Goethe - Universität, Frankfurt/Main 51 Der optimale Verbrauchplan Alle Güterbündel im Budgetraum...

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ro I

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Der optimale Verbrauchplan

• Alle Güterbündel im Budgetraum sind dem Haushalt in dem Sinne verfügbar, daß er kauft, was er kann was objektiv verfügbar ist).

• Wenn der Haushalt unter dieser Beschrän-kung seinen Nutzen maximieren will, muß er die objektiven mit den subjektiven Alternativkosten vergleichen.


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Optimierungsansatz (graphisch)

y

x0

U1U2

U3

E


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Optimierungsansatz (analytisch)

• Der Haushalt kann die IK mit dem Niveau U3 nicht erreichen.

• Bestimmte x-y-Kombinationen auf dem Nutzenniveau U1 kann er realisieren, aber diese entsprechen nicht dem maximal erreichbaren Nutzenniveau.

• Optimaler Punkt ist E, wo gilt MRSxy = MUx/MUy = px/py.


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• Äquivalent dazu läßt sich auch schreiben:

y

y

x

x

p

MU

pMU

z

z

y

y

x

x

pMU

p

MU

pMU

...

Optimierungsansatz (Bedingungen)

oder allgemein für mehrere Güter


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• Der mathematische Ansatz hierzu lautet:• Maximiere U(x,y) u. d. N. (s.t.)

yx pypxM

Optimierungsansatz (mathematisch)

Hierzu gibt es eine einfache Lösungstechnik:Die Optimierung einer Lagrange-Funktion.


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• Sie kombiniert die zu optimierende (kardinale Nutzen-)Funktion und die Nebenbedingung der Budgetgleichung wie folgt:

)(),( ypxpMyxUL yx

Die Lagrange-Funktion

Die Funktion hat drei unabhängige Variable,x, y und . Dabei gibt den Nutzenwert einer zusätzlichen Einkommenseinheit an.


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• Wir differenzieren L und erhalten das folgende Gleichungssystem:

0 xpxU

xL

0 ypyU

yL

0 ypxpMLyx

Das Maximum der L-Funktion


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• Aus den beiden ersten Gleichungen erhalten wir (“Zweites Gossensches Gesetz”):

y

x

pp

yU

xU

Die Marginalbedingung des Konsumentengleichgewichts

• MRSxy =

• oder |dy/dx| = px/py


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• Wir unterstellen die konkrete kardinale Nutzenfunktion

U = (x + 2) (y + 1) =U = xy + 2y + x + 2

• unter der Nebenbedingung (subject to)

yx pypxM

Lagrange Funktion: Beispiel


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Die partiellen Ableitungen von L = xy + 2y + x + 2 + (M - pxx - pyy) sind:

xL

yL

L

Die Ermittlung des Optimums

= y + 0 + + 0 +0 - px - 0 = 0

= x + 2 + 0 + 0 + 0 - py = 0

= M - pxx - pyy = 0


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• Zunächst lassen sich die drei Gleichungen wie folgt vereinfachen:

y - lpx = -1x - lpy = -2-pxx - pyy = -M

Auflösung des Gleichungssystems (1)


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• Dann schreiben wir das System als Matrixgleichung wie folgt:

M

y

x

pp

p

p

yx

y

x

2

1

0

01

10

Auflösung des Gleichungssystems (2)

diese Gleichung Ab = c löst man nach b über die Inverse von A und erhält b = A-1c


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Inversion der Matrix A

• Die Determinante D erhält man nach der Sarrusschen Regel wie folgt:D = 0 + pypx + pypx - 0 - 0 - 0 = 2pypx .

• Die Adjunkte Aij erhält man, indem man die Zeilen i und Spalten j von A streicht und die jeweilige Determinante berechnet. Dabei ist das Vorzeichen von Aij = (-1)i+j.


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• A11 = A11 = - py2

• A23 = A23 = - px

0

01

10

yx

y

x

pp

p

p

0

01

10

yx

y

x

pp

p

p

Die Adjunkte: Beispiele


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Umformung ergibt...

121 2

2

1

xy

xxyx

yyxy

yx pp

pppp

pppp

ppA

Die Inverse von A


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...21

221

21

21

21

yy

x

xx

y

ppp

ppp

A

(Die Lösung für wird nicht verfolgt!)

Die Inverse von A


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• Wir erhalten als Lösungen für x* und y*

12

*

x

y

p

Mpx

21

22

*

y

x

pMp

y

Multiplikation mit dem Vektor c


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• Wir können jetzt die optimalen Punkte der Nachfrage von x und y in Abhängigkeit von den bisher als konstant angenommenen Größen M, px und py darstellen. Wir erhalten dann die allgemeine Nachfragekurven

x = x (M, px, py) bzw.

y = y (M, px, py) .

Allgemeine Nachfragekurven


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ro I Eigenschaften der

Nachfragekurven• Die Nachfragekurven sind eindeutig und

für gegebene Größen M, px und py einwertig. Dies folgt aus der Konvexitätsannahme für die Indifferenzkurven.

• Wenn sich alle Preise px und py sowie das Einkommen M um den gleichen Faktor k ändern, ändert sich die nachgefragte Menge nicht. Das Realeinkommen bleibt konstant.


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• Eine Funktion y = y(x1, x2, ..., xn) ist homogen vom Grade r, wenn gilt:

kr y = y(kx1, kx2, ..., kxn) .

• Eine Funktion, die homogen vom Grade 1 ist, nennt man linear-homogen.

• Die Nachfragefunktion ist homogen vom Grade 0. (Es herrscht keine “Geldillusion”.)

Exkurs: Homogene Funktionen


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• Engel-Kurve

Hier bleiben alle Preise konstant und wir untersuchen die Veränderung der nachgefragten Mengen als Folge von Einkommensvariationen , also z. B.

x = x (M; px, py)

Spezielle Nachfragefunktionen(Ernst Engel 1821-96)


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• Wir untersuchen diese Abhängigkeit zunächst im Güterraum (Koordinaten x, y). In diesem Fall spricht man von der Einkommens-Konsum-Kurve.

• Hierbei werden die gleichgewichtigen Gütermengenkombinationen dargestellt, die sich bei veränderndem Einkommen ergeben.

Spezielle Nachfragefunktionen


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Einkommens-Konsum-Kurve

y

0

A

xA

U1

B

xB

U2

C

xC

U3


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ro I Einkommensabhängige

Nachfrage• Die Punkte A, B und C zeigen den Verlauf

der nachgefragten Menge von x und y an, wenn sich das Einkommen M erhöht.

• Die Kurve ist positiv steigend, wenn beide Güter “normal” oder “superior” sind.

• Ansonsten spricht man von “inferioren” Gütern. Hier nimmt die Nachfrage mit zunehmendem M ab.


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Hier ist das Gut x “inferior”.

Darstellung der Nachfrage nach einem inferioren Gut

x

y

0 xB

U2

xA

U1


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x

y

Die Einkommens-Konsum-Kurve ist hier eine Gerade.

Einkommensexpansion bei linear-homogenen Nutzenfunktionen

U1

U2

U3


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ro I

x

M

Die Darstellung der Engel-Kurve

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