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MT, Kap 1 | K. Dietmayer | 2018Seite 1

Terminplanung 2018

Dozenten:

Prof. Klaus DietmayerAndreas Pfeuffer, M.Sc.

Vorlesung/Übung: Dienstags 14:15 – 15:45, Raum 43.2.103Vorlesung/Übung: Mittwochs 12:15 – 13:45, Raum 43.2.102

• Erste Übung am Mittwoch, den 25.04.2018

• Weitere Übungen nach Vorlesungsfortschritt (Plan)

• Übungsblätter werden eine Woche vorher auf der Homepage bereitgestellt

Messtechnik1. Einführung

Prof. Klaus Dietmayer

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Einführung Messtechnik

Das beste Mittel gegen

Sinnestäuschungen ist das Messen,

Zählen und Wägen. Dadurch wird die

Herrschaft der Sinne über uns beseitigt.

Wir richten uns nicht mehr nach dem

sinnlichen Eindruck der Größe, der Zahl,

des Gewichts der Gegenstände, sondern

berechnen, messen und wägen sie. Und

das ist Sache der Denkkraft, Sache des

Geistes in uns."

Page: 3 , 8/10/2018

Platon (427-347 v. Chr.)


Einführung Messtechnik

Beispiele für optische Täuschungen, Zylinder

bzw. Schwestern sind jeweils gleich groß!

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Page: 5 , 8/10/2018

Grundbegriffe der Messtechnik

Metrologie

Messkunde (Messtheorie)

Messtechnik (Messpraxis)

Messwesen

Grundbegriffe, Größen, Einheiten, Theorien, Fehlertheorie usw.

Messverfahren, Messmittel und ihr Einsatz, Messvor-schriften, Durchführung und Auswertung von Messungen usw.

juristische, ökonomische, organisatorische Aspekte, Normen, Richtlinien, gesetzliche Vorschriften, Qualitätssicherung, Standardisierung, Planung, Kosten


Was ist „Messen“ ?

Definitionen

Messen ist der experimentelle Vorgang, durch den ein spezieller Wert einer physikalischen Größe als Vielfaches einer Einheit oder eines Bezugswertes ermittelt wird.

Messen ist das experimentelle, quantitative Erfassen einer Eigenschaft eines Messobjekts. Die Eigenschaft kann durch eine physikalische Größe, eine Zuordnung oder einen Systemzustand darstellbar sein.

Messen ist der Vergleich einer physikalischen Größe mit einer Maßeinheit

Physikalische Größe = Zahlenwert * Einheit

4


Der Messprozess, Vergleich mit einem „Normal“


Wann ist eine Größe messbar?

Fundamentalvoraussetzungen:

Die zu messende Größe muss qualitativ eindeutig definiert und quantitativ erfassbar sein

Das Messnormal (Vergleichsmaßstab) muss durch Konvention festgelegt sein

Schlecht messbare Größen sind daher (subjektives Empfinden)

Geschmack

Geruch

Behaglichkeit

Farbe…..

5


Die wichtigsten Begriffe gemäß DIN1390

Messgröße Physikalische Größe, die durch die Messung erfasst werden soll (z.B. der Widerstand R in W )

Messwert gemessener, spezieller Wert einer Messgröße (z.B. 1,5 W)

MessergebnisMesswert oder die Kombination mehrerer Messwerte aufgrund einerfestgelegten funktionalen Beziehung

Messprinzip Physikalische Erscheinung , die bei der Messung benutzt wird (z.B. der Spannungsabfall über R bei I = konstant zur Widerstandsmessung)

Page: 9 , 8/10/2018

.


Die wichtigsten Begriffe gemäß DIN1390

Page: 10 , 8/10/2018

Messverfahren Art der Anwendung bzw. Realisierung des Messprinzips. - Ausschlagverfahren (z.B. Anzeige Analog-Voltmeter)- Kompensationsverfahren (z.B. Widerstandsbrücke)

Messsignale stellen Messgrößen im Signalflussweg der Messeinrichtung dar. Physikalische Art muss nicht mit der Messgröße übereinstimmen(z.B. elektr. Spannung stellt einen gemessenen Widerstandswert R dar)

Messsystem umfasst die Messeinrichtung, das Messobjekt und alle physischen Bereiche des Systems, welche durch den Messvorgang beeinflusst werden (z.B. Multimeter, Widerstand, Halterungen, Fühler des Multimeters usw.)

6


Definitionen gemäß DIN1390

Kalibrieren Stellt den Zusammenhang zwischen Ausgangsgröße und Eingangsgröße, z. B. zwischen Anzeige und Messwert, fest.

Justieren Messgerät oder eine Maßverkörperung so einstellen oder abzugleichen, dass die Ausgangsgröße (z. B. die Anzeige) vom richtigen Wert so wenig wie möglich abweicht oder dass die Abweichungen innerhalb der Fehlergrenzen bleiben.

Eichen von der zuständigen Eichbehörde nach den Eichvorschriften vorzunehmenden Prüfungen zur Sicherstellung von angegebenen Messgenauigkeiten.


Page: 12 , 8/10/2018

Der Begriff „Elektrische Messtechnik“

Messen physikalischer Größen unter Nutzung elektrischer Messsignale und Übertragungstechniken

Messgrößen

Elektrische Größen (Spannung, Widerstand, Impedanz, Leistung, etc.)

Nichtelektrische Größen (Temperatur, Kraft, Geschwindigkeit, Drehmoment, etc.)

Vorteile

Elektrische Größen sind leicht weiterverarbeitbar und übertragbar

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Maßeinheiten

Rückblick ins 18. Jahrhundert

Antiquierte Einheit Fuder konnte bedeuten:

Flächenmaß: Fläche einer Wiese, deren Heu in eine Tonne passt, die ein Gespann ziehen kann

Raummaß: Volumen des Wassers in einer Tonne, die ein Gespann noch ziehen kann

Weitere Beispiele

Elle

Spann

Fuß

…….

Hölzerne Elle mit beinernem Griff u. eisernem Schutzring am anderen Ende. 2 Skalen: 3 Fuß rheinld., Rückseite: metrisch ca. 94 cm.


Forderungen an Maßeinheiten und Einheitensysteme

Ein Einheitensystem muss eindeutig sein(jeder hat dasselbe Verständnis)

Ein Einheitensystem muss konsistent sein(keine inneren Widersprüche)

Ein Einheitensystem sollte kohärent sein(bei Umrechnungen zwischen den Einheiten Faktor 1)

8


Historie der Einheitensysteme

• 1795 : In diesem Jahr führte die französische Akademie der Wissenschaften ein metrisches Einheitensystem mit den Basisgrößen Meter, Gramm und Sekunde ein.

• im 19.Jh.: Es entstand das sog. cgs- System (cm, g, s), als ein physikalisches Einheitensystem.

• 1875 : 17 Staaten unterzeichneten ein metrisches Abkommen.

• 1889 : Die 1. Generalkonferenz für Maß und Gewicht (CGPM) definierte die Prototypen für das Kilogramm und das Meter.

• 1948 : Mit dem MKSA- System (m, kg, s, A) sind erstmals auch die elektrischen Einheiten kohärent an die mechanischen angeschlossen (Giorgi, 1935).


Historie der Einheitensysteme

• 1954 : Die 10. CGPM legte das Internationale Einheitensystem mit den Basisgrößen Meter, Kilogramm, Sekunde, Ampere, Kelvin und Candela (m, kg, s, A, K, cd) fest.

• 1960 : Auf der 11. CGPM einigte man sich auf die heute üblichen SI-Einheiten und schrieb einheitliche Dezimalfaktoren (1012...10-18) nieder.

• 1969 : Neun Jahre später wurde das SI- System auch in der Bundesrepublik Deutschland gesetzlich verankert.

• 1971 : Die 14. CGPM fügte dem SI- System noch die Basiseinheit Mol hinzu.

9


Page: 17 , 8/10/2018

SI-Einheitensystem

Gebiet Basisgröße Formel- Zeichen

Basis- einheiten

Einheiten- Zeichen

Mechanik

Länge Masse Zeit

l M t

Meter Kilogramm Sekunde

m kg s

Elektrotechnik Stromstärke I Ampere A Thermody-namik

Thermodynamische Temperatur

T Kelvin K

Optik Lichtstärke IL Candela Cd

Chemie Stoffmenge Mol Mol


Page: 18 , 8/10/2018

Vielfache der SI-Einheiten

Faktor, mit dem die Einheit multipliziert

wird

Vorsatz Vorsatzzeichen

1018 Exa E

1015 Peta P

1012 Tera T

109 Giga G

106 Mega M

103 Kilo k

102 Hekto h

101 Deka da

10-1 Dezi d

10-2 Zenti c

10-3 Milli m

10-6 Mikro

10-9 Nano n

10-12 Piko p

10-15 Femto f

10-18 Atto a

10


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Definition der SI-Einheiten I

KilogrammMasse eines Prototyps in Paris.Relative Unsicherheit e = 10-9. (Definition: 1889)

SekundeIn der Atomuhr werden Cäsiumatome beim Durchlaufen eines magnetischen Wechselfeldes im Falle der Resonanz energetisch angeregt. Die Frequenz, bei der der Detektorstrom ein Maximum hat, liegt bei 9.192.631.770 Hz und die Sekunde [s] ergibt sich aus der entsprechenden Zahl von Perioden-dauern. Relative Unsicherheit e = 10-14. (Definition: 1967)


Größenordnungen der Sekunde

11


Definition der SI-Einheiten II

MeterStrecke, die das Licht in 1/299.792.458 Sekunden zurücklegt. Dazu wurde die Naturkonstante der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum auf 299.792.458 m/s festgelegt. Relative Unsicherheit e = 10-10 (Definition: 1983)

AmpereStärke eines zeitlich unveränderlichen elektrischen Stromes, der durch zwei im Vakuum parallel im Abstand 1 Meter voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je 1 Meter Leiterlänge die Kraft 2 10-7 Newton hervorruft. Relative Genauigkeit e = 3 10-7 . (Definition: 1948)

=> Zukünftig vermutlich durch Quantennormale


Größenordnung des Meter

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Definition der SI-Einheiten III

Kelvin273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes von Wasser. Relative Unsicherheit ca. e = 10-6 (Definition: 1967)

MolStoffmenge eines Systems, das aus ebenso vielen Einzelteilchen besteht, wie Atome in 0,012 Kilogramm des Kohlenstoffnuklids 12C enthalten sind. (Definition: 1971)

CandelaMaßeinheit für das Helligkeitsempfinden des menschlichen Auges, definiert durch die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540*1012 Hertz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung 1/683 Watt pro Steradiant beträgt (Definition: 1979)


Einheitensysteme und Naturkonstanten

01

4

Ein Einheitensystem legt die Größe der Naturkonstanten fest

Beispiel: cgs-System versus SI-System

SI:

cgs

2 412

0 3

A s8,8544 10

kg m

13


Page: 25 , 8/10/2018

Größen und Zahlenwertgleichungen I

Man spricht von Größengleichungen, wenn ausschließlich der Faktor auftritt, z.B. Größengleichung für elektrische Energie:

Bei Verwendung kohärenter Einheiten gelten für die Einheiten dieselben formelmäßigen Zusammenhänge wie für die zugehörigen Größen:

1 Ws = 1 VAs = 1 Nm.

E U I t


Größen und Zahlenwertgleichungen II

In Zahlenwertgleichungen werden nichtkohärente Einheiten miteinanderverknüpft, z.B. die Energie in kWh:

Bei Zahlenwertgleichungen müssen daher die Einheiten IMMER mit angegeben werden.

Verschiedene Einheiten sind über die Einheitengleichungen miteinander verknüpft.

6 6kWh 0,278 10 V A s 0,278 10 WsE U I t E

6

11 kWh 1000 VA 3600 s VAs

0,278 10

14


Einführung des Metrischen Einheitensystems

24. September 1999: Totalverlust der Mars-Sonde MARS CLIMATE ORBITER nach Software-Update (Lockhead Martin) "Pound Force" statt Newton!!!

1

Messtechnik2. Messfehler und Messunsicherheiten



Messfehler, Grenzen der erzielbaren Genauigkeit

• Stromfluss über Leiterquerschnitt räumlich und zeitlich nicht konstant• Beschreibung daher durch Mittelwert und Streuung

2


Messfehler, Grenzen der erzielbaren Genauigkeit

• Abstand eines idealen Punktes P von einer realen Wand• Abstand schwankt je nach betrachteter Detailtiefe (Oberfläche,

Oberflächenstruktur, atomare Struktur)


Statistische Beschreibung von Messergebnissen

• Messwerte einer physikalischen Größe Xi wird repräsentiert durch eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. (Probability Density Function, abgekürzt: PDF)

Messergebnis xi => Erwartungswert der PDF

i i i i ix E X p X X dX

Zugeordnete Standardunsicherheit uxi -> Standardabweichung

2 2

ix i i i i i iu E X x p X X x dX

• Es existiert kein fester wahrer Wert der physikalischen Größe, den es zu ermitteln gilt.

3


Einflussgrößen auf die Messunsicherheit

• Verschiedene Störeinflüsse der gesamten Prozesskette beeinflussen das Messergebnis => Modellierung des gesamten Messprozesses

• Betrachtung aller Unsicherheiten im Prozess und Ermittlung einer Gesamtunsicherheit

• GUM-Verfahren, Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement


Beispiel für ein korrektes Messergebnis nach GUM

(Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement)

Der auftretende Erweiterungsfaktor kp stellt sicher, dass die hierdurch erweiterte Standardabweichung laut Konvention 95% der Messwerte umfasst.

Bei normalverteilten Fehlern (s.u.) gilt: 2pk

4


Statistische Grundlagen

Häufigkeitsverteilung und Histogramm

Untersuchung der Eigenschaften von empirischen Messdaten

ix

i

jx

Klasse j

. .

. ..

h

jh

jx

j

Relative Häufigkeit: Hn

nj

j

Häufigkeitsdichte: hH

x

n

n xj

j

j

j

j

H jj

N

11



Häufigkeitsverteilung und Histogramm

Summenhäufigkeit Grenzübergang vom Histogrammzur Wahrscheinlichkeitsdichte p(x):

jh

kSj

k

j k

k

j

k

jjjjK hxHS

1 1

:

0

1( ) lim lim

j

j

x nj

n

n dnp x

n x n dx

P x p x dx

Berechnung Summenhäufigkeit aus demHistogramm:

5



Wahrscheinlichkeitsdichte und Wahrscheinlichkeitsfunktion

X: Zufallsgröße (Messvariable)

k : Realisation (diskret) der Zufallsgröße X (z.B. aktueller Messwert)

( ) xp k W X k

1

( ) ( )

k

x x

i

P k W X k p k

Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte und Wahrscheinlichkeitsfunktion



Wahrscheinlichkeitsdichte und, Wahrscheinlichkeitsfunktion

X: Zufallsgröße (Messvariable)

x: Realisation der Zufallsgröße X (z.B. aktueller Messwert)

p x

x1x 2xx

limn

n x

n

x

dP xp x

dx

2

1

1 2( ) ( )x

x

W x x x p x dx

( ) ( )gx

g gW x x P x p x dx

( ) 1 ( )

gx

gW x x p x dx

6


Statistische Grundlagen, Kenngrößen von Verteilungen

Kenngrößen zur idealen oder approximativen Beschreibung der PDF• Komplette PDF meist unbekannt• Beschreibung durch Kenngrößen wie Erwartungswert und Varianz

Erwartungswert (Definition):

x p x dx

Erwartungswert (Approx. Bestimmung Erwartungswert aus Messungen):

1

1lim

n

in

i

xn

ideal real

1

1 n

i

i

x xn



Varianz (Definition):

Varianz (Approx. Bestimmung aus realen Messungen):

ideal

22 x p x dx

22

1

1lim

n

in

i

xn

real, Erwartungswert bekannt

22 2

1

1

n

i

i

s xn

7



Varianz (Approx. Bestimmung aus realen Messungen):

real, Erwartungswert unbekannt

22 2

1

1

1

n

i

i

s x xn

Erwartungswert von s² entspricht der Varianz ² für unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit korrespondierendem Mittelwert und Varianz.

Der Vorfaktor verhindert, dass die Varianz unterschätzt wird, falls auch der Erwartungswert aus den identischen Messgrößen ermittelt wurde.


Statistische Verteilungen, Normalverteilung

Vollständig durch die beiden statistischen Kenngrößen Erwartungswert und Varianz 2 beschrieben

Normal- oder Gauß-Verteilung (Wahrscheinlichkeitsdichte)

2

2

2

)(

2

1);|(

x

exno

Wahrscheinlichkeitsfunktion:

x )x(

xde;|XxNo2

2

2

2

1

8


Statistische Verteilungen, die Normalverteilung

no

0,5 0,67 1 1,65 1,96 2,58 3

W() in % 38,5 50,0 68,3 90,0 95,0 99,0 99,73


Statistische Verteilungen, Standardnormalverteilung

Normierung

ux

2

2

2

1u

eu

)(

Standardnormalverteilung ( = 0, = 1)

udeuu u

2

2'

2

1)(

Halbseitige Definition in Tabellenwerken (z.B. Bronstein) üblich

Wahrscheinlichkeitsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer allgemeinen Normalverteilung erhält man aus den Tabellenwerken gemäß:

udeuu u

0

20

2'

2

1)(

xxno

1; 0

1;

2

x xNo x

9


Statistische Verteilungen, Standardnormalverteilung

Wahrscheinlichkeit dafür, dass x im Intervall liegt21 xxx

2 11 2

x xW x x x

In der Messtechnik sind zur Beschreibung der Unsicherheiten häufig symmetrische Grenzen um den Messwert von Interesse

x t

02W t

Man bezeichnet t als Vertrauensfaktor

0,5 0,67 1 1,65 1,96 2,58 3 W in % 38,3 50,0 68,3 90,0 95,0 99,0 99,73


Vertrauensbereich der Messwerte

Bekannte Standardabweichung , Normalverteilung

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

0,5 1 1,5 2 2,5 3

W x t

t

x i xt x t Wahrscheinlichkeit, das xi als normalverteilte Messgröße in einem sym-metrischen Intervall um den Erwartungswert liegt, d.h.:

Bevorzugt verwendete Vertrauensniveaus sind W = 95%, bei dem t = 1,96 wird, oder auch W = 99,73%, bei dem t = 3 wird, Funktionsverlauf:

10


Statistische Grundlagen, Zentraler Grenzwertsatz

Die Summe von n unabhängigen, aber beliebig verteilten Zufallsvariablen konvergiert bei beschränktem 2. und 3. statistischen Moment gegen eineNormalverteilung:

1

n

ii

X X X Normalverteilung

Begründung für die Bedeutung der Normalverteilung in der Messtechnik

• Messfehler entstehen häufig durch additive Fehlereinflüsse• Messergebnisse sind daher in der Regel normalverteilt.


Bekannte Standardabweichung , NormalverteilungVerringerung der Unsicherheit durch Mehrfachmessung

Durchführung n statistisch unabhängige Messungen und Mittelung

x n nn2

2

2 2 22

21 1

...

n

x

1

x xt x t

1

1 n

ii

x xn

Für die Varianz der Summe (des Mittelwertes) gilt bei identischen Einzelvarianzen

Die Intervallgrenzen sind entsprechend geschrumpft. Die Messung ist„sicherer“ geworden

11



Unbekannte Standardabweichung , Normalverteilung

Dieselben Messdaten werden zur Schätzung der empirischen Standardabweichung s und des Erwartungswertes für xi , d.h. , verwendet.

Verteilung der empirischen Varianz ?

222

21 nxxxy Rechenvorschrift bis auf Vorfaktor !

Die Summe von quadratischen, normalverteilten Größen folgt einer Chi-Quadratverteilung. Somit folgt y einer Chi-Quadrat-Verteilung gemäß

12 2

2

10

| 22

0

n y

ny e für y

nch y n

sonst

n;n 22

22

1

1

1

n

i

i

s x xn

x




Die empirische Varianz folgt somit einer -Verteilung mit n Freiheitsgraden.

Setzt man die empirische Varianz s 2 und den normalverteilten Mittelwert ins Verhältnis gemäß

2

2,

xc

s

n

so wird die resultierende Zufallsgröße c durch die sogenannte Student-t-Verteilung beschrieben

212

12

21/n

n

c

/nn

/nn|cst

12




Es liegen jetzt Mehrfachmessungen vor, d.h. der Messwert ist der Mittelwert der Einzelmessungen und die empirische Varianz der Einzelmessung reduziert sich um , d.h.

s st n x t n

n n

Normierung der Größen ergibt eine Student-t-verteilte Zufallsgröße c

2

xc

s

n

n

und damit als symmetrisches Intervall:

.t n c t n




Zur Ermittlung des Vertrauensintervalls muss nun anstelle mit dem gaußschen Fehlerintegral mit dem Integral der Student-t-Verteilung rechnen

cdn

c

/nn

/nn|tcST

t

t

/n

212

12

21

Der Vertrauensfaktor t ist nun abhängig vom Messumfang n.

Der Messumfang n bestimmt zugleich die Freiheitsgrade der Student-t-Verteilung.

Für große n konvergiert die Student-t-Verteilung gegen die Standard-Normalverteilung mit Erwartungswert 0 und Varianz 1

13


Vertrauensgrenzen der Student-t-Verteilung

Abhängigkeit vom Messumfang

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

0,5 1 1,5 2 2,5 3

nf = 1

2

5

10

3

W x t

t


Tabelle der Vertrauensgrenzen der

Student-t-Verteilung

W = 68,3 % W = 95,0 % W = 99,0 % W = 99,73 % n nt / nt / nt / nt /

2 1,30 8,99 45,01 166,70 3 0,76 2,43 5,70 11,10 4 0,60 1,60 2,90 4,60 6 0,45 1,06 1,63 2,25

10 0,34 0,73 1,01 1,30 20 0,23 0,47 0,65 0,76 50 0,14 0,28 0,38 0,44

100 0,10 0,20 0,26 0,30 200 0,07 0,14 0,18 0,21

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Messunsicherheit

Messunsicherheit einer Messreihe im Falle einer unbekanntenStandardabweichung 𝝈 ergibt sich daher gemäß

= 𝑛𝑛Ist die Standardabweichung hingegen bekannt, gilt = 𝜎 Einzelmessung= 𝜎𝑛 Messreihe, n unabhängige Messungen


Messunsicherheit

Die klassische statistische Analyse umfasst nur die zufälligen Fehler, nicht erkannte systematische Fehler müssen abgeschätzt und addiert werden= 𝑛𝑛 + 𝑦 bzw. = 𝜎 + 𝑦 = 𝜎𝑛 + 𝑦Das Messergebnis ist immer mit Messunsicherheit und Vertrauensniveau anzugeben = 𝑎 ± , = %Ohne Angabe von Unsicherheit und Vertrauensniveau ist ein Messergebnis wertlos

15


Messunsicherheit - Beispiel

Mittelwert und empirische Standardabweichung:

𝑎 = 𝑖= 𝑖,𝑎 = ,= − 𝑖= 𝑖,𝑎 − 𝑎 = ,

𝒊 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10𝑖,𝑎in V

85,0 85,6 84,7 84,9 85,8 85,2 84,6 85,3 85,1 85,4


Messunsicherheit - Beispiel

Statistische Sicherheit von 95% (vgl. Tabelle)

= 𝑛𝑛 = 𝑛 ⋅ , = , ⋅ , = ,Korrekte Angabe des Messergebnisses= , ± , , = %

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Messunsicherheit nach GUM

ISO-Norm: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement

• Durchgängiger Weg zur Erfassung der Messunsicherheiten• Berücksichtigt auch unbekannte systematische Fehler direkt

Idee• Modellierung des Messprozesses hinsichtlich aller relevanten

Einflussgrößen xi, die das Messergebnis y beeinflussen

• Einflussgrößen werden durch Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen(PDFs) modelliert:

Erwartungswert: Bester Schätzwert der Einflussgröße xi

Standardabweichung: Beigeordnete Unsicherheit ui

1 2, , , Ny f x x x

ix i ip p x


Messunsicherheit nach GUM, Auswahl der passenden PDFs

Rechteckverteilung: Wert liegt irgendwo zwischen den Grenzen a+ und a-

-1,0 -0,75 -0,50 -0,25 0,0 0,25 0,50 0,75 1,0 0,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

2

x

a

2 a p x

2

a aa

Halbweite der Verteilung :

Abweichung vom Erwartungswert: x

2

a aE X

22( )Var

12 3

aa aX

17



Dreiecksverteilung: Summe / Differenz zweier Größen X1 und X2,die jeweils rechteckförmig mit derselben Halbweite verteilt sind

Halbweite der Verteilung :

Abweichung vom Erwartungswert: x

-1,0 -0,75 -0,50 -0,25 0,0 0,25 0,50 0,75 1,0 0,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

2

x

a

2 a p x

1 2 E X E X E X

1 2

2

Var Var Var

6

X X X

a

1 2 2 a a a a



Trapezverteilung: Summe / Differenz zweier Größen X1 und X2,die jeweils rechteckförmig aber mit unterschiedlicher Halbweite verteilt sind

Halbweite:

Eckenparameter:

1 2 E X E X E X

-1,0 -0,75 -0,50 -0,25 0,0 0,25 0,50 0,75 1,0 0,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

2 a p x

2

x

a

1 2 a a a

1 2

a a

a

1 2

2

2

Var Var Var X

16

X X

a

18


Messunsicherheit nach GUM Auswahl der passenden PDFs

x

p (x)

Gauß- / Student-t-Verteilung

StandardnormalverteilungStudent-t 100 Freiheitsgrade

Student-t, 10 Freiheitsgrade

Student-t 2 Freiheitsgrade


Messunsicherheit nach GUM, Gauß‘sche Fehlerfortpflanzung

Erwartungswert und Unsicherheit der Ausgangsgröße nach GUM:

1 2, , , Ny f x x x

2 12

,1 1 1

2i i j

N N N

y x x xi i j ii i j

f f fu s s

x x x

Modellgleichung, Einflüsse xi:

Unsicherheit aller Einflüsse:

, , ,i j i jx x x x i js s s r x x mit: geschätzte Kovarianz der Größen

,i jr x x Korrelationskoeffizient

Bei unkorrelierten Einflussgrößen xi (häufige Annahme) entfällt der zweite Summand unter der Wurzel

hierin:

2

2

1i

N

y xi i

fu s

x

19


Schema zur Bestimmung der Messunsicherheit nach dem

Standard-GUM-Verfahren

Ken

ntni

sse

Gauß‘sche Fehler- fortpflanzung

2

2

1i

N

y xi i

fu s

x

1 2, , , Ny f x x x

1X

2X

Nx

1 1,x s

2 2,x s

,N Nx s

, yy s yu


Diskussion des Standard-GUM-Verfahrens

• Gilt exakt nur für normalverteilte Einflussgrößen

• Gauß‘sche Fehlerfortpflanzung ist eine lineare Näherung der im allgemeinen beliebigen nichtlinearen Modell-gleichung

• Genau genommen müsste man die• Unsicherheit anhand realer PDFs

exakt berechnen• hierbei die nichtlineare

Modellgleichung zugrunde legen Nutzung Monte-Carlo-Verfahren,

sehr hoher Aufwand

Ken

ntn

isse

Gauß‘sche Fehler- fortpflanzung

2

2

1i

N

y xi i

fu s

x

1 2, , , Ny f x x x

1X

2X

Nx

1 1,x s

2 2,x s

,N Nx s

, yy s yu

20


Messunsicherheit nach GUM, Angabe des Messergebnisses

Vollständiges Messergebnis besteht aus

1. Erwartungswert der Ausgangsgröße y selbst2. Beigeordnetem Unsicherheitsbereich Uy

Der Erweiterungsfaktor kp ist so zu wählen, dass mindestens95% der Werte mit den Messungen verträglich sind

Beispiel exakte Normalverteilung:Daumenwert beliebige Verteilung:

Vollständiges Messergebnis nach GUM ergibt sich daher wie folgt

y y pU u k

1,96pk 2,0pk

, ......y pY y U k


Messunsicherheit nach GUM, Angabe des Messergebnisses

Vollständiges Messergebnis nach GUM

, ......y pY y U k

Yy

Messwert

yy U yy UuntereGrenze

obereGrenze

verträgliche Werteunverträgliche Werte unverträgliche Werte

21


Diskussion der GUM-Methode

• Konsequente statistische Modellierung der Einflussgrößen

• Keine Unterscheidung nach systematischen und zufälligen Fehlern

• Es existiert kein wahrer Wert, nur das erzielte Messergebnis, das durch Unsicherheiten der Einflussgrößen verfälscht ist.

• Unterscheidung bei den Einflussgrößen:

• Typ A: Statistische Datenanalyse (Gauß-Verteilung, Student-t-Verteilung)

• Typ B: Nur Grenzwerte bekannt (Gleichverteilung, Dreiecksverteilung, Trapezverteilung)


Ablauf einer Messunsicherheitsbewertung nach GUM

1. Analyse der Kenntnisse über Messung und Einflussgrößen, d.h. des Messprozesses

2. Mathematische Modellierung des Messprozesses

3. Quantitatives Einschätzen der Größen und Unsicherheiten nach GUM gemäß Vorgehensweise Typ A und/oder Typ B

4. Kombinieren der Werte und Unsicherheiten unter Nutzung der Gauß’schen Fehlerfortpflanzung

5. Berechnen der erweiterten Messunsicherheit

6. Angabe des vollständigen Messergebnisses

22


Messunsicherheit nach GUM, Beispiel Federwaage

1. Funktionale Analyse

Gewicht wird auf den Wägetelleraufgesetzt. Hierdurch wird die Feder eingedrückt und das Anzeigeelement zeigt auf einer Skala das Gewicht an.

INDGG

SRCG

: Wägewert des aufgelegten Gewichtsstücks (SRC: Source)

: Zur wirksamen Gewichtskraft proportionale Auslenkung des Federelements (üblicherweise in Gewichtseinheiten angegeben)

: Ausgegebener Anzeigewert, d.h. ausgegebener Wägewert(IND: Indikation)

SRCG

'G

INDG



Mögliche FehlereinflüsseINDG

G

SRCG

SRCG Fehler durch nicht exaktes Aufsetzendes Gewichtes

SRC SRC ,G V G G

V Abweichender Wert der Federkonstante / des Übersetzungsfaktors

INDG Anzeigefehler durch Quantisierung der digitalen Anzeige

2. Modellgleichungen mit Fehlereinflüssen

IND IND SRC SRC IND.G G G V G G G

23



Ursache-Wirkungszusammenhang des idealisierten Messprozesses

Messgröße Umformung Anzeige

Phys. Größe Messeinrichtung Ausgabe

SRCG G

SRCG INDG

V

INDG



3. Bewertung der Unsicherheiten nach vorhandenen Kenntnissen

Folgende zwei Möglichkeiten sind vorgesehen:

Typ A:

• Statistische Analyse durch Mehrfachmessung, i. d. R. Modellierung als Normalverteilung oder Student-t-Verteilung

Typ B:

• Einbringen empirischer Kenntnisse, beispielsweise aufgrund früherer Messungen oder Herstellerangaben, i. d. R. durch Annahme einer Rechteckverteilung, wenn nicht besser bekannt.

24



Bewertung der Unsicherheiten:

SRCG Bewertung durch statistische Messdatenauswertung, d.h. (Typ A). Annahme: Normalverteilung

SRC 0G

2 2SRCs G g

V Bewertung Feder durch Grenzwerte laut Herstellerangaben, d.h. (Typ B). Annahme: Rechteckverteilung

1 VV U

1,V 22

,12

V Vs V

1 .VV U 1 ,VV U

Modell:

Erwartungswert 0, d.h. im Mittel fehlerfrei

Varianz g2

mit:

Hierin sind:



Bewertung der Unsicherheiten, Fortsetzung:

Quantisierungsfehler der Anzeige, Quantisierungsstufe q, d.h. (Typ B), Annahme: Rechteckverteilung

IND 0G

2

22IND .

12

qs G

4. Berechnung der gesamten Unsicherheit

IND INDSRC SRC .

G Gy G G

V

Auflösen der Modellgleichung nach der Messgröße liefert die Ergebnisgleichung

SRC IND.y G G

INDG

Erwartungswert 0, d.h. im Mittel fehlerfrei

Varianz

Einsetzen der Erwartungswerte für die Einflussgrößen liefert das Messergebnis

25



Berechnung der Unsicherheit durch Berechnung der partiellen Ableitungen der Ergebnisgleichung nach den Einflussgrößen und Multiplikation mit Varianzen:

2 2

2 2 2IND INDIND SRC2

1y

G Gu s V s G s G

V V

Wegen des nicht ideal bekannten Übersetzungsfaktors V hängt die Unsicherheit auch vom Anzeigewert ab !

5. Ermittlung der erweiterten Messunsicherheit

1,96 2pk da nicht besser bekannt (genaue Verteilung unbekannt)

y y pU u k

mit: 2 2SRC ,s G g 2

2,

12

V Vs V

2

2

IND .12

qs G

Erweiterte Messunsicherheit



6. Angabe des vollständigen Messergebnisses

INDGG

SRCG

Messgröße Umformung Anzeige

Phys. Größe Messeinrichtung Ausgabe

SRCG G

SRCG INDG

V

INDG

IND 2y py G U k

26


Modellierung der Einflüsse mit Ishikawa-Diagramm

1

Messtechnik3. Messprinzipien und Eigenschaften

von Messsystemen



Aufbau Messsystem mit möglichen Komponenten

Sensor-

element

Mess-

schaltungVerstärker

elektrisches

Messsignal

normierteselektrischesSignal

z.B.: 0 - 5 V 4 - 20 mA

physikalische/chemische

Größen

DACAD

linearisiertes, korrigiertes,

digitales Signal

Verarbeitung analoges, normiertes und

korrigiertes Sensorsignal

Bus

Verstärker

z.B. CAN, GPIB ...

spezielle digitale

Signale z.B. BCD-Code/ LCD-Treiber

Konvertierung Vorverarbeitung

2


Diskussion Struktur für ein Temperaturmessgerät

1. Konvertierung

Sensorelement, z.B.

temperaturabhängiger Widerstand

2. Vorverarbeitung

Messschaltung: z.B.

Wheatstone‘sche Brücke (s.u.)

Verstärker: z.B. OP nicht

invertierend

3. Verarbeitung:

AD-Umsetzer: z.B.16-Bit Dual-

Slope, C: diverse Typen (z.B.

Rechenprogramm zur

Kennlinenlinearisierung)

4. Interface:

LCD-Treiber, DA-Umsetzer

Bus-Anschluss: z.B. CAN

Sensor-

element

Mess-

schaltungVerstärker

elektrisches

Messsignal

normierteselektrischesSignal

z.B.: 0 - 5 V 4 - 20 mA

physikalische/chemische

Größen

DACAD

linearisiertes, korrigiertes,

digitales Signal

Verarbeitung analoges, normiertes und

korrigiertes Sensorsignal

Bus

Verstärker

z.B. CAN, GPIB ...

spezielle digitale

Signale z.B. BCD-Code/ LCD-Treiber

Konvertierung Vorverarbeitung


Anforderungen und Kenngrößen

Statische Kenngrößen und Eigenschaften• Messbereich

(zulässiger physikalischer Eingangsgrößenbereich der Messgröße)

• Ausgangsspanne (Bereich des zugehörigen Ausgangssignals)

• Kennlinie(statischer / stationärer Zusammenhang Eingangs- u. Ausgangssignal)

• Empfindlichkeit (Kennliniensteigung)

• Genauigkeit(dem Messwert beizuordnende Unsicherheit, vgl. z.B. GUM)

• Störempfindlichkeit(Verfälschung des Messwertes durch auftretende Störungen)

3


Anforderungen und Kenngrößen

Dynamische Eigenschaften

• Möglichst lineares Verhalten(Unabhängigkeit des dynamischen Verhaltens vom Messwert, kein Kriechen, keine Hysterese, etc.)

• Modellierungsmöglichkeit als Verzögerungsglieder höherer Ordnung (Lineares Verhalten, zusätzlich keine ausgeprägte Totzeiten)

Empfindlichkeit, stationäre Kennlinie

x

dyx

dx

yconst

x

Allg. Kennlinie

Lin. Kennlinie

y

x x 0

y 0

y 0 + y

x 0 + x

Messbereich x

linear

nichtlinear


Kennlinienfehler

Kennliniengleichung allgemein:

y

x x 0

y 0

y 0 + y

x 0 + x

Messbereich x

Ausgangs-

Bereich

y

0 0

yy y x x

x

0x

x

0x x

0y

y

0y y

mit:

Messbereichsanfang,

Messbereich,

Messbereichsende,

Ausgangssignal bei 0x x

Ausgangsspanne

Ausgangsendwert

4


Absolute und relative Fehler

Absoluter Fehler in Einheiten der Ausgangsgröße

y

x x 0

y 0

y 0 + y

x 0 + x

Messbereich x

Ausgangs-

Bereich

y

i sE y y

iy : tatsächlicher Ausgangswert

Sy : idealer, fehlerfreier

Ausgangswert

mit:

Absoluter Fehler in Einheiten der Messgröße

i sy yE

Relativer Fehler, bezogen auf Ausgangsspanne ideal (dimensionslos)

i s

s

y ye

y


Fehlerarten realer Kennlinien

Nullpunktfehler (Offset, Bias)

Steigungsfehler (Verstärkung)

Linearitätsfehler

E (konst)nu

E (Geradengl.)st

reale Kennlinie

ideale Kennlinie

E = f(x)li

x0

y0s

y0+y

x0+x

y0i

0 0nu i sE y y

0i s

st

y yE x x x

x

( )li

E x f x

5


Aufteilung des Gesamtfehlers nach Fehlerarten

Ist-Kennlinie (real)

Soll-Kennlinie (ideal)

Absoluter Fehler aufgeteilt nach Fehlerarten

E (konst)nu

E (Geradengl.)st

reale Kennlinie

ideale Kennlinie

E = f(x)li

x0

y0s

y0+y

x0+x

y0i

0 0( ) ( ) ( )ii i li

yy x y x x E x

x

0 0( ) ss s

yy x y x x

x

0 0 0( ) ( ) ( )i si s i s li

LinearitätsNullpunktfehlerSteigungsfehler

fehler

y yE y x y x y y x x E x

x


Möglichkeiten der Fehlerkorrektur

Basiskorrektur durchMessverstärkereinstellung

1. Offsetkorrektur Verstärker

2. Verstärkungskorrektur

Der Linearitätsfehler nichtAllgemein kompensierbar,Ansätze:

1. Vermessung nichtlinearen Kennlinie und Hinterlegung im Mikrocontroller

(rechnerische Korrektur)

2. Bei bekannten einfache Zusammenhängen (e-Fkt., Quadratisch, etc.) auch

elektronisch analog möglich (OP Schaltungen, s.u.)

3. Verwendung von Messprinzipien, die Nichtlinearitäten unterdrücken (folgt)

y

xx0 x0+x

Ideal bzw. nach Abgleich

vor Abgleich

1.

2.

6


Differenzprinzip

Grundidee

• Entgegengesetzte Aussteuerung zweier identischer Sensoren

• Weiterverarbeitung der Differenz der Einzelmessung

Wirkung

• Differenzkennlinie ist „linearer“ als die Einzelkennlinien

• Gleichsinnig auf die Sensoren Entgegengesetzte Aussteuerung zweier identischer Sensoren

• Weiterverarbeitung der Differenz der Einzelmessung

Sensor 1

Sensor 2 -1

x y = y 1 - y 2 T

T

y 2

+

-

Y1

y

xEntwicklungspunkt

x0= 0

Sensor 2

a

a

f (T)

Sensor1

f (T)

12y a x

Beispiel Idealfall: Quadratische Kennlinien


Rechnerischer Nachweis des Effekts (Differenzauswertung)

Ansatz• Allgemeine Kennlinien der Sensoren

• T kennzeichnet die parasitäre Temperaturabhängigkeit beider

Sensoren

Mit beliebiger Entwicklungspunkt, z.B. auch 0, gilt:

1( , ),y x T 2 ( , )y x T

0 0, :x x x x

0

2 2 0 1 0 1 0 0 1 0

Symmetrie bzgl.

( , ) ( , ) ( , ) ( ( ), ) (2 , )

x

y x T y x x T y x x T y x x x T y x x T

• Allgemeine Taylor- Reihenentwicklung bis zu zweiten Grad um liefert:0x

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

, ,

2 2 2

2 2

2 2

, , ,

, ,, ,

, , ,12

2

x T x T

x T x T x T

y x T y x Ty x T y x T x T

x T

y x T y x T y x Tx x T T

x T x T

7


Rechnerischer Nachweis des Effekts (Differenzauswertung)

Am Entwicklungspunkt gilt aufgrund der Annahmen:

Für die partiellen Ableitungen nach x erhält man:

1 0 0 2 0 0, ,y x T y x T

, ,0 0 0 0 , 0 00 0

1 0 1 0 0 1 02

0 0 ,

(2 , ) (2 , ) (2 ) (2 , )( , )

(2 ) (2 )x T x T x T x T

y x x T y x x T x x y x x Ty x T

x x x x x x x

!

!

Vorzeichen bezüglich 1. Ableitung alternierend, bzgl. 2. Ableitung nicht.

Bei einer Differenzbildung taucht Grad 1 (linearer Anteil) daher doppelt auf

und der quadratische Anteil löscht sich aus. => Effekt der Linearisierung !!

, ,,0 0 0 00 0

,0 0

22

1 0 1 0 02

2 2

0 0

2

1 0

2

0

(2 , ) (2 , ) (2 )( , )

(2 ) (2 )

(2 , )

(2 )

x T x Tx T

x T

y x x T y x x T x xy x T

x x x x x x x

y x x T

x x


Rechnerischer Nachweis des Effekts, Differenzbildung

Durchführung der Taylor-Reihenentwicklung für beide Sensoren und

anschließende Differenzbildung liefert:1 2y y y

, ,0 0 0 0

2

1 1, ,2 2 Terme höherer Ordnung

x T x T

y x T y x Ty x x T

x x T

Empfindlichkeit ver-

größert sich exakt um

Faktor zwei am

Entwicklungspunkt

Quadratische Abhängigkeit

von den Störgrößen entfällt

-> geringere

Störgrößenempfindlichkeit

Differenzprinzip nicht bei allen physikalischen Größen anwendbar, z.B.

nicht bei Temperaturmessung

Schaltungstechnische Umsetzung in Brückenschaltungen

8


Beispiel Quadratische Sensorkennlinie mit additiver Störgröße

Sensorkennlinie

Differenzsignal

2

0 1 2

2

0 0 0 0

1 2 0

( )

, ,2 2

2 2

y a a x a x f T

y x T y x Ty x x T

x x T

a a x x

• Die additive Störgröße wird

vollständig unterdrückt

• Die Differenzsignalkennlinie

ist rein linear

• Die Differenzsignalkennlinie

hat die doppelte

Empfindlichkeit

• Ergebnis gilt NUR bei

quadratischen

Sensorkennlinien

y

xEntwicklungspunkt

x0= 0

Sensor 2

a

a

f (T)

Sensor1

f (T)

12y a x

Beispiel Idealfall: Quadratische Kennlinien


Kompensations- / Gegenkopplungsprinzip

Idee und Vorgehensweise• Messung erfolgt indirekt über

Hilfsgröße durch Kompensation des Messwertes

• Nichtlinearitäten in der Kennlinie können hierdurch vollständig unterdrückt werden

• Beispiel: Magnetfeldmessung mit AMR-Sensor

• Unabhängigkeit, wenn Sensorkennlinie keinen Offset aufweist

• Differenz- und Kompensationsprinzip sind kombinierbar

Us

H

T

Kennlinie eines Magnetfeldsensors

(nichtlinear und temperaturabhängig)

)(TfHH komp

Sensor misst nur, ob Feld oder kein Feld

SensorHkomp.Hkomp.H

Auswerteelektronik

(Regelkreis)

I ~ H

1

Messtechnik4. Messverstärker und analoge

Signalverarbeitungsschaltungen



Anforderungen an Messverstärker und analoge

Signalverarbeitungsschaltungen

Messwandler und Sensoren liefern meist sehr kleine Spannungs- oder Stromsignale. Folgende Forderungen an Verstärker / Signalformungsschaltungen

• Geringe Rückwirkung auf die Messgröße (z.B. keine Belastung des Sensors durch Leistungsentnahme)

• Signaltreue (Linearität)

• Hohe Amplitudendynamik (niedriges Eigenrauschen, geringe Verzerrungen bei großen Amplituden)

• Ausreichende Bandbreite (Ausgangssignal muss dem Eingangssignal zeitlich ohne Amplitudenabschwächung oder Phasenverschiebung folgen können)

• Eingeprägtes Ausgangssignal (Spannung oder Strom für ausreichende Leistungsentnahme)

Heute hauptsächlich Verwendung von Operationsverstärkern (OPs)

2


Idealer Operationsverstärker

Mehrstufiger hoch verstärkender Gleichspannungsverstärker mit Differenzeingang

-

+

U

U

U

U

i

i

U

B-

B+

A

+

+

-

-

.UUUU

UUUU

AE

AE

00

00

(Ideale) Eigenschaften:

• Leerlaufverstärkung

• Eingangswiderstand , daraus folgt , d.h. keine Leistungsaufnahme

• Ausgangswiderstand , d.h. unendliche Treiberfähigkeit

• Gleichtaktunterdrückung , d.h. unabhängig von Gleichsignalpotentialen an den Eingängen

0V

Er 0Ei

0Ar

CMR ,U U


Kennlinie Realer Operationsverstärker

• Maximale Ausgangsspannung 1 V – 3 V unter Betriebsspannung

• Der Eingangs- und Ausgangswiderstand nehmen endliche Werte an:

• Leerlaufverstärkung liegt im Bereich

1 M 1TEr 2 100Ar

4 7

010 10V

Vorteil: Reales Verhalten hängt (fast) ausschließlich von der externenBeschaltung des OPs ab

3


Einfluss Rückkoppelnetzwerk auf das Verhalten des

Operationsverstärkers

Verstärkung

Übertragungsverhalten des Rückkoppelnetzwerkes bestimmt die reale Verstärkung

0 0A D E A gu V u V u u V

0

0

1 1

1A

VE g

g

uV

u VV

V


Beispielverstärker

Invertierender Verstärker

Basisbeziehungen (ideal)i1 + i2 = 0, uE = R1 i1 – uD,

uA = R2 i2 - uD = V0 uD.

0

2

1 2

2 1

0 1

1.

11 (1 )

A

VE g

R

u R RV

Ru R V

V R

4


Kleinsignal ESB eines realen OP

Berücksichtigung von: • Offsets • Endliche Gleichtaktunterdrückung• Endliche Eingangswiderstände, Ausgangswiderstand ungleich 0


Parameter und Kenngrößen realer Operationsverstärker

Leerlaufspannungsverstärkung (open loop voltage gain) V0

ideal:

D

A

u

uV

0

0V

real: 104 V0 10

7

5



ideal:

real:

Gleichtaktspannung (common mode voltage)

.2

uuu NP

gl

Gleichtaktspannungsverstärkung (common mode voltage gain)

.u

uV

gl

Agl

0Vgl

1Vgl



ideal:

real:

Gleichtaktunterdrückung (common mode rejection ratio) CMRR

glV

VdB 0log20][CMRR

CMRR

dB100CMRR

6



ideal:

real:

Verstärkung der geschlossenen Schleife (closed loop voltage gain), Gesamtverstärkung V

E

A

u

uV

gV

1V

0g

0

VV1

VV



ideal:

real:

Gleichtakteingangswiderstand (common mode input resistance)

)(2

1NP

gl

gl

ii

ur

glr

Ω T100ΩG 1 glr

7



ideal:

real:

Ausgangswiderstand (output resistance)

.constDuA

A

Ai

ur

0Ar

1002 Ar



ideal:

real:

Spannungsdifferenz UD0, die am Eingang angelegt werden muss, um die Ausgangsspannung auf Null zu kompensieren

Eingangsfehlspannung (input offset voltage), Offsetspannung

00 DU

mV5μV5,00 DU

8



Komponenten der Gesamtausgangsspannung (output voltage)

NPD uuu

0 0 0 0 0( ' ) ( )A D gl gl D D gl gl P N D gl glu V u V u V u U V u V u u U V u



PSRR

Versorgungsspannungunterdrückung (power supply rejection ratio) PSRR

PSSR [ ] 20 log A

B

udB

u

ideal:

real:

dB100PSRR

9



ideal:

real:

SR

Anstiegsgeschwindigkeit (slew rate)

t

uASR

μsV

3000μsV

5,0SR



ideal:

real:

Eingangsruhestrom (input bias current)

2

00 PN

B

III

0IB

50BI fA (FET) ... 1 µA (bipolar)

10



ideal:

real:

Eingangsfehlstrom (input offset current), Offsetstrom IDO

000 PND III 0I 0D

0 20DI fA .. 20 nA



ideal:

real:

Offsetspannungssdrift (offset voltage drift) in Abhängigkeit der Temperatur

0DU 0 V/°C

0,01 µV/°C ... 15 µV/°C

11



Durch die Gegenkopplungsschaltung wird der effektive Verstärkungsfaktor V und die effektive Grenzfrequenz fg der Messschaltung eingestellt.

Das Verstärkungs-Bandbreiteprodukt (gain bandwidth product) V fg

bleibt konstant

V fg = V0 fg0 = const .


Grundschaltungen: Nicht Invertierender Verstärker

1

2

E

A

R

R1

u

u

12


Grundschaltungen: Addierender Verstärker

21A uuu

.RR

u

R

uR)ii(Riu 3

2

2

1

13213GA

Berechnung der Ausgangsspannung

Wenn alle Widerstände identisch gilt


Grundschaltungen: Subtrahierender Verstärker

12A uuu

1

31

421

3142A

R

Ru

)RR(R

)RR(Ruu


Wenn alle Widerstände identisch R gilt

13


Grundschaltungen: Impedanzwandler

EA uu Berechnung der Ausgangsspannung


Grundschaltungen Integrator

.111

000

t

E

t

E

t

GA dtuRC

dtiC

dtiC

u


Ausgangsspannung wird durch Betriebsspannung begrenzt. Real sollteder Kondensator zum Start immer kurzgeschlossen (entladen) werden können, um den Verstärker nicht in die Sättigung zu treiben.

14


Grundschaltungen: Differenzierer (Prinzip)

.dt

udRCRiRiu E

EGA


Nachteil dieser Prinzipschaltung: Störungen (Rauschen) werden extrem verstärkt


Grundschaltungen: Differenzierer (Real)

.12dt

udCRu E

A

Die Schwingungsunterdrückung wird somit durch eine Tiefpassfilterung realisiert. Man spricht auch von einem DT1 Übertragungsglied


max max

1 1 2 2

1 1,

R C R C

15


Grundschaltungen: Invertierender Komparator mit Hysterese

(Schmitt-Trigger)

Berechnung der Schaltschwellen: uE liegt ideal über R1 an. DieAusgangsspannung ist immer betragsmäßig maximal. Hierdurch wirkt derSpannungsteiler R1 und R2:

,RR

Ruu maxAEauf

21

1

.

RR

Ruu maxAEab

21

1


Grundschaltungen: Voltmeterschaltung

Hochohmige Spannungsmessung mit einem Strommesser. Es gilt bei Vernachlässigung der Eingangsspannungsdifferenz:

EM M E

ui i u

R

16


Grundschaltungen: Stromgesteuerte Spannungsquelle

A E A Eu i R u i


Nachteil: Eingangsklemme OP auf Massepotential


Grundschaltungen: Erdfreie Amperemeterschaltung

Niederohmige Strommessung mit einem Spannungsmessgerät

An Messkontakten fällt keine Spannung abfällt, d.h. es wird leistungslos und damit ohne einen durch den Innenwiderstand eines Messgerätes bedingten systematischen Fehler gemessen.

17


Grundschaltungen: Erdfreie Amperemeterschaltung

Berechnung der Zusammenhänge:

.0uE

1 2' 0Eu i R u

Maschenumläufe, alle u‘ auf gleichem Potential:

Vernachlässigung Eingangs-Differenzspannung:

1 1' 0Eu i R u

(1)

(2)

Gleichsetzen von (1) und (2) sowie Subtraktion der Spannungen liefert:

).(2 121 uuRiE

Zweite Stufe ist ein Subtrahier-Verstärker ohne Gewichtung, es gilt daher:

1 2 2 1 1( ) 2A E A Eu u u u u R i u i


Grundschaltungen: Stromverstärker

Gleichsetzen von (1) und (2) liefert die gewünschte Proportionalität:

1 ,Ei R u

2 .E Mi i R u

Maschenumläufe bei Vernachlässigungder Eingangsdifferenzspannung:

(1)

(2)

1 2

2

~M E M E

R Ri i i i

R

18


Grundschaltungen: Aktiver Vollweggleichrichter

1 0,A E Eu u für u 1 0 0.A Eu für u

Linker Schaltungsteil aktiver Gleichrichter:

Rechter Schaltungsteil ist ein Addierer, es gilt (vgl. auch Übung):

.0ufüruu EEA .0

2

EE

EE

A ufüruRR

u

R

uu


Spezielle Messverstärker: Instrumentenverstärker

Subtrahierverstärker mit zwei vorgeschalteten Elektrometerverstärkern

• Hohe Gleichtaktunterdrückung, da kein Kontakt direkt auf Masse

• Hohe Linearität bei hohem Eingangswiederstand

19



Berechnung der Ausgangsspannung, 1.Stufe:

1 2

1 1 1

1 11 21

E E

E

E E

u uu u R

R

R Ru u

R R

1 2

2 2 2

2 22 11

E E

E

E E

u uu u R

R

R Ru u

R R

(1)

(2)

Gleichtaktsignal: uE1 = uE2 = ugl =>1 2

1.gl gl

u u

u u



Berechnung der Ausgangsspannung, 2.Stufe Subtrahier-Verstärker:

4 6

3 5

,R R

R R

Identische Wichtung der Eingangsgrößen:

).( 12

3

4uu

R

RuA

liefert die Ausgangsspannung:

Einsetzen von (1) und (2) ergibt:

4 1 2

2 1

3

1 .A E E

R R Ru u u

R R

20



• Aufgrund der Symmetrie der Schaltung ideale Gleichtaktunterdrückung• Verstärkung durch R ohne Beeinträchtigung der Symmetrie einstellbar

Vollkommen symmetrischer Aufbau

R1 = R2 = R´

R3 = R4 = R5 = R6

2 1

2 '1

A E E

Ru u u

R


Spezielle Messverstärker: Chopper-Verstärker

Eigenschaften

• Gleichspannungs-verstärker

• Geringe Offsetdrift,Spannungsdriften (5 ... 25 nV/K)

• Höheres Rauschen

Für

Gilt: 44

taktCR

1

.uVu EA

Signalbandbreiten von 0,1 ftakt bis 0,3 ftakt möglich

21


Spezielle Messverstärker: Ladungsverstärker

Eigenschaften

• Kann kleinste Ladungen erfassen

• Sehr verlustarme Kapazität

• Schwierigkeit Nullpunktfehler und Drift durch nicht ideale OP-Eigenschaften (Eingangsströme führen zur Ladung)

• Möglichkeit zur Entladung von C vorsehen

• Der effektive Eingangswiderstand eines idealen Ladungsverstärkers beträgt RE = 0

.)(0

t

tuCdttitq

).(1

)( tqC

tuA

1 nC.Q

1

Messtechnik

5. Messung von Impedanzen



Bedeutung der Impedanzmessung?

Viele Messwandler und Sensoren setzen eine physikalische, chemische

oder biologische Größe in eine Impedanzänderung um.

Beispiele

• Temperaturmesswiderstände

• Dehnungsmesstreifen zur Kraftmessung

• Kapazitive und induktive Sensoranordungen zur Längenmessung

• Kapazitive Druckmesssensoren

• …….

Bekannteste Ansätze sind Brückenschaltungen

• Wheatstone‘sche Messbrücken (Gleichgrößen)

• Wien-Robinson, Maxwell-Wien Brücken (Wechselgrößen)

2


Wheatstone‘sche Messbrücke: Abgleichbedingung

444222

333111

RIURIU

RIURIU

Dann gilt für die Spannungen

und Ströme

I I

I I

1 2

3 4

31

2 4

0, 0D D

RRU I

R R

Unterscheidung: Ausschlag- und Abgleichbrücken

=0U

1U

2U

0I

1R

2R

DI D

U3U

4U

3R

4R

Allgemeine Abgleichbedingung


Wheatstone‘sche Messbrücke: Abgleichverfahren

3


Wheatstone‘sche Messbrücke: Ausschlagverfahren

Im nicht abgeglichenen Zustand erhält man:

2 4

0

1 2 3 4

2 3 1 4

0

1 2 3 4

D

R RU U

R R R R

R R R RU

R R R R

=0U

1U

2U

0I

1R

2R

DU

3U

4U

3R

4R



Sinnvoll wird eine Brücke im Ausschlagbetrieb dann eingesetzt, wenn die

Widerstände einen gemeinsamen festen Nominalwert R besitzen.

Annahme: Messgrößen proportionale Abweichungen z bei allen Widerständen

identisch, d.h.:

Es gilt dann (näherungsweise):

Das Ausgangssignal UD ändert sich auch proportional zur

Versorgungsspannung U0, man spricht von ratiometrischen Verhalten

1

2

3

4

1

1

1

1

R R

R R

R R

R R

z

z

z

z

0DU U z

Vollbrücke im Ausschlagverfahren

=0U

0I

1R

DI D

U

DR

1R 1R

1R

4



Alternativ sind auch Halb- und Viertelbrücken möglich,

Annahme: Messgrößen proportionale Abweichungen z bei allen

Widerständen identisch, d.h.:

Realisiert wie die Vollbrücke das Differenzprinzip !

1

2

3 4

1

1

R R

R R

R R R

z

z

0

2D

UU z

Halbbrücke im Ausschlagverfahren

=

0I

1 R

1R

DI

DU

DR

3R R

4R R

0U



Viertelbrücke: Immer zu verwenden, wenn keine gegenläufige

Aussteuerung der Sensoren möglich ist (Differenzprinzip nicht

anwendbar)

1

2 3 4

1R R

R R R R

z

0

14

D

UU z

Viertelbrücke im Ausschlagverfahren

=0U

0I

1R

2R R

DI

DU

DR

3R R

4R R

5


Wheat´stonsche MessbrückeAusschlagverfahren mit konstantem Speisestrom I0

0I 1R R R

DI

DU

DR

2R

=

3R

4R

Nicht verschwindender Diagonalwiderstand RD

I IR R R R

R R R R R R R R RD

D

02 3 1 4

1 2 3 4 1 3 2 4( ) ( )( )

2 3 1 4

0

1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 1 2( )( ) ( ) ( )

D

D

R R R RI U

R R R R R R R R R R R R R


Wheatstone‘sche Messbrücke: Ausschlagverfahren mit konstantem Speisestrom I0 und endlichem RD

Annahme: Nur R1 ist veränderlich

Abgleichbedingung

Es gilt dann für den Strom ID

Bei Vernachlässigung der kleinen Auswirkung der Widerstandsänderung

R im Nenner erhält man die Proportionalität:

R R R1

R

R

R

R2

3

4

I IRR

R R R R R R R R R RR R R RD

D D

04

1 2 3 4 3 2 4 4 2 4

( ) ( )( ) ( )

0DI const I R

0I 1R R R

DI

DU

DR

2R

=

3R

4R

6


Wechselstrombrücken: Messung von allgemeinen Impedanzen

Hier gilt die komplexe Abgleichbedingung

Betrag: Phase:

Alternativ: Aufspaltung in Real-und Imaginärteil:

• Beide Abgleichbedingungen müssen zum Abgleich simultan erfüllt sein

• Mindestens zwei unabhängig von einander einstellbare Elemente zum

Betrags- und Phasenabgleich müssen vorhanden sein müssen

• Abgleichbarkeit nicht immer erfüllt

Z

Z

Z

Z

1

2

3

4

Z

Z

Z

Z

1

2

3

4

1 2 3 4

3 2 3 2 1 4 1 4,R R X X R R X X

i i iZ R jX

3 2 3 2 1 4 1 4.R X X R X R R X


Wien-Brücke zur Messung von verlustbehafteten Kapazitäten

Abgleichbedingungen,

für beide Brücken identisch:

0U

0I

xR

3R

4R2

R

2C

xC

0U

0I

xR

3R

4R

2R

2C

xC

Brücke unter Nutzung des Modells

eines realen C mit SerienwiderstandBrücke unter Nutzung des Modells

eines realen C mit Parallelwiderstand

4

2

3

,x

RC C

R 3

2

4

.x

RR R

R

7


Wien-Robinson Brücke zur Frequenzmessung

Abgleichbedingungen:

1R

3C

4R

2R

DU

3R

4C

0I

0U

4

3

2

1

3

4

R

R

R

R

C

C

43

243

1

RRCC

Häufige Wahl: CCCRRRRRR 431432 ;2;

1

2f

RC


Maxwell-Wien Brücke zur Messung verlustbehafteter Induktivitäten

Abgleichbedingungen:3

2

4

.x

RR R

R

xR

4R2

R

DU

3R

4C

xL

0U

0I

4 2 3,

xL C R R

Die reale Induktivität wird

durch eine ideale Induktivität

mit ohmschen Widerstand in

Reihe modelliert:

8


Thomson Doppelbrücke Messung kleinster Widerstände im mW Bereich

• Unbekannter Widerstand

R1, ist sehr niederohmig und

in der gleichen

Größenordnung wie R2 , ein

sehr genauer

Vergleichswiderstand

(Normal)

• Die zweite Brücke R3 – R6

ist vergleichsweise

hochohmig

• Die Ströme I3 – I6 sind

daher vergleichsweise klein

G

F

1I

1R

2 1I I

2R

A

C

C

B

H

5I

6I

5R

6R

C

4R

3R

3I

4I

E

D

0U

Die zu messenden Widerstände liegen im Bereich der Widerstände der

Anschlussleitungen



0U

6

1 1 3 3 5 3

4

,R

I R I R I RR

I R I R I R

I R I R I R

1 1 5 5 3 3

1 2 5 6 3 4

Maschenumläufe:

R

R

R

R

3

4

5

6

G

F

1I

1R

2 1I I

2R

A

C

C

B

H

5I

6I

5R

6R

C

4R

3R

3I

4I

E

D

Einsetzen der

Abgleichbedingung

Hieraus ergeben sich die beiden Gleichungen:

4

1 2 3 4 5 5

3

.R

I R I R I RR

9



3

4

554321

4

6

353311

R

RRIRIRI

R

RRIRIRI

6

1 1 4 3 3 4 5 3 4 3 3 4 5 3 6

4

34 4

1 2 3 3 3 4 5 3 5 3 3 4 5 3 6 3 3 4 5 3 6

3 4 3

,

.

RI R R I R R I R R I R R I R R

R

RR RI R R I R R I R R I R R I R R I R R I R R

R R R

Ausgehend von

erhält man nach durchmultiplizieren unter nochmaliger Anwendung der

Abgleichbedingung:

G

F

1I

1R

2 1I I

2R

A

C

C

B

H

5I

6I

5R

6R

C

4R

3R

3I

4I

E

D

0U


Thomson DoppelbrückeMessung kleinster Widerstände im mW Bereich

635433

3

4

4

3

635433

3

4

535433321

635433

4

6

435433411

RRIRRIR

R

R

RRRIRRI

R

RRRIRRIRRI

RRIRRIR

RRRIRRIRRI

Die Division der beiden Gleichungen

liefert die Abgleichbedingung der Thomson Doppelbrücke

4

3

2

1

R

R

R

R

10


Messung hoher Widerstände über Entladekurven

RC

t

eUtu 0)(Entladekurven allgemein:

0U

Laden Entladen Messen

xR

cR C

iR

Je nach Schalterstellung Entladung über den Eingangswiderstand Ri des

Spannungsmessers parallel zu dem parasitären Widerstandes RC des

Kondensatorkreises, zum anderen über alle drei Parallelwiderstände Ri , RCund Rx. Bestimmbar durch zwei Messungen:

U

t

xx

0

1

2

11 12 21 22

U

u

t t t t

ohne R

u


Messung hoher Widerstände über Entladekurven

0U

Laden Entladen Messen

xR

cR C

iR

21 11

(1)

1

2

ln

t tR

uC

u

(1)

1 1 1 1

i C xR R R R

(1) (2)

(2) (1)

x

R RR

R R

22 12

(2)

1

2

ln

t tR

uC

u

U

t

xx

0

1

2

11 12 21 22

U

u

t t t t

ohne R

u

(2)

1 1 1

i CR R R

11


Messung der Kapazität mit Wechselstrom

L' RC

GESB: Realer Kondensator, Verhalten wie Serienschwingkreis mit Resonanz f0:

Parasitäre Induktivität L‘ im Bereich von 50 nH, Messfrequenz darf daher nicht

Zu hoch werden, um Fehler einer Impedanzmessung zu begrenzen

C: f0: Relativer Fehler:

1000pF 1MHz unter 1%

0,1µF 100kHz unter 1%

10µF 10kHz unter 1%

10mF 1kHz 1%

1F 100Hz 2%

fL C

01

2

'


Messung der Kapazität mit Wechselstrom

U R

f = const

C R0 iS

Messschaltung: simultane Strom und Spannungsmessung,

Scheinkapazitätsmessung bei Vernachlässigung Einfluss L‘:

ZCS

1

2

2 1S i

Z R RC

Widerstände verfälschen ebenfalls das Ergebnis, nachträgliche Korrektur

ist notwendig

0U

ZI

12


Einfache Induktivitätsmessung

L R

ESB: Reale Induktivität

1. Messung Spannung U und Strom I mit Gleichstrom ergibt

ohmschen Widerstand R

2. Messung Spannung U und Strom I mit Wechselstrom mit der Frequenz f

den Betrag Z der komplexen Impedanz

3. Damit kann L berechnet werden, gemäß

Lf

Z R 1

2

2 2

1

Messtechnik

6. Digitale Messsignalverarbeitung



Warum Digitale Messtechnik?

Vorteile

• Störsicher bei Übertragung von Informationen

• Quasi beliebige Signalverarbeitung möglich

• Häufig kostengünstiger

• Unterstützt modulare Systeme

2


Abtast-Halteglied Schematisch

• Operationsverstärker (Impedanzwandler) dienen zur Entkopplung von Sensor / Weiterverarbeitung

• Schalter S geschlossen: Spannung am Kondensator folgt ue

• Schalter S geöffnet: Spannung am Kondensator bleibt konstant (Haltezustand)

• Wesentliche Fehlerquellen:

• Endlicher Durchgangswiderstand am Schalter S

• Reale Operationsverstärker

ue

ueOV2

OV1

+-

C

+-

s


Fehlerquellen Abtast-Halteglied

1. Anstiegsgeschwindigkeit (Slew Rate)

2. Einstellzeit (AcquisitionTime)

3. Aperturzeit (Aperture Delay)

4. Halte-Spannungssprung (Hold Step)

5. Durchgriff (Feedthrough)

6. Haltedrift (Droop)

3


Reales Abtast-Halteglied mit „Über-Alles-Rückkopplung“

• Wenn S geschlossen ist, stellt sich durch die Rückführung das Ausgangspotential V

1des Verstärkers OV1 so ein, dass ua = ue wird.

Offsetfehler durch OV2

oder S werden eliminiert.

• Die Dioden D2

und D3

sperren in diesem Zustand, da an ihnen nur die kleine Spannung ua – V

1 (Offsetspannung) abfällt.

• Öffnet man S, bleibt die Ausgangsspannung konstant. R2

und die Dioden verhindern, dass der Operationsverstärker OV1 übersteuert wird.

ue

OV1

D2

V1

D3s

uaOV2C

+-

R2


Quantisierung eines kontinuierlichen Signals

Der Quantisierungsfehler folgt einer Gleichverteilung im Intervall – q / 2 bis + q / 2

u

uq

-q

q

kontinuierliche ideale Kennlinie

quantisierte Kennlinie

2

qtututE qq )()()(

q

1

2

q

2

q

p(E )q

(E )q

0

q

1

-2

q

2

q

2

2

10

q

q

E q q q

q

E E E d Eq

22

2 2

2

1.

12Eq

q

q q q

q

qVar E E d E

q

4


Digital-Analog-Umsetzer (Prinzipien)

R

R

R

R

uref

ua

sn

s1

sn-1

sn-2

R

2 R

4 R

4 R

uref

s2

s0

ua

WägeverfahrenParallelverfahren

Rs

uref

ua

C

TP-Filter

Zählverfahren (PWM -> S)

zuu LSBa

Grundlegender Ansatz aller Prinzipien


DA-Umsetzer Wägeverfahren (Grundprinzip)

2 R 4 R 8 R 16 R

R

uref

s3 s2 s1 s0

ua

Ik

=

-+

1

24816

1

16

1

8

1

4

1

2

1

0123

0123

max

)(

z

zu

SSSSu

SuSuSuSuu

ref

ref

refrefrefrefa

5


DA-Umsetzer Wägeverfahren, Summation gewichteter Ströme

Nachteile

• Potential an den Schaltern schwankt zwischen 0 V (Masse) und uref

• Umladeströme durch parasitäre Csan den Schaltern S

• Wechselnde Last für die Referenzspannungsquellen (endlicher Innenwiderstand)

2 R 4 R 8 R 16 R

R

uref

s3 s2 s1 s0

ua

Ik

=

-+


DA-Umsetzer Wägeverfahren mit Wechselschaltern

Vorteile

• Potential an Schaltern konstant

• Konstante Last für die Referenzquelle, hier:

2 R 4 R 8 R 16 R

Rs3 s2 s1 s0

uref

ua

=

-+

RRRRRRL15

1616842

Verbleibende Nachteile

• Widerstände sehr unterschiedlich in der Größe

• Fertigungstoleranzen

6


DA-Umsetzer Wägeverfahren (Leiternetzwerk)

2 R 2 R 2 R

Rs3 s2 s1 s0

2 R 2 Ruref

uref

ua

=

-+

R R Ruref12

uref14

uref18

Leichte Berechnung des Gesamtwiderstandes und Analyse der Teilwider-stände möglich, wenn das Netzwerk „von hinten“ beginnt zu analysieren.


DA-Umsetzer, Statische Genauigkeit

1. Nullpunktfehler (Offset-Error)Durch Sperrströme der geöffneten Schalter verursacht, abgleichbar

2. Vollausschlagsfehler(Full Scale Error)Durch die Durchgangswiderstände der Schalter sowie die Genauigkeit des Gegenkoppelwiderstands verursacht, abgleichbar

3. Nichtlinearitätsfehler (Non Linearity Error)Gibt an, um wieviel eine Stufe von der idealen Höhe 1 LSB abweicht.

0

1

1)

2

33)

2)

4)

z

4

5

6

7

u

ua

LSB

7


DA-Umsetzer, Statische Genauigkeit

4. MonotoniefehlerFalls Nichtlinearitätsfehler größer als 1 LSB. Dies muss unbedingt vermieden werden, da niederwertigstes Bit des Umsetzers sonst wertlos.

5. Integraler Nichtlinearitätsfehler (Integrated Non-Linearity Error)Summe der Abweichungen von der idealen Kennlinie,

0

1

1)

2

33)

2)

4)

z

4

5

6

7

u

ua

LSB


DA-Umsetzer, Dynamische Genauigkeit

1. Einschwingzeit (Settling Time)Zeitdauer bis der Aus-gangswert mit der Auflösung

LSB zur Verfügung steht. Durch das Einschwingverhalten des Operationsverstärkers dominiert.

2. GlitchesGlitches entstehen durch nicht vollkommen synchrones Schalten der Schalter.

u

ua

LSB

z

Glitches

1/ 2

/ 2

8


Analog-Digital- (AD-) Umsetzer (Flashwandler)

Funktion

• Alle Komparatoren bis ue

(0 ue uref) schalten durch

• Prioritätsdecoder ermittelt zugehörigen Binärwert

• Entkopplung Schaltvorgänge durch getaktete D-Flip-Flops (Halteglied)

• Einschrittumsetzer

Beispiel 3 Bit-Umsetzer

max7e e e

LSB ref ref

u u uz z

u u u


AD-Umsetzer (Sukzessive Approximation)

uref

ue

ue

u(z)

f0

z=

+-

DA-Umsetzer

SukzessiveApproximation

Register

Abtast-Halteglied

ue

u(z)

u(z )max

Schritt1

1

3

1 1 1

2

0

54

9


AD-Umsetzer (Nachlaufverfahren)

uref

ue

u(z)

f0

z=

+-

DA-Umsetzer

Vorwärts-Rückwärtszähler

Zähler zählt rückwärts

0e

u u z Zähler zählt vorwärts

0eu u z

Verwendung eines Fensterkomparators, der z konstant hält, wenn und bis auf LSB übereinstimmen.

eu

u z 1/ 2


AD-Umsetzer (Single-Slope Verfahren)

Funktion

• Integration der Referenzspannung uref, bis sie mit ue übereinstimmt

• Zähler startet, wenn die integrierte Spannung das Massepotential 0V übersteigt und stoppt bei Erreichen von ue

frefz

u0

u (t)x

ue

-+

uref

R

+-

+-

C

&&

Rückstellimpuls

O-Setzen

Zähler

10


AD-Umsetzer (Single-Slope Verfahren)

• Erreichbare Genauigkeit hängt von der Konstanz der Referenz-spannung, Frequenz und der RC-Konstante ab

• Die größten Fehlereinflussgrößen liegen bei der RC-Konstanten (Temperaturabhängigkeit)

• Relativer Fehler bei etwa e = 10-3

ue

U0

ux

tu0

0

tx

x

t

ref

refe tRC

udtu

RCu

x

0

1

ref

erefxref

u

uRCftfz

Zählerstand z ist dann proportional zu ue

Umsetzung Spannungs- in Zeiterfassung


AD-Umsetzer (Dual-Slope Verfahren)

Basisidee:

1. Abintegration umzusetzender Spannung über feste Zeit TREF

2. Dann Aufintegration mit Referenzspannung UREF bis wieder 0 V erreicht

=> Da jeweils die identischen Zeitkonstante RC verwendet wird geringerer Einfluss (nur Kurzzeitstabilität notwendig)

11


AD-Umsetzer (Dual-Slope Verfahren)

refT

Int dttuRC

tu0

1)()(

)(tuRC

Tu

ref

Int

Nach Ende Referenzzeit erhält man

1. Phase: Integration umzusetzendeSpannung

2. Phase: Integration einer konstanten Referrenzspannung bis 0 VErgebnis nach Erreichen diese Endwertes, Messwert Zeit T

( ) ( ) 0,ref

Int ref ref

T Tu T T u t u

RC RC 0.z T f

maxz

z

u

u

ref

Mit folgt dann als Ergebnis: uu

zz

ref

max


Diskussion Dual-Slope Verfahren

• Umzusetzende Spannung wird während der Umsetzzeit gemittelt, daher kein Abtast-Halteglied unbedingt notwendig und gute Störunterdrückung

• Durch die Mittelung allerdings nur geringe Abtastraten erreichbar

• Quasi beliebig hohe Auflösungen erreichbar, allerdings auf Kosten der anwachsenden Umsetzzeit

• Sehr hohe Genauigkeiten (e < 10-3) erzielbar

12


AD-Umsetzer, Quantisierungsfehler, Quantisierungsrauschen

• Effektivwert Rauschen (s.o, GUM)

• Bei Vollaussteuerung des Eingangsspannungsbereiches eines n-Bit AD-Umsetzers gilt für den Effektivwert ( )

• Somit gilt für das Signal zu Rauschverhältnis ideal

• Ein 10 Bit AD-Umsetzer besitzt daher ideal ein SNR von ca. 60 dB.

• Das SNR sinkt, falls er Eingangsbereich des ADUs nicht ausgenutzt wird

12

LSBr

uu

eff

LSB

n

s uueff

22

1

2

1

sinu t U t

dBn

dB,dBnu

ulogdBSNR

effr

effs

6

81620


AD-Umsetzer, Statische Genauigkeit

1. Offsetfehler

Reale Kennlinie geht nicht durch den Nullpunkt geht, i.d.R. abgleichbar.

2. VerstärkungsfehlerReale Kennliniensteigung ungleich eins, i.d.R. abgleichbar

3. LinearitätsfehlerEine über den systematischen Quantisierungsfehler (s.o.) hinausgehende Nichtlinearität. Entsteht, wenn die Stufen nicht gleich breit sind (vgl. Abb.).

13



Bestimmung Linearitätsfehler

• Abgleich Nullpunkt (Offset) und Verstärkung

• Dann Ermittlung der maximalen Abweichung der Eingangs-spannung von der idealen Geraden.

• Abweichung abzüglich des systematischen Quantisierungs-fehlers von 1/2 LSB stellt die totale Nichtlinearität (Integral Non-Linearity) dar.



Differentielle Nichtlinearität

• Gibt an, um welchen Betrag die Breite der einzelnen Stufen vom Sollwert abweicht.

• Ist dieser Fehler größer als ein LSB, so werden einzelne Zahlen übersprungen (MissingCode).

• Bei noch größeren Fehlern Monotoniefehler (Kausalität verletzt).

• Missing Code und Monotonie-fehler dürfen nicht auftreten, da sonst die niederwertigen Bits wertlos werden.

14


AD-Umsetzer, dynamische Fehler (Jitter)

• Forderung zur Einhaltung des Abtasttheorems

• Berücksichtigung von Umsetzzeit + Einschwingzeit eine Abtasthalteglieds notwendig, Sicherstellung durch Anti-Aliasing-Filter

• Beispiel zum Einfluss des Abtast-Haltegliedes

Wenn das Abtast-Halteglied in der zur Verfügung stehenden Zeit nicht auf 1/4096, d.h. auf 0,025 % des Aussteuerbereiches einschwingt, ist der Einsatz eines 12-Bit AD-Umsetzers oder eines Umsetzers mit noch höherer Auflösung nicht sinnvoll.

maxftt UmsetzAbtast

2

1

1

Messtechnik

7. Digitale Messverfahren



Digitale Messverfahren

Vorteile

• Störsicher bei Übertragung von Informationen

• Quasi beliebige Signalverarbeitung möglich

• Häufig kostengünstiger

• Unterstützt modulare Systeme

2


Digital-Multimeter

• Standardgerät zur Messung von Strom, Spannung und Widerstand.

• Vorwiegend Dual-Slope-Umsetzer, bis 20 Bit Auflösung

• Typisch 3-10 Wandlungen pro Sekunde

• Innenwiderstände > 10 MW.

Netzwerk

aus Vor-

widerständen

+ Quelle zur

xR Messung

Effektiv-

wert-

baustein

/-

ADC Anzeige

RS 232

IEC-Bus

ux

ix

Rx


Digital-Multimeter

Netzwerk

aus Vor-

widerständen

+ Quelle zur

xR Messung

Effektiv-

wert-

baustein

/-

ADC Anzeige

RS 232

IEC-Bus

ux

ix

Rx

Hochwertige DMMs Low-Cost DMMs

Genauigkeit typ.: 0,01 % 0,25 %

(Gleichspannung)

Anzahl Stellen 5 ½ 3 ½

Umfang 1,99999 1,999

Auflösung 5 * 10-6 5 * 10-4

3


Effektivwertbaustein

ue

X

2

eu R1

R

2

eu - +

- +

2

a Eu u

Quadrierer

X

Radizierer

C

Folgende Fehler sind typisch:

Effektivwertbausteine: Rel. Fehler im Bereich 0,5 %Gleichricht-Mittelwertbildung: Rel. Fehler im Bereich 0,10 %


Frequenzanaloge Messsgrößen

• Frequenz ist jetzt Informationsträger und nicht die Amplitude.

• Höhere Störsicherheit

Beispiel digitale Drehzahlmessung, mehrere Möglichkeiten

1. Tachomaschine Sie liefert ein amplitudenanaloges Signal, dass durch AD-Umsetzung digital weiterverarbeitet werden kann

2. Sensoren / InkrementalgeberSie liefern ein frequenzanaloges Signal, dass durch Zeitmessung oder Periodendauermessung auswertbar ist

4


Drehzahlmessung

R

0

v

Sensor

Hall

Induktiv

AMR

vgl. MT II

Diskriminator

Zähler

Referenz f 0

0

0

2 1

2 1

2, : Zähnezahl

: Elementarperiode

(Winkelintervall/Durchlaufzeit)

Auswertung entweder Zeit- oder Winkelsynchron

m

zz

t t


Winkelsynchrone Messung, Periodendauermessung

Referenz Zeittor Zähler

C

Diskriminator

d

d t

Pos. Flanken

Quelle

Zeittor öffnet zwischen Flanken

Es erfolgt die Messung der kontinuierlichen Zeit 2 1 mt t T i

für einen diskreten Winkelschritt

0 2 1

2 2, m

m

iz T i z

5


Winkelsynchrone Messung, Periodendauermessung

Referenz Zeittor Zähler

C

Diskriminator

d

d t

Pos. Flanken

Quelle

Zeittor öffnet zwischen Flanken

Kritische Punkte sind hierbei Konstanz des Winkelintervalls am Umfang Zählerüberlauf bei langsamen Drehzahlen zu geringe Auflösung bei schnellen Drehzahlen


Zeitsynchrone Messung, Frequenzzählung

Quelle

Diskriminator

d

d t

pos. Flanken Zeittor

Zähler C

Referenz

1

Frequenzteiler

Zeittor öffnet während einerfesten Zeitdauer

2 1 reft t T

Gemessen wird innerhalb der Torzeit durch Flankenzählen 2 1 i

Als aktuelle Drehzahl ergibt sich: m

ref

ii

T

6


Zeitsynchrone Messung, Frequenzzählung

Quelle

Diskriminator

d

d t

pos. Flanken Zeittor

Zähler C

Referenz

1

Frequenzteiler

Zeittor öffnet während einerfesten Zeitdauer

2 1 reft t T

Kritische Punkte sind bei diesem Verfahren: Bei langsame Geschwindigkeiten tritt unter Umständen keine Flanke/Tref auf Hoher Quantisierungsfehler bei langsamen Geschwindigkeiten!


Digitale Drehzahlmessung, Betrachtung Quantisierungsfehler

Die wahre Winkelgeschwindigkeit und die durch den Quantisierungsfehlerfehlerhafte gemessene Winkelgeschwindigkeit seien:

, qT

Es erfolgt eine statische Betrachtung des relativen Fehlers innerhalb

/ref mT T

7


Quantisierungsfehler, Periodendauermessung

• Maximale Zeitabweichung bei der Periodendauermessung beträgt eine Periode des Referenztaktes

• Hierdurch ergibt sich der maximale relative Drehzahlfehler zu

• Bei einer maximalen Abweichung um ein Intervall folgt daraus

0 01/T f

0 0

0

0 0

1q m m m

m

m

N T T Te

N T

T

0T

0 0

0

0 0 0 0

1. 1

1 1

mm

q

quant

TT N T T bzw

N T N

eN N T f f


Quantisierungsfehler, Frequenzzählung

Hier ergeben sich folgende Überlegungen:

• Pro Tref treten N Sensorflanken auf:

• Die maximale Abweichung beträgt eine Winkelelementarteilung

Hiermit ergibt sich der relative Drehzahlfehler zu:

0

0

m

q m ref ref m

mm m

ref

N

T T Ne

T

0

0 0 0

1 1m m mN

N N N

00

2,ref

q

NT

z

0

8


Quantisierungsfehler, Frequenzzählung

Hiermit ist der absolute Fehler wie folgt begrenzt

Damit erhält man für den Quantisierungsfehler

0 0mN

01quant

q ref

eN T


Tendenz Quantisierungsfehler

quante

logarithmisch 0 100 KHzf

0 1 MHzf

1refT s

10refT s

100refT s

Periodendauer-

verfahren

Frequenzzähler-

verfahren

logarithmisch

9


Drehrichtungserkennung, zwei Sensoren

S1

S2

t

S2

S1 Winkelabstand Sensoren bezogen auf die

Teilungsperiode;

Ideal: 90 mech.

Aber nicht: 180 und Vielfache


Drehrichtungserkennung

S1

S2

t

S1

S2

S Q

R Q

1

Bei Q = 1 erfolgt eine Drehrichtung im Uhrzeigersinn, bei Q = 0 entgegen des Uhrzeigersinns

Verzögerung

1

Messtechnik

8. Korrelationsmesstechnik



Korrelationsmesstechnik, Stochastische Prozesse

Motivation

• Betrachtung bisher: Fehlerbehaftete Einzelmessgrößen

• Betrachtung jetzt: Fehlerbehaftete Funktionsverläufe

Modell fehlerhafte Funktionsverläufe: Stochastischer Prozess

Ein stochastischer Prozess ist eine Funktion, die jedem

Zufallsereignis eine eindeutige Zeitfunktion zuordnet. Für jeden

festen Zeitpunkt t = const. Ist eine Zufallsvariable.

Y ,t y t

Y ,t

2


Korrelationsmesstechnik, Stochastische Prozesse

Vier Ausprägungen sind möglich

1. ist fest, t variabel

ist eine einzelne mögliche Realisierung des stochastischen

Prozesses, genannt Musterfunktion. Man erhält eine Zeitfunktion.

2. ist variabel, t fest

ist eine Zufallsgröße mit zufälligem Wert bei einen Zeitpunkt t

3. ist variabel, t variabel

ist eine Schar von Musterfunktionen (stochastischer Prozess)

4. ist fest, t fest

ist ein fester Zahlenwert, z.B. physikalische Größe

Y ,t

Y ,t

Y ,t

Y ,t


Beispiele für stochastische Prozesse

Modell für das Rauschen eines Widerstandes

• Spannung u(t) eines Widerstandes R kann auch bei Kenntnis des

Stromes durch thermisches Rauschen nicht exakt vorhergesagt

werden

• Stochastischer Prozess mit beliebiger Musterfunktionen

• Anzahl der Musterfunktionen ist prinzipiell unbegrenzt

3


Schar- und Zeitmittelwerte, Momente 1. Ordnung

1. ScharmittelwertMittelwert über alle Musterfunktionen bei einem festem t. Gibt den

Mittelwert des stochastischen Prozesses zu dem Zeitpunkt an und

ändert sich i.A. mit der Zeit.

2. ZeitmittelwertZeitliche Mittelung über eine feste Musterfunktion. Die zeitlichen

Mittelwerte verschiedener Musterfunktionen sind in der Regel auch

verschieden.

Stochastische Prozesse, bei denen Scharmittelwert und zeitlicher

Mittelwert übereinstimmen nennt man ergodisch.


Beispiel Schar- und zeitliche Mittelwerte

4


Allgemeine Momente Stochastischer Prozesse

• n-tes Moment eines stochastischen Prozesses

• n-tes zentrales Moment eines stochastischen Prozesses

• Erwartungswertbildung über alle Musterfunktionen praktisch

unmöglich

• Reale Berechnung nur unter Annahme ergodischer Prozesse

Y , .n n n

y t E y t y f y t d y

Y , .n n

E y t E y t y E y t f y t d y


Stochastische Prozesse, Momente 2. Ordnung, identische Prozesse

• Bildung durch festhalten von zwei Zeitpunkten t1

und t2

• Autokorrelation

• Autokovarianzfunktion

1 2 1 2 1 2 YY 1 2 1 2 1 2, , , , .y yR t t E y t y t y y f y y t t d y d y

1 2 1 1 2 2

1 1 2 2 YY 1 2 1 2 1 2

,

, , , .

y y

y y

C t t E y t E y t y t E y t

y t y t f y y t t d y d y

1 2 . y y y y y y

C R t t

5


Stochastische Prozesse, Momente 2. Ordnung, unterschiedliche Prozesse

• Bildung durch festhalten von zwei Zeitpunkten t1

und t2

• Kreuzkorrelationsfunktion zweier Prozesse

• Kreuzkovarianzfunktion zweier Prozesse

1 2 1 2 Y 1 2, , , , .x y XR t t E x t y t x y f x y t t d xd y

1 2 1 1 2 2

1 2 XY 1 2

,

, , , .

x y

x y

C t t E x t E x t y t E y t

x t y t f x y t t d x d y


Stationäre Stochastische Prozesse

• Ein stochastischer Prozess heißt stationär, wenn seine statistischen

Eigenschaften invariant gegenüber Verschiebungen der Zeit sind.

• Die Zeitabhängigkeit der Wahrscheinlichkeitsdichten und der

Momente verschwindet.

• Hierdurch ergibt sich beispielsweise

1 2

1 2

,

, ,

, .

n n n

y y

y y y y

x y x y

t E y t

R t t E y t y t R

R t t E x t y t R

6


Ergodische Stochastische Prozesse

• Ein stochastischer Prozess heißt ergodisch, wenn die Zeitmittelwerte

einer beliebigen Musterfunktion mit den Scharmittelwerten des

Prozesse übereinstimmen.

• Ergodizität setzt Stationarität voraus.

• Ergodizität ist schwer nachweisbar, wird aber häufig einfach

vorausgesetzt

• Beispiel: Korrelation zweier ergodischer Prozesse

• Beispiel: Kovarianz zweier ergodischer Prozesse

0 1

1lim .

2

T

x yT

T

R x t y t dtT

0 1

1lim .

2

T

x y x yT

T

C x t y t dtT


Eigenschaften der Funktionen ergodischer Prozesse

Eigenschaften der Kreuzkorrelationsfunktion

Maximalwert: 1 0 02x y x x y y

R R R

Symmetrie: x y y x x yR R R

Unkorreliertheit für : limx y x y

R

Unkorreliertheit von x t und y t : x y x yR

Eigenschaften der Autokorrelationsfunktion

Maximalwert: 2 20xx xx x x

R R

Symmetrie: xx xxR R

Unkorreliertheit für : 2limx x x

R

Periodische Funktionen (Periode T): xx xxR R T

7


Messtechnische Anwendung Korrelationsfunktionen

Herausforderungen

1. I.d.R nur eine einzelne Musterfunktion für eine Messung verfügbar.

2. Messung von Zeitmittelwerten, Ergodizität wird vorausgesetzt

3. Bei Echtzeitauswertung nur aktuelle und vergangene Messungen verfügbar

(kausales System).

4. Messung auf endliches Zeitintervall beschränkt (Kurzzeitkorrelation).

Schätzung der Korrelationsfunktionen durch Kurzzeitkorrelation

• Beispiel Autokorrelation, Kreuzkorrelation entsprechend

0

1ˆ .

T

x xR x t x t dt

T

1

0

1ˆ mit 0, 1, 2, .N k

x x n k n

n

R k x x k M NN


Messtechnische Anwendung Korrelationsfunktionen

Ähnlichkeit von Signalen, Laufzeitmessung:

• Kreuzkorrelationskoeffizient

• Abhängigkeiten

,norm

ˆ

ˆ ˆ0 0

x y

x y

x x y y

R kR k

R R

10 0 .

2x y x x y y

R R R

0 .xx xx

R R

8


Anwendungsbeispiel Leckageortung mit Körperschallmikrophonen

Zeitsignale der beiden Mikrophone

,xlx t u tc

.y

ly t u t

c

Kreuzkorrelation der Signale


Anwendungsbeispiel LeckageortungRechnung

Zeitsignal der beiden Mikrophone

Schätzung der Kreuzkorrelation

Maximum der Kreuzkorrelation bei

,xlx t u tc

.y

ly t u t

c

1ˆ2

T

x y

T

R x t y t dtT

1ˆ2

Tyx

x y

T

llR u t u t dt

T c c

max

2 1

2

y yxy

l l lll l c

c c c

9


Anwendungsbeispiel berührungslose Geschwindigkeitsmessung

Betrachtung unregelmäßiges Fördergut auf einem Fließband


Anwendungsbeispiel berührungslose Geschwindigkeitsmessung

Sensorsignale Ideal: Real:

Lage Maximum der Kreuzkorrelation beider Signale liefert Geschwindigkeit

y t x t y t x t v t

max

max

dv

1

Messtechnik

9. Sensoreffekte zur Messung nichtelektrischer Größen



Physikalische Bereiche und ausgewählte Messgrößen

Elektrisch Spannung, Strom, Widerstand, Kapazität, Induktivität, Ladung usw.

Mechanisch: Weg, Länge, Dehnung, Winkel, Kraft, Füllstand, Drehzahl, Geschwindigkeit, Drehmoment, Beschleunigung, Druck, Durchfluss, ...

Magnetisch: Magnetische Feldstärke, Induktion, Magnetisierung, Permeabilität, ...

Thermisch: Temperatur, Wärmefluss, spezielle Wärmekapazität, ...

Strahlung: Temperaturstrahlung, Beleuchtungsstärke, Wellenlänge, Phase Brechungsindex, Reflexions-/Transmissionsverhalten, Wellenlänge, ...

2


Auswahl nutzbarer physikalischer Effekte

Magnetisch: Hall-Effekt, Gauß-Effekt, anisotroper magnetoresistiver Effekt (AMR-Effekt), Induktionseffekt......

Mechanisch: piezoelektrischer Effekt, piezoresistiver Effekt, Widerstands-/Kapazitätseffekt, induktive Verfahren, ....

Thermisch: Thermowiderstandseffekt, thermoelektrischer Effekt, pyroelektrische Effekte, Temperatureffekte im HL

Strahlung: Photovoltaischer Effekt, Photowiderstandseffekt, Photoeffekte in Halbleitern


Halleffekt

• 1879 entdeckt von Edwin Herbert Hall, amerikanischen Physiker

• Basiert auf der Lorenzkraft

z

l

d

b

UH

II

technischeStromrichtung

B

y

x

3


Ermittlung der Zusammenhänge des Hall-Effekts

• Annahme l >> b

• Dann gilt für die Hallspannung

mit: für n-HL

für p-HL

z

l

d

b

UH

II

technischeStromrichtung

B

y

xBI

dRU HH

1

qnRH

1

qpRH

1



• Lorenzkraft auf bewegte Ladungsträger

• Ladungsträgertrennung erzeugt ein E-Feld (das Hallfeld) an den Stirnflächen, dessen Kraftwirkung FH stationär die Lorenzkraft kompensiert

BvqFL

0 LH FF

( )H L

H

H H

F E q F q v B

E v B

U E b b v B

4



• Annahme n-Halbleiter, isotropes Material, liefert Stromdichte

n: Ladungsträgerdichte

q: Elementarladung

vx: mittlere Driftgeschwindigkeit der Elektronen

• Damit ergibt sich für die Stromstärke bzw. Driftgeschwindigkeit zu

xnx vqnj ,

,x n x x

II j b d n q v b d v

b d n q



• Wenn die Driftgeschwindigkeit vx senkrecht zu B verläuft ergibt sich:

• Herleitung für p-Halbleiter analog

• Berücksichtigung nichtidealer Verhältnisse

• l >> b gilt nur näherungsweise, Korrekturfaktor G durch Kalibrierung

• Berücksichtigung von Streueffekten (inhomogene Ladungsträgerverteilung) durch Faktor r

1 1 1H H

U b v B I B R I Bnq d d

BId

GRU HH

qn

rR nH , ,H p

rR

qp 21r

5



• Widerstandsabhängigkeit der Hallprobe vom Magnetfeld (parasitär)

, ,tan HH H p H n

x

EB B

E


Materialwahl für Hallelemente

Gewünscht sind Materialien mit

1. Niedriger Ladungsträgerdichte und damit hoher Hall-Konstante

2. Hoher Ladungsträgerbeweglichkeit und damit hoher Empfindlichkeit

Beispiele Ladungsträgerbeweglichkeiten

• Metall

• Silizium (Si)

• Germanium (Ge)

• InSb (III-IV)

Vs

cm43

2

Elektronen

Vs

cm450,

Vs

cm1450

22

pn

Vs

cm1900,

Vs

cm3900

22

pn

Vs

cm1250,

Vs

cm80000

22

pn

6


Gaußeffekt / Feldplatte

• Nutzung des bei Hall-Elementen parasitären Effekts „Widerstandsänderung“

• Radikale Formänderung zur Erhöhung des Effekts l << b << d

db

lR

0

00

• Basiswiderstand ohne Feld

• Widerstand in Abhängigkeit Hallwinkel

0

0

1

cos cos

l lR

b d d b

20 02

11 tan

cosR R R


Empfindlichkeit und Kennlinie der Feldplatte

• Empfindlichkeit der Feldplatte

mit:

• Damit folgt für die Abhängigkeit vom Magnetfeld

20 02

11 tan

cosR R R

für n-HL , ,tan H n H n

Beweglichkeit

B

für p-HL , ,tan H p H p B

Ideale Verhältnisse, homogenes Feld 220 1 BRBR H

2 20 1 HR B R K B Reale Verhältnisse, inhomogenes Feld

7


Empfindlichkeit und Kennlinie der Feldplatte

Kennlinie

• Geringe Empfindlichkeit um Nullpunkt

• Keine Vorzeichenerkennung

Erhöhung der Empfindlichkeit durch Schichtung

)1()( 220 BKRBR H

0R

B

quadratische Kennlinie

)1()( 220 BKRBR H

0R

I I

HL-Material

aneinander geschichteteFeldplatten

Kurzschlussstreifen (Metall Alu, Cu...)


AMR-Effekt

• Entdeckt von William Tompson 1857

• Kein isotropes (von Raumrichtung unabhängiges) elektrisches Widerstandsverhalten

• Tritt auf bei ferromagnetischen Materialien (3D-Übergangsmetalle), z.B. Ni81 Fe19 (Permalloy)

äußeres Feld H

U

Weiß‘ sche Bezirke

S M = Sättigungs magnetisierung

R = Widerstand der Probe

S M

) ( H f R

Mit äußerem Feld H

Ohne äußeres Feld H

8


Prinzip einer AMR-Probe

M

J

J J

d

b

l

z

x

y

JM

max

min

für 0 ,180

für 90JM

JM

R R

R R

Widerstand hängt vom Winkel zwischen Stromdichtevektor und Magnetisierung(immer Sättigungsmagnetisierung) ab


Herleitung der Zusammenhänge

M

J

J J

d

b

l

z

x

y

JM Annahme ebenes Problem:

l >> b >> d

Spezifischer Widerstand als 2x2 Matrix darstellbar

0

0IIρ: 0

: 90II JM

JM

2x2 Drehmatrix T zur Berücksichtigung beliebiger Winkel

JMJM

JMJM

cossin

sincosT

9



M

J

J J

d

b

l

z

x

y


l >> b >> d

Für beliebige Winkel gilt dann:

Weiter gilt für den Stromdichtevektor und das E-Feld

2 2

2 2

0

cos sin cos sin sin cos

cos sin sin cos sin cos

JM

II JM JM II JM JM JM JM

II JM JM JM JM II JM JM

Tρ T ρ T

y

x

J

JJ ( ) )JM JM E ρ( J



M

J

J J

d

b

l

z

x

y


l >> b >> d

Mit Jy = 0 (gilt wegen l >> b) erhält man für das E-Feld den Ausdruck

Widerstand R in x-Richtung gesucht (x-Komponente des E-Feldes betrachten)

xJMJMJMJMII

xJMJMII

y

x

JMJ

J

E

E

cossincossin

sincos 22

E

xJMxx JE )(

2 2 2max( ) ( ) cos sin sinJM x JM II JM JM II JM

l lR R R

b d b d

10



M

J

J J

d

b

l

z

x

y


l >> b >> d

2 2

2max

( ) ( )

cos sin

sin

JM x JM

II JM JM

II JM

lR

b d

l

b d

R R

max IIR R R

R II

90°

JM R ) (

R

JM JM



M

J

J J

d

b

l

z

x

y


l >> b >> d

Betrachtung der y-Komponente des Feldes (parasitärer Pseudo-Hall-Effekt)

xJMJMJMJMII

xJMJMII

y

x

JMJ

J

E

E

cossincossin

sincos 22

E

2

max

1( ) sin 2

2PH JM y x JM

b dU E b J R

l

90°-90°

JM

)( JMPHU

11


Drehung der Magnetisierung in einem dünnen Streifen

• Herleitung der Zusammenhänge zwischen Widerstand und äußerem Magnetfeld

• Energetisch günstigste Ausrichtung der Magnetisierung entlang der x-Achse (Easy-Axis)

• Hieraus resultiert bei Auslenkung durch ein äußeres Magnetfeld Hy

eine Rückstellkraft

y

x l

J b 0yM H

0yM H

yH


Betrachtung der y-Komponente der Magnetisierung

• Y-Komponente der Magnetisierung (My) steigt mit zunehmenden Hy näherungs-weise linear und ohne Hysterese

• Hk (Koerzitivfeldstärke) kennzeichnet die Feldgröße maximaler Ausrichtung von MS

HK

Hy

My

Ms

- HK

- Ms

y-Komponente der Magnetisierung

sin ;y

JM y K

K

HH H

H

, int

MaterialkonstanteMaterialkonstantekAA (800 875 )(250 300 ) mm

K K rinsisch s

dH H M

b

Geometriefaktor

JM

y

x

Hy , MyH K , M

s

12


Widerstandsabhängigkeit von der y-Komponente des äußeren

Feldes

Durch Einsetzen erhält in den allgemeine Widerstandszusammenhang erhält man

2max

2

max

( ) sin

(0)

y II JM

y

K

y K

R H R R

HR R

H

H H


Betrachtung der x-Komponente der Magnetisierung

• Falls Hx > Hk kann die Sättigungsmagnetisierung umklappen (flippen)

• Effekt durch Permanent-magneten mit Vormagneti-sierung in x-Richtung unterdrückbar

• Beide Richtungen entlang der Easy-Axis energetisch gleichwertig x-Komponente der Magnetisierung

- Ms

- HK

Mx

Ms

Hx

HK

13


Diskussion Kennlinie R(H)

• Kleine Empfindlichkeit um den Nullpunkt

• Keine Erkennung der Feldrichtung möglich

• Widerstandshub ca. 2-3% (geringer Effekt)

R

II (0)R R

YHKHKH

reale Kennlinie(Randeffekte)

ideale Kennlinie

maxR

R


Kenndaten Permalloy

Bezeichnung Formel-

zeichen

Wert Einheit

spezifischer Widerstand 81022 / m

Widerstandseffekt max

II

R

R

typisch 2,2 %

intrinsische Anisotropie-Feldstärke

KH ,intrinsisch 250 – 350 A / m

Sättigungsmagnetisierung. sM 800 – 875 kA / m

KT : Basiswiderstand ,K RT 0,3 – 0,4 % / K

KT : AMR-Effekt ,K AMRT 0,2 % / K

Magnetostriktionskonstante S 0

14


Linearisierung durch Barberpolanordnung

Grundidee: Permanente Verdrehung des Stromdichtevektors um 45°

Ix

y

x

45°

AMR-Material, NiFeAL-StreifenÄquipotentialfläche

Stromrichtung 45° (ideal: 45°)

y

x

45°

45JM xM JMxM

M

J

M

bei Umklappen der Magnetisierung(Flippen)

JJ


Linearisierung durch Barberpolanordnung

Berechnung der neuen Kennlinie

• Nutzung der Additionstheoreme

• Einsetzen und umformen liefert damit

mit:

* Kennzeichnet die durch die Al-Streifen nun geänderten Basiswiderstandswerte

2 1sin ( ) 1 cos 2 , cos 90 sin

2

2 1sin 45 1 sin (2 )

2

*0 max

1( ) sin (2 )

2xM xMR R R

* * * * *0 II max II

1,

2R R R R R R

15


Kennlinie eines Barberpolsensors

xM

( )xM

R

*max0 5,0 RR

*max0 5,0 RR

45°45°

linearer Bereich xM

( )xM

R

*max0 5,0 RR

*max0 5,0 RR

GeflippteKennlinie


Chipfoto und Layout eines Barberpolsensors in

Brückenausführung

Foto der Chipoberfläche(Ausschnitt Brückenmitte)

Chip-Layout

16


Piezoelektrischer Effekt bei Ferroelektrika durch Polarisation

• Entdeckt 1880 von Pierre und Jacque Curie an Turmalinkristall

• Sensor- und Aktuatoreffekt

• Elektrische Ladungsverschiebung durch äußere Krafteinwirkung

• Mechanische Verformung bei Anlegen einer Spannung

• Tritt auf bei Materialien mit unsymmetrischer Kristallstruktur (Quarz, Turmalin)

• Tritt auf bei polarisierten Ferroelektrika (größerer Effekt), die durch Kristallanisotropie elektrische Dipole aufweisen


Piezoelektrischer Effekt bei Ferroelektrika durch Polarisation

Ferroelektrika

+

_

+_

+_

+

_+_

U/kV+

_

+

_

+

_

+

_

+

_

+

_

Bei unpolarisierten Materialienbeliebige räumliche Verteilung der Dipole

Bei polarisierten Materialien bzw. AnlegenEiner Polarisationsspannung Ausrichtender Dipole

17


Polarisation bei Ferroelektrika

Schritte zur Polarisation

1. Material über Curie-Temperatur erhitzen

2. Hochspannung anlegen

3. Abkühlen

4. Spannung abschalten

ka

U/kV+

_

+

_

+

_

+

_

+

_

+

_

Depolarisation möglich durch

1. Überschreiten der Curie-Temperatur

2. zu hohe elektrische Spannung im Betrieb

3. zu hohe mechanische Belastung im Betrieb


Beispiel Keramischer Zylinder, Generatorbetrieb

Ua

T

A = 1 cm²A = 1 cm²

L = 20 cm²

L

Ua [kV]

2

N

mT

20

10

61025 61050

TgE

18


Beispiel Keramischer Zylinder, Motorbetrieb

Zahlenbeispiel:


Mathematische Beschreibung gekoppelter Systeme

Elektrisches Verhalten eines mechanisch nicht beanspruchten Körpers

Dimensionen im Allgemeinen mehrdimensional mit

19



mechanisches Verhalten eines elektrisch nicht beeinflussten Körpers

Dimensionen im Allgemeinen mehrdimensional mit



Beschreibung der Kopplung näherungsweise durch lineare Gleichungen

Alternative Beschreibung der Kopplung (Wahl der Variablen beliebig)

20


Alternative Definition der Konstanten g, d

erzeugte dielektrische Verschiebung im Verhältnis zur angelegten mechanischen Spannung

C

N

E = const

erzeugte Dehnung im Verhältnis zur angelegten Feldstärke m

V

d

T = const.

.

erzeugte Feldstärke im Verhältnis zur angelegten mechanischen Spannung

Vm

N

D = const.

erzeugte Dehnung im Verhältnis zur angelegten dielektrischen Verschiebung

2m

c

g

T = const.


Kopplungsfaktor k

Energieneaufgenommegesamte

EnergietegespeichersfähigeumwandlungK

,2

elektrisch mechanischmechanisch elektrisch

Bei tiefen Frequenzen (keine Resonanz) gilt die Näherung:

TE

c

dK

22

D

T

c

g

K

K 2

2

2

1

oder

2K -Faktoren bis 50 % erreichbar mit piezoelektrischen Materialien.

21


Richtungsabhängige Schreibweise

Definition der Translations- und Rotationsrichtungen im Material

y

x

z

y

x

z

1

54

3

2

6

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

11

5544

33

22

66


Beispiele

T11 : 1. Index Richtung der dielektrischen Verschiebung ( hier 1 : x-Richtung)

2. Index Richtung des elektrischen Feldes (hier 1 : x-Richtung)

ED

33

22

11

=> Dielektrizitätskonstante für die dielektrische Verschiebung und elektrisches Feld in 1-Richtung (x-Richtung) bei konstanter Spannung T

Ec33 : 1. Index Richtung der Dehnung: z- Richtung

2. Index Richtung der mechanischen Spannung: z-Richtung

31g : Verhältnis zwischen einem in Richtung 3 (z-Richtung) erzeugten elektrischen Feld

und einer in 1-Richtung angelegten mechanischen Spannung, wenn keine anderenmechanischen Spannungen wirksam sind und von außen keine zusätzlichen Ladungenaufgebracht werden.

1

Messtechnik

10. Temperaturmessung



Phänomen Temperatur

Temperatur T ist ein Maß für den Energieinhalt eines Stoffes, in anderen Worten für die mittlere kinetische und potentielle Energie

TkvmW 2

3

2

1 2Nur Translation:

Molekülmasse Boltzmannkonstante

Mittl. Geschwindigkeit

Ideales Gas: p V N k T n R T

Es gibt einen nicht unterschreitbaren Nullpunkt der Temperatur

N: Stoffmenge, n: Teilchenmenge, k: Bolzmannkonstante, R: Gaskonstante

2


Prinzipien der Temperaturmessung

• Temperatur-Messwiderstand (passiv) R = f (T)

• Thermoelemente (aktiv) U = f (T)

• Messschwingquarz (aktiv/passiv) f = f (T)

Celsius hat den Bereich zwischen 0 °C .... 100 °C in 100 Inkremente aufgeteilt (willkürliches Vorgehen !)

Basiseinheit ist das Kelvin, Zeichen K.

0 K entspricht vollständiger Energiefreiheit

0 °C entsprechen ungefähr 273 K


IPTS, Internationale praktische Temperaturskala

Grundidee: Schaffung eindeutiger Referenzen zur Messstellenkalibrierung,

Auswahl vereinbarter Größen:

Wasserstoff H TP -259,340 °CSauerstoff O SP -182,962 °C

Wasser H2O TP 0,010 °C

SP 100,000 °CZinn Sn EP 231,968 °C

Silber Ag EP 961,930 °CGold Au EP 1064,430 °C

TP: TripelpunktEP: Erstarrungspunkt SP: Siedepunkt bei Normaldruck: 1013,25 hPa

3


IPTS zwischen den Fixpunkten

Zwischen den Fixpunkten ist die IPTS wie folgt definiert:

-259,34 °C ... 630,755 °C (EP Antimon, EP Sb)

Referenz durch Platinwiderstandsthermometer

630,755 °C ... 1064,43 °C (EP Sb, EP Au)

Referenz durch Thermoelemente Platin/Rhodium (10% Rhodium)

Ab 1064,43 °C Planck‘sches Strahlungsgesetz

Vergleich aktueller Temperatur mit Schwarzkörperstrahlung

Strahlungsthermometer


Beispiel: Herstellen Tripelpunkt von H2O

1. Abpumpen der Luft, bis H2O siedet

2. Abkühlen, bis gerade Eiskristalle entstehen

Tripelpunkt erreicht (Genauigkeit < ± 0,05 mK)

Vakuumpumpe

fest

gas-förmig

flüssigTripelpunkt

p in hPa

T in °C

flüssigfest

gasförmig

610,6

0,01

Wasser

4


Messung Erstarrungspunkt

1. Aufheizen, bis Siedepunkt

überschritten

2. Langsam abkühlen lassen

Erstarrungspunkt erreicht

(Genauigkeit < ± 0,01 mK)

T in °C

t in s

231,968

Haltezeit(Phasensprung)

Zinn


Metallwiderstände zur Temperaturmessung

Für reine Metalle gilt: spez. Widerstand sp ~ T

Anforderungen an die Widerstände:

hochohmig

resistent gegen äußere Bedingungen, Säure, Lauge ...

Platin (Pt) erfüllt die Anforderungen am besten

Standardisierte Platinwiderstände:

PT 100: R(T = 0 °C) = 100 mit TK = 3,85 ·10-3 1/K

PT 1000: R(T = 0 °C) = 1 k mit TK = 3,85 ·10-3 1/K

5


Metallwiderstände

Aufbau:

Klassisch, gewickelter PT-Draht auf Träger:

PT 100: R (T=0 °C) = 100 mit TK = 3,85 ·10-3 1/K

Aktuell, Pt-Dünnschicht

Pt-Schicht < 1 µm

Pt-Schicht wird mit einem Laser strukturiert und abgeglichen.

Schutzschicht aus Glas, Kunststoff...

Kosten Pt 100: Dünnfilm 1€

Klassisch 10€

Pt

Si, Glas, Al2O Keramik


Kennlinie Pt-Widerstand

Ansatz für die Kennlinie (quadratisch)

R0 = R (T0=0 °C) = 100 (für Pt 100)

A = 3,90802 *10-3 K-1

B = - 0,580195 * 10-6 K-2

Gemäß DIN-IEC 751: Quadratische Näherung gilt für 0 °C ... 850 °C

2

0 0 01R T R A T T B T T

R in

T in °C

Pt

6


Weitere Standardelemente Ni, Ir

• nicht so korrosionsbeständig wie Pt

• kostengünstiger

• höheres Tk, 2 bis 3-fache von Pt

• Kennlinie weniger linear als Pt

Ni-Messwiderstände sollen gemäß DIN-IEC 751 durch

ein Polynom 6. Ordnung beschrieben werden

Dann vergleichbar mit Genauigkeit der Pt-Kennlinie 2. Ordnung

R in

T in °C

Pt

Ni

Pt A>0, B<0 degressivNi A>0, B>0 progressivIr A>0, B>0 progressiv

Eine progressive Kennlinie kanndurch Parallelwiderstand linearisiertwerden.


Messschaltungen

U

T

R1 R3

R4R2

U0

R1 = R2 ,

R4 so, dass R3(T0) = R4

R3 = R4 + R(T)

UPt 100

T

31 4

0 1 2 3 4 4

1

2 2

RR R RU

U R R R R R R

Ideal Ausschlagverfahren nur fürkleine Messbereiche

7


Eigenerwärmung

Faktoren, die die Eigenerwärmung beeinflussen:

zugeführte Verlustleistung, z. B.: PV = R * I2

Das Medium, in dem gemessen wird

Gas strömendes Gas Flüssigkeit strömende Flüssigkeit

Festlegung des maximal möglichen Messstromes durch Experiment

T

10 °Cexakt

Fehler vorgeben: z. B.: 0,1 K

Messstrom über Pt 100 langsam erhöhen,

bis 10,1 °C angezeigt wird

bessere Wärmeabfuhr


Anschlusstechniken

T U

I

T U

I

T U

I

Zweileiter-Technik

Dreileiter-Technik

Vierleiter-Technik

AnschlusswiderständeWirksam, Fehler !

Anschlusswiderständemessbar und kompensierbar(Länge, Temperatur identisch !!)Vergleich U, UI

Anschlusswiderständedurch separate Sensoranschlüssekompensiert

UI

8


Messbereiche

Pt 100/1000 -200 °C ... 850 °C

Ni -60 °C ... 180 °C

Ir -200 °C ... 400 °C

Genauigkeit besser 1 K für alle Metalle möglich

für Pt spezielle Präzisionsanordnung 0,1 K


Heißleiter (NTC)

Negative Temperature Coefficient (NTC)

• Materialien (Fe3O4, NiO, ...) weisen Halbleitereigenschaften auf, d.h. die Ladungsträgerdichte und nicht die Beweglichkeit der Ladungsträger dominieren die Leitfähigkeit

• T Ladungsträgerdichte freie Ladungsträger R (NTC)

• Herstellung:

• Kleinmahlen mit Wasser, mit Bindemittel verrühren

• Brennen in O2 oder O2-Defizit bei 1300 °C

• sp hängt von der O2-Zufuhr und der Temperatur beim Brennen ab

9


Kennlinie NTC

• Kennlinie

a: durch Prozess einstellbar

b: bestimmen durch Messungen

bei 2 bekannten Temperaturen

• Bestimmung des (linearen) Temperaturkoeffizienten

T

baTR exp

R in

T in °C

101

105

104

103

102

0 50 100-50

R0

100 k 800 47

00

00 1exp

T

b

T

bR

T

b

T

bRTR

Entwicklung der Kennlinie in eine Reihe, Abbruch nach dem linearen Glied

212

1 expT

b

T

b

TR

TR

1

1

2 1 2

1 1ln 3000 K ... 5000K

R Tb

R T T T


Bestimmung Temperaturkoeff.

Allg. Ansatz:

Für NTCs: 0 0

0 0

0 2

2

exp 1b b b b

R T R RT T T T

dR bR

dT T

bA

T

• Stark temperaturabhängiges nichtlineares Verhalten

• A (Tk-Wert) 40 * 10-3 K-1

(etwas 10-facher Wert von Metallen)

0 0

0 0 0

0

0 0 0

1

1 1

R T R A T T

R T R R A T T

R T R dRA A

T T R R dT

10


Vergleich NTC mit Pt

• NTC hat negativen Tk, 10 x größer als PT, nichtlineare Kennlinie

• R0 deutlich höher bei NTCs Zuleitungswiderstände können in der

Regel vernachlässigt werden

• NTCs haben geringere Langzeitstabilität

• NTCs sind deutlich preiswerter

• Anwendungsbereich NTCs -50 °C ... 150 °C

• Genauigkeit bei NTCs geringer, bis zu 5 % relativer Fehler


Bauformen NTCs

Scheibe Stab Perle

Abmessungen in mm

R0 in

Temperaturbereich in °C

Zeitkonstante t90 in s

Ø 5 ... 25, 3

5 ... 5 k

-50 ... 150

50 ...200

Ø 25, 4

5 k ... 500 k

-50 ... 150

60

Ø 0,4 ... 1,2

50 k ... 1 M

-50 ... 150

1,5 ... 8

11


Herstellung Perle

1. Auftropfen von NTC-Material auf Drähte

2. Brennen der gesamten Anordnung

3. Danach vereinzeln und selektieren

Pt/Ni - Draht


Kaltleiter (PTC)

• Kaltleiter: Positive Temperature Coeffizient (PTC)

• Materialieigenschaften: halbleitend und ferroelektrisch (z.B. BaTiO3)

• Eigenschaften

• bei geringer Temperatur:

• R relativ gering

• negativer Tk, wie bei halbleitenden Materialien üblich

• oberhalb der Curietemperatur:

• exponentieller Anstieg des Widerstands durch sich aufbauende Isolationsschichten an den Korngrenzen

• hoher positiver Tk

12


Kennlinie PTC

T1: Tk wird positv (oberhalb T1)

T2: Nenntemperatur Curietemperatur, Beginn des steilen Anstiegs! (beachte halb-log. Skala)

T3: Endtemperatur, Ende des steilen Anstiegs

Anwendung meistens als Schwellwertschalter wegen des steilen Anstiegs

R in

T in °C101

105

104

103

102

50 100

exponentiell

150 200

T1 T2 T3


Beschreibung im AP

Mathematische Beschreibung im Arbeitspunkt:

0

0 0 01b T T

R T R e R T R b T T b A

• A ist der Koeffizient des linearen Anteils der Temperaturabhängigkeit

• A 5 mal so groß wie beim NTC

• A 50 mal größer als bei Metallwiderständen

Anwendungsbereich: -30 °C ... 350 °C (Schwellwertsensor)

13


Silizium Spreading Resistance (SSR)

• Nur eine

Geometriegröße, der

Kontakt d, beeinflusst

den Widerstand

• d kann sehr genau

dimensioniert werden

• (25 °C) = 6,5 cm

• bei d = 20 µm R

(25 °C) = 1 k

dR , für d << t


Kennlinie und Beschreibung im Arbeitspunkt

Ansatz: Quadratische Gleichung wie bei Pt-Metallmesswiderständen

KTY83 (Philips Semiconductors):

• Tk 7,5 * 10-3 K-1 (linear)

• A = 7,635 * 10-3 K-1, B = 1,731 * 10-5 K-2

progressive Kennlinie, Kompensation der Nichtlinearität durch Parallelwiderstand möglich

2000 1 TTBTTARTR

14


Silizium Spreading Resistance

Vorteile

• Relativ lineare Kennlinie (vergleichbar mit Metallwiderständen)

• Günstiger Preis (NTC/PTC < SSR < Pt 100)

• Kleine Bauform, daher für dynamische Messungen geeignet


Thermospannung

Bei Metallen gilt für die

Thermoempfindlichkeit

Material A

Material B

T T0

0 0,th thU f T T k T T

kth: Thermoempfindlichkeit

ln

µV86 ln

K

Ath

B

A

B

nkk

q n

n

n

k: Boltzmann-Konstante

q: Elementarladung

nA/B: Elektronen-

konzentration im

Material A/B

15


Beschreibung im AP

• Allgemein durch Polynome höherer Ordnung (bis 6. Ordnung)

• Für Pt90Rh10/Pt reicht Näherung 2. Ordnung von 600 °C ... 1000 °C

µVTTCTTBAU th2

00

A = -298,245

B = 8,2376 K-1

C = 1,6454 K-2

Pt90Rh10/Pt

Bestimmung der Koeffizienten durch Fixpunktmessungen nach IPTS


Thermoel. Spannungsreihe

Bezugsmaterial: Cu, T0 = 0 °C,

T1 = 100 °C

Wismut (Bi) - 8,0

Konstantan (CuNi) - 4,1

Nickel (Ni) - 2,2

Palladium (Pd) - 1,0

Platin (Pt) - 0,75

Aluminium (Al) - 0,35

Zinn (Sn) - 0,3

Pt90Rh10 - 0,1

Zink (Zn) - 0,05

Kupfer (Cu) 0,0

Wolfram (W) 0,05

Molybdän (Mo) 0,45

Eisen (Fe) 1,05

Antimon (Sb) 4,0

Silizium (Si) 44,0

T1 > T0 T0

Thermospannung in mV:

16


Materialkombinationen

Betriebstemperaturbereiche verschiedener Materialkombinationen:

Uth bei T0 = 0 °C, T1 = 100 °C AnwendungsbereichPt90 Rh10 / Pt 0,645 mV 0° C ... ca. 1300 °CCu / Cu60 Ni40 4,277 mV - 50° C ... ca. 500 °C

Ni Cr / Ni 4,095 mV - 250° C ... ca. 1000 °CFe / Cu60 Ni40 5,0268 mV - 50° C ... ca. 700 °C

Übliche Materialkombinationen


Thermoelement-Eigenschaften

• Temperaturdifferenzmessung Referenztemperatur T0 muss exakt bekannt sein

• Beispiel ‚Eiswasser‘ (T0 = 0 °C), oder künstliche elektronische Referenz, s.u.

• Spannungsquelle (Uth) nicht belastbar extrem hochohmige Weiterverarbeitung (Verstärker)

• Bei Belastung des Thermoelements erhält man durch Entnahme der freien Elektronen eine Abkühlung der Messstelle. Peltier-Effekt (Umkehrung des thermoelektrischen Effekts)

17


Beispiele für Auswerteschaltungen

1. Temperatur am isothermen Block wird konstant gehalten, die entsprechende (konstante) Kontaktspannung abgezogen

2. Temperatur am isothermen Block wird gemessen und die proportionale Kontaktspannung dann abgezogen


Dimensionierte Auswerteschaltung

An der Vergleichsstelle befindet sich der Temperatursensor LM35. Er liefert eine Spannung von 10 mV/°C.

Der Eisen/Konstantan Sensor liefert eine Spannung von 51,7 uV/°C. Diese Spannung wird durch OP1 mit dem Faktor A = 193,4 auf 10 mV/°C verstärkt.

OP2 addiert beide Spannungen zum Ausgangssignal Ua = 10 mV/°C * Tm.

18


Thermoelement Verstärker mit integrierter

Eispunktkompensation, z.B. Analog Devices

• Die Drähte der Thermoelemente werden direkt an das IC angeschlossen (+/- In). Man geht davon aus, dass der Chip die gleiche Temperatur wie seine Anschlüsse hat.

• IC addiert seine eigene interne Temperatur (Eispunktkorrektur) zur Thermospannung und verstärkt das Signal zu einer Ausgangsspannung von 10 mV/°C . Nullpunkt und Verstärkung sind intern auf 1 °C genau kalibriert.


Thermospannung Ni/NiCr

19


Quarz-TemperaturmessungP

age: 37,

8/10/2018

302

000

1 TTCTTBTTAf

f

Mit f0 z.B.: 4,2 MHz

A 100 * 10-6 K-1

B 40 * 10-9 K-2

C 100 * 10-12 K-3

Genauigkeit bis 0,1 K

(Temperaturbereich

-20 °C ... 130 °C)


Page: 38

, 8/10/2018

Schnittwinkel

Erzeugung der Temperatur-abhängigkeit durch bestimmte Schnittwinkel zur Kristallstruktur

20


Messschaltung

Eigenschaften:

• Frequenzen lassen sich digital ausmessen

• Einziges Verfahren, das direkt eine digitale Weiterverarbeitung

ermöglicht

• Kennlinienkorrektur kann einfach im nachgeschalteten µC erfolgen

Teiler Zähler

1/1000 f = f(T) DigitalerMesswert

Oszillator

fMessT

Mess-Schwingquarz


Normarmaturen

21


Zeitverhalten

Wasser Luft

Pt-100Normalelement

t90 : 30 s 390 s

Mantelthermoelement 3 mm

t90 : 0,4 s 24 s

Mantelthermoelement 0,25 mm

t90 : 0,02 s 0,6 s

Luft, strömend mit 0,4 m/s, Wasser, strömend mit 1 m/s

t90 bedeutet, dass aufgrund einer sprungförmigen Änderung derTemperatur im Medium nach dieser Zeit 90% des stationären Endwertes erreicht wird


Aufbau Thermoelement

22


Aufbau Widerstandsthermometer

1

Messtechnik

11. Kraft-, Massen- und Drehmomentmessung



Kraft- /Drehmomentmessung

Es existieren folgende Prinzipien

• Massenvergleich (Balkenwaage)

• Kraftkompensation

• Direkte Kraft- /Drehmomentmessung

Piezoresistiver Effekt (Dehnungsmessstreifen mit Federkörper

Piezoelektrischer Effekt (vereinigt Federkörper und Signalerzeugung)

2


Balkenwaage

xm on m

1r 2r

Balkenwaage oder

Totgewichtwaage

0 1 2 0

20

1

20

1

0 x

x

x

M r m g r n m g

rm n m

r

rF n m g

r


Kraftkompensation

Wägeteller

N S

S

I-Steller

Regler }Spule, von I

durchflossen

Führung

Pos. Geber

0

Permanentmagnet

S

3


Berechnung Kompensationskraft

D

Permanentmagnet

NS

KF I w B D


Dehnungsmesstreifen mit Federkörper

Grundidee

• Aufbringen eines Dehnungsmessstreifens auf Federkörper mit bekannten mechanischen Eigenschaften

• Dehnungsmesstreifen verändert bei Dehnung/Stauchung seinen Widerstand

• Auswerten der Widerstands-änderung erlaubt Rückschluß auf die Kraft am Federkörper

4


Dehnungsmessstreifen, Prinzip

D

D

LL

2 2 3

4 4 42

2 1 2

L LdR d dL dD

D D D

d dD

dR d dL dD dL DdL dLR L D L

L L

Für infinitesimal kleine Auslenkungen gilt:

2

4LR

D

Drahtwiderstand:


Dehnungsmessstreifen, Prinzip

Ausgangsgleichung liefert bei Einführung von Abkürzungen

• Relative Dehnung:

• Querkontraktionszahl:

=> Der sogenannte „k“-Faktor als Proportionalitätskonstante hängt i.A. von der relativen Dehnung selbst ab

d L

L

1 2 1 2 ( )

k Faktor

d ddD

dR dL D µ kdL dLR L

L L

dD

DµdL

L

5


Herleitung des theoretischen Wertes für den k-Faktor

Für das Volumen eines Drahtes gilt:

bzw. für infinitesimale Änderungen:

Hiermit berechnet sich die Längenänderung zu

Da bei Zug das Volumen nicht kleiner werden kann, folgt

2

.4

DV L

2 2.

4 4

D DdV dL L dD

/2 1 2 1 2 1 2

/

dV dL dD dL dD D dLµ µ

V L D L dL L L

!

0, 5µ


Herleitung des theoretischen Wertes für den k-Faktor

Folgende Zusammenhänge sind bei Metallen gut erfüllt

bei Dehnung,

bei Dehnung,

Hiermit folgt für die Widerstandsänderung

Anmerk.:

=>

0dV

0d

0dL

0dL

1 1d R

kR

2Theoretischk

10

2

1 2

µ

d

k µ

6


Beispielwerte für k-Faktoren

Für Metalle gilt in guter Näherung:

Für Halbleiter gilt:

• Halbleiter zeigen ein nichtlineares Verhalten aber einen deutlich größeren Widerstandseffekt

• Je nach Messaufgabe werden daher wahlweise Halbleiter oder Metalle als DMS verwendet.

k

Konstantan 2,05

NiCr 2,2

(näherungsweise)

lineares Verhalten

Si bis 200 Nichtlinear, aber

sehr viel

empfindlicher

( )k f

( )k f


Page: 12

, 8/10/2018

Ausführungsformen Folien Dehnungsmessstreifen (DMS)

7


Page: 13

, 8/10/2018




8


Dünnfilm DMS

• Die DMS-Schicht wird direkt auf Träger (Federkörper, s.u.) aufgesputtert, Schichtdicke ca. 0,5 mm

• Strukturierung durch Ätzprozesse

• Trägermaterial dient direkt als Federkörper

• DMS-Material: Konstantan (NiCr (Konstantan), Si )

• Anwendung zum Beispiel zur Druckmessung, Aufbringen auf Membran


Halbleiter DMS, Wertebereiche für Dehnung

Halbleiter DMS

• Si-Streifen, ca. 10 µm ... 30 µm Dicke, ca. 100 µm ... 300 µm Breite auf Trägerfolie

• Vorteil: k bis zu 200, hohe Empfindlichkeit

• Nachteil: nichtlineares Verhalten, starke Temperaturabhängigkeit, Material ist spröde

Wertebereich für die maximale Dehnung

• Typisch: < 0,1 %

• Maximal: < 1,0 % (darüber ist die Dehnung in der Regel irreversibel)

Anschluss-

bänder

Folie

SI-Streifen

9


Parasitäre Effekte

Probleme aller DMS

1. Temperaturabhängigkeit des Basiswiderstands spiegelt scheinbare Dehnung vor.

2. Eine unterschiedliche mechanische Ausdehnung des Federkörpers und des DMS über der Temperatur führt zu Fehlmessungen.

Lösung zu 1.: Anwendung Differenzprinzip über Brückenschaltung

R oder DMS 3 R - RR R

R R

DMS 1

DMS 2

Um

U0

R oder DMS 4 R + R

DMS 2

DMS 3

DMS 4

DMS 1 F


Parasitäre Effekte

Lösung zu 2.:

• Federkörper und DMS-Material müssen identischen mechanischen Ausdehnungskoeffizienten unter Temperatureinfluss haben

• Beispiele

Stahl:

Aluminium:

Kunststoffe:

6 -110,8 10 Ka

6 -116 10 Ka

6 -165 10 Ka

10


Eigenschaften Federkörper, Hook‘sches Gesetz

• Linearer Bereich (bis max. 1% rel. Dehnung) als Feder beschreibbar

• Verformung im linearen Bereich reversibel

• Verformung darüber hinaus irreversibel

Abreißen

reversibel Fließbereich,

nicht reversibel

1 %

mechanische

Spannung


Standardfederkörper (Zug/Druck)

Dehnung in Längsrichtung

Dehnung in Querrichtung

Mechanische Spannung:

0D

DL

0L

A

F

0L

L

L

0q

D

D

F

A

11


Standardfederkörper (Zug/Druck)

• Querkontraktionszahl

• Mechanische Spannung in Abhängigkeit Elastizitätsmodul des Werkstoffes

E: Elastizitätmodul in z.B.

0D

DL

0L

A

F

L

FE

A

q

L

µ

N

mm²


Federkörpermaterialien

Typ Eigenschaften Preis Zug

in

N

mm²

E in

N

mm²

Stahl vergütet billig 1,50 €/kg 1200 3200 10

SS 17 / 4 Ph rostfrei 5 €/kg 1200 3200 10

CuBe gute Wärmeleitfähig -

keit

rost frei

linear – kriechen

50 €/kg 1300 3160 10

Dural billig, leicht

gerin ge Las ten, hohe

Auslenkung

8 €/kg 400 370 10

12


Beispiele


Beispiele

13


Piezoelektrische Kraftaufnehmer,

Sensor und Federelement integriert

Aufbau und Wirkprinzip

• Stack- (Schicht-)Anordnung zur Erhöhung des piezoelektrischen Effekts.

• d: piezoelektrische Ladungskonstante

Quarz, (SiO2)

Piezokeramiken

Parasitäre Effekte

• pyroelektrischer Effekt, d.h. Ladungsänderung durch Erwärmung

• Alterung, d.h. die piezoelektrische Ladungskonstante ändert sich während der Betriebszeit

xF

xF

xQ

+ + +- - -

+ + +- - -

+ + +- - -

+ + +- - -

+ + +- - -

+ + +- - -

+ + +- - -

x xQ d F

250 p As / Nd

2, 3 p As / Nd


Statisches Ersatzschaltbild

1210isoR C Typ: 200 pF

F Q

Zahlenbeispiel:

100 N Gewichtskraft von ca. 10 kgF

25 nAsQ (Keramik)

Mit C = 200 pF

25 nAs125 V

200 pF

QU

C

14


Messschaltung (Ladungsverstärker)

isoR

Piezo-Aufnehmer

ESB

C

aU

i(t)

C

• Durch endlichen Isolationswiderstand nur quasi-statische Messung möglich.

• Sensor sehr starr, nur geringe Auslenkung bei der Messung

• piezoelektrischer Effekt sehr temperaturstabil

• Sensor benötigt keine Energieversorgung, nur eine hochohmige aktive Weiterverarbeitung

0

1( )

t

aU i t dtC


Beispiele: Einachsiger Piezoelektrischer Sensor

15


Beispiel Dreiachsiger Piezoelektrischer Sensor


Beispiel Daten 3-achsiger Sensor

1

Messtechnik

12. Druckmessung



Druckmessung

Wird auf Kraftmessung zugeführt:

Gängige Verfahren zur Druckmessung sind

1. DMS integriert oder aufgebracht auf Membranen

2. Kapazitive Messanordnungen

3. Piezoelektrische Messverfahren

4. Monolithische Si-Sensoren nach DMS-Prinzip

Fp

A

2


Druckmessung mit Dehnungsmessstreifen

p

Metallmembraneingespannt

Membran biegt sich unter Druck pstetiger Verlauf

an den Ränderndurch Einspannung

t

r

r

Membran von oben


Spannungsverläufe

Für kleine Auslenkungen im Verhältnis zur Membrandicke h gilt

E: Elastizitätsmodul des Werkstoffes in

µ: Querkontraktionszahl; µ = 0,3 (Stahl)

p: Druck

R

r

h

2 2

2 2

3 31 1

8 1

3 1 31 1

8 1

r

t

R p µ rµ

h E µ R

R p µ rµ

h E µ R

2

N

m

3


Spannungsverläufe (Grenzwerte)

1. Membranmitte, r = 0:

2. Membranrand: r = R

Die Dehnungen verlaufen parabelförmig und wechseln am Membranrand das Vorzeichen

R

r

h

2 2

2 2

3 31 1

8 1

3 1 31 1

8 1

r

t

R p µ rµ

h E µ R

R p µ rµ

h E µ R

0

23

(0) (0) 18

r t

R pµ

h E

0 0

0 0

3 2( ) 1

1 1

1 3 2( ) 1

1 1

r

t

µR

µ µ

µ µR

µ µ


Messung mit Spezial-DMS

Für Stahl:

tr

r

Sehr genau: e < 1% FS

0

0

, 0, 3 0, 46

, 0, 3 1, 54

t

r

R µ

R µ

nahe Mittelpunkt Dehnung

am Rand Stauchung

, 0r t

, 0r t

4


Druckmessung bei kleinen Auslenkungen

• Für sehr kleine Auslenkungen (im Bild stark übertrieben), d.h. gilt die lineare Näherung:

• Zur Messung von existieren mehrere Möglichkeiten.

• Rückführung auf bekannte Konstruktionsprinzipien

h

p

x

x h

4

2

3

31

16

R px µ

Eh

x


Messung der linearen Auslenkung über Federkörper

p

mechanische Kopplung

DMS-Vollbrücke

Biegebalken

p

mechanische Kopplung

DMS-Vollbrücke

Federelement

Verfahren ungenauer, e > 1% FS

5


Kapazitive Druckmessung (Anordnung nach Rosemount)

• Sensor ist überdruckfest, Membran legt sich bei Überdruck an die Elektrode an (im Bild schlecht gezeichnet). Kurzschluss => Fehlerfall erkennbar

• Durch Differenzprinzip sehr genau (besser 1% relativer Fehler)

• Differenzdrücke messbar

Gegenelektrode 2

metallisiert

metallisierte Membran

Gegenelektrode 1

metallisiert

p1 p2

ESB


Konstruktiv einfachere kapazitive Druckmessung

Membran

Al2O3

Gehäuse aus

Al2O3 Keramik

metallisiert

p

Metallisierte Flächen

bilden Kondensator

Vorteil

• sehr einfacher Aufbau

• preiswert

Nachteile:

• nicht überlastfest, da scharfe Kanten

• nicht so genau (schlechter 1 %)

6


Messverfahren für Kapazitäten und Kapazitätsänderungen

Cmess

C0

Ua

C2_mess

Ua

1 Kondensator

2 Kondensatoren

nach Differenzprinzip

Differentialkondensator

C1_mess

Wechselmessbrücken nach dem Ausschlagverfahren

• parasitäre Kapazitäten durch Zuleitungen (Streukapazitäten)• Hoher Aufwand, da alle Messleitungen geschirmt sein müssen



Schwingquarz

Cmess

ESB eines Quarzes

Quarz

z. B.: 0f 20 MHz

1s kHz

pF Empfindlichkeit

410f

f

• Messkapazität zum „Ziehen“ der Eigenfrequenz des Quarzes genutzt.

7



Wien-Robinson Oszillator

C1R1

C2

Ua

R2

+

-2 R3

R3

1 2 1 2

12 f

R R C C

1 2

1; C C C

C

• Kapazitäten müssen sich gleichsinnig ändern

• Nutzung Differenzprinzip nicht möglich



Relaxationsoszillator

C Uc= i Us

- Us

Umschaltung Stromrichtung

UC

Us

- Us

t

( )t f C

1c

C

U i dtC

i const

i tU

C

8


Monolithisch integrierte Verfahren

n+ Si einkristallin

n (Epi-Schicht ca. 10 m)

ca. 2 x 2 x 0,25 mm³

(Länge/Breite/Höhe)

n+

n-Material

Membran

p

Bor-Dotierung

bildet p-Schicht ca. 1 µm tief

bildet HL-DMS

Bor-Gebiete bilden HL-DMS

Ansicht von unten:

Isolation der HL-DMS (p-Gebiet) gegenüber Membran (n-Gebiet) durch Vorspannen des resultierenden pn-Übergangs in Sperrrichtung.

1

Messtechnik

13 Beschleunigungsmessung



Beschleunigungsmessung

Grundprinzip aller Verfahren

Medium (Flüssigkeit) erzeugt zusätzlicheDämpfung

m

ck

0 z

Federbalken Auslenkung/Beschleunigungdes Gehäuses in z-Richtung

a

kF m a k z a z

m Stationäre Betrachtung

2



Dynamisches Verhalten


m

ck

0 z


2

2( ) ( ) 0

d z t dz tm c k z t m a t

dtdt

22

2( ) sin ( )

d z t dz tm c k z t m A t

dtdt

Bei sinusförmiger Anregung gilt



Normalform DGL 2. Ordnung


m

ck

0 z


Eigenfrequenz und Dämpfung:

0

k

m

22

00

1 2sin

D mz z z A t

k

20 0

0 0 0 0

2

2 2 2 2

D c c c c k cD

k k k k m m

3




m

ck

0 z


1

f

( )z f

A

0 ( )

2

f

BetriebsbereichBeschleunigungssensor

Übertragungsverhalten (Amplitude)


Messung der Auslenkung

(Prinzip, Details s.u. im Kap 14 Wegaufnehmer)

mDifferential-kondensator

k leitfähig

Kapazitiv

4



Induktiv, Differentialdrossel

mk

L2

L1

z



Piezoresistiv

mk

DMS-Vollbrücke

5



Piezoelektrisch

Vorteile:• Sensor und Feder in einem Element• Durch harte Kopplung hohe

Eigenfrequenz

Nachteil:• keine statische

Beschleunigungsmessung möglich

m

Stack

Ua


Page: 10

, 8/10/2018

Mikromechanische Beschleunigungssensoren (Beispiele)

1.) Differentialkondensatoranordnung in Chipebene (ISIT FhG)

Detailaufnahme

Kompletter Sensor

6



1.) Differentialkondensatoranordnung in Chipebene (ISIT FhG)

Detailaufnahme 2

Kenndaten:

Messbereich: 100 g Empfindlichkeit: 15 mV/g Auflösung: 0,1 g Bandbreite: 2 kHz Linearitätsfehler: < 1 %FS Querempfindlichkeit: < 2 %FS Überlastbereich: 2000 g Versorgungsspannung: 5 V Chipgröße: 4 mm²



2.) Differentialkondensatoranordnung in senkrecht zur Chipebene(Sandwich Aufbau)

7



3.) Beschleunigungssensor mit integrierter SignalaufbereitungADXL76-1g, Analog Devices)

1

Messtechnik

14 Messung von Weg und Winkel



Weg- und Winkelmessung

Aus einer Weg- und Winkelmessung direkt ableitbar

Geschwindigkeit

Winkelgeschwindigkeit, Drehzahl

Maßstäbe

Dinglich (z.B. Lineal)

Virtuell (z.B. interferometrisch)

Aus Kostengründen meist dingliche Maßstäbe

Höchste Präzision jedoch nur mit interferometrischen Anordnungen

2


Inkrementelle (relative) Messverfahren

Maßstab (Beispiel als mit Metall bedampfter Glasträger)

• Ni ist ein Beispielmaterial, das viele Auswertemethoden zulässt

• Grundsätzlich sind je nach Auswerteverfahren andere Metalle oder

Materialien möglich.

Glasträger

bedampft

z.B. Ni, ca. 1 µm dick


Mechanische Abtastung (galvanometrisch)

Signal wird mit Zähler weiterverarbeitet

zurückgelegter Weg (relativ, diskretisiert)

, z = Zählerstand

Vorteil: Einfach, kostengünstig

Nachteil: Verschleiß

xWeg

x

Ua

Uq

x z x

=

R

UaUq

Schleifkontakt

3


Optische Abtastung (Weiterverarbeitung durch Zähler)

Reflexions- /Auflichtverfahren

Photodiode

x

Lampe zur Beleuchtung

Reflexion

Glas: durchlässig

Metall: reflektiert

Durchlichtverfahren

I D kein sauberer Sinus, nur abgerundete Flanken aufgund der Beugungs - erscheinungen

x


Induktive / Magnetische Abtastung

• Magnetische Abtastung durch Bedampfung mit Ni möglich (ferromagnetisch)

• Prinzipielles Verfahren wie bei Tonbandgeräten, Maßstab kann auch auf Magnetband aufmoduliert werden

Wahl Ni (ferromagnetisch): rNi rGlasµ µ

keine statische Messung möglich!

indU

indU v

0 0indv U

Hall- oder AMR-Sensor

, daher statische Messung möglich

Änderung des magnetischenWiderstands:Ni: magn. Kreis geschlossenGlas: magn. Kreis offen

HU f v

N S

N S

4


Optische Systeme mit Richtungserkennung

• Zwei Sende / Empfangseinheiten

erlauben eine

Richtungserkennung

• Die Phasenverschiebung darf

außer 180° beliebig sein

• Besitzen Sie eine exakte

Phasenverschiebung von 90°, so

kann zusätzlich die Auflösung

verdoppelt werden

Lichtquelle

2 Photodioden

x


Optische Systeme mit Richtungserkennung

Lichtquelle

2 Photodioden

x

xT

U1

x

U2

x

U1U2

XOR

Diode 1

Diode 2

0 180° 360°

XOR:

= 1a

b

y

y a b a b

5


Moiré-Effekt / Jalousieeffekt

ID1

sinusförmiger V

x

x

• Typische Größen für einen

Glasmaßstab:

typ. x = 10 µm,

max. x = 4 µm

(Beugungserscheinungen)

• Weitere Erhöhung der Auflösung

durch Moire-Effekt

• Sinusförmiges Signal

• Erhöhung der Auflösung

durch Interpolation, jedoch so

noch nicht eindeutig!

Maßstab steht fest

Spur 1 und Spur 2 habenidentischen Teilungsfaktorx

x

Spur 1

x Spur 2


Moiré-Effekt / JalousieeffektOrthogonale Signale, zwei Spuren um 90° phasenverschoben

ID1

Spur 1

T

x

ID2

Spur 290° phasenverschoben

x

• Für mittelwertfreie

Signale gilt

• Elimination des

Gleichanteils ist

zwingend notwendig

1

2

1

2

sin ,

sin 90

arctan

D

D

D

D

I b

I b

I

I

6


Moiré-Effekt / JalousieeffektElimination Gleichanteil, 2 Spuren um 180° phasenverschoben

x

x

x

1DI

1801DI

1801 1D DI I

1

1801

sin

sin 180

sin

D

D

I a b

I a b

a b

* 1801 1 1 2 sinD D DI I I b

* 1802 2 2 2 sinD D DI I I b

Analog für zweite Spur

*1

*2

arctan D

D

I

I

Winkelberechnung aus

Signalen ohne Gleichanteil


Prinzipaufbau Wegmessung mit InkrementalmaßstäbenDurchlicht (Firma Heidenhain)

7


Prinzipaufbau Wegmessung mit Inkrementalmaßstäben(Firma Heidenhain)


Beispiele Firma Heidenhain, Gekapseltes Längenmesssystem

8


Beispiele Firma Heidenhain, Maßstäbe Auflicht und Durchlicht

Auflicht- und Durchlicht-

Inkrementalmaßstäbe

Absolut kodierte Maßstäbe

(vgl. folgendes Kapitel)


Eigenschaften Durchlichtverfahren (Heidenhain)

• Teilungsperiode

• Auflösung

(begrenzt nur durch Auswerteelektronik, sonst durch Analogsignal

theoretisch unendlich hoch)

• absoluter Fehler

• Preis: ab ca. € 250,- je nach Genauigkeitsklasse und Länge

• Länge: bis ca. 1,5 m verfügbar

20T µm

0,1 1x µm ... µm

1 ... 3absE µm µm

9


Eigenschaften Auflichtverfahren (Heidenhain)

• Teilungsperiode

• Metallmaßstab (robuster)

• diffus reflektierende und gut reflektierende Streifen wechseln sich ab

• konstruktiv einfacher (Lichtquelle und Photoelement auf einer Seite),

• billiger, aber nicht so genau

• Auswerteprinzip wie Glasmaßstab

40T µm


Absolut kodierte Maßstäbe

Vorteil:

• Position jederzeit absolut bekannt

• Kein Zähler notwendig

Einfachster absoluter Code: Binärcode

Dejustage führt zu Abtastfehlern bei den Zahlenübergängen

Monotonie kann verletzt sein

10


Absolut kodierte Maßstäbe mit V-Abtastung

Vorteil • Eindeutige Umschaltung garantiert

Nachteil• Mehr Abtastsysteme notwendig

A1

A2 B2

A3 B3

A4 B4

• Umschalten von An auf Bn erfolgt erst dann, wenn An-1 auf Bn-1

umgeschaltet hat.

• Hierdurch werden fehlerhafte Zwischenwerte durch leichte Dejustage

verhindert


Gray-Code, 1-Schrittiger Code,

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0

Vorteil • Bei jedem Zahlenübergang ändert sich immer nur eine Stelle

Nachteil• Nicht mehr direkt interpretierbar, Umsetzer in Binär oder

Dezimalcode erforderlich

Bildungsgesetz

…………………

11


Absolut kodierte Maßstäbe, BCD-Code

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

02 .............

12 .............

22 .............

32 .............

010 2

110 2

210 2

310 2

Übertrag

Beispiel: 12 Stellen Dezimal (BCD -Code): Zahlenbereich 0 ... 999 kann dargestellt werden. Binar (Binär/Gray -Code): Zahlenbereich 0 ... 4095 kann dargestellt werden.


Analoge Wegaufnehmer

Kontaktbehaftet

l0U0 R0

R1

U2 R2

x

2

0

U

U

0

x

l

2R

2

0

U

U

0

x

l

R

1

1

12 0 0

0 0

R xU U U

R l

Unbelasteter Spannungsteiler

Einfluss von R2

auf die Kennlinie

12


Aufbau konventionell

Keramikstab, Kunststoffplatte

Schleifer aus Cu, Be

Cu Ni (Konstantan) 0 270

Keramikstab

0 270

Linearer Weg Winkel


Aufbau Dickschichtechnik

Beliebige Nichtlinearität durch Formgebung kompensierbar

Schleifer Widerstandsmaterial

Träger

x

Widerstandmaterial

Dickfilmsensor

Prallplatte

Drehpunkt

Luft

Prinzipieller Aufbau Beispiel: Luftmengenmesser

13


Diskussion Widerstandsaufnehmer

Vorteile

beliebige Form der Speisespannung, Gleichspannung,

Wechselspannung, Rechteckspannung, Dreiecksspannung, etc.

möglich

relativ hohe Messleistung ( > 1 W), daher störunempfindlich

großer Messweg, beliebige Nichtlinearität kompensierbar

Nachteile

Verschleiß durch Reibung (Vibrationen)

Korrosion Kontakte

Auflösung bei Drahtanordnungen begrenzt (nicht bei

Schichtwiderständen)


Kontaktlose Weg- und WinkelsensorenInduktive Verfahren

R L

ESB:

2L n 0 r

Aµ µ

l

Allgemein langgestreckte Spule

R und L können verändert werden, i. A. nicht unabhängig

14



Beispiel zur Herleitung der Zusammenhänge: Ringspule

ferromagnetisches Materialµ > 100, Dynamoblechr

AFen

lFe

l lL, Luftspalt veränderbar,

l L Fe FeI n Hdl H l H l

0 0;L L Fe r Fe

L Fe

B µ H B µ µ HA A



L FeA A A Annahme keine Streuverluste

0

FeL

r

lI n l

µ A µ

01

FeL

r

I n µ Al

lµ

Induktionsgesetz:

0

2 0

indFe

Lr

FeL

r

µ Ad I d dU L n n

ldt dt d Il

µ

µ AdL n n

ld Il

µ

15



Für gilt: 1rµ 0prakt

L

Aµ

l

Prinzipaufbau und Kennlinie:

x x

0 L

L

L

ca. 1 mm

Störbereich, Länge im Eisen

nicht vernachlässigbar

Arbeitsbereich,

Verlauf gemäß 1/x

Streubereich,Feld schließt über

die Luft und nicht

über das Joch

2 0

FeL

r

µ AL n

ll

µ


Kontaktlose Weg- und WinkelsensorenDifferentielle induktive Verfahren

x

0

I II

x

II - I

(näherungsweise lineares Verhalten)

I II

L

16


Kontaktlose Weg- und WinkelsensorenDifferentielle induktive Verfahren

Vorteile der Differentialanordnung:

• lineares Gesetz im Arbeitsbereich

• Temperaturabhängigkeit der Induktivitäten (Temperaturfehler) wird

durch Differentialanordnung (Differenzprinzip) reduziert

• Ideale Kompensation erfolgt bei x = 0, da dort aufgrund der

Symmetrie der Anordnung eine vollständige Kompensation erfolgt

2

0

1 1

2 2LI LII LI

LI LII LI LII

U X X X

U X X X X

x

2

0

U

U

Linearer Bereich

U0 =~U

2

R

R

X LI

X LII

eventuell zum

Abgleich nötig

Reale Induktivitäten beinhalten ohmsche

Anteile, die R selbst induktive Anteile ,

C‘ s zum Gesamtabgleich ggf. notwendig


Tauchkern-Differentialanordnung

l0

LIILI

Fe-Kern

x0

x

L

L2L1

L2-L1

näherungsweiselinear

Kernmaterialien zur Begrenzung der Wirbelstromverluste• Dynamoblech bei Frequenzen der

Versorgungsspannung bis ca. 50 Hz• Ferrite bei Frequenzen der

Versorgungsspannung bis ca. 5 kHz

Näherungsweise linear für

Auflösung im Bereich

max 00, 4x l

710

17


Linear Variable Differential Transformer (LVDT)

LIILI

Uind I Uind II

U2(Ausgangsspannung)

Lp

x

2 ind I ind IIU U U

Differentialtransformator

0

LVDT Verstärker TP

Anzeige

50 Hz

5 kHz

Netz

U2

DemodulatorPhasenempfindlicher GR

Auswerteschaltung:

Demodulator



0x

0x

t

U2

Amplitude von U wirdmit x größer

2

t

180° phasenverschoben

U2

x

x

LIILI

Uind I Uind II

U2(Ausgangsspannung)

Lp

x

0

18



USteuer

Uein

Ust

Uein

1

-1

Uaus

Sowohl für LVDT, als auch fürWheatstone‘sche Messbrückennutzbar!

TP

Phasenempfindlicher GR



Ohne Phasenverschiebung

t

Ust

UU

ein

aus

SteuerspannungAusgangsspannung

Eingangsspannung

19



Mit Phasenverschiebung, hier ca. 90°

t

Ust

UU

ein

aus

SteuerspannungAusgangsspannung

Eingangsspannung



t

Phasenverschiebung = 180°U st U Uein ausUst

Uein

Uaus

Mit Phasenverschiebung, hier 180° wie beim LVDT

20



Beim LVDT erfolgt ein

Betrieb im I und III

Quadrant

=> 0° und 180°

Phasenverschiebung

I. Quadrant III. Quadrant

t

U2

t

U2

x

x

U2

III

III IV


Kapazitive Wegmessverfahren

0 r

AC

d Alle Größen bis auf 0 veränderbar

( )C f x

d

Ax

1r

r verändern:

21


Kapazitive Wegmessverfahren, Beispiel Füllstandsmessung

h

Luft

bei leitfähigen Materialen

Isolierung, z.B. Glas r 4,5

( )C f h

Benzin r 2,6

h

02, 6 C

linearC

0C

maxh


Kapazitive WegmessverfahrenFläche A verändern

von der Seite

AGA

x

zy

x

0

dC

d y

x

C

maxx

maxC

Nachteilig:• Störkapazitäten der Anschlüsse

• Gute Schirmung notwendig

22


Kapazitive WegmessverfahrenFläche A verändern, Koaxialanordnung

x

x0

Differentialkondensator:

Vorteil• Weniger Störeffekte

• Differentialanordnung leicht realisierbar


Kapazitive WegmessverfahrenAbstand d verändern

Differentialanordnung:

d

y

0d

23


Vergleich kapazitive und induktive Wegmessverfahren

1. Bei induktiven Anordnungen 103-fach höheres Ausgangssignal

(bei gleicher Baugröße) gegenüber kapazitiven Verfahren

2. Kapazitive Prinzipien einfacher integrierbar (Mikroelektronik)

3. Durch geringe Signalpegel bei kapazitiven Aufnehmern

Signalaufbereitung am Sensorkopf notwendig

1

10 mm Bereich

Querankeranordnung

mm Bereich Differentialtransformator (LVDT)

kann auch mit kapazitiven Aufnehmern erreicht werden

cm Bereich Tauchankerdifferentialanordnung

cm - m Bereich Tauchkern-/Tauchankeranordnung

Anwendung induktiver Wegaufnehmer


Wegmessung mit magnetischen Sensoren (Hall, AMR)

N

By

Bz

BxS

SensorSchnittlinie, hier misst der Sensorpunktuell das Feld

B

Bx

Bz

x

x-, z-Komponente des magne-tischen Feldes an der Schnittlinie

zy

x

24


Wegmessung mit magnetischen Sensoren, Magnetmaterialien

B

HC

-HCH

B

BR

H

Permanentmagnet - hartmagnetisch(große Fläche)

z.B. Dynamoblech - weichmagnetisch(kleine Fläche, kann leicht ummagne-tisiert werden)

H = KoerzitivfeldstärkeB = Remanenz

C

R

-BR

HC -HC

BR

-BR

Hartmagnetisch BR in T HC in kA

m

FxD (Ferrit) 0,4 250

SmCo (Selten Erd) 0,9 700


Winkelmessung mit magnetischen Sensoren, AMR-Sensor

H

H = 2 kA/m

M

H

H = 20 kA/m

M

H

H = 70 - 100 kA/m(Sättigungsfeldstärke)

M

NiFe NiFe NiFe

AMR-Sensor ohne Barberpole-Struktur im Sättigungsbetrieb

25



Prinzipieller mechanischer Aufbau und Kennlinie

N

Ausgangssignal eines AMR-Sensorsbei Schaltung als Wheatstone-Vollbrücke

Winkel /°

Drehachse Permanent-magnet

Platine / SubstratHalterung

Sensor

S

H



Kennlinie eines Sensors (Vollbrücke ohne Barberpol) über 360°

• Periodisch mit dem zweifachen mechanischen Winkel

• Eindeutigkeit des Signals im Bereich +/- 45°, daher Messbereich 90°

Winkel

Sensor IC

MagnetSignal

Winkel / °

-180 -90 0 90 180

Signal: f (2a)Messbereich: 90°

26



Erweiterung des Messbereichs

• Zweiter um 45° mechanisch (d.h. 90° bezogen auf das elektrische

Signal) Sensor

• Auswertung der orthogonalen Signale (sin / cos) wie bei

Längenmesssystem

Sensor Y

Sensor X

-180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180

Signal


2sin

2cos

0

0

YY

XX



• Messbereich jetzt auf 180° erweitert

• Voraussetzung für keine Fehler ist eine exakte identische Amplitude,

exakte Phasenverschiebung von 90° sowie exakte Kurvenform der

Signale

• Eine weitere Vergrößerung des Messbereichs ist nicht möglich

Sensor Y

Sensor X

-180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180

Signal


2sin

2cos

0

0

YY

XX

27



1a

1c

1b

1d

Wheatstone-Brücke 1

Vcc

GND

R1aR1a R1b

R1dR1c

V-V+

Vcc

GND

R1aR1a R1b

R1dR1c

V-V+

Chip-Abmessungen:ca. 1,5mm x 1,5mm

Layout-Foto eines ausgeführten Sensors



Grundidee der Auswertung:

• SIN und COS bilden ein orthogonales Funktionenpaar

Vorteil

• Keine Amplitudenabhängigkeit der Auswertung

Voraussetzung Fehlerfreiheit

• Amplitudengleichlauf

• Offsetfreiheit

• Kein Phasenfehler

Sensor X

Sensor Y

2

Y()

X()

X

Yarctan

2

1

28


Winkelmessung mit magnetischen Sensoren, Beispiel AMR-Sensor

• Mindestens 3 beliebige Messwertepaare

• Mittelsenkrechte (s12, s23) der Verbindungslinien schneiden sich im Kreismittelpunkt O

• Koordinaten des Schnittpunktes O sind identisch mit dem unbekannten Offsets

• Offset-Abgleich erfordert nur die Auswertung des Vorzeichens des aktuellenOffsets


Winkelmessung mit magnetischen Sensoren

SignalauswertungSensor

Sinus-Kanal

Kosinus-Kanal

Signal x

Signal y

Algorith.

Berechnung

des

aktuellen

Offsets

ADC1

Max

Min

-

Set (t=0)

Korrigierter x-Wert

+/-1

ADC2

Max

Min

-

Set (t=0)

Korrigierter y-Wert

+/-1

x

y NormaleSignal-

auswertung

Winkel-

messwert

Offset x

Offset y

SignalauswertungSensor

Sinus-Kanal

Kosinus-Kanal

Signal x

Signal y

Algorith.

Berechnung

des

aktuellen

Offsets

ADC1

Max

Min

-

Set (t=0)

Korrigierter x-Wert

+/-1

ADC2

Max

Min

-

Set (t=0)

Korrigierter y-Wert

+/-1

x

y NormaleSignal-

auswertung

Winkel-

messwert

Offset x

Offset y

29



Absolute Genauigkeit Besser 1° (- 40°C ... 150° C)

Temperaturbereich - 60°C ... 175°C

Auflösung nahezu unbegrenzt (analoges Verfahren)

Messbereich 0 ... 180 (zwei Sensoren)

1

Messtechnik

15 Durchflussmessung



Durchflussmessung

Man unterscheidet grundsätzlich

• Massendurchfluss (Massendurchflussmesser)

• Volumendurchfluss (Volumendurchflussmesser)

• Zusammenhang zwischen beiden Verfahren berechenbar gemäß

: Dichte Medium, abhängig von Druck, Temperatur

• Gesamtvolumen:

m V

m

mq

t

V

Vq

t

VV q dt

2


Rohrströmungen

Laminare Strömung:

0v bei 1r

R

Turbulente Strömung:

0v bei 1r

R

Betrachtung im folgendenLaminare Strömung

r

R

v

-1

laminare Strömung(langsame Strömung)

turbulente Strömung(schnelle Strömung)

10

rR

r

R

Rohr

• Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung hängt vom Medium (Reynoldszahl) ab

• ab einer Grenzgeschwindigkeit v wird jede Strömung turbulent


Übersicht über die Messverfahren

3


Einschub Volumenzähler, Drehkolben-Gaszähler

• Zur Messung von Gasen

• Kolben sind mechanisch über Getriebe gekoppelt

• Kolben berühren sich nicht

• Pro Umdrehung Förderung vier Teilvolumina

• Zählung der Kolbenumdrehungen

• Spaltmaße 0,05 mm – 0,3 mm

• Drehgeschwindigkeit bis 2000 U/min

• Nachteil: Spaltverluste führen zu Ungenauigkeiten


Einschub Volumenzähler, Ovalradzähler

• Messung inkompressibler Flüssigkeiten

• Drehkolben ebenfalls verzahnt

• Kolben werden durch Druckdifferenz zwischen Ein-/Ausgang angetrieben

• Erzeugt keine Druckschwankungen wie Gaszähler

4


Wirkdruckverfahren

q DV1

A1 A2

V2

Bernoulli-Gleichung:

2

potentielle Druckenergie statische Druckenergiekinetische Energie

1.

2mgh p V mv const


Wirkdruckverfahren

2 21 1 2 2

1 1

2 2p v p v m

V spezifische Dichte des

Mediums

Horizontal angeordneten Rohr: 1 2h h

Kontinuitätsgesetz:

1 1 2 2q A v A v mit A: Strömungsquerschnittv: mittlere Geschwindigkeit

2 1

1 2

A vn

A v

5


Wirkdruckverfahren

Hiermit folgt aus

Nächster Schritt, nach v1 auflösen…..

22 11 2

1 1,

2 2

vv p

n 2 1p p p

2 21 2 1 2

1 1,

2 2v p p v

2 21 1 2 2

1 1

2 2p v p v

12

vv

nmit:


Wirkdruckverfahren

• Messung des Volumendurchflusses auf eine Differenzdruckmessung zurückgeführt

22 11 2

21 2

1

2

11 1 1 2

2

2

1 21

2

11

2 2

1 11

vpv

n

pv

n

pv

n

A np pq A v A

nn

p1p2

q

6


Wirkdruckverfahren im Film


Staudruckverfahren im Film

7


Staudruckverfahren

Bestimmung der Kraft F, die auf eine Stauscheibe wirkt

Der Druck Stp auf die Stauscheibe setzt sich zusammen aus dem statischen Druckabfall

1 2p p und dem kinetischen Druck 21

1

2v .

v 1

A 1 A 2

v 2 p 1

p 2 F

Stauscheibe wirkt wie eine Einschnürung

A 2

A 1 - A 2


Staudruckverfahren

2 21 2 1 2

1 1

2 2Stp p p v v

21 1

1

2Vp p v

2Rp p

Vorderseite Stauscheibe:

Rückseite Stauscheibe:

Mit dem Öffnungsverhältnis:

1 2 1

1 2

A A vn

A v

folgt aus der Kontinuitätsgleichung

1 1 1 2 12 Stp

q A v A n v A n

8


Staudruckverfahren

2StF p A

1 21

2 2

2 2A AF Fq A n

A A

q durch Kraftmessung bestimmbar

Die Volumendurchflussmessung ist daher auf eine Kraftmessung zurückgeführt.


Magnetisch induktive Durchflussmessung

• Speisespannung erzeugt ein Magnetfeld B.

• Strömendes Medium transportiert Ionen der Ladungsmenge q(quasi stromdurchflossener Leiter).

• Senkrecht zur Strömungsrichtung und zum Magnetfeld wird eine der Strömungsgeschwindigkeit proportionale Spannung induziert

• Voraussetzung: Flüssigkeiten müssen elektrisch leitfähig sein (min 1 µS/cm)

q

B

Uspeise

Uind

9



q

B

Uspeise

Uind

ind

d d B A d A d sU B B D B D v

dt dt dt dt

mit: D: Rohrdurchmesser ds: Wegelement in Richtung der Rohrströmung A: Wirksame Fläche unter den Elektroden



Da mit folgt für den Volumendurchsatz

Leitfähigkeit des Mediums spielt für die induzierte Spannung selbst keine Rolle, aber für den Innenwiderstand der gebildeten Quelle.

Vorteile

• linearer Zusammenhang

• kein Druckverlust durch Einschnürung (Stauscheibe)

2 2

4 4 4ind

ind

UD D Dq v U

B D B

10



Nachteile

• Signal sehr gering

• System bildet Quelle mit sehr hochohmigen Innenwiderstand => hochohmige Weiterverarbeitung notwendig

• Potential der Flüssigkeit nicht bekannt => potentialfreie Weiterverarbeitung/Verstärkung notwendig

Beispiel Quellenwiderstand

• Spezifische Leitfähigkeit

• Elektrodenfläche

• Rohrdurchmesser

=>

10 μS/cm1A 2cm

100D cm

110innen

DR

A M


Magnetisch Induktives Verfahren im Film

11


Ultraschall-Durchflussmessung

v

l

S2

S1

E1

E2

v

cosV

Rückkopplung „Sing-Around-Verfahren“

1

2

cos

cos

c c v

c c v

Effektive Schallgeschwindigkeitenund damit Signallaufzeiten

1

2

cos

cos

lt

c v

lt

c v

Effektive Signallaufzeiten


Ultraschall-Durchflussmessung

v

l

S2

S1

E1

E2

v

cosV

Rückkopplung „Sing-Around-Verfahren“

Bei direkter Rückkopplung ergeben sich folgende Frequenzen, die messbar sind.

11

22

1 cos

1 cos

c vf

t l

c vf

t l

2 11

2 cosf f vl

1 2 1 22 1

2f f c c l f f

l

2

4

Dq v

12


Ultraschallmessung im Film


Coriolis Massendurchflussmessung

Entstehung der Corioliskraft, Abhängigkeit vom Bezugssystem

m v

Außenstehender Beobachter

m

FC

Ein mitbewegter Beobachter (auf Scheibe)

sieht das Masseteil auf einer Kreisbahn fliegen

2CF m v

• Für den mitbewegten Beobachter muss eine Corioliskraft wirken

• Sie berechnet sich zu

13


A

A,

B,

B

Ev

v

a l

r r

r,

Fe

Fc

Fc

mS1

2S

Funktionsprinzip der Coriolis-Durchflussmessung

• Das Rohr wird um die Achse A-A‘ zu Schwingungen angeregt

• Eintretendes Masseteilchen bewegt sich radial mit v von der Bezugsachse weg.

• Es gelangt wegen der Rohrschwingung auf eine Kreisbahn mit größerem Radius.


A

A,

B,

B

Ev

v

a l

r r

r,

Fe

Fc

Fc

mS1

2S

Funktionsprinzip der Coriolis-Durchflussmessung

• Dafür muss eine Beschleunigungskraft auf das Masseteilchen wirken, die den Zuwachs an lateraler Geschwindigkeit erzeugt.

• Diese Kraft tritt als Reaktionskraft auch am Rohr auf.

• Durch die Reaktionskräfte am Rohr entsteht eine Torsionsschwingung, deren Amplitude ein Maß für den Massendurchfluss ist.

14


Visualisierung der Torsionsschwingung am Rohr


Coriolis Messverfahren im Film

15


A

A,

B,

B

Ev

v

a l

r r

r,

Fe

Fc

Fc

mS1

2S

Vereinfachte Theorie zur der Coriolis-Durchflussmessung

Schwingung um A-A‘ Achse (Dämpfung 0) Sinusanregung, Rohrlänge l

IN: Trägheitsmoment Lösungsansatz DGLN: NickmomentKN: Federkonstante

N NI K N 0 0sin sinlN l F t N t

0 sin t


A

A,

B,

B

Ev

v

a l

r r

r,

Fe

Fc

Fc

mS1

2S


Lösungsansatz DGL Typische Rohrwerte

Mit Über Resonanzfrequenz fN Dichtebestimmbar, da

0 0sin sinlN l F t N t

0 sin t

00 2

2

,

1

NN

N

N

N

N K

IK

N NI K N

Schwingung A-A‘

0 60.....1000 m

80....1100 HzNf

NI m

16


A

A,

B,

B

Ev

v

a l

r r

r,

Fe

Fc

Fc

mS1

2S


Schwingung um B-B‘ Achse (Dämpfung 0) Bestimmung Torsionsmoment

IT: Rot. Trägheitsmoment hier: T: TorsionsmomentKT: Federkonstante für Torsion Für infinitesimales Masseteil

T TI K T 2CF m v

,v

2Cd F d m v

d m A d r


A

A,

B,

B

Ev

v

a l

r r

r,

Fe

Fc

Fc

mS1

2S


Näherungsweiser Wert für das Torsionsmoment (keine krummlinige Integration)

Berücksichtigung durch Korrekturfaktor K möglich

2Cd F d m v

d m A d r

0 0

2 2 2

l l

T a A v dr a A v dr a A v l

2 ,m mT K a l q q A v

Berechnung Torsionsmoment• Kräfte d Fc gegensinnig• Rohrabstand a

17


A

A,

B,

B

Ev

v

a l

r r

r,

Fe

Fc

Fc

mS1

2S


Lösung der DGL für die Torsionsschwingung (keine Dämpfung) mit dem Ansatz Typ. Werte am Sensor

2 ,m mT K a l q q A v

T TI K T

0

0

00 2

2

cos

cos

2, , in Phase mit

1

m TT

T

T

T

t

t

a l K q K

IK

0 1....10


A

A,

B,

B

Ev

v

a l

r r

r,

Fe

Fc

Fc

mS1

2S


Für kleine Torsionsschwingungen (Maximalwerte)

• Geschwindigkeit Messrohrschleife am Sensorort:

• Differenz in der Auslenkung (durch Torsion) ist:

Zeitlicher Versatz im Nulldurchgang

Messergebnis bei Resonanz :

0v l

0 a

a

0

0

a

v l

2

2

2

1

2

NT

Tm

K

q CK a

N

18


a

A

A,

B,

B

Ev

v

a l

r r

r,

Fe

Fc

Fc

mS1

2S


Anforderungen Zeitmessung der Sensoren S1 und S2

• Max. Zeitdifferenz typ. 120 s

• Notwendige Auflösung typ. 10 ns

Übliche Sensorprinzipien

• Elektrodynamische Sensoren, Induktion(Spule am Rohr + außen angebrachter Permanentmagnet)

• Zusätzlich Temperatursensoren (Kompensation abh. E-Modul Rohr, etc.)


a

A

A,

B,

B

Ev

v

a l

r r

r,

Fe

Fc

Fc

mS1

2S


Rohrantrieb

• Elektromagnetische Aktuatoren

• Regelung der Rohrschwingung auf Resonanz

• Hoher Effekt

• Möglichkeit der unabhängigen Dichtebestimmung des Mediums

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