer kreisförmige Rasenfläche neuen Rasen sähen.Der Radius der Fläche beträgt 7,9 m.

a) Wie viel kg Saatgut muss sie kaufen, wenn sie pro m2 55 g Saatgut benötigt.

b) Wie teuer ist das Saatgut, wenn sie pro 100 g 80 ct bezahlen muss?

SpringeRadius de

viel kg S

(V)

möchte auf r Fläche

hr

den unt

gleiche.

Münzen undcheiden.

gib an,b) Berechwelc

c) Wie gut

den Fläch

ne den Flähen Fak

und 2-Euro-Mün

eninha

eine

r.

mfang von 32 m.


Vermischte Aufgaben 8

Aufgabe 1 (Z)

Jede Aussage beinhaltet einen inhaltlichen Fehler – korrigiere ihn.

a) Der Durchmesser ist halb so groß wie der Umfang des Kreises.

b) Alle Strecken, die vom Mittelpunkt den gleichen Abstand haben, bilden die Kreislinie.

c) Pi ist abhängig von der Größe des Kreises.

d) Der Kreis hat nur zwei Symmetrieachsen.

e) Ein ganzer Kreis besitzt einen Innenwinkel von 380°.

Aufgabe 2 (Z)


a) b) c) d) e) f)

r 17,6 cm 21,1 cm

d 4,7 cm

AK 394,08 m2 1,54 cm2

UK 32,04 dm

Aufgabe 3 (Z)

Wie groß ist die weiße Fläche?

a) Berechne den Verschnitt.

b) Vergleiche den Umfang des Quadrats mit den (Halb-)Kreisen.

Aufgabe 4 (V)

Abraham behauptet, dass der Umfang eines Kreises immer kleiner ist als der eines flächen-gleichen Quadrats.

Hilf ihm, seine Aussage zu beweisen.

d = 8,2 cm

r = 7,5 cm

rechne

ergleiche dden (Hal

die weiße

den Versch

den Um

Fläch

nitt

cm

4,7 cm

d) e)


Kreisringe 9

Aufgabe 1 (V)

Zeige die Herleitung der Formel zur Berechnung des Kreisringes an. Zeichne zusätzlich eine Skizze und gib die Formel an.

Aufgabe 2 (3)

Berechne die Fläche der Kreisringe.

a) b) c)

r = 6,3 cm

r = 4 cm

r = 2,3 dm

r = 19,7 cm

d = 6,3 cm

r= 1,4 cm

Aufgabe 3 (R)

Berechne die Fläche der Kreisringe.

1) a) b) c) 2) a) b) c)

r1 2,2 cm 12 m 7 dm d1 14,2 m 0,8 cm 44,3 m

r2 3,5 cm 12,8 m 20 dm d2 19,4 m 3,6 cm 66,1 m

AKr AKr

Aufgabe 4 (Z)

Der Kreisring hat einen Innendurchmesser von d = 12 cm. Wie breit muss der Kreisring sein, wenn sein Flächeninhalt gleich dem Flächeninhalt des inneren Kreises sein soll?

1 2

e Fläche de

a)

r Krei

= 19 cm

d = 6,3 cm

r = 4 cm

m

b)


Aufgabe 1 (Z)

Berechne den Radius des Kreisbogens.

a) α = 50°, b = 6,5 cm b) α = 340°, b = 7 dm c) α = 111°, b = 8,1 cm

d) α = 33°, b = 22 m e) α = 313°, b = 15,3 cm f) α = 156°, b = 21 cm

Aufgabe 2 (Z)

Berechne den Mittelpunktswinkel.

a) b = 5,4 cm, r = 4,2 cm b) b = 147 cm, r = 98 cm c) r = 8,5 m, A = 91 m2

d) r = 13 m, A = 0,86 m2 e) b = 36 dm, r = 22 dm f) b = 84 m, r = 57 m

Aufgabe 3 (Z)


a) b) c) d) e) f)

r 10 cm 2,7 cm 3,4 m

d 14 cm 46 m

α 36° 189° 89° 88°

b 20,12 dm 19,06 cm 9,42 cm

Aufgabe 4 (Z)

Berechne die Kreisbögen.

a) b) c)

Kreisbogen 10

r = 3 cm

α = 109°r = 4 cm

α = 151°

r = 6 cm

α = 57°

abe 4

chne die K

(Z)

Kreisbö

m 19,06 cm

46 m

89°

e

2,7 cm

e)

m

)

b

36°

b) c)

) r = 8

f) b = 84


Aufgabe 1 (Z)

Was ist ein Kreissektor? Beschreibe ihn mit deinen eigenen Worten und gib die dir bekannte Formel zur Berechnung der Sektorfläche an.

Aufgabe 2 (R)

Berechne die fehlenden Größen und trage sie in die Tabelle ein.

a) b) c) d) e) f)

r 5 cm 10,6 cm 3 mm 42 cm

d 14,4 dm 18,2 m

α 62° 111° 205° 140° 82° 312°

A

Aufgabe 3 (Z)

Berechne die fehlenden Größen und trage sie in die Tabelle ein.

a) b) c) d) e) f)

r 77 m 4 cm 3,5 cm 13 dm 5 mm

b 93,2 m 5,8 cm 8 dm 7 cm

A 40,25 cm2 32,5 mm2 7,7 cm2

Aufgabe 4 (Z)

Jens teilt eine große Familienpizza mit einem Durchmesser von 45 cm in acht gleich große Stücke auf. Wie groß ist der Flächeninhalt von jedem einzelnen Stück?

Flächenberechnung Kreissektor 11

b

77 m

93,2 m

d trage sie inn die

8,2 m

0°

42 cm

Aufgabe 3

Berechne

(Z)

11°

m

2

10,6 m 3 m

ein.

d)

m

e)

13

Lösungen

Bernard Ksiazek: Flächeninhalt und Umfang vom Kreis© Persen Verlag

Flächeninhalt und Umfang vom Kreis

1. Eigenschaften Kreis

Aufgabe 1a) b)

KreissektorBogen

Sehne s Tangente

Umfang UK

Mittelpunkt M

Durchmesser D

Radius r

Kreisfläche AK

Aufgabe 23,14. Die Kreiszahl wird auch π = Pi genannt.

Aufgabe 3Der Umfang jeden Kreises ist um den Faktor der Kreiszahl π (3,14159…) größer als der Durchmesser: U

K = π · d.

2. Umfangsberechnung 1

Aufgabe 1a) U

K = 12,57 cm b) U

K = 9,42 cm

c) UK = 34,56 m d) U

K = 4,40 m

e) UK = 64,72 cm f) U

K = 28,90 dm

Aufgabe 2a) r = 39,79 cm b) r = 1,27 cmc) r = 4,85 m d) r = 2,04 dme) r = 0,95 cm f) r = 3,53 m

Aufgabe 3a) b) c) d) e) f)

r 7 cm 141,12 dm 11,5 cm 4,3 m 0,32 cm 60,5 dm

d 14 cm 282,24 dm 23 cm 8,6 m 0,64 cm 121 dm

UK 43,98 cm 886,68 dm 72,26 cm 27,02 m 2,01 cm 380,13 dm

Aufgabe 4a) Max hat Recht. Die Formel „U

K = π · 2 · r“ genauso kor-

rekt, da der Durchmesser d doppelt so lang wie der Ra-dius ist. (d = 2 · r)

b) –

3. Umfangsberechnung 2

Aufgabe 1Die Schlangenlinie ist 18,85 cm lang.

Aufgabe 2a) U = 16,34 cm b) U = 13,52 cm c) U = 17,85 cm

Aufgabe 3a) d = 12,96 cm b) U

K = 31,42 m c) U

K =17,59 cm

Tim und Lisa haben bei Aufgabe a) und b) die Formel für die Umfangsberechnung falsch aufgestellt und d und r mit-

einander verwechselt. Bei Aufgabe c) haben sie die Formel für die Flächenberechnung verwendet.

4. Textaufgaben Umfang

Aufgabe 1a) Die Umfänge der Blumenbeete betragen U

K = 5,65 m und

UK = 7,54 m.

b) Sie benötigen insgesamt 83 Palisaden.c) Sie müssen 103,75 € zahlen.

Aufgabe 2a) Ein Loch in der Torwand hat einen Umfang von

172,79 cm.b) Der Fußball hat einen Durchmesser von 21,96 cm und ist

im Durchschnitt damit 33,04 cm kleiner.

Aufgabe 3Man würde insgesamt 2 827,43 m zurücklegen.

Aufgabe 4d = 12 732 km, r = 6 366 km

5. Flächenberechnung 1

Aufgabe 1a)

r

UK

2 = 2 π · r2 = π · r

b) Man erhält näherungsweise ein Rechteck. AR = a · b

c) AK

= U

K · r

2

d) UK

= 2 · π · r A

K = π · r2

Aufgabe 2a) A

K = 1 963,50 cm2 b) A

K = 380,13 cm2

c) AK = 22,90 m2 d) A

K = 63,62 dm2

e) AK = 314,16 cm2 f) A

K = 260,16 m2

g) AK = 1 385,44 cm2 h) A

K = 962,11 m2

Aufgabe 3a) r = 5,5 m b) r = 62 dmc) r = 12,8 cm d) r = 6 cme) r = 23,4 cm f) r = 10,1 dm

6. Flächenberechnung 2


r 7 cm 21,4 m 19,2 m 24,6 m 1,4 cm 16,5 dm

d 14 cm 42,8 m 38,4 m 49,2 m 2,8 cm 33 dm

AK

153,94 cm2

1 438,72 m2

1 158,12 m2

1 901,17 m2 6,16 cm2 855,3 dm2

UK 43,98 cm 134,46 m 120,64 m 154,57 m 8,8 cm 103,67 dm

8

abe 4hat Recht. D

der Durch (d = 2

1,5

23 cm

6,68 dm ,26 cm

e Form

d)

m 4

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27,02 m

m

m

b) Man e

c)

UKAufgabe 2a) r = 39,79 cmc) r = 4,85 m e) r = 0,95 cm

ufgabe 3

m

m

b) UK = 9,42

d) UK

= 4,40 mf) U

K28

d.hl

Au

fgabe 4d = 12 732 km

5. Flächenb

nsgesamt 2 8

r = 6 366 kr

e

chmess3,04 cm kle

27,43 m zurüc

14

Lösungen


Aufgabe 2Die Flächeninhalte unterscheiden sich um den Faktor von 9. Da bei der Flächenberechnung der Radius quadriert wird und 32 = 9 ist, unterscheiden sich die Flächeninhalte dem-entsprechend.

Aufgabe 3a) A

Q = 6,6 cm · 6,6 cm = 43,56 cm2;

AK

= 8,55 cm2; 8,55 cm2 · 4 = 34,2 cm2

Der Verschnitt beträgt 21,6 % 9,348 cm2.

b) AQ

= 81 cm2

AK = 63,62 cm2


c) AQ

= 116,64 cm2

AK = 68,71 cm2


Aufgabe 4U = 69,43 cm; A

K = 383,60 cm2

7. Sachaufgaben Flächenberechnung

Aufgabe 1a) U = 24,50 m; A

K = 47,78 m2

b) Verschiedene Lösungen möglich.c) Der Brunnen nimmt 5,94 % vom Platz ein.d) Der Brunnen müsste einen Durchmesser von 32,015 m

besitzen.

Aufgabe 2A

K = 81,49 m2; A

Q = 64 cm2

Aufgabe 3a) Individuelles Ergebnisb) A

1€ = 4,246 cm2; A

2€ = 5,208 cm2; Der Faktor beträgt

1,227.

Aufgabe 4a) A

K = 196,07 m2.

Insgesamt benötigt sie 10,784 kg Saatgut.b) Sie muss 86,27 € für das Saatgut bezahlen.

8. Vermischte Aufgaben

Aufgabe 1a) Der Umfang ist π mal so groß wie der Durchmesser des

Kreises.b) Alle Punkte, die vom Mittelpunkt den gleichen Abstand

haben, bilden die Kreislinie. c) Pi ist das Verhältnis von Umfang zum Durchmesser eines

Kreises. d) Ein Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen.e) Ein ganzer Kreis besitzt einen Innenwinkel von 360°.


r 11,2 m 17,6 cm 5,1 dm 0,7 cm 21,1 cm 2,35 cm

d 22,4 m 35,2 cm 10,2 dm 1,4 cm 42,2 cm 4,7 cm

AK 394,08 m2 973,14 cm2 81,69 dm2 1,54 cm2 1 398,67

cm2 17,35 cm2

UK 70,37 m 110,58 cm 32,04 dm 4,4c m 132,57 cm 14,77 cm

Aufgabe 3a) A

Q = 900 cm2; A

K = 486,16 cm2; Der Verschnitt beträgt

45,98 %.b) U

Q = 120 cm; U

K = 135,09 cm.

Aufgabe 4Für den Kreis gilt: U

K = 2 · π · r, A

K = π · r 2.

Für das Quadrat gilt: UQ = 4 a, A

Q = a2.

Wenn AQ

= AK, dann ist a2 = π · r 2,

daraus folgt: a = √π · r.AlsoU

Q = 4 · √π · r.

Da 4 · √π = 7,09 6,28 = 2 · π folgt:U

Q = 4 · √π · r 2 · π · r = U

K also U

Q U

K

UK

UQ

= 0,886

Der Kreisumfang ist ca. 11,4% kleiner.

9. Kreisringe

Aufgabe 1

r2 r1

Aufgabe 2a) A

Kr = 74,42 cm2

b) AKr

= 442,68 cm2 c) A

Kr = 51,93 cm2

Aufgabe 31) a) A

Kr = 23,28 cm2

b) AKr

= 62,33 m2

c) AKr

= 1 102,70 dm2

2) a) AKr

= 137,22 m2

b) AKr

= 9,68cm2

c) AKr

= 1 890,23m2

Aufgabe 4Der Kreisring muss 2,48 cm breit sein.

10. Kreisbogen

Aufgabe 1a) r = 7,45 cm b) r = 1,18 dm c) r = 4,18 cmd) r = 38,2 m e) r = 2,8 cm f) r = 7,71 cm

schte A

be 1fang ist π m

k

e 10das S

Aufgaben g

784 kgatgut b

or beträgt

r2 r1

leiner.

Aufgabe 3a) Individuelleb) A ,246

1,227.

ufgabe

AQ = 64 cm2

s Ergebnis2 A

z einchmesser on 32,015 m

U

De

= 4 · √π√√ Da 4 · √π√√ = 7,0U

Q= √π · r

UKK = 0,886

a = √π√√ · r.

9 6,28 = 22 · π ·

r, AK =

= 4 a, AQ = a2

2 = π

15

Lösungen


Aufgabe 2a) α = 73,67° b) α = 85,94° c) α = 144,33°d) α = 0,58° e) α = 93,76° f) α = 84,44°


r 10 cm 6,1 dm 7 cm 23 m 2,7 cm 3,4 m

d 20 cm 12,2 dm 14 cm 46 m 5,4 cm 6,8 m

α 36° 189° 156,01° 89° 199,90° 88°

b 6,28 cm 20,12 dm 19,06 cm 35,73 m 9,42 cm 5,22 m

Aufgabe 4a) b = 5,71 cm b) b = 10,54 cm c) b = 5,97 cm

11. Flächenberechnung Kreissektor

Aufgabe 1Ein Kreissektor (auch Kreisausschnitt) ist eine Teilfläche einer Kreisfläche, die von einem Kreisbogen und zwei Kreis-radien begrenzt wird.

Formel: As =

α

360 · π · r 2


r 5 cm 7,2 dm 10,6 cm 3 mm 9,1 m 42 cm

d 10 cm 14,4 dm 21,2 cm 6 mm 18,2 m 84 cm

α 62° 111° 205° 140° 82° 312°

A 13,53 cm2 50,22 dm2 201,01 cm2 11 mm2 59,26 m2 4 802,87

cm2


r 77 m 4 cm 3,5 cm 13 dm 5 mm 2,2 cm

b 93,2 m 5,8 cm 23 cm 8 dm 13 mm 7 cm

A 3 588,2 m2 11,6 cm2 40,25 cm2 52 dm2 32,5 mm2 7,7 cm2

Aufgabe 4Ein Pizzastück hat eine Fläche von 198,80 cm2.

cm2

Fläche von 198

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Grafi k: Julia Flasche, Marion El-Khalafawi, Fotolia S. 5Satz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH, Bayreuth

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Bernard Ksiazek Flächeninhalt und Umfang vom Kreis · Tim und Lisa sollen die Fehler in den...

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