Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau

Matthias Kraus und Rolf Kindmann

2., überarbeitete und erweiterte Auflage

lnhaltsverzeich nis

Vorwort V

Autoren VII

1 Einleitung und Übersicht 1

1.1 Erforderliche Nachweise und Nachweisverfahren 1 1.2 Verfahren zur Schnittgrößenermittlung 2 l.3 Elementtypen und Anwendungsbereiche 4 l.4 Lineare und nichtlineare Berechnungen 6 1.5 Bezeichnungen und Annahmen 9 1.6 Grundlegende Beziehungen 15 l.7 Linearisierung 18 1.8 Software/Downloads 21

2 Grundlagen der FEM 22

2.1 Allgemeines 22 2.2 Grundideen und Methodik 22 2.3 Ablauf der Berechnungen 28 2.4 Gleichgewicht 30 2.4.1 Vorbemerkungen 30 2.4.2 Prinzip der virtuellen Arbeit 31 2.4.3 Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie 33 2.4.4 Differentialgleichungen 35 2.5 Ansatzfunktionen für die Verformungen 37 2.5.l Grundsätzliches 37 2.5.2 Polynomfunktionen für Stabelemente 38 2.5.3 Trigonometrische und Hyperbelfunktionen für Stabelemente 41 2.5.4 Ansatzfunktionen für das Plattenbeulen 46 2.5.5 Eindimensionale Funktionen für Querschnitte 50 2.5.6 Zweidimensionale Funktionen für Querschnitte 53

3 FEM für lineare Berechnungen von Stabtragwerken 58

3.1 Vorbemerkungen 58 3.2 Stabelemente für lineare Berechnungen 58 3.2.l Verknüpfung der Verformungs- und Schnittgrößen 58 3.2.2 Normalkraftbeanspruchungen 60 3.2.3 Biegebeanspruchungen 63

X

3.2.4 3.2.5 3.3 3.4 3.4.l 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6 3.5 3.5.l 3.5.2 3.5.3 3.5.4 3.6 3.7 3.8 3.9 3.9.1 3.9.2 3.9.3 3.9.4 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14

4

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

4.9 4.10 4.11

Inhaltsverzeichnis

Torsionsbeanspruchungen Beliebige Beanspruchungen Knotengleichgewicht im globalen Koordinatensystem Bezugssysteme und Transformationen Problemstellung Stabelemente in der X-Z-Ebene Stabelemente im räumlichen X-Y-Z-KOS Lastgrößen Verdrillung und Wölbbimoment Finite Elemente für beliebige Bezugssysteme Gleichungssystem Ziel Gesamtsteifigkeitsmatrix Gesamtlastvektor Geometrische Randbedingungen Berechnung der Verformungsgrößen Ermittlung der Schnittgrößen Ermittlung der Auflagerreaktionen Einwirkungen/Lastgrößen Einzellasten Streckenlasten Stützensenkungen Temperatureinwirkungen Federn und Schubfelder Gelenke und Gelenkfedern Einflusslinien Clbertragungsmatrizenverfahren Schubweiche Stabelemente

FEM für nichtlineare Berechnungen von Stabtragwerken

Allgemeines Gleichgewicht am verformten System Ergänzung der virtuellen Arbeit Knotengleichgewicht unter Berücksichtigung von Verformungen Geometrische Steifigkeitsmatrix Sonderfall: Biegung mit Druck- bzw. Zugnormalkraft Vorverformungen und geometrische Ersatzimperfektionen Berechnungen nach Theorie II. Ordnung und Nachweis-schnittgrößen Stabilitätsuntersuchungen/V erzweigungslasten Eigenformen/Knickbiegelinien Fließgelenktheorie

66 70 73 76 76 81 84 87 89 95 96 96 96 98

100 102 103 105 106 106 106 107 108 109 113 117 121 126

133 133 133 137 143 145 150 154 158

165 167 171

Inhaltsverzeichnis XI

5 Anwendungsbeispiele filr Stabtragwerke 175

5.1 Übersicht 175 5.1. l Allgemeines 175 5.1.2 Nachweis ausreichender Querschnittstragfähigkeit 176 5.1.3 Stabilitätsnachweise für Stäbe 183 5.1.4 Auswahl der Elementtypen und -matrizen 187 5.1.5 Tragfähigkeitsmindernde Einflüsse 189 5.2 Träger 190 5.2.l Vorbemerkungen 190 5.2.2 Einfeldträger mit Kragarm 190 5.2.3 Traglast eines Zweifeldträgers 193 5.2.4 Zweifeldträger mit elastischem Mittelauflager 197 5.2.5 Träger mit planmäßiger Torsion 199 5.2.6 Kranbahnträger 201 5.3 Stützen und andere Druckstäbe 205 5.3.l Vorbemerkungen 205 5.3.2 Elastisch eingespannte Rohrstütze 205 5.3.3 Stütze mit planmäßiger Biegung und drei Stabilitätsfällen 207 5.3.4 Giebelwandeckstütze 210 5.4 Fachwerke 214 5.4.1 Vorbemerkungen 214 5.4.2 Ebener Fachwerkbinder 214 5.4.3 Montagezustand des Torbinders einer Flugzeughalle 218 5.5 Rahmen und Stabwerke 220 5.5.1 Vorbemerkungen 220 5.5.2 Zweigelenkrahmen mit Zwischenbühne 221 5.5.3 Rahmen unter Berücksichtigung von Anschlusssteifigkeiten 225 5.5.4 Haupttragwerk einer Stabbogenbrücke 231 5.5.5 Silodachkonstruktion 235 5.6 Trägerroste 239 5.6.l Vorbemerkungen 239 5.6.2 Fahrbahn einer Stabbogenbrücke 240

6 FEM für ebene Flächentragwerke - Plattenbeulen 242

6.1 Scheiben und Platten 242 6.2 Spannungen und Schnittgrößen 242 6.3 Verschiebungsgrößen 244 6.4 Grundlegende Beziehungen 245

6.5 Prinzip der virtuellen Arbeit 247

6.6 Scheiben und Platten im Stahlbau 249

XII

6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.12.1 6.12.2 6.12.3 6.12.4 6.12.5 6.12.6 6.12.7 6.12.8

7

7.1 7.2 7.3 7.4 7.4.l 7.4.2 7.4.3 7.4.4 7.4.5 7.5 7.5.l 7.5.2 7.5.3 7.5.4 7.5.5 7.5 .6 7.5.7 7.5 .8 7.5.9 7.6 7.7 7.7.1 7.7.2 7.7.3 7.7.4

Inhaltsverzeichnis

Steifigkeitsmatrix für ein Plattenelement Geometrische Steifigkeitsmatrix für das Plattenbeulen Längs- und querausgesteifte Platten Plattenbeulnachweise nach DIN EN 1993-1-5 Berechnung von Beulspannungen und Beulflächen Anwendungsbeispiele zum Plattenbeulen Vorbemerkungen Einzelfeld mit konstantem crx Ein- und zweiwellige Beulflächen, gleiche Beulspannungen Stegblech einer Verbundbrücke mit Schubbeanspruchung Stegblech mit Biegebeanspruchung Bodenblech mit Längssteife Vollwandträgersteg mit Längssteifen Veränderte Anordnung der Längssteifen

FEM für Stabquerschnitte

Aufgabenstellungen Normierte Bezugssysteme und Querschnittskennwerte Prinzip der virtuellen Arbeit Eindimensionale Elemente für dünnwandige Querschnitte Virtuelle Arbeit Elementsteifigkeitsbeziehungen Gleichungssysteme Berechnungen der Querschnittswerte und Spannungen Zusammenstellung Zweidimensionale Elemente für dickwandige Querschnitte Vorbemerkungen Virtuelle Arbeit für dickwandige Querschnittselemente Elementgeometrie Transformationsbeziehungen Steifigkeitsbeziehungen Numerische Integration Querschnittswerte und Spannungen Güte der Näherungslösungen Sonderfall: Rechteckige Elemente Berechnungsablauf Anwendungsbeispiele Vorbemerkungen Einzelliger Hohlkastenquerschnitt Brückenquerschnitt mit Trapezsteifen Rechteckiger Vollquerschnitt

251 255 256 258 264 271 271 271 274 276 277 279 283 292

294

294 296 299 304 304 306 309 311 314 315 315 317 318 321 323 325 328 329 331 335 337 337 337 342 345

Inhaltsverzeichnis XIII • Doppeltsymmetrischer !-Querschnitt 351 7.7.6 Kranschiene 358 7.7.7 Numerische Erfassung des Schubverzerrungseinflusses auf 360

die Normalspannungsverteilung 7.8 Schubkorrekturfaktoren 362

8 Gleichungssysteme 367

8.1 Problemstellung 367 8.2 Lösungsverfahren 368 8.3 Gaußscher Algorithmus 369 8.4 Cholesky-Verfahren 370 8.5 Gaucho-Verfahren 370 8.6 Berechnungsbeispiel 372 8.7 Ergänzende Hinweise 374

9 Lösung von Eigenwertproblemen 375

9.1 Problemstellung 375 9.2 Erläuterungen zum Verständnis 376 9.3 Matrizenzerlegungsverfahren 381 9.4 Inverse Vektoriteration 386 9.5 Kombination der Lösungsverfahren 392

10 FEM für nichtlineare Berechnungen von Stäben nach der 395 Fließzonentheorie

10.l Einführung 395 10.1.1 Vorbemerkungen 395 10.1.2 Grundlegende Einführungsbeispiele 395 10.2 Hinweise zu geometrisch nichtlinearen Berechnungen 398 10.3 Berücksichtigung der physikalischen Nichtlinearität 402 10.3.1 Vorbemerkungen 402 10.3.2 Einführungsbeispiel 402 10.3.3 Dehnungsiteration für

XIV Inhaltsverzeichnis

10.5.2 10.5.3 10.6 10.7 10.7.1 10.7.2 10.7.3 10.7.4 10.7.5 10.7.6 10.7.7 10.7.8 10.7.9 10.7.10 10.7.11

11

11.l 11.2 11.2.1 11.2.2 11.3 11.3.1 11.3.2 11.3.3 11.4

Verallgemeinertes inkrementell-iteratives Verfahren Bogenlängenverfahren Steifigkeitsmatrix für Bauteile mit Fließzonen Berechnungsbeispiele Fließzonenberechnungen auf Grundlage von DIN EN 1993 Berechnungen mit dem Programm FE-STAB-FZ Bauteile mit doppeltsymmetrischen !-Querschnitten Stütze HEA 140 mit Druckkraft und planmäßiger Biegung Einfeldträger IPE 300 mit Druckkraft und planmäßiger Biegung Stütze IPE 300 mit Einspannung am Stützenfuß Einfeldträger IPE 450 mit Kragarm Zweifeldriger Kranbahnträger HEB 300 Biegung und Torsion eines Versuchsträgers IPE 200 Zweiachsig außermittig belastete Versuchsstütze HEB 200 Auswirkungen von Fließzonen auf die Tragfähigkeit

Grundlagen zur Beschreibung des plastischen Material-verhaltens

Einleitung Grundlegende mechanische Beziehungen Spannungs- und Verzerrungstensor Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen Beschreibung der Plastizität Fließkriterium Verfestigungsregel Fließregel Hinweise zur Berücksichtigung der Plastizität in numerischen Berechnungen

Literaturverzeichnis

Stichwortverzeichnis

428 432 434 438 438 439 440 443 445 447 449 451 454 457 461

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