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Gleichgewichtswinde• geostrophischer Wind (vg)

Die Erde hat annähernd eine Kugelgestalt und deswegen fällt nördlich und südlich der Tropen weniger Sonnen-strahlung auf einen Quadratmeter als in niederen Breiten. Dies wäre lediglich dann der Fall, wenn die Erde eineflache Scheibe wäre. Außerdem steht die Erdachse nicht senkrecht im Raum, weswegen die Jahreszeiten entstehenund Regionen der Erde teilweise keine solare Strahlung erhalten.In den Tropen, in denen die Strahlung nahezu senkrecht einfällt, erhält das System Erde-Atmosphäre im Mittel En-ergie (Netto-Strahlungsgewinn). In den mittleren Breiten und an den Polen strahlt die Atmosphäre hingegen mehrEnergie ab als sie durch die solare Strahlung erhält (Netto-Strahlungsverlust). Generell ergibt sich deswegen inder unteren und mittleren Troposphäre einTemperaturunterschied zwischen den südlichen und nördlichen Re-gionen. Auf der Nordhalbkugel ist dabei der Süden warm und der Norden kalt temperiert.Da die Höhe eines Druckniveaus proportional zur virtuellen Schichtmitteltemperatur ist, liegen dieDruckflächenin der kalten Luft tiefer als in der warmen. Das kommt daher, weil in der kalten Luft unterhalb des z-Niveaus mehratmosphärische Masse vereinigt ist als in der warmen Luft. Damit ist oberhalb dieser Höhe über der kalten Regionweniger Masse vorhanden als in der warmen Luftmasse.Unter der Annahme einer zonal-symmetrischen Verteilung der kalten und warmen Luftmassen liegen die Isobarenparallel zueinander, mit dem niedrigen Druck im kalten Bereich (s. Abb. 1). Auf ein Luftteilchen wirkt auf der z-Fläche somit dieDruckgradientkraft (FP= -1/ρ ∇zp) ein und beschleunigt es zum niedrigen Druck. Die Ge-schwindigkeit des Luftteilchen nimmt zu und dieCorioliskraft (FC= -f k x v) verstärkt sich. Auf der Nordhalb-kugel sorgt die Corioliskraft für die Ablenkung des Luftteilchen nach rechts. Wirkt keine weitere Kraft, so befindetsich das Luftteilchen schließlich im sog.geostrophischen Gleichgewicht (FP+FC=0). Unter der Annahme, dasseine Bewegung lediglich durch die Druckgradient- und die Corioliskraft ausbalanciert ist, stellt sich der sog.geostrophische Wind ein.Aus der Bewegungsgleichung im (x,y,z)-System lässt sich herleiten

Abb. 1: Veranschaulichung des geostrophischen Gleichgewichtes.

Da die Dichte (ρ) von der Höhe abhängt (ρ=ρ(z)), sind gleiche Druckgradienten im (x,y,z)-System kein Merkmalfür gleich starke geostrophische Winde. Bei gleichem Druckgradient ist der geostrophische Wind in höheren at-mosphärischen Schichten stärker, d. h. bei gleichem Druckgradienten ergeben sich in unterschiedlichen Höhen ver-schiedene geostrophische Windgeschwindigkeiten. Dieser Nachteil kann durch das (x,y,p)-System vermiedenwerden. Aus 1/ρ ∇zp = ∇pφ (zur Herleitung vgl. Holton,1992) folgt:

Beachte: Aufgrund derBreitenabhängigkeit des Coriolisparameters (f=2Ωsinϕ) nimmt bei gleicherIsohypsendrängung der geostrophische Wind in Richtung Pol ab.

vg1ρ f-----–= ∇z p k×

p0

p0+δp

p0+2δp

FP

FC

vg

T

H

vg1f---–= ∇p φ k×

D. h.: Im (x,y,p)-System weht der geostrophische Wind parallel zu den Isohypsen (Linien gleicher geopo-tenzieller Höhe), auf der Nordhalbkugel mit den niedrigeren Werten zur Linken.

2

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• Gradientwind (vG)

DieBahn eines Teilchenswird als sog.Trajektorie bezeichnet. Eine Trajektorie ist gleich einerStromlinie, wenndie Stromlinien sich nicht verändern, d. h. falls die Strömung stationär ist. Im Normalfall ist die Bewegung einesTeilchen nicht geradlinig, d. h. dessen Trajektorie ist gekrümmt. In diesem Fall muss zusätzlich zur Druckgradient-und Corioliskraft dieZentrifugalkraft (FZ= -v2/r er , wobeier den Einheitsvektor in Richtung des Mittelpunktesdes Krümmungskreises darstellt und r der Radius des Krümmungskreises der Trajektorie ist) berücksichtigt wer-den und der sog.Gradientwind bezeichnet dabei den Wind der sich durch das Gleichgewicht dieser drei Kräfteergibt (s. Abb. 2).

Abb. 2: Illustration des Gradientwindes, im Fall einer zyklonalen (I) und antizyklonalen Trajektorien-krümmung (II).

Beachte: Ist die Bewegung eines Luftteilchens nur schwach gekrümmt, dann ist die Zentrifugalkraft kleiner als dieCorioliskraft. Das heißt, dass in diesem Fall der Unterschied zwischen dem Gradientwind und dem geostrophi-schen Wind nicht sehr groß ist. In der Praxis wird meist der geostrophische Wind dem Gradientwind bevorzugt,da die Bestimmung der Zentrifugalkraft über die Analyse der Trajektorienkrümmungen bzw. der Krümmungen derStromlinien nur schwer möglich ist.Fazit: Neben dem geostrophischen Wind weht auch der Gradientwind parallel zu den Isohypsen, auf der Nordhalb-kugel mit den niedrigen Werten zur Linken. Die Geschwindigkeit des Gradientwindes ist bei einer zyklonal ge-krümmten Trajektorie geringer (Subgeostrophie) und im antizyklonalen Fall größer (Supergeostrophie) als diedes geostrophischen Windes.

Falls die Zentrifugalkraft sehr viel größer als die Corioliskraft ist, ergibt sich unter der Vernachlässigung der Co-rioliskraft der sog.zyklostrophische Wind. Dieser tritt bei kleinen Krümmungsradien auf, bei denen eine hoheWindgeschwindigkeit erreicht wird (die Corioliskraft ist proportional zu v, wohingegen die Zentrifugalkraft pro-portional zu v2 ist). Beispiele für den zyklostrophischen Wind sind Tornados, Staubteufel und Winde im Zentrumeines starken Hurrikans.

• Reibungswind (vR)

Der geostrophische Wind als auch der Gradientwind sind unter der Annahme definiert, dass keine Reibung auftritt.Dies kann lediglich in der freien Atmosphäre vorausgesetzt werden, da dort die Reibung mit der Erdoberfläche ver-nachlässigt werden kann. Die freie Atmosphäre beginnt am Rande der Grenzschicht, deren Höhe variabel ist. Inder Grenzschicht muss die zunehmendeReibungmit dem Erdboden berücksichtigt werden. Die sog.Ekman-Spi-rale beschreibt die zunehmende Ablenkung des Windes (α) von der Obergrenze der Grenzschicht bis zum Erdbo-den (s. Abb. 3). Der Wind wird dabei aufgrund des Druckgradients in Richtung des tiefen Drucks abgelenkt. DieReibung ist i. Allg. über dem Land größer als über dem Meer, da die Oberfläche des Landes inhomogen ist. Des-wegen ist die Ablenkung über dem Land stärker (α ≈ 20-30o) als über dem Meer (α ≈ 10-20o). D. h. wiederum,dass Tiefdruckgebiete sich über den Kontinenten schneller auflösen als über den Ozeanen.

vG

FP

FC

FZ

FPFZ

FC

vG

Subgeostrophie Supergeostrophie

p0p0

p0+δp

T

H

p0+δp

I II

3

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Abb. 3: Entstehung des Reibungswindes durch die Ablenkung des geostrophischen Windes in der Grenz-schicht.

Der sog.Reibungswind ist also der geostrophische Wind unter Einbeziehung der Reibungskraft, die der Bewe-gungsrichtung entgegen gerichtet ist (s.Abb. 4).

Abb. 4: Darstellung der Kräfte die zur Entstehung des Reibungswindes führen.

Es stellt sich die Frage, ob es durch geostrophische Winde allein möglich ist Druckgegensätze auf- und wieder ab-zubauen. Dazu wird zunächst der Druck auf einem bestimmten Niveau betrachtet:

Unter der Annahme, dass sich der Coriolisparameter (f) nicht in horizontaler Richtung verändert, kann durch dengeostrophischen Wind keine Advektion von Masse erfolgen, denn:

Die vorletzte Gleichheit gilt wegen und die letzte aufgrund rot(grad)=0.

Für die Drucktendenzgleichung folgt dann mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung ( ) und unter der Vor-aussetzung, dassv=vg:

Die Folge der Geostrophie ist ein divergenzfreier geostrophischer Wind und somit zeitkonstante Druckgebilde. DieEntwicklung und Auflösung von Tief- und Hochdruckgebilden ist damit nur durch sog.ageostrophische Windemöglich, d. h. Winde die sich vom geostrophischen Wind unterscheiden. Ein ageostrophischer Wind ist der Rei-bungswind, da dieser langsamer als der geostrophische Wind ist und in Richtung des Tiefen Drucks abgelenktwird. Der Reibungswind ist nicht mehr divergenzfrei (∇ (ρvR)≠0) und die Ablenkung führt dazu, dass die entstan-denen Druckgegensätze schließlich abgebaut werden und ein Tiefdrucksystem aufgefüllt wird.In Wirklichkeit ist der Coriolisparameter abhängig von der geographischen Breite, weshalb der geostrophischeWind nicht divergenzfrei ist. In Richtung der Pole konvergiert der geostrophische Wind, da die Meridiane dort zu-sammen laufen. Die Konvergenz des geostrophischen Windes ist mit Ausnahme der Polregionen allerdings kleinund kann vernachlässigt werden.

v Rvg

Ekman-Spiraleα

αvg

vR

FC

FP

FR

p0

p0+δp

T

H

p z( ) ρ g zdz

∞

∫=

∇z ρvg( ) ∇z1f---– ∇zp k×

1f--- k ∇z ∇zp×( )⋅– 0= = =

∇ a b×( )⋅ b ∇ a×( )⋅ a ∇ b×( )⋅–=

t∂∂ρ ∇z ρ v( )=

t∂∂p

z( )t∂

∂ρg zd

z

∞

∫ g ∇z ρvg( ) zdz

∞

∫ 0= = =

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Der thermische WindUnter der Voraussetzung, dass das geostrophische Gleichgewicht gilt, lässt sich in jeder atmosphärischen Höhe dergeostrophische Wind bestimmen. In jedem Niveau weht dieser parallel zu den Isohypsen mit den niedrigen Wertenzur Linken. Durch den unterschiedlichen Aufbau der Atmosphäre ändert sich die Lage der Isohypsen mit der Höheund damit verändert sich auch gleichzeitig der geostrophische Wind.Die vertikale Scherung des geostrophischen Windesbezeichnet dabei den sog.thermischen Wind (vT). D. h.der thermische Wind ist die Differenz der geostrophischen Winde unterschiedlicher Höhenniveaus (s. Abb. 5).

Abb. 5: Veränderung des geostrophischen Windes vom unteren Niveau (Index 0) zum oberen Niveau(Index 1).

Häufig ergibt sich die Situation, dass die Druckflächen geneigt im Raum liegen (vgl. Abb. 6) und der Abstand die-ser Flächen an einer Stelle (x1) geringer ist als an einem anderen Ort (x2). Nimmt die Neigung der Druckflächenmit der Höhe zu, so ergibt sich ein immer größerer Gradient des Geopotenzials auf den isobaren Flächen. Dies hatzur Folge, dass der geostrophische Wind mit der Höhe zunimmt. Das die Neigung der Druckflächen mit einem ho-rizontalen Temperaturgradient verbunden ist, lässt sich folgendermaßen erklären: Die Schichtdicke ist proportio-nal zur virtuellen Schichtmitteltemperatur und somit kann aus dem Höhenabstand zweier Druckniveaus dievirtuelle Temperatur der entsprechenden Schicht abgeleitet werden. Ist der Abstand an x1 geringer als an x2, so istdie Schicht an x1 kälter (dichter) als an x2 und es liegt ein horizontaler Temperaturunterschied vor.

Abb. 6: Zusammenhang zwischen der vertikalen Scherung des geostrophischen Windes und horizontalenTemperaturgradienten (aus Holton, 1992).

Die sog.thermische Windgleichung kann im (x,y,p)-System aus der Gleichung für den geostrophischen Windund der hydrostatischen Grundgleichung hergeleitet werden:

Wird die partielle Ableitung von Gleichung (1) nach dem Druck gebildet und wird Gleichung (2)in die entstandene Beziehung eingesetzt, dann folgt:

vT

vg1

vg0

vg1f---–= ∇pφ k×

∂φ∂p------ 1

ρ---–

RLTvp

--------------= =hydrostatischeGrundgleichung

(1)

(2)

geostrophischer Wind

p∂vg

∂p--------

∂vg

∂ pln-----------

RL

f------ k ∇pTv×–= =thermische Windgleichung

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Durch Integration über den Druck von p0 nach p1 (p1<p0) ergibt sich die Gleichung für den thermischen Wind:

Ist anstatt der virtuellen Temperatur das Geopotenzial der beiden Druckflächen bekannt, dann lässt sich unmittel-bar aus Gleichung (1) der thermische Wind bestimmen:

In einerbarotropen Atmosphäre ist die Dichte lediglich vom Druck abhängig (ρ=ρ(p)) und somit sind isobare Flä-chen gleichzeitig Flächen konstanter Dichte. Für ein ideales Gas ist eine isobare Fläche ebenfalls isotherm, wenndie Atmosphäre barotrop geschichtet ist. Damit verschwindet der isobare Temperaturgradient (∇pT =0) und somitverändert sich der geostrophische Wind mit der Höhe nicht bzw. es gibt keinen thermischen Wind.Eine Atmosphäre istbaroklin geschichtet, genau dann wenn die atmosphärische Dichte vom Druck und von derTemperatur abhängig ist (ρ=ρ(p,T)). Das bedeutet, dass sich die Flächen gleicher Dichte und die Flächen gleichenDrucks schneiden. Da für ein ideales Gas die Dichte von der Temperatur abhängt kreuzen sich ebenfalls die Flä-chen gleicher Temperatur und die des gleichen Drucks. Im (x,y,p)-System bedeutet dies, dass auf Druckflächenverschiedene Isothermen auffindbar sind (d. h.:∇pT ≠ 0). Im (x,y,z)-System ist dies gleichgestellt mit der Forde-rung, dass der Temperatur- und Druckgradient nicht parallel zueinander verlaufen (d. h. genau:∇zT x ∇zp ≠ 0).Aufgrund der thermischen Windgleichung gilt:

Der thermische Wind kann in unterschiedlichen Situationen entstehen (s. Abb. 7):a) Verlaufen die Isothermen parallel zu den Isohypsen und liegt die kältere Luft über dem tieferen Geopotenzial,dann nimmt der Wind mit der Höhe zu, aber ändert seine Richtung nicht.b) Liegt im Gegensatz zu a) die wärmere Luft über dem tieferen Geopotenzial, dann schwächt sich der Wind mitder Höhe ab und bleibt ebenfalls gleich gerichtet.c) Liegen Isohypsen und die Isothermen der betrachteten Schicht nicht parallel, dann verändert der geostrophischeWind seine Richtung und/oder Stärke mit der Höhe. Außerdem werden durch Advektion unterschiedlich tempe-rierte Luftmassen transportiert. Bei einer Drehung des geostrophischen Windes nach rechts (im Uhrzeigersinn) er-folgt eine Warmluftadvektion (WLA) und wenn er nach links dreht (gegen den Uhrzeigersinn), dann kommt es zurKaltluftadvektion (KLA).d) Ist die Atmosphäre barotrop geschichtet, dann ist der geostrophische Wind höhenkonstant.

Abb. 7: Typen der vertikalen Windänderung (aus Kurz, 1990). Dargestellt sind das Geopotenzial der unte-ren Druckschicht und die Isothermen der Schicht zwischen dem oberen (p1) und unteren (p0) Druckniveau.

Liegen Winddaten eines Radiosondenaufstiegs vor, so kann aus der vertikalen Änderung des Windes auf unter-schiedliche horizontale Temperaturadvektion in den entsprechenden Schichten geschlossen werden. Dreht derWind mit der Höhe nach rechts liegt WLA vor, dreht er nach links, so handelt es sich um KLA.

vT vg p1( ) vg p0( )–≡RL

f------ k ∇p Tv×( ) plnd

p0

p1

∫–=thermischer Wind

vT vg p1( ) vg p0( )–≡ 1f--- k ∇p φ1 φ0–( )×=

In einer baroklinen Atmosphäre ändert sich der geostrophische Wind mit der Höhe.

a) b)

c)

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Die Polarfront

Abb. 8: Modell einer winterlichen Polarfront (aus Kurz, 1990). Dargestellt sind die Isothermen (inoC,gestrichelte Linien), Isotachen (in m s-1, durchgezogene dünne Linien), der Bereich der Polarfront (dickegeneigte Linien) sowie die Tropopause (dicke nahezu horizonale Linie).

Die Polarfront trennt die polare Luftmasse von der gemäßigten Luft und durchschneidet alsetwa 1 km mächtige, isotherme Schicht die gesamte Troposphäre (s. Abb. 8). Die Polarluftschiebt sich dabei keilförmig unter die wärmere gemäßigte Luft und die Front weist eine Nei-gung von etwa 1:100 auf. Es entsteht eine stark baroklin geschichtete Zone und die Luftmassennördlich und südlich der Polarfront sind schwächer baroklin geschichtet. In der Front selbst be-stehen starke Temperaturgegensätze, die auf 100 km Werte von bis zu 7oC erreicht. Nach derthermischen Windgleichung verändert sich der geostrophische Wind mit der Höhe genau dann,wenn auf einer Druckfläche thermische Gegensätze vorhanden sind. Dies ist entlang der Polar-front, die eine Diskontinuität darstellt, der Fall und führt dazu, dass insbesondere in der Fron-talzone der frontalzonenparallele Wind an Stärke zunimmt. Der thermische Wind verstärkt sichin der Vertikalen so lange, bis sich der Temperaturgradient auf den Druckflächen umkehrt.Oberhalb der Tropopause ist der Temperaturrückgang nur noch gering bzw. die Temperaturnimmt wieder zu. Da die polare Tropopause schon in einer geringeren Höhe auftritt als die sub-tropische Tropopause, ändert der meridionale Temperaturgradient oberhalb der polaren Tro-popause sein Vorzeichen und der geostrophische Wind nimmt folglich an Intensität ab. In derHöhe in welcher der Vorzeichenwechsel stattfindet (~10 km) liegt das Maximum des geostro-phischen Windes. Dies liegt meist 1 km unterhalb der subtropischen Tropopause in etwa300 hPa und der Strahlstrom (im Englischen mit „Jet“ bezeichnet) ist oberhalb der Polarfront in500 hPa (~5,5 km) lokalisiert (vgl. Abb. 8).