SCHMIDT, W .

Math. Annalen, Bd. 136, S. 365--~374 (1958)

Fl~ichenapproximation beim Jacobialgorithmus Von

W O L F f l A N ~ SCHMII)T ill W i e n

1. Sei P (al, e2) ein P u n k t des R v Nicht beide Koordna ten sollen rat ional sein. Wir bilden den Jacobia lgor i thmus yon ~1, a2. Unter Verwendung der Bezeichnung yon [5] 1) bilden wir

D~ ist zweimal gleieh der Fl~ehe des Dreieeks mi t den E e k p u n k t e n P und den beiden aufe inander folgenden , , N ~ h e r u n g s p u n k t e n "

P , ,= \ ~ ; , A-~F ] u:nd P,,.-.1 := \-~(~:]-i , A~o , ,- .

In dieser Arbei t beweisen wir den Satz. Fi~r unendl ich viele ,, ist

(2a) D,, < 1/~ A(~)¢A (' '- 1))2, 0 ~ 0

wobei ~ die reelle Wurze l yon ~ ......... ¢z 2 - 3 1 ~ 0 ist. (~ = 3,51. .) ~ ist best- mSglich genau dann, wenn im A lgor i thmus yon c~1, ~ /i~r v >~ N a(2°= l , a ( ( ) : 0 ist. Dies is t z . B . bei ~2 ~, o der Fall , wobei o die reelle Nulls tel le von Qs Q2_ 1 = O ist.

Ende t der A lgor i thmus nicht so, dann ist unendl ich o]t

(2b) D,, < l / f l A(")¢A ¢ . . . . i)~ O ~ 0 I ~

wobei fl die reelle Wurze l yon f l a_ 3 fie__ 23 = 0 ist. (fl = 4 , 2 6 . . . ) fl ist best-

mSgIich genau dann, wenn /fir e in N und a l l e n > 0 a(,2"v + 2n) = 1, a(2~v + 2, + ~) = 2,

a(~ v + ~O = O, wenn also der A lgor i thmus so endet, wie ]ener yon. a 2 - a, ~, wobei die reelle Nul ls te l le yon ( # - - a - - l = 0 ist.

Ende t der AIgor i thmus au / keine der beiden angeqebenen Ar ten , dann ist unendl ieh o/t

1/13. A(OtA( , -1 ) I~ (2c) D , .< / 3 o , o , "

2. Bemerkung 1. Der Satz ist analog den Approximat ionss i i tzen m i t Ungle ichungen

A,.I

bei Ket tenbr i ichen. Vermut l ich liiBt er sich, ghnlich wie diese, so fortsetzen, dab wir eine Markoffsche K e t t e erhalten2). Wahrscheinl ich lassen sich analoge

x) Zum Verst~indnis sind die ersten fiinf Paragraphen yon [5] hinreichend ~) Siehe etwa [1], Kapitel II, [2] Kapitel XI oder [3] Kapitel I I

366 WOL]~GA NG S C H M I D T :

1 . 2 Sittze bei Jacobialgorithmen h6herer Ordnung aufstellen. Die Zahl ~ - in (2 c)

kann verbessert werden. Bemerkung 2. ,,Fliichenapproximation" finder sich auch in [4], Satz 13. Bemerkung 3. Wir werden im folgenden nur den Fall diskutieren, dab in

der Entwicklung keine St6rungen auftreten. Sind ni~mtich St6rungen, so ist D,,= 0 ffir groges v.

Bemerkung 4. Man erhi~lt Mcht die folgenden schwiicheren Schranken:

l/A(O A[~-- 1)~ a) (3) D , < , o ( o , "

Beweis. Aus Formel (5) in [5] folgt dutch Herabsetzen der oberen Indices um 1 um 1

A(V-1)l ~(v ---1) A (v)tA(v) A(v+ I)/A(v+ I)I t J~aO ~ ± t /~ lO ~'1 ]~JO I

2F (P~-I, P,,, By+l) = a(v--1)lao,--1)a(v)l.~(v)A(v+1)I~(v-i I)I = 0 0 '

wobei F ( P r l , P~, P~+,) die F1/~che des Dreiecks mit den Eckpunkten P r l , P~, P~+, bedeutet. Infolge Formel (2) in [5] ist

j (v) ~(v-l) A(~+ 1) ~(V-l)

wobei e ~ - l ) > 0. Daher liegt P (~1, ~ ) im Dreieck mit den Eckpunkten Pv-1, Pv, Pv+l, und es folgt

1 A(Y)(Aff -1) ~ D , = 2 F ( P , P r I , P~)<I/A(o~+bA(")A(~-I)<= ~*o ~*o / u - u ) '

b) Setzt man E~= 2 F ( P , P~+I, Pv-x), so gilt mindestens eine der Un- gleichungen

(4) D~ < 1/3A(oO(A(o~-l)) 2, D~+ 1 ~ 1/3A(o~+ l)(A(o~))z, E~ < l/-q A ( v - - 1 ) i A ( v + l)) 2 ~ ~ * / ~ * 0 " ~ * 0 "

Beweis. Angenommen, die Behauptung wgre falsch. Nun ist

D~ + Dr+l+ E v = 2F(P~+ 1, P,, Pv+l ) = 1/A(o ~ + l)A(~)o , A(~-l)o

und, indem man die reziproken GrSBen yon A(~-I), A(o~), A(o ~ + 1) einffihrt,

a2b ÷ b~c + cea < 3 a b c .

Diese Ungleichung ffihrt aber bei a > 0, b > 0, c > 0 auf einen Widerspruch. 3. Lemma 1.

A ( ~ ) ( A ( ~ _ I ) ~ 2 _ [ 1 A(o ~) ~( , -D A(o~+~)]_~ (5) F - - D v - - v 0 X 0 ! - - L , "

_x, a~=-- ~x! Mlgemein :¢(~)= x~o~ ) - - x7 ) Beweis. Wir setzen z¢ 1 = xo ' xo '

und arbeiten mit den homogenen Gleichungen (a) aus [5]. ])ann folgt aus (5) [5] und (2*) [5]

x, A~-~) Ai ~) = xg -~ ) ,

D v = x (~ -1)/A(~--I)A(O x 2 ~ 0 0 O,

(6) F,= x~'-~) A~"-~)/xo.

Fliohenapproximation beim Jacobialgorithmus 367

N a c h (2*) [5] i s t we i t e r

Xo = A(o ~ - 1) x(~ - - 1) + A(0 x ( ' - - 1) ~ A(" + 1) x ( ~ - 1) 0 1 ~ 0 2 "

D a r a u s u n d aus (6) fo lg t d ie B e h a u p t u n g . W i r se tzen

, a ,0 ) a , , . . a'~V)~ (A(0~ + 3) ~(~ + a) A(2~ + K / 2 2 • ' ~ 1 ' 3 ) ) : \~l/"(°) ~1"(1) . . . a i r ) ] ,

u m a n z u d e u t e n , daf~ d a s T r i p e l eine F u n k t i o n de r a~ ~) ist . U n t e r , ~(0) ~(1) \

K ( . ( o ) . ( 1 ) ) \~i ~ i . . . .

v e r s t e h e n wi r den W c r t des K e t t e n b r u c h c s , d. h. d e n B u n k t

P ( a l , ~2), w o b e i a i = l im A(.~)/A(2 ') (i = 1, 2) v--~ oo

L e m m a 2. / n(t') . ( V - - i ) a(O)~

~2 ~2 • • • (7) (A(2V + 2),"(~ + 1)A(" + 2 )+ A(1 ~ + ~ 1 " - 2 1)'A(V + 3)) = K (.(~+~,\~1 ~1"(~) • • • al (~) ' ]

K ( a ( { + 1) a l ~) . . . a 7 ) ] "

(8) (A(o~+2),aT+l)A(o~+2)+ A(o~+l),A(o ~+a)) = I a ( ~ ) a ~ - - l ) . . . a ( 1 ) ~

Bemerkung. D a s L e m m a i s t a n a l o g den F o r m e l n (5), (6), aus [6], § 4. Beweis. Zun / i chs t e r g i b t s ich aus [5] (4) die K o n t i n u a n t e n f o r m e l

a(~ °) - - 1 1 a(~" a(# - 1

A(V+ 8 ) : 1 a[ 2) a~ 2' -- 1 I 1 a(1 a a~ '~) - - 1 I

1 a~ (" a(#

D u r c h U m k l a p p e n der D e t e r m i n a n t e u m die N e b e n d i a g o n a l e s i eh t m a n , d a b z u m i n d e s t de r - ~ ~ ( ~ 3) A u s d r u c k ffir ~ 2 - in (7) r i c h t i g is t .

W i r f f ihren B~'+ 3)(i = O, 1, # = 1, 2, . . . , v) d u r c h [ a(~) a(~ - i) . . . a(~ - ~ ) \

(B(0, , + 3) , B ( 1 . + a ) , B (2 . + 3 , ) = K \~l/"(v+l) ~,"(~) a( lv+l - m )

ein. D a n n i s t n a c h d e m oben b e m e r k t e n

(9) B (~ + 3) _ A(~ + a) 2 - - 2 '

u n d ebenso i s t n(,' + 2 ) _ A(~+2) B(~ + 1) _ A(~ + 1) I n d e m m a n die b e i d e n l e t z t e n ~ 2 . 1 - - 2 ' 2,2 - - 2 " Zei len y o n Se i te 7 in [5] a u f d ie B a n w e n d e t , erh/~lt m a n

(10) B( ~ + 3> ---- B(~'~,I + 2) __ A('2 + 2)

u n d

(11) B(I~+ 3 )= B ( ' + 2)+ a ( ~ + i ) B ( ' + 2 ) - A(~+ 1)-* - a(~+ 1)A(~+2). 0 , i I 2,1 - - 2 - -

Aus (9), (10) u n d (11) fo lg t (7). (8) fo lg t aus (7) u n t e r Z u h i l f e n a h m e d e r vor - l e t z t en Zei le a u f Se i t e 7 in [5].

4. L e m m a 3. Sei a~ ~)= 1, a [ O = 0 f i i r v ~_ K. Dann ist 1

F, < -~ [iir mindestens ~edes dritte v > K + 2

1 F~ > ~ /i£r mindestens jedes d r i t t e v > K + 2

M a t h . A n n . 136 2 5

368 WOLr~An~ Sc~rMIDT:

und

lira F~-- I

Beweis . Ffir v > K ist

Aus Lemma 2 folgt ffir v > K

(0101. ".: 01 a~K-1)"'" a(~' a(~ ' ) (A(o . + e), A(o ~ + 1), A(V + 3)) _ K 0 al K-~) .. a~ ~)

\ ~ - - K + 2 und

l im A(o~+ ~)/A(o~+ 2)= O.

Weiter sind ffir v > K + 2 Rekursionsformeln

A(o ~) =--oA(~-~)*- A(o~- ~) gfiltig. Auch ffir die Tripel T (o = (A(o ~ + 2), A(o ~ + ~), A(o,. + s)) gilt

(12) T(") = T( ' -~ ) + T(~-3) .

Setzt man

(13) Q(~) = (r(~), s(~)) = (A(o ~ + 1)/A(o~ + 2), A(~ + 3)/A(o~ + e)),

so liegt Q(~+z) infolge (12) im Dreieck mi t Eckpunk ten Q(~), Q(~-I), Q(~ ~2). Ist # > 1, so liegt Q('+~) im Inneren des Dreiecks. Ebenso liegt

(14) ]im Q ( ' ) : (5 2 - 5, 5)

im Dreieck mi t den Eckpunk ten Q(,+4), Q(,+a), Q(,,÷ 2), daher ira Inneren des Dreiecks mi t Eckpunk ten Q(~), Q(,-1), Q(~-2).

x (52-- 5 - - a) + y + 5 - - 1 = 0

ist die Gleichung einer gewissen Geraden durch (52-~- 5, 5)" Folglich hat man fiir mindestens jedes d r i t t e v > K + 2

r(~-2) (5~_ 5 - - ~) + s(~ -~) + Q - - 1 > 0 Q 2 - - 5 + ~ + ~ > ~ ' e - - 1 s ~-~)

Nun ist ffir v > K nach Lemma 1

(15) F~ = [5 ~ - 5 q

Daher ist tatsfichlich

F~ < 1 ffir mindestens jedes dr i t te v > K + 2.

1 fiir mindestens jedes d r i t t e v > K A- 2 SchlieBlich Ebenso sieht man: F~ > -~

1 ist nach (13), (14) und (15) lira F~ ~

Fl~chenapproximation beim Jacobialgorithmus 369

L e m m a 4. Gibt es in der E n t w i c k l u n g yon ~1, ~ , ein N , so daft

dann ist

a (~v + 2")= 1, a (N + 2, + 1)= 2, a(1N + ", ~ 0,

1 ~<~ 1 t',>?

/i~r mindes tens jedes dritte gerade v > N + 5

/i~r mindes tens jedes dritte gerade v > N + 5.

Ebenso ]~r ungerade v. 1

l im F, , - - fl v *...+ oo

Beweis . Es ist :¢i(~+~+~)_-- a!N+~)(i = 1,2). sys tem

gTir erhMten das Gleiehungs-

~ 2 (N) - - 1 -~- 0~(N+1)/~X2(2¢+l)

~ 2 "

T ( m = ~A(N+2l ~+1) A(5~+2~) Ao(N+2v+~) ) 0 ~ 0 ~ '

so ist T0~) = 2 T(~ -1) + 3 T(~ -2) + T(~-~).

E rk l£ r t m a n

Q(,) = (r(,'), s(") ) = ( A (o~ + ~") / A (oN + 2~ + 1), A (N + 2~,+ 2) / A (~ + ~t,+ 1) ~ 0 / 0 ]~

so liegt Q(u+a) im Inne ren des Dreieeks mi t den E e k p u n k t e n Qo), Q(.-1), Q(~-~) 25*

(v > O)

Setzen wir daher

Aufl6sung ergibt ~I(N) = ~ _ ~ , ~2(~) =

el ( N + l ) = a 2 - 1 , e ( i v + l ) = a + 1 .

a) S e i v ~ l + N (rood2).

I n diesem Falle ist ~(,-1) = a 2 a, ~2 (~-1) = a,

(A(oV),A(oV-1),A.(oV+l))= K(020102. ' . ". a(1N-,) ~;, ] "

Setzen wir v = N + 2 F + 1. D a n n i s t

l im A(o'-1)/A(oV~=: l im A(~x+2")/A(. . , --a-- 2 1 #--->o¢ ,u-¢* c~

lira A(o'+I)/A(o') = lim --oA ( N + 2 ~ + 2 ) / A (zV + 2 t * + 1) - - 1 " 0 - - - ~ + I . /~-+ oo V - + c o

F(ir gerade sowohl wie ffir ungerade v > N + 5 gilt die Rekurs ionsformel

Ao(~)= 2Ao(.-~) + 3Ao(~-,) + Ao(,-,).

3 7 0 WOLFGANG SCHMIDT:

Ebenso liegt lira Q(~)= (a 2 - 1, a + 1)

im Inneren dieses Dreiecks.

x ( a 2 - - 1 - - fl) + y + a -- l = O

ist die Gleichung einer Geraden, die durch (a 2 - 1, a + 1) geht. Ffir mindestens jedes dritte ,u ist folglich

r(t*-l) ( a 2 _ _ 1 - - f l) + 8(~-1) -}- (7 - - 1 > 0

a 2 - 1 + r ~ _ ~ V ( ~ r - - l ) + ~ > ft.

N u n ist aber nach L e m m a 1

Y~ + 2g- x = a2-- 1 + ~7~=i; ~ ( a - - 1) + ~ ] < ~ .

Folglieh ist fiir mindestens jedes dri t te v > N + 5, das kongruent N -~ 1 (rood2), 1

~hnliehe ~ber legungen fiihren zu F , > ~ . Man sieht weiter F , < ~ - .

sofort lim Fz¢ + z~- 1 = 1

b) Der Fall v ~- N (mod 2) ist/~hnlich zu behandeln.

5. Lemma 5. Sei viermal nacheinander F . > -~3-" Genauer, sei

3 (16) F ~ . ]~ (# : v, v + 1, v + 2, v + 3 ) .

Dann ist a ('-1) + a (~-1) + a (0 g 3.

Beweis. Nach (6) bedeutet (16)

3 X(~t--1) A(ot~--l) > -]-~- x o ,

13 x(,,--1)A(u-1) < 0 X 0 - - ~ - - , ~ • ( # = v , v + 1, v + 2, v + 3).

Es gibt daher Gr6Ben ~ , 5.+a, 3.+2, 6"+a, die wir sp/iter auch mi t ~i, el, 82, ~2 bezeichnen werden, so dab 0 < 6g < 1 und

(17)

Dabei ist

(18)

Ferner

(19)

(20)

13 (~ -(/,--1)A(t*---l) X o - - ~ - ~ 2 ~o = 0 . ( # = v , v + l , v + 2 , v + 3 ) .

X O = A(V) x(V)-~ - A(oV+ 1)X~v' + m(o v+ 2) X(V)

= _A(')+('+o ~2 1)+ A(o,+ .t.(ox(~.+,_l 1)_~_ x(~+2)) + +/a( , - -1)A(~+ 1)+ at,--1)A(,) , A(o,-1))x(,;.

~ 2 O 1 0 T

x(2V -- 1)A(o v -- 1) = (a(~ - 1, x(2 v) + a~V) x(~ + 1) + xlv + 2)) A(o v - -1 )

X(~ + 2) A(Y + z) = x(~ + 2) (a(~ - 1) A (~ + 1) + a(~- 1) A(Y) q- A(o ~ - 1)) u 2 0 I u - - "

Fl~chenapproximation beim Jacobialgorithmus 371

Wir setzen noch

(21) x(2 ~) ~x~ '+~) x (~+ : ) - , ,x (~+~) = 2 - - ~ 2

A~+ : )= LA(o ~) A(o~) : MA(~- : ) .

~, g, L, M sind s~mtlich gr6Ber als eins. Zur Abkfirzung schreiben wir

Setzt man (18), (19), (20) und (21) in (17) ein und kiirzt durch x(~'+~)A~ '-~) durch, so erhglt man das Gleichungssystem

k 1 3 _ ~:(a~# + b~# + 1) = 0

(22) k - -13 -e2L g M = 0

k 1 3 5 ~ ( a L M ÷ b ~ M + l ) = O ,

wobei

k = M/~ + LM(b2~u + 1) + ( a L M + b:M -~- 1)~#

= # M ( a L ~ + b:,~ + b~L + 1) + L M + ~/~.

Es gibt ein = >= 1, so dab

Es gib~ ein ~, so dab

(23) a ~ # ÷ b~u ÷ 1 = ~ z

a~:~rM + b:M + 1 = ~:~¢ .

Insbesondere ist

(24) ~: g > a-t- bl ÷ 1

~2z > a + b~ + 1.

Aus (22) erh/flt man noch die Gleichung

e2L~uM = ~ . (aLM + b:M + 1)

Die zweite oder dritte Zeile in (22) lautet nun

~ 1 ~ (a£1827~2-~ - b1827g -~- b 2 E l ~ -~- 1) -~- Elyt a81~_~bl ~ ~2 ~ ae,zzt.-4-b,

13 ~152z ---~ 0 (25) 3 ~1e2~ e l ~ -

el ~ ele2~ 3 -~ e: ~ aetnA-b1 ~ e~Tt a~rt-{-b~ b 10~ ~ l g - 1 $ ~ - 1

~I ~2 ~ a t bl + 2----3- ] -4" a + bl -~ a + b--~ ~ O .

- - 0

372 WOL~GA~G SCHlVlIDT:

10 Daher is t a + b 1 -~ b~ g - ~ - , a + b 1 + b 2 g 3 .

L e m m a 6. Sei 13 F._>_y (# = v , v + 1, v + 2 , v ÷ 3).

Dann ist sogar a ( ' - l ) + a ( ' - l ) ÷ a(1 ~) ~ 2. (v Beweis. Indi rekt . Wir nehmen an, a ( ~ - l ) ÷ a ( ~ - l ) ÷ a 1 ) = 3. Aus (24), (25)

erhal ten wir

Dies f~ihrt in jedem der Fglle b~ = 0, 1 oder 2 auf einen Widerspruch.

L e m m a 7. Gelte (2 c) nicht unendlich o/t. Dann muff liar geniigend grofle v

a(~)< 3, a(,')= 0 sein.

Beweis. Daft a(~ ~) < 3 sein muB, folgt aus L e m m a 6. Es d a f t auch nicht a ( : - - l ) = a~ 0 = I sein. Es wgre denkbar , dab fiir unendl ich v ide v

(a) al ~-~)= 1, air)= 0 oder

(b) a ( ' - l ) = 0, a ( ' )= 1.

D a n n ist au f jeden Fall (a) ffir unendlich v i d e vgfiltig. N u n da r fnach L e m m a (6) (a) mi t a2('-1)> 1 h6chstens endlich oft vo rkommen . Hingegen ist (a) mi t a ( ' - l ) = 1 fiir den Algor i thmus yon vornherein ausgeschlossen. Denn aus a1(~-1) = au(~q) folgt ja nach [5], S d t e 4 unt.en, a([ ) > O.

Orientierung. Bisher wurde gezeigt, dab der Satz r icht ig ist, falls unendlich of t a(1 ") 4 0 oder unendlich of t a(2 ~) > 2. I m folgenden diirfen wit uns a u f den Fal l beschrgnken, dab ffir v > N a(1 ~) = 0 ist und a(~) gleich 1 oder 2 ist. Wir haben zu zeigen, dab (2 c) unendlich of t gilt, auBer die Ke t t enbruchen twick lung ende t auf

0 0 0 oder 0 0 0 0 '

6. L e m m a 8. Sei/i~r unendlich viele v a2(~-1)= a(~ " )= 2. Dann gilt auch (2 c) /iir unendlich vide ~.

Beweis. Man d a f t annehmen, a (~) = O, falls ~ ~ v - - 10 etwa. N a c h (2"), [5] ist

XO = A(V'o x(v)O --4- A (ov + 1) xi~).~_ Ao(~ + 2) x(2,)

- - A ( ' ) x!~ + x) + Ao(v + 1) x2(, + 2) + A ( ~ + 2) x¢') m O 2 O 2 •

Fl~chenapproximation beim Jacobi~lgorithmus 373

N a c h (6) i s t

A~+~) x~V) 4- A~' ~-x(~ ~+2,

.c,.-1) z(~+~> + A~'-~) o4" x7 +x) + x~ ~+3~ A~'~ x(~ ~+~

= a(2"--l) a(2") + A~o~,, +A~ '+1:"°') ,ao,-~, + x(~ "+2) x~ ~'+l>a~'-*:' x(2 "+3) +

t Ay+i> x(~,+l) •

I n u n s e r e m F a l l e i s t d a h e r

A~ ~> + 2 A(o ~-~) 1 G~,+2 ~ 4 + '2 A(o,, ~ + A(j,_.2)- ~> 4~-- ,

3 F~+2 < 13 "

L e m m a 9. Sei unendIich o/t in der Entwicklung

also a ("-a) = a~ "-~) = a ("-1) == 1, a~ (') = 2. Dann gilt (2c) unendlich o/t.

Beweis. M a n d a r f n a c h d e m v o r i g e n a n n e h m e n a (v+l )= l , a ( # )= 0. N a c h (26) i s t ~

A(o ~) + 2 A(o "-1> x~ ~+~) + x(2 ~+~ 3 A(o "-a~ + A(o ~'-~ 13 - - " * O V ~a0 | ~ * 0 3

L e m m a 10. Sei /iir unendlich viele v a~ ("-x) = a(')--2 - - 1 und /i~r unendlich viele ]t a(~a)= 2. Dann gilt (2c) unendlich oft.

Beweis. D ~ m a n s ich a u f au(U) _.< 2 b e s c h r ~ n k e n d~rf , folgt , d a b u n e n d l i c h o f t

v o r k o m m t . N a e h L e m m a 8 u n d L e m m a 9 d a r f m a n a n n e h m e n , d a b

u n e n d l i e h o f t in de r E n t w i e k l u n g aufseheint; .

a.(~'--~)= a(~)= 2 , a (2"-- ' )= a (~- -u)= a g - - 1 ) = a ( ,+ 1 , = I . a i " ' = 0 .

N a c h (26) i s t

G,+~ > 2 + Ag> + A~ "-~ + x~ ~+~) + x(~ "+~)

4 A(0 v-a) + Ay -n) 4 A(o "-u) + A(~ ~-a) + 4 Ay - o 13 > 3 + 2 AS ~-~) + A~ "-~) + A(0 ~-z~ = 3 + 3 Ag -~) + A(g -~) + 2 A(g -~) > - 3 - '

wel l A0(,-") < 3Ao(,-~).

374 WOLFGA~U SCUMIDT: F1~ehenapproximation beim Jacobiatgorithmus

7. Beweis des Satzes. Man d a f t annehmen, dal3 a(~)~ 0, a~ ~) ~ 2, bis auf endlich viele v.

I s t ffir v > N a(~)~ 1, so grit der Satz nach L e m m a 3. I s t fiir v > N a0 ')= 2, so gilt der Satz nach L e m m a 8.

Man dar f also annehmen, dab unendlieh oft a~ ~) ~- 1, a(2")= 2.

I s t unendlich oft a(t~-l)_~ a(,)-~ 2, so ist der Satz nach L e m m a 8 bewiesen. I s t unendlich oft a ( ' - l ) ~ - a('):= 1, so gilt der Satz nach Lemma 10.

Daher bleibt nur der Fall, dal] fiir v > N a(2 ~) abweehselnd gleieh 1 bzw. 2 ist. I n diesem Falle hilft uns L e m m a 4,

8. Wir erw~hnen ohne Beweis weitere Eigenschaf ten der Kettenbri iche, die sich auf Jacobia lgor i thmen fibertragen lassen. Es gibt Analoga zu den Euler-Mindingsehen Formeln und zu den Kont inuanten . Es gilt folgender Satz : (Siehe [6], Satz 9) : Beginnt die Entwicklung yon P (al, a2), Q (fl~, fl~), R (7~, 72), mit denselben Koe//izienten

! a!~ °) a!~) .. a7 ) ],

dann beginnt auch die Entwicklung jedes Punktes S(~1, 5~), der im abgeschlos- senen Dreiedc mit den Eckpunkten P, Q, R Iiegt, mit diesen Koe//izienten.

Literatur

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(Ei ngegangen am 6. Mai 1958)