Finale Vorbereitung auf die sRDP-Angewandte Mathematik 2016 · 1 Finale Vorbereitung auf die...

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Finale Vorbereitung auf die sRDP-Angewandte Mathematik 2016

Seminar, Innsbruck, 8.und 9.September 2015, 3 Halbtage

Brigitte Wessenberg

1. A-Aufgaben der sRDP Speziell: Bewegung, Geometrie, naturwissenschaftlicher Kontext

2. Die neuen Aufgabenformate

Bewegung, Geometrie, Naturwissenschaft

3. B-Aufgaben der sRDP

Finanz- und Wirtschaftsmathematik, Matrizen

4. Die Mündliche Reifeprüfung, Aufgaben u. Zusatzfragen/Bewertung

Es werden einige wichtige Themen zu A-Aufgaben, zu B-Aufgaben und zur mündlichen Reife-prüfung anhand von Übungen und Aufgaben zumeist aus den schon abgehaltenen Klausuren besprochen.

Mit TI82 wird je eine Aufgabe exemplarisch durchgerechnet. Auch auf Geogebra, EXCEL und TI-Nspire wird auf Anfrage der Teilnehmer/innnen eingegangen.

Zudem ist Diskussionsmöglichkeit zur Beantwortung und Klärung von noch offenen Fragen vorgesehen.

Der Einfachheit halber wird auf Genderorientierung verzichtet. Schüler = Schüler/in; Lehrer = Lehrer/in

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1. A-Aufgaben mit TI 82plus

A: Die Aufgaben dieses Kapitels sollen mit Technologeieinsatz gelöst werden

1.1 Bewegungsaufgabe (5P)

Prüfungsaufgabe BIFIE

Zusatzfragen: e) – Zeichnen Sie die Ableitungskurve von s.

– Interpretieren Sie die Fläche zwischen der Abszisse und der Kurve im Intervall [10s; 50 s] im Sachzusammenhang.

f) – Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeitsänderung im Intervall [30s;45s] – Interpretieren Sie das Ergebnis.

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Was muss der Schüler über die Größen in der Bewegungslehre wissen Zeit t in Zeiteinheiten Jahr a, Stunde h , Minute min, Sekunde s

Zurückgelegter Weg s in Meter: km, m, cm… Geschwindigkeit v in km/h, m/s … Beschleunigung a in m/s²… Üblicherweise verwendet man Meter und Sekunden, im Straßenverkehr aber vielfach Kilometer und Stunden. Umrechnung: 1km/h = 3,6-1 m/s 1m/s = 3,6 km/h

Mittlere Geschwindigkeit= Wegstrecke zwischen 𝟐 𝐏𝐮𝐧𝐤𝐭𝐞𝐧 der Bahnkurve

Zeitintervall

vm = 𝛥𝑠

𝛥𝑡 … Differenzenquotient

Momentane Geschwindigkeit = Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeit-punkt

v(t) = 𝑑𝑠

𝑑𝑡 = s ‘(t)… Differenzialquotient

Mithilfe der Umkehrung wird die Wegfunktion berechnet: s(t) = ∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡

Mittlere Beschleunigung = Änderung der Geschwindigkeit 𝐳𝐰𝐢𝐬𝐜𝐡𝐞𝐧 𝟐 𝐙𝐞𝐢𝐭𝐩𝐮𝐧𝐤𝐭𝐞𝐧

Zeitintervall

am = 𝛥𝑣

𝛥𝑡 … Differenzenquotient

Momentane Beschleunigung= Beschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt

a(t) = 𝑑𝑣

𝑑𝑡 = v ‘(t) … Differenzialquotient

Mithilfe der Umkehrung wird die Geschwindigkeitsfunktion berechnet: v(t) = ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡

a(t) = 𝑑²𝑠

𝑑𝑡² = s ‘‘(t)… Die Beschleunigung ist die 2. Ableitung des Weges nach der

Zeit. Mithilfe der Umkehrung kann durch zweimaliges Integrieren der Beschleuni-gungs-funktion die Wegfunktion bestimmt werden: s(t)=∫ v(t)dt = ∬ a(t)dt²

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Lösung der Aufgabe mit TI 82 +

a)

Y= | Y 1 = - x^3/180+x^2/2 | ENTER

Y1 erhält man über: VARS | Y VARS 1: Function |1: Y1

Y1(60)

Der zurückgelegte Weg beträgt 600 m.

Oder:___________________________________________________

2. Variante (erfordert die richtige Window-einstellung!)

zB Window:

Xmin = –0.3

Xmax = 60

Xscl = 10

Ymin = –10

Ymax = 650

Yscl = 10

Xres = 1

2nd CALC | 1: value|enter| X = 60 600

b) Y1 (45) – Y1 (30) ENTER

/15 ENTER

Die mittlere Geschwindigkeit des Zugs in diesem Intervall beträgt 13,75 m/s.

c) MATH| 8: nDeriv(Y1,X,45)

Die Momentangeschwindigkeit nach 45 s beträgt 11,25 m/s.

d) Die Momentangeschwindigkeit ist die (momentane) Änderungsrate der Weg-Zeit-Funktion und entspricht geometrisch der Steigung des Graphen der Weg-Zeit-Funktion.

Der Graph der Weg-Zeit-Funktion hat die größte Steigung und damit die maximale Momentangeschwindig-keit im Wendepunkt bei 30 Sekunden.

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1.2 Elementare Geometrie (2 P)


Was muss der Schüler über die Flächen- und Volumsberechnungen wissen Elementare Sätze zum rw. Dreieck:

Die wichtigsten elementaren Flächenberechnungen: Rechtecke (Quadrate), Dreiecke, Parallogramme, Trapeze, Drachenfiguren, Kreis, Kreisausschnitt Die wichtigsten elementaren Volumsberechnungen an: Quader(Würfel), Prismen (beliebige Grundfläche), Zylinder (gerade), Pyramide (gerade mit regelmäßigem Vieleck als Grundfläche), Drehkegel (gerade), Kugel. Ganz wichtig: Umgang mit der Formelsammlung für Kreisausschnitt, Kugelkappe etc…

In den meisten Fällen rechnet man hier über Formeln entweder mit einfachen Rechnerfunktionen oder bei Gleichungen über den Solver bzw Matrix bei Gleichungssystemen. Wichtig zu beachten sind allerdings die Umrechnungen der Einheiten! Sorgfältiges Lesen!

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Lösung der Aufgabe mit TI82+:

Ansatz: Gesucht ist das Volumen in Liter das mit 0,3 multipliziert werden muss: Ansatz und eine einfache TR-Funktion geht am schnellsten: 0,6375 Kilogramm werden benötigt

1.3 Trigonometrie (4 P)


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Was muss der Schüler über die Trigonometrie wissen?

Winkelbezeichnungen:

Winkelmessung in Grad und im Bogenmaß:

Winkelfunktionen im rw. Dreieck:

Zusammenhang der Winkelfunktionen:

Steigungswinkel:

Für allgemeine Fragen sollen auch die Winkel im Einheitskreis bekannt sein:

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Lösung mit TI 82+

a)

MODE: DEGREE

c² = a² + b²; h = 108

108/TAN(38.45)| ENTER| STO⊳ ALPHA A

108/TAN(27.73)|ENTER| STO⊳ ALPHA B

2ND X² ((ALPHA A | x² | + ALPHA B | x² |) ENTER

Die Entfernung der Boote beträgt rund 246,40 m.

c) Die Erklärung des Lehrers ist falsch.

Begründung: Der Winkel muss im Intervall 0 < 𝛼 < 90° liegen. Es gilt dann: ℎ

𝑎= tan(𝛼)

ℎ

2𝑎=

1

2 tan (𝛼)

1

2 tan (𝛼) ≠ tan (

𝛼

2)

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1.4 Naturwissenschaftlicher Kontext


Was muss der Schüler bei Aufgaben mit naturwissenschaftlichem Kontext wissen?

Im Prinzip braucht er für eine solche Art von Aufgaben kein naturwissenschaftliches Wissen. Aber wichtig sind das genaue Lesen, mathematische Modellieren und Transferieren und beim Operieren das Beachten der Einheiten, von Maßstab und der meist angegebenen Definitionen. Es wird erwartet, dass man alle Formeln, wie immer sie ausschauen mögen, beliebig umformen kann und sie auch mathematisch zu interpretieren versteht. Diagramme soll man lesen können

Es wird erwartet, dass man Vorsilben und Zehnerpotenzen bei Zahlen kennt.

Das Problem für HUM-Schüler:

Sie lassen sich von so einem Text leicht einschüchtern und überspringen womöglich eine solche Aufgabe.

Unbedingt Mut machen! die Aufgaben sind meist sehr einfach bewältigbar

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Lösung der Aufgabe mit TI82+

a) Verhältnis aus den gegebenen Zahlen bilden.

Mittlere Radien von Mars und Jupiter und (3 400 : 71 490)

42 mit dem Ergebnis multiplizieren

Einfache Rechnerfunktion verwenden.

Modell Mars sollte einen Radius von ca. 2 cm haben.

b)

Verhältnis der kubischen Radien (oder auch der gesamten Bahnachsen) bilden, möglichst bereits in der richtigen Reihenfolge, so dass man nicht umformen muss.

4 498252 900^3 / 1495 97 890^3 Enter u2², daher Wurzelziehen.

2nd Ans ^0.5

Umlaufzeit des Neptun beträgt rund 165 Jahre.

c) Maßstab beachten 108 km ≙ 1cm, Umrechnung mit 10 –8 , Kein Rechner notwendig! Erde ≈1,5 cm; Saturn ≈14,3 cm

Händisch Zeichnen, kein Rechner

Weitere bereits gegebene Klausuraufgaben zum Thema siehe Zusammenstellung unter

http://teaching.schule.at/Mam/Innsbruck/klausuraufgaben.pdf


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2. Die neuen Aufgabenformate

2.1 Konstruktionsaufgaben (bereits Matura 2016)

Ein Diagramm oder eine Grafik ist vorgegeben. Die Aufgabenstellung erfordert die Ergänzung von Punkten und/oder Geraden und/oder Kurven und/oder Skalierungen bzw. Achsenbeschriftungen im Diagramm bzw. in der Grafik.

Beispiel 1: Kein Technologieeinsatz notwendig


Beispiel 2:


Tabelle mit Ti 82 + erstellen 50 = 100a6 a= 0,5^(1/6) speichern in A

STAT/EDIT/enter/L1 Enter/ 2nd List/ OPS/5:seq (x,x,1,10)/ enter

L2 Enter/ 100*alpha A ^L1/enter

Die Punkte können dann hän-disch eingetragen werden.

Einfacher: Funktion eingeben und Table anzeigen lassen!

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2.2 Multiple-Choice-Antwortformat (1 aus 5) ab 2017

Dieses Antwortformat ist durch einen Fragenstamm und 5 Antwortmöglichkeiten gekennzeichnet. Die zutreffende Antwortmöglichkeit wird angekreuzt: 1 Punkt C

Diese Aufgabe wird ohne Technologie-einsatz gelöst. Für den Einsatz von Technologie wäre nämlich gerade die Überlegung notwen-dig, die ohnehin schon die Antwort wäre, nämlich dass der Punkt (6|12,5) im v(t)-Diagramm ein Punkt auf einer Ur-sprungsgeraden sein muss. Es kommt daher nur das vorletzte Dia-gramm in Frage. Bei den weiteren Gera-den stimmen die Achsenbeschriftun-gen nicht. ÜTA-BIFIE

Die Aufgabe wird ohne Technologie-einsatz gelöst. Betrachtung der Grafik: Geschwindigkeit nimmt 20 s zu und dann ab. Nullstellen null und 40 Sekunden, Maximum bei 20 Sekunden. Ankreuzen: Es ist die Beschleunigung gefragt. D.h. es geht um die Ableitungsfunk-tion, das ist eine fallende Gerade, mit Nullstelle im Maximum der v(t)-Funktion. die 3. Zeile ist anzukreuzen. ÜTA-BIFIE

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2.3 Zuordnungsformat (2 zu 4) ab 2017

Dieses Antwortformat ist durch 4 Aussagen (bzw. Tabellen oder Abbildungen) gekennzeichnet, denen 2 Antwortmöglichkeiten zugeordnet werden, wobei eine Aussage jeweils nur einer Antwortmöglichkeit zugeordnet wird.

Ein Goldschmied produziert kreisrunde Schmuckstücke nach bestimmten De-

signvorlagen. Für einen Kettenanhänger vergrößert der Goldschmied den Kreis

aus seiner Vorlage.

Ordnen Sie den beiden Aussagen jeweils die richtige Berechnung aus A-D zu.

Auch hier benötigt man kei-nen Technologieeinsatz. um 50 % vergrößern r2 = 1,5 r1 Fläche 1,5² = 2,25 also D verdoppelt r2 = 2 r1 Fläche 2² = 4 also C De Buchstaben schreibt man ins leere Feld neben den Aussagen.

ÜTA BIFIE

Im Mai zeigen erfahrungsgemäß 73 % aller Kinder eine allergische Reaktion auf

Pollen. 35 Kinder werden untersucht.

Ordnen Sie den beiden Aussagen jeweils die richtige Formel aus A-D zu.

Es tritt bei maximal 27 Kindern eine allergische

Reaktion auf.

A 1 − ∑ (35𝑘

)

7

𝑘=0

⋅ 0,73𝑘 ⋅ 0,2735−𝑘

B ∑ (35𝑘

)

27

𝑘=0

⋅ 0,73𝑘 ⋅ 0,2735−𝑘

Es tritt mindestens 8 Kin-dern eine allergische Re-

aktion auf.

C ∑ (35𝑘

)

8

𝑘=0

⋅ 0,73𝑘 ⋅ 0,2735−𝑘

D 1 − ∑ (35𝑘

)

27

𝑘=0

⋅ 0,73𝑘 ⋅ 0,2735−𝑘

ÜTA BIFIE

Binomialverteilung 0,73 positiv n = 35 max 27 B mindestens 8 A

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3. B_Aufgaben mit TI 82 plus

A: Die Aufgaben dieses Kapitels sollen mit Technologieeinsatz gelöst werden.

3.1 Finanzmathematik (7 P)

ÜTA, BIFIE

Zusatzfragen: d) – Berechnen Sie die Tilgungsrate und die Restschuld am Ende des 2. Jahrs für einen Kredit von € 66.700 bei einer jährlichen Annuität von € 15.700 und einer Laufzeit von 5 Jahren.

e) Herr Maier vereinbart mit dem Verkäufer, dass er eine Anzahlung von € 13.340 sofort leistet, nach 1 Jahr € 30.000 und den Rest nach dem 2. Jahr bei einem Zinssatz von 5 % p.a.

– Berechnen Sie, wie hoch die Zahlung nach dem 2. Jahr sein muss.

Was muss der Schüler über die Finanzmathematik wissen?

Zinssatz i = p % p.a. ist der Prozentsatz, der die Zinsen für ein Jahr angibt.

Zinsperiode: 5% pro Jahr (p. a.), 4% pro Semester (p. s.), 2% pro Quartal (p. q.), 1% pro Monat (p. m.). Einfache oder kaufmännische Verzinsung: die Zinsen vom Ursprungskapital berechnet. dekursive Verzinsung: die Zinsen am Ende jeder Zinsperiode Tageberechnung: Teile einer Zinsperiode mit deutscher Usance 30/360: Verzinsungsdauer bei Spareinlagen in Österreich: Beginn ist 1 Werktag nach dem Tag der Einzahlung, Ende ist der Kalendertag vor der Abhebung Kapitalertragsteuer KESt berücksichtigt: der gegebene Zinssatz wird mit 0,75 multipliziert

Einfache Verzinsung: Zinsen 1 Jahr

= K0 ∙ i mit i = p % = bzw. n Tage

= K0 ∙ i ∙ 𝑛

360

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Zinseszins Endwerts eines Kapitals nach n Jahren mithilfe von Zinseszins lautet: Kn = K0 ∙ (1+ i)n

r = 1 + i … Aufzinsungsfaktor. Gemischte Verzinsung: Ganze Verzinsungsperioden werden mit der Zinseszinsformel, Teile eines Jahres mit einfachen Zinsen berechnet Theoretische Verzinsung: n mit nichtganzzahligen Werten werden als Teile des Jahres interpretiert. Unterjährige Verzinsung: 1. Relative unterjährige Zinssätze. Man geht hier vom nominellen Jahreszinssatz j aus und unterteilt ihn in

m gleiche Teile im = 𝑗

𝑚 . Der Endwert für n Jahre wird mit der Zinseszinsformel berechnet:

Kn = K0 ∙ (1+im )n∙m = K0 ∙ rm n mit rm = 1 + im

Nomineller Jahreszinssatz: j = im ∙ m Äquivalenter (effektiver) Jahreszinssatz i : der zu den relativen unterjährigen Zinssätzen „gleichwertige“ Jahreszinssatz. Man berechnet ihn über den Aufzinsungsfaktor aus den relativen unterjährigen Zinssätzen : r = 1 + i = (rm)m oder 1+ i = (1 + im)m

„Effektiv“ bezieht sich nur auf den Jahreszinssatz, der den gleichen Jahresendwert liefert, wie die relativen unterjährigen Zinsen. „Äquivalent“ dagegen nennt man alle Zinssätze, auch unterjährige, die den gleichen Jahresendwert liefern. 2. Unterjährige äquivalente Zinssätze Ist in der Angabe nur der jährliche Prozentsatz ohne Hinweis darauf, dass der nominelle Jahreszinssatz gemeint ist (zB mit 3 % p.a) gegeben, so ist damit der zu den unterjährigen Zinssätzen äquivalente Jahres-zins zu verstehen.

unterjähriger Aufzinsungsfaktor rm = √𝑟𝑚

Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik: Um Zahlungen, die zu verschiedenen Zeitpunkten fällig sind, miteinander zu vergleichen, sind die Werte der Zahlungen zu demselben Zeitpunkt zu bestimmen. Es gilt zu diesem Zeitpunkt das Grundprinzip: „ Leistung ist Gegenleistung.“ Rentenrechnung Rente: eine Folge von regelmäßig wiederkehrenden Ein- oder Auszahlungen mit im Allgemeinen gleich bleibenden Beträgen, den Rentenraten (meist kurz Raten genannt). Rentenperiode: Die Zeitspanne zwischen zwei aufeinander folgenden Zahlungen vorschüssige Rente: Zahlungen am Beginn einer Periode, nachschüssige Rente: Zahlungen am Ende einer Periode Für n Raten gilt:

Endwert einer nachschüssigen Rente

E = R ∙ 𝑟𝑛 – 1

𝑟 − 1

Endwert einer vorschüssigen Rente

E = R ∙ r ∙ 𝑟𝑛 – 1

𝑟 − 1 …

Barwert einer nachschüssigen Rente:

B = 𝐸

𝑟𝑛 = 𝑅

𝑟𝑛 ∙ 𝑟𝑛 – 1

𝑟 − 1

Barwert einer vorschüssigen Rente:

B = 𝐸

𝑟𝑛 = 𝑅

𝑟𝑛−1 ∙ 𝑟𝑛 – 1

𝑟 − 1

Rentenumwandlungen beruhen IMMER auf dem Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik.

Schuldtilgung : Rückzahlungen von Schulden sind meist in Form eines Tilgungsplans dargestellt. Dieser enthält im Allgemeinen den Zahlungstermin, die Zinsen Z, die TilgungsrateT, den getätigten Rück-zahlungsbetrag A(Annuität): A = T + Z und die verbleibende Restschuld RS. Typische Rückzahlungsformen: Die Zinstilgung (Z = const). Gleichbleibende Zinsbeträge werden bezahlt und der Kreditbetrag am Ende der Laufzeit. Die Ratentilgung(T = const). Gleichbleibende Tilgungsraten werden bezahlt. Annuitätentilgung (A = const). Gleich hohe Annuitäten werden gezahlt.

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a) Barzahlung innerhalb von 14 Tagen:

66700(1 – 0,015) ENTER

1,5 % Autopreis 65 699,50

Mit Kredit:

65 699,50 (1+ 0,12*16/360) ENTER; …einfache Zinsen 66 049,90

Es ist dies immer noch etwas günstiger als der Kauf nach 30 Tagen.

Herr Maier soll den Überziehungskredit für die Bezahlung des Autos in Anspruch nehmen und innerhalb von 14 Tagen bezahlen.

b) TVM | N=36| I% = solve | PV = 66 700–13 340 | PMT = –922 | FV = –26 000 | P/Y = 1| C/Y = 1|0,4 % p.m.

monatlicher Zinssatz 0,401…

(1+Finance|3: tvm_I% / 100)^12 ENTER

äquivalenter (effektiver) Jahreszinssatz: 4,92 %

Alternative Eingabe:

TVM | N=36| I% = solve | PV = 66 700–13 340 | PMT = –922 | FV = –26 000 | P/Y = 12| C/Y = 1|4,920904724

c) TVM | N=60| I% = 100(1,0506^(1/12)–1) | PV = 66 700 –13 340 –220| PMT = solve | FV = 0 | P/Y = 1| C/Y = 1| 1001,5107…

Die monatlichen Raten betragen € 1.001,51.

Alternative Eingabe: TVM | N=60| I% = 5.06^ | PV = 66 700 –13 340 –220| PMT = solve | FV = 0 | P/Y = 12| C/Y = 1| 1001,5107…

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e) SOLVER| 0 = Finance | 7: npv(5,-53360,{30000,x}) ENTER

x: Alpha solve € 27.329,40

npv = net present value: Barwert von Zahlungsströmen

In der Liste sind die Zahlungen jeweils nach 1 Jahr. Vorsicht: Falls eine Lücke ist 0 nicht vergessen!

3.2 Wirtschaftsmathematik (7P)

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ÜTA;BIFIE

Was muss der Schüler über die Wirtschaftsmathematik wissen?

Die Gesamtkostenfunktion K besteht aus den Fixkosten Kf und den variablen KostenKv .

Eine Kurve, die zunächst degressiv und dann progressiv verläuft, heißt ertragsgesetzliche Kostenfunktion ,

wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt:

Sie hat Fixkosten K(0) > 0,

sie ist streng monoton steigend und hat keine lokalen Extremstellen 𝐾‘(𝑥) > 0,

sie hat einen Wendepunkt mit positivem x-Wert, der Kostenkehre xK.

Die Ableitungsfunktion 𝐾‘(𝑥) der Gesamtkostenfunktion heißt Grenzkostenfunktion.

Im Wirtschaftsbereich wird die Grenzkostenfunktion herangezogen, um die Kostensteigerung bei Erhöhung

der Produktionsmengen um eine Einheit näherungsweise abzuschätzen.

Durchschnittskosten: �̅�(𝒙) =𝑲(𝒙)

𝒙 ; Minimum der Durchschnittskosten �̅�′(𝒙) = 𝟎

Aus dieser Gleichung folgt als Lösung das Betriebsoptimum BO mit dem Wert xO.

Das ist die Produktionsmenge mit den geringsten Durchschnittskosten (Stückkosten).

Die Durchschnittskosten am BO legt die langfristige Preisuntergrenze fest: �̅�(𝒙𝑶)

Grenzbetrieb: 𝑲‘(𝒙) = �̅�(𝒙): Betrieb arbeitet gerade nur kostendeckend.

Variable Durchschnittskosten �̅�𝒗(𝒙) =𝐾𝑣(𝑥)

𝑥;

Minimum der variablen Durchschnittskosten �̅�𝒗′(𝒙) = 𝟎

Aus dieser Gleichung folgt als Lösung das Betriebsminimum BM mit dem Wert xM.

Das ist die Produktionsmenge mit den geringsten variablen Durchschnittskosten.

Die variablen Durchschnittskosten am BM legen die

kurzfristige Preisuntergrenze fest: �̅�𝒗(𝒙𝑶)

Die Preisfunktion

Die Preisfunktion der Nachfrage p ist eine monoton fallende Funktion. Begrenzung:

pN (0) … Höchstpreis pH (=Prohibitivpreis), bei dem der Käufer nicht mehr bereit ist, das

Produkt zu kaufen. Es besteht keine Nachfrage.

pN (x) = 0 liefert als Lösung xs … Sättigungsmenge.

Hier ist der Preis 0, der Markt ist gesättigt.

Beachte: Die Nachfragefunktion xN(p) ist die Umkehrfunktion von p

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Die Erlösfunktion beschreibt die gesamten Einnahmen, die man beim Verkauf der Produktes macht. Der

Erlös ist daher das Produkt des Preises p pro Mengeneinheit und der verkauften Menge x.

𝑬(𝒙) = 𝒑(𝒙) · 𝒙

Die Gewinnfunktion beschreibt die Differenz der Einnahmen beim Verkauf des Produktes und der bei der

Produktion angefallenen Gesamtkosten.

𝑮(𝒙) = 𝑬(𝒙) − 𝑲(𝒙) = 𝒑(𝒙) · 𝒙 − 𝑲(𝒙)

Gewinnanalyse:

Die Gewinnzone reicht vom Break-Even-Point BEP bis zu oberen Gewinngrenze G02.

Berechnung mit: 𝑮(𝒙) = 𝟎 bzw. 𝑬(𝒙) = 𝑲(𝒙)

Gewinnmaximierende Menge bei Monopolbetrieb = Cournot‘sche Menge xC

Der Cournot’sche Punkt hat die Koordinaten (xC |p(xC)) und liegt auf dem Graphen der Preisfunktion.

Berechnung mit 𝑮‘(𝒙) = 𝟎 bzw. 𝑬‘(𝒙) = 𝑲‘(𝒙); Gewinnmaximum = 𝑮(𝒙𝑪)

Für p = const, d.h. ein Betrieb bei „vollständiger Konkurrenz“ wird die gewinnmaximierende Menge xmax gleich berechnet.


a) Punkte K1‘: (0|10) und (100|25) K1‘(x) = 0,15x+10 K1(x) = 0,075x² + 10x + 260

b) Das Minimum der Grenzkostenfunktion muss bestimmt werden. Der x-Wert des Minimums entspricht der Kostenkehre. xK = 20 ME

Die Ableitung von K1 ist linear, leitet man K1‘ nochmals ab, so erhält man eine konstante Zahl. Diese Funkti-on hat daher keine Kostenkehre.

Die Kurve K1‘ dagegen hat eine Extremstelle. Das deutet darauf hin, dass die 2. Ableitungsfunktion existiert und null gesetzt werden kann. Die Kostenkehre existiert.

c) 𝐾‘(𝑥) = 0,0018𝑥² + 0,04𝑥 + 10 ……………….. Y1

�̅�(𝑥) = 0,0006𝑥2 + 0,02𝑥 + 10 +250

𝑥 …………… Y2

Window einrichten

2ND CALC|5: intersect (nicht unbedingt notwendig!)

Der Schnittpunkt der beiden Kurven legt mit dem y-Wert das Mini-mum der Stückkosten fest.

Der x-Wert entspricht dem Betriebsoptimum.

Begründung:

(𝐾

𝑥)

′

= 𝐾′𝑥−𝐾

𝑥2 = 0 K‘ = 𝐾

𝑥

Überprüfen des Minimums:

2ND CALC | 3: Minimum |mit Cursor zur richtigen Funktion Y2 gehen! left bound 0; right bound 100; Guess ENTER

Gleiches Ergebnis.

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3.3 Produktionsabläufe (9P)

Ein Betrieb stellt aus den Rohstoffen R1, R2 und R3 die Zwischenprodukte Z1, Z2, Z3 und Z4 und aus diesen die Endprodukte P1 und P2 her. Die Materialverflechtung wird durch den Gozintographen in Mengeneinheiten (ME) dargestellt.

a) Die Matrix RP beschreibt die Mengen an Rohstoffen die pro

ME für die Produktion der Endprodukte jeweils benötigt wer-

den:

RP = (5 123 152 12

)

– Erstellen Sie die Matrix RZ, die die Mengen beschreibt, die

jeweils von den Rohstoffen für die Zwischenprodukte benötigt werden. – Berechnen Sie die fehlenden Werte der Matrix RZ. – Lesen Sie aus der Matrix ab, welche Mengen an Rohstoffen für die Erzeugung vom Endprodukt

P1 verwendet werden.

b) Der Materialbestand im Lager beträgt 1 460 ME von R1, 660 ME von R2 und 1 160 ME von R3. Es

wird eine Produktion gestartet, die nach dem obigen Gozintographen

mit

läuft. – Berechnen Sie die Rohstoff-Endprodukt-Matrix RP dieser Produktion. – Erstellen Sie eine Gleichung in Matrix-Schreibweise zur Berechnung der bei diesem Lagerbe-

stand möglichen Absatzmengen. – Berechnen Sie die entsprechenden Absatzmengen.

c) Bei einem Produktionsgang stellt man von dem Endprodukt P2 x ME her.

Die Herstellungskosten in Geldeinheiten (GE) für dieses Produkt lassen mit sich mit

𝐾(𝑥) = 2, 5𝑥2 + 59𝑥 + 80 beschreiben. Der Erlös in GE beim Verkauf des Produkts beträgt 𝐸(𝑥) = 187𝑥 − 6𝑥2 Es wird angenommen, dass die gesamte Produktion von P2 verkauft werden kann. – Berechnen Sie, bei welcher Absatzmenge ein maximaler Gewinn zu erwarten ist. – Erklären Sie, wie man den Preis des Endproduktes bei Verkauf der gewinnoptimalen Menge

erhalten kann. – Beschreiben Sie mithilfe der Grafik, wie viel Mengeneinheiten von den Zwischenprodukten für

die gewinnoptimale Menge benötigt werden.

ÜTA-BIFIE

Es können noch eine ganze Reihe Zusatzfragen: BEP, Kostenkehre, Erlösmaximum etc in Einem beantwortet werden.

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Was sollte der Schüler über Matrizen wissen? ( EVTL nur mündliche Prüfung)

Die Matrix vom Typ (m x n) ist ein in eine Klammer gesetztes rechteckiges Zahlenschema, das aus m Zeilen und n Spalten besteht. Matrizen werden mit Großbuchstaben bezeichnet. Die Zahlen der Matrix Elemente mit Kleinbuchsstaben mit einem Index ij bezeichnet, wobei i die Zahl der Zeile und j die Zahl der Spalte angibt, wo sich das Element in der Matrix befindet. Eine Matrix, die nur aus einer Zeile oder nur aus einer Spalte besteht, wird auch „Vektor“ genannt. zB ( 3 4 5) Der Gozintograph hat seinen Namen von „goes into“, das bedeutet, es wird eine Richtung angegeben. Ein Gozintograph beschreibt, aus welchen Teilen sich ein oder mehrere Produkte zusammensetzen bzw. mengenmä-ßig miteinander verflochten sind. Die Addition und Subtraktion zweier (m x n)-Matrizen und die Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl erfol-gen komponentenweise.

A =

Matrizenmultiplikation: Man bildet jeweils das Skalarprodukt der einzelnen Zeilenvektoren mit den Spaltenvektoren. Das Produkt einer (m x n)-Matrix mit einer (n x r) Matrix ergibt eine (m x r)-Matrix Merke: „Zeile mal Spalte“. Die Multiplikation ist nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der 1. Matrix gleich der Zeilenzahl der 7. Matrix ist.

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) kann als Matrixgleichung dargestellt werden. Die Koeffizientenmatrix A multipliziert mit dem Variablenvektor X ergibt den Ergebnisvektor Y.

A ∙ X = Y

Inverse Matrix A-1 : Das Produkt aus der Matrix und ihrer Inversen ergibt die Einheitsmatrix.

A · A–1= A–1 · A = E Mit Hilfe der inversen Matrix kann der Variablenvektor X isoliert werden.

Nur eine quadratische Matrix kann invertiert werden.

Reine zweistufige Produktionsprozesse Die Produktionskoeffizientenmatrix C gibt an, wie viele Mengeneinheiten der Rohstoffe R benötigt wer-den, um über die Zwischenprodukt Z je 1 Mengeneinheit der Endprodukte E zu erzeugen.

C = RZ ∙ ZE

Der Nachfragevektor N gibt an, wie viel insgesamt von Produkten nachgefragt wird. Der Rohstoffvektor R gibt an, wie viel von jedem Ausgangsstoff insgesamt für die Herstellung der End-produkte nötig ist.

R = C ∙ N

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Lösung der Aufgaben mit TI 82+

a) RZ = (𝑎 10 𝑐0 0

0 01 02 2

); ZP = (

2 41 40 31 3

) geht nicht mit GTR

(𝑎 10 𝑐0 0

0 01 02 2

)·(

2 41 40 31 3

) = (2𝑎 + 1 4𝑎 + 4

𝑐 4𝑐 + 32 12

) ; 𝑒𝑠 𝑔𝑖𝑙𝑡: (2𝑎 + 1 4𝑎 + 4

𝑐 4𝑐 + 32 12

) = (5 123 152 12

)

a = 2; c = 3 Für P1 benötigt man 2 ME von Z1; 1 ME von Z2 und 1 ME von Z4. Von der Rohstoffen benötigt man für P1 5 ME von R1; 3 ME von R2 und 2 ME von R3.

b)

RP = (5 121 72 12

): Matrix eingeben

MATRIX | EDIT | 1: ENTER | 3 ENTER|2 ENTER| 5 ENTER|12 ENTER|1 ENTER|7 ENTER| 2 ENTER|12 ENTER QUIT ( Matrix ist unter Matrix A gespeichert)

(5 121 72 12

) · (𝑛1

𝑛2) = (

1 460 6601 160

)

Erweiterungsmatrix der Gleichung eingeben MATRIX | EDIT |3 ENTER |3 ENTER | 5 ENTER|12 ENTER|1460 ENTER| 1 ENTER|7 ENTER|660 ENTER| 2 ENTER|12 ENTER|1160 ENTER QUIT ( Matrix ist unter Matrix B gespeichert)

MATRIX | MATH | B: rref( ENTER | MATRIX | NAMES 2: B | ENTER (100,80)

zur Probe: Multiplikation der beiden Matrizen

(5 121 72 12

) · (10080

)

MATRIX | 1: A Enter | Mal-Taste | [[100] [80]] ENTER

Matrix klammer außen, jede Zeile in Matrixklammer innen

c) Y1 = 2, 5𝑥2 + 59𝑥 + 80 … 𝐾(𝑥); Deaktivieren Y2 = 187𝑥 − 6𝑥2 … E(x); Deaktivieren Y3 = 𝐘𝟐 − 𝐘𝟏 … G(x) ; Window einrichten 2nd CALC | 4: Maximum| Y3 mit Cursor| left bound 0; right bound 10; Guess ENTER 7,53

Für die gewinnoptimale Menge benötigt man jeweils 30,12 ME von Z1 und Z2 sowie jeweils 22,59 ME von Z3 und Z4.

Die Preisfunktion des Produktes berechnet man durch die Division von E(x) durch x. Der Wert 7,53 wird in die Preisfunktion eingesetzt.

Bereits gegebene Klausuraufgaben zu Finanz- und Wirtschaftsmathematik (leider nur HAK) unter



24

4. Die Mündliche Reifeprüfung

Die Themenbereiche werden von Fachlehrergruppe am Schulstandort bestimmt. Die einzelnen Aufgaben kön-nen ebenfalls am Schulstandort autonom erstellt werden. Von der ARGE gibt es bereits viele erstellte Aufga-ben und durchgerechnete Aufgaben, die man sich herunterladen kann. Checkliste für die Erstellung und Überprüfung der mündlichen RP-Aufgaben HUM

Plattform: http://pc.bmukk.gv.at/ Benutzername: Mathe.HUM Passwort bei [email protected] erfragen

Ordner Anleitungen: Als Vorlage die Datei Aufgabenmaske verwenden.

Ordner Anleitungen: Inhaltliche Basis ist der Lehrplan, der eingeteilt nach den vorgeschlagenen Themenbereichen, in der Datei HUM Themenbereiche-Inhalte-Kompetenzen vorliegt.

Die Inhalte einer Aufgabe kommen ausschließlich aus einem Themenbereich. Ausnahme: jene Punkte, die im Kapitel „Inhalte, die für alle Themenbereiche relevant sind“ aufgelistet sind

Aufgaben sind (plausible/realistische) Anwendungsaufgaben. Einzelne Theoriefragen sind erlaubt.

Die Aufgabe besteht aus genau 4 voneinander unabhängigen Unteraufgaben. Eine Unteraufgabe kann mehrere (auch abhängige) Arbeitsaufträge enthalten. Jeder Arbeitsauftrag ist als ein Satz formuliert und steht mit Aufzählungszeichen in einer eigenen Zeile Die Teilaufgaben sind einigermaßen gleich lang.

In der Lösungserwartung sind die Handlungsdimensionen der Teilaufgaben (richtig) angegeben. Alle 4 Handlungsdimensionen kommen vor, keine davon über 50 %. Texte sind so einfach wie möglich, aber so ausführlich und exakt wie notwendig. Im Text kommen keine unnötigen Inhalte vor, die für die Lösung irrelevant sind. Grafiken und Schreibweisen orientieren sich an den Bifie-Schreibkonventionen. Insbesondere: Achsen sind mit Größen und Einheiten beschriftet. Variablen kursiv Einheiten, Zahlen, Klammern, Konstanten (π) aufrecht Euler‘sche Zahl aufrecht e Abstände zwischen den Rechenzeichen 2x – 3y = 5 Minus lang (Strg -) [bzw. Formeleditor] Unbekannte Ausdrücke, Symbole und Variable sind erklärt Variable vorzugsweise in folgender Form: t ... Zeit in Stunden (h) h(t) … Höhe zum Zeitpunkt t in Metern (m) [oder: Höhe nach t Stunden in Metern (m)] x … produzierte Menge in Mengeneinheiten (ME) K(x) … Kosten von x Stück in Euro (€) Arbeitsaufträge sind mit den Bifie-Signalwörtern formuliert. Fragen werden nicht gestellt. Zusätzlich können Signalwörter verwendet werden, die sich für die mündliche Prüfung besonders eignen: dis-kutieren, besprechen, … Die Aufgabe ist zeitlich (ca. 20 min) und vom Schwierigkeitsgrad machbar. Es liegt eine ausführliche, korrekte Lösungserwartung vor. Wenn beim Erstellen Zusatzfragen für das Prüfungsgespräch einfallen, dann können sie im dafür vorgesehenen Feld eingetragen werden (mit stichwortartiger Antworterwartung). Das erleichtert der Prüferin/dem Prüfer die Arbeit.

http://pc.bmukk.gv.at/

mailto:[email protected]

25

Beurteilung mRDP Angewandte Mathematik

Kandidat_in:_________________________ Prüfer_in:_________________________

Bewertungskriterien Insgesamt Erreichte

Punkte

1. Fachliche Qualität

Gesamtpunkte aus den 4 Unteraufgaben:

richtig

3 Punkte

kein Fehler

im Wesentlichen richtig

2 Punkte

z.B.:

Rechengang richtig, Rechenfehler

teilweise richtig

1 Punkt

teilweise richtig: es kommen richtige

(kreativ interessante) Anteile vor, die

anrechenbar sind, aber die Aufgabe

ist nicht richtig gelöst.

falsch

0 richtig

es gibt keine anrechenbaren richtigen

Anteile (Das Item ist nicht gelöst oder

ist überwiegend falsch.)

12

2. Qualität der Gliederung und Kommunikation: Folgerichtiger Auf-

bau, Wesentliches erkennen, Zusammenhänge erkennen,

Auf Fragen eingehen, Hilfen aufgreifen können

2

3. Fachsprache und Werkzeugkompetenz: Fachsprache einsetzen,

sich verständlich ausdrücken können

Ad hoc diverse Technologie zur Darstellung von Sachverhalten,

die sich aus der Prüfungssituation ergeben, einsetzen können

2

Summe 16

100 % bis 90 % unter 90 % bis 80

%

unter 80 % bis 65

%

unter 65 % bis 50

%

unter 50 %

16, 15 Punkte 14, 13 Punkte 12, 11, 10 Punkte 9, 8 Punkte unter 8 Punkte

Sehr gut Gut Befriedigend Genügend Nicht genügend

Erreichte Punkte: __________ von 16

Beurteilungsvorschlag: _______________________

26

Beispiele für mRP-Aufgaben

A: Bei den folgenden Aufgaben sollen der Technologieeinsatz und kurze Zusatzfragen überlegt werden!

4.1. Bewegungsaufgabe

Freier Fall

Ein Blumentopf fällt aus dem geöffneten Fenster eines Hochhauses, das sich in 35 Metern Höhe befindet.

Die Formeln für den freien Fall lauten:

𝑠(𝑡) =𝑔⋅𝑡2

2 und 𝑣(𝑡) = 𝑔 ⋅ 𝑡

t … Zeit in Sekunden

s(t) … Weg in Metern (m) nach t Sekunden

g = 9,81 m/s²

v … Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s)

a) – Berechnen Sie, wie lange es dauert, bis der Blumentopf am Boden zerschellt.

b) – Berechnen Sie, welche Geschwindigkeit ein Gegenstand nach 3 Sekunden im freien Fall erreicht hat. Ge-

ben Sie diese auch in km/h an.

– Erklären im Zuge der Berechnung, wie es zur Kurzformel „mal 3,6“ für die Umrechnung der Einheiten

von m/s auf km/h kommt.

c) –Stellen Sie den Funktionsgrafen von s(t) graphisch dar.

– Interpretieren Sie den Zusammenhang von s und t.

d) Die folgende Grafik (v(t) = gt + v0) stellt die Geschwindigkeit eines fallenden Gegenstandes aus einem ande-

ren Stockwerk des Hochhauses dar.

– Lesen Sie aus der Grafik die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0 und die Geschwindigkeit nach

2 Sekunden ab.

– Dokumentieren Sie Ihre Vorgehensweise und erklären Sie, was man aus den abgelesenen Werten schlie-

ßen kann.

27

Erwartung:

a) Operieren und Interpretieren

Möglicher Lösungsweg:

aus der Formel t ausdrücken: 𝑠(𝑡) =9,81

2𝑡2, 𝑠 = 35𝑚

𝑡 = √2𝑠

9,81 = √

70

9,81≈ 2,67

es dauert 2,67 s

ri i.W.ri tw.ri f

3 2 1 0

b) Argumentieren, Kommunizieren, Operieren

Umformen der Einheiten:

1 km = 1000 m, 1 h = 3600 s 3,6 = 3600/1000

v = g ∙ t = 9,81 ∙ 3 = 29,43 m/s = 105,948 km/h

v 106 km/h

ri i.W.ri t

.ri

f

3 2 1 0

c) Transformieren, Interpretieren

t > 0,

der zurückgelegte Weg steigt mit dem Quadrat der Zeit

ri i.W.ri tw.ri f

3 2 1 0

d) Interpretieren, Argumentieren:

Der Gegenstand hat zum Zeitpunkt 0 eine Geschwindigkeit von 5 m/s.

Nach 2 Sekunden erreichte er eine Geschwindigkeit von ca. 25 m/s.

ri i.W.ri tw.ri f

3 2 1 0

28

4.2. Aufgabe mit Geometrie

Flugverkehr und Winkelfunktionen (mit eingearbeiteten Änderungen aus dem Seminar…)

Winkelfunktionen eignen sich, um den Steig- bzw. den Landeanflug von Flugzeugen mathematisch näherungs-

weise zu behandeln.

a) – Definieren Sie die Winkelfunktionen im Einheitskreis.

– Stellen Sie einen Zusammenhang zwischen der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis

her.

– Zeigen Sie, wie sich das Vorzeichen des Sinus verändert, wenn der Winkel einmal den Kreis durchläuft.

b) Ein Verkehrsflugzeug befindet sich in 10 500 m Höhe und setzt mit einem konstanten Tiefenwinkel von

mindestens 3 °, höchstens jedoch 10 ° zum Landen an.

– Stellen Sie diesen Sachverhalt in einer Skizze mit entsprechender Beschriftung dar (Winkel, Flughöhe,

horizontale Entfernung zum Landeort).

c) Die Skizze (nicht maßstabgetreu) zeigt den durchschnittlichen Winkel ,

unter dem ein Verkehrsflugzeug in den ersten Sekunden nach

dem Start steigt.

– Berechnen Sie, welchen Weg x ein Flugzeug bei = 18° zurücklegen

muss, bis es eine Flughöhe von 1000 m erreicht hat.

d) Ein Sportflugzeug steigt nach dem Start mit einem konstanten Höhenwinkel von 10°.

– Argumentieren Sie, ob dieses Flugzeug ein in 500 m horizontaler Entfernung stehendes 80 m hohes

Hindernis überfliegen kann.

29

Erwartung:

a) Interpretieren und Argumentieren

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1 LE und dem Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensys-

tems.

Durch die Koordinaten der Schnittpunkte und die Achsen ergeben sich rechtwinkelige Dreiecke.

sin α = Gegenkathete / Hypothenuse, usw.

Der Sinus ist gleich Null für α = 0°, 180° und 360°;

Der Sinus ist positiv für 0° < α < 180°

Der Sinus ist negativ für 180° < α < 360°

(es sind auch andere sinngemäß richtige Erklärungen erlaubt)

b) Modellieren

Die Winkel dürfen auch vom Landepunkt aus eingezeichnet werden.

c) Operieren und Technologieeinsatz

sin 18° = 1000 / x

x 3236,07 m 3,24 km

d) Argumentieren

Beispielsweise:

tan = 80 / 500

9,09°

Es geht sich aus, weil der maximale Steigwinkel von 10° nicht überschritten wird. Das Hindernis kann über-

flogen werden.

(Man kann auch mit einem Winkel von 10° die Höhe berechnen und das Ergebnis deuten.)

30

4.3. Naturwissenschaftlicher Kontext

Gezeiten

Die Tabelle zeigt die Pegelstände in einem Hafen, die an einem bestimmten Tag gemessen wurden:

Uhrzeit 𝑡 in Stunden 00 03 04 06

Pegelstand ℎ(𝑡) nach 𝑡 Stunden in cm 576 405 359 498

a) Im Zeitraum von 00:00 Uhr bis 06:00 Uhr lässt sich der Pegelstand in Abhängigkeit von der Zeit durch eine

Polynomfunktion dritten Grades modellieren.

– Stellen Sie unter Verwendung der gemessenen Werte die entsprechende Funktionsgleichung auf.

b) – Zeichnen Sie die Funktion ℎ1(𝑡) = 475 + 115 ⋅ sin(0,9𝑡 + 1).

Hinweis: Bei Taschenrechnern den Modus Radiant einstellen.

– Überprüfen Sie durch die Grafik, ob diese Funktion ein geeignetes Modell darstellt, indem Sie Ihren

Graphen gemeinsam mit den Messwerten aus der Tabelle in einem Koordinatensystem darstellen.

c) Die Grafik stellt die tatsächlich gemessenen Pegelstände in einem anderen Zeitraum dar.

– Lesen Sie ab, wann im dargestellten Zeitraum zum ersten Mal ein Pegelstand von 5 m erreicht wird.

– Lesen Sie weiters ab, nach welcher Zeit dieser Pegelstand erneut erreicht wird.

Der Unterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Pegelstand wird als Tidenhub bezeichnet.

– Bestimmen Sie den Tidenhub.

d) Die Gezeiten sind periodische Wasserbewegungen der Ozeane, die sich etwa alle 12,5 Stunden

wiederholen.

– Argumentieren Sie, ob sich für eine langfristige Modellierung dieses Vorgangs Polynomfunktionen oder

trigonometrische Funktionen besser eignen.

31

Erwartung:

a) Modellieren, Operieren

Gleichungssystem aufstellen und lösen. Lösung:

ℎ(𝑡) = 5,96𝑡³ − 38,96𝑡² + 6,25𝑡 + 576

b) Operieren, Argumentieren

Die gemessenen Wertepaare liegen sehr nahe beim Funktionsgraphen, die Funktion scheint also im betrach-teten Intervall ein geeignetes Modell zu sein.

ri i.W.ri tw.ri f

3 2 1 0

c) Interpretieren

Das erste Mal ca. um 17:30, dann wieder nach ca. 7 h 45 min.

ca. 735 – 350 = 385 cm

d) Argumentieren

Individuelle Argumentation; wichtig ist, dass auf die Periodizität der Winkel

funktionen eingegangen wird. Sie ist der Grund, warum diese Funktionstypen

besser zur Modellierung dieser Situation geeignet sind.

ri i.W.ri tw.ri f

3 2 1 0

ri i.W.ri tw.ri f

3 2 1 0

ri i.W.ri tw.ri f

3 2 1 0

𝑡 in h

ℎ1(𝑡) in cm

Finale Vorbereitung auf die sRDP-Angewandte Mathematik 2016 · 1 Finale Vorbereitung auf die...

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