Didaktisches Kolloquium Mathematik Institut für Didaktik der Mathematik und

Elementarmathematik der TU Braunschweig 13. 12. 2011

Geometrisches Wissen in der Grundschule – Der Weg zu einer

experimentellen Studie

Renate Rasch, Universität Koblenz-Landau Campus Landau r-rasch@uni-landau.de

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Geometrisches Wissen in der Grundschule

• 1 Eigene Befunde – Untersuchungsanlass

• 2 Klassische Untersuchungen - theoretischer Hintergrund

• 3 Beziehungshaltiges Wissen - Kernideen

• 4 Geometrie zwischen Instruktion und Eigenaktivität – experimentelle Studie

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1 Eigene Befunde

Figurenkenntnis – betrachtet über die Grundschuljahre 2003

aktualisiert 2010/2011

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• „Das ist ein Dreieck und das ist ein Langdreieck.“

• Florian, Kl. 1/Schulanfang

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Begriffe, die Kinder in diesem Zusammenhang nennen: Viereck, Quadrat, Rechteck, Dreieck, Kreis, Halbkreis, Würfel

Zeichne Dreiecke, Vierecke, Kreise und Würfel. Kl. 1/Schulanfang

• Justin nach dem Hören des Auftrages:

„Würfel gehen aber ganz schön schwer.“

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2% der Kinder unserer Untersuchung (n=100) repräsentierten Würfel durch eine perspektivische Darstellung, die anderen wählten mit Selbstverständlichkeit die Flächen, um Würfel zu repräsentieren.

• Auftrag für Klasse 2, 3 und 4

Zeichne Flächen und Körper, die du kennst.

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-Begriffe -Eigenschaften -Zusammenhänge -Darstellungen

Was lernen sie?

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Zeichne Flächen und Körper, die du kennst. (Kl. 3/4)

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Zeichne Flächen und Körper, die du kennst. (Kl. 4)

Schülerin mit weniger guten Voraussetzungen in Mathematik am Ende der Grundschule:

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• Schüler/innen, die besonderes leisten können

„Dann mache ich Kugel – Kreis - Unendlicheck.“

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Ideen für Begriffshierarchien

Kl. 4

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konvexe und konkave Figuren

Kl. 4

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Klassifizieren

Kl. 4

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• „Ein Dreieck hat drei Seiten und drei Ecken.“

… das „Langdreieck“ aber war verschwunden.

• Wir betreiben früh eine rechtwinklige Geometrie ohne die dafür notwendigen Eigenschaften.

• Wir vernachlässigen Figuren, die wichtige Träger für geometrisches Verstehen sind, z. B. das Dreieck.

• Begriffe, die man für eine Geometriesprache braucht, vermitteln wir nicht bzw. nur halbherzig, z. B. Winkel.

• Geometrisches Wissen wächst im Zusammenhang mit den Darstellungsfähigkeiten. Wir führen die Kinder zu spät an das Zeichnen (die Zeichengeräte) heran.

• Wir nutzen kaum die besonderen Möglichkeiten dynamischer Geometriesoftware in der Grundschule. (Quelle: z. B. Markus Reiter. Grundschulunterricht, Heft 1/2012. Oldenbourg; Beiträge zum Mathematikunterricht 2011. Springer)

• Wir fördern besonders leistungsfähige Kinder nicht ausreichend. • …

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Eine ToDo-Liste?

2 Klassische Untersuchungen

• Jean Piaget

•Pierre und Dina van Hiele

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bis 3 Jahre

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ab 3 Jahre

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ab 4 Jahre

• Entwicklung in den Kitas?

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Kl. 1, 9. Schulwoche (2011)

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Noemi, 6 Jahre

Fiona, 6 Jahre

• Die Untersuchungen von Dina van Hiele-Geldorf und Pierre van Hiele (1957) haben ihre Relevanz bis heute behalten und bilden die Grundlage für zahlreiche Untersuchungen (Clements et al. 1996; Reimann 2010; Szinger 2006) und die Entwicklung von Curricula und Standards in der Geometrie (Common Core Standards 2009).

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• Level 0: Visualization

• Level 1: Analysis

• Level 2: Abstraction

• Level 3: Deduction

• Level 4: Rigor

Pierre van Hiele beschrieb, dass seine Kinder Stufen erreichten, die sich durch markante Punkte beschreiben ließen und auf der Grundlage solcher markanten Punkte konnte er Niveaustufen identifizieren.

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Wie Kinder lernen, Geometrie zu verstehen Pierre und Dina van Hiele (1957) Fünf Denkebenen der Entwicklung geometrischen Denkens

Level 1

Die Objekte des Denkens sind die

Figuren (classes of shapes), die das Kind bezüglich ihrer Eigenschaften betrachten kann.

Level 2

Die Schüler verstehen, dass

Eigenschaften miteinander in Beziehung stehen und eine bestimmte Sorte Merkmale andere Eigenschaften hervorruft.

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„Sie gehen davon aus, dass ein Quadrat kein Rechteck ist.“

„Sie erkennen, dass alle Quadrate Rechtecke, aber nicht alle Rechtecke Quadrate sind .“

• „Ein Kind muss genügend Erfahrungen zu geometrischen Ideen erwerben können (classroom or otherwise), um ein höheres Entwicklungsstadium zu erreichen. …“

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• Ziele einer experimentellen Studie:

– Inhalte der Grundschulgeometrie so aufbereiten, dass Grundschulkinder auch in der Geometrie Zusammenhänge sehen, artikulieren und nutzen, sich zwischen Level 1 und 2 bewegen lernen

– Niveaustufen genauer beschreiben

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3 Beziehungshaltiges Wissen - Kernideen

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• Geometrie 1: Faltwinkel (Gerade, Strecke, Strahl, sich schneidende Geraden, Winkel, rechter Winkel, Rechteck, rechteckige Körper, senkrechte Linien, parallele Linien, Parallelogramm)

• Geometrie 2: Achsenkreuz (sich senkrecht schneiden, senkrecht zueinander, rechte Winkel, Quadrat, Drachenviereck, Raute, Kreis)

• Geometrie 3: Dreiecke (beliebige Dreiecke mit spitzen und stumpfen Ecken (Winkeln); Dreiecke mit zwei gleichlangen Seiten; Dreiecke mit drei gleichlangen Seiten)

• Geometrie 4: Streifengeometrie (parallele Kanten; Trapez, symmetrisches Trapez; Parallelogramm; Rechteck; Quadrat)

• Geometrie 5: Kreise (Halbkreis, Viertelkreis – Faltwinkel , Dreiviertelkreis, Vierviertelkreis; Quadrat, halbes Quadrat – rechtwinkliges Dreieck; Achteck; Kegel)

• Geometrie 6: Dreiecke im Quadrat ( gleichschenklig, rechtwinklig, zusammengesetzte Figuren, Geometriedreieck, halbe rechte Winkel, parallele Linien, rechtwinklige Dreiecke im Kreis)

• Geometrie 7: Gleichseitige Dreiecke ( Linien im Dreieck; Symmetrien, Beziehungen zu Trapez, Raute, Sechseck, Würfel, Parkettieren, Tetraeder,

platonische Körper)

• Geometrie 1: Faltwinkel (Gerade, Strecke, Strahl, sich schneidende Geraden, Winkel, rechter Winkel, Rechteck, rechteckige Körper, senkrechte Linien, parallele Linien, Parallelogramm)

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4 Geometrie zwischen Instruktion und Eigenaktivität

Experimentelle Studie

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Über Geometrie sprechen …

-Fachbegriffe -Gespräche -Dokumente

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Wege zu geometrischen Formen über das Falten und …

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Zeichnen

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1 Erinnern/Reflektieren

2 Wissen aufnehmen

3 Anwenden/Erproben

4 Austauschen/Besprechen

Unterrichtsstrukturen

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Wissen aufnehmen

Was schafft man „nur mit den Augen“?

• Anwenden und Erproben

Offene Aufgaben als Rahmen für

geometrische Eigenaktivität

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Klassenstufe 1 (Auswahl)

• Zeichne und schneide Dreiecke mit zwei gleichlangen Seiten.

• Lege mit 4 Dreiecken aus dem Quadrat verschiedene Vierecke und ein großes Dreieck. Klebe die Figuren auf.

• Falte ein Achsenkreuz und setze Quadrate und Kreise darauf.

• Zeichne oder falte Drachenvierecke und klebe sie auf.

• Falte und schneide Vierecke aus dem Papierquadrat und schreibe die Namen dazu.

• Zeichne mit dem Dreieck aus dem Papierquadrat. Schreibe die Namen der Figuren daran.

• Zeichne mit dem Papierdreieck senkrechte und parallele Linien. Ergänze einzelne Figuren zu Rechtecken.

Instruktion

Offene Aufgabe

• Falte aus einem Kreis das Ziffernblatt einer Uhr und setze Figuren darauf.

• Nimm dir eine Figur und finde heraus, wie viele Symmetrielinien diese Figur hat: keine, eine, zwei, drei, vier, mehr als vier. Zeichne die Symmetrielinien ein.

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• Finde Figuren im und mit dem Kreis. Zeichne und falte.

• Arbeite mit Streifen. Finde Quadrate, Rechtecke, Parallelogramme und Trapeze. Schreibe die Namen der Figuren daran.

• Zeichne parallele Linien, die sich schneiden. Du findest Parallelogramme. Lege zwei Streifen aufeinander, du findest Parallelogramme. • Zeichne senkrechte und

parallele Linien mit dem Geometriedreieck. Finde Rechtecke und skizziere Muster.

Klassenstufe 2 (Auswahl erstes Halbjahr)

Offene Aufgabe

Instruktion

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Zeichne und schneide Dreiecke mit zwei gleichlangen Seiten.

2. Geometriestunde, Kl. 1

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Falte und schneide Dreiecke aus dem Quadrat.

3. Geometriestunde, Kl. 1

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5. Geometriestunde, Kl. 1

Lege mit 4 Dreiecken aus dem Quadrat verschiedene Vierecke und klebe sie auf.

• Stunde 9: (16.06.2011):

Zeichne mit dem Dreieck aus dem Papierquadrat. Schreibe die Namen der Figuren dazu.

• Stunde 10 (24.06.2011):

Zeichne mit dem Papierdreieck senkrechte und parallele Linien. Ergänze einzelne Figuren zu Rechtecken.

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Das „Achtereck“

Das Quadrat im Kreis

Auf der Suche nach dem Quadrat im Kreis

• Welche Denkprozesse bewältigen sie, welche nicht?

• Welche Darstellungsfähigkeiten lassen sich früh entwickeln, welche nicht?

• Welche Fachbegriffe können sie verinnerlichen, welche nicht?

• Wann können erste Zusammenhänge bewusst genutzt werden? Welche sind das?

• Wie differenzierend müssen wir vorgehen?

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Wie kann sich geometrisches Wissen entwickeln, wenn es ausreichend Anregungen gibt?

Was ist in einer bestimmten Jahrgangsstufe möglich – welches Lernangebot muss man Kindern demzufolge machen?

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• Level 0: Visualization

• Level 1: Analysis

• Level 2: Abstraction

Bisherige Ergebnisse: -Jahrgangsstufe 1: erreichte Level 0, aber auf der Grundlage der Kenntnis zahlreicher geometrischer Formen -Jahrgangsstufe 2 (?): bewegt sich auf Level 0 (anspruchsvolle Formen können besser verinnerlicht werden, weitere Formen kommen dazu), vielfach schon auf Level 1 (Träger sind die rechten Winkel und die parallelen Seiten); erste Ansätze für Level 2 erkennbar: „Drei Symmetrieachsen beim gleichseitigen Dreieck, das ist wie beim Quadrat mit vier.“

• Danke für die Aufmerksamkeit.

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