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Logik
Logik
Vorkurs InformatikTheoretischer Teil
WS 2013/14
30. September 2013
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2013/14
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Motivation
Logik spielt in der Informatik eine wichtige Rolle. Anwendungen sindz.B.
Modellierung von Wissen (z.B. kunstliche Intelligenz
Auswertung von Datenbankanfragen
Kontrollfluss von Computerprogrammen(if-then-else-Konstrukte)
Logikbauteile in der technischen Informatik (Hardware)
Automatische Verifikation (automatisches Testen eines Systemsauf dessen Funktionstuchtigkeit)
Mathematische Beweise
Korrektes Argumentieren
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logische Aussagen
Die Logik behandelt die allgemeinen Prinzipien des korrektenArgumentierens. Diese Prinzipien gelten auch unabhangig vomkonkreten Inhalt. Eine logische Aussage (kurz Aussage) ist ein Satzoder Ausdruck, der entweder wahr (1) oder falsch (0) sein kann.
Beispiel 1: Folgende Satze und Ausdrucke sind Aussagen:
”Die Sonne scheint.“
”Es ist hell.“
”Der Tisch ist blau.“
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Beispiel 2
Beispiel 2: Folgende Satze und Ausdrucke sind keine Aussagen:
“5 + 5”, “3 · 2”, “ 57 ” usw., da sie keine vollstandige Ausdrucke
sind, denen man die Werte wahr oder falsch zuordnen kann.
“15 ist eine schone Zahl” (“schon” ist fur Zahlen nicht definiert.)
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Beispiel 2 Fortsetzung
Aufforderungen (“Lach mal!”)
und Fragen (“Wie spat ist es?”)
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Syntax und Semantik
Definition (Syntax)
Mit der Syntax legen wir fest, welche Zeichenreihen gultige Formelnsind und welche nicht.
So soll etwa (A→ B) eine gultige Zeichenreihe sein, wohingegen dieZeichenreihe (→ A)B nicht erlaubt sein soll.
Definition (Semantik)
Die Semantik legt die Bedeutung einer Formel fest; also, ob eineFormel wahr oder falsch ist. Dies ist immer abhangig davon, ob dieeinzelnen atomaren Aussagen, aus denen eine Formel besteht, wahroder falsch sind. Der Einfachheit halber belegen wir die Atome nur mit“wahr”(1) oder “falsch”(0), den sogenannten Wahrheitswerten.
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Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Wir nehmen an, dass wir eine unendliche Menge A, . . ., Z , A1, . . . vonAtomen (auch aussagenlogische Variablen genannt) gegeben haben.Aussagenlogische Formeln bestehen aus den Atomen, den Junktoren∧,∨,¬,→, ↔ und Klammern. Sie werden nach den folgenden Regelnaufgebaut:
Definition
Sowohl aussagenlogische Variablen, als auch 0 und 1, sind gultigeFormeln.
Beispiele:
V Der Vorhang ist rot.
K Der Koffer ist blau.
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Negation
Definition (Negation)
Ist A eine Formel, dann ist auch ¬A (nicht A) eine Formel. DieAussage ¬A ist nur dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist.
Beispiel:
A Alle Kinder spielen gern.
¬A Nicht alle Kinder spielen gern.
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Negation
Definition (Negation)
Ist A eine Formel, dann ist auch ¬A (nicht A) eine Formel. DieAussage ¬A ist nur dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist.
Wahrheitstafel:
A ¬A0 11 0
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Konjunktion
Definition (Konjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∧ B) (sprich: A und B)ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∧ B) ist wahr, wenn sowohl dieAussage A, als auch die Aussage B, wahr sind.
Beispiel:
A Die Sonne scheint.
B Der Wind weht stark.
(A ∧ B) Die Sonne scheint und der Wind weht stark.
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Konjunktion
Definition (Konjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∧ B) (sprich: A und B)ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∧ B) ist wahr, wenn sowohl dieAussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
A B (A ∧ B)
0 0 00 1 01 0 01 1 1
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Disjunktion
Definition (Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∨ B) (sprich: A oder B)ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∨ B) ist wahr, wenn mindestenseine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Beispiel:
V Der Vorhang ist rot.
K Der Koffer ist blau.
(V ∨ K ) Der Vorhang ist rot oder der Koffer ist blau.
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Disjunktion
Definition (Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∨ B) (sprich: A oder B)ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∨ B) ist wahr, wenn mindestenseine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Wahrheitstafel:
A B (A ∨ B)
0 0 00 1 11 0 11 1 1
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Implikation
Definition (Implikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A→ B) (sprich: Wenn A dannB) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A→ B) ist wahr, wenn A falschist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Beispiel:
A Es regnet.
B Die Straße ist nass.
(A→ B) Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.
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Implikation
Definition (Implikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A→ B) (sprich: Wenn A dannB) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A→ B) ist wahr, wenn A falschist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
A B (A→ B)
0 0 10 1 11 0 01 1 1
Faustregel: Aus Wahrem kann man nur Wahres folgern - ausFalschem kann man alles folgern.
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Biimplikation
Definition (Biimplikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A↔ B) (sprich: A genau dannwenn B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A↔ B) ist wahr, wenn Aund B beide falsch oder beide wahr sind.
Beispiel:
A Der Schornstein raucht.
B Die Heizung ist an.
(A↔ B) Der Schornstein raucht genau dann, wenn die Heizungan ist.
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Biimplikation
Definition (Biimplikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A↔ B) (sprich: A genau dannwenn B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A↔ B) ist wahr, wenn Aund B beide falsch oder beide wahr sind.
Wahrheitstafel:
A B (A↔ B)
0 0 10 1 01 0 01 1 1
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ausschließende Disjunktion
Definition (ausschließende Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A∨B) (sprich: Entweder Aoder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A∨B) ist wahr, wenngenau eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Beispiel:
D Ich liege Montags um 10 Uhr im Bett und schlafe.
L Ich besuche Montags um 10 Uhr die Vorlesung”Lineare
Algebra“.
(D∨L) Entweder liege ich Montags um 10 Uhr im Bett undschlafe oder besuche die Vorlesung
”Lineare Algebra“.
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ausschließende Disjunktion
Definition (ausschließende Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A∨B) (sprich: Entweder Aoder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A∨B) ist wahr, wenngenau eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
A B (A∨B)
0 0 00 1 11 0 11 1 0
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Logik > Logik > Noch mehr Definitionen
Erfullbare Formeln
Definition (Erfullbar)
Eine aussagenlogische Formel, heißt erfullbar, wenn es eine Belegungder Variablen gibt, bei der die Formel den Wahrheitswert 1 hat.
Beispiel:
A B (A ∧ B)
0 0 00 1 01 0 01 1 1
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Logik > Logik > Noch mehr Definitionen
Tautologie
Definition (Tautologie)
Eine aussagenlogische Formel, deren Wahrheitswert bei jeder Belegungder Variablen wahr ist, heißt Tautologie (oder allgemeingultig).
Beispiel:
A ¬A (A ∨ ¬A)
0 1 11 0 1
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Kontradiktion
Definition (Kontradiktion)
Eine aussagenlogische Formel, deren Wahrheitswert bei jeder Belegungder Variablen 0 (falsch) ist, heißt Kontradiktion (oder unerfullbar).
Beispiel:
A ¬A (A ∧ ¬A)
0 1 01 0 0
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Aquivalente Formeln
Definition
Seien α und β aussagenlogische Formeln.
Sei M die Menge der Variablen, die in α vorkommen, und N dieMenge der Variablen, die in β vorkommen.
Die Formeln α und β heißen aquivalent, wenn fur jede Belegungder Variablen in M ∪ N die Wahrheitswerte von α und βubereinstimmen.
Wir schreiben dann auch”α ≡ β“.
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Rechenregeln
Seien A, B und C aussagenlogischen Formeln. Dann gilt:
1) ¬¬A ≡ A
2) Kommutativgesetze:
(A ∧ B) ≡ (B ∧ A)(A ∨ B) ≡ (B ∨ A)
3) Assoziativgesetze:
((A ∧ B) ∧ C ) ≡ (A ∧ (B ∧ C ))((A ∨ B) ∨ C ) ≡ (A ∨ (B ∨ C ))
4) Distributivgesetze:
((A ∧ B) ∨ C ) ≡ ((A ∨ C ) ∧ (B ∨ C ))((A ∨ B) ∧ C ) ≡ ((A ∧ C ) ∨ (B ∧ C ))
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Logik > Logik > Rechenregeln
Rechenregeln 2
5) De Morgan’sche Gesetze:
¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B)¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B)
6)
(A ∧ 1) ≡ A (A ∧ 0) ≡ 0 (A ∧ A) ≡ A(A ∨ 1) ≡ 1 (A ∨ 0) ≡ A (A ∨ A) ≡ A
7) Absorptionsgesetze:
(A ∨ (A ∧ B)) ≡ A(A ∧ (A ∨ B)) ≡ A
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