FormelsammlungGET1 - Universität Kassel: Aktuelles · PDF fileel.Leitwert G Siemens Sbzw....

Fahrzeugsysteme undGrundlagen der ElektrotechnikProf. Dr. rer. nat. L. Brabetz

Formelsammlung GET1Dr. Oliver Haas

9. Februar 2015

Inhaltsverzeichnis1 Formelzeichen und Einheiten 3

2 Zehnerpotenzen und Vorsatzzeichen 3

3 Ladung, Stromstärke 33.1 Driftgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Ladung, Stromstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Widerstand, Ohmsches Gesetz 44.1 Widerstand eines homogenen Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.2 Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.3 Temperaturabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5 Kirchhoffsche Gesetze 55.1 Knotengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.2 Umlaufgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6 Reihenschaltung von Widerständen 5

7 Parallelschaltung von Widerständen (Leitwerten) 67.1 Stromteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.2 Zwei parallel geschaltete Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

8 Dreieck- und Sterntransformationen 78.1 Dreieck–Stern–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78.2 Stern–Dreieck–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

9 Ersatzquellen 7

10 Leistung, Arbeit, Wirkungsgrad 810.1 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810.2 Anpassung der Last . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810.3 Arbeit, Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810.4 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8


Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik I

11 Elektrostatisches Feld, Kondensator 911.1 Abstandsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.2 Permittivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.3 Coulombsches Gesetz: Kraft zwischen zwei Punktladungen . . . . . . . . . . 911.4 Elektrische Feldstärke, Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.5 Elektrische Flussdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.6 Gaußscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.7 Potenzialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.8 Kapazität, Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.9 Reihenschaltung von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111.10 Parallelschaltung von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111.11 Kondensatoren als Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111.12 Energie im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

12 Stationäres Strömungsfeld 1212.1 Stromdichte, Stromstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.2 Materialgleichung, elektrische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.3 Widerstandsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

A Linien- und Flächenelemente 13A.1 Linienelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13A.2 Flächenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

B Kochrezepte Umlauf- und Knotenanalyse 14

C Ersatzquellen 15

D Kondensatoren 16

9. Februar 2015 Seite 2 von 16 Dr.-Ing. Oliver Haas



1 Formelzeichen und EinheitenGröße Formelzeichen Einheitenname Einheitenkürzel

Basis-Größen des SI-SystemsLänge l Meter mMasse m Kilogramm kgZeit t Sekunde sStromstärke I, i Ampere ATemperatur T Kelvin K

Abgeleitete GrößenKraft F Newton N bzw. VAs m−1

Leistung P Watt W bzw. VAArbeit, Energie W Joule J bzw. Wsel. Ladung Q Coulomb C bzw. Asel. Spannung U , u Volt Vel. Widerstand R Ohm Ω bzw. V A−1

el. Leitwert G Siemens S bzw. A V−1

Kapazität C Farad F bzw. As V−1

Magn. Fluss Φ Weber Wb bzw. VsMagn. Flussdichte B Tesla T bzw. Vs m−2

Induktivität L Henry H bzw. Vs A−1

2 Zehnerpotenzen und VorsatzzeichenZehnerpotenz Name Vorsatzzeichen1024 Yotta Y1021 Zetta Z1018 Exa E1015 Peta P1012 Tera T109 Giga G106 Mega M103 Kilo k102 Hekto h101 Deka da

Zehnerpotenz Name Vorsatzzeichen10−1 Dezi d10−2 Centi c10−3 Milli m10−6 Mikro µ10−9 Nano n10−12 Piko p10−15 Femto f10−18 Atto a10−21 Zepto z10−24 Yocto y

3 Ladung, Stromstärke3.1 Driftgeschwindigkeit

vm = I

N · A · e, N = n

V(1)

I: Stromstärke, N : Ladungsträgerdichte, e: Elementarladung, A: Fläche des Leiters,V : Volumen, n: Anzahl der Ladungsträger.




3.2 Ladung, Stromstärke

I = dQ

dtoder ∆Q

∆t , Q = e · n , e = 1,602 · 10−19 As (2)

Q(t) =∫ t

τ=0i(τ) dτ . (3)

Falls I konstant gilt vereinfacht

Q(t) = I · t . (4)

e : Elementarladung, I: Stromstärke, n: Anzahl der Ladungsträger,τ : Integrationsvariable der Zeit, t: Betrachtungszeitraum,Q(t): geflossene Ladung bis zum Zeitpunkt t, i(t): zeitabhängige Stromstärke.

4 Widerstand, Ohmsches Gesetz4.1 Widerstand eines homogenen Körpers

R = % · lA

% = 1γ

R = l

γ · A(5)

R: Widerstand, l: Leiterlänge, A: Leiterquerschnitt,%: spezifischer Widerstand, γ: spezifischer Leitwert.

l

A

g,%

Bsp. homogener Körper

4.2 Ohmsches Gesetz

R = U

IG = I

UR = 1

G(6)

R: Widerstand, U : Spannung, I: Stromstärke, G: Leitwert.

4.3 Temperaturabhängigkeit

R(T1) = R(T0)(1 + α∆T + β(∆T )2 + . . .

), ∆T = T1 − T0 , (7)

T1: aktuelle Temperatur in K, T0: Bezugstemperatur in K, α: linearer Temperaturkoeffi-zient bei T0 in K−1 , β: quadratischer Temperaturkoeffizient bei T0 in K−2




5 Kirchhoffsche Gesetze5.1 KnotengleichungDie Summe aller Ströme in einem einzelnen Knoten ist 0:∑

k

Ik = 0 (8)

Zählweise: zufließend: +, abfließend: − .

Beispiel:

0 = I1 + I2 − I3 − I4 − I5

I1 + I2 = I3 + I4 + I5

I1 I2

I3

I4

I5

Knoten mit zu- undabfließenden Strömen

Satz: Ein Netzwerk mit n Knoten liefert n− 1 unabhängige Knotengleichungen.

5.2 UmlaufgleichungDie Summe aller Spannungen entlang eines geschlossenen Umlaufs ist 0:∑

k

Uk = 0 (9)

Zählweise: im Umlaufsinn: +, entgegen: − .

Beispiel:

a: 0 = −U0 + U1

b: 0 = −U1 + U2 + U3

c: 0 = −U0 + U2 + U3

R3

3U

R2

2UR1

1UU0

a

c

b

Netzwerk mit zwei Maschen

Anmerkung: Nur zwei Gleichungen sind linear unabhängig, z. B. kann Umlauf c durch dieUmläufe a und b gebildet werden.

Satz: Ein Netzwerk mit n Maschen liefert n unabhängige Umlaufgleichungen.

6 Reihenschaltung von WiderständenDen resultierenden Widerstand aus einer Reihenschaltung erhält man aus der Addition derTeilwiderstände:

Rges =∑k

Rk ,1Gges

=∑k

1Gk

. (10)




Spannungsteiler

In einer Reihenschaltung gilt:

I1 = I2 = I3 = . . . = In = I .

Aus den Ohmschen GesetzenU1 = I ·R1, U2 = I ·R2, U3 = I ·R3 ,

Uges = U1 + U2 + U3 = I(R1 +R2 +R3)

R3 RgesR2R1

I IU3 UgesU2U1

Bsp.: drei Widerstände in Reihe

folgt beispielsweise:U1

Uges= I ·R1

I(R1 +R2 +R3) = R1

R1 +R2 +R3,

U1

U2= I ·R1

I ·R2= R1

R2

und allgemein für N Widerstände

UnUges

= Rn∑k Rk

,UnUm

= Rn

Rm

, n,m ∈ [1 . . . N ] . (11)

7 Parallelschaltung von Widerständen (Leitwerten)Den resultierenden Leitwert aus einer Parallelschaltung erhält man aus der Addition derTeilleitwerte:

Gges =∑k

Gk ,1Rges

=∑k

1Rk

. (12)

7.1 Stromteiler

In einer Parallelschaltung gilt:

U1 = U2 = U3 = . . . = Un = U .

Aus den Ohmschen Gesetzen

I1 = G1 · U1, I2 = G2 · U2, I3 = G3 · U3 ,

Iges = I1 + I2 + I3 = U(G1 +G2 +G3)R2 Rges

R1

R3

I I2

I3

I1

IgesU

U

Bsp.: drei Widerstände parallelfolgt beispielsweise:

I1

Iges= G1 · UU(G1 +G2 +G3) = G1

G1 +G2 +G3,

I1

I2= G1 · UG2 · U

= G1

G2= R2

R1

und allgemein für N Leitwerte:

InIges

= Gn∑kGk

,InIm

= Gn

Gm

, n,m ∈ [1 . . . N ] . (13)




7.2 Zwei parallel geschaltete Widerstände

1Rges

= 1R1

+ 1R2

⇒ Rges = R1 ·R2

R1 +R2, Gges = R1 +R2

R1 ·R2= G1 +G2 (14)

I1

Iges= G1

G1 +G2= 1R1· R1 ·R2

R1 +R2= R2

R1 +R2,

I1

I2= R2

R1. (15)

8 Dreieck- und Sterntransformationen8.1 Dreieck–Stern–Transformation

Sternwiderstand = Produkt der AnliegerwiderständeUmfangswiderstand (16)

Beispiel:

RA = RAC ·RAB

RAB +RAC +RBC

RA

A A

BCC B

RBRC

RAC RAB

RBC

8.2 Stern–Dreieck–Transformation

Dreiecksleitwert = Produkt der AnliegerleitwerteKnotenleitwert (17)

Beispiel:

GAB = GA ·GB

GA +GB +GC; G = 1

RGA

A A

BCC B

GBGC

GAC GAB

GBC

9 ErsatzquellenRegeln für die Umwandlung von Spannungsquellen in Stromquellen und umgekehrt (Voraus-setzung: 0 < Ri <∞):




Ri,u

Ri,iI

Iq

Uq

I*

Innenwiderstand

Ri,u = Ri,i = Ul

Ik

Leerlaufspannung Ul:

Uq : Ul = Uq ⇐⇒ Iq : Ul = Iq ·Ri,i (18)

Kurzschlussstrom Ik:

Uq : Ik = Uq

Ri,u⇐⇒ Iq : Ik = Iq (19)

Allgemeine Umwandlung von Netzen: siehe Seite 15.Innenwiderstand bestimmen: Spannungsquellen kurz-schließen und Stromquellen offen lassen.

10 Leistung, Arbeit, Wirkungsgrad10.1 LeistungIm Verbraucher-Zählpfeilsystem ist am Verbraucher P > 0 und am Erzeuger P < 0

Pverbr. = U · I , Perzeug. = −U · I , p(t) = u(t) · i(t) . (20)

10.2 Anpassung der Last

Ri < RLast : SpannungsanpassungRi = RLast : LeistungsanpassungRi > RLast : Stromanpassung

10.3 Arbeit, Energie

W (t) =∫ t

0p(τ)dτ für P = konst: W = P · t (21)

τ : Integrationsvariable der Zeit, t: Betrachtungszeitraum, p(t): zeitabhängige Leistung.

10.4 Wirkungsgrad

ηP = Pab

Pzu, ηW = Wab

Wzu, ηges = η1 · η2 · ... · ηn (22)

Pab: abgegebene Leistung, Pzu: zugeführte Leistung.




11 Elektrostatisches Feld, Kondensator11.1 AbstandsvektorDer Abstandsvektor ~r zeigt immer vom Quellpunkt zum Aufpunkt (der Ortsvektor des Quell-punkts ~rQ wird somit vom Ortsvektor des Aufpunkts ~rP subtrahiert):

Q

rQ

r

rP

P

x

y ~r = ~rP − ~rQ (23)

Aufpunkt P: Punkt, an dem die Kraft wirktoder das Feld berechnet wird,Quellpunkt Q: Punkt, von dem die Kraft aus-geht oder wo die beobachtete Ladung liegt.

11.2 Permittivität

ε = ε0 · εr , ε0 = 8,854 · 10−12 AsVm (24)

ε0: elektrische Feldkonstante, εr: relative Permittivität.

11.3 Coulombsches Gesetz: Kraft zwischen zwei PunktladungenFür die Kraft, die von einer Punktladung Q auf eine Probeladung q ausgeübt wird, gilt

~Fq = q Q

4πε~r 0

r2 = q Q

4πε~r

r3 , ~r 0 = ~r

r. (25)

11.4 Elektrische Feldstärke, KraftKraft auf eine Punktladung q in einem elektrischen Feld:

~F = q ~E (26)

Elektrische Feldstärke der Punktladung:

~EQ = Q

4πε~r 0

r2 = Q

4πε~r

r3 (27)

Q: Ladung der Punktladung

Elektrische Feldstärke der Linienladung:

~Eλ = λ

2πε~r 0

r, λ = Q

l(28)

λ: Linienladungsdichtel: Länge der Linienladung

Überlagerung elektrischer Felder durch vektorielle Addition:

~Eges = ~E1 + ~E2 + ...+ ~En . (29)




11.5 Elektrische Flussdichte

~D = ε ~E , ε = ε0 · εr (30)

ε0 = 8,854 · 10−12 AsVm : elektrische Feldkonstante, εr: relative Permittivität.

11.6 Gaußscher Satz

Q =∮A

~D · d ~A (31)

Q: Ladung, ~D: Elektrische Flussdichte, d ~A: Vektorielles Flächenelement

11.7 Potenzialfunktion

UAB = ΦA − ΦB =∫ B

A

~E · d~s (32) ~E = −gradΦ (33)

Wirbelfreiheit des elektrostatischen Feldes:∮L

~E · d~s = 0 (34)

Potenziale spezieller Anordnungen:

Punktladung:

Φ(r) = Q

4πε r +K (35)

Linienladung (idealisiert):

Φ(r) = λ

2πε ln(K

r

)(36)

11.8 Kapazität, KondensatorDer Quotient aus gespeicherter Ladungsmenge Q und der anliegenden Spannung U wird alsdie Kapazität des Kondensators bezeichnet

C = Q

U. (37)

Für einen Plattenkondensator gilt speziell:

C = εA

d= ε0 · εr

A

d(38)

A: Plattenfläche, d: Plattenabstand. Allgemeine Berechnung der Kapazität und weitereBauformen siehe Seite 16.




11.9 Reihenschaltung von KondensatorenFür die Gesamtkapazität von N in Reihe geschalteten Plattenkondensatoren gilt

1Cges

=N∑k=1

1Ck

. (39)

11.10 Parallelschaltung von KondensatorenFür die Gesamtkapazität von N parallel geschalteten Plattenkondensatoren gilt

Cges =N∑k=1

Ck . (40)

11.11 Kondensatoren als SpannungsteilerIn einer Reihenschaltung verhalten sich die Kapazitäten umgekehrt zu den dazugehörigenSpannungen. Bsp. für zwei Kondensatoren:

U2 = C1

C1 + C2· U = C1

C2· U1 (41)

und allgemein für N Kondensatoren

UnUges

= Cges

Cn,

UnUm

= CmCn

, n,m ∈ [1 . . . N ] . (42)

11.12 Energie im elektrischen FeldFür die gespeicherte Energie gilt allgemein

We =∫ te

0u(t) i(t) dt =

∫ Qe

0u dQ =

∫ Ue

0uC du (43)

und für C = konst.

We = 12 C U

2e = 1

2C Q2e = 1

2 QeUe . (44)

Allgemein gilt für die Energiedichte

we =∫ De

0~E · d ~D We =

∫Vwe dV (45)

und für ε = konst

we = 12 εE

2 = 12ε D

2 = 12 ED . (46)




12 Stationäres Strömungsfeld12.1 Stromdichte, Stromstärke

I =∫A

~J · d ~A , Quellenfreiheit:∮A

~J · d ~A = 0 . (47)

Falls ~J konstant über ~A und parallel zu d ~A:

I = J · A und nur dann: J = I

A. (48)

~J : Vektor der Stromdichte, d ~A: Vektorielles Flächenelement der Fläche A,J : Betrag der Stromdichte, I: Stromstärke.

12.2 Materialgleichung, elektrische Feldstärke

~J = γ ~E U =∫L

~E · d~s . (49)

J : Stromdichte, γ: spez. elektrischer Leitwert, E: elektr. Feldstärke.

12.3 Widerstandsberechnung

(a) Das elektrische Feld ist inhomogen entlang der Leiterlänge,z. B. ändert sich die Fläche entlang der Leiterlänge, dann gilt

dR = dlγ(l)A(l) ⇒ R =

∫l

dlγ(l)A(l) . (50)

(b) Das elektrische Feld ist inhomogen über die Leiterfläche, z. B.ändert sich die Länge über die Leiterfläche, dann gilt

dG = γ(A) dAl(A) ⇒ G =

∫A

γ(A) dAl(A) . (51)

A( )%

l( )%

JJ

a

b

J

l: Leiterlänge, γ: spez. Leitwert, A: Leiterfläche.




A Linien- und FlächenelementeA.1 Linienelemente

Weg auf Radius r ds = dr (52)Weg auf Kreisbogen ds = r dϕ (53)

A.2 Flächenelemente

Rechteck (x, y) dA = dx dy (54)Kreisfläche dA = % dϕ d% (55)Zylindermantel dA = % dϕ dz (56)Kugeloberfläche dA = r2 sinϑ dϕ dϑ (57)

j

j

dj

J

dJ

r dJ

J

J

r

r

r

r sinJ

r sinJ jd

x

x

x

y

y

y

z

z

zdA

dA

dA

d%

% dj

j

n

%

x

x

y

y

z

dA

dA

AZylindermantel

AKreis

AKugel

% dj

dz

j

%




B Kochrezepte Umlauf- und Knotenanalyse

UmlaufanalyseGesuchte Ströme in die Verbindungszweige.

1 Stromquellen in Spannungsquellen um-wandeln, falls nicht möglich: Strom-quellen zwingend in die Verbindungs-zweige legen.

2 Definition eines vollständigen Baums:Alle unabhängigen Ströme in die Ver-bindungszweige legen. Übrige Zweigesind Baumzweige.

3 Bestimmung der Umläufe und der zujedem unabhängigen Strom gehören-den Umlaufwiderstände. Eintrag in dasLGS.

4 Bestimmung der Kopplungswiderstän-de, vorzeichenrichtiger Eintrag in dasLGS:positiv, wenn die zugehörigen Umlauf-ströme gleichgerichtet,negativ, wenn sie entgegengesetztsind.

5 Eintrag der Spannungsquellen auf derrechten Seite des LGS in den Zeilen derzugehörigen Umläufe:positiv, wenn die zugehörigen Um-laufströme entgegengerichtet, negativ,wenn sie gleichgerichtet sind.

I4 I5 I6(R1 +R2 +R4) −R2 −R1 0

−R2 (R2 +R3 +R5) −R3 0−R1 −R3 (R1 +R3 +R6) U0

R5R3

R2

R1

I1

I3

I2

I4

I5

I6

R6 R4

U0

KnotenanalyseGesuchte Spannungen in die Baumzweige.

1 Spannungsquellen in Stromquellen um-wandeln, falls nicht möglich: Spannungs-quellen zwingend in die Baumzweige le-gen.

2 Definition eines vollständigen Baumesmit zentralem Knoten: Alle unabhängi-gen Spannungen in die Baumzweige.

3 Definition der Zählpfeile: an den Baum-zweigen zeigen die Spannungen alle aufden zentralen Knoten, ansonsten ist dieWahl wie üblich frei.

4 Knotenleitwert eintragen: Summe allerLeitwerte, die an einem Knoten liegen.Wird der unabh. Spannung zugeordnet,deren Zweig zu diesem Knoten führt.

5 Kopplungsleitwerte bestimmen: Leitwer-te der Verbindungszweige. Eintrag mitnegativem Vorzeichen in das LGS alsKoeffizient zu den Spannungen, derenBaumzweige verbunden werden.

6 Eintrag der Stromquellen auf der rech-ten Seite in die Zeilen des LGS, in wel-cher auch der zugehörige Knotenleitwertsteht. Positiv, wenn der Strom in denKnoten hineinfließt, sonst negativ.

UAB UCB UDB(G1 +G4 +G6) −G4 −G6 I0

−G4 (G2 +G4 +G5) −G5 0−G6 −G5 (G3 +G5 +G6) −I0

G5G3

G2

G1

U6

U4

U5

UAB

UDB

UCB

G6

G4I0

A

B C

D


GET I – WS 11 – V6

Prof. Dr. L. Brabetz

Seite: 38

Veranschaulichung

der Berechnung:

2.4.4 Quellenersatzzweipole

2 Berechnung von Strömen und Spannungen in elektrischen Netzen

R2

Uq1

R1

R2

Uq1

R1

Uq1

R1

U1

IK

R2

Uq1

R1 U1

R2

Uq1

R1 IK

Ermittlung

von U1

Ermittlung

von Ik

GET I – WS 11 – V6


Seite: 39

Ersatzstromquelle:

Dieselben Eigenschaften wie die einer Ersatz-

spannungsquelle lassen sich auch mit einer

Ersatzstromquelle darstellen (untere Abbildung):

Diese besteht aus einer

idealen Stromquelle, d.h. einer Komponente, die

einen konstanten Strom IK abgibt und den

Innenwiderstand unendlich hat und

einem parallel liegenden Widerstand Ri .

2.4.4 Quellenersatzzweipole

2 Berechnung von Strömen und Spannungen in elektrischen Netzen

I U

Ri=1/Gi

I

U Uq

IK

RiI

R I

Uq I U

Ri

IK




GET I – WS 14 – V22


Seite: 22 3.6 Die Kapazität

Berechnung der Kapazität

Rekapitulation der Berechnungsschritte:

Vernachlässigung von Randeffekten (wenn notwendig)

Idealisierung (wenn notwendig)

Berechnung der elektrischen Flussdichte über Q und

Gaußschen Satz der Elektrostatik:

a) Auswahl geeigneter Integrationsfläche A

b) Berechnung des Integrals

0

2

( ) ?D r

( ) ( )A

D r dA Q D r

Annahmen über den Feldverlauf der elektrischen

Flussdichte:

- Innerhalb der Elektroden

- Außerhalb der Elektroden

1

Berechnung der elektrischen Feldstärke aus der el.

Flussdichte über Q 3

Berechnung der Potenzialdifferenz:

a) Wahl des Integrationsweges

b) Berechnung des Linienintegrals

Berechnung der Kapazität:

5

6

1 2,s ds s s s

( )( )

D rE r

2

1

12 ( )

s

s

U E s ds

12

QC

U

3 Elektrostatische Felder

Anmerkungen: Bei nicht einfachen Geometrien ist Schritt (1) nicht machbar und die einfachen Flächenintegrale in (2),

welche sich bisher immer als Produkt von Fläche und (konstanter) elektrischer Flussdichte

ausdrücken ließen, werden zu echten Flächenintegralen über dem Skalarprodukt.

Die Permittivität kann auch ein Tensor sein, worauf hier nicht eingegangen wurde.

4

GET I – WS 14 – V22


Seite: 23 3.6 Die Kapazität

3 Elektrostatische Felder

1 2

2,

1

ln2

U

l

2

1

2

ln

lC

2

l

d Q

A

l

1r

2r

1

2E

l

1

ln2

l

d

QU d

A

Q AC

U d

z

QE z

A

Q

z zA

1 2

2 1,

1 24r r

r rQU

rr

2 1

2 1

4r r

Cr r

2

1

4r

QE r

r

1

4

Qr

r

Q

ll

Plattenkondensator Zylinderkondensator Kugelkondensator

z

r

Q

Q

Bilder: R.Marklein, GET 1 06

1l

Q




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