Grundlagen der Differentialrechnung

1

Grundlagen der Differentialrechnung

12 Einführung in die Kurvendiskussion

In der Differentialrechnung betrachten wir die Differentiation von Funktionen sowie die daraus resultierenden Anwendungen. Die Differentiation einer Funktion f, wir sprechen mitunter auch von der Ableitung, kann geometrisch als die Steigung einer Funktion interpretiert werden. Aus diesem Grund beschäftigen wir uns zu-nächst mit dem Steigungsbegriff.

12.1 Steigungsbegriff bei ganzrationalen Funktionen

Für die Steigung einer linearen Funktion f mit bxmxf +=)( wissen wir bereits,

dass sie mit Hilfe zweier Punkte des Graphen ermittelt werden kann:

12

12

12

12 )()(xxyy

xxxfxf

xy

m−−=

−−=

∆∆=

Dabei ist es gleichgültig, welche Punkte der Geraden zur Berechnung der Stei-gung gewählt werden, da die Steigung für die gesamte Gerade gleich bleibt.

Abb.48: Steigungsdreieck einer Geraden durch )y/x(P 111 und )y/x(P 222

Wir können jedoch bei der Betrachtung von ganzrationalen Funktionen nicht wie bei linearen Funktionen von der Steigung sprechen.

Die Steigung ist vielmehr in jedem Parabelpunkt P eine andere.

x2 − x1

P2(x2 / y2)

P1(x2 / y2)

y2 − y1

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2

Abb.49: Streckenprofil einer Radfahretappe

Das obige Schaubild stellt ein Streckenprofil einer Radfahretappe dar. Hier ist offensichtlich, dass die Steigung in den Punkten A und B positiv ist und in den Punkten D bis F negativ.

Deutlich wird aber auch, dass die Steigung im Punkt A erheblich größer ist als im Punkt B, wobei beide aber größer als Null – d. h. positiv – sind.

Der Punkt C scheint am höchsten Punkt der Strecke zu liegen. Das Steigungsver-halten an solchen Punkten werden wir später genauer untersuchen (� 12.5).

Um zu untersuchen, wie die Steigung einer Kurve in einem bestimmten Punkt bestimmt werden kann, wollen wir zunächst die einfachste, uns bekannte nichtli-

neare Funktion untersuchen: die Quadratfunktion mit der Gleichung 2x)x(f = .

Abb.50: Normalparabel mit dem Punkt P(1/1)

Wir wollen zunächst die Steigung des Funktions-

graphen der Quadratfunktion – der Normalpara-

bel – im Punkt ( ))1(/1 fP bestimmen.

Da 1)1( =f ist, betrachten wir somit ( )1/1P .

Offensichtlich ist die Steigung dort zumindest

positiv, der genaue Wert ist aber unbekannt.

10 20 30 40 50 60

500

1000

1500

2000

2500

Höhe über NN (in m)

Entfernung vom Start (in km)

A

B

C

D

E

F

P

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3

Abb.51: Normalparabel mit 1g

Bekannt ist jedoch, wie die Steigung einer Gera-den bestimmt wird. Dazu benötigen wir einen

zweiten Punkt – hier ( )9/31P (� Abb.51). Die

Steigung der Geraden g1 durch die Punkte P und

P1 beträgt

428

1319

1

11 ==

−−=

−−=

xxyy

m .

Diese Gerade entspricht jedoch nur ungenau dem Kurvenverlauf im Punkt P.

Genauer wird diesem entsprochen, wenn wir

statt des Punktes ( )9/31P , den Punkt ( )4/22P

benutzen, da dieser näher an unserem Punkt P

liegt (� Abb.52).

Für die Steigung der Geraden 2g gilt

313

1214

2

22 ==

−−=

−−=

xxyy

m

Nach den obigen Überlegungen muss dann die

Steigung einer Geraden 3g durch den Punkt

( )25,2/5,13P noch genauer der Steigung der

Normalparabel im Punkt P entsprechen.

Für diese Steigung ergibt sich

5,25,0

25,115,1125,2

3 ==−−=m .

Abb.52: Normalparabel mit 1g und 2g

Abb.53: Normalparabel mit Tangente im Punkt P

Lassen wir also den zweiten Punkt immer näher an den Punkt P „heranrücken“, so ent-

spricht die berechnete Steigung immer genauer der tatsächlichen Steigung des Graphen im Punkt P.

Rückt dieser Punkt so nahe heran, dass er mit dem Punkt P zusammenfällt, so erhalten wir

eine Gerade, die nur den Punkt P mit dem

Graphen gemeinsam hat.

Solch eine Gerade nennen wir Tangente an

den Graphen im Punkt P (� Abb. 53).

P

P

g1

P1

P

g2

P2

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4

Die Steigung tm der Tangente an den Graphen der Quadratfunktion im Punkt

)1/1(P entspricht demnach so genau wie nur möglich der Steigung des Graphen

in diesem Punkt. Wie groß ist nun aber diese Steigung?

Die Tangente erhalten wir, indem wir den Punkt (((( )))))(/ nnn xfxP immer näher an

den Punkt P „heranrücken“ lassen. Die Steigungen der verschiedenen Sekanten entsprechen dann immer genauer der Steigung der Tangente. Dabei nähert sich

der x-Wert von (((( )))))(/ nnn xfxP immer mehr der 1 (x-Wert von P) an. Diese stetige

Annäherung entspricht mathematisch gesehen einer Grenzwertbetrachtung – und zwar betrachten wir hier nicht den Grenzwert für ∞→x , sondern den Grenzwert

für 1→x . Die Steigung tm der Tangente im Punkt P entspricht somit dem

Grenzwert der Sekantensteigungen für 1→x .

Wir wollen nun die Steigung mt berechnen:

xx

xxff

mxx

t −−=

−−=

→→ 11

lim1

)()1(lim

2

11.

Da nun x immer näher an die 1 heranrückt, bis es praktisch identisch ist mit ihr, liegt der Versuch nahe, den Wert der Steigung durch das Einsetzen von 1 für x zu bestimmen.

Dies ist jedoch nicht möglich, da der Nenner des Bruches dann zu Null wird und der Quotient nicht definiert ist. Dennoch können wir (nach einer Umformung) den Wert der Steigung auf diese Art bestimmen, da der Zähler des Quotienten der 3.

binomischen Formel entspricht – man kann also mit ( )x−1 kürzen:

2)11()1(lim1

)1()1(lim

11

lim11

2

1=+=+=

−+⋅−=

−−=

→→→x

xxx

xx

mxxx

t

Noch einmal der Hinweis: Die hier bestimmte Steigung mt ist lediglich die Steigung

für die gerade betrachtete Stelle 1====x . Für jede andere Stelle muss die Steigung

- mit demselben Verfahren - gesondert bestimmt werden.

Definition (Ableitung der QF f an der Stelle a)

Die Steigung des Graphen der Quadratfunktion f in einem Punkt ( ))(/ afaP ist

gleich der Steigung der Tangente an den Graphen in diesem Punkt.

Die Steigung der Tangente wird als Grenzwert der Sekantensteigungen bestimmt. Diese Steigung bekommt einen speziellen Namen, sie wird als Ableitung der Quadratfunktion f an der Stelle a bezeichnet.

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5

Die Steigung m der Quadratfunktion im Punkt )4/2(P kann also wie folgt be-

stimmt werden:

4)22()2(lim2

)2()2(lim

24

lim2)2(

lim

22

2

2

2

2

====++++====++++====−−−−

++++⋅⋅⋅⋅−−−−====

−−−−−−−−====

−−−−−−−−====

→→→→→→→→

→→→→→→→→

xx

xx

xx

xxf

m

xx

xx

Für einen beliebigen Punkt ))(/( afaP gilt

aaaxaxa

xaxa

xaxa

xaxaf

m

axax

axax

2)()(lim)()(

lim

lim)(

lim222

=+=+=−

+⋅−=

−−=

−−=

→→

→→

12.2 Differenzierbarkeit und Ableitung

In diesem Kapitel werden wir nach der anschaulichen Einführung des Ableitungs-begriffes diesen näher untersuchen und einige Definitionen und Regeln einführen.

Definition (Steigung einer Funktion f ) Die Steigung des Graphen einer Funktion f in einem Punkt P ist gleich der Stei-

gung der Tangente an den Graphen in diesem Punkt.

Geometrische Definition (Ableitung an der Stelle a) Unter der Ableitung einer Funktion f an der Stelle a aus ihrem Definitionsbereich verstehen wir die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle a.

Diese Ableitung wird mit )a(f ′ bezeichnet.

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6

Satz und Definition (Bildung der Ableitung )(af ′′′′ / Differenzierbarkeit)

Die Ableitung )a(f ′ der Funktion f an der Stelle a ihres Definitionsbereiches erhal-

ten wir, indem wir (1) den Differenzenquotienten

axafxf

−− )()(

bilden,

(2) den Grenzwert des Differenzenquotienten

axafxf

ax −−−−−−−−

→→→→

)()(lim

bilden.

(3) Falls dieser Grenzwert existiert, so setzen wir

axafxf

afax −−−−

−−−−====′′′′→→→→

)()(lim)( .

Die Funktion f heißt dann an der Stelle a differenzierbar.

Existiert dieser Grenzwert nicht, so heißt f an der Stelle a nicht differenzierbar.

Anmerkungen • Der Grenzwert des Differenzenquotienten – d. h. die Ableitung der Funktion

f an der Stelle a – ist also gleich der Steigung des Graphen von f an der

Stelle a und damit auch gleich der Steigung der Tangente an dieser Stelle.

• Ganzrationale Funktionen sind an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches

differenzierbar.

Definition (Ableitungsfunktion) Die Funktion

)(: afaf ′′′′→→→→′′′′ mit ax

afxfaf

ax −−−−−−−−====′′′′

→→→→

)()(lim)( ,

wobei a aus dem Definitionsbereich von f ′ sein muss, heißt die Ableitungs-funktion der (differenzierbaren) Funktion f.

Da a eine beliebige Stelle aus dem Definitionsbereich ist, werden wir stattdessen

auch einfach schreiben: )(: xfxf ′′′′→→→→′′′′ .

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7

Definition (höhere Ableitungen) f ′′ (zweite Ableitung von f ) ist die Ableitungsfunktion von f ′ . f ′′′ (dritte Ableitung von f ) ist die Ableitungsfunktion von f ′′ .

Beispiel (Bestimmung der Ableitung )3(f ′′′′ für 42)( 3 ++++==== xxf )

Entsprechend der obigen Definition erhalten wir die Ableitung dieser Funktion an

der Stelle 3====a als Grenzwert des Differenzenquotienten:

axafxf

afax −−−−

−−−−====′′′′→→→→

)()(lim)( ,

d. h.

.3542

lim3

)58(42lim

3)432(42

lim3

)3()(lim)3(

3

3

3

3

33

33

−−=

−−+=

−+⋅−+=

−−=′

→→

→→

xx

xx

xx

xfxf

f

xx

xx

Um den Grenzwert des Differenzenquotienten durch Einsetzen des Wertes 3====a

für x bestimmen zu können, muss zunächst eine Polynomdivision durchgeführt werden, da ansonsten der Nenner zu Null würde.

Nebenrechnung:

0

5418

5418

186

546

62

18623542

2

2

23

23

)x(

x

)xx(

x

)xx(

xx)x(:)x(

−−−

−−−

−−++=−−

Also gilt

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) 54181818)183632(1862lim

331862

lim3542

lim3

)3()(lim)3(

22

3

2

3

3

33

====++++++++====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====++++++++====

−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅++++++++====

−−−−−−−−====

−−−−−−−−====′′′′

→→→→

→→→→→→→→→→→→

xx

xxxx

xx

xfxf

f

x

xxx

Grundlagen der Differentialrechnung

8

Der Wert der Ableitung dieser Funktion an der Stelle 3====a , also für )(f 3′ , beträgt

somit 54.

Entsprechend der obigen Definitionen ist damit auch die Steigung des Graphen an dieser Stelle gleich 54, die wiederum als Steigung der Tangente an dieser Stelle

definiert ist (also gilt auch für die Tangentensteigung an dieser Stelle 54=tm ).

12.3 Ableitungsfunktion und Tangentengleichung

Bestimmt man den Grenzwert des Differenzenquotienten nicht für eine konkrete

Stelle des Definitionsbereiches (z. B. 3====a ), sondern für eine beliebige Stelle

IDa ∈ , so erhält man den Funktionsterm der Ableitungsfunktion f ′ .

Die Ableitung an einer beliebigen Stelle des Definitionsbereiches – und damit die

Steigung des Graphen (und gleichzeitig die Steigung der Tangente an dieser Stel-le) – kann dann durch Einsetzen des jeweiligen Wertes in den Funktionsterm der

Ableitungsfunktion berechnet werden.

Für die Quadratfunktion mit 2x)x(f = wurde der Grenzwert des Differenzenquoti-

enten für eine beliebige Stelle a und somit der Funktionsterm der Ableitungsfunkti-

on f ′ bereits bestimmt. Es gilt

axaxa

xaxaf

afaxax

2lim)(

lim)(222

====−−−−−−−−====

−−−−−−−−====′′′′

→→→→→→→→.

Somit kann die Ableitung der Quadratfunktion an allen Stellen des Definitionsbe-reiches durch Einsetzen der Funktionswerte in die Funktionsgleichung von f ′′′′ bestimmt werden. Z. B.

10525 =⋅=′ )(f oder 8424 −=−⋅=−′ )()(f .

Um die Gleichung der Tangente an den Graphen der Quadratfunktion an der Stel-

le 3−−−−====a zu bestimmen, benötigen wir die Steigung der Tangente an dieser Stel-

le. Dafür gilt

6)3(2)3( −=−⋅=−′= fmt

Zudem wird auch der Funktionswert an dieser Stelle berechnet:

9)3()3( 2 =−=−f

Grundlagen der Differentialrechnung

9

Die Punktprobe ergibt dann für die Tangente folgende Funktionsgleichung:

b

b

b

bxmxt t

=−⇔+=⇔

+−⋅−=⇒

+⋅=

9

189

)3(69

)(

Also

96)( −−= xxt .

Die obigen Überlegungen zur Ableitungsfunktion und zur Bestimmung der Tan-

gentengleichung können analog auf alle ganzrationalen Funktionen übertragen werden.

12.4 Ableitungsregeln

In diesem Abschnitt werden einige Ableitungsregeln eingeführt. Die Grenzwertbe-trachtungen, die wir bisher stets durchführen mussten, um eine Ableitung (Ablei-tungsfunktion) zu bestimmen, können dann – zumindest bei ganzrationalen Funk-

tionen – entfallen.

Satz (Ableitung konstanter Funktionen)

Für konstante Funktionen f mit cxf ====)( (c ∈ IR) gilt stets 0)( ====′′′′ xf .

Oder kurz

0)()( =′⇒= xfcxf .

Beweis: Für alle a ∈ ID gilt

0)0(lim0

limlim)()(

lim)( ==−

=−−=

−−=′

→→→→ axaxaxax axaxcc

axafxf

af .

Anmerkung Der Graph einer konstanten Funktion ist immer eine Gerade parallel zur x-Achse,

d. h. er besitzt die Steigung 0====m . (� Abb.54)

Grundlagen der Differentialrechnung

10

Abb.54: Graph der konstanten Funktion mit 3,2)( =xf

Satz (Ableitung linearer Funktionen) Jede lineare Funktion f mit bmxxf +=)( hat als Ableitung mxf =′ )( .

Kurz

mxfbmxxf =′⇒+= )()( .

Beweis: Für alle IDa ∈∈∈∈ gilt

( )

mmaxaxm

axmamx

axbmabmx

axbmabmx

axafxf

af

axaxax

axaxax

==−

−⋅=−−=

−−−+=

−+−+=

−−=′

→→→

→→→

)(lim)(

limlim

limlim)()(

lim)(

Satz (Potenzregel) Jede Potenzfunktion f mit

nxxf =)( ( INn ∈∈∈∈ )

hat als Ableitung 1)( −⋅=′ nxnxf .

Kurz

1)()( −⋅=′⇒= nn xnxfxxf .

Grundlagen der Differentialrechnung

11

Auf den Beweis wird an dieser Stelle bewusst verzichtet. Wir verweisen den ge-neigten Leser an dieser Stelle auf alternative Schulbücher und Fachliteratur (z. B. findet sich in Griesel/Postel, 1999, S.168 ein sehr anschaulicher Beweis).

Stattdessen notieren wir:

Satz (Faktorregel) Ist die Funktion g an der Stelle a differenzierbar, so ist auch die Funktion f mit

)()( xgkxf ⋅=

und IRk ∈∈∈∈ an der Stelle a differenzierbar und es gilt

)()( xgkxf ′′′′⋅⋅⋅⋅====′′′′ .

Kurz:

)()()()( xgkxfxgkxf ′⋅=′⇒⋅= .

Beweis: Für alle a ∈ ID gilt

( )

( ) ( ).)(

)()(lim

)()(lim

)()(lim

)()(lim)(

xgkax

agxgk

axagxg

k

axagxgk

axagkxgk

af

axax

axax

′⋅=−−⋅=

−−⋅=

−−⋅=

−⋅−⋅=′

→→

→→

Satz (Summenregel) Sind die Funktionen g und h an der Stelle a differenzierbar, so ist auch die Funkti-on f mit

)()()( xhxgxf +=

an der Stelle a differenzierbar und es gilt )()()( xhxgxf ′+′=′ .

Kurz

)()()()()()( xhxgxfxhxgxf ′+′=′⇒+= .

Beweis: Für alle IDa ∈∈∈∈ gilt

( ) ( )ax

ahagxhxgaf

ax −+++=′

→

)()()()(lim)(

Grundlagen der Differentialrechnung

12

.)()(

)()(lim

)()(lim

)()()()(lim

)()()()(lim

)()()()(lim

xhxg

axahxh

axagxg

axahxh

axagxg

axahxhagxg

axahagxhxg

axax

ax

ax

ax

′+′=

−++

−+=

−++

−+=

−+++=

−+++=

→→

→

→

→

Satz (Differenzenregel) Sind die Funktionen g und h an der Stelle a differenzierbar, so ist auch die Funkti-on f mit

)()()( xhxgxf −=

an der Stelle a differenzierbar und es gilt

)()()( xhxgxf ′−′=′ .

Kurz

)()()()()()( xhxgxfxhxgxf ′−′=′⇒−= .

Beweis: Der Beweis folgt analog zum Beweis der Summenregel.

Satz (Ableitung von Exponentialfunktionen) Für Exponentialfunktionen f mit

xbxf ====)(

gilt xbfxf ⋅⋅⋅⋅′′′′====′′′′ )0()( .

Beweis: Entsprechend der Definition der Ableitung gilt hier

axbb

afax

ax −−−−−−−−====′′′′

→→→→lim)( .

Ersetzt man x durch ha ++++ , so folgt:

(((( ))))(((( ))))

)0(1

lim1

limlim)(000

fbh

bb

hbb

ahabb

af ah

h

aha

h

aha

h′′′′⋅⋅⋅⋅====

−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−⋅⋅⋅⋅====

−−−−++++−−−−====′′′′

→→→→→→→→

++++

→→→→.

Grundlagen der Differentialrechnung

13

Hinweis Die Berechnung der jeweiligen Ableitungskonstanten )0(f ′′′′ für Exponentialfunktio-

nen ist nicht ohne weiteres durchführbar. Sie kann jedoch mit Hilfe der natürlichen Exponentialfunktion und des natürlichen Logarithmus durchgeführt werden (siehe Anmerkungen unten).

Satz (Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion ) Für die natürliche Exponentialfunktion mit

xexf ====)(

gilt: xexf ====′′′′ )( .

Beweis: Auf einen vollständigen Beweis soll hier verzichtet werden. Er folgt letzt-lich unmittelbar aus dem Nachweis, dass für die Eulersche Zahl e gilt

11

lim0

====−−−−→→→→ h

e h

h.

Anmerkungen

• Mit Hilfe der Formel beb ln==== können wir jede Exponentialfunktion durch die

natürliche Exponentialfunktion xe darstellen.

Es gilt

(((( )))) bxxbx eeb lnln ⋅⋅⋅⋅======== .

• Mit Hilfe dieser Formel ergibt sich schließlich für die Ableitung von beliebi-

gen Exponentialfunktionen mit xbxf ====)( folgende Formel für die Ableitung:

xbbxf ⋅⋅⋅⋅====′′′′ ln)( (mit IRb∈∈∈∈ \ {{{{ }}}}1 ).

• Um Funktionen wie beispielsweise 32)( −= xexf ableiten zu können, benö-

tigen wir eine weitere Ableitungsregel, die so genannte Kettenregel, auf die wir im Rahmen dieses Buches jedoch nicht eingehen wollen.

In der folgenden Tabelle sind einige Funktionen ihren jeweiligen Ableitungsfunkti-onen gegenübergestellt, um die Anwendung der obigen Regeln zu verdeutlichen.

Grundlagen der Differentialrechnung

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Tab.19: Beispiele für Ableitungsfunktionen

Funktion Ableitungsfunktion

5)( =xf 0)( =′ xf

34)( −= xxf 4)( =′ xf

7)( xxf = 67)( xxf =′

85)( xxf = 740)( xxf =′

23)( xxxf −= xxxf 23)( 2 −=′

23 52)( xxxf −= xxxf 106)( 2 −=′

1375)( 3421 +−+= xxxxf 7152)( 23 −+=′ xxxf

xexf 7)( ==== xexf 7)( ====′′′′

xexxf2123)( ++++==== xexxf

216)( ++++====′′′′

12.5 Extremstellen

Wir haben bereits eine ganze Reihe von Möglichkeiten, den Graphen einer ganz-rationalen Funktion möglichst genau zu zeichnen:

• Der Verlauf des Graphen am Rande des Definitionsbereiches kann be-stimmt werden (Grenzwertverhalten).

• Der Schnittpunkt mit der y-Achse und die Schnittpunkte mit der x-Achse können ermittelt werden.

• Wir können den Graphen in Abschnitte (Intervalle) mit positiven und negati-ven Funktionswerten einteilen und streng monoton steigende bzw. fallende Abschnitte erkennen.

Noch nicht geklärt ist, wie man ermitteln kann, bis zu welchem Punkt der Graph (streng monoton) steigt bzw. fällt. Bevor wir überlegen, wie diese Punkte bestimmt werden können, müssen jedoch zunächst einige Begriffe festgelegt werden. Dazu betrachten wir zunächst das folgende Beispiel:

Grundlagen der Differentialrechnung

15

Beispiel (Einfü hrung in die Extremstellen) Die FOS 12 des Schuljahres 2003/2004 hatte sich im Winter über die Temperatur in der Schulaula beschwert: Mal war es ihnen zu kalt, dann wieder zu warm. Bei Messungen während des folgenden Schultages ergab sich für die Zeit von 8:00 Uhr bis 14:00 Uhr folgende Messkurve:

Abb.55: Messung der Temperatur in der Schulaula

Das absolute Minimum der gemessenen Temperaturen lag demnach direkt zu Beginn der Aufzeichnungen um 8:00 Uhr. Es betrug 15° Celsius.

Gegen 11:00 Uhr trat ein weiteres Minimum ein, das allerdings bei einer etwas höheren Temperatur lag (19° Celsius) und demnach als relatives Minimum be-zeichnet werden kann [Minimum für die Zeit gegen 11:00 Uhr oder z. B. für die Zeit von 9:30 Uhr bis 12:30 Uhr].

Schließlich fiel die Temperatur nach 12:30 Uhr stetig weiter ab, bis dann um 14:00 Uhr die Messungen eingestellt wurden. Die höchste gemessene Temperatur – das absolute Maximum der Temperaturen – wurde demnach um 12:30 Uhr gemessen. Zuvor wurde bereits um 9:30 Uhr ein relatives Maximum der gemessenen Tempe-raturen erreicht [Maximum für die Zeit gegen 9:30 Uhr oder z. B. für die Zeit von 8:00 Uhr bis 11:00 Uhr]. Die Temperatur dieses Maximum liegt mit 22° Celsius unter der des absoluten Maximums von 24° Celsius, daher die Bezeichnung als relatives Maximum.

Minimum bzw. Maximum bezeichnen wir in der Mathematik auch als Extremum. Übertragen auf eine Funktion f besteht ein Extrempunkt E stets aus einer Extrem-stelle und dem zugehörigen Extremwert bzw. Extremum:

))(/( ee xfxE .

8:00

15°

19°

21° 22°

24°

9:30 11:00 12:30 14:00

Grundlagen der Differentialrechnung

16

Konkret bedeutet das:

Gegeben sei die Funktion f mit dem Definitionsbereich IDf .

Abb.56: Absoluter und relativer Hochpunkt

Definition (absoluter Hochpunkt)

Ein Punkt ( ))(/ dfdD heißt absoluter Hochpunkt des Graphen der Funktion f, falls

für alle IDx∈ gilt

)()( dfxf < .

Definition (relativer Hochpunkt)

Ein Punkt ( ))(/ bfbB heißt relativer Hochpunkt des Graphen der Funktion f, falls

sich eine Teilmenge von ID, in der b enthalten ist, finden lässt (mathematisch: eine

Umgebung U(b) mit U(b) ⊂ ID), so dass für alle x ∈ U(b) gilt

)()( bfxf ≤ .

y

x

relatives Maximum

absolutes Maximum

Extremstellen

( ))(/ fffF

( ))(/ dfdD

( ))(/ bfbB

( ))(/ afaA

a b c d e

f(c)

f(a)

f(e)

f(b)

f(f)

f(d)

f

absoluter Hochpunkt

relativer Hochpunkt

f

U(b)

( ))(/ efeE

( ))(/ cfcC

IDf = [ a ; f ]

Grundlagen der Differentialrechnung

17

Abb.57: Absoluter und relativer Tiefpunkt

Definition (absoluter Tiefpunkt)

Ein Punkt ( ))(/ cfcC heißt absoluter Tiefpunkt des Graphen der Funktion f, falls

für alle IDx ∈∈∈∈ gilt

)()( cfxf > .

Definition (relativer Tiefpunkt)

Ein Punkt ( ))(/ efeE heißt relativer Hochpunkt des Graphen der Funktion f, falls

sich eine Teilmenge von ID, in der e enthalten ist, finden lässt (mathematisch: eine

Umgebung U(e) mit U(e) ⊂ ID), so dass für alle x ∈ gilt

)()( efxf ≥ .

Definition (Extrempunkt, Extremstelle, Extremwert, Maximum, Minimum) Als Oberbegriff für Hoch- und Tiefpunkte verwenden wir den Begriff Extrempunkt.

Ist

( ))(/ ee xfxE

mit ex aus ID ein Extrempunkt, so heißt ex Extremstelle, der Funktionswert )( exf

heißt Extremum (oder Extremwert).

Der Funktionswert eines Hochpunktes heißt Maximum.

Der Funktionswert eines Tiefpunktes heißt Minimum.

y

x a b c d e

f(c)

f(a)

f(e)

f(b)

f(f)

f(d)

f

relativer Tiefpunkt

absoluter Tiefpunkt

f

IDf = [ a ; f ]

U(e)

b

absolutes Minimum

relatives Minimum

Extremstellen

( ))(/ bfbB

( ))(/ afaA

( ))(/ dfdD

( ))(/ efeE

( ))(/ fffF

( ))(/ cfcC

Grundlagen der Differentialrechnung

18

Definition (Randextremum) Ein absolutes Extremum an einer Randstelle des Definitionsbereiches nennen wir auch Randextremum.

Wir sprechen dann von einem Randminimum bzw. einem Randmaximum.

Anmerkung Ein relatives Extremum kann nicht am Rand des Definitionsbereiches liegen, da dies für eine Umgebung der Extremstelle definiert ist, d. h. die x-Werte müssen sowohl vor als auch nach der Extremstelle liegen.

Abb.58: Randextrema

12.6 Monotoniesatz – Kriterien für Extremstellen

Nun wollen wir untersuchen, wie der exakte Wert der Extremstellen bzw. Extrem-punkte (Hoch- und Tiefpunkte) bestimmt werden kann. Anschaulich ist klar, dass der Graph bis zum Erreichen des Hochpunktes (streng monoton) steigt und an-schließend wieder fällt. Entsprechend fällt der Graph (streng monoton) vor einem Tiefpunkt und steigt anschließend wieder an.

Wenn der Graph steigt, ist auch seine Steigung positiv, bei fallenden Graphen negativ. Daraus ergibt sich der so genannte Monotoniesatz:

y

A

a b c d e

f(c) f(a)

f(e)

f(b)

f(f)

f(d)

f

absoluter Tiefpunkt f

IDf = [ a ; f ]

b

absoluter Hochpunkt

F

x

Grundlagen der Differentialrechnung

19

Satz (Monotoniesatz) Die Funktion f sei in einem Intervall I differenzierbar.

(1) Wenn f im Intervall I

fälltmonoton

wächstmonoton, dann gilt für alle x ∈I

≤′≥′

0

0

)x(f

)x(f .

Umgekehrt gilt auch:

(2) Wenn

≤′≥′

0

0

)x(f

)x(f für alle x ∈I, dann ist f im Intervall I

fallendmonoton

wachsendmonoton.

Lassen wir die Gleichheit zweier nebeneinander liegender Funktionswerte nicht zu, so sagen wir:

(3) Wenn

<′>′

0

0

)x(f

)x(f alle x ∈I, dann ist f im Intervall I

fallendmonotonstreng

wachsendmonotonstreng .

Nun steigt ein Graph bekanntlich bis zum Hochpunkt monoton an (einschließlich des Hochpunktes) und fällt anschließend monoton (ebenfalls einschließlich des Hochpunktes).

Nach dem Teil (1) des Monotoniesatzes gilt demnach für die zum Hochpunkt ge-hörende Extremstelle xe

0)( ≥′ exf

und gleichzeitig

0)( ≤′ exf .

Dies ist nur dann möglich, falls gilt 0)( =′ exf .

Diese Eigenschaft machen wir uns zu Nutze:

Satz (notwendiges Kriterium für relative Extremstel len) Die Funktion f sei an der Stelle a differenzierbar. Wenn a eine relative Extremstelle ist, gilt

0)( =′ af .

Grundlagen der Differentialrechnung

20

Anmerkung Dieser Satz ist anschaulich klar. Achtung: Seine Umkehrung ist jedoch falsch. In Abb.59 ist der Graph der Funktion zu

3)( xxf =

dargestellt, zu dem auch der Punkt

)0/0(P

gehört.

Da hier 23)( xxf =′ ist, gilt

003)0( 2 =⋅=′f .

Offensichtlich ist jedoch der Punkt

)0/0(P

weder ein Hochpunkt noch ein Tiefpunkt. Punkte mit solchen Eigenschaften, soge-nannte Sattelpunkte, werden wir in Kapitel

12.7 kennen lernen.

Abb.59: Graph zu 3)( xxf = .

Die Bedingung aus obigem Satz ist somit zwar notwendig für einen Extrempunkt, sie reicht aber für den Nachweis eines Extrempunktes nicht aus.

Es wurde jedoch bereits mehrfach auf das Monotonieverhalten vor und nach Hochpunkten bzw. Tiefpunkten und dessen Folgerungen für das Vorzeichen der Steigung des Graphen hingewiesen. Mit Hilfe dieser Überlegungen kann ein für den Nachweis eines Extrempunktes ausreichendes Kriterium formuliert werden, mit dem sogar die Art des Extremums (Hochpunkt oder Tiefpunkt) bestimmt wer-den kann.

Satz (Hinreichendes Kriterium für relative Extremst ellen „Vorzeichenwechselkriterium “)

Sei die Funktion f in einer Umgebung U der Stelle a differenzierbar mit

0)( ====′′′′ af .

(1) Wenn nun f ′ an der Stelle a einen (+/−)-Vorzeichenwechsel hat, dann liegt an

der Stelle a ein relativer Hochpunkt vor.

(2) Wenn nun f ′ an der Stelle a einen (−/+)-Vorzeichenwechsel hat, dann liegt an

der Stelle a ein relativer Tiefpunkt vor.

Der Beweis dieses Satzes ergibt sich aus der Betrachtung der Abb.60.

Grundlagen der Differentialrechnung

21

Abb.60: Vorzeichenwechselkriterium

Zur Verdeutlichung führen wir nun einige Beispielrechnungen durch.

Beispiel 1 (Extrempunkte der Funktion f mit xxxf 62)( 3 −−−−==== )

Bestimmen Sie die (relativen) Hoch- und Tiefpunkte der Funktion f mit

xxxf 62)( 3 −= .

Lösung: Die Bestimmung der Extrempunkte erfolgt in vier Schritten: (I) Bestimmung der Ableitungsfunktion: Wir bestimmen die Ableitungsfunktion, da diese zur Suche der Extremstel-

len (notwendige Bedingung 0)(' =xf ) benötigt wird.

66)(62)( 23 −=′⇒−= xxfxxxf

(II) notwendige Bedingung für Extremstellen:

11

Formelbin.3.01

6:0)1(6

066

0)(

21

2

2

2

=∧−=⇔

=−⇔

=−⋅⇔

=−⇒

=′

xx

x

x

x

xf

Demnach gibt es zwei Stellen, an denen ein Hoch- bzw. Tiefpunkt vorliegen könnte.

−

−

−

−

positive Steigung

+

+

+

+

+

positive Steigung

negative Steigung

Grundlagen der Differentialrechnung

22

(III) hinreichende Bedingung für Extremstellen (Vorzeichenwechselkriterium):

Um das Vorzeichenwechselkriterium anwenden zu können, müssen geeignete Umgebungsstellen der Extremstellen ausgewählt werden. Diese Stellen müssen immer zwischen den Extremstellen (inkl. der Randextrema) liegen.

Wird eine Extremstelle übersprungen, so erhält man ein falsches Ergebnis. Um dies zu vermeiden, ist es sinnvoll, sich zuerst eine Skizze anzufertigen, in der die möglichen Extremstellen (Nullstellen der Ableitungsfunktion, also Ergebnisse der notwendigen Bedingung) markiert sind. Nun werden geeignete Umgebungsstellen ausgewählt. Skizze:

Vorzeichenwechsel der Steigung, d. h. für f ′′′′ , bei 11 −−−−====x :

Zur Überprüfung muss ein x-Wert, der kleiner ist als 1x ausgewählt werden, z. B.

2−=x , und ein x-Wert, der größer ist als 1x , aber kleiner als 12 +=x , z. B.

0====x .

186466262 2 =−⋅=−−=−′ )()(f

6606060 2 −=−=−=′ )()(f

Vor 11 −=x ist das Vorzeichen also positiv, nach 1x negativ.

Somit liegt ein (+/–)-Vorzeichenwechsel vor. Der Graph steigt somit unmittelbar

vor 11 −=x und fällt unmittelbar danach. D. h. bei 1x liegt ein Hochpunkt.

(Achtung: Die Reihenfolge ist bei der Überprüfung auf Vorzeichenwechsel ganz

entscheidend für das Ergebnis.)

–1 1

–2 0 2

Grundlagen der Differentialrechnung

23

Vorzeichenwechsel der Steigung (d. h. für f ′′′′ ) bei 12 ====x :

Hier kann der bereits berechnete Wert an der Stelle 0====x benutzt werden (er liegt

vor 2x und es liegt keine weitere Nullstelle der Ableitungsfunktion dazwischen)

und als größerer Wert soll )2(f ′ berechnet werden.

6)0( −−−−====′′′′f

186466262 2 =−⋅=−=′ )()(f

Vor 12 +=x ist das Vorzeichen also negativ, nach 2x positiv.

Somit liegt ein (–/+)-Vorzeichenwechsel vor, d. h. bei 2x ist ein Tiefpunkt.

(IV) Bestimmung der Koordinaten der Extrempunkte:

Wir wissen jetzt, dass 1x und 2x tatsächlich Extremstellen sind, und dass bei

• 1x ein Hochpunkt vorliegt bzw.

• bei 2x ein Tiefpunkt.

Um den Punkt aber angeben zu können, fehlt die y-Koordinate. Diese bestimmen wir, indem wir die beiden x-Werte in die Funktionsgleichung von f einsetzen:

462)1(6)1(2)1( 3 ====++++−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====−−−−f , also ( )4/1−HP .

462)1(6)1(2)1( 3 −−−−====−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====f , also ( )4/1 −TP .

Abb.61 veranschaulicht noch einmal die Ergebnisse:

Abb.61: Funktionsgraph der Funktion f mit xxxf 62)( 3 −=

Grundlagen der Differentialrechnung

24

–2 2 0

–3 –1 1 3

Beispiel 2 (Extrempunkte der Funktion g mit 24 8)( xxxg −−−−==== )

Bestimmen Sie die (relativen) Hoch- und Tiefpunkte der Funktion g mit 24 8)( xxxg −= .

(I) Bestimmung der Ableitung:

xxxgxxxg 164)(8)( 324 −=′⇒−=

(II) notwendige Bedingung für Extremstellen:

202

Formelbin.3.044:04

0)4(4

0164

0)(

321

2

2

3

=∧=∧−=⇔

=−∨=⇔

=−⋅⇔

=−⇒

=′

xxx

xx

xx

xx

xg

Skizze: (III) hinreichende Bedingung für Extremstellen:

Vorzeichenwechsel der Steigung (d.h. für g ′′′′ ) bei 21 −−−−====x :

6048274316343 3 −=+−⋅=−⋅−−=−′ )()()()(g

121614116141 3 =+−⋅=−⋅−−=−′ )()()()(g

Vor 1x ist das Vorzeichen also negativ, nach 1x positiv.

Somit liegt ein (–/+)-Vorzeichenwechsel vor, d.h. bei 1x ist ein Tiefpunkt.

Vorzeichenwechsel der Steigung (d. h. für g ′′′′ ) bei 02 ====x :

Hier kann der bereits berechnete Wert an der Stelle 1−=x benutzt werden und

als größerer Wert soll )1('g berechnet werden.

12)1( ====−−−−′′′′g

121614116141 3 −=−⋅=⋅−=′ )()()()(g

Vor 2x ist das Vorzeichen also positiv, nach 2x negativ.

Somit liegt ein (+/–)-Vorzeichenwechsel vor, d.h. bei x2 ist ein Hochpunkt.

Grundlagen der Differentialrechnung

25

Vorzeichenwechsel der Steigung (d. h. für g′′′′ ) bei 23 ====x :

Hier kann der bereits berechnete Wert an der Stelle x = 1 benutzt werden (er liegt

vor 3x ) und als größerer Wert soll )3('g berechnet werden.

12)1( −−−−====′′′′g

6048274316343 3 =−⋅=⋅−=′ )()()()(g

Vor x3 ist das Vorzeichen also negativ, nach x3 positiv. Somit liegt ein (–/+)-Vorzeichenwechsel vor, d.h. bei x3 ist ein Tiefpunkt.

(IV) Bestimmung der Koordinaten der Extrempunkte:

Die fehlenden y-Werte der Extremstellen bestimmen wir durch Einsetzen in g:

1632162822 24 −=−=−⋅−−=− )()()(g , also ( )16/21 −−TP .

00800 24 =⋅−= )()()(g , also ( )0/0HP .

1632162822 24 −=−=⋅−= )()()(g , also ( )16/22 −TP .

Die Bestimmung und Berechnung des zweiten Tiefpunktes hätten wir nicht unbe-dingt durchführen müssen, denn der Funktionsterm von )(xg besitzt nur gerade

Exponenten, ist also achsensymmetrisch zur y-Achse.

Somit muss neben dem Tiefpunkt ( )16/21 −−TP ein weiterer Tiefpunkt bei

2+=x existieren, der denselben Funktionswert besitzt, nämlich ( )16/22 −TP .

Abb.62: Funktionsgraph der Funktion g mit 24 8)( xxxg −=

Grundlagen der Differentialrechnung

26

12.7 Linkskurve, Rechtskurve – Wendestellen

Ein weiteres Kriterium zur Unterteilung von Funktionsgraphen, das beim möglichst exakten Zeichnen des Graphen hilfreich ist, ergibt sich aus der Unterscheidung von Links- bzw. Rechtskurven.

Stellen wir uns den folgenden Graphen als Straße auf einer Landkarte vor, so würde bei der Beschreibung der zu fahrenden Strecke sicherlich darauf hingewie-sen, dass wir im Straßenverlauf zunächst eine Rechtskurve und anschließend eine Linkskurve durchfahren müssen.

Abb.63: Funktionsgraph mit unterschiedlichem Krümmungsverhalten

Bei der Rechtskurve im obigen Graphen liegt offensichtlich zunächst eine positive Steigung vor ( 0>′ )x(f ) und anschließend eine negative Steigung ( 0<′ )x(f ).

Die folgende Abbildung stellt den Zusammenhang zwischen dem Steigungs- und dem Kurvenverhalten eines Funktionsgraphen dar. Hieraus ergibt sich unmittelbar die mathematische Definition von Links- bzw. Rechtskurven.

Abb.64: Zusammenhang zwischen Steigung und Krümmung (aus: Griesel/Postel, 1999, S.207)

Grundlagen der Differentialrechnung

27

Definition (Rechts- und Linkskurve)

Der Graph einer in einem Intervall ] [baI ;= differenzierbaren Funktion f bildet im

Intervall I eine Linkskurve, falls die Ableitungsfunktion f ′ über das Intervall I streng monoton wächst.

Der Graph einer in einem Intervall ] [baI ;= differenzierbaren Funktion f bildet im

Intervall I eine Rechtskurve, falls die Ableitungsfunktion f ′ über das Intervall I streng monoton fällt.

Wir sagen auch: Der Graph ist linksgekrümmt bzw. rechtsgekrümmt.

Der Monotoniesatz für differenzierbare Funktionen liefert nun ein Kriterium, mit dem wir das Vorliegen einer Links- bzw. Rechtskurve und vor allem den Wechsel von einer Links- in eine Rechtskurve relativ einfach nachweisen können.

Die Monotonie wird hierbei auf positive bzw. negative Funktionswerte der ersten Ableitung zurückgeführt. Demnach ist die Ableitungsfunktion f ′ z. B. streng mono-ton wachsend, falls deren Ableitung (also f ′′ ) dort größer als Null ist.

Satz (hinreichendes Kriterium für Rechts- und Links kurven) Ist f eine im Intervall I zweimal differenzierbare Funktion, so gilt:

1. Wenn 0)( >′′ xf für alle Ix∈ ist, dann bildet der Graph der Funktion f im

Intervall I eine Linkskurve.

2. Wenn 0<′′ )x(f für alle Ix∈ ist, dann bildet der Graph der Funktion f im

Intervall I eine Rechtskurve.

Der Punkt, an dem eine Links- in eine Rechtskurve bzw. eine Rechts- in eine Linkskurve übergeht, wird Wendepunkt genannt.

Der Wendepunkt trennt also eine Links- von einer Rechtskurve bzw. umgekehrt.

Definition (Wendepunkte / Wendestellen)

Die Funktion f sei in einer Umgebung von wx zweimal differenzierbar. Dann heißt

wx Wendestelle und (((( )))))/ ( ww xfxW Wendepunkt des Graphen der Funktion f, falls

• der Graph von f für alle wxx ≤ eine Linkskurve bildet und für alle wxx ≥

eine Rechtskurve,

• oder aber der Graph von f für alle wxx ≤ eine Rechtskurve bildet und für

alle wxx ≥ eine Linkskurve.

Grundlagen der Differentialrechnung

28

Satz und Definition (Sattelpunkte)

Hat der Graph einer differenzierbaren Funktion f im Wendepunkt ( ))(/ ww xfxW

zusätzlich eine horizontale (waagerechte) Tangente, so nennt man diesen beson-deren Wendepunkt Sattelpunkt.

Eine Funktion hat also genau dann einen Sattelpunkt, falls sie dort eine Wende-stelle hat und zusätzlich gilt

0)( =′ wxf .

Das charakteristische Aussehen eines Sattelpunktes in einem Funktionsgraphen ist Abb.59 (� S.182) zu entnehmen.

Betrachtet man die Graphen aus Abb.64 (� S.188), so wird deutlich, dass an den Stellen, an denen eine Wendestelle vorhanden, beim Graphen der ersten Ablei-tung ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt vorliegt. Dies ergibt sich auch unmittelbar aus der Definition für Links- bzw. Rechtskurven. Wenn z. B. bei einer Linkskurve die Funktion streng monoton wächst und bei einer Rechtskurve streng monoton fällt, so muss beim Übergang von einer Links- in eine Rechtskurve der Übergang von streng monoton wachsend zu streng monoton fallend stattfinden, d. h. die Steigung muss dort Null sein. Da wir hier aber über das streng monotone Wach-sen bzw. Fallen der Ableitungsfunktion sprechen, muss demnach an dieser Stelle

0=′′f gelten.

Wir müssen also lediglich die Kriterien für das Vorliegen eines Hoch- bzw. Tief-punktes bei einer Funktion f auf f’ übertragen, um einen Wendepunkt nachweisen zu können. Demnach gilt:

Satz (Kriterien für Wendestellen)

Gegeben sei eine an der Stelle wx zweimal differenzierbare Funktion f.

1. Notwendige Kriterien für Wendestellen:

Wenn wx eine Wendestelle der Funktion f ist, dann ist wx eine Extremstelle von

f´, somit gilt 0)( =′′ wxf .

2. Hinreichendes Kriterium für Wendestellen:

Wenn 0)( =′′ wxf und f ′′ an der Stelle wx einen Vorzeichenwechsel besitzt, dann

ist wx eine Wendestelle der Funktion f.

Grundlagen der Differentialrechnung

29

Satz (Kurvenverhalten bei Wendestellen)

Hat die Funktion f bei wx eine Wendestelle, so gilt

• Bei einem (+/–)-Vorzeichenwechsel findet bei wx der Übergang von einer

Links- in eine Rechtskurve statt.

• Bei einem (–/+)-Vorzeichenwechsel findet bei wx der Übergang von einer

Rechts- in eine Linkskurve statt.

Eine Folgerung aus diesem Satz ist die Möglichkeit, die hinreichenden Kriterien für das Vorliegen von Extremstellen und damit auch für das Vorliegen von Wendestel-len anders formulieren zu können. So haben wir in der Umgebung eines relativen Hochpunktes eine Rechtskurve vorliegen und in der Umgebung eines relativen Tiefpunktes eine Linkskurve. Daraus ergibt sich der folgende Satz:

Satz (hinreichendes Kriterium für Extremstellen mit tels f ′′ )

Für eine Funktion f, die in einer Umgebung der Stelle ex zweimal differenzierbar

ist, gilt:

Wenn 0)( =′ exf und zugleich 0)( <′′ exf ist, dann hat der Graph von f an der

Stelle ex einen relativen Hochpunkt.

Wenn 0)( =′ exf und zugleich 0)( >′′ exf ist, dann hat der Graph von f an der Stel-

le ex einen relativen Tiefpunkt.

Das Übertragen dieser Kriterien auf Wendepunkte ergibt den folgenden Satz:

Satz (hinreichendes Kriterium für Wendestellen mitt els f ′′′ )

Für eine Funktion f, die in einer Umgebung der Stelle wx dreimal differenzierbar

ist, gilt:

Wenn 0)( =′′ wxf und zugleich 0)( ≠′′′ wxf ist, dann hat der Graph von f an der

Stelle wx eine Wendestelle.

Dabei gilt:

• Ist 0)( >′′′ wxf , so findet ein Übergang von einer Rechts- in eine Linkskurve

statt.

• Ist 0)( <′′′ wxf , so findet ein Übergang von einer Links- in eine Rechtskurve

statt.

Grundlagen der Differentialrechnung

30

Zur Verdeutlichung und Festigung dieser Fülle an Informationen werden nun eini-ge Beispielrechnungen zur Bestimmung von Wendepunkten von uns vorgestellt.

Beispiel 1 ( 23 3)( xxxf ++++−−−−==== )

Bestimmen Sie die Wendepunkte der Funktion f mit 23 3)( xxxf +−= .

(I) Bestimmung der Ableitungsfunktionen:

66)(63)(3)( 223 +−=′′⇒+−=′⇒+−= xxfxxxfxxxf

(II) notwendige Bedingung:

1

)6(:66

6066

0)(

=⇔

−−=−⇔

−=+−⇒

=′′

x

x

x

xf

Somit ist eine potentielle Wendestelle ermittelt worden. Mittels der hinreichenden

Bedingung muss nun überprüft werden, ob es tatsächlich eine Wendestelle ist. (Zusätzlich kann festgestellt werden, wie sich das Kurvenverhalten ändert.)

(III) hinreichende Bedingung (Vorzeichenwechsel):

Zur Überprüfung des Vorzeichenwechsels werden die Stellen 01 ====x und 02 ====x

benutzt.

6606)0( =+⋅−=′′f

6612626)2( −=+−=+⋅−=′′f

An der Stelle 1====x findet demnach ein (+/–)-Vorzeichenwechsel bei f ′′ statt. Somit

hat f dort eine Wendestelle. (Es findet bei 1====x ein Wechsel von einer Links- in eine Rechtskurve statt.)

Nun muss noch die fehlende y-Koordinate bestimmt werden, um den Wendepunkt

angeben zu können.

(IV) Bestimmung der Koordinaten:

Um die fehlende y-Koordinate zu bestimmen, wird der ermittelte x-Wert in die Funktionsgleichung von f eingesetzt:

231)1(3)1()1( 23 =+−=⋅+−=f

Also

)2/1(W .

Grundlagen der Differentialrechnung

31

Abb.65 veranschaulicht noch einmal unser Ergebnis:

Abb.65: Funktionsgraph der Funktion f mit 23 3)( xxxf +−=

Beispiel 2 ( 23314

241 3)( xxxxf −−−−−−−−==== )

Bestimmen Sie die Wendepunkte der Funktion f mit 23314

241 3)( xxxxf −−= .

Benutzen Sie dafür das hinreichende Kriterium mittels f ′′′ .

(I) Bestimmung der Ableitungsfunktionen:

2)(

62)(

6)(3)(

221

236123

314

241

−=′′′⇒

−−=′′⇒

−−=′⇒−−=

xxf

xxxf

xxxxfxxxxf

(II) notwendige Bedingung:

62

Formel0124

2062

0)(

21

2

221

=∨−=⇔

−−=−−⇔

⋅=−−⇒

=′′

xx

qpxx

xx

xf

Somit sind zwei potentielle Wendestellen ermittelt worden. Mittels der hinreichen-

den Bedingung muss nun überprüft werden, ob es tatsächlich Wendestellen sind. (Zusätzlich kann festgestellt werden, wie sich das Kurvenverhalten ändert.)

(III) hinreichendes Kriterium mittels der dritten Ableitung:

Bei der Anwendung dieses Kriteriums, müssen die potentiellen Wendestellen in

die dritte Ableitung f ′′′ eingesetzt werden. Ist der Funktionswert dann ungleich Null, so liegt eine Wendestelle vor.

Grundlagen der Differentialrechnung

32

21 −−−−====x ⇒ 0422)2( <−=−−=−′′′f

Somit liegt hier ein WP vor (Übergang von Links- in Rechtskurve).

62 ====x ⇒ 0426)6( >=−=′′′f

Somit liegt hier ein WP vor (Übergang von Rechts- in Linkskurve).

Nun müssen noch die fehlenden y-Koordinaten bestimmt werden, um die Wende-

punkte angeben zu können.

(IV) Bestimmung der Koordinaten:

Um die fehlenden y-Koordinaten zu bestimmen, werden die ermittelten x-Werte in

die Funktionsgleichung von f eingesetzt:

32

38

241623

314

241 812)2(3)2()2()2( −=−+=−⋅−−⋅−−⋅=−f

126)6(3)6()6()6( 23314

241 −=⋅−⋅−⋅=f

Also

)8/2(32

1 −−W und )126/6(2 −W .

Abb.66 verdeutlicht noch einmal unsere Ergebnisse:

Abb.66: Funktionsgraph der Funktion f mit 23314

241 3)( xxxxf −−=

Grundlagen der Differentialrechnung

33

12.8 Vollständige Kurvendiskussion

Ziel einer vollständigen Kurvendiskussion ist es, den Graphen einer Funktion, bzw. seinen Verlauf innerhalb des Definitionsbereiches, möglichst exakt zu analysieren

und mit Hilfe dieser Ergebnisse zu skizzieren.

Dazu werden die verschiedenen Methoden und Verfahren, die bisher erarbeitet

wurden, zusammengefasst und eine nach der anderen zur Analyse des Funkti-onsgraphen eingesetzt.

Damit keine wichtige Eigenschaft der Funktionen bzw. der Graphen übersehen

wird, ist es sinnvoll eine bestimmte Systematik einzuführen. Somit wird bei den

Berechnungen und Betrachtungen der Kurvendiskussion immer die gleiche Rei-henfolge eingehalten.

Diese Reihenfolge wird in dem folgenden Schema festgelegt:

Tab.20: Schema einer vollständigen Kurvendiskussion für ganzrationale Funktionen

Arbeitsschritt Hinweis e und Bemerkungen

1. Definitionsbereich (Definitionsmenge)

Der Definitionsbereich einer ganzrationalen Funktion ist immer die gesamte Menge aller reellen Zahlen (ID = IR ).

Der Definitionsbereich einer „gebrochen-rationalen Funktion“ weist in der Regel Definitionslücken auf; ganzrationale Funktionen werden in diesem Rahmen nicht behandelt.

2. Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse

Achsensymmetrie zur y-Achse, falls )()( xfxf −= gilt.

Punktsymmetrie zum Ursprung, falls )()( xfxf −=− gilt.

Bei ganzrationalen Funktionen hängt das zu untersuchende Sym-metrieverhalten davon ab, ob im Funktionsterm ausschließlich gera-de (Achsensymmetrie zur y-Achse) oder ausschließlich ungerade Exponenten (Punktsymmetrie zum Ursprung) auftreten.

3. Grenzwertverhalten )(lim xf

x ∞−→ und

)(lim xfx ∞+→

Die Grenzwerte am Rande des Definitionsbereiches hängen bei ganzrationalen Funktionen ausschließlich vom Summanden mit dem höchsten Exponenten der Funktionsvariablen x ab, der im Funktions-term auftritt (gerader/ungerader Exponent und positiver/negativer Koeffizient � 10.3).

4. Schnittpunkt mit der y-Achse

Bedingung: 0=x .

Also ist )0(f zu berechnen. Dann ist ( ))0(/0 fSy .

Für eine ganzrationale Funktion gilt demnach ( ))/0 0aSy .

Grundlagen der Differentialrechnung

34

5. Schnittpunkte mit der x-Achse

Bedingung: 0)( =xf

Diese Bedingung führt zu einer Gleichung der Form:

0... 012

22

21

1 =++++++ −−

−− axaxaxaxaxa n

nn

nn

n .

Ist der höchste Exponent n gleich 1 oder 2, so ergibt sich eine lineare oder quadratische Gleichung.

Ist der höchste Exponent n größer als 2 (also 3, 4, 5, ...), so sollte zunächst versucht werden, die in der Gleichung auftretenden Expo-nenten durch Ausklammern zu verkleinern.

Ist dies nicht möglich oder bleibt nach dem Ausklammern ein Poly-nom dritten oder höheren Grades erhalten, so ist eine Polynomdivi-sion zur Bestimmung der Nullstellen erforderlich.

6. Ableitungen Die ersten beiden bzw. die ersten drei Ableitungen werden mit Hilfe der Ableitungsregeln notiert.

7. Extrempunkte

notwendige Bedingung: 0)( =′ xf

hinreichende Bed.: Vorzeichenwechselkriterium bei f ′ (alternativ: Kriterium mittels der zweiten Ableitung), um zu entscheiden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt. y-Koordinaten der ermittelten Extremstellen berechnen, indem die x-Werte in die Funktionsgleichung von f eingesetzt werden.

8. Wendepunkte

notwendige Bed.: 0)( =′′ xf

hinreichende Bed.: Vorzeichenwechselkriterium bei f ′′ (alternativ: Kriterium mittels der dritten Ableitung), um zu entscheiden, ob ein Wendepunkt vorliegt.

Falls eine der Wendestellen zu den Stellen gehört, an denen 0)( =′ xf gilt, so liegt dort ein Sattelpunkt vor.

y-Koordinaten der ermittelten Wendestellen berechnen, indem die x-Werte in die Funktionsgleichung von f eingesetzt werden.

9. Wertemenge und Wertetabelle

Die Wertemenge kann mit Hilfe der Grenzwerte aus 3. und den ermittelten Hoch- bzw. Tiefpunkten aus 7. angegeben werden:

Sind die beiden Grenzwerte aus 3. verschieden, so ist die Werte-menge stets die Menge aller reellen Zahlen (W = IR ).

Sind beide Grenzwerte identisch und ∞− , so gibt es einen absolu-

ten Hochpunkt (((( )))))(/ 00 xfxHabs und die Wertemenge besteht aus allen reellen Zahlen, die kleiner sind als der Funktionswert dieses Hochpunktes, also W = { })( 0xfyIRy ≤∈ .

Sind beide Grenzwerte identisch und ∞+ , so gibt es einen absolu-

ten Tiefpunkt (((( )))))(/ 00 xfxTabs und die Wertemenge besteht aus allen

reellen Zahlen, die größer sind als der Funktionswert dieses Tief-punktes, also W = { })( 0xfyIRy ≥∈ .

In der Wertetabelle werden alle im Verlauf der Kurvendiskussion ermittelten Punkte (mit ihren Eigenschaften) zusammengefasst.

10. Skizze des Graphen Der Graph wird mit den Ergebnissen von 1. bis 9. skizziert.

Grundlagen der Differentialrechnung

35

Anmerkungen • Durch Punkt 6 der Kurvendiskussion entfällt bei der Bestimmung der Ext-

rem- und Wendepunkte unter Punkt 7 und 8 die Bestimmung der Ableitun-

gen, so dass der in den bisherigen Beispielen durchgeführte „Vierschritt“ (I. bis IV.) zu einem „Dreischritt“ (I. bis III.) wird.

• Die Vorgehensweise bei einer vollständigen Kurvendiskussion und die

gewonnenen Erkenntnisse lassen sich von den ganzrationalen Funktionen

auch auf andere Funktionenklassen, insbesondere auch auf die Exponenti-

alfunktionen übertragen.

• Für die natürliche Exponentialfunktion mit xexf ====)( wissen wir, dass sie

über ganz IR streng monoton wächst, ihre Funktionswerte alle größer als

Null sind und die y-Achse bei (((( ))))1/1yS vom Graphen geschnitten wird. Sie

hat weder einen Schnittpunkt mit der x-Achse, noch Extrem- oder Wende-

punkte. Ihre Wertemenge ist += IRW .

• Bei Funktionen, deren Funktionsterme sich aus Exponentialfunktionen und ganzrationalen Funktionen oder aus mehreren Exponentialfunktionen zu-sammensetzen, können durchaus Schnittpunkte mit der x-Achse oder Ext-

rem- oder Wendepunkte auftreten. Die Gleichungen, die sich dann entspre-

chend der Vorgaben aus Tab.20 ergeben, sind dann sogenannte Exponen-tialgleichungen und werden in der Regel durch die Anwendung der Umkehr-

funktion der natürlichen Exponentialfunktion, der natürlichen Logarithmus-

funktion gelöst.

So gilt zum Beispiel bei der Funktion f mit

4)( −−−−==== xexf

für die Schnittpunkte mit der x-Achse:

39,1

)4(ln

)4(ln)ln(

lnvonAnwendung4

404

0)(

≈⇔=⇔

=⇔

=⇔

+=−⇒

=

x

x

e

e

e

xf

x

x

x

• Es sei hier nochmals darauf hingewiesen, dass mit Hilfe der Formel

( ) bxxbx eeb lnln ⋅== jede Exponentialfunktion auf die natürliche Exponenti-

alfunktion zurückgeführt werden kann.

Grundlagen der Differentialrechnung

36

Wir werden nun (zur Verdeutlichung und Übung) zwei komplette Kurvendiskussio-nen von ganzrationalen Funktionen durchführen. Diejenigen Leser, die sich eine solche Kurvendiskussion zutrauen, sollten diese Beispiele selbstständig durch-rechnen. Sollten Sie unsicher sein, ist es angebracht, die Rechnung Schritt für Schritt nachzuvollziehen.

Beispiele für eine vollständige Kurvendiskussion

Beispiel 1 ( xxxxf 96)( 23 ++++−−−−==== )

Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion der Funktion f mit

xxxxf 96)( 23 +−=

durch.

1. Definitionsmenge

Da f eine ganzrationale Funktion ist, gilt IRID = .

2. Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse

Da im Funktionsterm von f sowohl gerade als auch ungerade Exponenten auftre-ten, ist der Graph von f weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsen-symmetrisch zur y-Achse.

3. Grenzwertverhalten

∞−=∞−→

)(lim xfx

und ∞+=∞+→

)(lim xfx

, da der höchste Exponent von x, der im

Funktionsterm auftritt, ungerade ist (n = 3) und sein Koeffizient positiv ist (a = 1).

4. Schnittpunkt mit der y-Achse

Bedingung: 0=x ⇒ 009060)0( 23 =⋅+⋅−=f , somit: ( )0/0yS .

5. Schnittpunkte mit der x-Achse

Bedingung: 0)( =xf

(((( ))))30

030

FormelBin.0960

0)96(

096

321

2

2

2

23

========∧∧∧∧====⇔⇔⇔⇔====−−−−∨∨∨∨====⇔⇔⇔⇔

====++++−−−−∨∨∨∨====⇔⇔⇔⇔

====++++−−−−⋅⋅⋅⋅⇔⇔⇔⇔

====++++−−−−⇒⇒⇒⇒

xxx

xx

xxx

xxx

xxx

Grundlagen der Differentialrechnung

37

Also

( )001 /N und ( )032 /N (doppelte Nullstelle bei 3=x ).

6. Ableitungen

xxxxf 96)( 23 +−=

9123)( 2 +−=′ xxxf

126)( −=′′ xxf

7. Extrempunkte

I. notwendige Bedingung: 0)( =′ xf

3123)2(2

1123)2(2

Formel034

3:09123

22

21

2

2

=+=−−+=∧

=−=−−−=⇔

−−=+−⇔

=+−⇒

x

x

qpxx

xx

II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f ′

Überprüfung von 11 =x

9901203)0( 2 =+⋅−⋅=′f

392412921223)2( 2 −=+−=+⋅−⋅=′f

Bei 11 =x findet also ein (+/–)-Vorzeichenwechsel von f ′ statt, d. h. hier liegt ein

Hochpunkt vor.

Überprüfung von 32 =x :

392412921223)2( 2 −=+−=+⋅−⋅=′f

994848941243)4( 2 =+−=+⋅−⋅=′f

Bei 32 =x findet also ein (–/+)-Vorzeichenwechsel von f ′ statt, d. h. hier liegt ein

Tiefpunkt vor.

Grundlagen der Differentialrechnung

38

III. y-Koordinaten der Extrempunkte bestimmen (durch Einsetzen der x-Werte in f ):

496119161)1( 23 =+−=⋅+⋅−=f

0)3( =f , denn 32 =x ist auch Nullstelle.

Somit ergeben sich die Punkte

)4/1(HP und )0/3(TP .

8. Wendepunkte

I. notwendige Bedingung: 0)( =′′ xf

2

6126

120126

=⇔=⇔

+=−⇒

x

:x

x

II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f ′′

Überprüfung von 2====x :

1212060 −=−⋅=′′ )(f

6121812363 =−=−⋅=′′ )(f

Bei 2====x findet also ein (+/–)-Vorzeichenwechsel von f ′′ statt, d.h. hier liegt ein

Wendepunkt vor. Da 2====x keine Nullstelle von f ′ war, ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt.

III. y-Koordinaten des Wendepunktes bestimmen (durch Einsetzen der x-Werte in f ):

218248292622 23 =+−=⋅+⋅−=)(f

Der Wendepunkt hat also die folgenden Koordinaten:

)/(WP 22 .

9. Wertemenge und Wertetabelle

Es gilt ∞−=∞−→

)(lim xfx

und ∞+=∞+→

)(lim xfx

, das heißt, die beiden Grenzwerte

sind verschieden, also ist die Wertemenge

IRW = .

Grundlagen der Differentialrechnung

39

Wertetabelle:

x-Wert 0 1 2 3

y-Wert 0 4 2 0

Eigenschaften Sy , N1 HP WP N2 , TP

10. Skizze des Graphen

Abb.67: Funktionsgraph der Funktion f mit xxxxf 96)( 23 ++++−−−−====

Beispiel 2 ( 2441)( xxxf ++++−−−−==== )

Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion der Funktion f mit

2441)( xxxf +−=

durch.

1. Definitionsmenge

Da f eine ganzrationale Funktion ist gilt IRID = .

2. Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse

Da im Funktionsterm von f ausschließlich gerade Exponenten auftreten, ist der

Graph von f achsensymmetrisch zur y-Achse. 3. Grenzwertverhalten

∞−==∞+→∞−→

)(lim)(lim xfxfxx

, weil der höchste Exponent von x, der im Funktions-

term auftritt, gerade ist (n = 4) und sein Koeffizient negativ (41−=a ).

Grundlagen der Differentialrechnung

40

4. Schnittpunkt mit der y-Achse

Bedingung: 0=x ⇒ 000)0( 2441 =+⋅−=f , somit: ( )0/0yS .

5. Schnittpunkt mit der x-Achse

Bedingung: 0)( =xf

202

4040

)(:010

0)1(

0

321

2

412

412

2412

2441

=∧=∧−=⇔

±+=−∨=⇔

−=+−∨±=⇔

=+−⋅⇔

=+−⇒

xxx

xx

xx

xx

xx

Also ( )0/21 −N , ( )0/02N und ( )0/23N .

6. Ableitungen

2441)( xxxf +−=

xxxf 2)( 3 +−=′

23)( 2 +−=′′ xxf

7. Extrempunkte

I. notwendige Bedingung: 0)( =′ xf

( )

202

220

020

02

02

321

22

2

3

=∧=∧−=⇔

=∨−=∨=⇔

±+=+−∨=⇔

=+−⋅⇔

=+−⇒

xxx

xxx

xxx

xx

xx

II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f ′

Überprüfung bei 21 −=x :

448)2(2)2()2(' 3 =−=−+−−=−f

121)1(2)1()1(' 3 −=−=−+−−=−f

Grundlagen der Differentialrechnung

41

Bei 21 −=x findet also ein (+/–)-Vorzeichenwechsel von f ′ statt,

d.h. hier liegt ein Hochpunkt vor.

Überprüfung bei x2 = 0:

121)1(2)1()1(' 3 −=−=−+−−=−f

121)1(2)1()1(' 3 +=+−=+−=f

Bei 02 =x findet also ein (–/+)-Vorzeichenwechsel von f ′ statt, d.h. hier liegt ein

Tiefpunkt vor.

Überprüfung bei 23 ====x :

121)1(2)1()1(' 3 +=+−=+−=f

448)2(2)2()2(' 3 −=+−=+−=f

Bei 23 =x findet also ein (+/–)-Vorzeichenwechsel von f ′ statt, d. h. hier liegt ein

Hochpunkt vor.

III. y-Koordinaten der Extrempunkte bestimmen (durch Einsetzen der x -Werte in f ):

( ) ( ) 12422)2(4124

41 =+⋅−=−+−⋅−=−f

0)0( =f , denn x2 = 0 ist auch Nullstelle.

1)2( =f , auf Grund der Achsensymmetrie des Graphen von f.

Somit ergeben sich die Punkte

)1/2(1 −HP , )0/0(TP und )1/2(2HP .

8. Wendepunkte I. notwendige Bedingung: 0)( =′′ xf

82,082,0

)3(:2023

32

232

1

322

2

≈=∧−≈−=⇔

±=⇔

−−=+−⇒

xx

x

x

II. hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von f ′′

Grundlagen der Differentialrechnung

42

Überprüfung bei 32

1 −=x :

1232)1(3)1( 2 −=+−=+−⋅−=−′′f

2202)0(3)0( 2 =+=+⋅−=′′f

Bei 32

1 −=x findet also ein (–/+)-Vorzeichenwechsel von f ′′ statt, d.h. hier liegt ein

Wendepunkt vor.

Da 32

1 −=x keine Nullstelle von f ′ war, ist dieser Wendepunkt kein Sattelpunkt.

Überprüfung bei 32

2 =x :

Auf Grund der Achsensymmetrie des Graphen von f muss auch bei 32

2 =x ein

Wendepunkt vorliegen, d. h. hier findet ein (+/–)-Vorzeichenwechsel von f ′′ statt. Es liegt somit auch hier kein Sattelpunkt vor.

III. y-Koordinaten des Wendepunktes bestimmen (durch Einsetzen der x-Werte in f ):

( ) ( ) 56,0)(95

32

94

41

2

32

4

32

41

32 ≈=+⋅−=−+−⋅−=−f

56,0)(95

32 ≈=f (Achsensymmetrie)

Die Wendepunkte haben also die folgenden Koordinaten:

)/(95

32

1 −WP und )/(95

32

2WP .

9. Wertemenge und Wertetabelle

Es gilt ∞−==∞+→∞−→

)(lim)(lim xfxfxx

, das heißt es gibt einen höchsten Punkt des

Graphen (somit ein absolutes Maximum) – in diesem Fall sogar zwei, die beiden

Hochpunkte )1/2(1 −HP und )1/2(2HP .

Also gilt { }1≤∈= yRyW .

Grundlagen der Differentialrechnung

43

Wertetabelle:

10. Skizze des Graphen

Abb.68: Funktionsgraph der Funktion f mit 2441)( xxxf ++++−−−−====

x-Wert 2−−−− 2−−−− 32−−−− 0 3

2 2 2

y-Wert 0 1 0,56 0 0,56 1 0

Eigenschaften N1 HP WP Sy, N2,

TP WP HP N3