Aufgaben zu Inhalten der 5. Klasse

Universität Klagenfurt,

Institut für Didaktik der Mathematik (AECC-M) September 2010

2

Zahlbereiche

Es gibt Gleichungen, die (1) in Z, nicht aber in N,

(2) in Q, nicht aber in Z,

(3) in R, nicht aber in Q Lösungen besitzen.

Aufgabenstellung:

Geben Sie für jeden dieser drei Fälle jeweils eine Gleichung mit Koeffizienten aus den

natürlichen Zahlen an!

3

Lösungen einer quadratischen Gleichung I

Gegeben sei die quadratische Gleichung u·x² + v·x + w = 0, mit u ≠ 0; u, v, w ∈ ℝ.

Aufgabenstellung:

Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen über die Lösung(en) dieser quadratischen

Gleichung zutreffend bzw. nicht zutreffend sind:

zutreffend nicht zutreffend

Eine quadratische Gleichung ux² + v·x + w = 0 hat genau

zwei reelle Lösungen, wenn gilt: v² – 4u·w > 0.

Eine quadratische Gleichung ux² + v·x + w = 0 hat genau

zwei reelle Lösungen, wenn gilt: v² – 4u·w < 0.

Eine quadratische Gleichung ux² + v·x + w = 0 hat genau

eine reelle Lösung, wenn gilt: v² – 4u·w = 0.

4

Lösungen einer quadratischen Gleichung II

Gegeben sei die quadratische Gleichung 3x² + 4x + c = 0, mit c ∈ ℝ.

Aufgabenstellung:

Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen über die Lösung(en) dieser quadratischen

Gleichung zutreffend bzw. nicht zutreffend sind:

zutreffend nicht zutreffend

Die gegebene quadratische Gleichung hat genau zwei Lösungen

in der Menge der reellen Zahlen, wenn gilt: 4

c3

> .

Die gegebene quadratische Gleichung hat genau zwei Lösungen

in der Menge der reellen Zahlen, wenn gilt: 4

c3

< .

Die gegebene quadratische Gleichung hat genau eine reelle

Lösung, wenn gilt: 4

c3

= .

5

Zur Lösungsformel quadratischer Gleichungen

Ein Computerprogramm gibt als eine der beiden Lösungen der quadratischen Gleichung

02 =++ qxpx den folgenden Term aus:

)4(2

1 2qpp −+−

In einem Formelheft wird die entsprechende Lösung durch den folgenden Term angegeben:

qpp

−+−42

2

Aufgabenstellung:

Zeigen Sie durch geeignete Umformungen, dass die beiden Terme äquivalent sind! Geben

Sie dazu mindestens zwei Zwischenschritte an!

6

Summe von Vektoren

Gegeben sind die Vektoren

=

3

6ar

,

=

yb

1r und

=

1

1cr

.

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die y-Koordinate des Vektors br

so, dass die Summe der beiden Vektoren ar

und br

die gleiche Richtung wie der Vektor cr

hat!

7

Elektroboot

Auf einem Radar kann ein Elektroboot an der Position A(2/0) identifiziert werden. Es fährt mit

konstanter Geschwindigkeit auf direktem Kurs in Richtung des Punktes Z(2/36), den es 12 Minuten

später erreicht.

Aufgabenstellung:

Geben Sie die Koordinaten jenes Vektors an, der den vom Boot innerhalb einer Minute

zurückgelegten Weg beschreibt!

8

Parallelogramm

Gegeben ist ein Parallelogramm, seine vier Eckpunkte sowie zwei Vektoren a und b, dargestellt als Pfeile:

Aufgabenstellungen:

Zeichnen Sie: i) vom Punkt C aus einen Pfeil, der den Vektor a darstellt

ii) vom Punkt A aus einen Pfeil, der den Vektor a + b darstellt

iii) vom Punkt B aus einen Pfeil, der den Vektor · a darstellt

iv) vom Punkt D aus einen Pfeil, der den Vektor a – b darstellt

9

Geraden in der Ebene

g und h sind zwei Geraden in Parameterdarstellung:

⋅+

=

⋅+

−=

1

2

3

4:

2

1

4

3:

tXh

sXg

Aufgabenstellungen:

a) Sind die beiden Geraden zueinander parallel? Begründen Sie Ihre Antwort!

b) Sind die beiden Geraden zueinander normal? Begründen Sie Ihre Antwort!

10

Identische Geraden?

Gegeben sind zwei Geradengleichungen:

g1:

⋅+

=

2

1

5

31tX

g2:

−

−⋅+

=

6

3

7

41tX

Aufgabenstellung:

Beschreiben die gegebenen Gleichungen ein und dieselbe Gerade?

Begründen Sie Ihre Antwort! (Eine Zeichnung allein genügt nicht als Begründung.)

11

Höhe im Dreieck

Von einem Dreieck kennt man die Koordinaten der Eckpunkte: A =

−

−

2

4, B =

4

4, C =

3

0.

Aufgabenstellung:

Geben Sie eine Gleichung jener Geraden an, auf der die Höhe des Dreiecks liegt, die durch

den Eckpunkt C verläuft!

12

Flächeninhalt eines Parallelogramms

Zur Berechnung des Flächeninhaltes A eines

Parallelogramms stehen unter anderen folgende

Formeln zur Verfügung (Bezeichnung der

Bestimmungsstücke siehe Abbildung):

αsin)2(

)1(

⋅⋅=

⋅=

baA

haA a

Aufgabenstellungen:

a) Erklären Sie, wie man aus der Formel (1) die Formel (2) erhält!

b) Begründen Sie, dass die bekannte Rechtecksformel baA ⋅= ein Spezialfall der Formel

(2) ist!

13

Steigung einer Straße

Die Steigung (bzw. das Gefälle) von Straßen wird auf Verkehrsschildern

in Prozent angegeben. Eine Angabe von 12 % Steigung bedeutet

beispielsweise, dass auf einer waagrechten Strecke von 100 Metern die

Höhe um 12 Meter zunimmt. Jeder Steigung von p (in %) entspricht ein

bestimmter Steigungswinkel α.

Aufgabenstellungen:

a) Drücken Sie den Zusammenhang zwischen α und p in einer Formel aus!

b) Wie groß ist der Steigungswinkel bei einer Steigung von 100 %?

c) Wie groß ist die Steigung (in Prozent) bei einem Steigungswinkel 012=α ?

14

Sehwinkel

Die scheinbare Größe eines entfernten Objektes wird meist durch den Sehwinkel α angegeben. Das

ist jener Winkel, unter dem dieses Objekt (Höhe h) von einer Beobachterin B aus der Entfernung r

wahrgenommen wird (siehe Grafik).

Aufgabenstellung:

Drücken Sie die Beziehung zwischen α, r und h durch eine entsprechende Formel aus!

15

Kräfteparallelogramm

Eine Kugel wird auf einer schiefen Ebene aufgrund ihres Gewichtes G abwärts beschleunigt. Zur

Bestimmung der beschleunigenden Kraft F1 wird die Gewichtskraft G in die beiden Komponenten

F1 und F2 zerlegt (siehe Graphik; die Größe der einzelnen Kräfte wird durch die Länge der

entsprechenden Pfeile dargestellt).

Aufgabenstellungen:

a) Drücken Sie die beiden Komponenten F1 und F2 durch G und α aus!

b) Für welchen Winkel α ist die beschleunigende Kraft F1 gleich der halben Gewichtskraft?

16

DIN-A4-Diagonale

Ein DIN-A4-Blatt hat folgende Abmessungen (in mm): 210 x 297.

Wenn man ein DIN-A4-Blatt längs einer Diagonale teilt, entstehen

zwei Dreiecke.

Aufgabenstellung:

Wie groß sind die Innenwinkel dieser Dreiecke?

Winkel α

Winkel β

Winkel γ

β

α

α

β

γ

γ

17

Stehleiter

Eine Stehleiter reicht ungefähr 1,93 m hoch, wenn sie

auf α = 30° geöffnet wird. Aufgabenstellungen:

i) Wie lang ist die zusammengeklappte Leiter?

ii) Mit Sicherungskette lässt sich die Leiter auf höchstens α = 45° öffnen. Kann die Leiter dann 1,9 m hoch reichen?

18

Dachneigung

Für ein Wohnhaus wurde von der Baubehörde eine Dachneigung von 23° vorgeschrieben.

Das Haus ist 8 m breit.

Ein Ausbau des Dachbodens kommt erst ab einer Giebelhöhe von 2,50 m in Frage.

Aufgabenstellung:

Kann ein Ausbau des Dachbodens erfolgen?

19

Welthandelspreise

In nebenstehender Grafik ist die Entwicklung

der Welthandelspreise im Zeitraum 1998 bis

2008/09 für einige ausgewählte

landwirtschaftliche Produkte dargestellt.

Aufgabenstellung:

Kreuzen Sie in der folgenden Tabelle jeweils an, ob eine Aussage zutreffend oder nicht

zutreffend ist:

zutreffend nicht

zutreffend

Sojabohnen waren im Zeitraum 2000 bis 2005 auf dem Weltmarkt immer teurer als Reis. � � Alle vier Produkte erreichten 2008 ihren höchsten Weltmarktpreis im betrachteten Zeitraum. � � Der Weltmarktpreis für Weizen war von 1998 bis 2008 immer niedriger als der für Reis, aber höher als der für Mais. � � Von 1998 bis zum Jahr 2005 blieben die Weltmarkt-Tonnenpreise dieser vier Produkte unter 300 US-$. � � Der Weltmarktpreis für Mais blieb im Zeitraum von 1998 bis 2005 unter 100 US-$. � �

20

Rennwagen

Links sehen Sie Abbildungen von fünf Rennstrecken: Jede Strecke ist drei Kilometer lang, die

Skizzen sind nicht im selben Maßstab angefertigt. Rechts sehen Sie ein Diagramm, das die Fahrt

während einer ganzen Runde darstellt.

Aufgabenstellung:

Auf welcher der fünf Rennstrecken fuhr der Wagen, sodass das rechts gezeigte

Diagramm entstand?

Rennstrecke

21

Schwimmbecken II

Ein Schwimmbecken verfügt über einen Zufluss, für welchen man zwei Stufen einstellen kann:

„geringer“ Zufluss und „starker“ Zufluss.

Der folgende Graph beschreibt die Höhe des Wasserstandes im Schwimmbecken im Laufe von

6 Stunden, wobei diese Zeitspanne in drei Phasen A, B und C eingeteilt ist.

Aufgabenstellung:

Gegeben sind folgende Aussagen: Aussage A1: Während der gesamten Phase ist der Zufluss nicht geöffnet.

Aussage A2: Innerhalb der Phase nimmt der Wasserstand um 1 dm zu.

Aussage A3: Während der gesamten Phase erfolgt ein starker Zufluss.

Aussage A4: Zuerst bleibt der Wasserpegel konstant, dann erfolgt ein geringer Zufluss.

Markieren Sie jene Aussage(n),

die auf die angegebene Phase

zutrifft/zutreffen:

Abschnitt A A1 A2 A3 A4

Abschnitt B A1 A2 A3 A4

Abschnitt C A1 A2 A3 A4

22

Funktionale Zusammenhänge II

Gegeben seien die folgenden Aussagen: (1) Verdoppelt man v, wächst u auf das Vierfache.

(2) Verdoppelt man v, halbiert sich u.

(3) Halbiert man v, halbiert sich u.

(4) Vergrößert man v um 1, wächst u um 2.

(5) Vergrößert man v um 1, verringert sich u um 3.

Aufgabenstellungen:

a) Kreuzen Sie die der Formel entsprechende Aussage an:

vu

4= (1) (2) (3) (4) (5) Keine der Aussagen passt

b) Kreuzen Sie die der Formel entsprechende Aussage an:

2

10

vu = (1) (2) (3) (4) (5) Keine der Aussagen passt

c) Kreuzen Sie die der Formel entsprechende Aussage an:

32 += vu (1) (2) (3) (4) (5) Keine der Aussagen passt

23

Chemischer Prozess

Damit ein chemischer Prozess optimal ablaufen kann, müsste sich die Temperatur y in einem

Behälter innerhalb von 8 Minuten gemäß der dargestellten Grafik (x in Minuten) entwickeln.

Von der dargestellten „Solltemperatur“ ist die

tatsächliche Temperatur zu unterscheiden. Diese beträgt

am Anfang des Prozesses 6°, anschließend wird sie

gleichmäßig pro Minute um 3° erhöht.

Wenn die tatsächliche Temperatur kleiner als die

Solltemperatur ist, leuchtet eine blaue Lampe, ist die

tatsächliche Temperatur größer als die Solltemperatur,

leuchtet eine rote Lampe.

Aufgabenstellung:

Geben Sie bei jeder der folgenden Aussagen an, ob diese zutreffend oder nicht zutreffend ist:

zutreffend nicht

zutreffend Nachdem genau 5 Minuten vergangen sind, leuchtet die blaue Lampe.

Nachdem genau 3 Minuten vergangen sind, ist die Soll-temperatur genau um 2 Grad größer als die tatsächliche Temperatur.

Ab dem Beginn der 7. Minute bis zum Ende der 8. Minute leuchtet die rote Lampe.

24

Handytarife II

Es soll zwischen zwei

Angeboten gewählt

werden. Die beiden

Handytarife (für je einen

Monat) sind als lineare

Funktionen der Form

f(x) = k · x + d

modelliert und grafisch

dargestellt.

Aufgabenstellungen:

i) Geben Sie die beiden Funktionsgleichungen an:

ii) Bei weniger als 100 Gesprächsminuten pro Monat ist Tarif …… teurer als Tarif …….

für Tarif A:

für Tarif B:

Tarif A

Tarif B

25

Nullstellen einer quadratischen Funktion I

Gegeben sei eine quadratische Funktion mit f(x) = a·x² + b, mit a ≠ 0; a, b ∈ ℝ.

Aufgabenstellung:

Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen über die Nullstellen einer quadratischen

Funktion zutreffend bzw. nicht zutreffend sind:

zutreffend nicht zutreffend

Gilt a > 0 und b < 0, dann hat die Funktion genau zwei verschiedene reelle Nullstellen.

Gilt a < 0 und b < 0, dann hat die Funktion genau zwei verschiedene reelle Nullstellen.

Gilt a > 0 und b > 0, dann hat die Funktion genau zwei verschiedene reelle Nullstellen.

Gilt a < 0 und b > 0, dann hat die Funktion genau zwei verschiedene reelle Nullstellen.

Gilt b = 0, dann hat die Funktion genau eine reelle Nullstelle.

26

Lineare und quadratische Funktion

In der nachfolgenden Grafik ist der Graph der

Funktion f mit f(x) = x2 und der Graph einer

linearen Funktion g dargestellt.

Aufgabenstellungen:

a) Ermitteln Sie eine Gleichung der

linearen Funktion g!

b) Der Graph der Funktion f und der

Graph der Funktion g schneiden

einander. Berechnen Sie die

Koordinaten der Schnittpunkte!