Geländerbau - Stabteilung€¦ · Hans-Peter Hänni und Andy Weber Das Thema Längenberechnungen,...

Fachstelle Pädagogische Fördermassnahmen SIBP / EHB www.pfm.sibp.ch

Geländerbau - Stabteilung

Eine Umsetzungsarbeit zum Kurs

Schwierigkeiten bei mathematischen Themen

von

Hans-Peter Hänni und Andy Weber

kommentiert von Hansruedi Kaiser

2006

Hansruedi Kaiser

Einleitende Bemerkungen

Die Fachstelle Pädagogisch Fördermassnahmen versucht auf diesem Weg interessante Umsetzungsarbeiten der Studierenden einem grösseren Publikum zugänglich zu machen.

Diese Arbeiten entstehen im Kontext einzelner Kurse, dokumentieren den Lernprozess der Studierenden und erheben nicht den Anspruch, umfassend in das behandelte Thema einzuführen. Sie sind deshalb meist für sich allein nicht ohne weiteres verständlich, sondern bedürfen einer gewissen Einbettung in die am Kurs behandelten Inhalte. Diese Einbettung wird durch einen begleitenden Kommentar der Dozentin oder des Dozenten hergestellt. Dieser Kommentar ist mit den Studierenden abgesprochen.

Der vorliegende Text ist also das gemeinsame Produkt verschiedener Autoren. Die Studierenden stellen v.a. die Umsetzungsidee und ihre Erfahrungen damit dar. Die Dozentin oder der Dozent sorgt für die thematische Einbettung. Das Layout spiegelt dies, indem jeweils die ungeraden Seiten die unveränderte Arbeit der Studierenden präsentiert, so wie sie als Umsetzungsarbeit akzeptiert wurde. Auf den geraden Seiten finden sich Erläuterungen und Kommentare zur jeweils folgenden ungeraden Seite. Es empfiehlt sich, das Ganze doppelseitig auszudrucken. Dann liegen beim Lesen immer schön Original und Kommentar nebeneinander.

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Inhaltsverzeichnis

a) Begründungszusammenhang ................................................................................2

b) Theorie ..................................................................................................................4

c) Umsetzung im Unterricht .......................................................................................6

d) Erkenntnisse ..........................................................................................................9 e) Reflexion .............................................................................................................10 f) Literaturverzeichnis ..............................................................................................11 g) Instrumente, Anhang ...........................................................................................12

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Hansruedi Kaiser

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Thema: Stabteilung (Geländerbau)

a) Begründungszusammenhang Die Stabteilung ist für einen Metallbauer eine oft wiederkehrende Problematik. Jeder Lernende wird im Verlaufe seiner Ausbildung in der Praxis mit dieser Arbeitstechnik konfrontiert. In den vergangenen Jahren machten wir immer wieder die Erfahrung, dass die Lernenden mit den mathematischen Grundlagen für die Stabteilung grosse Mühe bekundet haben. In der Praxis gelten die zwei folgenden Grundsätze: - Stababstand im Licht maximal 120mm, gegeben von den Kantonalen

Bauvorschriften und den SIA-Normen - so wenig Stäbe wie möglich, um eine wirtschaftliche Lösung zu erzielen. Bis anhin starteten wir mit einem Rechnungsbeispiel.

Das errechnete Mass x ergab einen Wert > 120mm (125,1mm), Fazit: Es muss ein Füllstab mehr eingebaut werden! Die erneute Berechnung ergab, dass nun das Mass x den Wert < 120mm hat (111,8mm). Nach einigen Übungslektionen war die Erfolgsquote bei den Test’s eher mässig, nur ca. 1/3 der Klassen haben die Note gut oder besser erreicht.

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Hansruedi Kaiser

Im Kurs wurde das Bild der „drei Welten“ eingeführt, in denen sich jemand simultan bewegen muss, will er oder sie eine mathematische Aufgabe lösen.

a + b=

b + a

3 + 2 = 5

LL + LO=

LOL

Dinge Zahlen Notation

Problemlösen Mathematik Rechnen

• Problemlösen: Lösen einer konkreten Aufgabe, z.B. die Konstruktion eines Dachstocks.

• Mathematik: Modellieren gewisser Aspekt des Problems durch mathematische Konzepte, z.B. den Querschnitt durch einen Dachstock mittels Dreiecke.

• Rechnen: Berechnen gewisser im Modell vorkommender Grössen aus anderen Grössen.

Des Weitern wurde am Kurs thematisiert, welche „Formen“ Wissen annehmen kann:

• Deklarativ: Konzepte, Theorien und Regeln; einsetzbar für bewusstes, analytisches Vorgehen.

• Situativ: Erinnerungen an erlebte Situationen und Problemlösungen; situatives Wissen leitet Handeln indem analog zu erinnerten Situationen vorgegangen wird.

• Prozedural: Automatismen, wie sie z.B. beim gut beherrschten schriftlichen Addieren ablaufen.

• Sensomotorisch: Automatismen, wie sie z.B. beim Lenken eines Fahrrads ablaufen.

„Wir haben ohne Problemlösung und Mathematik direkt mit Rechnen begonnen“. Und damit wird das Rechnen fehleranfällig, da keine geeigneten Vorstellungen dahinter stehen, welche z.B. das Erkennen von Fehlern ermöglichen würde.

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Das Thema Längenberechnungen, teilen von Längen (Stabteilung), erfolgt am Anfang vom 2. Semester im Fach Mathematik. Je nach Produkteangebot des Lehrbetriebes haben viele Lernende in ihrer praktischen Ausbildung zu diesem Zeitpunkt noch keinen direkten Praxisbezug im Geländerbau erlebt. Das situative Wissen ist somit bei vielen Lernenden noch nicht ausgeprägt vorhanden.

1. Problemlösung 2. Mathematik 3. Rechnen

Ein vorgegebenes Beispiel berechnen

Voraussetzung beim Geländerbau: - Max. 120 mm im Licht - Min. Anzahl Stäbe

Mit Formeln konkret bestimmen: 1. Anzahl Stäbe best. 2. Lichtes Mass best.

Bild siehe Seite 2 Arbeitsblatt siehe Anhang M3.1.1 Diese Voraussetzung ist sicher eine mögliche Begründung, dass bis anhin nur ein bescheidener Anteil unserer Lernenden dieses Thema auf Anhieb begriffen hatten.

Fazit: nur ca. 1/3 der Lernenden haben begriffen Der Kurs gab uns wertvolle Anregungen unser bisheriges Vorgehen zu hinterfragen. Wir haben ohne Problemlösung und Mathematik direkt mit Rechnen begonnen und uns erst nachher mit dem Problem beschäftigt und die Formeln entwickelt. Da bei einigen Lernenden der Praxisbezug fehlte konnten diese auch kein situatives Wissen abholen. Von vielem was für uns „alte Füchse“ so klar ist, hat der Lernende noch keine Ahnung. Mit einem neuen Einstieg und Aufbau in dieses Thema nehmen wir nun mehr Rücksicht auf das vorhandene Wissen unserer Lernenden.

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Hansruedi Kaiser

Vielleicht ein noch besseres Beispiel für senso-motorisches Wissen wäre die routinierte Bedienung des Taschenrechners. Gewisse, oft durchgeführte Berechnungsabläufe laufen auf dem vertrauten Rechner praktisch automatisch ab

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b) Theorie Wie kann ein Lernender etwas begreifen das er noch nie angefasst hat? Diese Frage hat uns bewogen unseren Einstieg und den Aufbau vom Thema Stabteilung entsprechend neu zu gestalten. Viele Inputs und wertvolle Unterlagen aus dem ersten Kursteil gaben uns dazu die Grundlage. Mit einem neuen Einstieg und Aufbau in dieses Thema nehmen wir mehr Rücksicht auf das vorhandene Wissen unserer Lernenden. Bevor wir etwas tun können braucht es das entsprechende Wissen. Es ist jedoch unerlässlich das entsprechende Wissen im richtigen Ablauf abrufen und einsetzen zu können. Die im Kurs besprochenen vier Wissensarten: situativ-episodisches Wissen, deklaratives Wissen, prozedurales Wissen und sensomotorisches Wissen, können wir in unserem Thema wie folgt einsetzten: Situativ-episodisches Wissen: Als Kinder haben wir schon alle an einem Geländer herum geturnt und die Eltern waren froh, dass der Staketenabstand ein Durchfallen verhindert hat. Je nach Betrieb wird ein Metallbauer schon früh mit dem Herstellen von Geländern konfrontiert und muss sich mit der Problematik auseinander setzten. Deklaratives Wissen: Die Vorschriften geben vor, dass ein Geländer min. 1 Meter hoch sein muss und dass Öffnungen nicht grösser als 120 mm sein dürfen. Bei Staketengeländern darf der Staketenabstand somit im Licht nicht grösser sein als 120 mm. Die Bestimmung der Anzahl Abstände muss berechnet, oder durch Probieren ermittelt werden können. Beim Berechnen ist es wichtig, dass die Dezimalzahl auf die nächste ganze Zahl aufgerundet wird. Für die Berechnung des effekitven Abstandes zwischen den Staketen muss die Formel bekannt sein. Prozedurales Wissen: Ein Metallbauer kann die Anzahl Abstände, die Anzahl Staketen und den Abstand zwischen den Staketen mit den bekannten Formeln oder anderen Hilfen berechen oder bestimmen. Sensomotorisches Wissen: Der Lernende weis, dass er die Formeln in der Formelsammlung oder auf den Arbeitsblättern nachschlagen kann. Er weiss auch wo er die Zahlen holen kann und welche Zahlenfolge er eingeben muss. Drei Welten: - Problemlösen - Mathematik - Rechnen Wichtig ist es, dem Lernenden klar zu machen, dass er zuerst die Problemlösung erkennt. Danach kann er mit einer Formel oder einer Skizze den mathematischen Weg festhalten und erst am Schluss setzt er die Zahlen ein und rechnet.

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Hansruedi Kaiser

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Der Pfad des Glücks (von Andreas Grassi)

Für die Lösung von Rechnungsaufgaben ist der unten dargestellte Weg unbedingt einzuhalten. Die Reihenfolge von 1-9 darf während des Lösungsvorgangs auch nicht abgekürzt werden. Reihenfolge: Der Pfad des Glücks Zuordnung zu den

drei Welten 1. Aufgabe lesen, Skizze oder Zeichnung lesen (Aufgabe dekodieren)

-Problemlösen

2. Habe ich verstanden? Was muss ich tun? Eventuell Text in Skizze umsetzen.

-Problemlösen -Mathematik (Skizze)

3. Was muss ich berechnen? ( Gesucht...?)

-Problemlösen

4. Welche Grössen sind bekannt? ( Gegeben....)

-Problemlösen -Mathematik (nur die not- wendigen Grössen wählen)-Rechnen (ev. Einheiten um wandeln)

5. Welche Formel brauche ich?

-Mathematik

6. Zahlen einsetzen. (Stimmen die Einheiten?)

-Mathematik -Rechnen (Einheiten beachten)

7. Ausrechnen - langsam - 2 x

-Rechnen

8. Resultat (Stimmen die Einheiten)

-Mathematik

9. Kann das stimmen?

-Problemlösen

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Hansruedi Kaiser

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c) Umsetzung im Unterricht An Stelle des Rechnungsbeispieles starten wir das Thema mit einem Mindmap über den Geländerbau. Die Lernenden konnten so ihr vorhandenes Wissen einbringen.

Alle haben schon ein Geländer gesehen oder sogar selber gebaut und können so ihr deklaratives (vorgegebene Abmessungen) oder situatives (eigene Erfahrungen) Wis-sen einbringen. Ohne Probleme kamen Hinweise über die Sicherheit und die Konstruktion von Geländern zusammen die wir uns gewünscht haben. Insbesondere das Mass 120mm für den Staketenabstand und es sollten so wenig Staketen eingesetzt werden wie nötig, um den Preis so tief wie möglich zu halten, wurden eingebracht. Im nächsten Schritt wurde immer noch nicht gerechnet, wir bauten ein Modell, (siehe Foto Seite 7) das ein Geländer mit Staketen darstellt. Ein Flachstahl bildet die Traverse, zwei aufgeschraubte Vierkantklötze stellen die Pfosten dar und die Staketen sind Magnetknöpfe mit einem Durchmesser von 20mm, die beliebig auf der Stahlschiene verschoben werden können. Die Lernenden haben die Aufgabe die Staketen auf der Stahlschiene mit einem gleichmässigen Abstand, der nicht grösser als 120mm sein darf, zu platzieren. Dabei sollen so- wenig Staketen wie möglich verwendet werden. Mit unserem neuen Vorgehen müssen die Lernenden nicht gleich Rechnen, sondern können an Modellen, in Gruppen, eine Lösung mit Messen und Prüfen erarbeiten. Metallbauer sind praktisch veranlagte Personen. Wenn sie etwas in die Hand nehmen können behagt

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Hansruedi Kaiser

Eine weitere Frage, die im Kurs angeschnitten wurde: Wann sind die Chancen am grössten, dass die Lernenden eine Instruktion annehmen, das angebotene Wissen zu ihrem eigenen Wissen machen? Hier wurde betont, dass dies am ehesten geschieht, wenn sie das Angebotene als Antwort auf eine Frage erleben, die sie selbst haben. Dadurch, dass die Lernenden die Gelegenheit erhalten, zuerst mit dem Problem Erfahrungen zu sammeln, können sie besser die angebotene Formel als Lösung dieses Problems verstehen.

Damit wird ein weiteres Thema des Kurses aufgegriffen, nämlich die Frage des Zusammenspiels zwischen „Lernen aufgrund von Instruktion“ und „Lernen aus Erfahrung“. Es wurde betont, dass in den allermeisten Fällen weder der eine noch der andere Zugang alleine funktioniert, sondern dass es meist beider Zugänge bedarf. Dabei schaukeln Erfahrung und Erklärung gegenseitig das Verständnis in kleinen Schritten hoch.

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es ihnen besser als lange Erklärungen anzuhören. Deshalb haben wir uns für die Einführung in dieses Thema zum Bau von Modellen entschieden. Die Lernenden können so selber aktiv werden mit „lernen durch tun“ und können im wahrsten sinne des Wortes etwas begreifen. Dabei bauen sie selbst erlebtes deklaratives Wissen auf.

Es wurden verschiedene Wege zum Erreichen des richtigen Resultates eingeschlagen. Nachstehend einige Beispiele: Einige begannen mit dem Messen von 120mm ab Pfosten innen bis Mitte 1. Stab und dann 120 mm Mitte 1. Stab bis Mitte 2. Stab usw. → falsch, zu kleiner Abstand, evtl. zu viele Stäbe. Andere begannen mit dem Messen von 120mm ab Pfosten innen bis Anfang 1. Stab, dann Ende 1. Stab bis Anfang 2. Stab usw. → letzter Abstand wird keiner als 120mm, Anzahl Abstände und Anzahl Stäbe stimmen. Am Modell wurde also die richtige Anzahl Zwischenräume und die Anzahl Stäbe herausgefunden. Doch wie erhalten wir gleichmässige Abstände? Mit einem Hinweis von der Lehrperson wurde herausgefunden, wie das gleichmässige Zwischenmass z berechnet werden kann: Mass z = Mass zwischen den Pfosten minus Anzahl Stabdicken durch Anzahl Zwischenräume. Eine Formel wurde herausgefunden! Einige merkten dann auch, dass das Achsmass von Mitte Stab zu Mitte Stab grösser wird als 120mm. Die Formeln zur Bestimmung der Anzahl Abstände und der Anzahl Stäbe konnten die Lernenden nicht selbstständig herausgefunden. Mit Hilfe vom 1. und 2. Arbeitsblatt (siehe Anhang M3.1.1 und M3.1.2) verstanden die meisten Lernenden den Aufbau der Formel. Ein sehr wichtiger Schritt ist sicher, dass die Dezimalzahl auf die nächste ganze Zahl aufgerundet wird. Mit den neu erstellten Arbeitsblättern wird die Terminologie festgehalten und die Formeln notiert. Das Beispiel vom Modell wird gemeinsam berechnet und als „Rezept“ auf den Arbeitsblättern festgehalten.

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Hansruedi Kaiser

„Nun gilt es an weiteren Beispielen das erlangte Wissen (prozedurales Wissen) zu festigen“. Vermutlich existiert in diesem Moment das Wissen erst als deklaratives Wissen, d.h. die Lernenden wissen im Prinzip wie es geht. Damit sie damit nun flüssig arbeiten können, muss es durch Üben „prozeduralisiert“ werden.

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3. Rechnen 2. Mathematik

Mindmap erstellen von Geländerbau In Gruppen, mit Hilfe von Modellen, das Be-stimmen der gleichmäs-sigen Abstände erkennen: - Achsmass der

Stäbe NEIN

- Innenmass der Stäbe NEIN

- Achsmass grösser als 120 !! Aber wie viel grösser ???

Formeln anwenden. Dabei helfen die Erfahrungen aus der Gruppenarbeit (1. Problemlösung).

Übungsaufgaben lösen

Reflektiertes Situatives Wissen abholen

Deklaratives Wissen aufbauen

Prozedularisieren durch Üben

Die Anzahl der Teilungen kann mit einer Formel bestimmt werden: nP = Anzahl Teilungen li = Rahmeninnenmass d = Stabdicke

Das Ergebnis muss auf die nächste ganze Zahl aufgerundet werden!

nP = ( li + d )

( 120mm + d )

1. Problemlösen

Nun gilt es an weiteren Beispielen das erlangte Wissen (prozedurales Wissen) zu festigen. Wir stellen den Lernenden frei, die Anzahl der Abstände mit der Formel, oder auch weiterhin durch probieren zu ermitteln. Die Formel zur Bestimmung vom Stababstand muss beherrscht und verwendet werden! Ein erster Erfolg war schnell erkennbar. Die Übungsaufgaben in den nachfolgenden Lektionen haben viel zur Sicherheit beigetragen.

Fazit: ca. 2/3 der Lernenden haben begriffen

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Hansruedi Kaiser

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d) Erkenntnisse Dass wir nicht gleich mit Rechnen begonnen haben, hat die Lernenden überrascht. Sie mussten sich mit der Problemlösung auseinander setzen und selber die Mathematik entwickeln. Für die schwächeren Lernenden gab es dabei eher ein Erfolgserlebnis. Die Metallbauer sind Praktiker und können praxisnahe Beispiele besser umsetzen. Auch die Möglichkeit die Anzahl Abstände weiterhin durch probieren zu ermitteln hat sich bei einigen Lernenden positiv ausgewirkt. Sie nahmen die Aufgaben viel gelöster in Angriff und hatten Erfolg. Es ist erstaunlich wie viele Lernende aus der Klasse von A. Weber die Stabteilung auf Anhieb begriffen haben. Unsere im Kurs angegebene Quote von 2/3 haben begriffen, gegenüber früher 1/3 hat sich auch in der Klasse von H.-P. Hänni bestätigt (so lange es um Stabteilungen im Geländerbau ging). Im bisherigen Einstieg (Bild, Seite 3) haben wir wenig Problemlösung betrieben und wechselten dann schnell zum Rechen. Nach einem kurzen Teil Mathematik wurde geübt. Im neuen Einstieg haben wir wesentlich mehr Zeit für die Problemlösung investiert. Es folgte die Mathematik und erst dann wurde gerechnet. Liegt dieser Erfolg wirklich nur am neuen Einstieg und Aufbau und an den überarbei-teten Arbeitblättern? Könnte es nicht auch sein, dass wir uns sehr intensiv mit dem Thema befasst haben und die Lektionen folglich auch minutiös geplant haben. Eine abschliessende Beurteilung kann dazu sicher erst in einem Jahr, wenn eine andere Klasse das gleiche Thema bearbeitet hat, erbracht werden. Der Erfolg hat uns trotzdem beflügelt und wir werden auch andere Kapitel in der Mathematik in ihrem Aufbau überdenken und wenn es uns sinnvoll erscheint überarbeiten. Die Reihenfolge: Problemlösen, Mathematik, Rechnen, hat uns überzeugt. In unserem Beruf gibt es nicht nur Stabteilungen bei denen der Staketenabstand 120mm sein darf. Zum Beispiel bei Gitterrosten ist der Stababstand viel kleiner, ca. 30mm, oder der Sprossenabstand bei einer Leiter ist gösser, ca. 250mm. Es kann auch sein, dass ein Geländer nur für eine Abschrankung gebraucht wird und somit der Abstand von max. 120mm nicht erforderlich ist. In unseren Übungsaufgaben haben wir auch solche Beispiele verwendet. Zu unserem erstaunen haben einige Lernende die Aufgabenstellung nicht verstanden und rechneten mit einer anderen Anzahl Staketen als vorgegeben und versuchten die Abstände möglichst nahe unter 120mm zu halten. Das Umsetzen von einer eingeübten Situation auf eine neue ähnliche Aufgabe überfordert einige Lernende sehr schnell. Es fehlt vielen Lernenden das Verständnis zu Bauelementen die sie noch nie hergestellt haben. Also müssen wir auch hier versuchen situativ-episodisches Wissen abzuholen oder aufzubauen. Deshalb müssen wir auch für solche Beispiele Modelle oder Praxismuster zeigen können. Es hat sich gezeigt, dass ein adaptieren der Stabteilung bei Geländern nicht selbstverständlich auf Stabteilungen von anderen Bauteilen übertragen werden kann. Als Folge davon haben wir ein weiteres Arbeitsblatt entworfen (siehe Anhang M3.1.5) in dem explizit auf diese Thematik hingewiesen wird. Dieses Arbeitsblatt folgt nach den Übungsbeispielen vom Geländerbau.

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Hansruedi Kaiser

Und besten Dank an Euch, dass Ihr die Herausforderung angenommen habt!

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e) Reflexion Es ist oft schwierig Theorien in die Praxis umzusetzen. Wir haben deshalb auch ein Thema gewählt bei dem wir im Unterricht nicht auf Anhieb den gewünschten Erfolg erzielt hatten, resp. bei dem wir gemerkt haben dass die Lernenden Schwierigkeiten bekunden. Die Auseinandersetzung mit den verschiedenen Wissensarten hat uns veranlasst das Thema gründlich zu durchleuchten und den Ablauf entsprechend anzupassen. Dass wir dabei noch unterschiedliche Unterrichtsformen einbauen konnten hat sich sicher auch positiv ausgewirkt. Die intensive Auseinandersetzung mit dem Fachgebiet, die Überarbeitung der Arbeitsblätter und die Planung der Lektionen hat sich sehr positiv auf das Mitdenken und das Interesse der Lernenden am Thema ausgewirkt. Dass wir dann beim Übergang von der Stabteilung mit max. 120mm Staketenabstand zu Stababständen ohne diese Bedingung ins „Fettnäpfchen“ traten ist bedenklich. Im Kurs wurden wir doch genau auf diese Problematik sensibilisiert. Es hat uns aber aufgezeigt, dass die Theorie konsequent umgesetzt werden muss. Schon kleine Änderungen können einen Teil unserer Lernenden überfordern. Bei diesen Lernenden müssen wir wieder situatives Wissen abholen. Diese Arbeit hat deutlich gezeigt, dass sich nicht nur die Lernenden, sondern auch wir uns ständig weiter entwickeln müssen. Stillstand ist Rückschritt ! Wertvolle Unterstützung hat uns auch die konstruktive Kritik an unserer ersten Eingabe gebracht. An dieser Stelle besten Dank an die Kursleitung !! Wir freuen uns schon auf den nächsten Kurs sei er fachlicher oder pädagogischer Richtung. Positive Erkenntnisse können bei jeder Weiterbildung aufgenommen werden.

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Hansruedi Kaiser

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f) Literaturverzeichnis Aus den Unterlagen vom Kurs LLF-05-338.10: - Spezielle Eigenschaften mathematischer Schemata - Arbeiten mit drei Welten - Auszug aus: Kaiser,H. (2005) Wirksames Wissen aufbauen – ein integrierendes

Modell des Lernens. Bern: h.e.p. Verlag

Inputs aus den Schienen: - Der Pfad des Glücks (Andreas Grassi)

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Hansruedi Kaiser

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g) Instrumente Kursunterlagen Abbildungen vom Mindmap, Modelle Anhang: Arbeitsblätter und Übungsaufgaben (M 3.1.1 bis M 3.1.7) separates Dokument

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