Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik
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FormelsammlungGrundlagen der Elektrotechnik
2
Inhaltsverzeichnis
Gleichstromtechnik1 Elektrische Grundgrößen....................................17
1.1 Elektizitätsmenge/Ladung...................................171.2 Stromdichte........................................................171.3 Leitwert..............................................................18
2 Ohmsches Gesetz....................................................192.1 Allgemein............................................................192.2 Kurzschlussstrom................................................20
3 Der Widerstand......................................................213.1 Schaltung von Widerständen..............................21
3.1.1 Serienschaltung...............................................213.1.2 Parallelschaltung.............................................22
3.1.2.1 Bei 2 Widerstände...................................223.1.2.2 Bei mehr als 2 Widerstände....................22
3.2 Der Leiterwiderstand..........................................233.2.1 Spezifische Widerstand...................................233.2.2 Spezifische Leitfähigkeit..................................23
3.2.2.1.1 Leitfähigkeitswerte..........................243.3 Temperaturabhägingkeit.....................................25
3.3.1 Warmwiderstand............................................253.3.2 Berechnung mit Tau........................................253.3.3 Temperaturdifferenz.......................................26
4 Kirchhoffschen Gesetze........................................27
3
4.1 Knotenregel........................................................274.2 Maschenregel.....................................................28
5 Spannungs- und Stromteilerregeln..................295.1 Spannungsteilerregel..........................................295.2 Stromteilerregel..................................................30
5.2.1 1.) Stromteilerregel.........................................305.2.2 2.) Stromteilerregel.........................................305.2.3 3.) Stromteilerregel.........................................30
6 Spannungsteiler......................................................336.1 Unbelasteter Spannungsteiler.............................336.2 Belasteter Spannungsteiler.................................34
7 MB – Erweiterung für Str. und Spg....................357.1 MB – Erweiterung beim Amperemeter................357.2 MB – Erweiterung beim Voltmeter......................36
8 Ersatzschaltbilder..................................................378.1 Reduzierte Ersatzschaltbilder..............................378.2 Stern und Dreieck-Schaltung...............................38
8.2.1 Dreieck – Stern – Transformation...................388.2.2 Stern – Dreieck – Transformation...................38
9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad................419.1 Arbeit und Energie..............................................41
9.1.1 Elektrische Arbeit............................................419.1.2 Mechanische Arbeit........................................42
9.1.2.1 Gewicht...................................................429.1.2.1.1 Erdbeschleunigung..........................42
9.1.2.2 Kraft.........................................................43
4
9.1.3 Wärmeenergie................................................439.1.3.1 spezifische Wärmekapazität....................43
9.1.3.1.1 H2O..................................................439.1.4 Gleichwertigkeit..............................................44
9.2 Leistung..............................................................449.2.1 Allgemein........................................................449.2.2 Elektrische Leistung........................................44
9.3 Wirkungsgrad......................................................459.3.1 Gesamt Wikrungsgrad.....................................45
Wechselstrom10 Allgemeine Parameter.......................................49
10.1 Frequez.............................................................4910.2 Kreisfrequenz....................................................4910.3 Momentanwert bei Sinuswelle..........................5010.4 Linearer Mittelwert...........................................5010.5 Gleichrichtwert.................................................51
10.5.1 Vollweggleichrichtung...................................5110.5.2 Einweggleichrichtung....................................5110.5.3 Gleichrichtwert einer Sinuswelle..................5210.5.4 Gleichrichtwert eines Dreiecksignals............5210.5.5 Gleichrichtwert eines Rechtecksignals.........52
10.6 Effektivwert......................................................5310.6.1 Effektivwert für beliebige Kurvenform.........5310.6.2 Effektivwert bei Sinuswelle...........................5310.6.3 Effektivwert bei Sinushalbwelle....................5410.6.4 Effektivwert bei Virtelsinuswelle..................5410.6.5 Effektivwert bei Rechtecksignal....................54
10.6.5.1 Mit Nullstellen.......................................54
5
10.6.5.2 Ohne Nullstellen....................................5510.6.6 Effektivwert eines Dreiecksignals.................5510.6.7 Effektivwert einer Mischgröße......................56
10.7 Scheitelfaktor – Crestfaktor...............................5610.8 Formfaktor........................................................56
11 R, L und C im Wechselstromkreis...................5911.1 Rein ohm'scher Widerstand im Wechselstromkreis...................................................59
11.1.1 Spannung......................................................5911.1.2 Strom.............................................................60
11.2 Reine Induktivität im Wechselstromkreis..........6011.2.1 Voraussetzung...............................................6011.2.2 Spannung......................................................60
11.2.2.1 Momentanwert.....................................6011.2.2.2 Effektivwert...........................................61
11.2.3 Induktiver Blindwiderstand...........................6111.2.4 Induktiver Blindleitwert................................62
11.3 Reine Kapazität im Wechselstromkreis..............6211.3.1 Voraussetzung...............................................6211.3.2 Strom.............................................................62
11.3.2.1 Momentanwert.....................................6211.3.2.2 Spitzenwert...........................................6311.3.2.3 Effektivwert...........................................63
11.3.3 Blindwiderstand............................................6411.3.4 Blindleitwert..................................................64
11.4 Serienschaltung von R und L..............................6411.4.1 Impedanz......................................................6411.4.2 Admittanz......................................................6511.4.3 Bauteilleitwerte............................................66
11.5 Serienschaltung von R und C.............................66
6
11.5.1 Impedanz......................................................6611.5.2 Admittanz......................................................6711.5.3 Bauteilleitwerte............................................68
11.6 Serienschaltung von R, L und C..........................6811.6.1 Impedanz......................................................6811.6.2 Wirkspannung...............................................6911.6.3 Blindspannung..............................................69
11.7 Parallelschaltung von R und L............................7011.7.1 Admittanz......................................................7011.7.2 Gesamtstrom................................................70
11.8 Parallelschaltung von R und C...........................7111.8.1 Admittanz......................................................71
11.9 Parallelschaltung von R, L und C........................7211.9.1 Admittanz......................................................72
11.10 Serienschaltung beliebiger Verbraucher..........7211.10.1 Spannung....................................................7211.10.2 Impedanz....................................................7311.10.3 Serienschaltung gleicher Elemente............73
11.10.3.1 Widerstände........................................7311.10.3.2 Induktivitäten......................................7411.10.3.3 Kapazitäten..........................................74
11.11 Parallelschaltung beliebiger Verbraucher........7511.11.1 Strom...........................................................7511.11.2 Admittanz....................................................7511.11.3 Parallelschaltung gleicher Elemente...........76
11.11.3.1 Widerstände........................................7611.11.3.2 Induktivitäten......................................7711.11.3.3 Kapazitäten..........................................77
12 Leistungen im Wechselstromkreis................7912.1 Wirkleistung bei ohm'schen Widerstand...........79
7
12.2 Blindleistung.....................................................8012.3 Scheinleistung...................................................8112.4 Leistungsfaktor.................................................81
13 Schwingkreise.......................................................8313.1 Serienschwingkreis...........................................8313.2 Parallelschwingkreis..........................................8413.3 Nomierung von Schwingkreisgrößen.................85
13.3.1 Kennfrequenz des Resonanzkreises..............8513.3.1.1 nomierte Frequenz................................85
13.3.2 Kennwiderstand des Resonanzkreises..........8613.3.3 Verstimmung.................................................8613.3.4 Gütefaktor und Dämpfungsfaktor.................87
13.3.4.1 Serienschwingkreis................................8713.3.4.1.1 Gütefaktor.....................................8713.3.4.1.2 Bauteilgüte einer Spule.................89
13.3.4.2 Parallelschwingkreis..............................8913.3.4.2.1 Gütefaktor.....................................8913.3.4.2.2 Bauteilgüte eines Kondensators....90
13.3.5 Die Bandbreite..............................................9113.3.5.1 Serienschwingkreis................................9113.3.5.2 Parallelschwingkreis..............................92
13.3.6 Zusammenhang Güte, Dämpfung und Bandbreite................................................................9213.3.7 Das Bodediagramm.......................................93
13.3.7.1 Übertragungsfunktion...........................9313.3.7.2 Hochpass...............................................94
13.3.7.2.1 Übertragungsfunktion...................9413.3.7.2.2 Verstärkung....................................9413.3.7.2.3 Phasenwinkel.................................9513.3.7.2.4 Grenzfrequenz...............................95
8
13.3.7.3 Tiefpass.................................................9613.3.7.3.1 Übertragungsfunktion...................9613.3.7.3.2 Verstärkung....................................9613.3.7.3.3 Phasenwinkel.................................9713.3.7.3.4 Grenzfrequenz...............................97
Elektrisches Feld14 Grundgrößen......................................................101
14.1 Feldstärke.......................................................10114.2 Flussdichte......................................................10214.3 Permittivität....................................................10214.4 Kraft ...............................................................10314.5 Ladung ...........................................................10314.6 Kapazität ........................................................104
15 Die Kapazität......................................................10715.1 Serienschaltung...............................................10715.2 Parallelschaltung.............................................108
16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld...............................................................................109
16.1 Energieinhalt ..................................................10916.2 Kraft ...............................................................11016.3 Arbeit..............................................................11016.4 Leistung..........................................................111
17 Coulombsches Gesetz.......................................11317.1 Kraft................................................................11317.2 Elektrische Feldstärke......................................114
9
18 E und C im 2-schichtigen Dielektrikum....115
19 Kondensator an zeitabhängiger Spg...........11719.1 Stromstärke zum Zeitpunkt t...........................11719.2 Ladung............................................................118
Elektromagnetismus20 Grundgrößen......................................................121
20.1 Magnetische Feldstärke...................................12120.2 Flussdichte......................................................121
20.2.1 Permeabilität...............................................12220.3 Induktivität.....................................................12220.4 Durchflutung einer Spule.................................12320.5 Spannung........................................................12320.6 Kraftwirkung im magnetischen Feld................123
21 Induktionsgesetz...............................................12521.1 Allgemein........................................................12521.2 Induktion der Bewegung.................................126
21.2.1 Spannung....................................................12621.3 Induzierte Spannung durch zeitlich veränderliche Magnetfelder..........................................................126
21.3.1 Flussänderung Dreiecksförmig....................12621.3.1.1 Spannung............................................126
21.3.2 Flussänderung Sinusförmig.........................12721.3.2.1 Spannung............................................127
21.3.3 Selbstinduktion...........................................12721.4 Gegeninduktion - Trafoprinzip.........................129
21.4.1 Trafogesetze................................................129
10
21.4.1.1 1. Trafogesetz......................................12921.4.1.2 2. Trafogesetz......................................129
21.4.1.2.1 Übersetzungsverhältnis...............13021.4.1.3 3. Trafogesetz......................................130
22 Induktivität von Spulen..................................13122.1 Für alle Spulen mit 1 mag. Wdst. Gilt...............131
22.1.1 Magnetische Feldstärke..............................13122.1.2 Durchflutungssatz.......................................13222.1.3 Induktion.....................................................13222.1.4 Magnetische Fluss.......................................132
22.2 2. Form des Induktionsgesetz..........................13322.3 Induktivität Allgemein.....................................134
22.3.1 Magnetische Widerstand............................13522.4 Luftspule.........................................................135
22.4.1 Ringspule (Torus).........................................13522.4.1.1 Fläche..................................................13522.4.1.2 Länge...................................................13622.4.1.3 Magnetischer Widerstand...................13622.4.1.4 Induktivität..........................................136
22.4.2 Zylinderspule...............................................13722.4.2.1 Für l ≥ d................................................137
22.4.2.1.1 Fläche..........................................13722.4.2.1.2 Magnetischer Widerstand...........13722.4.2.1.3 Induktivität..................................138
22.4.2.2 Für l < 10 d...........................................13822.4.2.2.1 Fläche..........................................13822.4.2.2.2 Magnetischer Widerstand...........13922.4.2.2.3 Induktivität..................................139
22.5 Eisendrossel ohne Luftspalt.............................14022.5.1 Magnetischer Widerstand..........................140
11
22.5.2 Induktivität..................................................14022.6 Eisendrossel mit Luftspalt...............................141
22.6.1 Induktion.....................................................14122.6.1.1 In Sättigung bei Trafo Perm N2...........14122.6.1.2 Nicht in Sättigung bei Trafo Perm N2. .142
22.6.2 Induktivität..................................................14222.7 Spule an Wechselspannung.............................143
22.7.1 Spannung....................................................14322.7.2 Strom...........................................................143
23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen...............................145
23.1 Kopplungsgrad und Streufaktor.......................14523.1.1 Kopplungsgrad............................................14523.1.2 Streufaktor..................................................14623.1.3 Übersetzungsverhältnis..............................146
23.2 Gegeninduktivität...........................................14723.2.1 Gesamtstreufaktor......................................147
23.3 Kopplung von 2 in Serie geschaltete Spulen.....14723.3.1 Gleichsinnig wirkende Suplen.....................147
23.3.1.1 Für k = 100% , Ϭ = 0.............................14723.3.1.2 Für 0 < k < 1, 0 < Ϭ < 1.........................14823.3.1.3 Für k = 0, Ϭ = 1...................................148
23.3.1.3.1 Serie.............................................14823.3.1.3.2 Parallel.........................................149
23.3.2 Gegensinnig wirkende Spulen.....................149
24 Energie im magnetischen Feld......................15124.1 Energieinhalt...................................................15124.2 Energiedichte..................................................152
12
Anhang25 Konstanten..........................................................157
26 Griechisches Alphabet.....................................159
13
14
Gleichstromtechnik
15
16 1 Elektrische Grundgrößen
1 Elektrische Grundgrößen
1.1 Elektizitätsmenge/Ladung
Q= I⋅tQ............Elektrizitätsmenge/Ladung [As/C]
I..............Stromstärke [A]
t.............Zeit [s]
1.2 Stromdichte
J= IA
1 Elektrische Grundgrößen 17
d.............Leiterdurchmesser [mm]
A............Leiterquerschnitt [mm²]
I..............Stromstärke [A]
1.3 Leitwert
G= 1R
G............Leitwert [S]
R............Widerstand [Ω]
18 1 Elektrische Grundgrößen
2 Ohmsches Gesetz
2.1 Allgemein
U=R⋅IR=U
II=U
RU............Spannung [V]
R............Widerstand [Ω]
I..............Stromstärke [A]
2 Ohmsches Gesetz 19
2.2 Kurzschlussstrom
I K=U 0
RiIK ............Kurzschlusstrom [A]
U0 ..........Quellspannung [V]
Ri............Innenwiderstand [Ω]
20 2 Ohmsches Gesetz
3 Der Widerstand
3.1 Schaltung von Widerständen
3.1.1 Serienschaltung
Rges=R1RnRges.........Gesamtwiderstand [Ω]
R1...........Widerstand 1 [Ω]
Rn...........Widerstand [Ω]
3 Der Widerstand 21
3.1.2 Parallelschaltung
3.1.2.1 Bei 2 Widerstände
Rges=R1⋅R2
R1R2Rges.........Gesamtwiderstand [Ω]
R1...........Widerstand 1 [Ω]
R2...........Widerstand 2 [Ω]
3.1.2.2 Bei mehr als 2 Widerstände
1Rges
= 1R1 1
R2 1
RnRges.........Gesamtwiderstand [Ω]
R1...........Widerstand 1 [Ω]
R2...........Widerstand 2 [Ω]
Rn...........Widerstand [Ω]
22 3 Der Widerstand
3.2 Der Leiterwiderstand
3.2.1 Spezifische Widerstand
R= l⋅A
R............Widerstand des Leiters [Ω]
l..............Leiterlänge [m]
ρ.............spezifische Widerstand [Ωmm²/m]
A............Leiterquerschnitt [mm²]
3.2.2 Spezifische Leitfähigkeit
R= l⋅A
= 1
R............Widerstand des Leiters [Ω]
l..............Leiterlänge [m]
3 Der Widerstand 23
γ.............spezifische Leitfähigkeit [Sm/mm²]
A............Leiterquerschnitt [mm²]3.2.2.1.1 LeitfähigkeitswerteKupfer CU :=56 S m
mm2
Aluminium Al :=35S mmm2
24 3 Der Widerstand
3.3 Temperaturabhägingkeit
3.3.1 Warmwiderstand
RW=RK⋅1⋅T RW=RK⋅[1⋅T⋅T 2]
RW..........Warmwiderstand [Ω]
RK...........Kaltwiderstand 1 [Ω]
α............Temperaturkoeffizient [1/k]
α=α20....gilt bei 20º C
ΔΤ...........Temperaturdifferenz [1K]
3.3.2 Berechnung mit Tau
RW=RK⋅W
K
= 1−20oC
3 Der Widerstand 25
ϑW..........Warmtemperatur [K]
ϑK...........Kalttemperatur [K]
RW..........Warmwiderstand [Ω]
RK...........Kaltwiderstand 1 [Ω]
τ.............Temperaturbeiwert
3.3.3 Temperaturdifferenz
T=W−K
T=
RW
RK−1
ϑW..........Warmtemperatur [K]
ϑK...........Kalttemperatur [K]
RW..........Warmwiderstand [Ω]
RK...........Kaltwiderstand 1 [Ω]
α............Temperaturkoeffizient [1/K]
ΔΤ...........Temperaturdifferenz [1K]
26 3 Der Widerstand
4 Kirchhoffschen Gesetze
4.1 Knotenregel
Σ I=0Σ Izufl.=Σ Iabfl.
ΣI............Summe der Ströme in einem Knoten
ΣIzufl.........Summe der zufließenden Ströme
ΣIabfl.........Summe der abfließenden Ströme
4 Kirchhoffschen Gesetze 27
4.2 Maschenregel
ΣU=0ΣUVerbraucher=ΣUQuellen
ΣU..................Summe der Spannungen in einer Masche
ΣUVerbraucher......Summe der Verbraucherspannungen
ΣUQuellen..........Summe der Quellspannungen
28 4 Kirchhoffschen Gesetze
5 Spannungs- und Stromteilerregeln
5.1 Spannungsteilerregel
U i
U ges=
Ri
Rges
5 Spannungs- und Stromteilerregeln 29
5.2 Stromteilerregel
5.2.1 1.) Stromteilerregel
I i
I K=
RK
Ri=
G i
GKDie Teilströme verhalten sich so wie die Leitwerte bzw. umgekehrt zu den betreffenden Widerständen.
5.2.2 2.) Stromteilerregel
I i= I ges⋅Rges
Ri= I ges⋅
G i
GgesEin Teilstrom = dem Gesamtstrom mal den Gesamt Widerstand dividiert durch jenen Teilwiderstand durch den der betreffende Strom fließt.
5.2.3 3.) StromteilerregelFür 2 Widerstände parallel:
30 5 Spannungs- und Stromteilerregeln
I i= I ges⋅RK
RiRKEin Teilstrom = dem Gesamtstrom mal dem gegenüberliegenden Widerstand dividiert durch die Summe der Widerstände.
5 Spannungs- und Stromteilerregeln 31
32 5 Spannungs- und Stromteilerregeln
6 Spannungsteiler
6.1 Unbelasteter Spannungsteiler
p= xl
p.............Potentimeterstellung
x.............Gesamte Potentimeter
l..............Potentimeter - Abegriffener Widerstand
6 Spannungsteiler 33
6.2 Belasteter Spannungsteiler
p= xl
a=Rs
Rap.............Potentimeterstellung
x.............Gesamte Potentimeter
l..............Potentimeter - Abegriffener Widerstand
a.............Maß für Belastung
Rs............Potentimeter Widerstand [Ω]
Ra...........Abgegriffene Widerstand [Ω]
34 6 Spannungsteiler
7 MB – Erweiterung für Str. und Spg.
7.1 MB – Erweiterung beim Amperemeter
n= II a
n.............Messbereichserweiterungszahl
I..............Gesamtstrom - der zu messende Strom [A]
Ia.............Strom durch Amperemeter - zulässiger Strom [A]
7 MB – Erweiterung für Str. und Spg. 35
Rn=RiA
n−1Rn...........Nebenwiderstand [Ω]
n.............Messbereichserweiterungszahl
RiA...........Innenwiderstand [Ω]
7.2 MB – Erweiterung beim Voltmeter
n= UU V
n.............Messbereichserweiterungszahl
U............Gesamtspannung - die zu messende Spg. [V]
Uv...........Spannung durch Voltmeter- zulässige Spg. [V]
RV=Riv⋅n−1Rv...........Vorwiderstand [Ω]
n.............Messbereichserweiterungszahl
RiV...........Innenwiderstand [Ω]
36 7 MB – Erweiterung für Str. und Spg.
8 Ersatzschaltbilder
8.1 Reduzierte Ersatzschaltbilder
I K=U 0
RiIK............Kurzschlussstrom [A]
U0...........Leerlauf Spannung [V]
Ri............Innenwiderstand [Ω]
8 Ersatzschaltbilder 37
8.2 Stern und Dreieck-Schaltung
8.2.1 Dreieck – Stern – TransformationDer Stern Widerstand = dem Produkt der beiden anliegenden Dreieckswiderständen dividiert durch die Summe der Dreieckswiderstände.
R1=R12⋅R13
R12R13R23R1...........Stern Widerstand [Ω]
R12..........Anliegender Dreiecks Widerstand [Ω]
R13..........Anliegender Dreiecks Widerstand [Ω]
R23..........Dreiecks Widerstand [Ω]
8.2.2 Stern – Dreieck – TransformationDer Dreieck Widerstand = Die Summe aller möglichen Produkte der Sternwiderstände dividiert durch den gegenüberliegenden Sternwiderstand.
R12=R1⋅R2R1⋅R3R2⋅R3
R3R1...........Stern Widerstand [Ω]
38 8 Ersatzschaltbilder
R2...........Stern Widerstand [Ω]
R3...........Gegenüberliegende Stern Widerstand [Ω]
R12..........Dreiecks Widerstand [Ω]
8 Ersatzschaltbilder 39
40 8 Ersatzschaltbilder
9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad
9.1 Arbeit und Energie
9.1.1 Elektrische Arbeit
W=U⋅I⋅t=P⋅tArbeit=Leistung⋅Zeit
W...........Arbeit [Ws]
U............Spannung [V]
I..............Strom [A]
9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad 41
t.............Zeit [s]
P.............Leistung [W]
9.1.2 Mechanische Arbeit
W=G⋅hW...........Arbeit [Nm]
G............Gewicht [N]
h.............Höhe [m]
9.1.2.1 Gewicht
G=m⋅gm...........Masse [kg]
G............Gewicht [N]
g.............Erdbeschleunigung [m/s²]9.1.2.1.1 Erdbeschleunigungg=9,81 m
s2
g.............Erdbeschleunigung [m/s²]
42 9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad
9.1.2.2 Kraft
F=m⋅am...........Masse [kg]
F.............Kraft [N]
a.............Beschleunigung [m/s²]
9.1.3 Wärmeenergie
Q=m⋅c⋅=m⋅c⋅1−2Q............Wärmeenergie [kJ]
Δϑ..........Temperaturdifferenz [K]
c.............spezifische Wärmekapazität [kJ/kg.K]
m...........Masse [kg]
ϑ1...........Anfangstemperatur [K]
ϑ2...........Endtemperatur [K]
9.1.3.1 spezifische Wärmekapazität9.1.3.1.1 H2Oc=4,19 kJ
kg⋅K9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad 43
c.............spezifische Wärmekapazität [kJ/kg.K]
9.1.4 Gleichwertigkeit
1Ws=1Nm=1J9.2 Leistung
9.2.1 Allgemein
P=Wt
Leistung= ArbeitZeit
W...........Arbeit [Ws]
t.............Zeit [s]
P.............Leistung [W]
9.2.2 Elektrische Leistung
P=U⋅I44 9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad
P=U 2
R P= I 2⋅RU............Spannung [V]
I..............Strom [A]
P.............Leistung [W]
R............Widerstand [Ω]
9.3 Wirkungsgrad
=P ab
P zu1
Pab..........Abgegebene Leistung [W]
Pzu..........Zugeführte Leistung [W]
η............Wirkungsgrad
9.3.1 Gesamt Wikrungsgrad
GES=1⋅2⋅3ηGES.........Gesamtwirkungsgrad
9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad 45
η1...........Wirkungsgrad 1
η2...........Wirkungsgrad 2
η3...........Wirkungsgrad 3
46 9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad
Wechselstromtechnik
9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad 47
48 9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad
10 Allgemeine Parameter
10.1 Frequez
f = 1T
f.............Frequenz [Hz]
T.............Periodendauer [s]
10.2 Kreisfrequenz
=2⋅⋅ fω............Kreisfrequenz [1/s]
10 Allgemeine Parameter 49
f.............Frequenz [Hz]
10.3 Momentanwert bei Sinuswelle
i t =I⋅sin ⋅t i(t)..........Momentanwert des Strom [A]
t.............Zeit [s]
I..............Spitzenwert [A]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
10.4 Linearer Mittelwert
i=QT= 1
T ∑t 0
t0T
i t ⋅ t
i..............Liniarer Mittelwert [A]
Q............Ladung
T.............Periodendauer [s]
i(t)..........Momentanwert des Strom [A]
t.............Zeit [s]
50 10 Allgemeine Parameter
10.5 Gleichrichtwert
10.5.1 Vollweggleichrichtung
∣i∣=QT= 1
T ∑t0
t0T
∣i t ∣⋅ t
|i|..........Gleichrichtwert [A]
Q............Ladung
T.............Periodendauer [s]
|i(t)|......Absolutbetrag Momentanwert des Strom [A]
t.............Zeit [s]
10.5.2 Einweggleichrichtung
∣ iHP∣=∣i∣2
|i|..........Gleichrichtwert Vollweggleichrichtung [A]
|iHP|.......Gleichrichtwert Einweggleichrichtung [A]
10 Allgemeine Parameter 51
10.5.3 Gleichrichtwert einer Sinuswelle
∣i∣=2 I
Fläche unterhalb einer Sinuswelle=2 I|i|..........Gleichrichtwert [A]
I..............Spitzenwert [A]
10.5.4 Gleichrichtwert eines Dreiecksignals
∣i∣=I2
|i|..........Gleichrichtwert [A]
I..............Spitzenwert [A]
10.5.5 Gleichrichtwert eines Rechtecksignals
∣i∣=I|i|..........Gleichrichtwert [A]
I..............Spitzenwert [A]
52 10 Allgemeine Parameter
10.6 Effektivwert
10.6.1 Effektivwert für beliebige Kurvenform
I eft= 1T ∑t 0
t0T
[i t ]2⋅ t
Ieft...........Effektivwert [A]
T.............Periodendauer [s]
i(t)..........Momentanwert des Strom [A]
t.............Zeit [s]
10.6.2 Effektivwert bei Sinuswelle
I eft Sinus=I2
Ieft Sinus......Effektivwert [A]
I..............Spitzenwert [A]
10 Allgemeine Parameter 53
10.6.3 Effektivwert bei Sinushalbwelle
I eft Sh=I2
Ieft Sh........Effektivwert [A]
I..............Spitzenwert [A]
10.6.4 Effektivwert bei Virtelsinuswelle
Ieft 1
4=
I2⋅2
Ieft 1/4.......Effektivwert [A]
I..............Spitzenwert [A]
10.6.5 Effektivwert bei Rechtecksignal
10.6.5.1 Mit Nullstellen
U eft= UUeft.........Effektivwert [V]
54 10 Allgemeine Parameter
U............Spitzenwert [V]
10.6.5.2 Ohne Nullstellen
U eft= U⋅ teT = U⋅Ueft.........Effektivwert [V]
U............Spitzenwert [V]
te............Einschaltzeit [s]
T.............Periodendauer [s]
λ.............Einschaltverhältnis, Tastverhältnis
10.6.6 Effektivwert eines Dreiecksignals
I eft Dreieck=I3
Ieft Dreieck. . .Effektivwert [A]
I..............Spitzenwert [A]
10 Allgemeine Parameter 55
10.6.7 Effektivwert einer Mischgröße
I eft ges= I DC2 I AC
2
Ieft ges.......Gesamteffektivwert [A]
IDC...........Gleichstromanteil [A]
IAC...........Wechselstromanteil [A]
10.7 Scheitelfaktor – Crestfaktor
F s=II eft
FS............Scheitelfaktor
Ieft...........Effektivwert [A]
I..............Spitzenwert [A]
10.8 Formfaktor
F F=I eft
∣i∣56 10 Allgemeine Parameter
FF............Formfaktor
Ieft...........Effektivwert [A]
|i|..........Gleichrichtwert [A]
10 Allgemeine Parameter 57
58 10 Allgemeine Parameter
11 R, L und C im Wechselstromkreis
11.1 Rein ohm'scher Widerstand im Wechselstromkreis
11.1.1 Spannung
ut = U⋅sin t u(t).........Momentanwert [V]
U............Spitzenwert [V]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
t.............Zeit [s]
11 R, L und C im Wechselstromkreis 59
11.1.2 Strom
i t =I⋅sin t i(t)..........Momentanwert [A]
I..............Spitzenwert [A]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
t.............Zeit [s]
11.2 Reine Induktivität im Wechselstromkreis
11.2.1 Voraussetzung
i t =I⋅sin t Strom sei Sinusförmig
11.2.2 Spannung
11.2.2.1 Momentanwert
ut = U⋅cos t
60 11 R, L und C im Wechselstromkreis
u(t).........Momentanwert [V]
U............Spitzenwert [V]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
t.............Zeit [s]
11.2.2.2 Effektivwert
U eff= L⋅I effUeff..........Effektivwert [V]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
L.............Induktivität [H]
Ieff...........Effektivwert [A]
11.2.3 Induktiver Blindwiderstand
X L= LXL............Blindwiderstand
ω............Kreisfrequenz [1/s]
L.............Induktivität [H]
11 R, L und C im Wechselstromkreis 61
11.2.4 Induktiver Blindleitwert
BL=−1 L
BL...........Blindleitwert
ω............Kreisfrequenz [1/s]
L.............Induktivität [H]
11.3 Reine Kapazität im Wechselstromkreis
11.3.1 Voraussetzung
ut = U⋅cos t Spannung seiCosinsförmig
11.3.2 Strom
11.3.2.1 Momentanwert
i t =I⋅−sin t i(t)..........Momentanwert [A]
62 11 R, L und C im Wechselstromkreis
I..............Spitzenwert [A]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
t.............Zeit [s]
11.3.2.2 Spitzenwert
I=C⋅ UI..............Spitzenwert [A]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
C............Kapazität [F]
U............Spitzenwert [V]
11.3.2.3 Effektivwert
I eft=U eft⋅BC=U eft
∣X C∣Ieft...........Effektivwert Strom [A]
Ueft.........Effektivwert Spannung [V]
BC...........Blindleitwert [S]
XC...........Blindwiderstand [Ω]
11 R, L und C im Wechselstromkreis 63
11.3.3 Blindwiderstand
X C=−1C
XC...........Blindwiderstand [Ω]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
C............Kapazität [F]
11.3.4 Blindleitwert
BC=CBC...........Blindleitwert [S]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
C............Kapazität [F]
11.4 Serienschaltung von R und L
11.4.1 Impedanz
Z=R j L
64 11 R, L und C im Wechselstromkreis
Z=∣Z∣⋅e j L
Z.............Impedanz [Ω]
R............ohmsche Widerstand [Ω]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
L.............Induktivität [H]
11.4.2 Admittanz
Y= 1Z
Y=G j BY.............Admittanz [S]
Z.............Impedanz [Ω]
G............Leitwert [S]
B............Blindleitwert [S]
11 R, L und C im Wechselstromkreis 65
11.4.3 Bauteilleitwerte
GR=1R
GR...........Leitwert [S]
BL=−1 L
BL...........Blindleitwert [S]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
L.............Induktivität [H]
11.5 Serienschaltung von R und C
11.5.1 Impedanz
Z=R 1jC
66 11 R, L und C im Wechselstromkreis
Z=R− j 1C
Z.............Impedanz [Ω]
R............ohmsche Widerstand [Ω]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
C............Kapazität [F]
11.5.2 Admittanz
Y= 1Z
Y=G j BY.............Admittanz [S]
Z.............Impedanz [Ω]
G............Leitwert [S]
B............Blindleitwert [S]
11 R, L und C im Wechselstromkreis 67
11.5.3 Bauteilleitwerte
GR=1R
GR...........Leitwert [S]
R............ohmsche Widerstand [Ω]
BC=CBC...........Blindleitwert [S]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
C............Kapazität [F]
11.6 Serienschaltung von R, L und C
11.6.1 Impedanz
Z=R j L− 1C
Z=∣Z∣⋅e± j
68 11 R, L und C im Wechselstromkreis
Z.............Impedanz [Ω]
R............ohmsche Widerstand [Ω]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
L.............Induktivität [H]
C............Kapazität [F]
11.6.2 Wirkspannung
UW=U RUW..........Wirkspannung [V]
UR...........Spannung am ohmschen Widerstand [V]
11.6.3 Blindspannung
U B=U L−U CUB...........Blindspannung [V]
UL...........Spannung an der Induktivität [V]
UC...........Spannung an der Kapazität [V]
11 R, L und C im Wechselstromkreis 69
11.7 Parallelschaltung von R und L
11.7.1 Admittanz
Y= 1R− j 1 L
Y=∣Y∣⋅e− j
Y.............Admittanz [S]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
L.............Induktivität [H]
11.7.2 Gesamtstrom
I ges=UR− j U L
I ges=U⋅ 1R− j 1 L
70 11 R, L und C im Wechselstromkreis
Iges..........Gesamtstrom [A]
U............Spannung [V]
R............ohmsche Widerstand [Ω]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
L.............Induktivität [H]
11.8 Parallelschaltung von R und C
11.8.1 Admittanz
Y= 1R jC
Y=∣Y∣⋅e j
Y.............Admittanz [S]
R............ohmsche Widerstand [Ω]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
C............Kapazität [F]
11 R, L und C im Wechselstromkreis 71
11.9 Parallelschaltung von R, L und C
11.9.1 Admittanz
Y= 1R j C− 1
L
Y=∣Y∣⋅e± j
Y.............Admittanz [S]
R............ohmsche Widerstand [Ω]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
C............Kapazität [F]
L.............Induktivität [H]
11.10 Serienschaltung beliebiger Verbraucher
11.10.1 Spannung
U ges=U 1U 2U nUges.........Gesamtspannung [V]
72 11 R, L und C im Wechselstromkreis
U1...........Spannung an der Impedanz Z1 [V]
U2...........Spannung an der Impedanz Z2 [V]
Un...........Spannung an der Impedanz Zn [V]
11.10.2 Impedanz
Z ges=Z 1Z 2Z nZges..........Gesamtimpedanz [Ω]
Z1............Impedanz 1 [Ω]
Z2............Impedanz 2 [Ω]
Zn............Impedanz n [Ω]
11.10.3 Serienschaltung gleicher Elemente
11.10.3.1 Widerstände
Rges=R1R2RnRges.........ohmsche Gesamtwiderstand [Ω]
R1...........ohmsche Widerstand 1 [Ω]
R2...........ohmsche Widerstand 2 [Ω]
Rn...........ohmsche Widerstand n [Ω]
11 R, L und C im Wechselstromkreis 73
11.10.3.2 Induktivitäten
Lges=L1L2LnLges..........Gesamtinduktivität [H]
L1............Induktivität 1 [H]
L2............Induktivität 2 [H]
Ln............Induktivität n [H]
11.10.3.3 Kapazitäten
1C ges
= 1C1 1
C 2 1
C nCges.........Gesamtkapazität [F]
C1...........Kapazität 1 [F]
C2...........Kapazität 2 [F]
Cn...........Kapazität n [F]
74 11 R, L und C im Wechselstromkreis
11.11 Parallelschaltung beliebiger Verbraucher
11.11.1 Strom
I ges=I 1I 2 I nIges..........Gesamtstrom [A]
I1............Strom durch Admittanz Y1 [A]
I2............Strom durch Admittanz Y2 [A]
In............Strom durch Admittanz Yn [A]
11.11.2 Admittanz
Y ges=Y 1Y 2Y nYges..........Gesamtadmittanz [S]
Y1...........Admittanz 1 [S]
Y2...........Admittanz 2 [S]
Yn............Admittanz n [S]
11 R, L und C im Wechselstromkreis 75
11.11.3 Parallelschaltung gleicher Elemente
11.11.3.1 Widerstände
1Rges
= 1R1 1
R2 1
RnRges.........ohmsche Gesamtwiderstand [Ω]
R1...........ohmsche Widerstand 1 [Ω]
R2...........ohmsche Widerstand 2 [Ω]
Rn...........ohmsche Widerstand n [Ω]
G ges=G1G2GnGges.........Gesamtleitwert [S]
G1...........Leitwert 1 [S]
G2...........Leitwert 1 [S]
Gn...........Leitwert n [S]
76 11 R, L und C im Wechselstromkreis
11.11.3.2 Induktivitäten
1Lges= 1
L1 1
L2 1
LnLges..........Gesamtinduktivität [H]
L1............Induktivität 1 [H]
L2............Induktivität 2 [H]
Ln............Induktivität n [H]
11.11.3.3 Kapazitäten
C ges=C1C 2CnCges.........Gesamtkapazität [F]
C1...........Kapazität 1 [F]
C2...........Kapazität 2 [F]
Cn...........Kapazität n [F]
11 R, L und C im Wechselstromkreis 77
78 11 R, L und C im Wechselstromkreis
12 Leistungen im Wechselstromkreis
12.1 Wirkleistung bei ohm'schen Widerstand
p=P= 1T⋅∑
t 0
t0T
p t ⋅ t
p=P=U eft⋅I eft
12 Leistungen im Wechselstromkreis 79
P=S⋅cos=U eft⋅I eft⋅cosp.............Leistungsmittelwert [W]
P.............Wirkleistung [W]
T.............Periodendauer [s]
p(t).........Leistung [W]
t.............Zeit [s]
Ueft.........Effektivspannung [V]
Ieft...........Effektivstrom [A]
S.............Scheinleistung [VA]
12.2 Blindleistung
Q=S⋅sin=U eft⋅I eft⋅sinQ............Blindleistung [Var]
S.............Scheinleistung [VA]
Ueft.........Effektivspannung [V]
Ieft...........Effektivstrom [A]
ϕ............Phasenwinkel [°]
80 12 Leistungen im Wechselstromkreis
12.3 Scheinleistung
S=P2Q2
S=U eft⋅I eftS.............Scheinleistung [VA]
Q............Blindleistung [Var]
P.............Wirkleistung [W]
Ueft.........Effektivspannung [V]
Ieft...........Effektivstrom [A]
12.4 Leistungsfaktor
cos=PS
ϕ............Phasenwinkel [°]
S.............Scheinleistung [VA]
P.............Wirkleistung [W]
12 Leistungen im Wechselstromkreis 81
82 12 Leistungen im Wechselstromkreis
13 Schwingkreise
13.1 Serienschwingkreis
Resonanz dann ,wenn I mZ =0
res=1LC
13 Schwingkreise 83
I res=U ges
Re Z ωres.........Resonanzfrequenz [1/s]
L.............Induktivität [H]
C............Kapazität [F]
Ires...........Resonanzstrom [A]
Uges.........Gesamtspannung [V]
Im(Z)......Imaginärteil aus Z
Re(Z)......Realteil aus Z
13.2 Parallelschwingkreis
Resonanz dann ,wenn I mY =0
res=1LC
ωres.........Resonanzfrequenz [1/s]
84 13 Schwingkreise
L.............Induktivität [H]
C............Kapazität [F]
Im(Y)......Imaginärteil aus Y
13.3 Nomierung von Schwingkreisgrößen
13.3.1 Kennfrequenz des Resonanzkreises
0=1LC
ω0...........Kennfrequenz [1/s]
L.............Induktivität [H]
C............Kapazität [F]
13.3.1.1 nomierte Frequenz
= 0ν.............nomierte Frequenz [1/s]
ω............Aktuelle Frequenz [1/s]
ω0...........Kennfrequenz [1/s]
13 Schwingkreise 85
13.3.2 Kennwiderstand des Resonanzkreises
Z 0= LC
Z0............Kennwiderstand [Ω]
L.............Induktivität [H]
C............Kapazität [F]
13.3.3 Verstimmung
v=− 1=
0−0
v.............Verstimmung
ν.............nomierte Frequenz [1/s]
ω............Aktuelle Frequenz [1/s]
ω0...........Kennfrequenz [1/s]
86 13 Schwingkreise
13.3.4 Gütefaktor und Dämpfungsfaktor
Q= 1d
Q............Gütefaktor
d.............Dämpfungsfaktor
13.3.4.1 Serienschwingkreis13.3.4.1.1 GütefaktorQ=
U L
U ges=
U c
U ges=0 LR=
10CR= 10C⋅R
= G0C
Q............Gütefaktor
Uges.........Gesamtspannung [V]
13 Schwingkreise 87
UL...........Spannung an der Induktivität[V]
UC...........Spannung an der Kapazität [V]
ω0...........normierte Frequenz [1/s]
L.............Induktivität [H]
R............Widerstand [Ω]
C............Kapazität [F]
G............Wirkleitwert [S]
Q=0 LR= L LC⋅R
=
LC⋅1R=
Z 0
RQ............Gütefaktor
ω0...........normierte Frequenz [1/s]
L.............Induktivität [H]
R............Widerstand [Ω]
C............Kapazität [F]
Z0............Impedanz [Ω]
88 13 Schwingkreise
13.3.4.1.2 Bauteilgüte einer SpuleQ= L
RQ............Gütefaktor
ω............Kreisfrequenz [1/s]
L.............Induktivität [H]
R............Widerstand [Ω]
13.3.4.2 Parallelschwingkreis13.3.4.2.1 GütefaktorQ=
I L
I ges=
IC
I ges= R0 L
=
R⋅0⋅C=0CG
Q............Gütefaktor
Iges..........Gesamtstrom [A]
13 Schwingkreise 89
IL.............Strom durch Induktivität[A]
IC............Strom durch Kapazität [A]
R............Widerstand [Ω]
ω0...........normierte Frequenz [1/s]
L.............Induktivität [H]
C............Kapazität [F]
G............Wirkleitwert [S]13.3.4.2.2 Bauteilgüte eines KondensatorsQ=C
GQ............Gütefaktor
ω............Kreisfrequenz [1/s]
C............Kapazität [F]
G............Wirkleitwert [S]
90 13 Schwingkreise
13.3.5 Die Bandbreite
13.3.5.1 Serienschwingkreis
B= B*
2= 1
2⋅RL
B............Bandbreite
B*...........Bandbreite*
R............Widerstand [Ω]
L.............Induktivität [H]
13 Schwingkreise 91
B*= RL
B*...........Bandbreite*
R............Widerstand [Ω]
L.............Induktivität [H]
13.3.5.2 Parallelschwingkreis
B= 12⋅GC
B............Bandbreite
G............Leitwert [S]
C............Kapazität [F]
13.3.6 Zusammenhang Güte, Dämpfung und Bandbreite
B=f 0
Q = f 0⋅d= f go− f gu
B............Bandbreite
92 13 Schwingkreise
f0............nomierte Frequenz[Hz]
fgu...........Untere Grenzfrequenz [Hz]
fgo...........Obere Grenzfrequenz [Hz]
Q............Gütefaktor
d.............Dämpfungsfaktor
02=go⋅gn
ω0...........nomierte Frequenz [1/s]
ωgu..........Untere Grenzfrequenz [1/s]
ωgo..........Obere Grenzfrequenz [1/s]
13.3.7 Das Bodediagramm
13.3.7.1 Übertragungsfunktion
H j=U 2
U 1=Wirkung
UrsacheH(jω)......Übertragungsfunktion
U1...........Eingangsspannung [V]
U2...........Ausgangsspannung [V]
13 Schwingkreise 93
13.3.7.2 Hochpass13.3.7.2.1 ÜbertragungsfunktionH j= R
R− j 1C
= R
R 1jC
H(jω)......Übertragungsfunktion
R............Widerstand [Ω]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
C............Kapazität [F]13.3.7.2.2 Verstärkung∣H j∣= R
R2 1C 2
|H(jω)|. .Absolutwert Übertragungsfunktion
R............Widerstand [Ω]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
C............Kapazität [F]
94 13 Schwingkreise
13.3.7.2.3 Phasenwinkel=arctan 1
RC
ϕ............Phasenwinkel [°]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
R............Widerstand [Ω]
C............Kapazität [F]13.3.7.2.4 Grenzfrequenzg=
1RC
ωg...........Grenzfrequenz [1/s]
R............Widerstand [Ω]
C............Kapazität [F]
13 Schwingkreise 95
13.3.7.3 Tiefpass13.3.7.3.1 ÜbertragungsfunktionH j= 1
1 jRCH(jω)......Übertragungsfunktion
R............Widerstand [Ω]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
C............Kapazität [F]13.3.7.3.2 Verstärkung∣H j∣= 1
1RC 2|H(jω)|. .Absolutwert Übertragungsfunktion
R............Widerstand [Ω]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
C............Kapazität [F]
96 13 Schwingkreise
13.3.7.3.3 Phasenwinkel=arctan −RC
ϕ............Phasenwinkel [°]
ω............Kreisfrequenz [1/s]
R............Widerstand [Ω]
C............Kapazität [F]13.3.7.3.4 Grenzfrequenzg=
1RC
ωg...........Grenzfrequenz [1/s]
R............Widerstand [Ω]
C............Kapazität [F]
13 Schwingkreise 97
98 13 Schwingkreise
Elektrisches Feld
13 Schwingkreise 99
100 13 Schwingkreise
14 Grundgrößen
14.1 Feldstärke
E=FQ
E=Ud
U............Spannung [V]
d.............Abstand [m]
14 Grundgrößen 101
E.............elektrische Feldstärke [V/m]
F.............Kraft auf eine Probeladung [1N]
Q............Ladung [C/As]
14.2 Flussdichte
D=⋅E
D=QA
D............Flussdichte [As/m²]
E.............elektrische Feldstärke [V/m]
ε.............Permittivität [F/m]
A............Fläche [m²]
Q............Ladung [C/As]
14.3 Permittivität
=r⋅0ε.............Permittivität [F/m]
εr............relative Permittivität
102 14 Grundgrößen
ε0............Naturkonstante Permittivität [F/m]
Permittivität des leeren Raumes=0=8,854⋅10−12 Fm
14.4 Kraft
F=m⋅am...........Masse [kg]
F.............Kraft auf eine Probeladung [1N]
a.............Erdbeschleunigung = 9,81 [m/s²]
14.5 Ladung
Q=A⋅∣D∣Q=A⋅⋅∣E∣Q= I⋅tQ=C⋅U
Q............Ladung [C/As]
I..............Strom [A]
14 Grundgrößen 103
t.............Zeit [s]
A............Fläche [m²]
D............Flussdichte [As/m]
ε.............Permittivität [F/m]
E.............elektrische Feldstärke [V/m]
C............Kapazität [F]
U............Spannung [V]
14.6 Kapazität
C=QU
C= A⋅d
C............Kapazität [F]
Q............Ladung [C/As]
A............Fläche [m²]
d.............Abstand [m]
ε.............Permittivität [F/m]
104 14 Grundgrößen
U............Spannung [V]
14 Grundgrößen 105
106 14 Grundgrößen
15 Die Kapazität
15.1 Serienschaltung
C ges=C1⋅C 2
C1C 2Cges.........Gesamt Kapazität [F]
C1...........Kapazität 1 [F]
C2...........Kapazität 2 [F]
15 Die Kapazität 107
15.2 Parallelschaltung
C ges=C1C 2Cges.........Gesamt Kapazität [F]
C1...........Kapazität 1 [F]
C2...........Kapazität 2 [F]
108 15 Die Kapazität
16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld
16.1 Energieinhalt
W=C⋅U²2
C............Kapazität [F]
W...........Energieinhalt [Ws]
U............Spannung [V]
16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld 109
16.2 Kraft
F= Q²2⋅A⋅
F.............Kraft [N]
Q............Ladung [C/As]
A............Fläche [m²]
ε.............Permittivität [F/m]
16.3 Arbeit
W=U⋅QW...........Arbeit [J]
Q............Ladung [C/As]
U............Spannung [V]
110 16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld
16.4 Leistung
P=Wt
W...........Arbeit [J]
P.............Leistung [W]
t.............Zeit [s]
16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld 111
112 16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld
17 Coulombsches Gesetz
17.1 Kraft
F=Q1⋅Q2
4⋅r2⋅⋅F=Q⋅E
Q1...........Ladung 1 [As][C]
Q2...........Ladung 2 [As][C]
r.............Radius [m]
ε.............Permittivität [F/m]
17 Coulombsches Gesetz 113
r.............Radius [m]
Q............Ladung [C/As]
E.............Elektrische Feldstärke [V/m]
17.2 Elektrische Feldstärke
E=D
D............Flussdichte [As/m²]
E.............elektrische Feldstärke [V/m]
ε.............Permittivität [F/m]
114 17 Coulombsches Gesetz
18 E und C im 2-schichtigen Dielektrikum
E1
E2=r2r1
E1...........Feldstärke 1 [V/m]
E2...........Feldstärke 2 [V/m]
ε1............Permittivität 1 [F/m]
ε2............Permittivität 2 [F/m]
18 E und C im 2-schichtigen Dielektrikum 115
116 18 E und C im 2-schichtigen Dielektrikum
19 Kondensator an zeitabhängiger Spg.
19.1 Stromstärke zum Zeitpunkt t
i t =C⋅U c
ti(t)..........Stromstärke [A]
C............Kapazität [F]
ΔUC.........Spannung [V]
Δt...........Zeit [s]
19 Kondensator an zeitabhängiger Spg. 117
19.2 Ladung
q t =C⋅U ct q(t).........Ladung [As][C]
C............Kapazität [F]
UC (t).......Spannung [V]
118 19 Kondensator an zeitabhängiger Spg.
Elektromagnetismus
19 Kondensator an zeitabhängiger Spg. 119
120 19 Kondensator an zeitabhängiger Spg.
20 Grundgrößen
20.1 Magnetische Feldstärke
H= l2⋅r⋅
H............Magnetische Feldstärke [A/m]
r.............Radius [m]
l..............Länge [m]
20.2 Flussdichte
B=µ⋅H20 Grundgrößen 121
H............Magnetische Feldstärke [A/m]
B............Magnetischer Fluss, Induktion [T]
µ............Permeabilität [H/m]
20.2.1 Permeabilität
µ=µ0⋅µrµ............Permeabilität [H/m]
µr............relative Permeabilität
µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]
20.3 Induktivität
L '=I
Lges=L '⋅NL'............Induktivität einer Windung [H]
Lges..........Gesamte Induktivität [H]
Φ............magnetischer Fluss [Wb]
I..............Stromstärke [A]
122 20 Grundgrößen
N............Windungszahl
20.4 Durchflutung einer Spule
=H⋅l=N⋅IΘ............Durchflutung [A]
H............Magnetische Feldstärke [A/m]
l..............Länge [m]
N............Anzahl der Windungen
I..............Stromstärke [A]
20.5 Spannung
U= t
U............Spannung [V]
Φ............magnetischer Fluss [Vs]
t.............Zeit [s]
20.6 Kraftwirkung im magnetischen Feld
F=B⋅I⋅l20 Grundgrößen 123
F.............Kraft [N]
l..............Länge [m]
B............Magnetischer Fluss, Induktion [T]
124 20 Grundgrößen
21 Induktionsgesetz
21.1 Allgemein
U=N⋅ t
U............Spannung [V]
ΔΦ.........magnetischer Fluss [Vs]
Δt...........Zeit [s]
N............Windungszahl
21 Induktionsgesetz 125
21.2 Induktion der Bewegung
21.2.1 Spannung
U 0=B⋅l⋅vU0...........Spannung [V]
B............Magnetischer Fluss, Induktion [T]
l..............Länge [m]
v.............Geschwindigkeit [m/s]
21.3 Induzierte Spannung durch zeitlich veränderliche Magnetfelder
21.3.1 Flussänderung Dreiecksförmig
21.3.1.1 Spannung
U 0max=4⋅ f⋅N⋅maxU0max.......Spannung [V]
f.............Frequenz [Hz]
N............Windungszahl
Φmax........Fluss [Vs]
126 21 Induktionsgesetz
21.3.2 Flussänderung Sinusförmig
21.3.2.1 Spannung
U 0max=4,44⋅ f⋅N⋅maxU0eft........Spannung [V]
f.............Frequenz [Hz]
N............Windungszahl
Φmax........Fluss [Vs]
21.3.3 Selbstinduktion
u=N⋅ t
U............Spannung [V]
ΔΦ.........magnetischer Fluss [Vs]
Δt...........Zeit [s]
N............Windungszahl
e=−N⋅ t
21 Induktionsgesetz 127
e.............Selbstinduzierte Spannung [V]
ΔΦ.........magnetischer Fluss [Vs]
Δt...........Zeit [s]
N............Windungszahl
e=−ue t =−u t
e.............Selbstinduzierte Spannung [V]
u.............Spannung [V]
t =P= 1N⋅∑ u⋅ t ...t=0
Φ............magnetischer Fluss [Vs]
P.............Leistung [W]
N............Windungszahl
u.............Spannung
t.............Zeit [s]
128 21 Induktionsgesetz
21.4 Gegeninduktion - Trafoprinzip
21.4.1 Trafogesetze
21.4.1.1 1. Trafogesetz
U 1
U 2=
N 1
N 2U1...........Primärseitige Spannung [V]
U2...........Sekundärseitige Spannung [V]
N1...........Primärseitige Wicklung
N2...........Sekundärseitige Wicklung
21.4.1.2 2. Trafogesetz
U 1
U 2=
I 2
I 1=
N 1
N 2U1...........Primärseitige Spannung [V]
U2...........Sekundärseitige Spannung [V]
I1............Primärseitiger Strom [A]
21 Induktionsgesetz 129
I2............Sekundärseitiger Strom [A]
N1...........Primärseitige Wicklung
N2...........Sekundärseitige Wicklung21.4.1.2.1 Übersetzungsverhältnisü= Oberspannung
Unterspannungü.............Übersetzungsverhältnis
21.4.1.3 3. Trafogesetz
Z 1
Z 2=
U 1
U 22
=N 1
N 22
=ü2
U1...........Primärseitige Spannung [V]
U2...........Sekundärseitige Spannung [V]
130 21 Induktionsgesetz
22 Induktivität von Spulen
22.1 Für alle Spulen mit 1 mag. Wdst. Gilt
22.1.1 Magnetische Feldstärke
H= I⋅Nl
H............Magnetische Feldstärke [A/m]
I..............Strom [A]
N............Windungszahl
l..............Länge [m]
22 Induktivität von Spulen 131
22.1.2 Durchflutungssatz
= I⋅N=H⋅lΘ............Durchflutung [A]
H............Magnetische Feldstärke [A/m]
l..............Länge [m]
N............Anzahl der Windungen
I..............Stromstärke [A]
22.1.3 Induktion
B=µ⋅HB............Magnetischer Fluss, Induktion [T]
µ............Permeabilität [H/m]
H............Magnetische Feldstärke [A/m]
22.1.4 Magnetische Fluss
=B⋅AΦ............magnetischer Fluss [Vs]
B............Induktion [T]
A............Fläche [m²]
132 22 Induktivität von Spulen
=µ⋅I⋅Nl⋅A
Φ............magnetischer Fluss [Vs]
B............Induktion [T]
I..............Strom [A]
N............Windungszahl
l..............Länge [m]
A............Fläche [m²]
22.2 2. Form des Induktionsgesetz
U=L⋅ i t
U............Spannung [V]
L.............Induktivität [H]
i..............Strom [A]
t.............Zeit [s]
22 Induktivität von Spulen 133
22.3 Induktivität Allgemein
L=N 2
Rm=N 2⋅=N 2⋅AL
N............Windungszahl
Rm...........Magnetischer Widerstand [1/H]
Λ............Magnetischer Leitwert
AL...........AL - Wert
L=N⋅ i
L.............Induktivität [H]
N............Windungszahl
Φ............magnetischer Fluss [Vs]
i..............Strom [A]
134 22 Induktivität von Spulen
22.3.1 Magnetische Widerstand
Rm=1=
1AL
Rm.........Magnetischer Widerstand [1/H]
Λ............Magnetischer Leitwert
AL...........AL - Wert
22.4 Luftspule
22.4.1 Ringspule (Torus)
22.4.1.1 Fläche
A= d 2⋅4
A............Fläche [m²]
d.............Durchmesser [m]
22 Induktivität von Spulen 135
22.4.1.2 Länge
l=D⋅l..............Länge [m]
D............Außendurchmesser [m]
22.4.1.3 Magnetischer Widerstand
Rm=l
µ0⋅ARm...........Magnetischer Widerstand [1/H]
l..............Länge [m]
µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]
A............Fläche [m²]
22.4.1.4 Induktivität
L=N 2⋅µ0⋅Al
L.............Induktivität [H]
N............Windungszahl
136 22 Induktivität von Spulen
l..............Länge [m]
µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]
A............Fläche [m²]
22.4.2 Zylinderspule
22.4.2.1 Für l ≥ d22.4.2.1.1 FlächeA= d 2⋅
4A............Fläche [m²]
d.............Durchmesser [m]22.4.2.1.2 Magnetischer WiderstandRm=
lµ0⋅A
Rm...........Magnetischer Widerstand [1/H]
l..............Länge [m]
22 Induktivität von Spulen 137
µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]
A............Fläche [m²]22.4.2.1.3 InduktivitätL=N 2⋅µ0⋅
Al
L.............Induktivität [H]
N............Windungszahl
µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]
A............Fläche [m²]
l..............Länge [m]
22.4.2.2 Für l < 10 d22.4.2.2.1 FlächeA= d 2⋅
4A............Fläche [m²]
d.............Durchmesser [m]
138 22 Induktivität von Spulen
22.4.2.2.2 Magnetischer WiderstandRm=
lµ0⋅A
Rm...........Magnetischer Widerstand [1/H]
l..............Länge [m]
µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]
A............Fläche [m²]22.4.2.2.3 InduktivitätLnach NagaokaL[nH ]=K⋅N 2⋅d [cm ]
L[nH].........Induktivität [nH]
K.............Nagaoka Koeffizient
N............Windungszahl
d[cm]........Durchmesser [cm]
22 Induktivität von Spulen 139
22.5 Eisendrossel ohne Luftspalt
22.5.1 Magnetischer Widerstand
RmFe=lFe
µ0⋅µr⋅AFeRmFe........Magnetischer Widerstand [1/H]
lFe............Länge (Eisen) [m]
µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]
µr............relative Permeabilität
AFe..........Fläche (Eisen) [m²]
22.5.2 Induktivität
L=N 2⋅µ0⋅µr⋅AFe
lFeL.............Induktivität [H]
N............Windungszahl
µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]
µr............relative Permeabilität
140 22 Induktivität von Spulen
AFe..........Fläche (Eisen) [m²]
lFe............Länge (Eisen) [m]
22.6 Eisendrossel mit Luftspalt
22.6.1 Induktion
22.6.1.1 In Sättigung bei Trafo Perm N2
B1,5T
= I⋅N= Bµ0⋅[lFeµrl ]
...............Durchflutung [A]
I..............Strom [A]
N............Windungszahl
B............Magnetische Flussdichte, Induktion [T]
µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]
lFe............Länge (Eisen) [m]
µr............relative Permeabilität
lδ............Länge (Luft) [m]
22 Induktivität von Spulen 141
22.6.1.2 Nicht in Sättigung bei Trafo Perm N2
B1,5T
B≃ I⋅Nl
B............Magnetische Flussdichte, Induktion [T]
I..............Strom [A]
N............Windungszahl
lδ............Länge (Luft) [m]
22.6.2 Induktivität
L≃N 2⋅µ0⋅AFe
lL.............Induktivität [H]
N............Windungszahl
µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]
AFe..........Fläche (Eisen) [m²]
142 22 Induktivität von Spulen
lδ............Länge (Luft) [m]
22.7 Spule an Wechselspannung
22.7.1 Spannung
u=L⋅ i t
u.............Spannung [V]
L.............Induktivität [H]
i..............Strom [A]
t.............Zeit [s]
22.7.2 Strom
i t = 1L⋅∑ u⋅ t I konst t=0
i..............Strom [A]
L.............Induktivität [H]
u.............Spannung [V]
t.............Zeit [s]
22 Induktivität von Spulen 143
144 22 Induktivität von Spulen
23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen
23.1 Kopplungsgrad und Streufaktor
23.1.1 Kopplungsgrad
k=n
ges= Nutzfluss
Gesamtflussk.............Kopplungsgrad
Φn..........Nutzfluss [Vs]
23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen145
Φges........Gesamtfluss [Vs]
23.1.2 Streufaktor
=ges
σ............Streufaktor
Φn..........Streufluss [Vs]
Φges........Gesamtfluss [Vs]
23.1.3 Übersetzungsverhältnis
ü=k⋅U 1
U 2ü.............Übersetzungsverhältnis
k.............Kopplungsgrad
U1...........Spannung 1 [V]
U2...........Spannung 2 [V]
14623 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen
23.2 Gegeninduktivität
M=k⋅L1⋅L2M...........Gegeninduktivität [H]
k.............Kopplungsgrad
L1............Induktivität 1 [H]
L2............Induktivität 2 [H]
23.2.1 Gesamtstreufaktor
=1−k 2
σ............Gesamtstreufaktor
k.............Kopplungsgrad
23.3 Kopplung von 2 in Serie geschaltete Spulen
23.3.1 Gleichsinnig wirkende Suplen
23.3.1.1 Für k = 100% , Ϭ = 0
Lges=L1L22M
23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen147
Lges..........Gesamtinduktivität [H]
L1............Induktivität 1 [H]
L2............Induktivität 2 [H]
M...........Gegeninduktivität [H]
23.3.1.2 Für 0 < k < 1, 0 < Ϭ < 1
Lges=L1L22MLges..........Gesamtinduktivität [H]
L1............Induktivität 1 [H]
L2............Induktivität 2 [H]
M...........Gegeninduktivität [H]
23.3.1.3 Für k = 0, Ϭ = 123.3.1.3.1 SerieLges=L1L2
Lges..........Gesamtinduktivität [H]
L1............Induktivität 1 [H]
L2............Induktivität 2 [H]
14823 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen
23.3.1.3.2 ParallelLges=
L1⋅L2
L1L2Lges..........Gesamtinduktivität [H]
L1............Induktivität 1 [H]
L2............Induktivität 2 [H]
23.3.2 Gegensinnig wirkende Spulen
Lges=L1L22MLges..........Gesamtinduktivität [H]
L1............Induktivität 1 [H]L2..............Induktivität 2 [H]M...........Gegeninduktivität [H]
23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen149
15023 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen
24 Energie im magnetischen Feld
24.1 Energieinhalt
W= L⋅I 2
2
W= N⋅⋅I2
24 Energie im magnetischen Feld 151
W= N 2⋅2
2LW...........Energieinhalt [W] [J] [Nm]
L.............Induktivität [H]
I..............Strom [A]
N............Windungszahl
Φ............Magnetischer Fluss [Vs]
24.2 Energiedichte
w=Wv= B⋅H
2
w=Wv= µ⋅H 2
2
152 24 Energie im magnetischen Feld
w= B2
2µw............Energiedichte [Ws/m³]
W...........Energieinhalt [W] [J] [Nm]
B............Magnetischer Fluss, Induktion [T]
H............Magnetische Feldstärke [A/m]
µ............Permeabilität [H/m]
24 Energie im magnetischen Feld 153
154 24 Energie im magnetischen Feld
Anhang
24 Energie im magnetischen Feld 155
156 24 Energie im magnetischen Feld
25 Konstanten
Formelzeichen Größe Wert
γCu Leifähigkeitswert von Kupfer
56 S⋅m/mm²
γAl Leifähigkeitswert von Aluminium
35 S⋅m/mm²
g Erdbeschleunigung 9,81 m/s²
c Spezifische Wärmekapazität H20
4,19 kJ/kg⋅K
0 Permittivitat des leeren Raumes
8,854 ⋅ 10−12 F/m
μ0 Permeabilitat des leeren Raumes
4 π ⋅ 10-7 H/m
25 Konstanten 157
158 25 Konstanten
26 Griechisches Alphabet
Buchstabe Bezeichnung
groß klein
Α α Alpha
Β β Beta
Γ γ Gamma
Δ δ Delta
Ε ε Epsilon
Ζ ζ Zeta
Η η Eta
Θ θ Theta
Ι ι Jota
Κ κ Kappa
26 Griechisches Alphabet 159
Λ λ Lambda
Μ μ My
Ν ν Ny
Ξ ξ Xi
Ο ο Omikron
Π π Pi
Ρ ρ Roh
Σ σ Sigma
Τ τ Tau
Υ υ Ypsilon
Φ φ Phi
Χ χ Chi
Ψ ψ Psi
Ω ω Omega
160 26 Griechisches Alphabet
Stichwortverzeichnis & Impressum
Stichwortverzeichnis & Impressum
Stichwortverzeichnis & Impressum 161
162 Stichwortverzeichnis & Impressum
StichwortverzeichnisAAdmittanz 65, 67, 70ff., 75Amperemeter 35
BBandbreite 91ff.Blindleistung 80f.Blindleitwert 62ff.Blindwiderstand 61, 63f.
CCrestfaktor 56
DDielektrikum 115Dreieck 38f., 52, 55, 126
EEisendrossel 11f., 140f.Energiedichte 12, 152f.Energieinhalt 9, 12, 109, 151ff.
FFlussdichte 102, 104, 114, 121, 141f.Formfaktor 56f.
G
Stichwortverzeichnis & Impressum 163
Gegeninduktion 129Grenzfrequenz 93, 95, 97
HHochpass 94
IImpedanz 64ff., 73, 88
KKopplungsgrad 145ff.
MMittelwert 50
RResonanz 84ff.
SScheinleistung 80f.Scheitelfaktor 56Spule 89, 123, 131, 143, 145, 147, 149Stern 38f.streufaktor 147Streufaktor 145f.
TTiefpass 96Trafo 129f., 141f.
164 Stichwortverzeichnis & Impressum
VVerstärkung 94, 96Verstimmung 86Voltmeter 36
WWirkleistung 79ff.
Stichwortverzeichnis & Impressum 165
166 Stichwortverzeichnis & Impressum
Impressum
2. Auflage 2010
Version Nr.: 327
© 2010 Jakob Vesely2008-2010
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Stichwortverzeichnis & Impressum 167