Geometrisches Gravitationstheorem

W.Westenberger - 1 - Geometrisches Gravitationstheorem

Wolfgang Westenberger

Geometrisches Gravitationstheorem

In einem an einen Punkt A angrenzenden Areal punktsymmetrisch (kreisflächig oder kugelförmig) verteilte gravitierende Massen haben ihren auf A bezogenen Gravitationsschwerpunkt (Wirkpunkt) nicht im geometrischen Schwerpunkt Z ihrer Masseverteilung.

Begründung ist die Quadratregel der Gravitation: Die Gravitationswirkung einer Masse nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab, also proportional m / r².

2. Februar 2012


Inhaltsverzeichnis

1 EINFÜHRUNG 3

2 GERADE AZ 4

3 KREIS UND KREISFLÄCHE 8

4 KIPPUNG DER KREISFLÄCHE: KUGEL 20

5 DISKUSSION UND ANWENDUNG AUF DIE GALAKTISCHE SCHEIBE 21

6 ABKÜRZUNGEN 24

7 ZUSAMMENFASSUNG 25

8 SUMMARY 26

9 LITERATUR 27


1 EINFÜHRUNG

Ist der über die Zeit eines Umlaufes aufsummierte Gravitationsschwerpunkt eines kreisförmig mit konstanter Geschwindigkeit um ein Zentrum kreisenden Objekts für einen Beobachter außerhalb dieses Umlaufkreises in diesem Zentrum zu lokalisieren?Und kann man annehmen, dass sich die Masse einer an einen Punkt angrenzenden Kugel bezüglich der Gravitationswirkung auf diesen Punkt so verhält, als ob alle Masse im geometrischen Zentrum vereinigt wäre?

Es wird gezeigt, dass beide Behauptungen mathematisch nicht haltbar sind .

Geometrisches Gravitationstheorem: In einem an einen Punkt A angrenzenden Areal punktsymmetrisch (kreisflächig oder kugelförmig) verteilte gravitierende Massen haben ihren auf A bezogenen Gravitationsschwerpunkt (Wirkpunkt) nicht im geometrischen Schwerpunkt Z ihrer Masseverteilung.

1.1 Konstruktion des Standardkreises, Berücksichtigung von Masse und Gravitation.Wir konstruieren einen Kreis um einen Punkt Z mit Radius R. Wir legen eine senkrechte Gerade durch Z, den unteren Schnittpunkt mit dem Kreis nennen wir A.Diese Gerade AZ bildet zusammen mit der dazu Senkrechten durch Z die beiden Orthogonalen.Diese werden ergänzt durch die beiden Diagonalen durch Z mit dem Winkel 45°. Orthogonale und Diagonale werden als Hauptdurchmesser bezeichnet. Die Schnittpunkte eines beliebigen Kreises um Z mit den Hauptdurchmessern werden als Kardinalpunkte des jeweiligen Kreises bezeichnet. Diese Kardinalpunkte werden in mathematisch positiver Richtung durchnummeriert von 1 bis 8, beginnend mit 1 für den Schnittpunkt eines beliebigen Kreises mit der Strecke A_Z. Der Kreis kann noch unterlegt werden mit einem Koordinatensystem mit Z = 0/0, welches den Radius R in 8 Längeneinheiten unterteilt, so dass dem Punkt A die Koordinaten 0/-(8/8) zugeordnet werden können.

Im Folgenden wird der Versuch gemacht, einen beliebigen Kreis um Z mit Radius kleiner als R durch die Berechnung der gravitativen Wirkung von repräsentativen Einzelpunkten dieses Kreises so zu charakterisieren, dass die Gravitationswirkung des gesamten Kreises zuverlässig abgeschätzt werden kann. Im nächsten Schritt kann dann die Wirkung der gesamten Kreisfläche auf A beurteilt werden. Grundsätzlich gilt, dass die gravitative Wirkung kreisförmig angeordneter Masseobjekte um so besser definiert wird, je mehr Einzelpunkte für die Berechnung verwendet werden.

Die Gravitationswirkung einer beliebigen Masse ist proportional zu m / r² (Quadratregel der Gravitation).Ein Objekt mit der Masse 1 (Einheitsmasse) in Z hat auf ein Objekt im beliebigen Abstand r eine Gravitationswirkung (Gravitationsfeldstärke) W proportional zu 1/r² . W = G * m / r² G ist die Newtonsche Gravitationskonstante mit der Einheit [m³ / s² kg]. Die Gravitationsfeldstärke beschreibt die lokal wirksame Gravitation, ihre Einheit ist [m / s²] oder [N / kg].


Zur vereinfachten Darstellung der Gravitationswirkung an einem definierten Ort erfolgt hier die Definition einer geometrischen Gravitationseinheit GGE:Eine Masse von 1 bewirkt im Abstand R, entsprechend der Strecke A_Z,die Gravitation W = G*1/R² = 1 GGE [N / kg].(Auf die Notation der Gravitationskonstanten wird im weiteren Text verzichtet.)

Addierte Wirkung:Zwei Objekte von jeweils der Masse 1 in Z bewirken auf den Punkt A eine Gravitation von 2 GGE.

2 GERADE AZ

2.1 Vermutung (auf der Grundlage des invers-quadratischen Abstandsgesetzes): Zwei auf einer Verbindungslinie durch A und Z liegende, zu Z punktsymmetrische Objekte gleicher Masse mit Abstand von Z < R haben gemeinsam eine höhere Gravitationswirkung auf A als zwei Objekte derselben Masse in Z.Berechnung: Ein Objekt der Masse 1 im Abstand R/2 von A bewirkt 1 / (R/2)² = 4/R² = 4 GGE.Ein gegenüber vom Zentrum liegendes Objekt im Abstand 3R/2 von A bewirkt 1 / (3R/2)² = 0,44/R² = 0,44 GGE.

Die addierte Wirkung beider Massen beträgt (4+4/9) /R² = 40/9R² = 4,44 GGE .Beide Massen zusammen im Kreismittelpunkt hätten eine Wirkung von 2 GGE, also weniger als die Hälfte der tatsächlichen Gravitationswirkung. Die Vermutung ist für dieses Beispiel zu bestätigen: Die Gravitationswirkung, die von punktsymmetrischen Massen auf A ausgeübt wird, ist größer als 2 GGE.

2.2 Definition des Wirkpunkts (Gravitationsschwerpunkt, Wirkabstand von A), r(W):Gesucht ist die Position, von der aus eine vereinigt gedachte Punktmasse dieselbe Gravitationswirkung (in Betrag und Richtung) auf die Position A ausübt wie sie die im Raum verteilten realen Objekte in der Summe ausüben. Die Einführung einer Punktmasse, also eines definierten Punktes, von dem aus die gesamte Gravitationswirkung von verteilter Masse auf einen Beobachter wirkt, war eine große Leistung Isaac Newtons, die nicht in Frage zu stellen ist. Die Berechnung der Gravitation wird dadurch erleichtert. Die Gravitationswirkung mehrerer Massen innerhalb eines Volumens auf einen externen Beobachter kann man sich demnach in einem definierten Punkt vereinigt vorstellen.

Der gemeinsame Wirkpunkt mehrerer Massen ist eindeutig berechenbar durch die einzelnen Massen und ihre jeweiligen Positionen.Der Abstand des Wirkpunkts von A ergibt sich aus dem Abstandsgesetz:Wirkpunkt r(W) = Wurzel √ aus [Masse/Wirkung].Für Punkte, die auf AZ liegen (bzw zu AZ symmetrisch), befindet sich auch der Wirkpunkt auf AZ. Damit ist die Position des Wirkpunkts eindeutig definiert.

(Es ist zu betonen, dass alle Berechnungen im Rahmen der Newtonschen Gravitation stattfinden.)


Beispiele für einzelne Massen:für Masse 1, Abstand R. Wirkung = 1/R² = 1 GGE ergibt sich r(W) = Wurzel aus [m/Wirkung] =Wurzel aus [1/1/R²] = √ R²= R .

Es gilt √ [1 /1 GGE] = R

für Masse 2, Abstand R. W = 2/R²ergibt sich r(W) = √ [2/2/R²] = √ R² = R

für Masse 1, Abstand R/2 . W = 4/R²ergibt sich r(W) = √ [1/4/R²] = √ R² /4 = R/2

für Masse 1, Abstand 3R/2. Wk = 4/9R² ergibt sich r(W) = √ [1/4/9R²] = √ 9R²/4 = 3R/2 .

Für Einzelmassen ist der Wirkpunkt (Wirkabstand) gleich dem realen Abstand .

2.3 Der Wirkabstand (Wirkpunkt) von addierten Wirkungen ist im Rahmen der Newtonschen Gravitation eindeutig definiert und wird berechnet mit der Wurzel aus der Summe der Massen geteilt durch die addierte Wirkung dieser Massen. Wenn alle Massen auf AZ liegen oder bezüglich AZ symmetrisch sind, liegt auch der gemeinsame Wirkpunkt auf AZ.

Beispiel: für Masse 1, Abstand R/2, sowie Masse 1, Abstand 3R/2, zusammengesetzte Wirkung 40/9R² ergibt sich r(W) = √ [2/(40/9)/R²] = √ [R²/(20/9)] = R/ √ 2,22 = R/1,49 = 0,67R .

Erwartungsgemäß ist von A aus gesehen r(W) beider Massen kleiner als R aber größer als R/2 .Begründung: Die nahe Masse trägt überproportional zur Wirkung bei, deshalb muss der Wirkpunkt beider Massen näher als der geometrische Mittelpunkt sein.Der gemeinsame Wirkpunkt ist weiter entfernt als die nächste beteiligte Masseposition und näher als die entfernteste Masseposition.

2.4 Äquivalenter Wirkpunkt r(W)ä Gesucht ist der Punkt, von dem aus eine Einheitsmasse dieselbe Wirkung hätte wie der gemeinsame Wirkpunkt bzw die im Raum verteilten realen Objekte:für W = 40/9R², m = 1 r(W)ä = √ [1/ (40/9)/ R²] = R √[9/40] = 0,47 R .Der äquivalente Wirkpunkt liegt auf der Verbindungslinie näher zum Beobachter als ein Objekt mit Masse 1 im Abstand R/2 .Begründung : ein einzelnes Objekt mit Masse 1 kann nur dann dieselbe Wirkung wie 2 Objekte mit der gemeinsamen Masse 2 ausüben, wenn seine Position näher als das nahe der beiden Objekte ist.


Berechnungsbeispiel für zwei gegenüber liegende Punkte auf der Verbindungslinie AZ mit größerem Abstand zum Zentrum:Für Masse 1, Abstand von A = r(A) = R/4, entsprechend Abstand von Z = r(Z) = 3R/4Wirkung auf A = 1 / (R/4)² = 16/R² = 16 GGEundMasse 1, Abstand r(A) = 7R/4Wirkung = 1/ (7/4)R² = 1 / 1,75R² = 0,57 GGEergibt sichdie addierte Gravitation (Wirkung) = (16 + 0,57)/R² = 16,57 GGE(Zum Vergleich: 2 Massen in Z haben die Wirkung 2/R²)

undder gemeinsame Wirkpunkt r(W) = Wurzel [2/ 16,57/ R²] = √ 0,12 R² = 0,35 R

Von A aus gesehen, ist jetzt der gemeinsame Wirkpunkt nur noch 0,35 R entfernt.

Äquivalenter Wirkpunkt.Für W = 16,57/R², Masse 1ergibt sich r(W)ä = Wurzel [1/ 16,57/R²] = R/4,07 = 0,245RAlso nur wenig näher bei A als die nahe Position von 0,25R, weil der Effekt der entfernten Masse schwindet.

Berechnungsbeispiel: zwei Punkte näher am Zentrum.Für Masse 1, Abstand r(A) = 3R/4W = 1 / (3R/4)² = 16/9R² = 1,78/R²undMasse 1, Abstand von A = 5R/4W = 1/ (5/4R)² = 16/25R² = 0,64/R²

ergibt sichdie addierte Wirkung = (1,78 + 0,64)/R² = 2,42 /R² = 2,42 GGE

gemeinsamer Wirkpunkt = Wurzel [2/ 2,42/R²] = √ [R² * 0,826] = 0,9R .

Äquivalenter Wirkpunkt.Für W = 2,42/R², Masse 1ergibt sich r(W)ä = √ [1 /2,42/R²] = R √ [1 / 2,42] = R √0,413 = 0,6428R .Der äquivalente Wirkpunkt ist deutlich näher bei A als die nahe Position, wenn die symmetrischen Positionen näher am Zentrum liegen.

Der Abstand des äquivalenten Wirkpunkts zur nahen Masse ist ein Maß für den Einfluss der fernen Masse auf die zusammengesetzte Gravitation.


2.5 Definition des Fehlerquotienten Fq Das Verhältnis von addierter Wirkung mehrerer Massen (entsprechend dem Newtonschen Gravitationsgesetz) zu der virtuellen Wirkung dieser Massen in Z (entsprechend dem Newtonschen Schalentheorem).

Beispiele:

für einen Abstand r(A) von R/2 und 3R/2 (entsprechend einem Radius r(Z) = R/2)ergibt sich ein Fehlerquotient von (40/9R²) / (2/R²) = 2,22

für r(A) von 0,25R und 1,75R (entsprechend r(Z) = 3R/4)ergibt sich Fq = (16,57/R²) / (2/R²) = 8,29

für r(A) von 0,75R und 1,25R (entsprechend r(Z) = R/4)ergibt sich Fq = (2,42/R²) / (2/R²) = 1,21

Durch beliebig viele weitere Berechnungen ergibt sich:Je näher bei A ein nahes Objekt eines punktsymmetrischen Paars auf AZ liegt, umso größer wird der Fehlerquotient.Und je näher die nahe Masse an Z heranrückt, desto kleiner wird die Wirkung auf A und der Fehlerquotient nimmt ab, bleibt aber immer > 1 für Radius größer null. Für r = 0 wird der Fehlerquotient = 1 .(Für praktische Zwecke wie bei astronomischen Berechnungen könnte im Einzelfall ein Fehlerquotient von beispielsweise 1,5 als tolerabel definiert werden.)

Ergebnis Nr. 1: Alle auf AZ gelegene, zu Z punktsymmetrische Objektpaare gleicher Masse haben ihren gemeinsamen Wirkpunkt bezüglich A näher als R. Je kleiner der Radius r(Z), desto näher liegt r(W) bei Z. Immer ist r(W) < R. Die obige Vermutung aus 2.1 ist damit bestätigt.

Die symmetrischen Punktpaare auf AZ könnten auch als Punktmassen angesehen werden, jeder Punkt stellvertretend für mehrere Massen. Demnach gibt es auch eine Punktmasse, welche die Wirkung der in einem Halbkreis oder in einer Halbkugel verteilten Masse repräsentiert. Die beiden Punktmassen des an A grenzenden Halbkreises und des gegenüber liegenden Halbkreises liegen auf AZ, sind aber bezüglich ihrer Wirkung auf A nicht unbedingt punktsymmetrisch zu Z.

Zur präziseren Beurteilung werden im Folgenden auch die außerhalb von AZ liegenden Punkte berücksichtigt.


3 KREIS UND KREISFLÄCHE

Vermutung: Ebenso wie bei den symmetrischen Punktpaaren auf AZ liegen die Wirkpunkte der Kreise um Z diesseits von Z, also r(W) < R.

3.1 Definition der Wirkmasse m(W):Bei der Suche nach einem gemeinsamen Wirkpunkt von nicht auf AZ liegenden Massen ist primär die Wirkung Richtung Z von Interesse. In einem punktsymmetrischen kreisförmigen Areal und bei gleichmäßiger Verteilung der Massen darin gibt es für jede in einer beliebigen Position befindliche Masse eine zu AZ symmetrische, gegenüber (rechts bzw. links) liegende entsprechende Masse. Jede beliebige Position in einem Kreis hat eine an AZ gespiegelte Entsprechung in der gegenüber liegenden Kreishälfte, beide Positionen haben denselben Winkelabstand von AZ.Wenn wir für zwei entsprechende Positionen das Kräfteparallelogramm bzw. -rechteck bezüglich A konstruieren, wird die in Richtung der jeweiligen Position wirkende Kraft aufgeteilt in einen Teilvektor Richtung Zentrum und einen Teilvektor 90° seitlich. Die beiden zur Seite gerichteten Teilvektoren der gespiegelten Positionen wirken entgegengesetzt und neutralisieren sich gegenseitig durch Subtraktion. Jeder Teilvektor Richtung Zentrum entspricht dem Cosinus der vollen Wirkmasse, also Ankathete geteilt durch Hypotenuse. Daraus ergibt sich:Die Richtung Zentrum gerichtete Wirkmasse einer in Position x/y befindlichen Masse wird bestimmt durch den Cosinus des Winkels von AZ mit der Strecke A _x/y.m(W) = cosinus * m. ( Für Winkel 0° wird m(W)=m, für 90° wäre m(W)=0. )Die Wirkmassen von 2 bzgl. AZ symmetrischen Massen addieren sich. Und die Wirkmassen Richtung Z sämtlicher im definierten Kreis befindlicher Objekte addieren sich.

3.2 Die einzelnen Kreise.

Konstruktion des (Standard-)Kreises A mit Radius r(Z) = R Die Schnittpunkte mit den Diagonalen werden mit A2, A4, A6 und A8 bezeichnet, die Schnittpunkte mit den Orthogonalen mit A(1), A3, A5, A7.

Konstruktion des Kreises B mit Radius r(Z) = R* Wurzel[25/32] = 0,88RDer Radius entspricht der Strecke Z bis zu dem Punkt mit den Koordinaten (5/8)R / (5/8)R.Nach dem Satz des Pythagoras ist r(Z) = Wurzel [(5R/8)² + (5R/8)²] = √[50R/64]Schnittpunkte mit den Diagonalen: B2, B4, B6, B8Schnittpunkte mit den Orthogonalen: B1, B3, B5, B7

Konstruktion des Kreises C mit Radius r(Z) = R / Wurzel 2 = 0,71RDer Radius entspricht der Strecke Z_(4/8)R / (4/8)R.r(Z) = √[(R/2)² + (R/2)²] =√[2R²/4]Schnittpunkte mit den Diagonalen: C2, C4, C6, C8Schnittpunkte mit den Orthogonalen: C1, C3, C5, C7

Konstruktion des Kreises D mit Radius r(Z) = R / Wurzel 32 = 0,18RDer Radius entspricht der Strecke Z_(R/8) / (R/8)r(Z) = √[(R/8)² + (R/8)²]Schnittpunkte mit den Diagonalen: D2, D4, D6, D8Schnittpunkte mit den Orthogonalen: D1, D3, D5, D7


3.3 Betrachtung von je 2 Kreisschnittpunkten mit den Hauptdurchmessern.

3.3.1 Gerade AZ:Die auf der Gerade AZ liegenden Punkte haben die Wirkmasse 1*m. Alle außerhalb von AZ befindlichen Punkte haben eine Wirkmasse kleiner als 1*m.Alle Kreise um das Zentrum Z haben 2 Schnittpunkte mit AZ. Die zum Zentrum gerichtete Wirkung der Punkte auf AZ ist größer als die von anderen sich gegenüber liegenden Punkten desselben Kreises, weil die Wirkmasse auf AZ mit 1,0 den höchsten Wert erreicht. (Der Wirkpunkt aller zu Z punktsymmetrischen Objekte auf AZ ist näher an A als R, s.o. )

3.3.2 Gerade A3-Z-A7:Die auf der Gerade AZ durch Z gelegte Senkrechte verbindet die Schnittpunkte A3 und A7 des Kreises R um Z. Jeder beliebige Kreis um Z hat genau 2 Schnittpunkte mit der Geraden A3-Z-A7. In diesen Schnittpunkten ist der Abstand der Kreispunkte von AZ am größten.

Kreis A mit r(Z) = RDie Wirkmasse von A3 bzw. A7 entspricht cos45° * m = 0,707m. Der Abstand von A3 zu A beträgt r(A) = √ [R² + R²] = √ [2R²] = 1,414RWirkung W = 0,707 / 2R² = 0,3535 GGE.Die addierte Wirkung von A3 und A7 beträgt somit 0,707 GGE.Der Wirkpunkt von A3 und A7 = r(W) = √ [1,414/0,707GGE] = R * √2 = 1,414 R ist jenseits von Z auf der Gerade AZ.Der äquivalente Wirkpunkt = r(ä) = √[1/0,707GGE] = R * √1,414 = 1,19 R ist ebenfalls jenseits von Z.Fehlerquotient bezogen auf die Wirkung 0,707/2 = 0,3535.

Kreis C mit r(Z) = R/Wurzel2 = 0,71RKonstruktion des Kreises C, s.o.Die Schnittpunkte mit A3-Z-A7 werden mit C3 und C7 bezeichnet.Der Abstand von C3 zu A wird berechnet mit r(A) = A_C3 = √ [R² + (R/√2)²] = √ [R² + R²/2] = √ [1,5R²] = 1,22RDasselbe Ergebnis erhalten wir für r(A) = A_C7Die Wirkmasse entspricht 1R / 1,22R = 0,82Zusammengesetzte Masse entsprechend 1,64 mWirkung W = 0,82/1,5R² = 0,55 GGEaddierte Wirkung = 2* 0,55 = 1,10 GGEWirkpunkt von C3 und C7 ist beir(W) = √ [1,64/1,10GGE] = √ 1,49GGE = 1,22 RÄquivalenter Wirkpunkt r(ä) = √[1/1,10GGE] = 0.91 R, ist also nicht so weit entfernt wie der äquivalente Wirkpunkt von A3 und A7.

Kreis D mit Radius r(Z) = R / Wurzel 32 = 0,18RAbstand A3 zu A = r(A) = A_D3 = √[R² + (R/8)²] = √[81/64R²] = √[1,27] R = 1,13 R .Wirkmasse m(W) = 1 / 1,13 = 0,88 . Addierte Wirkmasse = 1,76 .Wirkung W = 0,88 / 1,27R² = 0,70 GGE. Addierte Wirkung = 1,40 GGE .Wirkpunkt von D3, D7 = r(W) = √[1,76 / 1,40 GGE] = √[1,26 / GGE] = 1,12 Rr(W)ä = √[1 / 1,40 GGE] = √[0,71R²] = 0.85R


Zwischenergebnis:Auf der Strecke A3_Z_A7 gilt, dass zu Z symmetrische Punktpaare ihren Wirkpunkt bzgl A jenseits von Z haben, r(W) > R, bei größerem Abstand von Z umso stärker, während die Punktpaare nahe Z ihren Wirkpunkt nahe R haben. Dabei liegen die gemeinsamen Wirkpunkte dieser Punktpaare auf der Strecke Z_A5. Die Wirkung der Masse ist eher gering und fällt mit zunehmendem Abstand von Z entsprechend dem Cosinus, und steigt andererseits gegen Z auf 1.Anders war es bei der Strecke A_Z_A5, wo wir gesehen haben, dass der Wirkpunkt der zu Z symmetrischen Punktpaare immer <R war bei vergleichsweise hohen Werten für die Wirkung. Somit muss auch der Wirkpunkt der gesamten Strecke A_Z_A5 diesseits von Z sein.Je näher einer der Punkte an A positioniert ist, umso näher ist der Wirkpunkt und umso größer ist die Wirkung.Wir haben jetzt im weiteren Verlauf die Vermutung zu überprüfen, dass die relativ schwache Wirkung der Orthogonalen A3_Z_A7 mit r(W) > R überkompensiert wird durch die Orthogonale A(1)_Z_A5 mit starker Wirkung und r(W) < R . Und dass die Gesamtwirkung aller r(W) < R größer ist als die Gesamtwirkung aller r(W) > R .

3.3.3 Diagonalen durch Z je 45°

Bei der Diagonalenstrecke jenseits von Z nimmt mit zunehmendem Abstand r(A) einer Masse die Wirkung entsprechend r² ab, zusätzlich nimmt bei zunehmendem Winkelabstand die Wirkmasse m(W) proportional zum Cosinus ab.Wenn eine Masse auf einer diesseitigen Diagonalenstrecke von Z Richtung A2 bewegt wird, verringert sich zunächst der Abstand von A, die Wirkung auf A nimmt deshalb zu bis zum Punkt C2 (s.o.), während weiter peripher der Abstand zu A größer wird, deshalb verringerte Wirkung auf A. Dieser Effekt wird modifiziert durch die abnehmende Wirkmasse entsprechend dem Cosinus. Daher ist weit peripher auf der nahen Diagonalen (bei einem Kreis mit r(Z) nahe R) ein sehr geringer Effekt auf A zu erwarten.Grundsätzlich gilt: Die 4 Schnittpunkte eines Kreises mit den Diagonalen haben gemeinsam bezüglich A die geringste Wirkung im Vergleich mit 4 anderen Punkten desselben Kreises, wenn der Abstand untereinander gleich sein soll. Begründung: Je näher eine Position an A und AZ, um so größer ist ihre Wirkung, (entsprechend der Quadratregel der Gravitation und entsprechend der Cosinusfunktion, s.o.).Die 4 Schnittpunkte der 45°-Diagonalen mit dem Kreis haben einen möglichst großen Abstand zu AZ und zu A. Jede Rotation der 4 untereinander fixen Positionen um Z führt dazu, dass 2 der 4 Punkte näher an AZ rücken und ein Punkt davon näher an A; dadurch wird die Wirkstärke der vier Punkte insgesamt erhöht.Um eindeutig symmetrische Verhältnisse sowohl bezüglich Z als auch bezüglich AZ zu erhalten, verzichten wir hier auf die 2-Punkte-Berechnung. Bei einer 4-Punkte-Betrachtung bleiben die Wirkpunkte auf der Geraden AZ.


3.4 Betrachtung von je 4 Kreisschnittpunkten mit den Hauptdurchmessern

3.4.1 Schnittpunkte mit den Diagonalen Kreis C mit r(Z) = R/√2 = 0,71R Es ergeben sich die Schnittpunkte C2, C4, C6, C8, welche einen Abstand von jeweils R/2 von AZ haben. r(A) ist für die 2 nahen Punkte C2 und C8 ebenfalls R/√2 = 0,707R, weil (R/2)² + (R/2)² = 2R²/4 .Wirkmasse bei 45° ist m(W) = cos45°m = 0,707mWirkung der Position C2 bzw. C8 auf A ist 0,707 *2/R² = 1,414 GGE

Der reale Abstand von C4 zu A ist r(A) = √[(R/2)² + (3R/2)²] = √2,5R² = 1,58 R.Die Wirkmasse = cosinus = 1,5 / 1,58 = 0,95m(W) = 0,95mWirkung von C4 bzw. C6W = 0,95/ 2,5 R² = 0,38 GGE.

Addierte Massen von C2 und C8 = 1,414Addierte Massen von C4 und C6 = 1,90Addierte Wirkung von C2 und C8 = 2,828 GGEAddierte Wirkung von C4 und C6 = 0,76 GGEgemeinsamer Wirkpunkt:r(W) = √[(1,414+1,90) / (2,828 + 0,76)GGE] = √ [3,31/3,59GGE] = 0,92 RBei einem Radius von R/√2 ist der gemeinsame Wirkpunkt der 4 Schnittpunkte mit den Diagonalen noch diesseits von Z.

Äquivalenter Wirkpunktr(W)ä = √[ 1 / 3,59GGE] = √ 0,28R² = 0,53R

FehlerquotientFq = 3,39 / 4 = 0,85

Schnittpunkte des Kreises B mit r(Z) = R*√[25/32] = 0,88R Konstruktion des Kreises B:Der Radius wird bestimmt durch einen Schnittpunkt der 45°-Diagonalen an der Position mit je einem Abstand von 5R/8 von AZ wie von A3_Z_A7, Koordinaten (5R / 8) / (5R / 8)Die Punkte B1 bis B8 liegen weit peripher, nahe dem Kreisradius R. Abstand von Z, Kreisradius: r(Z) = √ [(5R/8)² + (5R/8)²] = √[50R²/64] = √[0,78R²] = 0,88RFür B2 bzw. B8 ist der Abstand von A:r(A) = √[(3R/8)² + (5R/8)²] = √[34R²/64] = √[0,53R²] = 0,73RWirkmasse = cos = (3/8) / 0,73 = 0,38 / 0,73 = 0,51Wirkung auf A:W = 0,51/0,53R² = 0,99 GGE


Für B4 und B6 der Abstand:r(A) = √[(13R/8)² + (5R/8)²] = √[194R²/64] = 3,03R² = 1,74RWirkmasse = cos = (13/8) / 1,74 = 1,63 / 1,74 = 0,93WirkungW = 0,93 / 3,03R² = 0,31 GGE

addierte Massen von B2 und B8 = 1,02maddierte Massen B4 + B6 = 1,86maddierte Wirkung von B2 und B8 = 1,98 GGEaddierte Wirkung B4 + B6 = 0,62 GGEgemeinsamer Wirkpunkt für B2,4,6,8:r(W) = √[(1,02 + 1,86) / (1.98 + 0,62)GGE] = √[2,88/2,60GGE] = √[1,11 R²] = 1,05R

Bei weit peripheren Positionen auf den Diagonalen ist deren gemeinsamer Wirkpunkt jenseits von Z bei geringer Wirkstärke.

ÄquivalenterWirkpunktr(W)ä = √[1/2,60GGE] = 0,38R

FehlerquotientFq = 2,60 / 4 = 0,65

Excurs Nr. 1:Wir stellen uns vor, an der Position A kreist eine intelligente Zivilisation zusammen mit den Objekten der Positionen B2,4,6,8 um ein Zentrum Z. Die Wissenschaftler auf A haben die Möglichkeit, die von B2,4,6,8 auf A wirkende Gravitation zu messen, und sie kennen auch die Masse von B2,4,6,8 sowie den Abstand von Z. Und sie glauben an eine Regel, die besagt, dass die Massen von B2,4,6,8 immer nur von Z aus ihre Gravitation bewirken können.Die Wissenschaftler auf A stellen nun fest, dass die 4 Massen B2,4,6,8 eine Gravitationswirkung von 2,66GGE haben. Sie vergleichen diese Wirkung mit der Gravitation von 4 Massen in Z, welche 4GGE beträgt. Die Rechnung ist einfach: weil nach der Regel die 4 Massen von B2,4,6,8 genau 4GGE bewirken müssen, aber nur 2,66GGE gemessen wurden, gibt es 1,34 Massen mehr als es entsprechend der vorhandenen Gravitation sein dürften. Die Folgerung der Wissenschaftler kann nur sein, dass es eine zusätzliche

„negative Masse“

geben muss, welche irgendwo versteckt ist und die Gravitation der beobachteten überschüssigen Masse neutralisiert. Von dieser negativen Masse weiß man nicht viel, außer dass sie unsichtbar ist und ihre Gravitation negativ sein muss.(Wer jetzt denkt, solche abstrusen Theorien könnten nur in sehr fremden Zivilisationen ernst genommen werden, sollte sich da nicht so sicher sein.)


Schnittpunkte von Kreis D mit r(Z) = R/√32 = 0,18R mit den DiagonalenKreisradius:r(Z) = √[R/8)² + (R/8)²] = R/√32 = 0,18R

Abstand D2 bzw D8 von A:r(A) = √[(7R/8)² + (R/8)²] = √[50R²/ 64) = √[0,78 R²] = 0,88RWirkmasse m(W) m(W) = cos = (7/8) / 0,88 = 0,99W = 0,99/ 0,78 R² = 1,27 GGE

Abstand D4 bzw D6 von A:r(A) = √[(9R/8)² +(R/8)²] = √[82R²/64] = √[1,28R²]m(W) = cos = 0,99 mW = 0,99/1,28R² = 0,77GGE

addierte Masse von D2 + D8 = 1,98maddierte Masse von D4 + D6 = 1,98maddierte Wirkung von D2 + D8 = 2,54 GGEaddierte Wirkung von D4 + D6 = 1,54 GGEgemeinsamer Wirkpunkt von D2,4,6,8r(W) = √[(1,98 + 1,98) / (2,54 + 1,54)] = √[1,98/2,04] = √ 0,97 = 0,985RDer Wirkpunkt ist kleiner als 1 R, also diesseits von Z, r(W) < R .

Äquivalenter Wirkpunktr(W)ä = √[1/2,04GGE] = 0,49R

Fehlerquotient (Wirkung der 4 betrachteten Massen an ihrer realen Position in Relation zu vier hypothetischen Massen im Zentrum):Fq = 2,04/ 4 = 0,51

3.4.2 Schnittpunkte mit den orthogonalen Hauptachsen (AZ und A3_Z_A7)

Schnittpunkte von Kreis C, Radius r(Z) = R/√2 = 0,71REs ergeben sich die Schnittpunkte C1, C3, C5, C7

r(A) für C1 =R – R/√2 = R – 0,71R = 0,29R = √[0,084R²]Wirkmasse auf AZ = 1Wirkung auf A:W = 1/0,084R² = 11,90 GGEr(A) für C3 bzw C7 =√[R² + (R/√2)²] = √[R² + R²/2] = R*√1,5 = 1,22RWirkmasse m(W) = cos = R/ 1,22R = 0,82Wirkung auf A:W = 0,82/1,5R² = 0,55 GGEaddierte Masse C3 +7 = 1,64Addierte Wirkung C3 + 7 = 1,10 GGE


r(A) für C5 =R + 0.71R = 1,71R = √2,92R²Masse = 1Wirkung auf A:W = 1/ 2,92R² = 0,34GGE

gemeinsamer Wirkpunkt für C1,3,5,7r(W) = √[(1 + 1,64 + 1)/(11,90 +1,10 + 0,34)GGE] = √[3,64/13,34GGE] = √[0,27R²] = 0,52R

Bei einem Kreis C mit Radius r(Z) = R/√2 ist erwartungsgemäß der gemeinsame Wirkpunkt der 4 Schnittpunkte mit den Orthogonalen mit dem Abstand 0,52R deutlich näher an A als der Wirkpunkt desselben Kreises C mit den Diagonalen (0,92R), s.o.

Äquivalenter Wirkpunkt:r(W)ä = √[1/13,34GGE] = √[0,07R²] = 0,27R

Fehlerquotient (Wirkung der effektiven Masseverteilung der 4 betrachteten Massen zur Wirkung von 4 Einheitsmassen im Zentrum) Fq = 13,34GGE/ 4GGE = 3,34

Excurs Nr. 2:Wir stellen uns vor, an der Position A kreist eine intelligente Zivilisation zusammen mit den Objekten der Positionen C1,3,5,7 um ein Zentrum Z. Die Wissenschaftler auf A haben die Möglichkeit, die von C1,3,5,7 auf A wirkende Gravitation zu messen, und sie kennen auch die Masse von C1,3,5,7 und Z sowie deren Positionen und Abstände. Und sie glauben an eine Regel, die besagt, dass die Massen von C1,3,5,7 immer nur von Z aus ihre Gravitation bewirken können.Die Wissenschaftler auf A stellen nun fest, dass außer dem Zentrum noch eine Gravitation von 13,34GGE wirksam ist,obwohl man außerhalb des Zentrums nur die 4 Massen C1,3,5,7 beobachtet. Sie vergleichen diese Wirkung mit der Gravitation von 4 Massen in Z, welche 4GGE beträgt. Die Rechnung ist einfach: weil nach der obigen Regel die 4 Massen von C1,3,5,7 nur 4GGE bewirken können, aber 13,34GGE gemessen wurden, fehlen 9,34 Massen. Diese zusätzliche, irgendwo versteckte

„fehlende Masse“

bewirkt also die restliche Gravitation. Da man aber diese Masse nicht beobachten kann, ist sie also unsichtbar und man weiß eigentlich nichts über sie, außer dass sie mit normaler Materie nur über die Gravitation interagieren kann. Und dass ihre Masse mehr als doppelt so groß ist wie die der sichtbaren Materie.


Schnittpunkte von Kreis D, Radius r(Z) = R/√32 = 0,18RSchnittpunkte D1, D3, D5, D7

r(A) für D1 =R – R/√32 = R – R/5,66 = R – 0,18R = 0,82R = √[0,67R²]Wirkmasse = 1Wirkung auf A :W = 1/ 0,67R² = 1,49 GGE

r(A) für D3 bzw D7 =√[R² + R²/32] = √[R² + 0,031R²] = √[1,03R²] = 1,01RWirkmasse m(W) = cos = 1 / 1,01 = 0,99Wirkung auf A:0,99/ 1,03 R² = 0,96 GGE

addierte Masse D3 + D7 = 1,98addierte Wirkung D3 + D7 = 1,92 GGE

r(A) für D5 =R + R/ √32 = R + 0,18R = 1,18R = √[1,39R²]Masse m(W) = 1Wirkung W = 1/ 1,39R² = 0,72 GGE

gemeinsamer Wirkpunkt von D1,3,5,7r(W) = √[(1 + 1,98 + 1)/ (1,49 + 1,92 + 0,72)GGE] = √[3,98/ 4,13GGE] = 0,96R

äquivalenter Wirkpunktr(W)ä = √[1/ 4,13GGE] = 0,24R

Fehlerquotient:4,13GGE/ 4GGE = 1,03 bzw. „fehlende Masse“ von 4,13 – 4 = 0,13

Schnittpunkte von Kreis B, r(Z) = R*√[25/32] = 0,88RSchnittpunkte B1, B3, B5, B7

r(A) für B1 =R – R*√[25/32] = R – R*√0,78 = R – 0,88R = 0,12R = √[0,014R²]Wirkmasse = 1Wirkung auf A:W = 1/ 0,014R² = 71,42 GGE

r(A) für B3 bzw B7 =√[R² + R²*25/32] = √[R² + 0,78R²] = R*√[1,78] = 1,33RWirkmasse =m(W) = cos = R/ 1,33R = 0,75Wirkung auf A:W = 0,75/ 1,78R² = 0,42 GGEaddierte Masse = 1,5addierte Wirkung = 0,84 GGE


r(A) für B5 =R + R*√[25/32] = R + 0,88R = 1,88R = √[3,53R²]Wirkmasse = 1Wirkung auf A:W = 1/ 3,53R² = 0,28 GGE

gemeinsamer Wirkpunkt von B1,3,5,7r(W) = √[(1 + 1,5 + 1)/ (71,42 + 0,84 + 0,28)GGE] = √[3,5/ 72,54GGE] = √[0,048GGE] = 0,22R

äquivalenter Wirkpunkt r(W)ä = √[1/ 72,45GGE] = √[0,014]R = 0,118Ralso nur unwesentlich näher an A als B1 mit 0,12R, weil die überwiegende Wirkung von B1 ausgeht

Fehlerquotient :72,54GGE/ 4GGE = 18,14 bzw. „fehlende Masse“ = 72,54 – 4 = gigantische 68,54 Einheitsmassen

3.5 Betrachtung von je 8 Kreisschnittpunkten mit den Hauptdurchmessern

Schnittpunkte von Kreis D mit den 8 KardinalpunktenSchnittpunkte D1 bis D8, r(Z) = R/√32 = 0,18R

aus obiger 4-Punkte-Betrachtung ergibt sich für D1,3,5,7addierte Massen = 3,98addierte Wirkung = 4,13 GGEgemeinsamer Wirkpunkt von D1,3,5,7r(W) = 0,96R

für D2,4,6,8addierte Massen = 3,96addierte Wirkung = 4,08 GGEgemeinsamer Wirkpunkt von D2,4,6,8r(W) = 0,985R

gemeinsamer Wirkpunkt D1-8r(W) = √[(3,98 + 3,96)/ (4,13 + 4,08)GGE] = √[7,94/8,21GGE] = √[0,978R²] = 0,989Ralso sehr nahe am geometrischen Mittelpunkt Z mit r(A) = 1,0R

äquivalenter Wirkpunkt =r(W)ä = √[1/ 8,21GGE] = √[0,12R²] = 0,35R

Fehlerquotient (gemeinsame Wirkung der 8 betrachteten Massen an ihrer realen Position in Relation zu acht hypothetischen Massen im Zentrum):Fq = 8,21GGE/ 8GGE = 1,026somit eine recht gute Übereinstimmung, „fehlende Masse“ lediglich 8,21 – 8,0 = 0,21


Schnittpunkte von Kreis C mit den 8 KardinalpunktenSchnittpunkte C1 bis C8, r(Z) = R/√2 = 0,71R

für C1,3,5,7 ergibt sichaddierte Massen = 3,24addierte Wirkung = 13,34 GGEgemeinsamer Wirkpunkt von C1,3,5,7r(W) = 0,52R

für C2,4,6,8addierte Massen = 3,31addierte Wirkung = 3,59 GGEr(W) = 0,92R

gemeinsamer Wirkpunkt C1 – 8r(W) = √[(3,24 + 3,31) / (13,34 + 3,59)GGE] = √[6,55 / 16,93GGE] = √[0,39R²] = 0,62Ralso schon sehr weit vom geometrischen Mittelpunkt Z entfernt

äquivalenter Wirkpunkt =r(W)ä = √[1/ 16,93GGE] = √[0,06R²] = 0,24R

Fehlerquotient (gemeinsame Wirkung der 8 betrachteten Massen an ihrer realen Position in Relation zu acht hypothetischen Massen im Zentrum):Fq = 16,69GGE / 8GGE = 2,09 dieser Fehlerquotient ist schon relevant, „fehlende Masse = 16,93 – 8 = 8,93

Schnittpunkte von Kreis B mit den 8 KardinalpunktenSchnittpunkte B1 bis B8, r(Z) = R*√[25/32] = 0,88R

Für B1,3,5,7 ergibt sichaddierte Masse = 3,5addierte Wirkung = 72,54 GGEgemeinsamer Wirkpunkt von B1,3,5,7r(W) = 0,22R

für B2,4,6,8addierte Masse = 2,88addierte Wirkung = 2,60 GGEgemeinsamer Wirkpunkt von B2,4,6,8r(W) = 1,05R

gemeinsamer Wirkpunkt B1 - 8r(W) = √[(3,5 + 2,88) / (72,54 + 2,60)GGE] = √[6,38/75,14GGE] = √[0,08R²] = 0,29RObwohl dieser Kreis B die weit peripher liegenden Diagonalenpunkte B2,4,6,8 enthält, deren Wirkpunkt jenseits von Z liegt, r(W) > 1R, wird dieser Effekt durch die Gravitationswirkung der übrigen Kardinalpunkte, insbesondere der nahen Masse B1, mehr als kompensiert.

Äquivalenter Wirkpunkt:r(W)ä = √[1/ 75,14GGE] = √[0,013R²] = 0,115R


Fehlerquotient (gemeinsame Wirkung der 8 betrachteten Massen an ihrer realen Position in Relation zu acht hypothetischen Massen im Zentrum):75,14GGE / 8GGE = 9,39somit „fehlende Masse“ von 75,14 – 8 = 67,14 Einheitsmassen.

Die sehr geringe Wirkung der Schnittpunkte mit den Diagonalen ist im Vergleich zu der sehr großen Wirkung der nahen Masse C1 fast zu vernachlässigen.

Vergleich des Fehlerquotienten der Gerade AZ mit dem Fehlerquotienten der 8 Kardinalpunkte:addierte Wirkung B1 + B5 = 71,42 + 0,28 = 71,70Fq = 71,70GGE / 2GGE = 35,85 .Somit verringert sich der Fehlerquotient durch Hinzunahme weiterer Punkte, weil diese eine geringere Wirkung als die nahe Masse auf AZ haben müssen. Weil aber keine symmetrische Punktkonstellation die starke Wirkung der nahen Masse kompensieren kann, ist ein Fehlerquotient von 1 bei r(Z) > 0 nicht erreichbar.

Ergebnis Nr. 2:Der gemeinsame Wirkpunkt der 8 Kardinalpunkte jedes Kreises ist diesseits von Z, also r(W) < R. Für alle Kreise mit 0 < r(Z) < R gilt r(W) <R. Je kleiner der Radius, desto näher liegt r(W) bei Z,je größer r(Z), desto kleiner wird der Abstand des Wirkpunkts von A.Kleiner Kreis D mit r(Z) = 0,18R, Wirkpunkt für 8 Punkte r(W) = 0,989RMittlerer Kreis C mit r(Z) = 0,71R, ergibt r(W) = 0,62RGrößerer Kreis B mit r(Z) = 0,88R, r(W) = 0,29R

Die Vermutung aus 3.2, dass die starke Wirkung der nahe AZ gelegenen Massen über die Effekte der peripheren Massen dominiert, ist damit bestätigt.

3.6 Anwendung auf den vollständigen Kreis

3.6.1 Umlaufende Masse.Wir betrachten ein Objekt der Masse 1, welches sich von Punkt C5 aus mit gleichförmiger Geschwindigkeit in einer vollständigen Kreisbewegung um Z bewegt. Dann suchen wir den Wirkpunkt des ganzen Kreises.Die Wirkung auf A von C5 aus ist 0,34 GGE, s.o.Auf dem Kreisabschnitt von C5 bis C6 steigt die Wirkung von 0,34 GGE auf 0,38 GGE leicht an, weil der Abstand zu A kleiner wird. Die Wirkmasse sinkt leicht von 1,00 auf 0,95.Daraus lässt sich eine mittlere Wirkung, die das Objekts auf diesem Kreisabschnitt auf A ausübt, ableiten; diese kann nicht größer als 0,38 und nicht kleiner als 0,34 sein. Für eine einfache quantitative Abschätzung kann das arithmetische Mittel herangezogen werden.Auf dem Weg von C5 nach C6 hat das Objekt demnach eine mittlere Wirkung von 0,36 GGE und eine mittlere Wirkmasse von circa 0,98.Von C6 nach C7 steigt die Wirkung von 0,38 auf 0,55 trotz abfallendem Cosinuswert (die Wirkmasse sinkt auf 0,82), weil der Abstand zu A verringert wird.Die mittlere Wirkung auf diesem Abschnitt ist 0,47 , die mittlere Wirkmasse 0,89.(Nahe der Geraden C3C7 ist davon auszugehen, dass korrespondierende Kreisabschnitte, die zu Z symmetrisch sind, zusammen einen Wirkabstand von r(W) > R haben bei geringer Wirkung, analog den Berechnungen für die Gerade A3-Z-A7 , s. S. 9, Abschnitt 3.3.2).


Von C7 nach C8 verringert sich die Wirkmasse weiter auf 0,71, die Wirkung dagegen steigt von 0,55 auf 1,41 GGE. Mittlere Wirkmasse 0,77, mittlere Wirkung 0,98 GGE.Von C8 nach C1 ergibt sich ein steiler Anstieg der Wirkung von 1,41 auf 11,90 GGE, weil sowohl der Abstand zu A verkleinert wird als auch die Wirkmasse ansteigt (von 0,71 auf 1,00).Mittlere Wirkmasse 0,86, mittlere Wirkung 6,62.Auf den jenseits von AZ gelegenen Kreisabschnitten ergeben sich dieselben Zahlenwerte für Wirkmasse und Wirkung.Mit der mittleren Wirkmasse und der mittleren Wirkung für jeden Kreisabschnitt kann jetzt der gemeinsame Wirkpunkt des ganzen Kreises berechnet werden.

r(W) = √[2(0,86 + 0,98 + 0,77 + 0,89)/ 2(6,62 + 0,36 + 0,98 + 0,47)GGE] = √[3,5/8,43] = √[0,42] = 0,65R . (Dieser Zahlenwert ist sehr nahe am Ergebnis der 8-Punkte-Berechnung für den Kreis C mit r(W) = 0,62R, s. S. 17).

Die Wirkung einer umlaufenden Masse ist in den nahen Kreissegmenten überproportional stärker als in den fernen Segmenten, deshalb ist der gemeinsame Wirkpunktr(W) < R.

Die entsprechenden GGE-Werte für den Kreis B lauten für B1 Bis B8:71,42 – 0,99 – 0,42 – 0,31 – 0,28 – 0,31 – 0.42 – 0,99Eine analoge Berechnung kommt auf das gleiche Ergebnis: r(W) < R

Ergebnis Nr.3: Für eine gleichmäßige Verteilung von Masse auf einem Kreis und ebenso für eine auf einer Kreisbahn umlaufende Masse gilt:Die Summe der Gravitationswirkung, die von kreisförmig verteilten Massepunkten auf A ausgeübt wird, ist größer als wenn dieselbe Masse virtuell im Zentrum konzentriert wäre, deshalb r(W) < R.

3.6.3 Betrachtung kontinuierlich wachsender Kreisabschnitte.Als Beispiel dient wieder Kreis C.Die Wirkung von C1 auf A beträgt 11,90 GGE, s.o.Der von A entfernteste Punkt des Kreises, C5, bewirkt noch 0,34 GGE.Der gemeinsame Wirkpunkt muss diesseits von Z liegen.r(W) =√[2 / 12,24GGE] = √[0,16R²] = 0,40RWir nehmen jetzt links und rechts von C1 und C5 auf dem Kreis C liegende Punkte dazu und vergleichen die entstehende Wirkung gleich großer, gegenüber liegender Kreisabschnitte. Der Wirkpunkt (die Punktmasse) jedes einzelnen Kreisabschnitts liegt auf AZ diesseits bzw jenseits von Z. Der gemeinsame Wirkpunkt von (zu Z und AZ symmetrischen) Kreisabschnitten muss dann ebenfalls auf AZ liegen, und er muss ebenfalls diesseits von Z liegen. Diese Gesetzmäßigkeit trifft auf die Einzelpunkte C1 und C5 ebenso zu wie auf kleinere oder größere Kreisabschnitte, und dementsprechend auch auf die beiden Halbkreise, die durch die Gerade A3-Z-A7 voneinander getrennt werden. Der näher an A liegende Halbkreis hat seinen Wirkpunkt diesseits von Z, r(W) < R. Der entfernte Halbkreis hat dagegen den Wirkpunkt jenseits von Z, r(W) > R.Für die beiden Halbkreise zusammen gilt: r(W) <R.Also gilt auch für den ganzen Kreis:r(W) < R

Dasselbe gilt für die Wirkung der Summe beliebig vieler Kreise, und ebenso für eine kompakte Scheibe.


4 ANWENDUNG AUF EINE KUGELFÖRMIGE MATERIEVERTEILUNG

Für die Wirkung auf A ist es unerheblich, ob die Ebene des Kreises waagrecht ist.Bei einer mehr oder weniger starken Kippung des Kreises oder der Scheibe um die Gerade AZ bleibt die Wirkung auf A konstant.Weil die Kippung um AZ bezüglich der Wirkung auf A invariant ist, ergibt sich, dass beliebig viele gekippte Kreise gleichartig wirken. Also ergibt die Summe der Wirkung beliebig vieler gekippter Kreise, dass der gemeinsame Wirkpunkt dieser Kreise näher an A sein muss als Z.

Ergebnis Nr. 4:Also gilt auch für die Kugelr(W) < R

Also ist der Wirkpunkt von kugelförmig verteilten Massen in einem punktsymmetrischen Raum ungleich dem geometrischen Zentrum dieses Raums.

Das Geometrische Gravitationstheorem ist damit bestätigt.


5 DISKUSSION UND ANWENDUNG AUF DIE GALAKTISCHE SCHEIBE

Die Sonne kreist mit Milliarden anderer Sterne um das Zentrum der Milchstraße.Haben diese Milliarden in der Milchstraße verteilte Sterne eine genau so große Gravitationswirkung auf die Sonne als wenn sie im Zentrum der Milchstraße konzentriert wären? Oberflächlich betrachtet könnte man das vermuten, denn bei gleichmäßiger Verteilung der galaktischen Materie gibt es für jeden Stern zwischen Sonne und Zentrum einen zweiten, im Zentrum gespiegelten Stern auf der gegenüber liegenden Seite, der vom Zentrum gleich weit und von der Sonne entsprechend weiter entfernt ist; also gleicht sich die von der Entfernung abhängige Gravitationswirkung aus und beide Sterne zusammen haben dieselbe Gravitation wie wenn beide im Zentrum vereinigt wären? Und jeder Stern, der die Sonne auf einer engeren Bahn innen überholt, ist doch von der Sonne aus gesehen genau so lange diesseits des Zentrums wie jenseits davon, und die stärkere Gravitation der nahen Positionen wird durch die schwächere Gravitation der fernen Positionen ausgeglichen? Wäre also der Wirkpunkt des Umlaufkreises sein geometrisches Zentrum und damit gleichzeitig das Zentrum der Milchstraße? In der aktuellen Astrophysik wird stillschweigend oder auch explizit davon ausgegangen, dass der Kreismittelpunkt gleichzeitig auch der Wirkpunkt sei (über die Zeit gesehen für den Umlauf eines Objekts bzw. räumlich für eine kreisförmige, scheibenförmige oder kugelförmige Masseverteilung).Bei genauerer Betrachtung ist diese Ansicht nicht haltbar. Denn die Positionen jenseits des Zentrums bewirken eine mit dem Quadrat der Entfernung geringere Gravitation als die diesseitigen. Die obigen Berechnungen zeigen, dass der Wirkpunkt jeweils näher als das Zentrum lokalisiert ist; r(W) < R.Die geometrische Mitte zweier Positionen entspricht der Mitte ihrer Verbindungsstrecke. Wäre die Gravitationswirkung in einem einfachen proportionalen Verhältnis, könnte auch die Gravitation zweier gleich großer Massen in dieser Mitte lokalisiert sein. Da aber eine quadratische Relation besteht, ergibt sich das oben für die Gerade AZ errechnete Ergebnis: r(W) < R .Es macht einen entscheidenden Unterschied, ob man zuerst das geometrische Zentrum bestimmt und danach mit der vorhandenen Masse die Gravitation berechnet. Oder ob man sich darüber klar ist, dass die Gravitationswirkung einer Masse auf eine andere sofort von der jeweiligen Position ausgeht. Dies wird deutlich am Beispiel des Mondes, der mit seiner Gravitation Ebbe und Flut bewirkt: Zu einem bestimmten Zeitpunkt entsteht die Flut in Richtung des Mondes, der zu diesem Zeitpunkt in dieser bestimmten Position die Gravitationswirkung ausübt. Dieser Effekt, die Höhe der Flut über dem mittleren Wasserstand, ist messbar und die Ergebnisse sind reproduzierbar. (Die kausale Zuordnung wird noch exakter durch Hinzunahme der von der Sonne zu demselben Zeitpunkt ausgehenden Gravitation.) Niemand würde auf die Idee kommen zu behaupten, die Gravitation des Mondes wirke auf die Meeresoberfläche immer nur von dem geometrischen Zentrum seines vorausgegangenen Erdumlaufs ausgehend; sie wirkt immer von der aktuellen Position aus.Mathematisch ergibt sich daraus eine Vorschrift zur Klammer-Rechnung in dem Sinne, dass zuerst die Gravitationswirkung aus Abstand und Masse zu berechnen ist. Und erst danach wird die Wirkung der Objekte unterschiedlicher Lokalisation zu einer Gesamtwirkung zusammengefasst. In der hier vorliegenden Arbeit wird das berücksichtigt mit der Einführung der Geometrischen Gravitationseinheit GGE. Damit kann die Wirkung unterschiedlicher Objekte addiert werden, und es kann der eigentliche Wirkpunkt berechnet werden.


Ungeeignet zur Berechnung der Gravitationswirkung sind deshalb alle Methoden, welchea) zuerst durch Integration von Kreis- oder Oberflächenpositionen oder aus der Massedichte pro Volumen die Gesamtmasse und das geometrische Zentrum berechnen, und danach erst die Gravitationswirkung von verteilter Materie berechnen wollenoderb) schon unter Vorwegnahme des Ergebnisses voraussetzen, dass alle Kräfte vom geometrischen Mittelpunkt aus wirken und deshalb von Anfang an einen definierten Wirkradius enthalten.

Jede Methode, die verteilte Materie als Punktmasse vereinigt und erst im zweiten Schritt die Wirkung berechnet, muss erklären können, ob die daraus resultierende Ungenauigkeit relevant ist oder nicht. Dies ist durch Verwendung des oben definierten Fehlerquotienten möglich.

Jeder Stern, dessen Radius vom galaktischen Zentrum aus kleiner ist als derjenige der Sonne, überholt die Sonne innen bei gleicher Bahngeschwindigkeit, aber kürzerer Umlaufzeit. Sein Wirkpunkt bezüglich der Sonne für einen kompletten Überholzyklus ist r(W) <R .Für die Summe beliebig vieler Sterne auf inneren Kreisbahnen gilt ebenfalls r(W) < R .Die Gesamtheit der auf kürzeren Bahnen laufenden Sterne hat ihren Wirkpunkt auf der Verbindungslinie Sonne – Zentrum, denn bei gleichmäßiger Verteilung der Materie gleichen sich die zu einem bestimmten Zeitpunkt von der Verbindungslinie abweichenden Positionen statistisch aus. Und so kann man sich in verschiedenen Abständen auf der Verbindungslinie Punktmassen als Wirkpunkte der umgebenden Sterne vorstellen, die auf die Sonne eine Wirkung Richtung Zentrum ausüben. (Sterne, die weiterziehen und deshalb eine geringere Wirkung bekommen, werden ersetzt durch Sterne, die von der anderen Seite heranrücken und eine größere Wirkung bekommen, also bleibt die statistische Wirkung der Gesamtheit einer Masse in einem definierten Volumen bzw. auf der Verbindungslinie erhalten.) Diese statistischen Punktmassen werden auf der Verbindungslinie mit dem Sonnenumlauf mitgeführt. Die Wirkpunkte unterschiedlicher Abstände können nach den obigen Regeln auch noch weiter zusammengefasst werden. Der gemeinsame Wirkpunkt der diesseitigen und der jenseitigen Masse innerhalb des Sonnenradius R ist r(W) < R .So lässt sich das Milliarden-Körper-Problem der Milchstraße auf einen lösbaren Sonderfall eines Drei-Körper-Problems zurückführen, bei dem sich 3 Körper bzw. 3 Wirkpunkte auf einer Linie, der Verbindungslinie zum Zentrum, befinden:

1. Der Wirkpunkt der zum Zentrum gerichteten Gravitation2. Die Sonne – bzw. jede beliebige Masse oder Position in der galaktischen Scheibe3. Der Wirkpunkt der vom Zentrum weg nach außen jenseits der 2. Position wirkenden

Massen.Für beliebige Radien kann daraus eine Gravitationskurve berechnet werden, die der durch Messung der Bahngeschwindigkeit erstellten galaktischen Rotationskurve entspricht, ohne „fehlende Masse“ oder „Dunkle Materie“.Genauere Ausführungen dazu wurden an anderer Stelle gemacht (Westenberger 2011) .

Und was ist mit der Newtonschen Gravitation?Man sollte sich darüber klar werden, dass die eigentliche Newtonsche Gravitation auf dem Gravitationsgesetz und der Relation Masse geteilt durch Abstand im Quadrat beruht. Dieses invers-quadratische Abstandsgesetz wird in der vorliegenden Abhandlung zugrunde gelegt und mit einer Vektorbetrachtung verbunden: Jede Masse wirkt von ihrer Position aus mit einer Gravitation, die mit Stärke und Richtung zu kennzeichnen ist.


Davon streng unterscheiden sollte man den Teil der „Newtonschen Gravitation“, der auf das Schalentheorem zurückgeht:

„Alle Objekte innerhalb eines kugelförmigen Raums von einem Radius, der das betrachtete Objekt berührt, verursachen genau die Kraft auf dieses Objekt, als ob alle Masse dieses Raums im Schwerpunkt vereinigt wäre.“(A spherically symmetric body affects external objects gravitationally as though all of its mass were concentrated at a point at its centre.)

Auch wenn dieses Schalentheorem eine Jahrhunderte alte Lehrtradition ist, die man teilweise schon bewiesen zu haben glaubte, muss eine kritische Neubewertung erfolgen. In der vorliegenden Arbeit wird nachgewiesen, dass die unkritische Anwendung des Schalentheorems zu falschen Ergebnissen führt („fehlende Masse“). Der Grund ist darin zu sehen, dass die oben erwähnte Klammer-Vorschrift nicht beachtet wird.Eine realitätsnahe Verwendung von Punktmassen mit akzeptabler Fehlerbreite wurde als Alternative beschrieben (Westenberger 2011).Der Fortschritt der Wissenschaft sollte nicht länger durch das dogmatische Festhalten an der ursprünglichen Version des Schalentheorems behindert werden.


6 VERZEICHNIS DER VERWENDETEN ABKÜRZUNGEN

Z = geometrisches Zentrum aller Kreise um Z

R = Radius des Standardkreises um Z

A = unterer Schnittpunkt einer senkrechten Geraden durch Z

A_Z = Strecke von A bis Z = R

AZ = Gerade durch A und Z

m = Masse bzw Einheitsmasse (m = 1)

r = beliebiger Radius oder Abstand

W = Wirkung der Gravitation auf eine Position = Gravitationsfeldstärke proportional m / r²

GGE = Geometrische Gravitationseinheit = Wirkung einer Einheitsmasse im Abstand R

m(W) = Wirkmasse = Richtung Z wirkender Teilvektor (entsprechend dem Cosinus)

√ = Wurzel aus

r(Z) = Radius um Z oder Abstand von Z

r(A) = Radius um A oder Abstand von A r(W) = auf A bezogener gemeinsamer Wirkpunkt von Massen = Abstand des Wirkpunkts von A

r(W)ä = äquivalenter Wirkpunkt einer Einheitsmasse

Fq = Fehlerquotient aus der berechneten Gravitationswirkung zu einer zentralen Wirkung (=Maß für die Diskrepanz zwischen Newtons Gravitationsgesetz und Newtons Schalentheorem)


7 ZUSAMMENFASSUNG

Aus den vorangegangenen Berechnungen ergibt sich, dass zwei zu Z symmetrische Massen auf der Geraden AZ ihren gemeinsamen Wirkpunkt r(W) auf der Strecke A_Z haben, dabei ist der Abstand zu A kleiner als die Strecke A_Z .r(W) < R

Ein beliebiger Kreis um Z mit r(Z) < R hat acht Schnittpunkte = Kardinalpunkte mit den zwei Orthogonalen und den zwei Diagonalen des Kreises. Der gemeinsame Wirkpunkt dieser 8 Punkte liegt für jeden Kreis auf der Strecke A_Z .r(W) < RDie Einbeziehung zusätzlicher Messpunkte bestätigt dieses Ergebnis.

Ein Masseobjekt, das mit gleichmäßiger Geschwindigkeit einen vollen Kreis durchläuft, hat seinen über die Zeit summierten Wirkpunkt ebenfalls zwischen A und Z. Es gibt keinen Kreis um Z mit Radius größer null und kleiner R, dessen Wirkpunkt größer oder gleich R wäre.r(W) < R

Der gemeinsame Wirkpunkt beliebig vieler auf Kreisbahnen gleichmäßig um Z laufender Masseobjekte (bei einigermaßen gleichmäßiger Verteilung in der betrachteten Kreisfläche) ist deshalb zu jedem Zeitpunkt näher als Z. (Dabei sollen gravitative Interaktionen der einzelnen Masseobjekte untereinander hier unberücksichtigt bleiben.) r(W) < R

Also ist auch der Wirkpunkt einer an A grenzenden massiven Kreisscheibe näher als Z .r(W) < R

Das Ergebnis für den Wirkpunkt von zweidimensional auf einer Kreisfläche verteilter, um Z laufenden Masse, und ebenso für den Wirkpunkt einer massiven Scheibe ist invariant für eine Kippung der Kreisebene um AZ. Diese Kippung kann bis zu einer Vollkugel fortgesetzt werden. Auch für die kompakte Vollkugel und sonstige kugelförmige Masseverteilung gilt deshalb:r(W) < R

Mit diesem Ergebnis ist das Newtonsche Schalentheorem nicht vereinbar und sollte in seiner ursprünglichen Form deshalb nicht mehr verwendet werden. (Newton postuliert r(W) = R )


8 SUMMARY

Geometric Gravitation Theorem:The centre of gravitational force of masses surrounding symmetrically a geometric centre Z affects a nearby object at a position A as though all masses were concentrated at a point o u t s i d e of the centre Z.

There is a circle of radius R around a centre Z.The downside point of this circle may be called A.

Using Newton's gravitation law we are searching for the single effective point that affects object A gravitationally as though all of the objects of the volume of radius R were concentrated at this point.Mass divided by square of distance serves as a basis for all calculations.We define a geometric gravitation unit:1 GGE = the gravitational force of one mass unit at a distance of R

First we regard any two gravitational points at the straight line AZ that are symmetrical to Z and we establish that the distance of the single effective point r(W) of these two masses on behalf of A is less than R.r(W) < R

Second we calculate the single effective point of 8 cardinal points of any circle ( 8 intersection points of the 2 orthogonals and the 2 diagonals starting at Z) and get the result: The distance of the single effective point from A is less than R.r(W) < R

For any complete circle of gravitational mass you will get the same result:r(W) < R

Therefore any number of circles whatever will result inr(W) < R

The same you will get for a compact disc of matterr(W) < R

And also on behalf of a single object orbiting Z the single effective point of one complete revolution isr(W) < R

Turning a disc of compact matter and a disc of orbiting mass objects respectively around the straight line AZ you will get a globe of the featurer(W) < R

In contrast Newton's Shell Theorem postulates r(W) = R.

What's the reason for getting different results using Newton's gravitation law on the one hand and Newton's Shell Theorem on the other hand?


The crucial step is to follow the instructions of bracket calculation: You first have to consider the gravitational force of any mass at its position and second you may sum up the gravitational forces of different positions. By using the Geometric Gravitation Unit you may observe this bracket rule instruction.Using Newton's gravitation law correctly, it is shown that the galactical rotation curve results from local effective gravitation without need for any “dark matter“ or any other unknown (Westenberger 2011).Using Newton's Shell Theorem you won't get the correct result. Obviously all attempts to prove it do ignore this rule of bracket calculation. (First summing up all masses into the geometric centre of a certain distance to A and second calculating total mass divided by this distance results in “missing mass“ and in “dark matter“, that's a cardinal error of current cosmology.)Therefore the original version of Newton's Shell Theorem should not any longer be used.

9 LITERATUR

Westenberger W, 2011 (Books on demand, Norderstedt): Dark matter: Who will save the materia obscura? Wer rettet die Dunkle Materie?

Geometrisches Gravitationstheorem

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