Formale Semantik in Prolog -...

Formale Semantik in PrologZürich 2010 edition

Thomas Hanneforth

Themenübersicht

Wiederholung: Grundprinzipien der formalen Semantik

Semantikkonstruktion: Frage- und Relativsätze

Quantorenskopus: Cooper-Storage

Modelltheorie in Prolog

Ablaufplan für diese Woche

Tag

Mo Kurze Einführung in Prolog:Termunifikation und DCGsGrundprinzipien der formalen SemantikSemantikkonstruktion in Prolog I

Di Semantikkonstruktion in Prolog II

Mi Semantikkonstruktion in Prolog III

Do Quantorenskopus: Cooper Storage

Fr Modelltheorie in Prolog

Semantikkonstruktion

Eine kompositionale Semantik für eine natürliche wie formale Sprache erfordert, dass jeder syntaktischen Konstituente ein semantischer Wert zugewiesen wird.

Da die Prädikatenlogik nur ganzen Sätzen eine Bedeutung zuweisen kann, braucht man den Begriff der Funktion, um festzuhalten, dass einigen Konstituenten noch Informationen fehlen.

Eine Funktion ist eine mathematische Entität, die Argumente nimmt und ein Resultat liefert.

Das -Kalkül ist nun eine Methode, um Funktionen samt ihren fehlenden Argumenten syntaktisch zu notieren.

Semantikkonstruktion

Beispiele:

x x2 ist eine Funktion von reellen Zahlen in die reellen Zahlen, technisch R R.

x Studentin(x) ist eine Funktion von Individuen nach Wahrheitswerten, technisch e t.

xy kennt(x,y) ist eine zweistellige Funktion von Individuen nach Wahrheitswerten ( e e t ), oder anders ausgedrückt e (e t).

Semantikkonstruktion: Übersetzung syntaktischer Ausdrücke

Syntaktische Kategorie Ausdruck der PL1

Nomen (Gattungsnamen)Haus

1-stellige Prädikatex Haus(x)

Relationale NomenSohn

2-stellige Prädikatexy Sohn(x,y)

Verben mit n Argumentenschlafenkennengeben

n-stellige Prädikatex schlafen(x)xy kennen(x,y)xyz geben(x,y,z)

Präpositionenaufzwischen

2- oder 3-stellige Prädikatexy auf(x,y)xyz zwischen(x,y,z)

Schnittmengenbildende Adjektive rot

1-stellige Prädikatex rot(x)

Semantikkonstruktion: Übersetzung syntaktischer Ausdrücke

Aus dem Rahmen der Prädikatenlogik 1. Stufe fallen:

Klasse sprachlicher Ausdrücke Beispiel

Prädikatmodifikatoren angeblich

Verben mit propositionalen Argumenten

glauben

Verben mit intensionalenArgumenten

suchen

Quantifikation über Prädikate die Eigenschaften von Napoleon

Semantikkonstruktion: Übersetzung

Die Konstruktion einer semantischen Repräsentation für eine syntaktische Struktur kann als Übersetzungsvorgangaufgefasst werden.

Die einfachste Technik der Semantikkonstruktion besteht darin, mit jeden syntaktischen Regel eine semantische Regel zu verknüpfen.

Diese Technik nennt man auch syntaxgerichtete Übersetzung (engl. rule-by-rule-semantics).

Jede syntaktische Teilstruktur besitzt dabei ein semantisches Denotat.

Die Übersetzungsfunktion ist ein Homomorphismus.

Semantikkonstruktion: Homomorphismus

Gegeben zwei algebraische Strukturen (A,{fi}) und (B, {gi}) [A und B sind Mengen, {fi} und {gi} denotierenMengen von i-stelligen Funktionen]. Ein Homomorphismus h: A B ist eine Funktion:

h(fk(x1 … xk)) = gk(h(x1) … h(xk))

Für i = 2 kann das vereinfacht dargestellt werden als:h(x y) = h(x) h(y)

Homomorphismen formalisieren das Kompositionalitätsprinzip.

Semantikkonstruktion:Syntaxgerichtete Übersetzung

Syntaxregel Übersetzungsfunktion T

S NP VP T(S) = T(VP) (T(NP))

VP V NP T(VP) = T(V) (T(NP))

V liebt T(liebt) = xy liebt(y,x)

NP Hans T(Hans) = Hans’

NP Maria T(Maria) = Maria’

Beispiel:

Die Bedeutung von S und VP werden durch Funktionalapplikation bestimmt.


Eine semantische Repräsentation für einen Satz kann dann bottom-up konstruiert werden.

Beispiel: Semantische Repräsentation von „Hans liebt Maria“

S

NP VP

V NP

y liebt(y,Maria')

Maria' yx liebt(y,x)

Hans'

liebt(Hans',Maria')


Nicht immer korrespondieren syntaktische und semantische Strukturen auf so direkte Weise:

Beispiel:Übersetzung von „Jede Studentin kennt einen Dozenten“

" Studentin kenntx $y (Dozent (x) (y) ( x , y ))

jede

einen


Um die Semantik von Quantoren wie jede oder einekompositionell angeben zu können, ist es nötig, Elemente von höherwertigen Logiken in den Repräsentationsformalismus einzuführen.

Natürlichsprachliche Quantoren wie jede(r), alle oder ein(e)werden im Rahmen der Montague-Grammatik folgendermaßen übersetzt:

Die natürlichsprachlichen Quantoren werden dabei auf die beiden Standardquantoren der Prädikatenlogik, $ und "abgebildet.

jede/r PQ ["x P(x) Q(x)]

ein/e PQ [$x P(x) Q(x)]

Semantikkonstruktion: Nominalphrasen

Die bisherige Annahme, Nominalphrasen seien vom Typ e, denotierten also Individuen, kann nun nicht mehr aufrechterhalten werden.

Vielmehr haben Nominalphrasen nun den semantischen (Funktions-) Typ (e → t) → t.

Beispiel: NP „Jede Studentin“

T(Jede)(T(Studentin)) =FA

PQ ["x (P(x) Q(x))](y studentin(y)) =-Konv

Q ["x (y studentin(y)(x) Q(x))] =-Konv

Q ["x (studentin(x) Q(x))]

Semantikkonstruktion: Determinantien

Determinantien (jede, ein, die meisten, …) sind also Funktionen, die nominale und verbale Denonate miteinander in Beziehung setzen.

Ihr semantischer Funktionstyp ist demnach(e → t) → ((e → t) → t)

Beispiel:

P Q ["x P(x) Q(x)]

Beitrag der nominalen Komponente (vom Typ e → t),

z.B. y studentin(y)

Beitrag der verbalen Komponente (vom Typ e → t),

z.B. z kennt(z,hans)

Funktionaler Beitrag von „jede“

Semantikkonstruktion in Prolog

In Prolog können komplexe Terme zur Repräsentation von Ausdrücken des –Kalküls verwendet werden.

Logische Variablen können mit Prolog-Variablen übersetzt werden (dies hat jedoch Vor- und Nachteile).

BeispielDer Ausdruck xy liebt(x,y) kann wie folgt übersetzt werden:

lambda(X,lambda(Y,liebt(X,Y)))


Zur besseren Lesbarkeit verwendet man für lambda/2 den in Prolog bereits definierten Infix-Funktor ^.

BeispielDer Ausdruck xy liebt(x,y) in Prolog-Infix-Notation:

X^Y^liebt(X,Y)

^ ist rechtsassoziativ, d.h. der obige Ausdruck ist implizit als

X^(Y^liebt(X,Y))

geklammert.


Für die Funktionalapplikation (Anwendung einer Funktion auf ein Argument) definiert man ein dreistelliges Prädikat

fa(Funktion,Argument,Resultat)

Beispiel:Anwendung der Funktion X^Y^liebt(Y,X) auf das Argument maria:

?- fa(X^Y^liebt(X,Y),maria,R).

R = Y^liebt(maria,Y)

fa/3 ist dabei wie folgt definiert:

fa(Arg^Func,Arg,Func).


Das in Prolog implementierte -Kalkül kann nun mit Phrasenstrukturregeln verknüpft werden, um die logische Form einer syntaktischen Struktur zu konstruieren.

Mit den Nichtterminalsymbolen einer syntaktischen Regel werden semantische Repräsentationen verknüpft, die mittels Funktionalapplikation aufeinander bezogen werden.


Beispiel: Grammatikfragment

Phrasenstrukturregeln

s(SSem) --> np(NPSem), vp(VPSem), {fa(VPSem,NPSem,SSem)}.vp(VPSem) --> v(VSem), np(NPSem), {fa(VSem,NPSem,VPSem)}.vp(VPSem) --> iv(VPSem).np(NPSem) --> eigenname(NPSem).

Lexikon

tv(X^Y^kennt(Y,X)) --> [kennt]. iv(X^raucht(X)) --> [raucht]. eigenname(maria) --> [maria].eigenname(hans) --> [hans].

Funktionalapplikation

fa(A^F,A,F).


Da fa/3 deterministisch ist, kann seine Wirkung im Voraus berechnet werden (sog. partial execution, unfolding) :

Beispiel: Grammatikfragment

Phrasenstrukturregeln

s(SSem) --> np(NPSem), vp(NPSem^SSem).vp(VPSem) --> v(NPSem^VPSem), np(NPSem).vp(VPSem) --> iv(VPSem).np(NPSem) --> eigenname(NPSem).

Lexikon

tv(X^Y^kennt(Y,X)) --> [kennt]. iv(X^raucht(X)) --> [raucht]. eigenname(maria) --> [maria].eigenname(hans) --> [hans].


Repräsentation weiterer semantischer Kategorien

Ausdruck PL1-Repräsentation Prolog-Repräsentation

Jede/r PQ["x P(x) Q(x)]

(X^P)^(X^Q)^every(X,P=>Q)P^Q^every(X,P(X) => Q(X))

Ein/e PQ [$x P(x) Q(x)]

(X^P)^(X^Q)^some(X,P & Q)

Maria P P(maria) (maria^P)^P


Beispiel:np(NP) --> det(N^NP), n(N).

Beispiel: Konstruktion der SF für „jede Studentin“:

det((X^P)^(X^Q)^every(X,P => Q)) --> [jede].n(Z^studentin(Z)) --> [studentin].

?- phrase(np(Sem),[jede,studentin]). Sem = (X^Q)^every(X,studentin(X) => Q)


Beispiel: DCG mit Semantikkomponente

Phrasenstruktur

s(S) --> np(VP^S), vp(VP).np(NP) --> det(N^NP), n(N). np(NP) --> det(R^NP), n(N), rel(N^R).np((N^P)^P) --> eigenname(N).vp(X^P) --> tv(X^IV), np(IV^P). % V2vp(X^P) --> np(IV^P), tv(X^IV). % V-finvp(IV) --> iv(IV).rel((X^S1)^(X^(S1 & S2))) --> relpron, vp(X^S2).



Lexikalische Einsetzungsregeln

det(LF) --> [D], {det(D,LF)}.n(LF) --> [N], {n(N,LF)}.eigenname(LF) --> [N], {eigenname(N,LF)}.iv(LF) --> [V], {iv(V,LF)}.tv(LF) --> [V], {tv(V,LF)}.relpron --> [R], {relpro(R)}.



Lexikon

det(jede, (X^P)^(X^Q)^every(X,P => Q)).det(einen, (X^P)^(X^Q)^some(X,P & Q)).n(studentin, X^studentin(X)).n(dozenten, X^dozent(X)).eigenname(maria, maria).iv(schläft, X^schläft(X)).tv(kennt, X^Y^kennt(X,Y)).relpro(der).relpro(die).relpro(das).


Beispiel: Maria schläft

S

NP VP

Eigenname

Maria

IV

schläftmaria

(maria^P)^P

X^schläft(X)

X^schläft(X)

schläft(maria)


Beispiel: Jede Studentin kennt einen Dozenten:

S

NP

VP

Art N

NP

Art NV

X^Y^kennt(X,Y)(X^P)^(X^Q)^every(X,P=>Q) (X^P)^(X^Q)^some(X,P&Q) Y^doz(Y)X^stud(X)

jede Studentin kennt einen Dozenten

(Y^Q)^some(Y,dozent(Y) & Q)(X^Q)^every(X,studentin(X) => Q)

X^some(Y,dozent(Y) & kennt(X,Y))

every(X,studentin(X) => some(Y,dozent(Y) & kennt(X,Y)))


Beispiel: Logische Form von NPen mit restriktiven Relativsätzen„jeder Dozent, der eine Studentin kennt“:

Phrase Übersetzung

jeder (X^P)^(X^Q)^every(X,P=>Q)

Dozent X^dozent(X)

eine Studentin (X^Q)^some(X,studentin(X) & Q)

kennt X^Y^kennt(X,Y)

eine Studentin kennt X^some(Y,studentin(Y) & kennt(X,Y))

der eine Studentin kennt

(X^S1)^(X^(S1 & some(Y,studentin(Y) & kennt(X,Y))))

jeder Dozent, der eine Studentin kennt

(X^Q)^every(X,(dozent(X) & some(Y,studentin(Y) & kennt(X,Y))) => Q)

Semantikkonstruktion in Prolog: Konstituenten mit bewegten Elementen

Viele Grammatikformalismen verwenden spezielle Merkmale (SLASH, NONLOC), um Informationen über bewegte Elemente im Strukturbaum zu verteilen.

In den Definite-Clause-Grammatiken von Prolog kann das beispielsweise durch eine weitere Argumentstelle erreicht werden.

Beispiel: Grammatik für Fragesätzes(nogap) --> w_pron, s(gap).s(nogap) --> np(nogap), vp(nogap).s(gap) --> np(gap), vp(nogap).s(gap) --> vp(gap), np(nogap).vp(GapInfo) --> tv, np(GapInfo).vp(nogap) --> iv.

np(gap) --> []. % Einführung von Spuren


Beispiel: Strukturbaum für „Wen liebt Maria?“

s(nogap)

s(gap)

np(nogap)

np(gap)

Weni liebt Maria

tv

ti

w_pron

vp(gap)


Diese Technik führt jedoch zur unerwünschten Multiplikation der Phrasenstruktur-Regeln.

Eine Alternative stellt das sog. Gap-Threading dar. Dabei erhält jede Konstituente zwei Listen: In und Out, die die zu findenden Lücken enthalten.


Beispiel: Grammatik für Fragesätze mit Gap-Threading

s(In-Out --> w_pron(Case), s([gap(Case)|In]-Out).s(In-Out) --> np(nom,In-IO), vp(IO-Out).s(In-Out) --> vp(In-IO), np(nom,IO-Out).vp(In-Out) --> tv, np(acc,In-Out).vp(In-In) --> iv.np(C,In-In) --> eigenname(C,N).np(C,[gap(C)|R]-R) --> []. % Einf. von Spuren

Lexikon

eigenname(C) --> [daisy], { member(C,[nom,acc,dat]) }.eigenname(C) --> [donald], { member(C,[nom,acc,dat]) }.w_pron(nom) --> [wer].w_pron(acc) --> [wen].tv --> [kennt].iv --> [rennt].


Beispiel: Strukturbaum für „Wen liebt Maria?“

s([]-[])

s([gap(acc)]-[])

np(nom,[]-[])

np(acc, [gap(acc)]-[])

Weni liebt Maria

tv

ti

w_pron(acc)

vp([gap(acc)]-[])

eigenname(nom)

Instantiierung

Realisation

Perkolation


Bei bewegten Konstituenten ist die Konstruktion der logischen Form etwas komplexer, da das bewegte Element und die Spur auch semantisch koindiziert sein müssen.

Beispiel:

Die Nominalphrase

[ein Dozent]i, den jede Studentin ti kennt

wird übersetzt in

(X^Q)^some(X,(dozent(X) & every(Y,studentin(Y),kennt(Y,X))),Q)

semantische Koindizierung


Die semantische Identität der bewegten Konstituente muss daher an die Spur weitergereicht werden.

Beispiel:

DCG-Regeln für Nominalphrasen mit Objektsrelativsätzen

np(NP) --> det(N^R), n(N), rel(N^R).rel((X^S1)^(X^(S1&S2))) --> relpron, s(S2,gap(np,X)).

Weiterreichen der semantischen Identität

Spuren werden durch folgende DCG-Regel erzeugt:

np((X^P)^P, gap(np,X)) --> [].

Die „heruntergereichte“ Variable wird zur -Abstraktion verwendet, d.h. die Spur verhält sich wie ein Pronomen.

Semantikkonstruktion in Prolog: Fragesätze

Für die Konstruktion einer semantischen Form für Fragesätze müssen verschiedene Fragetypen unterschieden werden:

Entscheidungsfragen

Satzgliedfragen

Mehrfachfragen


Satzgliedfragen, d.h. Fragen mit einem bewegten Element können als einstellige Prädikate aufgefasst werden:

Frage Übersetzung

Wer kennt Donald?(Subjektsfrage)

X^(person(X) & kennt(X,donald))

Wen kennt Donald?(Objektsfrage)

X^(person(X) & kennt(donald,X))

Welcher Dozent kennt Daisy?

X^(dozent(X) & kennt(X,daisy))

Mit was sieht Donald Daisy?

X^(ding(X) & sieht(donald,daisy,X))


Fragepronomen und W-Determinantien haben dann in etwa folgende semantische Repräsentationen:

W-Wort -PL1 Prolog

Wer P x [person(x) P(x)] (X^P)^(X^(person(X) & P))

Was P x [ding(x) P(x)] (X^P)^(X^(ding(X) & P))

Welche P Q x [P(x) Q(x)] (X^P)^(X^Q)^(X^(P & Q))


Beispiel:

„Welche Studentin“ wird übersetzt zu:

(X^Q)^(X^(studentin(X) & Q))

„Welche Studentin raucht“ wird somit zu:

X^(studentin(X) & raucht(X))

Dies notiert die Schnittmenge der Studentinnen mit den Rauchenden.


Hieraus ergibt sich eine DCG-Regel für einfache Satzgliedfragen:

question(QSem) -->

wh_phrase(WFeat,(X^S)^QSem),

s([gap(np,WFeat,X)]-[],S).

w_phrase(Feat,Sem) -->

np(Feat,G-G,Sem).


Dieses Verfahren, das nur eine „bewegte“ W-Phrase zulässt, kann auch bei Mehrfachfragen wie „Wer kennt wen?“ angewendet werden, da eine W-Phrase „in situ“ verbleibt.

Beispiel:

?- phrase(question(Sem),[wer,kennt,donald]).Sem = X^(person(X) & kennt(X,donald))

?- phrase(question(Sem),[wen,kennt,donald]).Sem = X^(person(X) & kennt(donald,X))

?- phrase(question(Sem),[wer,kennt,wen]).Sem = X^(person(X) & (Y^(person(Y) & kennt(X,Y)))

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