Fuzzy-Logik
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Fuzzy-LogikEine Einführung in unscharfe Logik
Nils Becker, November 2012
Inhalt Idee Unscharfe Mengen Entscheidungsfindung
Fuzzifizierung Regeln Inferenzoperationen Defuzzifizierung
Abschluss
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Idee 1965: Theorie der unscharfen Mengen,
Prof. Lotfi Zadeh, Berkeley
Idee: Klassische Mengenlehre bildet
menschliche Sprache schlecht ab
„Temperatur ist relativ hoch“
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Beispiel: Große MenschenUnscharfe Mengen
1,58m 1,75m 1,80m 1,81m 1,85m 1,95m
4 von 46
Beispiel: Große Menschen – klassische MengenlehreUnscharfe Mengen
1,58m 1,75m 1,80m 1,81m 1,85m 1,95m
>1,80m
große Menschennicht große Menschen
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Beispiel: Große Menschen – unscharfe MengenlehreUnscharfe Mengen
1,58m
1,75m 1,80m
1,82m 1,85m 1,95m
0
0,5
1
0,35 0,85 1 1 1
kaum groß
eher großμ
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DefinitionUnscharfe Mengen Zugehörigkeitsgrad μ: ( Elemente gehören
zu gewissem Grad zur Menge μteuer(Porsche 911) = 0.99 = 99% μteuer(VW Polo) = 0.10 = 10%
Zugehörigkeitsfunktion: Definiert Zugehörigkeitsgrad
0
0,5
1μ
G
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Darstellungsformen (1)Unscharfe Mengen Geordnete Paare
Grafisch (Kurvenform)
𝐴= {(𝑥1 , μ1 ) , (𝑥 1 , μ1 ) ,…}∀ x∈𝐺
Grund-menge
0
0,5
1μ
GA
μ(xi)
xi
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Darstellungsformen (2)Unscharfe Mengen
0
0,5
1μ
G
A
μA(xi)
xi
μB(xi)
B
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Darstellungsformen (3) – Venn-DiagrammUnscharfe Mengen
μ(x) = 1
μ(x) > 0 & μ(x) < 1
G
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Darstellungsformen (3) – Venn-DiagrammUnscharfe Mengen
μA(x) = 1
μA(x) > 0 & μA (x) < 1
G
μB(x) = 1
Xi mit μA(Xi) = 1 & μB(Xi) > 0
μB(x) > 0 & μB (x) < 1
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Unscharfe Mengen - Mengenoperationen Vereinigung
a b c d e f0
0.20.40.60.8
1
µA∪B(x) µ ( )𝐴 𝑥µB( )𝑥
Beispielx µ𝐴( )𝑥 µB( )𝑥 µA B∪ (x)
a 0,7 0 0,7
b 0 1 1
c 0,3 0,6 0,6
d 0,2 0,7 0,7
e 0 0,2 0,2
f 0,5 0 0,5
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Unscharfe Mengen - MengenoperationenSchnittmenge
a b c d e f0
0.20.40.60.8
1
µA∩B(x) µ ( )𝐴 𝑥µB( )𝑥
Beispielx µ𝐴( )𝑥 µB( )𝑥 µA B∪ (x)
a 0,7 0 0
b 0 1 0
c 0,3 0,6 0,3
d 0,2 0,7 0,2
e 0 0,2 0
f 0,5 0 0
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Unscharfe Mengen - MengenoperationenKomplement
a b c d e f0
0.20.40.60.8
1
µ ( )𝐴 𝑥 µ¬ ( )𝐴 𝑥
Beispielx µ𝐴( )𝑥 µA ( )𝑥a 1 0
b 0 1
c 0,3 0,7
d 0,2 0,8
e 0 1
f 0,5 0,5
Wichtig: schließt auch mit = 0 ein
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Unscharfe Mengen - MengenoperationenEigenschaften Distributivgesetze sind erfüllt, d.h. es
gilt:
Theorem von De Morgan ist erfüllt:
𝐴∩ (𝐵∪𝐶)=( 𝐴∩𝐵)∪(𝐴∩𝐶)𝐴∪ (𝐵∩𝐶)=( 𝐴∪𝐵)∩(𝐴∪𝐶)
¬(𝐴∪𝐵)=¬𝐴∩¬𝐵¬(𝐴∩ 𝐵)=¬𝐴∪¬𝐵
Beweise u.a.: „Einführung in die Fuzzy-Logik“, Dirk H. Traeger, 1994, S.18ff
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Unscharfe Mengen – Logische OperatorenUnd-Operator Minimum-Operator (=== Schnittmenge)
= min(
Produkt-Operator =
Summe größer 1 = max(0;
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Unscharfe Mengen – Logische OperatorenUnd-Operator (Beispiel)
a b c d e f0
0.20.40.60.8
1Minumumµ ( )𝐴 𝑥µB( )𝑥Produkt>1
x µ𝐴( )𝑥 µB( )𝑥 Minimum Produkt > 1
a 0,7 0 0 0 0
b 0 1 0 0 0
c 0,3 0,6 0,3 0,18 0
d 0,4 0,7 0,4 0,28 0,1e 0 0,2 0 0 0f 0,5 0 0 0 0
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Unscharfe Mengen – Logische OperatorenOder-Operator Maximum-Operator (=== Vereinigung)
= max(
Summe - Produkt =
Summe (max. 1) = min(1;
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Unscharfe Mengen – Logische OperatorenOder-Operator (Beispiel)
a b c d e f0
0.20.40.60.8
1Maximumµ ( )𝐴 𝑥µB( )𝑥Summe-ProduktSumme (max. 1)
x µ𝐴( )𝑥 µB( )𝑥 Maximum Summe –Produkt
Summe (max. 1)
a 0,7 0 0,7 0,7 0,7
b 0 1 1 1 1
c 0,3 0,6 0,6 0,72 0,9
d 0,4 0,7 0,7 0,82 1e 0 0,2 0,2 0,2 0,2f 0,5 0 0,5 0,5 0,5
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Unscharfe Mengen – Kompensatorische OperatorenGamma-Operator
170km/h 230km/h 130km/h
SUV Sportwagen OldtimerDunkel 1 0,5 0Schnell 0,4 1 0,1Sparsam 0,7 0,5 0,3
UND 0,4 0,5 0γ = 0,5 0,52 0,5 0
𝜇𝐴𝛾 𝐵(𝑥)=(𝜇𝐴(𝑥 )∗𝜇𝐵(𝑥))1−𝛾∗(1−(1−𝜇𝐴 (𝑥 ))∗(1−𝜇𝐴 (𝑥 )))𝛾
UNDγ=0Keine Kompensation
ODERγ=1
Volle Kompensation
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Fuzzy-Logik
Fuzzy-LogikÜbersicht
Fuzzifizierung
Regeln erstellen
Inferenz
Defuzzifizierung
Input
Output
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Fuzzy-Logik: FuzzifizierungEin-und Ausgangsvariablen
Eingangsvariablen Geschwindigkeit (km/h) Abstand (m)
Ausgangsvariable Bremsdruck (bar)
Beispiel: Automatisches Bremssystem
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Fuzzy-Logik: FuzzifizierungLinguistische Variable: Geschwindigkeit Wertebereich: 0 – 240km/h
Linguistische Terme/Fuzzy Sets: Sehr niedrig Niedrig Mittel Hoch Sehr hoch
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Fuzzy-Logik: FuzzifizierungFuzzy-Sets: Geschwindigkeit
0 40 80 120 160 200 2400
0.20.40.60.8
1
sehr niedrig niedrig mittelhoch sehr hoch
Geschwindigkeit (km/h)
μ
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Fuzzy-Logik: FuzzifizierungLinguistische Variable: Abstand Wertebereich: 0 – 300m
Linguistische Terme/Fuzzy Sets: klein mittel groß
26 von 46
Fuzzy-Logik: FuzzifizierungFuzzy-Sets: Abstand
0 75 150 225 3000
0.20.40.60.8
1
klein mittel groß
Abstand (m)
μ
27 von 46
Fuzzy-Logik: FuzzifizierungLinguistische Variable: Bremsdruck Wertebereich: 0 – 3bar
Linguistische Terme/Fuzzy Sets: Sehr schwach Schwach Mittel Stark Sehr stark
28 von 46
Fuzzy-Logik: FuzzifizierungFuzzy-Sets: Bremsdruck
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.20.40.60.8
1
sehr schwach schwach mittelstark sehr stark
Bremsdruck (bar)
μ
29 von 46
Fuzzy-LogikRegeln erstellen WENN Geschwindigkeit „sehr niedrig“
ODER Abstand „groß“ DANN bremse „sehr schwach“
WENN Geschwindigkeit „hoch“ UND Abstand „mittel“ DANN bremse „stark“
…
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Fuzzy-Logik: Regeln erstellenRegelmatrix
Abstand/Geschwindigkeit
Klein Mittel Groß
Sehr niedrig UNDbremse schwach
… ODERbremse sehr schwach
Niedrig UNDbremse schwach
Mittel UND bremse mittel
Hoch UND bremse stark
Sehr hoch ODER bremse sehr stark
UND bremse schwach
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Fuzzy-LogikRegel auswählen Beispiel:
Geschwindigkeit: 90km/h Abstand: 100m
0 75 150 225 3000
0.20.40.60.8
1
klein mittel groß
Abstand (m)
μ0 40 80 120
160
200
240
00.5
1
sehr niedrig niedrigmittel hochsehr hoch
Geschwindigkeit (km/h)
μ
90km/h 100m
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Fuzzy-Logik: Regeln erstellenRegelmatrix
Abstand/Geschwindigkeit
Klein Mittel Groß
Sehr niedrig UNDbremse schwach
… ODERbremse sehr schwach
Niedrig UNDbremse schwach
Mittel UND bremse mittel
Hoch UND bremse stark
Sehr hoch ODER bremse sehr stark
UND bremse schwach
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
13 14 15
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Fuzzy-LogikInferenz: Max/Min-Inferenz Regel 5:
Regel 8:
Regel 13:
𝜇 h h𝑠𝑐 𝑤𝑎𝑐 (𝑏𝑟𝑒𝑚𝑠𝑒𝑛 )=min (𝜇𝑛𝑖𝑒𝑑𝑟𝑖𝑔 (90𝑘𝑚 /h ) ,𝜇𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙 (100𝑚 ) )¿min (0.75 ,0 .33 )=0.33
𝜇𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙 (𝑏𝑟𝑒𝑚𝑠𝑒𝑛 )=min (𝜇𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙 (90𝑘𝑚/h ) ,𝜇𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙 (100𝑚 ) )25
𝜇𝑠 h𝑒 𝑟 𝑠𝑡𝑎𝑟𝑘(𝑏𝑟𝑒𝑚𝑠𝑒𝑛 )=m𝑎𝑥 (𝜇 h𝑠𝑒 𝑟 h h𝑜𝑐
(90𝑘𝑚 /h ) ,𝜇𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛 (100𝑚 ) )67
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Fuzzy-Logik: EinschubInferenzmethoden Max/Min-Inferenz
ODER = Minimum; UND = Maximum
Max/Prod-Inferenz: ODER = Summe – Produkt; UND =
Produkt
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Fuzzy-LogikDefuzzifizierung: Flächenschwerpunkt
0.20
0.45
0.70
0.95
1.20
1.45
1.70
1.95
2.20
2.45
2.70
2.95
00.20.40.60.8
1
Fläche sehr schwach schwachmittel stark sehr stark
Bremsdruck (bar)
μ
Flächenschwerpunkt = (2; 0,24) Bremsdruck: 2 bar
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Fuzzy-LogikDefuzzifizierung: Flächenschwerpunkt
𝐴=12|∑𝑖=1
𝑁 −1
( 𝑦 𝑖+ 𝑦 𝑖+1 )∗ (𝑥 𝑖− 𝑥𝑖+1 )|
𝑥𝑠=16 𝐴|∑𝑖=1
𝑁−1
(𝑥 𝑖+𝑥 𝑖+1 )∗ (𝑥𝑖∗ 𝑦 𝑖+1− 𝑥𝑖+1∗ 𝑦 𝑖 )|(xi, yi) sind die Koordinaten
welche das Polygon beschreiben
Fläche
Flächenschwerpunkt
37 von 46
Fuzzy-Logik: DefuzzifizierungsalternativeDefuzzifizierung: Singleton
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.20.40.60.8
1
sehr schwach schwach mittelstark sehr stark
Bremsdruck (bar)
μ
38 von 46
Fuzzy-Logik: DefuzzifizierungsalternativeDefuzzifizierung: Singleton am Beispiel
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.4
0.8sehr schwachschwachmittelstarksehr stark
Bremsdruck (bar)
μ
𝑋𝐿=∑𝑖=1
𝑛
𝑥 𝑖∗𝜇𝑖
∑𝑖=1
𝑛
𝜇𝑖
¿1∗0,33+1.5∗0,25+3∗0,67
0,33+0,25+0,67
≈2,2 Bremsdruck: 2,2 bar
39 von 46
Fuzzy-LogikDefuzzifizierungsmethoden
Flächenschwerpunkt Rechenaufwendig häufig gutes Ergebnis
Singleton sehr einfach häufig ausreichendes Ergebnis
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Hilfsmittel, Anwendung, Literatur
Tools jFuzzyLogic
Verwendet FCL Eclipse-Plugin Bibliotheks-
funktion
Viele andereTools sind veraltet
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Anwendung Bildverarbeitung: Bildstabilisierung
Steuerung/Überwachung von Industrieanlagen
Robotik
Expertensysteme
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Vor- und Nachteile
Vorteile• Nah an der
menschlichen Sprache
• Nachvollziehbarkeit und Wartbarkeit
• Formulierung von Regeln ist einfach
• Hardwareumsetzung
Nachteile
• Nicht lernfähig• Expertenwissen muss
vorhanden sein• Wahl der besten
Methode schwierig (z.B. Defuzzifizierung)
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Literatur und Websites Einführung in die Fuzzy-Logik, Traeger Neuronale Netze & Fuzzy-Logik, Seraphin Fuzzy Logic, Müller, http://
www.gerhardmueller.de/docs/FuzzyLogic/FuzzyLogic.html
Grundlagen der Fuzzy-Logik, Reinarz, http://reinarz.org/dirk/fuzzykugel/fuzzy.html
Diese Präsentation: http://nilsbecker.net/thm/fuzzy.pdf (bald verfügbar)
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Vielen Dank für die Aufmerksamkeit
BildquellenFoto Zadeh: http://www.cs.tu-dortmund.de/nps/Medienpool/Home/Lotfi_A__Zadeh_2004_.jpgHighTech Fuzzy Logic:http://www.ujf.biz/texte/HT_FuzzL3.JPGStickman: http://sustainablecoastlineshawaii.files.wordpress.com/2012/02/stickman.gifSchwarzes Auto:http://www.mazda.de/assets/master/cars/cx-5/exterior/colours/1/car-black-mica.pngRotes Auto: http://imgs.mi9.com/uploads/car/445/red-cool-car-of-choice_422_6920.jpgWeisses Auto:http://grabbaggraphics.com/wp-content/uploads/2012/05/White-Car-Psd.pngPrecision vs Significance: http://radio.feld.cvut.cz/matlab/toolbox/fuzzy/signific.gifBremssystem: http://auto.701pages.com/article_gallery/281.jpgReiskocher: http://3.bp.blogspot.com/_SmrT6OptGzU/TRqnj76fQrI/AAAAAAAAA94/dM_PCx0678M/s1600/sanyo-35-cup-fuzzy-logic-rice-cooker.jpgRoboter: http://www.decodedscience.com/robots-for-autism-therapy-koalas-fuzzy-logic/996
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