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Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004
Fuzzy Logik

Fuzzy Logik, Franka Zander, Dezember 2004 2/43
Inhaltsverzeichnis1. Unscharfe Mengen
1.1 Einleitung1.2 Unscharfe Mengen und deren Verknpfung1.3 Unscharfe Zahlen
2. Unscharfe Logik und Steuerung2.1 Fuzzifizierung2.2 Inferenz2.3 Defuzzifizierung
3. Unscharfe Arithmetik3.1 Verknpfung unscharfer Zahlen3.2 Grenvergleich unscharfer Zahlen

1.1 EinleitungFuzzy unscharf, verschwommen, vageSeit ca. 1965 entwickelte sich Zweig der Angewandten Mathematik (Fuzzy-Methoden, L. A. Zadeh)Vollstndige Messbarkeit nicht mglich subjektive Beurteilung ntig

Beispiele unscharfer Begriffe:Ausreichende Festigkeit eines WerkstoffesGesundheitsschdliche StrahlendosisGnstiger KursX und Y sind fast gleichNormale Betriebstemperatur

Mglichkeiten im Falle einer unscharfen Situation:1) Verzicht auf rationale Modellierung2) Verwendung von scharfen Modellen3) Einsatz von unscharfen Methoden, die die Unschrfe
zum Gegenstand der Modellierung machen Robustheit der Ergebnisse

Beispiel einer unscharfen Schlussweise:Die meisten Schweden sind groDie meisten Schweden sind blondNils ist Schwede
Nils ist wahrscheinlich gro und blond

Mit stochastischen Methoden behandelt:90 % der Schweden sind 175 cm90 % der Schweden sind blond
P(blond und 175) = 81 % Nils ist mit 81 % Wahrscheinlichkeit gro und
blondMerkmale gro und blond mssen scharf definiert werdenEs gehen statistische Zusatzannahmen ein (hier: Unabhngigkeit der Merkmale gro und blond)

Beispiel einer Steuerung mit scharfen Angaben:Gehe 497 m geradeaus bis zur Straenkreuzung mit 16,5 m DiagonaleSchwenke 87 gegen UhrzeigersinnGehe weitere 6% der zurckgelegten DistanzBis zum Bauwerk, das Licht von 520 nm Wellenlnge ausstrahlt

Beispiel der Steuerung mit unscharfen Angaben:Gehe ca. einen halben Kilometer bis zur KreuzungDann linksDann noch eine kurze DistanzBis zum grnen Haus

Unscharfe Steuerung ist in unscharfen Situationen robuster wird grotechnologisch eingesetztAnwendungsbeispiele sind Fuzzy-Steuerungen bei:
WaschmaschinenKlimaanlagenCamcordern und KamerasStaubsaugernU-Bahn in Sendai (Japan), seit 1987 in Betrieb

1.2 Unscharfe Mengen und deren Verknpfung
Ein Argument, das nur berzeugt, wenn es przise ist, verliert alle Kraft, wenn die Annahmen, auf denen es beruht, leicht gendert werden; ein unprzises aber berzeugendes Argument bleibt eher stabil unter nderung der zugrundeliegenden Axiome (J. Schartz, 1962)

Klassische Mengenlehre:Teilmenge A von X ist eine Ansammlung von gewissen Elementen von XVon jedem Element steht fest, ob es zu A gehrt oder nichtZugehrigkeitsfunktion:
mA(x) = 1, wenn x zu A gehrtmA(x) = 0, wenn x nicht zu A gehrt

Beispiel:X ist Menge der reellen ZahlenMenge A alle reellen Zahlen kleiner oder gleich 8

Unscharfe Mengenlehre:Auch graduelle Zugehrigkeitsfunktionen zulassenUnscharfe Teilmenge A von X wird durch Zugehrigkeitsfunktion mA(x) auf X zu beschreiben sein, die beliebige Werte annehmen kannNormierung: 0 mA(x) 1mA(x) wird als Zugehrigkeitsgrad von x zur Menge A interpretiert

Beispiel:Bestimmter Messwert soll die Sicherheitsgrenze von 8 nicht berschreitenMenge der Messwerte im sicheren Bereich:

A, B seien unscharfe Mengen mit Zugehrigkeitsfunktionen mA(x), mB(x)Unscharfer Durchschnitt AB:
mAB(x) = min (mA(x), mB(x))Unscharfe Vereinigung AB:
mAB(x) = max (mA(x), mB(x))

A Menge der Messwerte im sicheren BereichB Menge der Messwerte in der Nhe von 10
Zugehrigkeitsfunktion mAB(x):
Zugehrigkeitsfunktion mAB(x):

1.3 Unscharfe ZahlenUnscharfe Zahl a:
Spezielle unscharfe Menge von Zahlen mit einer Zugehrigkeitsfunktion mA(x)Funktion hat linken ansteigenden Bereich, einen eindeutigen zentralen Wert z mit mA(x) = 1 und einen rechten abfallenden BereichFunktion ist oberhalbstetig

Sprechweise: eine Zahl ungefhr gleich zDie ansteigenden bzw. abfallenden Teile knnen linear, quadratisch, exponentiell sein; begrenzt oder ins Unendliche reichend; symmetrisch oder unsymmetrischZentraler Plateaubereich:

Rechteckszahlen: a = aL,aR
Dreieckszahlen: a = aL,aM,aR

Gnstig, wenn keine besondere Information ber die Art der Unschrfe vorliegtFlle aL = aM oder aM = aR sind zugelassenaL = aM = aR scharfe Zahl als Spezialfall

Trapezzahlen: analog Dreieckszahlen, jedoch mit zentralem Plateaubereich, also von der Form a = aL,aML,aMR,aR

Polygone Zahlen: sind durch Niveaus 0 = 0 < 1 < ... < n und Knickpunkte aL0 aL1 ... aLn aRn ... aR1 aR0 mit m(aLi) = m(aRi) = i charakterisiert

Quadratische Zahlen: Begrenzungen durch Parabelbgen gegeben

2. Unscharfe Logik und Steuerung 2.1 Fuzzifizierung
Fr V = 90 km/h gilt:mVmittel(90) = 3/4, mVgro(90) = 1/4

Fr den Abstand von 100 m gilt:mAklein(100) = 2/3, mAmittel(100) = 1/3

2.2 InferenzMehr als eine Eingangsvariable deren Kombination (Aggregation) muss festgelegt werden (Zugehrigkeitsgrad der Verknpfungen undund oder)

Kernstck der Fuzzysteuerung Liste der Schlussregeln

Schlussfolgerung erhlt denselben Zugehrigkeitsgrad wie die PrmissePrmissen:
mP2(90, 100) = min(3/4, 2/3) = 2/3 (mittel)mP3(90, 100) = min(3/4, 1/3) = 1/3 (klein)mP4(90, 100) = min(1/4, 2/3) = 1/4 (gro)mP5(90, 100) = min(1/4, 1/3) = 1/4 (mittel)
Tritt dieselbe Schlussfolgerung mehrmals auf Maximum der Zugehrigkeitsgrade

Bremsdruck:mBklein = 1/3 (aus P3)mBmittel = max(2/3, 1/4) = 2/3 (aus P2 und P5)mBgro = 1/4 (aus P4)

2.3 DefuzzifizierungSteuerinstrument verlangt scharfe AnweisungSchwerpunkt der Flche unter dem Zugehrigkeitsgrad verwenden 1,9 bar

3. Unscharfe Arithmetik3.1 Verknpfung unscharfer Zahlen
a) RechteckszahlenSumme und Differenz zweier Rechteckszahlen a = aL, aR, b = bL, bR ist wieder eine RechteckszahlSumme: aL, aR + bL, bR = aL + bL, aR + bRDifferenz: aL, aR bL, bR = aL bR, aR bL

Zahlenbeispiel:

b) DreieckszahlenSumme und Differenz zweier Dreieckszahlen a = aL, aM, aR, b = bL, bM, bR ist wieder eine DreieckszahlSumme: aL, aM, aR + bL, bM, bR = aL + bL, aM + bM, aR + bRDifferenz: aL, aM, aR bL, bM, bR = aL bR, aM bM, aR bL

Zahlenbeispiel:

c) TrapezzahlenSumme und Differenz zweier Trapezzahlen a = aL, aML, aMR, aR, b = bL, bML, bMR, bR ist wieder eine TrapezzahlS

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