Funktionen

Wanka Adrian02.06.2005

Didaktik Seminar SS-05

Gliederung

1. Historisches

2. Einführung in Funktionen

3. Lineare Funktionen

4. Quadratische Funktionen

1. Historisches1. Historisches

A) A) KoordinatensystemKoordinatensystem

Eigentliche Begründer einer Mathematik mit Koordinaten sindEigentliche Begründer einer Mathematik mit Koordinaten sind Pierre de FermatPierre de Fermat (1601 – 1665) sowie (1601 – 1665) sowie Rene DescartesRene Descartes (Cartesius, 1596 – 1650). (Cartesius, 1596 – 1650).

Vollständiges Achsenkreuz findet sich erst bei Vollständiges Achsenkreuz findet sich erst bei Isaac NewtonIsaac Newton (1642 – 1727) (1642 – 1727) wieder, die von wieder, die von Gottfried WilhelmGottfried Wilhelm LeibnizLeibniz (1646 – 1716) verfeinert wurden (1646 – 1716) verfeinert wurden und bis heute Gültigkeit besitzen. und bis heute Gültigkeit besitzen.

Bereits 150 v. Chr. führte Bereits 150 v. Chr. führte HipparchHipparch eine Art eine Art Koordinatensystem ein zur Mittel der Ortsfestlegung.Koordinatensystem ein zur Mittel der Ortsfestlegung.

B) B) FunktionFunktion

Der Begriff der Der Begriff der FunktionFunktion ist ein relativ junger, der erst mit der ist ein relativ junger, der erst mit der Einführung des Kartesischen Koordinatensystems aufkam. Die Einführung des Kartesischen Koordinatensystems aufkam. Die Notwendigkeit lag im wachsenden Interesse (verändernde Größen, Notwendigkeit lag im wachsenden Interesse (verändernde Größen, gegenseitige Abhängigkeiten, etc.) an den Naturwissenschaften des gegenseitige Abhängigkeiten, etc.) an den Naturwissenschaften des 17. Jh. 17. Jh.

LeibnizLeibniz gebrauchte den Begriff wohl zum ersten male 1673 in einer gebrauchte den Begriff wohl zum ersten male 1673 in einer Handschrift, während dieser 1706 von Handschrift, während dieser 1706 von Johann I BernoulliJohann I Bernoulli (1667 – (1667 – 1748) gedruckt wurde. Letzterer verstand unter einer Funktion 1748) gedruckt wurde. Letzterer verstand unter einer Funktion bereits einen Term. Sein Schüler bereits einen Term. Sein Schüler Leonhard Leonhard

EulerEuler (1707 – 1783) führte 1735 die bis heute (1707 – 1783) führte 1735 die bis heute

gültige Schreibweise f(x) ein.gültige Schreibweise f(x) ein.

2. Einführung in Funktionen

Bsp.:

Problem eines Schülers ist die Fehlinterpretation eines Funktionsgraphen. Dies geschieht dadurch, dass Graphen als realistische Abbildung gesehen werden.

Diese Fehlinterpretationen sind sehr weit verbreitet (vor allem unter 12 -15 jährigen Schülern).

Der Schüler muss erkennen und verstehen, dass sich der Funktionsgraph aus den gegebenen Konstanten und

Variablen ergibt und eine realitätsnahe Ähnlichkeit eher zufälliger Natur ist.

Dem kann bzw. muss man als Lehrer sofort entgegenwirken. Zahlreiche Beispiele sollten gezeigt

und besprochen werden.

3. Lineare Funktionen(8. Klasse)

Am Ende der 8. Klasse müssen die Schülerinnen und Schüler den Funktionsbegriff verstanden haben und in

der Lage sein, Lineare Funktionen erkennen und bestimmen zu können.

Möglicher Vorgang

- Definition der Funktion

- Funktionsgraphen erkennen und verstehen

- Einführung der Funktionsgleichung y=mx+t

- Arbeiten mit der Funktionsgleichung

Definition von Funktionen

Gegeben seien zwei Mengen D und W. Eine Funktion ist eine Vorschrift, die jedem

Element der ersten Menge (der Definitionsmenge D) in eindeutiger Weise ein Element der zweiten Menge (der Wertemenge

W) zuordnet. Das heißt, dass jedem Element der

Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugeordnet wird.

Sind auf den Bildern Funktionsgraphen dargestellt?

Wichtig ist, dass die Schülerinnen und Schüler die Abhängigkeit der Größen x und y verstehen.

Lt. Definition ist eine Funktion eine eindeutige Zuordnung. Je nach Art der Funktion gibt es verschiedene Möglichkeiten diese Abhängigkeiten

zwischen verschiedenen Größen festzulegen.

Erste Erfahrungen mit proportionalen Funktionen

Auf dem Bauernmarkt verkauft ein Bauer Kartoffeln. Für einen 10 kg Sack verlangt er 2,50€.

Schüler bekommt eine Wertetabelle vorgegeben, die mit dem Lehrer gemeinsam ausgefüllt wird:

x (Kartoffeln in kg) 10 20 15 5

y (Preis in €) 2,5

x (Kartoffeln in kg) 10 20 15 5

y (Preis in €) 2,5 5 3,75 1,25

Anstelle mit einer Tabelle kann man Zuordnungenund Funktionen auch mit Hilfe von Pfeilen darstellen. 

Einige knifflige Aufgaben:

Handelt es sich bei den Zuordnungen um ein Funktion? (Begründung!)

a) Natürliche Zahl --> größter Teiler einer Zahl.

b) Geschwindigkeit --> Benzinverbrauch

Benzinverbrauch --> Geschwindigkeit

c) Name --> Telefonnummer

Telefonnummer --> Name

Von der proportionalen zur linearen Funktion

Dabei ist der Einsatz von PC-Programmen sehr hilfreich. (z.B. Geonext)

Ziel ist die Geradengleichung: y=mx+t

Aufgaben

- Es ist zu berechnen welche Punkte auf der Geraden g=4x-5 liegen.

A(1/-1); B(2/4); C(20/75)

- Welche Steigung hat die Gerade h die durch die Punkte A und B geht?

a) A(2/1) B(-5/-13)

b) A(0/2) B(20/52)

- Von einer Geraden sind zwei Punkte bekannt. Gesucht ist die Geradengleichung.

a) P(2/2) Q(3/3)

b) U(-1/-7) T(2/-4)

- Liegt der Punkt P(1/2) auf der geraden g(A/B)? Rechnung!

a) A(9/17) B(17/5)b) A(-3/-2) B(-4/-3)

- Berechne die Nullstellen der Gerade.

a) A(1/2) B(-7/2)b) A(5/4) B(5/-3)c) A(-2/3) B(4/2)

- Welcher Term legt jene Gerade fest die durch den Punkt P(5/1) und parallel zur Geraden y = 2x + 1 ist?

- Zeichne durch P(1/2) eine zu g(P/Q), mit P(3/4) und Q(-3/-4), parallele Gerade und berechne ihre Funktionsgleichung.

4. Quadratische FunktionenAuch hier empfiehlt es sich den Schüler an einem

Mathematikprogramm „rumprobieren“ zu lassen um somit den Grundaufbau und die Grundstrukturen besser, leichter und verständlicher verstehen zu können.

Eine Einführung in Funktionen ist nicht nötig, da diese in der 8. Klasse bereits ordentlich von statten ging und diese Art der Funktionen erst in der 9. Klasse behandelt werden. Eine Festigung in der „mathematischen Semantik“ wäre allerdings von Vorteil. Dass die „Zeit“ oder ein „Weg“ zunehmen ist Schülern klar. Allerdings die Frage: „Was passiert, wenn x steigt?“ bereitet noch Schwierigkeiten. Dies ist also das Ziel der 9. Klasse, dass Schülerinnen und Schüler Funktionen in dieser neuen Sprache und Symbolik unter Zuhilfenahme übertragener Vorstellungen beschreiben können. Praktisch dafür sind die quadratischen Funktionen.

Aufgaben

Gegeben sind zwei Funktionen. Welche der beiden ist steiler?Schneiden sie sich? Falls ja, wo? Falls nein, woran erkennt man das?

Gleiche Aufgabe wie vorher. Zeichne beideFunktionen nach den Rechnungen in ein Koordinatensystem ein.

Literaturverzeichnis

- http://www.math.uni-siegen.de/geschmath/Vohns.pdf- Algebra Bayern 8, Klett Verlag, Stuttgart 1993, - Basis Mathematik 10, Ausgabe B, Bayerischer Schulbuch-Verlag,

München 1996- http://de.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes- http://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler- www.adac.de- ML 103- http://www.isb.bayern.de/isb/index.asp?MNav=5&QNav=4&TNav=1

&INav=0&Fach=30&Fach2=&LpSta=6&STyp=5&Lp=396