2. anpew. Math. blech. Bd, 28 Nr. ,,8 Juli,Aug, 1R48 S a u e r , Geometrische Bemerkungen zur Membrantheorie - 198

Geometrische Bemerkungen zur Membrantheorie der negativ gekrummten Schalen.

Von Robert Sauer in Weil/Rhein. Der Spannungszustand der negativ gekrutnmten Schalen gehorcht im Netz der Asymptotenli7~ien sehr

einfachen geometrischen Beziehungen und kann durch den Spnnungszus tand von Fadensystenien, welehe ean Netz mi t ebenen Vazprkreuzen, aber nichtebenen Vierecken aufspannen, approxinkiert urerdcn. Als Bei- spiele werden die Spannuitgszustande der Flachen zweiter Ordnung und der Flnchen konstantrn Krummungs- mapes trortert.

The state of tension in shells of negative currature has very simplc geometrical luws regarding the net of asymptotic l i l i es and can be computed approxamately by the stnte of tension in certain thread s y s t e m (nets) in which the threads are forming plane crosses but squares that are not plane. As examples, the state of tension in surfaces of the second degree and in surfaces of a constant cuivature are discussed.

L’ktat d’tlasticite des coquilles de courbure nbgative prisente des propriktks gtoinktriques trks simples dam le r6seau des lignes asymptotipues. II peut &re approchl par l’ltat d’ 1asticitC de deux familles de f i l s formant un rksmu de croix planas et de quadrilatdres gauches. En pr t icu l ier , i l est discuth le cas des sur- faces d u second degr t et celuz des surfaces de courbure constante.

Hanpaxiemoe CocToame 060noqe~ oqmqaaTenmo2i 1 c p n ~ a 3 ~ ~ yAoBneTBopseT oqem npocmm reomeTpHqecmM coomomeumm B c e m acHimmoTmecmx m n A 2 i . ICpoMe TOFO OHO MomeT 6 a ~ b n p a 6 n ~ x e ~ n o npe Rc~asneno HanpaxeHnaM coc-rommem ABYX ncpe- c e ~ c a ~ o ~ q ~ x c s ~ cesie8cTB nmeii, 06pasyro~qux cem D ~ O C K H X KpecToB, HO He I I ~ O C R H X PeTw pexyronbmIcoB. B qacmocm paccMaTpssaeTcn Hanpaxemoe CocTomine nOBepXHOCTei% B T O ~ O ~ O D O ~ H A R ~ M nosepxHocTet noc~oan~oi3 E ~ M B M ~ H M .

Vor kurzem hat Herr W. F 1 ii g g e l) in dieser Zeitschrift die Membrantheorie der negativ gekriimmten Drehschalen behandelt und auf Besonderheiten des Spannungszustandes hinge- wiesen, durch welche sich die negativ gekriimmten sattelartigen von den positiv gekriimmten kuppelartigen Schalen unterscheiden.

In der vorliegenden Arbeit werden nach einer kurzen Vorbemerkung ( S 1) uber die Mem- brantheorie beliebiger Schalen die Spannungszustande der negat iv gekrummten Schalen mit Hilfe des B 1 a s c h k e schen Kraftrisses*) geometrisch anschaulich dargestellt. Die Unter- suchungen beschranken sich nicht auf Drehschalen, sondern gclten fur beliebig geformte negativ gekrummte Schalen ( 5 2). Die Spannungszustande dieser Schalen zeigen im Netz der Asympto- tenlinien sehr einfache Eigenschaften und erscheinen als Grenzfall der Spannungszustande in zwei Scharen gegenseitig verknoteter gespannter Faden, die ein Vierecksnetz mit nichtebenen Vierecken, aber ebenen Vierkreuzen crzeugen. Hieraus ergibt sich ein graphisches Konstruk- thnsverfahren, welches mit geringem Zeitaufwand die Spannungen beliebig vorgegebener negativ gekriimmter Schalen zu ermitteln gestattet.

Als Anwendungen werden die Spannungszustande der negativ gekriimmten Flachen zweiter Ordnung ( 5 3) explizit angegeben und die Spannungszustande der Flachen konstanten positiven KriimmungsmaIJes ( Q 4) geometrisch erortert. In einer Zwischenbemerkung ( 5 3,4) werden aus den fur die negativ gekrummten Flachen zweiter Ordnung aufgestellten Gleichungen komplexe Darstellungen fur die Spannungszustande der positiv gekrummten Flachen zweiter Ordnung hergeleitet.

Q 1. Vorbemerkung. Wir stellen zunachst die spater benotigten Grundtatsachen der Membrantheorie beliebiger,

positiv oder negativ gekriimmter Schalen zusammen und legen dabei- die im folgenden ver- wendeten Bezeichnungen iest.

1, l . G1 e i c h g e w i c h t s b e d i n g u n g e n. Wir iiberziehen die Membran rnit einem Netz zweier

Kurverischaren u = const, v = const und selien vorerst vom Rand der Membran ab. Jedem Membranpunkt z ( u , v) ordnen wir das durch xu, zv bestimmte, im allgemeinen schiefwinkelige Koordinatensystem in der Tangenlialebene des Membranpunktes zu. In diesem von Punkt zu Punkt veranderlichen Koordinatcnsystem (Bild 1) ist Bilil 1

I ) W. F 1 u g g c : Zur Xembrsutheorie der Drchschalen negativer Krun1,nung. Z . angcw. Math. Mech. 25/27 (1947), s. 63-70.

2 , W. B 1 a 8 c h k e: Reriproke EcBfteplsue LU den Spannungen in einer biegsamen Haut. Intern. Congress of Mathc- mzticians Cambrigde, 1912. - M. L a g a 1 1 y: Uber Spznnung uud elastische Deformation ron unebenen Membrenen. 2. angew. Math. Mech. 4 (1924). S. 377-383. - R. S a u e r : Projektive Liniengeometrie ( I 31, S. 161-163). Berlin und Leipzig, 1937,

199 Z. angew. Math. Merh. B, l , 28 Nr, J, , , i ,*,, fi, 19JR S a u o r , Geometrischo Bemerkungen zur Membrantheorie

-

und allgemein (a11fv+a12~,)du-(a22 E ~ + o ~ ~ F ~ ) ~ ~ = Spannungskraft am Linienelement dE= fudu+Eudv (2). Die auf die Langeneinheit reduzierten und auf die Einheitsvektoren . xu -- , ?- hv bezogene Span-

z11 = a11 i Q 3 , z12 ;=1 0 1 2 , 2 2 1 = ~ 2 1 , 2 2 2 = $2 ] / E T (3) ;

IEuI I E D I nungen sind gegeben durch

. . . . . . iiber dic Retleutung von h' und G vgl. G1. (6). Wir bezeichnen Zll, ZZ2 als ,,Querspannungen" und P2, Z21 als ,,I.angsspannungen".

Die Gleichgewichtsbedingungen der an den vier Seiten cines elementaren Parallelogramms von Parameterkurven (vgl. Bild 1) angreifenden Spannungskrafte liefern

Mit Hilfe der Ableitungsgleichungen von G a u 13 3, kann man die zweiten Ableitungen von durch den Normalenvektor n und die ersten Ableitungen von F linear ausdrucken. Durcli Kullsetzen der Faktoren von n, xu und xu ergeben sich dann aus der Vektorgleichung (l i2) die drei Glcichungen von L e c o r n u und 13 e 1 t r a m i

(j),

( 6 ) .

I 0 a~2+u~-((FG~---2GF,+GGu)a11+2(GE,--FGu) u12+ (GE,-2FF,+FE,) 02 + 0:' + (EG, - - 2 F(Fv + FG,) all + 2 (EG, -- Fh',) a12 - (FEU - 2 EFu + EE,) nz2 = 0

niit den in der Differentialgeometrie iiblichen Bezeiclinungen G = ~2 .- } E = $ 3 F = xu x u , . . . .

L = ( F u X E D ) Ziu, ill= (Su X F u ) b u o , N = ( F u X X u ) Eoo

1,2. C 11 a r a k t e r i s t i k e n. Aus den Gln. (5) erhalt man durch Elimination der Langsspannungen a12 zwei partielle

Differentialgleiehungen erster Ordnung fur die Querspannungen all und aZ2, namlicli

. . . . . . . . . (7). I N a:' - 2 M at' + L uia = a,, a11 +a12 $2

La: - 2 Ma:' + N a:' = aZ2 aZ2 +asl all

Die aik sind Funktionen von E, F, G , L, M , N und deren Ablcitungen. ])as System (7) hat als Charakteristiken die Asymptotenlinien

der Membran, d. 11. diejenigen Flachenkurven, deren Tangenten die Membran ,,dreipunktjg" beriihrend durchsetzen und deren Schmiegebenen zuglcich Tangentialebcnen dcr Membran sind.

Die Asymptotenlinien sind bei positiv gekriimmten Membrancn (LN - M 2 > 0) imaginar, bei negativ gekriimmten Menibranen (LN -- M 2 < 0 ) reell. Infolgedessen ist das Spannungs- problem bei positiv gekriimniten Schalen vom elliptischen und bei negativ gekrummten Schalen voni hyperbolischen Typus. Diesem Typenunterschied entsprechen die von W. I; 1 ii g g e l) erwiihnten Besondcrhciten hinsichtlich der zuliissigen Randbedingungen.

L d u2+ 2 M d u d V + N d v2 = 0 . . . . . . . . . . . . (8)

1,3. K r a f t r i 13. Nach G1. ( I 2 ) la13t sich unter Voraussetzung von u11a22# (a12)2 durch

gu = a11 xu + 0 1 2 xu, - go = d2 E u + d 2 fo . . . . . . . . . (9) bis auf cine beliebige Parallelverschiebung cine Flache g = t~ (u, v) definieren. Diese Flache stellt nacli B 1 a s c h k e 2, den ,,Kfaftrifl" der in der Membran herrschenden Spannungsvcrtei- lung in folgendem Sinne dar :

Wenn man die Flachen ( h ) und (9) durch gleiche Parameterwerte u, w punktweise aufein- ander bczieht, licfert das Linienelement

d L ) = Q , d U + ~ , d W = ( U ' 1 E U f a ' 2 ~ , , ) d U - ( ( a 2 2 E u + U ' 2 ~ u ) d W

dcr Flache (9) die an dem entsprechenden Linienelement d x = xu d u + xu dv der Fltiche ( E ) wirkende Spannungskraft. Wenn man also den Kraftriss (9) kennt, ist dadurch der Spannungs- zustand der Membran (x) bestimmt. Kach G1. (9) sind die Tangentialebenen in entsprechenden Punkten der Flachen ( F ) und (g) zueinander parallel.

a) Vgl. z. U. W. B 1 a B c h k e: I~ilf~r~ntialgeornetrie I, Berlin 1945.

2. ansew. Math. Mech. Bd. 28 Yr., ,8 J,l,i,Aug. 1948 200 S a u e r , Geoxnetrische Bemerkungen zur Meinbrantheorie

8 2. Spannungszustiinde negativ gekrummter Schalen. 2,l. K r a f t r i O n e g a t i v g e k r i i m m t e r S c h a l e n .

Im Falle der negativ gekriimmten Schalen (g), den wir fortan betrachten, ergeben sich besonders einfache Beziehungen. Man kann dann narnlich die Asymptotenlinien der Mem- branschale als Parameterkurven zugrundelegen und erhalt nach GI. (8)

. . . . . . . . . . . . L=N=O, N # O . . (10). Hiermit spezialisieren sich die Gln. (5) zu

@= 0 1 CT~-(FG~-~GF~+GG,)IJ"+(GE,-~FF,+FE,)~~~ = 0 . . . . . ( l l ) , oh' + (EG, - 2 FF, +FG,) 011 - (FEU - 2 EF, + EE,) 022 = 0 J

und die Gln. (9) zu k)zr=all&, t J v = - - 0 2 2 F u . . . . . . . . . . . . . (12).

Gl.(11) sagt aus: D a s A s y m p t o t e n l i n i e n n e t z e i n e r n e g a t i v g e - k r i i m m t e n S c h a l e i s t f u r j e d e n S p a n n u n g s z u s t a n d e i n r e i n e s Q u e r s p a n n u n g s n e t z , d. h. d i e L a n g s s p a n n u n g.e n v c r s c h w i n d e n.

Die Gln. (12) liefcrn folgende kennzeichnende geometrische Beziehung zwischen Schale und KraftriD: D a s A s y m p t o t e n l i n i e n n e t z e i n e r n e g a t i v g e k r i i m m - t e n S c h a l e u n d d a s e n t s p r e c h e n d e K u r v e n n e t z d e s K r a f t r i s s e s s i n d r e z i p r o k - p a r a 1 1 e 1 a u f e i n a n d e r b e z o g e n (Bild 2), d.h . d i e L a n g s - t a n g e n t e n d e s e i n e n N e t z e s s i n d p a r a l l e l z u d e n Q u e r t a n g e n t e n d e s a n d e r e n N e t z e s .

Bild 2.

Aus den Gln. (12) und (10) folgt

Dies besagt: D a s d e n 1 A s y m p t o t e n l i n i e n n e t z d e r M e m b r a n e n t - s p r e c h e n d e K u r v e n n e t z d e s K r a f t r i s s e s b e s t e h t a u s z w e i k o n - j u g i e r t e n K u r v e n s c h a r e n , d. h . l a n g s j e d e r N e t z k u r v e b i l d e n d i e Q u e r t a n g e n t e n e i n e a b w i c k e l b a r e F l a c h e .

2,2. D a r s t e 1 1 u n g d e r A s y m p t o t e n 1 i n i e n n e t z e d u r c h F a d e n n e t z e. Da die Asyniptotenliniennetze nur Querspannungen besitzen, kann man sie in beliebiger

Annaherung durch Netze gegenseitig verltnoteter und an den Rdndern in entsprechender Weise eingespannter Faden realisieren. Die gespannten Faden verlaufen zwischen aufeinanderfolgen- den Knotenpunkten geradlinig und erzeugen ein Netz geradlinig begrenzter, jcdoch im allgenieinen nicht ebcner Vierecke. Jeder nicht am Rand liegende Knotenpunkt des Netzes ist Mittelpunkt eines Vierkreuzes, das die von dem Knotenpunkt ausgehenden Vierecksseiten als Kreuzarme hat.

Wir bezeichncn mit h den Abstand einer Ecke eines Netzvierecks von der Ebenc durch dic drei anderen Eclten und mit k den Abstand des Endpunkies cines Kreuzamies von der Ebcne durch die Endpunkte der drei andercn Arme des Kreuzes. Wenn man dann zu immer feiner- maschigen Fadennetzen iibergeht, wird h klein .wie c2, k dagegen wie E~ ( E = Lange einer Vier- ecksseite) ; denn die Schmiegebenen der das Netz aufspannenden Asymptotenlinien fallen mit den Tangentialebenen der vom Netz iiberdeckten Flache zusammen. Daraus folgt :

L) a s A s y m p t o t e n 1 i n i e n n e t z e i n e r n e g a t i v g e k r ii m m t e n S c h a l e k a n n m i t b e l i e b i g e r G e n a u i g k e i t d u r c h e i n v o n g e s p a n n t e n u n d g e g e n s e i t i g v e r k n o t e t e n F a d e n e r z e u g t e s N e t z m i t e b e n e n V i e r - k r c u z e n , a b e r i m a l l g e m e i n e n n i c h t e b e n e n V i e r e c k e n a n g e n a - h e r t w e r d e n.

( t ) u X t ) v ) t ) u v = - ( ( 0 1 1 ) 2 a 2 2 ( g , X xu) g , v = ( 0 1 1 ) 2 P N = 0 .

201 Z . angew. Math. Mech. Bd, ?R Nr, 7,8 Ju,i,Auq. ,948 S a u e r , Geometrische Bcmerkungen zur Membrantheorie

2,3. K r a f t e p l a n e d e r F a d e n n e t z e . Die Aufgabe, den Spannungszusland einer negativ gekriimmten Menibranschale fur vor-

gegebene Randbedingungen zu ermitteln, larjt sich hiernach zuriickfuhren auf die entsprechende finite Aufgabe fur die Fadenspannungen in einem Fadennetz mit ebenen Vierkreuzen. Man lost sie mit den bekannten Mitteln der graphischen Statik, indem man zu dem vorgegebenen Fadennetz als ,,Lageplan" einen ,,Krafteplan" konstruiert (Bild 3).

Bild 3.

Lageplan und Krafteplan haben paarweise parallele Seiten und entsprechen sicli reziprok derart, daB jedem Viereck der einen Figur ein paralleles Vierkreuz der anderen Figur entspricht und umgekehrt. Die Seiten des Krafteplans liefern die Spannungen fur die entsprechenden Seiten des Fadennetzes und damit naherungsweise die Querspannungen fur das Asymptoten- liniennetz der vorliegenden negativ gekrummten Membranschale.

Bei Vorgabe geeigneter Anfangsbedingungen Iarjt sich der Krafteplan Punkt fur Punkt durch Ziehen paralleler Linien konstruieren. Wenn man beispielsweise als Anfangsbedingungen den Spannungszustand Iangs eines Breitenkreises einer Drehschale vorschreibt, so sind dadurch die Knotenpunkte langs einer Diagonallrurve des Krafteplans festgelegt. Man uberzeugt sich leicht, darj dann der ganze Krafteplan eindeutig bestimmt ist.

Wahrend das Fadennetz ebene Vierkreuze, aber nicht ebene Vierecke enthalt, besitzt der parallel-reziproke Krafteplan ebene Vierecke, aber nicht ebene Vierkreuze. Beim GrenzprozeB fortgesetzter Verkleinerung der Maschenweite streben die Krafteplane gegen den KraftriB der Membranschale und die Querlinienfolgen in den Streifen aufeinanderfolgender ebener Vierecke der Krafteplane gegen abwickelbare, den Kraftrirj beriihrende Flachen. Infolgedessen besteht das dem Asymptotenliniennetz der Membranschale entsprechende Kurvennetz des Kraftrisses, wie in Q 2,l bereits auf anderem Wege erkannt wurde, aus zwei konjugierten Kurvenscharen.

Fur differentialgeometrisch interessierte Leser sei hinzugefugt, darj die hier benutzten Kraftplane sowie die entsprechenden konjugierten Kurvennetze des Kraftrisses ,,wackelig" *) s), d. h. bei Starrhaltung der Netzvierecke bzw. bei Erhaltung der Konjugiertheit der beiden Kur- venscharen infinitesimal verbiegbar sind.

.Q 3. Spannungszualande negativ gekriimmter Hyperboloide und Paraboloide. 3 , l . A s y m p t o t e n l i n i e n d e r n e g a t i v g e k r u m m t e n F l a c h e n z w e i t e r

0 r d n u n g. Als erstes Beispiel behandeln wir die Spannungszustande der negativ gekriimmten Flachen

. . . . . . . . . (13) zweiter Ordnung s), d. h. der geradlinigen Paraboloide

42 = a2 x2-b2 y2 = ( a x + b y) (ax - -b y) und der geradlinigcn Hyperboloide

x2 y2 22 - + - - - = 1 . . . . . . . . . . . . . . a2 b2 c2

. (14).

Diese Flachen besitzen zwei Scharen gerader Linien, welche gleichzeitig die Asymptoten- linien sind. D i e A s y n i p t o t e n l i n i e n n e t z e u n d d i e s i e a p p r o x i m i e - r e n d e n F a d e n n e t z e s i n d a l s o G e r a d e n n e t z e .

Aus den Gln. (13) und (14) ergeben sich die Parameterdarstellungen der geradlinigen Paraboloide

u +.v u-w a b

$=- , y=--, X = U W . . . . . . . . . . . . (15)

urid der geradlinigen Hyperboloide

2= __ , y=- b sin 6 . z = c t g o . . . . . . . . . , acos 6 cos w cos 0

') R. S a u o r: Wackelige Kurvennetze bei einer infinitesimalen Fltichenverbiegung. Math. Ann. 1933, S. 673--693. K, Vgl. hierzu G . D a r b o UX: ThOorie des surfaces IV ( L i v e 8), Paris 1896.

Sa u e r , Geometrische Rerxierkungon zur Membranthcorio B,,. 2R ~ ; , ~ ~ ~ ; , $ & , ~ ~ . & - -. 202

Setzt man dann noch u -4- 21 u- v

2 2 6 = -- , (0 .= . . . . . . . . . . . . . (1 7),

so sind in beiden Fallen die Paramcterkurven u = const, v = const die Asymptolenlinien.

3,2. K r a f t r i r J d c r n c g a t i v g e k r i i n i m t e n F l a c h e n z w e i t e r O r d n u n g . Wegen der reziprok-parallelen Zuordnung nach 3 2,l entspricht einer gcradlinigen Asyrn-

ptolenlinie einc Schar paralleler Qucrlangcnten des Kraflrisscs. 1)araiis folgt : I ) e m g c r a d l i n i g e n A s y m p t o t e n l i n i e n n e t z e i n e r n e g a t i v g e -

k r i i n i m t e n F I a c h e z w c i t e r O r d n u n g e n t s p r i c h t i m K r a f t r i l J e i n T s c h e b y t s c h e f f - K e t z , d . 11. e i n v o n z w e i S c h a r e n p a r a l l e l e r u n d k o n g r u e n t e r K u r v e n e r z e u g t e s N e t z . D i e K r a f t e p l a n e d e r d a s A s y m p t o t e 11 1 i n i e n n e t z a p p r o x i m i e r c n d e n 11 a b e n a 1 s V i e r e c k s m a s c h e n P a r a 1 I e 1 o g r a In m e.

Ilie Geraden der I~araboloide (13) sind zu der Ebene a z + b y=O bzw. uz-by = 0 parallel. Infolgedesxn ha t das T s c h e b y t s c h e f f -Nctz des Kraftrisses ehene Kurven als Erzeugcnde. Im Fall der I Iypcrboloide (14) werden dic 1' s c h e b y t s c h e f f -Ketze von nicht cbenen Kurven erzeugt.

huf Grund tier parallel-reziproken Zuordnung kann man die Kraftrisse der geradlinigcn Paraboloide und Hyperboloide sofort explizit angebcn :

Ilurch Differentiation nacli den Pararnetern u, w erhalt man aus GI. (15) fur die Tan- gentenvektoren der Paraboloidc

F a d e n n e t z e

- I : I 1 . . . . . . . . . . . 1 1 &=a -- u (18),

und aus GI. (16) und (17) fur die Tangcntcnvektoren der Hyprrboloide

2 cos2 w ztr = - - a sin v I + 6 cos v I + c 1 2cos2wzD== - u s i n u l + b c o s u / - c I . . . . . . . . . (19).

Die Tangentenvektoren qu, tjt, dcr Kraftrisse sind nach GI. (12) zu den Vektoren xu, xu parallel. AurJerdern mull sich t) (u, v), um ein T s c h e b y t s c h e f f -Netz zu erzeugen, als Summe p (u) + q (v) eines nur von u abhangigcn und eines nur von v abhangigen l'ektors dar- stellen lassen. Dies liefcrt als KraftriW der Paraboloide

t ) = - ( U d u + V d v ) .. $I (Uudu+Vvdv) . . . . (20) a 'I

und als Kraftrifl dcr Hyperboloide

( U sin ti du +V sin v dv) ( Ci cos u du + V cos v do) 1 - -:I ( Udu.--Vdv) (21).

Hierbei sind U ( u ) und V(v) willkurliche Funktionen, die aus den vorgegebenen Anfangs- und Handbedingungen bestimmt werden miisscn.

3.3. B e r e c h n u n g d e r S p a n n u n g s v e r t e i l u n g e n. Aus den Gln. (20) und (21) ergibt sicli gernaI3 GI. (12) fur die Paraboloide die Spannungs-

verte i I u n g

und fiir die Hyperboloide u*l = zi (u), a 2 2 = - V (v) . . . . . . . . . . . . . (22 )

V (v) cos2 w . . . . . . . . . (23). 0 1 1 = u (u) cos2 w , $2 = --

Wir betrachtcn den von F I ii g g e behandcllcn Fall der Ilrehhypcrboloide etwas naher und hahen dann in GI. (21) a = 6 zu setzen. J3eirn Ubergang vorn u, v-Netz der Asymptoten- linien eum o, 6-h'ctz der Ureitenkreisc und Meridiane erhalt man fur die Qucr- und IAngs- spannungen an den Breilenkreisen

2 a'" = - (.I1 +a=) = - ( u - V ) eos2 w , 2 0 ' 1 2 .11- .22 = ( U + V ) cos2 w

und nach Reduktion auf die 1,angeneinheit gerna0 GI. (3) in den F 1 u g g e sclien Bezeichnungen

(a = r cos w , cotggj = - sin w ) a . C

203 Z. angew. Math. Mech. Rd 28 Nr, ,,8 Jul,,Aua ,elA

Wenn man nun am Kehlkreis die Anfangsbedingungen (N,&=,,= S,, cos n 8 ,

vorsclircibt, so sind dadurch die Funktionen

S a u e r , Geornetrische Bemerkungen zur ?rlenibrantheorie -

(Npa)r=a= T, sin n 8

a 2 U = - -- 8, cos n u + T,, sin n u ,

2 V = +-h' , ,cosnv+T,sinnv

festgelegt und man crhiill nach elementaren Umforrnungen die Ergebnisse von F 1 ii g g e.

C

a c

3,4. Z w i s c h e n b e m e r k u n g u b e r p o s i t i v g e k r i i m m t e F I A c h e n z w e i t e r O r d n u n g .

Aus den in 5 3,l und 3,2 durch geometrisclie Ubcrlegungen gewonnenen Beziehungen kann man in komplexer Schreihweise entsprechende Formeln fur die positiv gckrummtcn Fla- chcn zweiter Ordnung folgcndermal3en gewinnen :

Ini Falle des elliptischen Paraboloids

ersetzt man die Paramctcrdarstcllung (15) durch

. . . . . . . . . . . . . . 4 z = a2 x2+ b2 y2 . (24)

a x + i b y = 2 w , z = w & . . . . . . . . . . . . . (25). w ist ein komplexer Parameter und vertri t t die zwei reellen Parameter U , v der Gln. (15);

k; ist die zu w konjugiert-komplexr GroBe. Die Gln. (20) des Kraftrisses sind zu ersetzen durch

II tJ = - ( W d w + i t d ii) I 4 j- ( w d w -- I? d li') ( w w d w + 16% d G ) , a ' S I b

wobei W eine willkurliche analytische Funktion der komplexen Vcriindcrliclien tu ist. Bezciclinet man die Komponenten des Ortsvektors t) des Kraftrisses mit t,q, 5 und lxnutzt s t a t t w die

willkiirliche Funktion 2 J W d w = - , so ergibt sich fur den KraftriB die integrallose Darstcllung d Q d w

. . . . . . . . . . (26). d w 1 a [ - i b q = - -

d w ' Ini Falle des zweischaligen Hyperboloids

(27) 2 2 y" 2 2 = 1 _ _ _ _ . . . . . . . . . . . . . . a2 6 2 c2

ersetzen wir die Gln. (16) und (17) durch a cos i6 ' ibs in i6 x=-- - 9 y= , z = c t g w ; u=w+i8, w-eiu

cos w cos w und erhnlten damit die koniplexe Parameterdarstellung des Hyperboloids ,. whir-1 . w - w

z z = c -- w & + l w + i i ' w + i i ' w +;; x = a - - . IJ= b-- . . . . .

Die Gln. (21) des Kraftrisses sind zu ersetzen durch

. (28).

Nach elernentaren Umforrnungen erhalt man hieraus f iir die Koordinaten des Kraftrisscs

2 2 y2 2 2 - + - + - - = 1 . . . . . . . . . i . . . . . (30) a2 b2 c2

setzen wir analog bsin 6 a cos 6

cos io ' cos i r * y = ~- , z = i c t g i o ; u = 6 + i w , w = e i u x=- --

und erhallen dann die komplexe Pararneterdarstellung 2 W w & - - - 1 (31). 2+i?=-- z = c - - - . . . . . . . . . . .

a b w & + l ' w & + l

2. anaew. Math. Mrch. S a u e r , ckometrisehe Bcmerkungon zur Membrantheorie Bd, 28 Nr, ,,8 J,,ii,A,lg, .- ._ -

204

Fur den Kraftrifl ergi1)t sich

und nach elementaren I'mformungcn

Durch die Gln. (25), (26) bzw. (28 ) , (29) und (31). (33) sind alle nioglichen Spannungs- zustande der positiv gekrurnmten Fliichen zweiter Ordnung cxplizit gegeben. Die willkiirliche Funklion W (20) mulj aus tlvn Randbedingungcn bestiinmt wwden.

Irn Spezialfall tler Kugel ( a = b = c) ergcben sich als Kraftrisse Mini~nalflachen~); die Gln. (32) liefern die W e i c r s t r a s s sche Darstellung der Minimalflachcn ".

Analoge kornplexe Darstellungen sind stets moglich, wenn die C~harakleristiken geradlinig sind oder ein T s c h e b y t s c l! c f f - S e t z bilden s). Mali verglciche bcispiclswcise die kom- plexen Darstcllungcn der stationaren cbcncn Untcrschollslriimun~ i d e a l ~ r Gasc niit cP/cu = - 1 und der stationaren linearisierten konischcn Cbcrschallstromung ?)

f$ 4. Spannungsznstande pse,udosphZiriseher Fliichen. 4 , l . A s y ni p t o t t n 1 i n i e n d e r p s c u d o s p h a r i s c h e n I: l a c h e n.

".

Als zweites Beispiel lictrachten wir (lie Spannungszustande dcr pseudospharischen Vlachen, d. h . tler Flachen konstanten negativcn Iiriimniungsmal3es. Nach einem bekannten Satz der Differentialgeometrie bildcn die Asymptolenlinien der pseudosphiirischen Flachen ein 1 s c h e - b y t s c h e f f -Netz. Darausfolgt: D i c A s y m p t o t e n 1 i n i e n n e t z e d e r p s e u d o - s p h a r i s c h e n F l a c h e n w e r d e n d u r c h F a d e n n e t z e m i t n i c l i t e b e n e n P a r a 1 l e l o g r a rn m e n a 1s Ir i e r e c 1;s In a s c l i e n (- u n d w i e d e r e b e n e n V i e r k r e 11 z e n -) a p p r o x i ni i e r i .

T s c h e b y t s c h e f I -Nctze bzv. \'ierccksnetze mit Parallelogrammen als Maschen traten aucli bei den Kraftnsscn der FIHchen zweiter Ordnung auf ($3,2). Jedoch hatten wir tlort im Gcgensatz zu hier 'r s c h e b y t s c 11 e I f -Xetze rnit konjugicrtcn Kurven und dem- gernaD ebene Parallclogramme.

4,2. K r a f t r i W t l e r p s e u d o s p l i a r i s c h e n F l a c h e n . Aus Symmetriegriinden sind in einem nicht ebenen Paral-

lelogramm die gegeniiberliegeqden Winkel paarweise gleich , (Bild 1). Bci der reziprokparallelen Zuordnung entspricht daher einem nicht cbenen I'arallelogramm ein niclit ebenes Vicrkreuz init paanwise glcichcn Scheitclwinkeln (0: 12 = Q 34 = B,

Q 23 = + 41 = f l . In diesen ,,symmctrischen Vierkrcuzcn" sind auch die Keilwiiikcl paarweisc gleich (4 12/23 = Q 341.41, Q 23/31 = 4 41/12) und die Streckenpaare 1,3 und 2,4 haben die Schnit tliiiie ihrer Ebenen als gcrncinsamc. Halbierende der Win-

k e l 3 13 und C: 24. 1)nraus folgt : I> i e 1' a d e n n e t z e m i t n i c h t e b e n e n P a r a 1 1 e - l o g r a m m e n l i a b e n a l s K r i i f t c p l i i n e V i e r e c k s n e t z e m i t n i c h t e b e - n e n , a b e r s y m m e t r i s c h e r ~ V i e r k r e u z e n .

Bcim Grenzubergang zu immer feincrniaschigen Xetzen streben die Winkelhalbierenden sowohl gegen die Flachcnnorrnalen des Kraftrisses als auch gegen die Hauptnormalen dcr Ketz- kur\.cn. Infolgedesscn crhalt man als Netzkurven geodatische Linien. Es gilt also der Satz: D e m e i n e r F1 a c h e e n t s p r i c h t i r i i K r a f t r i f l t i n N e t z k o n j u g i e r t e r g e o d a t i s c h e r 1- i n i e n.

Die Fliiclwn mit einem Netz konjugiertcr geoditischcr Linicn sind in tler Differeniialgeo- metric unter dcm Xamen I' o s s sche l%ichrn nithrfach untersucht wordcn lo).

4 a [q +

9 4. Rilrl 4.

A s y ni p t 0 t e n 1 i n i e n n e t z p s e u d o s p h a r i s c h e n

-_ ___ ') It. S u e , r : Ilcmerkuwen zur Charakterist.ikeiitheoric d t r part irllrn I)ilferrnti~11uIci~~hunpi~n zwritrr Ordnung. Z .

') T 8 c h a p 1 i g i n : Wiss. A m . Unir. Moskau. Mat.b. Phys. 21, (1904) S. 1-121 ; vgl. hierzu It. S a u e r: Theor.

*) A. 1% u s e m B n n : Ilifinitesimale kegelige ~berschallst,riimuug, Schriften der Akad. der Luftfahrtforwhuns, Bd. 713,

') W. D. H a y c 8: Linearized conical supersonic flow.

Math. Ann. 105, S. 499-535, insbesondere S. 534jD.i (1931).

Eiogegaugcn 24. S o v . 1947.

angcw. Math. Mcch. 83/27 (1947), S. 161-158.

Einf. i n die Gasdynaruik S. 104, Berliu (1943).

HcIt 3 (1943). S. 105-120. Quart. .4ppl. Math. USA, Oct,. 1946, 4, S. 255-261.

lo) Vgl. 8. B. H. G r a f und H. 9 a u e r: Ubcr FI!S(:hcnvcrbicgung in Analogie ziir Verknickung offener FacettenflBchc.