C:\ro\HOMEPAGE\welcome\fedmass\FedMassSchwing.doc, S 1,6

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Feder-Masse-System, berechnet mit Simulink,

drei Arten Reibung: viskos, Gleitreibung, turbulent,

Fremderregung mit Sinuskraft

Masse m, Position x, Geschwindigkeit v = dx/dt, Feder D,

drei Arten Reibung:

viskose Reibungskraft - rv*v,

Gleitreibungskraft - rGL*sign(v),

turbulente Reibungskraft - rt*v*abs(v)

Externe Erregungskraft Fel = aF*sin(2*pi*f*t)

DGLn

v = dx/dt

m*dv/dt = - D*x - rv*v - rGL*sign(v) - rt * v * abs(v) + aF* sin(2*pi*f*t)

Hinweis:

Dies „einfache, alltägliche“ Beispiel der Schwingungslehre wird in „keinem“ Buch der

„Mathematik für Ingenieure“ behandelt, auch in „keinem“ Physikbuch und in keinem

Buch der Technischen Mechanik.

Warum wird das nirgends behandelt? Weil die DGLn wegen der Gleitreibung und

insbesondere wegen der turbulenten Reibung „nichtlinear“ sind. Folglich gibt es keine

„analytische“ Lösung der DGL.

Diese DGLn können nur mit „numerischer Mathematik“ gelöst werden. Hier mit

Simulink.

Vgl. Auch http://www.home.hs-karlsruhe.de/~kero0001/sweepfedmas/SweepFedMas2.pdf

http://www.home.hs-karlsruhe.de/~kero0001/FedMas3/FedMasKet3h.html

Man beachte anhand der Ergebnisse, dass die verschiedenen Reibungs-

Arten völlig verschiedene Verhaltensweisen des Systems bewirken.

Schwing1.mdl

Aufruf mit

rschwing3

x

v

Fext

t

1/s1/s

D

1/m

rv*u + rGL * sgn(u) + rt*u * abs(u)

aF*sin(2*pi*f*u)

% Datei rSchwing3.m

r

x

D

Fel

m

C:\ro\HOMEPAGE\welcome\fedmass\FedMassSchwing.doc, S 2,6

%clear;m=1;D=1;rv=0.03;rGL=0.003;rt=0;tmax=200;aF=0;f=0.1592*1.1;xst=1;vst=0;bild=5;rSchwing3;

%clear;m=1;D=1;rv=0;rGL=0.003;rt=0.1;tmax=200;aF=0;f=0.1592*1.1;xst=1;vst=0;bild=6;rSchwing3;

%clear;m=1;D=1;rv=0.03;rGL=0;rt=0.1;tmax=200;aF=0;f=0.1592*1.1;xst=1;vst=0;bild=7;rSchwing3;

%clear;m=1;D=1;rv=0;rGL=0;rt=0;tmax=200;aF=0.1;f=0.1592*1.2;xst=0;vst=0;bild=9;rSchwing3;

dtmax=0.1;

format compact; % vermeidet unnötige Leerzeichen

if bild ==1 schwing1; end; % Schaltung auf Bildschirm

sim('schwing1');

figure(bild); clf reset;

plot(t, x, t,Fext,'m'); legend('x','Fext');

grid on; xlabel('sec');

Aufruf-Methode: Zuerst aus der Matlab-Datei eine der Vorschlags-Zeilen mit der

Maus kopieren und dann in die Matlab-Kommando-Ebene rechts vom Zeichen >>

eingefügen. Dann „von Hand“ die Zahlenwerte der Parameter dieser Zeile ändern und

die Eingabetaste drücken. Dann mit der Maus die gerade benutzte Aufrufzeile kopieren

und als Text an den oberen Rand des entstandenen Bildes einfügen.

Anschließend die „freie“ Schwingung, also ohne Fremderregung,

Startwerte vorgeben (hier immer xst=1, vst=0).

Variation der Reibungs-Parameter rv, rGL und rt

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-1

-0.5

0

0.5

1

sec

x

Fext

clear;m=1;D=1;rv=0.02;rGL=0;rt=0;tmax=200;aF=0;f=0.1592*1.1;xst=1;vst=0;bild=1;rSchwing3;

»

Start xst = 0. vst=0, keine externe Kraft (aF=0)

Nur viskose Reibung ( rv= 0.02), drum Amplitudenabnahme

wie Exponentialfunktion exp( -t/tau )

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-1

-0.5

0

0.5

1

sec

x

Fext

clear;m=1;D=1;rv=0;rGL=0.01;rt=0;tmax=200;aF=0;f=0.1592*1.1;xst=1;vst=0;bild=2;rSchwing3;

Nur Gleitreibung ( rGL= 0.01 ),

drum lineare Abanehem der Amplituden

C:\ro\HOMEPAGE\welcome\fedmass\FedMassSchwing.doc, S 3,6

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-1

-0.5

0

0.5

1

sec

x

Fext

clear;m=1;D=1;rv=0;rGL=0;rt=0.1;tmax=200;aF=0;f=0.1592*1.1;xst=1;vst=0;bild=3;rSchwing3;

Nur turbulente Reibung ( rt= 0.1 ),

drum anfangs starke Dämpfung,

später kaum noch Dämpfung

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-1

-0.5

0

0.5

1

sec

x

Fext

clear;m=1;D=1;rv=0.03;rGL=0.003;rt=0;tmax=200;aF=0;f=0.1592*1.1;xst=1;vst=0;bild=5;rSchwing3;

Gleichzeitig viskose Reibung ( rv= 0.03 )

und Gleitreibung (rGL= 0.003)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-1

-0.5

0

0.5

1

sec

x

Fext

clear;m=1;D=1;rv=0;rGL=0.003;rt=0.1;tmax=200;aF=0;f=0.1592*1.1;xst=1;vst=0;bild=6;rSchwing3;

Gleichzeitig turbulente Reibung ( rt=0.1 )

und Gleitreibung ( rGL = 0.03 )

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-1

-0.5

0

0.5

1

sec

x

Fext

clear;m=1;D=1;rv=0.03;rGL=0;rt=0.1;tmax=200;aF=0;f=0.1592*1.1;xst=1;vst=0;bild=7;rSchwing3;

Gleichzeitig viskose Reibung ( rv=0.03 )

und turbulente Reibung ( rt= 0.1 )

C:\ro\HOMEPAGE\welcome\fedmass\FedMassSchwing.doc, S 4,6

Anschließend Fremderregung, aber ohne Reibung. Variation der

Erregerfrequenz in der Nähe der Eigenfrequenz. Man beachte die

Phasenlage von x und Fext

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-1

-0.5

0

0.5

1

sec

x

Fext

clear;m=1;D=1;rv=0;rGL=0;rt=0;tmax=200;aF=0.1;f=0.1592*0.9;xst=0;vst=0;bild=8;rSchwing3;

Ohne Reibung, Startwerte =0

Mit Fremderregung (aF=0.1, f= 0.1592*0.9 ),

x etwa phasengleich mit Fext, Schwebungen

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-0.5

0

0.5

sec

x

Fext

clear;m=1;D=1;rv=0;rGL=0;rt=0;tmax=200;aF=0.1;f=0.1592*1.2;xst=0;vst=0;bild=9;rSchwing3;

Ohne Reibung, Fremderregung mit

Frequenz höher als Eigenfrequenz ( f= 0.1592*1.2 ),

drum x etwa gegenphasig zu Fext, Schwebungen

Anschließend Fremderregung bei viskoser Reibung ,

Variation der Amplitude aF der Erregerkraft

Man beachte das völlig andere Verhalten im Vergleich zur Gleitreibung und zur

turbulenten Reibung! Vgl. den Text in den Bildern!

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-50

0

50

sec

x

Fext

clear;m=1;D=1;rv=0.02;rGL=0;rt=0;tmax=200;aF=10;f=0.1592*1.2;xst=0;vst=0;bild=13;rSchwing3;

Viskose Reibung rv = 0.002. Erregeramplitude riesengross: aF= 10,

dennoch völlig "ähnliches" Verhalten wie bei winziger Kraftamplitgude (aF= 0.1)

Grund: das ist ein "lineares System"

C:\ro\HOMEPAGE\welcome\fedmass\FedMassSchwing.doc, S 5,6

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-0.5

0

0.5

sec

x

Fext

clear;m=1;D=1;rv=0.02;rGL=0;rt=0;tmax=200;aF=0.1;f=0.1592*1.2;xst=0;vst=0;bild=15;rSchwing3

viskose Reibung rv=0.02. Erregeramplitude sehr klein : aF=0.1,

dennoch völlig "ähnliches" Verhalten wie bei Amplitde aF =10.

Grund: das ist ein "lineares System"

Anschließend Fremderregung bei Gleitreibung ,

Variation der Amplitude aF der Erregerkraft

Man beachte das völlig andere Verhalten im Vergleich zur viskosen Reibung und zur

turbulenten Reibung! Vgl. den Text in den Bildern!

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-5

0

5

sec

x

Fext

clear;m=1;D=1;rv=0;rGL=0.01;rt=0;tmax=200;aF=1;f=0.1592*1.2;xst=0;vst=0;bild=17;rSchwing3;

Gleitreibung rGL=0.01, Kraftamplitude aF=1 folglich wenig erkennbare

Dämpfung der Schwebung

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-0.5

0

0.5

sec

x

Fext

clear;m=1;D=1;rv=0;rGL=0.01;rt=0;tmax=200;aF=0.1;f=0.1592*1.2;xst=0;vst=0;bild=18;rSchwing3;

Gleitreibung rGL=0.91, Kraftamplitude kleiner (aF= 0.1 statt 1 )

Folglich erkennbare Dämpfung der Schwebung

C:\ro\HOMEPAGE\welcome\fedmass\FedMassSchwing.doc, S 6,6

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

sec

x

Fext

clear;m=1;D=1;rv=0;rGL=0.01;rt=0;tmax=200;aF=0.02;f=0.1592*1.2;xst=0;vst=0;bild=19;rSchwing3;

Gleitreibung rGL=0.01, Kraftamplitude noch kleiner (aF=0.02 statt 0.1)

folglich starke Dämpfung der Schwebung

Anschließend Fremderregung bei turbulenter Reibung ,

Variation der Amplitude aF der Erregerkraft

Man beachte das völlig andere Verhalten im Vergleich zur viskosen Reibung und zur

Gleitreibung! Vgl. den Text in den Bildern!

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-3

-2

-1

0

1

2

3

sec

x

Fext

clear;m=1;D=1;rv=0;rGL=0;rt=0.1;tmax=200;aF=1;f=0.1592*1.2;xst=0;vst=0;bild=22;rSchwing3;

Turbulente Reibung rt=0.1, aber Kraftamplitude gross (aF=1)

Folglich starke Dämpfung der Schwebung

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-0.05

0

0.05

sec

x

Fext

clear;m=1;D=1;rv=0;rGL=0;rt=0.1;tmax=200;aF=0.01;f=0.1592*1.2;xst=0;vst=0;bild=21;rSchwing3;

Turbulente Reibung rt=0.1, Kraftamplitude aF=0.01(also klein),

folglich wenig Dämpfung der Schwebung