Grundlagen der Auslegung des Laumlngsprofils

einer Skisprungschanze

von

Hans-H Gasser

Mitglied des Subkomitees Sprungschanzen FIS

(Juni 2008)

2

Inhaltsverzeichnis

Seite

1 Vorbemerkungen 3

2 Der Anlauf 3

21 Die Geometrie der Uumlbergangskurve 4

22 Berechnung der Anlauflaumlngen e und es 7

23 Festlegung der Anlaufskruumlmmung 1r1 im Punkt E2 10

3 Der Flug 13

4 Das Aufsprungprofil 15

5 Die Landung 18

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf 19

7 Der Auslauf 21

Anhang

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung

von Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen 23

2 Wahl geegneter Beiwerte der Luftkraumlfte 23

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn 24

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse 24

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten 25

Genauigkeit der gewonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte 25

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit 25

der Kreisbogenmethode

53 Veranschaulichung an einem Beispiel 30

3

1 Vorbemerkungen

Eine Arbeitsgruppe des Subkomitees Sprungschanzen der FIS erarbeitete die Grund-

zuumlge des Aufbaues eines Laumlngsprofils einer Sprungschanze Sie nuumltzte dabei die jahr-

zehntelange Erfahrung und verfolgte die Entwicklung des Sprunglaufes durch Be-

obachtungen und uumlber Gespraumlche mit Trainern und Aktiven In einem Turnus von ca

zehn Jahren wurden seit 1976 und zuletzt 2006 Flugbahnaufnahmen bei Weltcupsprin-

gen durchgefuumlhrt die die Luftwiderstands und ndashauftriebswerte des Skispringers im

Flug bestimmen lassen Mittels Computersimulationen von Spruumlngen lassen sich die

Aufsprungprofile optimieren Mathematische Begruumlndung der angewandten Methode

siehe ANHANG

Seit 1976 hat der Unterzeichnete Mitglied des Subkomitees die Messungen und deren

Umsetzung in mathematische Formeln uumlbernommen In der vorliegenden Arbeit sind

die Zusammenhaumlnge die sicherheitstechnischen Uumlberlegungen und die Grundlagen

der Formeln und Diagramme wie sie in den vom Unterausschuss herausgegebenen

sbquoSkisprungschanzen Bau-Normen 2008rsquo ergaumlnzt mit dem Computerprogramm

sbquoJump2rsquo publiziert sind nachvollziehbar zusammengestellt

Fuumlr die Darstellung der mathematischen Ausdruumlcke wird die normal gebraumluchliche

algebraische Syntax mit den uumlblichen Prioritaumltsregeln verwendet In allen Gleichungen

sind Laumlngen in Meter Geschwindigkeiten in Meter pro Sekunde und Winkel in alten

Grad (360deg) einzusetzen Koeffizienten in den Formeln sind in der Regel mit Dimensi-

onen behaftet (Zeit Beschleunigung etc) ohne dass darauf hingewiesen wird

2 Der Anlauf

Beim Anlauf ist die gerade Beschleunigungsstrecke mit der Neigung γ bis heute in der

Regel ohne Uumlbergangskurve an einen Kreisbogen tangential angeschlossen worden

Nach dem Tangentenpunkt E wirkt eine Zentrifugalkraft auf den Springer die den

Druck auf die Skis bei grossen Schanzen ploumltzlich veranderthalbfacht wie in Kapitel

23 gezeigt wird Als weitere Folge davon wird auch schlagartig die Reibung zwischen

Schnee und Ski erhoumlht die auf den Springer eine nach vorne wirkende Traumlgheitskraft

erzeugt

Es soll kuumlnftig ein Uumlbergangsbogen eingebaut werden der die Zentrifugalkraft vom

Punkt E1 von Null allmaumlhlich auf den Maximalwert im Anschlusspunkt E2 an die gera-

de Tischebene ansteigen laumlsst Als Uumlbergangsbogen steht die im Strassenbau bekannte

Klothoide zur Diskussion Bei ihr nimmt die Kruumlmmung bis zum Erreichen der vorge-

gebenen Kruumlmmung am Tischanfang von Null proportional zur zuruumlckgelegten Stre-

cke zu

Die Form der Uumlbergangskurve haumlngt allein von der Neigungsaumlnderung γ ndash α ab Die

Bogenlaumlnge ist proportional zum Endradius der Kruumlmmung Die Auswirkung des Er-

satzes des Kreisbogens durch eine Uumlbergangskurve soll an einem Extrembeispiel

uumlberpruumlft werden Die groumlsste Neigungsaumlnderung γ ndash α ergibt sich aus der groumlssten

4

zulaumlssigen Neigung γ = 37deg und der kleinsten zulaumlssigen Tischneigung α = 8deg und be-

traumlgt somit 29deg

Aus den Tabellenwerken fuumlr Klothoiden erhaumllt man fuumlr γ ndash α = 29deg eine Exzentrizitaumlt

von 00423 die gleich ist der Parallelverschiebung der Anlaufgeraden von 37deg Nei-

gung gegenuumlber der bisherigen Geraden mit kreisfoumlrmigem Uumlbergangsbogen Bei ei-

nem Radius r1 von 100 m ist diese Verschiebung somit 423 m Bei einem kuumlnstlichen

Anlauf ist dies ohne Belang Bei einem Naturanlauf bedeutet dies aber unter Umstaumln-

den ein Eingraben der Spur auf eine Tiefe von 4 Meter was sich verteuernd auswirkt

Es soll daher versucht werden diesen Nachteil zu reduzieren

Es zeigt sich dass dieses Ziel am besten und einfachsten erreicht wird wenn man sich

bei der Reihenentwicklung der Klothoide auf deren erstes Glied beschraumlnkt Man er-

haumllt eine kubische Parabel und damit jene Kurve die auch beim Eisenbahnbau als

Uumlbergangskurve verwendet wird

21 Die Geometrie der Uumlbergangskurve

Verwenden wir fuumlr das um den Anlaufneigungswinkel γ gedrehte Koordinatensystem

die Buchstaben ξ und η so lautet die Funktion

η = Cξ3

Abb 1 Kubische Parabel als Uumlbergangskurve im Anlauf

5

Gegeben sind die geometrischen Daten des Tisches t und α der Kruumlmmungsradius r1

im Tangentenpunkt E2 und die Neigung γ der Beschleunigungsstrecke Daraus erhaumllt

man der Reihe nach

d = 2r1sin(γ-α)cos2(γ-α)]

C = tg(γ-α)3d2

f = tg(γ-α)d3

d

l = int[1 + 9C2ξ

4]

05dξ

0

Fuumlr das Integral kann mit ausreichender Genauigkeit die Naumlherung

l = d[1+01 tg2(γ-α)]

verwendet werden

Anfangs- und Endpunkt der Uumlbergangskurve E1 und E2 sind

rarr

E1 = [ ndash (tcosα + fsinγ + dcosγ) (tsinα ndash fcosγ + dsinγ)]

rarr

E2 = [ ndash tcosα tsinα]

Das Laumlngsprofil im Uumlbergangsbogen kann mit einfachen Rechenhilfen im gedrehten

Koordinatensystem ξ η mit der Funktion η = Cξ

3 berechnet werden Mit einem

programmierbaren Taschenrechner laumlsst sich die Uumlbergangskurve auch im x-z-Koor-

dinatensystem einfach berechnen Die einer gegebenen Abszisse x zugehoumlrende Abs-

zisse ξ muss als Erstes aus einer Gleichung dritten Grades berechnet werden Dazu

dienen die Hilfsgroumlssen

P = ctgγ3C

Q = (x + tcosα + fsinγ + dcosγ)2Csinγ

Damit erhaumllt man ξ = [(Q2+P

3)

frac12 +Q]

⅓ ndash [(Q

2+P

3)

frac12 ndash Q]

⅓

und schliesslich z = tsinα - fcosγ + dsinγ ndash ξsinγ + C ξ3cosγ

Mit Einsetzen der Werte γ ndash α = 29deg und r1 = 100 m erhaumllt man eine Parallelverschie-

bung der Beschleunigungsgeraden die nur noch 117 m betraumlgt und damit 306 m ge-

ringer ist als bei der Verwendung einer Klothoide

In Tabelle 1 sind die geometrischen Eckwerte der drei Kurvenformen mit den Vorga-

ben γ = 37deg α = 8deg und r1 = 100 m zusammen gestellt Es faumlllt auf dass die Werte fuumlr

die kubische Parabel annaumlhernd die Mittelwerte von Kreis und Klothoide annehmen

was aber rein zufaumlllig ist Die Eckwerte der kubischen Parabel naumlhern sich mit abneh-

mender Neigungsaumlnderung (γ ndash α) jenen der Klothoide

6

Form Kurvenlaumlnge Horizontaldistanz E1 bis E2 Houmlhendifferenz E1 bis E2

Kreis 5061 m 4626 m 1916 m

Klothoide 10123 m 8887 m 4598 m

KubParab 7636 m 6748 m 3369 m

Tab 1 Eckdaten fuumlr r1 = 100 m und γ-α = 29deg (groumlsstmoumlglicher Wert)

Abb 2 Kruumlmmungsverlauf bei den drei Kurvenarten von E1 bis E2 fuumlr verschiedene

Richtungsaumlnderungen γ-α

Bei γ ndash α = 29deg (Abb 2) wird die maximale Kruumlmmung bei der kubischen Parabel

bereits bei 6662 m erreich Sie ist 2 houmlher als die fuumlr das Kurvenende vorgegeben

Kruumlmmung was ohne Belang ist Die ganze Uumlbergangskurve ist mit 7636 m rund 25

m kuumlrzer als bei Verwendung einer Klothoide worin der Hauptvorteil der kubischen

Parabel gegenuumlber der Klothoide liegt Wenn γ ndash α = arctg(1radic5) = 24095deg die Rich-

tungsaumlnderung ist wird die geforderte Kruumlmmung genau in Punkt E2 erreicht In die-

7

sem Bereich liegt das Gros der Schanzen Mit kleiner werdender Differenz γ-α naumlhert

sich die kubische Parabel der Klothoide an

22 Berechnung der Anlauflaumlngen e und es

Die Auswertung der Filmaufnahmen vom Dezember 2006 in Engelberg CH hat erge-

ben dass der Luftwiderstandskoeffizient des Springers in der Kauerstellung k =

00011 m-1

mit einer Standardabweichung von 00001 m-1

betraumlgt (siehe Bericht der

ETHZ vom 29 Maumlrz 2008 Seite 31) Fuumlr die Berechnung des Diagrammes Abbildung

2 in den bdquoGrundlagen fuumlr die Projektierung einer Skisprungschanzeldquo 1996 haben wir k

= 00014 angenommen Damit kann eine Verringerung des Reibungsverlustes von

rund 20 festgestellt werden Fuumlr den Gleitreibungskoeffizient wurde ein Reibungs-

winkel ρ = 17deg mit einer Streuung von 06deg ermittelt

Fuumlr die Bestimmung der obersten Einstiegluke ist von einem v0 auszugehen das ein

Mittelklassespringer braucht um bei ρ = 3deg bei Windstille K zu erreichen

Fuumlr die Ermittlung des Ortes der untersten Einstiegluke ist davon auszugehen dass ein

Spitzenspringer bei besten Spurverhaumlltnissen von dieser Luke startend den Konstrukti-

onspunkt K nicht uumlberspringen soll Bei Aufwind ist ein noch etwas tieferer Startplatz

erforderlich Fuumlr die Berechnung kann auf die sichere Seite gehend ρ = 0deg gesetzt

werden

Die Anlauflaumlngen erhaumllt man aus der Bewegungsdifferentialgleichung Sie ist vom

Typus einer linearen inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung und damit

geschlossen loumlsbar wenn man v2 als Funktion definiert fuumlr s als unabhaumlngige Variable

den zuruumlckgelegten Bahnabschnitt einsetzt und wenn das Laumlngsprofil z(s) mit einer

mathematischen Funktion beschrieben wird Natuumlrlich kann eine Loumlsung mit den Me-

thoden der angewandten Mathematik und mit den heute gebraumluchlichen Hilfsmitteln

(zB Excel-Programm) einfach und schnell gefunden werden Trotzdem soll hier die

klassische geschlossene Loumlsung dargestellt werden

Die Differentialgleichung lautet

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2

Dabei ist φ die Bahnneigung und r der Bahnkruumlmmungsradius als Funktionen von s

ρ ist der Reibungswinkel Ski auf Anlaufspur und k der Luftwiderstandsbeiwert ρ und

k koumlnnen als konstant angenommen werden

Fuumlr eine gerade Fahrspur mit der Neigung γ ist die Loumlsung der Differentialgleichung

v2(s) = vA

2EXP(-2ks) + gksin(γ-ρ)[1 ndash EXP(-2ks)]

wobei vA die Geschwindigkeit am Anfang also bei s = 0 ist Wenn es sich um den

Startpunkt des Anlaufes handelt ist vA = 0 und bei E1 ist

8

v12 = gksin(γ-ρ)[1 ndash EXP(-2klg)]

wenn lg die Laumlnge vom Startpunkt bis E1 ist

Die Loumlsung fuumlr die kubische Parabel als Uumlbergangskurve ist

s

v2 = [v1

2 + 2g int (sin(γ-φ-ρ) EXP(2int(k + ρr)ds)ds] EXP(-2int(k + ρr)ds))

deg

v1 ist die Geschwindigkeit bei E1 am Anfang der Uumlbergangskurve φ die Neigung und r

der Kruumlmmungsradius der Kurve als Funktion der durchfahrenen Strecke s Es emp-

fiehlt sich fuumlr die Integration letztere in Potenzreihen von s umzuwandeln Die Rei-

hen erreichen mit drei Gliedern die wuumlnschbare Genauigkeit und sind

φ = 180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10)

1r = 6Cs(1 ndash 144C^2s^4 + 2160C^4s^8)

Das Integral in der Exponentialfunktion der Loumlsung kann mit den Reihen einfach be-

stimmt werden Die Loumlsung ist

v2(s) = [v1

2 + 1962int(sin(γ-ρ-180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10))

EXP(2ks + 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))ds]

EXP(-2ks - 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))

Das Integral ist in den Grenzen 0 bis s zu berechnen

Fuumlr s = l erhaumllt man v22 in E2 am Anfang des Schanzentisches

Der Vollstaumlndigkeit halber sei auch noch die Loumlsung fuumlr die kreisfoumlrmige Uumlber-

gangskurve mit Radius r1 angegeben

v2 = [v1

2 ndash 2gr1cosλcos(γ ndash ρ ndash λ)]EXP(-2(k + ρ π180r1)s) + 2gr1cos λ

cos(γ ndash ρ ndash λ ndash 180πsr1)

wobei λ = arctg(2(kr1 + π180ρ))

ist

Fuumlr s = (γ ndash α)π 180r1 erhaumllt man v22 in E2 am Anfang des Schanzentisches

v22 = [v1

2 ndash 2gr1cos λcos(γ ndash ρ ndash λ)]EXP(ndash 2(k + ρ π180r1)(γ ndash α)π 180r1)

+ 2gr1cos λcos(α ndash ρ ndash λ)

9

Die Beschleunigung auf dem Schanzentisch

v0 ist die Komponente parallel zur Tischneigung der Startgeschwindigkeit des Fluges

und damit die erreichte Endgeschwindigkeit auf der Schanzentischkante Aus der

Gleichung fuumlr die gerade Anlaufbahn folgt

v02= v2

2EXP(-2k025v2) + gksin(α-ρ)(1 ndash EXP(-2k025v2)

wenn fuumlr s die Tischlaumlnge t = 025v0 025v2 gesetzt wird (025 hat die Dimension

Sekunde) k nimmt von 00011 bei E2 bis zur Tischkante auf 00017 zu (Bericht ETHZ

Seite 31) Man kann den Mittelwert k = 00014 als Konstante in die Rechnung einfuumlh-

ren Die Abweichung des Ergebnisses liegt weit unter einem Promille Die Reihenent-

wicklung der Exponentialfunktion liefert als erste Naumlherung

v02 = v2

2 (1 ndash 05kv2) + 05gsin(α-ρ)v2

Fuumlr die Berechnung der Anlauflaumlnge e ist von der Tischkante aufwaumlrts zu rechnen

Die Geschwindigkeitsquadrate sind dann wenn wiederum in dieser Naumlherung v2 v0

gesetzt wird

Tisch v22 = v0

2(1 + 05kv0) ndash 05gsin(α-ρ)v0

Kubische Parabel

v12 = v2

2 EXP(2kl + 2ρπ1806C(05l^2 ndash 24C^2l^6 + 216C^4l^10))

l

ndash 1962int(sin(γ-ρ-180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10))

deg

EXP(2ks + 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))ds

Kreis

v12 = [v2

2 ndash 2gr1cos λcos(α ndash ρ ndash λ)]EXP(2(k + ρ π180r1)(γ ndash α)π 180r1

+ 2gr1cos λcos(γ ndash ρ ndash λ) wobei

λ = arctg(2(kr1 + π180ρ)) ist

Es kommt vor dass v12 negativ ausfaumlllt was bedeutet dass v1 = 0 auf der Uumlbergangs-

kurve erreicht wird Damit liegt der Startpunkt B unter E1

Gerade Anlaufspur

Die Laumlnge zwischen Startpunkt und E1 ist

lg = ndash 1(2k)ln(1 ndash v12kgsin(γ-ρ))

Wenn v12 negativ ist wird auch lg negativ Die Formel fuumlr lg berechnet die Laumlnge zwi-

schen Startpunkt und E1 auch in diesem Fall richtig und vorzeichengerecht

10

In den sbquoSprungschanzen Bau-Normen 2008rsquo sind die Anlauflaumlngen e in Funktion von γ

und v0 fuumlr α = 10deg Reibungswinkel ρ = 3deg und r1 = 014v02 graphisch dargestellt Die

Verkuumlrzung es des Anlaufs wenn ρ = 0deg ist kann mit der Naumlherung

es = evo(23 + γ6)

berechnet werden Fuumlr ein kleineres v0 auf unveraumlndertem Anlauf faumlllt e etwas zu kurz

aus weil ein verkleinerter Radius r1 einer bestimmten Anlauflaumlnge e eine groumlssere Houml-

hendifferenz zuordnet Diesen Fehler macht man wenn auf einem Anlauf dimensio-

niert fuumlr den Mittelklassespringer der Anlauf fuumlr den Spitzenklassespringer mit der

geringeren Absprunggeschwindigkeit bestimmen wird Die Durchrechnung ergibt

dass bei einer 20 m Schanze B um 140 m und bei einer 130 m Schanze B um 060 m

zu tief ausfaumlllt Der Fehler liegt auf der sicheren Seite

23 Festlegung der Anlaufspurkruumlmmung 1r1 im Punkt E2

Beim bisherigen Kreisbogen war der Radius r1 zwischen 014v02 und 016v0

2 zu

waumlhlen wobei in letzter Zeit vermehrt der obere Grenzwert gewaumlhlt wurde weil die

Springer gegenuumlber fruumlher mit verstaumlrkter Vorlage den Anlauf befahren

In Abbildung 3 ist die Druckentwicklung im Anlauf die ein Springer erfaumlhrt aufge-

zeigt und zwar fuumlr Kreis und kubische Parabel als Uumlbergangskurve Die Eingangsdaten

fuumlr die Berechnung sind fuumlr beide Uumlbergangskurven

α = 8deg γ = 37deg ρ = 3deg k = 00011 t = 65 m v0 = 26 ms

Fuumlr die Kreisform wird der heute uumlbliche Wert r1 = 016v02 = 10816 m gewaumlhlt Auf

dem geraden Teil von 4060 m Laumlnge wirkt allein die Komponente des Gewichtes des

Springers senkrecht zur Bahnneigung also cosγg = 080g Beim Uumlbergang in das

Kreisprofil hat der Springer die Geschwindigkeit 2064 ms erreicht Sie erzeugt zu-

saumltzlich zum Gewicht eine Zentrifugalkraft von 040g Der Druck nimmt also ploumltz-

lich vom 08-fachen Druck um 50 auf den 120-fachen Wert zu Auf der Kreisbahn

erfolgt eine weitere Zunahme auf 163g Beim Uumlbergang auf den Schanzentisch sinkt

der Druck ploumltzlich ab auf cosαg = 099g was hier aber erwuumlnscht ist Auf der

Tischkante wird v0 = 2600 ms erreicht

Bei der kubischen Parabel wird fuumlr den Endradius vor dem Schanzentisch 014v02 =

9464 m eingesetzt Der gerade Teil ist noch 2169 m lang und die Geschwindigkeit an

deren Ende betraumlgt 1524 ms Auf dem 7227 m langen Teil der Uumlbergangskurve

nimmt die Geschwindigkeit auf den vorgegebene Wert von 26 ms zu und der Druck

steigt allmaumlhlich auf 172g Dieser Druck ist um 5 houmlher als beim Kreisprofil was

am Ende der Uumlbergangskurve aber ohne Belang ist

11

Abb 3 Normalbeschleunigung auf die Spur Vergleich Kreiskubische Parabel

Aus dieser Betrachtung folgt dass bei einer Reduktion des Endradiuskoeffizienten r1

von 016 auf 014 der Druck nur um 5 houmlher ausfaumlllt was nicht relevant ist Demge-

genuumlber ist der Umstand dass beim Einbau einer kubischen Parabel am Anfang der

Uumlbergangskurve der schlagartige Anstieg des Druckes entfaumlllt und der Enddruck erst

allmaumlhlich erreicht wird eine grosse Komfortverbesserung

Abschliessend soll die Auswirkung der Wahl der kubischen Parabel gegenuumlber der

bisherigen Wahl eines Kreises auf die Geometrie des Anlaufes insbesondere auf die

Anlauflaumlnge dargestellt werden (Abbildung 4) Dazu sollen Ausgangswerte ange-

nommen werden wie sie bei Grossschanzen haumlufig sind

α = 11deg γ = 35 deg t = 65 m v0 = 26 ms = 3deg kw = 00011

Fall 1 r1 = 014v02

= 9464m

Kreis Anlauflaumlnge 8895 m Startpunkt [-8300 4490]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9134 m Startpunkt [-8565 4510]

Fall 2 r1 = 016v02 = 10816

Kreis Anlauflaumlnge 9121 m Startpunkt [-8539 4515]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9391 m Startpunkt [-8840 4537]

12

In Abbildung 4 sind die obigen Ergebnisse dargestellt Sie zeigt die Unterschiede zwi-

schen Kreis und kubischer Parabel Die Anlauflaumlnge ist bei ein und demselben gewaumlhl-

ten Radius bei der kubischen Parabel ca 250 m laumlnger als beim Kreis Interessant ist

die Feststellung dass der Startpunkt beim Kreis mit dem jetzt gebraumluchlichen Koeffi-

zienten 016 fuumlr r1 und jener bei der kubischen Parabel auf wenig Zentimeter gleich ist

wenn bei letzterer der Koeffizient 014 verwendet wird Damit ist aufgezeigt dass die

oben begruumlndete Moumlglichkeit der Radiusverkleinerung zu gleich langen Anlaumlufen und

gleicher Lage fuumlhrt wie bisher bei der Verwendung eines Kreisbogens

Es wird daher bei Verwendung einer kubischen Parabel als Uumlbergangskurve festgelegt

dass der Radius bei Erreichen des Schanzentisches mindestens

r1 = 014v02

erreichen muss houmlchstens aber

r1 = 016v02

erreichen darf Dies deshalb damit ein ausreichender Entlastungseffekt durch den

ploumltzlichen Wegfall der Zentrifugalkraft auf dem Schanzentisch erhalten bleibt

Eine weitere wichtige Feststellung Wenn bei einem bestehenden Anlauf mit

Kreisbogen sein Radius r1 = 016v02 betraumlgt kann ohne Veraumlnderung des gera-

den Anlaufteils mit kleinem Aufwand nachtraumlglich die Kreisform in eine kubisch

Parabel umgebaut werden

Abb 4 Vergleich Kreiskubische Parabel Einfluss des Kruumlmmungsradius r1

13

3 Der Flug

Die Koordinaten eines Punktes der Flugbahn sowie deren Neigung an dieser Stelle

erhaumllt man aus der Integration des Differentialgleichungssystems das den Flug be-

schreibt

Es sind dies die vier nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

mit den Anfangsbedingungen

x(o) = 0

z(0) = 0

v(0) = (v02 + v

2)^05

φ(0) = α ndash δ

Dabei ist v die aktuelle Fluggeschwindigkeit der Neigungswinkel der Flugbahn im

Uhrzeigersinn gemessen und der Winkel um den der Absprungwinkel (Neigung der

Flugbahn bei x = 0) durch den Absprungeffekt gegenuumlber der Tischneigung angehoben

wird

δ = arctg(vv0)

v ist die Geschwindigkeit senkrecht zur Tischebene die der Schwerpunkt des Koumlrper-

Ski-Systems im Augenblick des Abhebens erreicht Auswertungen von weitesten

Spruumlngen haben fuumlr v 22 ms ergeben Dieser Wert ist bei der Berechnung der Dia-

gramme Abbildung 4 bis 11 in den bdquoSkisprungschanzen Bau-Normen 2008ldquo fuumlr alle

Tischneigungen eingesetzt worden

An dieser Stelle ist noch auf eine immer wieder hartnaumlckig vertretene Meinung hinzu-

weisen die dahin geht dass der Springer bei geeigneter Absprungtechnik die Ab-

sprunggeschwindigkeitskomponente parallel zur Tischebene vergroumlssern koumlnne Das

ist natuumlrlich Unsinn und gehoumlrt in die gleiche Kategorie wie das noch bdquozu erfindende

Perpetuum Mobileldquo

Die Luftwiderstands- und Auftriebskoeffizienten kw bzw ka sind abhaumlngig vom An-

stroumlmwinkel der Luft und von der Haltung des Springers Sie sind somit zeitlich ver-

aumlnderlich Aus der Vermessung der Flugbahnen 2006 in Engelberg hat das Biomecha-

nische Institut der ETHZ fuumlr die weltbesten Springer folgende Werte in Funktion der

Bahnneigung ermittelt

14

Luftkraftbeiwerte Engelberg 2006

Rang 1 - 5 Rang 6 - 15 Rang 16 - 25

φdeg kW kA kW kA kW kA

0 000185 000093 000232 000116 000261 000130

2 000204 000139 000245 000180 000271 000177

4 000223 000185 000258 000244 000282 000224

6 000243 000231 000272 000308 000293 000270

8 000261 000275 000285 000365 000304 000316

10 000281 000316 000298 000396 000315 000350

12 000301 000354 000311 000424 000326 000382

14 000319 000390 000325 000450 000337 000411

16 000338 000424 000337 000472 000347 000436

18 000355 000455 000350 000492 000357 000459

20 000372 000484 000362 000508 000367 000479

22 000388 000511 000374 000522 000376 000496

24 000403 000534 000386 000534 000386 000510

26 000418 000555 000398 000543 000396 000521

28 000432 000574 000410 000550 000407 000531

30 000447 000591 000422 000555 000419 000538

32 000462 000605 000436 000560 000432 000545

34 000479 000617 000453 000565 000449 000551

36 000502 000628 000474 000571 000471 000558

38 000537 000638 000504 000582 000503 000569

40 000614 000655 000553 000606 000555 000590

42 000691 000672 000602 000629 000606 000611

44 000767 000689 000651 000652 000658 000632

Tab 2 Luftkraftbeiwerte mit der Dimension m-1

Damit kann durch Integration der Differentialgleichungen die einer bestimmten Tisch-

neigung und einer bestimmten Absprunggeschwindigkeit v0 zugehoumlrige Flugbahn

berechnet werden Als Landepunkt K wird vereinfachend der Schnittpunkt der Flug-

bahn mit dem Terrainprofil definiert so wie auch der Anfang der Flugbahn auf den

Ursprung 00] gelegt wird

Der Winkel mit dem sich die Flugbahn mit der Landepiste schneidet ist massgebend

fuumlr den Landestoss den der Springer erfaumlhrt Mit dem Begriff der aumlquivalenten Lande-

houmlhe kann dieser Vorgang anschaulich beschrieben werden Welche Houmlhe soll dem

Springer zugemutet werden aus der er vergleichsweise auf eine Horizontalebenen fal-

len und dabei den Stoss sicher auffangen soll Aus langjaumlhriger Erfahrung weiss man

dass 090 m fuumlr gute Springer ein gutes Mass ist Fuumlr schwaumlchere Springer soll auf

070 m reduziert werden

Der erste Wert wird fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis

115deg) der zweite fuumlr kleine und mittlere Schanzen (Tischneigungen von 8deg bis 95deg)

eingesetzt Sie ergeben Geschwindigkeiten von 42 ms bzw 37 ms und sind gleich-

15

zusetzen mit der Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprungprofil

in K Wenn die Flugbahn im Landepunkt die Neigung φK hat muss das Aufsprungpro-

fil die Neigung

fuumlr α von 10deg bis 115deg β = φK ndash arcsin(42vK ((5)

und fuumlr α von 8deg bis 95deg β = φK ndash arcsin(37vK((6)

haben wobei vKnaL red gartebtulosbA red degeschwindigkeit bedeutet

Fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis 115deg) sind die k-Werte

der Spitzenspringer (Kolonne 1 und 2 Tab 2) und fuumlr kleine und mittlere Schanzen

(Tischneigungen von 8deg bis 95deg) sind die k-Werte fuumlr schwaumlchere Springer (Kolonne

5 und 6 Tab 2) eingesetzt worden

Auf diesen Grundlagen sind die Diagramme fuumlr die Tischneigungen 8deg bis 115deg der

Sprungschanzen-Baunormen 2008 berechnet worden Die Eingrenzungen der zulaumlssi-

gen Bereich der Wertepaare w und hn hat der Ausschuss des Subkomitees auf Grund

von Erfahrungen festgelegt

4 Das Aufsprungprofil

Das Aufsprungprofil vom Schanzentisch bis zum Punkt K soll fuumlr alle Sprungweiten

gute Landebedingungen ermoumlglichen Dazu soll es bei weiten Spruumlngen die Houmlhe der

Flugbahn uumlber Terrain moumlglichst klein halten Das 1992 eingefuumlhrte und 1996 verfei-

nerte Aufsprungprofil in der Form einer kubischen Parabel hat sich bewaumlhrt Fuumlr die

Optimierung der freien Parameter β0 und δβ ist die Kurvenschar aller in Engelberg

vermessenen Fluumlge zu Rate gezogen worden Die Herleitung der Formeln die in den

Bau-Normen das Aufsprungprofil beschreiben ist reine analytische Geometrie und

bedarf keiner weiter gehenden Erklaumlrung

Fuumlr die Berechnung des Endes L des Landebereiches wurden folgende Annahmen ge-

troffen

Bei Skisprungwettkaumlmpfen wird der Punkt K bekanntlich von einzelnen wenigen

Springern uumlbersprungen Aus einer groumlsseren Anzahl Resultatlisten wurden die Uumlber-

weiten w = wKrsquo ndash wK bestimmt wobei wKrsquo die groumlsste erreichte Weite eines Wett-

kampfes ist

16

Abb 5 Groumlsste Weite bei Krsquo die bei einem Wettkampf erreicht wurde

In Abbildung 5 ist die bei dieser Auswertung zu beachtende damals geltende Geo-

metrie mit dem Kreisbogen r2 dargestellt Aus w und dem zur betreffenden Schanze

gehoumlrenden r2 β und der Flugbahnneigung φK bei der Landung ergibt sich fuumlr die Ver-

schiebung der Flugbahn

D = r2[cos(φK ndash β) ndash cos(φK ndash βKrsquo)] wobei βKrsquo = β ndash Δwr2180π ist

Es hat sich gezeigt dass der Grenzwert fuumlr D etwa bei 0018w liegt Fuumlr diese moumlgli-

chen Groumlsstweiten bei L soll eine aumlquivalente Landehoumlhe von 160 m eingeplant wer-

den Messungen anlaumlsslich der Skiflug-WM 1976 in Oberstdorf haben gezeigt dass

die damit verbundene Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprung-

profil v von 56 ms noch gestanden werden kann Bei L soll somit die Neigung der

Landepiste

βL = φL ndash arcsin(56vL ((7)

betragen

Der Landebereich von K bis L wird als Kreisabschnitt gestaltet Der Radius des Bo-

gens sei rL Fuumlr den Abstand l2 von K und L ergibt sich

l2 = (β ndash βL) rLπ180 = [(φK ndash arcsin(42vK ((ndash (φL ndash arcsin(56vLr [((Lπ180

fuumlr α von 10deg bis 115deg Fuumlr die kleineren α-Werte muumlsste der zweite Term im Klam-

merausdruck konsequenterweise arcsin(37vK gnugelrebUuml nehcielg red tiM netual (

mit der die Landekomponente v bei K fuumlr schwaumlchere Springer herabgesetzt wurde

soll dies auch bei L geschehen so dass der angeschriebene Ausdruck fuumlr l2 fuumlr alle α-

Werte gelten kann

Am Ende der Flugbahn besonders bei den grossen Schanzen ist man nicht mehr weit

von der stationaumlren Endgeschwindigkeit entfernt so dass die Aumlnderung von Betrag

und Richtung der Fluggeschwindigkeit in diesem kurzen Abschnitt im Rahmen der

17

hier gebotenen Genauigkeit vernachlaumlssigbar wird Im weiteren sind die Landewinkel

so klein dass ihr Sinus durch das Bogenmass ersetzt werden kann

Mit vLv asymp K dnu φL asymp φK vereinfachen sich die Gleichungen auf

βL = β ndash 14vK180π (8)

l2 = 14rLvK (9)

Abb 6 Landebereich K bis L

Aus Abbildung 6 erhaumllt man schliesslich

d = 0018w = l2tg(φK ndash β) + l222rL = 1442 rL vK

2 + 14

2 rLvK

22

oder rL = vK2w380 (10)

Die letzte Gleichung stellt die Verbindung zwischen dem bei groumlsseren Schanzen beo-

bachteten durchschnittlichen Mass d und dem Unterschied des zugelassenen v bei K

und L her rL muss aber auch gewaumlhrleisten dass beim Durchfahren der Landestrecke

die Zentrifugalbeschleunigung in Grenzen bleibt Sie soll 80 von g nicht uumlberstei-

gen Es ist somit auch

rL ge 0125 vK2

(10a)

einzuhalten Diese Dimensionierung wird somit bei Schanzen mit w le 48 m

massgebend rL soll auf den naumlchsten Zehnerwert aufgerundet werden

Mit βL und rL sind die Koordinaten von L gegeben

Die Landegeschwindigkeit vK erhaumllt man mit der Integration der Flugbahn Da die zu-

laumlssigen Felder fuumlr die Wertepaare [w hn] fuumlr die verschiedenen Tischneigungen α

einen relativ schmalen Streifen bilden gilt mit ausreichender Genauigkeit die lineare

Beziehung

vK = 068v0 + 1244 (11)

Wenn immer hier von bdquoausreichenderldquo Genauigkeit die Rede ist heisst das dass der

eingeraumlumte Fehler im Bereich weniger Prozente liegt in einem Toleranzbereich der

auch den biomechanischen Ausgangsgroumlssen wie aumlquivalente Landehoumlhe zugespro-

18

chen werden muss Allerdings muss festgehalten werden dass fuumlr die Anwendung sol-

cher Vereinfachung vorausgesetzt werden muss dass der Planer nicht von den Vorga-

ben abweicht

Bei den ganz kleinen Schanzen wird vK von der Naumlherungsformel gegenuumlber der

Wirklichkeit etwas zu gross berechnet Man liegt damit aber auf der sicheren Seite

5 Die Landung

Wer in L landet faumlhrt mit der groumlsstmoumlglichen Geschwindigkeit in den anschliessen-

den Uumlbergangsbogen Der Springer muss durch seine Muskelkraft die Normalkompo-

nente seiner Geschwindigkeit vL= 56 ms auf Null abbremsen Die kinetische Ener-

gie ist

m5622 = 1568m m = Masse Springer und Ski

Wenn er konstant die Kraft die seinem Gewicht samt Ski entspricht bei der Landung

einsetzten wuumlrde haumltte er die aumlquivalente Fallhoumlhe von 160 m zuruumlckzulegen Die

Zeit die er dazu benoumltigt ist t = 56981 = 0571 s Waumlhrend dieser Zeit ist der

Druck auf die Spur um sein Gewicht groumlsser so dass er eine um tgρmg erhoumlhte

Reibungskraft erfaumlhrt und dies uumlber eine Strecke von vLcos(φK ndash βL)0571 Diese

Reibungsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie die in der Geschwindig-

keitskomponente v parallel zum Hang liegt Die verbleibende Energie ist

frac12mv2 = frac12mvL

2cos

2(φK ndash βL) ndash tgρmgvLcos(φK ndash βL)0571 =

frac12mvLcos(φK ndash βL)[vL cos(φK ndash βL) ndash 2tgρ9810571]

Nach einiger Umformung erhaumllt man fuumlr die verbleibende Gleitgeschwindigkeit bei

einer Landung in L in erster Naumlherung

v = vK ndash 16vK ndash 01ρ (Reibungswinkel ρ in alt Grad) (12)

Der Kraft-Zeit-Verlauf ist in Wirklichkeit weder genau mg noch ist er konstant Wie

man leicht zeigen kann ist das Ergebnis aber nicht davon beeinflusst ausser dass sich

die Geschwindigkeit am Ende des Landungsprozesses fruumlher oder spaumlter einstellt Da

die Geschwindigkeitsabminderung aber sehr klein ist kann dieser Umstand vernach-

laumlssigt werden

Der Normaldruck auf das Profil soll analog zur Uumlbergangskurve im Anlauf auf 18g

beschraumlnkt werden dh

gcosβL + v2r2L le 18g asymp 18 (13)

Damit erhaumllt man fuumlr r2L die Eingrenzung

rL ge r2L ge v2(18 ndash 10cosβL) (14)

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

2

Inhaltsverzeichnis

Seite

1 Vorbemerkungen 3

2 Der Anlauf 3

21 Die Geometrie der Uumlbergangskurve 4

22 Berechnung der Anlauflaumlngen e und es 7

23 Festlegung der Anlaufskruumlmmung 1r1 im Punkt E2 10

3 Der Flug 13

4 Das Aufsprungprofil 15

5 Die Landung 18

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf 19

7 Der Auslauf 21

Anhang

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung

von Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen 23

2 Wahl geegneter Beiwerte der Luftkraumlfte 23

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn 24

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse 24

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten 25

Genauigkeit der gewonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte 25

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit 25

der Kreisbogenmethode

53 Veranschaulichung an einem Beispiel 30

3

1 Vorbemerkungen

Eine Arbeitsgruppe des Subkomitees Sprungschanzen der FIS erarbeitete die Grund-

zuumlge des Aufbaues eines Laumlngsprofils einer Sprungschanze Sie nuumltzte dabei die jahr-

zehntelange Erfahrung und verfolgte die Entwicklung des Sprunglaufes durch Be-

obachtungen und uumlber Gespraumlche mit Trainern und Aktiven In einem Turnus von ca

zehn Jahren wurden seit 1976 und zuletzt 2006 Flugbahnaufnahmen bei Weltcupsprin-

gen durchgefuumlhrt die die Luftwiderstands und ndashauftriebswerte des Skispringers im

Flug bestimmen lassen Mittels Computersimulationen von Spruumlngen lassen sich die

Aufsprungprofile optimieren Mathematische Begruumlndung der angewandten Methode

siehe ANHANG

Seit 1976 hat der Unterzeichnete Mitglied des Subkomitees die Messungen und deren

Umsetzung in mathematische Formeln uumlbernommen In der vorliegenden Arbeit sind

die Zusammenhaumlnge die sicherheitstechnischen Uumlberlegungen und die Grundlagen

der Formeln und Diagramme wie sie in den vom Unterausschuss herausgegebenen

sbquoSkisprungschanzen Bau-Normen 2008rsquo ergaumlnzt mit dem Computerprogramm

sbquoJump2rsquo publiziert sind nachvollziehbar zusammengestellt

Fuumlr die Darstellung der mathematischen Ausdruumlcke wird die normal gebraumluchliche

algebraische Syntax mit den uumlblichen Prioritaumltsregeln verwendet In allen Gleichungen

sind Laumlngen in Meter Geschwindigkeiten in Meter pro Sekunde und Winkel in alten

Grad (360deg) einzusetzen Koeffizienten in den Formeln sind in der Regel mit Dimensi-

onen behaftet (Zeit Beschleunigung etc) ohne dass darauf hingewiesen wird

2 Der Anlauf

Beim Anlauf ist die gerade Beschleunigungsstrecke mit der Neigung γ bis heute in der

Regel ohne Uumlbergangskurve an einen Kreisbogen tangential angeschlossen worden

Nach dem Tangentenpunkt E wirkt eine Zentrifugalkraft auf den Springer die den

Druck auf die Skis bei grossen Schanzen ploumltzlich veranderthalbfacht wie in Kapitel

23 gezeigt wird Als weitere Folge davon wird auch schlagartig die Reibung zwischen

Schnee und Ski erhoumlht die auf den Springer eine nach vorne wirkende Traumlgheitskraft

erzeugt

Es soll kuumlnftig ein Uumlbergangsbogen eingebaut werden der die Zentrifugalkraft vom

Punkt E1 von Null allmaumlhlich auf den Maximalwert im Anschlusspunkt E2 an die gera-

de Tischebene ansteigen laumlsst Als Uumlbergangsbogen steht die im Strassenbau bekannte

Klothoide zur Diskussion Bei ihr nimmt die Kruumlmmung bis zum Erreichen der vorge-

gebenen Kruumlmmung am Tischanfang von Null proportional zur zuruumlckgelegten Stre-

cke zu

Die Form der Uumlbergangskurve haumlngt allein von der Neigungsaumlnderung γ ndash α ab Die

Bogenlaumlnge ist proportional zum Endradius der Kruumlmmung Die Auswirkung des Er-

satzes des Kreisbogens durch eine Uumlbergangskurve soll an einem Extrembeispiel

uumlberpruumlft werden Die groumlsste Neigungsaumlnderung γ ndash α ergibt sich aus der groumlssten

4

zulaumlssigen Neigung γ = 37deg und der kleinsten zulaumlssigen Tischneigung α = 8deg und be-

traumlgt somit 29deg

Aus den Tabellenwerken fuumlr Klothoiden erhaumllt man fuumlr γ ndash α = 29deg eine Exzentrizitaumlt

von 00423 die gleich ist der Parallelverschiebung der Anlaufgeraden von 37deg Nei-

gung gegenuumlber der bisherigen Geraden mit kreisfoumlrmigem Uumlbergangsbogen Bei ei-

nem Radius r1 von 100 m ist diese Verschiebung somit 423 m Bei einem kuumlnstlichen

Anlauf ist dies ohne Belang Bei einem Naturanlauf bedeutet dies aber unter Umstaumln-

den ein Eingraben der Spur auf eine Tiefe von 4 Meter was sich verteuernd auswirkt

Es soll daher versucht werden diesen Nachteil zu reduzieren

Es zeigt sich dass dieses Ziel am besten und einfachsten erreicht wird wenn man sich

bei der Reihenentwicklung der Klothoide auf deren erstes Glied beschraumlnkt Man er-

haumllt eine kubische Parabel und damit jene Kurve die auch beim Eisenbahnbau als

Uumlbergangskurve verwendet wird

21 Die Geometrie der Uumlbergangskurve

Verwenden wir fuumlr das um den Anlaufneigungswinkel γ gedrehte Koordinatensystem

die Buchstaben ξ und η so lautet die Funktion

η = Cξ3

Abb 1 Kubische Parabel als Uumlbergangskurve im Anlauf

5

Gegeben sind die geometrischen Daten des Tisches t und α der Kruumlmmungsradius r1

im Tangentenpunkt E2 und die Neigung γ der Beschleunigungsstrecke Daraus erhaumllt

man der Reihe nach

d = 2r1sin(γ-α)cos2(γ-α)]

C = tg(γ-α)3d2

f = tg(γ-α)d3

d

l = int[1 + 9C2ξ

4]

05dξ

0

Fuumlr das Integral kann mit ausreichender Genauigkeit die Naumlherung

l = d[1+01 tg2(γ-α)]

verwendet werden

Anfangs- und Endpunkt der Uumlbergangskurve E1 und E2 sind

rarr

E1 = [ ndash (tcosα + fsinγ + dcosγ) (tsinα ndash fcosγ + dsinγ)]

rarr

E2 = [ ndash tcosα tsinα]

Das Laumlngsprofil im Uumlbergangsbogen kann mit einfachen Rechenhilfen im gedrehten

Koordinatensystem ξ η mit der Funktion η = Cξ

3 berechnet werden Mit einem

programmierbaren Taschenrechner laumlsst sich die Uumlbergangskurve auch im x-z-Koor-

dinatensystem einfach berechnen Die einer gegebenen Abszisse x zugehoumlrende Abs-

zisse ξ muss als Erstes aus einer Gleichung dritten Grades berechnet werden Dazu

dienen die Hilfsgroumlssen

P = ctgγ3C

Q = (x + tcosα + fsinγ + dcosγ)2Csinγ

Damit erhaumllt man ξ = [(Q2+P

3)

frac12 +Q]

⅓ ndash [(Q

2+P

3)

frac12 ndash Q]

⅓

und schliesslich z = tsinα - fcosγ + dsinγ ndash ξsinγ + C ξ3cosγ

Mit Einsetzen der Werte γ ndash α = 29deg und r1 = 100 m erhaumllt man eine Parallelverschie-

bung der Beschleunigungsgeraden die nur noch 117 m betraumlgt und damit 306 m ge-

ringer ist als bei der Verwendung einer Klothoide

In Tabelle 1 sind die geometrischen Eckwerte der drei Kurvenformen mit den Vorga-

ben γ = 37deg α = 8deg und r1 = 100 m zusammen gestellt Es faumlllt auf dass die Werte fuumlr

die kubische Parabel annaumlhernd die Mittelwerte von Kreis und Klothoide annehmen

was aber rein zufaumlllig ist Die Eckwerte der kubischen Parabel naumlhern sich mit abneh-

mender Neigungsaumlnderung (γ ndash α) jenen der Klothoide

6

Form Kurvenlaumlnge Horizontaldistanz E1 bis E2 Houmlhendifferenz E1 bis E2

Kreis 5061 m 4626 m 1916 m

Klothoide 10123 m 8887 m 4598 m

KubParab 7636 m 6748 m 3369 m

Tab 1 Eckdaten fuumlr r1 = 100 m und γ-α = 29deg (groumlsstmoumlglicher Wert)

Abb 2 Kruumlmmungsverlauf bei den drei Kurvenarten von E1 bis E2 fuumlr verschiedene

Richtungsaumlnderungen γ-α

Bei γ ndash α = 29deg (Abb 2) wird die maximale Kruumlmmung bei der kubischen Parabel

bereits bei 6662 m erreich Sie ist 2 houmlher als die fuumlr das Kurvenende vorgegeben

Kruumlmmung was ohne Belang ist Die ganze Uumlbergangskurve ist mit 7636 m rund 25

m kuumlrzer als bei Verwendung einer Klothoide worin der Hauptvorteil der kubischen

Parabel gegenuumlber der Klothoide liegt Wenn γ ndash α = arctg(1radic5) = 24095deg die Rich-

tungsaumlnderung ist wird die geforderte Kruumlmmung genau in Punkt E2 erreicht In die-

7

sem Bereich liegt das Gros der Schanzen Mit kleiner werdender Differenz γ-α naumlhert

sich die kubische Parabel der Klothoide an

22 Berechnung der Anlauflaumlngen e und es

Die Auswertung der Filmaufnahmen vom Dezember 2006 in Engelberg CH hat erge-

ben dass der Luftwiderstandskoeffizient des Springers in der Kauerstellung k =

00011 m-1

mit einer Standardabweichung von 00001 m-1

betraumlgt (siehe Bericht der

ETHZ vom 29 Maumlrz 2008 Seite 31) Fuumlr die Berechnung des Diagrammes Abbildung

2 in den bdquoGrundlagen fuumlr die Projektierung einer Skisprungschanzeldquo 1996 haben wir k

= 00014 angenommen Damit kann eine Verringerung des Reibungsverlustes von

rund 20 festgestellt werden Fuumlr den Gleitreibungskoeffizient wurde ein Reibungs-

winkel ρ = 17deg mit einer Streuung von 06deg ermittelt

Fuumlr die Bestimmung der obersten Einstiegluke ist von einem v0 auszugehen das ein

Mittelklassespringer braucht um bei ρ = 3deg bei Windstille K zu erreichen

Fuumlr die Ermittlung des Ortes der untersten Einstiegluke ist davon auszugehen dass ein

Spitzenspringer bei besten Spurverhaumlltnissen von dieser Luke startend den Konstrukti-

onspunkt K nicht uumlberspringen soll Bei Aufwind ist ein noch etwas tieferer Startplatz

erforderlich Fuumlr die Berechnung kann auf die sichere Seite gehend ρ = 0deg gesetzt

werden

Die Anlauflaumlngen erhaumllt man aus der Bewegungsdifferentialgleichung Sie ist vom

Typus einer linearen inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung und damit

geschlossen loumlsbar wenn man v2 als Funktion definiert fuumlr s als unabhaumlngige Variable

den zuruumlckgelegten Bahnabschnitt einsetzt und wenn das Laumlngsprofil z(s) mit einer

mathematischen Funktion beschrieben wird Natuumlrlich kann eine Loumlsung mit den Me-

thoden der angewandten Mathematik und mit den heute gebraumluchlichen Hilfsmitteln

(zB Excel-Programm) einfach und schnell gefunden werden Trotzdem soll hier die

klassische geschlossene Loumlsung dargestellt werden

Die Differentialgleichung lautet

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2

Dabei ist φ die Bahnneigung und r der Bahnkruumlmmungsradius als Funktionen von s

ρ ist der Reibungswinkel Ski auf Anlaufspur und k der Luftwiderstandsbeiwert ρ und

k koumlnnen als konstant angenommen werden

Fuumlr eine gerade Fahrspur mit der Neigung γ ist die Loumlsung der Differentialgleichung

v2(s) = vA

2EXP(-2ks) + gksin(γ-ρ)[1 ndash EXP(-2ks)]

wobei vA die Geschwindigkeit am Anfang also bei s = 0 ist Wenn es sich um den

Startpunkt des Anlaufes handelt ist vA = 0 und bei E1 ist

8

v12 = gksin(γ-ρ)[1 ndash EXP(-2klg)]

wenn lg die Laumlnge vom Startpunkt bis E1 ist

Die Loumlsung fuumlr die kubische Parabel als Uumlbergangskurve ist

s

v2 = [v1

2 + 2g int (sin(γ-φ-ρ) EXP(2int(k + ρr)ds)ds] EXP(-2int(k + ρr)ds))

deg

v1 ist die Geschwindigkeit bei E1 am Anfang der Uumlbergangskurve φ die Neigung und r

der Kruumlmmungsradius der Kurve als Funktion der durchfahrenen Strecke s Es emp-

fiehlt sich fuumlr die Integration letztere in Potenzreihen von s umzuwandeln Die Rei-

hen erreichen mit drei Gliedern die wuumlnschbare Genauigkeit und sind

φ = 180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10)

1r = 6Cs(1 ndash 144C^2s^4 + 2160C^4s^8)

Das Integral in der Exponentialfunktion der Loumlsung kann mit den Reihen einfach be-

stimmt werden Die Loumlsung ist

v2(s) = [v1

2 + 1962int(sin(γ-ρ-180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10))

EXP(2ks + 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))ds]

EXP(-2ks - 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))

Das Integral ist in den Grenzen 0 bis s zu berechnen

Fuumlr s = l erhaumllt man v22 in E2 am Anfang des Schanzentisches

Der Vollstaumlndigkeit halber sei auch noch die Loumlsung fuumlr die kreisfoumlrmige Uumlber-

gangskurve mit Radius r1 angegeben

v2 = [v1

2 ndash 2gr1cosλcos(γ ndash ρ ndash λ)]EXP(-2(k + ρ π180r1)s) + 2gr1cos λ

cos(γ ndash ρ ndash λ ndash 180πsr1)

wobei λ = arctg(2(kr1 + π180ρ))

ist

Fuumlr s = (γ ndash α)π 180r1 erhaumllt man v22 in E2 am Anfang des Schanzentisches

v22 = [v1

2 ndash 2gr1cos λcos(γ ndash ρ ndash λ)]EXP(ndash 2(k + ρ π180r1)(γ ndash α)π 180r1)

+ 2gr1cos λcos(α ndash ρ ndash λ)

9

Die Beschleunigung auf dem Schanzentisch

v0 ist die Komponente parallel zur Tischneigung der Startgeschwindigkeit des Fluges

und damit die erreichte Endgeschwindigkeit auf der Schanzentischkante Aus der

Gleichung fuumlr die gerade Anlaufbahn folgt

v02= v2

2EXP(-2k025v2) + gksin(α-ρ)(1 ndash EXP(-2k025v2)

wenn fuumlr s die Tischlaumlnge t = 025v0 025v2 gesetzt wird (025 hat die Dimension

Sekunde) k nimmt von 00011 bei E2 bis zur Tischkante auf 00017 zu (Bericht ETHZ

Seite 31) Man kann den Mittelwert k = 00014 als Konstante in die Rechnung einfuumlh-

ren Die Abweichung des Ergebnisses liegt weit unter einem Promille Die Reihenent-

wicklung der Exponentialfunktion liefert als erste Naumlherung

v02 = v2

2 (1 ndash 05kv2) + 05gsin(α-ρ)v2

Fuumlr die Berechnung der Anlauflaumlnge e ist von der Tischkante aufwaumlrts zu rechnen

Die Geschwindigkeitsquadrate sind dann wenn wiederum in dieser Naumlherung v2 v0

gesetzt wird

Tisch v22 = v0

2(1 + 05kv0) ndash 05gsin(α-ρ)v0

Kubische Parabel

v12 = v2

2 EXP(2kl + 2ρπ1806C(05l^2 ndash 24C^2l^6 + 216C^4l^10))

l

ndash 1962int(sin(γ-ρ-180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10))

deg

EXP(2ks + 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))ds

Kreis

v12 = [v2

2 ndash 2gr1cos λcos(α ndash ρ ndash λ)]EXP(2(k + ρ π180r1)(γ ndash α)π 180r1

+ 2gr1cos λcos(γ ndash ρ ndash λ) wobei

λ = arctg(2(kr1 + π180ρ)) ist

Es kommt vor dass v12 negativ ausfaumlllt was bedeutet dass v1 = 0 auf der Uumlbergangs-

kurve erreicht wird Damit liegt der Startpunkt B unter E1

Gerade Anlaufspur

Die Laumlnge zwischen Startpunkt und E1 ist

lg = ndash 1(2k)ln(1 ndash v12kgsin(γ-ρ))

Wenn v12 negativ ist wird auch lg negativ Die Formel fuumlr lg berechnet die Laumlnge zwi-

schen Startpunkt und E1 auch in diesem Fall richtig und vorzeichengerecht

10

In den sbquoSprungschanzen Bau-Normen 2008rsquo sind die Anlauflaumlngen e in Funktion von γ

und v0 fuumlr α = 10deg Reibungswinkel ρ = 3deg und r1 = 014v02 graphisch dargestellt Die

Verkuumlrzung es des Anlaufs wenn ρ = 0deg ist kann mit der Naumlherung

es = evo(23 + γ6)

berechnet werden Fuumlr ein kleineres v0 auf unveraumlndertem Anlauf faumlllt e etwas zu kurz

aus weil ein verkleinerter Radius r1 einer bestimmten Anlauflaumlnge e eine groumlssere Houml-

hendifferenz zuordnet Diesen Fehler macht man wenn auf einem Anlauf dimensio-

niert fuumlr den Mittelklassespringer der Anlauf fuumlr den Spitzenklassespringer mit der

geringeren Absprunggeschwindigkeit bestimmen wird Die Durchrechnung ergibt

dass bei einer 20 m Schanze B um 140 m und bei einer 130 m Schanze B um 060 m

zu tief ausfaumlllt Der Fehler liegt auf der sicheren Seite

23 Festlegung der Anlaufspurkruumlmmung 1r1 im Punkt E2

Beim bisherigen Kreisbogen war der Radius r1 zwischen 014v02 und 016v0

2 zu

waumlhlen wobei in letzter Zeit vermehrt der obere Grenzwert gewaumlhlt wurde weil die

Springer gegenuumlber fruumlher mit verstaumlrkter Vorlage den Anlauf befahren

In Abbildung 3 ist die Druckentwicklung im Anlauf die ein Springer erfaumlhrt aufge-

zeigt und zwar fuumlr Kreis und kubische Parabel als Uumlbergangskurve Die Eingangsdaten

fuumlr die Berechnung sind fuumlr beide Uumlbergangskurven

α = 8deg γ = 37deg ρ = 3deg k = 00011 t = 65 m v0 = 26 ms

Fuumlr die Kreisform wird der heute uumlbliche Wert r1 = 016v02 = 10816 m gewaumlhlt Auf

dem geraden Teil von 4060 m Laumlnge wirkt allein die Komponente des Gewichtes des

Springers senkrecht zur Bahnneigung also cosγg = 080g Beim Uumlbergang in das

Kreisprofil hat der Springer die Geschwindigkeit 2064 ms erreicht Sie erzeugt zu-

saumltzlich zum Gewicht eine Zentrifugalkraft von 040g Der Druck nimmt also ploumltz-

lich vom 08-fachen Druck um 50 auf den 120-fachen Wert zu Auf der Kreisbahn

erfolgt eine weitere Zunahme auf 163g Beim Uumlbergang auf den Schanzentisch sinkt

der Druck ploumltzlich ab auf cosαg = 099g was hier aber erwuumlnscht ist Auf der

Tischkante wird v0 = 2600 ms erreicht

Bei der kubischen Parabel wird fuumlr den Endradius vor dem Schanzentisch 014v02 =

9464 m eingesetzt Der gerade Teil ist noch 2169 m lang und die Geschwindigkeit an

deren Ende betraumlgt 1524 ms Auf dem 7227 m langen Teil der Uumlbergangskurve

nimmt die Geschwindigkeit auf den vorgegebene Wert von 26 ms zu und der Druck

steigt allmaumlhlich auf 172g Dieser Druck ist um 5 houmlher als beim Kreisprofil was

am Ende der Uumlbergangskurve aber ohne Belang ist

11

Abb 3 Normalbeschleunigung auf die Spur Vergleich Kreiskubische Parabel

Aus dieser Betrachtung folgt dass bei einer Reduktion des Endradiuskoeffizienten r1

von 016 auf 014 der Druck nur um 5 houmlher ausfaumlllt was nicht relevant ist Demge-

genuumlber ist der Umstand dass beim Einbau einer kubischen Parabel am Anfang der

Uumlbergangskurve der schlagartige Anstieg des Druckes entfaumlllt und der Enddruck erst

allmaumlhlich erreicht wird eine grosse Komfortverbesserung

Abschliessend soll die Auswirkung der Wahl der kubischen Parabel gegenuumlber der

bisherigen Wahl eines Kreises auf die Geometrie des Anlaufes insbesondere auf die

Anlauflaumlnge dargestellt werden (Abbildung 4) Dazu sollen Ausgangswerte ange-

nommen werden wie sie bei Grossschanzen haumlufig sind

α = 11deg γ = 35 deg t = 65 m v0 = 26 ms = 3deg kw = 00011

Fall 1 r1 = 014v02

= 9464m

Kreis Anlauflaumlnge 8895 m Startpunkt [-8300 4490]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9134 m Startpunkt [-8565 4510]

Fall 2 r1 = 016v02 = 10816

Kreis Anlauflaumlnge 9121 m Startpunkt [-8539 4515]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9391 m Startpunkt [-8840 4537]

12

In Abbildung 4 sind die obigen Ergebnisse dargestellt Sie zeigt die Unterschiede zwi-

schen Kreis und kubischer Parabel Die Anlauflaumlnge ist bei ein und demselben gewaumlhl-

ten Radius bei der kubischen Parabel ca 250 m laumlnger als beim Kreis Interessant ist

die Feststellung dass der Startpunkt beim Kreis mit dem jetzt gebraumluchlichen Koeffi-

zienten 016 fuumlr r1 und jener bei der kubischen Parabel auf wenig Zentimeter gleich ist

wenn bei letzterer der Koeffizient 014 verwendet wird Damit ist aufgezeigt dass die

oben begruumlndete Moumlglichkeit der Radiusverkleinerung zu gleich langen Anlaumlufen und

gleicher Lage fuumlhrt wie bisher bei der Verwendung eines Kreisbogens

Es wird daher bei Verwendung einer kubischen Parabel als Uumlbergangskurve festgelegt

dass der Radius bei Erreichen des Schanzentisches mindestens

r1 = 014v02

erreichen muss houmlchstens aber

r1 = 016v02

erreichen darf Dies deshalb damit ein ausreichender Entlastungseffekt durch den

ploumltzlichen Wegfall der Zentrifugalkraft auf dem Schanzentisch erhalten bleibt

Eine weitere wichtige Feststellung Wenn bei einem bestehenden Anlauf mit

Kreisbogen sein Radius r1 = 016v02 betraumlgt kann ohne Veraumlnderung des gera-

den Anlaufteils mit kleinem Aufwand nachtraumlglich die Kreisform in eine kubisch

Parabel umgebaut werden

Abb 4 Vergleich Kreiskubische Parabel Einfluss des Kruumlmmungsradius r1

13

3 Der Flug

Die Koordinaten eines Punktes der Flugbahn sowie deren Neigung an dieser Stelle

erhaumllt man aus der Integration des Differentialgleichungssystems das den Flug be-

schreibt

Es sind dies die vier nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

mit den Anfangsbedingungen

x(o) = 0

z(0) = 0

v(0) = (v02 + v

2)^05

φ(0) = α ndash δ

Dabei ist v die aktuelle Fluggeschwindigkeit der Neigungswinkel der Flugbahn im

Uhrzeigersinn gemessen und der Winkel um den der Absprungwinkel (Neigung der

Flugbahn bei x = 0) durch den Absprungeffekt gegenuumlber der Tischneigung angehoben

wird

δ = arctg(vv0)

v ist die Geschwindigkeit senkrecht zur Tischebene die der Schwerpunkt des Koumlrper-

Ski-Systems im Augenblick des Abhebens erreicht Auswertungen von weitesten

Spruumlngen haben fuumlr v 22 ms ergeben Dieser Wert ist bei der Berechnung der Dia-

gramme Abbildung 4 bis 11 in den bdquoSkisprungschanzen Bau-Normen 2008ldquo fuumlr alle

Tischneigungen eingesetzt worden

An dieser Stelle ist noch auf eine immer wieder hartnaumlckig vertretene Meinung hinzu-

weisen die dahin geht dass der Springer bei geeigneter Absprungtechnik die Ab-

sprunggeschwindigkeitskomponente parallel zur Tischebene vergroumlssern koumlnne Das

ist natuumlrlich Unsinn und gehoumlrt in die gleiche Kategorie wie das noch bdquozu erfindende

Perpetuum Mobileldquo

Die Luftwiderstands- und Auftriebskoeffizienten kw bzw ka sind abhaumlngig vom An-

stroumlmwinkel der Luft und von der Haltung des Springers Sie sind somit zeitlich ver-

aumlnderlich Aus der Vermessung der Flugbahnen 2006 in Engelberg hat das Biomecha-

nische Institut der ETHZ fuumlr die weltbesten Springer folgende Werte in Funktion der

Bahnneigung ermittelt

14

Luftkraftbeiwerte Engelberg 2006

Rang 1 - 5 Rang 6 - 15 Rang 16 - 25

φdeg kW kA kW kA kW kA

0 000185 000093 000232 000116 000261 000130

2 000204 000139 000245 000180 000271 000177

4 000223 000185 000258 000244 000282 000224

6 000243 000231 000272 000308 000293 000270

8 000261 000275 000285 000365 000304 000316

10 000281 000316 000298 000396 000315 000350

12 000301 000354 000311 000424 000326 000382

14 000319 000390 000325 000450 000337 000411

16 000338 000424 000337 000472 000347 000436

18 000355 000455 000350 000492 000357 000459

20 000372 000484 000362 000508 000367 000479

22 000388 000511 000374 000522 000376 000496

24 000403 000534 000386 000534 000386 000510

26 000418 000555 000398 000543 000396 000521

28 000432 000574 000410 000550 000407 000531

30 000447 000591 000422 000555 000419 000538

32 000462 000605 000436 000560 000432 000545

34 000479 000617 000453 000565 000449 000551

36 000502 000628 000474 000571 000471 000558

38 000537 000638 000504 000582 000503 000569

40 000614 000655 000553 000606 000555 000590

42 000691 000672 000602 000629 000606 000611

44 000767 000689 000651 000652 000658 000632

Tab 2 Luftkraftbeiwerte mit der Dimension m-1

Damit kann durch Integration der Differentialgleichungen die einer bestimmten Tisch-

neigung und einer bestimmten Absprunggeschwindigkeit v0 zugehoumlrige Flugbahn

berechnet werden Als Landepunkt K wird vereinfachend der Schnittpunkt der Flug-

bahn mit dem Terrainprofil definiert so wie auch der Anfang der Flugbahn auf den

Ursprung 00] gelegt wird

Der Winkel mit dem sich die Flugbahn mit der Landepiste schneidet ist massgebend

fuumlr den Landestoss den der Springer erfaumlhrt Mit dem Begriff der aumlquivalenten Lande-

houmlhe kann dieser Vorgang anschaulich beschrieben werden Welche Houmlhe soll dem

Springer zugemutet werden aus der er vergleichsweise auf eine Horizontalebenen fal-

len und dabei den Stoss sicher auffangen soll Aus langjaumlhriger Erfahrung weiss man

dass 090 m fuumlr gute Springer ein gutes Mass ist Fuumlr schwaumlchere Springer soll auf

070 m reduziert werden

Der erste Wert wird fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis

115deg) der zweite fuumlr kleine und mittlere Schanzen (Tischneigungen von 8deg bis 95deg)

eingesetzt Sie ergeben Geschwindigkeiten von 42 ms bzw 37 ms und sind gleich-

15

zusetzen mit der Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprungprofil

in K Wenn die Flugbahn im Landepunkt die Neigung φK hat muss das Aufsprungpro-

fil die Neigung

fuumlr α von 10deg bis 115deg β = φK ndash arcsin(42vK ((5)

und fuumlr α von 8deg bis 95deg β = φK ndash arcsin(37vK((6)

haben wobei vKnaL red gartebtulosbA red degeschwindigkeit bedeutet

Fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis 115deg) sind die k-Werte

der Spitzenspringer (Kolonne 1 und 2 Tab 2) und fuumlr kleine und mittlere Schanzen

(Tischneigungen von 8deg bis 95deg) sind die k-Werte fuumlr schwaumlchere Springer (Kolonne

5 und 6 Tab 2) eingesetzt worden

Auf diesen Grundlagen sind die Diagramme fuumlr die Tischneigungen 8deg bis 115deg der

Sprungschanzen-Baunormen 2008 berechnet worden Die Eingrenzungen der zulaumlssi-

gen Bereich der Wertepaare w und hn hat der Ausschuss des Subkomitees auf Grund

von Erfahrungen festgelegt

4 Das Aufsprungprofil

Das Aufsprungprofil vom Schanzentisch bis zum Punkt K soll fuumlr alle Sprungweiten

gute Landebedingungen ermoumlglichen Dazu soll es bei weiten Spruumlngen die Houmlhe der

Flugbahn uumlber Terrain moumlglichst klein halten Das 1992 eingefuumlhrte und 1996 verfei-

nerte Aufsprungprofil in der Form einer kubischen Parabel hat sich bewaumlhrt Fuumlr die

Optimierung der freien Parameter β0 und δβ ist die Kurvenschar aller in Engelberg

vermessenen Fluumlge zu Rate gezogen worden Die Herleitung der Formeln die in den

Bau-Normen das Aufsprungprofil beschreiben ist reine analytische Geometrie und

bedarf keiner weiter gehenden Erklaumlrung

Fuumlr die Berechnung des Endes L des Landebereiches wurden folgende Annahmen ge-

troffen

Bei Skisprungwettkaumlmpfen wird der Punkt K bekanntlich von einzelnen wenigen

Springern uumlbersprungen Aus einer groumlsseren Anzahl Resultatlisten wurden die Uumlber-

weiten w = wKrsquo ndash wK bestimmt wobei wKrsquo die groumlsste erreichte Weite eines Wett-

kampfes ist

16

Abb 5 Groumlsste Weite bei Krsquo die bei einem Wettkampf erreicht wurde

In Abbildung 5 ist die bei dieser Auswertung zu beachtende damals geltende Geo-

metrie mit dem Kreisbogen r2 dargestellt Aus w und dem zur betreffenden Schanze

gehoumlrenden r2 β und der Flugbahnneigung φK bei der Landung ergibt sich fuumlr die Ver-

schiebung der Flugbahn

D = r2[cos(φK ndash β) ndash cos(φK ndash βKrsquo)] wobei βKrsquo = β ndash Δwr2180π ist

Es hat sich gezeigt dass der Grenzwert fuumlr D etwa bei 0018w liegt Fuumlr diese moumlgli-

chen Groumlsstweiten bei L soll eine aumlquivalente Landehoumlhe von 160 m eingeplant wer-

den Messungen anlaumlsslich der Skiflug-WM 1976 in Oberstdorf haben gezeigt dass

die damit verbundene Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprung-

profil v von 56 ms noch gestanden werden kann Bei L soll somit die Neigung der

Landepiste

βL = φL ndash arcsin(56vL ((7)

betragen

Der Landebereich von K bis L wird als Kreisabschnitt gestaltet Der Radius des Bo-

gens sei rL Fuumlr den Abstand l2 von K und L ergibt sich

l2 = (β ndash βL) rLπ180 = [(φK ndash arcsin(42vK ((ndash (φL ndash arcsin(56vLr [((Lπ180

fuumlr α von 10deg bis 115deg Fuumlr die kleineren α-Werte muumlsste der zweite Term im Klam-

merausdruck konsequenterweise arcsin(37vK gnugelrebUuml nehcielg red tiM netual (

mit der die Landekomponente v bei K fuumlr schwaumlchere Springer herabgesetzt wurde

soll dies auch bei L geschehen so dass der angeschriebene Ausdruck fuumlr l2 fuumlr alle α-

Werte gelten kann

Am Ende der Flugbahn besonders bei den grossen Schanzen ist man nicht mehr weit

von der stationaumlren Endgeschwindigkeit entfernt so dass die Aumlnderung von Betrag

und Richtung der Fluggeschwindigkeit in diesem kurzen Abschnitt im Rahmen der

17

hier gebotenen Genauigkeit vernachlaumlssigbar wird Im weiteren sind die Landewinkel

so klein dass ihr Sinus durch das Bogenmass ersetzt werden kann

Mit vLv asymp K dnu φL asymp φK vereinfachen sich die Gleichungen auf

βL = β ndash 14vK180π (8)

l2 = 14rLvK (9)

Abb 6 Landebereich K bis L

Aus Abbildung 6 erhaumllt man schliesslich

d = 0018w = l2tg(φK ndash β) + l222rL = 1442 rL vK

2 + 14

2 rLvK

22

oder rL = vK2w380 (10)

Die letzte Gleichung stellt die Verbindung zwischen dem bei groumlsseren Schanzen beo-

bachteten durchschnittlichen Mass d und dem Unterschied des zugelassenen v bei K

und L her rL muss aber auch gewaumlhrleisten dass beim Durchfahren der Landestrecke

die Zentrifugalbeschleunigung in Grenzen bleibt Sie soll 80 von g nicht uumlberstei-

gen Es ist somit auch

rL ge 0125 vK2

(10a)

einzuhalten Diese Dimensionierung wird somit bei Schanzen mit w le 48 m

massgebend rL soll auf den naumlchsten Zehnerwert aufgerundet werden

Mit βL und rL sind die Koordinaten von L gegeben

Die Landegeschwindigkeit vK erhaumllt man mit der Integration der Flugbahn Da die zu-

laumlssigen Felder fuumlr die Wertepaare [w hn] fuumlr die verschiedenen Tischneigungen α

einen relativ schmalen Streifen bilden gilt mit ausreichender Genauigkeit die lineare

Beziehung

vK = 068v0 + 1244 (11)

Wenn immer hier von bdquoausreichenderldquo Genauigkeit die Rede ist heisst das dass der

eingeraumlumte Fehler im Bereich weniger Prozente liegt in einem Toleranzbereich der

auch den biomechanischen Ausgangsgroumlssen wie aumlquivalente Landehoumlhe zugespro-

18

chen werden muss Allerdings muss festgehalten werden dass fuumlr die Anwendung sol-

cher Vereinfachung vorausgesetzt werden muss dass der Planer nicht von den Vorga-

ben abweicht

Bei den ganz kleinen Schanzen wird vK von der Naumlherungsformel gegenuumlber der

Wirklichkeit etwas zu gross berechnet Man liegt damit aber auf der sicheren Seite

5 Die Landung

Wer in L landet faumlhrt mit der groumlsstmoumlglichen Geschwindigkeit in den anschliessen-

den Uumlbergangsbogen Der Springer muss durch seine Muskelkraft die Normalkompo-

nente seiner Geschwindigkeit vL= 56 ms auf Null abbremsen Die kinetische Ener-

gie ist

m5622 = 1568m m = Masse Springer und Ski

Wenn er konstant die Kraft die seinem Gewicht samt Ski entspricht bei der Landung

einsetzten wuumlrde haumltte er die aumlquivalente Fallhoumlhe von 160 m zuruumlckzulegen Die

Zeit die er dazu benoumltigt ist t = 56981 = 0571 s Waumlhrend dieser Zeit ist der

Druck auf die Spur um sein Gewicht groumlsser so dass er eine um tgρmg erhoumlhte

Reibungskraft erfaumlhrt und dies uumlber eine Strecke von vLcos(φK ndash βL)0571 Diese

Reibungsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie die in der Geschwindig-

keitskomponente v parallel zum Hang liegt Die verbleibende Energie ist

frac12mv2 = frac12mvL

2cos

2(φK ndash βL) ndash tgρmgvLcos(φK ndash βL)0571 =

frac12mvLcos(φK ndash βL)[vL cos(φK ndash βL) ndash 2tgρ9810571]

Nach einiger Umformung erhaumllt man fuumlr die verbleibende Gleitgeschwindigkeit bei

einer Landung in L in erster Naumlherung

v = vK ndash 16vK ndash 01ρ (Reibungswinkel ρ in alt Grad) (12)

Der Kraft-Zeit-Verlauf ist in Wirklichkeit weder genau mg noch ist er konstant Wie

man leicht zeigen kann ist das Ergebnis aber nicht davon beeinflusst ausser dass sich

die Geschwindigkeit am Ende des Landungsprozesses fruumlher oder spaumlter einstellt Da

die Geschwindigkeitsabminderung aber sehr klein ist kann dieser Umstand vernach-

laumlssigt werden

Der Normaldruck auf das Profil soll analog zur Uumlbergangskurve im Anlauf auf 18g

beschraumlnkt werden dh

gcosβL + v2r2L le 18g asymp 18 (13)

Damit erhaumllt man fuumlr r2L die Eingrenzung

rL ge r2L ge v2(18 ndash 10cosβL) (14)

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

3

1 Vorbemerkungen

Eine Arbeitsgruppe des Subkomitees Sprungschanzen der FIS erarbeitete die Grund-

zuumlge des Aufbaues eines Laumlngsprofils einer Sprungschanze Sie nuumltzte dabei die jahr-

zehntelange Erfahrung und verfolgte die Entwicklung des Sprunglaufes durch Be-

obachtungen und uumlber Gespraumlche mit Trainern und Aktiven In einem Turnus von ca

zehn Jahren wurden seit 1976 und zuletzt 2006 Flugbahnaufnahmen bei Weltcupsprin-

gen durchgefuumlhrt die die Luftwiderstands und ndashauftriebswerte des Skispringers im

Flug bestimmen lassen Mittels Computersimulationen von Spruumlngen lassen sich die

Aufsprungprofile optimieren Mathematische Begruumlndung der angewandten Methode

siehe ANHANG

Seit 1976 hat der Unterzeichnete Mitglied des Subkomitees die Messungen und deren

Umsetzung in mathematische Formeln uumlbernommen In der vorliegenden Arbeit sind

die Zusammenhaumlnge die sicherheitstechnischen Uumlberlegungen und die Grundlagen

der Formeln und Diagramme wie sie in den vom Unterausschuss herausgegebenen

sbquoSkisprungschanzen Bau-Normen 2008rsquo ergaumlnzt mit dem Computerprogramm

sbquoJump2rsquo publiziert sind nachvollziehbar zusammengestellt

Fuumlr die Darstellung der mathematischen Ausdruumlcke wird die normal gebraumluchliche

algebraische Syntax mit den uumlblichen Prioritaumltsregeln verwendet In allen Gleichungen

sind Laumlngen in Meter Geschwindigkeiten in Meter pro Sekunde und Winkel in alten

Grad (360deg) einzusetzen Koeffizienten in den Formeln sind in der Regel mit Dimensi-

onen behaftet (Zeit Beschleunigung etc) ohne dass darauf hingewiesen wird

2 Der Anlauf

Beim Anlauf ist die gerade Beschleunigungsstrecke mit der Neigung γ bis heute in der

Regel ohne Uumlbergangskurve an einen Kreisbogen tangential angeschlossen worden

Nach dem Tangentenpunkt E wirkt eine Zentrifugalkraft auf den Springer die den

Druck auf die Skis bei grossen Schanzen ploumltzlich veranderthalbfacht wie in Kapitel

23 gezeigt wird Als weitere Folge davon wird auch schlagartig die Reibung zwischen

Schnee und Ski erhoumlht die auf den Springer eine nach vorne wirkende Traumlgheitskraft

erzeugt

Es soll kuumlnftig ein Uumlbergangsbogen eingebaut werden der die Zentrifugalkraft vom

Punkt E1 von Null allmaumlhlich auf den Maximalwert im Anschlusspunkt E2 an die gera-

de Tischebene ansteigen laumlsst Als Uumlbergangsbogen steht die im Strassenbau bekannte

Klothoide zur Diskussion Bei ihr nimmt die Kruumlmmung bis zum Erreichen der vorge-

gebenen Kruumlmmung am Tischanfang von Null proportional zur zuruumlckgelegten Stre-

cke zu

Die Form der Uumlbergangskurve haumlngt allein von der Neigungsaumlnderung γ ndash α ab Die

Bogenlaumlnge ist proportional zum Endradius der Kruumlmmung Die Auswirkung des Er-

satzes des Kreisbogens durch eine Uumlbergangskurve soll an einem Extrembeispiel

uumlberpruumlft werden Die groumlsste Neigungsaumlnderung γ ndash α ergibt sich aus der groumlssten

4

zulaumlssigen Neigung γ = 37deg und der kleinsten zulaumlssigen Tischneigung α = 8deg und be-

traumlgt somit 29deg

Aus den Tabellenwerken fuumlr Klothoiden erhaumllt man fuumlr γ ndash α = 29deg eine Exzentrizitaumlt

von 00423 die gleich ist der Parallelverschiebung der Anlaufgeraden von 37deg Nei-

gung gegenuumlber der bisherigen Geraden mit kreisfoumlrmigem Uumlbergangsbogen Bei ei-

nem Radius r1 von 100 m ist diese Verschiebung somit 423 m Bei einem kuumlnstlichen

Anlauf ist dies ohne Belang Bei einem Naturanlauf bedeutet dies aber unter Umstaumln-

den ein Eingraben der Spur auf eine Tiefe von 4 Meter was sich verteuernd auswirkt

Es soll daher versucht werden diesen Nachteil zu reduzieren

Es zeigt sich dass dieses Ziel am besten und einfachsten erreicht wird wenn man sich

bei der Reihenentwicklung der Klothoide auf deren erstes Glied beschraumlnkt Man er-

haumllt eine kubische Parabel und damit jene Kurve die auch beim Eisenbahnbau als

Uumlbergangskurve verwendet wird

21 Die Geometrie der Uumlbergangskurve

Verwenden wir fuumlr das um den Anlaufneigungswinkel γ gedrehte Koordinatensystem

die Buchstaben ξ und η so lautet die Funktion

η = Cξ3

Abb 1 Kubische Parabel als Uumlbergangskurve im Anlauf

5

Gegeben sind die geometrischen Daten des Tisches t und α der Kruumlmmungsradius r1

im Tangentenpunkt E2 und die Neigung γ der Beschleunigungsstrecke Daraus erhaumllt

man der Reihe nach

d = 2r1sin(γ-α)cos2(γ-α)]

C = tg(γ-α)3d2

f = tg(γ-α)d3

d

l = int[1 + 9C2ξ

4]

05dξ

0

Fuumlr das Integral kann mit ausreichender Genauigkeit die Naumlherung

l = d[1+01 tg2(γ-α)]

verwendet werden

Anfangs- und Endpunkt der Uumlbergangskurve E1 und E2 sind

rarr

E1 = [ ndash (tcosα + fsinγ + dcosγ) (tsinα ndash fcosγ + dsinγ)]

rarr

E2 = [ ndash tcosα tsinα]

Das Laumlngsprofil im Uumlbergangsbogen kann mit einfachen Rechenhilfen im gedrehten

Koordinatensystem ξ η mit der Funktion η = Cξ

3 berechnet werden Mit einem

programmierbaren Taschenrechner laumlsst sich die Uumlbergangskurve auch im x-z-Koor-

dinatensystem einfach berechnen Die einer gegebenen Abszisse x zugehoumlrende Abs-

zisse ξ muss als Erstes aus einer Gleichung dritten Grades berechnet werden Dazu

dienen die Hilfsgroumlssen

P = ctgγ3C

Q = (x + tcosα + fsinγ + dcosγ)2Csinγ

Damit erhaumllt man ξ = [(Q2+P

3)

frac12 +Q]

⅓ ndash [(Q

2+P

3)

frac12 ndash Q]

⅓

und schliesslich z = tsinα - fcosγ + dsinγ ndash ξsinγ + C ξ3cosγ

Mit Einsetzen der Werte γ ndash α = 29deg und r1 = 100 m erhaumllt man eine Parallelverschie-

bung der Beschleunigungsgeraden die nur noch 117 m betraumlgt und damit 306 m ge-

ringer ist als bei der Verwendung einer Klothoide

In Tabelle 1 sind die geometrischen Eckwerte der drei Kurvenformen mit den Vorga-

ben γ = 37deg α = 8deg und r1 = 100 m zusammen gestellt Es faumlllt auf dass die Werte fuumlr

die kubische Parabel annaumlhernd die Mittelwerte von Kreis und Klothoide annehmen

was aber rein zufaumlllig ist Die Eckwerte der kubischen Parabel naumlhern sich mit abneh-

mender Neigungsaumlnderung (γ ndash α) jenen der Klothoide

6

Form Kurvenlaumlnge Horizontaldistanz E1 bis E2 Houmlhendifferenz E1 bis E2

Kreis 5061 m 4626 m 1916 m

Klothoide 10123 m 8887 m 4598 m

KubParab 7636 m 6748 m 3369 m

Tab 1 Eckdaten fuumlr r1 = 100 m und γ-α = 29deg (groumlsstmoumlglicher Wert)

Abb 2 Kruumlmmungsverlauf bei den drei Kurvenarten von E1 bis E2 fuumlr verschiedene

Richtungsaumlnderungen γ-α

Bei γ ndash α = 29deg (Abb 2) wird die maximale Kruumlmmung bei der kubischen Parabel

bereits bei 6662 m erreich Sie ist 2 houmlher als die fuumlr das Kurvenende vorgegeben

Kruumlmmung was ohne Belang ist Die ganze Uumlbergangskurve ist mit 7636 m rund 25

m kuumlrzer als bei Verwendung einer Klothoide worin der Hauptvorteil der kubischen

Parabel gegenuumlber der Klothoide liegt Wenn γ ndash α = arctg(1radic5) = 24095deg die Rich-

tungsaumlnderung ist wird die geforderte Kruumlmmung genau in Punkt E2 erreicht In die-

7

sem Bereich liegt das Gros der Schanzen Mit kleiner werdender Differenz γ-α naumlhert

sich die kubische Parabel der Klothoide an

22 Berechnung der Anlauflaumlngen e und es

Die Auswertung der Filmaufnahmen vom Dezember 2006 in Engelberg CH hat erge-

ben dass der Luftwiderstandskoeffizient des Springers in der Kauerstellung k =

00011 m-1

mit einer Standardabweichung von 00001 m-1

betraumlgt (siehe Bericht der

ETHZ vom 29 Maumlrz 2008 Seite 31) Fuumlr die Berechnung des Diagrammes Abbildung

2 in den bdquoGrundlagen fuumlr die Projektierung einer Skisprungschanzeldquo 1996 haben wir k

= 00014 angenommen Damit kann eine Verringerung des Reibungsverlustes von

rund 20 festgestellt werden Fuumlr den Gleitreibungskoeffizient wurde ein Reibungs-

winkel ρ = 17deg mit einer Streuung von 06deg ermittelt

Fuumlr die Bestimmung der obersten Einstiegluke ist von einem v0 auszugehen das ein

Mittelklassespringer braucht um bei ρ = 3deg bei Windstille K zu erreichen

Fuumlr die Ermittlung des Ortes der untersten Einstiegluke ist davon auszugehen dass ein

Spitzenspringer bei besten Spurverhaumlltnissen von dieser Luke startend den Konstrukti-

onspunkt K nicht uumlberspringen soll Bei Aufwind ist ein noch etwas tieferer Startplatz

erforderlich Fuumlr die Berechnung kann auf die sichere Seite gehend ρ = 0deg gesetzt

werden

Die Anlauflaumlngen erhaumllt man aus der Bewegungsdifferentialgleichung Sie ist vom

Typus einer linearen inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung und damit

geschlossen loumlsbar wenn man v2 als Funktion definiert fuumlr s als unabhaumlngige Variable

den zuruumlckgelegten Bahnabschnitt einsetzt und wenn das Laumlngsprofil z(s) mit einer

mathematischen Funktion beschrieben wird Natuumlrlich kann eine Loumlsung mit den Me-

thoden der angewandten Mathematik und mit den heute gebraumluchlichen Hilfsmitteln

(zB Excel-Programm) einfach und schnell gefunden werden Trotzdem soll hier die

klassische geschlossene Loumlsung dargestellt werden

Die Differentialgleichung lautet

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2

Dabei ist φ die Bahnneigung und r der Bahnkruumlmmungsradius als Funktionen von s

ρ ist der Reibungswinkel Ski auf Anlaufspur und k der Luftwiderstandsbeiwert ρ und

k koumlnnen als konstant angenommen werden

Fuumlr eine gerade Fahrspur mit der Neigung γ ist die Loumlsung der Differentialgleichung

v2(s) = vA

2EXP(-2ks) + gksin(γ-ρ)[1 ndash EXP(-2ks)]

wobei vA die Geschwindigkeit am Anfang also bei s = 0 ist Wenn es sich um den

Startpunkt des Anlaufes handelt ist vA = 0 und bei E1 ist

8

v12 = gksin(γ-ρ)[1 ndash EXP(-2klg)]

wenn lg die Laumlnge vom Startpunkt bis E1 ist

Die Loumlsung fuumlr die kubische Parabel als Uumlbergangskurve ist

s

v2 = [v1

2 + 2g int (sin(γ-φ-ρ) EXP(2int(k + ρr)ds)ds] EXP(-2int(k + ρr)ds))

deg

v1 ist die Geschwindigkeit bei E1 am Anfang der Uumlbergangskurve φ die Neigung und r

der Kruumlmmungsradius der Kurve als Funktion der durchfahrenen Strecke s Es emp-

fiehlt sich fuumlr die Integration letztere in Potenzreihen von s umzuwandeln Die Rei-

hen erreichen mit drei Gliedern die wuumlnschbare Genauigkeit und sind

φ = 180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10)

1r = 6Cs(1 ndash 144C^2s^4 + 2160C^4s^8)

Das Integral in der Exponentialfunktion der Loumlsung kann mit den Reihen einfach be-

stimmt werden Die Loumlsung ist

v2(s) = [v1

2 + 1962int(sin(γ-ρ-180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10))

EXP(2ks + 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))ds]

EXP(-2ks - 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))

Das Integral ist in den Grenzen 0 bis s zu berechnen

Fuumlr s = l erhaumllt man v22 in E2 am Anfang des Schanzentisches

Der Vollstaumlndigkeit halber sei auch noch die Loumlsung fuumlr die kreisfoumlrmige Uumlber-

gangskurve mit Radius r1 angegeben

v2 = [v1

2 ndash 2gr1cosλcos(γ ndash ρ ndash λ)]EXP(-2(k + ρ π180r1)s) + 2gr1cos λ

cos(γ ndash ρ ndash λ ndash 180πsr1)

wobei λ = arctg(2(kr1 + π180ρ))

ist

Fuumlr s = (γ ndash α)π 180r1 erhaumllt man v22 in E2 am Anfang des Schanzentisches

v22 = [v1

2 ndash 2gr1cos λcos(γ ndash ρ ndash λ)]EXP(ndash 2(k + ρ π180r1)(γ ndash α)π 180r1)

+ 2gr1cos λcos(α ndash ρ ndash λ)

9

Die Beschleunigung auf dem Schanzentisch

v0 ist die Komponente parallel zur Tischneigung der Startgeschwindigkeit des Fluges

und damit die erreichte Endgeschwindigkeit auf der Schanzentischkante Aus der

Gleichung fuumlr die gerade Anlaufbahn folgt

v02= v2

2EXP(-2k025v2) + gksin(α-ρ)(1 ndash EXP(-2k025v2)

wenn fuumlr s die Tischlaumlnge t = 025v0 025v2 gesetzt wird (025 hat die Dimension

Sekunde) k nimmt von 00011 bei E2 bis zur Tischkante auf 00017 zu (Bericht ETHZ

Seite 31) Man kann den Mittelwert k = 00014 als Konstante in die Rechnung einfuumlh-

ren Die Abweichung des Ergebnisses liegt weit unter einem Promille Die Reihenent-

wicklung der Exponentialfunktion liefert als erste Naumlherung

v02 = v2

2 (1 ndash 05kv2) + 05gsin(α-ρ)v2

Fuumlr die Berechnung der Anlauflaumlnge e ist von der Tischkante aufwaumlrts zu rechnen

Die Geschwindigkeitsquadrate sind dann wenn wiederum in dieser Naumlherung v2 v0

gesetzt wird

Tisch v22 = v0

2(1 + 05kv0) ndash 05gsin(α-ρ)v0

Kubische Parabel

v12 = v2

2 EXP(2kl + 2ρπ1806C(05l^2 ndash 24C^2l^6 + 216C^4l^10))

l

ndash 1962int(sin(γ-ρ-180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10))

deg

EXP(2ks + 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))ds

Kreis

v12 = [v2

2 ndash 2gr1cos λcos(α ndash ρ ndash λ)]EXP(2(k + ρ π180r1)(γ ndash α)π 180r1

+ 2gr1cos λcos(γ ndash ρ ndash λ) wobei

λ = arctg(2(kr1 + π180ρ)) ist

Es kommt vor dass v12 negativ ausfaumlllt was bedeutet dass v1 = 0 auf der Uumlbergangs-

kurve erreicht wird Damit liegt der Startpunkt B unter E1

Gerade Anlaufspur

Die Laumlnge zwischen Startpunkt und E1 ist

lg = ndash 1(2k)ln(1 ndash v12kgsin(γ-ρ))

Wenn v12 negativ ist wird auch lg negativ Die Formel fuumlr lg berechnet die Laumlnge zwi-

schen Startpunkt und E1 auch in diesem Fall richtig und vorzeichengerecht

10

In den sbquoSprungschanzen Bau-Normen 2008rsquo sind die Anlauflaumlngen e in Funktion von γ

und v0 fuumlr α = 10deg Reibungswinkel ρ = 3deg und r1 = 014v02 graphisch dargestellt Die

Verkuumlrzung es des Anlaufs wenn ρ = 0deg ist kann mit der Naumlherung

es = evo(23 + γ6)

berechnet werden Fuumlr ein kleineres v0 auf unveraumlndertem Anlauf faumlllt e etwas zu kurz

aus weil ein verkleinerter Radius r1 einer bestimmten Anlauflaumlnge e eine groumlssere Houml-

hendifferenz zuordnet Diesen Fehler macht man wenn auf einem Anlauf dimensio-

niert fuumlr den Mittelklassespringer der Anlauf fuumlr den Spitzenklassespringer mit der

geringeren Absprunggeschwindigkeit bestimmen wird Die Durchrechnung ergibt

dass bei einer 20 m Schanze B um 140 m und bei einer 130 m Schanze B um 060 m

zu tief ausfaumlllt Der Fehler liegt auf der sicheren Seite

23 Festlegung der Anlaufspurkruumlmmung 1r1 im Punkt E2

Beim bisherigen Kreisbogen war der Radius r1 zwischen 014v02 und 016v0

2 zu

waumlhlen wobei in letzter Zeit vermehrt der obere Grenzwert gewaumlhlt wurde weil die

Springer gegenuumlber fruumlher mit verstaumlrkter Vorlage den Anlauf befahren

In Abbildung 3 ist die Druckentwicklung im Anlauf die ein Springer erfaumlhrt aufge-

zeigt und zwar fuumlr Kreis und kubische Parabel als Uumlbergangskurve Die Eingangsdaten

fuumlr die Berechnung sind fuumlr beide Uumlbergangskurven

α = 8deg γ = 37deg ρ = 3deg k = 00011 t = 65 m v0 = 26 ms

Fuumlr die Kreisform wird der heute uumlbliche Wert r1 = 016v02 = 10816 m gewaumlhlt Auf

dem geraden Teil von 4060 m Laumlnge wirkt allein die Komponente des Gewichtes des

Springers senkrecht zur Bahnneigung also cosγg = 080g Beim Uumlbergang in das

Kreisprofil hat der Springer die Geschwindigkeit 2064 ms erreicht Sie erzeugt zu-

saumltzlich zum Gewicht eine Zentrifugalkraft von 040g Der Druck nimmt also ploumltz-

lich vom 08-fachen Druck um 50 auf den 120-fachen Wert zu Auf der Kreisbahn

erfolgt eine weitere Zunahme auf 163g Beim Uumlbergang auf den Schanzentisch sinkt

der Druck ploumltzlich ab auf cosαg = 099g was hier aber erwuumlnscht ist Auf der

Tischkante wird v0 = 2600 ms erreicht

Bei der kubischen Parabel wird fuumlr den Endradius vor dem Schanzentisch 014v02 =

9464 m eingesetzt Der gerade Teil ist noch 2169 m lang und die Geschwindigkeit an

deren Ende betraumlgt 1524 ms Auf dem 7227 m langen Teil der Uumlbergangskurve

nimmt die Geschwindigkeit auf den vorgegebene Wert von 26 ms zu und der Druck

steigt allmaumlhlich auf 172g Dieser Druck ist um 5 houmlher als beim Kreisprofil was

am Ende der Uumlbergangskurve aber ohne Belang ist

11

Abb 3 Normalbeschleunigung auf die Spur Vergleich Kreiskubische Parabel

Aus dieser Betrachtung folgt dass bei einer Reduktion des Endradiuskoeffizienten r1

von 016 auf 014 der Druck nur um 5 houmlher ausfaumlllt was nicht relevant ist Demge-

genuumlber ist der Umstand dass beim Einbau einer kubischen Parabel am Anfang der

Uumlbergangskurve der schlagartige Anstieg des Druckes entfaumlllt und der Enddruck erst

allmaumlhlich erreicht wird eine grosse Komfortverbesserung

Abschliessend soll die Auswirkung der Wahl der kubischen Parabel gegenuumlber der

bisherigen Wahl eines Kreises auf die Geometrie des Anlaufes insbesondere auf die

Anlauflaumlnge dargestellt werden (Abbildung 4) Dazu sollen Ausgangswerte ange-

nommen werden wie sie bei Grossschanzen haumlufig sind

α = 11deg γ = 35 deg t = 65 m v0 = 26 ms = 3deg kw = 00011

Fall 1 r1 = 014v02

= 9464m

Kreis Anlauflaumlnge 8895 m Startpunkt [-8300 4490]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9134 m Startpunkt [-8565 4510]

Fall 2 r1 = 016v02 = 10816

Kreis Anlauflaumlnge 9121 m Startpunkt [-8539 4515]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9391 m Startpunkt [-8840 4537]

12

In Abbildung 4 sind die obigen Ergebnisse dargestellt Sie zeigt die Unterschiede zwi-

schen Kreis und kubischer Parabel Die Anlauflaumlnge ist bei ein und demselben gewaumlhl-

ten Radius bei der kubischen Parabel ca 250 m laumlnger als beim Kreis Interessant ist

die Feststellung dass der Startpunkt beim Kreis mit dem jetzt gebraumluchlichen Koeffi-

zienten 016 fuumlr r1 und jener bei der kubischen Parabel auf wenig Zentimeter gleich ist

wenn bei letzterer der Koeffizient 014 verwendet wird Damit ist aufgezeigt dass die

oben begruumlndete Moumlglichkeit der Radiusverkleinerung zu gleich langen Anlaumlufen und

gleicher Lage fuumlhrt wie bisher bei der Verwendung eines Kreisbogens

Es wird daher bei Verwendung einer kubischen Parabel als Uumlbergangskurve festgelegt

dass der Radius bei Erreichen des Schanzentisches mindestens

r1 = 014v02

erreichen muss houmlchstens aber

r1 = 016v02

erreichen darf Dies deshalb damit ein ausreichender Entlastungseffekt durch den

ploumltzlichen Wegfall der Zentrifugalkraft auf dem Schanzentisch erhalten bleibt

Eine weitere wichtige Feststellung Wenn bei einem bestehenden Anlauf mit

Kreisbogen sein Radius r1 = 016v02 betraumlgt kann ohne Veraumlnderung des gera-

den Anlaufteils mit kleinem Aufwand nachtraumlglich die Kreisform in eine kubisch

Parabel umgebaut werden

Abb 4 Vergleich Kreiskubische Parabel Einfluss des Kruumlmmungsradius r1

13

3 Der Flug

Die Koordinaten eines Punktes der Flugbahn sowie deren Neigung an dieser Stelle

erhaumllt man aus der Integration des Differentialgleichungssystems das den Flug be-

schreibt

Es sind dies die vier nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

mit den Anfangsbedingungen

x(o) = 0

z(0) = 0

v(0) = (v02 + v

2)^05

φ(0) = α ndash δ

Dabei ist v die aktuelle Fluggeschwindigkeit der Neigungswinkel der Flugbahn im

Uhrzeigersinn gemessen und der Winkel um den der Absprungwinkel (Neigung der

Flugbahn bei x = 0) durch den Absprungeffekt gegenuumlber der Tischneigung angehoben

wird

δ = arctg(vv0)

v ist die Geschwindigkeit senkrecht zur Tischebene die der Schwerpunkt des Koumlrper-

Ski-Systems im Augenblick des Abhebens erreicht Auswertungen von weitesten

Spruumlngen haben fuumlr v 22 ms ergeben Dieser Wert ist bei der Berechnung der Dia-

gramme Abbildung 4 bis 11 in den bdquoSkisprungschanzen Bau-Normen 2008ldquo fuumlr alle

Tischneigungen eingesetzt worden

An dieser Stelle ist noch auf eine immer wieder hartnaumlckig vertretene Meinung hinzu-

weisen die dahin geht dass der Springer bei geeigneter Absprungtechnik die Ab-

sprunggeschwindigkeitskomponente parallel zur Tischebene vergroumlssern koumlnne Das

ist natuumlrlich Unsinn und gehoumlrt in die gleiche Kategorie wie das noch bdquozu erfindende

Perpetuum Mobileldquo

Die Luftwiderstands- und Auftriebskoeffizienten kw bzw ka sind abhaumlngig vom An-

stroumlmwinkel der Luft und von der Haltung des Springers Sie sind somit zeitlich ver-

aumlnderlich Aus der Vermessung der Flugbahnen 2006 in Engelberg hat das Biomecha-

nische Institut der ETHZ fuumlr die weltbesten Springer folgende Werte in Funktion der

Bahnneigung ermittelt

14

Luftkraftbeiwerte Engelberg 2006

Rang 1 - 5 Rang 6 - 15 Rang 16 - 25

φdeg kW kA kW kA kW kA

0 000185 000093 000232 000116 000261 000130

2 000204 000139 000245 000180 000271 000177

4 000223 000185 000258 000244 000282 000224

6 000243 000231 000272 000308 000293 000270

8 000261 000275 000285 000365 000304 000316

10 000281 000316 000298 000396 000315 000350

12 000301 000354 000311 000424 000326 000382

14 000319 000390 000325 000450 000337 000411

16 000338 000424 000337 000472 000347 000436

18 000355 000455 000350 000492 000357 000459

20 000372 000484 000362 000508 000367 000479

22 000388 000511 000374 000522 000376 000496

24 000403 000534 000386 000534 000386 000510

26 000418 000555 000398 000543 000396 000521

28 000432 000574 000410 000550 000407 000531

30 000447 000591 000422 000555 000419 000538

32 000462 000605 000436 000560 000432 000545

34 000479 000617 000453 000565 000449 000551

36 000502 000628 000474 000571 000471 000558

38 000537 000638 000504 000582 000503 000569

40 000614 000655 000553 000606 000555 000590

42 000691 000672 000602 000629 000606 000611

44 000767 000689 000651 000652 000658 000632

Tab 2 Luftkraftbeiwerte mit der Dimension m-1

Damit kann durch Integration der Differentialgleichungen die einer bestimmten Tisch-

neigung und einer bestimmten Absprunggeschwindigkeit v0 zugehoumlrige Flugbahn

berechnet werden Als Landepunkt K wird vereinfachend der Schnittpunkt der Flug-

bahn mit dem Terrainprofil definiert so wie auch der Anfang der Flugbahn auf den

Ursprung 00] gelegt wird

Der Winkel mit dem sich die Flugbahn mit der Landepiste schneidet ist massgebend

fuumlr den Landestoss den der Springer erfaumlhrt Mit dem Begriff der aumlquivalenten Lande-

houmlhe kann dieser Vorgang anschaulich beschrieben werden Welche Houmlhe soll dem

Springer zugemutet werden aus der er vergleichsweise auf eine Horizontalebenen fal-

len und dabei den Stoss sicher auffangen soll Aus langjaumlhriger Erfahrung weiss man

dass 090 m fuumlr gute Springer ein gutes Mass ist Fuumlr schwaumlchere Springer soll auf

070 m reduziert werden

Der erste Wert wird fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis

115deg) der zweite fuumlr kleine und mittlere Schanzen (Tischneigungen von 8deg bis 95deg)

eingesetzt Sie ergeben Geschwindigkeiten von 42 ms bzw 37 ms und sind gleich-

15

zusetzen mit der Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprungprofil

in K Wenn die Flugbahn im Landepunkt die Neigung φK hat muss das Aufsprungpro-

fil die Neigung

fuumlr α von 10deg bis 115deg β = φK ndash arcsin(42vK ((5)

und fuumlr α von 8deg bis 95deg β = φK ndash arcsin(37vK((6)

haben wobei vKnaL red gartebtulosbA red degeschwindigkeit bedeutet

Fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis 115deg) sind die k-Werte

der Spitzenspringer (Kolonne 1 und 2 Tab 2) und fuumlr kleine und mittlere Schanzen

(Tischneigungen von 8deg bis 95deg) sind die k-Werte fuumlr schwaumlchere Springer (Kolonne

5 und 6 Tab 2) eingesetzt worden

Auf diesen Grundlagen sind die Diagramme fuumlr die Tischneigungen 8deg bis 115deg der

Sprungschanzen-Baunormen 2008 berechnet worden Die Eingrenzungen der zulaumlssi-

gen Bereich der Wertepaare w und hn hat der Ausschuss des Subkomitees auf Grund

von Erfahrungen festgelegt

4 Das Aufsprungprofil

Das Aufsprungprofil vom Schanzentisch bis zum Punkt K soll fuumlr alle Sprungweiten

gute Landebedingungen ermoumlglichen Dazu soll es bei weiten Spruumlngen die Houmlhe der

Flugbahn uumlber Terrain moumlglichst klein halten Das 1992 eingefuumlhrte und 1996 verfei-

nerte Aufsprungprofil in der Form einer kubischen Parabel hat sich bewaumlhrt Fuumlr die

Optimierung der freien Parameter β0 und δβ ist die Kurvenschar aller in Engelberg

vermessenen Fluumlge zu Rate gezogen worden Die Herleitung der Formeln die in den

Bau-Normen das Aufsprungprofil beschreiben ist reine analytische Geometrie und

bedarf keiner weiter gehenden Erklaumlrung

Fuumlr die Berechnung des Endes L des Landebereiches wurden folgende Annahmen ge-

troffen

Bei Skisprungwettkaumlmpfen wird der Punkt K bekanntlich von einzelnen wenigen

Springern uumlbersprungen Aus einer groumlsseren Anzahl Resultatlisten wurden die Uumlber-

weiten w = wKrsquo ndash wK bestimmt wobei wKrsquo die groumlsste erreichte Weite eines Wett-

kampfes ist

16

Abb 5 Groumlsste Weite bei Krsquo die bei einem Wettkampf erreicht wurde

In Abbildung 5 ist die bei dieser Auswertung zu beachtende damals geltende Geo-

metrie mit dem Kreisbogen r2 dargestellt Aus w und dem zur betreffenden Schanze

gehoumlrenden r2 β und der Flugbahnneigung φK bei der Landung ergibt sich fuumlr die Ver-

schiebung der Flugbahn

D = r2[cos(φK ndash β) ndash cos(φK ndash βKrsquo)] wobei βKrsquo = β ndash Δwr2180π ist

Es hat sich gezeigt dass der Grenzwert fuumlr D etwa bei 0018w liegt Fuumlr diese moumlgli-

chen Groumlsstweiten bei L soll eine aumlquivalente Landehoumlhe von 160 m eingeplant wer-

den Messungen anlaumlsslich der Skiflug-WM 1976 in Oberstdorf haben gezeigt dass

die damit verbundene Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprung-

profil v von 56 ms noch gestanden werden kann Bei L soll somit die Neigung der

Landepiste

βL = φL ndash arcsin(56vL ((7)

betragen

Der Landebereich von K bis L wird als Kreisabschnitt gestaltet Der Radius des Bo-

gens sei rL Fuumlr den Abstand l2 von K und L ergibt sich

l2 = (β ndash βL) rLπ180 = [(φK ndash arcsin(42vK ((ndash (φL ndash arcsin(56vLr [((Lπ180

fuumlr α von 10deg bis 115deg Fuumlr die kleineren α-Werte muumlsste der zweite Term im Klam-

merausdruck konsequenterweise arcsin(37vK gnugelrebUuml nehcielg red tiM netual (

mit der die Landekomponente v bei K fuumlr schwaumlchere Springer herabgesetzt wurde

soll dies auch bei L geschehen so dass der angeschriebene Ausdruck fuumlr l2 fuumlr alle α-

Werte gelten kann

Am Ende der Flugbahn besonders bei den grossen Schanzen ist man nicht mehr weit

von der stationaumlren Endgeschwindigkeit entfernt so dass die Aumlnderung von Betrag

und Richtung der Fluggeschwindigkeit in diesem kurzen Abschnitt im Rahmen der

17

hier gebotenen Genauigkeit vernachlaumlssigbar wird Im weiteren sind die Landewinkel

so klein dass ihr Sinus durch das Bogenmass ersetzt werden kann

Mit vLv asymp K dnu φL asymp φK vereinfachen sich die Gleichungen auf

βL = β ndash 14vK180π (8)

l2 = 14rLvK (9)

Abb 6 Landebereich K bis L

Aus Abbildung 6 erhaumllt man schliesslich

d = 0018w = l2tg(φK ndash β) + l222rL = 1442 rL vK

2 + 14

2 rLvK

22

oder rL = vK2w380 (10)

Die letzte Gleichung stellt die Verbindung zwischen dem bei groumlsseren Schanzen beo-

bachteten durchschnittlichen Mass d und dem Unterschied des zugelassenen v bei K

und L her rL muss aber auch gewaumlhrleisten dass beim Durchfahren der Landestrecke

die Zentrifugalbeschleunigung in Grenzen bleibt Sie soll 80 von g nicht uumlberstei-

gen Es ist somit auch

rL ge 0125 vK2

(10a)

einzuhalten Diese Dimensionierung wird somit bei Schanzen mit w le 48 m

massgebend rL soll auf den naumlchsten Zehnerwert aufgerundet werden

Mit βL und rL sind die Koordinaten von L gegeben

Die Landegeschwindigkeit vK erhaumllt man mit der Integration der Flugbahn Da die zu-

laumlssigen Felder fuumlr die Wertepaare [w hn] fuumlr die verschiedenen Tischneigungen α

einen relativ schmalen Streifen bilden gilt mit ausreichender Genauigkeit die lineare

Beziehung

vK = 068v0 + 1244 (11)

Wenn immer hier von bdquoausreichenderldquo Genauigkeit die Rede ist heisst das dass der

eingeraumlumte Fehler im Bereich weniger Prozente liegt in einem Toleranzbereich der

auch den biomechanischen Ausgangsgroumlssen wie aumlquivalente Landehoumlhe zugespro-

18

chen werden muss Allerdings muss festgehalten werden dass fuumlr die Anwendung sol-

cher Vereinfachung vorausgesetzt werden muss dass der Planer nicht von den Vorga-

ben abweicht

Bei den ganz kleinen Schanzen wird vK von der Naumlherungsformel gegenuumlber der

Wirklichkeit etwas zu gross berechnet Man liegt damit aber auf der sicheren Seite

5 Die Landung

Wer in L landet faumlhrt mit der groumlsstmoumlglichen Geschwindigkeit in den anschliessen-

den Uumlbergangsbogen Der Springer muss durch seine Muskelkraft die Normalkompo-

nente seiner Geschwindigkeit vL= 56 ms auf Null abbremsen Die kinetische Ener-

gie ist

m5622 = 1568m m = Masse Springer und Ski

Wenn er konstant die Kraft die seinem Gewicht samt Ski entspricht bei der Landung

einsetzten wuumlrde haumltte er die aumlquivalente Fallhoumlhe von 160 m zuruumlckzulegen Die

Zeit die er dazu benoumltigt ist t = 56981 = 0571 s Waumlhrend dieser Zeit ist der

Druck auf die Spur um sein Gewicht groumlsser so dass er eine um tgρmg erhoumlhte

Reibungskraft erfaumlhrt und dies uumlber eine Strecke von vLcos(φK ndash βL)0571 Diese

Reibungsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie die in der Geschwindig-

keitskomponente v parallel zum Hang liegt Die verbleibende Energie ist

frac12mv2 = frac12mvL

2cos

2(φK ndash βL) ndash tgρmgvLcos(φK ndash βL)0571 =

frac12mvLcos(φK ndash βL)[vL cos(φK ndash βL) ndash 2tgρ9810571]

Nach einiger Umformung erhaumllt man fuumlr die verbleibende Gleitgeschwindigkeit bei

einer Landung in L in erster Naumlherung

v = vK ndash 16vK ndash 01ρ (Reibungswinkel ρ in alt Grad) (12)

Der Kraft-Zeit-Verlauf ist in Wirklichkeit weder genau mg noch ist er konstant Wie

man leicht zeigen kann ist das Ergebnis aber nicht davon beeinflusst ausser dass sich

die Geschwindigkeit am Ende des Landungsprozesses fruumlher oder spaumlter einstellt Da

die Geschwindigkeitsabminderung aber sehr klein ist kann dieser Umstand vernach-

laumlssigt werden

Der Normaldruck auf das Profil soll analog zur Uumlbergangskurve im Anlauf auf 18g

beschraumlnkt werden dh

gcosβL + v2r2L le 18g asymp 18 (13)

Damit erhaumllt man fuumlr r2L die Eingrenzung

rL ge r2L ge v2(18 ndash 10cosβL) (14)

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

4

zulaumlssigen Neigung γ = 37deg und der kleinsten zulaumlssigen Tischneigung α = 8deg und be-

traumlgt somit 29deg

Aus den Tabellenwerken fuumlr Klothoiden erhaumllt man fuumlr γ ndash α = 29deg eine Exzentrizitaumlt

von 00423 die gleich ist der Parallelverschiebung der Anlaufgeraden von 37deg Nei-

gung gegenuumlber der bisherigen Geraden mit kreisfoumlrmigem Uumlbergangsbogen Bei ei-

nem Radius r1 von 100 m ist diese Verschiebung somit 423 m Bei einem kuumlnstlichen

Anlauf ist dies ohne Belang Bei einem Naturanlauf bedeutet dies aber unter Umstaumln-

den ein Eingraben der Spur auf eine Tiefe von 4 Meter was sich verteuernd auswirkt

Es soll daher versucht werden diesen Nachteil zu reduzieren

Es zeigt sich dass dieses Ziel am besten und einfachsten erreicht wird wenn man sich

bei der Reihenentwicklung der Klothoide auf deren erstes Glied beschraumlnkt Man er-

haumllt eine kubische Parabel und damit jene Kurve die auch beim Eisenbahnbau als

Uumlbergangskurve verwendet wird

21 Die Geometrie der Uumlbergangskurve

Verwenden wir fuumlr das um den Anlaufneigungswinkel γ gedrehte Koordinatensystem

die Buchstaben ξ und η so lautet die Funktion

η = Cξ3

Abb 1 Kubische Parabel als Uumlbergangskurve im Anlauf

5

Gegeben sind die geometrischen Daten des Tisches t und α der Kruumlmmungsradius r1

im Tangentenpunkt E2 und die Neigung γ der Beschleunigungsstrecke Daraus erhaumllt

man der Reihe nach

d = 2r1sin(γ-α)cos2(γ-α)]

C = tg(γ-α)3d2

f = tg(γ-α)d3

d

l = int[1 + 9C2ξ

4]

05dξ

0

Fuumlr das Integral kann mit ausreichender Genauigkeit die Naumlherung

l = d[1+01 tg2(γ-α)]

verwendet werden

Anfangs- und Endpunkt der Uumlbergangskurve E1 und E2 sind

rarr

E1 = [ ndash (tcosα + fsinγ + dcosγ) (tsinα ndash fcosγ + dsinγ)]

rarr

E2 = [ ndash tcosα tsinα]

Das Laumlngsprofil im Uumlbergangsbogen kann mit einfachen Rechenhilfen im gedrehten

Koordinatensystem ξ η mit der Funktion η = Cξ

3 berechnet werden Mit einem

programmierbaren Taschenrechner laumlsst sich die Uumlbergangskurve auch im x-z-Koor-

dinatensystem einfach berechnen Die einer gegebenen Abszisse x zugehoumlrende Abs-

zisse ξ muss als Erstes aus einer Gleichung dritten Grades berechnet werden Dazu

dienen die Hilfsgroumlssen

P = ctgγ3C

Q = (x + tcosα + fsinγ + dcosγ)2Csinγ

Damit erhaumllt man ξ = [(Q2+P

3)

frac12 +Q]

⅓ ndash [(Q

2+P

3)

frac12 ndash Q]

⅓

und schliesslich z = tsinα - fcosγ + dsinγ ndash ξsinγ + C ξ3cosγ

Mit Einsetzen der Werte γ ndash α = 29deg und r1 = 100 m erhaumllt man eine Parallelverschie-

bung der Beschleunigungsgeraden die nur noch 117 m betraumlgt und damit 306 m ge-

ringer ist als bei der Verwendung einer Klothoide

In Tabelle 1 sind die geometrischen Eckwerte der drei Kurvenformen mit den Vorga-

ben γ = 37deg α = 8deg und r1 = 100 m zusammen gestellt Es faumlllt auf dass die Werte fuumlr

die kubische Parabel annaumlhernd die Mittelwerte von Kreis und Klothoide annehmen

was aber rein zufaumlllig ist Die Eckwerte der kubischen Parabel naumlhern sich mit abneh-

mender Neigungsaumlnderung (γ ndash α) jenen der Klothoide

6

Form Kurvenlaumlnge Horizontaldistanz E1 bis E2 Houmlhendifferenz E1 bis E2

Kreis 5061 m 4626 m 1916 m

Klothoide 10123 m 8887 m 4598 m

KubParab 7636 m 6748 m 3369 m

Tab 1 Eckdaten fuumlr r1 = 100 m und γ-α = 29deg (groumlsstmoumlglicher Wert)

Abb 2 Kruumlmmungsverlauf bei den drei Kurvenarten von E1 bis E2 fuumlr verschiedene

Richtungsaumlnderungen γ-α

Bei γ ndash α = 29deg (Abb 2) wird die maximale Kruumlmmung bei der kubischen Parabel

bereits bei 6662 m erreich Sie ist 2 houmlher als die fuumlr das Kurvenende vorgegeben

Kruumlmmung was ohne Belang ist Die ganze Uumlbergangskurve ist mit 7636 m rund 25

m kuumlrzer als bei Verwendung einer Klothoide worin der Hauptvorteil der kubischen

Parabel gegenuumlber der Klothoide liegt Wenn γ ndash α = arctg(1radic5) = 24095deg die Rich-

tungsaumlnderung ist wird die geforderte Kruumlmmung genau in Punkt E2 erreicht In die-

7

sem Bereich liegt das Gros der Schanzen Mit kleiner werdender Differenz γ-α naumlhert

sich die kubische Parabel der Klothoide an

22 Berechnung der Anlauflaumlngen e und es

Die Auswertung der Filmaufnahmen vom Dezember 2006 in Engelberg CH hat erge-

ben dass der Luftwiderstandskoeffizient des Springers in der Kauerstellung k =

00011 m-1

mit einer Standardabweichung von 00001 m-1

betraumlgt (siehe Bericht der

ETHZ vom 29 Maumlrz 2008 Seite 31) Fuumlr die Berechnung des Diagrammes Abbildung

2 in den bdquoGrundlagen fuumlr die Projektierung einer Skisprungschanzeldquo 1996 haben wir k

= 00014 angenommen Damit kann eine Verringerung des Reibungsverlustes von

rund 20 festgestellt werden Fuumlr den Gleitreibungskoeffizient wurde ein Reibungs-

winkel ρ = 17deg mit einer Streuung von 06deg ermittelt

Fuumlr die Bestimmung der obersten Einstiegluke ist von einem v0 auszugehen das ein

Mittelklassespringer braucht um bei ρ = 3deg bei Windstille K zu erreichen

Fuumlr die Ermittlung des Ortes der untersten Einstiegluke ist davon auszugehen dass ein

Spitzenspringer bei besten Spurverhaumlltnissen von dieser Luke startend den Konstrukti-

onspunkt K nicht uumlberspringen soll Bei Aufwind ist ein noch etwas tieferer Startplatz

erforderlich Fuumlr die Berechnung kann auf die sichere Seite gehend ρ = 0deg gesetzt

werden

Die Anlauflaumlngen erhaumllt man aus der Bewegungsdifferentialgleichung Sie ist vom

Typus einer linearen inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung und damit

geschlossen loumlsbar wenn man v2 als Funktion definiert fuumlr s als unabhaumlngige Variable

den zuruumlckgelegten Bahnabschnitt einsetzt und wenn das Laumlngsprofil z(s) mit einer

mathematischen Funktion beschrieben wird Natuumlrlich kann eine Loumlsung mit den Me-

thoden der angewandten Mathematik und mit den heute gebraumluchlichen Hilfsmitteln

(zB Excel-Programm) einfach und schnell gefunden werden Trotzdem soll hier die

klassische geschlossene Loumlsung dargestellt werden

Die Differentialgleichung lautet

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2

Dabei ist φ die Bahnneigung und r der Bahnkruumlmmungsradius als Funktionen von s

ρ ist der Reibungswinkel Ski auf Anlaufspur und k der Luftwiderstandsbeiwert ρ und

k koumlnnen als konstant angenommen werden

Fuumlr eine gerade Fahrspur mit der Neigung γ ist die Loumlsung der Differentialgleichung

v2(s) = vA

2EXP(-2ks) + gksin(γ-ρ)[1 ndash EXP(-2ks)]

wobei vA die Geschwindigkeit am Anfang also bei s = 0 ist Wenn es sich um den

Startpunkt des Anlaufes handelt ist vA = 0 und bei E1 ist

8

v12 = gksin(γ-ρ)[1 ndash EXP(-2klg)]

wenn lg die Laumlnge vom Startpunkt bis E1 ist

Die Loumlsung fuumlr die kubische Parabel als Uumlbergangskurve ist

s

v2 = [v1

2 + 2g int (sin(γ-φ-ρ) EXP(2int(k + ρr)ds)ds] EXP(-2int(k + ρr)ds))

deg

v1 ist die Geschwindigkeit bei E1 am Anfang der Uumlbergangskurve φ die Neigung und r

der Kruumlmmungsradius der Kurve als Funktion der durchfahrenen Strecke s Es emp-

fiehlt sich fuumlr die Integration letztere in Potenzreihen von s umzuwandeln Die Rei-

hen erreichen mit drei Gliedern die wuumlnschbare Genauigkeit und sind

φ = 180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10)

1r = 6Cs(1 ndash 144C^2s^4 + 2160C^4s^8)

Das Integral in der Exponentialfunktion der Loumlsung kann mit den Reihen einfach be-

stimmt werden Die Loumlsung ist

v2(s) = [v1

2 + 1962int(sin(γ-ρ-180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10))

EXP(2ks + 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))ds]

EXP(-2ks - 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))

Das Integral ist in den Grenzen 0 bis s zu berechnen

Fuumlr s = l erhaumllt man v22 in E2 am Anfang des Schanzentisches

Der Vollstaumlndigkeit halber sei auch noch die Loumlsung fuumlr die kreisfoumlrmige Uumlber-

gangskurve mit Radius r1 angegeben

v2 = [v1

2 ndash 2gr1cosλcos(γ ndash ρ ndash λ)]EXP(-2(k + ρ π180r1)s) + 2gr1cos λ

cos(γ ndash ρ ndash λ ndash 180πsr1)

wobei λ = arctg(2(kr1 + π180ρ))

ist

Fuumlr s = (γ ndash α)π 180r1 erhaumllt man v22 in E2 am Anfang des Schanzentisches

v22 = [v1

2 ndash 2gr1cos λcos(γ ndash ρ ndash λ)]EXP(ndash 2(k + ρ π180r1)(γ ndash α)π 180r1)

+ 2gr1cos λcos(α ndash ρ ndash λ)

9

Die Beschleunigung auf dem Schanzentisch

v0 ist die Komponente parallel zur Tischneigung der Startgeschwindigkeit des Fluges

und damit die erreichte Endgeschwindigkeit auf der Schanzentischkante Aus der

Gleichung fuumlr die gerade Anlaufbahn folgt

v02= v2

2EXP(-2k025v2) + gksin(α-ρ)(1 ndash EXP(-2k025v2)

wenn fuumlr s die Tischlaumlnge t = 025v0 025v2 gesetzt wird (025 hat die Dimension

Sekunde) k nimmt von 00011 bei E2 bis zur Tischkante auf 00017 zu (Bericht ETHZ

Seite 31) Man kann den Mittelwert k = 00014 als Konstante in die Rechnung einfuumlh-

ren Die Abweichung des Ergebnisses liegt weit unter einem Promille Die Reihenent-

wicklung der Exponentialfunktion liefert als erste Naumlherung

v02 = v2

2 (1 ndash 05kv2) + 05gsin(α-ρ)v2

Fuumlr die Berechnung der Anlauflaumlnge e ist von der Tischkante aufwaumlrts zu rechnen

Die Geschwindigkeitsquadrate sind dann wenn wiederum in dieser Naumlherung v2 v0

gesetzt wird

Tisch v22 = v0

2(1 + 05kv0) ndash 05gsin(α-ρ)v0

Kubische Parabel

v12 = v2

2 EXP(2kl + 2ρπ1806C(05l^2 ndash 24C^2l^6 + 216C^4l^10))

l

ndash 1962int(sin(γ-ρ-180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10))

deg

EXP(2ks + 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))ds

Kreis

v12 = [v2

2 ndash 2gr1cos λcos(α ndash ρ ndash λ)]EXP(2(k + ρ π180r1)(γ ndash α)π 180r1

+ 2gr1cos λcos(γ ndash ρ ndash λ) wobei

λ = arctg(2(kr1 + π180ρ)) ist

Es kommt vor dass v12 negativ ausfaumlllt was bedeutet dass v1 = 0 auf der Uumlbergangs-

kurve erreicht wird Damit liegt der Startpunkt B unter E1

Gerade Anlaufspur

Die Laumlnge zwischen Startpunkt und E1 ist

lg = ndash 1(2k)ln(1 ndash v12kgsin(γ-ρ))

Wenn v12 negativ ist wird auch lg negativ Die Formel fuumlr lg berechnet die Laumlnge zwi-

schen Startpunkt und E1 auch in diesem Fall richtig und vorzeichengerecht

10

In den sbquoSprungschanzen Bau-Normen 2008rsquo sind die Anlauflaumlngen e in Funktion von γ

und v0 fuumlr α = 10deg Reibungswinkel ρ = 3deg und r1 = 014v02 graphisch dargestellt Die

Verkuumlrzung es des Anlaufs wenn ρ = 0deg ist kann mit der Naumlherung

es = evo(23 + γ6)

berechnet werden Fuumlr ein kleineres v0 auf unveraumlndertem Anlauf faumlllt e etwas zu kurz

aus weil ein verkleinerter Radius r1 einer bestimmten Anlauflaumlnge e eine groumlssere Houml-

hendifferenz zuordnet Diesen Fehler macht man wenn auf einem Anlauf dimensio-

niert fuumlr den Mittelklassespringer der Anlauf fuumlr den Spitzenklassespringer mit der

geringeren Absprunggeschwindigkeit bestimmen wird Die Durchrechnung ergibt

dass bei einer 20 m Schanze B um 140 m und bei einer 130 m Schanze B um 060 m

zu tief ausfaumlllt Der Fehler liegt auf der sicheren Seite

23 Festlegung der Anlaufspurkruumlmmung 1r1 im Punkt E2

Beim bisherigen Kreisbogen war der Radius r1 zwischen 014v02 und 016v0

2 zu

waumlhlen wobei in letzter Zeit vermehrt der obere Grenzwert gewaumlhlt wurde weil die

Springer gegenuumlber fruumlher mit verstaumlrkter Vorlage den Anlauf befahren

In Abbildung 3 ist die Druckentwicklung im Anlauf die ein Springer erfaumlhrt aufge-

zeigt und zwar fuumlr Kreis und kubische Parabel als Uumlbergangskurve Die Eingangsdaten

fuumlr die Berechnung sind fuumlr beide Uumlbergangskurven

α = 8deg γ = 37deg ρ = 3deg k = 00011 t = 65 m v0 = 26 ms

Fuumlr die Kreisform wird der heute uumlbliche Wert r1 = 016v02 = 10816 m gewaumlhlt Auf

dem geraden Teil von 4060 m Laumlnge wirkt allein die Komponente des Gewichtes des

Springers senkrecht zur Bahnneigung also cosγg = 080g Beim Uumlbergang in das

Kreisprofil hat der Springer die Geschwindigkeit 2064 ms erreicht Sie erzeugt zu-

saumltzlich zum Gewicht eine Zentrifugalkraft von 040g Der Druck nimmt also ploumltz-

lich vom 08-fachen Druck um 50 auf den 120-fachen Wert zu Auf der Kreisbahn

erfolgt eine weitere Zunahme auf 163g Beim Uumlbergang auf den Schanzentisch sinkt

der Druck ploumltzlich ab auf cosαg = 099g was hier aber erwuumlnscht ist Auf der

Tischkante wird v0 = 2600 ms erreicht

Bei der kubischen Parabel wird fuumlr den Endradius vor dem Schanzentisch 014v02 =

9464 m eingesetzt Der gerade Teil ist noch 2169 m lang und die Geschwindigkeit an

deren Ende betraumlgt 1524 ms Auf dem 7227 m langen Teil der Uumlbergangskurve

nimmt die Geschwindigkeit auf den vorgegebene Wert von 26 ms zu und der Druck

steigt allmaumlhlich auf 172g Dieser Druck ist um 5 houmlher als beim Kreisprofil was

am Ende der Uumlbergangskurve aber ohne Belang ist

11

Abb 3 Normalbeschleunigung auf die Spur Vergleich Kreiskubische Parabel

Aus dieser Betrachtung folgt dass bei einer Reduktion des Endradiuskoeffizienten r1

von 016 auf 014 der Druck nur um 5 houmlher ausfaumlllt was nicht relevant ist Demge-

genuumlber ist der Umstand dass beim Einbau einer kubischen Parabel am Anfang der

Uumlbergangskurve der schlagartige Anstieg des Druckes entfaumlllt und der Enddruck erst

allmaumlhlich erreicht wird eine grosse Komfortverbesserung

Abschliessend soll die Auswirkung der Wahl der kubischen Parabel gegenuumlber der

bisherigen Wahl eines Kreises auf die Geometrie des Anlaufes insbesondere auf die

Anlauflaumlnge dargestellt werden (Abbildung 4) Dazu sollen Ausgangswerte ange-

nommen werden wie sie bei Grossschanzen haumlufig sind

α = 11deg γ = 35 deg t = 65 m v0 = 26 ms = 3deg kw = 00011

Fall 1 r1 = 014v02

= 9464m

Kreis Anlauflaumlnge 8895 m Startpunkt [-8300 4490]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9134 m Startpunkt [-8565 4510]

Fall 2 r1 = 016v02 = 10816

Kreis Anlauflaumlnge 9121 m Startpunkt [-8539 4515]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9391 m Startpunkt [-8840 4537]

12

In Abbildung 4 sind die obigen Ergebnisse dargestellt Sie zeigt die Unterschiede zwi-

schen Kreis und kubischer Parabel Die Anlauflaumlnge ist bei ein und demselben gewaumlhl-

ten Radius bei der kubischen Parabel ca 250 m laumlnger als beim Kreis Interessant ist

die Feststellung dass der Startpunkt beim Kreis mit dem jetzt gebraumluchlichen Koeffi-

zienten 016 fuumlr r1 und jener bei der kubischen Parabel auf wenig Zentimeter gleich ist

wenn bei letzterer der Koeffizient 014 verwendet wird Damit ist aufgezeigt dass die

oben begruumlndete Moumlglichkeit der Radiusverkleinerung zu gleich langen Anlaumlufen und

gleicher Lage fuumlhrt wie bisher bei der Verwendung eines Kreisbogens

Es wird daher bei Verwendung einer kubischen Parabel als Uumlbergangskurve festgelegt

dass der Radius bei Erreichen des Schanzentisches mindestens

r1 = 014v02

erreichen muss houmlchstens aber

r1 = 016v02

erreichen darf Dies deshalb damit ein ausreichender Entlastungseffekt durch den

ploumltzlichen Wegfall der Zentrifugalkraft auf dem Schanzentisch erhalten bleibt

Eine weitere wichtige Feststellung Wenn bei einem bestehenden Anlauf mit

Kreisbogen sein Radius r1 = 016v02 betraumlgt kann ohne Veraumlnderung des gera-

den Anlaufteils mit kleinem Aufwand nachtraumlglich die Kreisform in eine kubisch

Parabel umgebaut werden

Abb 4 Vergleich Kreiskubische Parabel Einfluss des Kruumlmmungsradius r1

13

3 Der Flug

Die Koordinaten eines Punktes der Flugbahn sowie deren Neigung an dieser Stelle

erhaumllt man aus der Integration des Differentialgleichungssystems das den Flug be-

schreibt

Es sind dies die vier nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

mit den Anfangsbedingungen

x(o) = 0

z(0) = 0

v(0) = (v02 + v

2)^05

φ(0) = α ndash δ

Dabei ist v die aktuelle Fluggeschwindigkeit der Neigungswinkel der Flugbahn im

Uhrzeigersinn gemessen und der Winkel um den der Absprungwinkel (Neigung der

Flugbahn bei x = 0) durch den Absprungeffekt gegenuumlber der Tischneigung angehoben

wird

δ = arctg(vv0)

v ist die Geschwindigkeit senkrecht zur Tischebene die der Schwerpunkt des Koumlrper-

Ski-Systems im Augenblick des Abhebens erreicht Auswertungen von weitesten

Spruumlngen haben fuumlr v 22 ms ergeben Dieser Wert ist bei der Berechnung der Dia-

gramme Abbildung 4 bis 11 in den bdquoSkisprungschanzen Bau-Normen 2008ldquo fuumlr alle

Tischneigungen eingesetzt worden

An dieser Stelle ist noch auf eine immer wieder hartnaumlckig vertretene Meinung hinzu-

weisen die dahin geht dass der Springer bei geeigneter Absprungtechnik die Ab-

sprunggeschwindigkeitskomponente parallel zur Tischebene vergroumlssern koumlnne Das

ist natuumlrlich Unsinn und gehoumlrt in die gleiche Kategorie wie das noch bdquozu erfindende

Perpetuum Mobileldquo

Die Luftwiderstands- und Auftriebskoeffizienten kw bzw ka sind abhaumlngig vom An-

stroumlmwinkel der Luft und von der Haltung des Springers Sie sind somit zeitlich ver-

aumlnderlich Aus der Vermessung der Flugbahnen 2006 in Engelberg hat das Biomecha-

nische Institut der ETHZ fuumlr die weltbesten Springer folgende Werte in Funktion der

Bahnneigung ermittelt

14

Luftkraftbeiwerte Engelberg 2006

Rang 1 - 5 Rang 6 - 15 Rang 16 - 25

φdeg kW kA kW kA kW kA

0 000185 000093 000232 000116 000261 000130

2 000204 000139 000245 000180 000271 000177

4 000223 000185 000258 000244 000282 000224

6 000243 000231 000272 000308 000293 000270

8 000261 000275 000285 000365 000304 000316

10 000281 000316 000298 000396 000315 000350

12 000301 000354 000311 000424 000326 000382

14 000319 000390 000325 000450 000337 000411

16 000338 000424 000337 000472 000347 000436

18 000355 000455 000350 000492 000357 000459

20 000372 000484 000362 000508 000367 000479

22 000388 000511 000374 000522 000376 000496

24 000403 000534 000386 000534 000386 000510

26 000418 000555 000398 000543 000396 000521

28 000432 000574 000410 000550 000407 000531

30 000447 000591 000422 000555 000419 000538

32 000462 000605 000436 000560 000432 000545

34 000479 000617 000453 000565 000449 000551

36 000502 000628 000474 000571 000471 000558

38 000537 000638 000504 000582 000503 000569

40 000614 000655 000553 000606 000555 000590

42 000691 000672 000602 000629 000606 000611

44 000767 000689 000651 000652 000658 000632

Tab 2 Luftkraftbeiwerte mit der Dimension m-1

Damit kann durch Integration der Differentialgleichungen die einer bestimmten Tisch-

neigung und einer bestimmten Absprunggeschwindigkeit v0 zugehoumlrige Flugbahn

berechnet werden Als Landepunkt K wird vereinfachend der Schnittpunkt der Flug-

bahn mit dem Terrainprofil definiert so wie auch der Anfang der Flugbahn auf den

Ursprung 00] gelegt wird

Der Winkel mit dem sich die Flugbahn mit der Landepiste schneidet ist massgebend

fuumlr den Landestoss den der Springer erfaumlhrt Mit dem Begriff der aumlquivalenten Lande-

houmlhe kann dieser Vorgang anschaulich beschrieben werden Welche Houmlhe soll dem

Springer zugemutet werden aus der er vergleichsweise auf eine Horizontalebenen fal-

len und dabei den Stoss sicher auffangen soll Aus langjaumlhriger Erfahrung weiss man

dass 090 m fuumlr gute Springer ein gutes Mass ist Fuumlr schwaumlchere Springer soll auf

070 m reduziert werden

Der erste Wert wird fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis

115deg) der zweite fuumlr kleine und mittlere Schanzen (Tischneigungen von 8deg bis 95deg)

eingesetzt Sie ergeben Geschwindigkeiten von 42 ms bzw 37 ms und sind gleich-

15

zusetzen mit der Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprungprofil

in K Wenn die Flugbahn im Landepunkt die Neigung φK hat muss das Aufsprungpro-

fil die Neigung

fuumlr α von 10deg bis 115deg β = φK ndash arcsin(42vK ((5)

und fuumlr α von 8deg bis 95deg β = φK ndash arcsin(37vK((6)

haben wobei vKnaL red gartebtulosbA red degeschwindigkeit bedeutet

Fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis 115deg) sind die k-Werte

der Spitzenspringer (Kolonne 1 und 2 Tab 2) und fuumlr kleine und mittlere Schanzen

(Tischneigungen von 8deg bis 95deg) sind die k-Werte fuumlr schwaumlchere Springer (Kolonne

5 und 6 Tab 2) eingesetzt worden

Auf diesen Grundlagen sind die Diagramme fuumlr die Tischneigungen 8deg bis 115deg der

Sprungschanzen-Baunormen 2008 berechnet worden Die Eingrenzungen der zulaumlssi-

gen Bereich der Wertepaare w und hn hat der Ausschuss des Subkomitees auf Grund

von Erfahrungen festgelegt

4 Das Aufsprungprofil

Das Aufsprungprofil vom Schanzentisch bis zum Punkt K soll fuumlr alle Sprungweiten

gute Landebedingungen ermoumlglichen Dazu soll es bei weiten Spruumlngen die Houmlhe der

Flugbahn uumlber Terrain moumlglichst klein halten Das 1992 eingefuumlhrte und 1996 verfei-

nerte Aufsprungprofil in der Form einer kubischen Parabel hat sich bewaumlhrt Fuumlr die

Optimierung der freien Parameter β0 und δβ ist die Kurvenschar aller in Engelberg

vermessenen Fluumlge zu Rate gezogen worden Die Herleitung der Formeln die in den

Bau-Normen das Aufsprungprofil beschreiben ist reine analytische Geometrie und

bedarf keiner weiter gehenden Erklaumlrung

Fuumlr die Berechnung des Endes L des Landebereiches wurden folgende Annahmen ge-

troffen

Bei Skisprungwettkaumlmpfen wird der Punkt K bekanntlich von einzelnen wenigen

Springern uumlbersprungen Aus einer groumlsseren Anzahl Resultatlisten wurden die Uumlber-

weiten w = wKrsquo ndash wK bestimmt wobei wKrsquo die groumlsste erreichte Weite eines Wett-

kampfes ist

16

Abb 5 Groumlsste Weite bei Krsquo die bei einem Wettkampf erreicht wurde

In Abbildung 5 ist die bei dieser Auswertung zu beachtende damals geltende Geo-

metrie mit dem Kreisbogen r2 dargestellt Aus w und dem zur betreffenden Schanze

gehoumlrenden r2 β und der Flugbahnneigung φK bei der Landung ergibt sich fuumlr die Ver-

schiebung der Flugbahn

D = r2[cos(φK ndash β) ndash cos(φK ndash βKrsquo)] wobei βKrsquo = β ndash Δwr2180π ist

Es hat sich gezeigt dass der Grenzwert fuumlr D etwa bei 0018w liegt Fuumlr diese moumlgli-

chen Groumlsstweiten bei L soll eine aumlquivalente Landehoumlhe von 160 m eingeplant wer-

den Messungen anlaumlsslich der Skiflug-WM 1976 in Oberstdorf haben gezeigt dass

die damit verbundene Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprung-

profil v von 56 ms noch gestanden werden kann Bei L soll somit die Neigung der

Landepiste

βL = φL ndash arcsin(56vL ((7)

betragen

Der Landebereich von K bis L wird als Kreisabschnitt gestaltet Der Radius des Bo-

gens sei rL Fuumlr den Abstand l2 von K und L ergibt sich

l2 = (β ndash βL) rLπ180 = [(φK ndash arcsin(42vK ((ndash (φL ndash arcsin(56vLr [((Lπ180

fuumlr α von 10deg bis 115deg Fuumlr die kleineren α-Werte muumlsste der zweite Term im Klam-

merausdruck konsequenterweise arcsin(37vK gnugelrebUuml nehcielg red tiM netual (

mit der die Landekomponente v bei K fuumlr schwaumlchere Springer herabgesetzt wurde

soll dies auch bei L geschehen so dass der angeschriebene Ausdruck fuumlr l2 fuumlr alle α-

Werte gelten kann

Am Ende der Flugbahn besonders bei den grossen Schanzen ist man nicht mehr weit

von der stationaumlren Endgeschwindigkeit entfernt so dass die Aumlnderung von Betrag

und Richtung der Fluggeschwindigkeit in diesem kurzen Abschnitt im Rahmen der

17

hier gebotenen Genauigkeit vernachlaumlssigbar wird Im weiteren sind die Landewinkel

so klein dass ihr Sinus durch das Bogenmass ersetzt werden kann

Mit vLv asymp K dnu φL asymp φK vereinfachen sich die Gleichungen auf

βL = β ndash 14vK180π (8)

l2 = 14rLvK (9)

Abb 6 Landebereich K bis L

Aus Abbildung 6 erhaumllt man schliesslich

d = 0018w = l2tg(φK ndash β) + l222rL = 1442 rL vK

2 + 14

2 rLvK

22

oder rL = vK2w380 (10)

Die letzte Gleichung stellt die Verbindung zwischen dem bei groumlsseren Schanzen beo-

bachteten durchschnittlichen Mass d und dem Unterschied des zugelassenen v bei K

und L her rL muss aber auch gewaumlhrleisten dass beim Durchfahren der Landestrecke

die Zentrifugalbeschleunigung in Grenzen bleibt Sie soll 80 von g nicht uumlberstei-

gen Es ist somit auch

rL ge 0125 vK2

(10a)

einzuhalten Diese Dimensionierung wird somit bei Schanzen mit w le 48 m

massgebend rL soll auf den naumlchsten Zehnerwert aufgerundet werden

Mit βL und rL sind die Koordinaten von L gegeben

Die Landegeschwindigkeit vK erhaumllt man mit der Integration der Flugbahn Da die zu-

laumlssigen Felder fuumlr die Wertepaare [w hn] fuumlr die verschiedenen Tischneigungen α

einen relativ schmalen Streifen bilden gilt mit ausreichender Genauigkeit die lineare

Beziehung

vK = 068v0 + 1244 (11)

Wenn immer hier von bdquoausreichenderldquo Genauigkeit die Rede ist heisst das dass der

eingeraumlumte Fehler im Bereich weniger Prozente liegt in einem Toleranzbereich der

auch den biomechanischen Ausgangsgroumlssen wie aumlquivalente Landehoumlhe zugespro-

18

chen werden muss Allerdings muss festgehalten werden dass fuumlr die Anwendung sol-

cher Vereinfachung vorausgesetzt werden muss dass der Planer nicht von den Vorga-

ben abweicht

Bei den ganz kleinen Schanzen wird vK von der Naumlherungsformel gegenuumlber der

Wirklichkeit etwas zu gross berechnet Man liegt damit aber auf der sicheren Seite

5 Die Landung

Wer in L landet faumlhrt mit der groumlsstmoumlglichen Geschwindigkeit in den anschliessen-

den Uumlbergangsbogen Der Springer muss durch seine Muskelkraft die Normalkompo-

nente seiner Geschwindigkeit vL= 56 ms auf Null abbremsen Die kinetische Ener-

gie ist

m5622 = 1568m m = Masse Springer und Ski

Wenn er konstant die Kraft die seinem Gewicht samt Ski entspricht bei der Landung

einsetzten wuumlrde haumltte er die aumlquivalente Fallhoumlhe von 160 m zuruumlckzulegen Die

Zeit die er dazu benoumltigt ist t = 56981 = 0571 s Waumlhrend dieser Zeit ist der

Druck auf die Spur um sein Gewicht groumlsser so dass er eine um tgρmg erhoumlhte

Reibungskraft erfaumlhrt und dies uumlber eine Strecke von vLcos(φK ndash βL)0571 Diese

Reibungsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie die in der Geschwindig-

keitskomponente v parallel zum Hang liegt Die verbleibende Energie ist

frac12mv2 = frac12mvL

2cos

2(φK ndash βL) ndash tgρmgvLcos(φK ndash βL)0571 =

frac12mvLcos(φK ndash βL)[vL cos(φK ndash βL) ndash 2tgρ9810571]

Nach einiger Umformung erhaumllt man fuumlr die verbleibende Gleitgeschwindigkeit bei

einer Landung in L in erster Naumlherung

v = vK ndash 16vK ndash 01ρ (Reibungswinkel ρ in alt Grad) (12)

Der Kraft-Zeit-Verlauf ist in Wirklichkeit weder genau mg noch ist er konstant Wie

man leicht zeigen kann ist das Ergebnis aber nicht davon beeinflusst ausser dass sich

die Geschwindigkeit am Ende des Landungsprozesses fruumlher oder spaumlter einstellt Da

die Geschwindigkeitsabminderung aber sehr klein ist kann dieser Umstand vernach-

laumlssigt werden

Der Normaldruck auf das Profil soll analog zur Uumlbergangskurve im Anlauf auf 18g

beschraumlnkt werden dh

gcosβL + v2r2L le 18g asymp 18 (13)

Damit erhaumllt man fuumlr r2L die Eingrenzung

rL ge r2L ge v2(18 ndash 10cosβL) (14)

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

5

Gegeben sind die geometrischen Daten des Tisches t und α der Kruumlmmungsradius r1

im Tangentenpunkt E2 und die Neigung γ der Beschleunigungsstrecke Daraus erhaumllt

man der Reihe nach

d = 2r1sin(γ-α)cos2(γ-α)]

C = tg(γ-α)3d2

f = tg(γ-α)d3

d

l = int[1 + 9C2ξ

4]

05dξ

0

Fuumlr das Integral kann mit ausreichender Genauigkeit die Naumlherung

l = d[1+01 tg2(γ-α)]

verwendet werden

Anfangs- und Endpunkt der Uumlbergangskurve E1 und E2 sind

rarr

E1 = [ ndash (tcosα + fsinγ + dcosγ) (tsinα ndash fcosγ + dsinγ)]

rarr

E2 = [ ndash tcosα tsinα]

Das Laumlngsprofil im Uumlbergangsbogen kann mit einfachen Rechenhilfen im gedrehten

Koordinatensystem ξ η mit der Funktion η = Cξ

3 berechnet werden Mit einem

programmierbaren Taschenrechner laumlsst sich die Uumlbergangskurve auch im x-z-Koor-

dinatensystem einfach berechnen Die einer gegebenen Abszisse x zugehoumlrende Abs-

zisse ξ muss als Erstes aus einer Gleichung dritten Grades berechnet werden Dazu

dienen die Hilfsgroumlssen

P = ctgγ3C

Q = (x + tcosα + fsinγ + dcosγ)2Csinγ

Damit erhaumllt man ξ = [(Q2+P

3)

frac12 +Q]

⅓ ndash [(Q

2+P

3)

frac12 ndash Q]

⅓

und schliesslich z = tsinα - fcosγ + dsinγ ndash ξsinγ + C ξ3cosγ

Mit Einsetzen der Werte γ ndash α = 29deg und r1 = 100 m erhaumllt man eine Parallelverschie-

bung der Beschleunigungsgeraden die nur noch 117 m betraumlgt und damit 306 m ge-

ringer ist als bei der Verwendung einer Klothoide

In Tabelle 1 sind die geometrischen Eckwerte der drei Kurvenformen mit den Vorga-

ben γ = 37deg α = 8deg und r1 = 100 m zusammen gestellt Es faumlllt auf dass die Werte fuumlr

die kubische Parabel annaumlhernd die Mittelwerte von Kreis und Klothoide annehmen

was aber rein zufaumlllig ist Die Eckwerte der kubischen Parabel naumlhern sich mit abneh-

mender Neigungsaumlnderung (γ ndash α) jenen der Klothoide

6

Form Kurvenlaumlnge Horizontaldistanz E1 bis E2 Houmlhendifferenz E1 bis E2

Kreis 5061 m 4626 m 1916 m

Klothoide 10123 m 8887 m 4598 m

KubParab 7636 m 6748 m 3369 m

Tab 1 Eckdaten fuumlr r1 = 100 m und γ-α = 29deg (groumlsstmoumlglicher Wert)

Abb 2 Kruumlmmungsverlauf bei den drei Kurvenarten von E1 bis E2 fuumlr verschiedene

Richtungsaumlnderungen γ-α

Bei γ ndash α = 29deg (Abb 2) wird die maximale Kruumlmmung bei der kubischen Parabel

bereits bei 6662 m erreich Sie ist 2 houmlher als die fuumlr das Kurvenende vorgegeben

Kruumlmmung was ohne Belang ist Die ganze Uumlbergangskurve ist mit 7636 m rund 25

m kuumlrzer als bei Verwendung einer Klothoide worin der Hauptvorteil der kubischen

Parabel gegenuumlber der Klothoide liegt Wenn γ ndash α = arctg(1radic5) = 24095deg die Rich-

tungsaumlnderung ist wird die geforderte Kruumlmmung genau in Punkt E2 erreicht In die-

7

sem Bereich liegt das Gros der Schanzen Mit kleiner werdender Differenz γ-α naumlhert

sich die kubische Parabel der Klothoide an

22 Berechnung der Anlauflaumlngen e und es

Die Auswertung der Filmaufnahmen vom Dezember 2006 in Engelberg CH hat erge-

ben dass der Luftwiderstandskoeffizient des Springers in der Kauerstellung k =

00011 m-1

mit einer Standardabweichung von 00001 m-1

betraumlgt (siehe Bericht der

ETHZ vom 29 Maumlrz 2008 Seite 31) Fuumlr die Berechnung des Diagrammes Abbildung

2 in den bdquoGrundlagen fuumlr die Projektierung einer Skisprungschanzeldquo 1996 haben wir k

= 00014 angenommen Damit kann eine Verringerung des Reibungsverlustes von

rund 20 festgestellt werden Fuumlr den Gleitreibungskoeffizient wurde ein Reibungs-

winkel ρ = 17deg mit einer Streuung von 06deg ermittelt

Fuumlr die Bestimmung der obersten Einstiegluke ist von einem v0 auszugehen das ein

Mittelklassespringer braucht um bei ρ = 3deg bei Windstille K zu erreichen

Fuumlr die Ermittlung des Ortes der untersten Einstiegluke ist davon auszugehen dass ein

Spitzenspringer bei besten Spurverhaumlltnissen von dieser Luke startend den Konstrukti-

onspunkt K nicht uumlberspringen soll Bei Aufwind ist ein noch etwas tieferer Startplatz

erforderlich Fuumlr die Berechnung kann auf die sichere Seite gehend ρ = 0deg gesetzt

werden

Die Anlauflaumlngen erhaumllt man aus der Bewegungsdifferentialgleichung Sie ist vom

Typus einer linearen inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung und damit

geschlossen loumlsbar wenn man v2 als Funktion definiert fuumlr s als unabhaumlngige Variable

den zuruumlckgelegten Bahnabschnitt einsetzt und wenn das Laumlngsprofil z(s) mit einer

mathematischen Funktion beschrieben wird Natuumlrlich kann eine Loumlsung mit den Me-

thoden der angewandten Mathematik und mit den heute gebraumluchlichen Hilfsmitteln

(zB Excel-Programm) einfach und schnell gefunden werden Trotzdem soll hier die

klassische geschlossene Loumlsung dargestellt werden

Die Differentialgleichung lautet

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2

Dabei ist φ die Bahnneigung und r der Bahnkruumlmmungsradius als Funktionen von s

ρ ist der Reibungswinkel Ski auf Anlaufspur und k der Luftwiderstandsbeiwert ρ und

k koumlnnen als konstant angenommen werden

Fuumlr eine gerade Fahrspur mit der Neigung γ ist die Loumlsung der Differentialgleichung

v2(s) = vA

2EXP(-2ks) + gksin(γ-ρ)[1 ndash EXP(-2ks)]

wobei vA die Geschwindigkeit am Anfang also bei s = 0 ist Wenn es sich um den

Startpunkt des Anlaufes handelt ist vA = 0 und bei E1 ist

8

v12 = gksin(γ-ρ)[1 ndash EXP(-2klg)]

wenn lg die Laumlnge vom Startpunkt bis E1 ist

Die Loumlsung fuumlr die kubische Parabel als Uumlbergangskurve ist

s

v2 = [v1

2 + 2g int (sin(γ-φ-ρ) EXP(2int(k + ρr)ds)ds] EXP(-2int(k + ρr)ds))

deg

v1 ist die Geschwindigkeit bei E1 am Anfang der Uumlbergangskurve φ die Neigung und r

der Kruumlmmungsradius der Kurve als Funktion der durchfahrenen Strecke s Es emp-

fiehlt sich fuumlr die Integration letztere in Potenzreihen von s umzuwandeln Die Rei-

hen erreichen mit drei Gliedern die wuumlnschbare Genauigkeit und sind

φ = 180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10)

1r = 6Cs(1 ndash 144C^2s^4 + 2160C^4s^8)

Das Integral in der Exponentialfunktion der Loumlsung kann mit den Reihen einfach be-

stimmt werden Die Loumlsung ist

v2(s) = [v1

2 + 1962int(sin(γ-ρ-180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10))

EXP(2ks + 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))ds]

EXP(-2ks - 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))

Das Integral ist in den Grenzen 0 bis s zu berechnen

Fuumlr s = l erhaumllt man v22 in E2 am Anfang des Schanzentisches

Der Vollstaumlndigkeit halber sei auch noch die Loumlsung fuumlr die kreisfoumlrmige Uumlber-

gangskurve mit Radius r1 angegeben

v2 = [v1

2 ndash 2gr1cosλcos(γ ndash ρ ndash λ)]EXP(-2(k + ρ π180r1)s) + 2gr1cos λ

cos(γ ndash ρ ndash λ ndash 180πsr1)

wobei λ = arctg(2(kr1 + π180ρ))

ist

Fuumlr s = (γ ndash α)π 180r1 erhaumllt man v22 in E2 am Anfang des Schanzentisches

v22 = [v1

2 ndash 2gr1cos λcos(γ ndash ρ ndash λ)]EXP(ndash 2(k + ρ π180r1)(γ ndash α)π 180r1)

+ 2gr1cos λcos(α ndash ρ ndash λ)

9

Die Beschleunigung auf dem Schanzentisch

v0 ist die Komponente parallel zur Tischneigung der Startgeschwindigkeit des Fluges

und damit die erreichte Endgeschwindigkeit auf der Schanzentischkante Aus der

Gleichung fuumlr die gerade Anlaufbahn folgt

v02= v2

2EXP(-2k025v2) + gksin(α-ρ)(1 ndash EXP(-2k025v2)

wenn fuumlr s die Tischlaumlnge t = 025v0 025v2 gesetzt wird (025 hat die Dimension

Sekunde) k nimmt von 00011 bei E2 bis zur Tischkante auf 00017 zu (Bericht ETHZ

Seite 31) Man kann den Mittelwert k = 00014 als Konstante in die Rechnung einfuumlh-

ren Die Abweichung des Ergebnisses liegt weit unter einem Promille Die Reihenent-

wicklung der Exponentialfunktion liefert als erste Naumlherung

v02 = v2

2 (1 ndash 05kv2) + 05gsin(α-ρ)v2

Fuumlr die Berechnung der Anlauflaumlnge e ist von der Tischkante aufwaumlrts zu rechnen

Die Geschwindigkeitsquadrate sind dann wenn wiederum in dieser Naumlherung v2 v0

gesetzt wird

Tisch v22 = v0

2(1 + 05kv0) ndash 05gsin(α-ρ)v0

Kubische Parabel

v12 = v2

2 EXP(2kl + 2ρπ1806C(05l^2 ndash 24C^2l^6 + 216C^4l^10))

l

ndash 1962int(sin(γ-ρ-180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10))

deg

EXP(2ks + 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))ds

Kreis

v12 = [v2

2 ndash 2gr1cos λcos(α ndash ρ ndash λ)]EXP(2(k + ρ π180r1)(γ ndash α)π 180r1

+ 2gr1cos λcos(γ ndash ρ ndash λ) wobei

λ = arctg(2(kr1 + π180ρ)) ist

Es kommt vor dass v12 negativ ausfaumlllt was bedeutet dass v1 = 0 auf der Uumlbergangs-

kurve erreicht wird Damit liegt der Startpunkt B unter E1

Gerade Anlaufspur

Die Laumlnge zwischen Startpunkt und E1 ist

lg = ndash 1(2k)ln(1 ndash v12kgsin(γ-ρ))

Wenn v12 negativ ist wird auch lg negativ Die Formel fuumlr lg berechnet die Laumlnge zwi-

schen Startpunkt und E1 auch in diesem Fall richtig und vorzeichengerecht

10

In den sbquoSprungschanzen Bau-Normen 2008rsquo sind die Anlauflaumlngen e in Funktion von γ

und v0 fuumlr α = 10deg Reibungswinkel ρ = 3deg und r1 = 014v02 graphisch dargestellt Die

Verkuumlrzung es des Anlaufs wenn ρ = 0deg ist kann mit der Naumlherung

es = evo(23 + γ6)

berechnet werden Fuumlr ein kleineres v0 auf unveraumlndertem Anlauf faumlllt e etwas zu kurz

aus weil ein verkleinerter Radius r1 einer bestimmten Anlauflaumlnge e eine groumlssere Houml-

hendifferenz zuordnet Diesen Fehler macht man wenn auf einem Anlauf dimensio-

niert fuumlr den Mittelklassespringer der Anlauf fuumlr den Spitzenklassespringer mit der

geringeren Absprunggeschwindigkeit bestimmen wird Die Durchrechnung ergibt

dass bei einer 20 m Schanze B um 140 m und bei einer 130 m Schanze B um 060 m

zu tief ausfaumlllt Der Fehler liegt auf der sicheren Seite

23 Festlegung der Anlaufspurkruumlmmung 1r1 im Punkt E2

Beim bisherigen Kreisbogen war der Radius r1 zwischen 014v02 und 016v0

2 zu

waumlhlen wobei in letzter Zeit vermehrt der obere Grenzwert gewaumlhlt wurde weil die

Springer gegenuumlber fruumlher mit verstaumlrkter Vorlage den Anlauf befahren

In Abbildung 3 ist die Druckentwicklung im Anlauf die ein Springer erfaumlhrt aufge-

zeigt und zwar fuumlr Kreis und kubische Parabel als Uumlbergangskurve Die Eingangsdaten

fuumlr die Berechnung sind fuumlr beide Uumlbergangskurven

α = 8deg γ = 37deg ρ = 3deg k = 00011 t = 65 m v0 = 26 ms

Fuumlr die Kreisform wird der heute uumlbliche Wert r1 = 016v02 = 10816 m gewaumlhlt Auf

dem geraden Teil von 4060 m Laumlnge wirkt allein die Komponente des Gewichtes des

Springers senkrecht zur Bahnneigung also cosγg = 080g Beim Uumlbergang in das

Kreisprofil hat der Springer die Geschwindigkeit 2064 ms erreicht Sie erzeugt zu-

saumltzlich zum Gewicht eine Zentrifugalkraft von 040g Der Druck nimmt also ploumltz-

lich vom 08-fachen Druck um 50 auf den 120-fachen Wert zu Auf der Kreisbahn

erfolgt eine weitere Zunahme auf 163g Beim Uumlbergang auf den Schanzentisch sinkt

der Druck ploumltzlich ab auf cosαg = 099g was hier aber erwuumlnscht ist Auf der

Tischkante wird v0 = 2600 ms erreicht

Bei der kubischen Parabel wird fuumlr den Endradius vor dem Schanzentisch 014v02 =

9464 m eingesetzt Der gerade Teil ist noch 2169 m lang und die Geschwindigkeit an

deren Ende betraumlgt 1524 ms Auf dem 7227 m langen Teil der Uumlbergangskurve

nimmt die Geschwindigkeit auf den vorgegebene Wert von 26 ms zu und der Druck

steigt allmaumlhlich auf 172g Dieser Druck ist um 5 houmlher als beim Kreisprofil was

am Ende der Uumlbergangskurve aber ohne Belang ist

11

Abb 3 Normalbeschleunigung auf die Spur Vergleich Kreiskubische Parabel

Aus dieser Betrachtung folgt dass bei einer Reduktion des Endradiuskoeffizienten r1

von 016 auf 014 der Druck nur um 5 houmlher ausfaumlllt was nicht relevant ist Demge-

genuumlber ist der Umstand dass beim Einbau einer kubischen Parabel am Anfang der

Uumlbergangskurve der schlagartige Anstieg des Druckes entfaumlllt und der Enddruck erst

allmaumlhlich erreicht wird eine grosse Komfortverbesserung

Abschliessend soll die Auswirkung der Wahl der kubischen Parabel gegenuumlber der

bisherigen Wahl eines Kreises auf die Geometrie des Anlaufes insbesondere auf die

Anlauflaumlnge dargestellt werden (Abbildung 4) Dazu sollen Ausgangswerte ange-

nommen werden wie sie bei Grossschanzen haumlufig sind

α = 11deg γ = 35 deg t = 65 m v0 = 26 ms = 3deg kw = 00011

Fall 1 r1 = 014v02

= 9464m

Kreis Anlauflaumlnge 8895 m Startpunkt [-8300 4490]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9134 m Startpunkt [-8565 4510]

Fall 2 r1 = 016v02 = 10816

Kreis Anlauflaumlnge 9121 m Startpunkt [-8539 4515]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9391 m Startpunkt [-8840 4537]

12

In Abbildung 4 sind die obigen Ergebnisse dargestellt Sie zeigt die Unterschiede zwi-

schen Kreis und kubischer Parabel Die Anlauflaumlnge ist bei ein und demselben gewaumlhl-

ten Radius bei der kubischen Parabel ca 250 m laumlnger als beim Kreis Interessant ist

die Feststellung dass der Startpunkt beim Kreis mit dem jetzt gebraumluchlichen Koeffi-

zienten 016 fuumlr r1 und jener bei der kubischen Parabel auf wenig Zentimeter gleich ist

wenn bei letzterer der Koeffizient 014 verwendet wird Damit ist aufgezeigt dass die

oben begruumlndete Moumlglichkeit der Radiusverkleinerung zu gleich langen Anlaumlufen und

gleicher Lage fuumlhrt wie bisher bei der Verwendung eines Kreisbogens

Es wird daher bei Verwendung einer kubischen Parabel als Uumlbergangskurve festgelegt

dass der Radius bei Erreichen des Schanzentisches mindestens

r1 = 014v02

erreichen muss houmlchstens aber

r1 = 016v02

erreichen darf Dies deshalb damit ein ausreichender Entlastungseffekt durch den

ploumltzlichen Wegfall der Zentrifugalkraft auf dem Schanzentisch erhalten bleibt

Eine weitere wichtige Feststellung Wenn bei einem bestehenden Anlauf mit

Kreisbogen sein Radius r1 = 016v02 betraumlgt kann ohne Veraumlnderung des gera-

den Anlaufteils mit kleinem Aufwand nachtraumlglich die Kreisform in eine kubisch

Parabel umgebaut werden

Abb 4 Vergleich Kreiskubische Parabel Einfluss des Kruumlmmungsradius r1

13

3 Der Flug

Die Koordinaten eines Punktes der Flugbahn sowie deren Neigung an dieser Stelle

erhaumllt man aus der Integration des Differentialgleichungssystems das den Flug be-

schreibt

Es sind dies die vier nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

mit den Anfangsbedingungen

x(o) = 0

z(0) = 0

v(0) = (v02 + v

2)^05

φ(0) = α ndash δ

Dabei ist v die aktuelle Fluggeschwindigkeit der Neigungswinkel der Flugbahn im

Uhrzeigersinn gemessen und der Winkel um den der Absprungwinkel (Neigung der

Flugbahn bei x = 0) durch den Absprungeffekt gegenuumlber der Tischneigung angehoben

wird

δ = arctg(vv0)

v ist die Geschwindigkeit senkrecht zur Tischebene die der Schwerpunkt des Koumlrper-

Ski-Systems im Augenblick des Abhebens erreicht Auswertungen von weitesten

Spruumlngen haben fuumlr v 22 ms ergeben Dieser Wert ist bei der Berechnung der Dia-

gramme Abbildung 4 bis 11 in den bdquoSkisprungschanzen Bau-Normen 2008ldquo fuumlr alle

Tischneigungen eingesetzt worden

An dieser Stelle ist noch auf eine immer wieder hartnaumlckig vertretene Meinung hinzu-

weisen die dahin geht dass der Springer bei geeigneter Absprungtechnik die Ab-

sprunggeschwindigkeitskomponente parallel zur Tischebene vergroumlssern koumlnne Das

ist natuumlrlich Unsinn und gehoumlrt in die gleiche Kategorie wie das noch bdquozu erfindende

Perpetuum Mobileldquo

Die Luftwiderstands- und Auftriebskoeffizienten kw bzw ka sind abhaumlngig vom An-

stroumlmwinkel der Luft und von der Haltung des Springers Sie sind somit zeitlich ver-

aumlnderlich Aus der Vermessung der Flugbahnen 2006 in Engelberg hat das Biomecha-

nische Institut der ETHZ fuumlr die weltbesten Springer folgende Werte in Funktion der

Bahnneigung ermittelt

14

Luftkraftbeiwerte Engelberg 2006

Rang 1 - 5 Rang 6 - 15 Rang 16 - 25

φdeg kW kA kW kA kW kA

0 000185 000093 000232 000116 000261 000130

2 000204 000139 000245 000180 000271 000177

4 000223 000185 000258 000244 000282 000224

6 000243 000231 000272 000308 000293 000270

8 000261 000275 000285 000365 000304 000316

10 000281 000316 000298 000396 000315 000350

12 000301 000354 000311 000424 000326 000382

14 000319 000390 000325 000450 000337 000411

16 000338 000424 000337 000472 000347 000436

18 000355 000455 000350 000492 000357 000459

20 000372 000484 000362 000508 000367 000479

22 000388 000511 000374 000522 000376 000496

24 000403 000534 000386 000534 000386 000510

26 000418 000555 000398 000543 000396 000521

28 000432 000574 000410 000550 000407 000531

30 000447 000591 000422 000555 000419 000538

32 000462 000605 000436 000560 000432 000545

34 000479 000617 000453 000565 000449 000551

36 000502 000628 000474 000571 000471 000558

38 000537 000638 000504 000582 000503 000569

40 000614 000655 000553 000606 000555 000590

42 000691 000672 000602 000629 000606 000611

44 000767 000689 000651 000652 000658 000632

Tab 2 Luftkraftbeiwerte mit der Dimension m-1

Damit kann durch Integration der Differentialgleichungen die einer bestimmten Tisch-

neigung und einer bestimmten Absprunggeschwindigkeit v0 zugehoumlrige Flugbahn

berechnet werden Als Landepunkt K wird vereinfachend der Schnittpunkt der Flug-

bahn mit dem Terrainprofil definiert so wie auch der Anfang der Flugbahn auf den

Ursprung 00] gelegt wird

Der Winkel mit dem sich die Flugbahn mit der Landepiste schneidet ist massgebend

fuumlr den Landestoss den der Springer erfaumlhrt Mit dem Begriff der aumlquivalenten Lande-

houmlhe kann dieser Vorgang anschaulich beschrieben werden Welche Houmlhe soll dem

Springer zugemutet werden aus der er vergleichsweise auf eine Horizontalebenen fal-

len und dabei den Stoss sicher auffangen soll Aus langjaumlhriger Erfahrung weiss man

dass 090 m fuumlr gute Springer ein gutes Mass ist Fuumlr schwaumlchere Springer soll auf

070 m reduziert werden

Der erste Wert wird fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis

115deg) der zweite fuumlr kleine und mittlere Schanzen (Tischneigungen von 8deg bis 95deg)

eingesetzt Sie ergeben Geschwindigkeiten von 42 ms bzw 37 ms und sind gleich-

15

zusetzen mit der Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprungprofil

in K Wenn die Flugbahn im Landepunkt die Neigung φK hat muss das Aufsprungpro-

fil die Neigung

fuumlr α von 10deg bis 115deg β = φK ndash arcsin(42vK ((5)

und fuumlr α von 8deg bis 95deg β = φK ndash arcsin(37vK((6)

haben wobei vKnaL red gartebtulosbA red degeschwindigkeit bedeutet

Fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis 115deg) sind die k-Werte

der Spitzenspringer (Kolonne 1 und 2 Tab 2) und fuumlr kleine und mittlere Schanzen

(Tischneigungen von 8deg bis 95deg) sind die k-Werte fuumlr schwaumlchere Springer (Kolonne

5 und 6 Tab 2) eingesetzt worden

Auf diesen Grundlagen sind die Diagramme fuumlr die Tischneigungen 8deg bis 115deg der

Sprungschanzen-Baunormen 2008 berechnet worden Die Eingrenzungen der zulaumlssi-

gen Bereich der Wertepaare w und hn hat der Ausschuss des Subkomitees auf Grund

von Erfahrungen festgelegt

4 Das Aufsprungprofil

Das Aufsprungprofil vom Schanzentisch bis zum Punkt K soll fuumlr alle Sprungweiten

gute Landebedingungen ermoumlglichen Dazu soll es bei weiten Spruumlngen die Houmlhe der

Flugbahn uumlber Terrain moumlglichst klein halten Das 1992 eingefuumlhrte und 1996 verfei-

nerte Aufsprungprofil in der Form einer kubischen Parabel hat sich bewaumlhrt Fuumlr die

Optimierung der freien Parameter β0 und δβ ist die Kurvenschar aller in Engelberg

vermessenen Fluumlge zu Rate gezogen worden Die Herleitung der Formeln die in den

Bau-Normen das Aufsprungprofil beschreiben ist reine analytische Geometrie und

bedarf keiner weiter gehenden Erklaumlrung

Fuumlr die Berechnung des Endes L des Landebereiches wurden folgende Annahmen ge-

troffen

Bei Skisprungwettkaumlmpfen wird der Punkt K bekanntlich von einzelnen wenigen

Springern uumlbersprungen Aus einer groumlsseren Anzahl Resultatlisten wurden die Uumlber-

weiten w = wKrsquo ndash wK bestimmt wobei wKrsquo die groumlsste erreichte Weite eines Wett-

kampfes ist

16

Abb 5 Groumlsste Weite bei Krsquo die bei einem Wettkampf erreicht wurde

In Abbildung 5 ist die bei dieser Auswertung zu beachtende damals geltende Geo-

metrie mit dem Kreisbogen r2 dargestellt Aus w und dem zur betreffenden Schanze

gehoumlrenden r2 β und der Flugbahnneigung φK bei der Landung ergibt sich fuumlr die Ver-

schiebung der Flugbahn

D = r2[cos(φK ndash β) ndash cos(φK ndash βKrsquo)] wobei βKrsquo = β ndash Δwr2180π ist

Es hat sich gezeigt dass der Grenzwert fuumlr D etwa bei 0018w liegt Fuumlr diese moumlgli-

chen Groumlsstweiten bei L soll eine aumlquivalente Landehoumlhe von 160 m eingeplant wer-

den Messungen anlaumlsslich der Skiflug-WM 1976 in Oberstdorf haben gezeigt dass

die damit verbundene Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprung-

profil v von 56 ms noch gestanden werden kann Bei L soll somit die Neigung der

Landepiste

βL = φL ndash arcsin(56vL ((7)

betragen

Der Landebereich von K bis L wird als Kreisabschnitt gestaltet Der Radius des Bo-

gens sei rL Fuumlr den Abstand l2 von K und L ergibt sich

l2 = (β ndash βL) rLπ180 = [(φK ndash arcsin(42vK ((ndash (φL ndash arcsin(56vLr [((Lπ180

fuumlr α von 10deg bis 115deg Fuumlr die kleineren α-Werte muumlsste der zweite Term im Klam-

merausdruck konsequenterweise arcsin(37vK gnugelrebUuml nehcielg red tiM netual (

mit der die Landekomponente v bei K fuumlr schwaumlchere Springer herabgesetzt wurde

soll dies auch bei L geschehen so dass der angeschriebene Ausdruck fuumlr l2 fuumlr alle α-

Werte gelten kann

Am Ende der Flugbahn besonders bei den grossen Schanzen ist man nicht mehr weit

von der stationaumlren Endgeschwindigkeit entfernt so dass die Aumlnderung von Betrag

und Richtung der Fluggeschwindigkeit in diesem kurzen Abschnitt im Rahmen der

17

hier gebotenen Genauigkeit vernachlaumlssigbar wird Im weiteren sind die Landewinkel

so klein dass ihr Sinus durch das Bogenmass ersetzt werden kann

Mit vLv asymp K dnu φL asymp φK vereinfachen sich die Gleichungen auf

βL = β ndash 14vK180π (8)

l2 = 14rLvK (9)

Abb 6 Landebereich K bis L

Aus Abbildung 6 erhaumllt man schliesslich

d = 0018w = l2tg(φK ndash β) + l222rL = 1442 rL vK

2 + 14

2 rLvK

22

oder rL = vK2w380 (10)

Die letzte Gleichung stellt die Verbindung zwischen dem bei groumlsseren Schanzen beo-

bachteten durchschnittlichen Mass d und dem Unterschied des zugelassenen v bei K

und L her rL muss aber auch gewaumlhrleisten dass beim Durchfahren der Landestrecke

die Zentrifugalbeschleunigung in Grenzen bleibt Sie soll 80 von g nicht uumlberstei-

gen Es ist somit auch

rL ge 0125 vK2

(10a)

einzuhalten Diese Dimensionierung wird somit bei Schanzen mit w le 48 m

massgebend rL soll auf den naumlchsten Zehnerwert aufgerundet werden

Mit βL und rL sind die Koordinaten von L gegeben

Die Landegeschwindigkeit vK erhaumllt man mit der Integration der Flugbahn Da die zu-

laumlssigen Felder fuumlr die Wertepaare [w hn] fuumlr die verschiedenen Tischneigungen α

einen relativ schmalen Streifen bilden gilt mit ausreichender Genauigkeit die lineare

Beziehung

vK = 068v0 + 1244 (11)

Wenn immer hier von bdquoausreichenderldquo Genauigkeit die Rede ist heisst das dass der

eingeraumlumte Fehler im Bereich weniger Prozente liegt in einem Toleranzbereich der

auch den biomechanischen Ausgangsgroumlssen wie aumlquivalente Landehoumlhe zugespro-

18

chen werden muss Allerdings muss festgehalten werden dass fuumlr die Anwendung sol-

cher Vereinfachung vorausgesetzt werden muss dass der Planer nicht von den Vorga-

ben abweicht

Bei den ganz kleinen Schanzen wird vK von der Naumlherungsformel gegenuumlber der

Wirklichkeit etwas zu gross berechnet Man liegt damit aber auf der sicheren Seite

5 Die Landung

Wer in L landet faumlhrt mit der groumlsstmoumlglichen Geschwindigkeit in den anschliessen-

den Uumlbergangsbogen Der Springer muss durch seine Muskelkraft die Normalkompo-

nente seiner Geschwindigkeit vL= 56 ms auf Null abbremsen Die kinetische Ener-

gie ist

m5622 = 1568m m = Masse Springer und Ski

Wenn er konstant die Kraft die seinem Gewicht samt Ski entspricht bei der Landung

einsetzten wuumlrde haumltte er die aumlquivalente Fallhoumlhe von 160 m zuruumlckzulegen Die

Zeit die er dazu benoumltigt ist t = 56981 = 0571 s Waumlhrend dieser Zeit ist der

Druck auf die Spur um sein Gewicht groumlsser so dass er eine um tgρmg erhoumlhte

Reibungskraft erfaumlhrt und dies uumlber eine Strecke von vLcos(φK ndash βL)0571 Diese

Reibungsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie die in der Geschwindig-

keitskomponente v parallel zum Hang liegt Die verbleibende Energie ist

frac12mv2 = frac12mvL

2cos

2(φK ndash βL) ndash tgρmgvLcos(φK ndash βL)0571 =

frac12mvLcos(φK ndash βL)[vL cos(φK ndash βL) ndash 2tgρ9810571]

Nach einiger Umformung erhaumllt man fuumlr die verbleibende Gleitgeschwindigkeit bei

einer Landung in L in erster Naumlherung

v = vK ndash 16vK ndash 01ρ (Reibungswinkel ρ in alt Grad) (12)

Der Kraft-Zeit-Verlauf ist in Wirklichkeit weder genau mg noch ist er konstant Wie

man leicht zeigen kann ist das Ergebnis aber nicht davon beeinflusst ausser dass sich

die Geschwindigkeit am Ende des Landungsprozesses fruumlher oder spaumlter einstellt Da

die Geschwindigkeitsabminderung aber sehr klein ist kann dieser Umstand vernach-

laumlssigt werden

Der Normaldruck auf das Profil soll analog zur Uumlbergangskurve im Anlauf auf 18g

beschraumlnkt werden dh

gcosβL + v2r2L le 18g asymp 18 (13)

Damit erhaumllt man fuumlr r2L die Eingrenzung

rL ge r2L ge v2(18 ndash 10cosβL) (14)

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

6

Form Kurvenlaumlnge Horizontaldistanz E1 bis E2 Houmlhendifferenz E1 bis E2

Kreis 5061 m 4626 m 1916 m

Klothoide 10123 m 8887 m 4598 m

KubParab 7636 m 6748 m 3369 m

Tab 1 Eckdaten fuumlr r1 = 100 m und γ-α = 29deg (groumlsstmoumlglicher Wert)

Abb 2 Kruumlmmungsverlauf bei den drei Kurvenarten von E1 bis E2 fuumlr verschiedene

Richtungsaumlnderungen γ-α

Bei γ ndash α = 29deg (Abb 2) wird die maximale Kruumlmmung bei der kubischen Parabel

bereits bei 6662 m erreich Sie ist 2 houmlher als die fuumlr das Kurvenende vorgegeben

Kruumlmmung was ohne Belang ist Die ganze Uumlbergangskurve ist mit 7636 m rund 25

m kuumlrzer als bei Verwendung einer Klothoide worin der Hauptvorteil der kubischen

Parabel gegenuumlber der Klothoide liegt Wenn γ ndash α = arctg(1radic5) = 24095deg die Rich-

tungsaumlnderung ist wird die geforderte Kruumlmmung genau in Punkt E2 erreicht In die-

7

sem Bereich liegt das Gros der Schanzen Mit kleiner werdender Differenz γ-α naumlhert

sich die kubische Parabel der Klothoide an

22 Berechnung der Anlauflaumlngen e und es

Die Auswertung der Filmaufnahmen vom Dezember 2006 in Engelberg CH hat erge-

ben dass der Luftwiderstandskoeffizient des Springers in der Kauerstellung k =

00011 m-1

mit einer Standardabweichung von 00001 m-1

betraumlgt (siehe Bericht der

ETHZ vom 29 Maumlrz 2008 Seite 31) Fuumlr die Berechnung des Diagrammes Abbildung

2 in den bdquoGrundlagen fuumlr die Projektierung einer Skisprungschanzeldquo 1996 haben wir k

= 00014 angenommen Damit kann eine Verringerung des Reibungsverlustes von

rund 20 festgestellt werden Fuumlr den Gleitreibungskoeffizient wurde ein Reibungs-

winkel ρ = 17deg mit einer Streuung von 06deg ermittelt

Fuumlr die Bestimmung der obersten Einstiegluke ist von einem v0 auszugehen das ein

Mittelklassespringer braucht um bei ρ = 3deg bei Windstille K zu erreichen

Fuumlr die Ermittlung des Ortes der untersten Einstiegluke ist davon auszugehen dass ein

Spitzenspringer bei besten Spurverhaumlltnissen von dieser Luke startend den Konstrukti-

onspunkt K nicht uumlberspringen soll Bei Aufwind ist ein noch etwas tieferer Startplatz

erforderlich Fuumlr die Berechnung kann auf die sichere Seite gehend ρ = 0deg gesetzt

werden

Die Anlauflaumlngen erhaumllt man aus der Bewegungsdifferentialgleichung Sie ist vom

Typus einer linearen inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung und damit

geschlossen loumlsbar wenn man v2 als Funktion definiert fuumlr s als unabhaumlngige Variable

den zuruumlckgelegten Bahnabschnitt einsetzt und wenn das Laumlngsprofil z(s) mit einer

mathematischen Funktion beschrieben wird Natuumlrlich kann eine Loumlsung mit den Me-

thoden der angewandten Mathematik und mit den heute gebraumluchlichen Hilfsmitteln

(zB Excel-Programm) einfach und schnell gefunden werden Trotzdem soll hier die

klassische geschlossene Loumlsung dargestellt werden

Die Differentialgleichung lautet

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2

Dabei ist φ die Bahnneigung und r der Bahnkruumlmmungsradius als Funktionen von s

ρ ist der Reibungswinkel Ski auf Anlaufspur und k der Luftwiderstandsbeiwert ρ und

k koumlnnen als konstant angenommen werden

Fuumlr eine gerade Fahrspur mit der Neigung γ ist die Loumlsung der Differentialgleichung

v2(s) = vA

2EXP(-2ks) + gksin(γ-ρ)[1 ndash EXP(-2ks)]

wobei vA die Geschwindigkeit am Anfang also bei s = 0 ist Wenn es sich um den

Startpunkt des Anlaufes handelt ist vA = 0 und bei E1 ist

8

v12 = gksin(γ-ρ)[1 ndash EXP(-2klg)]

wenn lg die Laumlnge vom Startpunkt bis E1 ist

Die Loumlsung fuumlr die kubische Parabel als Uumlbergangskurve ist

s

v2 = [v1

2 + 2g int (sin(γ-φ-ρ) EXP(2int(k + ρr)ds)ds] EXP(-2int(k + ρr)ds))

deg

v1 ist die Geschwindigkeit bei E1 am Anfang der Uumlbergangskurve φ die Neigung und r

der Kruumlmmungsradius der Kurve als Funktion der durchfahrenen Strecke s Es emp-

fiehlt sich fuumlr die Integration letztere in Potenzreihen von s umzuwandeln Die Rei-

hen erreichen mit drei Gliedern die wuumlnschbare Genauigkeit und sind

φ = 180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10)

1r = 6Cs(1 ndash 144C^2s^4 + 2160C^4s^8)

Das Integral in der Exponentialfunktion der Loumlsung kann mit den Reihen einfach be-

stimmt werden Die Loumlsung ist

v2(s) = [v1

2 + 1962int(sin(γ-ρ-180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10))

EXP(2ks + 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))ds]

EXP(-2ks - 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))

Das Integral ist in den Grenzen 0 bis s zu berechnen

Fuumlr s = l erhaumllt man v22 in E2 am Anfang des Schanzentisches

Der Vollstaumlndigkeit halber sei auch noch die Loumlsung fuumlr die kreisfoumlrmige Uumlber-

gangskurve mit Radius r1 angegeben

v2 = [v1

2 ndash 2gr1cosλcos(γ ndash ρ ndash λ)]EXP(-2(k + ρ π180r1)s) + 2gr1cos λ

cos(γ ndash ρ ndash λ ndash 180πsr1)

wobei λ = arctg(2(kr1 + π180ρ))

ist

Fuumlr s = (γ ndash α)π 180r1 erhaumllt man v22 in E2 am Anfang des Schanzentisches

v22 = [v1

2 ndash 2gr1cos λcos(γ ndash ρ ndash λ)]EXP(ndash 2(k + ρ π180r1)(γ ndash α)π 180r1)

+ 2gr1cos λcos(α ndash ρ ndash λ)

9

Die Beschleunigung auf dem Schanzentisch

v0 ist die Komponente parallel zur Tischneigung der Startgeschwindigkeit des Fluges

und damit die erreichte Endgeschwindigkeit auf der Schanzentischkante Aus der

Gleichung fuumlr die gerade Anlaufbahn folgt

v02= v2

2EXP(-2k025v2) + gksin(α-ρ)(1 ndash EXP(-2k025v2)

wenn fuumlr s die Tischlaumlnge t = 025v0 025v2 gesetzt wird (025 hat die Dimension

Sekunde) k nimmt von 00011 bei E2 bis zur Tischkante auf 00017 zu (Bericht ETHZ

Seite 31) Man kann den Mittelwert k = 00014 als Konstante in die Rechnung einfuumlh-

ren Die Abweichung des Ergebnisses liegt weit unter einem Promille Die Reihenent-

wicklung der Exponentialfunktion liefert als erste Naumlherung

v02 = v2

2 (1 ndash 05kv2) + 05gsin(α-ρ)v2

Fuumlr die Berechnung der Anlauflaumlnge e ist von der Tischkante aufwaumlrts zu rechnen

Die Geschwindigkeitsquadrate sind dann wenn wiederum in dieser Naumlherung v2 v0

gesetzt wird

Tisch v22 = v0

2(1 + 05kv0) ndash 05gsin(α-ρ)v0

Kubische Parabel

v12 = v2

2 EXP(2kl + 2ρπ1806C(05l^2 ndash 24C^2l^6 + 216C^4l^10))

l

ndash 1962int(sin(γ-ρ-180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10))

deg

EXP(2ks + 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))ds

Kreis

v12 = [v2

2 ndash 2gr1cos λcos(α ndash ρ ndash λ)]EXP(2(k + ρ π180r1)(γ ndash α)π 180r1

+ 2gr1cos λcos(γ ndash ρ ndash λ) wobei

λ = arctg(2(kr1 + π180ρ)) ist

Es kommt vor dass v12 negativ ausfaumlllt was bedeutet dass v1 = 0 auf der Uumlbergangs-

kurve erreicht wird Damit liegt der Startpunkt B unter E1

Gerade Anlaufspur

Die Laumlnge zwischen Startpunkt und E1 ist

lg = ndash 1(2k)ln(1 ndash v12kgsin(γ-ρ))

Wenn v12 negativ ist wird auch lg negativ Die Formel fuumlr lg berechnet die Laumlnge zwi-

schen Startpunkt und E1 auch in diesem Fall richtig und vorzeichengerecht

10

In den sbquoSprungschanzen Bau-Normen 2008rsquo sind die Anlauflaumlngen e in Funktion von γ

und v0 fuumlr α = 10deg Reibungswinkel ρ = 3deg und r1 = 014v02 graphisch dargestellt Die

Verkuumlrzung es des Anlaufs wenn ρ = 0deg ist kann mit der Naumlherung

es = evo(23 + γ6)

berechnet werden Fuumlr ein kleineres v0 auf unveraumlndertem Anlauf faumlllt e etwas zu kurz

aus weil ein verkleinerter Radius r1 einer bestimmten Anlauflaumlnge e eine groumlssere Houml-

hendifferenz zuordnet Diesen Fehler macht man wenn auf einem Anlauf dimensio-

niert fuumlr den Mittelklassespringer der Anlauf fuumlr den Spitzenklassespringer mit der

geringeren Absprunggeschwindigkeit bestimmen wird Die Durchrechnung ergibt

dass bei einer 20 m Schanze B um 140 m und bei einer 130 m Schanze B um 060 m

zu tief ausfaumlllt Der Fehler liegt auf der sicheren Seite

23 Festlegung der Anlaufspurkruumlmmung 1r1 im Punkt E2

Beim bisherigen Kreisbogen war der Radius r1 zwischen 014v02 und 016v0

2 zu

waumlhlen wobei in letzter Zeit vermehrt der obere Grenzwert gewaumlhlt wurde weil die

Springer gegenuumlber fruumlher mit verstaumlrkter Vorlage den Anlauf befahren

In Abbildung 3 ist die Druckentwicklung im Anlauf die ein Springer erfaumlhrt aufge-

zeigt und zwar fuumlr Kreis und kubische Parabel als Uumlbergangskurve Die Eingangsdaten

fuumlr die Berechnung sind fuumlr beide Uumlbergangskurven

α = 8deg γ = 37deg ρ = 3deg k = 00011 t = 65 m v0 = 26 ms

Fuumlr die Kreisform wird der heute uumlbliche Wert r1 = 016v02 = 10816 m gewaumlhlt Auf

dem geraden Teil von 4060 m Laumlnge wirkt allein die Komponente des Gewichtes des

Springers senkrecht zur Bahnneigung also cosγg = 080g Beim Uumlbergang in das

Kreisprofil hat der Springer die Geschwindigkeit 2064 ms erreicht Sie erzeugt zu-

saumltzlich zum Gewicht eine Zentrifugalkraft von 040g Der Druck nimmt also ploumltz-

lich vom 08-fachen Druck um 50 auf den 120-fachen Wert zu Auf der Kreisbahn

erfolgt eine weitere Zunahme auf 163g Beim Uumlbergang auf den Schanzentisch sinkt

der Druck ploumltzlich ab auf cosαg = 099g was hier aber erwuumlnscht ist Auf der

Tischkante wird v0 = 2600 ms erreicht

Bei der kubischen Parabel wird fuumlr den Endradius vor dem Schanzentisch 014v02 =

9464 m eingesetzt Der gerade Teil ist noch 2169 m lang und die Geschwindigkeit an

deren Ende betraumlgt 1524 ms Auf dem 7227 m langen Teil der Uumlbergangskurve

nimmt die Geschwindigkeit auf den vorgegebene Wert von 26 ms zu und der Druck

steigt allmaumlhlich auf 172g Dieser Druck ist um 5 houmlher als beim Kreisprofil was

am Ende der Uumlbergangskurve aber ohne Belang ist

11

Abb 3 Normalbeschleunigung auf die Spur Vergleich Kreiskubische Parabel

Aus dieser Betrachtung folgt dass bei einer Reduktion des Endradiuskoeffizienten r1

von 016 auf 014 der Druck nur um 5 houmlher ausfaumlllt was nicht relevant ist Demge-

genuumlber ist der Umstand dass beim Einbau einer kubischen Parabel am Anfang der

Uumlbergangskurve der schlagartige Anstieg des Druckes entfaumlllt und der Enddruck erst

allmaumlhlich erreicht wird eine grosse Komfortverbesserung

Abschliessend soll die Auswirkung der Wahl der kubischen Parabel gegenuumlber der

bisherigen Wahl eines Kreises auf die Geometrie des Anlaufes insbesondere auf die

Anlauflaumlnge dargestellt werden (Abbildung 4) Dazu sollen Ausgangswerte ange-

nommen werden wie sie bei Grossschanzen haumlufig sind

α = 11deg γ = 35 deg t = 65 m v0 = 26 ms = 3deg kw = 00011

Fall 1 r1 = 014v02

= 9464m

Kreis Anlauflaumlnge 8895 m Startpunkt [-8300 4490]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9134 m Startpunkt [-8565 4510]

Fall 2 r1 = 016v02 = 10816

Kreis Anlauflaumlnge 9121 m Startpunkt [-8539 4515]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9391 m Startpunkt [-8840 4537]

12

In Abbildung 4 sind die obigen Ergebnisse dargestellt Sie zeigt die Unterschiede zwi-

schen Kreis und kubischer Parabel Die Anlauflaumlnge ist bei ein und demselben gewaumlhl-

ten Radius bei der kubischen Parabel ca 250 m laumlnger als beim Kreis Interessant ist

die Feststellung dass der Startpunkt beim Kreis mit dem jetzt gebraumluchlichen Koeffi-

zienten 016 fuumlr r1 und jener bei der kubischen Parabel auf wenig Zentimeter gleich ist

wenn bei letzterer der Koeffizient 014 verwendet wird Damit ist aufgezeigt dass die

oben begruumlndete Moumlglichkeit der Radiusverkleinerung zu gleich langen Anlaumlufen und

gleicher Lage fuumlhrt wie bisher bei der Verwendung eines Kreisbogens

Es wird daher bei Verwendung einer kubischen Parabel als Uumlbergangskurve festgelegt

dass der Radius bei Erreichen des Schanzentisches mindestens

r1 = 014v02

erreichen muss houmlchstens aber

r1 = 016v02

erreichen darf Dies deshalb damit ein ausreichender Entlastungseffekt durch den

ploumltzlichen Wegfall der Zentrifugalkraft auf dem Schanzentisch erhalten bleibt

Eine weitere wichtige Feststellung Wenn bei einem bestehenden Anlauf mit

Kreisbogen sein Radius r1 = 016v02 betraumlgt kann ohne Veraumlnderung des gera-

den Anlaufteils mit kleinem Aufwand nachtraumlglich die Kreisform in eine kubisch

Parabel umgebaut werden

Abb 4 Vergleich Kreiskubische Parabel Einfluss des Kruumlmmungsradius r1

13

3 Der Flug

Die Koordinaten eines Punktes der Flugbahn sowie deren Neigung an dieser Stelle

erhaumllt man aus der Integration des Differentialgleichungssystems das den Flug be-

schreibt

Es sind dies die vier nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

mit den Anfangsbedingungen

x(o) = 0

z(0) = 0

v(0) = (v02 + v

2)^05

φ(0) = α ndash δ

Dabei ist v die aktuelle Fluggeschwindigkeit der Neigungswinkel der Flugbahn im

Uhrzeigersinn gemessen und der Winkel um den der Absprungwinkel (Neigung der

Flugbahn bei x = 0) durch den Absprungeffekt gegenuumlber der Tischneigung angehoben

wird

δ = arctg(vv0)

v ist die Geschwindigkeit senkrecht zur Tischebene die der Schwerpunkt des Koumlrper-

Ski-Systems im Augenblick des Abhebens erreicht Auswertungen von weitesten

Spruumlngen haben fuumlr v 22 ms ergeben Dieser Wert ist bei der Berechnung der Dia-

gramme Abbildung 4 bis 11 in den bdquoSkisprungschanzen Bau-Normen 2008ldquo fuumlr alle

Tischneigungen eingesetzt worden

An dieser Stelle ist noch auf eine immer wieder hartnaumlckig vertretene Meinung hinzu-

weisen die dahin geht dass der Springer bei geeigneter Absprungtechnik die Ab-

sprunggeschwindigkeitskomponente parallel zur Tischebene vergroumlssern koumlnne Das

ist natuumlrlich Unsinn und gehoumlrt in die gleiche Kategorie wie das noch bdquozu erfindende

Perpetuum Mobileldquo

Die Luftwiderstands- und Auftriebskoeffizienten kw bzw ka sind abhaumlngig vom An-

stroumlmwinkel der Luft und von der Haltung des Springers Sie sind somit zeitlich ver-

aumlnderlich Aus der Vermessung der Flugbahnen 2006 in Engelberg hat das Biomecha-

nische Institut der ETHZ fuumlr die weltbesten Springer folgende Werte in Funktion der

Bahnneigung ermittelt

14

Luftkraftbeiwerte Engelberg 2006

Rang 1 - 5 Rang 6 - 15 Rang 16 - 25

φdeg kW kA kW kA kW kA

0 000185 000093 000232 000116 000261 000130

2 000204 000139 000245 000180 000271 000177

4 000223 000185 000258 000244 000282 000224

6 000243 000231 000272 000308 000293 000270

8 000261 000275 000285 000365 000304 000316

10 000281 000316 000298 000396 000315 000350

12 000301 000354 000311 000424 000326 000382

14 000319 000390 000325 000450 000337 000411

16 000338 000424 000337 000472 000347 000436

18 000355 000455 000350 000492 000357 000459

20 000372 000484 000362 000508 000367 000479

22 000388 000511 000374 000522 000376 000496

24 000403 000534 000386 000534 000386 000510

26 000418 000555 000398 000543 000396 000521

28 000432 000574 000410 000550 000407 000531

30 000447 000591 000422 000555 000419 000538

32 000462 000605 000436 000560 000432 000545

34 000479 000617 000453 000565 000449 000551

36 000502 000628 000474 000571 000471 000558

38 000537 000638 000504 000582 000503 000569

40 000614 000655 000553 000606 000555 000590

42 000691 000672 000602 000629 000606 000611

44 000767 000689 000651 000652 000658 000632

Tab 2 Luftkraftbeiwerte mit der Dimension m-1

Damit kann durch Integration der Differentialgleichungen die einer bestimmten Tisch-

neigung und einer bestimmten Absprunggeschwindigkeit v0 zugehoumlrige Flugbahn

berechnet werden Als Landepunkt K wird vereinfachend der Schnittpunkt der Flug-

bahn mit dem Terrainprofil definiert so wie auch der Anfang der Flugbahn auf den

Ursprung 00] gelegt wird

Der Winkel mit dem sich die Flugbahn mit der Landepiste schneidet ist massgebend

fuumlr den Landestoss den der Springer erfaumlhrt Mit dem Begriff der aumlquivalenten Lande-

houmlhe kann dieser Vorgang anschaulich beschrieben werden Welche Houmlhe soll dem

Springer zugemutet werden aus der er vergleichsweise auf eine Horizontalebenen fal-

len und dabei den Stoss sicher auffangen soll Aus langjaumlhriger Erfahrung weiss man

dass 090 m fuumlr gute Springer ein gutes Mass ist Fuumlr schwaumlchere Springer soll auf

070 m reduziert werden

Der erste Wert wird fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis

115deg) der zweite fuumlr kleine und mittlere Schanzen (Tischneigungen von 8deg bis 95deg)

eingesetzt Sie ergeben Geschwindigkeiten von 42 ms bzw 37 ms und sind gleich-

15

zusetzen mit der Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprungprofil

in K Wenn die Flugbahn im Landepunkt die Neigung φK hat muss das Aufsprungpro-

fil die Neigung

fuumlr α von 10deg bis 115deg β = φK ndash arcsin(42vK ((5)

und fuumlr α von 8deg bis 95deg β = φK ndash arcsin(37vK((6)

haben wobei vKnaL red gartebtulosbA red degeschwindigkeit bedeutet

Fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis 115deg) sind die k-Werte

der Spitzenspringer (Kolonne 1 und 2 Tab 2) und fuumlr kleine und mittlere Schanzen

(Tischneigungen von 8deg bis 95deg) sind die k-Werte fuumlr schwaumlchere Springer (Kolonne

5 und 6 Tab 2) eingesetzt worden

Auf diesen Grundlagen sind die Diagramme fuumlr die Tischneigungen 8deg bis 115deg der

Sprungschanzen-Baunormen 2008 berechnet worden Die Eingrenzungen der zulaumlssi-

gen Bereich der Wertepaare w und hn hat der Ausschuss des Subkomitees auf Grund

von Erfahrungen festgelegt

4 Das Aufsprungprofil

Das Aufsprungprofil vom Schanzentisch bis zum Punkt K soll fuumlr alle Sprungweiten

gute Landebedingungen ermoumlglichen Dazu soll es bei weiten Spruumlngen die Houmlhe der

Flugbahn uumlber Terrain moumlglichst klein halten Das 1992 eingefuumlhrte und 1996 verfei-

nerte Aufsprungprofil in der Form einer kubischen Parabel hat sich bewaumlhrt Fuumlr die

Optimierung der freien Parameter β0 und δβ ist die Kurvenschar aller in Engelberg

vermessenen Fluumlge zu Rate gezogen worden Die Herleitung der Formeln die in den

Bau-Normen das Aufsprungprofil beschreiben ist reine analytische Geometrie und

bedarf keiner weiter gehenden Erklaumlrung

Fuumlr die Berechnung des Endes L des Landebereiches wurden folgende Annahmen ge-

troffen

Bei Skisprungwettkaumlmpfen wird der Punkt K bekanntlich von einzelnen wenigen

Springern uumlbersprungen Aus einer groumlsseren Anzahl Resultatlisten wurden die Uumlber-

weiten w = wKrsquo ndash wK bestimmt wobei wKrsquo die groumlsste erreichte Weite eines Wett-

kampfes ist

16

Abb 5 Groumlsste Weite bei Krsquo die bei einem Wettkampf erreicht wurde

In Abbildung 5 ist die bei dieser Auswertung zu beachtende damals geltende Geo-

metrie mit dem Kreisbogen r2 dargestellt Aus w und dem zur betreffenden Schanze

gehoumlrenden r2 β und der Flugbahnneigung φK bei der Landung ergibt sich fuumlr die Ver-

schiebung der Flugbahn

D = r2[cos(φK ndash β) ndash cos(φK ndash βKrsquo)] wobei βKrsquo = β ndash Δwr2180π ist

Es hat sich gezeigt dass der Grenzwert fuumlr D etwa bei 0018w liegt Fuumlr diese moumlgli-

chen Groumlsstweiten bei L soll eine aumlquivalente Landehoumlhe von 160 m eingeplant wer-

den Messungen anlaumlsslich der Skiflug-WM 1976 in Oberstdorf haben gezeigt dass

die damit verbundene Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprung-

profil v von 56 ms noch gestanden werden kann Bei L soll somit die Neigung der

Landepiste

βL = φL ndash arcsin(56vL ((7)

betragen

Der Landebereich von K bis L wird als Kreisabschnitt gestaltet Der Radius des Bo-

gens sei rL Fuumlr den Abstand l2 von K und L ergibt sich

l2 = (β ndash βL) rLπ180 = [(φK ndash arcsin(42vK ((ndash (φL ndash arcsin(56vLr [((Lπ180

fuumlr α von 10deg bis 115deg Fuumlr die kleineren α-Werte muumlsste der zweite Term im Klam-

merausdruck konsequenterweise arcsin(37vK gnugelrebUuml nehcielg red tiM netual (

mit der die Landekomponente v bei K fuumlr schwaumlchere Springer herabgesetzt wurde

soll dies auch bei L geschehen so dass der angeschriebene Ausdruck fuumlr l2 fuumlr alle α-

Werte gelten kann

Am Ende der Flugbahn besonders bei den grossen Schanzen ist man nicht mehr weit

von der stationaumlren Endgeschwindigkeit entfernt so dass die Aumlnderung von Betrag

und Richtung der Fluggeschwindigkeit in diesem kurzen Abschnitt im Rahmen der

17

hier gebotenen Genauigkeit vernachlaumlssigbar wird Im weiteren sind die Landewinkel

so klein dass ihr Sinus durch das Bogenmass ersetzt werden kann

Mit vLv asymp K dnu φL asymp φK vereinfachen sich die Gleichungen auf

βL = β ndash 14vK180π (8)

l2 = 14rLvK (9)

Abb 6 Landebereich K bis L

Aus Abbildung 6 erhaumllt man schliesslich

d = 0018w = l2tg(φK ndash β) + l222rL = 1442 rL vK

2 + 14

2 rLvK

22

oder rL = vK2w380 (10)

Die letzte Gleichung stellt die Verbindung zwischen dem bei groumlsseren Schanzen beo-

bachteten durchschnittlichen Mass d und dem Unterschied des zugelassenen v bei K

und L her rL muss aber auch gewaumlhrleisten dass beim Durchfahren der Landestrecke

die Zentrifugalbeschleunigung in Grenzen bleibt Sie soll 80 von g nicht uumlberstei-

gen Es ist somit auch

rL ge 0125 vK2

(10a)

einzuhalten Diese Dimensionierung wird somit bei Schanzen mit w le 48 m

massgebend rL soll auf den naumlchsten Zehnerwert aufgerundet werden

Mit βL und rL sind die Koordinaten von L gegeben

Die Landegeschwindigkeit vK erhaumllt man mit der Integration der Flugbahn Da die zu-

laumlssigen Felder fuumlr die Wertepaare [w hn] fuumlr die verschiedenen Tischneigungen α

einen relativ schmalen Streifen bilden gilt mit ausreichender Genauigkeit die lineare

Beziehung

vK = 068v0 + 1244 (11)

Wenn immer hier von bdquoausreichenderldquo Genauigkeit die Rede ist heisst das dass der

eingeraumlumte Fehler im Bereich weniger Prozente liegt in einem Toleranzbereich der

auch den biomechanischen Ausgangsgroumlssen wie aumlquivalente Landehoumlhe zugespro-

18

chen werden muss Allerdings muss festgehalten werden dass fuumlr die Anwendung sol-

cher Vereinfachung vorausgesetzt werden muss dass der Planer nicht von den Vorga-

ben abweicht

Bei den ganz kleinen Schanzen wird vK von der Naumlherungsformel gegenuumlber der

Wirklichkeit etwas zu gross berechnet Man liegt damit aber auf der sicheren Seite

5 Die Landung

Wer in L landet faumlhrt mit der groumlsstmoumlglichen Geschwindigkeit in den anschliessen-

den Uumlbergangsbogen Der Springer muss durch seine Muskelkraft die Normalkompo-

nente seiner Geschwindigkeit vL= 56 ms auf Null abbremsen Die kinetische Ener-

gie ist

m5622 = 1568m m = Masse Springer und Ski

Wenn er konstant die Kraft die seinem Gewicht samt Ski entspricht bei der Landung

einsetzten wuumlrde haumltte er die aumlquivalente Fallhoumlhe von 160 m zuruumlckzulegen Die

Zeit die er dazu benoumltigt ist t = 56981 = 0571 s Waumlhrend dieser Zeit ist der

Druck auf die Spur um sein Gewicht groumlsser so dass er eine um tgρmg erhoumlhte

Reibungskraft erfaumlhrt und dies uumlber eine Strecke von vLcos(φK ndash βL)0571 Diese

Reibungsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie die in der Geschwindig-

keitskomponente v parallel zum Hang liegt Die verbleibende Energie ist

frac12mv2 = frac12mvL

2cos

2(φK ndash βL) ndash tgρmgvLcos(φK ndash βL)0571 =

frac12mvLcos(φK ndash βL)[vL cos(φK ndash βL) ndash 2tgρ9810571]

Nach einiger Umformung erhaumllt man fuumlr die verbleibende Gleitgeschwindigkeit bei

einer Landung in L in erster Naumlherung

v = vK ndash 16vK ndash 01ρ (Reibungswinkel ρ in alt Grad) (12)

Der Kraft-Zeit-Verlauf ist in Wirklichkeit weder genau mg noch ist er konstant Wie

man leicht zeigen kann ist das Ergebnis aber nicht davon beeinflusst ausser dass sich

die Geschwindigkeit am Ende des Landungsprozesses fruumlher oder spaumlter einstellt Da

die Geschwindigkeitsabminderung aber sehr klein ist kann dieser Umstand vernach-

laumlssigt werden

Der Normaldruck auf das Profil soll analog zur Uumlbergangskurve im Anlauf auf 18g

beschraumlnkt werden dh

gcosβL + v2r2L le 18g asymp 18 (13)

Damit erhaumllt man fuumlr r2L die Eingrenzung

rL ge r2L ge v2(18 ndash 10cosβL) (14)

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

7

sem Bereich liegt das Gros der Schanzen Mit kleiner werdender Differenz γ-α naumlhert

sich die kubische Parabel der Klothoide an

22 Berechnung der Anlauflaumlngen e und es

Die Auswertung der Filmaufnahmen vom Dezember 2006 in Engelberg CH hat erge-

ben dass der Luftwiderstandskoeffizient des Springers in der Kauerstellung k =

00011 m-1

mit einer Standardabweichung von 00001 m-1

betraumlgt (siehe Bericht der

ETHZ vom 29 Maumlrz 2008 Seite 31) Fuumlr die Berechnung des Diagrammes Abbildung

2 in den bdquoGrundlagen fuumlr die Projektierung einer Skisprungschanzeldquo 1996 haben wir k

= 00014 angenommen Damit kann eine Verringerung des Reibungsverlustes von

rund 20 festgestellt werden Fuumlr den Gleitreibungskoeffizient wurde ein Reibungs-

winkel ρ = 17deg mit einer Streuung von 06deg ermittelt

Fuumlr die Bestimmung der obersten Einstiegluke ist von einem v0 auszugehen das ein

Mittelklassespringer braucht um bei ρ = 3deg bei Windstille K zu erreichen

Fuumlr die Ermittlung des Ortes der untersten Einstiegluke ist davon auszugehen dass ein

Spitzenspringer bei besten Spurverhaumlltnissen von dieser Luke startend den Konstrukti-

onspunkt K nicht uumlberspringen soll Bei Aufwind ist ein noch etwas tieferer Startplatz

erforderlich Fuumlr die Berechnung kann auf die sichere Seite gehend ρ = 0deg gesetzt

werden

Die Anlauflaumlngen erhaumllt man aus der Bewegungsdifferentialgleichung Sie ist vom

Typus einer linearen inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung und damit

geschlossen loumlsbar wenn man v2 als Funktion definiert fuumlr s als unabhaumlngige Variable

den zuruumlckgelegten Bahnabschnitt einsetzt und wenn das Laumlngsprofil z(s) mit einer

mathematischen Funktion beschrieben wird Natuumlrlich kann eine Loumlsung mit den Me-

thoden der angewandten Mathematik und mit den heute gebraumluchlichen Hilfsmitteln

(zB Excel-Programm) einfach und schnell gefunden werden Trotzdem soll hier die

klassische geschlossene Loumlsung dargestellt werden

Die Differentialgleichung lautet

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2

Dabei ist φ die Bahnneigung und r der Bahnkruumlmmungsradius als Funktionen von s

ρ ist der Reibungswinkel Ski auf Anlaufspur und k der Luftwiderstandsbeiwert ρ und

k koumlnnen als konstant angenommen werden

Fuumlr eine gerade Fahrspur mit der Neigung γ ist die Loumlsung der Differentialgleichung

v2(s) = vA

2EXP(-2ks) + gksin(γ-ρ)[1 ndash EXP(-2ks)]

wobei vA die Geschwindigkeit am Anfang also bei s = 0 ist Wenn es sich um den

Startpunkt des Anlaufes handelt ist vA = 0 und bei E1 ist

8

v12 = gksin(γ-ρ)[1 ndash EXP(-2klg)]

wenn lg die Laumlnge vom Startpunkt bis E1 ist

Die Loumlsung fuumlr die kubische Parabel als Uumlbergangskurve ist

s

v2 = [v1

2 + 2g int (sin(γ-φ-ρ) EXP(2int(k + ρr)ds)ds] EXP(-2int(k + ρr)ds))

deg

v1 ist die Geschwindigkeit bei E1 am Anfang der Uumlbergangskurve φ die Neigung und r

der Kruumlmmungsradius der Kurve als Funktion der durchfahrenen Strecke s Es emp-

fiehlt sich fuumlr die Integration letztere in Potenzreihen von s umzuwandeln Die Rei-

hen erreichen mit drei Gliedern die wuumlnschbare Genauigkeit und sind

φ = 180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10)

1r = 6Cs(1 ndash 144C^2s^4 + 2160C^4s^8)

Das Integral in der Exponentialfunktion der Loumlsung kann mit den Reihen einfach be-

stimmt werden Die Loumlsung ist

v2(s) = [v1

2 + 1962int(sin(γ-ρ-180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10))

EXP(2ks + 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))ds]

EXP(-2ks - 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))

Das Integral ist in den Grenzen 0 bis s zu berechnen

Fuumlr s = l erhaumllt man v22 in E2 am Anfang des Schanzentisches

Der Vollstaumlndigkeit halber sei auch noch die Loumlsung fuumlr die kreisfoumlrmige Uumlber-

gangskurve mit Radius r1 angegeben

v2 = [v1

2 ndash 2gr1cosλcos(γ ndash ρ ndash λ)]EXP(-2(k + ρ π180r1)s) + 2gr1cos λ

cos(γ ndash ρ ndash λ ndash 180πsr1)

wobei λ = arctg(2(kr1 + π180ρ))

ist

Fuumlr s = (γ ndash α)π 180r1 erhaumllt man v22 in E2 am Anfang des Schanzentisches

v22 = [v1

2 ndash 2gr1cos λcos(γ ndash ρ ndash λ)]EXP(ndash 2(k + ρ π180r1)(γ ndash α)π 180r1)

+ 2gr1cos λcos(α ndash ρ ndash λ)

9

Die Beschleunigung auf dem Schanzentisch

v0 ist die Komponente parallel zur Tischneigung der Startgeschwindigkeit des Fluges

und damit die erreichte Endgeschwindigkeit auf der Schanzentischkante Aus der

Gleichung fuumlr die gerade Anlaufbahn folgt

v02= v2

2EXP(-2k025v2) + gksin(α-ρ)(1 ndash EXP(-2k025v2)

wenn fuumlr s die Tischlaumlnge t = 025v0 025v2 gesetzt wird (025 hat die Dimension

Sekunde) k nimmt von 00011 bei E2 bis zur Tischkante auf 00017 zu (Bericht ETHZ

Seite 31) Man kann den Mittelwert k = 00014 als Konstante in die Rechnung einfuumlh-

ren Die Abweichung des Ergebnisses liegt weit unter einem Promille Die Reihenent-

wicklung der Exponentialfunktion liefert als erste Naumlherung

v02 = v2

2 (1 ndash 05kv2) + 05gsin(α-ρ)v2

Fuumlr die Berechnung der Anlauflaumlnge e ist von der Tischkante aufwaumlrts zu rechnen

Die Geschwindigkeitsquadrate sind dann wenn wiederum in dieser Naumlherung v2 v0

gesetzt wird

Tisch v22 = v0

2(1 + 05kv0) ndash 05gsin(α-ρ)v0

Kubische Parabel

v12 = v2

2 EXP(2kl + 2ρπ1806C(05l^2 ndash 24C^2l^6 + 216C^4l^10))

l

ndash 1962int(sin(γ-ρ-180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10))

deg

EXP(2ks + 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))ds

Kreis

v12 = [v2

2 ndash 2gr1cos λcos(α ndash ρ ndash λ)]EXP(2(k + ρ π180r1)(γ ndash α)π 180r1

+ 2gr1cos λcos(γ ndash ρ ndash λ) wobei

λ = arctg(2(kr1 + π180ρ)) ist

Es kommt vor dass v12 negativ ausfaumlllt was bedeutet dass v1 = 0 auf der Uumlbergangs-

kurve erreicht wird Damit liegt der Startpunkt B unter E1

Gerade Anlaufspur

Die Laumlnge zwischen Startpunkt und E1 ist

lg = ndash 1(2k)ln(1 ndash v12kgsin(γ-ρ))

Wenn v12 negativ ist wird auch lg negativ Die Formel fuumlr lg berechnet die Laumlnge zwi-

schen Startpunkt und E1 auch in diesem Fall richtig und vorzeichengerecht

10

In den sbquoSprungschanzen Bau-Normen 2008rsquo sind die Anlauflaumlngen e in Funktion von γ

und v0 fuumlr α = 10deg Reibungswinkel ρ = 3deg und r1 = 014v02 graphisch dargestellt Die

Verkuumlrzung es des Anlaufs wenn ρ = 0deg ist kann mit der Naumlherung

es = evo(23 + γ6)

berechnet werden Fuumlr ein kleineres v0 auf unveraumlndertem Anlauf faumlllt e etwas zu kurz

aus weil ein verkleinerter Radius r1 einer bestimmten Anlauflaumlnge e eine groumlssere Houml-

hendifferenz zuordnet Diesen Fehler macht man wenn auf einem Anlauf dimensio-

niert fuumlr den Mittelklassespringer der Anlauf fuumlr den Spitzenklassespringer mit der

geringeren Absprunggeschwindigkeit bestimmen wird Die Durchrechnung ergibt

dass bei einer 20 m Schanze B um 140 m und bei einer 130 m Schanze B um 060 m

zu tief ausfaumlllt Der Fehler liegt auf der sicheren Seite

23 Festlegung der Anlaufspurkruumlmmung 1r1 im Punkt E2

Beim bisherigen Kreisbogen war der Radius r1 zwischen 014v02 und 016v0

2 zu

waumlhlen wobei in letzter Zeit vermehrt der obere Grenzwert gewaumlhlt wurde weil die

Springer gegenuumlber fruumlher mit verstaumlrkter Vorlage den Anlauf befahren

In Abbildung 3 ist die Druckentwicklung im Anlauf die ein Springer erfaumlhrt aufge-

zeigt und zwar fuumlr Kreis und kubische Parabel als Uumlbergangskurve Die Eingangsdaten

fuumlr die Berechnung sind fuumlr beide Uumlbergangskurven

α = 8deg γ = 37deg ρ = 3deg k = 00011 t = 65 m v0 = 26 ms

Fuumlr die Kreisform wird der heute uumlbliche Wert r1 = 016v02 = 10816 m gewaumlhlt Auf

dem geraden Teil von 4060 m Laumlnge wirkt allein die Komponente des Gewichtes des

Springers senkrecht zur Bahnneigung also cosγg = 080g Beim Uumlbergang in das

Kreisprofil hat der Springer die Geschwindigkeit 2064 ms erreicht Sie erzeugt zu-

saumltzlich zum Gewicht eine Zentrifugalkraft von 040g Der Druck nimmt also ploumltz-

lich vom 08-fachen Druck um 50 auf den 120-fachen Wert zu Auf der Kreisbahn

erfolgt eine weitere Zunahme auf 163g Beim Uumlbergang auf den Schanzentisch sinkt

der Druck ploumltzlich ab auf cosαg = 099g was hier aber erwuumlnscht ist Auf der

Tischkante wird v0 = 2600 ms erreicht

Bei der kubischen Parabel wird fuumlr den Endradius vor dem Schanzentisch 014v02 =

9464 m eingesetzt Der gerade Teil ist noch 2169 m lang und die Geschwindigkeit an

deren Ende betraumlgt 1524 ms Auf dem 7227 m langen Teil der Uumlbergangskurve

nimmt die Geschwindigkeit auf den vorgegebene Wert von 26 ms zu und der Druck

steigt allmaumlhlich auf 172g Dieser Druck ist um 5 houmlher als beim Kreisprofil was

am Ende der Uumlbergangskurve aber ohne Belang ist

11

Abb 3 Normalbeschleunigung auf die Spur Vergleich Kreiskubische Parabel

Aus dieser Betrachtung folgt dass bei einer Reduktion des Endradiuskoeffizienten r1

von 016 auf 014 der Druck nur um 5 houmlher ausfaumlllt was nicht relevant ist Demge-

genuumlber ist der Umstand dass beim Einbau einer kubischen Parabel am Anfang der

Uumlbergangskurve der schlagartige Anstieg des Druckes entfaumlllt und der Enddruck erst

allmaumlhlich erreicht wird eine grosse Komfortverbesserung

Abschliessend soll die Auswirkung der Wahl der kubischen Parabel gegenuumlber der

bisherigen Wahl eines Kreises auf die Geometrie des Anlaufes insbesondere auf die

Anlauflaumlnge dargestellt werden (Abbildung 4) Dazu sollen Ausgangswerte ange-

nommen werden wie sie bei Grossschanzen haumlufig sind

α = 11deg γ = 35 deg t = 65 m v0 = 26 ms = 3deg kw = 00011

Fall 1 r1 = 014v02

= 9464m

Kreis Anlauflaumlnge 8895 m Startpunkt [-8300 4490]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9134 m Startpunkt [-8565 4510]

Fall 2 r1 = 016v02 = 10816

Kreis Anlauflaumlnge 9121 m Startpunkt [-8539 4515]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9391 m Startpunkt [-8840 4537]

12

In Abbildung 4 sind die obigen Ergebnisse dargestellt Sie zeigt die Unterschiede zwi-

schen Kreis und kubischer Parabel Die Anlauflaumlnge ist bei ein und demselben gewaumlhl-

ten Radius bei der kubischen Parabel ca 250 m laumlnger als beim Kreis Interessant ist

die Feststellung dass der Startpunkt beim Kreis mit dem jetzt gebraumluchlichen Koeffi-

zienten 016 fuumlr r1 und jener bei der kubischen Parabel auf wenig Zentimeter gleich ist

wenn bei letzterer der Koeffizient 014 verwendet wird Damit ist aufgezeigt dass die

oben begruumlndete Moumlglichkeit der Radiusverkleinerung zu gleich langen Anlaumlufen und

gleicher Lage fuumlhrt wie bisher bei der Verwendung eines Kreisbogens

Es wird daher bei Verwendung einer kubischen Parabel als Uumlbergangskurve festgelegt

dass der Radius bei Erreichen des Schanzentisches mindestens

r1 = 014v02

erreichen muss houmlchstens aber

r1 = 016v02

erreichen darf Dies deshalb damit ein ausreichender Entlastungseffekt durch den

ploumltzlichen Wegfall der Zentrifugalkraft auf dem Schanzentisch erhalten bleibt

Eine weitere wichtige Feststellung Wenn bei einem bestehenden Anlauf mit

Kreisbogen sein Radius r1 = 016v02 betraumlgt kann ohne Veraumlnderung des gera-

den Anlaufteils mit kleinem Aufwand nachtraumlglich die Kreisform in eine kubisch

Parabel umgebaut werden

Abb 4 Vergleich Kreiskubische Parabel Einfluss des Kruumlmmungsradius r1

13

3 Der Flug

Die Koordinaten eines Punktes der Flugbahn sowie deren Neigung an dieser Stelle

erhaumllt man aus der Integration des Differentialgleichungssystems das den Flug be-

schreibt

Es sind dies die vier nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

mit den Anfangsbedingungen

x(o) = 0

z(0) = 0

v(0) = (v02 + v

2)^05

φ(0) = α ndash δ

Dabei ist v die aktuelle Fluggeschwindigkeit der Neigungswinkel der Flugbahn im

Uhrzeigersinn gemessen und der Winkel um den der Absprungwinkel (Neigung der

Flugbahn bei x = 0) durch den Absprungeffekt gegenuumlber der Tischneigung angehoben

wird

δ = arctg(vv0)

v ist die Geschwindigkeit senkrecht zur Tischebene die der Schwerpunkt des Koumlrper-

Ski-Systems im Augenblick des Abhebens erreicht Auswertungen von weitesten

Spruumlngen haben fuumlr v 22 ms ergeben Dieser Wert ist bei der Berechnung der Dia-

gramme Abbildung 4 bis 11 in den bdquoSkisprungschanzen Bau-Normen 2008ldquo fuumlr alle

Tischneigungen eingesetzt worden

An dieser Stelle ist noch auf eine immer wieder hartnaumlckig vertretene Meinung hinzu-

weisen die dahin geht dass der Springer bei geeigneter Absprungtechnik die Ab-

sprunggeschwindigkeitskomponente parallel zur Tischebene vergroumlssern koumlnne Das

ist natuumlrlich Unsinn und gehoumlrt in die gleiche Kategorie wie das noch bdquozu erfindende

Perpetuum Mobileldquo

Die Luftwiderstands- und Auftriebskoeffizienten kw bzw ka sind abhaumlngig vom An-

stroumlmwinkel der Luft und von der Haltung des Springers Sie sind somit zeitlich ver-

aumlnderlich Aus der Vermessung der Flugbahnen 2006 in Engelberg hat das Biomecha-

nische Institut der ETHZ fuumlr die weltbesten Springer folgende Werte in Funktion der

Bahnneigung ermittelt

14

Luftkraftbeiwerte Engelberg 2006

Rang 1 - 5 Rang 6 - 15 Rang 16 - 25

φdeg kW kA kW kA kW kA

0 000185 000093 000232 000116 000261 000130

2 000204 000139 000245 000180 000271 000177

4 000223 000185 000258 000244 000282 000224

6 000243 000231 000272 000308 000293 000270

8 000261 000275 000285 000365 000304 000316

10 000281 000316 000298 000396 000315 000350

12 000301 000354 000311 000424 000326 000382

14 000319 000390 000325 000450 000337 000411

16 000338 000424 000337 000472 000347 000436

18 000355 000455 000350 000492 000357 000459

20 000372 000484 000362 000508 000367 000479

22 000388 000511 000374 000522 000376 000496

24 000403 000534 000386 000534 000386 000510

26 000418 000555 000398 000543 000396 000521

28 000432 000574 000410 000550 000407 000531

30 000447 000591 000422 000555 000419 000538

32 000462 000605 000436 000560 000432 000545

34 000479 000617 000453 000565 000449 000551

36 000502 000628 000474 000571 000471 000558

38 000537 000638 000504 000582 000503 000569

40 000614 000655 000553 000606 000555 000590

42 000691 000672 000602 000629 000606 000611

44 000767 000689 000651 000652 000658 000632

Tab 2 Luftkraftbeiwerte mit der Dimension m-1

Damit kann durch Integration der Differentialgleichungen die einer bestimmten Tisch-

neigung und einer bestimmten Absprunggeschwindigkeit v0 zugehoumlrige Flugbahn

berechnet werden Als Landepunkt K wird vereinfachend der Schnittpunkt der Flug-

bahn mit dem Terrainprofil definiert so wie auch der Anfang der Flugbahn auf den

Ursprung 00] gelegt wird

Der Winkel mit dem sich die Flugbahn mit der Landepiste schneidet ist massgebend

fuumlr den Landestoss den der Springer erfaumlhrt Mit dem Begriff der aumlquivalenten Lande-

houmlhe kann dieser Vorgang anschaulich beschrieben werden Welche Houmlhe soll dem

Springer zugemutet werden aus der er vergleichsweise auf eine Horizontalebenen fal-

len und dabei den Stoss sicher auffangen soll Aus langjaumlhriger Erfahrung weiss man

dass 090 m fuumlr gute Springer ein gutes Mass ist Fuumlr schwaumlchere Springer soll auf

070 m reduziert werden

Der erste Wert wird fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis

115deg) der zweite fuumlr kleine und mittlere Schanzen (Tischneigungen von 8deg bis 95deg)

eingesetzt Sie ergeben Geschwindigkeiten von 42 ms bzw 37 ms und sind gleich-

15

zusetzen mit der Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprungprofil

in K Wenn die Flugbahn im Landepunkt die Neigung φK hat muss das Aufsprungpro-

fil die Neigung

fuumlr α von 10deg bis 115deg β = φK ndash arcsin(42vK ((5)

und fuumlr α von 8deg bis 95deg β = φK ndash arcsin(37vK((6)

haben wobei vKnaL red gartebtulosbA red degeschwindigkeit bedeutet

Fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis 115deg) sind die k-Werte

der Spitzenspringer (Kolonne 1 und 2 Tab 2) und fuumlr kleine und mittlere Schanzen

(Tischneigungen von 8deg bis 95deg) sind die k-Werte fuumlr schwaumlchere Springer (Kolonne

5 und 6 Tab 2) eingesetzt worden

Auf diesen Grundlagen sind die Diagramme fuumlr die Tischneigungen 8deg bis 115deg der

Sprungschanzen-Baunormen 2008 berechnet worden Die Eingrenzungen der zulaumlssi-

gen Bereich der Wertepaare w und hn hat der Ausschuss des Subkomitees auf Grund

von Erfahrungen festgelegt

4 Das Aufsprungprofil

Das Aufsprungprofil vom Schanzentisch bis zum Punkt K soll fuumlr alle Sprungweiten

gute Landebedingungen ermoumlglichen Dazu soll es bei weiten Spruumlngen die Houmlhe der

Flugbahn uumlber Terrain moumlglichst klein halten Das 1992 eingefuumlhrte und 1996 verfei-

nerte Aufsprungprofil in der Form einer kubischen Parabel hat sich bewaumlhrt Fuumlr die

Optimierung der freien Parameter β0 und δβ ist die Kurvenschar aller in Engelberg

vermessenen Fluumlge zu Rate gezogen worden Die Herleitung der Formeln die in den

Bau-Normen das Aufsprungprofil beschreiben ist reine analytische Geometrie und

bedarf keiner weiter gehenden Erklaumlrung

Fuumlr die Berechnung des Endes L des Landebereiches wurden folgende Annahmen ge-

troffen

Bei Skisprungwettkaumlmpfen wird der Punkt K bekanntlich von einzelnen wenigen

Springern uumlbersprungen Aus einer groumlsseren Anzahl Resultatlisten wurden die Uumlber-

weiten w = wKrsquo ndash wK bestimmt wobei wKrsquo die groumlsste erreichte Weite eines Wett-

kampfes ist

16

Abb 5 Groumlsste Weite bei Krsquo die bei einem Wettkampf erreicht wurde

In Abbildung 5 ist die bei dieser Auswertung zu beachtende damals geltende Geo-

metrie mit dem Kreisbogen r2 dargestellt Aus w und dem zur betreffenden Schanze

gehoumlrenden r2 β und der Flugbahnneigung φK bei der Landung ergibt sich fuumlr die Ver-

schiebung der Flugbahn

D = r2[cos(φK ndash β) ndash cos(φK ndash βKrsquo)] wobei βKrsquo = β ndash Δwr2180π ist

Es hat sich gezeigt dass der Grenzwert fuumlr D etwa bei 0018w liegt Fuumlr diese moumlgli-

chen Groumlsstweiten bei L soll eine aumlquivalente Landehoumlhe von 160 m eingeplant wer-

den Messungen anlaumlsslich der Skiflug-WM 1976 in Oberstdorf haben gezeigt dass

die damit verbundene Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprung-

profil v von 56 ms noch gestanden werden kann Bei L soll somit die Neigung der

Landepiste

βL = φL ndash arcsin(56vL ((7)

betragen

Der Landebereich von K bis L wird als Kreisabschnitt gestaltet Der Radius des Bo-

gens sei rL Fuumlr den Abstand l2 von K und L ergibt sich

l2 = (β ndash βL) rLπ180 = [(φK ndash arcsin(42vK ((ndash (φL ndash arcsin(56vLr [((Lπ180

fuumlr α von 10deg bis 115deg Fuumlr die kleineren α-Werte muumlsste der zweite Term im Klam-

merausdruck konsequenterweise arcsin(37vK gnugelrebUuml nehcielg red tiM netual (

mit der die Landekomponente v bei K fuumlr schwaumlchere Springer herabgesetzt wurde

soll dies auch bei L geschehen so dass der angeschriebene Ausdruck fuumlr l2 fuumlr alle α-

Werte gelten kann

Am Ende der Flugbahn besonders bei den grossen Schanzen ist man nicht mehr weit

von der stationaumlren Endgeschwindigkeit entfernt so dass die Aumlnderung von Betrag

und Richtung der Fluggeschwindigkeit in diesem kurzen Abschnitt im Rahmen der

17

hier gebotenen Genauigkeit vernachlaumlssigbar wird Im weiteren sind die Landewinkel

so klein dass ihr Sinus durch das Bogenmass ersetzt werden kann

Mit vLv asymp K dnu φL asymp φK vereinfachen sich die Gleichungen auf

βL = β ndash 14vK180π (8)

l2 = 14rLvK (9)

Abb 6 Landebereich K bis L

Aus Abbildung 6 erhaumllt man schliesslich

d = 0018w = l2tg(φK ndash β) + l222rL = 1442 rL vK

2 + 14

2 rLvK

22

oder rL = vK2w380 (10)

Die letzte Gleichung stellt die Verbindung zwischen dem bei groumlsseren Schanzen beo-

bachteten durchschnittlichen Mass d und dem Unterschied des zugelassenen v bei K

und L her rL muss aber auch gewaumlhrleisten dass beim Durchfahren der Landestrecke

die Zentrifugalbeschleunigung in Grenzen bleibt Sie soll 80 von g nicht uumlberstei-

gen Es ist somit auch

rL ge 0125 vK2

(10a)

einzuhalten Diese Dimensionierung wird somit bei Schanzen mit w le 48 m

massgebend rL soll auf den naumlchsten Zehnerwert aufgerundet werden

Mit βL und rL sind die Koordinaten von L gegeben

Die Landegeschwindigkeit vK erhaumllt man mit der Integration der Flugbahn Da die zu-

laumlssigen Felder fuumlr die Wertepaare [w hn] fuumlr die verschiedenen Tischneigungen α

einen relativ schmalen Streifen bilden gilt mit ausreichender Genauigkeit die lineare

Beziehung

vK = 068v0 + 1244 (11)

Wenn immer hier von bdquoausreichenderldquo Genauigkeit die Rede ist heisst das dass der

eingeraumlumte Fehler im Bereich weniger Prozente liegt in einem Toleranzbereich der

auch den biomechanischen Ausgangsgroumlssen wie aumlquivalente Landehoumlhe zugespro-

18

chen werden muss Allerdings muss festgehalten werden dass fuumlr die Anwendung sol-

cher Vereinfachung vorausgesetzt werden muss dass der Planer nicht von den Vorga-

ben abweicht

Bei den ganz kleinen Schanzen wird vK von der Naumlherungsformel gegenuumlber der

Wirklichkeit etwas zu gross berechnet Man liegt damit aber auf der sicheren Seite

5 Die Landung

Wer in L landet faumlhrt mit der groumlsstmoumlglichen Geschwindigkeit in den anschliessen-

den Uumlbergangsbogen Der Springer muss durch seine Muskelkraft die Normalkompo-

nente seiner Geschwindigkeit vL= 56 ms auf Null abbremsen Die kinetische Ener-

gie ist

m5622 = 1568m m = Masse Springer und Ski

Wenn er konstant die Kraft die seinem Gewicht samt Ski entspricht bei der Landung

einsetzten wuumlrde haumltte er die aumlquivalente Fallhoumlhe von 160 m zuruumlckzulegen Die

Zeit die er dazu benoumltigt ist t = 56981 = 0571 s Waumlhrend dieser Zeit ist der

Druck auf die Spur um sein Gewicht groumlsser so dass er eine um tgρmg erhoumlhte

Reibungskraft erfaumlhrt und dies uumlber eine Strecke von vLcos(φK ndash βL)0571 Diese

Reibungsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie die in der Geschwindig-

keitskomponente v parallel zum Hang liegt Die verbleibende Energie ist

frac12mv2 = frac12mvL

2cos

2(φK ndash βL) ndash tgρmgvLcos(φK ndash βL)0571 =

frac12mvLcos(φK ndash βL)[vL cos(φK ndash βL) ndash 2tgρ9810571]

Nach einiger Umformung erhaumllt man fuumlr die verbleibende Gleitgeschwindigkeit bei

einer Landung in L in erster Naumlherung

v = vK ndash 16vK ndash 01ρ (Reibungswinkel ρ in alt Grad) (12)

Der Kraft-Zeit-Verlauf ist in Wirklichkeit weder genau mg noch ist er konstant Wie

man leicht zeigen kann ist das Ergebnis aber nicht davon beeinflusst ausser dass sich

die Geschwindigkeit am Ende des Landungsprozesses fruumlher oder spaumlter einstellt Da

die Geschwindigkeitsabminderung aber sehr klein ist kann dieser Umstand vernach-

laumlssigt werden

Der Normaldruck auf das Profil soll analog zur Uumlbergangskurve im Anlauf auf 18g

beschraumlnkt werden dh

gcosβL + v2r2L le 18g asymp 18 (13)

Damit erhaumllt man fuumlr r2L die Eingrenzung

rL ge r2L ge v2(18 ndash 10cosβL) (14)

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

8

v12 = gksin(γ-ρ)[1 ndash EXP(-2klg)]

wenn lg die Laumlnge vom Startpunkt bis E1 ist

Die Loumlsung fuumlr die kubische Parabel als Uumlbergangskurve ist

s

v2 = [v1

2 + 2g int (sin(γ-φ-ρ) EXP(2int(k + ρr)ds)ds] EXP(-2int(k + ρr)ds))

deg

v1 ist die Geschwindigkeit bei E1 am Anfang der Uumlbergangskurve φ die Neigung und r

der Kruumlmmungsradius der Kurve als Funktion der durchfahrenen Strecke s Es emp-

fiehlt sich fuumlr die Integration letztere in Potenzreihen von s umzuwandeln Die Rei-

hen erreichen mit drei Gliedern die wuumlnschbare Genauigkeit und sind

φ = 180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10)

1r = 6Cs(1 ndash 144C^2s^4 + 2160C^4s^8)

Das Integral in der Exponentialfunktion der Loumlsung kann mit den Reihen einfach be-

stimmt werden Die Loumlsung ist

v2(s) = [v1

2 + 1962int(sin(γ-ρ-180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10))

EXP(2ks + 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))ds]

EXP(-2ks - 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))

Das Integral ist in den Grenzen 0 bis s zu berechnen

Fuumlr s = l erhaumllt man v22 in E2 am Anfang des Schanzentisches

Der Vollstaumlndigkeit halber sei auch noch die Loumlsung fuumlr die kreisfoumlrmige Uumlber-

gangskurve mit Radius r1 angegeben

v2 = [v1

2 ndash 2gr1cosλcos(γ ndash ρ ndash λ)]EXP(-2(k + ρ π180r1)s) + 2gr1cos λ

cos(γ ndash ρ ndash λ ndash 180πsr1)

wobei λ = arctg(2(kr1 + π180ρ))

ist

Fuumlr s = (γ ndash α)π 180r1 erhaumllt man v22 in E2 am Anfang des Schanzentisches

v22 = [v1

2 ndash 2gr1cos λcos(γ ndash ρ ndash λ)]EXP(ndash 2(k + ρ π180r1)(γ ndash α)π 180r1)

+ 2gr1cos λcos(α ndash ρ ndash λ)

9

Die Beschleunigung auf dem Schanzentisch

v0 ist die Komponente parallel zur Tischneigung der Startgeschwindigkeit des Fluges

und damit die erreichte Endgeschwindigkeit auf der Schanzentischkante Aus der

Gleichung fuumlr die gerade Anlaufbahn folgt

v02= v2

2EXP(-2k025v2) + gksin(α-ρ)(1 ndash EXP(-2k025v2)

wenn fuumlr s die Tischlaumlnge t = 025v0 025v2 gesetzt wird (025 hat die Dimension

Sekunde) k nimmt von 00011 bei E2 bis zur Tischkante auf 00017 zu (Bericht ETHZ

Seite 31) Man kann den Mittelwert k = 00014 als Konstante in die Rechnung einfuumlh-

ren Die Abweichung des Ergebnisses liegt weit unter einem Promille Die Reihenent-

wicklung der Exponentialfunktion liefert als erste Naumlherung

v02 = v2

2 (1 ndash 05kv2) + 05gsin(α-ρ)v2

Fuumlr die Berechnung der Anlauflaumlnge e ist von der Tischkante aufwaumlrts zu rechnen

Die Geschwindigkeitsquadrate sind dann wenn wiederum in dieser Naumlherung v2 v0

gesetzt wird

Tisch v22 = v0

2(1 + 05kv0) ndash 05gsin(α-ρ)v0

Kubische Parabel

v12 = v2

2 EXP(2kl + 2ρπ1806C(05l^2 ndash 24C^2l^6 + 216C^4l^10))

l

ndash 1962int(sin(γ-ρ-180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10))

deg

EXP(2ks + 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))ds

Kreis

v12 = [v2

2 ndash 2gr1cos λcos(α ndash ρ ndash λ)]EXP(2(k + ρ π180r1)(γ ndash α)π 180r1

+ 2gr1cos λcos(γ ndash ρ ndash λ) wobei

λ = arctg(2(kr1 + π180ρ)) ist

Es kommt vor dass v12 negativ ausfaumlllt was bedeutet dass v1 = 0 auf der Uumlbergangs-

kurve erreicht wird Damit liegt der Startpunkt B unter E1

Gerade Anlaufspur

Die Laumlnge zwischen Startpunkt und E1 ist

lg = ndash 1(2k)ln(1 ndash v12kgsin(γ-ρ))

Wenn v12 negativ ist wird auch lg negativ Die Formel fuumlr lg berechnet die Laumlnge zwi-

schen Startpunkt und E1 auch in diesem Fall richtig und vorzeichengerecht

10

In den sbquoSprungschanzen Bau-Normen 2008rsquo sind die Anlauflaumlngen e in Funktion von γ

und v0 fuumlr α = 10deg Reibungswinkel ρ = 3deg und r1 = 014v02 graphisch dargestellt Die

Verkuumlrzung es des Anlaufs wenn ρ = 0deg ist kann mit der Naumlherung

es = evo(23 + γ6)

berechnet werden Fuumlr ein kleineres v0 auf unveraumlndertem Anlauf faumlllt e etwas zu kurz

aus weil ein verkleinerter Radius r1 einer bestimmten Anlauflaumlnge e eine groumlssere Houml-

hendifferenz zuordnet Diesen Fehler macht man wenn auf einem Anlauf dimensio-

niert fuumlr den Mittelklassespringer der Anlauf fuumlr den Spitzenklassespringer mit der

geringeren Absprunggeschwindigkeit bestimmen wird Die Durchrechnung ergibt

dass bei einer 20 m Schanze B um 140 m und bei einer 130 m Schanze B um 060 m

zu tief ausfaumlllt Der Fehler liegt auf der sicheren Seite

23 Festlegung der Anlaufspurkruumlmmung 1r1 im Punkt E2

Beim bisherigen Kreisbogen war der Radius r1 zwischen 014v02 und 016v0

2 zu

waumlhlen wobei in letzter Zeit vermehrt der obere Grenzwert gewaumlhlt wurde weil die

Springer gegenuumlber fruumlher mit verstaumlrkter Vorlage den Anlauf befahren

In Abbildung 3 ist die Druckentwicklung im Anlauf die ein Springer erfaumlhrt aufge-

zeigt und zwar fuumlr Kreis und kubische Parabel als Uumlbergangskurve Die Eingangsdaten

fuumlr die Berechnung sind fuumlr beide Uumlbergangskurven

α = 8deg γ = 37deg ρ = 3deg k = 00011 t = 65 m v0 = 26 ms

Fuumlr die Kreisform wird der heute uumlbliche Wert r1 = 016v02 = 10816 m gewaumlhlt Auf

dem geraden Teil von 4060 m Laumlnge wirkt allein die Komponente des Gewichtes des

Springers senkrecht zur Bahnneigung also cosγg = 080g Beim Uumlbergang in das

Kreisprofil hat der Springer die Geschwindigkeit 2064 ms erreicht Sie erzeugt zu-

saumltzlich zum Gewicht eine Zentrifugalkraft von 040g Der Druck nimmt also ploumltz-

lich vom 08-fachen Druck um 50 auf den 120-fachen Wert zu Auf der Kreisbahn

erfolgt eine weitere Zunahme auf 163g Beim Uumlbergang auf den Schanzentisch sinkt

der Druck ploumltzlich ab auf cosαg = 099g was hier aber erwuumlnscht ist Auf der

Tischkante wird v0 = 2600 ms erreicht

Bei der kubischen Parabel wird fuumlr den Endradius vor dem Schanzentisch 014v02 =

9464 m eingesetzt Der gerade Teil ist noch 2169 m lang und die Geschwindigkeit an

deren Ende betraumlgt 1524 ms Auf dem 7227 m langen Teil der Uumlbergangskurve

nimmt die Geschwindigkeit auf den vorgegebene Wert von 26 ms zu und der Druck

steigt allmaumlhlich auf 172g Dieser Druck ist um 5 houmlher als beim Kreisprofil was

am Ende der Uumlbergangskurve aber ohne Belang ist

11

Abb 3 Normalbeschleunigung auf die Spur Vergleich Kreiskubische Parabel

Aus dieser Betrachtung folgt dass bei einer Reduktion des Endradiuskoeffizienten r1

von 016 auf 014 der Druck nur um 5 houmlher ausfaumlllt was nicht relevant ist Demge-

genuumlber ist der Umstand dass beim Einbau einer kubischen Parabel am Anfang der

Uumlbergangskurve der schlagartige Anstieg des Druckes entfaumlllt und der Enddruck erst

allmaumlhlich erreicht wird eine grosse Komfortverbesserung

Abschliessend soll die Auswirkung der Wahl der kubischen Parabel gegenuumlber der

bisherigen Wahl eines Kreises auf die Geometrie des Anlaufes insbesondere auf die

Anlauflaumlnge dargestellt werden (Abbildung 4) Dazu sollen Ausgangswerte ange-

nommen werden wie sie bei Grossschanzen haumlufig sind

α = 11deg γ = 35 deg t = 65 m v0 = 26 ms = 3deg kw = 00011

Fall 1 r1 = 014v02

= 9464m

Kreis Anlauflaumlnge 8895 m Startpunkt [-8300 4490]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9134 m Startpunkt [-8565 4510]

Fall 2 r1 = 016v02 = 10816

Kreis Anlauflaumlnge 9121 m Startpunkt [-8539 4515]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9391 m Startpunkt [-8840 4537]

12

In Abbildung 4 sind die obigen Ergebnisse dargestellt Sie zeigt die Unterschiede zwi-

schen Kreis und kubischer Parabel Die Anlauflaumlnge ist bei ein und demselben gewaumlhl-

ten Radius bei der kubischen Parabel ca 250 m laumlnger als beim Kreis Interessant ist

die Feststellung dass der Startpunkt beim Kreis mit dem jetzt gebraumluchlichen Koeffi-

zienten 016 fuumlr r1 und jener bei der kubischen Parabel auf wenig Zentimeter gleich ist

wenn bei letzterer der Koeffizient 014 verwendet wird Damit ist aufgezeigt dass die

oben begruumlndete Moumlglichkeit der Radiusverkleinerung zu gleich langen Anlaumlufen und

gleicher Lage fuumlhrt wie bisher bei der Verwendung eines Kreisbogens

Es wird daher bei Verwendung einer kubischen Parabel als Uumlbergangskurve festgelegt

dass der Radius bei Erreichen des Schanzentisches mindestens

r1 = 014v02

erreichen muss houmlchstens aber

r1 = 016v02

erreichen darf Dies deshalb damit ein ausreichender Entlastungseffekt durch den

ploumltzlichen Wegfall der Zentrifugalkraft auf dem Schanzentisch erhalten bleibt

Eine weitere wichtige Feststellung Wenn bei einem bestehenden Anlauf mit

Kreisbogen sein Radius r1 = 016v02 betraumlgt kann ohne Veraumlnderung des gera-

den Anlaufteils mit kleinem Aufwand nachtraumlglich die Kreisform in eine kubisch

Parabel umgebaut werden

Abb 4 Vergleich Kreiskubische Parabel Einfluss des Kruumlmmungsradius r1

13

3 Der Flug

Die Koordinaten eines Punktes der Flugbahn sowie deren Neigung an dieser Stelle

erhaumllt man aus der Integration des Differentialgleichungssystems das den Flug be-

schreibt

Es sind dies die vier nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

mit den Anfangsbedingungen

x(o) = 0

z(0) = 0

v(0) = (v02 + v

2)^05

φ(0) = α ndash δ

Dabei ist v die aktuelle Fluggeschwindigkeit der Neigungswinkel der Flugbahn im

Uhrzeigersinn gemessen und der Winkel um den der Absprungwinkel (Neigung der

Flugbahn bei x = 0) durch den Absprungeffekt gegenuumlber der Tischneigung angehoben

wird

δ = arctg(vv0)

v ist die Geschwindigkeit senkrecht zur Tischebene die der Schwerpunkt des Koumlrper-

Ski-Systems im Augenblick des Abhebens erreicht Auswertungen von weitesten

Spruumlngen haben fuumlr v 22 ms ergeben Dieser Wert ist bei der Berechnung der Dia-

gramme Abbildung 4 bis 11 in den bdquoSkisprungschanzen Bau-Normen 2008ldquo fuumlr alle

Tischneigungen eingesetzt worden

An dieser Stelle ist noch auf eine immer wieder hartnaumlckig vertretene Meinung hinzu-

weisen die dahin geht dass der Springer bei geeigneter Absprungtechnik die Ab-

sprunggeschwindigkeitskomponente parallel zur Tischebene vergroumlssern koumlnne Das

ist natuumlrlich Unsinn und gehoumlrt in die gleiche Kategorie wie das noch bdquozu erfindende

Perpetuum Mobileldquo

Die Luftwiderstands- und Auftriebskoeffizienten kw bzw ka sind abhaumlngig vom An-

stroumlmwinkel der Luft und von der Haltung des Springers Sie sind somit zeitlich ver-

aumlnderlich Aus der Vermessung der Flugbahnen 2006 in Engelberg hat das Biomecha-

nische Institut der ETHZ fuumlr die weltbesten Springer folgende Werte in Funktion der

Bahnneigung ermittelt

14

Luftkraftbeiwerte Engelberg 2006

Rang 1 - 5 Rang 6 - 15 Rang 16 - 25

φdeg kW kA kW kA kW kA

0 000185 000093 000232 000116 000261 000130

2 000204 000139 000245 000180 000271 000177

4 000223 000185 000258 000244 000282 000224

6 000243 000231 000272 000308 000293 000270

8 000261 000275 000285 000365 000304 000316

10 000281 000316 000298 000396 000315 000350

12 000301 000354 000311 000424 000326 000382

14 000319 000390 000325 000450 000337 000411

16 000338 000424 000337 000472 000347 000436

18 000355 000455 000350 000492 000357 000459

20 000372 000484 000362 000508 000367 000479

22 000388 000511 000374 000522 000376 000496

24 000403 000534 000386 000534 000386 000510

26 000418 000555 000398 000543 000396 000521

28 000432 000574 000410 000550 000407 000531

30 000447 000591 000422 000555 000419 000538

32 000462 000605 000436 000560 000432 000545

34 000479 000617 000453 000565 000449 000551

36 000502 000628 000474 000571 000471 000558

38 000537 000638 000504 000582 000503 000569

40 000614 000655 000553 000606 000555 000590

42 000691 000672 000602 000629 000606 000611

44 000767 000689 000651 000652 000658 000632

Tab 2 Luftkraftbeiwerte mit der Dimension m-1

Damit kann durch Integration der Differentialgleichungen die einer bestimmten Tisch-

neigung und einer bestimmten Absprunggeschwindigkeit v0 zugehoumlrige Flugbahn

berechnet werden Als Landepunkt K wird vereinfachend der Schnittpunkt der Flug-

bahn mit dem Terrainprofil definiert so wie auch der Anfang der Flugbahn auf den

Ursprung 00] gelegt wird

Der Winkel mit dem sich die Flugbahn mit der Landepiste schneidet ist massgebend

fuumlr den Landestoss den der Springer erfaumlhrt Mit dem Begriff der aumlquivalenten Lande-

houmlhe kann dieser Vorgang anschaulich beschrieben werden Welche Houmlhe soll dem

Springer zugemutet werden aus der er vergleichsweise auf eine Horizontalebenen fal-

len und dabei den Stoss sicher auffangen soll Aus langjaumlhriger Erfahrung weiss man

dass 090 m fuumlr gute Springer ein gutes Mass ist Fuumlr schwaumlchere Springer soll auf

070 m reduziert werden

Der erste Wert wird fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis

115deg) der zweite fuumlr kleine und mittlere Schanzen (Tischneigungen von 8deg bis 95deg)

eingesetzt Sie ergeben Geschwindigkeiten von 42 ms bzw 37 ms und sind gleich-

15

zusetzen mit der Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprungprofil

in K Wenn die Flugbahn im Landepunkt die Neigung φK hat muss das Aufsprungpro-

fil die Neigung

fuumlr α von 10deg bis 115deg β = φK ndash arcsin(42vK ((5)

und fuumlr α von 8deg bis 95deg β = φK ndash arcsin(37vK((6)

haben wobei vKnaL red gartebtulosbA red degeschwindigkeit bedeutet

Fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis 115deg) sind die k-Werte

der Spitzenspringer (Kolonne 1 und 2 Tab 2) und fuumlr kleine und mittlere Schanzen

(Tischneigungen von 8deg bis 95deg) sind die k-Werte fuumlr schwaumlchere Springer (Kolonne

5 und 6 Tab 2) eingesetzt worden

Auf diesen Grundlagen sind die Diagramme fuumlr die Tischneigungen 8deg bis 115deg der

Sprungschanzen-Baunormen 2008 berechnet worden Die Eingrenzungen der zulaumlssi-

gen Bereich der Wertepaare w und hn hat der Ausschuss des Subkomitees auf Grund

von Erfahrungen festgelegt

4 Das Aufsprungprofil

Das Aufsprungprofil vom Schanzentisch bis zum Punkt K soll fuumlr alle Sprungweiten

gute Landebedingungen ermoumlglichen Dazu soll es bei weiten Spruumlngen die Houmlhe der

Flugbahn uumlber Terrain moumlglichst klein halten Das 1992 eingefuumlhrte und 1996 verfei-

nerte Aufsprungprofil in der Form einer kubischen Parabel hat sich bewaumlhrt Fuumlr die

Optimierung der freien Parameter β0 und δβ ist die Kurvenschar aller in Engelberg

vermessenen Fluumlge zu Rate gezogen worden Die Herleitung der Formeln die in den

Bau-Normen das Aufsprungprofil beschreiben ist reine analytische Geometrie und

bedarf keiner weiter gehenden Erklaumlrung

Fuumlr die Berechnung des Endes L des Landebereiches wurden folgende Annahmen ge-

troffen

Bei Skisprungwettkaumlmpfen wird der Punkt K bekanntlich von einzelnen wenigen

Springern uumlbersprungen Aus einer groumlsseren Anzahl Resultatlisten wurden die Uumlber-

weiten w = wKrsquo ndash wK bestimmt wobei wKrsquo die groumlsste erreichte Weite eines Wett-

kampfes ist

16

Abb 5 Groumlsste Weite bei Krsquo die bei einem Wettkampf erreicht wurde

In Abbildung 5 ist die bei dieser Auswertung zu beachtende damals geltende Geo-

metrie mit dem Kreisbogen r2 dargestellt Aus w und dem zur betreffenden Schanze

gehoumlrenden r2 β und der Flugbahnneigung φK bei der Landung ergibt sich fuumlr die Ver-

schiebung der Flugbahn

D = r2[cos(φK ndash β) ndash cos(φK ndash βKrsquo)] wobei βKrsquo = β ndash Δwr2180π ist

Es hat sich gezeigt dass der Grenzwert fuumlr D etwa bei 0018w liegt Fuumlr diese moumlgli-

chen Groumlsstweiten bei L soll eine aumlquivalente Landehoumlhe von 160 m eingeplant wer-

den Messungen anlaumlsslich der Skiflug-WM 1976 in Oberstdorf haben gezeigt dass

die damit verbundene Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprung-

profil v von 56 ms noch gestanden werden kann Bei L soll somit die Neigung der

Landepiste

βL = φL ndash arcsin(56vL ((7)

betragen

Der Landebereich von K bis L wird als Kreisabschnitt gestaltet Der Radius des Bo-

gens sei rL Fuumlr den Abstand l2 von K und L ergibt sich

l2 = (β ndash βL) rLπ180 = [(φK ndash arcsin(42vK ((ndash (φL ndash arcsin(56vLr [((Lπ180

fuumlr α von 10deg bis 115deg Fuumlr die kleineren α-Werte muumlsste der zweite Term im Klam-

merausdruck konsequenterweise arcsin(37vK gnugelrebUuml nehcielg red tiM netual (

mit der die Landekomponente v bei K fuumlr schwaumlchere Springer herabgesetzt wurde

soll dies auch bei L geschehen so dass der angeschriebene Ausdruck fuumlr l2 fuumlr alle α-

Werte gelten kann

Am Ende der Flugbahn besonders bei den grossen Schanzen ist man nicht mehr weit

von der stationaumlren Endgeschwindigkeit entfernt so dass die Aumlnderung von Betrag

und Richtung der Fluggeschwindigkeit in diesem kurzen Abschnitt im Rahmen der

17

hier gebotenen Genauigkeit vernachlaumlssigbar wird Im weiteren sind die Landewinkel

so klein dass ihr Sinus durch das Bogenmass ersetzt werden kann

Mit vLv asymp K dnu φL asymp φK vereinfachen sich die Gleichungen auf

βL = β ndash 14vK180π (8)

l2 = 14rLvK (9)

Abb 6 Landebereich K bis L

Aus Abbildung 6 erhaumllt man schliesslich

d = 0018w = l2tg(φK ndash β) + l222rL = 1442 rL vK

2 + 14

2 rLvK

22

oder rL = vK2w380 (10)

Die letzte Gleichung stellt die Verbindung zwischen dem bei groumlsseren Schanzen beo-

bachteten durchschnittlichen Mass d und dem Unterschied des zugelassenen v bei K

und L her rL muss aber auch gewaumlhrleisten dass beim Durchfahren der Landestrecke

die Zentrifugalbeschleunigung in Grenzen bleibt Sie soll 80 von g nicht uumlberstei-

gen Es ist somit auch

rL ge 0125 vK2

(10a)

einzuhalten Diese Dimensionierung wird somit bei Schanzen mit w le 48 m

massgebend rL soll auf den naumlchsten Zehnerwert aufgerundet werden

Mit βL und rL sind die Koordinaten von L gegeben

Die Landegeschwindigkeit vK erhaumllt man mit der Integration der Flugbahn Da die zu-

laumlssigen Felder fuumlr die Wertepaare [w hn] fuumlr die verschiedenen Tischneigungen α

einen relativ schmalen Streifen bilden gilt mit ausreichender Genauigkeit die lineare

Beziehung

vK = 068v0 + 1244 (11)

Wenn immer hier von bdquoausreichenderldquo Genauigkeit die Rede ist heisst das dass der

eingeraumlumte Fehler im Bereich weniger Prozente liegt in einem Toleranzbereich der

auch den biomechanischen Ausgangsgroumlssen wie aumlquivalente Landehoumlhe zugespro-

18

chen werden muss Allerdings muss festgehalten werden dass fuumlr die Anwendung sol-

cher Vereinfachung vorausgesetzt werden muss dass der Planer nicht von den Vorga-

ben abweicht

Bei den ganz kleinen Schanzen wird vK von der Naumlherungsformel gegenuumlber der

Wirklichkeit etwas zu gross berechnet Man liegt damit aber auf der sicheren Seite

5 Die Landung

Wer in L landet faumlhrt mit der groumlsstmoumlglichen Geschwindigkeit in den anschliessen-

den Uumlbergangsbogen Der Springer muss durch seine Muskelkraft die Normalkompo-

nente seiner Geschwindigkeit vL= 56 ms auf Null abbremsen Die kinetische Ener-

gie ist

m5622 = 1568m m = Masse Springer und Ski

Wenn er konstant die Kraft die seinem Gewicht samt Ski entspricht bei der Landung

einsetzten wuumlrde haumltte er die aumlquivalente Fallhoumlhe von 160 m zuruumlckzulegen Die

Zeit die er dazu benoumltigt ist t = 56981 = 0571 s Waumlhrend dieser Zeit ist der

Druck auf die Spur um sein Gewicht groumlsser so dass er eine um tgρmg erhoumlhte

Reibungskraft erfaumlhrt und dies uumlber eine Strecke von vLcos(φK ndash βL)0571 Diese

Reibungsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie die in der Geschwindig-

keitskomponente v parallel zum Hang liegt Die verbleibende Energie ist

frac12mv2 = frac12mvL

2cos

2(φK ndash βL) ndash tgρmgvLcos(φK ndash βL)0571 =

frac12mvLcos(φK ndash βL)[vL cos(φK ndash βL) ndash 2tgρ9810571]

Nach einiger Umformung erhaumllt man fuumlr die verbleibende Gleitgeschwindigkeit bei

einer Landung in L in erster Naumlherung

v = vK ndash 16vK ndash 01ρ (Reibungswinkel ρ in alt Grad) (12)

Der Kraft-Zeit-Verlauf ist in Wirklichkeit weder genau mg noch ist er konstant Wie

man leicht zeigen kann ist das Ergebnis aber nicht davon beeinflusst ausser dass sich

die Geschwindigkeit am Ende des Landungsprozesses fruumlher oder spaumlter einstellt Da

die Geschwindigkeitsabminderung aber sehr klein ist kann dieser Umstand vernach-

laumlssigt werden

Der Normaldruck auf das Profil soll analog zur Uumlbergangskurve im Anlauf auf 18g

beschraumlnkt werden dh

gcosβL + v2r2L le 18g asymp 18 (13)

Damit erhaumllt man fuumlr r2L die Eingrenzung

rL ge r2L ge v2(18 ndash 10cosβL) (14)

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

9

Die Beschleunigung auf dem Schanzentisch

v0 ist die Komponente parallel zur Tischneigung der Startgeschwindigkeit des Fluges

und damit die erreichte Endgeschwindigkeit auf der Schanzentischkante Aus der

Gleichung fuumlr die gerade Anlaufbahn folgt

v02= v2

2EXP(-2k025v2) + gksin(α-ρ)(1 ndash EXP(-2k025v2)

wenn fuumlr s die Tischlaumlnge t = 025v0 025v2 gesetzt wird (025 hat die Dimension

Sekunde) k nimmt von 00011 bei E2 bis zur Tischkante auf 00017 zu (Bericht ETHZ

Seite 31) Man kann den Mittelwert k = 00014 als Konstante in die Rechnung einfuumlh-

ren Die Abweichung des Ergebnisses liegt weit unter einem Promille Die Reihenent-

wicklung der Exponentialfunktion liefert als erste Naumlherung

v02 = v2

2 (1 ndash 05kv2) + 05gsin(α-ρ)v2

Fuumlr die Berechnung der Anlauflaumlnge e ist von der Tischkante aufwaumlrts zu rechnen

Die Geschwindigkeitsquadrate sind dann wenn wiederum in dieser Naumlherung v2 v0

gesetzt wird

Tisch v22 = v0

2(1 + 05kv0) ndash 05gsin(α-ρ)v0

Kubische Parabel

v12 = v2

2 EXP(2kl + 2ρπ1806C(05l^2 ndash 24C^2l^6 + 216C^4l^10))

l

ndash 1962int(sin(γ-ρ-180π(3Cs^2 ndash 144C^3s^6 + 7128C^5s^10))

deg

EXP(2ks + 2ρπ1806C(05s^2 ndash 24C^2s^6 + 216C^4s^10))ds

Kreis

v12 = [v2

2 ndash 2gr1cos λcos(α ndash ρ ndash λ)]EXP(2(k + ρ π180r1)(γ ndash α)π 180r1

+ 2gr1cos λcos(γ ndash ρ ndash λ) wobei

λ = arctg(2(kr1 + π180ρ)) ist

Es kommt vor dass v12 negativ ausfaumlllt was bedeutet dass v1 = 0 auf der Uumlbergangs-

kurve erreicht wird Damit liegt der Startpunkt B unter E1

Gerade Anlaufspur

Die Laumlnge zwischen Startpunkt und E1 ist

lg = ndash 1(2k)ln(1 ndash v12kgsin(γ-ρ))

Wenn v12 negativ ist wird auch lg negativ Die Formel fuumlr lg berechnet die Laumlnge zwi-

schen Startpunkt und E1 auch in diesem Fall richtig und vorzeichengerecht

10

In den sbquoSprungschanzen Bau-Normen 2008rsquo sind die Anlauflaumlngen e in Funktion von γ

und v0 fuumlr α = 10deg Reibungswinkel ρ = 3deg und r1 = 014v02 graphisch dargestellt Die

Verkuumlrzung es des Anlaufs wenn ρ = 0deg ist kann mit der Naumlherung

es = evo(23 + γ6)

berechnet werden Fuumlr ein kleineres v0 auf unveraumlndertem Anlauf faumlllt e etwas zu kurz

aus weil ein verkleinerter Radius r1 einer bestimmten Anlauflaumlnge e eine groumlssere Houml-

hendifferenz zuordnet Diesen Fehler macht man wenn auf einem Anlauf dimensio-

niert fuumlr den Mittelklassespringer der Anlauf fuumlr den Spitzenklassespringer mit der

geringeren Absprunggeschwindigkeit bestimmen wird Die Durchrechnung ergibt

dass bei einer 20 m Schanze B um 140 m und bei einer 130 m Schanze B um 060 m

zu tief ausfaumlllt Der Fehler liegt auf der sicheren Seite

23 Festlegung der Anlaufspurkruumlmmung 1r1 im Punkt E2

Beim bisherigen Kreisbogen war der Radius r1 zwischen 014v02 und 016v0

2 zu

waumlhlen wobei in letzter Zeit vermehrt der obere Grenzwert gewaumlhlt wurde weil die

Springer gegenuumlber fruumlher mit verstaumlrkter Vorlage den Anlauf befahren

In Abbildung 3 ist die Druckentwicklung im Anlauf die ein Springer erfaumlhrt aufge-

zeigt und zwar fuumlr Kreis und kubische Parabel als Uumlbergangskurve Die Eingangsdaten

fuumlr die Berechnung sind fuumlr beide Uumlbergangskurven

α = 8deg γ = 37deg ρ = 3deg k = 00011 t = 65 m v0 = 26 ms

Fuumlr die Kreisform wird der heute uumlbliche Wert r1 = 016v02 = 10816 m gewaumlhlt Auf

dem geraden Teil von 4060 m Laumlnge wirkt allein die Komponente des Gewichtes des

Springers senkrecht zur Bahnneigung also cosγg = 080g Beim Uumlbergang in das

Kreisprofil hat der Springer die Geschwindigkeit 2064 ms erreicht Sie erzeugt zu-

saumltzlich zum Gewicht eine Zentrifugalkraft von 040g Der Druck nimmt also ploumltz-

lich vom 08-fachen Druck um 50 auf den 120-fachen Wert zu Auf der Kreisbahn

erfolgt eine weitere Zunahme auf 163g Beim Uumlbergang auf den Schanzentisch sinkt

der Druck ploumltzlich ab auf cosαg = 099g was hier aber erwuumlnscht ist Auf der

Tischkante wird v0 = 2600 ms erreicht

Bei der kubischen Parabel wird fuumlr den Endradius vor dem Schanzentisch 014v02 =

9464 m eingesetzt Der gerade Teil ist noch 2169 m lang und die Geschwindigkeit an

deren Ende betraumlgt 1524 ms Auf dem 7227 m langen Teil der Uumlbergangskurve

nimmt die Geschwindigkeit auf den vorgegebene Wert von 26 ms zu und der Druck

steigt allmaumlhlich auf 172g Dieser Druck ist um 5 houmlher als beim Kreisprofil was

am Ende der Uumlbergangskurve aber ohne Belang ist

11

Abb 3 Normalbeschleunigung auf die Spur Vergleich Kreiskubische Parabel

Aus dieser Betrachtung folgt dass bei einer Reduktion des Endradiuskoeffizienten r1

von 016 auf 014 der Druck nur um 5 houmlher ausfaumlllt was nicht relevant ist Demge-

genuumlber ist der Umstand dass beim Einbau einer kubischen Parabel am Anfang der

Uumlbergangskurve der schlagartige Anstieg des Druckes entfaumlllt und der Enddruck erst

allmaumlhlich erreicht wird eine grosse Komfortverbesserung

Abschliessend soll die Auswirkung der Wahl der kubischen Parabel gegenuumlber der

bisherigen Wahl eines Kreises auf die Geometrie des Anlaufes insbesondere auf die

Anlauflaumlnge dargestellt werden (Abbildung 4) Dazu sollen Ausgangswerte ange-

nommen werden wie sie bei Grossschanzen haumlufig sind

α = 11deg γ = 35 deg t = 65 m v0 = 26 ms = 3deg kw = 00011

Fall 1 r1 = 014v02

= 9464m

Kreis Anlauflaumlnge 8895 m Startpunkt [-8300 4490]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9134 m Startpunkt [-8565 4510]

Fall 2 r1 = 016v02 = 10816

Kreis Anlauflaumlnge 9121 m Startpunkt [-8539 4515]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9391 m Startpunkt [-8840 4537]

12

In Abbildung 4 sind die obigen Ergebnisse dargestellt Sie zeigt die Unterschiede zwi-

schen Kreis und kubischer Parabel Die Anlauflaumlnge ist bei ein und demselben gewaumlhl-

ten Radius bei der kubischen Parabel ca 250 m laumlnger als beim Kreis Interessant ist

die Feststellung dass der Startpunkt beim Kreis mit dem jetzt gebraumluchlichen Koeffi-

zienten 016 fuumlr r1 und jener bei der kubischen Parabel auf wenig Zentimeter gleich ist

wenn bei letzterer der Koeffizient 014 verwendet wird Damit ist aufgezeigt dass die

oben begruumlndete Moumlglichkeit der Radiusverkleinerung zu gleich langen Anlaumlufen und

gleicher Lage fuumlhrt wie bisher bei der Verwendung eines Kreisbogens

Es wird daher bei Verwendung einer kubischen Parabel als Uumlbergangskurve festgelegt

dass der Radius bei Erreichen des Schanzentisches mindestens

r1 = 014v02

erreichen muss houmlchstens aber

r1 = 016v02

erreichen darf Dies deshalb damit ein ausreichender Entlastungseffekt durch den

ploumltzlichen Wegfall der Zentrifugalkraft auf dem Schanzentisch erhalten bleibt

Eine weitere wichtige Feststellung Wenn bei einem bestehenden Anlauf mit

Kreisbogen sein Radius r1 = 016v02 betraumlgt kann ohne Veraumlnderung des gera-

den Anlaufteils mit kleinem Aufwand nachtraumlglich die Kreisform in eine kubisch

Parabel umgebaut werden

Abb 4 Vergleich Kreiskubische Parabel Einfluss des Kruumlmmungsradius r1

13

3 Der Flug

Die Koordinaten eines Punktes der Flugbahn sowie deren Neigung an dieser Stelle

erhaumllt man aus der Integration des Differentialgleichungssystems das den Flug be-

schreibt

Es sind dies die vier nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

mit den Anfangsbedingungen

x(o) = 0

z(0) = 0

v(0) = (v02 + v

2)^05

φ(0) = α ndash δ

Dabei ist v die aktuelle Fluggeschwindigkeit der Neigungswinkel der Flugbahn im

Uhrzeigersinn gemessen und der Winkel um den der Absprungwinkel (Neigung der

Flugbahn bei x = 0) durch den Absprungeffekt gegenuumlber der Tischneigung angehoben

wird

δ = arctg(vv0)

v ist die Geschwindigkeit senkrecht zur Tischebene die der Schwerpunkt des Koumlrper-

Ski-Systems im Augenblick des Abhebens erreicht Auswertungen von weitesten

Spruumlngen haben fuumlr v 22 ms ergeben Dieser Wert ist bei der Berechnung der Dia-

gramme Abbildung 4 bis 11 in den bdquoSkisprungschanzen Bau-Normen 2008ldquo fuumlr alle

Tischneigungen eingesetzt worden

An dieser Stelle ist noch auf eine immer wieder hartnaumlckig vertretene Meinung hinzu-

weisen die dahin geht dass der Springer bei geeigneter Absprungtechnik die Ab-

sprunggeschwindigkeitskomponente parallel zur Tischebene vergroumlssern koumlnne Das

ist natuumlrlich Unsinn und gehoumlrt in die gleiche Kategorie wie das noch bdquozu erfindende

Perpetuum Mobileldquo

Die Luftwiderstands- und Auftriebskoeffizienten kw bzw ka sind abhaumlngig vom An-

stroumlmwinkel der Luft und von der Haltung des Springers Sie sind somit zeitlich ver-

aumlnderlich Aus der Vermessung der Flugbahnen 2006 in Engelberg hat das Biomecha-

nische Institut der ETHZ fuumlr die weltbesten Springer folgende Werte in Funktion der

Bahnneigung ermittelt

14

Luftkraftbeiwerte Engelberg 2006

Rang 1 - 5 Rang 6 - 15 Rang 16 - 25

φdeg kW kA kW kA kW kA

0 000185 000093 000232 000116 000261 000130

2 000204 000139 000245 000180 000271 000177

4 000223 000185 000258 000244 000282 000224

6 000243 000231 000272 000308 000293 000270

8 000261 000275 000285 000365 000304 000316

10 000281 000316 000298 000396 000315 000350

12 000301 000354 000311 000424 000326 000382

14 000319 000390 000325 000450 000337 000411

16 000338 000424 000337 000472 000347 000436

18 000355 000455 000350 000492 000357 000459

20 000372 000484 000362 000508 000367 000479

22 000388 000511 000374 000522 000376 000496

24 000403 000534 000386 000534 000386 000510

26 000418 000555 000398 000543 000396 000521

28 000432 000574 000410 000550 000407 000531

30 000447 000591 000422 000555 000419 000538

32 000462 000605 000436 000560 000432 000545

34 000479 000617 000453 000565 000449 000551

36 000502 000628 000474 000571 000471 000558

38 000537 000638 000504 000582 000503 000569

40 000614 000655 000553 000606 000555 000590

42 000691 000672 000602 000629 000606 000611

44 000767 000689 000651 000652 000658 000632

Tab 2 Luftkraftbeiwerte mit der Dimension m-1

Damit kann durch Integration der Differentialgleichungen die einer bestimmten Tisch-

neigung und einer bestimmten Absprunggeschwindigkeit v0 zugehoumlrige Flugbahn

berechnet werden Als Landepunkt K wird vereinfachend der Schnittpunkt der Flug-

bahn mit dem Terrainprofil definiert so wie auch der Anfang der Flugbahn auf den

Ursprung 00] gelegt wird

Der Winkel mit dem sich die Flugbahn mit der Landepiste schneidet ist massgebend

fuumlr den Landestoss den der Springer erfaumlhrt Mit dem Begriff der aumlquivalenten Lande-

houmlhe kann dieser Vorgang anschaulich beschrieben werden Welche Houmlhe soll dem

Springer zugemutet werden aus der er vergleichsweise auf eine Horizontalebenen fal-

len und dabei den Stoss sicher auffangen soll Aus langjaumlhriger Erfahrung weiss man

dass 090 m fuumlr gute Springer ein gutes Mass ist Fuumlr schwaumlchere Springer soll auf

070 m reduziert werden

Der erste Wert wird fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis

115deg) der zweite fuumlr kleine und mittlere Schanzen (Tischneigungen von 8deg bis 95deg)

eingesetzt Sie ergeben Geschwindigkeiten von 42 ms bzw 37 ms und sind gleich-

15

zusetzen mit der Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprungprofil

in K Wenn die Flugbahn im Landepunkt die Neigung φK hat muss das Aufsprungpro-

fil die Neigung

fuumlr α von 10deg bis 115deg β = φK ndash arcsin(42vK ((5)

und fuumlr α von 8deg bis 95deg β = φK ndash arcsin(37vK((6)

haben wobei vKnaL red gartebtulosbA red degeschwindigkeit bedeutet

Fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis 115deg) sind die k-Werte

der Spitzenspringer (Kolonne 1 und 2 Tab 2) und fuumlr kleine und mittlere Schanzen

(Tischneigungen von 8deg bis 95deg) sind die k-Werte fuumlr schwaumlchere Springer (Kolonne

5 und 6 Tab 2) eingesetzt worden

Auf diesen Grundlagen sind die Diagramme fuumlr die Tischneigungen 8deg bis 115deg der

Sprungschanzen-Baunormen 2008 berechnet worden Die Eingrenzungen der zulaumlssi-

gen Bereich der Wertepaare w und hn hat der Ausschuss des Subkomitees auf Grund

von Erfahrungen festgelegt

4 Das Aufsprungprofil

Das Aufsprungprofil vom Schanzentisch bis zum Punkt K soll fuumlr alle Sprungweiten

gute Landebedingungen ermoumlglichen Dazu soll es bei weiten Spruumlngen die Houmlhe der

Flugbahn uumlber Terrain moumlglichst klein halten Das 1992 eingefuumlhrte und 1996 verfei-

nerte Aufsprungprofil in der Form einer kubischen Parabel hat sich bewaumlhrt Fuumlr die

Optimierung der freien Parameter β0 und δβ ist die Kurvenschar aller in Engelberg

vermessenen Fluumlge zu Rate gezogen worden Die Herleitung der Formeln die in den

Bau-Normen das Aufsprungprofil beschreiben ist reine analytische Geometrie und

bedarf keiner weiter gehenden Erklaumlrung

Fuumlr die Berechnung des Endes L des Landebereiches wurden folgende Annahmen ge-

troffen

Bei Skisprungwettkaumlmpfen wird der Punkt K bekanntlich von einzelnen wenigen

Springern uumlbersprungen Aus einer groumlsseren Anzahl Resultatlisten wurden die Uumlber-

weiten w = wKrsquo ndash wK bestimmt wobei wKrsquo die groumlsste erreichte Weite eines Wett-

kampfes ist

16

Abb 5 Groumlsste Weite bei Krsquo die bei einem Wettkampf erreicht wurde

In Abbildung 5 ist die bei dieser Auswertung zu beachtende damals geltende Geo-

metrie mit dem Kreisbogen r2 dargestellt Aus w und dem zur betreffenden Schanze

gehoumlrenden r2 β und der Flugbahnneigung φK bei der Landung ergibt sich fuumlr die Ver-

schiebung der Flugbahn

D = r2[cos(φK ndash β) ndash cos(φK ndash βKrsquo)] wobei βKrsquo = β ndash Δwr2180π ist

Es hat sich gezeigt dass der Grenzwert fuumlr D etwa bei 0018w liegt Fuumlr diese moumlgli-

chen Groumlsstweiten bei L soll eine aumlquivalente Landehoumlhe von 160 m eingeplant wer-

den Messungen anlaumlsslich der Skiflug-WM 1976 in Oberstdorf haben gezeigt dass

die damit verbundene Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprung-

profil v von 56 ms noch gestanden werden kann Bei L soll somit die Neigung der

Landepiste

βL = φL ndash arcsin(56vL ((7)

betragen

Der Landebereich von K bis L wird als Kreisabschnitt gestaltet Der Radius des Bo-

gens sei rL Fuumlr den Abstand l2 von K und L ergibt sich

l2 = (β ndash βL) rLπ180 = [(φK ndash arcsin(42vK ((ndash (φL ndash arcsin(56vLr [((Lπ180

fuumlr α von 10deg bis 115deg Fuumlr die kleineren α-Werte muumlsste der zweite Term im Klam-

merausdruck konsequenterweise arcsin(37vK gnugelrebUuml nehcielg red tiM netual (

mit der die Landekomponente v bei K fuumlr schwaumlchere Springer herabgesetzt wurde

soll dies auch bei L geschehen so dass der angeschriebene Ausdruck fuumlr l2 fuumlr alle α-

Werte gelten kann

Am Ende der Flugbahn besonders bei den grossen Schanzen ist man nicht mehr weit

von der stationaumlren Endgeschwindigkeit entfernt so dass die Aumlnderung von Betrag

und Richtung der Fluggeschwindigkeit in diesem kurzen Abschnitt im Rahmen der

17

hier gebotenen Genauigkeit vernachlaumlssigbar wird Im weiteren sind die Landewinkel

so klein dass ihr Sinus durch das Bogenmass ersetzt werden kann

Mit vLv asymp K dnu φL asymp φK vereinfachen sich die Gleichungen auf

βL = β ndash 14vK180π (8)

l2 = 14rLvK (9)

Abb 6 Landebereich K bis L

Aus Abbildung 6 erhaumllt man schliesslich

d = 0018w = l2tg(φK ndash β) + l222rL = 1442 rL vK

2 + 14

2 rLvK

22

oder rL = vK2w380 (10)

Die letzte Gleichung stellt die Verbindung zwischen dem bei groumlsseren Schanzen beo-

bachteten durchschnittlichen Mass d und dem Unterschied des zugelassenen v bei K

und L her rL muss aber auch gewaumlhrleisten dass beim Durchfahren der Landestrecke

die Zentrifugalbeschleunigung in Grenzen bleibt Sie soll 80 von g nicht uumlberstei-

gen Es ist somit auch

rL ge 0125 vK2

(10a)

einzuhalten Diese Dimensionierung wird somit bei Schanzen mit w le 48 m

massgebend rL soll auf den naumlchsten Zehnerwert aufgerundet werden

Mit βL und rL sind die Koordinaten von L gegeben

Die Landegeschwindigkeit vK erhaumllt man mit der Integration der Flugbahn Da die zu-

laumlssigen Felder fuumlr die Wertepaare [w hn] fuumlr die verschiedenen Tischneigungen α

einen relativ schmalen Streifen bilden gilt mit ausreichender Genauigkeit die lineare

Beziehung

vK = 068v0 + 1244 (11)

Wenn immer hier von bdquoausreichenderldquo Genauigkeit die Rede ist heisst das dass der

eingeraumlumte Fehler im Bereich weniger Prozente liegt in einem Toleranzbereich der

auch den biomechanischen Ausgangsgroumlssen wie aumlquivalente Landehoumlhe zugespro-

18

chen werden muss Allerdings muss festgehalten werden dass fuumlr die Anwendung sol-

cher Vereinfachung vorausgesetzt werden muss dass der Planer nicht von den Vorga-

ben abweicht

Bei den ganz kleinen Schanzen wird vK von der Naumlherungsformel gegenuumlber der

Wirklichkeit etwas zu gross berechnet Man liegt damit aber auf der sicheren Seite

5 Die Landung

Wer in L landet faumlhrt mit der groumlsstmoumlglichen Geschwindigkeit in den anschliessen-

den Uumlbergangsbogen Der Springer muss durch seine Muskelkraft die Normalkompo-

nente seiner Geschwindigkeit vL= 56 ms auf Null abbremsen Die kinetische Ener-

gie ist

m5622 = 1568m m = Masse Springer und Ski

Wenn er konstant die Kraft die seinem Gewicht samt Ski entspricht bei der Landung

einsetzten wuumlrde haumltte er die aumlquivalente Fallhoumlhe von 160 m zuruumlckzulegen Die

Zeit die er dazu benoumltigt ist t = 56981 = 0571 s Waumlhrend dieser Zeit ist der

Druck auf die Spur um sein Gewicht groumlsser so dass er eine um tgρmg erhoumlhte

Reibungskraft erfaumlhrt und dies uumlber eine Strecke von vLcos(φK ndash βL)0571 Diese

Reibungsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie die in der Geschwindig-

keitskomponente v parallel zum Hang liegt Die verbleibende Energie ist

frac12mv2 = frac12mvL

2cos

2(φK ndash βL) ndash tgρmgvLcos(φK ndash βL)0571 =

frac12mvLcos(φK ndash βL)[vL cos(φK ndash βL) ndash 2tgρ9810571]

Nach einiger Umformung erhaumllt man fuumlr die verbleibende Gleitgeschwindigkeit bei

einer Landung in L in erster Naumlherung

v = vK ndash 16vK ndash 01ρ (Reibungswinkel ρ in alt Grad) (12)

Der Kraft-Zeit-Verlauf ist in Wirklichkeit weder genau mg noch ist er konstant Wie

man leicht zeigen kann ist das Ergebnis aber nicht davon beeinflusst ausser dass sich

die Geschwindigkeit am Ende des Landungsprozesses fruumlher oder spaumlter einstellt Da

die Geschwindigkeitsabminderung aber sehr klein ist kann dieser Umstand vernach-

laumlssigt werden

Der Normaldruck auf das Profil soll analog zur Uumlbergangskurve im Anlauf auf 18g

beschraumlnkt werden dh

gcosβL + v2r2L le 18g asymp 18 (13)

Damit erhaumllt man fuumlr r2L die Eingrenzung

rL ge r2L ge v2(18 ndash 10cosβL) (14)

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

10

In den sbquoSprungschanzen Bau-Normen 2008rsquo sind die Anlauflaumlngen e in Funktion von γ

und v0 fuumlr α = 10deg Reibungswinkel ρ = 3deg und r1 = 014v02 graphisch dargestellt Die

Verkuumlrzung es des Anlaufs wenn ρ = 0deg ist kann mit der Naumlherung

es = evo(23 + γ6)

berechnet werden Fuumlr ein kleineres v0 auf unveraumlndertem Anlauf faumlllt e etwas zu kurz

aus weil ein verkleinerter Radius r1 einer bestimmten Anlauflaumlnge e eine groumlssere Houml-

hendifferenz zuordnet Diesen Fehler macht man wenn auf einem Anlauf dimensio-

niert fuumlr den Mittelklassespringer der Anlauf fuumlr den Spitzenklassespringer mit der

geringeren Absprunggeschwindigkeit bestimmen wird Die Durchrechnung ergibt

dass bei einer 20 m Schanze B um 140 m und bei einer 130 m Schanze B um 060 m

zu tief ausfaumlllt Der Fehler liegt auf der sicheren Seite

23 Festlegung der Anlaufspurkruumlmmung 1r1 im Punkt E2

Beim bisherigen Kreisbogen war der Radius r1 zwischen 014v02 und 016v0

2 zu

waumlhlen wobei in letzter Zeit vermehrt der obere Grenzwert gewaumlhlt wurde weil die

Springer gegenuumlber fruumlher mit verstaumlrkter Vorlage den Anlauf befahren

In Abbildung 3 ist die Druckentwicklung im Anlauf die ein Springer erfaumlhrt aufge-

zeigt und zwar fuumlr Kreis und kubische Parabel als Uumlbergangskurve Die Eingangsdaten

fuumlr die Berechnung sind fuumlr beide Uumlbergangskurven

α = 8deg γ = 37deg ρ = 3deg k = 00011 t = 65 m v0 = 26 ms

Fuumlr die Kreisform wird der heute uumlbliche Wert r1 = 016v02 = 10816 m gewaumlhlt Auf

dem geraden Teil von 4060 m Laumlnge wirkt allein die Komponente des Gewichtes des

Springers senkrecht zur Bahnneigung also cosγg = 080g Beim Uumlbergang in das

Kreisprofil hat der Springer die Geschwindigkeit 2064 ms erreicht Sie erzeugt zu-

saumltzlich zum Gewicht eine Zentrifugalkraft von 040g Der Druck nimmt also ploumltz-

lich vom 08-fachen Druck um 50 auf den 120-fachen Wert zu Auf der Kreisbahn

erfolgt eine weitere Zunahme auf 163g Beim Uumlbergang auf den Schanzentisch sinkt

der Druck ploumltzlich ab auf cosαg = 099g was hier aber erwuumlnscht ist Auf der

Tischkante wird v0 = 2600 ms erreicht

Bei der kubischen Parabel wird fuumlr den Endradius vor dem Schanzentisch 014v02 =

9464 m eingesetzt Der gerade Teil ist noch 2169 m lang und die Geschwindigkeit an

deren Ende betraumlgt 1524 ms Auf dem 7227 m langen Teil der Uumlbergangskurve

nimmt die Geschwindigkeit auf den vorgegebene Wert von 26 ms zu und der Druck

steigt allmaumlhlich auf 172g Dieser Druck ist um 5 houmlher als beim Kreisprofil was

am Ende der Uumlbergangskurve aber ohne Belang ist

11

Abb 3 Normalbeschleunigung auf die Spur Vergleich Kreiskubische Parabel

Aus dieser Betrachtung folgt dass bei einer Reduktion des Endradiuskoeffizienten r1

von 016 auf 014 der Druck nur um 5 houmlher ausfaumlllt was nicht relevant ist Demge-

genuumlber ist der Umstand dass beim Einbau einer kubischen Parabel am Anfang der

Uumlbergangskurve der schlagartige Anstieg des Druckes entfaumlllt und der Enddruck erst

allmaumlhlich erreicht wird eine grosse Komfortverbesserung

Abschliessend soll die Auswirkung der Wahl der kubischen Parabel gegenuumlber der

bisherigen Wahl eines Kreises auf die Geometrie des Anlaufes insbesondere auf die

Anlauflaumlnge dargestellt werden (Abbildung 4) Dazu sollen Ausgangswerte ange-

nommen werden wie sie bei Grossschanzen haumlufig sind

α = 11deg γ = 35 deg t = 65 m v0 = 26 ms = 3deg kw = 00011

Fall 1 r1 = 014v02

= 9464m

Kreis Anlauflaumlnge 8895 m Startpunkt [-8300 4490]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9134 m Startpunkt [-8565 4510]

Fall 2 r1 = 016v02 = 10816

Kreis Anlauflaumlnge 9121 m Startpunkt [-8539 4515]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9391 m Startpunkt [-8840 4537]

12

In Abbildung 4 sind die obigen Ergebnisse dargestellt Sie zeigt die Unterschiede zwi-

schen Kreis und kubischer Parabel Die Anlauflaumlnge ist bei ein und demselben gewaumlhl-

ten Radius bei der kubischen Parabel ca 250 m laumlnger als beim Kreis Interessant ist

die Feststellung dass der Startpunkt beim Kreis mit dem jetzt gebraumluchlichen Koeffi-

zienten 016 fuumlr r1 und jener bei der kubischen Parabel auf wenig Zentimeter gleich ist

wenn bei letzterer der Koeffizient 014 verwendet wird Damit ist aufgezeigt dass die

oben begruumlndete Moumlglichkeit der Radiusverkleinerung zu gleich langen Anlaumlufen und

gleicher Lage fuumlhrt wie bisher bei der Verwendung eines Kreisbogens

Es wird daher bei Verwendung einer kubischen Parabel als Uumlbergangskurve festgelegt

dass der Radius bei Erreichen des Schanzentisches mindestens

r1 = 014v02

erreichen muss houmlchstens aber

r1 = 016v02

erreichen darf Dies deshalb damit ein ausreichender Entlastungseffekt durch den

ploumltzlichen Wegfall der Zentrifugalkraft auf dem Schanzentisch erhalten bleibt

Eine weitere wichtige Feststellung Wenn bei einem bestehenden Anlauf mit

Kreisbogen sein Radius r1 = 016v02 betraumlgt kann ohne Veraumlnderung des gera-

den Anlaufteils mit kleinem Aufwand nachtraumlglich die Kreisform in eine kubisch

Parabel umgebaut werden

Abb 4 Vergleich Kreiskubische Parabel Einfluss des Kruumlmmungsradius r1

13

3 Der Flug

Die Koordinaten eines Punktes der Flugbahn sowie deren Neigung an dieser Stelle

erhaumllt man aus der Integration des Differentialgleichungssystems das den Flug be-

schreibt

Es sind dies die vier nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

mit den Anfangsbedingungen

x(o) = 0

z(0) = 0

v(0) = (v02 + v

2)^05

φ(0) = α ndash δ

Dabei ist v die aktuelle Fluggeschwindigkeit der Neigungswinkel der Flugbahn im

Uhrzeigersinn gemessen und der Winkel um den der Absprungwinkel (Neigung der

Flugbahn bei x = 0) durch den Absprungeffekt gegenuumlber der Tischneigung angehoben

wird

δ = arctg(vv0)

v ist die Geschwindigkeit senkrecht zur Tischebene die der Schwerpunkt des Koumlrper-

Ski-Systems im Augenblick des Abhebens erreicht Auswertungen von weitesten

Spruumlngen haben fuumlr v 22 ms ergeben Dieser Wert ist bei der Berechnung der Dia-

gramme Abbildung 4 bis 11 in den bdquoSkisprungschanzen Bau-Normen 2008ldquo fuumlr alle

Tischneigungen eingesetzt worden

An dieser Stelle ist noch auf eine immer wieder hartnaumlckig vertretene Meinung hinzu-

weisen die dahin geht dass der Springer bei geeigneter Absprungtechnik die Ab-

sprunggeschwindigkeitskomponente parallel zur Tischebene vergroumlssern koumlnne Das

ist natuumlrlich Unsinn und gehoumlrt in die gleiche Kategorie wie das noch bdquozu erfindende

Perpetuum Mobileldquo

Die Luftwiderstands- und Auftriebskoeffizienten kw bzw ka sind abhaumlngig vom An-

stroumlmwinkel der Luft und von der Haltung des Springers Sie sind somit zeitlich ver-

aumlnderlich Aus der Vermessung der Flugbahnen 2006 in Engelberg hat das Biomecha-

nische Institut der ETHZ fuumlr die weltbesten Springer folgende Werte in Funktion der

Bahnneigung ermittelt

14

Luftkraftbeiwerte Engelberg 2006

Rang 1 - 5 Rang 6 - 15 Rang 16 - 25

φdeg kW kA kW kA kW kA

0 000185 000093 000232 000116 000261 000130

2 000204 000139 000245 000180 000271 000177

4 000223 000185 000258 000244 000282 000224

6 000243 000231 000272 000308 000293 000270

8 000261 000275 000285 000365 000304 000316

10 000281 000316 000298 000396 000315 000350

12 000301 000354 000311 000424 000326 000382

14 000319 000390 000325 000450 000337 000411

16 000338 000424 000337 000472 000347 000436

18 000355 000455 000350 000492 000357 000459

20 000372 000484 000362 000508 000367 000479

22 000388 000511 000374 000522 000376 000496

24 000403 000534 000386 000534 000386 000510

26 000418 000555 000398 000543 000396 000521

28 000432 000574 000410 000550 000407 000531

30 000447 000591 000422 000555 000419 000538

32 000462 000605 000436 000560 000432 000545

34 000479 000617 000453 000565 000449 000551

36 000502 000628 000474 000571 000471 000558

38 000537 000638 000504 000582 000503 000569

40 000614 000655 000553 000606 000555 000590

42 000691 000672 000602 000629 000606 000611

44 000767 000689 000651 000652 000658 000632

Tab 2 Luftkraftbeiwerte mit der Dimension m-1

Damit kann durch Integration der Differentialgleichungen die einer bestimmten Tisch-

neigung und einer bestimmten Absprunggeschwindigkeit v0 zugehoumlrige Flugbahn

berechnet werden Als Landepunkt K wird vereinfachend der Schnittpunkt der Flug-

bahn mit dem Terrainprofil definiert so wie auch der Anfang der Flugbahn auf den

Ursprung 00] gelegt wird

Der Winkel mit dem sich die Flugbahn mit der Landepiste schneidet ist massgebend

fuumlr den Landestoss den der Springer erfaumlhrt Mit dem Begriff der aumlquivalenten Lande-

houmlhe kann dieser Vorgang anschaulich beschrieben werden Welche Houmlhe soll dem

Springer zugemutet werden aus der er vergleichsweise auf eine Horizontalebenen fal-

len und dabei den Stoss sicher auffangen soll Aus langjaumlhriger Erfahrung weiss man

dass 090 m fuumlr gute Springer ein gutes Mass ist Fuumlr schwaumlchere Springer soll auf

070 m reduziert werden

Der erste Wert wird fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis

115deg) der zweite fuumlr kleine und mittlere Schanzen (Tischneigungen von 8deg bis 95deg)

eingesetzt Sie ergeben Geschwindigkeiten von 42 ms bzw 37 ms und sind gleich-

15

zusetzen mit der Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprungprofil

in K Wenn die Flugbahn im Landepunkt die Neigung φK hat muss das Aufsprungpro-

fil die Neigung

fuumlr α von 10deg bis 115deg β = φK ndash arcsin(42vK ((5)

und fuumlr α von 8deg bis 95deg β = φK ndash arcsin(37vK((6)

haben wobei vKnaL red gartebtulosbA red degeschwindigkeit bedeutet

Fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis 115deg) sind die k-Werte

der Spitzenspringer (Kolonne 1 und 2 Tab 2) und fuumlr kleine und mittlere Schanzen

(Tischneigungen von 8deg bis 95deg) sind die k-Werte fuumlr schwaumlchere Springer (Kolonne

5 und 6 Tab 2) eingesetzt worden

Auf diesen Grundlagen sind die Diagramme fuumlr die Tischneigungen 8deg bis 115deg der

Sprungschanzen-Baunormen 2008 berechnet worden Die Eingrenzungen der zulaumlssi-

gen Bereich der Wertepaare w und hn hat der Ausschuss des Subkomitees auf Grund

von Erfahrungen festgelegt

4 Das Aufsprungprofil

Das Aufsprungprofil vom Schanzentisch bis zum Punkt K soll fuumlr alle Sprungweiten

gute Landebedingungen ermoumlglichen Dazu soll es bei weiten Spruumlngen die Houmlhe der

Flugbahn uumlber Terrain moumlglichst klein halten Das 1992 eingefuumlhrte und 1996 verfei-

nerte Aufsprungprofil in der Form einer kubischen Parabel hat sich bewaumlhrt Fuumlr die

Optimierung der freien Parameter β0 und δβ ist die Kurvenschar aller in Engelberg

vermessenen Fluumlge zu Rate gezogen worden Die Herleitung der Formeln die in den

Bau-Normen das Aufsprungprofil beschreiben ist reine analytische Geometrie und

bedarf keiner weiter gehenden Erklaumlrung

Fuumlr die Berechnung des Endes L des Landebereiches wurden folgende Annahmen ge-

troffen

Bei Skisprungwettkaumlmpfen wird der Punkt K bekanntlich von einzelnen wenigen

Springern uumlbersprungen Aus einer groumlsseren Anzahl Resultatlisten wurden die Uumlber-

weiten w = wKrsquo ndash wK bestimmt wobei wKrsquo die groumlsste erreichte Weite eines Wett-

kampfes ist

16

Abb 5 Groumlsste Weite bei Krsquo die bei einem Wettkampf erreicht wurde

In Abbildung 5 ist die bei dieser Auswertung zu beachtende damals geltende Geo-

metrie mit dem Kreisbogen r2 dargestellt Aus w und dem zur betreffenden Schanze

gehoumlrenden r2 β und der Flugbahnneigung φK bei der Landung ergibt sich fuumlr die Ver-

schiebung der Flugbahn

D = r2[cos(φK ndash β) ndash cos(φK ndash βKrsquo)] wobei βKrsquo = β ndash Δwr2180π ist

Es hat sich gezeigt dass der Grenzwert fuumlr D etwa bei 0018w liegt Fuumlr diese moumlgli-

chen Groumlsstweiten bei L soll eine aumlquivalente Landehoumlhe von 160 m eingeplant wer-

den Messungen anlaumlsslich der Skiflug-WM 1976 in Oberstdorf haben gezeigt dass

die damit verbundene Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprung-

profil v von 56 ms noch gestanden werden kann Bei L soll somit die Neigung der

Landepiste

βL = φL ndash arcsin(56vL ((7)

betragen

Der Landebereich von K bis L wird als Kreisabschnitt gestaltet Der Radius des Bo-

gens sei rL Fuumlr den Abstand l2 von K und L ergibt sich

l2 = (β ndash βL) rLπ180 = [(φK ndash arcsin(42vK ((ndash (φL ndash arcsin(56vLr [((Lπ180

fuumlr α von 10deg bis 115deg Fuumlr die kleineren α-Werte muumlsste der zweite Term im Klam-

merausdruck konsequenterweise arcsin(37vK gnugelrebUuml nehcielg red tiM netual (

mit der die Landekomponente v bei K fuumlr schwaumlchere Springer herabgesetzt wurde

soll dies auch bei L geschehen so dass der angeschriebene Ausdruck fuumlr l2 fuumlr alle α-

Werte gelten kann

Am Ende der Flugbahn besonders bei den grossen Schanzen ist man nicht mehr weit

von der stationaumlren Endgeschwindigkeit entfernt so dass die Aumlnderung von Betrag

und Richtung der Fluggeschwindigkeit in diesem kurzen Abschnitt im Rahmen der

17

hier gebotenen Genauigkeit vernachlaumlssigbar wird Im weiteren sind die Landewinkel

so klein dass ihr Sinus durch das Bogenmass ersetzt werden kann

Mit vLv asymp K dnu φL asymp φK vereinfachen sich die Gleichungen auf

βL = β ndash 14vK180π (8)

l2 = 14rLvK (9)

Abb 6 Landebereich K bis L

Aus Abbildung 6 erhaumllt man schliesslich

d = 0018w = l2tg(φK ndash β) + l222rL = 1442 rL vK

2 + 14

2 rLvK

22

oder rL = vK2w380 (10)

Die letzte Gleichung stellt die Verbindung zwischen dem bei groumlsseren Schanzen beo-

bachteten durchschnittlichen Mass d und dem Unterschied des zugelassenen v bei K

und L her rL muss aber auch gewaumlhrleisten dass beim Durchfahren der Landestrecke

die Zentrifugalbeschleunigung in Grenzen bleibt Sie soll 80 von g nicht uumlberstei-

gen Es ist somit auch

rL ge 0125 vK2

(10a)

einzuhalten Diese Dimensionierung wird somit bei Schanzen mit w le 48 m

massgebend rL soll auf den naumlchsten Zehnerwert aufgerundet werden

Mit βL und rL sind die Koordinaten von L gegeben

Die Landegeschwindigkeit vK erhaumllt man mit der Integration der Flugbahn Da die zu-

laumlssigen Felder fuumlr die Wertepaare [w hn] fuumlr die verschiedenen Tischneigungen α

einen relativ schmalen Streifen bilden gilt mit ausreichender Genauigkeit die lineare

Beziehung

vK = 068v0 + 1244 (11)

Wenn immer hier von bdquoausreichenderldquo Genauigkeit die Rede ist heisst das dass der

eingeraumlumte Fehler im Bereich weniger Prozente liegt in einem Toleranzbereich der

auch den biomechanischen Ausgangsgroumlssen wie aumlquivalente Landehoumlhe zugespro-

18

chen werden muss Allerdings muss festgehalten werden dass fuumlr die Anwendung sol-

cher Vereinfachung vorausgesetzt werden muss dass der Planer nicht von den Vorga-

ben abweicht

Bei den ganz kleinen Schanzen wird vK von der Naumlherungsformel gegenuumlber der

Wirklichkeit etwas zu gross berechnet Man liegt damit aber auf der sicheren Seite

5 Die Landung

Wer in L landet faumlhrt mit der groumlsstmoumlglichen Geschwindigkeit in den anschliessen-

den Uumlbergangsbogen Der Springer muss durch seine Muskelkraft die Normalkompo-

nente seiner Geschwindigkeit vL= 56 ms auf Null abbremsen Die kinetische Ener-

gie ist

m5622 = 1568m m = Masse Springer und Ski

Wenn er konstant die Kraft die seinem Gewicht samt Ski entspricht bei der Landung

einsetzten wuumlrde haumltte er die aumlquivalente Fallhoumlhe von 160 m zuruumlckzulegen Die

Zeit die er dazu benoumltigt ist t = 56981 = 0571 s Waumlhrend dieser Zeit ist der

Druck auf die Spur um sein Gewicht groumlsser so dass er eine um tgρmg erhoumlhte

Reibungskraft erfaumlhrt und dies uumlber eine Strecke von vLcos(φK ndash βL)0571 Diese

Reibungsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie die in der Geschwindig-

keitskomponente v parallel zum Hang liegt Die verbleibende Energie ist

frac12mv2 = frac12mvL

2cos

2(φK ndash βL) ndash tgρmgvLcos(φK ndash βL)0571 =

frac12mvLcos(φK ndash βL)[vL cos(φK ndash βL) ndash 2tgρ9810571]

Nach einiger Umformung erhaumllt man fuumlr die verbleibende Gleitgeschwindigkeit bei

einer Landung in L in erster Naumlherung

v = vK ndash 16vK ndash 01ρ (Reibungswinkel ρ in alt Grad) (12)

Der Kraft-Zeit-Verlauf ist in Wirklichkeit weder genau mg noch ist er konstant Wie

man leicht zeigen kann ist das Ergebnis aber nicht davon beeinflusst ausser dass sich

die Geschwindigkeit am Ende des Landungsprozesses fruumlher oder spaumlter einstellt Da

die Geschwindigkeitsabminderung aber sehr klein ist kann dieser Umstand vernach-

laumlssigt werden

Der Normaldruck auf das Profil soll analog zur Uumlbergangskurve im Anlauf auf 18g

beschraumlnkt werden dh

gcosβL + v2r2L le 18g asymp 18 (13)

Damit erhaumllt man fuumlr r2L die Eingrenzung

rL ge r2L ge v2(18 ndash 10cosβL) (14)

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

11

Abb 3 Normalbeschleunigung auf die Spur Vergleich Kreiskubische Parabel

Aus dieser Betrachtung folgt dass bei einer Reduktion des Endradiuskoeffizienten r1

von 016 auf 014 der Druck nur um 5 houmlher ausfaumlllt was nicht relevant ist Demge-

genuumlber ist der Umstand dass beim Einbau einer kubischen Parabel am Anfang der

Uumlbergangskurve der schlagartige Anstieg des Druckes entfaumlllt und der Enddruck erst

allmaumlhlich erreicht wird eine grosse Komfortverbesserung

Abschliessend soll die Auswirkung der Wahl der kubischen Parabel gegenuumlber der

bisherigen Wahl eines Kreises auf die Geometrie des Anlaufes insbesondere auf die

Anlauflaumlnge dargestellt werden (Abbildung 4) Dazu sollen Ausgangswerte ange-

nommen werden wie sie bei Grossschanzen haumlufig sind

α = 11deg γ = 35 deg t = 65 m v0 = 26 ms = 3deg kw = 00011

Fall 1 r1 = 014v02

= 9464m

Kreis Anlauflaumlnge 8895 m Startpunkt [-8300 4490]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9134 m Startpunkt [-8565 4510]

Fall 2 r1 = 016v02 = 10816

Kreis Anlauflaumlnge 9121 m Startpunkt [-8539 4515]

Kub Parabel Anlauflaumlnge 9391 m Startpunkt [-8840 4537]

12

In Abbildung 4 sind die obigen Ergebnisse dargestellt Sie zeigt die Unterschiede zwi-

schen Kreis und kubischer Parabel Die Anlauflaumlnge ist bei ein und demselben gewaumlhl-

ten Radius bei der kubischen Parabel ca 250 m laumlnger als beim Kreis Interessant ist

die Feststellung dass der Startpunkt beim Kreis mit dem jetzt gebraumluchlichen Koeffi-

zienten 016 fuumlr r1 und jener bei der kubischen Parabel auf wenig Zentimeter gleich ist

wenn bei letzterer der Koeffizient 014 verwendet wird Damit ist aufgezeigt dass die

oben begruumlndete Moumlglichkeit der Radiusverkleinerung zu gleich langen Anlaumlufen und

gleicher Lage fuumlhrt wie bisher bei der Verwendung eines Kreisbogens

Es wird daher bei Verwendung einer kubischen Parabel als Uumlbergangskurve festgelegt

dass der Radius bei Erreichen des Schanzentisches mindestens

r1 = 014v02

erreichen muss houmlchstens aber

r1 = 016v02

erreichen darf Dies deshalb damit ein ausreichender Entlastungseffekt durch den

ploumltzlichen Wegfall der Zentrifugalkraft auf dem Schanzentisch erhalten bleibt

Eine weitere wichtige Feststellung Wenn bei einem bestehenden Anlauf mit

Kreisbogen sein Radius r1 = 016v02 betraumlgt kann ohne Veraumlnderung des gera-

den Anlaufteils mit kleinem Aufwand nachtraumlglich die Kreisform in eine kubisch

Parabel umgebaut werden

Abb 4 Vergleich Kreiskubische Parabel Einfluss des Kruumlmmungsradius r1

13

3 Der Flug

Die Koordinaten eines Punktes der Flugbahn sowie deren Neigung an dieser Stelle

erhaumllt man aus der Integration des Differentialgleichungssystems das den Flug be-

schreibt

Es sind dies die vier nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

mit den Anfangsbedingungen

x(o) = 0

z(0) = 0

v(0) = (v02 + v

2)^05

φ(0) = α ndash δ

Dabei ist v die aktuelle Fluggeschwindigkeit der Neigungswinkel der Flugbahn im

Uhrzeigersinn gemessen und der Winkel um den der Absprungwinkel (Neigung der

Flugbahn bei x = 0) durch den Absprungeffekt gegenuumlber der Tischneigung angehoben

wird

δ = arctg(vv0)

v ist die Geschwindigkeit senkrecht zur Tischebene die der Schwerpunkt des Koumlrper-

Ski-Systems im Augenblick des Abhebens erreicht Auswertungen von weitesten

Spruumlngen haben fuumlr v 22 ms ergeben Dieser Wert ist bei der Berechnung der Dia-

gramme Abbildung 4 bis 11 in den bdquoSkisprungschanzen Bau-Normen 2008ldquo fuumlr alle

Tischneigungen eingesetzt worden

An dieser Stelle ist noch auf eine immer wieder hartnaumlckig vertretene Meinung hinzu-

weisen die dahin geht dass der Springer bei geeigneter Absprungtechnik die Ab-

sprunggeschwindigkeitskomponente parallel zur Tischebene vergroumlssern koumlnne Das

ist natuumlrlich Unsinn und gehoumlrt in die gleiche Kategorie wie das noch bdquozu erfindende

Perpetuum Mobileldquo

Die Luftwiderstands- und Auftriebskoeffizienten kw bzw ka sind abhaumlngig vom An-

stroumlmwinkel der Luft und von der Haltung des Springers Sie sind somit zeitlich ver-

aumlnderlich Aus der Vermessung der Flugbahnen 2006 in Engelberg hat das Biomecha-

nische Institut der ETHZ fuumlr die weltbesten Springer folgende Werte in Funktion der

Bahnneigung ermittelt

14

Luftkraftbeiwerte Engelberg 2006

Rang 1 - 5 Rang 6 - 15 Rang 16 - 25

φdeg kW kA kW kA kW kA

0 000185 000093 000232 000116 000261 000130

2 000204 000139 000245 000180 000271 000177

4 000223 000185 000258 000244 000282 000224

6 000243 000231 000272 000308 000293 000270

8 000261 000275 000285 000365 000304 000316

10 000281 000316 000298 000396 000315 000350

12 000301 000354 000311 000424 000326 000382

14 000319 000390 000325 000450 000337 000411

16 000338 000424 000337 000472 000347 000436

18 000355 000455 000350 000492 000357 000459

20 000372 000484 000362 000508 000367 000479

22 000388 000511 000374 000522 000376 000496

24 000403 000534 000386 000534 000386 000510

26 000418 000555 000398 000543 000396 000521

28 000432 000574 000410 000550 000407 000531

30 000447 000591 000422 000555 000419 000538

32 000462 000605 000436 000560 000432 000545

34 000479 000617 000453 000565 000449 000551

36 000502 000628 000474 000571 000471 000558

38 000537 000638 000504 000582 000503 000569

40 000614 000655 000553 000606 000555 000590

42 000691 000672 000602 000629 000606 000611

44 000767 000689 000651 000652 000658 000632

Tab 2 Luftkraftbeiwerte mit der Dimension m-1

Damit kann durch Integration der Differentialgleichungen die einer bestimmten Tisch-

neigung und einer bestimmten Absprunggeschwindigkeit v0 zugehoumlrige Flugbahn

berechnet werden Als Landepunkt K wird vereinfachend der Schnittpunkt der Flug-

bahn mit dem Terrainprofil definiert so wie auch der Anfang der Flugbahn auf den

Ursprung 00] gelegt wird

Der Winkel mit dem sich die Flugbahn mit der Landepiste schneidet ist massgebend

fuumlr den Landestoss den der Springer erfaumlhrt Mit dem Begriff der aumlquivalenten Lande-

houmlhe kann dieser Vorgang anschaulich beschrieben werden Welche Houmlhe soll dem

Springer zugemutet werden aus der er vergleichsweise auf eine Horizontalebenen fal-

len und dabei den Stoss sicher auffangen soll Aus langjaumlhriger Erfahrung weiss man

dass 090 m fuumlr gute Springer ein gutes Mass ist Fuumlr schwaumlchere Springer soll auf

070 m reduziert werden

Der erste Wert wird fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis

115deg) der zweite fuumlr kleine und mittlere Schanzen (Tischneigungen von 8deg bis 95deg)

eingesetzt Sie ergeben Geschwindigkeiten von 42 ms bzw 37 ms und sind gleich-

15

zusetzen mit der Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprungprofil

in K Wenn die Flugbahn im Landepunkt die Neigung φK hat muss das Aufsprungpro-

fil die Neigung

fuumlr α von 10deg bis 115deg β = φK ndash arcsin(42vK ((5)

und fuumlr α von 8deg bis 95deg β = φK ndash arcsin(37vK((6)

haben wobei vKnaL red gartebtulosbA red degeschwindigkeit bedeutet

Fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis 115deg) sind die k-Werte

der Spitzenspringer (Kolonne 1 und 2 Tab 2) und fuumlr kleine und mittlere Schanzen

(Tischneigungen von 8deg bis 95deg) sind die k-Werte fuumlr schwaumlchere Springer (Kolonne

5 und 6 Tab 2) eingesetzt worden

Auf diesen Grundlagen sind die Diagramme fuumlr die Tischneigungen 8deg bis 115deg der

Sprungschanzen-Baunormen 2008 berechnet worden Die Eingrenzungen der zulaumlssi-

gen Bereich der Wertepaare w und hn hat der Ausschuss des Subkomitees auf Grund

von Erfahrungen festgelegt

4 Das Aufsprungprofil

Das Aufsprungprofil vom Schanzentisch bis zum Punkt K soll fuumlr alle Sprungweiten

gute Landebedingungen ermoumlglichen Dazu soll es bei weiten Spruumlngen die Houmlhe der

Flugbahn uumlber Terrain moumlglichst klein halten Das 1992 eingefuumlhrte und 1996 verfei-

nerte Aufsprungprofil in der Form einer kubischen Parabel hat sich bewaumlhrt Fuumlr die

Optimierung der freien Parameter β0 und δβ ist die Kurvenschar aller in Engelberg

vermessenen Fluumlge zu Rate gezogen worden Die Herleitung der Formeln die in den

Bau-Normen das Aufsprungprofil beschreiben ist reine analytische Geometrie und

bedarf keiner weiter gehenden Erklaumlrung

Fuumlr die Berechnung des Endes L des Landebereiches wurden folgende Annahmen ge-

troffen

Bei Skisprungwettkaumlmpfen wird der Punkt K bekanntlich von einzelnen wenigen

Springern uumlbersprungen Aus einer groumlsseren Anzahl Resultatlisten wurden die Uumlber-

weiten w = wKrsquo ndash wK bestimmt wobei wKrsquo die groumlsste erreichte Weite eines Wett-

kampfes ist

16

Abb 5 Groumlsste Weite bei Krsquo die bei einem Wettkampf erreicht wurde

In Abbildung 5 ist die bei dieser Auswertung zu beachtende damals geltende Geo-

metrie mit dem Kreisbogen r2 dargestellt Aus w und dem zur betreffenden Schanze

gehoumlrenden r2 β und der Flugbahnneigung φK bei der Landung ergibt sich fuumlr die Ver-

schiebung der Flugbahn

D = r2[cos(φK ndash β) ndash cos(φK ndash βKrsquo)] wobei βKrsquo = β ndash Δwr2180π ist

Es hat sich gezeigt dass der Grenzwert fuumlr D etwa bei 0018w liegt Fuumlr diese moumlgli-

chen Groumlsstweiten bei L soll eine aumlquivalente Landehoumlhe von 160 m eingeplant wer-

den Messungen anlaumlsslich der Skiflug-WM 1976 in Oberstdorf haben gezeigt dass

die damit verbundene Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprung-

profil v von 56 ms noch gestanden werden kann Bei L soll somit die Neigung der

Landepiste

βL = φL ndash arcsin(56vL ((7)

betragen

Der Landebereich von K bis L wird als Kreisabschnitt gestaltet Der Radius des Bo-

gens sei rL Fuumlr den Abstand l2 von K und L ergibt sich

l2 = (β ndash βL) rLπ180 = [(φK ndash arcsin(42vK ((ndash (φL ndash arcsin(56vLr [((Lπ180

fuumlr α von 10deg bis 115deg Fuumlr die kleineren α-Werte muumlsste der zweite Term im Klam-

merausdruck konsequenterweise arcsin(37vK gnugelrebUuml nehcielg red tiM netual (

mit der die Landekomponente v bei K fuumlr schwaumlchere Springer herabgesetzt wurde

soll dies auch bei L geschehen so dass der angeschriebene Ausdruck fuumlr l2 fuumlr alle α-

Werte gelten kann

Am Ende der Flugbahn besonders bei den grossen Schanzen ist man nicht mehr weit

von der stationaumlren Endgeschwindigkeit entfernt so dass die Aumlnderung von Betrag

und Richtung der Fluggeschwindigkeit in diesem kurzen Abschnitt im Rahmen der

17

hier gebotenen Genauigkeit vernachlaumlssigbar wird Im weiteren sind die Landewinkel

so klein dass ihr Sinus durch das Bogenmass ersetzt werden kann

Mit vLv asymp K dnu φL asymp φK vereinfachen sich die Gleichungen auf

βL = β ndash 14vK180π (8)

l2 = 14rLvK (9)

Abb 6 Landebereich K bis L

Aus Abbildung 6 erhaumllt man schliesslich

d = 0018w = l2tg(φK ndash β) + l222rL = 1442 rL vK

2 + 14

2 rLvK

22

oder rL = vK2w380 (10)

Die letzte Gleichung stellt die Verbindung zwischen dem bei groumlsseren Schanzen beo-

bachteten durchschnittlichen Mass d und dem Unterschied des zugelassenen v bei K

und L her rL muss aber auch gewaumlhrleisten dass beim Durchfahren der Landestrecke

die Zentrifugalbeschleunigung in Grenzen bleibt Sie soll 80 von g nicht uumlberstei-

gen Es ist somit auch

rL ge 0125 vK2

(10a)

einzuhalten Diese Dimensionierung wird somit bei Schanzen mit w le 48 m

massgebend rL soll auf den naumlchsten Zehnerwert aufgerundet werden

Mit βL und rL sind die Koordinaten von L gegeben

Die Landegeschwindigkeit vK erhaumllt man mit der Integration der Flugbahn Da die zu-

laumlssigen Felder fuumlr die Wertepaare [w hn] fuumlr die verschiedenen Tischneigungen α

einen relativ schmalen Streifen bilden gilt mit ausreichender Genauigkeit die lineare

Beziehung

vK = 068v0 + 1244 (11)

Wenn immer hier von bdquoausreichenderldquo Genauigkeit die Rede ist heisst das dass der

eingeraumlumte Fehler im Bereich weniger Prozente liegt in einem Toleranzbereich der

auch den biomechanischen Ausgangsgroumlssen wie aumlquivalente Landehoumlhe zugespro-

18

chen werden muss Allerdings muss festgehalten werden dass fuumlr die Anwendung sol-

cher Vereinfachung vorausgesetzt werden muss dass der Planer nicht von den Vorga-

ben abweicht

Bei den ganz kleinen Schanzen wird vK von der Naumlherungsformel gegenuumlber der

Wirklichkeit etwas zu gross berechnet Man liegt damit aber auf der sicheren Seite

5 Die Landung

Wer in L landet faumlhrt mit der groumlsstmoumlglichen Geschwindigkeit in den anschliessen-

den Uumlbergangsbogen Der Springer muss durch seine Muskelkraft die Normalkompo-

nente seiner Geschwindigkeit vL= 56 ms auf Null abbremsen Die kinetische Ener-

gie ist

m5622 = 1568m m = Masse Springer und Ski

Wenn er konstant die Kraft die seinem Gewicht samt Ski entspricht bei der Landung

einsetzten wuumlrde haumltte er die aumlquivalente Fallhoumlhe von 160 m zuruumlckzulegen Die

Zeit die er dazu benoumltigt ist t = 56981 = 0571 s Waumlhrend dieser Zeit ist der

Druck auf die Spur um sein Gewicht groumlsser so dass er eine um tgρmg erhoumlhte

Reibungskraft erfaumlhrt und dies uumlber eine Strecke von vLcos(φK ndash βL)0571 Diese

Reibungsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie die in der Geschwindig-

keitskomponente v parallel zum Hang liegt Die verbleibende Energie ist

frac12mv2 = frac12mvL

2cos

2(φK ndash βL) ndash tgρmgvLcos(φK ndash βL)0571 =

frac12mvLcos(φK ndash βL)[vL cos(φK ndash βL) ndash 2tgρ9810571]

Nach einiger Umformung erhaumllt man fuumlr die verbleibende Gleitgeschwindigkeit bei

einer Landung in L in erster Naumlherung

v = vK ndash 16vK ndash 01ρ (Reibungswinkel ρ in alt Grad) (12)

Der Kraft-Zeit-Verlauf ist in Wirklichkeit weder genau mg noch ist er konstant Wie

man leicht zeigen kann ist das Ergebnis aber nicht davon beeinflusst ausser dass sich

die Geschwindigkeit am Ende des Landungsprozesses fruumlher oder spaumlter einstellt Da

die Geschwindigkeitsabminderung aber sehr klein ist kann dieser Umstand vernach-

laumlssigt werden

Der Normaldruck auf das Profil soll analog zur Uumlbergangskurve im Anlauf auf 18g

beschraumlnkt werden dh

gcosβL + v2r2L le 18g asymp 18 (13)

Damit erhaumllt man fuumlr r2L die Eingrenzung

rL ge r2L ge v2(18 ndash 10cosβL) (14)

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

12

In Abbildung 4 sind die obigen Ergebnisse dargestellt Sie zeigt die Unterschiede zwi-

schen Kreis und kubischer Parabel Die Anlauflaumlnge ist bei ein und demselben gewaumlhl-

ten Radius bei der kubischen Parabel ca 250 m laumlnger als beim Kreis Interessant ist

die Feststellung dass der Startpunkt beim Kreis mit dem jetzt gebraumluchlichen Koeffi-

zienten 016 fuumlr r1 und jener bei der kubischen Parabel auf wenig Zentimeter gleich ist

wenn bei letzterer der Koeffizient 014 verwendet wird Damit ist aufgezeigt dass die

oben begruumlndete Moumlglichkeit der Radiusverkleinerung zu gleich langen Anlaumlufen und

gleicher Lage fuumlhrt wie bisher bei der Verwendung eines Kreisbogens

Es wird daher bei Verwendung einer kubischen Parabel als Uumlbergangskurve festgelegt

dass der Radius bei Erreichen des Schanzentisches mindestens

r1 = 014v02

erreichen muss houmlchstens aber

r1 = 016v02

erreichen darf Dies deshalb damit ein ausreichender Entlastungseffekt durch den

ploumltzlichen Wegfall der Zentrifugalkraft auf dem Schanzentisch erhalten bleibt

Eine weitere wichtige Feststellung Wenn bei einem bestehenden Anlauf mit

Kreisbogen sein Radius r1 = 016v02 betraumlgt kann ohne Veraumlnderung des gera-

den Anlaufteils mit kleinem Aufwand nachtraumlglich die Kreisform in eine kubisch

Parabel umgebaut werden

Abb 4 Vergleich Kreiskubische Parabel Einfluss des Kruumlmmungsradius r1

13

3 Der Flug

Die Koordinaten eines Punktes der Flugbahn sowie deren Neigung an dieser Stelle

erhaumllt man aus der Integration des Differentialgleichungssystems das den Flug be-

schreibt

Es sind dies die vier nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

mit den Anfangsbedingungen

x(o) = 0

z(0) = 0

v(0) = (v02 + v

2)^05

φ(0) = α ndash δ

Dabei ist v die aktuelle Fluggeschwindigkeit der Neigungswinkel der Flugbahn im

Uhrzeigersinn gemessen und der Winkel um den der Absprungwinkel (Neigung der

Flugbahn bei x = 0) durch den Absprungeffekt gegenuumlber der Tischneigung angehoben

wird

δ = arctg(vv0)

v ist die Geschwindigkeit senkrecht zur Tischebene die der Schwerpunkt des Koumlrper-

Ski-Systems im Augenblick des Abhebens erreicht Auswertungen von weitesten

Spruumlngen haben fuumlr v 22 ms ergeben Dieser Wert ist bei der Berechnung der Dia-

gramme Abbildung 4 bis 11 in den bdquoSkisprungschanzen Bau-Normen 2008ldquo fuumlr alle

Tischneigungen eingesetzt worden

An dieser Stelle ist noch auf eine immer wieder hartnaumlckig vertretene Meinung hinzu-

weisen die dahin geht dass der Springer bei geeigneter Absprungtechnik die Ab-

sprunggeschwindigkeitskomponente parallel zur Tischebene vergroumlssern koumlnne Das

ist natuumlrlich Unsinn und gehoumlrt in die gleiche Kategorie wie das noch bdquozu erfindende

Perpetuum Mobileldquo

Die Luftwiderstands- und Auftriebskoeffizienten kw bzw ka sind abhaumlngig vom An-

stroumlmwinkel der Luft und von der Haltung des Springers Sie sind somit zeitlich ver-

aumlnderlich Aus der Vermessung der Flugbahnen 2006 in Engelberg hat das Biomecha-

nische Institut der ETHZ fuumlr die weltbesten Springer folgende Werte in Funktion der

Bahnneigung ermittelt

14

Luftkraftbeiwerte Engelberg 2006

Rang 1 - 5 Rang 6 - 15 Rang 16 - 25

φdeg kW kA kW kA kW kA

0 000185 000093 000232 000116 000261 000130

2 000204 000139 000245 000180 000271 000177

4 000223 000185 000258 000244 000282 000224

6 000243 000231 000272 000308 000293 000270

8 000261 000275 000285 000365 000304 000316

10 000281 000316 000298 000396 000315 000350

12 000301 000354 000311 000424 000326 000382

14 000319 000390 000325 000450 000337 000411

16 000338 000424 000337 000472 000347 000436

18 000355 000455 000350 000492 000357 000459

20 000372 000484 000362 000508 000367 000479

22 000388 000511 000374 000522 000376 000496

24 000403 000534 000386 000534 000386 000510

26 000418 000555 000398 000543 000396 000521

28 000432 000574 000410 000550 000407 000531

30 000447 000591 000422 000555 000419 000538

32 000462 000605 000436 000560 000432 000545

34 000479 000617 000453 000565 000449 000551

36 000502 000628 000474 000571 000471 000558

38 000537 000638 000504 000582 000503 000569

40 000614 000655 000553 000606 000555 000590

42 000691 000672 000602 000629 000606 000611

44 000767 000689 000651 000652 000658 000632

Tab 2 Luftkraftbeiwerte mit der Dimension m-1

Damit kann durch Integration der Differentialgleichungen die einer bestimmten Tisch-

neigung und einer bestimmten Absprunggeschwindigkeit v0 zugehoumlrige Flugbahn

berechnet werden Als Landepunkt K wird vereinfachend der Schnittpunkt der Flug-

bahn mit dem Terrainprofil definiert so wie auch der Anfang der Flugbahn auf den

Ursprung 00] gelegt wird

Der Winkel mit dem sich die Flugbahn mit der Landepiste schneidet ist massgebend

fuumlr den Landestoss den der Springer erfaumlhrt Mit dem Begriff der aumlquivalenten Lande-

houmlhe kann dieser Vorgang anschaulich beschrieben werden Welche Houmlhe soll dem

Springer zugemutet werden aus der er vergleichsweise auf eine Horizontalebenen fal-

len und dabei den Stoss sicher auffangen soll Aus langjaumlhriger Erfahrung weiss man

dass 090 m fuumlr gute Springer ein gutes Mass ist Fuumlr schwaumlchere Springer soll auf

070 m reduziert werden

Der erste Wert wird fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis

115deg) der zweite fuumlr kleine und mittlere Schanzen (Tischneigungen von 8deg bis 95deg)

eingesetzt Sie ergeben Geschwindigkeiten von 42 ms bzw 37 ms und sind gleich-

15

zusetzen mit der Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprungprofil

in K Wenn die Flugbahn im Landepunkt die Neigung φK hat muss das Aufsprungpro-

fil die Neigung

fuumlr α von 10deg bis 115deg β = φK ndash arcsin(42vK ((5)

und fuumlr α von 8deg bis 95deg β = φK ndash arcsin(37vK((6)

haben wobei vKnaL red gartebtulosbA red degeschwindigkeit bedeutet

Fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis 115deg) sind die k-Werte

der Spitzenspringer (Kolonne 1 und 2 Tab 2) und fuumlr kleine und mittlere Schanzen

(Tischneigungen von 8deg bis 95deg) sind die k-Werte fuumlr schwaumlchere Springer (Kolonne

5 und 6 Tab 2) eingesetzt worden

Auf diesen Grundlagen sind die Diagramme fuumlr die Tischneigungen 8deg bis 115deg der

Sprungschanzen-Baunormen 2008 berechnet worden Die Eingrenzungen der zulaumlssi-

gen Bereich der Wertepaare w und hn hat der Ausschuss des Subkomitees auf Grund

von Erfahrungen festgelegt

4 Das Aufsprungprofil

Das Aufsprungprofil vom Schanzentisch bis zum Punkt K soll fuumlr alle Sprungweiten

gute Landebedingungen ermoumlglichen Dazu soll es bei weiten Spruumlngen die Houmlhe der

Flugbahn uumlber Terrain moumlglichst klein halten Das 1992 eingefuumlhrte und 1996 verfei-

nerte Aufsprungprofil in der Form einer kubischen Parabel hat sich bewaumlhrt Fuumlr die

Optimierung der freien Parameter β0 und δβ ist die Kurvenschar aller in Engelberg

vermessenen Fluumlge zu Rate gezogen worden Die Herleitung der Formeln die in den

Bau-Normen das Aufsprungprofil beschreiben ist reine analytische Geometrie und

bedarf keiner weiter gehenden Erklaumlrung

Fuumlr die Berechnung des Endes L des Landebereiches wurden folgende Annahmen ge-

troffen

Bei Skisprungwettkaumlmpfen wird der Punkt K bekanntlich von einzelnen wenigen

Springern uumlbersprungen Aus einer groumlsseren Anzahl Resultatlisten wurden die Uumlber-

weiten w = wKrsquo ndash wK bestimmt wobei wKrsquo die groumlsste erreichte Weite eines Wett-

kampfes ist

16

Abb 5 Groumlsste Weite bei Krsquo die bei einem Wettkampf erreicht wurde

In Abbildung 5 ist die bei dieser Auswertung zu beachtende damals geltende Geo-

metrie mit dem Kreisbogen r2 dargestellt Aus w und dem zur betreffenden Schanze

gehoumlrenden r2 β und der Flugbahnneigung φK bei der Landung ergibt sich fuumlr die Ver-

schiebung der Flugbahn

D = r2[cos(φK ndash β) ndash cos(φK ndash βKrsquo)] wobei βKrsquo = β ndash Δwr2180π ist

Es hat sich gezeigt dass der Grenzwert fuumlr D etwa bei 0018w liegt Fuumlr diese moumlgli-

chen Groumlsstweiten bei L soll eine aumlquivalente Landehoumlhe von 160 m eingeplant wer-

den Messungen anlaumlsslich der Skiflug-WM 1976 in Oberstdorf haben gezeigt dass

die damit verbundene Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprung-

profil v von 56 ms noch gestanden werden kann Bei L soll somit die Neigung der

Landepiste

βL = φL ndash arcsin(56vL ((7)

betragen

Der Landebereich von K bis L wird als Kreisabschnitt gestaltet Der Radius des Bo-

gens sei rL Fuumlr den Abstand l2 von K und L ergibt sich

l2 = (β ndash βL) rLπ180 = [(φK ndash arcsin(42vK ((ndash (φL ndash arcsin(56vLr [((Lπ180

fuumlr α von 10deg bis 115deg Fuumlr die kleineren α-Werte muumlsste der zweite Term im Klam-

merausdruck konsequenterweise arcsin(37vK gnugelrebUuml nehcielg red tiM netual (

mit der die Landekomponente v bei K fuumlr schwaumlchere Springer herabgesetzt wurde

soll dies auch bei L geschehen so dass der angeschriebene Ausdruck fuumlr l2 fuumlr alle α-

Werte gelten kann

Am Ende der Flugbahn besonders bei den grossen Schanzen ist man nicht mehr weit

von der stationaumlren Endgeschwindigkeit entfernt so dass die Aumlnderung von Betrag

und Richtung der Fluggeschwindigkeit in diesem kurzen Abschnitt im Rahmen der

17

hier gebotenen Genauigkeit vernachlaumlssigbar wird Im weiteren sind die Landewinkel

so klein dass ihr Sinus durch das Bogenmass ersetzt werden kann

Mit vLv asymp K dnu φL asymp φK vereinfachen sich die Gleichungen auf

βL = β ndash 14vK180π (8)

l2 = 14rLvK (9)

Abb 6 Landebereich K bis L

Aus Abbildung 6 erhaumllt man schliesslich

d = 0018w = l2tg(φK ndash β) + l222rL = 1442 rL vK

2 + 14

2 rLvK

22

oder rL = vK2w380 (10)

Die letzte Gleichung stellt die Verbindung zwischen dem bei groumlsseren Schanzen beo-

bachteten durchschnittlichen Mass d und dem Unterschied des zugelassenen v bei K

und L her rL muss aber auch gewaumlhrleisten dass beim Durchfahren der Landestrecke

die Zentrifugalbeschleunigung in Grenzen bleibt Sie soll 80 von g nicht uumlberstei-

gen Es ist somit auch

rL ge 0125 vK2

(10a)

einzuhalten Diese Dimensionierung wird somit bei Schanzen mit w le 48 m

massgebend rL soll auf den naumlchsten Zehnerwert aufgerundet werden

Mit βL und rL sind die Koordinaten von L gegeben

Die Landegeschwindigkeit vK erhaumllt man mit der Integration der Flugbahn Da die zu-

laumlssigen Felder fuumlr die Wertepaare [w hn] fuumlr die verschiedenen Tischneigungen α

einen relativ schmalen Streifen bilden gilt mit ausreichender Genauigkeit die lineare

Beziehung

vK = 068v0 + 1244 (11)

Wenn immer hier von bdquoausreichenderldquo Genauigkeit die Rede ist heisst das dass der

eingeraumlumte Fehler im Bereich weniger Prozente liegt in einem Toleranzbereich der

auch den biomechanischen Ausgangsgroumlssen wie aumlquivalente Landehoumlhe zugespro-

18

chen werden muss Allerdings muss festgehalten werden dass fuumlr die Anwendung sol-

cher Vereinfachung vorausgesetzt werden muss dass der Planer nicht von den Vorga-

ben abweicht

Bei den ganz kleinen Schanzen wird vK von der Naumlherungsformel gegenuumlber der

Wirklichkeit etwas zu gross berechnet Man liegt damit aber auf der sicheren Seite

5 Die Landung

Wer in L landet faumlhrt mit der groumlsstmoumlglichen Geschwindigkeit in den anschliessen-

den Uumlbergangsbogen Der Springer muss durch seine Muskelkraft die Normalkompo-

nente seiner Geschwindigkeit vL= 56 ms auf Null abbremsen Die kinetische Ener-

gie ist

m5622 = 1568m m = Masse Springer und Ski

Wenn er konstant die Kraft die seinem Gewicht samt Ski entspricht bei der Landung

einsetzten wuumlrde haumltte er die aumlquivalente Fallhoumlhe von 160 m zuruumlckzulegen Die

Zeit die er dazu benoumltigt ist t = 56981 = 0571 s Waumlhrend dieser Zeit ist der

Druck auf die Spur um sein Gewicht groumlsser so dass er eine um tgρmg erhoumlhte

Reibungskraft erfaumlhrt und dies uumlber eine Strecke von vLcos(φK ndash βL)0571 Diese

Reibungsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie die in der Geschwindig-

keitskomponente v parallel zum Hang liegt Die verbleibende Energie ist

frac12mv2 = frac12mvL

2cos

2(φK ndash βL) ndash tgρmgvLcos(φK ndash βL)0571 =

frac12mvLcos(φK ndash βL)[vL cos(φK ndash βL) ndash 2tgρ9810571]

Nach einiger Umformung erhaumllt man fuumlr die verbleibende Gleitgeschwindigkeit bei

einer Landung in L in erster Naumlherung

v = vK ndash 16vK ndash 01ρ (Reibungswinkel ρ in alt Grad) (12)

Der Kraft-Zeit-Verlauf ist in Wirklichkeit weder genau mg noch ist er konstant Wie

man leicht zeigen kann ist das Ergebnis aber nicht davon beeinflusst ausser dass sich

die Geschwindigkeit am Ende des Landungsprozesses fruumlher oder spaumlter einstellt Da

die Geschwindigkeitsabminderung aber sehr klein ist kann dieser Umstand vernach-

laumlssigt werden

Der Normaldruck auf das Profil soll analog zur Uumlbergangskurve im Anlauf auf 18g

beschraumlnkt werden dh

gcosβL + v2r2L le 18g asymp 18 (13)

Damit erhaumllt man fuumlr r2L die Eingrenzung

rL ge r2L ge v2(18 ndash 10cosβL) (14)

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

13

3 Der Flug

Die Koordinaten eines Punktes der Flugbahn sowie deren Neigung an dieser Stelle

erhaumllt man aus der Integration des Differentialgleichungssystems das den Flug be-

schreibt

Es sind dies die vier nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

mit den Anfangsbedingungen

x(o) = 0

z(0) = 0

v(0) = (v02 + v

2)^05

φ(0) = α ndash δ

Dabei ist v die aktuelle Fluggeschwindigkeit der Neigungswinkel der Flugbahn im

Uhrzeigersinn gemessen und der Winkel um den der Absprungwinkel (Neigung der

Flugbahn bei x = 0) durch den Absprungeffekt gegenuumlber der Tischneigung angehoben

wird

δ = arctg(vv0)

v ist die Geschwindigkeit senkrecht zur Tischebene die der Schwerpunkt des Koumlrper-

Ski-Systems im Augenblick des Abhebens erreicht Auswertungen von weitesten

Spruumlngen haben fuumlr v 22 ms ergeben Dieser Wert ist bei der Berechnung der Dia-

gramme Abbildung 4 bis 11 in den bdquoSkisprungschanzen Bau-Normen 2008ldquo fuumlr alle

Tischneigungen eingesetzt worden

An dieser Stelle ist noch auf eine immer wieder hartnaumlckig vertretene Meinung hinzu-

weisen die dahin geht dass der Springer bei geeigneter Absprungtechnik die Ab-

sprunggeschwindigkeitskomponente parallel zur Tischebene vergroumlssern koumlnne Das

ist natuumlrlich Unsinn und gehoumlrt in die gleiche Kategorie wie das noch bdquozu erfindende

Perpetuum Mobileldquo

Die Luftwiderstands- und Auftriebskoeffizienten kw bzw ka sind abhaumlngig vom An-

stroumlmwinkel der Luft und von der Haltung des Springers Sie sind somit zeitlich ver-

aumlnderlich Aus der Vermessung der Flugbahnen 2006 in Engelberg hat das Biomecha-

nische Institut der ETHZ fuumlr die weltbesten Springer folgende Werte in Funktion der

Bahnneigung ermittelt

14

Luftkraftbeiwerte Engelberg 2006

Rang 1 - 5 Rang 6 - 15 Rang 16 - 25

φdeg kW kA kW kA kW kA

0 000185 000093 000232 000116 000261 000130

2 000204 000139 000245 000180 000271 000177

4 000223 000185 000258 000244 000282 000224

6 000243 000231 000272 000308 000293 000270

8 000261 000275 000285 000365 000304 000316

10 000281 000316 000298 000396 000315 000350

12 000301 000354 000311 000424 000326 000382

14 000319 000390 000325 000450 000337 000411

16 000338 000424 000337 000472 000347 000436

18 000355 000455 000350 000492 000357 000459

20 000372 000484 000362 000508 000367 000479

22 000388 000511 000374 000522 000376 000496

24 000403 000534 000386 000534 000386 000510

26 000418 000555 000398 000543 000396 000521

28 000432 000574 000410 000550 000407 000531

30 000447 000591 000422 000555 000419 000538

32 000462 000605 000436 000560 000432 000545

34 000479 000617 000453 000565 000449 000551

36 000502 000628 000474 000571 000471 000558

38 000537 000638 000504 000582 000503 000569

40 000614 000655 000553 000606 000555 000590

42 000691 000672 000602 000629 000606 000611

44 000767 000689 000651 000652 000658 000632

Tab 2 Luftkraftbeiwerte mit der Dimension m-1

Damit kann durch Integration der Differentialgleichungen die einer bestimmten Tisch-

neigung und einer bestimmten Absprunggeschwindigkeit v0 zugehoumlrige Flugbahn

berechnet werden Als Landepunkt K wird vereinfachend der Schnittpunkt der Flug-

bahn mit dem Terrainprofil definiert so wie auch der Anfang der Flugbahn auf den

Ursprung 00] gelegt wird

Der Winkel mit dem sich die Flugbahn mit der Landepiste schneidet ist massgebend

fuumlr den Landestoss den der Springer erfaumlhrt Mit dem Begriff der aumlquivalenten Lande-

houmlhe kann dieser Vorgang anschaulich beschrieben werden Welche Houmlhe soll dem

Springer zugemutet werden aus der er vergleichsweise auf eine Horizontalebenen fal-

len und dabei den Stoss sicher auffangen soll Aus langjaumlhriger Erfahrung weiss man

dass 090 m fuumlr gute Springer ein gutes Mass ist Fuumlr schwaumlchere Springer soll auf

070 m reduziert werden

Der erste Wert wird fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis

115deg) der zweite fuumlr kleine und mittlere Schanzen (Tischneigungen von 8deg bis 95deg)

eingesetzt Sie ergeben Geschwindigkeiten von 42 ms bzw 37 ms und sind gleich-

15

zusetzen mit der Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprungprofil

in K Wenn die Flugbahn im Landepunkt die Neigung φK hat muss das Aufsprungpro-

fil die Neigung

fuumlr α von 10deg bis 115deg β = φK ndash arcsin(42vK ((5)

und fuumlr α von 8deg bis 95deg β = φK ndash arcsin(37vK((6)

haben wobei vKnaL red gartebtulosbA red degeschwindigkeit bedeutet

Fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis 115deg) sind die k-Werte

der Spitzenspringer (Kolonne 1 und 2 Tab 2) und fuumlr kleine und mittlere Schanzen

(Tischneigungen von 8deg bis 95deg) sind die k-Werte fuumlr schwaumlchere Springer (Kolonne

5 und 6 Tab 2) eingesetzt worden

Auf diesen Grundlagen sind die Diagramme fuumlr die Tischneigungen 8deg bis 115deg der

Sprungschanzen-Baunormen 2008 berechnet worden Die Eingrenzungen der zulaumlssi-

gen Bereich der Wertepaare w und hn hat der Ausschuss des Subkomitees auf Grund

von Erfahrungen festgelegt

4 Das Aufsprungprofil

Das Aufsprungprofil vom Schanzentisch bis zum Punkt K soll fuumlr alle Sprungweiten

gute Landebedingungen ermoumlglichen Dazu soll es bei weiten Spruumlngen die Houmlhe der

Flugbahn uumlber Terrain moumlglichst klein halten Das 1992 eingefuumlhrte und 1996 verfei-

nerte Aufsprungprofil in der Form einer kubischen Parabel hat sich bewaumlhrt Fuumlr die

Optimierung der freien Parameter β0 und δβ ist die Kurvenschar aller in Engelberg

vermessenen Fluumlge zu Rate gezogen worden Die Herleitung der Formeln die in den

Bau-Normen das Aufsprungprofil beschreiben ist reine analytische Geometrie und

bedarf keiner weiter gehenden Erklaumlrung

Fuumlr die Berechnung des Endes L des Landebereiches wurden folgende Annahmen ge-

troffen

Bei Skisprungwettkaumlmpfen wird der Punkt K bekanntlich von einzelnen wenigen

Springern uumlbersprungen Aus einer groumlsseren Anzahl Resultatlisten wurden die Uumlber-

weiten w = wKrsquo ndash wK bestimmt wobei wKrsquo die groumlsste erreichte Weite eines Wett-

kampfes ist

16

Abb 5 Groumlsste Weite bei Krsquo die bei einem Wettkampf erreicht wurde

In Abbildung 5 ist die bei dieser Auswertung zu beachtende damals geltende Geo-

metrie mit dem Kreisbogen r2 dargestellt Aus w und dem zur betreffenden Schanze

gehoumlrenden r2 β und der Flugbahnneigung φK bei der Landung ergibt sich fuumlr die Ver-

schiebung der Flugbahn

D = r2[cos(φK ndash β) ndash cos(φK ndash βKrsquo)] wobei βKrsquo = β ndash Δwr2180π ist

Es hat sich gezeigt dass der Grenzwert fuumlr D etwa bei 0018w liegt Fuumlr diese moumlgli-

chen Groumlsstweiten bei L soll eine aumlquivalente Landehoumlhe von 160 m eingeplant wer-

den Messungen anlaumlsslich der Skiflug-WM 1976 in Oberstdorf haben gezeigt dass

die damit verbundene Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprung-

profil v von 56 ms noch gestanden werden kann Bei L soll somit die Neigung der

Landepiste

βL = φL ndash arcsin(56vL ((7)

betragen

Der Landebereich von K bis L wird als Kreisabschnitt gestaltet Der Radius des Bo-

gens sei rL Fuumlr den Abstand l2 von K und L ergibt sich

l2 = (β ndash βL) rLπ180 = [(φK ndash arcsin(42vK ((ndash (φL ndash arcsin(56vLr [((Lπ180

fuumlr α von 10deg bis 115deg Fuumlr die kleineren α-Werte muumlsste der zweite Term im Klam-

merausdruck konsequenterweise arcsin(37vK gnugelrebUuml nehcielg red tiM netual (

mit der die Landekomponente v bei K fuumlr schwaumlchere Springer herabgesetzt wurde

soll dies auch bei L geschehen so dass der angeschriebene Ausdruck fuumlr l2 fuumlr alle α-

Werte gelten kann

Am Ende der Flugbahn besonders bei den grossen Schanzen ist man nicht mehr weit

von der stationaumlren Endgeschwindigkeit entfernt so dass die Aumlnderung von Betrag

und Richtung der Fluggeschwindigkeit in diesem kurzen Abschnitt im Rahmen der

17

hier gebotenen Genauigkeit vernachlaumlssigbar wird Im weiteren sind die Landewinkel

so klein dass ihr Sinus durch das Bogenmass ersetzt werden kann

Mit vLv asymp K dnu φL asymp φK vereinfachen sich die Gleichungen auf

βL = β ndash 14vK180π (8)

l2 = 14rLvK (9)

Abb 6 Landebereich K bis L

Aus Abbildung 6 erhaumllt man schliesslich

d = 0018w = l2tg(φK ndash β) + l222rL = 1442 rL vK

2 + 14

2 rLvK

22

oder rL = vK2w380 (10)

Die letzte Gleichung stellt die Verbindung zwischen dem bei groumlsseren Schanzen beo-

bachteten durchschnittlichen Mass d und dem Unterschied des zugelassenen v bei K

und L her rL muss aber auch gewaumlhrleisten dass beim Durchfahren der Landestrecke

die Zentrifugalbeschleunigung in Grenzen bleibt Sie soll 80 von g nicht uumlberstei-

gen Es ist somit auch

rL ge 0125 vK2

(10a)

einzuhalten Diese Dimensionierung wird somit bei Schanzen mit w le 48 m

massgebend rL soll auf den naumlchsten Zehnerwert aufgerundet werden

Mit βL und rL sind die Koordinaten von L gegeben

Die Landegeschwindigkeit vK erhaumllt man mit der Integration der Flugbahn Da die zu-

laumlssigen Felder fuumlr die Wertepaare [w hn] fuumlr die verschiedenen Tischneigungen α

einen relativ schmalen Streifen bilden gilt mit ausreichender Genauigkeit die lineare

Beziehung

vK = 068v0 + 1244 (11)

Wenn immer hier von bdquoausreichenderldquo Genauigkeit die Rede ist heisst das dass der

eingeraumlumte Fehler im Bereich weniger Prozente liegt in einem Toleranzbereich der

auch den biomechanischen Ausgangsgroumlssen wie aumlquivalente Landehoumlhe zugespro-

18

chen werden muss Allerdings muss festgehalten werden dass fuumlr die Anwendung sol-

cher Vereinfachung vorausgesetzt werden muss dass der Planer nicht von den Vorga-

ben abweicht

Bei den ganz kleinen Schanzen wird vK von der Naumlherungsformel gegenuumlber der

Wirklichkeit etwas zu gross berechnet Man liegt damit aber auf der sicheren Seite

5 Die Landung

Wer in L landet faumlhrt mit der groumlsstmoumlglichen Geschwindigkeit in den anschliessen-

den Uumlbergangsbogen Der Springer muss durch seine Muskelkraft die Normalkompo-

nente seiner Geschwindigkeit vL= 56 ms auf Null abbremsen Die kinetische Ener-

gie ist

m5622 = 1568m m = Masse Springer und Ski

Wenn er konstant die Kraft die seinem Gewicht samt Ski entspricht bei der Landung

einsetzten wuumlrde haumltte er die aumlquivalente Fallhoumlhe von 160 m zuruumlckzulegen Die

Zeit die er dazu benoumltigt ist t = 56981 = 0571 s Waumlhrend dieser Zeit ist der

Druck auf die Spur um sein Gewicht groumlsser so dass er eine um tgρmg erhoumlhte

Reibungskraft erfaumlhrt und dies uumlber eine Strecke von vLcos(φK ndash βL)0571 Diese

Reibungsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie die in der Geschwindig-

keitskomponente v parallel zum Hang liegt Die verbleibende Energie ist

frac12mv2 = frac12mvL

2cos

2(φK ndash βL) ndash tgρmgvLcos(φK ndash βL)0571 =

frac12mvLcos(φK ndash βL)[vL cos(φK ndash βL) ndash 2tgρ9810571]

Nach einiger Umformung erhaumllt man fuumlr die verbleibende Gleitgeschwindigkeit bei

einer Landung in L in erster Naumlherung

v = vK ndash 16vK ndash 01ρ (Reibungswinkel ρ in alt Grad) (12)

Der Kraft-Zeit-Verlauf ist in Wirklichkeit weder genau mg noch ist er konstant Wie

man leicht zeigen kann ist das Ergebnis aber nicht davon beeinflusst ausser dass sich

die Geschwindigkeit am Ende des Landungsprozesses fruumlher oder spaumlter einstellt Da

die Geschwindigkeitsabminderung aber sehr klein ist kann dieser Umstand vernach-

laumlssigt werden

Der Normaldruck auf das Profil soll analog zur Uumlbergangskurve im Anlauf auf 18g

beschraumlnkt werden dh

gcosβL + v2r2L le 18g asymp 18 (13)

Damit erhaumllt man fuumlr r2L die Eingrenzung

rL ge r2L ge v2(18 ndash 10cosβL) (14)

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

14

Luftkraftbeiwerte Engelberg 2006

Rang 1 - 5 Rang 6 - 15 Rang 16 - 25

φdeg kW kA kW kA kW kA

0 000185 000093 000232 000116 000261 000130

2 000204 000139 000245 000180 000271 000177

4 000223 000185 000258 000244 000282 000224

6 000243 000231 000272 000308 000293 000270

8 000261 000275 000285 000365 000304 000316

10 000281 000316 000298 000396 000315 000350

12 000301 000354 000311 000424 000326 000382

14 000319 000390 000325 000450 000337 000411

16 000338 000424 000337 000472 000347 000436

18 000355 000455 000350 000492 000357 000459

20 000372 000484 000362 000508 000367 000479

22 000388 000511 000374 000522 000376 000496

24 000403 000534 000386 000534 000386 000510

26 000418 000555 000398 000543 000396 000521

28 000432 000574 000410 000550 000407 000531

30 000447 000591 000422 000555 000419 000538

32 000462 000605 000436 000560 000432 000545

34 000479 000617 000453 000565 000449 000551

36 000502 000628 000474 000571 000471 000558

38 000537 000638 000504 000582 000503 000569

40 000614 000655 000553 000606 000555 000590

42 000691 000672 000602 000629 000606 000611

44 000767 000689 000651 000652 000658 000632

Tab 2 Luftkraftbeiwerte mit der Dimension m-1

Damit kann durch Integration der Differentialgleichungen die einer bestimmten Tisch-

neigung und einer bestimmten Absprunggeschwindigkeit v0 zugehoumlrige Flugbahn

berechnet werden Als Landepunkt K wird vereinfachend der Schnittpunkt der Flug-

bahn mit dem Terrainprofil definiert so wie auch der Anfang der Flugbahn auf den

Ursprung 00] gelegt wird

Der Winkel mit dem sich die Flugbahn mit der Landepiste schneidet ist massgebend

fuumlr den Landestoss den der Springer erfaumlhrt Mit dem Begriff der aumlquivalenten Lande-

houmlhe kann dieser Vorgang anschaulich beschrieben werden Welche Houmlhe soll dem

Springer zugemutet werden aus der er vergleichsweise auf eine Horizontalebenen fal-

len und dabei den Stoss sicher auffangen soll Aus langjaumlhriger Erfahrung weiss man

dass 090 m fuumlr gute Springer ein gutes Mass ist Fuumlr schwaumlchere Springer soll auf

070 m reduziert werden

Der erste Wert wird fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis

115deg) der zweite fuumlr kleine und mittlere Schanzen (Tischneigungen von 8deg bis 95deg)

eingesetzt Sie ergeben Geschwindigkeiten von 42 ms bzw 37 ms und sind gleich-

15

zusetzen mit der Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprungprofil

in K Wenn die Flugbahn im Landepunkt die Neigung φK hat muss das Aufsprungpro-

fil die Neigung

fuumlr α von 10deg bis 115deg β = φK ndash arcsin(42vK ((5)

und fuumlr α von 8deg bis 95deg β = φK ndash arcsin(37vK((6)

haben wobei vKnaL red gartebtulosbA red degeschwindigkeit bedeutet

Fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis 115deg) sind die k-Werte

der Spitzenspringer (Kolonne 1 und 2 Tab 2) und fuumlr kleine und mittlere Schanzen

(Tischneigungen von 8deg bis 95deg) sind die k-Werte fuumlr schwaumlchere Springer (Kolonne

5 und 6 Tab 2) eingesetzt worden

Auf diesen Grundlagen sind die Diagramme fuumlr die Tischneigungen 8deg bis 115deg der

Sprungschanzen-Baunormen 2008 berechnet worden Die Eingrenzungen der zulaumlssi-

gen Bereich der Wertepaare w und hn hat der Ausschuss des Subkomitees auf Grund

von Erfahrungen festgelegt

4 Das Aufsprungprofil

Das Aufsprungprofil vom Schanzentisch bis zum Punkt K soll fuumlr alle Sprungweiten

gute Landebedingungen ermoumlglichen Dazu soll es bei weiten Spruumlngen die Houmlhe der

Flugbahn uumlber Terrain moumlglichst klein halten Das 1992 eingefuumlhrte und 1996 verfei-

nerte Aufsprungprofil in der Form einer kubischen Parabel hat sich bewaumlhrt Fuumlr die

Optimierung der freien Parameter β0 und δβ ist die Kurvenschar aller in Engelberg

vermessenen Fluumlge zu Rate gezogen worden Die Herleitung der Formeln die in den

Bau-Normen das Aufsprungprofil beschreiben ist reine analytische Geometrie und

bedarf keiner weiter gehenden Erklaumlrung

Fuumlr die Berechnung des Endes L des Landebereiches wurden folgende Annahmen ge-

troffen

Bei Skisprungwettkaumlmpfen wird der Punkt K bekanntlich von einzelnen wenigen

Springern uumlbersprungen Aus einer groumlsseren Anzahl Resultatlisten wurden die Uumlber-

weiten w = wKrsquo ndash wK bestimmt wobei wKrsquo die groumlsste erreichte Weite eines Wett-

kampfes ist

16

Abb 5 Groumlsste Weite bei Krsquo die bei einem Wettkampf erreicht wurde

In Abbildung 5 ist die bei dieser Auswertung zu beachtende damals geltende Geo-

metrie mit dem Kreisbogen r2 dargestellt Aus w und dem zur betreffenden Schanze

gehoumlrenden r2 β und der Flugbahnneigung φK bei der Landung ergibt sich fuumlr die Ver-

schiebung der Flugbahn

D = r2[cos(φK ndash β) ndash cos(φK ndash βKrsquo)] wobei βKrsquo = β ndash Δwr2180π ist

Es hat sich gezeigt dass der Grenzwert fuumlr D etwa bei 0018w liegt Fuumlr diese moumlgli-

chen Groumlsstweiten bei L soll eine aumlquivalente Landehoumlhe von 160 m eingeplant wer-

den Messungen anlaumlsslich der Skiflug-WM 1976 in Oberstdorf haben gezeigt dass

die damit verbundene Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprung-

profil v von 56 ms noch gestanden werden kann Bei L soll somit die Neigung der

Landepiste

βL = φL ndash arcsin(56vL ((7)

betragen

Der Landebereich von K bis L wird als Kreisabschnitt gestaltet Der Radius des Bo-

gens sei rL Fuumlr den Abstand l2 von K und L ergibt sich

l2 = (β ndash βL) rLπ180 = [(φK ndash arcsin(42vK ((ndash (φL ndash arcsin(56vLr [((Lπ180

fuumlr α von 10deg bis 115deg Fuumlr die kleineren α-Werte muumlsste der zweite Term im Klam-

merausdruck konsequenterweise arcsin(37vK gnugelrebUuml nehcielg red tiM netual (

mit der die Landekomponente v bei K fuumlr schwaumlchere Springer herabgesetzt wurde

soll dies auch bei L geschehen so dass der angeschriebene Ausdruck fuumlr l2 fuumlr alle α-

Werte gelten kann

Am Ende der Flugbahn besonders bei den grossen Schanzen ist man nicht mehr weit

von der stationaumlren Endgeschwindigkeit entfernt so dass die Aumlnderung von Betrag

und Richtung der Fluggeschwindigkeit in diesem kurzen Abschnitt im Rahmen der

17

hier gebotenen Genauigkeit vernachlaumlssigbar wird Im weiteren sind die Landewinkel

so klein dass ihr Sinus durch das Bogenmass ersetzt werden kann

Mit vLv asymp K dnu φL asymp φK vereinfachen sich die Gleichungen auf

βL = β ndash 14vK180π (8)

l2 = 14rLvK (9)

Abb 6 Landebereich K bis L

Aus Abbildung 6 erhaumllt man schliesslich

d = 0018w = l2tg(φK ndash β) + l222rL = 1442 rL vK

2 + 14

2 rLvK

22

oder rL = vK2w380 (10)

Die letzte Gleichung stellt die Verbindung zwischen dem bei groumlsseren Schanzen beo-

bachteten durchschnittlichen Mass d und dem Unterschied des zugelassenen v bei K

und L her rL muss aber auch gewaumlhrleisten dass beim Durchfahren der Landestrecke

die Zentrifugalbeschleunigung in Grenzen bleibt Sie soll 80 von g nicht uumlberstei-

gen Es ist somit auch

rL ge 0125 vK2

(10a)

einzuhalten Diese Dimensionierung wird somit bei Schanzen mit w le 48 m

massgebend rL soll auf den naumlchsten Zehnerwert aufgerundet werden

Mit βL und rL sind die Koordinaten von L gegeben

Die Landegeschwindigkeit vK erhaumllt man mit der Integration der Flugbahn Da die zu-

laumlssigen Felder fuumlr die Wertepaare [w hn] fuumlr die verschiedenen Tischneigungen α

einen relativ schmalen Streifen bilden gilt mit ausreichender Genauigkeit die lineare

Beziehung

vK = 068v0 + 1244 (11)

Wenn immer hier von bdquoausreichenderldquo Genauigkeit die Rede ist heisst das dass der

eingeraumlumte Fehler im Bereich weniger Prozente liegt in einem Toleranzbereich der

auch den biomechanischen Ausgangsgroumlssen wie aumlquivalente Landehoumlhe zugespro-

18

chen werden muss Allerdings muss festgehalten werden dass fuumlr die Anwendung sol-

cher Vereinfachung vorausgesetzt werden muss dass der Planer nicht von den Vorga-

ben abweicht

Bei den ganz kleinen Schanzen wird vK von der Naumlherungsformel gegenuumlber der

Wirklichkeit etwas zu gross berechnet Man liegt damit aber auf der sicheren Seite

5 Die Landung

Wer in L landet faumlhrt mit der groumlsstmoumlglichen Geschwindigkeit in den anschliessen-

den Uumlbergangsbogen Der Springer muss durch seine Muskelkraft die Normalkompo-

nente seiner Geschwindigkeit vL= 56 ms auf Null abbremsen Die kinetische Ener-

gie ist

m5622 = 1568m m = Masse Springer und Ski

Wenn er konstant die Kraft die seinem Gewicht samt Ski entspricht bei der Landung

einsetzten wuumlrde haumltte er die aumlquivalente Fallhoumlhe von 160 m zuruumlckzulegen Die

Zeit die er dazu benoumltigt ist t = 56981 = 0571 s Waumlhrend dieser Zeit ist der

Druck auf die Spur um sein Gewicht groumlsser so dass er eine um tgρmg erhoumlhte

Reibungskraft erfaumlhrt und dies uumlber eine Strecke von vLcos(φK ndash βL)0571 Diese

Reibungsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie die in der Geschwindig-

keitskomponente v parallel zum Hang liegt Die verbleibende Energie ist

frac12mv2 = frac12mvL

2cos

2(φK ndash βL) ndash tgρmgvLcos(φK ndash βL)0571 =

frac12mvLcos(φK ndash βL)[vL cos(φK ndash βL) ndash 2tgρ9810571]

Nach einiger Umformung erhaumllt man fuumlr die verbleibende Gleitgeschwindigkeit bei

einer Landung in L in erster Naumlherung

v = vK ndash 16vK ndash 01ρ (Reibungswinkel ρ in alt Grad) (12)

Der Kraft-Zeit-Verlauf ist in Wirklichkeit weder genau mg noch ist er konstant Wie

man leicht zeigen kann ist das Ergebnis aber nicht davon beeinflusst ausser dass sich

die Geschwindigkeit am Ende des Landungsprozesses fruumlher oder spaumlter einstellt Da

die Geschwindigkeitsabminderung aber sehr klein ist kann dieser Umstand vernach-

laumlssigt werden

Der Normaldruck auf das Profil soll analog zur Uumlbergangskurve im Anlauf auf 18g

beschraumlnkt werden dh

gcosβL + v2r2L le 18g asymp 18 (13)

Damit erhaumllt man fuumlr r2L die Eingrenzung

rL ge r2L ge v2(18 ndash 10cosβL) (14)

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

15

zusetzen mit der Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprungprofil

in K Wenn die Flugbahn im Landepunkt die Neigung φK hat muss das Aufsprungpro-

fil die Neigung

fuumlr α von 10deg bis 115deg β = φK ndash arcsin(42vK ((5)

und fuumlr α von 8deg bis 95deg β = φK ndash arcsin(37vK((6)

haben wobei vKnaL red gartebtulosbA red degeschwindigkeit bedeutet

Fuumlr Normal- und Grossschanzen (Tischneigungen von 10deg bis 115deg) sind die k-Werte

der Spitzenspringer (Kolonne 1 und 2 Tab 2) und fuumlr kleine und mittlere Schanzen

(Tischneigungen von 8deg bis 95deg) sind die k-Werte fuumlr schwaumlchere Springer (Kolonne

5 und 6 Tab 2) eingesetzt worden

Auf diesen Grundlagen sind die Diagramme fuumlr die Tischneigungen 8deg bis 115deg der

Sprungschanzen-Baunormen 2008 berechnet worden Die Eingrenzungen der zulaumlssi-

gen Bereich der Wertepaare w und hn hat der Ausschuss des Subkomitees auf Grund

von Erfahrungen festgelegt

4 Das Aufsprungprofil

Das Aufsprungprofil vom Schanzentisch bis zum Punkt K soll fuumlr alle Sprungweiten

gute Landebedingungen ermoumlglichen Dazu soll es bei weiten Spruumlngen die Houmlhe der

Flugbahn uumlber Terrain moumlglichst klein halten Das 1992 eingefuumlhrte und 1996 verfei-

nerte Aufsprungprofil in der Form einer kubischen Parabel hat sich bewaumlhrt Fuumlr die

Optimierung der freien Parameter β0 und δβ ist die Kurvenschar aller in Engelberg

vermessenen Fluumlge zu Rate gezogen worden Die Herleitung der Formeln die in den

Bau-Normen das Aufsprungprofil beschreiben ist reine analytische Geometrie und

bedarf keiner weiter gehenden Erklaumlrung

Fuumlr die Berechnung des Endes L des Landebereiches wurden folgende Annahmen ge-

troffen

Bei Skisprungwettkaumlmpfen wird der Punkt K bekanntlich von einzelnen wenigen

Springern uumlbersprungen Aus einer groumlsseren Anzahl Resultatlisten wurden die Uumlber-

weiten w = wKrsquo ndash wK bestimmt wobei wKrsquo die groumlsste erreichte Weite eines Wett-

kampfes ist

16

Abb 5 Groumlsste Weite bei Krsquo die bei einem Wettkampf erreicht wurde

In Abbildung 5 ist die bei dieser Auswertung zu beachtende damals geltende Geo-

metrie mit dem Kreisbogen r2 dargestellt Aus w und dem zur betreffenden Schanze

gehoumlrenden r2 β und der Flugbahnneigung φK bei der Landung ergibt sich fuumlr die Ver-

schiebung der Flugbahn

D = r2[cos(φK ndash β) ndash cos(φK ndash βKrsquo)] wobei βKrsquo = β ndash Δwr2180π ist

Es hat sich gezeigt dass der Grenzwert fuumlr D etwa bei 0018w liegt Fuumlr diese moumlgli-

chen Groumlsstweiten bei L soll eine aumlquivalente Landehoumlhe von 160 m eingeplant wer-

den Messungen anlaumlsslich der Skiflug-WM 1976 in Oberstdorf haben gezeigt dass

die damit verbundene Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprung-

profil v von 56 ms noch gestanden werden kann Bei L soll somit die Neigung der

Landepiste

βL = φL ndash arcsin(56vL ((7)

betragen

Der Landebereich von K bis L wird als Kreisabschnitt gestaltet Der Radius des Bo-

gens sei rL Fuumlr den Abstand l2 von K und L ergibt sich

l2 = (β ndash βL) rLπ180 = [(φK ndash arcsin(42vK ((ndash (φL ndash arcsin(56vLr [((Lπ180

fuumlr α von 10deg bis 115deg Fuumlr die kleineren α-Werte muumlsste der zweite Term im Klam-

merausdruck konsequenterweise arcsin(37vK gnugelrebUuml nehcielg red tiM netual (

mit der die Landekomponente v bei K fuumlr schwaumlchere Springer herabgesetzt wurde

soll dies auch bei L geschehen so dass der angeschriebene Ausdruck fuumlr l2 fuumlr alle α-

Werte gelten kann

Am Ende der Flugbahn besonders bei den grossen Schanzen ist man nicht mehr weit

von der stationaumlren Endgeschwindigkeit entfernt so dass die Aumlnderung von Betrag

und Richtung der Fluggeschwindigkeit in diesem kurzen Abschnitt im Rahmen der

17

hier gebotenen Genauigkeit vernachlaumlssigbar wird Im weiteren sind die Landewinkel

so klein dass ihr Sinus durch das Bogenmass ersetzt werden kann

Mit vLv asymp K dnu φL asymp φK vereinfachen sich die Gleichungen auf

βL = β ndash 14vK180π (8)

l2 = 14rLvK (9)

Abb 6 Landebereich K bis L

Aus Abbildung 6 erhaumllt man schliesslich

d = 0018w = l2tg(φK ndash β) + l222rL = 1442 rL vK

2 + 14

2 rLvK

22

oder rL = vK2w380 (10)

Die letzte Gleichung stellt die Verbindung zwischen dem bei groumlsseren Schanzen beo-

bachteten durchschnittlichen Mass d und dem Unterschied des zugelassenen v bei K

und L her rL muss aber auch gewaumlhrleisten dass beim Durchfahren der Landestrecke

die Zentrifugalbeschleunigung in Grenzen bleibt Sie soll 80 von g nicht uumlberstei-

gen Es ist somit auch

rL ge 0125 vK2

(10a)

einzuhalten Diese Dimensionierung wird somit bei Schanzen mit w le 48 m

massgebend rL soll auf den naumlchsten Zehnerwert aufgerundet werden

Mit βL und rL sind die Koordinaten von L gegeben

Die Landegeschwindigkeit vK erhaumllt man mit der Integration der Flugbahn Da die zu-

laumlssigen Felder fuumlr die Wertepaare [w hn] fuumlr die verschiedenen Tischneigungen α

einen relativ schmalen Streifen bilden gilt mit ausreichender Genauigkeit die lineare

Beziehung

vK = 068v0 + 1244 (11)

Wenn immer hier von bdquoausreichenderldquo Genauigkeit die Rede ist heisst das dass der

eingeraumlumte Fehler im Bereich weniger Prozente liegt in einem Toleranzbereich der

auch den biomechanischen Ausgangsgroumlssen wie aumlquivalente Landehoumlhe zugespro-

18

chen werden muss Allerdings muss festgehalten werden dass fuumlr die Anwendung sol-

cher Vereinfachung vorausgesetzt werden muss dass der Planer nicht von den Vorga-

ben abweicht

Bei den ganz kleinen Schanzen wird vK von der Naumlherungsformel gegenuumlber der

Wirklichkeit etwas zu gross berechnet Man liegt damit aber auf der sicheren Seite

5 Die Landung

Wer in L landet faumlhrt mit der groumlsstmoumlglichen Geschwindigkeit in den anschliessen-

den Uumlbergangsbogen Der Springer muss durch seine Muskelkraft die Normalkompo-

nente seiner Geschwindigkeit vL= 56 ms auf Null abbremsen Die kinetische Ener-

gie ist

m5622 = 1568m m = Masse Springer und Ski

Wenn er konstant die Kraft die seinem Gewicht samt Ski entspricht bei der Landung

einsetzten wuumlrde haumltte er die aumlquivalente Fallhoumlhe von 160 m zuruumlckzulegen Die

Zeit die er dazu benoumltigt ist t = 56981 = 0571 s Waumlhrend dieser Zeit ist der

Druck auf die Spur um sein Gewicht groumlsser so dass er eine um tgρmg erhoumlhte

Reibungskraft erfaumlhrt und dies uumlber eine Strecke von vLcos(φK ndash βL)0571 Diese

Reibungsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie die in der Geschwindig-

keitskomponente v parallel zum Hang liegt Die verbleibende Energie ist

frac12mv2 = frac12mvL

2cos

2(φK ndash βL) ndash tgρmgvLcos(φK ndash βL)0571 =

frac12mvLcos(φK ndash βL)[vL cos(φK ndash βL) ndash 2tgρ9810571]

Nach einiger Umformung erhaumllt man fuumlr die verbleibende Gleitgeschwindigkeit bei

einer Landung in L in erster Naumlherung

v = vK ndash 16vK ndash 01ρ (Reibungswinkel ρ in alt Grad) (12)

Der Kraft-Zeit-Verlauf ist in Wirklichkeit weder genau mg noch ist er konstant Wie

man leicht zeigen kann ist das Ergebnis aber nicht davon beeinflusst ausser dass sich

die Geschwindigkeit am Ende des Landungsprozesses fruumlher oder spaumlter einstellt Da

die Geschwindigkeitsabminderung aber sehr klein ist kann dieser Umstand vernach-

laumlssigt werden

Der Normaldruck auf das Profil soll analog zur Uumlbergangskurve im Anlauf auf 18g

beschraumlnkt werden dh

gcosβL + v2r2L le 18g asymp 18 (13)

Damit erhaumllt man fuumlr r2L die Eingrenzung

rL ge r2L ge v2(18 ndash 10cosβL) (14)

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

16

Abb 5 Groumlsste Weite bei Krsquo die bei einem Wettkampf erreicht wurde

In Abbildung 5 ist die bei dieser Auswertung zu beachtende damals geltende Geo-

metrie mit dem Kreisbogen r2 dargestellt Aus w und dem zur betreffenden Schanze

gehoumlrenden r2 β und der Flugbahnneigung φK bei der Landung ergibt sich fuumlr die Ver-

schiebung der Flugbahn

D = r2[cos(φK ndash β) ndash cos(φK ndash βKrsquo)] wobei βKrsquo = β ndash Δwr2180π ist

Es hat sich gezeigt dass der Grenzwert fuumlr D etwa bei 0018w liegt Fuumlr diese moumlgli-

chen Groumlsstweiten bei L soll eine aumlquivalente Landehoumlhe von 160 m eingeplant wer-

den Messungen anlaumlsslich der Skiflug-WM 1976 in Oberstdorf haben gezeigt dass

die damit verbundene Landegeschwindigkeitskomponente senkrecht zum Aufsprung-

profil v von 56 ms noch gestanden werden kann Bei L soll somit die Neigung der

Landepiste

βL = φL ndash arcsin(56vL ((7)

betragen

Der Landebereich von K bis L wird als Kreisabschnitt gestaltet Der Radius des Bo-

gens sei rL Fuumlr den Abstand l2 von K und L ergibt sich

l2 = (β ndash βL) rLπ180 = [(φK ndash arcsin(42vK ((ndash (φL ndash arcsin(56vLr [((Lπ180

fuumlr α von 10deg bis 115deg Fuumlr die kleineren α-Werte muumlsste der zweite Term im Klam-

merausdruck konsequenterweise arcsin(37vK gnugelrebUuml nehcielg red tiM netual (

mit der die Landekomponente v bei K fuumlr schwaumlchere Springer herabgesetzt wurde

soll dies auch bei L geschehen so dass der angeschriebene Ausdruck fuumlr l2 fuumlr alle α-

Werte gelten kann

Am Ende der Flugbahn besonders bei den grossen Schanzen ist man nicht mehr weit

von der stationaumlren Endgeschwindigkeit entfernt so dass die Aumlnderung von Betrag

und Richtung der Fluggeschwindigkeit in diesem kurzen Abschnitt im Rahmen der

17

hier gebotenen Genauigkeit vernachlaumlssigbar wird Im weiteren sind die Landewinkel

so klein dass ihr Sinus durch das Bogenmass ersetzt werden kann

Mit vLv asymp K dnu φL asymp φK vereinfachen sich die Gleichungen auf

βL = β ndash 14vK180π (8)

l2 = 14rLvK (9)

Abb 6 Landebereich K bis L

Aus Abbildung 6 erhaumllt man schliesslich

d = 0018w = l2tg(φK ndash β) + l222rL = 1442 rL vK

2 + 14

2 rLvK

22

oder rL = vK2w380 (10)

Die letzte Gleichung stellt die Verbindung zwischen dem bei groumlsseren Schanzen beo-

bachteten durchschnittlichen Mass d und dem Unterschied des zugelassenen v bei K

und L her rL muss aber auch gewaumlhrleisten dass beim Durchfahren der Landestrecke

die Zentrifugalbeschleunigung in Grenzen bleibt Sie soll 80 von g nicht uumlberstei-

gen Es ist somit auch

rL ge 0125 vK2

(10a)

einzuhalten Diese Dimensionierung wird somit bei Schanzen mit w le 48 m

massgebend rL soll auf den naumlchsten Zehnerwert aufgerundet werden

Mit βL und rL sind die Koordinaten von L gegeben

Die Landegeschwindigkeit vK erhaumllt man mit der Integration der Flugbahn Da die zu-

laumlssigen Felder fuumlr die Wertepaare [w hn] fuumlr die verschiedenen Tischneigungen α

einen relativ schmalen Streifen bilden gilt mit ausreichender Genauigkeit die lineare

Beziehung

vK = 068v0 + 1244 (11)

Wenn immer hier von bdquoausreichenderldquo Genauigkeit die Rede ist heisst das dass der

eingeraumlumte Fehler im Bereich weniger Prozente liegt in einem Toleranzbereich der

auch den biomechanischen Ausgangsgroumlssen wie aumlquivalente Landehoumlhe zugespro-

18

chen werden muss Allerdings muss festgehalten werden dass fuumlr die Anwendung sol-

cher Vereinfachung vorausgesetzt werden muss dass der Planer nicht von den Vorga-

ben abweicht

Bei den ganz kleinen Schanzen wird vK von der Naumlherungsformel gegenuumlber der

Wirklichkeit etwas zu gross berechnet Man liegt damit aber auf der sicheren Seite

5 Die Landung

Wer in L landet faumlhrt mit der groumlsstmoumlglichen Geschwindigkeit in den anschliessen-

den Uumlbergangsbogen Der Springer muss durch seine Muskelkraft die Normalkompo-

nente seiner Geschwindigkeit vL= 56 ms auf Null abbremsen Die kinetische Ener-

gie ist

m5622 = 1568m m = Masse Springer und Ski

Wenn er konstant die Kraft die seinem Gewicht samt Ski entspricht bei der Landung

einsetzten wuumlrde haumltte er die aumlquivalente Fallhoumlhe von 160 m zuruumlckzulegen Die

Zeit die er dazu benoumltigt ist t = 56981 = 0571 s Waumlhrend dieser Zeit ist der

Druck auf die Spur um sein Gewicht groumlsser so dass er eine um tgρmg erhoumlhte

Reibungskraft erfaumlhrt und dies uumlber eine Strecke von vLcos(φK ndash βL)0571 Diese

Reibungsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie die in der Geschwindig-

keitskomponente v parallel zum Hang liegt Die verbleibende Energie ist

frac12mv2 = frac12mvL

2cos

2(φK ndash βL) ndash tgρmgvLcos(φK ndash βL)0571 =

frac12mvLcos(φK ndash βL)[vL cos(φK ndash βL) ndash 2tgρ9810571]

Nach einiger Umformung erhaumllt man fuumlr die verbleibende Gleitgeschwindigkeit bei

einer Landung in L in erster Naumlherung

v = vK ndash 16vK ndash 01ρ (Reibungswinkel ρ in alt Grad) (12)

Der Kraft-Zeit-Verlauf ist in Wirklichkeit weder genau mg noch ist er konstant Wie

man leicht zeigen kann ist das Ergebnis aber nicht davon beeinflusst ausser dass sich

die Geschwindigkeit am Ende des Landungsprozesses fruumlher oder spaumlter einstellt Da

die Geschwindigkeitsabminderung aber sehr klein ist kann dieser Umstand vernach-

laumlssigt werden

Der Normaldruck auf das Profil soll analog zur Uumlbergangskurve im Anlauf auf 18g

beschraumlnkt werden dh

gcosβL + v2r2L le 18g asymp 18 (13)

Damit erhaumllt man fuumlr r2L die Eingrenzung

rL ge r2L ge v2(18 ndash 10cosβL) (14)

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

17

hier gebotenen Genauigkeit vernachlaumlssigbar wird Im weiteren sind die Landewinkel

so klein dass ihr Sinus durch das Bogenmass ersetzt werden kann

Mit vLv asymp K dnu φL asymp φK vereinfachen sich die Gleichungen auf

βL = β ndash 14vK180π (8)

l2 = 14rLvK (9)

Abb 6 Landebereich K bis L

Aus Abbildung 6 erhaumllt man schliesslich

d = 0018w = l2tg(φK ndash β) + l222rL = 1442 rL vK

2 + 14

2 rLvK

22

oder rL = vK2w380 (10)

Die letzte Gleichung stellt die Verbindung zwischen dem bei groumlsseren Schanzen beo-

bachteten durchschnittlichen Mass d und dem Unterschied des zugelassenen v bei K

und L her rL muss aber auch gewaumlhrleisten dass beim Durchfahren der Landestrecke

die Zentrifugalbeschleunigung in Grenzen bleibt Sie soll 80 von g nicht uumlberstei-

gen Es ist somit auch

rL ge 0125 vK2

(10a)

einzuhalten Diese Dimensionierung wird somit bei Schanzen mit w le 48 m

massgebend rL soll auf den naumlchsten Zehnerwert aufgerundet werden

Mit βL und rL sind die Koordinaten von L gegeben

Die Landegeschwindigkeit vK erhaumllt man mit der Integration der Flugbahn Da die zu-

laumlssigen Felder fuumlr die Wertepaare [w hn] fuumlr die verschiedenen Tischneigungen α

einen relativ schmalen Streifen bilden gilt mit ausreichender Genauigkeit die lineare

Beziehung

vK = 068v0 + 1244 (11)

Wenn immer hier von bdquoausreichenderldquo Genauigkeit die Rede ist heisst das dass der

eingeraumlumte Fehler im Bereich weniger Prozente liegt in einem Toleranzbereich der

auch den biomechanischen Ausgangsgroumlssen wie aumlquivalente Landehoumlhe zugespro-

18

chen werden muss Allerdings muss festgehalten werden dass fuumlr die Anwendung sol-

cher Vereinfachung vorausgesetzt werden muss dass der Planer nicht von den Vorga-

ben abweicht

Bei den ganz kleinen Schanzen wird vK von der Naumlherungsformel gegenuumlber der

Wirklichkeit etwas zu gross berechnet Man liegt damit aber auf der sicheren Seite

5 Die Landung

Wer in L landet faumlhrt mit der groumlsstmoumlglichen Geschwindigkeit in den anschliessen-

den Uumlbergangsbogen Der Springer muss durch seine Muskelkraft die Normalkompo-

nente seiner Geschwindigkeit vL= 56 ms auf Null abbremsen Die kinetische Ener-

gie ist

m5622 = 1568m m = Masse Springer und Ski

Wenn er konstant die Kraft die seinem Gewicht samt Ski entspricht bei der Landung

einsetzten wuumlrde haumltte er die aumlquivalente Fallhoumlhe von 160 m zuruumlckzulegen Die

Zeit die er dazu benoumltigt ist t = 56981 = 0571 s Waumlhrend dieser Zeit ist der

Druck auf die Spur um sein Gewicht groumlsser so dass er eine um tgρmg erhoumlhte

Reibungskraft erfaumlhrt und dies uumlber eine Strecke von vLcos(φK ndash βL)0571 Diese

Reibungsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie die in der Geschwindig-

keitskomponente v parallel zum Hang liegt Die verbleibende Energie ist

frac12mv2 = frac12mvL

2cos

2(φK ndash βL) ndash tgρmgvLcos(φK ndash βL)0571 =

frac12mvLcos(φK ndash βL)[vL cos(φK ndash βL) ndash 2tgρ9810571]

Nach einiger Umformung erhaumllt man fuumlr die verbleibende Gleitgeschwindigkeit bei

einer Landung in L in erster Naumlherung

v = vK ndash 16vK ndash 01ρ (Reibungswinkel ρ in alt Grad) (12)

Der Kraft-Zeit-Verlauf ist in Wirklichkeit weder genau mg noch ist er konstant Wie

man leicht zeigen kann ist das Ergebnis aber nicht davon beeinflusst ausser dass sich

die Geschwindigkeit am Ende des Landungsprozesses fruumlher oder spaumlter einstellt Da

die Geschwindigkeitsabminderung aber sehr klein ist kann dieser Umstand vernach-

laumlssigt werden

Der Normaldruck auf das Profil soll analog zur Uumlbergangskurve im Anlauf auf 18g

beschraumlnkt werden dh

gcosβL + v2r2L le 18g asymp 18 (13)

Damit erhaumllt man fuumlr r2L die Eingrenzung

rL ge r2L ge v2(18 ndash 10cosβL) (14)

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

18

chen werden muss Allerdings muss festgehalten werden dass fuumlr die Anwendung sol-

cher Vereinfachung vorausgesetzt werden muss dass der Planer nicht von den Vorga-

ben abweicht

Bei den ganz kleinen Schanzen wird vK von der Naumlherungsformel gegenuumlber der

Wirklichkeit etwas zu gross berechnet Man liegt damit aber auf der sicheren Seite

5 Die Landung

Wer in L landet faumlhrt mit der groumlsstmoumlglichen Geschwindigkeit in den anschliessen-

den Uumlbergangsbogen Der Springer muss durch seine Muskelkraft die Normalkompo-

nente seiner Geschwindigkeit vL= 56 ms auf Null abbremsen Die kinetische Ener-

gie ist

m5622 = 1568m m = Masse Springer und Ski

Wenn er konstant die Kraft die seinem Gewicht samt Ski entspricht bei der Landung

einsetzten wuumlrde haumltte er die aumlquivalente Fallhoumlhe von 160 m zuruumlckzulegen Die

Zeit die er dazu benoumltigt ist t = 56981 = 0571 s Waumlhrend dieser Zeit ist der

Druck auf die Spur um sein Gewicht groumlsser so dass er eine um tgρmg erhoumlhte

Reibungskraft erfaumlhrt und dies uumlber eine Strecke von vLcos(φK ndash βL)0571 Diese

Reibungsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie die in der Geschwindig-

keitskomponente v parallel zum Hang liegt Die verbleibende Energie ist

frac12mv2 = frac12mvL

2cos

2(φK ndash βL) ndash tgρmgvLcos(φK ndash βL)0571 =

frac12mvLcos(φK ndash βL)[vL cos(φK ndash βL) ndash 2tgρ9810571]

Nach einiger Umformung erhaumllt man fuumlr die verbleibende Gleitgeschwindigkeit bei

einer Landung in L in erster Naumlherung

v = vK ndash 16vK ndash 01ρ (Reibungswinkel ρ in alt Grad) (12)

Der Kraft-Zeit-Verlauf ist in Wirklichkeit weder genau mg noch ist er konstant Wie

man leicht zeigen kann ist das Ergebnis aber nicht davon beeinflusst ausser dass sich

die Geschwindigkeit am Ende des Landungsprozesses fruumlher oder spaumlter einstellt Da

die Geschwindigkeitsabminderung aber sehr klein ist kann dieser Umstand vernach-

laumlssigt werden

Der Normaldruck auf das Profil soll analog zur Uumlbergangskurve im Anlauf auf 18g

beschraumlnkt werden dh

gcosβL + v2r2L le 18g asymp 18 (13)

Damit erhaumllt man fuumlr r2L die Eingrenzung

rL ge r2L ge v2(18 ndash 10cosβL) (14)

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

19

Bei Grossschanzen ist der Spielraum fuumlr r2L nach oben durch die Forderung

zU le 88 m

eingeschraumlnkt Mehr dazu im naumlchsten Kapitel

6 Die Uumlbergangskurve im Auslauf

Der Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U (siehe Abbildung 7) bisher ein Kreisbogen

mit Radius r2 soll durch eine (quadratische) Parabel ersetzt werden Sie soll im Punkt

L die Neigung βL uumlbernehmen und im Punkt U eine horizontale Tangente haben Die

Kruumlmmungsradien r2L und r2 in den Punkten L bzw U sind frei waumlhlbar Ideal ist die

Wahl r2L = rL

Um die vier Freiheitsgrade zu gewaumlhrleisten muss die Parabel auch schief gedreht

werden koumlnnen Der Drehwinkel sei τ und im Gegenuhrzeigersinn positiv

Abb 7 Uumlbergangsbogen von Punkt L bis U

Die Gleichung der Parabel im gedrehten Koordinatensystem ist

η = Cξ2

Aus der transzendenten Gleichung

r2Lr2 = [cosτcos(τ+βL)]3 (15)

ist zunaumlchst der Drehwinkel τ zu berechnen Dann ergeben sich der Reihe nach

C = 1(2r2(cosτ)3) (16)

a = ndash tg(βL+ τ)2C (17)

b = ndash tg(τ)2C (18)

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

20

U = [xL + Csinτ(a2 ndash b

2) + cosτ(b ndash a) zL ndash Ccosτ(a

2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a)] (19)

Das gedrehte Koordinatensystem hat seinen Ursprung in S (Parabelscheitel)

S = [xL + Ca2sinτ ndash acosτ zL ndash Ca

2cosτ ndash asinτ]

Bei Grossschanzen ist sicher zu stellen dass

zU = zL ndash Ccosτ(a2 ndash b

2) + sinτ(b ndash a) ge -88 m (20)

eingehalten wird (Art 4112 IWO)

Der Ersatz des Kreises durch die Uumlbergangskurve beansprucht eine groumlssere Houmlhendif-

ferenz Bei Grossschanzen ist allenfalls durch Verkleinern von r2L undoder r2 zU so

zu korrigieren dass die Grenze -88 m eingehalten wird Man kann - als Grenzfall -

auch den bisherigen Kreis annaumlhern indem man r2L = r2 setzt

Die Funktion z(x) im Bereich L bis U ist

z(x) = zL ndash Ccosτ(a2 ndash

ξ

2)

ndash sinτ(a ndash ξ ) (21)

wobei

ξ = (cosτ ndash [(cosτ)2 ndash 4C(x ndash xL ndash Ca

2sinτ + acosτ)sinτ]

05)2Csinτ (22)

ist Damit sind alle Elemente fuumlr die Konstruktion der Uumlbergangskurve gegeben

Bei der Wahl von r2L und r2 ist nebst Art 4112 IWO auch Gleichung (13) - fuumlr den

Punkt L formuliert ndash uumlber die ganze Uumlbergangskurve zu beachten In der Regel nimmt

der Normaldruck am Anfang wegen der Zunahme von v noch zu Da im Unterschied

zur Anlaufspur eine Variable mehr gegeben ist kann eine geschlossene Loumlsung nicht

gegeben werden Vielmehr ist hier die Differentialgleichung

d(v2)ds = 2g sin(φ-ρ) ndash 2(k+ρr)v

2 (23)

gleich lautend wie fuumlr die Anlaufspur zu integrieren

Im Bericht der ETHZ werden als Ergebnis der Messungen in Engelberg die Werte

k = 0004 und ein Gleitreibungskoeffizient von 0015 was einem Reibungswinkel

ρ asymp 1deg entspricht gegeben

Die gegenuumlber bisher neu vorgegebene sorgfaumlltige Austarierung der Uumlbergangskurve

zum Auslauf bringt einen erheblichen Gewinn an Fahrkomfort der auch bei kleinen

und mittleren Schanzen den Springern zugute kommt Mit der Anwendung der Soft-

ware wird der Berechnungsaufwand minimal Fuumlr Vorstudien kann die bisherige Louml-

sung mit Kreisbogen herangezogen werden Der Radius r2 ist naumlherungsweise

r2 = vK2(20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (24)

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

21

7 Der Auslauf

Der Springer hat bei der Uumlberfahrt von U die Geschwindigkeit vU die die Integration

der Differentialgleichung (23) liefert Ein genaumlherter Wert ist

vU2

= 8 vK2 (20cosβL + vK

2βL7000 ndash 125) (25)

Der Bericht der ETHZ uumlber den Geschwindigkeitsverlauf im ebenen und horizontalen

Auslauf in Engelberg zeigt drei Phasen

1 Beruhigungsstrecke nach U von ca 1 Sekunde auf welcher der Springer freie

Fahrt laumlsst und nur der Luftwiderstand mit einem k-Wert von 0003 bremst Auf

die Beruumlcksichtigung einer Bremsung oder Beschleunigung bei einem allfaumllli-

gen Gefaumllle des Auslaufes kann verzichtet werden da in diesem Abschnitt der

Ausrundung der Einfluss gering ist

2 Danach setzt eine Bremsung ein die nicht konstant und individuell verschieden

ist Es laumlsst sich aus 23 ausgewerteten Spruumlngen aber eine durchschnittliche

Verzoumlgerung aus Schneereibung und Luftwiderstand von zusammen 48 ms2

ermitteln Dazu ist ein allfaumllliges Gefaumllle mit zu beruumlcksichtigen

3 Wenn die Abbremsung auf ca 18 ms erfolgt ist wird ein Abschwung eingelei-

tet der noch eine auf die Schanzenachse projizierte Laumlnge von ca 15 m bean-

sprucht

Am Ende des ersten Abschnittes nach vU Metern ist das Quadrat der Geschwindigkeit

auf vU2(1 ndash 20003vU) und im zweiten Abschnitt auf ca 18

2 asymp 300 gebremst Dar-

aus rechnet sich die Auslauflaumlnge

a = vU + [vU2(1 ndash 20003vU) ndash 300][2(48 ndash 981sinδ] + 15 + 5 (26)

δ ist der Neigungswinkel des Auslaufes bei Gegensteigung negativ Der letzte Term

von 5 m ist ein Sicherheitszuschlag

Damit folgt bei horizontalem Auslauf mit gerundeten Werten und linearisiert

a = 5vU ndash 55 (27)

oder wie die Durchrechnung einer groumlsseren Zahl von Schanzen mit w von 20 bis 130

m und Tischneigungen von 80deg bis 115deg ergeben hat trifft die nachstehende Naumlhe-

rung die Laumlnge a auf 1 m genau

a = 189 + 1113w ndash 000482w2 (28)

Bei einer Neigung δ der Ebene ist

a = vU + [vU2(1 ndash 0006vU) ndash 300][96 ndash 20sinδ] + 20 (29)

Bei den Messungen in Engelberg herrschten griffige Schneeverhaumlltnisse vor Bei ver-

eister Piste werden Bremswege laumlnger Es ist deshalb anzumerken dass fuumlr die Uumlber-

nahme der Normwerte die Beachtung der Weisung Art 401232 FIS-IWO Band III

Voraussetzung ist

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

22

Fuumlr kleine Schanzen ist mit Ruumlcksicht auf Anfaumlnger eine Mindestanlauflaumlnge von 45m

erforderlich

Fuumlr Sommerbetrieb mit Rasenauslauf ist a generell um 15 m zu erhoumlhen

CH-6078 Lungern Juni 2008

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

23

ANHANG

Der Einsatz von Flugbahnaufnahmen fuumlr die Optimierung von

Sprungschanzenprofilen

1 Vorbemerkungen

Skisprungschanzen unterscheiden sich im Wesentlichen durch die erreichbaren Weiten

(Hill-Size) und durch ihre Steilheit (hn-Verhaumlltnis) Die Baunormen der FIS beschrei-

ben das Laumlngsprofil (Anlauf Aufsprung und Auslauf) innerhalb gesetzter Grenzen der

vorgenannten Parametern Die Gestalt des Aufsprungprofils soll den Benuumltzern ermoumlg-

liche kurze und weite Spruumlnge sicher zu stehen

Voraussetzung fuumlr diese Optimierungsaufgabe ist die Kenntnis der Flugbahn der

Springer Flugbahnen lassen sich mittels Videoaufnahmen anlaumlsslich von Skisprung-

wettbewerben sehr genau aufzeichnen Es waumlre aber zu aufwaumlndig solche Analysen

auf all den verschiedenen Schanzentypen vorzunehmen Es war daher eine Methode zu

suchen die es erlaubt aus Flugbahnaufnahmen die auf einer einzigen Schanze ge-

wonnen werden die dahinter steckenden physikalischen Gesetze zu ermitteln die dann

auch auf andere Schanzentypen uumlbertragen werden koumlnnen

Die einzige Methode der Bereitstellung verschieden gestalteter Flugbahnen ist die ma-

thematische Simulation des physikalischen Vorganges eines Skisprunges Dieser wird

beherrscht von der Erdbeschleunigung und den auf den Springer einwirkenden Luft-

kraumlften Wenn man die Kraumlfte parallel und senkrecht zur Flugbahn kennt kann jede

beliebige Bahn berechnet werden Ein System von Differentialgleichungen mit An-

fangsbedingungen beschreibt den Vorgang Es sind somit einerseits die Anfangsbedin-

gungen bestehend aus Betrag und Richtung der Absprunggeschwindigkeit uumlber der

Schanzentischkante und andrerseits die Entwicklung der erwaumlhnten Luftkraftkompo-

nenten als Funktion der Zeit oder - wie noch zu zeigen ist - besser als Funktion der

Bahnneigung zu bestimmen

2 Wahl geeigneter Beiwerte der Luftkraumlfte

Die Werte kW (Luftwiderstand) und kA (Auftrieb) liefern multipliziert mit v2 die Ver-

zoumlgerung der Springer in Flugrichtung und die Auftriebsbeschleunigung senkrecht zur

Flugbahn und haben die Dimension m-1

Sie haben fuumlr die Erarbeitung von Schanzen-

baunormen gegenuumlber den individuellen dimensionslosen Koeffizienten cW und cA

wie sie in der Aerodynamik gebraumluchlich sind den Vorteil dass sie direkt die allein

interessierenden bahnformenden Beschleunigungen liefern Die individuellen Einfluumls-

se (Gewicht und Anstroumlmquerschnitt) koumlnnen beim Bau von Schanzen ja nicht beruumlck-

sichtigt werden Fuumlr die Ermittlung des Einflusses der Meereshoumlhe auf die spezifische

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

24

Masse der Luft und damit auf die Gestalt der Flugbahn sind allenfalls gesonderte Un-

tersuchungen vorzunehmen

Das Institut fuumlr Biomechanik der Eidgenoumlssischen Technischen Hochschule Zuumlrich

(ETHZ) hat anlaumlsslich des Weltcupspringens vom 15 bis 17 Dezember 2006 in En-

gelberg (Schweiz) Flugbahnen der Spitzenspringer aufgenommen ausgewertet und

verschiedene Daten als Grundlage fuumlr die Uumlberarbeitung der Baunormen zusammen-

gestellt Gleichzeitig wurden auch mittlere und kurze Spruumlnge untersucht um mit de-

ren Ergebnissen die moumlgliche Kurvenschar darzustellen die auf einer Schanze anzu-

treffen ist Eine der Anforderungen die ein Schanzenprofil mit erfuumlllen muss ist die

Gewaumlhrleistung sicherer Landungen auch bei kurzen Spruumlngen Es wird auf den aus-

fuumlhrlichen Bericht des Instituts vom 19 Juli 2008 verwiesen

3 Einfluss des Windes auf die Flugbahn

In den Normen zum Bau von Schanzen kann auf allfaumlllig herrschende Winde nicht

Ruumlcksicht genommen werden Die Normen sollen daher klar von der Annahme sbquoWind-

stillersquo ausgehen Wird eine Flugbahn eines Springers ausgewertet bei dem ein herr-

schender Aufwind oder Ruumlckenwind oder lokale Boumlen aufgetreten sind sind die er-

rechneten kA- und kW-Werte verfaumllscht Leider herrschte waumlhrend der Wettkaumlmpfe in

Engelberg nicht Windstille Es wurden Windgeschwindigkeiten bis zu 24 ms waumlh-

rend Spruumlngen (Ammann Kuumlttel Schlierenzauer) gemessen

Das Institut fuumlr Biomechanik hat hiezu verschiedene Simulationen vorgenommen die

aufzeigen dass lokale Windboumlen wie sie waumlhrend eines Sprunges auf einzelnen Be-

reichen der Flugbahn auftreten koumlnnen signifikante Auswirkung auf den Verlauf der

Flugbahn und damit auf die erzielte Weite verursachen und zwar in einem Ausmass

das durchaus vergleichbar ist mit den beobachteten persoumlnlichen Leistungsschwan-

kungen eines Springers von Sprung zu Sprung Lokale Windboumlen sind oft raumlumlich

eng begrenzt und werden durch die Windmessanlagen nicht zuverlaumlssig erfasst Daraus

folgt dass die Luftkraftwerte wenn sie nicht aus Spruumlngen bei Windstille berechnet

werden nicht zu gleichzeitig aufgezeichneten Koumlrper- und Skihaltungen zugeordnet

werden koumlnnen Fuumlr die Verwendung zum Zweck der Optimierung des Aufsprungpro-

fils was ja hier alleinige Zielsetzung ist sind sie aber dennoch brauchbar wie im

ETHZ-Bericht dargelegt wird

4 Einschraumlnkung der Guumlltigkeit der Ergebnisse

Wie eingangs erwaumlhnt erlaubt die Kenntnis der Werte kW und kA und deren Aumlnderung

waumlhrend eines Fluges auch die Simulation von Flugbahnen die von den ausgewerteten

Flugbahnen von Engelberg abweichen dh von anderen Anfangsbedingungen ausge-

hen Ein Nachweis innerhalb welcher Grenzen die Ausmasse der Schanze liegen muumls-

sen ist nicht moumlglich da Vergleichsrechnungen fehlen Wir schaumltzen dass eine untere

Grenze bei Schanzen mit Juryweiten (HS) von 85 Metern liegt Dies schon deshalb

weil wir die Flugeigenschaften von Weltklassespringern zu Grunde gelegt haben die

auf mittleren und kleinen Schanzen gar nicht springen Die Einschraumlnkung nach oben

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

25

ist offener Es soll aber wie bisher gelten dass Flugschanzen soweit es sich um geo-

metrische Anweisungen fuumlr das Schanzenprofil handelt nicht mehr von der Norm be-

schrieben werden Fuumlr Studienzwecke kann die Flugbahn aber auch fuumlr Flugschanzen

simuliert werden

5 Bedingungen fuumlr die Gewaumlhrleistung einer gewuumlnschten Genauigkeit der ge-

wonnenen Luftkraftbeiwerte

51 Die gewuumlnschte Genauigkeit der Luftkraftbeiwerte

Die kW- und kA-Werte bestimmen wie oben beschrieben die Beschleunigungen auf

der Flugbahn Ihre Berechnung aus vermessenen Flugbahnen bedingt eine zweimal

hintereinander ausgefuumlhrte Differentiation einer Kurve die durch ausgemessene

Bahnkoordinaten gegeben ist Letztere werden aus den Filmaufnahmen unter Naumlhe-

rungsermittlung des Schwerpunktes des Systems SpringerSki ausgewertet Sie sind

mit Fehlern behaftet die auf verschiedene Ursachen zuruumlckzufuumlhren sind und im Be-

richt der ETHZ quantifiziert werden

Um eine zweifache Differentiation mit der Differenzenmethode durchfuumlhren zu koumln-

nen sind mindestens drei benachbarte Bahnpunkt Pn-1 Pn Pn+1 mit vorzugsweise

gleich grossen Zeitintervallen Δt erforderlich Je naumlher diese beieinander liegen um

so groumlsser ist der Einfluss der Fehler an den Bahnkoordinaten Es ist der erforderliche

minimale Abstand der zu verwendenden Bahnpunkte abzuschaumltzen der eine Bestim-

mung der k-Werte auf eine wuumlnschbare Genauigkeit gewaumlhrleistet Die kW- und kA-

Werte liegen wie fruumlhere Untersuchungen gezeigt haben zwischen 00025 m-1

und

00060 m-1

Wenn wir eine Genauigkeitsforderung von 00002 m-1

stellen was 3 bis

8 der Werte bedeutet erhalten wir gute Simulationen weil diese ja wiederum glaumlt-

tend wirkende Integrationen sind

52 Die naumlherungsweise Differentiation der Flugbahn mit der Kreisbogenmetho-

de

Es gibt verschiedene Modelle der Durchfuumlhrung der Differentiationen Ausgangspunkt

ist die Wahl der Approximation der Flugbahn oder einzelner Bahnabschnitte Man

kann die gemessenen Bahnpunkte durch ein Polynom von t approximieren Auf diese

Weise koumlnnen durch geeignete Wahl des Polynomgrades die Kurven geglaumlttet werden

Aus den Polynomen erhaumllt man analytisch die k-Werte als Funktionen von t Diese

Methode wendet die ETHZ in ihrem Bericht an

Sehr gute Ergebnisse gewaumlhrleistet die Wahl eines Kreisbogens fuumlr die Approximation

eines Bahnkurvenabschnittes Diese Methode erlaubt zudem eine einfache Darstellung

der Fortpflanzung von Fehlern an den Bahnkoordinaten auf die k-Werte Sie soll daher

nachfolgend aufgezeigt werden

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

26

Es empfiehlt sich hierzu die Einfuumlhrung von Polarkoordinaten fuumlr die erste und zweite

Ableitung der Flugbahnkoordinaten x und z mit v und φ bzw v und φ (v =

dvdt)

Es gilt die Vorzeichenkonvention x positiv horizontal nach rechts z positiv nach

oben v positiv in Flugrichtung und φ positiv im Uhrzeigersinn von der x-Achse ge-

messen

Das System der vier Differentialgleichungen die die Flugbahn beschreiben lautet

x = vcosφ (φ in alter Teilung 360deg) (1)

z = ndashvsinφ (2)

v = gsinφ ndash kWv2

(3)

φ = (gcosφ ndash kAv2)180 π v

(4)

Die dritte Gleichung ist die Gleichgewichtsformulierung der einwirkenden Kraumlfte in

Richtung Bahntangente dividiert durch die Masse von Springer und Ski Die vierte

Gleichung stellt das Gleichgewicht in radialer Richtung dividiert durch Masse und

Geschwindigkeit dar

Ersetzen wir den Flugbahnabschnitt zwischen den gemessenen Bahnpunkten nndash1 n

und n+1 mit einem Kreisabschnitt so kann das Kreiszentrum und der Kreisradius be-

rechnet werden Die Bahnneigung φn im zu untersuchenden mittleren Bahnpunkt Pn

ist angenaumlhert normal zur Verbindung Kreiszentrum mit Pn Die Bogenlaumlngen Pn-1 - Pn

und Pn - Pn+1 koumlnnen durch die Sehnenlaumlngen ersetzt werden da sie sich nur um Groumls-

sen zweiter Ordnung unterscheiden Sie seien s1 und s2 Die Geschwindigkeit und die

Bahnbeschleunigung in Pn ist naumlherungsweise

v = (s1+s2) (2Δt) und (5)

φ = vr 180π (6)

v = (s2 ndash s1) Δt2 (7)

Erweiterung dieser Gleichungen fuumlr den Fall wo die zwei Zeitintervalle nicht gleich

gross sind

v = (s1Δt22 + s2Δt1

2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (8)

φ = vr 180π (9)

v = 2(s2Δt1 ndash s1Δt2)Δt1Δt2(Δt1+Δt2) (10)

Die gesuchten Werte kW und kA im Punkt Pn erhaumllt man dank der Polarendarstellung

direkt aus der dritten und vierten Differentialgleichung

kW = (gsin φ ndash v˙)v2 (11)

kA = (gcosφ ndash v2r)v

2 (12)

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

27

Es soll als Erstes gepruumlft werden wie leistungsfaumlhig die Approximation der Bahn mit

einem Kreisbogen ist Dazu berechnen wir Bahnpunkte theoretisch exakt im Fall eines

reibungslosen Fluges (Parabel) um dann mit der Kreismethode zu pruumlfen wie stark

die k-Werte von Null (reibungsfrei) abweichen Wir waumlhlen dazu die Anfangsbedin-

gungen wie sie in der Groumlssenordnung einem Sprung auf der Titlisschanze in Engel-

berg entsprechen

x(0) = 0

z(0) = 0

x) 0) = 26 ms

z) 0) = ndash 25 ms

Die Bahnpunktkoordinaten sind

x(t) = 26t

z(t) = ndash25t ndash gt22

und die Ableitungen

v(t) = (262 + (25+gt)

2)^05 v (t) = (25+gt)gv

φ(t) = arctg((25+gt)26) φ (t) = vr180π

r(t) = v2gcosφ

Vergleichen wir diese exakte Beschreibung durch die Parabel mit der Naumlherung durch

einen Kreisbogen Wir waumlhlen fuumlr Pi die Zeiten 06 12 und 18 Sekunden

(Δt = 06 s)

Parabel (genaue Werte) Kreisbogen

P1 [15600000 ndash3 2658] [15600000 ndash3 2658] genaue Uumlbernahme

P2 [31200000 ndash100632] [31200000 ndash100632] genaue Uumlbernahme

P3 [46800000 ndash203922] [46800000 ndash203922] genaue Uumlbernahme

s1 170166

s2 187096

Fuumlr t = 12 Sekunden ist Abweichung ()

v 29659 29772 038

φ 28763 28290 167

v 47205 47027 038

φ 166125 165871 015

r 102294 102838 053

kW 00000000 ndash 00000602

kA 00000000 00000218

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

28

Die Abweichung der k-Werte als Folge des Ersatzes der wirklichen Bahnkurve durch

Kreisbogenabschnitte sind somit selbst bei sehr grossen Bahnabschnitten vernachlaumls-

sigbar

Fuumlr die Erreichung des Ziels bei gegebener Standartabweichung der Koordinatenmes-

sungen die k-Werte auf 00002 m-1

berechnen zu koumlnnen ist der minimal zulaumlssige

Bahnpunkteabstand zu ermitteln

Auf das System SkispringerSki wirken auf seiner Flugbahn wie erwaumlhnt die Schwer-

kraft und die beiden Luftkraumlfte Widerstand und Auftrieb Die Schwerkraft ist exakt

bekannt und kann daher in der folgenden Analyse unterdruumlckt werden Es ist nur zu

untersuchen in welcher Weise die Messungenauigkeit der drei beigezogenen Bahn-

punkte die beiden k-Werte veraumlndern

Abb 1

In Abbildung 1 sind die Flugbahnen ohne Einfluss der Schwerkraft - deshalb als gera-

de Linien - mit den in den vier moumlglichen extremen Konfigurationen auftretenden

Fehlern d an den drei Bahnpunkten dargestellt Im Fall 1 taumluschen die Fehler eine ver-

zoumlgerte Bewegung im Fall 2 einen Auftrieb im Fall 3 eine beschleunigte Bewegung

und im Fall 4 einen Abtrieb vor

Wir duumlrfen davon ausgehen dass die Abweichungen der gemessenen Bahnpunktkom-

ponenten in Flugrichtung und senkrecht dazu etwa einer Gaussrsquoschen Verteilung ent-

sprechen mit der Standartabweichung (mittlerer Fehler) m

Wenn die Lage der drei Bahnpunkte mit den Vektoren S1 S2 und S3 gegeben und

diese je mit dem mittleren Fehler m an den Komponenten behaftet sind so ist die Ab-

weichung von einer gleichfoumlrmigen Bewegung (Beschleunigung oder Verzoumlgerung)

a = (S1 ndash 2S2 + S3)Δt2

und der mittlere Fehler von a ist nach dem Gaussrsquoschen Fehlerfortpflanzungsgesetz

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

29

ma = [m2 +(2m)

2 +m

2]^05Δt

2 = radic6mΔt

2 Er ist gleichzusetzen mit mkwv

2

Im ETHZ-Bericht Seite 7 wird der durchschnittliche mittlere Fehler an den Bahnkoor-

dinaten mit m = 0026 [Meter] ausgewiesen Daraus folgt der gesuchte Bahnpunktab-

stand

s = (radic6mmkw)^05 = (245002600002)^05 = 18 m

Bei der Verfaumllschung sbquoAuftriebrsquo durch Bahnkoordinatenfehler berechnen wir zunaumlchst

den mittleren Fehler der Bahnkruumlmmung Letztere ist

1r = 2 fs2 wobei der mittlere Fehler an der Pfeilhoumlhe f

mf = [(05m)2 + m

2 + (05m)2]^05 = radic15m ist Eingesetzt folgt

m1r = radic6ms2

Aus Gleichung 12 erhaumllt man bei Ausserachtlassung der Schwerkraft (g = 0) kA = 1r

Damit ist mka = m1r und

s = (radic6mmkA)^05 = 18 m

also gleich wie fuumlr kW Wenn die mittleren Fehler der Bahnpunkte in Bewegungsrich-

tung und quer dazu gleich sind so sind auch die mittleren Fehler an den beiden k-

Werten gleich Die Faumllle 3 und 4 fuumlhren zum gleichen Ergebnis

Um bei einer Grossschanze die kW- und kA-Werte auf 210-4

m-1

genau aus Flugbahn-

vermessungen ermitteln zu koumlnnen muumlssen die drei beigezogenen benachbarten

Bahnpunke gegenseitige Abstaumlnde von mindestens 18 m haben

18 m Punktabstand erscheint auf den ersten Blick gross Analysen schneller Bewe-

gungen wie etwa die Ablaumlufe beim Absprung vom Schanzentisch oder bei der Lan-

dung koumlnnten mit dieser Methode keinesfalls analysiert werden Die Flugbahn selbst

wird durch ausgesprochen monotone Beschleunigungsveraumlnderungen beschrieben Es

ist daher absolut ausreichend wenn die Werte kW und kA im Abstand von etwa 18 m

verteilt auf die ganze Flugbahnlaumlnge bekannt sind Zwischenwerte koumlnnen linear inter-

poliert werden

Noch nicht geloumlst ist die Ermittlung dieser Werte zur Zeit t = 0 denn hier beginnt erst

die Flugbahn ein Bahnpunkt vor dem Absprung steht nicht zur Verfuumlgung Die Ver-

kleinerung der Schrittweite in den Randbereichen loumlst das Problem nicht weil dabei

die formulierte Minimalforderung der Bogenlaumlnge unterschritten und damit die gefor-

derte Genauigkeit nicht mehr erreicht wird Fuumlr die auf der Titlisschanze in Engelberg

vorgenommenen Messungen kennen wir aus der Analyse des Absprunges die An-

fangsbedingung v(0) sehr genau Etwas weniger genau laumlsst sich der Winkel der An-

fangstangente der Flugbahn ermitteln da im Zeitpunkt t = 0 durch die dort wegfallen-

de Bodenreaktion eine fuumlr die z-Komponente der Bewegung massgebende Unstetigkeit

auftritt

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

30

Wir uumlbernehmen versuchsweise die gemessenen Werte als Anfangswerte und integrie-

ren das Differentialgleichungssystem in der ersten Schrittweite Δt = 06 s wobei wir

fuumlr die noch unbekannten k-Werte zur Zeit t = 0 die Werte 0 einsetzen Wir verfehlen

dabei die gemessenen Bahnkoordinaten x und z zur Zeit t = 06 um Δx und Δz Die

gesuchten k-Werte erhalten wir in erster Naumlherung aus dem Gleichungssystem

partxpartkWΔkW + partxpartkAΔkA = -Δx

partzpartkWΔkW + partzpartkAΔkA = -Δz

wobei die partiellen Differentialquotienten mit den bekannten Methoden der ange-

wandten Mathematik erhalten werden Mit ΔkW und ΔkA hat man eine erste Naumlhe-

rung Durch iteratives Wiederholen der Prozedur gelangt man zu den gesuchten k-

Werten wobei die Iteration sehr gut konvergiert

Damit haben wir alle Daten die fuumlr die mathematische Simulation der Flugbahnen der

in Engelberg ausgemessenen Spruumlnge erforderlich sind Es stellt sich die Frage wie

die Funktion der k-Werte aussehen muumlssen um Flugbahnen mit andern diesmal vor-

gegebenen Anfangsbedingungen zu simulieren Kleinere Geschwindigkeiten fuumlhren zu

zeitlich und weitenmaumlssig kuumlrzeren Spruumlngen Die Zeit als Argument fuumlr die k-Werte

ist daher nicht geeignet Die Werte sind Funktionen der raumlumlichen Gestalt des Sys-

tems Springer-Ski der Anstroumlmflaumlche und der Anstroumlmrichtung der Luft Am Tref-

fendsten ist die Einfuumlhrung der Anstroumlmrichtung als Argument Sie ist bei Windstille

gleich der Bahnneigung korrigiert um die Neigung der Linie Kopf-Fuss des Springers

zur Horizontalen Letztere bewegt sich um den Wert Null und ist erfahrungsgemaumlss

bei allen Springern innerhalb der zu beobachtenden Genauigkeit aumlhnlich in dem Sinne

als sie als charakteristische Funktion von der Bahnneigung φ auftritt Die k-Werte die

zu den kleinsten Winkeln gehoumlren beschreiben die erste Flugphase jene bei grossen

Winkeln die Phase mit der quasistationaumlren Flughaltung Damit kann man auf eine

Korrektor des Argumentes φ verzichten Da im Unterschied zu den Aufnahmen von

1994 in Oberstdorf die erst Phase nun viel detaillierter aufgenommen und ausgewertet

wurde kann auf ein Korrekturglied in der Form einer zeitabhaumlngigen k-Wertefunktion

verzichtet werden

53 Veranschaulichung an einem Beispiel

Es wird eine Flugbahn auf der Basis mathematisch frei festgelegter einfacher Funkti-

onen von kW- und kA-Werten berechnet die der Groumlssenordnung nach jener von En-

gelberg entsprechen Die errechneten Koordinaten der Bahnpunkte werden als Ergeb-

nis einer Flugbahnvermessung interpretiert Aus ihnen sind die aufgetretenen Luftkraumlf-

te mit dem aufgezeigten Verfahren ruumlckwaumlrts zu ermitteln Die Koordinaten werden

dazu unverfaumllscht uumlbernommen um Genauigkeitskontrollen an den Ergebnissen

durchfuumlhren zu koumlnnen

Es sei v0 = 26 ms

φ0 = 55deg

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

31

kW = (2+3t+05t^2)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

kA = (2+t)10-3

(frei gewaumlhlte einfache Funktion)

Die Schrittweite bei der Integration soll wieder 06 Sekunden sein

Die Integration nach Runge-Kutta ergibt folgende Bahnkoordinaten und ndashgeschwin-

digkeiten als Funktion der Zeit

t x z v φdeg

0 00 00 260000 55000

06 152645 -29462 259669 161911

12 298719 -85663 263246 256278

18 437366 -164701 269555 334253

24 568951 -262460 277360 394751

30 694837 -375058 285943 438534

36 817177 -499172 295249 467111

42 938761 -632179 305794 481951

48 1062995 -772132 318558 484025

Tabelle 1

Bei Verwendung einer Schrittweite von Δt = 01 s waumlren die Koordinatendifferenzen

bei t = 48 s oder einer Fluglaumlnge von rund 130 m in der Groumlssenordnung von nur 10

mm Es kann daher in der weiteren Rechnung stets mit Δt = 06 s gerechnet werden

In Anwendung der Formeln (5) (6) (7) (11) und (12) werden mit den Bahnkoordina-

ten von Tabelle 1 die Werte von Tabelle 2 berechnet und mit den genauen Werten ver-

glichen die die Runge-Kutta-Integration ergeben hat

t kW kW exakt Δ kA kA exakt Δ v φdeg v φ

06 0003561 000362 16 0002646 00026 18 25998 15967 02917 16845

12 0004813 000488 14 0003245 00032 14 26342 25323 08558 14387

18 0005716 000578 11 0003840 00038 11 26960 33102 12031 11534

24 0006260 000632 10 0004434 00044 08 27735 39172 13809 8663

30 0006443 000650 09 0005026 00050 05 28597 43583 14938 5999

36 0006263 000632 09 0005619 00056 03 29540 46473 16473 3592

42 0005721 000578 10 0006213 00062 02 30612 47979 19267 1392

Tabelle 2

Die Abweichungen der k-Werte erfuumlllen die gewuumlnschte Genauigkeit

Nach der Vorgabe in Abschnitt 3 sind die noch fehlenden k-Werte fuumlr t = 0 wie folgt

zu berechnen Mit den Anfangswerten

x = 0 z = 0 v = 26 φ = 55deg

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

32

und den ermittelten k-Werten (Spalte 2 und 5 Tabelle 2) wird die Flugbahn fuumlr die

erste Schrittweite von 06 s durchgerechnet wobei fuumlr die noch unbekannten k-Werte

Null gesetzt wird Der erste Bahnpunkt wird um

Δx = -01410 m und

Δz = 01776 m

verfehlt Die vier partiellen Ableitungen der zwei Bahnkoordinaten nach den zwei k-

Werten sind

partx1partkW = -792282 partz1partkW = 115813

partx1partkA = 108366 partz1partkA = 799485

Daraus liefert das Gleichungssystem die ersten Naumlherungen

kW = 0002064

kA = 0001942

Die zweite Iteration ergibt

kW = 0002077

kA = 0001981

und die dritte Iteration ergaumlbe Korrekturen im Bereich 10-9

Die Werte sind auf wenig

Prozente genau die vorgegebenen kW = 0002 und kA = 0002 zur Zeit t = 0 Diese

Rechnung muss selbstverstaumlndlich fuumlr jede Flugbahnauswertung gesondert angestellt

werden

Es soll die Uumlbereinstimmung der ganzen simulierten Flugbahn mit der exakten Flug-

bahn verglichen werden Fuumlr t = 42 s ergeben sich die Abweichungen

Δx(42) = 0386 m

Δz(42) = 0050 m

Δv(42) = 0102 ms

Δφ(42) = 0271deg

In Anbetracht der Bahnlaumlnge von 114 m und im Vergleich zur erreichbaren Genauig-

keit der Lage der Aufsprungflaumlche in der Wirklichkeit ist das Ergebnis sehr gut

Es soll noch die Umwandlung der k-Werte von Funktionen der Zeit in Funktionen der

Bahnneigung durchgefuumlhrt werden Aus Tabelle 2 und der Ergaumlnzung der Werte fuumlr

t = 0 erhaumllt man Tabelle 3

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

33

φdeg kw ka

5500 0002077 0001942

15967 0003561 0002646

25323 0004813 0003245

33102 0005716 0003840

39172 0006260 0004434

43583 0006443 0005026

46473 0006263 0005619

47979 0005721 0006213

Tabelle 3

Man kann fuumlr die beiden k-Werte Polynome in φ ermitteln um Zwischenwerte zu in-

terpolieren Es zeigt sich aber dass lineare Interpolationen zwischen den einzelnen k-

Werten die gestellten Genauigkeitsanspruumlche erfuumlllen Die Neuberechnung der Flug-

bahn ergibt naumlmlich Abweichungen von den exakten Werten

Δx(42) = 0354 m

Δz(42) = 0174 m

Δv(42) = 0092 ms

Δφ(42) = 0417deg

Also von gleicher Groumlssenordnung wie bei der Berechnung mit den k-Werten als Zeit-

funktionen

Abschliessend soll die Fehlerfortpflanzung durch die Integration des Differentialglei-

chungssystems veranschaulicht werden An den exakt ermittelten Koordinaten in Ta-

belle 1 soll allein z(24) um 20 cm erhoumlht werden Dieses Mass ist wesentlich uumlber

einem zu erwartenden Fehler An der Stelle t = 24 ist die Bahneigung 39deg Der Bahn-

punkt ist somit um 13 cm vorverschoben und 15 cm uumlber die Bahn gelegt

In der nachfolgenden Tabelle 4 sind die k-Werte umgerechnet in Funktion von φ dar-

gestellt Die Spalten 2 und 3 enthalten zum Vergleich die Werte ohne die Verfaumll-

schung wie sie zu Tabelle 3 gehoumlren Spalten 4 und 5 enthalten die Werte mit der Ver-

faumllschung Die Abweichungen uumlberschreiten zT 20

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

34

φ kW kA kW kA

50 000201 000191 (mit kuumlnstlich einge-

75 000236 000208 fuumlhrtem Fehler)

100 000272 000225

125 000307 000241

150 000342 000258

175 000377 000275

200 000410 000290

225 000444 000306

250 000477 000322

275 000507 000341 000520 000362

300 000536 000360 000565 000405

325 000565 000379 000610 000448

350 000589 000403 000588 000412

375 000611 000427 000555 000363

400 000629 000455 000563 000372

425 000640 000488 000644 000484

450 000635 000532 000661 000552

475 000588 000604

500 000495 000706

Tabelle 4

Integriert man mit diesen k-Werten weicht die gewonnene Flugbahn von der als

Grundlage dienenden verfaumllschten Bahn wie folgt ab

t [s] x [m] z [m]

06 000 000

12 000 000

18 003 006

24 007 -003

30 014 013

36 023 013

42 035 017

Tabelle 5

Die berechnete Bahn verfehlt den verfaumllschten Punkt nur um 23 cm nach immerhin 63

m () Flugbahn und nach 42 s ist die Abweichung genau gleich gross wie bei der

Rechnung mit dem unverfaumllschten Bahnpunkt Daraus ist der Schluss zu ziehen dass

Fehler an den Bahnkoordinaten die k-Werte zwar stark veraumlndern und damit auch ver-

faumllschen aber mit d e r Eigenschaft dass der Fehler sich nicht auf die uumlbrige Flug-

bahn ausbreitet sondern dafuumlr sorgt dass der Flug alle Punkte fehlerhaft oder nicht

moumlglichst beruumlhrt Diese Feststellung ist wichtig denn als Schanzenbauer sind wir an

einer wirklichkeitsnahen Simulation von Flugbahnen (Ermittlung von Landepunkt und

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser

35

Landedruck) interessiert Diese Auskuumlnfte erhalten wir mit einer Genauigkeit die der

Groumlssenordnung anderer Unsicherheiten (Geometie der Landeflaumlche Stoumlrungen durch

Windverhaumlltnisse etc) entspricht Was wir nicht erreichen sind praumlzise Aussagen uumlber

die wirklich aufgetretenen Auftriebs- und Widerstandskraumlfte Auftriebs- und Wider-

standskraumlfte interessieren aber nicht den Schanzenbauer sondern houmlchstens die Trainer

und die Springer Das soll selbstverstaumlndlich nicht davon dispensieren eine houmlchst-

moumlgliche Genauigkeit bei der Berechnung der Schwerpunktkoordinaten anzustreben

denn die Tugend des wieder Zuruumlckfindens auf den wahren Weg trifft natuumlrlich nur zu

bei der Integration mit Anfangsbedingungen wie sie bei der Messkampagne ge-

herrscht haben Wir brauchen aber die k-Werte just fuumlr die Profiloptimierung anderer

Typen und Groumlssen von Schanzen

Lungern im Februar 2008 Dr sc techn Hans-Heini Gasser