fem2_lect1

Nichtlineare FEM

Beispiel: Simulation eines Crash-Tests

• Grosse Verformungen

• Bleibende Verformungen (kein Zurückfedern nach Entlastung)

1HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung

Grundlagen/ Themen der nichtlinearen FEM

FEM für lineare Probleme:

• Vernetzung, Approximation auf Elementen

• Lokale Steifigkeitsmatrizen mit

+ kleinen Verformungen (lineare Kinematik)

+ linear-elastischem Materialverhalten

• Assemblierung, Lasten und Einspannungen, Kinematische Gleichungen

• Aufbau und Lösung der linearen Gleichungssysteme

Nichtlineare Phänomene der Mechanik:

FEM1


Nichtlineare Phänomene der Mechanik:

• große Verformungen/ Dehnungen (nichtlineare Kinematik)

• nichtlineares Werkstoffverhalten

+ nichtlinear elastisch (Hyperelastizität): Gummi, Kunststoffe

+ elastisch-plastisch: duktile Materialien (Baustahl)

Gleichgewicht bei Berücksichtigung nichtlinearer Effekte

• Inkrementierung und lineare Approximation

• Tangentensteifigkeitsmatrix

• Iterationsverfahren

FEM2

Auffrischung

1. Elemente höherer Ordnung führen zu nichtlinearen FE-Modellen:

Ja: Nein:

2. Mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen finde ich die Beziehung zwischen


a) Dehnungen und Verschiebungen

b) Dehnungen und Spannungen

c) Spannungen und äußeren Lasten

Kapitel KW Vorbereitung Termin Labor Termin

K1. Einführung 11V1: Lineare FEM:

Fachwerke 30.3.

K2. Nichtlineare FEM: Fachwerke 13 V2: Tensoranalysis 7.4. L0: ANSYS Intro 24.3.

K3. Kinematik großer Verformungen 15,17 V3: Tensoralgebra 27.4.2010 L1: Linear/ nonlinear beams 7.4.

K4: Spannungen und Gleichgewicht 21V4: Spannungen und

Verzerrungen 10.5.2010

L2: Tensile test: elastic/large

deformation 5.5.

Plan


K5: Nichtlineare Elastizität 23 V5: Lineare Elastizität 25.5.2010 L3: Tensile Test: elastic-plastic 19.5.

K6: Elastisch-Plastische Deformation 25 V6: Plastizität 15.6.2010

L4: Hyperelastic material: rubber

cube 16.6.

K7: Materielle Systeme (Euler, Lagrange,

ALE) L5: Contact 23.6. ??

Gastvorlesungen SS10:

KW 18: Dr. Mesecke-Rischmann (Autoliv): FE-Simulation im geometrisch und physikalisch nichtlinearem Bereich

KW 24: Dr. Rabkin (Vibracoustic): FE-Simulation von Elastomerbauteilen mit hyperelastischen Materialmodellen

Nichtlineare Mechanik/ FEM / Materialtheorie:

• J. Bonet, R.D. Wood, Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis, Cambridge UP 2008

• S. Krenk, Non-linear Modeling and Analysis of Solids and Structures, Cambridge UP 2009

• G.A. Holzapfel, Nonlinear Solid Mechanics, J. Wiley 2000

• H. Parisch, Festkörper-Kontinuums-Mechanik, Teubner Verlag Stuttgart 2003

• K.J. Bathe, Finite Elemente Methoden, 2. Auflage, Springer Verlag 2002

• T. Belytschko, W.K. Liu, B. Moran, Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures, J. Wiley 2000

Literatur


• P. Wriggers, Nichtlineare FEM, Springer Verlag 2002

• J. Rösler, H. Harders, M. Bäker, Mechanisches Verhalten der Werkstoffe, Vieweg 2003

• R. Kreißig, Einführung in die Plastizitätslehre, Fachbuchverlag Leipzig 1992

• Ansys, Theory Reference

Lineare Mechanik (Festigkeit, Elastizitätslehre):

• Gross, Hauger, Schnell, Technische Mechanik 2, Technische Mechanik 4, Springer-Verlag

• Becker, W., Gross, D., Mechanik elastischer Körper und Strukturen, Springer Verlag Berlin 2002

Lektion 1: Einführung in nichtlineare Berechnungen

Inhalt/ Lernziele:

• Spezifik nichtlinearer mechanischer Phänomene und Modelle

• Typen der Nichtlinearität

• Dehnungs- und Spannungsmaße bei großer Verformung (1-D)

• Iterative Bestimmung des Gleichgewichts

• Beispiele und Aufgaben


Lineare und nichtlineare Mechanik

Eine mechanische Konstruktion verhält sich unter statischer Belastung linear, wenn eine

Veränderung der Belastung um Faktor a eine entsprechende Veränderung der Verschiebungen um

denselben Faktor a bewirkt. Andernfalls verhält sich die Konstruktion nichtlinear.

F

2 oF

linear

nichtlinear


u

o

oF

ou 2 ou

nichtlinear

Lineare und nichtlineare FE-Modelle

Das lineare Verhalten von Bauteilen wird

beschrieben durch:

• lineare Differentialgleichungen

(kontinuierlich = für alle x)

• lineare algebraische Gleichungen

(diskret = in ausgewählten Punkten)

Das nichtlineare Verhalten von

Bauteilen wird beschrieben durch

nichtlineare mathematische

Modelle.

Für die numerische Lösung werden

diese Modelle „linearisiert“, d.h. die

Berechnung wird in mehrere lineare

Lösungsschritte unterteilt.

∆f


Ku = f T ∆ ≈ ∆K u f

∆u

∆f

const.≡KSteifigkeitsmatrix [ ]=T ∇K K uTangenten-Steifigkeitsmatrix

Typen nichtlinearer Modelle

Mechanische Modelle der Form Ku=f werden in drei Schritten hergeleitet:

• Gleichgewicht (zwischen inneren und äußeren Kräften: Prinzip der virtuellen Arbeit)

• Materialgesetz

• Kinematik

Ein Modell heißt:

• physikalisch nichtlinear : nichtlineares Materialgesetz

F

u

σσ εε

↔↔↔


• geometrisch nichtlinear: nichtlineare Kinematik

Darüber hinaus führen Kontaktprobleme auf nichtlineare Berechnungsmodelle, selbst wenn sich die

einzelnen Bauteile geometrisch und physikalisch linear verhalten.

δ

u

F

F

uu=δBeispiel aus: P. Wriggers, Nichtlineare FEM, Springer Berlin 2001

bzw.

Wiederholung: Lineare statische Berechnung mit FEM

Ku = f

0= − =r f Ku• f - gegebene äußeren Kräfte, bezogen auf die (Freiheitsgrade in den) Knoten des FE-Modells

• u - Verschiebungen an den Knoten

• K - Steifigkeitsmatrix.

• r - Residuum


Herleitung der Steifigkeitsmatrix:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

m

m T m m m

m V

dV=∑ ∫K B C B

Kinematik + Interpolation

Materialgesetz( ) ( ) ( )

( ) ( )

m m m

m m

σ εε

==

C

B u

( ) ( ):V A

dV F u dAσ δε δ=∫ ∫

( ) ( )( )

( ): :m

m

mV V

dV dVσ δε σ δε=∑∫ ∫

AN BN

Au Bu

l

,E A

Beispiel 1.1: Element-Steifigkeitsmatrix eines Stabelements (lineares Modell)

( ) A A B B

V

dV N u N uσδε δ δ= +∫Gleichgewicht:


elK

Materialgesetz:

Kinematik:

1 1

1 1

T T

A A A A

B B B B

u u u NEA

u u u Nl

δ δδ δ

− = −

Eσ ε=

du

dxε =

LINEAR

Beispiel 1.2. Biegebalken bei Laststeigerung (1/2)

1. Kleine Verformungen

F

w

• Längsverschiebung u << w Durchsenkung � Vernachlässigung u gegenüber w =

unverformte neutrale Faser

• Material elastisch ( = Spannungen proportional zu Dehnungen)

• Modell: Bernoulli-Gleichung (Technische Mechanik Grundkurs)

F

w


( )( )( )( )( )

0

2

0 0

' 0

0 0

IV

III

II

EIw x

EIw l F

EIw

w l

w

=

= −

=

=

=

( ) 3

6F EIk

w l l= =

F

k

( )w l

l

F

Biegebalken bei Laststeigerung (2/2)

Mittellinie, unverformtL dX=unverzerrte Länge

2. Große Verformungen

• Längsverschiebung u darf nicht mehr vernachlässigt werden � Dehnung der neutralen Faser

� nichtlineare Kinematik = geometrische Nichtlinearität.


Gesamtdehnung äußere Faser

w w dw+

dwl dx=verzerrte Länge

22 2

22 :G

l L dw

L dXε − = =

Green‘sche Dehnung

21, ,

2x xu wε = +

Mittellinie, verformt

(Mittellinie)

Dehnungsmaße für große Verformungen (1-D)

l

L

2 2

22 :G

l L

Lε −=• Green‘sche Dehnung:

• Hencky‘sche (logarithmische) Dehnung: : lnl l

H

L L

dl ld

l Lε ε = = =

∫ ∫

2d dε λ ε=lλ =


• Zusammenhang:2

G Hd dε λ ε=l

Lλ = Streckung

• Kleine Verschiebungen: Dehnung = inkrementelle Dehnung bezogen auf unverformte Länge

1, G Hd dλ ε ε ε= = =

� Für kleine Verschiebungen sind beide Dehnungen identisch mit den „engineering strains“

Spannungsmaße für großen Verformungen (1-D)

l L

:T

aσ =• Cauchy:

T

A

Tl

Lλ =

• Kirchhoff: : Jτ σ=


• Kleine Verschiebungen:

T

a• 1. Piola-Kirchhoff: 1:

TP J

Aσ λ −= =

• 2. Piola-Kirchhoff: 2:S Jσλ −=

Lλ =

:v al

JV AL

= =

Volumenquotient

1Jλ = = � Cauchy Spannungen identisch mit „engineering stresses“

Beispiel 1.2: Dehnungen und Spannungen im Zugstab

T

An einem Stab mit Kreisquerschnitt greift die Zugkraft T an. Der Stab wird aus der Ausgangslänge L auf die Länge l gedehnt. Das Material ist linear-elastisch und isotrop, d.h. für die inkrementellen Zuwächse der Dehnung gilt

r ld dε ν ε= −

ldε

1 2J νλ −=


T a) Zeigen Sie die Beziehung

b) Wie groß ist der Radius r des verformten Querschnitts?

c) Berechnen Sie die Green‘sche und Hencky‘sche Dehnung.

d) Berechnen Sie die Cauchy, 1. und 2. Piola-Kirchhoff sowie die Kirchhoff-Spannung.

1 2J νλ −=

Geg : 1m, 1.4m, 4cm, =0.3, 200kNL l R Tν= = = =

u L

G

E

H

εεε


From: S. Krenk, p. 20.

),,,,,,(2

1

),,,(2

1

),,,(2

1

222

222

yxyxyxxy

yyyy

xxxx

wwvvuuy

u

x

v

wvuy

v

wvux

u

+++∂∂+

∂∂=

+++∂∂=

+++∂∂=

γ

ε

ε

Theorie: Dehnungen bei großen Verschiebungen

Nichtlineare Kinematik Bei großen Verformungen müssen die

nichtlinearen Anteile der Verschiebungen an

den Dehnungen einbezogen werden.

Diesen Effekt nennt man geometrische

Nichtlinearität.

Finite Elemente für lineare Statik und

Dynamik beinhalten nur die linearen Anteile.


y

u

x

v

y

vx

u

xy

y

x

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂=

γ

ε

ε

Lineare Kinematik (Dehnung-Verformung)

Annahme: kleine Verschiebungen

21, ,

2x x xu wε = +Balken, große Durchbiegung:

Biege-Normalspannungen nach Bernoulli Normalspannungen entsprechend Dehnung der neutralen Faser

Theorie: Lineare und nichtlineare Differential-Gleichungen

2

2

4

4 ),(),(

t

txWA

x

txWEI

∂∂=

∂∂ ρ

• Lineare DGL (Schwingung eines Balkens)

Koeffizienten hängen nicht von unbekannter Funktion ab

Ableitungen der Funktion kommen nur in 1. Potenz vor

Konstruktionen bestehen i.a. aus kontinuierlichen Bauteilen: Balken (1-D), Schalen (2-D), Massivteile (3-D).

Grundlage der Berechnung sind Differentialgleichungen (DGL). Die Unbekannten in den DGL sind Funktionen (z.B. Verschiebungen), die kontinuierlich von den Ortsvariablen abhängen. Mit diesen Gleichungen kann die Bewegung an jedem Punkt der Bauteile berechnet werden.


• Nichtlinearen DGL : eine oder beide obige Charakteristika sind nicht erfüllt. Beispiel: Dehnungen bei großen Verschiebungen

Mit der FEM werden kontinuierlicher Bauteile wiederum diskretisiert, d.h. die Bewegung wird nur noch an einzelnen Punkten (Knoten des FE-Modells) berechnet. Die linearen DGL werden dabei überführt in lineare algebraische Gleichungssysteme. Für nichtlineare DGL wird die Lösung in einzelne Schritte unterteilt. Innerhalb eines jeden Schritts wird ein genähertes lineares Modell erstellt und gelöst.

),,,,,,(2

1

),,,(2

1

),,,(2

1

222

222

yxyxyxxy

yyyy

xxxx

wwvvuuy

u

x

v

wvuy

v

wvux

u

+++∂∂+

∂∂=

+++∂∂=

+++∂∂=

γ

ε

ε

{ }, ,u v w=u

F

w

Spannungsversteifung (Stress Stiffening)

Beobachtung: Durchsenkung bei nichtlinearer Rechnung ist kleiner als bei linearer

Rechnung – warum?

Erklärung: neutrale Faser wird gezogen � Normalspannung σ.

Theorie: Gleichgewicht am verformten Balken (Theorie 2. Ordnung!) � z-Komponente von σ wirkt der äußeren

= spezieller Effekt der geometrischen Nichtlinearität bei Biegung (Balken, Platten, …)


F

σ σ

Theorie: Gleichgewicht am verformten Balken (Theorie 2. Ordnung!) � z-Komponente von σ wirkt der äußeren

Last entgegen:

Große Verschiebungen � Umverteilung der Spannungen

� Lastaufnahme höher als nach linearer Rechnung vorhe rgesagt.

3. Lokale Plastifizierung

FF

w

Biegebalkens bei Laststeigerung/ Fortsetzung


• Längsverschiebung u ~ w darf nicht mehr vernachlässigt werden � nichtlineare Kinematik = geometrische

Nichtlinearität (Stress Stiffening)

• Elastisch-Plastisches Materialverhalten, d.h. großer Dehnungszuwachs bei geringer Spannungssteigerung,

bleibende Verformungen nach Entlastung = nichtlineares Spannungs-Dehnungsdiagramm = physikalische

Nichtlinearität

F

w

Physikalische Nichtlinearität (nichtelastisches Material)

σσσσ

εεεε

Fließgrenze

Elastisch:

εσ E=


εεεε

Fliessen

Verfestigung

( )fσ ε ε= ɺɺ

Elastisch-Plastisch:

1. geometrisch und physikalisch linear

2. geometrisch nichtlinear

F

w

F

w

F

Biegebalkens bei Laststeigerung/ Zusammenfassung


3. geometrisch und physikalisch nichtlinearw

F

w

Praktische Konsequenz bei linearer Festigkeits-Berechnung

Das Bauteil verhält sich unter realer Beanspruchung:

F F

geometrisch nichtlinear geometrisch und physikalisch nichtlinear


w w

Messung/ nichtlineare Berechnung

lineare Rechnung mit gleicher Last

Berechnete Durchbiegungen sind zu groß:

� Tragfähigkeit nicht voll ausgenutzt.

� Vergleichspannung fehlerhaft.

Berechnete Durchbiegungen sind zu klein.

� Tragfähigkeit wird überschätzt!

Zusammenfassung (1/3): Lineare und nichtlineare Berechnung mit FEM

F

Linear

F

1nF +oF

( )K u

Nichtlinear


uou

const.K ≡

u1nu +

1

Geg:

Ges:

Lsg:

o

o

o o

F

u

u F−=

K

1

1

11 1

Geg: ,

Ges:

Lsg:

n n

n

n T n

F u

u

u F

+

+

−+ +∆ = ∆

K

nu

( )T nK u

Steifigkeitsmatrix Tangenten-Steifigkeitsmatrix

( )11 1 n n T n nu u F F−

+ +⇒ ≈ + −K

Linear Nichtlinear

Gleichgewicht

an unverformtem Volumen an verformtem Volumen

Material

Hooke‘sches Gesetz Elastisch, Hyper-Elastisch, Elastisch-

Plastisch, …

( ) ( ):V A

dV F u dAσ δε δ=∫ ∫ ( ) ( ):v a

dV F u dAσ δε δ=∫ ∫

ij ijkl klCσ ε=( )( )

σ = σ ε

σ = σ εɺ ɺ ɺi i i

Zusammenfassung (2/3): Modellbildung


Kinematik

• „engineering strains“

•Green-Almansi Dehnungen

• logarithmische Dehnungen

L l L

L Lε ∆ −= =

2 2

22 G

l L

Lε −=

l

L

L

dl

lε = ∫

( )σ = σ εɺ ɺ ɺi i

Typ der Berechnung Typische Formulierung Spannungs-/ Verzerrungsmaß

Nur materiell nichtlinear Nichlineares Materialgesetz Grundkurs Technische Mechanik „engineering“

stresses/ strains

Große Verschiebungen ,

große Rotationen, kleine

Verzerrungen

Total Lagrangian (TL)

Updated Lagrangian (UL)

2. Piola-Kirchhoff‘scher Spannungstensor,

Green‘scher Verzerrungstensor

Cauchy‘scher Spannungstensor, Almansi‘scher

Verzerrungstensor

Große Verschiebungen , Total Lagrangian (TL) 2. Piola-Kirchhoff‘scher Spannungstensor,

Tabelle 1: (nach K.J. Bathe)

Zusammenfassung (3/3): Klassifikation nichtlinearer Berechnungen


Große Verschiebungen ,

große Rotationen, große

Verzerrungen

Total Lagrangian (TL)

Updated Lagrangian (UL)

2. Piola-Kirchhoff‘scher Spannungstensor,

Green‘scher Verzerrungstensor

Cauchy‘scher Spannungstensor, Logarithmischer

Verzerrungstensor

Weitere Berechnungstypen:

• Kontakt,

• Fluid-Struktur-Interaktion

Formulierungen: Eulerian, Arbitrary Lagrange-Eulerian (ALE)

Anhang: Beispiele, Illustrationen, Aufgaben

B1.3: System mit großen Rotationen und Verschiebungen

Illustration: Klassifikation nichtlinearer Berechnungen

B1.6: Kontakt

B1.4: Durchschlagsproblem

B1.5: Zugstab elastisch-plastisch

Illustration: Inkrementelle Vorgehensweise bei nichtlinearer Berechnung

Aufgaben

Illustration: Steifigkeitsmatrix des Bernoulli-Balkens bei großen Verformungen


Illustration: Steifigkeitsmatrix des Bernoulli-Balkens bei großen Verformungen

Aufgaben (Vorkenntnisse)

Beispiel 1.3: System mit großen Rotationen und Verschiebungen

(aus: Gross, Hauger, Schnell, Aufgaben zur TM)


• Lineares Materialverhalten (Drehfeder); Verformung an Stab vernachlässigt.

• Große Rotationen � nichtlineare Bewegungsgleichung

• Kleine Schwingungen um die Gleichgewichtslage � lineare Schwingungsgleichung

Am Massenpunkt treten auch große Verschiebungen auf:

sin

(1 cos )

w l

u l

ϕϕ

== − −

,x u

,z w

ϕ

Illustration: Klassifikation nichtlinearer Berechnungen (Bathe Bild 6.1)

a) linear-elastisch

b) Nur materiell nichtlinear

c) Große Verschiebungen und Rotationen, kleine Verzerrungen

d) Große Verschiebungen und Rotationen, große Verzerrungen und nichtlineares Materialverhalten


Beispiel 1.4: Durchschlagsproblem

0ϕ

L

RDie skizzierte Konstruktion aus zwei gelenkig verbundenen und gelagerten Stäben wird durch eine transversale Kraft am Zwischengelenk belastet. Ein seitliches Ausknicken der Konstruktion wird verhindert.

Es ist die Verschiebung am Last-Angriffspunkt in Abhängigkeit von der Last R zu berechnen. Dabei wird langsame Last-Steigerung angenommen und das Eigengewicht der Stäbe vernachlässigt. Für die Stabkraft gilt d. lineare Materialgesetz

in dem k eine elastische Konstante und δ die Verlängerung des Stabs bezeichnen.

F kδ=

8

10x 10-3 Snap-through problem for slab

Kra

ft

Lösung:


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-4

-2

0

2

4

6

u/L

R/2

kL

Durchsenkung in Richtung der Kraft

Kra

ft

u=0:0.002:0.6;s15=sin(15/180*pi);r=( -1 + 1./sqrt(1-2*u*s15+u.^2) ).*(s15-u);plot(u,r,'linewidth',3)grid on; fs=18;title('Snap-through problem for slab','fontsize',fs)xlabel('u/L','fontsize',fs); ylabel('R/2kL','fontsize',fs);set(gca, 'fontsize', fs)

Beispiel 1.5: Zug-Druckstab, elastisch/ plastisch (Bathe Beispiel 6.1)

Ein beidseitig eingespannter Zug-Druck-Stab wird wie skizziert a) durch

eine Kraft R belastet. Der zeitliche Verlauf der Belastung ist in c) skizziert.

Das Materialverhalten ist elastisch-plastisch, s. Skizze b).

Es ist der zeitliche Verlauf der Verschiebung am Last-Angriffspunkt zu


Es ist der zeitliche Verlauf der Verschiebung am Last-Angriffspunkt zu

berechnen.

Beispiel 1.6: Kontakt (Bathe Beispiel 6.2)

Ein vorgespanntes Seil nimmt in der Mitte zwischen den Lagern eine transversale Last auf. Unter dem Seil befindet sich in Abstand wgap eine Feder.

Es ist die Verschiebung am Last-Angriffspunkt in Abhängigkeit von der Last R zu berechnen. Dabei wird langsame Last-Steigerung angenommen.


Gegeben:

• äußere Lasten:

• FE-Modell (Knotenschnittkräfte)

( ) tt= =F F F

( )t tu=T T

0t t− =F TGesucht:

• Verschiebungen so daß zu jedem Zeitpunkt t. t u

t

( )R t

Lösung: i.a. inkrementell, d.h. in mehreren Zeitschritten( )R t t△

Illustration: Inkrementelle Vorgehensweise bei nich tlinearer Berechnung


Lösung: i.a. inkrementell, d.h. in mehreren Zeitschritten

ttu t tu+△

Ausgehend von bereits berechnetem mit

(1)

und gegebenem wird gesucht so dass für

(2)

( )t t tu=T T

0t t− =F Tt t+ F△

0t t t t+ +∆− =F T△

t t+ u△ ( )t t t tu+∆ +∆=T T

Rechnungen innerhalb des Lastinkrements

t t t

t

+ = +=

T T T

T K u

△△

△ △

Es wird ein linearer Zusammenhang zwischen Lastzuwachs und Verschiebungszuwachs angenommen:

Die Tangentensteifigkeitsmatrix wird jeweils aus den Ergebnissen des vorherigen Lastschritts errechnet t

tt

∂=∂

TK

u

(3)

(4)

(5)

Linearisierung!


∂ u

Aus (1) — (5) folgt die Berechnungsvorschrift:

t t t t

t t t

+

+

= = −= +

K u F F F

u u u

△

△

△ △

△(6)

Wegen der Linearisierung (4) kann man nicht davon ausgehen, dass mit den Verschiebungen (6) berechneten Knotenkräfte

die wesentliche Gleichgewichts-Bedingung (2) erfüllen.

( )t t t t+ +=T T u△ △

Effekt der Linearisierung

t=F K u△ △

tt

t

∂=∂

FK

u

Je nach Größe des gewählten Lastinkrements kann die Annahme (4) zur Verfälschung des Ergebnisses führen:

( )F u

t F

t t+ F△


( )u t

t K

berechnetu△ gesuchtu△

Im allgemeinen sind Iterationen innerhalb jedes Lastschrittes erforderlich, um (2) mit einer vorgegebenen Fehlertoleranz zu erfüllen!

Aufgaben

Aufgabe 1.1. Berechnen Sie die Durchbiegung in der Mitte des frei drehbar gelagerten Balkens (Folie 10)

a) aus dem Randwertproblem (analytische Lösung)

b) mit FEM (ein Element der Länge l) nach Bernoulli Theorie (schubstarr)

c) mit FEM (ein Element der Länge l) nach Timoshenko Theorie (schubweich)

Warum sind die Ergebnisse aus a) und b) trotz grober Vernetzung identisch, aber verschieden von c)?

Hinweis: Diskutieren Sie die jeweils verwendeten Formfunktionen.

3

Lösung c): 8

Fl Fw

EI GAκ= +

Aufgabe 1.2. Auf Folie 11 ist die Green Dehnung am Balken bei großer Verschiebung gegeben.

a) Leiten Sie den Zusammenhang aus der Geometrie her.

b) Der Deformationsgradient ist definiert als (einachsig) . 1x dxF

∂= =


Aufgabe 1.3. Zeigen Sie den Zusammenhang zwischen Hencky und Green Dehnungen (Folie 12)2

G Hd dε λ ε=

Aufgabe 1.4. Lösen Sie die Aufgabe aus Beispiel 1.3.

Hinweis: Momentensatz, Gleichgewicht wenn , Schwingung mit Ansatz

b) Der Deformationsgradient ist definiert als (einachsig) .

Wie lautet der Zusammenhang zwischen Deformationsgradient und Green-Dehnung?

111

1

FX dX

= =∂

( )211 11

1Lösung c): E 1

2G E F= = − ( )1Allgemein (3-D):

2T −E = F F I

3 3 1 3 3,

2T

gc mgl

lω

π π

= = +

0ϕ =ɺɺ 0ϕ ϕ ψ= +

Vorkenntnisse 1

Frischen Sie Ihre Kenntnisse zur Lösung nichtlinearer Gleichungen mit Newton- bzw. Newton-Raphson Verfahren auf!

Zu empfehlen sind Darstellungen mit Beispiel-Programmen, z.B. meine Suche in Google mit „Newton-Raphson matlab“

http://numericalmethods.eng.usf.edu/mtl/gen/03nle/index.html

http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/loadFile.do?objectId=4313&objectType=file

f(x)


f(xi)

f(xi+1)

xi+2 xi+1 xi X

θ

( )[ ]ii xfx ,

Vorkenntnisse 2

Grundbeziehungen für Spannungen und Dehnungen in elastischen Körpern. Wichtigste Beziehungen:

( )0

, 0

1, ,

2

ij j i

ij j i

ij ij ij

ij ji i j j i

f

n t

s

u u

e

σσσ σ δ

ε ε

ε ε δ

+ =

=

= +

= = +

= +

• Gleichgewicht am Volumselement

• Gleichgewicht an der Oberfläche

• Zerlegung des Spannungstensors in hydrostatischen und

deviatorischen Anteil

• Verzerrungstensor

• Zerlegung des Verzerrungstensors


0ij ij ij

ij ijkl kl

e

E

ε ε δσ ε

= +

=

• Gross, Hauger, Schnell, Technische Mechanik 2, Technische Mechanik 4

• Becker, Gross, Mechanik elastischer Körper und Strukturen, Springer Verlag Berlin 2002

Literatur:

• Zerlegung des Verzerrungstensors

• Elastisches Materialgesetz

Vorkenntnisse 3: FEM für kleine Verschiebungen, elastisches Material

Regel 1: Mittels FEM werden Systemvariable (z.B. Verschiebungen) an ausgewählten Punkten (Knoten)

eines Berechnungsgebietes (z.B. einer mechanischen Struktur) numerisch bestimmt. Zur Herleitung der

dazu benötigten Gleichungen wird das Gebiet in finite Elemente unterteilt. Durch numerische Auswertung

von mechanischen Beziehungen innerhalb der Elemente werden die relevanten Eigenschaften der Systeme

(z.B. Steifigkeit, Masse) in den Knoten konzentriert.

Beispiel: Man berechne die Verschiebungen in einer abgesetzten Welle unter Zug.

1l 2l 3l

F


1EA 2EA 3EA

Lösung (elementar):

x

( )u x

11

1

F lu

E A= 1 2

21 2

l lu F

E A E A

= +

1 2 33

1 2 3

l l lu F

E A E A E A

= + +

2u1u 3u 4uR

F(1) (2) (3)

(1)1F (1)

2F (2)2F (2)

3F (3)3F (3)

4F

Assemblierung der Element-Steifigkeitsmatrizen

(1)1 0R F− = (1) (2)

2 2 0F F− − = (2) (3)3 3 0F F− − = (3)

4 0F F− + =

• Knoten: Gleichgewicht von inneren und äußeren Kräften


( )34 3

3

EAu u F

l− =

( )

( )

(1) 11 1 2

1

(1) 12 2 1

1

EAF u u

l

EAF u u

l

= −

= −

• Elemente: Ersetzen der inneren Kräfte durch Verschiebungen

( )

( )

(2) 22 2 3

2

(2) 23 3 2

2

EAF u u

l

EAF u u

l

= −

= −

( )

( )

(3) 33 3 4

3

(3) 34 4 3

3

EAF u u

l

EAF u u

l

= −

= −

( )11 2

1

EAu u R

l− = ( ) ( )1 2

2 1 2 31 2

0EA EA

u u u ul l

− + − = ( ) ( )2 33 2 3 4

2 3

0EA EA

u u u ul l

− + − =

1u

• Knoten: Bestimmungsgleichungen für Verschiebungen

2u 3u4u

� �

1 11

1 1

1 1 2 22

1 1 2 2

3 32 23

2 2 3 3

3 34

3 3

0 0

0 0

0 0

0 0

EA EAu R

l l

EA EA EA EAu

l l l l

EA EAEA EAu

l l l l

EA EAu F

l l

− − + − =

− + − −

u��

Assemblierung: Zusammenfassung der Knotengleichungen in Matrixform:

Knoten 1:

Knoten 2:

Knoten 3:

Knoten 4:

(4)


� �3 3 Fu

K��

Ku = F

Steifigkeitsmatrix (Stiffness Matrix)

Regel: Für jeden Freiheitsgrad an jedem Knoten ergibt sich genau eine Gleichung der Form:

Linke Seite = Resultierende der inneren Kräfte … Rechte Seite = Resultierende der äußeren Kräfte …

… in Richtung des Freiheitsgrades Ku = T F= − =R F T 0

Illustration: Steifigkeitsmatrix eines Stabelements mit großen Verschiebungen.

1u2u

1w2w

, ,E A L

( )V

dVσδε∫Materialgesetz: Eσ ε= LINEAR

vgl: Beispiel 1.1.


V

elK

Materialgesetz:

Kinematik:

( )1 1

1 12 1

2 2

2 2

1 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0,

1 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0

Tu u

w wEA FF EA u u

u uL L

w w

δδδδ

− − + = −

− −

Eσ ε=

( )21' '

2u wε = +

LINEAR

NICHTLINEAR

elGK

Illustration: Steifigkeitsmatrix eines Stabelements mit großen Verschiebungen (2/2)

The resultant strain is:

3.4.3. ImplementationThe stress-stiffness matrices are derived based on (3–35), but using the nonlinear strain-displacement relationships given in (3–58)

For a spar such as LINK8 the stress-stiffness matrix is given as:

Ansys Theory Reference,

Chapter 3: Structures


( )1 1

1 12 1

2 2

2 2

1 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0,

1 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0

Tu u

w wEA FF EA u u

u uL L

w w

δδδδ

− − + = −

− −

Chapter 3: Structures

with geometric

nonlinearities

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