Frankfurt Skript200603

Skript

Massivbau I und II

DIN 1045-1 (Juli 2001)

Hilfsmittel, Tabellen und weitere Unterlagen

bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Jörg Reymendt

Stand: März 06

Fachhochschule Frankfurt am Main Prof. Dr.-Ing. Hans Georg Reinke University of applied sciences Prof. Dr.-Ing. Jörg Reymendt

Unterlagen zu den Vorlesungen Massivbau I-II 2

Fachhochschule Frankfurt am Main Prof. Dr.-Ing. H.-G. Reinke Fachbereich Bauingenieurwesen Prof. Dr.-Ing. J. Reymendt Stand: 21. März 2006

Inhaltsverzeichnis 1 LEHRINHALTE MASSIVBAU I-III:....................................................................................4

1.1 MASSIVBAU I .......................................................................................................................4 1.2 MASSIVBAU II......................................................................................................................6 1.3 MASSIVBAU III ....................................................................................................................7

2 WICHTIGE LITERATUR FÜR MASSIVBAU I,II,III: ......................................................8

3 BETONSTABSTAHLTABELLEN.........................................................................................9

4 EXPOSITIONSKLASSEN UND BETONDECKUNG .......................................................12

5 VERANKERUNG VON BEWEHRUNGSSTÄBEN...........................................................13 5.1 VERANKERUNGSLÄNGE VON BEWEHRUNGSSTÄBEN ..........................................................13 5.2 ÜBERGREIFUNGSLÄNGE VON BEWEHRUNGSSTÄBEN..........................................................14 5.3 ÜBERGREIFUNGSSTÖßE VON BETONSTAHLMATTEN ...........................................................15

6 BESTIMMUNG VON BETONDRUCKFESTIGKEIT, BETONFESTIGKEITSKLASSEN...............................................................................................17

7 BESTIMMUNG DER BETONZUGFESTIGKEIT.............................................................18

8 WERKSTOFFGESETZE UND QUERSCHNITTBEMESSUNG.....................................19 8.1 BETON ...............................................................................................................................19 8.2 BETONSTAHL .....................................................................................................................21

9 SICHERHEITSKONZEPT UND TEILSICHERHEITSBEIWERTE..............................23

10 BEGRENZUNG DER VERFORMUNGEN (BIEGESCHLANKHEIT) ......................25 10.1 EXAKTE BERECHNUNG AM BAUTEIL..................................................................................25 10.2 NACHWEIS DER BEGRENZUNG DER VERFORMUNG OHNE DIREKTE BERECHNUNG..............25

11 TRAGWERKSIDEALISIERUNGEN ..............................................................................27 11.1 MITWIRKENDE PLATTENBREITE.........................................................................................27 11.2 WIRKSAME FELDLÄNGEN ..................................................................................................28 11.3 GEOMETRISCHE BEDINGUNG FÜR DIE BEHANDLUNG ALS VOLLPLATTE.............................28

12 SCHNITTGRÖßENERMITTLUNG................................................................................29 12.1 VERFAHREN DER SCHNITTGRÖßENERMITTLUNG ................................................................29 12.2 UMLAGERUNG VON SCHNITTGRÖßEN.................................................................................29

13 BEMESSUNG FÜR BIEGUNG ........................................................................................30 13.1 BIEGEBEMESSUNG MIT GESCHÄTZTEM INNEREN HEBELARM.............................................30 13.2 BIEGEBEMESSUNG MIT SPANNUNGSBLOCKVERFAHREN ....................................................31 13.3 VEREINFACHTE BIEGEBEMESSUNG EINES PLATTENBALKENS ............................................32 13.4 PARABEL-RECHTECK-VERLAUF ALS NICHTLINEARE BETONDRUCKZONE ..........................33 13.5 ALLGEMEINES BEMESSUNGSDIAGRAMM FÜR RECHTECKQUERSCHNITTE...........................34

14 BEMESSUNG FÜR QUERKRAFT..................................................................................35 14.1 ALLGEMEINER NACHWEIS .................................................................................................36 14.2 BAUTEILE OHNE SCHUBBEWEHRUNG .................................................................................36 14.3 BAUTEILE MIT SCHUBBEWEHRUNG ....................................................................................37


Prof. Dr.-Ing. H.-G. Reinke Fachhochschule Frankfurt am Main Prof. Dr.-Ing. J. Reymendt Fachbereich Bauingenieurwesen

Stand: 21. März 2006

14.4 MINDESTQUERKRAFTBEWEHRUNG VON BALKEN UND PLATTENBALKEN ...........................38

15 BEMESSUNG FÜR TORSION.........................................................................................39 15.1 NACHWEIS BEI REINER TORSION ........................................................................................39 15.2 QUERKRAFT UND TORSION ................................................................................................40

16 ANSCHLUSS ZUG- UND DRUCKGURT BEI PLATTENBALKEN ..........................41

17 NORMALKRAFTBEANSPRUCHTE BAUTEILE........................................................43 17.1 AUSGESTEIFTE UND UNAUSGESTEIFTE TRAGWERKE ..........................................................43 17.2 VERSCHIEBLICHE UND UNVERSCHIEBLICHE SYSTEME .......................................................43 17.3 SCHLANKHEIT VON STÜTZEN .............................................................................................44 17.4 MODELLSTÜTZENVERFAHREN............................................................................................47 17.5 DRUCKGLIEDER MIT ZWEIACHSIGER BIEGUNG...................................................................52 17.6 BEWEHRUNGSRICHTLINIEN UND BAULICHE DURCHBILDUNG VON DRUCKGLIEDERN.........53

18 VIERSEITIG GESTÜTZTE PLATTEN NACH PIEPER MARTENS ........................54

19 LASTVERTEILUNGSBREITE BEI EINACHSIG GESPANNTEN PLATTEN........55

20 AUFLAGERKRÄFTE VIERSEITIG GELAGERTER PLATTEN UNTER GLEICHFLÄCHENLAST.............................................................................................................57



1 Lehrinhalte Massivbau I-III:

1.1 Massivbau I

1. Grundlagen des Verbundwerkstoffs Stahlbeton Kraftfluss ungerissener und gerissener Stahlbeton Werkstoffe und Werkstoffkennlinien Beton Stahl Verbundwirkung Modellbetrachtung, Stabwerke, B- und D- Bereiche Betondruckstab Stahlbetonzugstab Normen : DIN 1045-1, EC2 und DIN 1045 – 88

Sicherheitskonzept 2. Biegebemessung von Rechteckquerschnitten B - Bereich, Kraftfluss Lastniveau : Rechnerischer Bruchzustand Ermittlung der Biegebewehrung, Nachweise der Biegetragfähigkeit mit geschätztem inneren Hebelarm und Überprüfung der Druckzone mit Spannungsblock mit Werkstoffkennlinien und Bernoulli - Hypothese Hilfsmittel : kd - Verfahren und Dimensionsfreie Bemessungsdiagramme 3. Querkraftbemessung von Stahlbetonträgern mit Bügelbewehrung B - Bereich, Kraftfluss Lastniveau : Rechnerischer Bruchzustand Stabwerk, Fachwerkanalogie nach Mörsch Fachwerkstatik des parallelgurtigen Fachwerks Bemessung der Bügel und Nachweis der schrägen Druckstäbe mit angesetztem Druckstrebenneigungswinkel 45° und 31° Standardverfahren nach DIN 1045-1 Mindestbügelbewehrung bei kleiner Querkraftbeanspruchung Nachweis der schrägen Druckstreben nach EC 2 4. Querkraftbemessung von Platten ohne Bügelbewehrung B - Bereich, Kraftfluss Stabwerkmodell, Zahnmodell Fachwerkstatik Nachweis der Querkrafttragfähigkeit Tragfähigkeit nach DIN 1045-1 Einfluss der Plattendicke und der Längsbewehrung




5. Torsionsbemessung B - Bereich, Kraftfluss Fachwerkhohlkasten Bemessung der Bügelbewehrung und Nachweis der Betondruckstreben mit angesetztem Druckstrebenneigungswinkel 45° Tragfähigkeit nach DIN 1045-1 Nachweis der schrägen Druckstreben nach DIN 1045-1 Nachweis der schrägen Druckstreben bei Torsion und Querkraft nach DIN 1045-1 6. Stahlbetonträger mit Biegung und Querkraft Tragwerksentwurf von einfachen Stahlbetonbauteilen Lastannahmen Einfache Statische Systeme Stützweiten Einspannungen Ermittlung von Schnittgrößen Einfeldträger und einachsig gespannte Platten Kragarme Durchlaufträger und einachsig gespannte Durchlaufplatten Momentenumlagerung im Stahlbeton Umlagerungsbegrenzungen nach DIN 1045-1 Mindestmomente bei statisch nicht erfassten Einspannungen etc. Stabwerkmodell für den Träger Versatzmaß und Zugkraftdeckungslinie Mindestabmessungen von Massivbauteilen Träger Deckenplatten : Biegeschlankheit gemäß DIN 1045-1 7. Gebrauchsfähigkeit von Stahlbetonbauteilen Kraftfluss bei Gebrauchslast Begriff der Rissbreite Einfache Berechnung der Rissbreite Beschränkung der Rissbreite nach DIN 1045-1 8. Überblick über die DIN 1045-1 Begriffsvergleich von DIN 1045-1, EC 2 und DIN 1045-88 Werkstoffklassifizierung Teilsicherheitskonzept Bemessung für Biegung Bemessung für Querkraft Gebrauchsfähigkeit 9. Anwendungsbeispiele Deckenplatte über ein- und mehrere Felder Unterzüge



1.2 Massivbau II

1. Stahlbetonplattenbalken mit Biegung und Querkraft Tragwerksentwurf von Stahlbetonplattenbalken Abmessungen von Plattenbalken Biegeschlankheitswerte Bemessung von Plattenbalken Statische Systeme Stützweiten und Einspannungen 2. Zweiachsig gespannte Plattensysteme Kraftfluss Drillsteife und Drillweiche Platten Randbedingungen Schnittgrößenermittlung mit einfachen Gleichgewichtsbedingungen und Tafelwerken Bewehrungsführung 3. Druckbeanspruchte Systeme ohne Stabilitätseinfluss Biegung mit Normalkraft Bemessung mit Spannungsblock mit kd - Tafel mit Interaktionsdiagrammen 4. Druckbeanspruchte Systeme mit Stabilitätseinfluss Globaler Kraftfluss Einfluss von Verformungen und Steifigkeiten auf die Schnittgrößen Knicken von einfachen Stahlbetonstabtragwerken Knicksicherheitsnachweis gemäß EC 2 Bewehrungsführung 5. Verankerungstragfähigkeit von Beton Kraftfluss Modellformulierung Druckkegel mit Zugring

Betonzugfestigkeit Rippengeometrie Rechenwerte der Verbundspannungen gemäß DIN 1045-1 Verbundbereiche Verankerungslänge gemäß EC 2 Konstruktive Details 6. Zeichnerische Darstellung der Stahlbetonkonstruktionen Schalpläne Bewehrungspläne




1.3 Massivbau III

1. Der vollständige Kraftfluss von Stahlbetonträgern Begriff B - und D - Bereiche, Kraftfluss Modellbetrachtung, Stabwerke Betondruckstab Stahlbetonzugstab Normen : DIN 1045 – 88, EC2, DIN 1045-1 Globales Sicherheitskonzept der DIN 1045 – 88 Teilsicherheitskonzept der DIN 1045-1 2. Berechnung und Bemessung einiger typischer D - Bereiche und Umsetzung der Bemessung in Bewehrungsskizzen und Bewehrungspläne Lasteinleitungen bei Trägern Auflagernahe Einzellast Unten angehängte Einzellast Einfeldscheibe Abfangwand eines Einkaufszentrums Tür im Brückenpfeiler Konsolen einer Fertigteilstütze Ausgeklinkte Träger . Einzelfundamente Köcherfundamente Aussparungen von Trägern Aussparungen in Decken Konzentrierte Einzel- und Linienlasten, Spaltzugbeanspruchungen punktförmig gestützte Platten (Flachdecken) Schnittgrößenermittlung Durchstanznachweis Streifen- und Grenzfundamente 3. Horizontale Gebäudeaussteifung Labilitätszahl Lastfall Wind und Lotabweichung Lastverteilung der Horizontalkräfte auf aussteifende Bauteile 4. Mauerwerksbau Tragwerksentwurf von Mauerwerksbauten Grundrisse von typischen Mauerwerksbauten Aussteifung von Mauerwerk Mauerwerk Mauerwerksarten, Steinfestigkeitsklassen Bemessung von Mauerwerk gemäß DIN 1053 5. Semesterarbeit Statik (Aufbau einer statischen Berechnung) Schal - und Bewehrungspläne



2 Wichtige Literatur für Massivbau I,II,III: Schneider Bautabellen, Werner - Verlag, Düsseldorf Wendehorst/Muth Bautechnische Zahlentafeln, B.G. Teubner Verlag, Stuttgart Beispiele zur Bemessung von Betontragwerken nach DIN 1045-1, Deutscher Beton Verein Avak: Stahlbetonbau in Beispielen Teil 1: Bemessung von Stabtragwerken Avak: Stahlbetonbau in Beispielen Teil 2: Bemessung von Flächentragwerken Konstruktionspläne für Stahlbetonbauteile Besonders empfehlenswerte, weiterführende Literatur: Betonkalender, Verlag Ernst und Sohn, Berlin (erscheint jährlich); Hier sind regelmäßig die aktuel-len Normen und zugehörige Beiträge zur Anwendung abgedruckt. Wommelsdorff: Stahlbetonbau Bemessung und Konstruktion Teil 1: Grundlagen - Biegebeanspruchte Bauteile WIT Wommelsdorff: Stahlbetonbau Bemessung und Konstruktion Teil 2: Stützen und Sondergebiete des Stahlbetonbaus (DIN 1045/2001); WIT Grasser/Kupfer/Pratsch/Feix: Bemessung von Stahl- und Spannbetonbauteilen; Betonkalender. Kordina/Quast: Bemessung von schlanken Bauteilen für den durch Tragwerksverformungen beein-flussten Grenzzustand der Tragfähigkeit – Stabilitätsnachweis; Betonkalender. Schlaich/Schäfer Konstruieren im Stahlbeton; Betonkalender Steinle/Hahn: Bauen mit Betonfertigteilen im Hochbau, Betonkalender Hefte des Deutschen Ausschuss für Stahlbeton (DAfStb), Beuth -Verlag, Berlin Bemessungshilfsmittel zu DIN 1045-1, besonders empfehlenswert Heft 525 Vorlesungen über Massivbau, Band I bis VI, Leonhardt, Springer - Verlag, Heidelberg Menn Stahlbetonbrücken, Springer - Verlag, Wien Mauerwerkkalender, Verlag Ernst und Sohn, Berlin (erscheint jährlich) Mauerwerksbau, Pohl/Schneider/Wormuth/Ohler/Schubert, Werner - Verlag, Düsseldorf




3 Betonstabstahltabellen

Nenndurchmesser ds in mm 6 8 10 12 14 16 20 25 28 32 40

Nennquerschnitt As in cm² 0,283 0,503 0,785 1,131 1,54 2,01 3,14 4,91 6,16 8,04 12,57

Nenngewicht G in kg/m 0,222 0,395 0,617 0,888 1,21 1,58 2,47 3,85 4,83 6,31 9,86

Tab. 1 Querschnitte und Nenngewichte für Betonstahl; max. Länge 12 m (bis 15 m)

Stabdurchmesser in mm Stababstand s in cm 6 8 10 12 14 16 20 25 28

Stäbe pro m

5,0 5,65 10,05 15,71 22,62 30,79 40,21 62,83 98,17 123,15 20,0 5,5 5,14 9,14 14,28 20,56 27,99 36,56 57,12 89,25 111,95 18,2 6,0 4,71 8,38 13,09 18,85 25,66 33,51 52,36 81,81 102,63 16,7 6,5 4,35 7,73 12,08 17,40 23,68 30,93 48,33 75,52 94,73 15,4 7,0 4,04 7,18 11,22 16,16 21,99 28,72 44,88 70,12 87,96 14,3 7,5 3,77 6,70 10,47 15,08 20,53 26,81 41,89 65,45 82,10 13,3 8,0 3,53 6,28 9,82 14,14 19,24 25,13 39,27 61,36 76,97 12,5 8,5 3,33 5,91 9,24 13,31 18,11 23,65 36,96 57,75 72,44 11,8 9,0 3,14 5,59 8,73 12,57 17,10 22,34 34,91 54,54 68,42 11,1 9,5 2,98 5,29 8,27 11,90 16,20 21,16 33,07 51,67 64,82 10,5 10,0 2,83 5,03 7,85 11,31 15,39 20,11 31,42 49,09 61,58 10,0 10,5 2,69 4,79 7,48 10,77 14,66 19,15 29,92 46,75 58,64 9,5 11,0 2,57 4,57 7,14 10,28 13,99 18,28 28,56 44,62 55,98 9,1 11,5 2,46 4,37 6,83 9,83 13,39 17,48 27,32 42,68 53,54 8,7 12,0 2,36 4,19 6,54 9,42 12,83 16,76 26,18 40,91 51,31 8,3 12,5 2,26 4,02 6,28 9,05 12,32 16,08 25,13 39,27 49,26 8,0 13,0 2,17 3,87 6,04 8,70 11,84 15,47 24,17 37,76 47,37 7,7 13,5 2,09 3,72 5,82 8,38 11,40 14,89 23,27 36,36 45,61 7,4 14,0 2,02 3,59 5,61 8,08 11,00 14,36 22,44 35,06 43,98 7,1 14,5 1,95 3,47 5,42 7,80 10,62 13,87 21,67 33,85 42,47 6,9 15,0 1,88 3,35 5,24 7,54 10,26 13,40 20,94 32,72 41,05 6,7 16,0 1,77 3,14 4,91 7,07 9,62 12,57 19,63 30,68 38,48 6,3 17,0 1,66 2,96 4,62 6,65 9,06 11,83 18,48 28,87 36,22 5,9 18,0 1,57 2,79 4,36 6,28 8,55 11,17 17,45 27,27 34,21 5,6 19,0 1,49 2,65 4,13 5,95 8,10 10,58 16,53 25,84 32,41 5,3 20,0 1,41 2,51 3,93 5,65 7,70 10,05 15,71 24,54 30,79 5,0 21,0 1,35 2,39 3,74 5,39 7,33 9,57 14,96 23,37 29,32 4,8 22,0 1,29 2,28 3,57 5,14 7,00 9,14 14,28 22,31 27,99 4,5 23,0 1,23 2,19 3,41 4,92 6,69 8,74 13,66 21,34 26,77 4,3 24,0 1,18 2,09 3,27 4,71 6,41 8,38 13,09 20,45 25,66 4,2 25,0 1,13 2,01 3,14 4,52 6,16 8,04 12,57 19,63 24,63 4,0

Tab. 2 Querschnitte von Flächenbewehrungen as in cm2/m



Anzahl der Stäbe Stabdurchmesser

ds in mm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83

8 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03

10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85

12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11,31

14 1,54 3,08 4,62 6,16 7,70 9,24 10,78 12,32 13,85 15,39

16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11

20 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42

25 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09

28 6,16 12,32 18,47 24,63 30,79 36,95 43,10 49,26 55,42 61,58

32 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42

36 10,18 20,36 30,54 40,72 50,89 61,07 71,25 81,43 91,61 101,79

40 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66

Tab. 3 Querschnittswerte von Balkenbewehrung As in cm²

Durchmesser ds in mm 12 14 16 20 25 28 32 40

nom c [mm] nom c [mm] nom c [mm] nom c [mm] nom c [mm] nom c [mm] nom c [mm] nom c [mm]

Balken- breite in cm

20 35 40 20 35 40 20 35 40 20 35 40 20 35 40 20 35 40 20 35 40 20 35 40 15 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 20 4 3 3 4 3 3 4 3 3 3 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 25 6 5 4 5 4 4 5 4 4 5 4 4 4 3 3 4 3 3 3 3 3 3 2 2 30 7 6 6 7 6 6 6 6 5 6 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 35 9 8 7 8 7 7 8 7 7 7 6 6 6 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 40 10 9 9 10 9 8 9 8 8 8 8 7 7 6 6 6 6 6 6 5 5 5 4 4 45 12 11 11 11 10 10 11 10 9 10 9 9 8 7 7 7 7 6 6 6 6 5 5 5 50 13 12 12 13 12 11 12 11 11 11 10 10 9 8 8 8 7 7 7 7 7 6 6 5 55 15 14 14 14 13 13 13 13 12 12 11 11 10 9 9 9 8 8 8 7 7 7 6 6 60 16 16 15 16 15 14 15 14 14 13 13 12 11 10 10 10 9 9 9 8 8 7 7 7 65 18 17 17 17 16 16 16 15 15 15 14 14 12 11 11 11 10 10 9 9 9 8 7 7 70 20 19 18 18 18 17 18 17 16 16 15 15 13 12 12 12 11 11 10 10 10 8 8 8 75 21 20 20 20 19 19 19 18 18 17 16 16 14 13 13 12 12 12 11 11 10 9 9 9 80 23 22 21 21 21 20 20 19 19 18 18 17 15 14 14 13 13 13 12 11 11 10 9 9 85 24 23 23 23 22 22 22 21 21 20 19 19 16 15 15 14 14 14 13 12 12 10 10 10 90 26 25 25 24 23 23 23 22 22 21 20 20 17 16 16 15 15 14 13 13 13 11 11 10 95 27 26 26 26 25 25 24 24 23 22 21 21 18 17 17 16 16 15 14 14 14 12 11 11

100 29 28 28 27 26 26 26 25 25 23 23 22 19 18 18 17 16 16 15 14 14 12 12 12

Tab. 4 Größte Anzahl von Stäben in einer Lage für Balkenbewehrung Die Tabelle bezieht sich auf Bügeldurchmesser ds =10 mm (inkl. Krümmungsradius in den Ecken) für die Betondeckungen nom c= 20, 30 und 40 mm, ohne Berücksichtigung von Rüttelgassen. Der Mindeststababstand liegt bei 20 mm bzw. ds.




Lagermattenprogramm Die Kennzeichnung der Typen erfolgt durch die Art der Matte (R- oder Q-Matte), Angabe des Stahlquerschnitts in cm²/m sowie der Duktilitätsklasse (A=normale Duktilität)

Längsrichtung Mattenaufbau in

Querrichtung Gewichte

Stabdurchmesser Anzahl der Längs-randstäbe Stabab-

stände Innen-bereich

Rand-bereich

Querschnitte as

längs quer je Matte je m²

Länge / Breite

[m]

Rand

einsp

arun

g (L

ängs

richtu

ng)

Matten-bezeichnung

mm mm links rechts

cm²/m kg kg 150 6,0 1,88 Q 188 A 150 6,0 1,88

32,4 3,01

150 7,0 2,57 Q 257 A 150 7,0 2,57 44,1 4,10

150 8,0 3,35

5,00 / 2,15 ohne

Q 335 A 150 8,0 3,35 57,7 5,37

150 6,0d 6,0 4 4 3,77 Q 377 A 100 7,0 3,85 67,6 5,24

150 7,0d 7,0 4 4 5,13 6,00 / 2,15 mit

Q 513 A 100 8,0 5,03

90,0 6,98

150 6,0 1,88 R 188 A 250 5,0 1,13

26,2 2,44

150 7,0 2,57 R 257 A 250 6,0 1,13

32,2 3,00

150 8,0 3,35

5,00 / 2,15 ohne

R 335 A 250 6,0 1,13 39,2 3,65

150 6,0d 6,0 2 2 3,77 R 377 A 250 5,0 1,13 46,1 3,57

150 7,0d 7,0 2 2 5,13 6,00 / 2,15 mit

R 513 A 250 6,0 1,13 58,6 4,54

Tab. 5 Betonstahl – Lagermatten (DIN 1045-1 / 2001-07)

Bild 1 Aufbau einer Betonstahlmatte mit Randeinsparung am Beispiel R513 A

6,00

2,15

25

15

ds = 7,0d

ds = 7,0

ds = 6,0



4 Expositionsklassen und Betondeckung

Expositionsklassen für Bewehrungskorrosion

Beispiele für Umweltbedingungen

Mindest-festigkeits-

klasse

Kein Angriffsrisiko

X0 Kein Angriffsrisiko Unbewehrte Bauteile C 12/15

Karbona-tisierungs-induzierte

Bewehrungs-korrosion

XC1

XC2

XC3

XC4

Trocken oder ständig nass

Nass, selten trocken

Mäßige Luftfeuchtigkeit

Wechselnd nass und trocken

Innenbauteile, Bauteile unter Wasser

Wasserbehälter, Gründungen

Außenbauteile

Wasserwechselzonen

C 16/20

C 16/20

C 20/25

C 25/30

Chlorid- induzierte

Bewehrungs-korrosion

XD1

XD2

XD3

Mäßige Feuchtigkeit

Nass, selten trocken

Wechselnd nass und trocken

Sprühnebelbereich von Verkehrsflächen

Schwimmbecken

Parkdecks (nur mit Beschichtung)

C 30/37

C 35/45

C 35/45

Chlorid- induzierte

Bewehrungs-korrosion aus Meerwasser

XS1

XS2

XS3

Salzhaltige Luft

Unter Wasser

Gezeiten, Spritz- und Sprühwasserzonen

Außenbauteile in Küstennähe

Hafenbecken

Kaimauern

C 30/37

C 35/45

C 35/45

Tab. 6 Umweltklassen für Bewehrungskorrosion

Umweltklasse

Karbonatisierungsinduzierte Korrosion

Chloridinduzierte Korrosion

Chloridinduzierte Korrosion aus Meerwasser

Anforderungen an die Betondeckung [mm]

XC1 XC2 XC3 XC4 XD1 XD2 XD3 XS1 XS2 XS3

Verbundbedingung cmin ≥ ds bzw. dsv cmin ≥ ds bzw. dsv cmin ≥ ds bzw. dsv

cmin (Betonstahl) 1) 2) 10 20 25 40 40

cmin (Spannstahl) 1) 2) 20 30 35 50 50

∆c (Vorhaltemaß) 3) 10 15 15 15 15

1) Für Leichtbeton: cmin + 5 mm 2) Bei Verschleißangriff XM 1: cmin + 5 mm, XM 2: cmin + 10 mm, XM 3: cmin + 15 mm 3) XC 1: 10%-Quantilwert, XC 2 bis XS 3: 5%-Quantilwert Zusätzliche Anforderungen: siehe DIN 1045-1, Abschnitt 6.3

Tab. 7 Anforderungen an die Betondeckung

Betondeckung für die statische Berechnung: cnom = cmin + ∆c




5 Verankerung von Bewehrungsstäben

5.1 Verankerungslänge von Bewehrungsstäben

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 100

2 fbd 1,6 2,0 2,3 2,7 3,0 3,4 3,7 4,0 4,3 4,4 4,5 4,7 4,8 4,9 4,9

Tab. 8 Bemessungswert der Verbundspannung fbd [N/mm²] bei guten Verbundbedingungen und ds ≤ 32 mm. Für mäßige Verbundbedingung fbd mit dem Faktor 0,7 multiplizieren.

a) und b) gute Verbundbe-dingungen für alle Stäbe c) und d) Stäbe in nicht schraffierten Bereich: gute Verbundbedingungen; Stä-be im schraffierten Bereich: mäßige Verbundbedingun-gen

Bild 2 Festlegung der Verbundbedingungen

Grundmaß der Verankerungslänge:

bd

ydsb f

fdl ⋅=4

(siehe Tab. 11)

mit: ds = Stabdurchmesser

fyd = Bemessungswert an der Streckgrenze des Betonstahls

fbd = Bemessungswert der Verbundspannung nach Tab. 8

Verankerungslänge von Stäben:

min,,

,, b

vorhs

erfsbanetb l

AA

ll ≥=α mit: lb =

As,erf, As,vorh =

lb,min =

Grundmaß der Verankerungslänge (s. oben)

erf. bzw. vorh. Querschnittsfläche der Bewehrung

Mindestwert der Verankerungslänge

αa =

= 0,3 αa lb ≥ 10 ds für Zugstäbe = 0,6 lb ≥ 10 ds für Druckstäbe

Beiwert zur Berücks. der Verankerung nach Tab. 9



Tab. 9 Gebräuchlichste Verankerungsarten von Betonstahl

5.2 Übergreifungslänge von Bewehrungsstäben

min,1, snetbs lll ≤⋅= α

mit: lb,net = Verankerungslänge (s. oben) α1 = Beiwert nach Tab. 10 ls,min = Mindestwert der Übergreifungslänge = 0,3 αa α1 lb

≥ 15 ds und ≥ 200 mm

1 Anteil der ohne Längsversatz gestoßenen Stäbe am Querschnitt einer Bewehrungslage ≤ 30 % > 30 %

2 ds < 16 mm 1,2 1,4

3 Stoß in der Zugzone

ds ≥ 16 mm 1,4 2,0

4 Stoß in der Druckzone 1,0 1,0

Tab. 10 Beiwerte α1 für Übergreifungslängen




Stabdurchmesser ds [mm] Betonfestig- keitsklasse

Verbund- bedingungen 6 8 10 12 14 16 20 25 28

C 12/15 gut 41 54 68 82 95 109 136 170 190 mäßig 58 78 97 116 136 155 194 243 272

C 16/20 gut 33 43 54 65 76 87 109 136 152 mäßig 47 62 78 93 109 124 155 194 217

C 20/25 gut 28 38 47 57 66 76 95 118 132 mäßig 41 54 68 81 95 108 135 169 189

C 25/30 gut 24 32 40 48 56 64 81 101 113 mäßig 35 46 58 69 81 92 115 144 161

C 30/37 gut 22 29 36 43 51 58 72 91 101 mäßig 31 41 52 62 72 83 104 129 145

C 35/45 gut 19 26 32 38 45 51 64 80 90 mäßig 27 37 46 55 64 73 91 114 128

C 40/50 gut 18 24 29 35 41 47 59 73 82 mäßig 25 34 42 50 59 67 84 105 118

C 45/55 gut 16 22 27 33 38 43 54 68 76 mäßig 23 31 39 47 54 62 78 97 109

C 50/60 gut 15 20 25 30 35 40 51 63 71 Mäßig 22 29 36 43 51 58 72 90 101

Tab. 11 Grundmaß der Verankerungslänge lb in [cm]

5.3 Übergreifungsstöße von Betonstahlmatten

Ausbildung und Anordnung als Hauptbewehrung • Die Festlegungen in der DIN 1045-1 beziehen sich auf den häufigen Fall des Übergreifungs-

stoßes in zwei Ebenen („Zwei-Ebenen-Stoß“). • Bei Betonstahlmatten mit Bewehrungs-

gehalt as < 12 cm²/m darf durch einen Vollstoß ohne Längsversatz gestoßen werden.

• Bei mehr als 12 cm²/m dürfen nur 60 % des erf. Betonstahlquerschnitts an einer Stelle gestoßen werden. Dies ist zudem nur bei der inneren Lage bei mehrlagiger Bewehrung zulässig.

• Bei mehrlagiger Bewehrung sind die Stöße der einzelnen Lagen stets mindes-tens um die 1,3-fache Übergreifungslän-ge ls in Längsrichtung gegeneinander zu versetzen.

• Eine zusätzliche Querbewehrung ist im Übergreifungsbereich nicht erforderlich.

Übergreifungslänge:



min,,

,2 sb

provs

reqss ll

AA

l ≥⋅⋅=α

≤≥

+=

0,20,1

8004,0 saα

mit:

α2 = Beiwert für die Übergreifungslänge von Betonstahlmatten

α = Querschnittsfläche in mm²/m (α=As/s)

As,req erforderliche Querschnittsfläche der Bewehrung. As,prov vorhandene Querschnittsfläche der Bewehrung. lb Grundmaß der Verankerungslänge nach Gl. (85) mit dem Bemessungswert der

Verbundspannung fbd für gerippte Stäbe. ls,min Mindestmaß der Übergreifungslänge: es ist

≥=q

bs smm

ll200

··3,0 2min, α

sq Abstand der angeschweißten Querstäbe

1 2 3 4

Stabdurchmesser der Querstäbe

ds ≤ 6 mm ds > 6 mm

≤ 8,5 mm ds > 8,5 mm ≤ 12 mm ds > 12 mm

1 Mindestübergreifungslängen der Querstäbe

≥ sl

≥ 150 mm

≥ sl

≥ 250 mm

≥ sl

≥ 350 mm

≥ sl

≥ 500 mm

sl Stababstand Längsstäbe

Tab. 12 Mindestübergreifungslängen in Querrichtung von Betonstahlmatten




6 Bestimmung von Betondruckfestigkeit, Betonfestigkeitsklassen Bezeichnungen DIN 1045-1: [Vergleich DIN 1045-Alt]

z.B. C 20 / 25 B 25 fck = fck,cyl (C 20) βWN fck,cube (C 25)

fck = charakteristische Druckfestigkeit - 5 % Fraktile, - für Kleinserien nach DIN 1045-2

für n Proben:

für 3 Proben:

Versuchsdurchführung: 28 Tage Wasserlagerung 7 Tage Wasserlagerung 21 Tage Luftlagerung (DIN 1048, T. 1) Probekörper: Zylinder : Würfel : a = 200mm ⇒ fck,cyl ⇒ βWN Würfel : a = 150 mm ⇒ fck,cube

Bild 3 Probekörper für Betondruckfestigkeitsprüfung nach DIN 1045-1 und DIN 1045 (88)

kfxsfx

ckmin

nckn

−≥⋅+≥ λ

mmdh

150300

=

x 5x

3 WS WN

min WN

≥ = +≥

β β

β

1fxsfx

ckmin

nck3

−≥⋅+≥ λ

150

150

150

150

300

200

200

200



7 Bestimmung der Betonzugfestigkeit Die Betonzugfestigkeit kann entweder über einen Biegeversuch oder über einen Spaltversuch be-stimmt werden. Aus den Ergebnissen kann die axiale Zugfestigkeit abgeleitet werden.

fct = fct,ax Axiale Zugfestigkeit Biegeversuch: fct,ax = 0,5 · fct,fl Spaltzugversuch: fct,ax = 0,9 · fct,sp

Lastverteilungsstreifen 5 x 10 mm

Mittlere Zugfestigkeit: 32

, ·30,0 ckmct ff = Untere und obere charakteristische Zugfestigkeiten: fctk;0,05 = 0,7 · fct,m fctk;0,95 = 1,3 · fct,m

Festigkeitsklasse C für Normalbeton [N/mm²]

fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 100

γc 1,50 1,52 1,53 1,56 1,60 1,63 1,67

fcd1) 6,8 9,1 11,3 14,2 17,0 19,8 22,7 25,5 28,3 30,8 33,3 38,1 42,5 46,9 50,9

εc2 [%o] -2,0 -2,03 -2,06 -2,1 -2,14 -2,17 -2,20

εc2u [%o] -3,5 -3,1 -2,7 -2,5 -2,4 -2,3 -2,2

1) mit Langzeitbeiwert a = 0,85

Tab. 13 Verformungskennwerte für Normalbeton bei der Anwendung des Parabel-Rechteck-Diagramms




8 Werkstoffgesetze und Querschnittbemessung

8.1 Beton

Bild 4 Parabel-Rechteck-Diagramm bilineare Spannungs-Dehnungs-Linie

Bild 5 Spannungsblock

Bild 6 Vergleich der Betonfestigkeitsklassen DIN 1045-1 und DIN 1045(88)

εc2 εc2,u 0

-fcd

εc (<0)

σc (<0)

εc3 εc3,u 0

εc (<0)

σc (<0)

-fcd

fcd = α · fck / γc

α = Abminderungsfaktor bei Langzeiteinwirkung (0,85) γc = Teilsicherheitsbeiwert für Beton χ = 0,95 für Normalbeton

· χ



N/m

m²

N/m

m²

N/m

m²

bis

C50

/60

ab C

55/6

7

5%-Q

uant

il

95%

-Qua

ntil

N/m

m²

16

Ana

lytis

che

Bez

iehu

ng, E

rläut

erun

g

f cm =

f ck +

8

f ctm =

0,3

0 f ck

(2/3

)

f ctm =

2,1

2 ln

(1+

f cm/1

0)

f ctk;

0,05

= 0

,7 f c

tm

f ctk;

0,95

= 1

,3 f c

tm

Ecm

= 9

500

(f ck +

8)1/

3

in %

o; gi

lt nu

r für

Bild

22

in %

o; gi

lt nu

r für

Bild

22

in %

o; gi

lt nu

r für

Bild

22

in %

o; gi

lt nu

r für

Bild

22

in %

o; gi

lt nu

r für

Bild

22

in %

o; gi

lt nu

r für

Bild

22

15

100

115

108

5,2

3,7

6,8

4520

0

-3,0

-3,0

1,55

-2,2

-1,7

-1,7

-2,2

14

90

105

98

5 3,5

6,6

4380

0

-2,9

5

-3,0

1,6

-2,1

7

-1,6

5

-1,6

5

-2,3

13

80

95

88

4,8

3,4

6,3

4230

0

-2,9

-3,1

1,7

-2,1

4

-1,6

-1,6

-2,4

12

70

85

78

4,6

3,2 6

4060

0

-2,8

-3,2

1,8

-2,1

-1,5

-1,5

-2,5

11

60

75

68

4,4

3,1

5,7

3880

0

-2,7

-3,3

1,9

-2,0

6

-1,4

-1,4

-2,7

10

55

57

63

4,2 3 5,5

3780

0

-2,6

5

-3,4

2,0

-2,0

3

-1,3

5

-1,3

5

-3,1

9 50

60

58

4,1

2,9

5,3

3680

0

-2,6

8 45

55

53

3,8

2,7

4,9

3570

0

-2,5

5

7 40

50

48

3,5

2,5

4,6

3450

0

-2,5

6 35

45

43

3,2

2,2

4,2

3330

0

-2,4

5 30

37

38

2,9 2 3,8

3190

0

-2,3

4 25

30

33

2,6

1,8

3,3

3050

0

-2,2

3 20

25

28

2,2

1,5

2,9

2880

0

-2,1

2 16

20

24

1,9

1,3

2,5

2740

0

-1,9

1

Fest

igke

itskl

asse

n

12a

15

20

1,6

1,1 2

2580

0

-1,8

-3,5

2,0

-2,0

-3,5

-1,3

5

-3,5

Spa

lte

Ken

ngrö

ße

f ck

f ck,c

ube

f cm

f ctm

f ctk;

0,05

f ctk;

0,95

Ecm

b

ε c1

ε c1u

n ε c2

ε c2u

ε c3

ε c3u

Zeile

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

a Die

Fes

tigke

itskl

asse

C12

/15

darf

nur b

ei v

orw

iege

nd ru

hend

en E

inw

irkun

gen

verw

ende

t wer

den.

b D

iese

Wer

te s

telle

n de

n m

ittle

ren

Ela

stiz

itäts

mod

ul a

ls S

ekan

te b

ei |σ

c| ≈

0,4

f cm d

ar

Tab. 14 Festigkeits- und Formänderungskennwerte für Normalbeton




8.2 Betonstahl

Bild 7 Spannungs-Dehnungs-Linie des Betonstahls für die Schnittgrößenermittlung

Bild 8 Spannungs-Dehnungs-Linie des Betonstahls für die Bemessung

In der Regel wird in Deutschland hochduktiler Betonstahl BSt 500 geliefert.

Für die Querschnittsbemessung ist die Stahldehnung εs auf den charakteristischen Wert der Stahl-dehnung unter Höchstlast εuk ≤ 25 ‰ zu begrenzen.

εuk 0,2 %

fy

εs [%]

σs

y

ky

t fff

⋅

idealisierter Verlauf

εsu = 25 %o 2 %o

fyk

εs [%]

σs

vereinfachte Annahme

idealisierter Verlauf

Verlauf für Bemessung

arctan ES

ftk,cal = 525 N/mm² Es = 200.000 N/mm² (E-Modul) α = 10 · 10-6 K-1 (Wärmedehnzahl) εuk = 50 ‰ (hochduktiler Stahl) fyk = 500 N/mm² (Steckgrenze) ftk = 550 N/mm² (Zugfestigkeit)



Tab. 15 Eigenschaften der Betonstähle

Bezeichnung von Betonstählen: A: normale Duktilität B: hohe Duktilität Hinweis: Die Duktilität (Verformungskapazität) des Betonstahls spielt für die Umlagerung von Schnittgrößen eine wichtige Rolle (vlg. Abschnitt 12.2). Normal duktiler Stahl hat ein geringeres Umlagerungsvermögen. Betonstahlmatten (Lagermatten) werden meist aus normal duktilem Stahl gefertigt (z.B. Q513 A).




9 Sicherheitskonzept und Teilsicherheitsbeiwerte

1 2 3 4 ZEI-LE

Art der Einwirkung ständig Gk

veränderlich Qk

Vorspannung Pk

Auswirkung ist γG γQ γP

1 ungünstig 1,35 1,5 1,0

2 günstig 1,00 0 1,0

Tab. 16 Teilsicherheitsbeiwerte γF für Einwirkung auf Tragwerke nach DIN 1045-1

1 2 3 4 5

1 Kombination Unbewehrtes Betonbauteil

γc

Stahlbeton-/ Spannbeton-

bauteil γc 1)

Betonstahl oder Spannstahl

γs γP

Systemwider-stand bei

nichtlinearen Verfahren zur Schnittgrößen-

ermittlung γR

2 Grundkombination 1,8 1,5 1,15 1,3

3 Außergewöhnliche

Kombination (ausge-nommen Erdbeben)

1,55 1,3 1,0 1,1

4 Ermüdung - 1,5 1,15 -

Tab. 17 Teilsicherheitsbeiwerte für die Bestimmung des Tragwiderstands nach DIN 1045-1

1) für Beton ab der Festigkeitsklasse C 55/67 beträgt 0,1

5001,1

1' ≥−

=ck

c fγ



Kombinationsbeiwerte

Einwirkung ψ0 ψ1 ψ2

Nutzlast: Wohn-, Aufenthalts-, Büroräume Versammlungsräume; Verkaufsräume Lagerräume

0,7 0,7 1,0

0,5 0,7 0,9

0,3 0,6 0,8

Windlasten 0,6 0,5 0

Scheelasten: Orte bis zu NN +1000m Orte über NN +1000m

0,5 0,7

0,2 0,5

0 0,2

Temperatureinwirkungen (nicht für Brand) 0,6 0,5 0

Baugrundsetzungen 1,0 1,0 1,0

Sonstige veränderliche Einwirkungen 0,8 0,7 0,5

Tab. 18 Kombinationsbeiwerte ψ für Hochbauten (DIN 1055-100)

Bezeichnung Verwendung

Qk charakteristischer Wert 1. od. allgemeine Einwirkung Q in ständigen Situationen

ψ0 · Qk Kombinationsbeiwert 2. bis n-te Einwirkung Q in vorübergehenden Situationen

ψ1 · Qk häufiger Wert 1. od. allgemeine Einwirkung Q

ψ2 · Qk quasi- ständiger Wert 2. bis n-te Einwirkung Q

in außergewöhnlichen

Situationen

Tab. 19 Verwendung der Kombinationsbeiwerte

Allgemeiner Nachweis für den Grenzzustand der Tragfähigkeit Sd ≤ Rd Sd : Bemessungswert der Einwirkungen (z.B. Bemessungsschnittgröße infolge Einwirkungen). Rd: Bemessungswert des Bauteilwiderstandes (z.B. vom Querschnitt aufnehmbare Schnittgröße). Schnittgrößenkombination für ständige und vorübergehende Situationen:

( ) ( )

≤

+++∑ ∑

>

;;;··0,1·····1

,,0,1,,,,p

pk

s

yk

c

ckd

jk

iikiiQkqQjkjGd

fffRPQQGS

γγγψγγγ




10 Begrenzung der Verformungen (Biegeschlankheit) Die Biegeschlankheit für Bauteile (Begrenzung der Durchbiegung) richtet sich in der DIN 1045-1 an die bereits bekannten Berechnungsarten der DIN 1045-88. Die Begrenzung der Verformungen kann

• entweder durch eine exakte Berechnung am Bauteil oder

• durch einen Nachweis ohne direkte Berechnung ermittelt werden.

10.1 Exakte Berechnung am Bauteil

Bei Wohnbauten, Bürobauten, öffentliche Bauten und Fabriken sollten folgende Durchbiegungen in Abhängigkeit der Stützweite l unter den quasi-ständigen Einwirkungen nicht überschritten wer-den: zul. f ≤ l/250 mit l = Stützweite des Systems Bei der Gefahr von Schäden an angrenzenden Bauteilen (z.B. Risse an leichten Trennwänden in-folge Deckendurchbiegung) sollte die zulässige Durchbiegung inkl. der zeitabhängigen begrenzt werden zu: zul. f ≤ l/500 mit l = Stützweite des Systems Der Grenzwert darf ggf. bei besonderen Maßnahmen heruntergesetzt werden. Eine Überhöhung der Schalung ist möglich, sollte jedoch l/250 nicht überschreiten.

10.2 Nachweis der Begrenzung der Verformung ohne direkte Berechnung

Der Nachweis der Verformung ohne direkte Berechnung wird über die zulässige Biegeschlankheit geführt: Für Platten des üblichen Hochbaus mit normalen Anforderungen an die Durchbiegung: d ≥ li/35 mit d = statische Höhe

li = α · l (Ersatzstützweite mit α gem. 0) l = Stützweite des Systems für Bauteile mit hohen Anforderungen (z.B. Rissgefahr in leichten Trennwänden) d ≥ li

2/150



Bild 9 Beiwerte α zur Bestimmung der Ersatzstützweite

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Spannweite li [m]

Stat

isch

e H

öhe

d [c

m] d = li²/150

d = li/35

Bild 10 Statische Höhe d [cm] für unterschiedliche Spannweiten li [m]

Bauteildicke h = d + nom c + ds,bügel + ds,längs/2




11 Tragwerksidealisierungen

11.1 Mitwirkende Plattenbreite

Für die Schnittgrößenermittlung von Durchlaufträgern im üblichen Hochbau darf die mitwirkende Plattenbreite beff feldweise konstant angesetzt werden.

Bild 11 Mitwirkende Breite bei Plattenbalken (Randbalken und Mittelbalken)

Ermittlung der mitwirkenden Breite nach DIN 1045-1: Die DIN 1045-1 erhöht die mitwirkende Plattenbreite um 20 % der halben lichten Feldweite je Seite.

∑ += wIeffeff bbb , mit 0, ·1,0·2,0 lbb iIeff += 0·2,0 l≤ ib≤

mit bw = Stegbreite des betrachteten Balkens beff,I = effektive Plattenbreite einer Balkenseite l0 = Abstand der Momentennullpunkte des betrachteten Balkens! (siehe Bild 12)

Bild 12 Abstand der Momentennullpunkte l0



11.2 Wirksame Feldlängen

Die statisch wirksamen Stützweiten für Balken, Plattenbalken und Platten werden berechnet zu:

leff = ln + a1 + a2

Nicht durchlaufende Bauteile Durchlaufende Bauteile Auflager mit Volleinspannung

Freie Kragträger Kragarm eines Durchlaufträgers Anordnung eines Lagers

11.3 Geometrische Bedingung für die Behandlung als Vollplatte

Rippen- und Kassettendecken dürfen bei linear-elastischer Schnittgrößenermittlung als Vollplatte betrachtet werden, wenn folgende Bedingungen erfüllt werden:




12 Schnittgrößenermittlung

12.1 Verfahren der Schnittgrößenermittlung

Die DIN 1045-1 ermöglicht verschiedene Berechnungsverfahren zur Schnittgrößenermittlung:

• Linear-elastische Berechnung

• Linear-elastische Berechnung mit Umlagerung

• Verfahren nach der Plastizitätstheorie

• Nichtlineare Verfahren

12.2 Umlagerung von Schnittgrößen

Die unter Verwendung linear-elastischer Berechnungsverfahren ermittelten Momentenverläufe an durchlaufenden Systemen dürfen für die Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit umgelagert werden, wobei die daraus entstehenden Schnittgrößen mit den einwirkenden Lasten im Gleichge-wicht stehen müssen. Die Auswirkungen einer Momentenumlagerung müssen bei der Bemessung durchgängig berück-sichtigt werden. Dies gilt für die Bemessung für Biegung mit und ohne Längskraft, für die Bemes-sung für Querkraft, für die Verankerungslängen und die Abstufung der Bewehrung. Für Durchlaufträger, bei denen das Stützweitenverhältnis benachbarter Felder 0,5 < leff,1 / leff,2 < 2,0 beträgt, in Riegeln von unverschieblichen Rahmen und in sonstigen Bauteilen, die vorwiegend auf Biegung beansprucht sind, einschließlich durchlaufender, in Querrichtung kontinuierlich gestützter Platten, gelten für mögliche Momentenumlagerungen unter Verwendung von hochduktilem Stahl folgende Grenzen:

67/558,0

8,072,0

60/507,0

8,064,0

Cabdx

Cbisdx

d

d

≥

+≥

≥

+≥

δ

δ

δ

δ

mit δ das Verhältnis des umgelagerten Moments zum Ausgangsmoment vor der Umlagerung xd/d bezogene Druckzonenhöhe im Grenzzustand der Tragfähigkeit nach Umlagerung (die Grenzwerte sind in der Regel in den Bemessungstafeln gekennzeichnet)



In Eckknoten unverschieblicher Rahmen ist die Umlagerung auf δ = 0,9 begrenzt. Durch die Umlagerung ergibt sich für das Stütz-moment eine wirtschaftlichere Bemessung. Die Feldmomente, die sich durch die Umlagerung er-höhen, werden in der Regel durch größere Momen-te infolge anderer Lastfälle abgedeckt. Die maximal zulässige Umlagerung kann durch eine Vorbemessung z.B. mit µsd -Tafeln bestimmt werden (µEd-Tafeln weisen xd/d direkt aus).

Bild 13 Umlagerung von Momentenverläufen

13 Bemessung für Biegung Bei der Biegebemessung wird das Gleichgewicht der Inneren Kräfte mit den äußeren Einwirkun-gen im Querschnitt betrachtet. Ziel ist in der Regel die Ermittlung der erforderlichen Biegebeweh-rung (Längsbewehrung). Für die Ermittlung der Bewehrung sind unterschiedliche Verfahren zulässig. In der Praxis werden i.d.R. Tabellenwerke angewendet (z.B. kd-Verfahren).

13.1 Biegebemessung mit geschätztem inneren Hebelarm

Querschnitt:

Bild 14 Querschnitt unter Biegebeanspruchung mit äußerer Einwirkung und Bauteilwiderstand

Ansatz: Geschätzter innerer Hebelarm dz87

≅

Zugkraft in Höhe der Bewehrung (Gleichgewicht am Querschnitt)

dM

zMZ sdsd

sd

87

== erforderliche Bewehrung: yd

sd

yd

sds

fdM

fZA

87

==

h

b

d

as

Msd

Fcd

Fsd Fsd

Fcd

fcd

Z

x/2 x/2

+

MEd

δ · MEd

+ +

-




Kontrolle der Druckzone:

mit ∑ = 0H beträgt die Betondruckkraft sdcd FF =

halbe Höhe der Druckzone: dddzdx ·81·

87

2=−=−=

Höhe der Druckzone: ddx ·41·

81·2 ==

resultierende Betondruckkraft: z

MfbdF sdcdcd >= ···

41

FEd Bemessungswert der Zugkraft in der Längsbewehrung Fcd Bemessungswert der Betondruckkraft in Richtung Bauteilachse z Hebelarm der inneren Kräfte d statische Höhe (Nutzhöhe), Abstand des Schwerpunkts der Bewehrung zum gedrückten Rand)

13.2 Biegebemessung mit Spannungsblockverfahren

Querschnitt:

Bild 15 Querschnitt unter Biegebeanspruchung mit äußerer Einwirkung und Bauteilwiderstand

∑ = 0H Betondruckkraft sdcd FF =

ydssd fAF ⋅= cdcd fxbF ·8,0·=

aus cdsd FF = folgt: ··8,0 cd

yds

fbfA

x⋅

=

∑ = 0M Betondruckkraft z

MF sdcd =

mit z·cdsd FM = und xdz 4,0−= folgt

fcd

h

b

d

as

Msd

Fcd

Fsd

Fsd

Fcd

Z

0,4·x εc

εs

x 0,8·x



)4,0(·8,0· xdfxbM cdsd −=

auflösen nach x (Druckzonenhöhe):

−−=

cd

sd

fdbMdx 2·

·2118,0

Hebelarm der inneren Kräfte: xdz 4,0−=

erforderliche Bewehrung: yd

sd

yd

sd

yd

sds fxd

Mfz

MfZA

·)4,0(· −===

13.3 Vereinfachte Biegebemessung eines Plattenbalkens

Querschnitt:

Bild 16 Plattenbalkenquerschnitt unter Biegebeanspruchung mit äußerer Einwirkung und Bauteil-widerstand

Zulässige Annahme: Druckzone entspricht der Plattenabmessung feff hb ·

und der Hebelarm der inneren Kräfte 2

fhdz −=

∑ = 0H sdcd FF =

∑ = 0M z

MFF sdcdsd ==

aus ydssd fAF ⋅= erfolgt die erforderliche Bewehrung:

ydf

sd

yd

sd

yd

sds

fh

d

Mfz

MfFA

·2

·

−

===

Kontrolle der Druckzone:

cdfeffsd

cd fhbz

MF ·8,0<=

fcd

h

beff

d

as

Msd

Fcd

Fsd Fsd

Fcd

Z

x

bw

hf x/2




13.4 Parabel-Rechteck-Verlauf als nichtlineare Betondruckzone



13.5 Allgemeines Bemessungsdiagramm für Rechteckquerschnitte

Bild 17 Allgemeines Bemessungsdiagramm nach DIN 1045-1 mit Dehnungsbegrenzung

εs ≤ 25 o/oo und Betonfestigkeitsklassen bis C 50/60




14 Bemessung für Querkraft Die Querkraftbemessung der DIN 1045-1 für biegebewehrte Querschnitte mit Querkraftbewehrung (Schubbewehrung) basiert auf dem in Bild 18 dargestellten Fachwerkmodell. Die möglichen Nei-gungen der Druckstreben ϑ sind hierbei in beide Richtungen zu begrenzen.

Bild 18 Fachwerkmodell zur Querkraftbemessung für bewehrte Bauteile

α Winkel zwischen Querkraftbewehrung und Bauteilachse (meist 90°) ϑ Winkel zwischen der geneigten Betondruckstrebe und der Bauteilachse Fsd Bemessungswert der Zugkraft in der Längsbewehrung Fcd Bemessungswert der Betondruckkraft in Richtung Bauteilachse bw kleinste Stegbreite z Hebelarm der inneren Kräfte im betrachteten Querschnitt (vereinfacht darf z=0,9 d angesetzt werden)

Bild 19 Definition von Asl für die Ermittlung des Längsbewehrungsgrads ρl am betrachteten Schnitt

45°

lb,net lb,net

Asl Asl

Vsd

d 45°

Vsd

betrachteter Schnitt

lb,net

Asl

d 45°

VEd



14.1 Allgemeiner Nachweis

VEd ≤ VRd (Einwirkung aus Querkraft muss vom Bauteilwiderstand aufgenommen werden) Der Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft wird durch folgende drei Werte bestimmt: VRd,ct Aufnehmbare Bemessungsquerkraft eines Bauteils ohne Schubbewehrung (in EC 2 als VRd1 bezeichnet) VRd,cy Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft eines Bauteils mit Schubbewehrung d. h. Querkraft, die ohne Versagen der „Zugstrebe“ aufgenommen werden kann. (in EC 2 als VRd3 bezeichnet) VRd,max Bemessungswert der Querkraft, die ohne Versagen des Balkenstegs bzw. der „Betondruckstrebe“ aufnehmbar ist. (in EC 2 als VRd2 bezeichnet) VEd Bemessungswert der einwirkenden Querkraft Die maßgebende Querkraft am Auflager bei Balken und Platten unter Gleichlast ist zu ermitteln bei - direkter Stützung ⇒ VEd im Abstand von 1,0 · d vom Auflagerrand

- indirekter Stützung ⇒ VEd direkt am Auflagerrand

14.2 Bauteile ohne Schubbewehrung

Für Platten ohne Schubbewehrung gilt: VEd ≤ VRd,ct mit:

dbfV wcdcklctRd ⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅⋅= σρκη 12,0)100(10,0 3

1

1,

0,11 =η für Normalbeton

2/2001 ≤+= dκ (mit d in mm) Berücksichtigung des Maßstabs bzw. Bauteilhöhe

lρ Längsbewehrungsgrad gem. Bild 19 (aus der Biegebemessung) mit

02,0≤⋅

=db

A

w

sllρ

bw kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts d Nutzhöhe (statische Höhe) σcd = NEd / Ac mit NEd als Längsdruckkraft infolge Last oder Vorspannung

(Druck negativ!) Anmerkung: Die Dübelwirkung der Längsbewehrung wird in VRd,ct durch den Längsbewehrungs-grad (100 ρl)1/3 berücksichtigt. Die Einspannung der Betonzähne und die Kornverzahnung wird durch die Schubfestigkeit 0,10 fck

1/3 berücksichtigt.




14.3 Bauteile mit Schubbewehrung

Allgemeine Bemessung des Querschnitts für Querkraft

lotrechte Schubbewehrung (α=90°) geneigte Schubbewehrung (α <> 90°)

Bemessungswiderstand der Betondruckstrebe

)cot(tan1

max, θθα

+⋅⋅⋅⋅= zbfV wcdcRd

αc = 0,75 (für Normalbeton) fcd = α fck/γc (α Dauerlastfaktor = 0,85) bw kleinste Stegbreite θ Neigungswinkel der Druckstrebe z innerer Hebelarm (z=0,9 d)


)cot1()cot(cot

2max, θαθα

++

⋅⋅⋅⋅= zbfV wcdcRd

αc = 0,75 (für Normalbeton) fcd = α fck/γc (α Dauerlastfaktor = 0,85) bw kleinste Stegbreite θ Neigungswinkel der Druckstrebe (s. oben) z innerer Hebelarm (z=0,9 d) α Winkel zwischen Schubbewehrung und

Bauteilachse

Bemessungswiderstand der Schubbewehrung θcot, ⋅⋅⋅= zfaV ywdswsyRd mit asw = Asw/sw fywd Bemessungswert der Stahlfestigkeit der

Schubbewehrung z innerer Hebelarm (z=0,9 d) θ Neigungswinkel der Druckstrebe (s. unten) vereinfachend darf cotθ angesetzt werden: - bei reiner Biegung cotθ =1,2 - bei Biegung m. Längsdruck cotθ =1,2 - bei Biegung m. Längszug cotθ =1,0

Bemessungswiderstand der Schubbewehrung ααθ sin)cot(cot, ⋅+⋅⋅⋅= zfaV ywdswsyRd mit asw = Asw/sw fywd Bemessungswert der Stahlfestigkeit der Schub-

bewehrung z innerer Hebelarm (z=0,9 d) α Winkel zwischen Schubbewehrung und

Bauteilachse θ Neigungswinkel der Druckstrebe (s. unten)

Neigungswinkel der Druckstrebe θ (≤ 60°):

°≥≤

°≥≤

−⋅−

≤≤nLeichtbetofür

nNormalbetofür

VVf

EdcRd

cdcd

)5,26(0,2

)5,18(0,3

)/1()/4,12,1(

cot58,0, ϑ

ϑσ

ϑ

mit: zbf

fV wcd

cdckctcRd ⋅⋅

⋅+⋅⋅⋅=σβη 2,1110,0 3

1

1,

βct = 2,4 η1 = 1,0 für Normalbeton cEdcd AN /=σ (NEd < 0 für Längsdruck, z.B. aus Vorspannung) NEd = Bemessungswert der Längskraft



Vereinfachte Vorgehensweise bei lotrechter Schubbewehrung (α=90°) ohne Längskraft (Regelfall)


)cot(tan

1max, θθ

α+

⋅⋅⋅⋅= zbfV wcdcRd

αc = 0,75 (für Normalbeton) fcd = α fck/γc (α Dauerlastfaktor = 0,85) αc · fcd siehe Tabelle unten bw kleinste Stegbreite θ Neigungswinkel der Druckstrebe (s. unten) z innerer Hebelarm (z=0,9 d)

Ermittlung der Schubbewehrung

zf

Vayd

Edsw ⋅⋅=

θtan

asw Schubbewehrung je laufenden Meter VEd Bemessungswert der einwirkenden Querkraft (vgl. 14.1) θ Neigungswinkel der Druckstrebe (s. unten) fyd Bemessungswert der Steckgrenze des Betonstahls der Querkraftbewehrung z innerer Hebelarm (z=0,9 d)

ACHTUNG! Einheiten beachten!

Vereinfachend darf hier für cotθ = 1,2 bzw. tanθ = 0,83 angesetzt werden!

Genauere Berechnung:

tNormalkrafohnenNormalbetofürVzbf Edwck

)60(0,3)/24,01(

2,1cot58,03

1 °≤≤⋅⋅⋅−

≤≤ θθ

Betonfestigkeitsklasse 12/15 16/20 20/25 25/30 30/37 35/45 40/50 45/55 50/60

αc · fcd in MN/m² 5,10 6,80 8,50 10,6 12,8 14,9 17,0 19,1 21,2 0,24 fck

1/3 in MN/m² 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,79 0,82 0,85 0,88

14.4 Mindestquerkraftbewehrung von Balken und Plattenbalken

Balken und Plattenbalken (auch ohne rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung VEd ≤ VRd,ct) erfordern eine Mindestquerkraftbewehrung. Der Bewehrungsgrad ermittelt sich zu: - für bw ≤ h: ρw = 2,0 ρ ρ siehe Tabelle - für bw > h: ρw = 1,3 ρ

mit α

ρsin⋅⋅

=ww

sww bs

A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

charakteristische Betondruckfestigkeit fck [N/mm²] 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 100

1 ρ in (o/oo)

0,51 0,61 0,70 0,83 0,93 1,02 1,12 1,21 1,31 1,34 1,41 1,47 1,54 1,60 1,66

Die Werte in Zeile 1 ergeben sich aus ρ = 0,16 · fctm/fyk (nicht für Leichtbeton)




15 Bemessung für Torsion

Gleichgewichtstorsion ⇒ Torsion ist aufgrund des erforderlichen Gleichgewichts nachzuweisen Verträglichkeitstorsion ⇒ auf den Torsionsnachweis darf verzichtet werden Der Torsionsnachweis für den Querschnitt wird unter Annahme eines gedachten dünnwandigen, geschlossenen Querschnitts geführt (umlaufendes Fachwerkmodell).

Bild 20 Fachwerkmodell für torsionsbeanspruchte Querschnitte und Querschnittsbetrachtung

teff = 2 · nom c + dsl zweifacher Schwerpunktabstand der Längsbewehrung vom Bauteilrand (< vorh. t)

)()(

,

max,

nachweisZugstrebenTTennachweisDruckstrebTT

syRdEd

RdEd

≤

≤

15.1 Nachweis bei reiner Torsion

Aufnehmbare Kraft der Druckstrebe

θθα cotsin2,max, ⋅⋅⋅⋅⋅= effkcdredcRd tAfT mit αc,red = 0,7 αc (allgemein mit αc=0,75 für Normalbeton) αc,red = αc bei Kastenquerschnitten mit Bewehrung an Betonaußen- und Innenseite.

Ak die durch die Mittellinien der gedachten Wände eingeschlossene Fläche teff Wandstärke des Ersatzhohlquerschnitts θ Neigungswinkel der Druckstrebe für Torsion

(darf vereinfachend zu θ =45° angesetzt werden).

Aufnehmbare Kraft der Torsions-Bügelbewehrung θcot2, ⋅⋅⋅= kydw

swsyRd Af

sAT

Aufnehmbare Kraft der Torsions-Längsbewehrung θtan2, ⋅⋅⋅= kydk

slsyRd Af

uAT



mit uk Umfang der Fläche Ak in der Mittellinie gemessen Asl die Querschnittsfläche der Torsionslängsbewehrung Asw die Querschnittsfläche der Torsionsbügelbewehrung sw der Bügelabstand der Torsionsbügelbewehrung Die Torsionsdruckbewehrung darf in Druckgurten des Querschnitts abgemindert werden, im Zug-gurt muss sie zur vorhandenen Längsbewehrung aus Biegung addiert werden. Die Torsionsbügelbewehrung ist zur vorhandenen Schubbewehrung zu addieren. Hierbei ist zu beachten, dass sich die vorhandene Torsionsbügelbewehrung jeweils auf eine Seitenfläche des Querschnitts bezieht.

15.2 Querkraft und Torsion

Bei gleichzeitig wirkender Querkraft und Torsion ist darauf zu achten, dass die sich überlagernden Betondruckspannungen in der Druckstrebe aus Querkraft und Torsion unterhalb der Druckstreben-tragfähigkeit liegen:

12

max,

2

max,

≤

+

Rd

Ed

Rd

Ed

VV

TT (für Vollquerschnitte)

Für einen näherungsweise rechteckigen Vollquerschnitt ist außer der Mindestbewehrung keine Querkraft- und Torsionsbewehrung erforderlich, wenn folgende Bedingungen eingehalten sind:

5,4wEd

EdbVT ⋅

≤ und ctRdwEd

EdEd V

bVTV ,

5,41 ≤

⋅

⋅+

Schubkraft in der Wand des Nachweisquerschnitts infolge Torsionsmoment TEd (vgl. Fachwerk-modell):

k

EdTEd A

zTV⋅

⋅=

2,

mit Ak die durch die Mittellinien der gedachten Wände eingeschlossene Fläche

z die Höhe der Wand, definiert durch den Abstand der Schnittpunkte der

Wandmittellinie mit den Mittellinien der angrenzenden Wände




16 Anschluss Zug- und Druckgurt bei Plattenbalken Bei Plattenbalken wurde die Mitwirkung der Platte bei der Biegebemessung berücksichtigt. Dies bedeutet, dass bei unveränderlichen Biegemomenten Anteile der Biegedruckkraft Fc in die Platte übertragen werden müssen. Hierdurch entstehen auch in den Gurten profilierter Querschnitte (rechnerisch) Schubbeanspruchungen. Als Modell für die Erfassung dieser Beanspruchungen kann wieder das Fachwerkmodell dienen, das gedanklich in der Plattenmittelfläche liegt. Der Nachweis wird im Anschnitt zwischen Platte und Steg geführt. Er erfolgt analog zur Querkraftbemessung des Balkens durch Vergleich der einwirkenden Querkraft mit der Druckstrebentragfähigkeit VRd,max und der Tragfähigkeit der Schubbewehrung VRd,sy. Der Bemessungswert der Ein-wirkenden Längsschubkraft wird aus einer zu übertragenden Querkraft je laufenden Meter Balkenlänge ermittelt:

VEd = ∆ FD

∆ FD = Längskraftdifferenz in einem einseitigen Gurtabschnitt mit der Länge av, in dem die Längsschubkraft als Konstant angenommen werden darf. av ist dabei der halbe Abstand zwi-schen den Momentennullpunk-ten. Der Nachweis der Querkrafttrag-fähigkeit darf wie die Querkraft-bemessung geführt werden (sie-he 14.3). Dabei kann bw = hf und z = av gesetzt werden. Die Druckstrebenneigungswin-kel dürfen in den Zuggurten ver-einfachend zu cotϑ = 1,0 und in den Druckgurten zu cotϑ = 1,2 gesetzt werden. Die hierbei bereits vorhandene Bewehrung aus Querbiegung darf dabei angesetzt werden.



Anschluss der Druckgurte Der Anteil der Biegedruckkraft im Gurt Fd,max kann aus folgenden Be-ziehungen ermittelt werden. Beach-tet man ferner, dass im Plattenbal-ken eine Druckbewehrung nicht sinnvoll ist, und nimmt an, dass die Betonspannungen näherungsweise konstant sind, vereinfacht sich die Beziehung zu:

cc

cacdd A

AFF max,max, =

mit Aca Fläche eines Gurtteils zwischen Anschnitt und Ende der mitwirkenden Breite Acc Gesamtfläche der Biegedruckzone Fcd,max Gesamte Betondruckkraft in der Biegedruckzone Fd,max Betondruckkraftanteil in der Platte (je Seite)

Damit ergibt sich die über die Länge av (halber Abstand zwischen Momentennullpunkten) in den Steg einzuleitende Betondruckraft zu:

v

dD a

FF max,=∆ und VEd = ∆ FD

Nachweis der Schubkraft:

syRdEd

RdEd

VVVV

,

max,

≤

≤

)cot(tanmax, θθα

+

⋅⋅⋅= vfcdc

Rd

ahfV

vyd

Edsw af

Va⋅

⋅=

θtan

Die erforderliche Bewehrung asw ist dabei zu je 50 % auf der Ober- und Unterseite des Anschlusses der Platte zum Steg einzulegen. Vorhandene Biegezugbewehrung in der Platte darf dabei ange-rechnet werden.




17 Normalkraftbeanspruchte Bauteile

17.1 Ausgesteifte und unausgesteifte Tragwerke

Grundsätzlich ist bei Tragwerken zunächst zu unterscheiden, ob es sich um ausgesteifte oder un-ausgesteifte Tragwerke handelt [DIN 1045-1, Abschnitt 8.6.2 (1)]. Ein ausgesteiftes Bauwerk ver-fügt in der Regel über ausreichend vorhandene aussteifende Bauteile wie z.B. Wände, Aufzugker-ne, Treppenhauskerne. Ein aussteifendes Bauteil bzw. ein System aus mehreren aussteifenden Bauteilen muss in der Lage sein, die durch Wind, Schiefstellung, Erdbeben bzw. anderen äußeren Einwirkungen entstehenden horizontalen Beanspruchungen des Gebäudes aufnehmen zu können und sicher in die Fundamente abzuleiten.

17.2 Verschiebliche und unverschiebliche Systeme

Tragwerke gelten als unverschieblich, wenn sie hinreichend ausgesteift sind (z.B. durch Wand-scheiben), oder wenn der Einfluss der Theorie II. Ordnung (Knotenverschiebung bei Belastung) nachweislich weniger als 10 % beträgt. Rahmentragwerke gelten als unverschieblich, wenn das Tragwerk hinreichend ausgesteift ist (z.B. durch Wandscheiben), oder wenn der Einfluss der Theorie II. Ordnung (Knotenverschiebung bei Belastung) kleiner als 10 % beträgt.

aussteifende Bauteile

Tragwerke, die durch lotrechte Bauteile (z.B. Wandscheiben, Aufzugkerne) ausgesteift sind, dürfen als unverschieblich angesehen werden, wenn folgende Bedingungen erfüllt werden: - bei annähernd symmetrisch angeordneten aussteifenden Bauteilen (unsymmetrische s. DIN 1045-1):

)1,02,0(1

m⋅+≥ für m ≤ 3

6,01

≥ für m ≥ 4

Ed

ccm

ges FIE

h1



mit hges Gesamthöhe des Tragwerks bis zur Fundamentoberkante m Anzahl der Geschosse Ecm Ic Gesamtsteifigkeit der aussteifenden Bauteile in der betrachteten Richtung FEd Summe der Bemessungswerte der Vertikallasten mit γF=1,0 (Eigengewicht +Verkehr) Diese Bedingung ist bereits aus der alten DIN 1045 (88) als Labilitätszahl α bekannt. Sind die lot-recht aussteifenden Bauteile nicht annähernd symmetrisch angeordnet, oder besteht aufgrund un-günstiger Steifigkeitsverteilungen die Gefahr einer Verdrehung des Tragwerks, so ist nun auch die Verdrehsteifigkeit des Systems nach DIN 1045-1, 8.6.2(5) nachzuweisen:

)1,02,0(1

m⋅+≥ für m ≤ 3

6,01

≥ für m ≥ 4

mit hges Gesamthöhe des Tragwerks bis zur Fundamentoberkante m Anzahl der Geschosse FEd Summe der Bemessungswerte der Vertikallasten mit γF=1,0 rj Abstand des Bauteils j vom Schubmittelpunkt des Gesamtsystems FEd,j Bemessungswert der Vertikallasten des Bauteils j mit γF=1,0 Ecm Ic Gesamtsteifigkeit der aussteifenden Bauteile in der betrachteten

Richtung, wobei die Betonzugspannungen den Wert fctm (Mittelwert der zentrischen Betonzugfestigkeit) nicht überschreiten sollte.

Ecm Iω Summe Nennwölbsteifigkeiten aller gegen Verdrehung aussteifenden Bauteile

Gcm IΤ Summe Torsionssteifigkeiten aller gegen Verdrehung aussteifenden Bauteile (St. Vernant´sche Torsionssteifigkeit)

Sind die Bedingungen aus den Gleichungen nicht erfüllt, so ist die Stabilität des Gesamtsystems unter Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung nachzuweisen. Das Bauteil ist dann bei vorhande-nen aussteifenden Wänden zwar ausgesteift, jedoch als verschieblich anzusetzen (Beispiel: schlankes Hochhaus mit aussteifenden Kernen).

17.3 Schlankheit von Stützen

ilo=λ mit lo = β · lcol Knicklänge (gemäß Eulerfall)

lcol Länge des Druckglieds i Trägheitsradius AIi =

vereinfachend für Rechteckquerschnitt: i = 0,289 h

+∑∑

jjjEd

Tcm

jjjEd

cm

ges rFIG

rFIE

h 2,

2, ·28,2

1·

1 ϖ




Bild 21 Beiwerte β zur Bestimmung der Knicklänge verschiedener Eulerfälle

Bei Rahmensystemen aus Stützen und Riegeln kann mit Hilfe des Nomogramms in Bild 22, ab-hängig von der Steifigkeit der angrenzenden Riegel und Stützen, die Einspannwirkung an den Kno-ten bestimmt werden und so eine genauere und meist wirtschaftlichere Knicklänge des Systems errechnet werden. Das Nomogramm unterscheidet zwischen unverschieblichen und verschiebli-chen Systemen. Der schraffierte Bereich sollte bei der Anwendung vermieden werden. Die Bestimmung des Beiwerts β erfolgt mittels der Steifigkeitsverhältnisse kA und kB:

2211

2211

5,0 bbbb

colcolcolcolA lIlI

lIlIk⋅+

+= und

4433

1100

5,0 bbbb

colcolcolcolB lIlI

lIlIk⋅+

+=

a) unverschieblicher Rahmen b) verschieblicher Rahmen

Bild 22 Interaktionsdiagramm zur Bestimmung der Knicklänge von Geschossstützen



Abgrenzung der Schlankheit In Abhängigkeit von der Schlankheit eines Einzeldruckglieds kann entschieden werden, ob bei der Bemessung des Druckglieds der Einfluss der Theorie II. Ordnung berücksichtigt werden muss. Unverschiebliche und verschiebliche Einzeldruckglieder gelten als schlank, wenn folgende Grenzwerte der Schlankheit überschritten werden:

41,016

41,025

max

max

<=

≥=

EdEd

Ed

für

für

νν

λ

νλ

mit cdc

EdEd fA

N=ν

NEd Bemessungswert der mittleren Längskraft des Einzeldruckglieds Ac die Querschnittsfläche des Druckglieds fck der charakteristische Wert der Betondruckfestigkeit γc Teilsicherheitswert für Beton (1,5 für Beton bis C50/60)

Unverschiebliche Tragwerke oder Einzeldruckglieder, die als nicht schlank gelten, brauchen nicht nach Theorie II. Ordnung bemessen werden. Schlanke Einzeldruckglieder in unverschieblichen Tragwerken brauchen zudem nicht nach Theo-rie II. Ordnung bemessen werden, wenn sie zwischen ihren Enden nicht durch Querlasten oder Momente beansprucht werden und die Längskraft über die Stützenlänge konstant ist. Die dann zu-lässige Grenzschlankheit beträgt:

)2(2502

01

ee

crit −⋅=λ

mit e01/e02 die jeweilige Lastausmitte der Längskraft an den Stützenenden mit |e01| ≤ |e02|. Für e01 = e02 = 0 ist λcrit = 25 zu setzen.

Für den Sonderfall der beidseitig gelenkig gelagerten Stütze ist λcrit = 25 zu setzen. Bei Einzel-druckgliedern, die keine Betrachtung nach Theorie II. Ordnung erfordern, sollte der Querschnitts-widerstand mindestens folgende Bedingungen erfüllen:

EdRdEdRd NNundh·NM ≥≥ 20 mit h = Stützenlänge

In Bild 23 sind die oberen und unteren Grenzen der Schlankheit λcrit in Abhängigkeit der äußeren Biegebeanspruchungen an den Stielenden e01 und e02 dargestellt.




Bild 23 Einfluss und Grenzwerte der Ausmitten e01 und e02 auf die Grenzschlankheit λlim

Soweit die Bedingungen eingehalten werden, darf für die vorliegende Einzelstütze eine Regel-Querschnittsbemessung durchgeführt werden. Zweckmäßig ist hierbei z.B. die Verwendung der auch schon von der DIN 1045(88) bzw. aus DAfStb-Heft 220 [5] bekannten µ-ν-Diagramme für symmetrisch bewehrte Querschnitte die im DAfStb- Heft 525 erscheinen werden.

17.4 Modellstützenverfahren

Mit dem Modellstützenverfahren liefert die DIN 1045-1 ein vereinfachtes Verfahren zur Bemes-sung schlanker Einzeldruckglieder mit Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung. Anwendungsgrenzen:

- Rechteck- oder kreisförmiger, konstanter Querschnitt (Beton u. Beweh-rung)

- Planmäßige Lastausmitte e0 ≥ 0,1 · h - Schlankheit λ < 140 (sinnvolle Forderung)

Eine Modellstütze ist eine Kragstütze mit der Länge l0, die

- am Stützenfuß eingespannt und am Stützenkopf frei verschieblich ist und - unter Wirkung von Längskräften und Momenten eine einfach gekrümmte

Verformungsfigur aufweist, wobei am Stützenfuß das maximale Moment auftritt.

Der Stabilitätsnachweis für die Modellstütze wird am Stützenfuß auf der Grundlage der Krümmung (1/r) des Querschnitts unter maximaler Auslenkung des Stützenkopfs nach Theorie II. Ordnung geführt. Die tatsächlich auftretende Stützengeometrie- und Stützenlagerung wird durch den Ansatz der Modellstütze idealisiert.

02

01

ee

critλ

+1 0 -1

75

50

25

Momentenverlauf über die Stützenhöhe



Gesamtausmitte am Stützenfuß:

etot = e1 + e2 mit e1 = e0 + ea mit

e0 planmäßige Ausmitte aus Theorie I. Ordnung

ea ungewollte Zusatzausmitte infolge Imperfektion

e2 Ausmitte nach Theorie II. Ordnung

Bild 24 Modellstütze als idealisierter Kragstütze des tatsächlichen Systems

Planmäßige Ausmitte e0: Aus den auf die Stütze einwirkenden Schnittgrößen NEd und MEd errechnet sich die planmäßige Ausmitte aus Theorie I. Ordnung e0 zu:

Ed

Ed

NMe =0

Erzeugen die äußeren Momente über die Stützenlänge für Druckglieder in unverschieblichen Rah-mentragwerken mit konstanten Querschnitten einen linear veränderlichen Momentenverlauf auf-grund unterschiedliche Werte der Lastausmitten an den Stützenenden, darf vereinfachend folgende wirksame Lastausmitte e0 in Abhängigkeit des vorliegenden Systems angesetzt werden:

⋅=⋅+⋅=

020

01020

4,04,06,0

eeeee

der größere Wert ist maßgebend.

mit e01, e02 die jeweilige Lastausmitte in [m] der Längskraft an den Stabenden nach Bild 25 mit |e02| ≥ |e01|. e0(1/2) = (MEd0(1/2)/NEd) MEd0 Bemessungswert des aufnehmbaren Biegemoments nach Theorie I. Ordnung NEd Bemessungswert der aufnehmbaren Normalkraft

e1

20ll =

NEd

e1

NEd

e2 etot




a) b) c)

a) Druckglied mit gleicher Lastaus-mitte an beiden Enden

b) Druckglied mit unterschiedlichen Lastausmitten gleichen Vorzei-chens an beiden Enden

c) Druckglied mit unterschiedlichen Lastausmitten unterschiedlicher Vorzeichen an beiden Enden

Bild 25 Bemessungsmodell zur Berechnung der Gesamtlastausmitte

Ungewollte Ausmitte ea: Zur Berücksichtigung von ungewollten Imperfektionen bei der Herstellung wird eine Zusatzaus-mitte in Abhängigkeit der Stützenhöhe in ungünstiger Richtung angesetzt:

lmitle aaa 100

12 10

1 =⋅= αα

mit

αa1 Schiefstellung gegen die Sollachse (in Bogenmaß) hges Gesamthöhe des Tragwerks in [m] l0 Ersatzlänge des Druckgliedes l Länge des Druckgliedes

Zusätzliche Lastausmitte infolge Theorie II. Ordnung e2:

101 2

012

lr

Ke ⋅⋅=

mit

l0 Ersatzlänge der Stütze (1/r) Krümmung im kritischen Querschnitt (Stützenfuß) K1 = λ/10 - 2,5 für 25 ≤ λ ≤ 35 = 1 für λ > 35

e0

NEd

NEd

e02

NEd

NEd

e01

e02

NEd

e01

NEd



Bild 26 Betrachtung des Querschnitts mit der größten Krümmung

Die Krümmung (1/r) darf im kritischen Querschnitt näherungsweise wie folgt berechnet werden:

dK

ryd

⋅⋅⋅=

9,021

2

ε mit 12 ≤

−−

=balud

Edud

NNNNK

mit εyd Bemessungswert der Dehnung der Bewehrung an der Steckgrenze = fyd/Es (bei BSt 500: εyd = 435/200000 = 0,0022 d statische Höhe des Querschnitts in der betrachteten Richtung Nud Bemessungswert der Grenztragfähigkeit

des Querschnitts, der nur durch zentrische Druckbeanspruchung belastet wird.

Nud = -(fcd · Ac + fyd · As) NEd Bemessungswert der aufnehmbaren

Längsdruckkraft (Druck negativ) Nbal Bemessungswert der Längsdruckkraft bei

größter Momententragfähigkeit des Querschnitts. Bei symmetrisch bewehrten Querschnitten darf Nbal vereinfachend an-genommen werden zu: Nbal = -0,4 · fcd · Ac

Die Annahme K2 = 1 liegt immer auf der sicheren Seite.

NEd

NUd

Nbal

(1/r) (1/r)max

Näherung

MEd, NEd

d

0,9⋅d

h

εs1 εs2

As1 As2

e1

NEd

e2 etot




Bild 27 Ablaufdiagramm für die Bemessung mit dem Modellstützenverfahren.

sind ausstei-fende Bauteile

vorhanden

Gebäude/ Tragwerk

Labilitätszahl erfüllt (Gl. 1/2)

Th. II. O. <10%

Einfluss Th. II. Ordnung

> 10%

System ist unverschieblich

System ist verschieblich


Berücksichtigung der Th. II. Ordnung

erforderlich!

System ist verschieblich


Einzeldruck-glied (Stütze)

λ > λcrit

Berücksichtigung der Th. II. Ordnung z.B. mit Hilfe des Modell-stützenverfahrens

etot = e0+ea+e2

MEdII = NEd · etot

Regelbemessung z.B. mit dem Interaktionsdiagramm

etot MEd,

NEd

ja nein nein ja

ja

nein

ja nein



17.5 Druckglieder mit zweiachsiger Biegung

Um einen genauen Nachweis, der meist nur mit Hilfe eines geeigneten EDV-Programms durchge-führt werden kann in Grenzen umgehen zu können, darf in der DIN 1045-1 bei Rechteckquer-schnitten unter Berücksichtigung von zulässigen Verhältnissen der bezogenen Ausmitten ein Nachweis getrennt in beide Querschnittsrichtungen durchgeführt werden. Zulässig ist diese Betrachtung jedoch nur dann, wenn sich der Lastangriffspunkt von NEd innerhalb des in Bild 28 dargestellten schraffierten Bereich befindet. Diese Bedingung wird durch folgende Beziehungen eingehalten:

( ) ( ) 2,000 ≤behe yz oder

( ) ( ) 2,000 ≤hebe zy mit e0y, e0z die jeweilige Lastausmitte nach Theorie I. Ordnung.

Bild 28 Grenzen für getrennte Nachweise von Stützenquerschnitten in Richtung der beiden

Hauptachsen




17.6 Bewehrungsrichtlinien und bauliche Durchbildung von Druckgliedern

Die Konstruktionsregeln für die Ausbildung von Stützen sind im Abschnitt [13.5] DIN 1045-1 er-läutert. Für Stützenquerschnitte ist – unabhängig von der ermittelten statisch erforderlichen Beweh-rungsmenge – folgender Mindestlängsbewehrungsgrad einzuhalten:

ydEds fNA 15,0min, = Der maximale Bewehrungsgehalt von Stützen liegt, wie bereits aus der alten DIN 1045(88) be-kann, bei 9%, auch im Bereich von Stößen. Damit wurde nicht die Festlegung des EC2 mit 8 % übernommen.

cs AA ⋅= 09,0max,

Als konstruktive Anforderungen sind ferner folgende Punkte einzuhalten:

• Die Längsbewehrung muss durch Querbewehrung umschlossen werden.

• LängssQuers dd ,, 41

≥ , mindestens jedoch 6 mm

• mmd s 5≥ bei Betonstahlmatten als Bügelbewehrung • Bei Stabbündeln mit dsV > 28 mm als Druckbewehrung ist der Stabdurchmesser der

Bügel- und Wendelbewehrungen mindestens mit 12 mm auszubilden.

• Die Querbewehrung ist ausreichend zu verankern.

• maximale Bügelabstände sBü ≤ 12 · min ds,l sBü ≤ min hStütze (kleinster Stützendurchmesser) sBü ≤ 300 mm

• Die Bügelabstände sind um den Faktor 0,6 zu verkürzen - im Bereich von Übergreifungen von Längsstäben mit max dsl > 14 mm - unmittelbar unter und über Balken und Platten für eine Höhe gleich der größeren Abmessung des Stützenquerschnitts

• Längsstäbe im Abstand > 15 ds,Bügel vom Eckbereich sind durch zusätzliche Querbewehrung zu halten.

• Der Mindestdurchmesser der Längsbewehrungsstäbe beträgt min dsl = 12 mm Die geringste zulässige Seitenlänge einer Stütze ist festgelegt zu

• 200 mm für Vollquerschnitte in Ortbetonbauweise • 120 mm für waagerecht betonierte Fertigteilstützen



18 Vierseitig gestützte Platten nach Pieper Martens




Bild 29 Anordnung der Drillbewehrung in den Plattenecken

19 Lastverteilungsbreite bei einachsig gespannten Platten




20 Auflagerkräfte vierseitig gelagerter Platten unter Gleichflächenlast

Die vorliegenden Unterlagen, Bilder und Diagramme dienen ausschließlich zu Lehrzwecken.

Frankfurt Skript200603

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