Folie 1 o.Univ.-Prof. Dr. Stefan Bogner Priv. Doz. Dr. Thomas Nagel Univ.-Ass. Dr. Margarethe...

Folie 1

o.Univ.-Prof. Dr. Stefan BognerPriv. Doz. Dr. Thomas Nagel

Univ.-Ass. Dr. Margarethe RammerstorferPriv. Doz. Dr. Markus Schwaiger

Institute for Corporate Finance

(Department of Finance and Accounting)

Der Erwerb dieser Folien kann nicht den Besuch der Lehrveranstaltung/das Studium der angegebenen

Literatur ersetzen!

Einführung in die betriebliche Finanzierung II GK II Corporate Finance, GK II Internationale Finanzierung

WS 09/10

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SBWL-Corporate Finance

Empfohlene Kursreihenfolge:

1. Semester-SBWL: Grundkurs I und II 2. Semester-SBWL: I, II, III und IV 3. Semester-SBWL: Vertiefungskurse V und VI

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Grundkurs I+II - Allg. Informationen

Inhaltliche Voraussetzungen Beherrschen des Stoffes aus Finanzierung I (bzw. Investition & Finanzierung I) und

Finanzierung II

Erwerb eines Zeugnisses - Anforderungen 75% der Note (= maximal 120 Punkte) ergeben sich aus den erreichten Punkten bei den

beiden Klausuren. In den beiden Klausuren müssen insgesamt mindestens 60 Punkte (= 50% der Gesamtpunkte) erreicht werden.

25% der Note werden durch das Vorbereiten der in den Beispielskripten der GKs I und II enthaltenen Übungsbeispiele erworben (Bekanntgabe durch Ankreuzen vor der jeweiligen Einheit). Für jedes angekreuzte Beispiel gibt es 1 Punkt, d.h. maximal 40 Punkte sind möglich (GKs I und II gemeinsam), davon müssen mindestens 20 erreicht werden.

Unter jenen Studierenden, die ein Beispiel angekreuzt haben, wird jeweils zufällig eine/r aufgefordert, dieses Beispiel zu präsentieren. Stellt der LV-Leiter fest, dass der/die Studierende das Beispiel nicht hinreichend bearbeitet hat, hat dies beim ersten Mal den Verlust von 20% aller in den GKs I und II erworbenen Punkte zur Folge, beim zweiten Mal eine negative Beurteilung beider Grundkurse.

Im Krankheitsfall müssen die durchgerechneten Beispiele vor der jeweiligen Präsentationseinheit vorab per E-Mail (oder persönlich) an den LV-Leiter übermittelt werden, um Punkte zu erhalten.

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Klausuren Termine:

Grundkurs I: 20.11.2009, 13:00 – 14:00 Uhr Audi Max

Grundkurs II: 22.01.2010, 11:00 – 12:00 UhrAudi Max

Ersatzklausur Grundkurs I: 10.02.2010, 10:00 – 11:00 UhrAudi Max

Ersatzklausur Grundkurs II: 10.02.2010, 11:30 – 12:30 UhrAudi Max

Erlaubte Hilfsmittel: auf der Website www.wu-wien.ac.at/fed/ in der Positivliste aufgezählte Taschenrechner!


Mathematik-Repetitorium: 08.10. und 09.10.2009, 17:00 – 19:00 Uhr, S1 (H46)

GK I-Klausur-Repetitorium: 10.11.2009, 15:30 – 17:30, H.3.31 12.11.2009, 15:30 – 17:00, H.2.24

GK II-Klausur-Repetitorium: 12.01.2010, 11:00 – 13:00, H.4.40 14.01.2010, 13:00 – 15:00, S1 (H46)

Tutor-Sprechstunde: jeweils montags und mittwochs von 14:00 – 15:00 Uhr im Meeting-

Raum 1 (H46) ab 12.10.2009

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Grundkurs II

Kernliteratur: Kruschwitz, Lutz: Finanzierung und Investition, 3. Aufl., Oldenbourg,

München / Wien 2002. Franke, Günter/ Hax, Herbert : Finanzwirtschaft des Unternehmens und

Kapitalmarkt, 4. Aufl., Springer-Verlag Berlin et. al. 1999

Vertiefungsliteratur: Swoboda, Peter: Betriebliche Finanzierung, 3. Aufl., Physica Verlag

Heidelberg 1994. Steiner, Peter/ Uhlir, Helmut: Wertpapieranalyse 4. Aufl., Physica

Verlag Heidelberg 2000. Hull: Optionen, Futures und andere Derivate 6. Aufl., Pearson Verlag

München 2006

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Grundkurs II - Übersicht

5. Der Marktwert als Beurteilungsmaßstab

6. Capital Asset Pricing Modell (CAPM)

7. Optionspreistheorie

8. Theorie der Zinsstruktur

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5. Der Marktwert als Beurteilungsmaßstab - Übersicht

A. Die Bedeutung des Kapitalmarkts

B. Marktwert und Nutzenmaximierung

C. Arbitragefreie Märkte

D. Wertadditivität

E. Theorem von der Irrelevanz der Finanzierung

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A. Die Bedeutung des Kapitalmarkts Zusammenhänge zwischen Gütermarkt, Geld- und

Kapitalmarkt: Ausgleich Geldangebot und -nachfrage => Rendite über Inflationsrate Geld- und Kapitalmarkt: Fülle von Anlagemöglichkeiten

(z.B. Finanzierungstitel auf Sekundärmarkt) Nur Titelemittenten, deren Projekte attraktivste Verzinsung

versprechen, erhalten Geld von Investoren: Geld wird den „produktivsten“ Verwendungen zugeführt Kapitalmarkt verhindert unrentable Investitionen

Unternehmen auf Gütermärkten erfolgreich => Vermutung der Investoren: Auch zukünftig interessante Anlage

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A. Die Bedeutung des Kapitalmarkts Bedingungen für funktionierenden Allokationsmechanismus

des Kapitalmarkts: 1. Preisbildung nicht verzerrt

2. Mindestmaß an Information über Unternehmenserfolg auf Gütermärkten

Kapitalmarkt erlaubt Risiken aus Realinvestitionen zu hedgen: Bedeutung: Risiken durch negativ korrelierte Risiken zu

neutralisieren Solche Finanztransaktionen haben versicherungsähnliche Wirkungen Wichtigste Beispiele: Terminkontrakte und Optionen

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A. Die Bedeutung des Kapitalmarkts Hauptarbeitsgebiet der Kapitalmarktforschung: Preisbildung

auf Kapitalmarkt. Für Unternehmen wichtig, da Preisbildung Konditionen für

Geldbeschaffung bestimmt. Für Investor wichtig, da am Kapitalmarkt erzielbare Rendite davon

abhängt.

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Einzahlung in ZustandInvestitions- Z1 Z2

Programm (x1) (x2)A 100 400B 350 200


B. Marktwert und Nutzenmaximierung Investitionsentscheidungen unter Risiko: Vergleichende

Beurteilung unsicherer zukünftiger Zahlungsströme Alternative zu subjektiven Risikopräferenzen: Marktwerte Optimales Investitionsprogramm = marktwertmaximale

Lösung Beispiel:

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B. Marktwert und Nutzenmaximierung Indifferenzkurven zur Beurteilung unsicherer Zahlungen

Investitionsprogramm B präferiert, da Nutzen ↑ als bei IP A

x2

x1

A

B


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B. Marktwert und Nutzenmaximierung Annahme: Markt für zustandsabhängige Zahlungsansprüche existiert Der Preis eines beliebigen Zahlungsanspruches in Höhe von einer

Geldeinheit im Zustand Zs sei mit s bezeichnet.

Marktpreise der beiden Investitionsprogramme: A: 0,3 100 + 0,6 400 = 270 B: 0,3 350 + 0,6 200 = 225

Investitionsprogramm A wird präferiert Widerspruch zwischen Marktwertmaximierung und Maximierung der

individuellen Präferenzen?

Zustand Z1 Z2s 0,3 0,6


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B. Marktwert und Nutzenmaximierung Indifferenzkurven und Marktgeraden zur Beurteilung unsicherer Zahlungen

Investitionsprogramm A präferiert; A besitzt gleichen Marktwert wie A´; Nutzen von IP A´ ↑ IP B

A´> B nach Nutzenkalkül und Marktwertorientierung

x2

x1

A

B

A´


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C. Arbitragefreie Märkte Das Prinzip der Arbitragefreiheit

Vollkommener Kapitalmarkt: Keine Informations- und Transaktionskosten Keine Steuern Alle Wertpapiere beliebig teilbar

Auf Kapitalmärkten nur Zahlungsströme beurteilt Einfachster Fall einer Arbitrage: Arbitrageur kauft Gut von

Geschäftspartner und verkauft es gleichzeitig zu höherem Preis an anderen Geschäftspartner

Differenz zwischen Ein- und Verkaufspreis: Arbitragegewinn Jeder Arbitragegewinn bedingt gleich hohen Verlust anderer

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Vollkommener Kapitalmarkt Jeder Akteur über alles informiert! Niemand akzeptiert freiwillig Arbitrageverlust => weder

Arbitrageverluste noch -gewinne möglich Konsequenz: „Gesetz des Einheitspreises“ Gleichgewicht nur dann, wenn Arbitragefreiheit besteht Kurzzeitig auftretende Arbitragemöglichkeiten durch Ausnutzung

sofort beseitigt => Rückkehr zum Gleichgewicht

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C. Arbitragefreie Märkte Arbitragegelegenheit bei Sicherheit

Folgende Warenkörbe werden auf Obstmarkt angeboten:

Folgende Arbitrage („free lunch“) möglich: Kauf von zwei Körben von Händler 3 und Verkauf von je einem Korb zu

Konditionen von Händler 1 bzw. Händler 2 Kauf und Verkauf von 10 Äpfel und Birnen => Ausgaben: 16; Erlöse: 17 Arbitragegewinn: 1 Portefeuille besteht aus: +2 Einheiten (long) Körbe vom Händler 3 und

-1 Einheiten (short) Körbe der Händler 1 und 2.

Händler Äpfel Birnen Preis je Korb1 8 2 8,702 2 8 8,303 5 5 8,00

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C. Arbitragefreie Märkte Arbitragegelegenheit bei Sicherheit

Obstmarkt arbitragefrei, wenn Preis von Händler 3 8,50 Jeder andere Preis bietet Arbitragegelegenheit.

Bei Sicherheit sind auf Kapitalmärkten (beurteilt werden nur Zahlungsströme) Arbitragemöglichkeiten nur bei mehrperiodigen Finanzierungstitel bzw. Investitionsprojekten realistisch.

Beispiel: Folgende sichere Anleihen werden auf Kapitalmarkt gehandelt:

Anleihe Preis Rückfluß zu t = 1 Rückfluß zu t = 21 8,70 8 22 8,30 2 83 8,00 5 5

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Prinzip der Arbitragefreiheit auch bei Bewertung stochastischer Zahlungsströmen anwendbar

Beispiel:

WP Preis zu t = 0 Rückfluß zu t = 1

in Zustand 1 Rückfluß zu t = 1

in Zustand 2 1 0,90 1 1 2 0,60 1 0 3 0,28 0 1

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Folgende Arbitrage ist nun möglich: Verkauf Wertpapier 1 zu t = 0 (Kreditaufnahme: 0,90); Rückzahlung

zu t = 1 von 1 (=>Wertpapier 1 „short“) Gleichzeitig Kauf der Wertpapiere 2 und 3 (Kosten 0,60 + 0,28 = 0,88);

sicherer Rückfluss von 1 (=>Wertpapier 2 und 3 „long“) t=0: Portefeuille wirft Einzahlungsüberschuss von 0,02 ab; t=1:

In beiden Zuständen entsprechen die Ein- den Auszahlungen Gleichgewicht: Wertpapier 1 kostet gleichviel wie die Wertpapiere 2

und 3 zusammen. => Portefeuilles und Wertpapiere, die in Zukunft denselben

(stochastischen) Zahlungsstrom abwerfen, müssen gleich viel kosten.

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C. Arbitragefreie Märkte Das Prinzip der Arbitragefreiheit (formuliert für einen

zukünftigen Zeitpunkt.) Kapitalmarkt aus m Wertpapieren (i = 1, ..., m) Endliche Zahl S von Zuständen (s = 1, ..., S)

(zwei Zeitpunkte t = 0; t = 1) xis: Einzahlungsüberschuss eines Stückes des i-ten Wertpapiers im

Zustand s; pi: Heutiger Preis des Wertpapiers Auf einem vollkommenen Kapitalmarkt gilt das Prinzip der

Arbitragefreiheit dann und nur dann, wenn nichtnegative Preise s für zustandsabhängige Ansprüche existieren, so dass für jedes Wertpapier gilt (Farkas-Lemma):

Wenn mehr Zustände als Wertpapiere (S>m): Preise für zustandsbedingte Ansprüche nicht eindeutig => Markt ist unvollständig

S

ssisi xp

1


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Dieses Bewertungsprinzip gilt nicht nur für jedes Wertpapier, sondern auch für jedes Portefeuille.

So gilt für den Preis pf eines aus den Wertpapieren i und h bestehenden Portefeuilles f:

Arbitragefreier Markt => Wertadditivität (siehe später)

S

ssfs

S

sshsishif xxxppp

11


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Deterministische Welt: s ist Abzinsungsfaktor für den Zeitpunkt s. Kapitalmarkt ist arbitragefrei, wenn für alle Wertpapiere dieselben Abzinsungsfaktoren gelten.

Stochastischen Welt: Gemäß Lemma werden Wertpapierpreise ebenfalls durch Addition der zustandsbedingten Einzahlungsüberschüsse, multipliziert mit den Preisen s, ermittelt.

Unter diesen Prämissen entspricht Aktienkurs dem Kapitalwert der zukünftigen Ausschüttungen.


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Diese Betrachtungsweise ist Grundlage der gesamten Kapitalmarktforschung. Verschiedene Modelle unterscheiden sich lediglich in der Erklärung der Preise s.

Stärke des Prinzips der Arbitragefreiheit: Keine Annahmen über Risikoeinstellung der Investoren notwendig => Bewertung nach Farkas-Lemma = präferenzfrei

Arbitragefreiheit bei vollkommenen Kapitalmarkt => Wertadditivität => Irrelevanz der Finanzierungspolitik

Terminkontrakte und Optionen lassen sich nach dem Prinzip der Arbitragefreiheit bewerten (siehe später).


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D. Wertadditivität Addition zweier Positionen zu einer dritten => Marktwert dieser dritten

Position = Summe der Marktwerte der beiden ersten Positionen Steht X für den Vektor, der die Einzahlungen in allen Zuständen

beschreibt mit X = (x1, x2, ..., xs ..., xS) und steht V(X) für die Bewertungsfunktion, so ist Wertadditivität gegeben, wenn folgende Voraussetzung gilt:

2121 XVXVXXV


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D. Wertadditivität Ergebnis ist unabhängig davon, ob X1 und X2, die Zahlungsströme der

beiden Projekte (Unternehmen), positiv oder negativ miteinander korreliert sind => Risikomischungseffekten haben keinen Einfluss.

Synergieeffekte haben ebenfalls keinen Einfluss auf die Wertadditivität.

Von Risikomischungseffekten sind Synergieeffekte zu unterscheiden: Positiver Synergieeffekt: Zahlungsstrom des durch Fusion entstehenden

Unternehmens (X3) ist günstiger als Summe der Zahlungsströme der in die Fusion eingehenden Unternehmen (z.B. durch Economies of Scale)


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D. Wertadditivität Konsequenzen für Investitionsentscheidungen:

XU: Zahlungsstrom, den das Unternehmen ohne das zusätzliche Investitionsprogramm erzielen kann Xp: Zusätzliche Zahlungsströme durch das Investitionsprogramm

Bei Wertadditivität gilt dann: V(XU) gegeben => Marktwert der Unternehmung wird erhöht,

wenn V(XP) positiv Besteht Investitionsprogramm aus mehrere Projekten mit

Zahlungsstromvektoren Xi mit

gilt unter Wertadditivität auch

PUPU XVXVXXV

Pi

iP XX

Pi

iP XVXV


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D. Wertadditivität Konsequenzen für Investitionsentscheidungen:

Daraus folgen 2 Entscheidungsregeln: Investitionsprojekte unabhängig voneinander durchführbar => jedes

Projekt mit positivem Marktwert des Zahlungsstroms ist anzunehmen Bei Projekten, die sich gegenseitig ausschließen, ist dasjenige mit dem

höchsten Marktwert auszuwählen (soweit dieser positiv ist). Die Zerlegung einer Programmentscheidung in Einzelentscheidungen

über Projekte ist eine wesentliche Vereinfachung, wenn zwischen den Zahlungsströmen der Projekte stochastische Abhängigkeiten bestehen!

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D. Wertadditivität Implikationen für die Finanzierung:

Irrelevanz der Finanzierung: Marktwert der Unternehmung unabhängig von Aufteilung der Zahlungsströme aus dem Investitionsprogramm auf die Finanziers

Separation von Investition und Finanzierung: Finanzierungsentscheidung ändert Marktwert der Unternehmung nicht => Investitionsprogramm, das den Marktwert des Unternehmens maximiert, bei jeder Finanzierungsweise dasselbe

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E. Verallgemeinertes Theorem von der Irrelevanz der Finanzierung:

Wird Investitionsprogramm eines Unternehmens so festgelegt, dass der Marktwert maximiert wird, dann beeinflusst eine Änderung seiner Finanzierungsweise bei vollkommenen Kapitalmarkt weder sein Investitionsprogramm noch seinen Marktwert noch den finanziellen Nutzen eines Kapitalgebers.

Ein Kapitalmarkt ist vollkommen, wenn gilt: keine Informationskosten, Transaktionskosten und differenzierenden

Steuern; alle Wertpapiere sind beliebig teilbar; gleicher Marktzugang für alle

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6. Capital Asset Pricing Modell (CAPM) - Übersicht

A. Grundlagen des CAPM

B. Beispiel

C. Bewertung riskanter Zahlung mit Hilfe des CAPM

D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis

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A. Grundlagen des CAPM Grundlage des CAPM: Ergebnisse der Portefeuilleoptimierung Risikolose Veranlagung möglich: Jeder einzelne hält Kombination aus

sicherer Anlage und einem Portefeuille aus riskanten Wertpapieren P*

Wenn alle Anleger gleiche Erwartungen (Vorstellungen über erwartete Renditen, Varianzen und Kovarianzen) haben => kommen alle zum gleichen Ergebnis hinsichtlich P*, der Zusammensetzung des Portefeuilles aus riskanten Wertpapieren.

Anlageentscheidung unterscheidet sich nur durch Aufteilung in risikolose Wertpapiere : Portefeuille aus riskanten Wertpapieren P*

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A. Grundlagen des CAPM Wenn alle zwar in unterschiedlichem Umfang, aber in gleicher Weise

zusammengesetzt, das Portefeuille P* halten wollen, muß im Marktgleichgewicht die Zusammensetzung des Portefeuilles P* mit der des Marktportefeuilles PM übereinstimmen.

P* = PM : notwendige Bedingung, damit Markt geräumt wird Einige Symbole:

r ........ Zinssatz für sichere Anlage M ........ Erwartungswert der Rendite des Marktportefeuilles

M ........ Standardabweichung der Rendite des Marktportefeuilles

wM ........ Anlageanteil im Marktportefeuille

(1 - wM) .... Anlageanteil im sicheren Wertpapier


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A. Grundlagen des CAPM Rendite und Standardabweichung eines Portefeuilles aus

risikoloser Anlage und Marktportefeuille:

Grafische Darstellung aller effizienten (, )-Kombinationen

MMMMM wwrw ;1

r

rM

M

M

M

Kapitalmarktlinie


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A. Grundlagen des CAPM Einige Symbole:

i ... Erwartungswert der Rendite des i-ten Wertpapiers

CiM ... Kovarianz zwischen den Renditen des i-ten Wertpapiers und des Marktportefeuilles

... Beta des Wertpapiers i (=Maßstab für das systematisches Risiko)

... Risikoprämie des Wertpapiers i

... Risikoprämie des Marktportefeuilles

i

iM

M

C 2

RP ri i

RP rM M


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A. Grundlagen des CAPM Im Gleichgewicht ist Marktportefeuille mit der Zusammensetzung

(w1M, ..., wmM) ein effizientes Portefeuille und erfüllt folglich:

Multipliziert man jede dieser Gleichung mit wiM und summiert sie dann auf, erhält man:

021 11

m

i

m

jijjMiM

m

iiMi Cwwwr

miwCwCwCr mMimMiMii ...,,1für 02...22 2211

miwCrm

jjMiji ...,,1für 02oder

1


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A. Grundlagen des CAPM

Wegen kann zu

vereinfacht werden und man erhält

2

1 1

12

M

Mm

i

m

jijjMiM

m

iiMi r

Cww

wr

m

jjMijiM wCC

1 02

1

m

jjMiji wCr

i iMr C 2

.2 iMiMM

Mi RPrC

rr


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A. Grundlagen des CAPM Wertpapiermarktlinie, graph. Darstellung

μi

μM

r

βM=1

μM-r

10βi

M

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B. Beispiel Für das bekannte Beispiel (vgl. Kapitel 4) sind die Anteile des i-ten

Wertpapiers im Marktportefeuille, die erwartete Rendite und die Varianz des Marktportefeuilles sowie die Beta-Werte und Risikoprämien des i-ten Wertpapiers anzugeben.

%37,35%;79,8%;84,55 323

1

11

MM

i i

M wwk

kw

04812,0;02720,0;01674,00216,03537,0

0120,00879,00144,05584,0

32

3

111

MM

jjMjM

CC

wCC

3

1

3

1

23

1

02875,0%;75,15i j

jMiMijMi

iiMM wwCw


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112 2 30 5820 0 9458 1 6733

C M

M, ; , ; ,

RP r RPi M1 1 0 1375 0 5820 8 00%; , , ,

M 0 5584 0 5820 0 0879 0 9458 0 3537 1 6733 1, , , , , ,

RP RP2 313 00%; 23 00% , ,

B. Beispiel


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0,0000

0,5820

0,9458

1,6733

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75

WP1

WP2

WP3

B. Beispiel

Darstellung im (i, i)-Diagramm

i

i


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C. Bewertung riskanter Zahlung mit Hilfe des CAPM Formel der Wertpapiermarktlinie ermöglicht Ableitung einer

Bewertungsfunktion für einen einperiodigen Betrachtungs-zeitraum an dessen Ende riskante Zahlungen stehen.

Zu diesem Zweck muß der Zusammenhang zwischen dem Betrag der riskanten Zahlungen und der Rendite der riskanten Zahlungen gefunden werden.

Einige Symbole:1ZeitpunktimZahlungrisikante~

ix

i

iix

xEx~Zahlungriskanten

derwertErwartungs~


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C. Bewertung riskanter Zahlung mit Hilfe des CAPM

ixiM xC ~Zahlungriskantender Betrag demzwischen KovarianzfeuillesMarktporte des Renditeder und

ii xxV ~ZahlungriskantenderMarktwert heutiger ~

i

i

iii

x

xV

xrE

~Zahlungriskantender

Renditeder ert Erwartungw1~~

iiM xC ~Zahlungriskantender Renditezwischen KovarianzfeuillesMarktporte des Renditeder und

ii

i

i

iii x

xV

x

xV

xVxr ~Zahlungriskantender Rendite1~

~

)~(

)~(~~


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C. Bewertung riskanter Zahlung mit Hilfe des CAPM Durch Division der Risikoprämie des Marktportefeuilles durch

die Varianz seiner Rendite, erhält man den Marktpreis des Risikos, g:

Gemäß der Wertpapiermarktlinie muß aber gelten

woraus folgt.

2M

M rg

,1~ iMi

ii gCr

xV

x

iM

ii gCr

xxV

1~


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C. Bewertung riskanter Zahlung mit Hilfe des CAPM Aus der Definition der Kovarianzen läßt sich

ableiten. Unter Verwendung der Wertpapiermarktlinie erhält man dann

Damit hat man die dem CAPM entsprechende Bewertungsfunktion in zwei Varianten:

i

xiMiM xV

CC ~

.1

~r

gCxxV xiMi

i

i

xiM

i

ii xV

Cgr

xV

x~1~

r

gCx

gCr

xxV xiMi

iM

ii

11~


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C. Bewertung riskanter Zahlung mit Hilfe des CAPM Zwei Wege um den Marktwert der riskanten Zahlungen zu

bestimmen: Diskontierung des Erwartungswerts der Zahlung mit einem Satz der

um den Risikozuschlag gCim über dem Zinssatz r liegt Reduzierung des Erwartungswerts der Zahlung um die Risikoprämie

gCxiM und Diskontierung mit dem risikolosen Zinssatz r Negative Kovarianzen: Statt Risikozuschlag erfolgt

Risikoabschlag beim Zins und statt xi zu reduzieren wird xi erhöht.

Erkenntnis aus dem CAPM: Höhe des Risikozuschlags von der Kovarianz zwischen dem Projekt und dem Marktportefeuille abhängig


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C. Bewertung riskanter Zahlung mit Hilfe des CAPM Projekt erhöht Marktwert des Unternehmens, wenn Marktwert

der riskanten zukünftigen Zahlungen größer ist als die zu t = 0 erforderlichen Investitionsausgaben

Notwendige Daten zur Beurteilung eines Investitionsprojektes: Erwartungswert xi der damit verbundenen Zahlungen

Kovarianz CxiM


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D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis Voraussetzung zur Anwendung des CAPM ist:

Bewertungsfunktion ändert sich nicht durch das zusätzliche Investitionsprojekt. (Bei kleinem Anteil der Wertpapiere am Marktportefeuille ist Änderung von g über M und m

2 durch xi und CiM vernachlässigbar.)

Bewertungsfunktion gilt für einperiodige Investitionen; CAPM aber auf mehrere Perioden erweiterbar

Marktteilnehmer entscheiden nach dem (, )-Prinzip. Homogene Erwartungen aller Kapitalanleger => alle Kapitalanleger

halten das identische Teilportefeuille aus unsicheren Wertpapieren (Widerspricht offensichtlich den realen Tatsachen)


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D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis Implikationen des CAPM

Alle Investoren betreiben perfekte Diversifikation. Je höher das Marktrisiko (Beta, systematische Risiko) eines

Finanztitels ist, um so größer sollte die Rendite sein. Risiko, das nicht Marktrisiko darstellt (unsystematisches,

diversifizierbares Risiko), bringt keinen zusätzlichen Ertrag.


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D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis Diversifikationsverhalten der Investoren

In der Praxis hält nicht jeder Investor ein perfekt diversifiziertes Portefeuille. Ist das CAPM daher widerlegt?

Demonstration des Diversifikationseffekts durch das Beispiel der naiven Diversifikation:

Die Renditen aller riskanten Finanztitel besitzen die gleiche Varianz *. Die Kovarianzen zwischen den Renditen der riskanten Finanztitel C* sind

alle gleich. Die Investoren betreiben eine einfache (=naive) Politik: Der Anteil wj am

Portefeuille des j-ten Finanztitel (j = 1, ..., J) beträgt wj = 1/J.


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D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis Diversifikationsverhalten der Investoren

Die Varianz des Portefeuilles beträgt dann:

Durch Vereinfachen erhält man

J

j

J

j

J

jkk

kjjP Cwww1 1 1

**222

**22 11

1C

JJP


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D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis Risikominderung durch Diversifikation

Portefeuille aus wenigen Wertpapieren ermöglicht Beseitigung eines Großteils des unsystematischen Risikos.

C*

J

*

1

2P

10


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D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis Empirische Tests von Rendite-Risiko-Strukturen

Ex-ante-Version des CAPM

Ex-post-Version des CAPM beinhaltet folgende Annahmen: Die tatsächlich realisierten Renditen sollten den erwarteten Renditen

entsprechen Der Kapitalmarkt ist stationär, d. h. die Verteilungsfunktion der Renditen

ändert sich im Zeitablauf nicht Die Verteilungsfunktionen sind zeitlich voneinander unabhängig, d.h. es

können keine Schlüsse aus vergangenen Kursdaten auf künftige Renditen gezogen werden.

.iMi rr


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Die ex-post-Version des CAPM lautet dann

rjt .... Rendite des j-ten Titels im Zeitintervall t - 1 bis t

rft .... risikoloser Zinssatz im Zeitintervall t - 1 bis t

rmt .... Rendite des Marktportefeuilles im Zeitintervall t - 1 bis t

j .... C[rjt, rmt]/[rmt]

jt .... nicht beobachtbarer Störterm mit E[jt] = 0.

Linearität zwischen Rendite und Risiko nur noch im Durchschnitt und von Störterm überlagert

jtjftmtftjt rrrr


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Andere Schreibweise der ex-post-Version des CAPM:

Falls das CAPM gültig ist, darf man folgende Testresultate erwarten: 0 sollte näherungsweise Null sein. 1 sollte der Differenz zwischen der

erwarteten Marktrendite und dem erwarteten risikolosen Zinssatz E[rm- rf].

j sollte der einzige Faktor sein, der die Differenz rjt - rft und damit die zu erwartende Rendite des j-ten Titels erklärt.

Die Beziehung sollte in Bezug auf Beta linear sein. Über einen langen Zeitraum sollte E[rm] > E[rf] sein.Wenn man in das

Marktportefeuille investiert, müßte man mit einer positiven Prämie rechnen können.

jtjftmtftjt rrrr 0

jtj 10


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D. Die Anwendbarkeit des CAPM in der Praxis Ergebnisse empirischer Tests von Rendite-Risiko-Strukturen

(US-Märkte): 0 ist signifikant größer als Null.

1 ist signifikant kleiner als es das CAPM voraussagt. Finanztitel mit kleinem Beta versprechen daher höhere Renditen als man das nach dem CAPM erwarten kann und Finanztitel mit großem Beta rentieren sich nicht so stark wie nach dem CAPM erwartet.

i

r

CiM

0)(1 Anstieg

CAPMVorhersage

DatenEmpirische


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(US-Märkte): Beta ist nicht der einzige Risikofaktor, der die Rendite riskanter

Finanztitel erklärt (Beta dominiert aber die anderen Faktoren). Anpassungstests ergeben, dass zwischen den Renditen und Beta ein

annähernd linearer Zusammenhang besteht. 1 ist regelmäßig positiv. Zumindest auf lange Sicht gilt E[rm] > E[rf].


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(US-Märkte): Weitere Faktoren, die die Rendite riskanter Finanztitel beeinflussen:

Aktien von Unternehmen mit kleinem KGV, von kleinen Unternehmen, von Unternehmen mit hoher Markt- zu Buchwertrelation und von Unternehmen mit hohen Dividenden erbrachten höhere Renditen als mit dem CAPM vereinbar ist.

Darüberhinaus gibt es noch Saisoneffekte, die mit der Grundversion des CAPM nicht erklärbar sind.


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E. Parameterschätzung im CAPM

Risikoloser Zinssatz Eine Möglichkeit basiert auf der Verwendung von aktuell gehandelten Staatsanleihen,

wobei die Laufzeit der verwendeten Anleihe dem „Bewertungshorizont“ entsprechen sollte.

Eine andere Möglichkeit besteht in der Kalkulation eines langfristigen Durchschnittszinses aus den historischen Renditen von Staatsanleihen.

Geometrisches Mittel (unterstellt Wiederveranlagung der realisierten Renditen und somit die Berücksichtigung von Zinseszinsen) / arithmetisches Mittel (Vernachlässigung von Zinseszinsen)

Rendite des Marktportfolios Marktportfolio: Portfolio aller handelbarer, risikobehafteter Anlagen Approximation durch einen Marktindex, Wahl des Marktindex vom zu bewertenden

Investitionsprojekt abhängig Ein mögliches Verfahren zur Schätzung der Marktrendite basiert auf dem

Durchschnitt historischer Indexrenditen (arithmetisches / geometrisches Mittel)

iMi rr


Folie 62


E. Parameterschätzung im CAPM Beta

historische Schätzung Aufgrund der höheren Schätzgenauigkeit wird oftmals das Industriebeta statt des Betas

eines individuellen Unternehmens bestimmt Marktmodell von Sharpe (1964):

Schätzung des Betas durch eine lineare Einfachregression (siehe nächste Folie) Die Marktrendite wird wieder über einen geeigneten Index approximiert:

Problem: Betafaktoren schwanken im Zeitablauf „Five- / Two-Year Rule of Thumb“ Empirische Zeitreihenuntersuchungen haben ergeben, dass das Beta der meisten

Unternehmen um den Wert β=1 schwankt Bloomberg: „Adjusted Beta“= Raw Beta*0.67 + 1.00*0.33

jtmtjjjt rr

1

1

t

tttmt Indexwert

ngenAusschüttuIndexwertIndexwertr

Folie 63



Beispiel: Betaschätzung durch lineare Einfachregression (Marktmodell) Bestimmung der Regressionsgleichung mit der Methode der Kleinsten

Quadrate Wir wählen die Regressionsgerade so, dass die quadrierten Abstände der

Beobachtungen von der Regressionsgerade minimiert werden Beta ist die Steigung der Regressionsgeraden Konkretes Beispiel: Ermittlung des Betas der Sony Corp. Unabhängige Variable: S&P 500 (approximatives Marktportfolio)

Monatsrenditen von September 2001 bis September 2004 Abhängige Variable: Sony Corp. Monatsrenditen von Sept. 2001 bis Sept.

2004

Folie 64



Konkretes Beispiel: Ermittlung des Betas der Sony Corp.

Die Steigung der Regressionsgeraden entspricht dem geschätzten Beta für Sony: β=0,91.

Monatsrenditen - Regression (Sept. 2001 - Sept. 2004)

y = 0,914x - 0,0016

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

-0,12 -0,07 -0,02 0,03 0,08 0,13

S&P 500

Sonyy

Folie 65






Folie 66

7. Optionspreistheorie - Übersicht

A. Grundlagen der Optionsbewertung

B. Bewertung von Optionen

C. Zwei-Zeitpunkt-Zwei-Zustands-Modell

D. Binomial-Modell

E. Das Modell von Black / Scholes

F. Amerikanische Optionen

G. Weitere Optionsarten

Folie 67


A. Grundlagen der Optionsbewertung Europäische Kaufoption („Call“): Recht des Erwerbers, zu einem

zukünftigen Zeitpunkt eine bestimmte Zahl von Basiswertpapieren (Underlying, zB Aktien) zu einem festgelegten Kurs (=Basiskurs) vom Optionsverkäufer (=Stillhalter) zu kaufen.

Europäische Verkaufsoption („Put“): Recht des Erwerbers, an den Stillhalter in einem zukünftigen Zeitpunkt zu verkaufen.

Amerikanische Option: Recht innerhalb eines bestimmten Zeitrahmens auszuüben

Bewertung von Optionen: Konzept arbitragefreier Märkte Anwendung dieses Konzepts an Beispielen für Terminkontrakte.

Terminkontrakt: Abschluss und Erfüllung des Kontraktes fallen zeitlich auseinander (i.d.R. um mehr als 2 Tage).

Folie 68


A. Grundlagen der Optionsbewertung Beispiel: Terminkontrakte auf Aktie

Der Kontrakt ist nach 3 Monaten zu erfüllen. Die Aktie kostet heute 100 Euro, am Geldmarkt wird für Dreimonatsgeld 6 % p.a. bei einfacher Verzinsung bezahlt. Wie hoch ist der Terminkurs heute?

Man vergleicht zwei Geschäfte: Kaufe heute eine Aktie zum Terminkurs F0 und verkaufe sie nach 3

Monaten zum heute noch unbekannten Kassakurs . Kaufe heute eine Aktie zum Kassakurs S0 = 100, finanziere diesen Kauf

durch Kreditaufnahme zu 6 % und verkaufe die Aktie nach 3 Monaten zum dann gültigen Kassakurs .

3

~S

3

~S

Folie 69

Geschäft t=0 t=1

Aktie auf Termin 0 03

~FS

Aktie gegen Kredit 0 406,01100~

3 S


A. Grundlagen der Optionsbewertung Beispiel: Terminkontrakte auf Aktie

Der Kredit ist nach 3 Monaten zu verzinsen und zu tilgen. Wie nachstehende Tabelle zeigt, gilt Arbitragefreiheit nur, wenn F0 =

101,5 gilt.

Folie 70


A. Grundlagen der Optionsbewertung Beispiel: Terminkontrakte auf Anleihen

Beim Kauf einer Anleihe sind im Gegensatz zur Aktie nicht nur der Börsenkurs, sondern auch die Stückzinsen zu zahlen.

Die Anleihe wirft jeweils zum 1.3. eines Jahres 10 % Zinsen ab, Nennwert = 100. Kauft nun jemand diese Anleihe am 21.4., also 50 Tage nach Kupontermin, sind neben dem Börsenkurs anteilig für 50 Tage Stückzinsen zu zahlen: 1050/360 = 1,39.

Am 21.4. wird diese Anleihe auf Termin, 3 Monate, verkauft. Der Kassakurs beträgt 102. Der Geldmarktzinssatz für 3 Monate beträgt 6 % p.a.

Folie 71

Geschäft t=0 t=1 Anleihe auf Termin 0 )(

~3033 SZFSZS

Anleihe gegen Kredit 0 4/06,0139,103~

33 SZS



Man vergleicht wieder zwei Geschäfte: Kaufe heute eine Anleihe per Terminkurs F0 plus bis zum Termin

aufgelaufene Stückzinsen (SZ3) und verkaufe sie nach 3 Monaten zum heute noch unbekannten Kassakurs zuzüglich der bis zum Termin aufgelaufenen SZ3.

Kaufe heute eine Anleihe zum Kassakurs von S0 = 102 zuzüglich SZ0 von 1,39, finanziere diesen Kauf durch Kreditaufnahme zu 6 % und verkaufe die Anleihe nach 3 Monaten zum Kassakurs zuzüglich SZ3.

Die folgende Tabelle zeigt die Zahlungsströme aus den beiden Geschäften:

3

~S

Folie 72


Arbitragefreiheit nur dann, wenn

Wegen SZ3 = 10 × 140/360 = 3,89

Der Terminkurs liegt (zumindest näherungsweise) über (unter) dem Kassakurs, wenn der Geldmarktzinssatz über (unter) dem Zinssatz der Anleihe liegt.

4/06,0139,10330 SZF

05,1010 F


Folie 73

Zeitpunkt

0 1 0 1

250

280

230

C0

30

0

Aktienkurs

Option


A. Grundlagen der Optionsbewertung Beispiel: Optionen auf Aktien

Erwerb einer Kaufoption im Zeitpunkt t = 0 zum Preis von C0, eine bestimmte Aktie im Zeitpunkt t = 1 zum Basiskurs K von 250 zu kaufen. Folgender Zustandsbaum über den Kursverlauf der Aktie und der Option wird angenommen:

Zustandsbäume

Folie 74

B. Die Bewertung von Optionen Wie wird die Option auf einem vollkommenen, arbitragefreien Markt

bewertet? Man vergleicht wieder zwei Geschäfte:

Kauf einer Aktie zu t = 0 zum Kassakurs von S0 = 250. Zu t = 1 erhält man im guten Zustand 280 und im schlechten Zustand 230.

Kauf einer sicheren Anlage zu t = 0, die zu t = 1 genau 230 abwirft, d.h. 230/(1+r). Kauf von sovielen Optionen, dass im guten Umweltzustand ein Gewinn von 50 erzielt wird, d.h. (5/3)30 = 50.

t=0 Zustand zu t = 1 Geschäft gut schlecht

Aktie -250 280 230 sichere Anlage plus Optionen -230/(1+r) - (5/3)C0 230 + (5/3)30 230 + (5/3)0


Folie 75

B. Die Bewertung von Optionen Bei Arbitragefreiheit muß das Portefeuille aus sicherer Anlage und

Option zu t = 0 den gleichen Preis wie die Aktie haben, da sowohl das Portefeuille als auch die Aktie zu t = 1 in jedem Umweltzustand zu gleichen Einzahlungsüberschüssen führen.

Es folgt daher:

Bei einem risikolosen Zinssatz von 5 % für die betrachtete Periode ergibt sich ein Optionspreis von

00 250351/230 SCr

.57,183505,12302500 C


Folie 76

Aktienkurs bei Ausübung

Gewinn

Verlust

Basis-kurs

Inhaber (long)

Stillhalter (short)

45°

45°

a) Kaufoption

Aktienkurs bei Ausübung

Gewinn

Verlust

Basis-kurs

Inhaber (long)

Stillhalter (short)

45°

45°

a) Verkaufsoption


B. Die Bewertung von Optionen Auszahlungsprofile zum Zeitpunkt der Ausübung

Auszahlung Auszahlung

Folie 77

B. Die Bewertung von Optionen SHARPE hat das soeben erläuterte binomische Modell auf beliebig

viele Zeitpunkte erweitert (siehe später). COX/ROSS/RUBINSTEIN haben gezeigt, wie man durch einen

Grenzübergang vom Sharpe-Modell zum Black/Scholes-Modell (siehe später) kommt.

Auf das Nachvollziehen des Grenzübergangs wird aus Gründen der Komplexität verzichtet.


Folie 78


B. Die Bewertung von Optionen Wir konzentrieren uns zunächst auf europäische Optionen auf

Aktien. Grundsätzliche Annahme: Der Kurs des Underlying folgt

einem Zufallsprozess. Die Literatur diskutiert drei Varianten :

1. Bernoulliprozess: Der Aktienkurs (zu Beginn der Optionsfrist S0) steigt während der Optionsfrist entweder mit der Wahrscheinlichkeit q auf S0u oder fällt mit der Wahrscheinlichkeit 1 - q auf S0d.

S0

S0u

t = 0S0d

t = 1

q

1 - q

Folie 79


B. Die Bewertung von Optionen2. Binomialprozess: Man zerlegt die Optionsfrist in Subperioden und

nimmt an, dass eine Serie von Bernoulliprozessen aufeinander folgt. Dabei sollen die Wahrscheinlichkeit für die Veränderung der Aktienkurse als auch die Veränderungsraten selbst im Zeitablauf unveränderlich sein.

S0

S0u1d0

t = 0

t = 1

q

1 - q

S0u0d1

S0u2d0

S0u1d1

S0u0d2

S0u3d0

S0u2d1

S0u1d2

S0u0d3

t = 2

t = 3

Folie 80


B. Die Bewertung von Optionen3. Black/ Scholes Modell: Der Aktienkurs folgt einem kontinuierlichen

Zufallsprozess. Hier: Wiener-Prozess. Einen solchen Prozess muß man sich so vorstellen, dass die

Zufallsvariable in der Zeit niemals zur Ruhe kommt. Der Aktienkurs ist in ständiger Bewegung; auch dann, wenn die Zeitintervalle verschwindend klein sind.

Die Momentanrendite, die Rendite der Aktien im „sehr kurzen“ Zeitintervall, gehorcht dabei einer Normalverteilung.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121

t

S(t

)

Folie 81


C. Zwei-Zeitpunkt-Zwei-Zustands-Modell Annahmen

Zwei Zeitpunkte t = 0 und t = 1 Zu t = 1 ist der Kurs einer Aktie, die heute mit S0 notiert, unsicher. Er

beträgt entweder S0u oder S0d (andere Kursentwicklungen sind ausgeschlossen).

Es herrschen homogene Erwartungen hinsichtlich der im Zeitpunkt t = 1 möglichen Aktienkurse (nicht unbedingt hinsichtlich der Eintrittswahrscheinlichkeiten der beiden Zustände).

Der Kapitalmarkt kennt neben Aktien auch sichere Anleihen (heutiger Preis B0, risikolose Verzinsung rf) und europäische Optionen (heutiger Preis C0 für einen Call und P0 für einen Put, Basispreis K) auf Aktien.

Folie 82


C. Zwei-Zeitpunkt-Zwei-Zustands-Modell Annahmen

Der Kapitalmarkt ist reibungslos. Keine Transaktionskosten, keine Steuern und keine Marktzutrittsbeschränkungen sowie Handelshemmnisse.

Der Kapitalmarkt ist kompetitiv. Der Einzelne beeinflusst den Preis eines Finanztitels nicht.

Es gibt keine Arbitragegelegenheiten.

Folie 83


C. Zwei-Zeitpunkt-Zwei-Zustands-Modell Eine präferenzfreie Bewertungsgleichung

Die Cashflows einer Kaufoption belaufen sich auf

(in t=1) Mit Hilfe der Preise für reine Wertpapiere u und d bestimmen wir die

Bewertungsgleichung:

(Ein reines Wertpapier zahlt in genau einem Zustand genau eine GE.) Die Preise für reine Wertpapiere bestimmen sich aus den Beziehungen

0,max

0,max

0

0

KdSC

KuSC

d

u

dduu CCC 0

000

000

11 BrBrB

SdSuS

dfuf

du

Folie 84


C. Zwei-Zeitpunkt-Zwei-Zustands-Modell Eine präferenzfreie Bewertungsgleichung

Definiert man die beiden Aktienrenditen ru und rd dergestalt, dass u = 1 + ru und d = 1 + rd, errechnet sich aus dem vorstehenden Gleichungssystem die Preise für reine Wertpapiere mit

Definition von p (rf - rd)/(ru - rd) und 1 - p (ru - rf)/(ru - rd) führt zu

du

fu

fd

du

df

fu rr

rr

rrr

rr

r

1

1 bzw.

1

1

duf

CppCr

C

11

10

Folie 85


C. Zwei-Zeitpunkt-Zwei-Zustands-Modell Pseudowahrscheinlichkeit

Gilt rd < rf < ru muß p eine Zahl zwischen 0 und 1 sein p kann als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden.

Die Bedingung rd < rf < ru ist auch vernünftig, da sonst Arbitragegelegenheiten existieren würden: Gilt zB rf < rd < ru kann man sich zum risikolosen Zinssatz verschulden und in die Aktie investieren. Wäre andererseits rd < ru < rf kann man Arbitragegewinne erzielen, indem man Aktien leerverkauft und die Erlöse zum sicheren Zinssatz investiert.

Im Gegensatz zur Eintrittswahrscheinlichkeit q wird die Zahl p nicht empirisch geschätzt, sondern aus den Aktienrenditen rd und ru sowie dem risikolosen Zinssatz rf errechnet.

Folie 86


C. Zwei-Zeitpunkt-Zwei-Zustands-Modell Pseudowahrscheinlichkeit

Bestimmung von p ohne Kenntnis der Präferenzstruktur der Markteilnehmer und Informationen über deren individuellen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen.

p wird als Pseudowahrscheinlichkeit bezeichnet. Die Pseudowahrscheinlichkeit entspricht nur dann der

Eintrittswahrscheinlichkeit, wenn alle Anleger risikoneutral wären.

Folie 87


D. Binomial-Modell Annahmen

Annahme einer Modellwelt mit mehreren Zeitpunkten t = 0 (heute) und t = 1, ..., n (später). Kapitalmarkt wie vorhin.

Hinsichtlich aller Zeitpunkte t 1 herrscht Unsicherheit über den Kurs der Aktie. Die möglichen Kurse können aber genau angegeben werden, da der Aktienkurs einem binomialen Prozess mit konstanten Veränderungsfaktoren u = 1 + ru und d = 1 + rd folgt.

Es herrschen homogene Zukunftserwartungen hinsichtlich der in den Zeitpunkten t = 1, ..., n möglichen Aktienkurse.

Am Kapitalmarkt werden neben Aktien auch Anleihen und Optionen auf Aktien gehandelt. Die Anleihe verspricht eine gleichbleibende risikolose Verzinsung rf in jeder Periode t -1 bis t.

Folie 88


D. Binomial-Modell Beispiel:

Heutige Kurs der Aktien: S0 = 200, u = 1,1 und d = 0,95. Der Basispreis der Kaufoption zu t = 2 beträgt K = 205. Der risikolose Zinssatz beträgt rf = 5 %.

Entwicklung des Aktienkurses und des Wertes der Option:

S0=200

S0u=220

t = 0

t = 1

S0d=190

S0u2=242,0

t = 2

S0ud=209,0

S0d2=180,5

C0=?

Cu=?

t = 0

t = 1

Cd=?

Cuu=max(242-205,0)=37

t = 2

Cud=max(209-205,0)=4

Cdd=max(180,5-205,0)=0

Cdu=max(209-205,0)=4

S0du=209,0

Folie 89


Retrogrades Bewertungskonzept: 1. Schritt: Bestimmung der Werte Cu und Cd zu t = 1

2. Schritt Bestimmung des heutige Werts der Kaufoption C0:

54,2 bzw. 76,2443333,0376667,005,1

1 du CC

53,1654,23333,076,246667,005,1

10 C

3333,016667,0

05,010,0

05,005,0

pp


Folie 90


Retrogrades Bewertungskonzept: Dabei muß aber bedacht werden, dass dieser Weg zunächst lediglich ein

intuitives Vorgehen darstellt. Es ist grundsätzlich zu prüfen ob die damit gefundene Lösung auch

arbitragefrei ist z. B. mit der Hilfe der Bewertung über die Preise reiner Wertpapiere oder über ein äquivalentes Portefeuille.


Folie 91


D. Binomial-Modell Eine präferenzfreie Bewertung für n Perioden

Aktienkurs nach n Periode bei k Aufwärtsbewegungen: Sk = S0ukdn-k

Zustandsabhängige Werte des Call: = max(S0ukdn-k - K,0) Bewertungsgleichung im zweiperiodigen Modell:

Bestimmung der Preise u und d notwendig (aus dem Zwei-Zeitpunkt-Zwei-Zustands-Modell bekannt):

ddddduduududuuuu CCCCC 0

du

fu

fd

du

df

fu rr

rr

rrr

rr

r

1

1 bzw.

1

1

knC

Folie 92


Analog bestimmen wir die Preise uu und ud:

Vereinfachung der beiden Gleichungen zu

ufudfuuf

uuduu

rBrBrB

uSudSuuS

111 02

02

0

000


111

111

uudfuuuf

uudduuuu

rr

rr

Folie 93


Die beiden vorstehenden Gleichungen müssen für uu/u und ud/u zu den gleichen Ergebnissen führen wie die Gleichungen im Zwei-Zeitpunkt-Zwei-Zustand-Modell für u und d.

Daher muss gelten: uu = uu und ud = ud

Auch kann gezeigt werden: du = du und dd = dd

Bewertungsgleichung im zweiperiodigen Modell lautet dann:

2

0

2

2

2220

12

1

1

1121

1

kk

kk

f

dduduu

f

Cppkr

CpCppCpr

C


Folie 94


Bei n-Perioden lautet die Bewertungsgleichung:

Vereinfachung: Bestimmung jenes kritischen k (=Anzahl der Aufwärtsbewegungen), bei dem Kurs der Aktie gerade den Wert K erreicht oder erstmals darüber liegt. Dieses kritische k wird mit a bezeichnet. Da dieses a in der Regel nicht ganzzahlig ist, bedienen wir uns zur Bestimmung von a der Hilfsvariablen a´:

n

kC

knkknkn

f kn

KduSppk

n

rC

000 0,max1

1

1

d

u

dSK

aKduS nana lnln0

00


Folie 95

n

ak

knkknkn

f

KduSppk

n

rC 00 1

1

1



a ist schließlich die kleinste ganze Zahl mit a a´. Vereinfachte Bewertungsgleichung:

n

ak

knkn

f

n

akn

f

knkknk pp

k

n

rK

r

dupp

k

nSC 1

1

1

1100

Folie 96


Definition einer weiteren Hilfsgröße p´:

Verwenden von Binomialwahrscheinlichkeiten:

elegantere Darstellung der Optionspreisformel:

ff r

dpp

r

upp

11-1 bzw.

1

n

ak

knkn

ak

knk ppk

npnaBpp

k

npnaB 1, bzw. 1,

pnaBr

KpnaBSC nf

,1

1,00


Folie 97


E. Das Modell von Black / Scholes Europäische Kaufoption auf Aktien Kapitalmarkt ist vollkommen; einzelne Orders beeinflussen die

Wertpapierkurse nicht keine Dividenden und keine Bezugsrechtsabschläge während der

Laufzeit der Option konstanter Zinssatz für eine risikolose Geldanlage während der

Laufzeit der Option neue Optionsverträge während der Laufzeit jederzeit zu vereinbaren

Inhaber kann jederzeit seine Position glattstellen alle Wertpapiere kontinuierlich handelbar

Folie 98


E. Das Modell von Black / Scholes Wie im Binomial-Modell kann ein einperiodiges risikoloses

Portefeuille aus Aktie und Kaufoption zusammengestellt werden.

Im arbitragefreien Markt Rendite dieses Portefeuilles entspricht dem risikolosen Zinssatz

Aufgabe: Zusammenstellung eines risikolosen Portefeuilles aus Aktien und Kaufoptionen im Zeitablauf?

Folie 99

E. Das Modell von Black / Scholes Hilfestellung: 3 Grenzen für den Wert einer Kaufoption

1. Grenze: Der Wert kann nicht negativ sein. Bei sehr niedrigem Aktienkurs strebt der Wert gegen Null, weil die Wahrscheinlichkeit einer gewinnbringenden Ausübung gegen Null strebt.

2. Grenze: Der Wert der Option kann nicht unter dem Aktienkurs, vermindert um den abgezinsten Basiskurs liegen. Der Wert der Option nähert sich dieser Untergrenze asymptotisch mit steigendem Aktienkurs die Ausübungswahrscheinlichkeit strebt mit steigendem Aktienkurs gegen 1.


Folie 100

E. Das Modell von Black / Scholes Für den Wert einer Kaufoption bestehen drei Grenzen (cont.):

Nachstehende Arbitrageüberlegung unterstützt vorstehende Überlegung:

3. Grenze: Der Wert der Option kann nicht über dem Aktienkurs

liegen.

zu t zu TST K ST > K

Kaufoption (long) -(St – K e-r(T-t)) 0 ST – KAktien (short) +St -ST -ST

Sichere Veranlagung (long) -K e-r(T-t) +K +KPortefeuillewert 0 0 0


Folie 101

E. Das Modell von Black / Scholes Basis für die Ableitung der Grenzen ist die stochastische

Dominanz 1. Ordnung.

1. Grenze: C > 0 2. Grenze: C ≥ S – K

für amerikanische Optionen zusätzlich:

C ≥ S – K 3. Grenze: C ≤ S

Tr fe


Folie 102

Preis der Kaufoption im Zeitpunkt t

Aktienkurs im Zeitpunkt t

Aktienkurs

= 3. GrenzeAktienkursOptionspreis

abgezinster Basiskurs

45°

45°

-abgezinster Basiskurs

= 2. Grenze

Ct

StSt+

Ct+

S


E. Das Modell von Black / Scholes Der Wert einer Kaufoption in Abhängigkeit vom Aktienkurs

Folie 103


E. Das Modell von Black / Scholes Zusammenstellung eines risikolosen Portefeuilles aus Aktien

und Kaufoptionen im Zeitablauf: Der Investor kenne die in vorstehender Abbildung eingetragene

Optionspreiskurve. Wir greifen im Zeitpunkt t einen beliebigen Aktienkurs St

+ und den dazugehörigen Optionspreis Ct

+ heraus. In diesem Punkt S beträgt der Anstieg der Optionspreiskurve zB 0.8. Wenn also der Aktienkurs während der nächsten infinitesimalen

Zeitänderung dt um 1 steigt oder fällt steigt bzw. fällt der Optionspreis um 0,8.

Portefeuille aus einer Aktie (long) und (-1/0,8) Kaufoptionen (short) ist daher risikolos (bezogen auf den Zeitpunkt t + dt).

Folie 104


E. Das Modell von Black / Scholes Für das Verständnis sind drei Punkte wichtig:

Da nur infinitesimal kleine Zeitänderung und infinitesimal kleine Preisänderungen unterstellt werden Optionspreiskurve kann im Punkt S durch eine Gerade ersetzt werden

Da das Portefeuille risikolos ist Marktwert des Portefeuilles im Zeitintervall dt wächst gemäß der risikolosen Verzinsung

Im Zeitpunkt t + dt hat sich gegenüber dem Zeitpunkt t der Aktienkurs und damit auch der Anstieg der Optionspreiskurve verändert das Portefeuille muss umstrukturiert werden

Folie 105


E. Das Modell von Black / Scholes Für das Verständnis sind drei Punkte wichtig:

Zusätzlicher Geldbedarf bzw. -freisetzung ist zu vermeiden selbstfinanzierende Strategie der Portefeuillerevision = eine Strategie, bei der weder Geld benötigt noch freigesetzt wird.

Beispiel: Ein Teil der Aktien wird verkauft der Verkaufserlös dient zum Erwerb der Kaufoption

Problem mit 2 Unbekannten (Anzahl der Aktien, Anzahl der Optionen) und 2 Bedingungen (geforderte Hedge-Ratio, selbstfinanzierende Strategie)

Folie 106


E. Das Modell von Black / Scholes Aus den dargelegten Überlegungen leiten BLACK/ SCHOLES

eine Formel für den Preis der Kaufoption ab:

Dabei ist: St Aktienkurs im Zeitpunkt t.

der auf den Zeitpunkt t abgezinste Basiskurs mit die Standardabweichung der logarithmierten jährlichen stetigen

Aktienrendite. N(x) der Wert der kumulativen standardisierten Normalverteilung an der

Stelle x. r die risikofreie Momentanverzinsung.

tT

tTKSNK

tT

tTKSNSC tt

ttt

tt

2ln2ln 2*

*2*

tTrt KeK **

tK

Folie 107

E. Das Modell von Black / Scholes Beispiel:

St 150 r ln(1,08)=0,0770 K 160 151,0262 T-t 0,75 0,2

*tK

75,2,

275,04,03,151150ln03,151

75,2,

275,04,03,151150ln150 NNCt

88,9449879886,03,1515188391,15012596478,03,1510472403,150 NN


Folie 108


E. Das Modell von Black / Scholes Interpretation des Modells von Black/ Scholes

Mit Ausnahme von lassen sich alle Parameter leicht ermitteln. Die erwartete Momentanrendite der Aktie beeinflußt den Optionspreis

nur indirekt über den Aktienpreis. Der Optionspreis steigt, wenn die Restlaufzeit, die Varianz und der

risikolose Zinssatz zunehmen. Anhand des Preises einer Kaufoption, die im Zeitpunkt T zum

Basiskurs K ausgeübt werden kann, läßt sich auch der Preis einer Verkaufsoption, die im Zeitpunkt T zum Basiskurs K ausgeübt werden kann, ermitteln.

Folie 109


E. Das Modell von Black / Scholes Interpretation des Modells von Black/ Scholes

Folgende Strategie wird überlegt:

Zahlungsstruktur des gebildeten Portefeuilles = Zahlungsstruktur einer Kaufoption am Verfalltag Wert dieses Portefeuilles = Wert der Kaufoption (zu jedem Zeitpunkt)

Diese Gleichung wird Put-Call-Parität genannt.

zu t zu T ST K ST > K

Europ. Verkaufsoption (long) -PtE K - ST 0

Aktien (long) -St +ST +ST Sichere Veranlagung (short) +Kt

* -K -K Portefeuillewert PFt 0 ST - K

ttE

tt CKPS *ttt

Et SKCP *

Folie 110


F. Amerikanische Optionen Alle bisherigen Ableitungen gelten für europäische Optionen. Gehandelt werden allerdings überwiegend amerikanische Optionen. Für Kaufoptionen ist diese Unterscheidung aber irrelevant, sofern

während der Optionslaufzeit keine Dividenden, Bezugsrechtsabschläge etc. anfallen. Vor Ende der Laufzeit ist es stets günstiger, die Option zu verkaufen als sie auszuüben. Die Kaufoption schützt den Inhaber im Vergleich zu Aktien vor Verlusten, die entstehen, wenn der Aktienkurs unter den Basiskurs fällt. Zudem entstünde bei vorzeitiger Ausübung ein Zinsverlust durch vorzeitige Zahlung des Basiskurses.

Der Preis eines europäischen Calls entspricht daher unter der getroffenen Annahmen dem Preis eines amerikanischen Calls.

Folie 111


F. Amerikanische Optionen Bei einer Verkaufsoption fallen Preis von europäischer und

amerikanischer Variante auseinander. Wenn der Aktienkurs vor Ende der Optionslaufzeit beinahe auf den

Minimalwert 0 sinkt, kann sich ein Abwarten des Optionsinhabers nachteilig auswirken, weil er den Basiskurs erst später bekäme und daher einen Zinsverlust hinzunehmen hätte.

Ist der Wert des Zinsverlustes höher als der Wert des mit der Option verbundenen Versicherungsschutzes, dann wird vorzeitig ausgeübt.

Eine amerikanische Verkaufsoption ist daher wertvoller als eine europäische.

Folie 112


45°

45°

Ct

St

1. Grenze: P ≤ K

(2. Grenze: P ≥ K - S)Tr fe

3. Grenze: P > 0

2. Grenze amerikanischer

Put: P ≥ K - S

(Innerer Wert)

Wertgrenzen:


Folie 113


S=50 K=50 u=1,2 d=0,6 1+r=1,1

P = MAX(0, K-S)

72 0

60

50 36 14

30

18 3238,0

6,02,1

6,01,1

p

p

1-p

2,12

15,45

3,95

Europäischer Put:


Folie 114


72 0

60

36 14

30

18 32

2,12

15,45

3,95 2,12

20

4,64

0

20

50

F. Amerikanische OptionenAmerikanischer Put:

Folie 115


Europäischer Call mit Dividende D zum Zeitpunkt tD:

Herleitung der 2. GrenzePortfolio (CF) zu t=0 Zu tD zu T

ST < K ST ≥ K Europ. Kaufoption (long) -c0 0 0 ST - K

Aktie (short) St -D -ST -ST Sichere Veranlagung (long) )( DrtrT DeKe D K K

Portfeuillewert 0 = 0 ≥ 0 0

)(0DrtrT eDeKSc


0 :also 0 DrtrT DeKeSc

Folie 116


F. Amerikanische Optionen Abhängig von der Höhe der Dividendenzahlung und dem risikolosen

Zinssatz ist folgende Situation denkbar:

D.h. unter bestimmten Voraussetzungen ist es sinnvoll den American Call vor Ende der Laufzeit einzulösen.

K St

Ct

)( tTreK

)()(

tTreDivK

Folie 117


G. Weitere Optionsarten Asiatische Optionen: Option mit Payoff, der in einem spezifizierten

Zeitraum vom durchschnittlichen Preis des Basisobjektes abhängt. Barrier Optionen: Option, deren Payoff davon abhängt ob der Pfad des

Basisobjektes ein vorher festgelegtes Niveau erreicht hat. Binäre Optionen: auch Digitaloption, ist eine Option mit nicht

kontinuierlichem Payoff. Bermuda Optionen: Option, die an spezifizierten Terminen während ihrer

Laufzeit ausgeübt werden kann.

Realoptionen: Ist eine verschiebbare Investitionsentscheidung, die, sobald sie getroffen wird, irreversibel ist und deren Wert von der zukünftigen Entwicklung bestimmter Faktoren abhängig ist. „Realoptions capture the value of managerial flexibility to adapt decisions in response to unexpected market developments.“[Ulrich Hommel])

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8. Theorie der Zinsstruktur - Übersicht

A. Grundüberlegungen

B. Ableitung der Zeitstruktur der Zinssätze

C. Mögliche Zeitstrukturen der Zinssätze

D. Theorie der Zeitstruktur der Zinssätze

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A. Grundüberlegungen Spot Rates (Kassazinssätze) 0rt sind die aktuellen Renditen von

Veranlagungen mit Laufzeit t Die Spot Rates als Funktion ihrer Laufzeit bilden die Zinsstruktur (Spot

Rate Curve, Term Structure, Zinskurve) Forward Rates (Terminzinssätze) t-1r1 sind jene Zinssätze, welche heute für

eine Veranlagung von t-1 bis t vereinbart werden Forward Rates und Spot Rates stehen zueinander in folgendem

Zusammenhang (Voraussetzung: Arbitragefreiheit):

Beispiel für Forward Rate Vereinbarung: Heutiger Abschluss eines Kredits, der in 6 Monaten für ein Jahr laufen soll (0,5r1).

0 0 1 1 1 1 1 0 0(1 ) (1 )(1 )...(1 ) bzw. (1 ) (1 ) (1 )t t s t st t t s s t sr r r r r r r

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Bootstrap Methode „Bootstrapping“

= Ermittlung der Zinsstrukturkurve mit Hilfe der Kurse von Kuponanleihen

Voraussetzung: zu jedem Kupontermin einer beliebigen Anleihe wird eine andere Anleihe fällig (= ideale Laufzeitstruktur)

Vorgehensweise 1) Berechnung der Rendite der Anleihe mit der geringsten Restlaufzeit

(ideal: ein Zero Bond) 2) Berechnung des Kurses der nächsten Anleihe (der Laufzeit nach

gereiht), unter Verwendung des Ergebnisses in 1). 3) Wiederholung von Schritt 2 bis alle Laufzeiten abgedeckt sind.

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Bootstrap Methode Interpolation (falls ideale Laufzeitstruktur nicht gegeben)

Lineare Interpolation: Ermittlung der Renditen mittels der benachbarten Laufzeitklassen ein linearer Verlauf der Zinsstrukturkurve wird unterstellt

unterjährig meist stetige Verzinsung, dabei gilt:

0 nr nPV K e PV…Present ValueK…Tilgungsbetrag

0rn…..Spot Raten.....Laufzeit der Anleihe

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t = 0

t = 1

21= 0,1825

t = 2

22=0,2277

23=0,2536

24=0,2105

11= 0,4512

12= 0,5012

B. Ableitung der Zeitstruktur der Zinssätze Betrachtet man mehrere Perioden spielt die Zeitstruktur (oder

Fristigkeitsstruktur) der Zinssätze (kurz Zinsstruktur) eine entscheidende Rolle.

Aus den Preisen für zustandsabhängigen Ansprüche kann zB die Zinsstruktur bestimmt werden.

Beispiel:


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B. Ableitung der Zeitstruktur der Zinssätze Beispiel:

Ein sicherer Anspruch auf 1 Euro zu t = 1 kostet zu t = 0 0,4512 + 0,5012 = 0,9524 Euro das entspricht einem Zinssatz von 0r1 = 1/0,9524 - 1 = 0,05 (der vorstehende Index kennzeichnet den Zeitpunkt, zu dem der Zinssatz vereinbart wird; der nachstehende Index für die Anlagedauer).

Ein sicherer Anspruch auf 1 Euro zu t = 2 zahlbar ist kostet zu t = 0 0,1825 + 0,2277 + 0,2536 + 0,2105 = 0,8743 Euro daraus folgt ein Periodenzinssatz 0r2 = 0,0695 [aus 0,8743(1 + 0r2)2=1]

Interpretation der Zinssätze: Rendite einer kuponlosen zweiperiodigen Anlage (= Zero-Bond), vereinbart zu t = 0 Kassazinssatz (=spot rate).

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B. Ableitung der Zeitstruktur der Zinssätze Beispiel:

Ähnlich kann man den Zinssatz für eine einperiodige Anlage im Zustand 11 ermitteln: Der Preis für einen sicheren Anspruch zu t = 2 zahlbar zu t = 1, wenn Zustand 11 eingetreten ist, muß (0,1825 + 0,2277)/0,4512 = 0,9091 betragen dies entspricht einem Zinssatz von 11r1 = 0,1

Im Zustand 12 gilt entsprechend der Zinssatz 12r1 = 0,08.

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Zinssatz(spot rate)

Fristigkeit

fallend

flach

steigend


C. Mögliche Zeitstrukturen der Zinssätze Im Beispiel lassen sich folglich sämtliche Zinssätze ableiten. Ergebnis: steigende Zinsstruktur (steigende spot rates) (ein-

periodige Anlage: Rendite von 5 %, zwei-periodige Anlage: 6,95 %).

Neben normaler sind auch fallende und konstante Zinsstrukturen möglich.

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D. Theorie der Zeitstruktur der Zinssätze Überwiegend sind steigende Zinsstrukturen zu beobachten. Sie werden

daher als normal bezeichnet. Von Zeit zu Zeit gibt es aber auch fallende Zinsstrukturen, sie werden als invers bezeichnet. Aber auch andere Zinsstrukturen mit zB einem Maximum bei mittleren Laufzeiten treten gelegentlich auf (gebuckelte Zinskurve).

Welche Faktoren bestimmen die Zeitstruktur der Zinssätze? Zwei Beispiele aus zahlreichen Erklärungsansätzen:

reine Erwartungstheorie Liquiditätspräferenztheorie

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D. Theorie der Zeitstruktur der Zinssätze Erwartungstheorie

Ein Investor kann Geld für t Perioden entweder zum Zinssatz 0rt einmalig anlegen oder revolvierend zu den Zinssätzen

Diese zukünftigen Spot rates sind zu t = 0 nicht bekannt der Investor kann aber die Erwartungswerte bestimmen:

Sind die Investoren risikoneutral, muß bei Arbitragefreiheit das Endvermögen gleich groß sein:

r~

111211100~1....~1~111 rErErErr t

tt

11121110~...,,~,~, rrrr t

111211~....,,~,~ rErErE t

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Steigende Zinsstruktur bedeutet schließlich:

Investoren rechnen mit einem jährlichen Anstieg der Zinssätze Fallenden Zinsstruktur Investoren rechnen mit fallenden Zinssätzen Unter den getroffenen Annahmen entsprechen auch die Erwartungswerte der

zukünftigen spot rates den forward rates:

111211100302010~....~~.... rErErErrrrr tt

1für sinnvoll ~ trEr ntnt

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In unserem Beispiel liegt eine steigende Zinsstruktur vor. Dies ist im Einklang mit der reinen Erwartungstheorie die Zinssätze in Periode 2 mit 8 % bzw. 10 % liegen über dem Zinssatz in Periode 1 mit 5 %.

Bei risikoneutralen Investoren muß aber gemäß der letzten Gleichung die schärfere Bedingung gelten

q steht für die Eintrittswahrscheinlichkeit des Zustands 11. Aus obiger Gleichung folgt q = 0,468.

Das Beispiel stimmt daher mit der reinen Erwartungstheorie überein, wenn der Zustand 11 mit einer Wahrscheinlichkeit von 46,8 % eintritt.

08,0110,0105,010695,01 2 qq


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D. Theorie der Zeitstruktur der Zinssätze Liquiditätspräferenztheorie

Die Erwartungstheorie ignoriert Risikoaspekte. Die Liquiditätspräferenztheorie basiert auf der Annahme, dass

Investoren eine langfristige Anlage als riskanter ansehen als eine kurzfristig revolvierende Anlage.

Dies ist erklärbar für Kreditinstitute und andere marktwertorientierte Investoren, die eine kurzfristig revolvierende Anlage einer langfristigen vorziehen, weil der Marktwert der langfristigen stärker schwankt.

Steigt das Zinsniveau, dann sinkt der Marktwert der langfristigen Anlage stärker als der der kurzfristigen und umgekehrt.

Das Marktwertrisiko der langfristigen Anlage ist folglich größer.

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D. Theorie der Zeitstruktur der Zinssätze Liquiditätspräferenztheorie

Ein hohes Marktwertrisiko ist bei risikoaversen Investoren unerwünscht (Investor muss möglicherweise die Anlage vorzeitig auflösen oder Marktwertberichtigungen in der Bilanz durchführen).

Marktwertorientierte Investoren werden daher einer langfristigen Anlage nur zustimmen, wenn sie eine Risikoprämie enthält.

Die Liquiditätspräferenztheorie steht daher im Einklang mit der Beobachtung, daß die Zinsstruktur meistens steigt.

Konträr läßt sich aber argumentieren, dass Investoren das Risiko aus kurzfristigen Anlagen vermeiden wollen (Anlage zur Finanzierung langfristig fixierter Auszahlungen)!

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