G. F. Bär Skriptum zur Vorlesung Kinematik II im WS 2010 · G.F. Bär, Skriptum Kinematik II ,...

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 1/32

G. F. Bär

Skriptum zur Vorlesung Kinematik II

im WS 2010 Version vom 03.12. 2010

Literatur ANGELES, J.: Spatial Kinematic Chains, Analysis, Synthesis, Optimization. Springer Verlag 1982. ANGELES, J.: Fundamentals of Robotic Mechanical Systems. ME Series. Springer Verlag 1997. BLASCHKE, W.: Kinematik und Quaterionen. Berlin: Deutscher Verl. der Wiss. 1960. BOTTEMA, O.; ROTH, B.: Theoretical Kinematics. New York: Dover Publ. 1990. HUSTY, M. et al: Kinematik und Robotik. Springer Verlag 1997. STACHEL, H.: Höhere Kinematik. Skriptum, TU Wien, Institut für Geometrie, 1995. STACHEL, H.: Instantaneous spatial kinematics and the invariants of the axodes. TU Wien, Institut für Geometrie, Technical Report 34, 1996. STACHEL, H.: Euclidean Line Geometry and Kinematics in the 3-Space. TU Wien, Institut für Geometrie, Technical Report 36, 1996.


1 Darstellungen von Bewegungen im Raum

1.1 Affine Abbildungen, Bewegungen und Drehungen Im dreidimensionalen euklidischen Punktraum 3E soll eine Punktabbildung

3 3: :E E P Pππ → studiert werden. Nach Wahl eines kartesischen Koordinatensystems

1 2 3KS( ; , , )O x x x wird jeder Punkt P durch seinen Ortsvektor 1 2 3( , , )Tx x x=x des Vektorraums 3IR beschrieben. Man kann sich auf die Untersuchung einer affinen Punktabbildung in der Form

3 3: IR IR : αα → = +x x Ax u (1) beschränken, wobei A und u Matrizen passenden Formats sind. Wählt man für A die Einheitsmatrix E, so ergibt sich speziell eine Schiebung oder Translation

: ττ = +x x x u (2) mit einem (konstanten) Schieb- oder Translationsvektor 3IR∈u . Eine Translation τ ist gegeben, wenn ein Paar 0 0( , )τx x aus Urbild- und Bildpunkt bekannt ist, denn

dann ist 0 0.τ= −u x x Wenn die Matrix A in (1.1) regulär ist, dann existiert 1−A , dann ist α bijektiv und wird Affinität genannt. Eine Affinität bildet Geraden auf Geraden ab. Wenn die Matrix A sogar orthonormal ist, d.h. 1 T− =A A gilt, dann ist α eine Kongruenzabbildung (Isometrie), die längentreu und damit winkeltreu abbildet. Es gilt also für alle Punkte , :x y

α α− = −x y x y (3)

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 3/32 Beispiel: Eine Drehung der Ebene um ihren Nullpunkt durch einen Winkel ϕ wird durch eine Kongruenzabbildung 2 2: IR IR : δδ → =x x Ax beschrieben, wobei

cos sinsin cos

ϕ − ϕ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ϕ ϕ⎝ ⎠

A

Eine Drehung im Raum um die 3x -Achse durch einen Winkel ϕ wird deshalb durch eine Kongruenzabbildung

3 33: IR IR : ( )Dδδ → = ϕx x x mit 3

cos sin 0( ) : sin cos 0

0 0 1D

ϕ − ϕ⎛ ⎞⎜ ⎟ϕ = ϕ ϕ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(4) beschrieben. Eine Drehmatrix 3 ( )D ϕ hat die Eigenschaften

13 3 3 3 3 3

3 3

( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )( 2 ) ( ) für 1, 2,

TD D D D D DD k D k

− ϕ = ϕ = −ϕ ϕ ψ = ϕ+ψϕ+ π = ϕ = …

(5)

Weiter hat eine Drehmatrix 3( )D ϕ die drei Eigenwerte 1, cos siniϕ+ ϕ und cos siniϕ− ϕ , (6) die Nullstellen des charakteristischen Polynoms

23det( ( ) ) (1 )( 2 cos 1)D Eϕ −λ = −λ λ − λ ϕ+ (7)

sind. Oft stellt man die Frage nach Punkten, die auf sich selbst abgebildet werden und deshalb Fixpunkte heißen. Für einen Fixpunkt x einer affinen Abbildung muss = +x Ax u gelten, d.h.

( ) .− = −A E x u (8) Das ist ein inhomogenes lineares Gleichungssystem aus drei Gleichungen für drei Unbekannte 1 2 3( , , )Tx x x=x , dessen Lösungsmenge alle Fixpunkte beschreibt.

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 4/32 Eine affine Abbildung heißt nullfix, wenn sie den Nullpunkt O als Fixpunkt besitzt und folglich mit 0=u in (1.1) die Form hat:

: νν =x Ax (9) Lemma 1: Jede affine Abbildung ist das Produkt einer nullfixen affinen Abbildung und einer Translation.

Beweis: Sei 3 3: IR IR : αα → = +x x Ax u eine affine Abbildung. Dann definiert A eine nullfixe Abbildung und u eine Translation. Das Produkt von ν und τ ist die Abbildung ν τ : ν τ ν= + = +x x x u Ax u .||| Übrigens ist das Produkt von affinen Abbildungen nicht kommutativ. Zum Beispiel ist das Produkt von τ und ν ist die Abbildung τ ν : ( )τ ν = + = +x x A x u Ax Au . Lemma 2: Bei einer nullfixen affinen Abbildung sind die Spalten der Matrix A die Ortsvektoren der Bildpunkte der Einheitspunkte des Koordinatensystems. Beweis: Sei ( )= 1 2 3A a a a . Dann ist

1 1: 0 ( ) 0

0 0

ν⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ν = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 3 1x Ax a a a a

usw.||| Für jede orthonormale Matrix A einer Kongruenzabbildung ist T =AA E , woraus mit dem Determinanten-Multiplikationssatz 2det 1=A folgt. Deshalb unterscheiden sich die Kongruenzabbildungen in Bewegungen, bei denen det 1= +A gilt, und Umlegungen, bei denen det 1= −A gilt. Lemma 3: Bewegungen sind orientierungstreu, Umlegungen vertauschen die Orientierung eines Dreibeins.

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 5/32 Beweis: Durch drei RV 0 ( 1,2,3)i i− =p p sei ein Rechtsdreibein gegeben, d.h. es gelte 1 0 2 0 3 0det( , , ) 0− − − >p p p p p p . Die Bilder des Anfangs- und der Endpunkte dieser Vektoren sind ( 0,1,2,3)i iα =p . Somit ist 0 ( 1, 2,3)i iα α− =p p das Bild des Rechtsdreibeins und seine Determinante lautet

1 0 2 0 3 0 1 0 2 0 3 0

1 0 2 0 3 0 1 0 2 0 3 0

det( , , ) det( ( ), ( ), ( ))det(( )( , , )) det( )det( , , )

α α α α α α− − − = − − − =− − − = − − −

p p p p p p A p p A p p A p pA p p p p p p A p p p p p p

Folglich ist 1 0 2 0 3 0det( , , ) 0α α α α α α− − − >p p p p p p genau dann, wenn det 0>A . Somit ist das Bild des Rechtsdreibeins genau für eine Bewegung α wieder ein Rechtsdreibein. ||| Im Folgenden wollen wir alle Bewegungen

3 3: IR IR : ββ → = +x x Ax u mit 1 T− =A A und det 1= +A (10) untersuchen, indem die möglichen Fixpunktmengen charakterisiert werden. Für einen Fixpunkt x einer Bewegung muss nach (8) das Gleichungssystem ( )− = −A E x u mit T =AA E gelöst werden. Um dessen Lösungsmenge zu finden, zeigen wir zuerst: Lemma 4: Rang( ) 3− <A E . Beweis: Es ist

T T T T( ) ,− = − = −A A E A A A E A so dass bei Anwendung des Determinanten-Multiplikationssatzes folgt:

T

T

T T

det det( ) det det( ) det( )

det( )

det(( ) ) det( ) det( ( ))det( ).

− = − = −

= −

= − = − = − −= − −

A A E A A E A E

E A

E A E A A EA E

Deshalb ist det( ) 0− =A E und damit r := Rang( ) 3− <A E . |||

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 6/32 Folgerung: Genau im Fall 0r = ist A = E . Im Unterfall ≠u o der Translation gibt es dann keinen Fixpunkt, weil (8) nicht lösbar ist. Im Unterfall =u o ist hingegen jeder Punkt ein Fixpunkt. Als Punktabbildung liegt die Identität vor. Im Fall ≠A E ist die Dimension der Lösungsmenge 1 oder 2. Dann kann eine Fixgerade oder eine Fixebene vorliegen. ||| Satz 1: 1. Eine nullfixe Bewegung ν =x Ax ist bei ≠A E eine Drehung um eine Gerade durch den Nullpunkt, deren RV ein EV v der Matrix A zum EW 1 ist. 2. Ist 1 2 3( , , )Tv v v=v ein normierter RV der Drehachse, dann ist der bezüglich v positiv orientierte Drehwinkel ϕ der Drehung dadurch bestimmt, dass

* cos( )Arcϕ = Tw Aw mit 2 12 21 2

1: ( , ,0)Tv vv v

= −+

w gilt und

*Sign(det( ))ϕ = ϕw, Aw,v Im Fall (0,0,1)T=v setze man dabei 1 (1,0,0)T= =w e . 3 . Jede Bewegung : ββ = +x Ax u ist das Produkt ν τ einer Drehung : νν =x Ax und einer Translation : ττ = +x x u , wobei für die Drehung oder Translation auch die Identität zugelassen ist. B e w e i s : Die Fixpunkte einer nullfixen Bewegung ν müssen

( )− =A E x o (11) erfüllen. Wegen Lemma 4 und der Folgerung ist bei ≠A E die Lösungsmenge eine Fixgerade ( Rang( ) 2− =A E ) oder eine Fixebene ( Rang( ) 1− =A E ). 1. Fall: Rang( ) 2− =A E . Sei v eine Fundamentallösung von (11) mit 1=v . Dann ist ( )− =A E v o und ,= λ −∞ < λ < ∞x v , eine Parameterdarstellung der Lösungsmenge, einer Fixgeraden mit dem RV 1 2 3( , , )Tv v v=v . Fall 1a) Es sei (0,0,1)T≠v . Wegen ( 1 )− =A E v o ist 1 ein EW von A und alle EV λv zum EW 1 sind Ortsvektoren von Punkten der Fixgeraden, die wir dann als Drehachse bezeichnen.


Weiter ist 2 12 21 2

1: ( , ,0)Tv vv v

= −+

w aus den Komponenten von 1 2 3( , , )Tv v v=v

bestimmt. Es ist 0Tw v = und damit w orthogonal zu v. Man kann w als Ortvektor eines Punktes W in der Normalebene zur Drehachse durch den Nullpunkt auffassen. Dann ist ν =w Aw der Bildpunkt von w. Die Berechnung ( ) 0T T T T Tν

= = =w v w A v w A Av zeigt, dass Aw orthogonal zu v ist. Der absolute Betrag *ϕ des Drehwinkel der Drehung kann also zwischen den normierten, drehachsen-orthogonalen Vektoren w und Aw bestimmt werden:

* cos( )Arcϕ = Tw Aw . Wenn ein bez. des RV v der Drehachse positiv orientierter Drehwinkel ϕ bestimmt werden soll, so muss zusätzlich über das Vorzeichen des Winkels entschieden werden. Wenn die Vektoren w, Aw,v ein Rechtsdreibein bilden, dann ist 0 < ϕ < π , andernfalls gilt 0−π < ϕ < . Die Entscheidung findet man durch die Berechnung der o.g. Determinante. Fall 1b) Es sei (0,0,1)T=v . Dann liegt eine Drehung um die 3x -Achse vor. Nach Lemma 2 ist die erste Spalte 1a der Matrix A das Bild von 1 (1,0,0)T=e . dann ist *

1 1 31cos( ) cos( )Arc Arc aϕ = =Te a , wobei 0 < ϕ < π , falls det( ) 0>1 1 3e ,a ,e und 0−π < ϕ < , falls det( ) 0<1 1 3e ,a ,e .

2. Fall: Rang( ) 1− =A E . Zwei Fundamentallösungen v und w von (11) existieren und spannen eine Fixpunktebene Φ: = λ +μx wv , ,−∞ < λ μ < ∞ , auf. Es ist dann =Av v und =Aw w . Setzt man = ×n v w , dann ist ≠n o und weiter

( )= × = × = × =An A v w Av Aw v w n . Somit wäre n ein weiterer, von v und w linear unabhängiger EV. Die Lösungsmenge von (11) wäre dann 3-dimensional im Widerspruch zur Voraussetzung einer Fixpunktebene. Somit tritt der Fall Rang( ) 1− =A E bei einer nullfixen Bewegung nicht auf. Zu 3. Nach (10) gilt für jede Bewegung : ββ = +x Ax u mit eigentlich orthogonaler Matrix A. Nach Lemma 1 ist β = ν τ , wobei ν oder τ die Identität sein können. Nach Satz1, Teil1, ist ν eine Drehung oder die Identität. |||

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 8/32 Aufgabe: Gegeben: Drehachse a, Drehwinkel ϕ Gesucht: Matrix A in Bewegungsgleichung ′ =x Ax

Lösung:

Wahl eines Richtungsvektors d ( d = 1) der Drehachse a,

der mit positiver Orientierung von ϕ Rechtsschraubung festlegt.

X a∉ habe den Koordinatenvektor x.

Konstruktion eines orthonormalen Rechtsdreibeins e e d1 2, , ,

wobei X in e d1, -Ebene liege:

x e d= +α γ1 , α > 0 o.B.d.A. ⇒

x d e d d d⋅ = ⋅ + ⋅ =α γ γ1 , da e d d d1 0 1⋅ = ⋅ =, . Somit

α γe x d1 = − , α α γe x d1 = = − ,

e x d11= −α γ( ), e d e d x2 1

1= × = ×α ( ) .

Ansatz: ′ = ′ + ′ + ′x e e dα β γ1 2 , wobei ′ =α α ϕcos , ′ =β α ϕsin , ′ =γ γ . Substitution von e e1 2 und ergibt

′ = + + = − + × += + ⋅ − + ×

x e e d x d d x dx d x d d x

α ϕ α ϕ γ ϕ γ ϕ γϕ ϕ ϕ

cos sin cos ( ) sin ( )(cos ) ( ) ( cos ) sin ( ).

1 21

Ansatz: x d x=FHGGIKJJ =FHGGIKJJ ′ =

′′′

FHGGIKJJ

xxx

ddd

xxx

1

2

3

1

2

3

1

2

3

, ,

d x D x D D× =−

−−

FHGG

IKJJFHGGIKJJ = = −

00

0

3 2

3 1

2 1

1

2

3

T

d dd dd d

xxx

: ,

(12)


Weiter wird berechnet

( )

( )

x d d⋅ =+ ++ ++ +

FHGG

IKJJ

=F

HGG

I

KJJF

HGGI

KJJ =F

HGGI

KJJ

F

HGGI

KJJ

x d d x d d x d dx d d x d d x d dx d d x d d x d d

d d d d dd d d d dd d d d d

xxx

ddd

d d dxxx

1 1 1 2 2 1 3 3 1

1 1 2 2 2 2 3 3 2

1 1 3 2 2 3 3 3 3

12

1 2 1 3

2 1 22

2 3

3 1 3 2 32

1

2

3

1

2

3

1 2 3

1

2

3

= ( )d d xT . (13) Bemerkungen:

1. a bT heißt dyadisches Produkt der Vektoren a und b.

2. d x d e d d e e d d x d e e× = × + = × = ⇒ × × = × = −( ) ( )α γ α α α α1 1 2 2 1 . Zusammenfassend gilt der Satz 2: Die Drehung x x′ mit dem Einheitsvektor d = ( )d d d1 2 3

T der Ach-senrichtung und mit dem Drehwinkel ϕ lautet 1. in Vektorform:

′ = + ⋅ − + ×x x d x d d xcos ( ) ( cos ) sin ( )ϕ ϕ ϕ1

= + × + − × ×x d x d d xsin ( ) ( cos ) ( ( ))ϕ ϕ1 ; (14)

2. in Matrixform mit ′ =x Ax und den Bezeichnungen sϕ ϕ= sin ,

cϕ ϕ= cos : A =− + − − − +

− + − + − −− − − + − +

F

HGGG

I

KJJJ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 11 1 11 1 1

12

12

1 2 3 1 3 2

1 2 3 22

22

2 3 1

1 3 2 2 3 1 32

32

d c d d d c d s d d c d sd d c d s d c d d d c d sd d c d s d d c d s d c d

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

(15)

3. unter Verwendung von (12,13):

A E d d D= + − +cos ( cos ) ( ) sinϕ ϕ ϕ1 T

A E D D= + − +( cos ) sin1 2ϕ ϕsymmetrischer Anteil schiefsymmetrischer

Anteil B e w e i s z u 3 . :

D x D D x D d x d d x2 1 19 1 19= = × = × ×( ) ( ) ( )

( . ) ( . )

= − ⋅ + ⋅= − + ⋅

( . )( ) ( )

( )

1 7d d x d x d

x d x d

In Satz 2. 1 erweitern ⇒

′ = − + + ⋅ − + ×= − − + ⋅ − + ×= + − − + ⋅ + ×

x x x x d x d d xx x d x d d xx x d x d d x

cos ( ) ( cos ) sin ( )( cos ) ( ) ( cos ) sin ( )( cos ) ( ( ) ) sin ( )

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ

11 11

= + − +( ( cos ) )E D D x1 2ϕ .


Definition: Eine Schraubung : σσ x x um eine Achse d mit einem Punkt p und dem REV d = ( )d d d1 2 3

T durch einen Winkel ϕ mit der vorzeichenfähigen Schubstrecke v sei das Produkt der Drehung um d durch ϕ und der Translation längs d mit dem Translationsvektor v d .

Eine Schraubung σ heißt rechts- bzw. linksgängig, falls v > 0 bzw. v < 0. Satz 3: Eine Schraubung σ nach o.g. Definition hat bezüglich eines beliebigen Koordinatensystems die Darstellung : vσσ = + − +x x Ax p Ap d mit der Drehmatrix A nach (15). Beweis: Wir drehen den RV −x p um d durch ϕ und bedenken, dass p dabei ein Fixpunkt ist:

( )ν − = −x p A x p mit A nach (15). Anschließende Translation mit v d ergibt vσ ν= +x x d . Einsetzen von ( )ν = + −x p A x p liefert die Behauptung.||| Satz 4: Für eine nullfixe Bewegung

′ =x Ax ( , det , )A A E A A ET = = ≠1

sei d ein Einheits-Richtungsvektor der Drehachse und ϕ das zur Orientierung von d gehörige Bogenmaß des Drehwinkels.

Dann gilt:

1. cos ( ) (tr )ϕ = + + − = −12 11 22 33

121 1a a a A .

cos trϕ2

12 11 22 33

121 1= + + + = +a a a A .

2. ( sin ) ( , , )2 32 23 13 31 21 12ϕ d = − − −a a a a a a T .

3. A symmetrisch ( )A E≠ ⇔ =ϕ π . Im Fall ϕ π= gilt:

2 12 12 1

1 11 12 13

2 21 22 23

3 31 32 33

d a a ad a a ad a a a

ddd

= +

= +

= +

( , , )( , , )( , , ) .

T

T

T

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 11/32 B e w e i s : Zu 1. det( ) ( ) ( cos )A E− = = − − +λ λ λ λ ϕ0 1 2 12

= − + + + − − +λ λ ϕ λ ϕ3 1 2 1 21

( cos ) ( cos ) detk

A

Aus LAAG bekannt: k1 = tr A ⇒ + = ⇒ = −1 2 11

2cos tr cos (tr )ϕ ϕA A .

Mit 1 2 22+ =cos cosϕ ϕ folgt zweite Behauptung.

Zu 2. A S Q= + nach Satz 2.3 mit S E D S= + − =( cos )1 2ϕ T , Q D Q= = −sinϕ T .

Wegen S A A= +12 ( )T , Q A A= −1

2 ( )T folgt

sin ( )( sin ) ( )

ϕϕ

D A AD A A= −= − ⇒

12

2

T

T Behauptung.

Zu 3. A Q D symmetrisch ⇒ = =sinϕ Nullmatrix bei D O≠ ⇔ =sinϕ 0 ⇔ =ϕ π , wenn 0 2≤ <ϕ π vorausgesetzt. Auch bei Halbdrehung ist der Richtungsvektor d der Drehachse bestimmbar, denn nach Satz

2.2 gilt mit cϕ = −1, sϕ = 0 :

A =− + +

− + +− + +

F

HGGG

I

KJJJ

1 2 22 1 22 2 1

12

12

1 2 1 3

1 2 22

22

2 3

1 3 2 3 32

32

d d d d d dd d d d d dd d d d d d

2 2(1 cos ) 2 2 T= + − ϕ = + = −E D E D dd E (siehe Satz 2, 3)

⇒ = + ⇒2d d A ET Behauptung. |||


1.2 Quaternionen und Drehungen Eine HAMILTONsche Quaternion hat in der Viertupel-Schreibweise die Gestalt

0 1 2 3 0( , , , ) ( , )q q q q q= = qQ ,

wobei 0 IRq ∈ den Skalarteil und 31 2 3: ( , , ) IRq q q= ∈q den Vektorteil der Quaternion

bezeichnen.

Es sei { }IH:= Q . Mit 0 0q = folgt IH IR3⊃ . Mit =q o folgt IH IR⊃ .

Mit der im Folgenden erklärten Addition und Multiplikation in der Menge IH wird diese ein nichtkommutativer Körper. Seien

0 1 2 3 0( , , , ) ( , )p p p p p= = pP

0 1 2 3 0( , , , ) ( , )q q q q q= = qQ zwei Quaternionen. Dann sei ihre Summe

0 0( , )p q= + +p qP+Q . (1)

Das Produkt sei

0 0 0 0( , )p q p q= − ⋅ + + ×p q q p p qP Q , (2)

wobei die übliche Skalarmultiplikation, sowie das Skalar- und Vektorprodukt im 3IR für die Definition verwendet wird. Dieses Produkt ist assoziativ, aber nicht

kommutativ, denn es gilt beispielsweise

(0,2 )= ×p qP Q-Q P . (3)

Eine Quaternion, deren Skalarteil null ist, heißt vektoriell. Für vektorielle Quaterionen 1 2 3(0, , , ) (0, )x x x= = xx und 1 2 3(0, , , ) (0, )y y y= = yy gelten die Formeln

( , )( , )=( , )=

= ⋅ ×⋅ × ⋅ ×

x y x yy x y x x y x y

x y -

y x = - - - - x y

Bei Addition bzw. Subtraktion dieser Gleichungen ergeben sich Formeln für den Skalarteil bzw. Vektorteil:

1( , ) - ( )21(0, ) - ( )2

⋅ =

× =

x y o

x y

x y+y x

x y-y x (4)


Die Quaternion ( )0: ,q= −qQ heißt konjugiert zu ( )0: ,q= qQ .

Das Produkt ist 2 2 2 2

0 0 0 0 0 1 2 3( , ) ( , )q q q q q q q q= + ⋅ − + − × = + + +q q q q q q oQ Q

Deshalb sei 2 2 2 2

0 1 2 3: q q q q= + + +Q (5)

die Norm von ( )0: ,q= qQ .

Man bestätigt durch Nachrechnen

0 (0, )= ⇔ oQ Q = 0 = (6)

=P Q P Q (7)

Wegen 2( , )= oQ Q Q gibt es zu jeder Quaternion ≠Q 0genau ein inverses

Element 21

=-1Q QQ

, (8)

denn (1, )= o-1Q Q ist das neutrale Element der Multiplikation. Damit haben wir im wesentlichen gezeigt:

Satz 1: (IH,+, ) ist ein nichtkommutativer Körper. Für das praktische Rechnen ist noch interesant: 1. Für alle IR, IHr∈ ∈Q gilt r r=Q Q (9)

2. Wenn Z= P Q , dann =Z Q P (10).

3. Zu jeder Quaternion ≠Q o

gibt es eine Einheitsquaternion 1e =Q Q

Q, (11)

für die 1=eQ gilt.

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 14/32 Ein Ansatz für jede Einheitsquaternion ist

(cos , sin )= α αdE (12)

mit einem beliebigen IRα∈ und beliebigen Einheitsvektor 3IR∈d , also 1=d . Mit (5) bestätigen wir

2 2 2cos sin 1.= α + ⋅ α =d dE

Wegen (8) gilt weiter 1− =E E . (13)

Drehungen können mit Einheitsquaternionen dargestellt werden. Dazu betrachten wir die Abbildung

=x x' E x E

einer vektoriellen Quaternion (0, )= xx auf eine vektoriellen Quaternion (0, ')= xx' , die durch eine Einheitsquaternion E bestimmt ist.

Das Ausrechnen ergibt nämlich

2 2

2

( ) ( )

(cos , sin ) (0, ) (cos , sin )( sin , cos sin ) (cos , sin )( sin cos cos sin ( ) sin ,( ) sin cos

sin cos sin cos ( ) sin )⋅ − ⋅

= = α α α − α= − ⋅ α α + × α α − α= − ⋅ α α + ⋅ α α + × ⋅ α

⋅ α + α +

× α α − × α α − × × αd d x x d d

d x dd x x d x dd x x d d x d

d x d dd x x d d x d

x' E x E

Tatsächlich verschwindet der Skalarteil des Bildvektors (0, ')= xx' und es gilt für den Vektorteil

12 sin 2cos2

2 2 2' 2( ) sin (cos sin ) 2( )sin cos( )(1 cos 2 ) cos 2 ( )sin 2 .

αα

= ⋅ α + α − α + × α α= ⋅ − α + α + × α

x d x d x d xd x d x d x

(14)

Ein Vergleich mit Abschn.1.1, Satz 2, zeigt, dass wir die Eulersche Drehformel in Vektorform erhalten haben, wobei hier 2ϕ = α für den Drehwinkel um die Drehachse mit dem ERV d gilt.


Satz 2:

1. Die Drehung ′ =x x A x mit dem Drehachsen-Einheitsvektor

T1 2 3( , , )d d d=d und dem Drehwinkel ϕ lautet in Quaternionendarstellung

=x x' E x E mit (cos , sin )2 2ϕ ϕ

= dE

2. Mit der Einheitsquaternion 0 1 2 3( , , , )q q q q=E ist 2 2 2 20 1 2 3 1q q q q+ + + =

und es gilt 2 2 2 2

0 1 2 3 1 2 0 3 1 3 0 22 2 2 2

1 2 0 3 0 1 2 3 2 3 0 12 2 2 2

1 3 0 2 2 3 0 1 0 1 2 3

2( ) 2( )2( ) 2( )2( ) 2( )

q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q

⎛ ⎞+ − − − +⎜ ⎟

= + − + − −⎜ ⎟⎜ ⎟− + − − +⎝ ⎠

A .

Dabei heißen 0 1 2 3, , ,q q q q EULERsche Drehparameter. B e w e i s zu 2: Nach 1.1, Satz 2, gilt Tcos (1 cos )( ) sin= ϕ + − ϕ + ϕA E dd D für eine

Drehung um T1 2 3( , , )d d d=d durch ϕ. Wegen 0 1 2 3(cos , sin ) ( , , , )

2 2q q q qϕ ϕ

= =dE

folgt

0 2

1 1 2 2 3 32 2 2

cos

sin , sin , sin .

q

q d q d q d

ϕ

ϕ ϕ ϕ

=

= = =

Mit den Formeln

sin sin coscos cos sin cos

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ=

= − = −

22 1

2 22

22

22

2

kann auf den halben Drehwinkel substituiert werden:

22 2 2 2 2 3 22 2 1 1 2 1 30 0 1 2 3 03 12

2 1 2 2 32 12

3 1 3 2 3

2 2 T2 2 2 2

02 1 2(1 ) 2sin 020

(2cos 1) (1 cos ) ( ) +2sin cos .d dd d d d dq q q q q q d d

d d d d d d dd d d d d

ϕ ϕ ϕ ϕ

−⎛ ⎞ϕ ⎛ ⎞− = − − − ⎜ ⎟− = ⎜ ⎟ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

= − + −A E dd D

⇒ Behauptung.

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 16/32 Eigenschaften:

1. 2 2(cos , sin ) (cos , sin ) ( cos , sin )2 2 2 2 2 2ϕ ϕ ϕ+ π ϕ+ π ϕ ϕ

= = = − − = −d d dE E

Deshalb bestimmen E und -E dieselbe Drehung. 2. Die Einheitsquaternion 1E mit 1 = −d d und 1ϕ = −ϕ beschreibt dieselbe Drehung wie E , denn ... 3. Zwei Drehungen → = 1 1x x' E x E und → = 2 2x' x'' E x E ergeben hintereinander ausgeführt wieder eine Drehung, denn → = =2 1 1 2x x'' E E x E E Z x Z mit einer Einheitsquaternion 2 1Z=E E wegen (7).


1.3 Speere und duale Vektoren Ein Speer ist eine orientierte Gerade g mit einem normiertem RV, also ist = + λx a g mit g = 1 eine Parameterdarstellung eines Speers g durch einen Punkt

a mit dem ERV g . Man bildet einen Momentvektor ˆ = ×g a g von g. Es ist dann ˆ 0⋅ =g g und weiter ist g unabhängig von dem Punkt a von g, denn bildet man einen Momentvektor mit einem anderen Punkt ' = +λa a g von g, so folgt ' ( )× = + λ × = × + = ×a g a g g a g o a g . Also gilt Satz 1: 1. Ein Speer :g = + λx a g , g = 1, ist umkehrbar eindeutig durch ein

Vektorpaar ( , )g g ∈ ×IR IR3 3 mit g = 1 und g g⋅ = 0 bestimmt. ˆ( , )g g heißen Speerkoordinaten von g.

2. Die Normalebene zu g durch O schneidet g im Fußpunkt ˆ= ×f g g . B e w e i s : g bestimmt ( , )g g mit oben angegebener Eigenschaft. Wenn umgekehrt ( , )g g mit

g = 1 und g g⋅ = 0 gegeben, dann sei f g g:= × .

Es folgt f g g g g g g g g g g g× = × × = ⋅ − ⋅ =( ) ( ) ( ) , d. h. ( , )g g beschreibt den Speer durch f mit

Richtungsvektor g. Weiter ist ˆ( ) 0⋅ = × ⋅ =f g g g g , also f g⊥ . Bemerkung: 1. Sind T

0 1 2 3( , , , )a a a a=a und T0 1 2 3( , , , )b b b b=b die homogenen

Koordinaten von zwei Punkten, so hat ihre Verbindungsgerade PLÜCKERsche Geradenkoordinaten ( , , , , , )p p p p p p01 02 03 23 31 12 , wobei

00

0

kk

k

a ap

b b= für k=1,2,3 und i j

iji j

a ap

b b= für ij = 23, 31, 12.

2. Speerkoordinaten sind ein Sonderfall von PLÜCKERschen Geradenkoordinaten ( , , , , , )p p p p p p01 02 03 23 31 12 , die man für

T1 2 3(1, , , )a a a=a und T

1 2 3(0, , , )g g g=b ( Fernpunkt von g) erhält. Dann ist

p g p g p g p g p g p g01 1 02 2 03 3 23 1 31 2 12 3= = = = = =, , , , ,

3. Es heißt g g⋅ = 0 die PLÜCKER-Bedingung.


Satz 2: Zwei Geraden g : ( , )g g und h: ( , )h h sind gegeben.

1. g und h sind parallel oder schneiden sich ⇔ ⋅ + ⋅ =g h g h 0 .

2. n sei gemeinsame Normale von g und h, ϕ sei der Drehwinkel und ϕ die Schieblänge einer Schraubung um n, die g nach h bringt. Dann ist

cosϕ = ⋅g h , − = ⋅ + ⋅sinϕ ϕ g h g h .

3. Sind ( , )n n Speerkoordinaten von n bezüglich einer Orientierung, dann gilt

sinϕ n g h= × , sin cos ( ) ( )ϕ ϕ ϕn n g h g h+ = × + × . B e w e i s : 1. Mit g x g= × , h y h= × ist

det( , , ) det( , , ) ( ) ( ) :g h g h x g h g y h x y g h⋅ + ⋅ = + = − ⋅ × = s (1)

sX Y g hg hXY X Y

= ⇔− = ⇔ = = ∩× = ⇔ ||− ⊥ × ⇔ ⊥ × ∀

RS|T|

0( )

, .

x y og h ox y g h g h

2. cosϕ = ⋅g h ist klar.

− = ⋅ + ⋅sinϕ ϕ g h g h ist für sinϕ = 0 wegen 1. klar. Wenn sinϕ ≠ 0 , dann sinϕ = ×g h ( )0 < <ϕ π .

Sei :sin×

=ϕ

g hn REV der gemeinsanen Normalen n mit

den Fußpunkten S und S‘ auf g bzw. h. Dann istFehler! Textmarke nicht definiert.

ˆ ′ϕ = −n s s die Orthogonalprojektion von ( )−y x auf n, also unter Verwendung von (1): Fehler! Textmarke nicht definiert.

3. X g n= ∩ , Y h n= ∩ ⇒ = × = × − = =×, , , : sing x g h y h y x n n g hϕ ϕ ,

( ) ( )y x g y x h− ⋅ = − ⋅ = 0 . Dann ist

ˆsin (sin ) ( ) ( ) ( ) :ϕ = × ϕ = × × = ⋅ − ⋅ =n x n x g h x h g x g h w

[ ]( )= + = + − ⋅ ⋅ ⇒w w o w x y g h

sin ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϕ n x h g x g h x y g h x h g y g h= ⋅ − ⋅ + − ⋅ = ⋅ − ⋅ . (2) Andererseits:

ˆˆ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

ˆsin ( )( ).

× + × = × × + × ×= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅= ⋅ − ⋅ + ⋅ −= ϕ + ⋅ −

g h g h x g h g y hx h g g h x g h y g y hx h g y g h g h y x

n g h y x

Letzteres wegen (2). Fehler! Textmarke nicht definiert.

n

.

. h

g

ϕX S=

Y S= ′

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 19/32 Die Aussagen 2 und 3 des Satzes 2 lassen sich mit dualen Zahlen (W. K. CLIFFORD, 1873) kompakt und kurz formulieren.

Zu x y, ∈IR wird die duale Zahl Fehler! Textmarke nicht definiert. mit ε 2 0= (3)

gebildet. ε heißt duale Einheit, x Realteil und ε y Dualteil von Fehler! Textmarke nicht definiert..

Addition und Multiplikation seien "real- bzw. dualteilweise" erklärt:

1 2 1 21 2: ( )x x y yϕ ±ϕ = ± + ε ±

1 1 2 2 1 2 1 2 2 11 2: ( ) ( ) ( )x y x y x x x y x yϕ ⋅ϕ = + ε ⋅ + ε = ⋅ + ε + (4)

ID + IR2= ∈ =x e y x y, , ε 2 0n s ist ein Ring.

Fehler! Textmarke nicht definiert., ist rein dual. Rein duale Zahlen sind Nullteiler von ID , denn für 0y ≠ gilt 2( )( ) ( ) 0y z y zε ε = ε = , d.h. ( )zε ist Nullteiler.

x yϕ = − ε heißt dual-konjugiert zu x yϕ = + ε . (5)

2xϕϕ = , : xϕ = ϕϕ = .

Zu x yϕ = + ε mit x ≠ 0 existiert die inverse duale Zahl

21 1

x−ϕ = ϕ , (6)

denn 2 2

1 1 21 1 1x x

x− −ϕ ϕ = ϕ⋅ϕ = ϕϕ = ⋅ = .

Definition einer Fortsetzung von analytischen Funktionen ins Duale:

f x y f x y f x( ): ( ) ( )+ = + ′ε ε . (7)

Begründung: Eine analytische Fkt ist beliebig oft stetig differenzierbar, deshalb lautet ihre Taylorentwicklung für duale Argumente

( )2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1! 2! !

nnf f ff f

n′ ′′α α α

ϕ = α + ϕ−α + ϕ−α + + ϕ−α +… …

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 20/32 Speziell an der Stelle xα = folgt x y x yϕ−α = + ε − = ε und damit

( )2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1! 2! !

nnf x f x f xf x y f x y y y

n′ ′′

+ ε = + ε + ε + + ε +… …

wobei alle Glieder von höherer Ordnung verschwinden wegen

ε ε ε2 3 4 0= = = =… .

Anwendung der Definition: sin( ) sin coscos( ) cos sin

x y x y xx y x y x+ = ++ = −ε εε ε

cot( ) cot ( cot )x y x y x+ = + +ε ε 1 2 (8)

1 12 2x y x

yx

x yx+

= − =−

ε ε ε

x y x yx

+ = +ε ε2

( x ≠ 0 ). (9)

Alle Formeln, die für Taylorreihen gültig sind, müssen erhalten bleiben, etwa

( )

2 2

2

sin ( ) cos ( ) 11( ) 1 ( 0)

( ).

x y x y

x y xx y

x y x y

+ ε + + ε =

+ ε = ≠+ ε

+ ε = + ε

Definition: v v v:= + ε heiße dualer Vektor zu dem Vektorpaar ( , )v v . Lemma 1: Fehler! Textmarke nicht definiert. ist ein R-Modul, ein verallgemeinerter Vektorraum mit einem Ring als Skalarbereich.

Beweisskizze: Es gelten die Vektorraumgesetze bezüglich der Addition von dualen Vektoren:

Fehler! Textmarke nicht definiert. sowie der Skalarmultiplikation

zzzz

v :( )( )( )

=+++

FHGG

IKJJ

v vv vv v

1 1

2 2

3 3

εεε

.

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 21/32 Definitionen für das Skalar-, Vektor-und Spatprodukt dualer Vektoren:

v v v vv v v v

v v v v v

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅× = + +

= + + +× × ×

w w w ww w w wu w u w u w u w u w

: ( ): ( )

det( , , ): det( , , ) (det( , , ) det( , , ) det( , , )).

εε

ε

Lemma 2: 1. Skalar-, Vektor- bzw. Spatprodukt dualer Vektoren ist linear in jedem Faktor.

2. Es gelten entsprechende Distributivgesetze.

3. Produkte sind mit der Vervielfachung durch duale Zahlen vertauschbar, z. B. ( ) ( )ϕ ⋅ = ϕ ⋅w wv v . B e w e i s : Übungsaufgabe! Satz 3: Für beliebige duale Vektoren a b c d, , , gilt:

det( , , ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) det( , , ) det( , , ) .

a b c a b c b c a c a ba b c a c b b c a

a b c a b c a c ba b c d a c b a d b c

a b c d a c d b b c d a

= ⋅ × = ⋅ × = ⋅ ×× × = ⋅ − ⋅× × = − ⋅ + ⋅

× ⋅ × = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅× × × = −

d

B e w e i s : Übungsaufgabe! (Aufspalten in Real- und Dualteil) Speerkoordinaten ( , )g g (mit g = 1 und g g⋅ = 0 ) einer Geraden g seien zu einem dualen Vektor g g g= + ε zusammengefaßt. Dann ist

g g g g g g⋅ = ⋅ + ⋅ =2 1ε .

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 22/32 Definition: 1. Norm eines dualen Vektors v bei ≠ ov sei := ⋅v v v

Dann ist mit (9) ˆ⋅

= + εv vv vv

(10)

und 12

ˆ1 1:− ⎛ ⎞⋅= − ε =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

v vv vv vv

(11)

2. Jeder duale Vektor g mit g g⋅ = 1 heißt ein dualer Einheitsvektor. Satz 4 (duale Fassung von Satz 2): n sei ein Speer, der die Speere g und h orthogonal schneidet. ϕ sei der Drehwinkel und ϕ die Schieblänge einer Schraubung längs n, die g nach h bringt. Dann heißt ϕ ϕ εϕ= + dualer Winkel zwischen g und h. Sind n g, bzw. h duale Einheitsvektoren der Speere, so gilt

cosϕ = ⋅g h und sinϕn g h= × .

B e w e i s : Mit (8) und Satz 2 gilt

ˆˆ ˆ ˆcos( ) cos sin ( )ˆ ˆsin (sin sin )( )

ˆ ˆsin (sin cos )ˆˆ( ) (( ) ( ))

.

ϕ+ εϕ = ϕ−εϕ ϕ = ⋅ + ε ⋅ + ⋅ϕ = ϕ+ εϕ ϕ + ε

= ϕ + ε ϕ +ϕ ϕ

= × + ε × + ×= ×

g h g h g hn n n

n n n

g h g h g hg h

Folgerung: Wenn g h, die dualen Einheitsvektoren der Speere g und h sind, dann gilt:

1. g h⋅ = 0 ⇔ g und h schneiden sich orthogonal. 2. g h o× = ⇔ g und h liegen auf derselben Geraden.

3. ng h

g h g h=

×

× ⋅ ×( ) ( ) ist bei × ≠g h o der duale Einheitsvektor

eines Speers, der auf der gemeinsamen Normalen von g und h liegt.

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 23/32 B e w e i s : Zu 1) cos cos sin ,)ϕ ϕ εϕ ϕ ϕ= ⋅ = ⇔ − = <g h g h0 0 mit =

⇔ = =⇔ = ⋅ = ≠ =⇔ ⊥ ∩ ≠ ∅

cos sincos sin )

.

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

0 00 0 0

und ( und

und g h

g h g h

Zu 2) g h n n n n o× = = + + =sin sin (sin cos )ϕ ϕ ε ϕ ϕ ϕ

⇔ = + =⇔ = × = =

⇔ = = × = × ==

RST⇔

||| | =RST

⇔

sin sin cos( sin )

sinsin

ϕ ϕ ϕ ϕϕ

ϕϕ ϕ

n o n n on g h on o n n x n x o o

und oder und ( ~ )

= und mit und = 0

und beide Geraden inzidieren mit Nullpunkt und

Behauptung.

00

0g hg h gh O

Zu 3) Mit v := ×g h folgt v v v v v v⋅ = + ⋅ +( ) ( )ε ε

= +⋅ ⋅> ≠

v v v vv

2 20

ε . bei o

Nach Behauptung ist n = 1v

v , d. h., n entsteht durch „Normieren“ des

dualen Vektors v . Tatsächlich ist n dann ein dualer Einheitsvektor, denn

n n⋅ =FHGIKJ ⋅FHGIKJ = ⋅

= − ⋅FHG

IKJ ⋅ + ⋅

= − ⋅ ⋅ + ⋅ = =

− −1 1

1 2

1 2 2 1

1 1

4

2

42

4

4

vv

vv v v v v

vv v v

vv v v v

vv v v v v v v

v

v

ε ε

ε ε .

b g

b gb g

Weiter schneidet n: ( , )n n die Geraden g und auch h orthogonal, d. h. nach 1. , es gilt g n⋅ = 0 und h n⋅ = 0 , was durch Nachrechnen bestätigt wird:

g n g g g h g g h

g g h g g h g g h g g h

⋅ = ⋅ = ⋅ × =

= + + + =

1 1 1

1 0

vv

v v

v

( ) det( , , )

(det( , , ) (det( , , ) det( , , ) det( , , ))) .ε


1.4 Duale Quaternionen Eine duale Quaternion 0( , )q= qQ ist eine verallgemeinerte HAMILTONsche Quaternion, bei der sowohl im Skalarteil als auch im Vektorteil anstelle reeller Zahlen nun duale Zahlen (1.3, 3) zugelassen sind, d.h.

0( , )q= qQ

mit 0 0 0ˆ IDq q q= + ε ∈ , 31 2 3( , , ) IDq q q= ∈q und ˆk k kq q q= + ε (k=1,2,3) (1)

Deshalb

0 0 0 1 1 2 2 3 3

0 1 2 3 0 1 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ( , , , )ˆ ˆ ˆ ˆ( , , , ) ( , , , )

ˆ ˆ: mit IH

q q q q q q q q q

q q q q q q q q

= = + ε + ε + ε + ε

= + ε

= + ε ∈

qQ

Q Q Q, Q

(2)

Damit ist eine duale Quaternion Q als Summe einer (gewöhnlichen) Skalarteil-

Quaternion Q und einer Dualteil-Quaternion Q̂ dargestellt. Die dualen Quaternionen sind ein wichtiges algebraisches Werkzeug für die Parametrisierung der euklidischen Bewegungsgruppe. Mit der im Folgenden erklärten Addition und Skalarmultiplikation in der Menge

dIH der dualen Quaternionen wird diese ein 8-dimensionaler reeller Vektorraum. Seien

0( , )p= pP

0( , )q= qQ zwei beliebige duale Quaternionen. Dann sei ihre Summe

0 0 0 0( , ) ( , ) : ( , )p q p q= = + +p q p qP+Q + (3)

Die Skalarmultiplikation mit einer beliebigen reellen Zahl λ sei

0( , )qλ = λ λqQ : (4)

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 25/32 Weiter kann eine Multiplikation für duale Quaternionen nach dem Vorbild der Quaternionenmultiplikation definiert werden:

0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )p q p q p q= = − ⋅ + + ×p q p q q p p qP Q : (5)

Die duale Quaternion ( )0: ,q= −qQ heißt konjugiert zu 0( , )q= qQ .

Die duale Quaternion 0 0 0 1 1 2 2 3 3ˆˆ ˆ ˆ ˆ: ( , ) ( , , , )q q q q q q q q q= = − ε − ε − ε − ε = − εqQ Q Q

heißt dual-konjugiert zu 0( , )q= qQ .

Wir berechnen 2 2 2 2

0 1 2 3 0 0 1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ... 2( ) IDq q q q q q q q q q q q= = + + + + ε + + + ∈Q Q (6) Es gilt also

1=Q Q genau dann, wenn gilt: 2 2 2 2

0 1 2 3 1q q q q+ + + = (N1) und

0 0 1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ 0q q q q q q q q+ + + = (N2) Berechnet man Q Q mit der Schreibweise (2), also

ˆ ˆmit IH= + ε ∈Q Q Q Q, Q , dann findet man

ˆ ˆ ˆ ˆ+ ε + ε εQ Q =(Q Q) (Q Q)= Q Q+ (Q Q+ Q Q) Also ist

1=Q Q genau dann, wenn gilt: 1Q Q = (N1*)

und ˆ ˆQ Q+ Q Q = 0 (N2*)


dIH∈Q heiße normiert, falls 1=Q Q gilt. Mit 0dIH sei die Menge der normierten

dualen Quaternionen bezeichnet. Es ist 0d1 IH∈ . Für 0

dIH∈Q ist 1=Q Q , also ist =-1Q Q das inverse Element von 0

dIH∈Q . Satz 1: 0

d(IH , ) ist eine Gruppe. Jede 0dIH∈Q bestimmt eine Bewegung des

Raumes. Beweis: Es ist noch der zweite Teil des Satzes zu zeigen. Nach dem Vorbild 1.2, Satz 2, wo gezeigt wurde, dass eine Einheitsquaternion E mit der Abbildung

=x x' E x E eine Drehung bestimmt, wobei (0, )= xx , berechnen wir jetzt für 1= + εz x das Produkt

ˆ ˆ( 1

ˆ ˆ( 1 1ˆ ˆ( 1 1

ˆ ˆ

ˆ ˆ(

= + ε + ε − ε

+ ε + ε + ε − ε

+ ε + ε − ε

+ ε + ε − ε

+ ε + −

Q z Q Q Q) ( x) (Q Q)

= Q ( x) Q ( x)) (Q Q)

= Q Q x Q ) (Q Q)

= Q Q Q x Q Q Q Q Q

= Q Q Q x Q Q Q Q Q)

Wegen (N1*) folgt

1 (+ ε +Q z Q = Q x Q U) mit ˆ ˆ−U := Q Q Q Q . Wir berechnen

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

ˆ ˆˆ ˆ, , , ,ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ( , )

ˆ ˆˆ(0, 2 2 2 ) : (0, )

q q q qq q q q q q q q

q q

− − −

= + ⋅ − − × − + ⋅ − − ×= − + × =

q q q qq q q q q q q q q q q q

q q q q u

U =

mit dem Vektorteil

0 1 0 1 2 3 3 2

0 0 0 2 0 2 3 1 1 3

0 3 0 3 1 2 2 1

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2( ) 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

q q q q q q q qq q q q q q q q q q

q q q q q q q q

− + −⎛ ⎞⎜ ⎟= − + × = − + −⎜ ⎟⎜ ⎟− + −⎝ ⎠

u q q q q . (7)

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 27/32 Zusammenfassung: Die Abbildung

1 1ε εz = + x z'= + x'= Q z Q (8) lautet in Einschränkung auf ihren Dualteil

+x x' = Q x Q U (8’) und in weiterer Einschränkung auf ihren Vektorteil

+x x Ax u' = (9) wobei die eigentlich orthogonale Matrix A in 1.2 für Satz 2.2 berechnet wurde und hier nochmals notiert wird:

2 2 2 20 1 2 3 1 2 0 3 1 3 0 2

2 2 2 21 2 0 3 0 1 2 3 2 3 0 1

2 2 2 21 3 0 2 2 3 0 1 0 1 2 3

2( ) 2( )2( ) 2( )2( ) 2( )


⎛ ⎞+ − − − +⎜ ⎟

= + − + − −⎜ ⎟⎜ ⎟− + − − +⎝ ⎠

A (10)

0dIH∈Q bestimmt die Abbildung (8) und in der Folge (9). Somit wird eine

Bewegung des Raumes bestimmt, was behauptet wurde.||| Folgerung aus (8):

0dIH∈Q und 0

dIH∈-Q bestimmen die gleiche Bewegung. Eine Raumbewegung (9) ist durch die EULERschen Drehparameter 0 1 2 3, , ,q q q q und durch die Parameter 0 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,q q q q , die zusätzlich in (7) auftreten, festgelegt. Diese 8 Parameter sind nicht unabhängig, sondern müssen (N1) und (N2) erfüllen. Man nennt ( 0 1 2 3, , ,q q q q , 0 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,q q q q ) STUDY-Parameter der Bewegung (9). Ein 8-Tupel ( 0 1 2 3, , ,q q q q , 0 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,q q q q ) aus STUDY-Parametern kann als Repräsentant eines Punktes des 7-dimensionalen rellen projektiven Raums

87 {IR | IR \{ }}P o= ∈x x

geometrisch interpretiert werden, denn jedes

0 1 2 3 4 5 6 7( , , , , , , , ) (0,...,0)x x x x x x x x= ≠x heißt ein Repräsentant eines Punktes IRx . Zwei Punkte sind gleich, d.h. IR IR=x y , falls ein 0ρ ≠ existiert mit = ρx y .

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 28/32 Jede Gleichung der Gestalt 0T =x Ax mit 8 8IRT ×= ∈A A (11) bestimmt eine Quadrik im 7P als Menge aller IRx , die diese Gleichung erfüllen. Die Gleichungen (N1): 2 2 2 2

0 1 2 3 1 0q q q q+ + + − = und (N2):

0 0 1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ 0q q q q q q q q+ + + = bestimmen je eine Quadrik. (N2) heißt STUDY-Quadrik. Die speziellen Punkte 0 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆIR(0,0,0,0, , , , )q q q q erfüllen (N2), aber nicht (N1). Die STUDY-Quadrik ohne diese speziellen Punkte heißt geschlitzt. Mit Satz 1 folgt deshalb Satz 2: Jeder Punkt der geschlitzten STUDY-Quadrik entspricht genau einer Bewegung und umgekehrt.


1.5 Bewegung mit STUDY-Parametern in homogenen Koordinaten Nach 1.4 hat eine Bewegung in STUDY-Parametern ( 0 1 2 3, , ,q q q q , 0 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,q q q q ) mit

2 2 2 20 1 2 3 1 0q q q q+ + + − = (1)

und 0 0 1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ 0q q q q q q q q+ + + = (2)

die Gestalt +x y Ax u= (3) mit der eigentlich orthogonalen Matrix

2 2 2 20 1 2 3 1 2 0 3 1 3 0 2

2 2 2 21 2 0 3 0 1 2 3 2 3 0 1

2 2 2 21 3 0 2 2 3 0 1 0 1 2 3

2( ) 2( )2( ) 2( )2( ) 2( )


⎛ ⎞+ − − − +⎜ ⎟

= + − + − −⎜ ⎟⎜ ⎟− + − − +⎝ ⎠

A (4)

und dem Translationsvektor 0 1 0 1 2 3 3 2

0 2 0 2 3 1 1 3

0 3 0 3 1 2 2 1

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2ˆ ˆ ˆ ˆ

q q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q q

− + −⎛ ⎞⎜ ⎟= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟− + −⎝ ⎠

u (5)

Anstelle der inhomogenen Koordinatenvektoren 1 2 3( , , )x x x=x bzw. 1 2 3( , , )y y y=y für Urbild- bzw. Bildpunkt bei einer Bewegung (3) sollen jetzt homogene Koordinatenvektoren 0 1 2 3( , , , )z z z z=z und 0 1 2 3( , , , )w w w w=w eingeführt werden. Es ist für beliebiges 0 00 : j jz z z x≠ = für j = 1,2,3. (6) Es ist für beliebiges 0 00 : j jw w w y≠ = für j = 1,2,3. (7) Wird (1) und (3) in einer Matrixgleichung zusammengefaßt

1 10

2 2

3 3

1 1Ty xu

y xy x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ou A

mit 2 2 2 20 0 1 2 3:u q q q q= + + + (8)

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 30/32 so lautet die erste Gleichung in (8) 0 1u = , d.i. Gleichung (1). Multiplikation von (8) mit 0 0 0z w ≠ unter Beachtung von (6) und (7) liefert

0 0 0 0

0 1 0 10

0 2 0 2

0 3 0 3

T

z w w zz w w zuz w w zz w w z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ou A

Für die Gleichheit homogener KV 0 1 2 3( , , , )z z z z=z und 0 1 2 3( , , , )r r r r=r gilt 0 : für j = 0,...,3.j jz r= ⇔ ∃ρ ≠ = ρz r (9)

Somit lautet die Bewegungsdarstellung in homogenen Koordinaten

0 0

1 10

2 2

3 3

T

w zw zuw zw z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ou A

(10)

wobei die STUDY-Parameter die Nebenbedingung (2) erfüllen müssen. Beispiel: Eine SCHÖNFLIES-Bewegung (1892) ist die Komposition einer Bewegung einer Ebene in sich mit einer Translation des Raumes. O.B.d.A. bewege sich die Ebene 3 0x = parallel zu sich selbst, dann gilt zunächst für beliebiges IRϕ∈ und beliebigen reellen Funktionen 1 2( ), ( )t tϕ ϕ :

1 1 1 1

2 2 2 2

( )cos sin( )sin cos

x y x tx y x t

ϕϕ − ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ϕϕ ϕ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Die Komposition mit einer Translation ergibt die Darstellung dieser SCHÖNFLIES-Bewegung :σ

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

cos sin 0 ( )sin cos 0 ( )

0 0 1 ( )

x y x ux y x ux y x u

ϕ − ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ϕ ϕ + ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ϕ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(11)

beliebigen reellen Funktionen 1 2 3( ), ( ), ( )u u uϕ ϕ ϕ . Wegen

3 3 3( ) ( )y x uϕ = + ϕ gilt Eigenschaft 1: Jede Ebene 3x const= wird parallel zu sich selbst bewegt. Wird ein Punkt 1 2 3( , , )Ta a a=a in Zylinderkoordinaten 3( , , )r aα beschrieben, so ist

3

3 3

cossin ( ) 0

r rr

a a

α⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= α = α⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a D .

G.F. Bär, Skriptum Kinematik II , Teil 1 31/32 Wird der Punkt a in (11) eingesetzt, so erhalten wir seine Bahn in Abhängigkeit von ϕ . Benutzen wir dabei die Bezeichnung 3( )ϕD aus 1.1(4) für eine Drehmatrix, so vereinfacht sich mit 1.1(5) die Darstellung der Bahn des Punktes a zu

1 1

3 3 2 3 2

3 3 3 3

( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( )

( ) ( )

r u r uu u

a u a u

ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ϕ = ϕ α + ϕ = ϕ+α + ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ϕ ϕ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y D D D

Ein Punkt 1 2 3( , , )Tb b b=b der mit a auf einer Parallelen zur 3x -Achse liegt, hat die Zylinderkoordinaten 3( , , )r bα . Seine Bahn ist

1

3 2

3 3

( )( ) ( ) 0 ( )

( )

r uu

b u

ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ϕ = ϕ+α + ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ϕ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

z D .

Es folgt 3 3( ) ( ) (0,0, )Tb a constϕ − ϕ = − =z y

und damit Eigenschaft 2: Wenn zwei Punkte auf einer Parallelen zur 3x -Achse liegen, dann sind ihre Bahnen unter einer SCHÖNFLIES-Bewegung kongruent. Aufgabe: Bestimmen Sie die STUDY-Parameter einer SCHÖNFLIES-Bewegung. Lösung: Bekanntlich ist (0,0,1)T=d ein EV zum EW 1 der Drehmatrix 3( )ϕD und damit ein Drehachsen-ERV. Mit 1.2, Satz 2 findet man die EULERschen Drehparameter

0 2

1 1 2 2 3 32 2 2 2

cos

sin 0, sin 0, sin sin .

q

q d q d q d

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

=

= = = = = =

Es folgt für eine SCHÖNFLIES-Bewegung aus (3) die Bewegungsdarstellung

+x y Ax u= , (12) wobei wegen 1 2 0q q= = und 0 32 2cos , sinq qϕ ϕ= = speziell gilt

2 20 3 0 3

2 20 3 0 3

2 0 cos sin 02 0 sin cos 0

0 0 1 0 0 1

q q q qq q q q

⎛ ⎞− − ϕ − ϕ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = ϕ ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

A

1 2 1 22 2

22 1 22 12 2 2 2

3 0 3 02 2

ˆ ˆ ˆ ˆcos sinˆ ˆ ˆ ˆ2 cos sin 2(cos sin )ˆ ˆ ˆ ˆcos sin

q q q qq q q qq q q q

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

⎛ ⎞− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

u

Die STUDY-Quadrik-Gleichung spezialisiert sich zu

0 32 2ˆ ˆcos sin 0q qϕ ϕ+ = . (13) Jeder Punkt 0 1 2 32 2 ˆ ˆ ˆ ˆIR(cos ,0,0,sin , , , , )q q q qϕ ϕ der geschlitzten STUDY-Quadrik entspricht genau einer SCHÖNFLIES-Bewegung und umgekehrt.


Beispiel: In (11) wird gesetzt: 1

2

3

( ) 3sin( ) 2cos 0 2( ) sin

uuu

ϕ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ϕ = ϕ ≤ ϕ < π⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ϕ ϕ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Die Ecken 0 0 0(3,0,0) , (0,5,0) , ( 1,0,0)T T T= = = −p q r eines Dreiecks beschreiben dann unter der Bewegung (11) drei Ellipsen als Punktbahnen. Figur 1.5.1 zeigt das Dreieck in der Lage 0ϕ = und 1.5ϕ = . Siehe eine Animation unter http://www.math.tu-dresden.de/~baer/index.shtml.

-5-2.5

02.5

5

-5

-2.5

02.5

5

-5

-2.5

0

2.5

5

-5-2.5

02.5

5

-5

-2.5

02.5

----- Ergänzende Literatur zur Konstruktion eines Manipulators zur Ausführung einer SCHÖNFLIES-Bewegung:

P.J. Zsombor-Murray; A. Gfrerrer: A Unified Approach to Direct Kinematics of some Motion Parallel Manipulators. Submitted to Journal MMT, Oct. 2008.

Gfrerrer, A., Study's kinematic mapping -- a tool for motion design, Recent Advances in Robot Kinematics, Eds.: Lenarcic, J., Stanisic, M.M., Kluwer Acad. Publ., Dordrecht - Boston - London, 7 - 16 (2000).

G. F. Bär Skriptum zur Vorlesung Kinematik II im WS 2010 · G.F. Bär, Skriptum Kinematik II ,...

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