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Freie Hansestadt Bremen Schulnr.: Kursbezeichnung: Die Senatorin für Bildung und Wissenschaft Abitur 2011 - Grundkurs Mathematik Name:

MAT-GK-TR-H Aufgabe 1 Seite 1 von 2

Aufgabe 1 - zum Themenbereich Analysis Bodenlampe Die rechts abgebildete Bodenlampe des Künstlers Simon Duff hat die Form eines Pilzes. Sie setzt sich aus einem birnen-förmigen Lampenfuß und einem aufgesetzten Lampenschirm zusammen. Zur Serienproduktion soll die Form des Lampen-fußes durch mathematische Funktionen beschrieben werden (alle Angaben in cm). a) Im Bereich 40 0x− ≤ ≤ lässt sich die Form des

Lampenfußes näherungsweise durch eine ganz- rationale Funktion f dritten Grades beschreiben. Der Graph der Funktion gibt den Radius der Lampe an der Stelle x an. Der Graph von f hat

einen Tiefpunkt in ( )30 / 5T − und im Punkt

( )0 / 20H eine waagerechte Tangente.

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f . Weisen Sie nach, dass an der gewünschten Stelle ein Tiefpunkt liegt.

(8 Punkte) Im Folgenden beschäftigen wir uns mit einer kleineren Version der Bodenlampe.

b) Für eine kleinere Nachttischlampe wird für den Bereich 20 0x− ≤ ≤ die Funktion h mit

( ) 3 21 1 10225 10

h x x x= − − + vorgegeben.

Bestimmen Sie rechnerisch den kleinsten Durchmesser der Lampe in diesem Bereich. (Auf Grund der Lampenform können Sie davon ausgehen, dass dieser nicht in 0x = oder 20x = − liegt.)

(5 Punkte) Im Bereich 0 10x≤ ≤ lässt sich die Form des kleineren Lampenfußes durch den Funktions-graphen von g beschreiben (vgl. rechte Abbildung). c) Damit der Lampenfuß stabil liegt, wird der

Viertelkreis angeschnitten. Dadurch ent-steht eine kreisförmige Auflagefläche. Der Schnitt erfolgt dabei entlang einer Geraden k , die durch die Punkte ( )25 / 20P − und ( )0 /10H verläuft.

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung ( )k x der Geraden k .

Der Schnittwinkel α der Geraden k mit der x -Achse lässt sich mit der Gleichung ( ) ( )tan k x′α = − bestimmen.

Ermitteln Sie den Schnittwinkel α mit Hilfe dieser Gleichung. Begründen Sie, warum man zur Bestimmung des Schnittwinkels α diese Gleichung nutzen kann.

(6 Punkte)



d) Rotiert der Graph von g für 0 10x≤ ≤ um die x -Achse, entsteht eine Halbkugel, deren Volumen sich

mit 32 3HalbkugelV r= π berechnen lässt. Rotiert der Graph von h für 20 0x− ≤ ≤ um die x -Achse, bildet der

entstehende Körper den linken Teil des Lampenfußes. Geben Sie eine Stammfunktion zu 2( ( ))h x an. Bestimmen Sie das gesamte Volumen des Lampenfußes. Vernachlässigen Sie dabei das abgeschnittene Kreissegment.

Hilfestellung: ( )( )2 6 5 4 3 21 1 1 4 2 10050 625 1 125 100 45

h x x x x x x= + + − − +

(6 Punkte)



Aufgabe 2 - zum Themenbereich Analysis Ausbreitung der Schweinegrippe

Im Jahr 2009 breitete sich das Virus A/H1N1 weltweit aus. Es verursacht die sogenannte Schweinegrippe. In Deutschland gab es zwei Grippe-wellen, die kurz aufeinander folgten.

Die Schweinegrippe war meldepflichtig. Das Robert-Koch-Institut in Berlin sammelte und veröffentlichte die Daten zur Ausbreitung der Schweine-grippe in Deutschland.

Für die zweite Grippewelle wurden ab der 39. Kalenderwoche 2009 folgende Zahlen gemeldet:

Zeit t in Wochen ab der 39. Kalenderwoche

0 1 2 3 4 5

Anzahl der ins-gesamt infizier-ten Patienten1

1 474 2 344 3 379 4 680 7 021 10 358

a) Die Daten sollen durch eine Exponentialfunktion modelliert werden. Bestimmen Sie aus den Daten einen Wachstumsfaktor für die Anzahl der insgesamt infizierten Patienten. Ermitteln Sie daraus eine Exponentialfunktion f mit ( ) k tf t a e ⋅= ⋅ , die die Anzahl ( )f t der insgesamt infizierten Patienten aus der Tabelle in Abhängigkeit von der Zeit t ( t in Wochen ab der 39. Kalenderwoche) modelliert. Beurteilen Sie kurz, ob die Funktion f ein geeignetes Modell ist, um die Entwicklung der Schweine-grippe zu beschreiben. (6 Punkte)

Verwenden Sie für die nächsten Teilaufgaben die Funktion f mit 0,39( ) 1500 tf t e ⋅= ⋅ .

b) Berechnen Sie mit Hilfe der Funktion f den Zeitpunkt t , zu dem es insgesamt 20000 infizierte Patienten gibt. Berechnen Sie unter Verwendung von Ableitungsregeln den Wert '(7)f , und interpretieren Sie diese Größe im Sachzusammenhang. (4 Punkte)

c) Berechnen Sie die Größe 5

0

1 '( )d5 0

n f t t=− ∫ . Interpretieren Sie diese Größe im Sachzusammenhang.

(3 Punkte)

1 Mit „infizierte Patienten“ sind im Folgenden Patienten gemeint, die an das Robert-Koch-Institut gemeldet wurden.

Elektronenmikroskopisches Bild einiger Influenza-A/H1N1-Viren.

(Quelle: Wikipedia, 25.1.2010)



Der folgende Graph der Funktion g zeigt ein anderes Modell zur Ausbreitung der Schweinegrippe. ( )g t stellt wiederum die Anzahl der insgesamt infizierten Patienten in Abhängigkeit von der Zeit t dar:

d) Beschreiben Sie anhand des Graphen der Funktion g den Verlauf der Schweinegrippe in Deutschland. Skizzieren Sie – ohne Verwendung von Zahlenwerten – den Graphen der Ableitungsfunktion 'g . (4 Punkte)

Eine Zeitung meldete, dass „der Höhepunkt der Schweinegrippe nun überschritten“ sei, obwohl auch nach diesem Zeitpunkt (wir nennen ihn 0t ) die Anzahl der insgesamt infizierten Patienten noch zunahm.

e) Interpretieren Sie die oben genannte Zeitungsaussage im Rahmen des mathematischen Modells mit der Funktion g . Tragen Sie den Zeitpunkt 0t , auf den sich die Zeitungsaussage bezieht, in die Skizze des Graphen von g ein. Beschreiben Sie einen Rechenweg, der notwendig ist, um den Zeitpunkt 0t zu bestimmen, auf den sich die Zeitungsaussage bezieht. (Die Rechnung soll nicht durchgeführt werden.) (4 Punkte)

Die Funktion g aus den Teilaufgaben d) und e) lässt sich durch den Funktionsterm

0,8165

202 000( )1 1 200 tg t

e− ⋅=+ ⋅

beschreiben. Der Zeitpunkt 0t = entspricht wiederum der 39. Kalenderwoche im Jahr 2009.

f) Berechnen Sie (0)g . Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion g für t→∞ . Vervollständigen Sie die Skizze des Graphen der Funktion g für [0;20]t∈ aus Teilaufgabe d), indem Sie Zahlenwerte an die Achsen schreiben. (4 Punkte)



Aufgabe 3 - zum Themenbereich Wahrscheinlichkeitsrechnung / Statistik Mobiltelefone Nach den Auswertungen des Statistischen Bundesamtes vom Mai 2009 ist der Anteil der Haushalte mit Mobiltelefon und ohne zusätzlichen Festnetzanschluss zu dieser Zeit noch gering. Im Folgenden sind mit Mobilfonnutzer diese Haushalte gemeint.

Die nebenstehende Grafik zeigt, wie die Altersstruktur der Haupteinkommens-bezieher der Haushalte der Mobilfonnutzer zur Zeit der Erhebung ist.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer zufälligen Auswahl von 25Mobilfonnutzern im Jahr 2009

● genau 2 ● höchstens 2

der Haupteinkommensbezieher im Alter zwischen 25 und 34 Jahren sind. Geben Sie für die Fragestellung eine geeignete Zufallsgröße X an und bestimmen Sie (2 24)P X≤ ≤ . Erläutern Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang. (6 Punkte)

b) Bestimmen Sie den Umfang einer Stichprobe der Mobilfonnutzer, so dass sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens ein Haupteinkommensbezieher darunter befindet, der jünger ist als 25 Jahre. (4 Punkte)

Von den Haushalten der Mobilfonnutzer im Jahr 2009 verfügen 23% über ein monatliches Nettoeinkommen bis 900 Euro und drei Prozent über mehr als 2600 Euro, 35% der Mobilfonnutzer sind jünger als 25 Jahre (obige Grafik). Ein Journalist behauptet, dass 25,9% ( )0,35 0,74 0,259p = ⋅ = der Mobilfonnutzer unter 25 sind und ein Einkommen zwischen 900€ und 2600€ beziehen.

c) Erläutern Sie die Rechnung des Journalisten und begründen Sie, weshalb die Behauptung vermutlich eine falsche statistische Aussage ist. (4 Punkte)

Bei der Endkontrolle der täglichen Produktionsmenge von 1500 Stück Mobiltelefonen wird festgestellt, dass 20% der von mehreren Herstellern gelieferten Displays mangelhaft sind. Als neue Maßnahme sollen nun alle Displays vor dem Einbau auf ihre Funktionsfähigkeit geprüft werden. Ein geeignetes Prüfgerät erkennt defekte Displays mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% als solche, zeigt jedoch auch mit einer Wahrscheinlichkeit von 3% einwandfreie Displays als fehlerhaft an.

d) Erstellen Sie ein vollständiges Baumdiagramm und bestimmen Sie damit die Wahrscheinlichkeit, dass ein Display nicht defekt ist und trotzdem vom Prüfgerät als fehlerhaft angezeigt und deshalb repariert wird. (5 Punkte)

e) Bestimmen Sie die zu erwartenden täglichen Kosten für die Reparatur der Displays, wenn die Reparatur eines Display vor dem Einbau 2€ und nach der Endfertigung 4,50€ kostet. (6 Punkte)

Altersverteilung der Mobilfonnutzer

35%

19%

38%

6% 2% unter 25-jährig

25-34jährig

35-54 jährig

55-64 jährig

über 64jährig



Aufgabe 4 - zum Themenbereich Lineare Algebra Vergleich zweier Hörnchenarten

Forscher haben eingehend die Lebensgewohnheiten von Grauhörnchen und Eichhörnchen in europäischen Wäldern untersucht. Dazu wurden alle zwei Jahre die Bestände der beiden Arten erfasst. Die Tiere werden im Schnitt etwa vier Jahre alt, daher werden sie vereinfachend in nur zwei Altersklassen von je zwei Jahren aufgeteilt: Jungtiere ( J ) und Alttiere ( A ).

Die Entwicklung einer der beiden Tierarten lässt sich näherungsweise mit Hilfe der Populationsmatrix M , die der anderen mit der Matrix N mit entsprechenden Geburten- und Überlebensraten modellieren. Mit Hilfe von Matrix-Vektor-Multiplikationen kann man die Populationsentwicklung nach weiteren Zeiteinheiten von jeweils zwei Jahren näherungsweise berechnen.

0,75 0,500,50 0

M⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

und 0,80 0,750,64 0

N⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

mit J

vA

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

a) Stellen Sie die Populationsentwicklungen beider Tierarten, wie sie durch die Matrizen M und N beschrieben werden, als Übergangsdiagramme dar. Beschreiben Sie die Unterschiede und Gemeinsamkeiten der Entwicklungen beider Tierarten, soweit sie aus den Matrizen hervorgehen. Die Sterblichkeit der Eichhörnchen wird im Jugendalter von einer oft tödlich verlaufenden Pockenkrankheit geprägt; die Grauhörnchen sind resistent gegen diese Krankheit. Begründen Sie ohne Rechnung, welche Matrix zu den Eichhörnchen gehört. (7 Punkte)

b) Wir gehen davon aus, dass es zu Beginn der Bestandserfassung jeweils 50 Jungtiere und 100 Alttiere bei beiden Hörnchenarten gibt. Hier sind jeweils die Populationsentwicklungen nach weiteren fünf Zeiteinheiten aufgeführt, die sich nach der Modellbildung mit Hilfe der Matrizen ergeben:

zu M : 1 2 3 4 5

88 78 80 80 80; ; ; ;

25 44 39 40 40v v v v v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ ≈ ≈ ≈ ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

zu N : 1 2 3 4 5

115 116 148 174 210; ; ; ;

32 74 74 95 111v v v v v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ≈ ≈ ≈ ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

● Ermitteln Sie für beide Arten, welche Verteilungen sich jeweils nach der sechsten Zeiteinheit ergeben. Runden Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen.

● Geben Sie eine Vermutung zur langfristigen Entwicklung der Population mit der Matrix M an.

● Zeigen Sie für die Population mit der Matrix N , dass die prozentuale Verteilung der Population nach 6 Zeiteinheiten mit der nach 5 Zeiteinheiten übereinstimmt, wenn man auf ganze Prozentpunkte rundet.

● Berechnen Sie den prozentualen Zuwachs der Population mit der Matrix N von der 5. zur 6. Zeiteinheit.



● Die Ergebnisse legen für das langfristige Wachstumsverhalten der Population mit der Matrix N eine Vermutung nahe. Geben Sie diese Vermutung an.

● Bestimmen Sie für die Gesamtpopulation mit der Matrix N eine Exponentialfunktion vom Typ ( ) k tf t c e= ⋅ , die deren Entwicklung modelliert; dabei soll ( )f t die Gesamtzahl der Tiere in

Abhängigkeit von der Zeit t in Zwei-Jahres-Schritten nach der 5. Zeiteinheit darstellen. Bestimmen Sie mit Hilfe der Funktion, nach wie vielen Zeiteinheiten sich die Population verzehnfacht.

(12 Punkte)

c) Gegeben sei die Matrix 0,75

0,64 0a

P⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Bis auf das erste Element entspricht P der Matrix N .

Bestimmen Sie a so, dass die Gleichung , ,x x

P x y Ry y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∗ = ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

erfüllt ist, wobei 00

xy

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Erläutern Sie die Bedeutung der Gleichung und Ihrer gefundenen Lösung im Zusammenhang der Entwicklung einer Tierpopulation. Geben Sie für a einen Beispielwert an, der zum Aussterben einer entsprechenden Population führen würde. (6 Punkte)



Aufgabe 5 - zum Themenbereich Analytische Geometrie Fische In Anlehnung an den Animationsfilm „Findet Nemo“ beobachten wir die Fische Dori und Marlin bei ihren Abenteuern. Alle Positionsangaben in 100 Metern. O bezeichnet den Koordinatenursprung an der Oberfläche des Wassers.

a) Dori bewegt sich von ihrem Startpunkt ( )1 2 1S − − − in Richtung des Vektors 121

v⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Berechnen Sie OP OS t v= + ⋅ mit 3t = und veranschaulichen Sie die Vektorgleichung, in dem Sie die Punkte S und P , die Ortsvektoren OS und OP und den Vektor 3 v⋅ vom Punkt S in das Koordinatensystem (nächste Seite) einzeichnen.

Dori bewegt sich vom Startpunkt nahezu konstant pro Minute um den Vektor v . Interpretieren Sie das Ergebnis OP für den Fall, dass die Koordinaten von v in 100 Metern pro Minute gegeben sind und die Zeit t in Minuten angegeben wird.

Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an, die den Weg von Dori beschreibt.

Entscheiden Sie mit Hilfe einer Rechnung, ob Dori den Punkt ( )510 7B − erreicht. (8 Punkte)

b) Der Hai Bruce schwimmt entlang der Geraden 1 1

: 2,5 21,5 1

h x r− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

und sieht in Dori seinen leckeren

Hai-Happen. Dori bewegt sich entlang der Geraden 1 2

: 2 43 2

k x s⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Zeigen Sie, dass die nicht identischen Geraden h und k , auf denen sich Bruce und Dori bewegen, parallel verlaufen.

Dori will ihre Richtung ändern und Bruce entwischen. Geben Sie zur Hilfe eine Gleichung einer beliebigen Geraden 1k an, so dass 1k und h sich schneiden oder windschief sind. (3 Punkte)

c) In der dunklen Tiefe lauert im Punkt ( )5 8 6W − der Raubfisch Wayne, der seine Umgebung mit einer

Lampe ausleuchtet. Die Lampe macht Objekte in ca. 100 Meter Entfernung für ihn gerade noch sichtbar. Dori befindet sich im Punkt ( )4,5 9 6,5D − .

Entscheiden Sie, ob Wayne Dori sehen kann. Wayne schwimmt vom Punkt W in Richtung des Punktes D . Berechnen Sie den Winkel, mit dem Wayne Doris Schwimmrichtung v (siehe a) trifft. (4 Punkte)

d) Die Front einer gefährlichen Quallenkolonie gleicht einer Wand und kann als Ausschnitt einer Ebene E mit der Koordinatengleichung 2 3: 2 13E x x+ = beschrieben werden. Dori bewegt sich entlang der Geraden k (siehe b)) und achtet nicht auf ihren Weg. Ermitteln Sie den Punkt Q , in dem Dori auf die Ebene E trifft. (6 Punkte)



e) Marlin befindet sich im Punkt ( )3 7 5,5M − .

Berechnen Sie seinen Abstand zur Ebene E (siehe d)). (4 Punkte)

Material zur Aufgabe Fische



Aufgabe 6 - zum Themenbereich Analysis Funktionsuntersuchung Hinweis: Runden Sie alle Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen hinter dem Komma. Gegeben ist die Funktion f mit ( ) (2 1) 2xf x x e= − + und ihre ersten beiden Ableitungsfunktionen

'f mit '( ) (2 1) xf x x e= + und

''f mit ''( ) (2 3) xf x x e= + , x∈ .

a) Ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte für x→−∞ und x→+∞ und begründen Sie Ihre Entscheidungen.

Weisen Sie nach, dass der Graph von f einen Tiefpunkt und einen Wendepunkt besitzt und geben Sie die Koordinaten des Wendepunktes an.

(7 Punkte)

b) Skizzieren Sie den Graphen von f im Intervall 2 1x− ≤ ≤ in ein Koordinatensystem.

(4 Punkte)

Die rechts abgebildete, grau eingefärbte Grafik stellt das Logo einer Firma dar. Das Logo hat als untere Begrenzungslinie den Graphen der Funktion f mit ( ) (2 1) 2xf x x e= − +

und als obere Begrenzungslinie den Graphen der Funktion g mit ( ) (3 1) 3xg x x e= − + . Beide Graphen sind im Intervall 3 0x− ≤ ≤ definiert.

Logo – nicht maßstabsgetreu

c) Weisen Sie nach, dass die Funktion h mit ( ) 1xh x xe= + die Differenz der Funktionswerte von ( )f x und ( )g x liefert.

Zeigen Sie, dass die Funktion H mit ( ) ( 1) xH x x e x= − + eine Stammfunktion von h ist.

Berechnen Sie 0

3

( )h x dx−∫ und interpretieren Sie das Ergebnis in Bezug auf das abgebildete Logo.

(8 Punkte)

d) Der Herstellungsprozess des Firmenlogos macht es erforderlich, dass die Differenz der Funktionswerte ( )f x und ( )g x , die die Gleichung ( ) 1xh x xe= + angibt, an keiner Stelle im Intervall 3 0x− ≤ ≤

weniger als 0,6 Einheiten beträgt. Entscheiden Sie, ob die geforderte Differenz der Funktionswerte im gesamten Intervall 3 0x− ≤ ≤ eingehalten werden kann.

(6 Punkte)

Die Senatorin für Bildung und Wissenschaft

Freie Hansestadt Bremen

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Schriftliche Abiturprüfung 2011 im dritten Prüfungsfach

Grundkurs Mathematik (TR)

Dienstag, 5. April 2011, 9.00 Uhr

Unterlagen für Referenten und Korreferenten

- Diese Unterlagen sind nicht für Schülerinnen und Schüler bestimmt -

Diese Unterlagen enthalten … • Allgemeines, • die Bewertung der Prüfungsleistung und Lösungsskizzen zu den Aufgaben, • keine Aufgabenstellungen – Ihre Exemplare entnehmen Sie bitte den Schüleraufgaben – , • einen Protokollbogen zur Auswahl der Aufgaben für die Prüfungsakten Ihrer Schule, • einen Rückmeldebogen für die Zentralabiturkommission zur Auswahl der Aufgaben.

Allgemeines • Prüfen Sie die Prüfungsaufgaben vor der Aushändigung an die Schülerinnen und Schüler

auf ihre Vollständigkeit und formale und inhaltliche Korrektheit und ergänzen Sie sie gege-benenfalls. Bei nicht ausreichender Anzahl erstellen Sie entsprechende Kopien vor Ort. Bei einem schwerwiegenden inhaltlichen Fehler informieren Sie sofort die Senatorin für Bildung und Wissenschaft über die Hotline (0421 361 6209 oder 10595) von 7.00 bis 9.30. Die von der Senatorin für Bildung und Wissenschaft vorgenommene Korrektur gibt die Schule sofort an die für die schriftliche Prüfung zuständige Lehrkraft weiter.

• Wählen Sie gemeinsam mit Ihrer Korreferentin / Ihrem Korreferenten aus den sechs vorgelegten Aufgaben drei zur Bearbeitung aus. Die Aufgaben kommen aus mindestens zwei verschiedenen Themenbereichen, mindestens eine der Aufgaben ist aus dem Themenbereich Analysis. Kommt es zu keiner Einigung, bestimmt die/der Vorsitzende des Fachprüfungsausschusses die Auswahl der Aufgaben (§ 10 Abs. 2 Nr. 1 AP-V). Protokollieren Sie auf dem beigefügten Protokollformular, welche Aufgaben Sie gewählt haben (Prüferin/Prüfer und Korreferentin/Korreferent und ggf. auch die/der Vorsitzende des Fachprüfungsausschusses unterschreiben das Protokoll).

• Füllen Sie bitte für die Zentralabiturkommission Mathematik den beigefügten Rückmelde-bogen zur Auswahl der Aufgaben aus und schicken ihn an die dort genannte Adresse.

• Fragen Sie vor Verteilung der Aufgaben nach der Arbeitsfähigkeit der Schülerinnen und Schü-ler und weisen Sie diese auf die Regelungen des § 5 AP-V (Täuschung und Behinderung) hin.

• Machen Sie die Schülerinnen und Schüler auf die Arbeitshinweise aufmerksam, die am An-fang ihrer Unterlagen für die Prüfung stehen. Geben Sie ihnen ggf. die nötigen Angaben zur Schulnummer sowie zur genauen Kursbezeichnung.

• Die Bearbeitungszeit beträgt 180 Minuten. • Erlaubte Hilfsmittel: Nicht programmierbarer wissenschaftlicher Taschenrechner, Formel-

sammlung, Zeichengerät, Rechtschreiblexikon.

Freie Hansestadt Bremen Lehrermaterialien Grundkurs Mathematik Die Senatorin für Bildung und Wissenschaft Schriftliche Abiturprüfung 2011

MAT-GK-TR-H-L Erwartungshorizont Aufgabe 1 Seite 2 von 17

Die Bewertung der Prüfungsleistung Die Lösungsskizze stellt eine Lösungsvariante dar; andere gleichwertige Lösungen sind entspre-chend zu bewerten. Die Bewertungsanteile pro Teilaufgabe sind obligatorisch. Für die Festlegung der Gesamtleistung werden den erzielten Bewertungseinheiten die entspre-chenden Notenstufen gemäß folgender Tabelle zugeordnet.

Bewertungs-einheiten KMK Punkte

0 bis 14,5 00

15 bis 20 01

20,5 bis 24,5 02

25 bis 29,5 03

30 bis 33,5 04

34 bis 37 05

37,5 bis 41 06

41,5 bis 44,5 07

45 bis 48,5 08

49 bis 52 09

52,5 bis 56 10

56,5 bis 59,5 11

60 bis 63,5 12

64 bis 67 13

67,5 bis 71 14

71,5 bis 75 15



Aufgabe 1 Erwartungshorizont und Bewertung nach Anforderungsbereichen

Bewertung Lösungsskizze

I II III a) 3 2( ) f x ax bx cx d= + + +

2( ) 3 2f x ax bx c′ = + +

Aus dem Text ergibt sich:

( 30) 5(30) 0(0) 0(0) 20

ffff

− =′ =′ =

=

Damit ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem:

1 27000 900 30 5 9002700 60 0 1

20 0 0 20 20

aa b c da b c b

ccdd

⎡ ⎤= −⎢ ⎥− + − + =⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− + = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = −⇔ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ == ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥=⎣ ⎦

Die Funktionsgleichung ergibt sich mit:

3 21 1( ) 20900 20

f x x x= − − +

Eine mögliche Überprüfung des Tiefpunktes ist:

21 1( ) 300 10

1 1( ) 150 10

( 30) 0 und ( 30) 0,1 0

f x x x

f x x

f f

′ = − −

′′ = − −

′ ′′− = − = >

Bei obiger Funktionsgleichung liegt an der Stelle 30x = − ein Tiefpunkt. 3 5

b) Mit 21 1( )

75 5h x x x′ = − − und der Gleichung ( ) 0h x′ = ergeben sich 1 15x = − und

2 0x = als mögliche Extremstellen. Über die zweite Ableitung 2 1( ) 75 5

h x x′′ = − −

lässt sich nachweisen, dass an der Stelle 1 15x = − ein Tiefpunkt existiert. Mit ( 15) 2,5h − = ergibt sich der kleinste Durchmesser der Lampe mit 5 cm. 3 2



c) Eine Möglichkeit die Geradengleichung ( ) k x mx b= + zu bestimmen ist:

Mit 20 10 2 25 0 5

m −= = −− −

und 10b = ergibt sich 2( ) 105

k x x= − + .

Für den Schnittwinkel mit der x -Achse ergibt sich: ( )arctan ( ) 21,8k x′− ≈ ° .

tan( )α ist durch den Quotienten Gegenkathete

Ankathete definiert. Die Steigung ( )k x′ der

Geraden k ergibt sich mit 2 1

2 1

( ) ( )( ) f x f xk xx x−′ =−

. Die Strecke 2 1( ) ( )f x f x− ent-

spricht der Gegenkathete, die Strecke 2 1x x− der Ankathete. Das negative Vorzei-chen ergibt sich aus der negativen Steigung der Geraden. 2 2 2

d) Mit ( )( )2 z( )h x x= folgt als mögliche Stammfunktion

7 6 5 4 31 1 1 1 2( ) 100 , 354 375 6 750 500 45 3

Z x x x x x x x c c= + + − − + + ∈ .

02 3

20

2 (h(x)) dx 2 364,78 2 094,40 4 459,183LampenfuV rβ

−

= π + π ≈ + =∫ mit 10r = cm.

Das Volumen des Lampenfußes beträgt ungefähr 4 459 cm3. 2 4

Verteilung der insgesamt 25 Bewertungseinheiten auf die Anforderungsbereiche 10 13 2





I II III a)

Die Wachstumsfaktoren erhält man z. B. aus der Quotientenbildung 23441474

, 33792344

,

usw. Der mittlere Wachstumsfaktor beträgt dann 1,478a ≈ . Mit lnk a= ergibt sich

0,391( ) 1474 1,479 1474t tf t e ⋅≈ ⋅ ≈ ⋅ . Eine andere Möglichkeit ist 510358 1,4771474

a = ≈ ;

dann erhält man 0,390k ≈ und eine entsprechende Funktion f . Das Modell be-schreibt die anfängliche Entwicklung der Schweinegrippe sehr gut, ist aber für die langfristige Vorhersage nicht brauchbar, da lim ( )

tf t

→∞= ∞ und die Anzahl der insge-

samt infizierten Patienten nicht unbegrenzt wachsen kann. 3 3

b) Mit der im Aufgabentext angegebenen Funktion gilt

1 20000ln( ) 6,60,390 1500

t = ≈ :

Nach ca. 6,6 Wochen (oder: 6 Wochen und ca. 4,5 Tagen) treten insgesamt 20000 infizierte Patienten auf. Als Ableitungsfunktion erhält man

0,390 0,390'( ) 0,390 1500 585t tf t e e⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ und somit '(7) 8969,7f ≈ . Am Ende der 7. Woche nach Zählungsbeginn beträgt die Änderungsrate der Anzahl der insgesamt infizierten Patienten, also die Anzahl der neu infizierten Patienten pro Woche, ungefähr 8970 . 2 2

c) Es gilt: ( )

5

0

1 1'( )d (5) (0) 1808,6 18095 0 5

n f t t f f= = − = ≈− ∫ .

5

0

1 '( )d5 0

n f t t=− ∫ ist

die durchschnittliche Anzahl der pro Woche neu hinzukommenden Patienten, gemit-telt über die ersten fünf Wochen ab 0t = , d. h. ab der 39. Kalenderwoche 2009. 1 2

d) Mögliche Beschreibung: Ge-mäß der Modellierung mit der Funktion g steigt die Anzahl der Infizierten zunächst expo-nentiell an. Die Anzahl der Neuinfizierten erreicht ein Ma-ximum (siehe Teilaufgabe e) und sinkt anschließend. Für große t erreicht die Anzahl der insgesamt infizierten Patienten einen Sättigungswert. Skizze des Graphen von 'g siehe rechts (hier der Über-sicht halber gemeinsam mit dem Graphen von g ). 2 2



e) Mit der Zeitungsaussage ist gemeint, dass die Anzahl der als neu infiziert gemelde-ten Patienten pro Woche ihr Maximum überschritten hat. Im Modell g tritt diese maximale Anzahl an neu Infizierten pro Woche an der Wendestelle 0t auf. Eintrag der Stelle in die Skizze: siehe d). (Der Eintrag soll ohne Berechnung nur den unge-fähren Zeitpunkt wiedergeben; es sollte deutlich werden, dass die Wendestelle ge-meint ist.) Zur Bestimmung der Wendestelle 0t müssen die Ableitungsfunktionen ''g und '''g bestimmt werden. Notwendige Bedingung: 0''( ) 0g t = . Hinreichende Bedingung:

0''( ) 0g t = und 0'''( ) 0g t ≠ ; alternativ über Vorzeichenwechsel der Funktion ''g an der Wendestelle. Falls im Unterricht behandelt, kann die Wendestelle auch über die Eigenschaft berechnet werden, dass der Funktionswert dort gleich der Hälfte des Grenzwerts der Funktion ist. 1 2 1

f) Es gilt:

202000(0) 168,191201

g = ≈ .

Es ist lim ( ) 202000

tg t

→∞= : Der Sättigungs-

wert liegt bei 202 000 infizierten Patien-ten. Vollständige Skizze siehe rechts.

1 2 1






I II III a) Aufgrund der zufälligen Auswahl kann

X : Anzahl der Hauhalte unter den 25 ausgewählten, bei denen der Haupteinkom-mensbezieher zwischen 25 und 34 Jahren ist, die ausschließlich Mobiltelefone nut-zen; als binomialverteilt mit 0,19p = ; 25n = angesehen werden.

[ ]

( 2) 0,0851( 2) ( 0) ( 1) ( 2) 0,1204(2 24) 1 ( 1) ( 25) 0,9646

P XP X P X P X P XP X P X P X

= ≈≤ = = + = + = ≈

≤ ≤ = − ≤ + = ≈

Der Wert von (2 24)P X≤ ≤ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass man bei 25 be-fragten Haushalten mit ausschließlicher Mobiltelefonnutzung im Jahr 2009 2 , 3 , … oder 24 findet, bei denen der Haupteinkommensbezieher zwischen 25 und 34 Jahre alt ist. 5 2

b) :X Anzahl der Mobilfonnutzer unter 25 Jahren von n zufällig befragten Mobilfon-nutzern ist mit 0,35p = binomialverteilt. ( ) 0,65 0,01 11nP X k n= = < ⇒ ≥ (Sowohl Probierlösungen als auch exakte Lösungen sind zulässig.) Es müssen mindestens 11 Haushalte befragt werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Haupteinkommensbezieher jünger als 25 Jahre ist, größer als 99% ist . 1 3

c) Berechnet wurde die Wahrscheinlichkeit, dass ein Haupteinkommensbezieher jün-ger als 25 Jahre ist und der Haushalt über ein monatliches Einkommen zwischen 900€ und 2600€ verfügt.

Es wird angenommen, dass die Einkommensverhältnisse der Haushalte mit Mobil-fonnutzung unabhängig vom Alter des Haupteinkommensbezieher sind. Die An-nahme ist falsch, in der Regel ist die Einkommensverteilung vom Alter abhängig. 1 2 1



d)

defektD

nichtdefekt

D

erkanntE1

nichterkannt

E1

erkanntE2

nichterkannt

E2

0,20

0,80

0,05

0,95

0,97

0,03

EigenschaftDisplay

Erkennungdurch Prüfgerät

als einwandfrei angezeigt

als einwandfrei angezeigt

als fehlerhaft angezeigt

als fehlerhaft angezeigt

( ) ( ) ( ) 0,8 0,03 0,024P D E P D P E D∩ = ⋅ = ⋅ = 1 3

e) mPY : Kosten der zu reparierenden Displays mit einer Prüfung vor dem Einbau,

der Erwartungswert dafür beträgt: ( ) 0,8 0,03 2,00 € 0, 2 0,95 2,00 € 0, 2 0,05 4,50 € 0, 473 €mPE Y = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = .

Die zu erwartenden täglichen Kosten betragen also: ( ) 1500 0, 473 € 709,50 €KE Y = ⋅ =

2 3 1






I II III a) J für Jungtiere und A für Alttiere

Zu M :

Zu N :

Die Art, die zur Matrix N gehört, hat – alles bezogen auf eine Zeiteinheit von zwei Jahren – im Vergleich zu der zur Matrix M gehörenden Art sowohl höhere Gebur-tenraten, 5 Prozentpunkte bei den Jungtieren, 25 Prozentpunkte bei den Alttieren, als auch eine höhere Überlebensrate von der Altersklasse der Jungtiere zur Alters-klasse der Alttiere, und zwar ist sie um 14 Prozentpunkte höher als diejenige der Population zur Matrix M .

Gemeinsam ist beiden Populationen, dass kein Alttier überlebt.

Da die Sterblichkeit bei der Hörnchenart, die zur Matrix M gehört, mit 50% um 14 Prozentpunkte größer ist als die der zu N gehörenden Population mit 36% , han-delt es sich bei dieser Matrix um die Populationsmatrix der Eichhörnchen, die im Jugendalter von der oft tödlich verlaufenden Pockenkrankheit betroffen ist. 3 4

b) ● Für die Population mit der Matrix M ergibt sich z.B. mittels Matrix-Vektor-Multplikation folgende Verteilung 6v :

5 6

0,75 0,50 80 800,50 0 40 40

M v v⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∗ ≈ ∗ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Für die Population mit der Matrix N ergibt sich für 6v :

5 6

0,80 0,75 210 2510,64 0 111 134

N v v⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∗ ≈ ∗ ≈ ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Im Wesentlichen sollte zum Ausdruck kommen:

● die zur Matrix M gehörende Art nähert sich recht schnell einer stationären Verteilung von 80 Jungtieren und 40 Alttieren, die beiden Altersklassen stehen im Verhältnis von 2:1 (ca. 67% Jungtiere, ca. 33% Alttiere).

● Nach 5 Zeiteinheiten gibt es insgesamt 210 111 321+ = Tiere, damit ist

5

0,654321

0,346v

⎛ ⎞≈ ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠, also, auf ganze Prozentpunkte gerundet, gibt es 65%

J A0,50

0,50

0,75 0

J A0,64

0,75

0,80 0



Jungtiere und 35% Alttiere. Nach 6 Zeiteinheiten ist die prozentuale Ver-teilung, auf ganze Prozentpunkte gerundet, die gleiche, da

6

0,652 0,652(251 134) 385

0,348 0,348v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ + ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

● Der prozentuale Zuwachs beträgt wegen 385321 1,20≈ etwa 20% .

● Die Art mit der Matrix N wächst langfristig von Zeiteinheit zu Zeiteinheit insgesamt um 20% und verteilt sich auch langfristig gleich auf die beiden Altersstufen, mit ca. 65% Jungtieren und ca. 35% Alttieren.

● Berücksichtigt man die nach 5 Zeiteinheiten existierende Population von insgesamt 321 Tieren und ein langfristiges Wachstum von 20% nach jeder Zeiteinheit, ergibt sich folgende modellierende Exponentialfunktion f mit

ln1,20 0,1823( ) 321 321t tf t e e⋅ ⋅= ⋅ ≈ ⋅ .

Eine Verzehnfachung ergibt sich nach gut 12,5 Zeiteinheiten, da ln10

ln1,20 12,63≈ .

5

7

c) Aus , ,

x xP x y R

y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∗ = ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ergibt sich 0,75

0,64ax y x

x y+ =⎡ ⎤

⎢ ⎥=⎣ ⎦,somit

0,75 0,64ax x x+ ⋅ = oder 0,52ax x= , d.h. 0,52a = löst die Gleichung

, ,x x

P x y Ry y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∗ = ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, die im Sachzusammenhang bedeutet, dass für eine Gebur-

tenrate der Jungtiere von 52% eine Population mit der Übergangsmatrix P eine stationäre Verteilung hat oder eine Population mit der Übergangsmatrix P hat den Wachstumsfaktor 1 , d.h. die stabile Verteilung von P ist stationär.

Jeder Wert a mit 0,52a < führt zum Aussterben einer Population mit der Über-gangsmatrix P . 2 2 2






I II III a) 1 1 2

2 3 2 41 1 4

OP−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

OP ist der Ortsvektor zum Punkt (2 4 4)P − , den Dori nach drei Minuten erreicht.

1 1: 2 2

1 1g x r

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Mit 6r = gilt 5 1 1

10 2 27 1 1

r−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. Also erreicht Dori den Punkt B .

5 3

b) Weil

1 22 2 4

1 2

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, sind die Richtungsvektoren von h und k Vielfache vonein-

ander. Die Geraden k und h sind zueinander parallel.

1

1 1: 2 2

3 1k x r

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ist eine mögliche Gleichung der Geraden, weil der Rich-

tungsvektor 12

1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

kein Vielfaches von 242

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

ist. Also schneiden sich

1k und h oder sie sind windschief. 1 2



c) 2 2 2( 0,5) 1 ( 0,5) 1,22WD = − + + − ≈ . Der Abstand zwischen Dori und Wayne be-

trägt ungefähr 122 Meter, d.h. Wayne sieht Dori nicht.

0,510,5

WD−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

und

0,5 11 20,5 1 2 2cos( )

30,5 1 1,5 61 20,5 1

a

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟∗⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =− ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

; 48α ≈

2 2

d) Die Gleichung

1 22 43 2

x s⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

entspricht dem LGS 1

2

3

1 22 4

3 2

x sx sx s

= += += − −

.

Setzt man 1x , 2x und 3x in die Koordinatengleichung der Ebene E ein, so erhält

man 2s = und es ergibt sich der Punkt ( )5 10 7Q − , in dem Dori auf die Ebene E

trifft. 1 4 1

e) Eine mögliche Lösung:

Der Abstand d des Punktes M von der Ebene E berechnet sich durch:

2 7 5,5 13( , ) 2,015

d M E ⋅ + − −= ≈ .

Der Abstand von Marlin zur Ebene E beträgt ungefähr 201 Meter. Eine andere Lösungsmöglichkeit:

Aufstellen einer Gleichung der zu E orthogonalen Geraden (Lotgerade) durch M . Berechnen der Koordinaten des Lotfußpunktes F der Lotgeraden mit der Ebene E . Der Abstand vom Punkt M zur Ebene E ist dann gleich dem Betrag des Vektors MF . 1 2 1






I II III a) Grenzwerte:

lim ( ) 2x

f x→−∞

= , denn lim (2 1) 0x

xx e

→−∞− = , weil xe stärker gegen 0 als (2 1)x − gegen

−∞ strebt.

lim ( )x

f x→∞

→∞ , denn lim(2 1) x

xx e

→∞− →∞ , weil xe und (2 1)x − gegen

∞ streben.

Berechnung des Tiefpunkts: Höchstens Nullstellen der ersten Ableitung können Extremstellen sein (eine mögli-che Lösung ist):

1'( ) 0 (2 1) 02E E Ef x x x= ⇔ + = ⇔ = −

12''( ) 2e 0Ef x

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= > . An der Stelle Ex liegt ein Tiefpunkt vor.

Alternativ dazu kann ein Nachweis der hinreichenden Bedingung mit dem Vorzei-chenwechselkriterium erfolgen.

Höchstens Nullstellen der zweiten Ableitung können Wendestellen sein:

3''( ) 0 (2 3) 02W W Wf x x x= ⇔ + = ⇔ = −

'''( ) (2 5) xf x x e= + 32'''( ) 2 0Wf x e

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= ≠ . An der Stelle Wx liegt eine Wendestelle mit den Koordinaten

( )1,5 |1,11W − vor. 3 4

b) Skizze des Graphen der Funktion f :

4



c) Die Funktion h mit ( ) ( ) ( )h x g x f x= − liefert die Differenz der Funktionswerte an jeder Stelle x im Intervall 3 0x− ≤ ≤ .

( ) (3 1) 3 ((2 1) 2) 1x x xh x x e x e xe= − + − − + = +

Nachweis, dass H die Stammfunktion ist:

'( ) ( 1) 1 1x x xH x e x e xe= + − + = + , also gilt: '( ) ( )H x h x= .

Die Maßzahl der Fläche: 0

3

( 1) (0) ( 3) 2,20xxe dx H H−

+ = − − ≈∫ .

Das Integral liefert die Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen von h und der x − Achse. Diese Fläche entspricht genau der von den Graphen f und g im Inter-vall 3 0x− ≤ ≤ eingeschlossenen Fläche. 1 6 1

d) Die kleinste Differenz ergibt sich höchstens in einem lokalen oder absoluten Mini-mum von h :

'( ) (1 )'( ) 0 1

x

E

h x x eh x x

= += ⇔ = −

''( ) (2 ) xh x x e= +

Überprüfen der möglichen Extremstelle Ex mit Hilfe der zweiten Ableitung liefert:

1''( ) 0Eh xe

= > . An der Stelle Ex liegt ein Tiefpunkt mit den Koordinaten

( 1| 0,63)T − vor. Überprüfung der Randwerte:

( 3) 0,85h − ≈ , (0) 1h = .

Die Randwerte sind größer als 0,63 . Die kleinste Differenz entsteht bei 1Ex = − . Die Anforderung kann erfüllt werden. 2 3 1


Freie Hansestadt Bremen Schulnr.: Kursbezeichnung:...

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