Goethe-Universität Frankfurt am Main – Lehrstuhl für Eingebettete Systeme - Prof. Dr. U....

Goethe-Universität Frankfurt am Main – Lehrstuhl für Eingebettete Systeme - Prof. Dr. U. Brinkschulte1

2.7 Signalprozessoren

Spezielle Mikrorechner-Architekturen für die Verarbeitung analoger Signale in eingebetteten Systemen, z.B. im Audio- oder Video-Bereich

Anwendungsbereiche:•digitale FilterSpektralanalysenSpracherkennungSprach- und BildkompressionSignalaufbereitung (Verbesserung von

Audio- und Videosignalen, Rauschunterdrückung, Nachbildung von Raumakustiken, ...)

Verschlüsselung analoger Signale



Die digitale Verarbeitung analoger Signale heißt, Rechenverfahren auf die Signale anzuwenden. Hierbei ist es unerheblich, um welche Signale (Audio, Video, ...) es sich handelt.

Beispiel: digitaler Hall

=> Der Hall-Vorgang muß mit Hilfe der Systemtheorie mathematisch beschrieben werden, ein Signalprozessor kann die so ermittelten

Gleichungen dann berechnen



2.7.1 Einiges zur Theorie der digitalen Signalverarbeitung

Systemtheorie: erlaubt eine allgemeingültige Beschreibung von Manipulationen an Signalen

System:

Erzeugt aus Eingangsgrößen Ausgangsgrößen

x(t) y(t)System



Beschränkung auf lineare, zeitinvariante Systeme

Zeitinvarianz: das System verändert sein Verhalten über die

Zeit nicht, d.h wenn: x1(t) y1(t) folgt: x1(t-) y1(t-)

Linearität: es gilt das Überlagerungsprinzip (Superpositionsprinzip) wenn: x1(t) y1(t) und: x2(t) y2(t) folgt: ax1(t) + bx2(t) ay1(t) +

by2(t)



Kassifizierung der möglichen Signale x(t) und y(t):



Beschreibung eines Systems:

2 Möglichkeiten:

• im Zeitbereich

• im Frequenzbereich



Beschreibung im Zeitbereich

Systeme werden im Zeitbereich i.A. durch ihre Impulsantwort beschrieben

Impulsantwort: Reaktion des Systems auf einenDirac-Impuls (t)

Da die Bedeutung der Impulsantwort bei zeitdiskreten Signale leichter zu verstehen ist als bei zeitkontinuierlichen Signalen, beginnen wir mit der Betrachtung zeitdiskreter Signale



Impulsantwort für zeitdiskrete Signale

Definition des Dirac-Impulses (t) für zeitdiskrete Systeme:

einzelner Impuls zum Zeitpunkt t=0, für den gilt

1)(

tt



=>

sonst 0

0für t 1)( t

t

1

(t)

0



Impulsantwort a(t): Reaktion des Systems auf (t)

(t) a(t)

t

1

x(t) = (t)

0t

y(t) = a(t)

0



Jede beliebige Erregung läßt sich als Summe zeitlich verschobener und gewichteter Dirac-Impulse darstellen:

x(2)(t-2)

t

x(t)

0

x(0)(t)

x()(t-) x(3)(t-3)

x ( t )=∑i =-¥

¥

x ()⋅d ( t−¿)



Da in einem linearen System das Überlagerungsprinzip gilt, kann die Systemantwort auf eine beliebige Erregung als Summe der gewichteten und verschobenen Impulsantworten ermittelt werden:

i

itaixty )()()(

Diese Summe nennt man auch Faltungssumme, die Operation Faltung:

)()()( tatxty



Schlußfolgerung:

Die Reaktion eines linearen, zeitdiskreten Systems kann also durch Faltung der Erregung mit der Impulsantwort ermittelt werden



Impulsantwort für zeitkontinuierliche Signale

Das Verhalten eines zeitkontinuierlichen Systems kann

aus dem Verhalten eines zeitdiskreten Systems

abgeleitet werden, indem man den Grenzwert für 0

bildet und die Summationen durch Integrationen

ersetzt



Definition des Dirac-Impulses (t) für zeitkontinuierliche Systeme:

einzelner Impuls zum Zeitpunkt t=0, für den gilt

1)( -

dtt

für zeitkontinuierliche Systeme ist der Dirac-Impuls ein

Impuls zum Zeitpunkt t=0 mit der Impulsdauer 0, der

Impulsamplitude und der Impulsfläche 1



Beliebige zeitkontinuierliche Erregung als Integral über verschobene und gewichtete Dirac-Impulse:

dtxtx )()()(

Systemantwort auf eine beliebige zeitkontinuierliche Erregung:

dtaxty )()()(

Dieses Integral heißt Faltungsintegral



sowohl für zeitdiskrete wie zeitkontinuierliche lineare

und zeitinvariante Systeme läßt sich die Systemantwort

auf eine beliebige Erregung im Zeitbereich durch Faltung

der Erregung mit der Impulsantwort des Systems ermitteln

)()()( tatxty

Die Faltung entspricht hierbei für zeitdiskrete Systeme

einer Summation, für zeitkontinuierliche Systeme einer

Integration



Beschreibung im Frequenzbereich

Das Verhalten eines linearen zeitinvarianten Systems kann auch im Frequenzbereich beschrieben werden

Das Systemverhalten wird hierbei nicht in Abhängigkeit der Zeit, sondern in Abhängigkeit der Frequenz beschrieben

=> Spektralanalyse



Übergang in den Frequenzbereich: Erregung des Systems mit einem Signal komplexer Frequenz s:

: Frequenz : Dämpfung

jsetx st + = mit )(

))sin()(cos(

=

= )(

tjte

ee

e

t

jwtt

tj

t



Systemantwort auf diese Erregung:

a(t) von (s)AerteTransformi

Laplace

)(

)(

)()(

L

)(

daee

dae

dtaety

sst

ts

s

*



* Kommutativgesetz der Faltung:

ddd

dtdxtx

tdxtx

dtxx

, 1 , )()(

)()(

:onSubstituti )()(

21

21

21



Die Laplace-Transformation ist eine Integraltransformation, die eine Funktion vom Zeitbereich t in den komplexen Frequenzbereich s = + j transformiert

Allg. Gleichung der (zweiseitigen) Laplace-Transformation:

dttxesX st )()(



Vorteil der Rechnung im Frequenzbereich: die Rechenoperationen vereinfachen sich gegenüber dem Zeitbereich

Aus der Faltung im Zeitbereich wird z.B. eine einfache Multiplikation im Frequenzbereich

)()()(

)()()(

sAsXsY

tatxtyL

Dies bedeutet, die Systemantwort im Frequenzbereich berechnet sich durch Multiplikation der Erregung im Frequenzbereich mit der Impulsantwort im Frequenzbereich



Einige weitere Regeln der Laplace-Transformation:

Z e i t b e r e i c h F r e q u e n z b e r e i c h

L i n e a r k o m b i n a t i o n a x t b x t1 2( ) ( ) a X s b X s1 2( ) ( )

F a l t u n g x t x t1 2( ) ( ) X s X s1 2( ) ( )

I n t e g r a t i o n x d

t

( )

1

sX s( )

D i f f e r e n t i a t i o n

d

d tx t( ) s X s x( ) ( ) 0

D ä m p f u n g x t e( ) t X s( )



Für stabile Systeme (endliche Erregung endliche Antwort) läßt sich die Transformation vereinfachen:

Erregung mit

=>

0 d.h. )( tjetx

a(t) von )(AerteTransformi

Fourier

)()(

F

daeety jtj

Die Fourier-Transformation ist eine Integraltransformation, die eine Funktion vom Zeitbereich t in den Frequenzbereich transformiert



Allg. Gleichung der Fourier-Transformation:

dttxeX tj )()(

Für die Fourier-Transformation ist die Rücktransformation in den Zeitbereich einfacher als für die Laplace-Transformation:

dXetx tj )(2

1)(



Ansonsten hat die Fourier-Transformation ähnliche Eigenschaften wie die Laplace-Transformation

Auch hier wird aus der Faltung im Zeitbereich eine Multiplikation im Frequenzbereich, was zu einer ebenso einfachen Berechnung der Systemantwort im Frequenzbereich führt:

)()()(

)()()(

FAXY

tatxty



Einige weitere Regeln der Fourier-Transformation:

Z e i t b e r e i c h F r e q u e n z b e r e i c h

L i n e a r k o m b i n a t i o n a x t b x t1 2( ) ( ) a X b X1 2( ) ( )

F a l t u n g x t x t1 2( ) ( ) X X1 2( ) ( )

I n t e g r a t i o n x d

t

( )

1

0j

X X

( ) ( ) ( )

D i f f e r e n t i a t i o n

d

d tx t( ) j X ( )

D ä m p f u n g x t e( ) 0 t X ( ) 0

Die Laplace-Transformation findet meist bei der Systemanalyse VerwendungBei Signalverarbeitung wird i.A. die Fourier-Transformation eingesetzt



Beispiel: digitale Realisierung eines einfachen Tiefpaß

Frequenzgang eines einfachen Tiefpaß:

A F ( )

2 0

02 2

0 3/ 0 / 3

2 / 0



Durch Rücktransformation aus dem Frequenzbereich (mittels inversem Fourier-Integral, siehe Folie 26) erhalten wir die Impulsantwort des Tiefpaß:

a t e t( ) 0

1



Ausgangssignal dieses Tiefpasses auf eine beliebige zeitdiskrete Erregung:

i

iteixty )(0)()(

Setzt man kausales Verhalten voraus (i 0) und beschränkt die Summe als Näherung auf einen endlichen Wert, so läßt sich dieser Tiefpaß mit einem Signalprozessor realisieren, der y(t) aus x(t) nach folgender Gleichung berechnet:

N

i

iteixty0

)(0)()(



Das Abtast-Theorem

In wieweit läßt sich nun aus einem abgestasteten Signal wieder das Ursprungs-Signal rekonstruieren?



Auch hier hilft die Fourier-Transformation:

dttxeXtx tjTransfFourier

)()()( .

ihe

Fourier

i

ij

i

tj

i

tjA

TransfFourier

iA

eix

dtiteix

dtitixeX

itixtx

Re

.

)(

)()(

)()()(

)()()(

Ursprungs-Signal:

Abgetastetes Signal:



Allgemeine Fourier-Reihe einer Funktion f(x):

2/1

2/1

)(2

mit )( dxxfececxs ixji

i

itji

In unserem Fall:

dXedXeixc ijiji

Funktion

eentwickelt

)(1

2)(

2

1)(

XA() entspricht bis auf einen Faktor 1/ der Fourier-

Reihenentwicklung von X()



XA() ist die periodische Fortsetzung von X() mit der Fortsetzungs-Periode 1/

. . .

-fmax

X()XA()

1/

-fmax

X()XA()

1/

f (=2)

. . .

fmax

f (=2)

. . .. . .

fmax

a)

b)



Man sieht: X() kann aus XA() durch einen idealen

Tiefpaß mit der Grenzfrequenz fmax wieder

rekonstruiert werden, wenn die durch

periodische Fortsetzung entstandenen

Seitenspektren sich nicht überlappen (Fall a)



Diese Überlappung findet nicht statt, wenn folgende Bedingung gilt:

21

maxf

uenzAbtastfreq : 1

Frequenz de vorkommen)(in höchste : :mit max

txf

Diese Bedingung heißt 1. Shannon'sches Abtasttheorem



Es besagt, daß ein abgetastetes Signal durch einen idealen Tiefpaß exakt dann wieder rekonstruiert werden kann, wenn die Abtastfrequenz mindestens doppelt so hoch wie die höchste Signalfrequenz ist.

Beispiel: CD-Player, fmax = 20 kHz, 1/ = 44,1kHz

Allgemeiner Ablauf digitaler Signalverarbeitung:

x(t) Tiefpaßfmax

Abtastung1/ 2fmax

AD-Wandlung

n-Bit

digitaleSignalbearbeitung(Signalprozessor)

DA-Wandlung

n-Bit

Tiefpaßfmax

y(t)



2.7.2 Abgrenzung zu Mikrocontrollern und Mikroprozessoren

Signalprozessor:

Prozessor mit speziell für die Signalverarbeitung ausgelegter Hochleistungsarithmetik und hoher durch den Benutzer direkt kontrollierbarer Parallelität



Rechenwerk m

Rechenwerk 1

Multiplizierer ALU

Akkumulator

Peripherie

... ...

Daten-Speicher

1

Daten-Speicher

n

Adresswerk 1

...

Adresswerk n

Programmsteuerwerk

Programm-Speicher

...Steuerleitungen

Eigenschaften vonSignalprozessoren:

konsequente Havard-Architektur hochgradiges Pipelining oft mehrere Datenbusse Hochleistungsarithmetik hohe benutzerkontrollierte Parallelität Peripherie zur Signalver-

arbeitung



Wie im vorigen Abschnitt gesehen sind zur Signalverarbeitung insbesondere schnelle Multiplikationen und Summationen (Faltung, Fourier-Transformation, ...) erforderlich

aufwendiges Rechenwerk mit ALU und separatem Muliplizierer (MAC = Multiply and

Accumulate) und mehreren parallelen Datenbussen

In Hochleistungs-Signalprozessoren können mehrere solcher Rechenwerke vorhanden sein

Die Havard-Architektur mit getrennten Programm- und Datenspeicher erlaubt daneben Parallelität zwischen Befehls- und Datenverarbeitung



Viele Architekturmerkmale von Signalprozessoren wurden mittlerweile auf moderne Mikroprozessoren und Mikrocontroller übertragen

z.B. Pipelining,Havard-Architektur (zumindest auf Cache-Ebene),

Parallelität bei der Programmverarbeitung, ... Aber: bei Signalprozessoren soll die Parallelität

unter Kontrolle des Benutzers stehen, um optimale problemspezifische Leistung erzielen zu können

Bei (superskalaren) Mikroprozessoren wird hingegen die auf Mikroarchitektur-Ebene vorhandene Parallelität durch die Architektur-Ebene verdeckt



Möglichkeiten für Benutzer-kontrollierte Parallelität:

• VLIW (Very Large Instruction Word)

z.B. zur Steuerung mehrere vorhandener Rechenwerke

(wurde in Teil 1 der Vorlesung besprochen)

• Horizontale Mikroprogrammierung

Erlaubt die direkte Kontrolle aller Verarbeitungseinheiten des Signalprozessors auf Mikro-Architekturebene, z.B. ALU, Multipliziere, Adresswerke, ...



Horizontale Mikroprogrammierung als Befehlsformat für einen Signalprozessor:

Ein Befehlswort ist hierbei in mehrere Felder unterteilt. Jedes Feld kontrolliert eine Komponente des Signalprozessors Beispiel für vorige Mikroarchitektur:

Programm-Steuerung

ALU-Steuerung

Operanden-Auswahl

Multiplizier-Steuerung

RAM Adress-Steuerung

ROM Adress-Steuerung

Bit 0Bit n

Signalprozessor-Befehlswort



die Parallelität ist voll unter Kontrolle des Benutzers,

(und nicht unter Kontrolle des Steuerwerks wie bei konventionellen Mikroprozessoren)

folgende parallelen Tätigkeiten sind möglich:

• Programmzähler aktualisieren

• nächsten Befehl holen

• aktuellen Befehl ausführen: 2 Datentransfers über die Datenbusse 1 Multiplikation 1 ALU-Operation (meist akkumulierende

Addition) Berechnung zweier neuer Datenadressen



Signalprozessoren werden sehr maschinen-nah programmiert

Die Kenntniss der Mikroarchitektur ist für eine effiziente

Programmierung unerlässlich

Signalprozessoren abstrahieren nicht von der Mikroarchitektur wie Mikroprozessoren

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