Geoid X W -...

I. Schwerepotential und Integralformeln

I.1 Das Konzept "natürlicher" Koordinaten im Schwerefeld

Unter physikalischer Geodäsie versteht man das Studium der physikalischen Ei-genschaften des Schwerefeldes des Körpers Erde bezüglich geodätischer Anwen-dungen, insbesondere hinsichtlich der Koordinatenbestimmungen von Festpunkten.Das Schwerepotential W x P

i( ) der Erde bildet bezüglich eines erdverbundenen Koor-dinatensystems X eine skalare Raumfunktion.Die Dimension des Potentials ist ( m=Meter ; s=Sekunde )

1) m2⋅s-2

2) geopotentielle Einheit 1gpu = 10 m2⋅s-2

Flächen gleichen SchwerepotentialsW xi( ) = const

nennt man Äquipotentialflächen des Erdschwerepotentials oder kurz Niveau-flächen. Die ideelle Meeresoberfläche ist definiert als eine spezielle Niveaufläche

W xi( ) = W0 = const ;sie wird Geoid genannt. Der Begriff der Äquipotentialfläche ist vor allem zurVeranschaulichung des (abstrakten) Potentialbegriffs von fundamentaler Bedeutung.

Erdschwerpunkt

Geoid Erdober-fläche

Niveauflächen

W2

W1 W1<W2

Lotlinie

Das Erdschwerepotential wird zerlegt entsprechend seiner beiden Ursachen in dasErdgravitationspotential V und das Erdfliehkraftpotential φφφφ,

Das Fliehkraftpotential ist Null entlang der Rotationsachse der Erde und wird größer fürPunkte P weiter entfernt von dieser Achse. Das Gravitationspotential wird kleiner, jeweiter man sich (z.B. längs einer Lotlinie) nach außen oder nach innen von derErdoberfläche entfernt.Gekrümmte Linien, die alle Niveauflächen senkrecht durchdringen, werden Kraftliniendes Erdschwerepotentials oder kurz Lotlinien genannt; sie führen alle zumErdschwerpunkt (Massenzentrum der Erde).Hängt man in einem mit der sich drehenden Erde verbundenen Punkt P (also nicht etwaz.B. in einem Satelliten) ein Lot auf, so bildet die Lotschnur die Tangente an der durchden Punkt P laufenden Lotlinie. Das Lot zeigt nur näherungsweise zumErdschwerpunkt, da Lotlinien keine Geraden sind. Die Kraft, mit der dasErdschwerepotential einen Lotkörper von der Masse 1 kg (Einheitsmasse) anzieht, wirdSchwerebeschleunigung oder kurz Schwere gP im Punkte P genannt; sie kannunmittelbar im Punkte P gemessen werden (Anschauliche Vorstellung : Lot mitFederwaage).Lotrichtung und Schwerebeschleunigung werden zusammengefaßt zum Schwere-beschleunigungsvektor g ,

g g

e

e

e g

e

e

eP

P P

P P

P

T

P

T

h

=

=

cos cos

cos sin

sin

Φ Λ

Φ Λ

Φ

Φ

Λ

1

2

3

0

0

Die Winkel Φ und Λ beschreiben die Lotrichtung bezüglich der Achsen eines globa-lengeozentrischen Systems X und werden astronomische Länge ΛΛΛΛ und Breite ΦΦΦΦ genannt;beide Winkel kann man (indirekt) im Punkte P messen.

Es seien Karten der Erde gegeben, in der Kontinente und Städte nach ihrenastronomischen Koordinaten Φ und Λ eingezeichnet sind, wobei anstelle vonHöhenlinien Äquidistanzlinien gleicher Schwere g angegeben sind. EinNavigator kann dann seine Position unmittelbar an Ort und Stelle feststellen,jedoch nicht, in welcher Richtung und Entfernung ein angestrebtes Ziel liegt.Horizontalentfernung, Horizontalwinkel und Höhen sind konventionell, d.h.durch Konvention definierte Größen.

W = V + φ

Es sei eine mathematische Funktion gegeben, die das Potential als Funktion kartesi-scher Koordinaten xi beschreibt. Der Schwerevektor kann dann als Gradient derskalaren Raumfunktion W xi( ) berechnet werden. Es ergibt sich

g grad W

W x

W x

W x

e

e

e

T

= =

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

/

/

/

1

2

3

1

2

3

und damit die Meßgrößen g, Φ und Λ zu

g

W x

W x

W x

cos cos

cos sin

sin

/

/

/

Φ Λ

Φ Λ

Φ

=

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

1

2

3

oder zu

tan ( / ) / ( / )Λ = ∂ ∂ ∂ ∂W x W x2 1

gW

x

W

x

W

x=

+

+

∂

∂

∂

∂

∂

∂1

2

2

2

3

2

tan ( / ) /Φ=

+

∂ ∂

∂∂

∂∂

W xWx

Wx

31

2

2

2

Das inverse Problem, die Berechnung der Koordinaten xi aus dem Tripel ( , , )g Φ Λkann (oder kann nicht) eindeutig sein, führt aber sicherlich zu einem nicht-linearenProblem, das iterativ gelöst werden muß. Die Lösungstechnik wird in Abschnitt II. 4beschrieben.Die Elemente des Größentripels ( , , )g Φ Λ , manchmal auch des Tripels ( , , )W Φ Λ ,werden als "natürliche" Koordinaten bezeichnet.Die mathematische Beschreibung der Funktion W xi( ) ist Hauptaufgabe der physi-kalischen Geodäsie.

I.2 Fliehkraftpotential der Erde

Im Hinblick auf die mathematische Beschreibung des Schwerepotentials eines im Raumrotierenden Körpers wie die Erde zerlegt man das Schwerepotential W in die Summevon Fliehkraftpotential φ und Gravitationspotential V, also

Das Fliehkraftpotential in einem Punkt P wird ausgedrückt durch

φ ω( ) ( ) ( )t t p t=12

2 2

ω( )t ... momentane Rotationsgeschwindigkeit des Körpersp( t ) ... Abstand des Punktes P von der momentanen Rotationsachse.

Man beachte:

1) Die momentane Rotationsachse eines freien Körpers verläuft jederzeit durchsein Massenzentrum (Schwerpunkt).

2) Die Richtung der Rotationsachse verlagert sich sowohl innerhalb des Körpers(Polbewegung) als auch im Raum (Präzession, Nutation).

3) Die Rotationsgeschwindigkeit ist zeitlich variabel.

Als absolut gelagertes geodätisches Koordinatensystem wird jedes geodätische Ko-ordinatensystem bezeichnet, dessen Ursprung im Massenzentrum der Erde liegt.Sind die Koordinaten eines Punktes P(xi ) auf der Erdoberfläche in einem globalen,absolut gelagerten Koordinatensystem bekannt, so ist zunächst umzuformen

[ ] [ ][ ]x t P t xiji i( ) ( )=

[ ]P tji ( ) = Polbewegungsmatrix (orthogonale Matrix)

Sodann definiert man die Komponenten des Abstandsvektors p bezüglich der x 3 -Achse des Systems X durch

( )( )( )

( )( )

p t

p t

p t

x t

x t

1

2

3

1

2

0

=

, ( )( )p t 2 =

( )( )

x t

x t

T1

2

0

( )( )

x t

x t

1

2

0

W = V +φ

Die Komponenten des Fliehkraftvektors ergeben sich bezüglich des Systems X t( )mittels

( ) ( ) ( ) ( )∂φ ∂

∂φ ∂

∂φ ∂

ω ω

/

/

/

( )

x

x

x

t

x t

x t t p t

1

2

3

2

1

2 2

0

=

=

Die Komponenten des Tensors der 2. Ableitungen (stets eine symmetrische Matrix)ergeben sich zu

∂ φ ∂ ∂ ∂ φ ∂ ∂ ∂ φ ∂ ∂∂ φ ∂ ∂ ∂ φ ∂ ∂ ∂ φ ∂ ∂∂ φ ∂ ∂ ∂ φ ∂ ∂ ∂ φ ∂ ∂

ωω

2 1 1 2 1 2 2 1 3

2 2 1 2 2 2 2 2 3

2 3 1 2 3 2 2 3 3

2

2

0 00 00 0 0

/ / // / // / /

x x x x x xx x x x x xx x x x x x

=

Die Matrixelemente sind die Komponenten des Tensors der 2. Ableitungen bezüglichdes Systems X ; bezüglich eines anderen Systems werden die anderen Komponentennicht Null.Die Spur der Matrix ergibt folgende Gleichung :

∂ φ∂ ∂

∂ φ∂ ∂

∂ φ∂ ∂

φ ω2

1 1

2

2 2

2

3 322

x x x x x x+ + = =∆

Diese Gleichung wird Poissongleichung genannt.

Das Fliehkraftpotential wird unendlich groß für p →∞,

( )limp

P→∞

= ∞φ

I.3 Gravitationspotential und Volumenintegrale; Laplace Gleichung

Folgende Volumenintegrale sind von wesentlicher Bedeutung in der Geodäsie

1) Masse des Körpers

M dK dKQK

Q Q= =∫∫∫ ρ ; Volumenelement

2) Koordinaten des Massenzentrums (Schwerpunkt) des Körpers bezüglicheines beliebigen Systems X

x

x

xM

x

x

x

dKQK

Q

Q

1

2

3

0

1

2

3

1

=

∫∫∫ ρ

Ein absolutes terrestrisches System X ist definiert durch die Bedingung

1

M QK

ρ∫∫∫

x

x

x

dK

Q

Q

1

2

3

=

0

0

0

3) Die Komponenten des für das Rotationsverhalten des Körpers (und damit fürdas Fliehkraftpotential) wichtigen Trägheitstensors sind definiert (bezüglicheines beliebigen Systems X ) durch

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]θ ρijQ

KQ Q

T

MR dK R x x= =∫∫∫1

;

In Komponenten ausgedrückt ergibt sich [ ]R zu

[ ]

( )( ) ( )( ) ( )

R

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

=

−

−

−

−

−

−

=

+ − −

− + −

− − +

0

0

0

0

0

0

3 2

3 1

2 1

3 2

3 1

2 1

2 2 3 3 1 2 1 3

1 2 1 1 3 3 2 3

1 3 2 3 1 1 2 2

Beachte:

- Bei einem starren Körper sind die Komponenten zeitunabhängig bezüglich einerkörperverbunden Basis.

- Rotiert ein starrer Körper, so sind die Komponenten des Trägheitstensors stets zeitabhängig bezüglich einer inertialen Basis. Der Tensor selbst ist aber zeit- unabhängig, d.h. Invarianten wie Eigenwerte, Spur, Determinante usw. sind zeit-unabhängige Konstante.

- Bei einem deformierbaren Körper ist der Trägheitstensor zeitabhängig, d.h. nebenden Komponenten also auch seine Eigenwerte usw.

4) Das Gravitationspotential (skalares Raumfeld) eines Körpers in einem PunktP ist definiert durch

V k dKPQ

PQKQ= ∫∫∫ ρ

Die Komponenten des Gravitationskraftvektors ~g P sind definiert bezüglich einesbeliebigen Systems X durch

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

ρ

V x

V x

V x

k

h

h

h

dKQK

PQ

Q

/

/

/

1

2

3

1

2

3

=

∫∫∫

wobei (Vorzeichen!)

( )( )( )

( )( )( )

h

h

h

x

x

x

x x

x x

x xPQ

PQ P

PQ P

PQ P

P Q PQ

P Q PQ

P Q PQ

1

2

3

1

2

3

1 1 3

2 2 3

3 3 3

1

1

1

=

= −

−

−

−

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

/ /

/ /

/ /

/

/

/

Man führe die partiellen Ableitungen von (1 / PQ ) selbst durch.Die Komponenten des Tensors der 2. Ableitungen sind definiert durch

[ ] [ ]E k H dKij P

Qij

K

PQ

Q= ∫∫∫ ρ

mit der symmetrischen Matrix

[ ] ( )[ ]H x xij PQ

PQi j= ∂ ∂ ∂2 1 / /

und den Elementen

( )H

x xP Q113

1 1 2

5

13= − +

−

( )( )H

x x x xP Q P Q12

1 1 2 2

53=− −

( )H

x xP Q223

2 2 2

5

13= − +

−

( )( )H

x x x xP Q P Q13

1 1 3 3

53=− −

( )H

x xP Q333

3 3 2

5

13= − +

−

( )( )H

x x x xP Q P Q23

2 2 3 3

53=− −

Die Spur der Matrix [ ]E ij ergibt (Divergenz des Gravitationskraftvektors)

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

π ρ2

1 1

2

2 2

2

3 3

4

0V

x x

V

x x

V

x xV

k Pim Körper

P außerhalb des Körpers+ + = =

−

∆;

;

Beachte:

- Eine Gleichung ∆∆∆∆V=0 wird Laplace Gleichung genannt, ihre Lösungen heißen harmonische Funktionen.

- Eine Gleichung der Form ∆∆∆∆V=c(xi) wird Poissongleichung genannt.- Ist die Dichte ρ(xi) gegeben, können das Gravitationspotential sowie die Kompo-

nenten des Gravitationskraftvektors und des Tensors der zweiten Ableitungen un-abhängig voneinander für jeden beliebigen Punkt des Raumes durch (numerische)Integration berechnet werden.

- Die umgekehrte Aufgabe, die Berechnung der Dichte ρ ( xi ) aus Angaben über dasGravitationspotential, ist nicht eindeutig lösbar, d.h. es gibt unendlich viele Lö- sungen. Zur eindeutigen Lösung werden zusätzliche Informationen (Geophysik) be-nötigt.

I.4 Gravitationspotential und Oberflächenintegrale, das Konzept von Flä-chenbelegungen und Flächendipolbelegungen

Die folgenden Integraltransformationen beruhen auf der Integralformel von Gauß undden aus ihr abgeleiteten Integralformeln von Green. Die Identität von Gauß lautet (mitdSi := nach außen gerichtete Flächennormale)

[ ] [ ]div F dK F dSi

SK

T i= ∫∫∫∫∫

Anwendung auf den Gravitationskraftvektor [ ] [ ]~ /

g V x Fi i= ≡∂ ∂ führt mitdivg k~ = −4π ρ zu

[ ] [ ]− = ∫∫∫∫∫4π ρk dK g dSi T i

SK

~

und damit zu der wichtigen Formel

[ ] [ ] [ ] [ ]kM g dS g dSi T i

S

i T i

Sqq

= − = −∫∫ ∫∫∑1

4

1

4π π~ ~

∆

d.h. aus den Schwerewerten an der Erdoberfläche kann die Masse der Erde berechnetwerden.

Beachte :

- Kennt man Gravitationskraftvektor und Form der Erdoberfläche, so kann man dieMasse der Erde kM bestimmen, ohne die Dichte des Erdkörpers zu kennen.

- Da über Skalarprodukte integriert wird, können bei einer numerischen Integration für jedes finite Oberflächenelement ∆Sq die Komponenten von Gravitationskraft-vektor und Flächenelementvektor in jeweils einem geeigneten lokalen Koordina-tensystem bestimmt werden.

- Es sei die Erdoberfläche in ebene Dreiecke zerlegt mit folgenden Komponenten fürdS

dS S

cos

cos

cos

cos

cos

cos

σ

σ

β

σ

σ

β

1

2

1

2

=

∆

β :=Winkel zwischen Lotrichtung und Richtung senkrecht zum finiten Flä-chenelement ( Geländeneigung)

In einem solchen lokalen System ist

~

~

g

g

e

e

e

T

Y

=

0

01

2

3

Dann ist

0

01

2

~

cos

cos

cos

cos ~ ~

g

dS S g S gS

T

q

= =∫∫∆

∆ ∆

σ

σ

β

β

wobei ∆ ∆S S= cosβ der Betrag der Horizontalfläche ist.

Die Identitäten von Green verknüpfen zwei Funktionen U und V miteinander. Die ersteIdentität von Green lautet

[ ]U V dVU

x

V

xdV U

V

xdSi

KK

T

iS

i

Ti∆ +

=

∫∫∫∫∫∫ ∫∫∂∂

∂∂

∂∂

Die zweite Identität von Green lautet

( ) [ ] [ ]U V V U dV UV

xdS V

U

xdS

Ki

Ti

S Si

Ti∆ ∆− =

−

∫∫∫ ∫∫ ∫∫∂∂

∂∂

[ ]dS i .. Komponenten des (axialen) Vektors, der senkrechtzur Fläche S steht und dessen Länge die skalaredifferentielle Flächengröße ist.

[ ]∂ ∂V xi/ ,[ ]∂ ∂U xi/ .. Komponenten der Raumfunktionen grad U undgrad V bezüglich der Basis, auf die sich die Kompo-nenten des differentiellen Flächenelementes bezieh-en.

Ein wichtiger Sonderfall ergibt sich, wenn man U = 1 / einsetzt. Wegen der dannauftretenden Polstellen für → 0 erhält man ein nicht-triviales Problem, dessen Lösungoft als 3. Identität von Green bezeichnet wird. Sie lautet (dS

soll in beiden Fällennach außen zeigen):

1. Fall : I ist der Innenraum einer geschlossenen Fläche S

[ ] [ ]1 1 1

I Si

Ti

Si

TiV dK pV

V

xdS V

xdS∫∫∫ ∫∫ ∫∫= − +

−

∆∂∂

∂∂( / )

p

wenn

wenn

wenn

P in

P auf

P in

I

S

A

=

4

2

0

π

π

....

....

....

2. Fall : A ist der Außenraum einer geschlossenen Fläche S (V muß gewisse Be-digungen im Unendlichen erfüllen z.B.: ( )V P für P= →∞0 )

[ ] [ ]1 1 1

A Si

Ti

i

T

S

iV dV pVV

xdS V

xdS∫∫∫ ∫∫ ∫∫= − +

−

∆∂∂

∂∂( / )

p

wenn

wenn

wenn

P in

P auf

P in

A

S

I

=

4

2

0

π

π

....

....

....

Für die Geodäsie ist der 2. Fall von Interesse; wenn V das Gravitationspotential ist, wirddas Volumenintegral ebenfalls Null und es bleibt folgende Formel

[ ] [ ]V PV

xdS V

xdS

Si

Ti

Si

Ti( )

( / )=

−

∫∫ ∫∫1

4

1 1

4

1

π∂∂ π

∂∂

Es sei erinnert, daß die Komponenten beider Gradienten und des (axialen)Flächenelementvektors bezüglich der gleichen Basis zu bestimmen sind.

Anmerkung:

Oft findet man in der Literatur, daß eine lokale Basis so gewählt wird, daß sich folgendeKomponenten für den Flächenelementvektor ergeben

dS

dS

dS dS

1

2

3

0

0

=

sowie

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

V y

V y

V n

/

/

/

1

2

und

( )( )( )

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

1

1

1

1

2

/ /

/ /

/ /

y

y

n

Definiert man

κπ

∂∂

= −1

4 k

V

n und µ π=V k/ 4

erhält man

( )V P V V k dS k

ndS

S S

( )/

= + = +∫∫ ∫∫1 2

1 1κ µ

∂∂

Beachte:

- Integrale der Form V1 nennt man Potentiale einer Flächenbelegung mit der Flächendichte κκκκ.

- Integrale der Form V2 nennt man Potential einer Flächendipolbelegung mit derFlächendipoldichte µµµµ.

- Jede harmonische Funktion läßt sich in dieser Form ausdrücken.- Sind S sowie κ und µ auf S gegeben, kann man das Potential im Außenraum

eindeutig berechnen.

Man bleibt wesentlich flexibler, wenn man mit der vektoriellen Form arbeitet.

I.5 Schwerepotential und Linienintegrale; das Konzept des Nivellements

In jedem konservativen Kraftfeld (rot g = 0) ist ein Linienintegral wegunabhängig; seinErgebnis ist die Potentialdifferenz zwischen den Endpunkten P und Q,

[ ]W W g dsV

xds g dsP Q

Q

P

i

Ti

Q

P

Sqq

− = =

=∫ ∫ ∫∑∂∂ ∆

ds .... differentielle Weglängeg .... konservativer Kraftvektor

W .... zu dem Kraftfeld gehörendes Potentialfeld

Beachte:

-Es ist nicht erforderlich, daß die Laplace-Gleichung erfüllt ist, sondern nur, daß der Kraftvektor g aus einem Potential ableitbar ist, also daß gilt rot g = 0. Daher

kann die Formel unmittelbar zur Bestimmung von Schwerepotentialdifferenzen (auch im Körperinnern) verwendet werden:

( ) ( )W W V VP Q P Q− = + − +φ φ- Da über Skalarprodukte integriert wird, können bei einer numerischen Integration

für jedes finite Integrationslinienelement die Komponenten von Schwerkraftvektorund Linienelementvektor bezüglich einer lokalen Basis verwendet werden.

- In dem lokalen System eines Nivellementstandpunktes gilt

∆h Differenz der Lattenablesung=

Man wählt die lokale Basis so, daß

ds s

s

s

h

e

e

e

T

= =

∆

∆

∆

∆

1

21

2

3

g

g

e

e

e

T

=

−

0

01

2

3

Damit wird

g ds

g

s

s

h

g h

PS

T

q

q q

q

=

= −∫0

0

1

2

∆

∆

∆

∆

∆

und zwischen zwei Festpunkten P und Q entspricht dem Integral die Summe(numerische Integration des Linienintegrals)

W W g hP Q qq

q− = −∑ ∆

Aus den somit gewonnenen Potentialdifferenzen werden Höhen über demMeeresspiegel (Höhen über NN) berechnet. Potentialdifferenzen sind physikalischeGrößen; alle Höhen über dem Meeresspiegel sind hingegen konventionelle, d.h. durchzweckmäßige Konvention definierte Größen. (siehe Abschnitt VIII.)

II. Potential homogener Kugelschalen; der Begriff des Normalpotentials undStörpotentials

II.1 Potential homogener Kugeln und Kugelschalen

Die Erde ist in einer ersten, verhältnismäßig groben Näherung aufgebaut aus homo-genen Kugelschalen. Zur mathematischen Beschreibung des Gravitationspotentialseiner homogenen Kugelschale führt man zweckmäßigerweise auf die Richtung zu Pbezogene Kugelkoordinaten (r = Abstand vom Kugelzentrum, ψ PQ = sphärischerAbstand = sphärische Cobreite, α PQ = Azimut = spärische Länge) ein.

P

0

rQ

rP

ψ PQ

PQ

Q

Ri

Ra

Abb.: Schnitt durch 0,Q,P

Bei dieser Wahl von Koordinaten hängt der Ausdruck

( )122 2

1 2

= + −

−r r r rQ P P Q PQcos

/

ψ

nicht von der dritten Kugelkoordinate α PQ ab, eine große Erleichterung für diefolgende Integration. Mit ρ = const und dK = drQ ( ) ( )r d r dQ PQ Q PQ PQψ ψ αsin ergibtsich daher unmittelbar:

( )P k dK k r dr d dK

Q PQ Q PQ Q

R

R

i

a

= =∫∫∫ ∫∫∫==

ρρ ψ ψ α

α

π

ψ

π

1 2

0

2

0

sin

( )= + −−

=

∫∫2 22 2 21 2

0

π ρ ψ ψ ψψ

π

k r r r r r dr dQ PQ Q P P Q PQ

R

R

Q PQ

i

a

sin cos/

Wegen

( )d

d

r

rr r r r r

PQ

Q

P

Q PQ Q P P Q PQψψ ψ

= + −

−2 2 2

1 2

2sin cos/

ergibt sich für die Integration über ψ PQ zwischen 0≤ ≤ψ πPQ der Ausdruck

( )r

rr r r r

r für r R

r

rfür r R

Q

P

Q P P Q PQ

Q P i

Q

P

P a

2 21 2

0

22

2

2+ −

=

≤

≥

=

cos/

ψψ

π

Man erhält somit

( ) ( )P kr

rdr R R k

r

Q

Pr

Q a i

PQ

= = −

∫44

3

12

3 3π ρπ

ρ (P im Außenraum)

( ) ( )P k r dr k R R constQ Q a i

rQ

= = − =∫4 2 2 2π ρ π ρ . (P im Innenraum)

Für den Rauminhalt KK bzw. die Oberfläche OK einer Kugel mit dem Radius R gilt

K RK =4

3

3π bzw. O RK = 4 2π

Damit kann man das Ergebnis auch in folgender Form ausdrücken

für P im Außenraum ( ) ( )P k K Kr

a i

P

= −ρ1

für P im Innenraum ( ) ( )Pk

O O consta i= − =ρ2

Für die Vollkugel, d.h. Ri = 0, Ra = R ergibt sich (P im Außenraum)

( )P R kr

kM

rP P

=

=4

3

13πρ

Das Außenraumpotential einer Kugel bzw. einer Kugelschale kann also durch einePunktmassensingularität im Kugelmittelpunkt dargestellt werden, sowie man sichumgekehrt eine Punktmassensingulariät physikalisch durch eine sehr kleine, sehrdichte Kugel ( R M const→ = →∞0 , ., ρ ) im Singularitätspunkt Q vorstellen kann.Rechnet man mit dieser Formel einen Potentialwert für einen Punkt P imKugelinneren, so nennt man diese Größe die analytische Fortsetzung des Außen-raumpotentials. Dieser Wert stimmt nicht mit dem tatsächlichen Potential imKörperinnern überein, jedoch spielt der Begriff der sogenannten analytischenFortsetzung von Außenraumpotentialen eine wichtige Rolle bei der Approximationdes Außenraumpotentials der Erde.Zur Berechnung des tatsächlichen Potentials in einem Punkt P im Inneren einerhomogenen Kugel (oder homogenen Kugelschale) zerlegt man die Integration in zweiSummen und erhält

( )P k dK k dKr

r

r r

RP

P

= +∫∫∫ ∫∫∫= =

ρ ρ

αψ αψ 0

( )=

+ −

4

32

32 2π

ρ π ρkr

rk R rP

P

P

also

( )P k RrP= −

2

3

22

π ρ P im Körperinnern einer Kugel

und

( )P k R Rr

ra i

P

P= − −

2

2

3

1

3

2 32

π ρ P im Körper einer Kugelschale

also, wie bereits erwähnt, einen anderen Wert als für die analytische Fortsetzung( )P kM rP= /

II.2 Verhalten des Potentials im Erdinnern

Die für die homogene Kugel abgeleitete Formel kann benutzt werden, um dasVerhalten des Potentials im Erdinnern zu untersuchen. Dazu wird eine kleine, alshomogen vorausgesetzte Kugel um einen Punkt P0 nahe P im Körperinnernausgespart bei der Integration und durch den Ausdruck für die homogene Kugelersetzt

q

P xi( )

P xi0 0( )p

( )q x xP

i i

i

= −∑ 0

2

Man erhält also für das Potential für einen Punkt P im Innern eines Körpers

k dK k p qI

E K

= + −

−

∫∫∫ ρ π ρ

21

3

2 2

Läßt man p→0 und q→0, bzw ( )x xP

i i− →0 0 gehen, so verschwindet der zweiteSummand und man erhält wie für den Außenraum

k dKI

E

= ∫∫∫ ρ

Bildet man die 1. Ableitungen, erhält man für den Schwerevektor

( ) ( )∂ ∂ρ

π ρV x kx x

dK k x xP

i P

i

Q

i

E K

P

i i/ = −−

− −−

∫∫∫

3 0

4

3

und damit für p q→ →0 0, wie für den Außenraum

( )∂ ∂

ρV x k

x xdKP

i P

i

Q

i

E

/ = −−

∫∫∫

3

Erst für die Diagonalelemente des Tensors der 2. Ableitungen zeigt sich eine Ab-weichung gegenüber dem Verhalten im Außenraum. Man erhält

( )( )∂∂ ∂

ρ2

53

V

x xk

x x x xdK

P

i

P

j

P

i

Q

i

P

j

Q

j

E

=− −

∫∫∫

für i ≠ j

und

( )∂∂ ∂

ρ π ρ2

3

2

5

13

4

3

V

x xk

x xdK k

P

i

P

j

P

i

Q

i

E

= − +−

−∫∫∫

für i = j

Die Spur des Tensors der 2. Ableitungen wird demnach

∆Vk im Körperinnern

im Außenraum=

−

4

0

π ρ

Für das Schwerepotential (also einschließlich Fliehkraftpotential) erhält man

∆Vk im Körperinnern

im Außenraum=

−

2 4

2

2

2

ω π ρ

ω

II.3 Das Konzept von Normalpotential und Störpotential

II.3.1 Das Konzept eines Normalpotentials

Das Schwerepotential W eines rotierenden Körpers kann zerlegt werden in dieSumme eines sogenannten Normalpotentials U und eines Störpotentials T

Die Zerlegung wird so vorgenommen, daß im Hinblick auf Reihenentwicklungen- das Störpotential T harmonisch ist im Außenraum des Körpers- das Störpotential T möglichst klein ist

Die Forderung beinhaltet, daß sich das Normalpotential U aus einem (möglichst ein-fachen) Gravitationspotentialanteil U und dem tatsächlichen Fliehkraftpotential-anteil φ zusammensetzt.Der einfachste Ausdruck für den Gravitationsanteil U ist das Potential einer homo-genen Kugel, für das Außenraumpotential also

In der Geodäsie wird meist eine andere Forderung an das Normalpotential gestellt,daß nämlich eine Äquipotentialfläche U0 = const. ein Rotationsellipsoid ist (sieheAbschnitt V). Dieses spezielle Niveauellipsoid dient dann als Grundlage zurDefinition geodätischer (ellipsoidischer) Koordinaten. Die Formeln (nicht dasKonzept) werden wesentlich komplizierter.

II.3.2 Störpotential und Schwerestörungsvektor

Das Störpotential sei als eine Funktion der kartesischen Koordinaten ( )x x xP

1 2 3, ,

oder praxisnäher der Kugelkoordinaten ( )ϕ λ, ,rP

mathematisch durch eine entspre-

chende Funktion ausgedrückt

( ) ( ) ( )T P f x x x f rkar Kug= =1 2 3, , , ,ϕ λ

Der Schwerestörungsvektor wird durch Gradientenbildung aus dem Störpotentialabgeleitet

δg grad T= =

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

T x

T x

T x

T/

/

/

1

2

3

e

e

e

1

2

3

Bezüglich folgender lokaler Basis im Punkte P e gθ = =1 Richtung zum Südpol (θ= 90 - ϕ) e gλ = =2 Richtung nach Osten e gr = =3 Richtung des Radiusvektors

W = U + T

U VkM

rpU

P

= + = +φ ω1

2

2 2

erhält man dann

δg grad T= =

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

T y

T y

T y

T/

/

/

1

2

3

e

e

er

θ

λ

=

∂ ∂θ

∂ ∂λ

∂ ∂

T

T

T r

T/

/

/

( )( )

1 0 0

0 1 0

0 0 1

/

/ sin

r

r

P

P P

T

θ

e

e

er

θ

λ

=

∂ ∂θ

∂ ∂λ

∂ ∂

T

T

T r

T/

/

/

H P

e

e

er

θ

λ

=

∂ ∂θ

∂ ∂λ

∂ ∂

T

T

T r

T/

/

/

g

g

gr

θ

λ

Oft ist das Störpotential als Funktion des reziproken Abstandes 1/ gegeben,

= + −r r r rP Q P Q PQ2 2 2 cosψ , vor allem in Integralformeln wie z.B.

T k dKE

= ∫∫∫ δρ

Man erhält dann folgenden Ausdruck für die Komponenten von δg

δ

∂ ∂θ

∂ ∂λ

∂ ∂

∂ ∂ψ

∂ ∂ψ

∂ ∂

∂ψ ∂θ

∂ψ ∂λ

α ∂ ∂ψ

α ∂ ∂ψ

∂ ∂

g H

T

T

T r

H

T

T

T r

r T

r T

T r

P P

P PQ

P PQ

=

=

=

−

−

−

−

/

/

/

/

/

/

/

/

cos /

sin /

/

1

1

Diese Vektorkomponentenformel wird in der Geodäsie sehr oft benutzt.

Herleitung der Vektorkomponentenformeln:

Wir führen die lokalen, auf den Punkt P bezogenen Winkel ψ PQ undα PQ , ein, die derspärischen Cobreite θ und der spärischen Länge λ im globalen System entsprechen.

Q P

Äquator

ϕ P

λQ

λ P

′Q

′P

ϕQ

e1

e2

e3

ψ PQα PQ

Transformationsformeln ( )ϕ θ= −90 :

Wir gehen aus von dem Einheitsvektor

( )( )

( )

sin cos

sin sin

cos

cos sin sin cos cos

cos sin

sin sin cos cos cos

ψ α

ψ α

ψ

ϕ ϕ ϕ ϕ λ λ

ϕ λ λ

ϕ ϕ ϕ ϕ λ λ

PQ PQ

PQ PQ

PQ

P Q P Q Q P

Q Q P

P Q P Q Q P

=

− −

−

+ −

Um die beiden Terme ∂ψ ∂ϕ/ und ∂ψ ∂λ/ zu bestimmen, differenzieren wir diedritte Gleichung nach ϕ P bzw. λP

( )− = − −sin cos sin sin cos cosψ∂ψ

∂ϕϕ ϕ ϕ ϕ λ λPQ

PQ

P

P Q P Q Q P

( )− = −sin cos cos sinψ∂ψ

∂λϕ ϕ λ λPQ

PQ

P

P Q Q P

Einsetzen der 1. und 2. Transformationsformel in diese Ausdrücke und Divisiondurch sin ψ PQ ergibt

∂ψ

∂ϕαPQ

PQ= − cos ∂ψ

∂λϕ αPQ

P PQ= − cos sin

was zu beweisen war.

II. 4 "Natürliche " Koordinaten und Kugelkoordinaten

II.4.1 Kugelkoordinaten als "natürliche" Koordinaten des Gravitationsfeldeseiner homogenen Kugel

Dem Gravitationspotential einer Punktmasse (homogene Kugel der Masse M) im Ur-sprung des Koordinatensystems entspricht folgendes Potential

( )PkM

rP

=

Der Gradient im Punkte P ergibt sich zu

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

V x

V x

V x

/

/

/

1

2

3

= kM

( )( )( )

x r

x r

x rP

1 3

2 3

3 3

/

/

/

Man erhält als "natürliche" Koordinaten des Punktmassenfeldes

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( )

g V x V x V x

kM x x x r

= + +

= + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂/ / /

/

1 2 2 2 3 2

1 2 2 2 3 2 6

also

( )g kM r= / 2

( ) ( ) ( )( )

tan / / / tanΛ = = = =∂ ∂ ∂ ∂ λV x V xkM x r

kM r x

x

x

2 12 3

3 1

2

1

( )( )

( )( )

sin / sinΦ= = = = =∂ ∂ ϕV x gkMx

r g

kM x r

kM r

x

r

33

3

3 2

3

3

"Natürliche" Koordinaten Φ Λund sind den Kugelkoordinaten ϕ und λ nur im Falledes Gravitationsfeldes einer homogenen Kugel identisch; kM spielt die Rolle einesMaßstabsfaktors.

II.4.2 Transformation zwischen "natürlichen" Koordinaten des Erdschwerefel-des (g,Φ,Λ) und Kugelkoordinaten

Es seien gegeben die Kugelkoordinaten (ϑ , λ , r ) eines Punktes P,das Normalpotential U durch

UkM

rp= +

1

2

2 2ω

und das Störpotential T als Funktion von Kugelkoordinaten z.B. in Form einerReihenentwicklung

( )T T r= ϕ λ, , .

Man erhält durch Differenzieren für die "natürlichen" Koordinaten

g

g

g

1

2

3

=

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

W x

W x

W x

/

/

/

1

2

3

= ( )

1 0 0

0 1 0

0 0 1

/

/ cos

r

r

P

P ϕ

∂ ∂ϕ

∂ ∂λ

∂ ∂

∂ ∂ϕ

∂ ∂λ

∂ ∂

U

U

U r

T

T

T r

/

/

/

/

/

/

+

+

+

Aus dem dazugehörigen Einheitsvektor

g ge g= =

cos cos

cos sin

sin

Φ Λ

Φ Λ

Φ

erhält man unmittelbar die astronomische Länge und Breite. Der Absolutbetrag derSchwere wird als dritte "Koordinate" angegeben.Die inverse Transformation geht aus von der gemessenen Schwere bzw. der astro-nomischen Länge und Breite

g,Φ , Λ

Die Transformation muß, da U und T als Funktion der Kugelkoordinaten gegebensind, iterativ durchgeführt werden, indem man beim 1. Iterationsschritt setzt

( ) ( )λ ϕ, ,.

, , /r kM g= Λ Φ

Wenn, wie stets in der Praxis,

δλ λ δψ ϕ δ γ= − = − = −( ), ( ), ( )Λ Φ g g

klein sind (γ = =kM r/ 2 Normalschwere für eine Kugel) , führt die Iteration nachwenigen Schritten zum Ziel.

III. Gravitationspotential und Reihenentwicklung nach Kugelfunktionen

III.1 Legendresche Polynome

Die Entfernung läßt sich ausdrücken mittels (der Ausdruck ist unabhängig vomAzimut !)

( ) = + − = +

−

r r r r r

r

r

r

rP Q P Q PQ P

Q

P

Q

PPQ

2 21 2

2 1 2

2 1 2cos cos/

/

ψ ψ

Der Faktor in Klammern ist eine dimensionslose Größe. Führt man weiterhin zurAbkürzung die dimensionslosen Größen α und t ein,

r

rt t

Q

PPQ= ≤ = ≤α ψ1 1, cos ,

erhält man

( )( )rtP

= + −

−1 22

1 2α α

/

Eine Entwicklung in eine Taylorreihe nach α um α=0 liefert folgende (unendliche,d.h. n → ∞) bilineare Form

[ ]rP n T

= α

0

K

t

ji

n

n = ∞0,

Ausführlich geschrieben erhält man für die ersten Glieder

r

t

t

t

t

t

P

T

=

−

−

−

−

1

1

0 11

20

3

2

03

20

5

23

80

15

40

35

8

015

80

35

40

63

8

1

2

3

4

5

2

3

4

5

ααααα

Die sog. Legendreschen Polynome sind definiert durch den Vektor

( )[ ]P t

K

tn

ji

n=

sodaß man auch schreiben kann

[ ] ( )[ ] ( )rP t

r

rPP n T

n

Q

Pn

n

n PQ= =

=

∞

∑α ψ0

cos

Für praktische Anwendungen sind Rekursionsformeln extrem wichtig. Für dieLegendreschen Polynome bzw. für die Komponenten der Matrix K j

i kann man

herleiten

( ) ( ) ( )P tn

nt P t

n

nP tn n n=

−

−

−

− −

2 1 11 2

bzw.

( )( ) ( )k

i

ik

i

ik i Zeile j Spaltej

i

j

iji+

−−=

−

−

−

= =1

1

12 1 1,

III.2 Helmholtz-Polynome, zugeordnete Legendresche Funktionen und harmo-nische Funktionen

Es sei folgende Klasse von Funktionen definiert

( ) ( ) ( )P H cd

dcP c mit c m nnm

mnm

mm

m nϑ ϑ ϑ ϑ= = = ≤ ≤sin sin cos ; 0

Die Polynome ( )H cnm werden Helmholtz-Polynome, die Funktionen ( )Pnm ϑ werdenzugeordnete Legendresche Funktionen genannt. In Matrizenschreibweise kann manschreiben

( ) ( )P H cnm nm

m

ϑϑ

=

sin

also z.B.:

P

P P

P P P

H

H H

H H H

00

10 11

20 21 22

00

10 11

20 21 222

1

=

sin

sin

ϑϑ

wobei

( )( )

( ) ( )Hij

P c

P c c

P c c c

=

−

1

1 1

2 3 3

31

215 2 1 15 15

Es ist für die meisten (nicht alle) Anwendungen zweckmäßig, sogenannte"normalisierte" Funktionen einzuführen. Mit dem Normalisierungsfaktor

( )( )( )N nn m

n m

für m

für mnm mm= +

−+

=

=≠

−2 2 10

1

0

01

00δ δ

!

!

sind sie definiert durch

( ) ( )P N Pnm nm nmϑ ϑ=sowie

( ) ( )H c N H cnm nm nm=

In Matrizenform erhält man

Nnm

=

1

3 3

5 5 3 5 12

7 7 6 7 60 7 360

9 9 10 9 180 9 2520 9 20160

/ /

/ / /

/ / / /

Wir definieren weiter die (harmonischen) Kugelflächenfunktionen

( ) ( )R P mnm nmϑ λ ϑ λ, cos=( ) ( )S P mnm nmϑ λ ϑ λ, sin=

sowie die "normalisierten" Kugelflächenfunktionen

( ) ( )R N Rnm nm nmϑ λ ϑ λ, ,=( ) ( )S N Rnm nm nmϑ λ ϑ λ, ,=

Räumliche Kugelfunktionen werden definiert durch

( ) ( ) ( ) ( )K r r R bzw K rr

Rnmn

nm nm n nm, , , . , , ,ϑ λ ϑ λ ϑ λ ϑ λ= = +

11

( ) ( ) ( ) ( )L r r S bzw L rr

Snmn

nm nm n nm, , , . , , ,ϑ λ ϑ λ ϑ λ ϑ λ= = +

11

wobei der jeweils 2. Ausdruck in der Geodäsie zur Anwendung kommt.

Die räumlichen Kugelfunktionen lassen sich als Produkt zweier Diagonalmatrizen miteiner Dreiecksmatrix darstellen, z.B.

( )K

r

P

m

nm

n

nm

=

ϑλcos

Man kann zeigen, daß die Elemente der Matrix der räumlichen harmonischenFunktion ( ) ( )rn Rnm bzw rn Snmϑ λ ϑ λ, . , homogene Polynome in denKoordinaten x y z, , sind. Man erhält bis zum Grade 2

( ) ( )r R

z x

z x y xz x yn

nm

=

− −

−

1

1

23 32 2 2 2 2

und

r S

y

yz xynnm

=

0

0

0 3 6

Diese Terme bis zum Grade n = 2 werden im Abschnitt III.5 benötigt. Für praktischeAnwendungen sind Rekursionsformeln von ausschlaggebender Bedeutung.

III.3 Reihenentwicklung nach Kugelfunktionen

III.3.1 Reihe für eine Potentialfunktion V(P)

Die Entwicklung einer harmonischen ( )d h V. .∆ = 0 räumlichen Funktion V(P) an der

Stelle P mittels

( ) ( )[ ]Pa

ra R b S

Pn

n

nm nm P P nm nm P Pm

n

( ) , ,=

+

=

∞ +

=∑ ∑

0

1

0

ϑ λ ϑ λ

wird als Reihenentwicklung nach Kugelfunktionen bezeichnet; sie ist das wichtigsteHilfsmittel zur Beschreibung des Gravitationspotentials der Erde.

Hierbei ist a eine geeignet gewählte Konstante; i.a. wird hierzu die große Halbachse ades mittleren Erdellipsoids gewählt.a bzw bnm nm. sind konstant für eine starre Erde, zeitabhängig für die deformierbareErde.

( )Rnm P m Pϑ λ, cos , ( )sin /m und a rP P

nλ sind Funktionen der Kugelkoordinaten

( )rP P P P, ,ϑ ϕ λ= −90 eines Punktes auf oder außerhalb der Erdoberfläche.

In Matrixschreibweise kann man die Formel als Spur der folgenden Produkte vonDiagonal- und Dreiecksmatrizen darstellen

( )

( )

P Spura

rP

n

Pnm

m

anm

Spura

rP

n

Pnm

m

bnm

( ) cos

sin

=

+

+

+

1

1

ϑλ

ϑλ

Da wegen sin0 0λ ≡ ebenfalls Sn0 0≡ ist, werden auch die bn0 0≡ gesetzt für alle n.Entsprechende Ausdrücke erhält man für die "normalisierten" Kugelfunktionen, wennman definiert

anm Nnm

anm bnm Nnm

bnm= =1 1

,

III.32 Reihe für die harmonische Funktion (1/)

Zur Entwicklung des Potentials eines Körpers ist es extrem wichtig, daß sich dieFunktion (1/) nicht nur in eine Reihe nach Legendreschen Polynomen, sondernebenfalls in eine Reihe nach räumlichen Kugelfunktionen darstellen läßt. Man kannzeigen, daß die Reihe in "normalisierten" Funktionen folgende einfache Formannimmt:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1 1 1

2 10 0=

+

+

=

∞

=∑ ∑

r n

r

rR R S S

P n

Q

P

n

nm P P nm Q Q nm P P nm Q Qm

n

ϑ λ ϑ λ ϑ λ ϑ λ, , , ,, , , ,

d.h. man hat in die allgemeine Form als Koeffizienten einzusetzen

( ) ( ) ( ) ( )ar n

R br n

S a rnmQ

nm Q Q nmQ

nm Q Q Q=+

=+

=1

2 1

1

2 1ϑ λ ϑ λ, , , ,

Vergleich mit der Entwicklung nach Legendre Funktionen ergibt den Ausdruck

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Pn

R R S Sn nm P P nm Q Q nm P P nm Q Qm

n

cos , , , ,, , , ,ψ ϑ λ ϑ λ ϑ λ ϑ λ=+

+=∑1

2 1 0

Durch Einbeziehung des Normalisierungsfaktors Nnm erhält man beide Ausdrücke fürdie nicht-normalisierten Funktionen, sie sind etwas komplizierter.In Matrizenschreibweise hat man die Spur der folgenden beiden Produkte vonDiagonal- bzw. Dreiecksmatrizen zu bilden.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 11 2 1

11 2 1

1

1

=

+

+

+

+

+

Spurr

R P

R Q

r n

Spurr

S P

S Q

r n

Pn

nm

nm

Qn

Pn

nm

nm

Qn

( / ( ))

( / ( ))

Mittels der Reihenentwicklung für (1/) werden im nächsten Abschnitt Ausdrücke fürdie Kugelfunktionskoeffizienten eines (starren) Körpers abgeleitet.

III.4 Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials der Erde

Ausgehend von dem Volumenintegral

k dKPPQK

Q Q= ∫∫∫ 1

ρ

mit

( ) ( )dK dx dx dx dr r d r dQ Q Q Q Q Q= =1 2 3 ϑ ϑ λsin

erhält man durch Einsetzen der Reihenentwicklung für (1/ ) (wobei Größen, dienicht von Q abhängen, vor das Integral gezogen werden) in Matrizenschreibweise

( )

( )

( )( )

P

Spura

rR P

k

R Qr

n adK

n

Pn

nm

nm

K

Qn

n Q

=

+

+

+ +∫∫∫

1

1 12 1ρ

( )

( )( )

++

+

∫∫∫+ +

Spuran

rPn

Snm P

k

Snm Q

K

rQn

n an dKQ

1

1 2 1 1 ρ

Integration über K ergibt die beiden Koeffizientenmatrizen (obere Dreiecksmatrizen)

a

und

bnm nm

wobei deren Elemente berechnet werden mittels

( ) ( )ak

a n

r

aR dKnm

Qn

nm Q Q Q QK

=+

∫∫∫

2 1ϑ λ ρ,

( ) ( )bk

a n

r

aS dKnm

Qn

nm Q Q Q QK

=+

∫∫∫

2 1ϑ λ ρ,

Durch die Spurbildung erhält man

( ) ( ) ( )[ ]Pa

ra R b S

Pn

n


n

=

+

=

∞ +

=∑ ∑

0

1

0

ϑ λ ϑ λ, ,

Damit die gesamte Summe dimensionslos wird, definiert man gewöhnlich dimen-sionslose Koeffizienten mittels (kM = Gesamtmasse des Körpers)

c a a kM s a b kMnm nm nm nm= ⋅ = ⋅/ , /

so daß man als endgültiges Ergebnis erhält

( ) ( ) ( )[ ]PkM

r

a

rc R s S

P Pn

n


n

= +

+

=

∞

=∑ ∑1

1 0

ϑ λ ϑ λ, ,

Zu jedem Satz von Kugelfunktionskoeffizienten c snm nm, gehört immer die Angabederjenigen Größen kM und a, die zu deren Definition verwendet wurden. Normaler-weise wird man als Geodät nicht in die Situation kommen, c snm nm, zu bestimmen,wohl aber, berechnete Werte zu verwenden (Vorinformation).

Beachte:

- da die Dichte ρ nicht bekannt ist, müssen die Kugelfunktionskoeffizienten auf andere Art und Weise bestimmt werden, nicht mittels obiger Formeln

- jedes geophysikalische Dichtemodell der Erde sollte jedoch die geodätisch be-stimmten Werte erfüllen.

III.5 Kugelfunktionskoeffizienten als Funktion von Erdmasse, Schwerpunkts-koordinaten und Trägheitstensorkomponenten

1.) Kugelfunktionskoeffizient 0. Ordnung

Man erhält

a k dK kME

00 = =∫∫∫ ρ

Der Koeffizient entspricht also der Gesamtmasse der Erde multipliziert mit der Gra-vitationskonstanten.

2) Kugelfunktionskoeffizienten 1. Ordnung

Man erhält ( xsi = Schwerpunktskoordinaten) durch Einsetzen der homogenen Poly-

nome für die räumlichen Kugelfunktionen die Beziehungen

( )a k r R dK k x dM kM xQ Q QE

QE

S10 103 3= = =∫∫∫ ∫∫∫ϑ λ ρ,

( )a k r R dK k x dM kM xQ Q QE

QE

S11 111 1= = =∫∫∫ ∫∫∫ϑ λ ρ,

( )b k r S dK k x dM kM xQ Q QE

QE

S11 112 2= = =∫∫∫ ∫∫∫ϑ λ ρ,

Die (nicht-normalisierten) Kugelfunktionskoeffizienten entsprechen also den Schwer-punktskoordinaten. Sie werden Null, wenn der Ursprung des Referenzsystems imMassenzentrum der Erde gelagert ist.

3) Kugelfunktionskoeffizienten 2. Ordnung

Man kann unmittelbar, durch Einsetzen der homogenen Polynome für die räumlichenKugelfunktionen, folgende linearen Beziehungen ableiten.

a

ak

20

22

11

22

33

1

2

1

21

1

4

1

40

=

−

−

θθθ

b

a

b

k22

21

21

12

13

23

=

θθθ

Fallen die Koordinatenachsen mit den Hauptträgheitsachsen des Körpers zusammen,so werden bekanntlich die Deviationsmomente ( )θ θ θ12 13 23, , Null. Das ist (nähe-rungsweise) der Fall für die

x Achse3 − des terrestrischen Systems, so daß in guter

Näherung gilt

θ θ13 13 21 210 0= = = =und somit a b

Bei der deformierbaren Erde vollzieht die Hauptträgheitsachse Bewegungen in derErde; hinsichtlich einer festen

x Achse3 − werden dadurch a21 und b21 zeitabhängig.

IV Störpotential und Randwertaufgaben für die Kugel

IV.1 Allgemeines

Die Dichte ρ im Erdinnern ist nicht bekannt, so daß die bisher angegebenen For-meln nicht zur Berechnung des Gravitationspotentials genutzt werden können. Mankann jedoch gewisse Größen an der Erdoberfläche S messen, die Funktionen desPotentials sind, nämlich sogenannte Randwerte

( )f T P SP , .∈

Die Lösung von Randwertaufgaben wird in der Geodäsie zur Bestimmung desStörpotentials T benutzt.Aus den folgenden Informationen

1) das Störpotential T erfüllt im Außenraum die Laplace-Gleichung ∆T = 0 .2) der Rand sei bekannt, sei z.B. durch eine Funktion ( )r f= ϕ λ, mathe-

matisch beschrieben3) die Funktion der Randwerte ( )f T P SP , ∈ ist bekannt

kann das Störpotential auf der Körperoberfläche und im Außenraum bestimmtwerden, nicht jedoch eindeutig im Körperinnern. Eine Aufgabe dieser Art wird alsRandwert- aufgabe bezeichnet.

Die Lösungsstrategie hängt ab von

a) der Form der partiellen Differentialgleichung. Die Laplace Gleichung istdie einfachste unter den partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung.

b) der Form der Körperoberfläche. Die Kugel hat die einfachste Form. Be-reits das Rotationsellipsoid als Randfläche führt zu äußerst komplizier-ten Randwertaufgaben.

c) der Form der Funktion für die Randwerte. Die einfachsten Formen sindf T T( ) = (Dirichlet-Problem)f T T n( ) /= ∂ ∂ (Neumann-Problem)f T c T n c T c c const( ) / ; , .= + =1 2 1 2∂ ∂ (Robin-Problem)

wobei n die Änderung in Richtung der Flächennormale bezeichnet.

Unter den generellen Strategien zur Lösung von partiellen Differentialgleichungensind drei, die in der Geodäsie Anwendung finden

a) Die Methode der Separation der Variablen b) Die Methode der Greenschen Funktion bzw. der reproduzierenden Kerne c) Die Methode der Transformation in Integralgleichungen

Die folgenden Betrachtungen sind auf den einfachsten Fall beschränkt, in denen derRand eine Kugel ist.Um den Zusammenhang mit Kugelfunktionsentwicklungen unmittelbar aufzuzeigen,wird die Methode der Separation der Variablen verwendet. Hierbei soll diegesuchte Funktion T(P) als Produkt von 3 unabhängigen Funktionen dargestelltwerden, bei der Verwendung von Kugelkoordinaten also durch

( ) ( ) ( ) ( )T r f r g h, ,θ λ ϑ λ= ⋅ ⋅

Ist dies möglich, zerfällt die partielle Differentialgleichung in ein System von 3gewöhnlichen Differentialgleichungen.Sind diese gewöhnlichen Differentialgleichungen vom sogenannten Sturm-Liouvilleschen Typ, dann ergibt das Produkt der Systeme der sogenanntenEigenfunktionen der gewöhnlichen Differentialgleichungen das System derEigenfunktionen der partiellen Differentialgleichung.Die Lösung der partiellen Differentialgleichung ergibt sich als Linearkombination derEigenfunktionen (Reihe).Die Kugelfunktionsentwicklung entspricht einer typischen Lösung mittels derMethode der Separation der Variablen.

IV.2 Laplace-Gleichung in orthogonalen, krummlinigen Koordinaten

IV.2.1 Transformationsformeln und Metriktensor

Standardkoordinaten im Euklidischen Raum sind rechtwinklige kartesische Koor-dinaten xi ; krummlinige Koordinaten q j seien implizit durch die Formeln

( )x f qi

i

j=

definiert.Man bildet die vollständigen Differentiale

[ ] [ ] ( ) [ ]dxx

qdq

f q

qdqi

i

j

j i

j

j

j=

=

∂∂

∂

∂

Die Transformationsmatrix wird oft als Jacobi-Matrix bezeichnet.Die Matrix

[ ]Mx

q

x

q

i

j

T i

j=

∂∂

∂∂

wird als Metriktensor bezeichnet. Für orthogonale krummlinige Koordinaten gilt,daß die Komponenten des Metriktensors eine Diagonalmatrix bilden. Für orthogo-nale Koordinaten kann man deshalb schreiben

[ ] [ ] [ ] [ ]dx H dq dyi

j

i j j= =

mit den Elementen

h H Mi i

i

i

i= =

Bezüglich kartesischer (orthonormaler) Koordinaten hat die Laplace-Gleichung dieeinfache allgemeine Form (V allgemeine Potentialfunktion)

∆VV

x x

V

x x

V

x x

V

y y

V

y y

V

y y= + + = + +

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂ ∂

2

1 1

2

2 2

2

3 3

2

1 1

2

2 2

2

3 3= 0

Bezüglich orthogonaler krummliniger Koordinaten kann man zeigen, daß dieLaplace-Gleichung folgende Form annimmt

∆Vh h h q

h h

h

V

q q

h h

h

V

q q

h h

h

V

q=

+

+

1

1 2 3 1

2 3

1 1 2

1 3

2 2 3

1 2

3 3

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= 0

IV.2.2 Laplace-Gleichung bezüglich Zylinder- und Kugelkoordinaten

1) Zylinderkoordinaten ( )q p q q z1 2 3= = =, ,λ

x

x

x

p

p

z

1

2

3

=

cos

sin

λ

λ

( )tan

/

/λ

p

z

x x x x

x x

x

=

+

1 1 2 2 1 2

2 1

3

dx

dx

dx

p

p

d

dp

dz

1

2

3

0

0

0 0 1

=

−

sin cos

cos sin

λ λ

λ λ

λ

[ ]M

p

=

2 0 0

0 1 0

0 0 1

dy

dy

dy

p d

dp

dz

1

2

3

0 0

0 1 0

0 0 1

=

λ

∆VV

p p p

V

p p

V V

z z= +

+ + =

∂∂ ∂

∂∂

∂∂λ∂λ

∂∂ ∂

2

2

2 21 10

2) Kugelkoordinaten ( ) ( )q q q r1 2 3 90= = = = −λ ϕ ϑ ϕ, ,

x

x

x

r

r

r

1

2

3

=

cos cos

cos sin

sin

ϕ λ

ϕ λ

ϕ

( )( )

tan

tan

/

//

/

λ

ϕ

r

x x

x x x x x

x x x x x x

= +

+ +

2 1

3 1 1 2 2 1 2

1 1 2 2 3 3 1 2

dx

dx

dx

r r

r r

r

d

d

dr

1

2

3 0

=

− −

−

cos sin sin cos cos cos

cos cos sin sin cos sin

cos sin

ϕ λ ϕ λ ϕ λ

ϕ λ ϕ λ ϕ λ

ϕ ϕ

λ

ϕ

[ ]M

r

r=

2 2

2

0 0

0 0

0 0 1

cos ϕ

dy

dy

dy

r

r

d

d

dr

1

2

3

0 0

0 0

0 0 1

=

cosϕ λ

ϕ

∆VV

r r r

V

r r

V

r

V

r

V= +

+ +

+

∂∂ ∂

∂∂

∂∂ϑ∂ϑ

ϑ ∂∂ϑ ϑ

∂∂ϑ∂ϑ

2

2

2

2 2 2

22 1 1cot

sin = 0

Multplikation mit r 2 ergibt

∆V rV

r rr

V

r

V V V= +

+ +

+2

2 2

2

2

21∂

∂ ∂∂∂

∂∂ϑ∂ϑ

ϑ∂∂ϑ ϑ

∂∂ϑ∂ϑ

cotsin

= 0

IV.3 Das System der Eigenfunktionen der Laplace-Gleichung in Kugelkoordi-naten

Basierend auf einer Separation der Variablen in der Form

( ) ( ) ( ) ( )r f r g h, ,θ λ ϑ λ= ⋅ ⋅

zerfällt die partielle Differentialgleichung ∆V = 0 in folgendes System von 3 ge-wöhnlichen Differentialgleichungen

I:( ) ( )

( ) ( )rd f r

drr

df r

drn n f r2

2

22 1 0+ − + =

II: ( ) ( )

( ) ( )sin cossin

22

2

2

22 1 0ϑ

ϑϑ

ϑϑϑ ϑ

ϑd g

d

dg

dn n

mg− + + −

=

III:( )

( )d h

dm h

2

2

2 0λ

λλ+ =

Die Lösungen dieser Differentialgleichungen ergeben folgende Menge von harmo-nischen Funktionen, die sogenannten Eigenfunktionen des Laplace-Operators bzw.der Laplace-Gleichung (Prüfung durch Einsetzen in die Differentialgleichungen)

I: ( )f r r n

1 = ( ) ( )f r r n

2

1= − +

II: ( ) ( )g Pnm1 ϑ ϑ= cos ( ) ( )g Qnm2 ϑ ϑ= cos

III: ( )h m1 λ λ= cos ( )h m2 λ λ= sin

Die Funktionen ( ) ( )Q Q tnm nmcosϑ = werden als Legendresche zugeordneteKugelfunktionen 2. Art bezeichnet. Sie sind definiert durch

( ) ( )Q td

dtQ tnm

mm

m n= sin ϑ

mit

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Q tt

tP t

kP t P tn n

k

n

k n k=

+

−

−

=− −∑1

2

1

1

1

11

ln

Die Kugelfunktionen 2. Art werden in der Geodäsie verwendet bei der Lösung vonRandwertaufgaben für das Ellipsoid als Randfläche, insbesondere bei der Ableitungdes ellipsoidischen Normalpotentials.

IV.4 Orthogonalitätseigenschaften der Kugelfunktionen

Die harmonischen (normalisierten) Funktionen (Kugelflächenfunktionen)

( ) ( ) ( ) ( )R P P t m S P P t mnm nm nm nm= =cos , sinλ λ

erfüllen auf der Einheitskugel σ folgende Orthogonalitätsbeziehungen

1) Es gilt stets

( ) ( ) ( ) ( )R Q S Q d R Q S Q dnm sr Q nm sr Q

σ σ

σ σ∫∫ ∫∫= =0

2) Für s ≠ n und/oder r ≠ m gilt

( ) ( ) ( ) ( )R Q R Q d R Q R Q dnm sr Q nm sr Q

σ σ

σ σ∫∫ ∫∫= =0

( ) ( ) ( ) ( )S Q S Q d S Q S Q dnm sr Q nm sr Q

σ σ

σ σ∫∫ ∫∫= =0

3) Für s = n und r = m gilt

( ) ( ) ( ) ( )1

4

1

41

πσ

πσ

σ σ

R Q R Q d S Q S Q dnm nm Q nm nm Q∫∫ ∫∫= =

Für die gewöhnlichen Kugelfunktionen ergibt sich (Einsetzen des Normalisierungs-faktors)

( ) ( )( )

1

4

1 1

2 12π

σσ

R Q R Q dN n

no no Q

nm

∫∫ = =+

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

1

4

1

4

1 1

2 2 12

πσ

πσ

σ σ

R Q R Q d S Q S Q d

N n

n m

n m

nm nm Q nm nm Q

nm

∫∫ ∫∫=

= =+

+

−

!

!

Man beachte, daß die Legendreschen Polynome ( ) ( )P t R tn no= im Intervall

( )0 ≤ ≤ϑ π orthogonal und die normalisierten Polynome ( ) ( )P t R tn no= in diesem

Fall orthonormal sind.

IV.5 Reihenentwicklung einer Funktion f(Q) auf einer Kugel

Die Grundlage zur Lösung der Randwertaufgaben für die Kugel mittels der Methodeder Separation der Variablen bildet die Reihenentwicklung nach Kugelkoordinatenfür eine auf einer Kugel gegebenen beliebigen Funktion ( )f ϑ λ, . Eine derartigeReihen-entwicklung besitzt folgende Form

( ) ( ) ( ) ( )[ ]f f a R b Snn

nm nm nm nmm

n

n

ϑ λ ϑ λ ϑ λ ϑ λ, , , ,= = +=

∞

==

∞

∑ ∑∑0 00

Man berechnet die Koeffizienten durch formales Einsetzen der Reihenentwicklungfür ( )f ϑ λ, in das folgende bestimmte Integral

( ) ( )I f R dsr= ∫∫1

4πϑ λ ϑ λ σ

σ

, ,

( ) ( ) ( ) ( )= +

==

∞

∑∑∫∫1

4 00πϑ λ ϑ λ ϑ λ ϑ λ σ

σ

a R R b S R dnm nm sr nm nm srm

n

n

, , , ,

Vertauschen von Integration und Summation führt zu

( ) ( ) ( ) ( )I a R R d b S R dnm nm sr nm nm srm

n

n

=

+

∫∫ ∫∫∑∑

==

∞ 1

4

1

400 πϑ λ ϑ λ σ

πϑ λ ϑ λ σ

σ σ

, , , ,

Infolge der Orthogonalitätseigenschaften der Kugelfunktionen haben die in eckigenKlammern stehenden Integrale alle den Wert Null, bis auf eines. Für s = n und r = mhat das Integral den Wert Eins und man erhält daher

( ) ( )I f R d anm nm= =∫∫1

4πϑ λ ϑ λ σ

σ

, ,

Eine entsprechende Entwicklung ergibt entsprechend

( ) ( )I f S d bnm nm= =∫∫1

4πϑ λ ϑ λ σ

σ

, ,

Diese beiden Formeln sind die grundlegenden Formeln für die Bestimmung derKoeffizienten der Kugelfunktionsentwicklung einer Funktion ( )f ϑ λ, , gegebenauf einer Kugel.Ist insbesondere eine Funktion empirisch, also in Form eines Datensatzes ( )f q qϑ λ,auf einer Kugel gegeben, so werden die Kugelfunktionskoeffizienten mittelsnumerischer Integration bestimmt, also durch

( ) ( ) ( )a f R d f Rnm

q

q nm q qq

= =∫∫ ∑1

4

1

4πϑ λ ϑ λ σ

πϑ λ

σ

, ,~ ~

,∆

wobei ~fq und ( )~

,Rnm q qϑ λ Mittelwerte für das jeweilige Flächensegment ∆σ q sind.

IV.6 Randwertaufgaben für die Kugel

Zur Transformation von Reihen in Integralformeln erweist sich folgender

Integralausdruck in den lokalen Koordinaten ( )ψ αPQ PQ, als äußerst bedeutsam

( ) ( ) ( )[ ]f a R b Sn P P nm nm P P nm nm P Pm

n

ϑ λ ϑ λ ϑ λ, , ,= +=∑

0

( ) ( )=+ ∫∫2 1

4

nf P dQ Q n PQπϑ λ ψ σ

σ

, cos

Er ist leicht herzuleiten durch Einsetzen der Identität

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Pn

R R S Sn PQ nm P Pm

n

nm Q Q nm P P nm Q Qcos , , , ,ψ ϑ λ ϑ λ ϑ λ ϑ λ=+

+=∑1

2 1 0

in das Integral, was dem Leser überlassen sei.

IV.6.1 Reihenlösungen von Laplace

Die allgemeine Lösung von Randwertaufgaben für die Kugel ergibt sich als Linear-kombination der Eigenfunktion des Laplace-Operators

1) für P im (massefreien) Innenraum einer Kugel mit Radius a mittels

( ) ( ) ( )P V rr

aVi P P P

P

n

nn

P P= =

=

∞

∑, , ,ϑ λ ϑ λ0

2) für P im (massefreien) Außenraum einer Kugel mit Radius a mittels

( ) ( ) ( )P V ra

rVa P P P

P

n

nn

P P= =

+

=

∞

∑, , ,ϑ λ ϑ λ1

0

wobei

( ) ( ) ( )[ ]a R b Sn P P nm nm P P nm nm P Pm

n

ϑ λ ϑ λ ϑ λ, , ,= +=∑

0

Von Interesse in der Geodäsie ist die Außenraumlösung.

IV.6.2 1.Randwertaufgabe, Formeln von Poisson (Dirichletsches Problem)

1) Reihenlösung

Gegeben ist die Funktion ( )Q Qϑ λ, auf der Kugel. Man berechnet die Koeffizien-ten

( )( )( )

a

bV

R

Sd

nm

nm

nm

nm

=

∫∫1

4πϑ λ

ϑ λ

ϑ λσ

σ

,,

,

(empirisch durch numerische Integration) und erhält unmittelbar für den Außenraumdie Lösung

( ) ( )

( ) ( )[ ]

Pa

rV P

a

ra R b S

Pn

n

n

Pn

n

m

n

nm nm P P nm nm P P

=

=

+

=

∞+

=

∞+

=

∑

∑ ∑

0

1

0

1

0

ϑ λ ϑ λ, ,

Äußerst wichtig: stets Rekursionsformeln benutzen bei der praktischen Verwendungdieser und aller folgenden Reihen.

2) Integrallösung, Formel von Poisson

Man setzt den Integralausdruck für ( )n P Pϑ λ, in die Reihenlösung ein,

( ) ( )

( ) ( )

Pa

rV P

a

r

nV P d

Pn

n

n

Pn

n

Q Q n PQ

=

=

+

=

∞+

=

∞+

∑

∑ ∫∫

0

1

0

1

2 1

4πϑ λ ψ σ

σ

, cos ,

vertauscht Summation und Integration und erhält

( ) ( ) ( ) ( )P V na

rP dQ Q

P

n

n PQn

= +

∫∫ ∑

+

=

∞1

42 1

1

0πϑ λ ψ σ

σ

, cos

Die unendliche Reihe in eckigen Klammern kann durch folgenden Ausdruck ersetztwerden

( ) ( ) ( )2 1

1

0

2 2

3n

a

rP

a r a

P

n

n PQn

P+

=

−+

=

∞

∑ cosψ

sodaß man erhält

( )( ) ( )P

a r aV d

P

Q Q=− ∫∫

2 2

34

1

πϑ λ σ

σ

,

Diese Integrallösung für die 1. Randwertaufgabe wird als Poissonsches Integralbezeichnet.

Herleitung der Summationsidentität:

Man multipliziere den Ausdruck

( ) ( )12

12 21 2

0

1

= + − =

−

=

∞ +

∑r a r aa

a

rPPQ

n

n

n PQcos cos/

ψ ψ

mit dem Faktor ( )− a 2 2/ und seine radiale Ableitung

( ) ( )d

dr

r a

an

a

rP

PQ

n

n

n PQ

1 11

3 20

2

= −

−= − +

=

∞ +

∑cos

cosψ

ψ

mit dem Faktor ( )− 2 a r . Addition der beiden Produkte ergibt

( )( ) ( )a r a

na

rP

n

n

n PQ

2 2

30

1

2 1−

= +

=

∞ +

∑

cosψ

was zu zeigen war.

IV.6.3 2.Randwertaufgabe (Neumannsches Problem)

1. Reihenlösung

Gegeben seien die radialen Ableitungen

− =∂∂V

rg

auf der Kugel. Man berechnet zunächst die Koeffizienten

( )( )( )

d

eg

R

Sd

nm

nm

nm

nm

=

∫∫1

4πϑ λ

ϑ λ

ϑ λσ

σ

,,

,

(empirisch durch numerische Integration). Um mittels dieser Komponenten d enm nm,das Außenraumpotential zu berechnen, ist zunächst ihr Zusammenhang mit denKoeffizieten a und bnm nm zu bestimmen. Ausgehend von

( ) ( )Pa

rV

Pn

n

n P P=

=

∞+

∑0

1

ϑ λ,

bildet man die radialen Ableitungen

( ) ( )gV

r rn

a

rV

P n P

n

n P P= − = +

=

∞+

∑∂∂

ϑ λ1

10

1

,

Für die Randkugel ( )r aP = erhält man folgende Funktion

( ) ( ) ( ) ( )g ga

n VQ Q nn

Q Qn

n Q Qϑ λ ϑ λ ϑ λ, , ,= = +=

∞

=

∞

∑ ∑0 0

11

Gliedweiser Vergleich der Reihenglieder ergibt

( ) ( )gn

aVn Q Q n Q Qϑ λ ϑ λ, ,=

+

1

also ausgeschrieben

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )

d R e S

n

aa R

n

ab S

nm nm Q Q nm nm Q Qm

n


n

ϑ λ ϑ λ

ϑ λ ϑ λ

, ,

, ,

+

=+

++

=

=

∑

∑

0

0

1 1

und damit

d

e

n

a

a

bund

a

b

a

n

d

e

nm

nm

nm

nm

nm

nm

nm

nm

=

+

=

+

1

1

Einsetzen in die Reihe für das Außenraumpotential ergibt

( )( )

( )( )

( )P aa

r

d

nR

e

nS

Pn

n

nmnm P P

nmnm P P

m

n

=

+

++

=

∞+

=∑ ∑

0

1

0 1 1ϑ λ ϑ λ, ,

In der Praxis wird man i.a. die Koeffizienten a bnm nm, aus d enm nm, berechnen unddann die Laplace-Reihe benutzen.

2. Integrallösung

Man setzt den Integralausdruck für ( ) ( ) ( )a

ngn Q Q n Q Qϑ λ ϑ λ, ,=

+1 in die Reihe

ein

( ) ( ) ( )P aa

r

n

ng P d

P

n

nQ Q n PQ=

+

+

+

=

∞

∑ ∫∫1

0

2 1

1

1

4πϑ λ ψ σ

σ

, cos

Vertauschen von Integration und Summation führt zu

( ) ( ) ( )Pa

ga

r

n

nP dQ Q

n P

n

n PQ=

+

+

=

∞+

∑∫∫4

2 1

10

1

πϑ λ ψ σ

σ

, cos

Die unendliche Reihe in eckigen Klammern kann durch folgenden geschlossenenAusdruck ersetzt werden (Pick et.al. 1973, S. 478):

( )2 1

10

1n

n

a

rP

n

n

n PQ

+

+

=

=

∞ +

∑ cosψ ( )2

1

an

a r

r

PQ

PQ

−+ −

−

cos

cos

ψ

ψ

IV.6.4 3.Randwertaufgabe; Formeln von Stokes und Vening-Meinesz

Das folgende Problem führt zu einer der wichtigsten Formeln der physikalischenGeodäsie, der Formel von Stokes. Bei einer dritten Randwertaufgabe seien Rand-werte der Form

( )∆gV

r aV d h c c

aϑ λ

∂∂

, , . . ,= − +

= − = −

21

21 2

vorgegeben. In der Praxis sind ( )∆g ϑ λ, die sogenannten Schwereanomalien.

1. Reihenlösung

Man berechnet die Koeffizienten

( ) ( )( )

d

eg

R

Sd

nm

nm

Q Q

nm Q Q

nm Q Q

=

∫∫1

4πϑ λ

ϑ λ

ϑ λσ

σ

∆ ,,

,

(empirisch durch numerische Integration). Um mittels dieser Komponenten dasAußenraumpotential zu berechnen, ist zunächst der Zusammenhang zwischen

( ) ( )d e und a bnm nm nm nm, , zu bestimmen.

Wiederum ausgehend von

( ) ( )Pa

rV

Pn

n

n P P=

=

∞+

∑0

1

ϑ λ,

bildet man zunächst

( ) ( ) ( )∆g PV

r rV

rn

a

rV

P n P

n

n P P= − −

= −

=

∞+

∑∂∂

ϑ λ2 1

10

1

,

Dann erhält man auf der Randkugel (d.h. für r aP = ) folgende Funktion

( ) ( ) ( ) ( )∆ ∆g g Qa

n V QQ Q nn n

nϑ λ, = = −=

∞

=

∞

∑ ∑0 0

11

Gliedweiser Vergleich der Reihenglieder ergibt

( ) ( )∆gn

aVn Q Q n Q Qϑ λ ϑ λ, ,=

−

1

also ausgeschrieben für jeden Punkt Q die Beziehung

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )

d R e S

n

aa R

n

ab S


n


n

ϑ λ ϑ λ

ϑ λ ϑ λ

, ,

, ,

+

=−

+−

=

=

∑

∑

0

0

1 1

Dann und nur dann, wenn d d e10 11 11 0= = = , kann man für folgende Gleichungen

( )d

n

aanm nm=

−1 bzw.

( )e

n

abnm nm=

−1

die inversen Gleichungen bilden

( )a

a

ndnm nm=

−1 bzw.

( )b

a

nenm nm=

−1

und erhält damit als Reihenlösung für den Außenraum

( )( )

( )( ) ( )P a

a

r

d

nR

e

nS

n

n

nmnm P P

nmnm P P

m

n

=

−+

−

=

∞ +

=∑ ∑

1

1

0 1 1ϑ λ ϑ λ, , ,

2. Integrallösung, Formeln von Stokes und Vening-Meinez

In der Praxis benutzt man diese Lösung zur Bestimmung des Störpotentials T, vondem vorausgesetzt wird, daß es keine Terme nullter und erster Ordnung enthält. Setztman den Integralausdruck für

( ) ( )Ta

ngn Q Q n Q Qϑ λ ϑ λ, ,=

−1∆

in die Reihenlösung ein, erhält man ( im folgenden mit ψ ψPQ g= =; ∆ 0 0 )

( ) ( ) ( )T Pa

ga

r

n

nP dQ Q

P

n

nn

=

+

−

∫∫ ∑

+

=

∞

4

2 1

1

1

2πϑ λ ψ σ

σ

∆ , cos

Die unendliche Reihe in eckigen Klammern kann durch folgenden geschlossenenAusdruck ersetzt werden

( ) ( )S rn

n

a

rPP

n P

n

n, cosψ ψ=+

−

=

∞+

∑ 2 1

12

1

= + − − +− +

a

r

r

r

a

r

r a

rP

P

P P

P

P

21

35 3

2

cos ln

cosψ

ψ

Auf der Kugel, d.h. für a = rP , ergibt sich mit ( ) = 2 2a sin /ψ

( )

( )

S ψψ

ψ ψ

ψ ψ ψ

= − + −

− +

1

26 2 1 5

3 2 22

sin( / )sin ( / ) cos

cos ln sin ( / ) sin ( / )

wobei S(ψ) als Funktion von Stokes bezeichnet wird. Als Formel von Stokesbezeichnet man dann

( ) ( ) ( )T Pa

g S dQ Q= ∫∫4π

ϑ λ ψ σσ

∆ ,

Der Schwerestörungsvektor an der Kugeloberfläche ergibt sich ferner zu

( )δg P =

−

−

− −

1

1

2

a

T

a

T

ga

T

P

T

∂∂ϕ

ϕ∂∂λcos

∆

e

e

er

ϕ

λ

=

−

−

− −

cos

cos

α ∂∂ψ

α ∂∂ψ

a

T

a

T

ga

T

T

∆2

e

e

er

ϕ

λ

mit ( ) ( )α α ψ ψ= =P Q und P Q, , . Für die lateralen Komponenten δ δg und g1 2

ergeben sich nach Vertauschung von Integration und Differentiation folgendeIntegral-formeln

( )δ

δ πϑ λ

∂∂ψ

α

ασ

σ

g

g

ag

SdQ Q

PQ

PQ

1

2 4

= −

∫∫ ∆ ,cos

sin

Die Integralformeln werden als Formeln von Vening-Meinesz, die Funktion

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

∂ ψ∂ψ

ψ

ψψ ψ

ψψ

ψ ψ ψ

S= − + − −

−

+ +

cos /

sin /sin cos /

sin /

sin

sin ln sin / sin /

2

2 28 6 2 3

1 2

3 2 2

2

2

als Funktion von Vening-Meinesz bezeichnet.Sowohl ( )S ψ als auch ∂ ∂ψS / haben für ψ = 0 eine Polstelle

( )limψ

ψ→

= ∞0

S limψ

∂∂ψ→

= ∞0

S

sodaß die Umgebung eines Aufpunktes P bei der numerischen Integration zunächstausgeklammert und gesondert behandelt werden muß.

( )S ψ hat zwei Nullstellen

( ) ( )S Sψ ψ= ° = = ° =39 0 117 0

und zwei relative Extremwerte

( ) ( )S Sψ ψ= ° = ≈ − = ° = ≈ +74 5 2 180 3, min max

Man skizziere danach die Funktion ( )S ψ .

V. Ellipsoidisches Normalpotential

V.1 Normalpotential; Grundformeln

Elliptische und ellipsoidische (geodätische) Koordinaten ( )E a b2 2 2= −

( )( )( )( )

x

x

x

r

r

r

N h

N h

e N h

u E

u E

u

1

2

3 2

2 2

2 2

1

=

=++

− +

=++

sin cos

sin sin

cos

cos cos

cos sin

sin

cos cos

cos sin

sin

ϑ λϑ λ

ϑ

ϕ λϕ λ

ϕ

β λβ λ

β

Elliptische Koordinaten:

u = const. : abgeplattetes Rotationsellipsoid mit kleiner Halbachse ub = reduzierte Breiteb = const. einschaliges Rotationshyperboloid

Es kann gezeigt werden, daß das Potential einer längenunabhängigen Potential-funktion durch folgende Reihe nach Kugelfunktionen dargestellt werden kann:

( ) ( )~,

~sinu

Q iu

E

Q ib

E

A Pn

nn

n nβ β=

=

∞

∑0

b = kleine Halbachse eines Referenzellipsoides

Als Normalpotential wählt man

U V= +~ ~φmit

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )~ ~ ~ cos ~ sinφ ω ω β ω β= + = + = + −1

2

1

2

1

312 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2x x u E u E P

Das normale Gravitationspotential ~

bestimmt man als Lösung folgender Randwert-aufgabe. Auf einem Referenzellipsoid mit u = b sei

( ) ( )( )U U const b E P= = = + −0 02 2 2

2

1

31. ,

~ ~ sinφ ω β

also

( ) ( )( )~ ~ ~ sinU U b E P0 0 0 02 2 2

2

1

31= − = − + −φ ω β

Es handelt sich also um eine erste Randwertaufgabe für ein abgeplattetes Rotations-elllipsoid als Rand mit

~.const0 = als Randwerte.

Es kann gezeigt werden (Heiskanen - Moritz 1967, S. 66), daß

( ) ( )( ) ( )~

,~

arctan ~ sinuk M

E

E

ua

q u

q bPβ ω β=

+

1

32 2

2

wobei ( )q uu

E

E

u

u

E= +

−

1

21 3 3

2

2 arctan

k M U a EE

b~ ~ / arctan= −

0

2 21

3ω

und somit wegen U V= +~ ~φ

( ) ( )( ) ( ) ( )U u

k M

E

E

ua

q u

q bP u E,

~arctan ~ sin ~ cosβ ω β ω β=

+ + +

1

3

1

22 2

22 2 2

Konstanten: a b k M und, ,~

, ~ω (geometrisch)

U c k M und0 20,~ ,~ ~ω (physikalisch)

a c k M und,~ ,~ ~

20 ω (praktisch; Referenzsystem 1980)

Achtung: Durch Festlegung von 4 Konstanten ist das Normalpotential U im ganzenRaum festgelegt.Aus den Konstanten U c k M und0 20,~ ,

~ ~ω kann die zur Berechnung des

Referenzellipsoids notwendige Größe E ( und dann b a E2 2 2= − ) berechnet werden.

V.2 Normalschwere am Niveauellipsoid (exakte Formeln)

Metriktensor: Man kann zeigen, daß ( )q u q q1 2 3= = =, ,β λ

dy

dy

dy

g

g

g

dq

dq

dq

1

2

3

11

22

33

1

2

3

0

0

=

d y

= orthonormale lokale Basis in Richtung der KoordinatenlinienDie Elemente des Metriktensors sind

gu E

u E11

2 2 2

2 2=+

+sin β

, g u E222 2 2= + sin β , ( )g u E33

2 2 2= + cos β .

Mit h gi ii=

erhält man die Komponenten des Normalschwerevektors in der lokalen Basis mittels

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

γ

∂ ∂∂ ∂∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ β∂ ∂ λ

=

=

=

U S

U S

U S

U q q S

U q q S

U q q S

h U u

h U

h U

/

/

/

/ /

/ /

/ /

/ /

/ /

/ /

1

2

3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1

2

3

1

1

1

oder ausführlich geschrieben:

( ) ( )γ γ β∂∂1

2 2 2 2 2= = + +u u E u EU

usin

γ γ β∂∂ ββ2

2 2 21= = +/ sinu EU

( )γ β = 0 nur am Normalellipsoid

( )γ γ β∂∂ λλ3

2 2 21= = +/ cosu EU ( )γ λ ≡ 0 wegen Rotatiossymmetrie

Bildet man die partielle Ableitung von U nach u und setzt u = b (Schwere am Normal-ellipsoid) erhält man folgenden Ausdruck für die Normalschwere am NormalellipsoidU U= 0

[ ]γβ β

ρ β ρ β=+

+k M

a a bp e2 2 2 2

2 2

sin cossin cos

mit den Hilfsgrößen (Abkürzungen)

( )( )ρP

me

q b

q b= + ′

′

1

3

( )( )ρe m

me q b

q b= − −

′ ′

1

6

( )′ = −+

=+

−

−q u

u E

E

dq

du

u E

E

u

E

E

u

2 2 2 2

1 1arctan

ma b

k M=

ω 2 2

Für β = 00 wird γ ρe e

k M

ab= (Schwere am Äquator)

Für β = 900 wird γ ρP P

k M

a= 2 (Schwere am Pol)

Theorem vom Clairaut: kann aus obiger Formel abgeleitet werden

( )( )

a b

a

b e q b

q bf fP e

e e

−+

−= +

′ ′

= −

γ γγ

ωγ

2

12

*

(Prüfung durch Einsetzen). Mittels dieses Theorem und weltweit verteilten (wenigen)Schweremessungen leitete Helmert im Jahre 1901 den Wert für die Abplattung vonf=1/298,3 ab.

Aus obiger Formel ergibt sich

γγ β γ β

β β=

+

+

a b

a b

P esin cos

sin cos

2 2

2 2 2 2

Mit ( )tan / tanβ ϕ= b a ergibt sich das

Theorem von Simogliana:

γγ ϕ γ ϕ

ϕ ϕ=

+

+

a b

a b

e Pcos sin

cos sin

2 2

2 2 2 2

Nach dieser exakten Formel wird die Normalschwere am Niveauellipsoid U U= 0

berechnet.In Außenräumen sind die exakten Formeln für die Normalschwerekomponenten:

( )( )γ

∂∂

ωβ ω βu h

U

uh

k M

u E

a E

u E

q u

q bu= = −

++

+′

−

−

1 1 2 2

2 2

2 22 2 21

2

1

6sin cos

( )( )γ

∂∂ β

ωω β ββ = =

+− +

hU

ha

u E

q u

q bu E2 1

2 2

2 2

2 2 2 sin cos

Anstelle dieser Formeln werden in der Praxis durch Taylerreihenentwicklungentstandene Formeln benutzt:

( )γ γ ϕ

ϕ ϕ δϕ ϕ ϕ

h

km

af m f h h

fh

Rh

= − + + −

− = = = − ′′

02 21

21 2

3

2

2 0 17 2

sin

sin . sin* *

δ ϕ Winkel zwischen Ellipsoidnormalen und Richtung desNormalschwerevektors.

ϕ

δϕ

Abb.: V.1 Normale Lotlinie und EllipsoidnormaleV.3 Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationsanteils des Normalpotentials

Der Gravitationsanteil des Normalpotentials kann, da es nicht von l abhängt(rotationssymmetrisch), nur zonale Terme enthalten:

( )~~ ~

~ cosk M

r

k M

rc

a

rPn

n

n

n= +

=

∞

∑ 02

ϑ

Zum andern kann es, wegen der Äquatorsymmetrie, nur gerade zonale Terme (n = 2i,n = 2,4 ...) enthalten. Man kann ableiten (Heiskanen - Moritz 1967, S. 73)

( )( ) ( ) ( )

~ ~c cE

a i

me

q b

i

in i

i i

= =

−

++

′

+

2

21

2 11

3

2

2 3

Achtung: Das in der Satellitengeodäsie benutzte Störpotential (homogene Kugel alsNormalpotential) und in der terrestrischen Geodäsie benutzte Störpotential T,(W=U+T), hängt zusammen durch

c c cn

geod

n

sat

n= − ~

V.4 Geodätische Referenzsysteme und Bezugsellipsoid

International vereinbart durch die Internationale Union für Geodäsie und Geophysiksollen seit 1980 folgende Größen zur Definition geodätischer Referenzsysteme (GRS1980) verwendet werden:

a m= 6378137

k M mT . sec= × −398600 5 10 3 2

J c26

201082 63 10= + × = −−.

. / secω = × −7 292115 10 5 rad

Mittels der beiden exakten Gleichungen

( ) ( )~

,c

e

e

me

q b20

2

23 11

2

3 5= −

′

+ ′−

′

( )q bb

E

E

b

b

E= +

−

1

21 3 3

2

arctan

( )[ ] ( )= + ′ ′ − ′3 3 22 2e e earctan

lassen sich iterativ die beiden Größen ′e und ( )q b berechnen und, wenn ′e berechnet

ist, alle anderen Größen ( )z B U f b uswo e P. . , , , , .γ γ .

VI. Ellipsoidisches Störpotential

VI.1 Höhenanomalien und Geoidundulationen

Ist ein Normalpotential U definiert, so ergibt sich das Störpotential T aus

W U T= +

Achtung: Das Störpotential und alle daraus abgeleiteten Begriffe sind abhängig vonFigur und Lagerung des das Normalpotential definierende Niveau-ellipsoids.

Abb. VI.1 : Meridianausschnitt

Definition: Die Höhenanomalie eines Punktes P im Raum ist gleich dem Abstand desPunktes P von der normalen Niveaufläche U W constP= = , gemessen längs der normalen Lotlinie durch P.

Theorem von Bruns:

ς γP P QT= /

Beweis: Taylorentwicklung

( ) ( )T W U W U U hP P P P Q Q P Q P= − = − − + = +∂ ∂ ς γ ς/ 0

Definition: Die Höhenanomalie eines Punktes P am Geoid wird Geoidundulationgenannt.Die Höhenanomalie eines Punktes P an der Erdoberfläche wird Quasi-geoidundulation genannt.Als Quasigeoid wird die Fläche bezeichnet, die durch Auftragen derQuasigeoidundulation auf das Ellipsoid entsteht (rein fiktive Fläche).Als Telluroid wird die Fläche bezeichnet, die durch Abtragen derQuasigeoidundulationen nach unten entsteht (rein fiktive Fläche).

VI.2 Schwerestörungsvektor und Lotabweichungskomponenten

Der Schwerestörungsvektor ergibt sich mittels

δ

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

g

T y

T y

T y

W y

W y

W y

U y

U y

U y

=

=

−

/

/

/

/

/

/

/

/

/

1

2

3

1

2

3

1

2

3

Es ist zweckmäßig, 3 lokale Basen zu betrachten (Abb. VI.2):

y3 = Richtung der realen Lotlinie ( P auf Einheitskugel)y3γ = Richtung der normalen Lotlinie ( P* auf Einheitskugel)y3 = Richtung der Ellipsoidnormalen ( P auf Einheitskugel)

Abb. VI.2: Lokale Zenitrichtungen y y y3 3 3, ,γ auf der Einheitskugel

Die positive Richtungsfestlegung für ξ ηund erfolgt aufgrund der Definitions-gleichungen

ξ ϕ= −Φ ξ ϕ ξ δϕ* *= − = −Φη λ= −Λ ϕ ϕ δ ϕ ϕ* . sin− = = − ′′0 17 2hkm

Die lokalen Basen sind so gewählt, daß für die realen und normalen Schwerkrafts-komponenten gilt:

∂ ∂∂ ∂∂ ∂

W y

W y

W y g

/

/

/

1

2

3

0

0

=

−

∂ ∂∂ ∂∂ ∂ γ

γ

γ

γ

U y

U y

U y

/

/

/

1

2

0

0

=

−

Transformation der Komponenten des normalen Schwerkraftvektors in das y -System

erfolgt mittels

[ ] [ ] y R R R R yi i= °−

− °−

−

2 3 2 290 90(( )) ( ) ( ( )) ( )*Φ ∆λ Φ ξ

γ.

Nach Einführung der Vereinfachungen

cos ,sin ,cos ,sin* * * *ξ ξ ξ ψξ≈ ≈ ≈ ≈ ≈1 1 0∆λ ∆λ ∆λ und mit ψ = ∆λ Φsin( ) lauten

die Formeln:

γγγ

ξ

ξ γ

ξξ

z

z

z

1

2

3

0

0 1 0

0

1 0

1 0

0 0 1

0

0 1 0

0

1 0

0 1 0

0 1

0

0

1

=

−

−

−

−

−

=− −

−

sin( ) cos( )

cos( ) sin( )

sin( ) cos( )

cos( ) sin( )

sin( )

sin( )

*

*

*

*

Φ Φ

Φ Φ

∆λ∆λ

Φ Φ

Φ Φ

∆λ Φ∆λ Φ ∆λ cos( ) sin( ) cos(

cos( )

( sin( ) cos( )) ( )

*

*

*

*

*

*

*

Φ ∆λξ Φ ∆λ Φ∆λ Φ

∆λξ Φ ∆λ Φ

1

1

0

0− −

−

= +−

= +

−

≈

−

ξ γ

ξ γγ

γ

ξ γγ ψξ η

γ

ξ γγηγ

[ ] [ ] [ ]δ γξ γηγγ

ξ γηγ

γ

g g

g

y y

g

y

T

i

T

i

T

i= − =−

−−

=−−

− +

0

0

* *

[ ]= −−

ξ γηγ

γ

*

( )g

y

T

i

Die Größe ( )δ γg g= − wird Schwerestörung genannt. Alle Komponenten des

Schwerestörungsvektors sind von gleicher Größenordnung:

ξ *max ~ ′1 , maxη ~ ′1 , maxδ g ~ 300 mgal

VI.3 Schwereanomalien Dg (Meßgrößen) und Formel von Stokes

Definition: ∆g gP Q= − γ

Wegen ( )γ γ ∂ γ ∂ ς γγ

∂ γ∂P Q Q

Q

Phh

T= + = +

/

1

erhält man ( )∆ g gh

TP P P= − +

γ

γ∂ γ∂

1

g

n

γ

x1

x2

x3

y3

y3

y3

P

g

Φ

λΛ

Θ

Λ−λ

ξ

η

ξ∗

x

x

x

-y

y

y γ

E

*

*

∆ gT

h hTP

Q

= − +

∂∂ γ

∂ γ∂

1

Setzt man g = R = 6371 km, g = G = 979,8 gal = kM/ R2

erhält man

[ ]∂ γ∂

∂∂h

G

R RG mgal m . /= = −

= −

20 3086

und

1 1 2

γ∂ γ∂

∂∂h G

G

R R= = −

Damit erhält man

∆ gT

RT= − +

∂∂ γ

2

Unter Vernachlässigung der Tatsache, daß diese Werte auf der Erdoberfläche alsRand und nicht zu einer mittleren Erdkugel als Rand gegeben sind, kann man sie indie Formel von Stokes einsetzen und erhält (IV.6.4) in guter Approximation

( )TR

g S d= ∫∫4 0π

ψ ϑ∆

Mit Hilfe dieser Formel wird das Störpotential bzw. Quasigeoidundulationen ausSchwereanomalien berechnet.

VII. Theorie des Nivellements

VII.1 Geometrisches Nivellement

Das Linienintegral in dem konservativen Kraftfeld des Erdschwerevektors ergibt diePotentialdifferenz

W W g dxB A

A

B

− = ⋅∫

Man zerlegt das Integral in eine Summe über q einzelne Standpunkte:

W W g dxB A q q

qq

− = ⋅∫∑

Für jeden Standpunkt wählt man ein neues lokales System y q :

∆n Differenz der Lattenablesungq =

∆sq

Niveau

fläche

−

y Lotrichtung3 =

Ist die Lattenentfernung so klein, daß man setzen kann

g

gq

=

−

0

0 ∆

∆

∆

∆

s ds

s

s

n

q

q

q

= =

cos

sin

α

α

erhält man

g dy g s g nq q

q

⋅ = ⋅ = − ⋅∫ ∆ ∆

und

W W g nB A q qq

− = − ⋅∑ ∆

Sei W W constNN= = . die Äquipotentialfläche Normal Null, die als Höhenbezugs-fläche in Deutschland dient. Dann nennt man

C W WA NN A= −

die geopotentielle Kote eines Höhenfestpunktes A. die geopotentielle Höhe CB einesanzuschließenden Neupunktes B

C W WB NN B= −

ergibt sich mittels

C C W WA B B A− = − = − ⋅∑ g nq q

q

∆

Geopotentielle Koten werden in geopotentiellen Einheiten ( geopotential units )[g.p.u.] angegeben:

[ ]1 1g p u kgal meter. . . = ⋅

VII.2 Astrogeodätisches Nivellement

Ein Linienintegral in dem konservativen Kraftfeld des Schwerestörungsvektors ergibtdie Potentialdifferenz

T T g dsB A

A

B

− = ⋅∫δ

Mit

δ

γ ξ

γ η

δ

g

g

= −

⋅

⋅

*

und ds

ds

ds

dh

=

cos

sin

α

α

erhält man

T T ds g dhB A

A

B

A

B

− = − + − −∫ ∫γ ξ α η α γ( cos sin ) ( )*

oder, wegen γ = =G const

T T G ds Gg

GdhB A

A

B

A

B

− = − + −∫ ∫( cos sin )*ξ α η αδ

Das zweite Glied wird Null, wenn das Nivellement längs einer Äquipotentialfläche(z.B. das Geoid) durchgeführt wird.Die Meßwerte für ξ und η müssen so dicht sein, daß linear zwischen den Meßwerteninterpoliert werden kann.Bei dem astro-geavimetrischen Nivellement benutzt man Schweremeßwerte und dieFormel von Vening-Meinesz, um zwischen gemessenen Lotabweichungen zuinterpolieren.

VIII. Höhen über dem Meeresspiegel

Aus den geopotentiellen Koten CP werden Höhen über dem Meeresspiegel H P

abgeleitet durch Division mit einem geeignet gewählten Schwerewert. Die Wahl desSchwerewertes bestimmt die Definition der Höhe.

Bei der Definition von Höhen ist zu beachten:

- aus gegebener Höhe H P muß die geopotentielle Kote CP eindeutig ableitbarsein.

- Die Höhe H P über dem Meeresspiegel und die ellipsoidische Höhe hP

müssen eindeutig verknüpft sein.

Beiden Forderungen entsprechen am besten die von Molodenski definierten Normal-höhen ; die Definition geht von der 2. Forderung aus.

VIII.1 Normalhöhen

VIII.1.1 Ellipsoidische Höhe h und Normalpotential

Das Linienintegral längs einer normalen Lotlinie

U U dh dhP

Q

P

− = ⋅ = ⋅∫ ∫0

0

γ γ*

kann geschrieben werden als

( ) *

*

*U U hh

dhP P

P Q

P

− = ⋅

∫0

1

0

γ

wobei hP

* ( Länge der normalen Lotlinie) mit der ellipsoidischen Höhe hP fastidentisch ist. Der Ausdruck

1 1

0 0h

dhh

z dzP Q

P

P Q

P

*

* ( )γ γ γ⋅ = = ⋅∫ ∫

ist der Mittelwert der Normalschwere längs der normalen Lotlinie. Wird derAusdruck

γ γ ϕ( ) ( sin )za

f m f za

z= − + + − +

0

2

2

212

1 23

in das Integral eingesetzt, erhält man

γ γ γ ϕ= − + + − +

0 0

2

2

1 2( sin )f m fh

a

h

a

P P

und damit für die ellipsoidische Höhe h hP P= *

( )U U hP P− =0 γ

( )U UP − 0 ist aus hP direkt, hP aus ( )U UP − 0 iterativ zu berechnen, wobei dieBreite ϕ P näherungsweise bekannt sein muß.

VIII.1.2 Normalhöhen über NN

P

Q

Q

ζ P

∆h*

hx

C W WP NN P= −

∆W W Wg NN= −

( )W W Höhedes Punktes PP=

( )W W HöhenreferenzflächeNN=

( )W W ozeanographischesGeoidg=

( )W W U geodä tischesGeoid= =0 0

Q0

CP = geopotentielle Kote∆W = Höhendatum

Man kann zerlegen

U W W W T W W T C W TP P P P P P P0 0 0− = − − = − + = + +( ) ( ) ∆

man zerlegt entsprechend die Integration willkürlich in 3 Teile

U U dh dh dh C W TP

Q

Q

Q

Q

Q

P

P P0

0

− = + + = + +∫ ∫ ∫γ γ γ ∆

mit

C dh H

f m fH

a

H

a

PQ

Q

P P

= =

= − + + − +

∫ γ γ

γ γ γ ϕ

*

* *

( sin )

0

0 02

2

1 2

∆ ∆ ∆W dh H HQ

Q

Q= = =∫γ γ γ* *

T dhP

Q

P

Q= = =∫γ ζ γ ζγ

wobei bezeichnet wird

H* als Normalhöhe∆H* als Datumskorrektionζ als Höhenanomalie

Offensichtlich ist dann mit sehr hoher Genauigkeit

Der Normalhöhe allein kommt keine geometrischeBedeutung zu, jedoch kann aus ihr CP jederzeit eindeutig wieder berechnet werden.

Sind Normalhöhen H* ( Nivellement ) und ellipsoidische Höhe h ( z.B. GPS )gegeben, kann daraus

ζ + = −∆H h H* *

undT W H Q+ = + ⋅∆ ∆( )*ζ γ

berechnet werden.Sobald T ( Satellitenmission ARISTOTELES ) mit sehr hoher Genauigkeit bestimmtist, kann ∆W berechnet werden. Dann wird man Normalhöhen H* ableiten aus

H h H* ( )= − +ζ ∆

und weiträumige Nivellements werden entbehrlich.

h H H= + +* *ξ ∆

VIII.2 Orthometrische Höhen

P

P0

W WNN=

W U= 0

U 0

Q0

P0

∆H

H

N

Die orthometrische Höhe ist definiert als Länge der Lotlinie zwischen dem Punkt Pund der Äquipotentialfläche W WNN=

C g dH HH

g dH HgP

P

P

P

P

= =

=∫ ∫0 0

1

Um g exakt bestimmen zu können, muß die Dichte ρ des Gesteins der Topographiebekannt sein.Zwar gilt die Formel:

h H H N= + +∆

jedoch muß zur Berechnung von N das tatsächliche Störpotential T P( )0 im Erd-inneren bekannt sein, wozu wieder die Dichte ρ des Gesteins der Topographiebekannt sein muß.

Orthometrische Höhen haben daher nur theoretische Bedeutung ; sie wurden früher inder Praxis durch Helmert-Höhen, Niethammer-Höhen usw. als Näherungswerte fürdie orthometrischen Höhen ersetzt.

VIII.3 Sphäroidische Höhen

Da es bei der Entstehung des Deutschen Haupthöhennetzes noch keine transportablenGravimeter gab, konnten keine Schwerewerte gemessen werden. Nach einem Vor-schlag von Helmert kann man daher Näherungswerte für die geopotentiellen Kotenausgerechnen mittels

∆C W W dnAB B A

A

B

= − = ∫~ ~ γ

Der Fehler ( Soll - Ist ) beträgt offensichtlich

f C g dn dn g dnAB∆ = − =∫ ∫∫γ δ

Dieser theoretische Schleifenschlußfehler wurde zusammen mit den Meßfehlern aus-geglichen.Eine darauffolgende Berechnung sog. sphäroidischer Höhen

~H

~ ~ ~C HP P P= γ mit ~~

~

γ γ==

∫1

0Hdz

P z

HP

entspricht offensichtlich der Berechnung der Normalhöhen. Sphäroidische Höhensind als Approximation von Normalhöhen anzusehen ( Wolf, Zfv 1974 ).

IX. Gravitationspotential und Kollokationsverfahren ; Kelvinkugel

IX.1 Grundprinzipien

Als Kollokationsverfahren bezeichnet man die Aufstellung einer speziellen Lösung

einer Differentialgleichung ( im folgenden ∆T = 0 ) derart, daß die Lösung ~T

vorgegebene Informationsdaten f T Qi( , ) in Punkten der Randfläche oder imAußenraum (wo ∆T = 0 gilt) exakt reproduziert:

( ) ( )f T Q f T Qi i;~

;≡

Die Lösung hat die Form einer Summe

f T P b K P Qi

f

ii

(~

, ) ( , )= ∑

also für den zunächst betrachteten einfachsten Fall ( )f T P T P~

,~

( )=

~( ) ( , )T P b K P Qi i

i

= ∑

Die von den Meßpunkten Qi und dem Punkt P, an dem die Funktion berechnet

werden soll, abhängige Funktion K P Qi( , ) wird reproduzierender Kern genannt.Es kann gezeigt werden, daß für Potentialfunktionen, die außerhalb einer sogenanntenKelvin-kugel mit dem Radius R harmonisch sind, der reproduzierende Kern diefolgende, sehr einfache Form haben muß

K P Q k P kr

r rn

n

nn

n

k

P Q

( , ) (cos ) ; ;= ≥ =+

=

∞

∑ σ ψ σ1

0

2

0

wobei ψ der räumliche Winkel zwischen P und Q ist. Für gewisse kn kann dieseReihe aufsummiert werden. Insbesondere ergeben sich für

kn ≡ 1 ( )K P QL

, =σ

kn

n =+

1

1( )K P Q

L

LL , ln=

+ +

− +

σσ

1

1

mit der dimensionslosen Größe

( )L = − +σ σ ψ21

22 1cos

Die Funktionen K P Q( , ) sind die sogenannten reproduzierenden Kerne vonspeziellen Hilberträumen harmonischer Funktionen. In den beiden angegebenenFällen ist eine einfache physikalische Interpretation der Kerne und damit desApproximations-verfahrens möglich.

IX.2 Kelvintransformation und physikalische Interpretation

IX.2.1 Punktmassenmodell

Wir stellen die dimensionslose Größe σin folgender Form dar

σ = =r

r r

r

r

k

P Q

M

P

2

wobei

rr

rM

k

Q

=2

der Radiusvektor eines Punktes M innerhalb der Kelvinkugel mit dem Radius rk ist.(siehe Abb. IX.1)

Abb. IX.1 : Kelvinkugel und Kelvinspiegelung

Es läßt sich einfach nachweisen

σL

rM=

wobei die räunliche Strecke zwischen P und M ist. Man erhält

~( ) ( , )

( , )

( )

( , )T P b K P Q

b

L P Q

b r

P Mi i

i i

i

i M

iiii

i= = = ∑∑∑ σ

Ordnet man andererseits Punktmassen kmi in den Punkten Mi an, erhält man

T Pk m

P M

i

ii

( )( )

( , )= ∑

Vergleich der Koeffizienten der beiden Summen ergibt

b r k mi M ii=

Die zunächst abstrakten Koeffizienten bi (Dimension eines Potentials) lassen sich

also als Punktmassen dividiert durch den Radiusvektor rMi der Postion dieser

Punktmassen interpretieren.

IX.2.2 Massenlinienmodell

Das Potential einer homogenen Massenlinie, angeordnet in Richtung der z-Achse,wird mathematisch beschrieben durch

( )ϕρ

ρP kl

dz kdz

l

km

c

dz

lz

z

z

z

z

z

= = =∫ ∫ ∫1

2

1

2

1

2

ρ ...... Massenliniendichtec ...... Länge der Liniekm ...... Gesamtmasse der Linie

Der Faktor km c/ hat die Dimension eines Potentials. Das Integral hat folgendeLösung( nachprüfen durch Differenzieren ! )

dz

lA B

A

Bz

z

1

2

∫ = − =ln ln ln

mit

( ) ( )( )A z z s z zP P P= − + + −22

2

21

2

( ) ( )( )B z z s z zP P P= − + + −12

1

21

2

In Kugelkoordinaten erhält man für eine Massenlinie, angeordnet in radialerRichtung, folgenden Ausdruck

( ) ( )[ ]ϕ ψPkm

cr rP r r

r

= − +=

ln cos 11

2

Setzt man

r1 0=

( )r r r

r

rM P

K

Q

2

2

= = =σ

erhält man folgenden Ausdruck

( )ϕσ ψ

ψP

km

c

L=

+ −

−ln

cos

cos1

Multipliziert man Zähler und Nenner mit ( )L − +σ 1 , kann man den Ausdruckumformen zu ( )c rM≡ :

( )( )( )

( )ϕσσ

Pk m

c

L

L

km

rK P Q

ML=

+ +

− +=ln ,

1

1

( )K P QL , ist ein weiterer Sonderfall eines reproduzierenden Kerns. Die Massen-linien müssen nicht unbedingt bis zum Kugelmittelpunkt reichen. Setzt man für denunteren Begrenzungspunkt, anstelle von r1 0= ,

( )r

r

r c

rP

M

P

1 =−

= σ

erhält man

( )( )( )

( )( )ϕ

σσ

σ

σP

km

c

L

L

L

L=

+ +

− +−

+ +

− +

ln ln1

1

1

1

bzw.

( )( )( )( )( )ϕ

σ σ

σ σP

k m

c

L L

L L=

+ + − +

− + + +

ln1 1

1 1

Läßt man c gegen Null gehen, bei Beibehaltung der Gesamtmasse, muß sich offen-sichtlich als Grenzwert das Potential eines Massenpunktes ergeben, also :

( )( )( )( )lim ln

c

Mr

c

L L

L L L→

+ + − +

− + + +

→0

1 1

1 1

σ σ

σ σσ

Radiale Massenlinien, die nicht bis zum Erdmittelpunkt reichen, kann man offen-sichtlich gut nutzen, um geophysikalisch vorgegebene Massenanomalien ( z.B.Krustenwurzeln von Gebirgen, abtauchende tektonische Platten usw. ) zu model-lieren. Hierbei wird das Potential von vertikalen Quadern durch radiale Massenlinienapproximiert; die zunächst mathematisch abstrakte Approximationsformeln erhalteneinen geophysikalischen Sinn.

IX.2.2 Planare Formen (Halbraumformen)

Die planaren Formen entstehen durch eine Kelvinspiegelung an einer Ebene,mathematisch ausgedrückt durch

( ) ( ) ( ) ( )z z z z also z z z z BM k Q k M Q k Q− = − − = − − = − +2 2

In planarer Approximation ( lokaler Teil einer Äquipotentialfläche ( Geoid ) wirddurch Horizontalebene als Tangentialebene approximiert ) kann das Störpotential dar-gestellt werden mittels:

( ) ( )T P b K P Qii

i= ∑ ,

mit ( entspricht Punktmassen )

( ) ( )K P Q B s z z BB

Li P P Q, = + + +

=2

21

2

oder mit ( entspricht Massenlinien )

( ) ( )( )K P Q

R z L

B z z Li

P R

Q P

, ln=+ +

+ + +

wobei

( )[ ]L R z sR P P= + +2

2

1

2

( )L B z z sQ P P= + + +

22

1

2

Die Bedeutung der Größen sind folgender Zeichnung zu entnehmen.

*****

Beachte, daß B R, > 0 und z z BP Q, /> − 2 sein müssen, normalerweise sind z zP Q, > 0.Damit sind aus physikalischer Sicht die grundlegenden Informationen zur Form derMassensingularitäten zusammengestellt, allerdings nur für den Fall, daß alsDateninformationen nur Potentialwerte ( )T Q vorliegen.

IX.3 Massenbestimmung

Das Problem der Massenbestimmung führt zur Aufstellung und Lösung eineslinearen Gleichungssystems.Es seien eine Anzahl von Potentialwerten ( )T Qi im Außenraum der Kelvin-Kugel (inder Praxis auf oder außerhalb der Erdoberfläche ) gegeben. Das Potentialmodell

( )~T P ( d.s. als Parameter die Punkt- bzw. Linienmassen ) soll so bestimmt werden,daß die Modellwerte ( )~

T P exakt mit den Potentialwerten ( )T Q in den MeßpunktenQ übereinstimmen, daß also gilt:

( ) ( )T P T Q− =~0

Es sind n Daten ( die Potentialwerte ( )T Q ) gegeben und n Unbekannte ( die Koeffi-zienten b km ri i Mi

= / ) gesucht.Man stellt nun folgendes Gleichungssystem ( mit zunächst unbekannten bi ) auf,wobei in dem mathematischen Ausdruck für ( )K P Q, P Q j= und Q Qi= gesetztwird :

P Q= 1 ( ) ( ) ( ) ( )T Q b K Q Q b K Q Q b K Q Qn n1 1 1 1 2 1 2 1= + + +, , ..... ,

rK → 0 ( ) ( ) ( ) ( )T Q b K Q Q b K Q Q b K Q Qn n2 1 2 1 2 2 2 2= + + +, , ..... ,

P Qn= ( ) ( ) ( ) ( )T Q b K Q Q b K Q Q b K Q Qn n n n n n= + + +1 1 2 2, , ..... ,

Man erhält in Matrizenschreibweise ( die Matrix K ji ist symmetrisch )

T K bj ji

i= i j n, ,= 1

Zwar ist det K ji ≠ 0 stets erfüllt, aber das System wird schlecht konditioniert, wenn

rK → 0 . Die [ ]bi werden mit dem Algorithmus von Gauß bzw. Choleski berechnet.

Formal ist die Lösung

[ ] [ ] [ ]b K Tiji

j=−1

Die mittels der Werte b km ri i Mi= / definierte Potentialfunktion ( )~

T P P erfüllt dieBedingung ( ) ( )T P T Q− =~

0 .

IX.4 Prädiktionseigenschaften

Man beachte, daß das Modellpotential ( )~T P nur ein Modell unter unendlich vielen

Modellen ist, die die Daten exakt reproduzieren würden. Das Ergebniss ist abhängigvon der ( völlig beliebigen ) Form des reproduzierenden Kerns, d.h. von den Koeffi-zienten kn und dem Radius rK der Kelvin-Kugel. Es stimmt sicher nicht mit demtatsächlichen Potential T überein, sondern ist immer nur eine Annäherung an dieses.IX.4.1 Globale Prädiktionseigenschaften ; Minimale Norm

Prädiktionsfunktionen in sog. Hilberträumen mit reproduzierendem Kern weisen alledie sog. Minimum-Norm Eigenschaft auf

minT =

Die Norm ist mathematisch darstellbar entweder durch eine quadratische Form oderein Integral über den Außenraum ΩK bzw. die Oberfläche ω K der Kelvin-Kugel. Alsquadratische Form hat man stets

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]~,T T Q K Q Q T Qi i j j

2 1

=−

Die Integralformen sind verschieden für individuelle reproduzierende Kerne. Für diebeiden bisher behandelten Kerne kann man zeigen

( )K P QL

, :=σ

~ ~ ~T

rgrad Tgrad Td

K

K

2 1

4

1= ∫∫∫π Ω

Ω

( )K P QL

L, ln :=

+ +− +σσ

1

1

~ ~ ~ ~ ~T grad Tgrad Td grad Tgrad TdK K

K K

2

2 2

1

4

1

2= +∫∫∫ ∫∫π π

ωω

ΩΩ

Hierbei ist ( r , ,ϕ λ = Kugelkoordinaten ) gesetzt

( ) ( ) ( )grad Tgrad TT

rgrad T g grad T

~ ~~

~ ~=

+ = +

∂∂

δ2

2

2 2

2

2

und

grad Tgrad Tr

T

r

T2 2

2 21 1~ ~

cos

~=

+

∂∂ϕ ϕ

∂∂λ

d.h. die Integrationen werden über die Quadrate der radialen bzw. lateralen Kompo-nenten des Schwerestörungsvektors durchgeführt. Infolge dieser globalen Prädik-tionseigenschaften ist das Verfahren sehr gut geeignet zur numerischen BerechnungVon Ableitungen aus gegebenen Funktionswerten (numerisches Differenzieren bzw.numerische Gradientenbildung ).

IX.4.2 Lokale Prädiktionseigenschaften ; Radius der Kelvinkugel

Die lokalen Prädiktionseigenschaften hängen ab von:

- dem Verhalten der Datenwerte (von der Natur vorgegeben)- der Verteilung der Meßpunkte (kann der Mensch wählen)- der Form des reproduzierenden Kerns (insbesondere der Größe rk des

Radius der Kelvinkugel)

Es empfiehlt sich i.a., von den Daten eine Kugelfunktionsentwicklung desStörpotentials niedrigen Grades n und Ordnung m abzuziehen.Es empfiehlt sich weiterhin, entweder von vornherein ein einigermaßen regelmäßigesDatengitter anzustreben oder, bei stark unregelmäßig verteilten Meßdaten, einregelmäßiges Datengitter durch Interpolation zu erzeugen.

IX.4.2.1 Stabilitätskriterium

Damit die Interpolationskurve zwischen den Stützpunkten nicht oszilliert, sollten dieHorizontalgradienten in den Stützpunkten nicht zu groß werden. Für den Fall, daß dieDaten ( )T Q auf einer Ebene bzw. auf einer Kugel r R const= = in einemregelmäßigen Gitter angeordnet sind, erreicht man das folgendermaßen; DurchVariation von rK wird ( ) ( )K P Q K, = ψ so gewählt, daß der Wendepunkt der Kurve

( )K ψ mit der Gitterweite ∆ψ übereinstimmt. Der Wendepunkt von ( )K ψ ist starkkorreliert mit dem Radius rK der Bjerhammar-Kugel.

IX.4.2.2 Kriterium des minimalen Prädiktionsfehlers :

Das Verhalten der Daten wird mathematisch durch ihre sog. Kovarianzfunktion be-schrieben; sie ist definiert für Daten auf einer Kugel.

( ) ( )C c Pnn

nψ ψ==

∞

∑0

cos cn ≥ 0

Ihre sog. Halbwertsbreite ψ H ist definiert durch

( ) ( )C CHψ ψ= =1

20

Da die Halbwertsbreiten der beiden bisher behandelten reproduzierenden Kerne fürgleiches σ extrem stark verschieden sind, können durch eine geeignete Linearkom-bination der Form

( )K P Q aL

bL

L, ln=

+

+ +− +

σ σσ

1

1

die Faktoren a und b so bestimmt werden, daß gilt

( ) ( )K Cψ ψ= = =0 0 und ( ) ( )K CH Hψ ψ=

Die so bestimmte Kernfunktion ist eine gute Approximation der Kovarianzfunktionder Daten, die zur Fehlerberechnung benötigt wird. Man beachte, daß hierbei nichtüber den Radius rK der Bjerhammar-Kugel verfügt wird, der ( in gewissen Grenzen )frei wählbar bleibt.

IX.5 Kollokation und Kugelfunktionsentwicklung

In die Summe für das Störpotential

( ) ( )~,T P b K P Qi

i

n

i==∑

1

setzt man ein

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

1

2

31

2 1

0

1

1

1 21

0

) , cos

)

) cos

K P Q k P

r

r

R

r r

Pn

R P R Q S P S Q

nn

nn

n M

P

n

B

P Q

n

n nm nm nm nmm

n

=

=

=

=+

+

=

∞+

+

+ +

=

∑

∑

σ ψ

σ

ψ

und erhält

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~T P b

k

n

r

rR P R Q S P S Qi

i

In

n

M

P

n

nm nm nm nm

m

n

=+

+

= =

∞+

=∑ ∑ ∑

1 0

1

02 1

Vertauschen der Summationen ( immer möglich, solange I ≠ ∞ ) führt zu :

( ) ( ) ( )[ ]~T P

a

rc R P s S P

Pn

n

nm nm nm nm

m

n

=

+

=

∞+

=∑ ∑

0

1

0

mit folgenden Koeffizienten bezüglich einer Referenzkugel mit Radius a

( )( )

( )( )

c bk

n

r

aR Q

s bk

n

r

aS Q

nm ii

In M

n

nm i

nm ii

In M

n

nm i

=+

=+

=

+

=

+

∑

∑

1

1

1

1

2 1

2 1

Man beachte die Ähnlichkeit der Formeln für die Koeffizienten verglichen mit denentsprechenden Integralformeln im Abschnitt IX.4 , insbesondere für kn ≡ 1 undb k ri m M= / ( Punktmassen ). Es ist nur die Integration über die Erdmassen durcheine Summation über Punktmassen ersetzt worden.

IX.6 Gradienten und generalisierte Dipole

IX.6.1 Grundprinzipien und generalisierte DipoleBisher wurden als Stützpunktdaten nur Potentialwerte ( )T Qi betrachtet. Das Kollo-kationsverfahren kann für beliebige Funktionale des Störpotentials verallgemeinertwerden. Im folgenden werden die Komponenten des Schwerestörungsvektors alsStützpunktdaten einbezogen.Es sei der geodätisch relevante Fall betrachtet, daß in einem Stützpunkt Q folgendevier Informationsdaten gegeben sind :

1) der Potentialwert ( )T Q

2) radiale Komp. des Schwerestörungsvektors δ∂∂

gT

rr

Q

= +

3) 1.laterale Komp. des Schwerestörungsvektors δ∂∂ϕϕg

r

T

Q Q

=

1

4) 2.laterale Komp. des Schwerestörungsvektors δϕ

∂∂λλg

r

T

Q Q Q

=

1

cos

Um die vier Daten exakt zu reproduzieren, muß man im Kelvinpunkt Mi vier Wertevorgeben, die zusammen das Störpotential erzeugen. Man wählt

1) eine Massensingularität km2) einen radialen ( generalisierten ) Dipol k rκ3) 1.lateraler ( generalisierter ) Dipol kκ ϕ

4) 2.lateraler ( generalisierter ) Dipol kκ λ

Entsprechend der bekannten Formel für das Potential eines Dipols

( )ϕ κ∂∂

Pn

= −

1

definiert man das Potential für

1) einen rad. ( generalisierten ) Dipol ( ) ( ) ( )ϕ κ∂

∂P k

rK P Qr

M

= − ,

2) 1.lateral ( generalisierter ) Dipol ( ) ( ) ( )ϕ κ∂

∂ϕϕP k

rK P Q

M M

= −1

,

3) 2.lateral ( generalisierter ) Dipol

( ) ( ) ( )ϕ κϕ

∂∂λ

λP kr

K P QM M M

= −1

cos,

Da der reproduzierende Kern i.a. als Funktion der beiden Hilfsgrößen σ und ψausgedrückt wird, werden folgende partiellen Ableitungen ( siehe auch AbschnittIX.4) benötigt:

∂σ∂r rM P

=1 ∂ψ

∂ϕα

Q

QP= − cos∂ψ∂λ

ϕ αQ

Q QP= − cos sin

Mit

∂∂

∂∂σ

∂σ∂

∂∂σr r rM M P

= =1

∂∂ϕ

∂∂ψ

∂ψ∂ϕ

α∂∂ψM M M

QPr

= =1

cos

∂∂λ

∂∂ψ

∂ψ∂λ

α∂∂ψM M M

QPr

= =1

sin

ergeben sich folgende Formeln für die generalisierten Dipole

( ) ( )ϕ Pkm

rK P Q

M

=

, ( )= b K P Qi i,

( ) ( )ϕκ ∂

∂σP

k

rK P Q

r

M

= −

, ( )= b K P Qi i

σ ,

( ) ( )ϕκ

α∂∂ψ

ϕ

Pk

rK P Q

M

QP= −

cos , ( )= b K P Qi QP icos ,α ψ

( ) ( )ϕκ

α∂∂ψ

λ

Pk

rK P Q

M

QP= −

sin , ( )= b K P Qi PQ isin ,α ψ

wobei gilt

( )K P QL

, =σ

( ) ( )K P Q

L

σ σ ψ,

cos=

−13

( )K P QL

ψ σ ψ,

sin=

− 2

3

und entsprechende Formeln für das Potential von Massenlinien.

IX.6.2 Dipolmassenbestimmung

Das Problem der Dipolmassenbestimmung führt ebenfalls zur Aufstellung undLösung eines linearen Gleichungssystems. Zur Aufstellung der Gleichungen hat manzu berücksichtigen, daß nunmehr vier Arten von Daten ( Funktionale ) und vier Artenvon Unbekannten ( Massen bzw. Dipolmassen ) miteinander zu verbinden sind. ZurBerechnung der Koeffizienten für das lineare Gleichungssystem hat manentsprechende Funktionale zu bilden, die in folgender Tabelle aufgelistet sind.

D U\km

rM

−

k

r

r

M

κ

( )T P 1 ( )K P Q, ( )∂∂σ

K P Q,

( )δg P − 1

rP( )∂

∂σK

P Q, ( )∂∂σ∂σ

2 KP Q,

( )δ ϕg P −cosα PQ

Pr( )∂

∂ψK

P Q, ( )∂∂ψ∂σ

2 KP Q,

( )δ λg P −sinα PQ

Pr( )∂

∂ψK

P Q, ( )∂∂ψ∂σ

2 KP Q,

D U\ −

k

rM

QP

κα

ϕ

cos −

k

rM

QP

κα

λ

sin

( )T P 1 ( )∂∂ψ

K P Q, ( )∂∂ψ

K P Q,

( )δg P − 1

rP( )∂

∂ψ∂σ

2 KP Q, ( )∂

∂ψ∂σ

2 KP Q,

( )δ ϕg P −cosα PQ

Pr( )∂

∂ψ∂ψ

2 KP Q, ( )∂

∂ψ∂ψ

2 KP Q,

( )δ λg P −sinα PQ

Pr( )∂

∂ψ∂ψ

2 KP Q, ( )∂

∂ψ∂ψ

2 KP Q,

Aus den angegebenen Formeln sind leicht die entsprechenden Formeln für Linear-kombinationen von Potential und Gradientenkomponenten abzuleiten, z.B. fürSchwereanomalien

∆gT

r rT g

rT= − +

= −

∂∂

δ2 2

Es ist zu beachten, daß bei geeigneter Modellierung die Koeffizientenmatrix stets gutkonditioniert sein sollte. Schlechte Konditionierung weist immer auf das Auftretenvon unerwünschten Oszillationen hin - eine letzte Warnung des Algorithmushinsichtlich nicht sachgerechter Modellbildung.

Geoid X W -...

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