Graphen - · PDF fileGerichtete Graphen Deﬁnition 0.3 Ein gerichteter Graph (directed...

Graphen
Algorithmen und Datenstrukturen II 1

Terminologie
V : Menge von Knoten (auch Ecken, vertices or nodes)
E: Menge von Kanten (edges)
G: Graph G = (V,E)
Definition 0.1 Ein Graph ist eine Menge von Knoten und eine Menge von Kantendie Paare von Knoten verbinden.

Benannte Graphen
Definition 0.2 Ein benannter Graph (labeled graph) ist ein Graph, in demKnoten und/oder Kanten mit Namen versehen sind.

Gerichtete Graphen
Definition 0.3 Ein gerichteter Graph (directed graph, digraph) ist ein Graph, indem jede Kante eine Richtung hat. Fur u, v V ist dann (u, v) 6= (v, u).

Teilgraphen
Definition 0.4 Ein Teilgraph (subgraph) von (V,E) ist ein Paar (V , E), mitV V und E = {(u, v)|(u, v) E : u V , v V }.

Verbundene Graphen
Definition 0.5
Ein Graph heit verbunden (connected), wenn jeder Knoten von jedem anderenKnoten aus erreicht werden kann.
Ein Graph, der nicht verbunden ist, besteht aus einer Menge vonZusammenhangskomponenten (connected components), die maximal verbundeneTeilgraphen sind.

Nachbarn
Definition 0.6 Zwei Knoten u, v V mit u 6= v heien benachbart (adjacent),wenn (u, v) E oder (v, u) E.

Grad
Definition 0.7
ungerichtete Graphen: Der Grad eines Knotens ist die Zahl seiner Nachbarn.
gerichtete Graphen:Der Eingangsgrad (in-degree) eines Knotens v V ist die Zahl der Kanten(u, v) E.Der Ausgangsgrad (out-degree) eines Knotens v V ist die Zahl der Kanten(v, u) E.Der Grad ist die Summe von Eingangs- und Ausgangsgrad.

Pfad
Definition 0.8 Ein Pfad (path) von u nach v ist einen Folge von Knotenu1, u2, . . . , uk, so da u1 = u und uk = v und (ui, ui+1) E fur alle 1 i < k.

Zyklus
Definition 0.9 Ein Zyklus (cycle) ist ein Pfad, in dem Start- und Endknotenidentisch sind.

Baume
Definition 0.10
Ein Baum (tree) ist ein ungerichteter, verbundener Graph ohne Zyklen (genauer:ohne Kreise, also Zyklen, in denen nur Anfangs- und Endpunkt identisch sind).
Eine Menge von Baumen heit Wald (forest).
Ein Spannbaum (spanning tree) eines verbundenen Graphen (V,E) ist einTeilgraph, der alle Knoten V enthalt und ein Baum ist.

Einige besondere Graphen
Gittergraph vollstandiger Graph bipartiter Graph
(grid graph) (complete graph) (bipartite graph)

Anwendungen
Karten: Was ist der kurzeste Weg von Bielefeld nach Heidelberg? Was derschnellste Weg?
Hypertexts: Das ganze Web ist ein Graph
Schaltkreise: kreuzungsfreie Chip-Layouts
Zeitplane: Die Erledigung einiger Aufgaben hangt von der Erledigung anderer ab.Modellierung als gerichtete Kanten zwischen Aufgaben. Dann: Wie arbeiten wir
die Aufgaben am schnellsten ab?
Transaktionen: Telefonverbindungen (Optimierung von Telefonnetzen),Finanztransaktionen (Marktverstandnis)
Netzwerke: Computernetzwerke (Ausfallsicherheit), Proteininteraktions-Netzwerke

Ein Abstrakter Datentyp (ADT) Graph
public interface Graph {
int V();
int E();
boolean directed();
void insert(Edge e);
void remove(Edge e);
boolean edge(Object v, Object w);
AdjList getAdjList(Object v);
}

Adjazenzlisten
public interface AdjList {
int beg();
int nxt();
boolean end();
}
Anwendung:
AdjList iterator = G.getAdjList(1);
for (int v = iterator.beg(); !iterator.end(); v = iterator.nxt())
System.out.println("edge from 1 to " + v);

Implementierung von Kanten
public class Edge {
int v, w;
public Edge(int v, int w) { this.v = v; this.w = w; }
}

Eine graphverarbeitende Methode
public static Edge[] edges(Graph G) {
int E = 0;
Edge[] a = new Edge[G.E()];
for (int v = 0; v < G.V(); v++) {
AdjList A = G.getAdjList(v);
for (int w = A.beg(); !A.end(); w = A.nxt())
if (G.directed() || v < w)
a[E++] = new Edge(v, w);
}
return a;
}

ADT GraphIO
public class GraphIO {
public static void scan(Graph G) throws IOException;
public static void show(Graph G);
}

Graph-Eingabe

public static void scan(Graph G) throws IOException {
int v, w;
StreamTokenizer st = new StreamTokenizer(new
BufferedReader(new
InputStreamReader(System.in)));
st.parseNumbers();
while (st.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF) {
v = (int) st.nval;
if (st.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF) {
w = (int) st.nval;
G.insert(new Edge(v,w));
}
else {
System.err.println("odd number of vertices. last one skipped.");
break;
}Algorithmen und Datenstrukturen II 23

}
}

Graph-Ausgabe
public static void show(Graph G) {
for (int s = 0; s < G.V(); s++) {
System.out.print(s + ": ");
AdjList A = G.getAdjList(s);
for (int t = A.beg(); !A.end(); t = A.nxt())
System.out.print(t + " ");
System.out.println("");
}
}

Zufalls-Graphen I
public static void randE(Graph G, int E) {
for (int i = 0; i < E; i++) {
int v = (int) (G.V()*Math.random());
int w = (int) (G.V()*Math.random());
G.insert(new Edge(v, w));
}
}

Zufalls-Graphen II
public static void randG(Graph G, int E) {
double p = 2.0*E/G.V()/(G.V()-1);
for (int i = 0; i < G.V(); i++)
for (int j = 0; j < i; j++)
if (Math.random() < p)
G.insert(new Edge(i, j));
}
Die erwartete Anzahl Kanten ist E[G.E()] = E.

Die Klasse IntGraph

public abstract class IntGraph implements Graph {
protected int Vcnt, Ecnt;
protected boolean digraph;
public int V() { return Vcnt; }
public int E() { return Ecnt; }
public boolean directed() { return digraph; }
public abstract void insert(Edge e);
public abstract void remove(Edge e);
public abstract boolean edge(Object v, Object w);
public abstract AdjList getAdjList(Object v);
public static Edge[] edges(Graph G) {

int E = 0;
Edge[] a = new Edge[G.E()];
for (int v = 0; v < G.V(); v++) {
AdjList A = G.getAdjList(v);
for (int w = A.beg(); !A.end(); w = A.nxt())
if (G.directed() || v < w)
a[E++] = new Edge(v, w);
}
return a;
}
public static void randE(Graph G, int E) {
for (int i = 0; i < E; i++) {
int v = (int) (G.V()*Math.random());
int w = (int) (G.V()*Math.random());
G.insert(new Edge(v, w));
}Algorithmen und Datenstrukturen II 30

}
public static void randG(Graph G, int E) {
double p = 2.0*E/G.V()/(G.V()-1);
for (int i = 0; i < G.V(); i++)
for (int j = 0; j < i; j++)
if (Math.random() < p)
G.insert(new Edge(i, j));
}
}

Datenstruktur Adjazenzmatrizen
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000
0 0 0 0 0 0 0
000000
0

Die Klasse AdjMatrixGraph

public class AdjMatrixGraph extends IntGraph {
private boolean adj[][];
public AdjMatrixGraph(int V, boolean flag) {
Vcnt = V;
Ecnt = 0;
digraph = flag;
adj = new boolean[V][V];
}
public void insert(Edge e) {
int v = e.v, w = e.w;
if (!adj[v][w]) {
adj[v][w] = true;
if (!digraph) adj[w][v] = true;

Ecnt++;
}
}
public void remove(Edge e) {
int v = e.v, w = e.w;
if (adj[v][w]) {
adj[v][w] = false;
if (!digraph) adj[w][v] = false;
Ecnt--;
}
}
public boolean edge(Object v, Object w) { return adj[(Integer) v][(Integer) w]; }

private class AdjLinkedList implements AdjList {
private int i, v;
AdjLinkedList(in

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