finite Elemente in der Bruchmechanik

finite Elemente in der

Bruchmechanik

Herausgegeben van

H.-P. Rossmanith

Springer·Verlag Wien New Yark

198 Z

RqIlCff'IECfI·\'lIK VO'l STAHLRETO'l

::.P. RAl.i\'lT, L. CEnOl.I\ lind P. (��\'fl.\ROV·\

".IIS dt'm Englischen iihersetzt und iiher<lrhfOitet \'on

H.P. qOSS\f .. \.'lJITfi und fI.-'., '1,\'11,

RfOi dt'r hruchmechanischen IInterstlchllng hewehrter RetonhauteilfO

tTE�·ten im wesentlichen zwei I'rohlemkreisfO auf, n.imlich (a) die

<;()genannte "nhjektivitat" der im Rahmen dfOr verwendeten Finite

Flemente-4ethoden (FE\!) heniitzten Kriterien zur Rerticksichti

gllng der Rif1aushreitunt:: und andererseits (h) die Einheziehung

der Rewehrtlnp, in das ·'Retonkontinutlm". niese heiden Themen

krei5e 5011en im folgenden im netail hehandelt werden.

[lie Spannungs- und Verformllngsanalyse eines HJluteils m1J� mit

"ohjektiven" 'Iethoden durchg e fiihrt werden, d.h. sich ergehende

physikalische GrlHlen wie Verschiehunr" Tlehnllnv" Spannung Hnd

Spannungsintensittltsfaktoren mUssen, von Uhlichen niskreti

sierungsfehlern ahgesehen, von den geometrischen Eigenschaften

der verwendeten finiten Elemente unahhangig sein. flies ist so

Ztl verstehen, daB hei zunehmender Verfeinerung der fliskreti

sierung das AusmaB der Ahh�ngigkeit der erwahnten physikali

schen GrHAen von der Oiskretisierung immer mehr ahnimmt und im

praktisch nicht realisierharen Grenzfall keine derartige Ahhnngigkeit mehr vorliegt.

Oie Rruchmechanik findet derzeit zunehmend Eingang in die

4echanik des hewehrten lind unhewehrten Betons. nies geschieht

296

durch Rerilcksichtigung "verschmierter" paralleler �isse. wa5

sich in e-iner RE"duktion.·clE"r Steifigkeit normal zu derartigen

qi�h�ndern �u�ert. oder durch Verwendung yon Elementen mit ein

p,ehauter Rif3spitzensinglllarit,'it. fl.ls Rif3aushreitungskriterium

wird ein sogenanntes Festigkeitskriterium verwendet. das dann

anspricht. wenn die ma:rimale Haupt·zugspannun!! die :lIgfestig

ke-it ilheBchreitet. Oie \fethode der "ver5chmierten" �isse he

w�hrt 5ich inshesonde-re hei Traglastherechnungen von Rauteilen,

die i1ll .fl.usgangs:lIstand lceine 'lalcrorisse aufweisen. In der vor

liegen<ler 'rheit "'ird ein frUher fiir unr-e",ehrten Reton ent

wickeltes Energiekriterium filr aus "ve-rschmierten qissen't he

stehenden qi�h�ndern auf hewehrten Reton verallgemeinert.

niesE'S Kriterium herilcksichtigt aueh den Verhllndschlupf. Es

ist. yon ilhlichen ni5kretisierun��fehlern ahgesehen. invariant

(ohjelctiv) hezilglich der 'let:tcilllng (fliskretisierung).

2. Herkomml�che Kriterien fur die RiBausbreituno

Anhand eines Reispieles sei die herk�mmliche Vorgangsweise hei

deT Feststellung der RiBaushreitung im :usammenhang mit FF.

Programmen kritisch hetrachtet.

r.egehen sei eine rechteckige Stahlhetonseheihe der Oicke 1,

Rreite 2h und HOhe 2L. nie Bewehrung hesteht aus einem regu

UTen Rechtecksnetz (5. Ahh.1). nie Scheihe sei durch ei n e

gleichf�rmig verteilte Sormalspannung ao an der oheren u n d un

teren Regrenzung helastet. Oherdies weise die Scheihe ei nen

symmet r i s ehen , hor i zont alen Ri B ( Zen t ra lr i B ) h z w . ei n Ri Bhand

d eT L�nge Za (0 < a < h) au f . Wi r s et z en 6 • 0,981 �N/m2 und

h erechnen far ver s chi ed en e Ri B I An gen a d en k r it i s chen la s t pa r a

met er a, d er g erade Ri B fo r t s chr i t t verur s a cht . Na ch d en bru ch

mechan i s chen Grundformel n i s t a ei n e Funkt i o n von d er Ri B l �nge.

Von Ubl i chen Dis k r et i s i er ungs fehlern a bg es ehen, s o l l t e a v on

d er Net z t ei lung unabhAn gi g s ei n .

Zur Ober prUfun g o b und i nwi ewei t d i e UnabhAn gi gk ei t von a von

der Net z t ei lung bei Verwendung d es herkOm ml i chen �iBaush rei

tungs k r i t er i um s i m Ra hmen d er FE� gegeben i s t , bet ra cht en w i r

d r ei ver s chi ed en e Net z te i lungen . A. B und C (s. Abb.1J mit

'faschenwei ten 6a • 0,04, 0,02 und 0,01 m. Fur das yorl iegende

297

'1aschenweiten zueinander an. Olladratelemente mit vier Knoten

werden al� Finite Elemente �ew�hlt. Jedes Quadratelement he-

5teht ails zwei nreiecken, filr die 1 ineart> Ver"chiehungs;tns�tze

gew1thlt werden. nie Verwendunr. Finiter Elt'mente mit Ve-rsehie

hungsans§tzen hnherer Ordnune hedingt keinen wesentlichen "n

terschied in cler hruchmechanischen �nalyse.

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b) Il � II It Il U,

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Xl�b i !"I"I I !,,' �1:Q

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�T G� ··· · - 1 - - . - �(

ABeD-NEll A(m=�n,71

AB[F -NEll B (m=12,n,DI

AHGl-NFll C (m=lon,?')i

;\hh. 1. Stahlhetonseheihe und Finite-Elemente-"Ietzteilun�en

�:� -- A

ner RiB wird mittels eines ein Element hreiten RiBhandes

�lei chf� rm i g verteilter ("verschmierter") horizontaler Ri s s e

zu heiden, Sei t en d er Symmet r i ea chs e m od el 1 iert.

ner Bruchvorgan� i n n erha lh d es gerade reiBenden Elem ent es w i rd

durch Reduk t i on d er nehn s t ei fi gkei t quer zu d en Ri s s en und Nu l l

setzen der Schubst ei figk eit h erUck s i cht i gt , wHhrend d i e S t e i

figkeit parallel Zll d en Ri�sen unver!tndert hleiht. Oi es e An

nahmen ffihren zu einer orthotropen Steifigkeitsmatrix flir den

ger i s s enen R et on . lim d a s Bruchhand einerseits langs d er Sym

metrielinie vorschreiten lassen und ander er s ei ts Net z a bs t u

fun�en �anzzahligen Verhaltnisses (4:2:1) beihehalten zu

298

lichen H�hen, wie aus Ahh.1 �rsichtlich ist .

"as �ruchh�nd hreite sich in Richtung einer Hauptnorm�l

spannun� (im gegehenen Fall horizontal und ReradliniR) sprung

ItTtig ItHS . n:thpi s chreite die st\lmnfe P,rllcht->�ndfront von eineM qu�dT�t ischen Element zum n�e hsten vor ( vgl. die Flemente

"1�PQ, QRST und TtlVZ fUr die dre i "Iet1.e in \hh . 1c).

Weitere Rerechnungs�ng�hen sind: E lasti!it atsmodul de s Retons, .,

E • 225 6�n "1N!m-, Pnjsson-Z�hl des Retons, �c·O.2: fUr den c

eh('nen C;n:tnnltngszust:lnd (ESZ) gil t: r� .. Fc lind \)� .. �c:?

fUr

den ehen('n \'('r::errllngs::ust:tnd (FY:) �i 1 t: Fc .. Ec! (1 - \)�) li nd

-v� ,. 'Oc/(l--vc1.

fIie Reweljrlln� wird durch ein �echtecksn('t1. von <:tahlst1then

(E .10 E , �odelljert. nje Rewehrun Rs d i chte solI mindestens � c

deM fe i n sten Fr-�ct1. entsprechen . In diesem F:tll Reht durch

jeden Knoten �ller dre; Set1.e ein Rewehrun R sst�h.

Rei der herk omml i chen "1ethode 1.ur Rerticksiehtigun g der RiBaus

hreitung schreitet das Rruehh�nd in das n1tchste Element dann

vor, wenn d ie groBte Hauptnormalspannung im Reton in diesem 2 Element d i e Z U Rfes tiRkeit f� ( h ier stets mit f � .. �.194 MN/m

angenommen) des Retons erre i cht oder U hersc h re i tet.

In unserem Fall verRleichen wir f t mit dem nurchschnittswert

der jeweil! konstanten Spannungen in den heiden Dreieckselemen

ten, die das Quadratelement hilden. FUr die Rewehrung wird nor

malerweise kein Verhundschlupf berOcksichtigt, d.h. die Elemen

te, die die Bewehrung repr�sentieren, sind als starr in den

Element5knoten mit den Retonelementen verbunden 1.U denken.

Numerische Resultate in den Abh. 2a und 2b fUr unhewehrten Be

ton (p-O \) .und bewehrten Beton (p-O.8 \) sind dUrch die voll

ausgezogenen Linien dargestellt. Offensiehtlieh ergeben sich

groBe tlnterschiede in den a-Werten fUr die drei verwendeten

Netzteilungen. Das �eschriebene Hauptnormalspannungskriterium

ist somi! offenkundig nieht netzinvariant ("ohjektiv"), da

durch geschickte Net 1. teilun� jedes gewunschte Resultat erzielt

299

Oie5 gilt 50wohl fflr unhewehrten a15 auch fiir hewehrten Heton.

Rei hinreichend kleinem i\a kann der kritische Wer t fil r den

L:l st p:t ram e t e r Cl f ii r � i fH 0 rt <; c h r itt he 1 i e h i � k 1 I" i n � em a c h t

I.erden. FOr t.a .. n fol �t <1"() fiir heliehi\!e �ifH.1n�e a. Konver-

genz ist somit zwar gesichert, sie er fo lgt j edoch gegen einen

offensichtlich falschen Wert. Oas erhaltene Ergehnis.ist damit

erkl :1rhar, dall die Spannungskon:entration \'or de"! �i"hann von

der Rreite eines Elementes mit :unehmenn feinerer \etzteilung

monot on ansteig t .

'Ilf Spannungen heruhende Rruchkriterlen sinn I� a llgemei nen

nur dann "objektiv" (1"1 Sinn e von inv1ri:tnt in hezug auf die \etztellllng), wenn "ie yom "1'1l:1<;tischen Tv1'1" s in d , n.h.,wenn

die Spanntlng k onsta nt gehalten wird, "'enn die Rruchheciingung erfilllt ic;t. 'lIes ist .g l eichh edeu tenrl mit :le"1 \ t lftret e n pl:ls

tlscher !onen in ner Bruchme c ha nl k metallischer Werkstoffe. 1I'lrd die Snannung jedoch reduziert, 50 wlrd da<; Rruch!<riterillm

"lInoh j ektiv ". Betonfachleute hetrachten oft rl en Vorgang des

":erdrOckens" ("crushing"), welcher eintrl tt, wenn 1"1 ne hest imm te Orllckfe"tigkeit erreicht wird. Tn IInserem Relsniel

"'i rd hei lTmkehr des Vorzeichens der Last und der Sp:tnnungen das

F,le.."ent \f!'-lPQ "zerdr(\ckt", d.h. seine C;pannung 0yy ist au f 'lull

ah ge s unken , was eine Spannungskonzentration i.." Element davor

inn uziert. Oie Wahl einer kleineren F.lementsgro"e konzentriert

den "Zerdrilckhereich" in das kleinere E l ement QPST, und die

C:;pannungslronzentration im Element "'ird hei gleicher I.ast hoher.

1m Grenz fa ll verschwindender Elementgrolle geht die Spannung vor

der Front des Z erdrllck llngshereich s fUr die gleiche Last i.Iher

a Ile Grenzen, oder, falls diese Spannung durch die Oruckfe�iig

keit des Werkstoffs hegrenzt ist, geht die fUr die Aushreitllng

des Oruckhereiches notwendige Last f�lschlicherweise gegen

Null.

3. Energiekriterium fUr die Ausbreitung des Bruchbandes

Ein ohjektives Rruchkriterium ist aus energetischen Betrach

tung en ah l eithar . nie RiBaushreitun�skraft oder Energiefrei

<;et 1.lln�srate [j (d. h . derjeni�e Energieanteil, welcher ZUlli Fort-

1.!.!.. 1 u B

300

(l)

�eJteben. wohei \I die potentielle Energie der Gesamtstruktur ais Funktion der BruchhandI�n�e a ist und R die Scheihendicke ist.

,

a � 2t 3 I

J

� Q) P = 0.0 ./.

\� � ZugtestigJoeit

� Ir---to \WlOhOll lief Energ,e

--.- exakt(Netz B)

_ Zugfestigkeit

_- -co. Vallot 100 der Energie

OIL--��I--�I--+--+�--tr--,�-,�- ,L-�

__ �4-�--+--+--+-�� 0 2 3 ,, 0 7 8 i) 2 3 1. 5 7 8

� o .. oX <I ':; 3 WI <I -'

2

'0

RiAlange (em) C) Energie'l'clrlatlon �I

freler Gleitlange

-- NETZ A -- NElZ B

2 1 I. 5 RiAliinge (em)

C

2

'0

Rdllange (em) d ) Energievariaticn bei

freier Gleiliange - NETZ A --- NETZ B ----- NETZ C

2 ) , 5 RiBlange (em)

7 8

Ahh. 2. Ergebnisse fUr die Netzteilungen A. R und C hei Verwendung des Zugspannungs- hzw. des Energiekriteriums �Is Rruchkriterium hei BerUcksichtigung hzw. NichtherUcksichtigung von r.leitverhund zwischen der Bewehrung und umgebenden Beton

.....,.

N1therllngsweise�tlt fOr B-1

r. <::tI _ M! (2) � t\a mit da als dem der Elementsseitenahmessung gleichgesetztea Vor-schritt des Bruchhandes. In den Ahbildungen wird fOr einen RiBvorschritt von a auf a + da als theoretische RiBllnge a + �a/2 angesehen.

Bruehvorschritt trltt ein, wenn das Bruchausbreitungskriterium

erfUll t ist. 9cr ist dabei die kritische Bruchzllhigkei t oder Bruchfestigkeit fOr Beton. Sie stellt einen Materialkennwert dar. Ole Ohjektivit�t dieses Kriteriums ist durch die Tatsache gewlhrleistet. daB9 von der ElementgrOBe unabhlngig ist.

In der Bruchmechanik verwendet man Oblicherweise den Spannungsintensitltsfaktor K hzw. seinen kritischen Wert

K - {E'C )1/2 cr c ,cr (4)

zur Charakterisierung des Spannungsfeldes um eine scharfe RiBspitze; da eine solche im gegebenen FaIle nicht vorliegt. findet in dieser Arbeit vorzugsweise $ Verwendung.

Oa! Hauptnormalspannungskriterium kOnnte "objektiviert" werden. wenn anstelle der Zugfestigkeit ft eine effektive Festigkeit feq derart eingefOhrt wOrde. daB

feq -c {E� ler/ w J 1/2 (�) mit w • da als Breite des Bruchbandes. Die Kons tante c hlngt vom Elementtyp abo Sie weicht nicht aI11u stark von 1 ab (hier ist c-O.921). LOs t lIan GIg. (5) mit feq - ft nach w auf, so ergibt sich eine Elellentgr�Be von

w - Wc • E� �cr ( It)2 , (6) die normalerweise ein Vielfaches der GrOBe der maximalen Zug-5chlagstoffe ist (GIg. (6) gilt far unbewehrten Beton). F{1r viele Strukturen ist eine soleh geringe Elementgr6Be inakzep

tahel; (lle vorgahe von w • !la entspl"echend GIg. (6) erlaubt ke!ne Netzverfeinerung.

J02

AIl e Laborversuche zur RestAtigung von Rechene rgehni s s en auf

�rund .• herk�lIlll11icher 'fethoden sind durch relat i v k l e i ne Prohen

�raBen gekennzeichnet. Die Gr�Be der E l emente Macht oftma l s

nur ein �eringes Vie l faches der Zuschlagstoffgr6Be aus.

Dies e r k l A r t die in der Literatur angefUhrte. zufriedenst e l l

ende Oh ereins t immung mit den Tes tergebnissen. �an sol l t e je

doch yor zu groBen Erwartungen bezOglich der GUte der Rechen

ergebnis se bei grftBeren Strukturen. wie z.B. Kernreaktordruck

gefABeaoder StaudAmmen, fUr welche in- situ-Test s nich t in

F rage kommen. warnen.

GIg. (6) is t die Grundiage fOr eine indirekte �ethode zur Re

st immung der Bruch z A h i gkeit 9cr unahhAngig von den k l ass i schen

Bruchprohen . Fal l s d i e auf fi heruhenden. herk�mm l i chen �etho

den far e ine hest imm t e El ementahmes sun� w Ergehnisse l iefern,

d i e i n Ohereinst immung m i t den Tes t re s u l taten s ind. und fal l s

die Res u l tate Uberd i e s vom Wert von fi ahhAn�en. dann g i l t

w • Wc und �

cr i st gegehen durch:

C;c r

• ( fi lc )2

w/E� . (7)

Die Anwendbarkeit hruchmechanischer �ethoden auf Reton wird

von manchen Experimentatoren ange zwe i fe l t. Die Differenzen

zwischen hruchmechanischer Vorhersage und Experiment l iegen in

den zu k l einen Prohenahmessungen. FOr groBe S t rukturen wie im

Reak torhau oder hei S taudAmmen i s t d i e Rruchmechanik ohne

Zweifel anwendhar. Dahei is t die Frage der Verwendung eines

Bruchbandes oder eines im mathemat i schen S inne scharfen � i s se s

eine Frage des nume r i schen Aufwandes. Die Ergehnisse an sic h

sind nahezu die gleichen. Was die Anwendungsherei che der h eiden

erwlhnten RiBaushreitungskriterien anhe l apgt. hefinde t man

sich bei k leineren Bautei l en in einem Ohergangsgehiet vom

Energiekriterium ( �c r) zum F e s t igkeit s k riteriuIII (ft ) . Die Ver

wendun� eines ein E l ement b reiten , s tulllpfen Bruchbandes bei

kleinen BauteilBB lIIit dem gleichen 1er wie fOr eine groBe

Struktu r t rAgt ZUlli Eintritt in diesen nbergangsbereieh b ei

(vergl iehen lIIit einelll scharfen RiB ) . Oas VerhU tnis B ruehband

breite w zu einer eharakt eristischen Probenabllle ssung D. a l so

wID wlch s t s tArker gegen 1 al s ein !hnl iehes VerhAl tnis fOr

den seharfen RiB) . Oherd i e s ist r. (wi e auc h w ) fUr k l e ine ler e

303

Prohen nieh t mehr k onstan t , s ondern n i mlllt lII i t ahnehlllender Pro

hengr6Be ah . FUr bewehrten Beton lIIuB C vom '-Anteil der Be-ler wehrung ahhllngen w i e auch von der Gr6Be und dem Ahstand der

Bewehrung s s tAbe. D i e BerUck sieht i gung d i e s e s kOlllp l exen Sachver

hal tes wU rde den Rahmen d i e s e r Arhe i t sprengen. W i r nehmen

h ie r an. �cr s ei a priori gegehen .

4. Bestimmung der Ri6ausbreitungskraft

Zur Re rechnung der RiBaushre i tung s k raft � oder.snders aus�e

drUck t , der Fre i s e t zungsrat e der Verzerrungsenergie, atl/as. hetrach t e t man ein e i nfaeheres, lIhnliehes �ode l l. he; dem das

Rruehhand durch e ine Kerhe von der Rre i t e e i nes E l emente s e r

s e t z t wi rd . Dorch Wegschne i den des �ater i a l s im Vo l um s e l elllent

6V (5. Ahh . 3a) real i s i eren w;r d en Vorseh r i t t der Kerh e . ner

IInters c h i ed zwi schen dem Rruchhand und der Kerhe l i egt dar i n ,

daB das Volumen 6V, we l c hes h e i m Rruc hband n icht weggeschn i t

t en sondern nur ger i s s en i s t. nur d i e FlIh i g ke i t verl i er t,

<:nannllnl!en norl'la l Zll den �ic;sen zu flhertrap.,en, Sormal snanntln

�en paral l e l zu d en R i s s en werden h i ngegen fiher tragen .

Il i e Rewehrung wird a l s "verschlftiertes Kon t i nuulll" hetrachtet;

unt er der Annahme vo l l en Verhundes s i nd die Ver z errungen t • . 1m R�ton und in der Bewehrung d i es e]hen. FOr d i e Spannung :� Kompo s i t g i l t

(8) woh e i ai J und a ij d i e vom Reton und der Rewehrung Obert ragenen

�oannung sant e i l e s ind. Oas ort hogona l e Rewehrungsne t z ist

durch d i e zwe i Parameter P1 und P , (P1 • F. IF . .-. 1 Stah] K01llP05i t'

F • . . F l nche) , charak t e r i siert. Es p i l t

mit a und a a l s den Spannunp .. en in d ft h 51 1 5ZZ en newe rtlnl!5s tllhen paral l e l zu Xl und xz.

Vera l l geme inerung auf schiefwinkelige Rewehrung sne t z e fUhrt

Iluf

(9)

(10)

d )�rflQchenlcrQtte auf �S

b )Zwischenzus land

'----v---" 1-Lagen System

g) Grofles tla

c) Endzusland

t ) Knotenkra t Ie in �v

h) K Itlnes �a

Ahh. :\. "Ilshreitun� des Rrllchhanctes IInet ",afl�ehende Kraftdillgramme

mit Q als dem Tensor del' einachsi�en Snannung des Rewehrungs-Os i j " teiles Q und ck� als del' �atrix del' Richtungskosinus.

ner Vorschritt des Bruchhandes leann al� 2-Stufenproze� an�esehen werden:

,. Stufe: Wir denken uns in IN Risse parallel ZII x, geschnitten und gleichzeitig Oherfl�chenkr�fte aTc' auf dem Rand as des Volumenelementes aV und Volumskr�fte atCi in tV angebracht, derart, da� aT�� und �f�� die ursprUngl iche Wirkung des Retons

-1 -1 in tV fohne die Bewehrun�) auf den rest i ichen Reton I'Iit dem Volllmen (V - �V) !md die �ewehrlln� innerhalh von ,\'1 ersetzen.

(s. Ahh. Jd lind Je). "'an heachte, daB die af � in Wirklichkeit Verhllndkrllfte zwischen Stllhl und Reton sind,

cJaB sie illl "ver

schmierten" Kompositmodel1 aher als Volumskrllfte auftreten (s. Ahh. Je). Damit erh�lt man einen r.leichgewichtszustand (�etaZllstllnd), und aIle verschiehungen und somit auch die Verzerrungen sind unver�ndert gehalten. �an spricht von einem "einge-

. frorenen" Verschiehungs- h zw. Verzerrungszustand.

2. Stufe: Sogenanntes "Auftauen des Systems", gekennzeichnet dllrch ·�h«;enken von AT � lind Af � allf Null (hzw. Ian�sames "n-• 0 Cl 0 Cl hrln�en von -aT . und -af .), wohei die ursprUnglichen Ver-Cl Cl 0 0' 0 sctl1ehllngen, Ver zerrungen und Spannllnoen u . • (: .. und 0 • • in . . � 1 I) I) den End zustand ui' £ij und 0ij Ubergehen. J.m Betonvolumen aV (ohne Bewehrungsllnteil) gilt heim RiBvorschritt vom AnfangsZlllll Zwischenzllstand:

( 1 1)

na sich nach Voraussetzung die Risse im Bruchhand parallel zu x, aushreiten (normal zur Richtung del' Hlluptspannung). muB die Schuhspannung illl Element direkt VOl' del' Bruchbandfront �ull

c seln; daher a012 • o.

"m Ende del' ersten Stufe (�eta zustand) sind die Spannungen in del' Struktur unverlndert, mit Ausnahme del' Spannungen 1m Beton

CO tnJV. worin die Spannung 022 verschwindet und nul' die Spannung o�, (I) • F.�£�t verhleiht.

Die �nderung del' �otentiellen Energie zufolge von Rei Ben des Betons im Volumen aV ist gleich deT beim ReiBen des Betons frei�e�etzten VerzeTrun�seneTgie, nlmlich

(12)

Beim Obergang vom Zwischenzustand zum Endzustand (Zustand II) flndet kein ReiBen statt, d.h. keine Energiedissipation, sodaB die �nderung del' potentiellen EneTgie del' GesamtstruktuT

aV + (V - aV) nUT aus der (negativen) Arbeit beim Entspannen

306

dt"r !hlBerl'n Kr�fte /lT� i und H�" odel' , andel'� alls�edl'l\ckt, tufoll!e !\ufhrinp,enc; von - flT� i \�nd -1If�

i he�teht:

, 2

�� nht"l'fl�chenanteil

flf 0 (u, - ll�) <1\'(n) c i l l

flY Volumenanteil

�WT ste llt diejenige Arheit dar, die von del' Wil'kunp, dec; Restes del' hetl'achteten �cheihe auf dac; �el'i �sene Betonvolume;ele

ment /lY hel'l'Ohl't.

Die w�hl'end des �l'uchhandvol'e;chl'ittec; aufl!ehl'auchte �es amte fl otentielle F.nl'l'�it" 1\" c;etzt s ich :1IIC; del' �i"ohel'fUchenener�ie in flY und dt"l' di�c;ipierten W�l'meene l'gie zuc;ammen:

(U)

nie� 1St die �T'undle (!ende r.lt"ichunv, fill' die Rl'uchmechanik von

�tahlheton.

Bei nichtlinearem �aterialvel'halten innl'rhalh von V-/IV und Fliellen del' Bewehrun� innerh:tlh von Y-�V und /lY ht r.l�. (n)

tu modifizieren /1/. Fall s lilt hinreichend klein ic;t (was oft del' Fall is t) kann Gig. (13) auch im nichtlinearen Fal l ver- ,

wendet werden /1/. Oil'S ic;t aue; den Ahh. 3� und 3h ere; ichtlich :

die FUche WT

in Ahh. 3J! und 3h reprllc;enti .. rt !lTc.du;. 1m

Grentfall degenel'iert sit" tU einem Orejeck. 1

Falls sich das Material auBerhalh von AY, d.h. auBerhalh del' BruchprozeBzone,nichtlinear verh�lt, wohei die Sichtlinearitlt

auf die BruchprozpBzone heschr�nkt hleihl'n �6�e, dann muB da� ein-Element-breite Bruchhand .it del' aktuellen Rruchhandbreite w fOr das �aterial zusamllenfallen, es muB also gelten w • wc.' c . (s. Abh. 4). nil'S ist notwendig, d. del' Enel'giefluB aus V - lY

in da! Volumen AV nicht unahhlngi� von der Wahl der Oherfllch.

AS ht. Rei linear eiastischem \faterialverhalten auBerhalb von aV h1n�egen 1st diesel' Energieflu8 von der Wahl von AS UR

abhlngig. Der erwlhnte Sachvel'halt 1st vlHlig analog zur BruehIIIechan1k elll5tischer hzw. elasto-plastischer. metallischer Werkstoffe. Die VerwendunR des J-Integralkonzeptes zIIr Berech

nung von AWT wOrde die Verwendun� "heliebig" brei tel' Bruchbinder gestatten.

307

Bel Anwendung del' F�� werden die vel'teilten Krnfte AT�i

und

Afo durch Knotenkrnfte ersettt . GI�. (14) Jautl't d�nn: Ci

all - -IJ f[(1�; £�j - E�([�1)2JdV +

- u�) ] + 1 as

AV

[ [ -21 �po (u. - U01,) J ei 1 aV

(i , AV)

[ [ � t.Q�i(Ui-

(i ,as)

(1 S)

III it flQo. als Knotenkrnften zufolge der nherfl�ehenkrnfte flTo -

0 ci llP81 al s Knotenkr�ften zufol�e del' Yolum�k r�fte flCe,' lind c i 1

nil' Kr�fte -AO und -4P . k�nnen dlrekt al� Knot�nkr�fte he-. 'C i c 1

rechnet werden, die auf den Beton �u f flS und innerhalh von flY

wirken und in flY im Gleith�ewicht mit den Spannun�en nach "lR. (11) <:.tehen. Fall� Reton \Ind R('wehl'ung an innt"l't'n F.le-

mentsknoten als nicht unter Verhund stehend berOcksichtigt werden (Ahh, ��) (ein Yorgang, der manchllal hei der �odell ier

ung del' Bl'wehrun� angewendet wird) , �ilt flPCi-O, und die letzte Summe in del' cag. (IS) entfU lt. F 1Illt die �ittellinie

des Bruchhandes mit einer Symmetrielinie des Elementes aV Zll5 Itlll men , dann giht es aufgrund von Symmetrie keine J(raftOhertragung von der Bewehrung auf den Beton entlang der gesamten Symmetrieache;e. 1m FaI le von Symmetrie reicht es hint Integrationen und SUlllmationen in r.lg. (IS) nul' Oher die eine Hllfte des Netthereiches durchzufUhren.

�it Hi1fe der Bruchbandmethode wurde das eingangs diskutierte

Beispiel f�r den Fall vollen Verhunds , gekennzeichnet durcb

Nichtbel'Qcksieh tigung des Schlupfes zwischen del' Bewehl'ung und de. u.gebenden Beton,noehmals gerechnet. Der Bereehnung vurde

r. • 2 13J N/M zu�runde Rele�t. Oil'S fUhrt fOr das grObste 7cr •

Netz auf f art'. eq

Oil' Abb. 2a und 2benthal ten den Lastpara.etel' � als Funktion der RiBllnge a fUr unbewehrten (p.o \1 und bewehrten (p·O.8 \)

Beton. FOr unbewehrten Beton fallen bei Verwendung des Energietriteriulls die (urven fOr die drei Netze fast zusa •• en; sie werden mit der LOsung fOr einen scharfen RiB in ei ner Scheibe _it del' Geo�etrie des Nettes 8 vel'gl i ehen. FOr den bewehrten 8eton divergieren die (urven mit waehsendem a.

308

r.enlluere Unt ersuchungen z e i gen , d a B d e l' Ver l us t del' "Obje k t i vi

t � t " des e r l �uterten Ener �i e kr i t e r i um s e i ne Fo l ge d e l' Ni c h t be

rOc k s i c h t i g un \t von G l e i t ve Thund zwi sc h e n d e l' Bewehrung und dem

umgehenden Reton i s t . Oh l icherwe i s e werden d ie Bewehrungs s t � be

al s m i t d em umge benden Ret on i n a l l en E l em e n t s kno t en s t e i f ve r

h llnden hetrac h t e t . !l i e S t e i fi g k e i t d e s A h s c hn i t te s e ines Be

wehrun�s s t a h e s , d e l' zwe i Kno tenpu n k t e auf gegenOber l i egenden

IIfern e i nes st um pfen R i s s e s m i t del' R i Bbre i te w verbi ndet , e r

g i h t s i ch , a u f d i e E i nh e i t d e l' R i Bh re i t e h e z o ge n , z u

(16 )

wohei h d i e Sche i bend i c k e i s t . �i t fei ner werdender Net z t e i l ung

wird w .0 und k .- . 1m r.re nzfa l l i n fi n i t e s im a l e r E l emente s wurde d i e Rewehrung k e i ne R i B �ffnung g e s t a t t en . !li e s i s t un-

m�g l i c h . !ler he s c h r i e ben e, i r rea l e Sac h verha l t gi l t sowo h l fOr

das En erg i e k r i t e r lum w i e auc h fOr d a s Fe s t i g ke i t s k r i t e r i um.

[li e RerOc k s i c h t i gung von r.l e i t ve r bund z w i s c hen Bewehrung und

umgehenden Be ton i s t d a he r e i ne no twend i ge Bed i ngung zur E r

l angung e i nes "o bje k t iven" im S i nne von ne t z i n va r i anten (von

den Oh l i chen D i s kre t i s i erung s fe hl e rn a hges e hen ) E r ge bn i s se � .

Objek t i vi t � t d e s Ergehn i s se s im erw�h n t en Si nne l i eBe s i c h nun

n i c h t e r re i ch en , wenn d i e A bs c hn i t t e d e r Bewe hrungs s t� be , l �n gs

der Gl e i t verbund angenomme n w i rd , m i t d e r Topo l og i e des F!

Net z e s i n Be z i e hung g es e t z t wurde . Der A bs c hn i t t ZLs

e i nes Be

wehrungs s t a be s , d e r m i t G l e i t ve r bund a s so z i i e r t w i rd (5 . A bb.

4 b) , MuB e i ne F.i gens c ha ft d e s Ver bundwerk s toffes Stah l be ton

dars t e l l e n .

5. Oer Einflu6 des Schlupfes zwischen der Bewehrung und dem umgebenden

Beton

Die Haftspannungen Tb zwi schen der Bewehrung und delll uIIIgeben

den Beton hlngen von den an der Trennf l lche wirkenden. lokalen

Nor.a l spannungen ab o Der Schlupf verursacht eine Dilatationsbe

anspruchung des die Bewehrung u.gebenden Betons . Weiters h lnlt

Tb vo. Schlupf 4�. d . h . von der re lat i ven Tangentia lversch ie

bung zwischen Bewehrung und u.gehende lll Beton a bo Di e erwllhnten

Tat s a c hen verur s a c he n e in e ung le i c hfOrmi ge Ver t e i l un g von Tb l �ngs d e s Rewehrungs e l em e n t e s (s . A bb. 5).

a I

FE - N@Otz I i i i -�-"T-4--TI I I

-+-t--L-�

E[Z��! �t 8@'w@OhrunQsn@Otz

.... HHt H �

dl

f r� '�s GI@O.!@On

309

bl c I

Haft-

4 �kratt@O

4 1 4 � F===::'=�] 1Ls

1 J j �

voll@'� ..... bund

,'Ihh. 4. 'fod e l l z llr Rl"r llc ks i c h t i (!lIn n von r,leitverhllnd zwischen

Rl"wehr llnR und um g l"henden R l" t on 1m Rereich d e s �i B

ha ndes

211m Zwec k der Ah l e i tung e i ner vere i n f ac h t e n Tnge n i eur fo rm e l 'le i

an�l"nommen , ' daB Th

• c o n s t . Welt er s nehmen w i r an , d llf\ d i e Ila ft

k r a ft Ohe r ei ne Lllnge Ls

gl e i c h rier h e i m o\!l5z i eh ve r s llch (TlUl l

o llt -t es t ) ('I. Ahh . 5a -5f) erm i t t e l t en Ha f t k ra ft ist : L i s t 'I d a nn �le i c h rier max ima l e n Fi nhet tunRS I � n l!e ('I. Ah�. 5), fOr

we l c he d e r Reweh run g s s tah h e i e i ne r Kra f t P aus dem Reton h e r

lIus �e zo�en werden k ann . Standardwerte fOr pro fi lil"rt e Reweh r

untl!!'s t lIh e s i nd : "h . P/Ls

� �5yf� fU r Rewehrungs ah s t llnde 15 cm

und ";' • 2!!yf� filr Rewehrunl'.s llh s t iind e < 15 cm . fc ' k ann i n S/",

Z

(y·2.hZ) oder i n p s i (y • 1) eingesetzt werden ( 1 ps i ·

f.o 110<; 'l,.., 2,

"M . 1<% bl 4:>$ cl uti mmn d) as(x} AID I!) as (x) AlIII f)as(X}�

310

�hh. S. Oh e r sic h t tiher die s pe z i fis c hen Ha ftkrlfte und - s pan

nun�en in e i nem Bewehrung s s ta b

Wi r hetra c h ten nun einen Rewehrungsstah, der einen scharfen R i B kre u z t (s. Abb. Sg-Sm). Oa d ie Stabk ra ft a m Ri B ,

A a i m C,le ichgewicht mit der Summe aus der Stabkraft Ab

os' b s' in einiger Entfernung vom RiB und der Haftkraft U� Ls (5 . A hb .

Si-Sk) stehen muB, erhllt man fU r die Schlupfllnge Ls

(17)

m i t Ah als der Querschnittsfllche eines Bewehrungsstabes, A • ph als der auf die Llngeneinheit und die Sche ibendicke bes zogenen Stahlfllche und a • a' als den Zugspannungen im Be-5 s wehrungsstah am R iB bzw. am Ende des Schlupfsegmentes (5 . Abb. Sk) •

1m folgenden w ird nur eine Fam ilie von Bewehrungselementen berQcksichtigt, welche d ie Bruchfllche kreuzt.(s. Ahb. 4, S&). 'm Ende des SchlupfseRmentes s ind d ie Dehnungen im Beton und in der Bewehrunggleich, nlmlich es-o ;/Es' und d ie pro Bewehrungsstab Ubertragene Last Aba, ist ungeflhr gle ich der vom Beton und der Bewehrung gemeinsam Ohertragenen Kraft am Ende der Schlupfzone. Folgl ich g ilt:

po - o' IE . (Esp + Ec (l-p» s s 5 (11)

311

oder

o� - as

np I ( 1 - p+np) ( 1 9)

m i t n -E IE und p - A I (A +A l. s c s C 5 O:tm i t e r�i h t s ich 0 - CI' - "

s (l-pl!(l-p+np) lind d i e s e r �i ht s s

di e Sc h l up f l � n�e (s. Ahb. 4h, Sk)

( 20)

Ei ne obe re c're n z e fU r Os

i s t di e F l ieB gren ze f Ur S t a h l . Eine

unge flth r e un tere Gren z e f Olgt a us de r Annahme , daB di e Z ug k ra f t

i m St a h l ,a A gle i c h d e r Zug kr a f t A f' i m Reton vor dem Re i Ben . 5 S' , C t ist· A - � p/(l-pl. Oi eo; filh r t a uf a • f' (l-p)/p. Oie Ve r-o • s . c O s t wendung v on f� i n di e ser Sc h �tzung st e l l t e ine Ahwe i c h un� von

de r h r uchmec ha n i schen Reh -'lndllln� de s Proh l e "'s da r . S ol a nge die

a n t e i l i ge F l ltche de s Re t on s pro Reweh r un gss t a h ung e f �h r von

de r C,r�Be w i e hei Pro ben fUr Zugversuc h e i s t ( - 100 c m2

) (und

d a s i s t o f t der Fa l l ), dU rfte nlh e r ungswe i s e ft a nwendha r s e i n.

F Ur d i e Rerec hnung wlh l t man e inen � it t e l w e r t a us den be i den

e rwlhnten Gre n zwerten.

E i ne gen a uere Vo rgang sweis e he s t eh t da r i n , di e Zunahme v on Os

m i t zunehmender Entfe rnung von d e r R i B f ront z u be r Uc k sic h t i�en;

dann wi rd L fflr jed e s fi ni te El ement i m Bruchha n d be rec hne t . s I n einiger Entfernung von der Rru c hf ront s ind d i e berech neten

Werte obj ektiv im S i nne d e r bere its meh rma ls ange fOh rten

spe z i f i s c hen De f i n i ti on d i e s e s Begri f fe s .

Die Schlupfllnge 1st den Ahh. Sh-Sk zusammen m it der aktuellen (5. Abh. Sh-Sj ) und der i d e a li s i e rten (s. Abb. S i-Sk) Verteilun� der Haftkraft Ub und der StahlspAnnung 0S z u entnehmen. O ie Rerflcksichtigung von Haftkr3ften in der FE-Analysis wire - obwohl m6glich - unpraktisch. da far Stah l und Beton separate Knoten hetrachtet werden mUBten. EiDe praktikablere �ethode be-steht darin, nur die globale Verl�ngerun� d e r Rewehrun�s e le

mente {Iber die Schlupfzone 2Ls i n Betrac ht z u z i e hen. A n s te ll e

von L betrachtet man eine gleichf6rmige Spannung as Uber e ine s f re i e Sch l upfl �nge 2L� (s. Abh. 4c) und e i ne �le i chf�rm i ge

312

Spannun� a' Oher die verhleihende Strecke (2l - 2 L'), An den s S s heiden Enden des Ahschnittes 2L; wird starrer V�rhund zwischen Rewehrung und umgehenden R�ton voraus�esetzt. Anstelle von 2l.' kann man alternativ �ine �eanderte freie SchlupfI�nge Z� s s mit Re1tndert�m RewehrunRsquerschnitt A� herilcksichtigen,der-art, daB sic� die VerlnnRerung hezoRen �uf den Ahschnitt 2Ls nicht nndt"rt.

Wir hetrachten ein Rruchhand del' Rreite w (s.�hh. Sn-5s), wo-c hei s in �hh. Sn del' mittlere 'hstann paTalleler �isse inner-halh Ges Bruchhandes ist. In diese� fall erstreckt sich del' Schlupfhereich tU heiden Seiten ilht"r eine T)istanz I. , und s auBerdem erfoIRt Schlupf zwischen je zwei parallelen Rissen innerhalh des Rruchhandes .. elhst. Fill' s<Zl. fallt die s <;pannlln� im Rewt"hrlln(!c;c;tan in del' '·fitte zwischen zwei henach -

hart en Rissen nicnt auf cr�. linter del' Annah..,e von f!leichem "h (s. Ahh. 5p) t"rRiht sicn Giese Spannun� ZII

n' S s /(lL ). s ( 21)

nie mittlere Spannung im Stahl innerhalh des Rruchhandes erRiht sict! c;omit ZII a ·(0 +0 )/2. fl i e mittlere Spanntlnr, innerm c; 0 halh del' Ahschnitte Ls ist an • (os·0;)/2.

r.le;ch�ewicht am F.ncie del' freien �chluofll1np.e 21."5 erfordert, daB die gesam te Kra ft im Se�ment der L§nr.e 21� und des Quer

schni t t ec; A� g l e i c h del' fIIr den realen Querschnitt Ah

s e i n muB :

(2 2)

Daraus fo l g t: a; • as Ah

/A� innerhalb 2L� .•

Aus de. Vergleich der Ver l lngerungen (Ver l lngerung Uhe r d i e

freie Schiupflllnge 2L� fUr eine angenollmene Quenchni t ts rUche

A-h plus der Ver l lngerung Uber die verhleihende L§nge ZL +w -2 L s c s

ohne Sch l upf • Ver llngerung Oher die t a t s1tch l iche Sch l u pflltnge

2Ls + Wc fUr den tatslchlichen Rewehrung sgrad p) erh§lt man:

• 2L s a + 0' 5 5

2Es

a ' - n·) $ s r · s

as _ (J� 4L )

s

( 23)

und mit r.lg . (19) er "ht " h fOI d �I SIC 'r te :Jqu i valente freie Schlupf-111nge (d.h. fill' d i e :Jquivalente Lltnge, d i e d i e gle i che Steifigkeit des Bewehrungsstahes I iefert)

A� (l-p) -=----.:.:....---.- [L 2[A h ( l - p +np) -pn Ah] 5

Fill' .A� • Ah folRt aus C,IR. (24)

I.' • ![l + w (I-S/(4Ls))J c; l. s C

+ w ( 1 -s / ( 4 L n] c 5 (24)

(25)

Fill' e i nen scharfen Ri B (wc·O) ver e i nfac h t s i c h d i ese Rez i ehung

zu (s. Ahh. 5m)

( 26)

Verhundsch l upf sollte filr a I l e das R i Bhand k reuzenden Rewehrungsst�he he rOcks ich t i gt werden e i nschl i eB l i c h d e rjen i gen Stlthe, d i e e ntweder 6V k reuzen oder auf 6� l i e�en . Ahh§ngi g

von den in den Knotenpunkten erhaltenen Haftkr�ften, 5011te

Ve rhund schl upf auch fOr VOl' dem Rruchband i nnerhalh e i nes be

s t i �.ten Abstandes vor der Bruch front ge l egene El emente berUck

sichtig t werden. Eine Vera l l gemeinerung auf Bewehrung s s t Abe,

die d a s R i Bband schrlg durchs e t z e n , i st mOglich.

ner numerische Berechnungsgang IAuft wie fo l g t ab:

a) Berechnung von 2L� aus G I g. (25) fOr A� • Ab (Dis tanz !6 in Abh • .ec)

h) Ahrundung , 50daB 2L� : Distanz der nAchs t l iegenden Xnoten

(24 in Ahb. 4d) und Berechnung von A� aus G I g. (24);

c) 1m FE-Prograllm i�t zu heac h t e n, daB BewehrungsstAbe

1/2

f�q

• c ( �c r

Ec

/ w)

u n r i c ht i � e Result a t e lie f e r t .

a ) F reie Gleitlange :Qoo/.

Netz C

a

316

a �

III o ...J

2

Energievariation mit freier Gleitlange

O+---�2--+)--"��--T6--7��8--� Rd"lla� (cm)

1�=F�F=�-+I--+I--I��I--�I--�. o 2 ) " � [' 7 8 R""Ilang� (cm)

(28)

a � c) Energievariation mit

freier Gleitlange a �

d) mit freier G leitlange Netz C

2 .>< o :: ) I!! ...J

2 3 4 5 6 7 8 Rinlange(cm)

4

� .JC 2 ; 3 o ...J

2

Energl�vari at Ion

aqulvalent� �tlgkett

1��+-��--��--� 0 2 3 4 5 6 7 8 . RiIllange (cm)

Abb . 6. a) RiB�ffnungsprofile

h) Ergebn i s s e fUr verschiedene Net z g roBen

e) Ergebnis se fUr versehi edene Bewehrungsabstlnde

d) Ergebn i s se fUr K r i ter i um der Iquivalenten

Zug fes t i g ke i t

317

6.1. EinfluB der Bruchflachenrauhigkeit

�u f � rund de r Ver z a hnung de s Zus c hla g s to ff e s konnen R i s s e i m

St a hl h�ton h e t r �c ht li c he Schubk rlfte Ubertragen . A u s d e r

Kon t a k tmec han i k i s t hek annt, d a B d e r Schlu pf zweier rauher

Oh er fl�chen in Kon t a k t ste t s von e i nem Zuwac hs der R i Bauf

wei tung he�le i t e t i s t . Falls le t z t ere b e hi nd e r t w i r d , werden

a n den Rruc hfl�c hen g roBe Druc kspannungen induz i e r t . D i esen

sekundlren nruc k spa nnung en m Us s en zuslt z l i c he Zugk rlfte i n

der Rewehrung da s Gle i c h� ew i c ht ha l t en. Dies fUhrt zur Aussage,

daB di e Berilc k s i c ht i gung der Bru c hf U tc henre i bung beim Entwurf

de s Rau t e i ls in der Reg e l e i ne s t lrkere Rewehrung bed i ngt. Be i

Ve rnac hlls s i gung der Bruc hfllc he nr e i bung li eg t man som i t be i

der Beme s sung de s Bauwe r k e s h zw . Kon s t ru k t ions t e i le s im a ll

gem e inen a u f de r uns i c he ren Se i t e .

D i e ers ten FE-Iln t e r suchungen u n t e r B e r ilc k s i c ht i gung d e r Bruc h

fl�c henrei bung gehen a u f Su lda n und Sc hnob r i c h zurUc k , welc he

den Sc huhmo dul G du rch e i nen redu z i er ten �odul G' • as

G (OSas Sl)

e r s e t zen. D i e s e s vere i n fac hte �o dell kommt jedo c h der Wi r k li c h

k e i t nherhaupt n i c ht na he , da de r ftir d i e Exi s te n z der Sc hu b

spannun�en wi c ht i g e Nor",a ld ruc k fehlt . Neuere experimente l l e

IJn t e r suchun�en z e i gten i1herd i e s , da B d i e Sc huhUhert ra gung

e i n hoc hgrad i g n i c ht li neares Prob lem i s t.

6.2. Spannungs-Verschiebungs-Gesetz

W i r betrachten e i ne ebene , aber m i kros kop i sch rauhe Bruch

fl Ache nach Abb. 7, worin 6ft und 6t d i e re lat i ven Normal - und

Tangen t ialv�rschiebungen der RiBfllchen betre ffen.

Es sei 6n die RiBoffnung (6n'0) und 6t d e r R i Bschlupf. Die zu

gehor i gen Spannungen sind die Nor.a l s pannung ae « 0 fUr Druck) e nn

und d i e Schubspannung ant' wobei der Index "e" auf Beton hin-

weist.

I. S i nne von M i t t e l ungen tiber groBe Geb i e t e der Bruchfllche

und v i e l e Ris se konnen d i e Relat ionen zwi schen Differentia l en

von a�n' a�t und 6n , 5t Ihn l i c h wie i n der inkremente l l en

·\ h h . 7 . S T'l a n n l l n � s - \' (' r s c h i e h l l n � <; - r- \. 1 c h e n ( a ) - ( f ) u n d P i r:\

"' o r n h o l o � i (' ( � ) - ( i l

P l a s t i z i t N t s t h e o r i e a l s �a t e r i a l (' i � e n s c h a f t a n �esehen we rde n .

Il i e p r w ?l h n t e n R e z i e h u n l! e n k o n n e n fo rm a l w i e fo l � t a n l!e

s c h r i eh e n we r n e n :

f ' } ° n n

d"�t

hzw .

f"J d t5 t

[ R R ] r } nn n t n

Rtn

'\ t d �

t [F F ] r } nn nt nn

F t n F t t d O�t

( 2 9 )

M i t R R B u nd B a l s Koe f f i z i e nten e i ner S te i f i � k e i t s-nn ' nt ' t n t t

ma t r i x und F , F , F und F a l s Koe f f i z i en ten e i ner Nach -nn nt tn tt

� i eh i � k e i t smatri x . E i ne e i nfa chere aher wen i ge r a l l geMe i ne

FOl1ll d e r Spannung s-Deh nung sh e z i ehungen i s t dUTCh d i e Re l a t i onen

(:'0)

gege�e n , we l che i h re Gegens tO ck e i n d e r Oe fo rmati o nstheor i e

d e r Pl a sti z i t� t (Theo r i e der to ta l e n Ver z e r ru n� e n) h a hen.

E i n we se ntl i c her �ac hte i l der G I g . (:'0) l i e g t in d e r l Ina h

h� ng i g k e i t d e s Ergehni sse s yom Be l a stu nl! sweg i n d e r t5 n , t5 t -

Ehene hegrOnd e t . Au s phy si ka l i se hen n h e r l e g u ngen d e r Ko ntak t-

mech a ni k fo I g t , d a B B <0 und Bt

< 0 fU r 6 >0 und R t

>O und nn n t n

•

Btt

> n fOr t5n

> O i st . D i e s fUh r t a u f e i ne S te i f i g k e i tsma tr i � ,

d i e ni c h t po si ti v d e f i ni t i st und fo l g l i ch e i ne Tend e nz z u

R i B i nsta h i l i ta t z e i l! t .

Au fl!rund vo n Ver such sergehni s se n von P�u l ay und Loeh e r e r h a l t

m a n Sna n nun l! s -Verseh i ehu n g s l!esetze d e r F o rm

m i t

e o • nt ( � 1 )

, r • T O • n . 2 4 S f

e T

U ( :, 2 )

u nd al

, • . • a 4 a l s A u sg l e i e hung sparametern, d i e vo n der Gr6Be

der Z u sch l ag st of fe abh a ngen .

FOr t5 » � ( groBer Sc h l up f) erg i h t sich a u s G I g . ( 31 ) aCt · T .

t n n u T

U ste l l t d i e max ima l e Sc huh spa nnung d a r . S i e e r g i h t s i ch a l s

A symp to te d e r KUTve a nt - t5 t he i kon s t antem t5 n ; T O i st der

Gren zwer t fUT 4n+0 ; f� ist d i e Z y l i nderfes t i gk e i t naeh 2 8

Tagen . Tes t da t en sow l e auf I hnen heruhende Ma ter � � l ge se tz e i n , ana lyt i scher FOl1ll s c he i nen in den Ahh . 8 u nd 9 auf .

I n der Nahe des U r sprungs 4 n • t5 t • 0 g i l t :

_ i t a und c a l s Kon s t anten .

� 7 N

� 6 -z ....... 5 uc b 4

g' 2 3 j 2 :J .c. u V'l

320

(a )

�rsu ch von • • Paulay un<! Loeber

o,orgesch layene Gleichurg (s : SO mm )

le . 3 1 N/mm 2 O ��L-�� __ � __ �� __ � __ � 0,0 0.2 0,3 0.4 0,5 0,6 0,7 0,8

N E E Z 6 c:: ir 5 c � 4

� ::J 3 c

Tan9�nt ial�sc hi�bung 6t ( m m )

( b )

a�nlc O ) Schubv«$uch �i O'�t I bn = 118 N/mm2 � 2

��he �

j 01 ,, ____ � __ �L-__ -L ____ � __

-

__ -�-__

P_OU_I�OY��U.�

bK--� vorgeschlogene Glei ngen !s .SO nvn )

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Tangent ialverschiebung 6 , (mm)

Abh . 8. Anpas sunR an Versuehsergebn i sse von Pau l a y und Loeber

Dies fOhr t auf

( 34 )

und hesagt , d a B s i e h d i e R i Bufer zuer s t abheben aOs sen bevor

Sch lupf e i ntreten kann . D i e s auB i n der FE -Reehnung berQe k

s ieht i g t werden .

;::;-E E "-

z

:� & b 5

II!rsuche voo Paula y und Loeber bei 6n� O, 25 mm

(a )

1 2 3 , 5 Schu bspannung a�! IN/mm2)

321

2· 0

01 c: � I O c: o Q. VI � " .J: .x O S

0· 10 Tangen t l a l ver schitbung btlmm)

\ h h . Q . Anpa 5 5 u n g an V e r 5 u c h 5 e r g ehn i 5 s e von ( a ) Pau l a y und

I.o e h e r und ( h ) F e nw i c k

( 8 ) V e r 5 a g en ZII fo l � e R i l du nl! vo r z e i t i � e r R i e g e r i s s e ( Co)

n i a g o n a l r i � 5 � (0 ) F i l r � e r i n � e n Sc h l up f ( �n » 6 t ) e r � e hen 5 i c h �

n u n d \ zu / 2 / :

� n ( _ aC )

n n

aC 6 • • - (p + 1 ) _-,n.:...;t:..,,-_

t • ., 1 • ., 2 ( _ aC ) nn

c ,p a • nt

( 3 S )

\Ia n e r h lH t a l s o fllr � • kons t . e i ne l i neare Re z i eh1Jn� n zw i sc h en a �t und �

t/6

n Ztl 8e� i nn des Schuhte s t s . O i es i s t aus

Ahh . 1 0 ( a l ers i e ht l i e h . We i tere a u f den r. l � . ( 31) und ( 3 2 )

heruhende , typi sehe Verha l t ensd i a g ramme fflr Rer i s senen Reton

ze� �en d i e Ahh . 10 (h) und ( e ) .

6 . 3 . Sta hl beton mit schrag zur Bewehrung verl aufenden Rissen

Ahh . 11 s te l l t e i ne m i t e i nem orthogona l en Net z bewehrte Stah l

betonsche i h e m i t schr�g z l I r Rewehrung v e r l au fenden R i s sen dar .

(a)

Tangen" �I .... a"�burg 6., i mm l

1 z

04 -1 0 - 4·0 -6·0 -8 0 Norma1tPGl'IUIIJ a�" I N/mrJ!

_hh . 1 0 . Ty� i s c he Verh� l t end i a � r�mme fO r �er i s s enen R e t o n ,

( Z y l i nd e r fe s t i �k e i t f� • ) 1 S/�m � : � i �a h s t � nd s • SOmm )

Ahh . 1 1 . Ger i s s ene Stahl h etonsc heihe

rm ger i s s enen Beton (Ahh . 1 1 ) werden die Oe for.at ionen tu fo l ge

der I U s se a l s kont i nu i er l i ch vert ei l t oder "verschm i er t " an

ge sehen . rHe gelll i t te l ten Verz e rrungen w fo l ge der "versch", i er

ten" R i s s e s i nd :

[ e r • 6 I s , nn n (36)

_ i t s a l s m i t t l erem R i Ba b 5 tand . Oam i t g i l t unter BerUc k s i c h t i �un� von r, I g . ( 29 )

d c r Fnn 5

- 1 0 F 5- 1 d ann

c [ n n nt

cr d [ t t 0 0 0 dO t t c ( 17)

cl c r Ftn s � 1 0 - 1 dOnt

c t n t Ft t s

oder in ah�ekOrz ter Forlll

(38)

wobe i s i ch d e r I ndex " c r ·' a u f "c rack" ( R i B ) h e z i eh t .

O i e gem i t te l ten Verzerrun�en [ nn ' [ t t und Tnt der Stah lbeton

sch e i he i n R i Br i ch tung s i nd g l e i ch der SUlllllle aus den Ver zerrungen des unger i s s enen Betons zwi s chen den Ri s s en [:� , [ sc , E S C wohe i s i ch der I ndex " s c " auf " so l i d conc rete"

tt nt ( fester , unge r i s sener Beton) het i eht , und den Verz e rrungen zu -fo l � e der R i s s e c�� , [�� und c�� . FOr e i n D i f feren t i a l d, g i l t 5 0Jl i t

O�s D i f ferent i a l d! sC l AB t s i ch durch das D i f fe rent i a l dgC

III i t H i l fe von

d sc ! •

(39)

(40)

darst e l l en , wobe i pSc d i e Tangentennachg i eb i g k e i t s.atrix des ungeris senen Betons darste l l t . pSc hlngt ia a l l geme inen von

c c g und � ab o

FUr k l e i ne Spannungen iJl ung e r i s s enen Beton g i l t nlherungswe i s e :

[ - 1 - 1 E - v E

!] !'I C - 1 - 1 � - v� F.

0

( 4 1 )

Fa l l � d i e!'ler I i n e a r - e l a !'l t i s c h e A n s a t z n i c h t e n t s p r i c h t , d i e V e r z e r ru n g e n n i ch is de s t owe n i g e r a h e r re l a t i v k l e i n !'l i nd , I H B t " i c h D S C a i l s e i ne r pa s !'I enden t o t a I E'n C:;pa n nun� ,, - J) e h nu n J! s - Ku r v e fil r R e t o n durc'" O i ffe r e n t i a t i o n I! ew i n n e n .

SlI h s t i t t l t i on cl e r r. l � . ( 4 () lind ('HI) i n r. I � . ( H ) f" r g i h t

� i t DC a l s cl e r T a n � e n t enn a c h � i e h i � k e i t sm a t r i x d e !'l r i s s e h e "' a f t e t e n R e t o n s .

( 4 2 )

1 m fo l � f" n cl e n w i rd cl e r F i n f l u B cl e r Rewe "' rlln� h e r ii c k !'l i c h t i r. t . na h e i w i rd a ng e nomm e n , cl a B d i e � e"" i t t e l t en V e r z e r ru n p, e n cl e r Rewe h r u n � d i e s e l hen w i e f O r d en r i s s eh e h a f t e t e n Re t o n s i nd .

n i E' !'I e A n n a h m e i m p l i z i e r t l o k a l e n V e rh1Jn d sc h l ll p f i n cl e r "I ,'1 h e

d e r R i s s e , we i l d i e V e r z e r ru n � e n d e r Rewe h ru n \! s e l em e n t e a l s ' v o n d e n V e r z e rrllng en 1 m fes t e n , u n g e r i s s en e n R f' t o n v e r s c h i e d e n angenommen w e r d e n .

!l i e g em i t t e l t e n Spa n n u n g e n i n d e r Rewe h r u n g s i nd

r. s

[1l ' F. ( c . ) 1 S 1

o

()

o

o ( 4 5 )

o

m i t r. - C O S A I , S - s i n9 i , woh e i 0 i d e n W i n k E' l zw i s c h e n d E'"" i - t en

Sys t em pa ra l l e l e r Bewe hrung s s t �h e und der R i Bnorma l en und �i

den ent sprechenden Rewe h rung s g rad d a r s t e l l t . FOr e i n o r t h o gona l e s Ne t z ( s . A h h . 1 1 ) i s t i n d e n r. l g . ( 4 4 ) l ind ( 4 5 ) N- 2 , 6 , - 9 und 9 2 - 9 - - / 2 zu set z en . E s ( c ) i s t der e i nax i a l e T an gen t en

mod u l d e r Reweh ru n g . E r h H n g t v o n d e r V e z e r r ll n g a h .

n i e O i fferent i a l e de r Spannun g en im g e r i s se n en S t a "' l h e t o n e r g eh e n s i c h Z ll

A u s r. l � . ( 4 2 ) fo l g t d g C - ( OC ) - 1 d £ C . Som i t e r g i h t !'I i c h

� _ � s + (!?C ) - l

woh e i � d i e Tan�en t en s t e i f i gk e i t sma t r i x d e s g e r i s !'l e n e n , h e weh r t en R e t o n s h e z o g e n au f d i e R i B k o o r d i na t en n li n d t i s t .

6 . 4 . Numeri sche Berechnungen

( 4 0 )

(4 7 )

D i e entw i cke l t e Theo r i e g e st a t t e t e s , das V e r h a l t e n g e r i s s ener ,

(4 � ) beweh rter Betont ragwerke h e i monoton a n s t e i g enden Spa n nungen

oder Verzerrungen z u h e rechnen . FUr j ede Tensorkomponente kann wo h e i d e r I ndex "s" fll r " S t a h l " s t eh t . Tla d i e R i s s e i . a . sc h rlle

z ur Reweh run� ver l au f en , erh� l t m a n d i e �a t r i x CS , d i e d i e Ve r

z e r rungsd i ffer en t i a l e i n d e r Rewehrung m i t spannung sd i f feren

t i a l en In R i c h tun� der R i B koord i na ten n Dnd t verknUp ft , durch

Summat ion von S t e i f i �ke i ten i n den e i n z e l nen Bewehrungs r l ch

tungen :

( 4 4 )

T n G I g . ( 4 4 ) si nd

fUr d a s bet re ffend e Las t l nkrement entweder d a s Spannun g s - oder

das Verzerrung s i nkreme n t vorgeschiiehen werden . Au s G I g . ( 4 7 ) erh i l t .an dann entweder Komponenten von A , oder 6q .

Zur rechner i schen Bew� l t i gung der S ingu l a r i tl t b e i 6 n- 6 t -0 i s t e s notwend i g , wAhrend des ers ten Be l a s tung s schr i t te s Bnn-O ,

8t t g l e ich e i ne r sehr groBen Zahl ( z . 8 . 1 040) und Bnt- 8tn

Kl.ich e iner s e h r k l e i nen Z a h l ( z . B . 1 040) tu set z en , um

a . - Ay - 0 fOr 6 >0 beim e r s ten Sch r i t t zu erha l ten . FUr t n t n I.nau t angent i a l e Las t erhl l t man n ic h t nur A 6 t - 0 , sondern

auch A6 - 0 ' in d i e s em Fa l l e muB man A6 e i nen von Nul l ver-n ' n s c h i edenen ( � 0 . 00 1 mm) star twert zuordnen . Den S t artwert fOr

m i t ::

o -nn

328

J\ - 2 L\ o nn / L\ N l • ( l +m ) + ( l -m ) C O !! Z ( a - a )

I! � k e nnz � i c h n e t .

g' 6 ;;J c � I. 9 = 60· '" 0 = 10 5 · Ii 2 ;;J I e ) 0 :J :x:

0 0 0 5 1 0 R , n_ i t� 6 n ( m m )

6 I. rN./N·:O ) - I 0

9 = 60· '2 0 = 90. ( b ) 1 0

0 = 60· 0 = 120·

I d ) 0 0-0 0 5 10

R l nw � l t� 6n ( m m )

22 20

0, i I I.

1 2r � lOt 0 1.

a t 6 '

9 = 60· 0 = 135· '2 I � ) 0

0-0 0 5 1·0 R ,nw�,t� 6n ( m m )

( 4 11 )

( 4 9 )

Ahh . 1 � . Hall p t !! p a n n l l n g N l v e r !> u !> � i Bwe i t e fUr v e r !> c h i edene tfau p t s pannu n g s verh l U t n i s s e und Neigungen d e l' l Iaupt r i c h t u n g en g e g enUher d e l' Rewehrung

n i e E r g e h n i !l !l e z e i g e n . daB del' E i n f l u B d e l' �c h r � � l a g � del' R e

weh run g s s t A b e re l a t i v tu d e n R i s s en e i n s e h r a u s gepra g t e r i s t .

FUr den En twu r f von Bau t e i l en s i nd h e l i eh i g e R i B r i cht ungen i n Rechnung z u s te l l en . D i e R i s s e k�nnen v o n Vorhe l a s tungen , Sc hwi nden oder Tempe raturspannungen herrUhren . D i e ungOn s t i g s t e

R i B r ich t ung so l l te b e im E ntwu r f berOc k s i c h t i gt werden . Du rch Va r i a t i onen von m und e ( 5 . Abb . 1 4 a ) I IB t s i c h fO r j ed e N e i �ung � d i e � in im a l l a s t a u s r echnen , d i e e i n e n R i B m i t d e l' O ffnung 6 n ve rursach t . D i e E i nhO l l enden d i e s el' � i n ima l we r t e f a r N 1 f a r vers c h i ed ene R i Bwe i t e n 6 n s i n d i n Ahb . 1 4 b z u s ammen m i t d e n k r i t i s c h en We r t e n e ' von e fUr m i n im a l e s Nl d a r g e s t e l l t .

r. l e i c h z e i t i g repr� s e n t i e re n d i e se L i n i en d i e s i c h z u fo l g e N l e i n s t e l l e nde max im a l e R i B 6 f fnung 6 n . FU r K l e i ne R i B 6 f fnungen ( � n - o . O S - 0 . 1 mm) i s t d i e ungilns t i g s t e R i Bo r i en t i e rung 9 ' - a , a l !> o d e r R i B n o rm a l Z ll N 1 , wAhrend fUr g r6Be re R i B6 ffnungen ( � n - O . Z S -o . s mm ) d e l' W i n ke l e ' zw i s c h e n d i e R i ch t un g von N , lind d i e R ewehrll ng s r i c htung x flll i t . FUr s e h r " roBe t5 hat das . .. n �

Verha l t n i s m - S Z / N 1 k e i n en E i n f l u B a u f d i e � i n i ma l l a s t N 1 • B e i Vernach l a s s i gung d e l' Rrucho b e r f l � c henre i hung i s t d i e u n g U n s t i g s t e R i B o r i en t i erung normal zu N , .

-- m : O-S 0 0

- 0 5

N t · c

0 00

( 0 )

-60 -'50 -i,O -30 -70 -10 0 1() 20 Xl eo

0 I S-r-______ �mo:......,.;0-:...;5:......, q: XlO / /

0·10

- 0-05

- 0{)1

_ 0.15 ( b ) 0_00

1� � / ./ I,. "7 ./ ./

0 10 1:!a f ' c

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0 0

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- 0 '2

- 0 )

- 0· ,

Ahh . 1 4 . Typ i s c h e Entwu r f s d i a g ram.e fUr d i e R i Bwe i t e : ( a ) Ha up t z u g s pa nnung N 1 versus R i Bne i gung a fUr ve r s c h i edene R i Bwe i t en und Haupts pannungsverh l l t n i s s e ; (b) H 2 - N , E i nhO l l ende max i m a l e r R i BH f fnung ( B e t o n : f ' • 2 8 N/m. 2

Z c S t a h l : fy • 2 80 N/mm ; p - p • 0 . 0 2 ; R i Bab s t a nd x y s • SO mm )

Abh . l S z e i g t den E i n f l uB des R i B abs tande s .

l l e iner R iBabs tand erg i b t k l e i ne r e R i Bwe i te n und da. i t e i n 5 t e i f e r e s Verha l te n der Struktur . Del' RiBab s t an d bee i n f luBt zwar die aax i m a l e Normal spannung ( s . Abb . 1 Sb) , n i c h t abel' d i e max i ma l e Schub spannung ( s . Abb . l Sa ) .

' __ -=��--��--__ � 1? .

-- �! 1 0 ? O ) · 0 4 0 Schub��rrung 'In! I x 10? )

10

6 0

8 6 , 2 o

� h h . I S . � ec h n e r i � c h e rm i t t e l t e �ra nnu n Q � - ne h n u n� � - n i a � ramme

fil r Q (' r i � � f'ne n . hf'we h r t e n Reton fil r v e r � c h i f' d f' n e 7

R i Bah � t � n d e ( f� • 2 A S / mm - )

7 . V�ra l l geme i nerungen

" i e vora n g e Q a n g e n e n R e t r a c h t u n p. e n l a � � e n � i c h a u f z w e i o d e r

m e � r e re R i � � y � t eme m i t h e l i eh i g e r n r i e n t i e ru n � ve ra l J g em e i nern .

n i e a h g e l e i t e t e n Srannu n g � -Ver � c h i ehung � p' e s e t z e l a � � e n i n t e r

e � <; � n t e �c h l ll � fo l g e ru n l! e n fil r d i e R i c h t u n g d e r R i fla u � h re i t u n g

o d e r Rruchwe g s t a h i l i t il t zu . I n d e r unmi t t e l h :tren I Imgehung d e r

R i fl o; p i t z e i s t d i e R i B O ffnung k l e i n . n i e r e l a t i ve Ve r � c h i ehun�

der he i den R i Bu fer erfolgt norma l zur Bruch f l nche ( s . G I g .

( '4 ) ) . na d i ese Be z i ehung fOr e i ne he l i eh i g k l e i n e I�gehung

der R i B sp i t z e gO l t i g i s t , kann e i n �od e - l An t e i l am Ver s c h i e

hung s fel d n i c h t ex i s t i eren , d . h . der R i B h re i t e t � i c h n a c h dem

Ge5 e t z K l • n aus . n i eses Rruc h k r i t e r i um i s t i n der k o n t i

nuum s t h eo re t i s c h en Rruchmec han i k woh l he k annt . E s wurde auch

i m Rahmen von FE-Anal ysen verwende t .

8 . Zusammenfassung

Zusammenfa s s end l AB t s ic h sagen :

a ) D i e gegenwArti gen Rruchhandmethoden , d i e auf dem Fes t i g

k e i t s1cri teriulII ba s i eren t s ind "unob j e k t iv" . d . h . s i e h llngen

Oher das herkOlftm l i che "faB ( konven t ione l l e n i s k ret i s i erung s

fehlerl von d e r Net z e in t e i l ung a h und k onverg i eren zu

fa l schen LOsungen .

331

h l ner We r t der n i s s i pa t i onsene rg i e i s t e i n ohj e k t i ve s ,

rhy� i k a l i sc h s i nnvo l l e s K r i t e r i um fil r d i e Bruchhandau s

h re i t u n g .

c ) na � e rw � h n t e K r i t e r i um i o; t nUr d a n n o h j ek t i v . wenn d e r

Sch l up f z w i s c h e n d en Reweh rungs s t llhen n nd d em umgehenden

Reton herilc k s i c h t i g t w i rd .

d l n i e �c h l upfl nnge L � d e r d a � Bruc h h a n d k re u z enden Rewe h rung s

f' l em e n t e i � t e i n c ha ra kt e r i � t i sch e r Parame t e r d e � Ve rhund

we r k � t o f fe � S t a h l h e t o n . L i s t von d e r F E - n i s k r e t i s i e rung � una h h n n g i g .

e ) E � i � t vom r ra k t i s c h e n S t a nd pu n k t a u � � e s e h e n zweckmn tH g

a n � t a t t I. e i ne s o g e n a n n t e fre i e � c h l ur f l � n � e I. ' % 1 1 s � h e t r a c h t en . I n n�s d f' r k e i ne Ha ft k r � f t e w i rkend a np, f'nommen

werden . J: i s t so ! t 1 h e s t i mme n , daB s i c h f(\ r d a s "a f t -s � c h l u r fe l e"' e n t d i e u r s p riln g l i c h e ne forma t i on e rg i h t .

f ) n i f' G rund l a g e n d e r R rllchmec h a n i k dUr fen all c h a u f den h e

weh r t e n R e t o n a n gewend e t werden .

� ) na � Reweh run g sv� rh A l tn i � r h a t e i nen s t arken E i n f l u B au f

d i e R i B a u s hrei t u ng .

h l D i e B eweh run� s e l em e n t e w i rk en h e i gee i g n e t e r �a sch enwe i t e

a l s R i aa r r e s t e r .

i ) R i a � c h l up f be i k ons t a n t e r R i aO f fnung i ndu z i er t Orucknorma l

spannun�en Oher d i e Rruc h f l �che .

j) q i Bs ch l u pf be i kons tanter Norma l spannung veru r s a c h t D i l a t i on

des R i s ses .

k ) n i e Spannu n g s -Ver$ c h i ebung s - Re z i ehungen fOr � e r i s s enen

Reton k Onnen n i c ht durch Federe l ement e heschri ehen werden .

da d i e i nk remente l le R i fl s t e i f i gk e i tsm a t r i x n i cht

po � i t iv def i n i t i s t .

1) D i e inkrelllente l l e S t e i f i g ke i t smatrix fOr den ger i s senen

Beton i s t n i c h tsymme t r i sch . Sie fUhrt auf Abwe i chungen von

der Para l le l i tA t �er Hauptachsenrichtungen von Spannun� s

und Ver z errungs i nkremen t en . D i e Ursache fOr d i esen Sachver

ha l t bes teht in der Koppelung von Schub - und Normal

spannung skomponenten .

m ) Das Stru k turverha l ten ger i s senen . b ewehr ten Betons i n Ab

hAng i gk e i t von der Be l a s tung s gesch i ch t e i s t durch e inen

332

s t a r k en E i n f l u B des .I\O s t andes oenachha r t e r R i s s e gekenn

z e i c hnet .

n ) Re i �e � ehen en R Hlah s t ltnden k onnen R i 13w e i t en Il l s Funkt i o n

der R e l a s tung h e s t immt we rden . n i e s e r l auht d i e Bemes sung

. JOT max ima l e R i Bwe i t en .

0 ) R i 13ausore i tlln� e r fo l g t a u s s c h l i e 13 1 i c h i m 'fod e - 1 , d . h . K Z · n .

p ) O i e heschr i eh e ne Theor i e i s t fOr F E - Programme gee i Rne t ,

d i e a u f i nk r emen t e l l er L ll s t ll u fh r i ngun� o e ruhen .

9 . L i tera tur

1 • Bli l a n t z . r . und l . C edo l i n , F r a c t llre mechan i c s of r e i n fo rc ed

conc r e t e . J . E n g . 'f e c h . n i v . A SC E , Vo l . .!.Q!! , So . E'f 6 , ne l . 19R" ,

pp . 1 Z II 7 - 1 �Ofl •

Z . Rll z an t Z . P . und P . r.amhllrova , ROII!(h c r a c k s i n re i n forc e d

conc re t e . J . S t ru c t . O i v . A SC E , Vo l . 106 , �o . ST4 , A pr i l 198n ,

pp . 8 1 9 - 8 4 Z •

�ro f . Or . - l n � . h � h i l . Z � e n e k � . R� f ll n t O i rec t o r o f C�n t e r f o r r,eo�at p r i ll l s � n � Co n c re t e �o r t hwe s t e ,. n I In i ve r s i t v F.vll n s t on , T l l i no i s 60 201 , l i e; "

Prof . Or . - T nv . tll l v i re� o l j n Pro f . Or . - T nv . P i e t ro r.a�b� rov a Oen a rtment o f S t ru c t u r a l Fnl' i ne e r i n " Po l i te cni co d i � i l ano '1 i ] lIno , T t ll ] 1II

nn z . Dr . nh i l . Han s - Pe t e r R0 5 smll n i t h T n s t i tut fOr �echa n i k

Pro f . Or . -techn . Herbe rt A . �ang T n s t i tu t fOr Rau s t a t i k und Fest i � ke i t s l eh re Tec hn i s ch e Un i ve r s i t � t Wien

.

h r ] s n l a t z 1 3 A - l 040 W i e n , O s t e rre i c h

m i t dem Qu e r s c h n i t t A� d i e s e h e i d en Kno t e n d i r e k t ve rb i nd e n

( Kn o t e n 2 und 4 i n A h h . 4d l . Fa l l s we i t e r e Kno t e n " z w i s c hen

d i e s e n h e i d e n K n o t e n vo r h a n d e n s i n d ( K no t e n 7 u n d R i n Ahh .

4 d ) , s o s i n d d i e s e Kno t e n" a l s n i c h t m i t d e r Beweh r u n g ve r

h l l n d e n z u h e t rac h t en . lI i e Rew e h r u n � 5 5 t 1t he , d i e a I l e a n d e r e n

Kno t e n v e r h i n d e n ( l o R . TI , n , . . . i n A h h . 4 d ) , we i s e n

n a t ti r l i c h d e n Qu e r s c h n i t t Ah u n d n i c h t A� a u f .

d ) A h 5 c h � t z u n � d e r S t a h l 5 p a n nu n � am � i B m i t H i l f e von L� und

d en r e l a t i ve n V e r s c h i e h un � e n v,

u n d v2 d e r Bewe h rung s s t A b e

an h e i d en E nd e n von L� a u s dem v o r a n g e g a n g e n e n La s t sc h r i t t .

( 2 7 )

F O r d i e Rt>we h r\l n � 5 5 t :1 h e d i r e k t h i n t e r d e r R r uc h f r o n t k a n n m a n

i m S t n ne e i n e r o h e r e n S c h r a n ke d i e A h s c h � t z u n�

[ r. 1 / ( 2 " E l l ] (J c r c

1 / 2 ( 2 R )

ffl r d i e � i B t H f nun� i n e i ne r E n t f e r nung 1 h i n t e r der B r u c h f r o n t

verwend en . ( n i e s e A h s c h � t z u n g h e ru h t a u f d e r R i B � f fnung e i ne s

� a t h e ma t i s c h s c h a r fen R i s s e s un t e r cl e r W i r k u n g v o n No rma l z u g

s pa n n u n g e n ) .

6 . Ergebn i s se a u fgrund "obj e k t i ver " ( im S i nne von netz i nv a r i a nter )

Bruchana l yse e i ner Sta h l be tonsche i be

n i e h e re i t s frOher h e t r a c h t e te , heweh r t e Sc h e i he wurde u n t e r

RerUc k s i c h t i �ung d e s Verbund s c h l up f e s neu durch g e r e c h n e t . A n

s te l l e v o n Ub u n d 2 Ls

wurde d e r We r t 2 L� • 4 e M (aus we l c heM

";' b e rechne t werden kann) fUr a U e Net z e vo rgegehen . O i e r e

s u l t i e renden k r i t i sehen Las tpa rame t e r a fUr Bruehbandvo r s e hr i t t

s ind fOr versch i edene R i B l An gen a fUr a I l e dre i Ne t z e i n den

Abb . 2e und 2d fUr v e r s c h i edene Bewehrungsparame t e r p w ie d e r g e

geben . D i e Verbe s s erung de r Erg eb n i s s e i s t e i n s i ch t i g . O i e

Oh j ek t i v i t A t d e r �ethode i s t h i s a u f d i e b e i d e r FE� Ub l i c hen

O i s k r e t i s i e run g s feh l er gegeben .

D i e Ahh . 2c und 2d z e i gen , daB der E i n f l u B des Bewehrun�s v e r -

h � l t n i s s e s p a u f d i e La s t , d i e den R i Bvor s c h r i t t hew i rk t , h e -

a c h t I i c h i H . lI i e R i l.\o ffn u n � s r ro f i I e h z w . B r u c h b a n d I H fnll n � s

p ro f i l e s i nd i n A h h . 6 a d a r � e s t e l l t . na h e i h a nd e l t e s s i c h um

d i e q e q e n s e i t i � e V e r � c h i e h u n g � e � e n " h e r l i e g e nJ e r " fe r d e s

R ruc h h a n d e � . �an e r k e n n t , d a � d a s Rruc h h a n d 5 f fnu n � s pro f i l fU r

p . n ( l i n hewe h r t t" r R e t o n l fa s t e l l i p t i s c h i s t ( h r ll c h m e c h a n i s c h e

Ui 5 1 1 n q filr ",e t a I I i s c h e W e .. k s t o f fe ) u n d m i t � r o B e r w e r d e n d em

p f l a c h e r w i r d .

� i e s e E r � e h n i s s e g e i t en n l r Re weh ru n R s n e t z e , h e i d e n e n d i e

R e w t> h rll n � s � t :l h e m i n d e s t e n s s o e n � w i e d i. e Kno t e n d e s fe i n s t en

� � t z e s l i e g e n , soda B a n j ed em K n o t en e i n Bewe h r u np' s s t � h h e

riic k s i c h t i g t we rden mul L Wen" d a � Reweh rlln� s n e t z g r 5 rl e r i s t

l i n d z . R . m i t d e� I! r oh s t e n F F. - � e t z z ll s amm e n f:t l l t , d a n n w e r d e n

d i e <; t � h l e l em e n t e i n de n F F. - �e t z e n II l ind ., n u r a n j ed e"l

z w t' i t e n c ri e r v i e r t en Kn o t e n h e r il c k s i c h t i l! t . Il i e r r � e h n i s � e

f i i r ,j i !' S e F j I I I' s i n d I n ·' h h . Ii h � '" z e i I! t .

rl i e E r q t' h n i s s e ffi r v e r s c h i ede n e Rewe h ru n R s n e t z e fil r d a s F E S e t z ( s i n d i n � h h . 6 c d a r R e s t e l l t . � � n h e oh a c h t e t , d a rl d i e

<: c h � t1h i l d e r a - 11 fli r e i n p, r o h t' s Reweh r u n p, s n e t z () s z. i l l a t i o n en all fwe i s e n . lI i t's h e w i r k t . da � m a n nl r h e s t i mm t e Q i " l if n � e n a

h t' i t . �rq i ,, / a ., , ') t" r h !1 l t , wa s h e d t> l I t e t , d a " h e i Ko n t r o l l e

d !, T Re l a 'l t l l n f' d !' r 'l i B s t a h l l .. d r d . ne"lg e g e n fl h e r i s t d f" r Q i �

i ", F a l l t> von l.� s t k o n t'ro l l e " h ' l r. (; t n s t a 1 , w e n n a ll / :l a < O h e i 'If . , C R '

T m F a i l e von Ko n t r o l l e d e r q a n d ve r s c h i e h l l n p, e n i s t fll r :\ a / a a <O h e i � . 1r� r1 t> r R i R s t a h i l .

na s � r o h e Rewe h r ung s n e t z i s t a l s o z u m R i rla r r e s t h e f � h i � t . R i B a r r e s t lin t e r L a s t kont ro l l e t r i t t i m Fa I l e d e s vo r l i e� enden

Re i s p i e l s nllr d a n n au f , wenn der Rewe h run� s a h s . a n d wen i g s ten s

d i e v i e r fa c h e E l ement gro � e aufwe i s t . Oa d i e s e wi ede rum n i c h t

k i e i ne r a l s,

d i e zwe i fa c h e'r.r6Be d e s Zusc h l a g s t o ffes s e i n k ann ,

wenn d i e FE� s i nnvo l l a nwend b a r s e i n s o l I , muB der B ewehrung s

a h s t and g r 6Ber a l s d e r a c h t fa c h e Aggrega tdurchm e s s e r s e i n . J e

grohe r a l so d a s Bewehru n g s ne t z i s t , d e s t o g r 6 B e r i s t d i e A r r e s t

wi r k u n g der Bewe h rung . Andere r s e i t s we i s en enge Beweh rung s g i t te r

woh l he k annte Vor t e i l e w i e Ou k t i l i t � t , Ha ftung , R i Bwe i t e ,

Ener g i e a h s o rpt i o n a u f .

O i e i n A h n . 6d en t h a l t enen Ergehn i s s e fO r S t a h l h e t o n z e i gen ,

d a f3 d a s K r i t e r i llm d e r a q u i v a l en te n Zu g fe s t i � k e i t ,

finite Elemente in der Bruchmechanik

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