Grundlagen der Elektrotechnik 3nts.uni-duisburg-essen.de/downloads/get3/GET3_K2a_Sh.pdf · R. Paul...

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3 S. 1

FachgebietNachrichtentechnische Systeme

N T S

Grundlagen der Elektrotechnik 3

Prof. Dr.-Ing. Ingolf Willms und

Prof. Dr.-Ing. Adalbert Beyerund basierend auf dem Script von

Prof. Dr.-Ing. Ingo Wolff



N T S

Grundlagen der Elektrotechnik 3Inhalt

1 Einleitung2 Grundlagen der Signaltheorie determinierter Signale3 Schaltvorgänge4 Ortskurven5 Netzwerksätze6 Fernleitungen



N T S

Literatur

• Literatur zur Vorlesung:R. Paul Elektrotechnik 2, Grundlagenbuch Netzwerke

Springer-Verlag, Heidelberg 1994

I. Wolff Grundlagen der Elektrotechnik Band 2Verlag Dr. Wolff, Aachen 2005

• Weiterführende Literatur :W. Ameling Grundlagen der Elektrotechnik II

G. Bosse Grundlagen der Elektrotechnik IVB.I. Wissenschaftverlag Mannheim, Wien Zürich 1996

R. UnbehauenGrundlagen der Elektrotechnik ISpringer-Verlag, Heidelberg 1994



N T S

1 Einleitung

• GET3 enthält überwiegend theoretische Grundlagen zu informationstechnischen Fragestellungen

• Informationstechnik: Entstanden aus Informatik (I-Verarbeitungstechnik) und Nachrichtentechnik (I-Übermittlungstechnik)

• IT: Effiziente Datenverarbeitung, Speicherung und Transport

• IT beinhaltet 4 Gruppen:– Grundlagen und Technologien (G1)– Strukturen, Verfahren, Programme (G2)– Geräte, Einrichtungen, Anlagen (G3)– Anwendungen (G4)



N T S

Kapitelübersicht• 2.1 Vorbemerkungen

– Signalklassen

• 2.2 Beschreibung nichtsinusförmiger, periodischer Zeitvorgänge

– Approximation von Funktionen mit Fourier-Reihe– Anwendungen auf Netzwerke

• 2.3 Beschreibung aperiodischer Zeitvorgänge– Das Fourier-Integral in verschiedenen Formen– Beispiele dazu – Eigenschaften der Fourier-Transformation

2 Grundlagen der Signaltheorie determinierter Signale



N T S

2.1 Vorbemerkungen

s

t0

s

0k od. k t

Analog signal sequence

s

0

signal with discrete values

s

k od. k t

Digital signal

continuoustime-(space-) domain

discrete

t0

Analog signal

Wer

tebe

reic

h



N T S

2.1.1 Das Exponentialsignal

( ) cos sinj ts t e t j t

( )ˆ ˆ ˆ( ) cos( ) Re Re where u uj t jj tuu t u t u e u e u u e

( )j t t j t pte e e e

Für Spannungen gilt:

Für ansteigende/abfallende Signale gilt:



N T S

2.1.2 Die Dirac Funktion

0 0( ) ( ) ( )t t t t dt

1( ) ( )at ta

Für 1 gilt: ( ) ( )a t t

( ) ( ) ( )s t t s d

Definition:

Eigenschaften:

Folgt aus der Definitionsgleichung.



N T S

2.1.2 Die Dirac Funktion

( ) (0) 1 mit ( ) 0 für 0d s

0

1( ) limT

tt rectT T

( )

0



N T S

2.1.3 Die Sprungfunktion

0 for 0( )

1 for 0t

tt

( ) ( )t

t d

1( )t

t0



N T S

2.1.4 Periodische Signale

( ) ( ) where ,..., 1, 1,...,s t s t nT n

2 1 0( ) ( )n

s t s t nT

Allgemeine Formel:

Beispiele:

2 1 0( ) ( )nn

s t c s t nT



N T S

2.1.4 Periodische Signale

1

02

0

( )

( )

n

n

ts t rectT

t nTs t rectT

Ttrect nT T

t

0n 1n 2n

0T 02T

T2 ( )s t



N T S

2.1.5 Impulsartige Signale

11 for 2( )10 for 2

xrect x

x

1 1

2 0 1

2 1

1

x

( )rect x



N T S


1 for 0( ) ( ) 0 for 0

1 for 0

ts t sign t t

t

t

( )sign t

1

0

1



N T S


1 für ( )

0 sonst

t t Tts t TT

t

1

T T

( ) ts tT



N T S

2.1.6 Anpassung von Zeit- und Frequenz Functionen

2 1( ) ts t a sb

2 0( )2ts t u rectT

2 1( ) ( )s t s t T

Fall1: Kompression & Dehnung

Fall 2: Verschiebung

Beispiel:



N T S


1

2 0 1

0

( )

( )2

2

ts t rectT

ts t u s

tu rectT

T T t

2 ( )s t0u

Beispiel:

1 12

0 12 1

1

x

( )rect x



N T S


1

2 1

( ) ( )( ) ( )

( )

s t ts t s t

t

t

2 ( )s t

0

1

Fall 3: Spiegelung (b = -1)

Beispiel:

2 1( ) ( )s t s t



N T S


1 2

3 2

( ) ( ) 3

( ) ( )3

t ts t rect s t rectT T

t Ts t s t T rectT

2 1( ) ( )s t s t T

3 2 1

1

( ) Ersetzung von mit in ( )

t ts t as t s tb btas Tb

Dehnung & Verschiebung:

Verschiebung & Dehnung:

3s t

vT

1

t

3T



N T S


1 0( ) ; ; 2ts t rect a u bT

2 ( ) t T Tts t rect rectT T T

3 0( )2

T Tt ts t arect u rectbT T T T

t2 vT

2T0u

3 ( )s t

Beispiel:



N T S


2 1( ) ( )s t s t

3 2 1 1( ) ( ) ( ( )) ( )s t s t T s t T s T t

4 1( ) ( )s t s t T

5 4 1 3( ) ( ) ( ) ( )s t s t s t T s t

Spiegelung & Verschiebung:

Neue Abfolge: Verschiebung & Spiegelung:



N T S


( )t tr tT T

1( ) ts t rT

2 1( ) ( ) ts t s t rT

3 2( ) ( ) T ts t s t T rT

t

tvT

1( )s t2 ( )s t

3 ( )s t

Beispiel mit der Rampenfunktion r(t):



N T S


vt T

4 1( ) ( ) t Ts t s t T rT

5 4( ) ( ) t Ts t s t rT

Es gibt 4 Fälle:

5s t 4s t

vT vT t



N T S


1 2 3

1 2 3

( ) ( ) mit ( ) ( ) ( ( ))f x f y y f xf x f f x

01

1

( )f rect

Alle o.a. Methoden können auch auf Frequenzfunktionen angewendet werden:

Beispiel:



N T S

2.2 Beschreibung nichtsinusförmiger, periodischer Zeitvorgänge

2.2.1 Approximation von Funktionen– Motivation: Kennfunktionen, Extraktion von Kenndaten

Datenkompression– Ansatz: Gegeben sei f(t)

Gesucht ist g(t),die f(t) im Intervall approximiert mit

t0

g(t)

f(t)

1( ) ( ) bei Vorgabe der ( )

n

i i ii

g t g t g t



N T S

2.2.1 Approximation von Funktionen

- Anforderung: Möglichst kleiner Fehler der Approximation

- Definition Fehlerfunktion: ( ) ( ) ( )t f t g t

- Mittlerer Fehler: 2

1min min

2 1

1 ( ) ( )t

m tf t g t dt

t t

- Mittlerer absoluter Fehler :2

1

min min2 1

1 ( ) ( )t

mat

f t g t dtt t

- Mittlerer Quadratischer Fehler : 2

1

2

min min2 1

1 ( ) ( )t

mq tf t g t dt

t t

- Vorteile/Nachteile der Fehlermaße • Aufheben der Fehler möglich bei mittlerem Fehler• Absol. Fehler ergibt Unstetigkeiten (beim part. Differenzieren)• Quadr. Fehler ist häufigste Anwendung



N T S


– Bestimmung der Koeffizienten– Hieraus folgen die unten angegebenen Schritte:

0 1,2,...,

mq

i

i n

2

1

2

12 1

1 ( ) ( ) 0nt

j jtji

f t g t dtt t

2

1 12 1

1 2 ( ) ( ) ( ) 0nt

j j itj

f t g t g t dtt t

22

11

1( ) ( ) ( ) ( )

t nt

i i j jtjt

f t g t dt g t g t dt

Dies entspricht einem Gleichungssystem, das nach den Koeffizienten aufgelöst werden kann



N T S


2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

21 1 1 2 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( ) ( )

t t t t t

n nt t t t t

f t g t dt g t dt g t g t dt g t g t dt g t g t dt

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

2 1 1 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( ) ( )t t t t t

n nt t t t t

f t g t dt g t g t dt g t g t dt g t g t dt g t g t dt

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( ) ( )t t t t t

n n n n n n nt t t t t

f t g t dt g t g t dt g t g t dt g t g t dt g t g t dt

.

.

.



N T S

2.2.2 Approximation mittels orthogonaler Funktionensysteme

• Definition orthogonaler Funktionen in Intervall ( ) mittels reeller Funktionen g(t) . Diese Funktionen sollen stetig im Intervall sein.

• Dabei wird Chronecker‘sche Deltafunktion benutzt:

• Ansatz für die Approximation:

• Damit folgt für die Koeffizienten(infolge Wegfalls aller Integrale je Zeile bis auf zwei Integrale):

2

1

( ) ( )

und geeignetem

t

t

g t g t dt h

h

fürfür

1 2,t t

1( ) ( )

n

i ii

g t g t

2

1

2

1

2

( ) ( )

( )

t

it

i t

it

f t g t dt

g t dt



N T S

2.2.2 Approximation mittels orthogonaler Funktionensysteme

Man erhält orthonormale Funktionensysteme mittels der Festlegungen

1 21 2

1 2

( ) ( )( ) ( )( ) , ( ) ,..., ( ) ,..., ( ) nn

n

g t g tg t g tG t G t G t G th h h h

Für diese gilt dann:2

1

( ) ( )

t

t

fürG t G t dt

für

Damit lässt sich eine Funktion f(t) im Intervall mit Hilfe von geeigneten Koeffizienten in eine Reihe von orthonormalen Funktionen entwickeln. Das Ergebnis der Approximation ist dann eine Funktion G(t).

Zusammenfassend gilt:1

( ) ( ) ( )n

i ii

f t G t AG t

Die Koeffizienten A sind die sog. verallgemeinerten Fourierkoeffizienten:

2

1

( ) ( )t

i it

A f t G t dt



N T S

2.2.3 Approximation von periodischen, nicht-sinusförmigen Funktionen

Beispiel einer Funktion mit der Periodendauer T. Diese Funktion ist als nicht endende Wiederholung einer Periode interpretierbar.

f(t)

t0 T 2TT

Für eine periodische Funktion gilt: ( ) ( ) 0,1,2,...,f t f t T

Nach Fourier kann eine beliebige Funktion, die die Dirichlet‘schenBedingungen erfüllt, u.a. in der folgenden trigonometrischen Formdargestellt werden:

0

1( ) cos( ) sin( )

2af t a t b t



N T S

2.2.2 Approximation von periodischen, nicht-sinusförmigen Funktionen (Fourier-Reihe)

• Dirichlet‘sche Bedingungen (in der Praxis erfüllt)– Funktion f(t) ist im Intervall entweder stetig oder hat endlich viele

Unstetigkeitsstellen – Endliche Grenzwerte von f(t) existieren, wenn t von rechts oder von links

gegen die Unstetigkeitsstelle strebt– Das Intervall lässt sich derart in Teile zerlegen, so dass dort f(t) monoton ist

• Satz von Dirichlet– Bei Erfüllung der Dirichlet‘schen Bedingungen konvergiert die Fourier-

reihe im gesamten Intervall– Der Wert der Fourier-Reihe ist identisch mit Funktion f(t) an stetigen Stellen– An Unstetigkeitsstellen ist der Wert gleich:

– An Endpunkten des Intervalls ist der Wert gleich:

0.5 ( 0) ( 0)f t f t

1 20.5 ( 0) ( 0)f t f t



N T S

2.2.3 Fourier ReiheAnalogie zur Reihenentwicklung orthogonaler Funktionen

• Für die Reihenentwicklung gilt bei orthogonalen Funktionen

• Für die bei der Fourier-Reihebenutzten Funktionen läßt sich die Orthogonalität zeigen:

• Ansonsten gilt wie o.a. :• Dadurch ist gesichert, dass Fourier-

Reihe die bestmögliche Approximation im quadratischen Mittel ist (auch bei abgebrochener Reihe)

2 0 2 0

1 0 1 0

sin( )sin( ) cos( ) cos( )2

t t T t t T

t t t t

Tt t dt t t dt

2

1

( ) ( ) t

t

g t g t dt h

1( ) ( )

n

i ii

g t g t

2

1

2

1

2

( ) ( )

( )

t

it

i t

it

f t g t dt

g t dt

0

1( ) cos( ) sin( )

2af t a t b t

mit

Es sind 2 Koeffizientensätze nötig, damit gerade und ungerade Funktionsanteile dargestellt werden können.



N T S

2.2.3 Fourier ReiheDamit gilt für die Bestimmung der Fourier-Koeffizienten der trigonometrischen Form:

2 0

2 0

1 0

2 0

1 0

1 0

0

2

( ) 11 ( )

21

t t T

t t Tt t

t t Tt t

t t

f t dta f t dt

Tdt

2 0

2 0

1 0

2 0

1 0

1 0

2

( ) cos( )2 ( )cos( )

cos ( )

t t T

t t Tt t

v t t Tt t

t t

f t v t dta f t v t dt

Tv t dt

2 0

2 0

1 0

2 0

1 0

1 0

2

( )sin( )2 ( )sin( )

sin ( )

t t T

t t Tt t

v t t Tt t

t t

f t v t dtb f t v t dt

Tv t dt

Dies ist der Gleichanteil (arithm. Mittelwert)



N T S

2.2.4 Die Polar-Form der Fourier Reihe(Fourier-Cosinus-Reihe)

• Mittels der Beziehung

lässt sich die trigon. Fourier-Reihe umschreiben von

2 2cos( ) sin( ) cos( arctan( / ))A x B x A B x B A

01

( ) cos( ) mit

f t d d t

00 und

2

ad

2 2 ; d a b arctan ( / )

b für negative aa

0

1

( ) cos( ) sin( ) zu2af t a t b t

Darüber hinaus ist obige Formel auch in der Version der Fourier-Sinus-Reihe bekannt:

01

( ) sin( ) mit e sowie / 2

f t e e t d



N T S

2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-Reihe mit symmetr. Funktionen

• B1: f(t) ist eine gerade Funktion mit und( ) ( )f t f t

t

TT/2t-t-T/2

-f(t) f(t)

f(t)

0

2

2

2 ( )sin( ) 0

T

Tt

b f t t dtT

2

0

2 2 ( )cos( )

T

a f t t dtT

0

1

( ) cos( )2af t a t

Die Fourier-Reihe hat damit die Form:

Grund:Darstellbarkeit gerader Funktionen nur durch andere gerade Funktionen



N T S

2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-Reihe mit symmetr. Funktionen

• B2: f(t) ist eine ungerade Funktion mit und

f(t)

-T/2T/2

-f(t)

f(t)t-t

t

( ) ( )f t f t

0 02a a

2

0

4 ( )sin( )

T

b f t t dtT

1( ) sin( )f t b t

Somit resultiert:



N T S

2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-Reihe mit symmetr. Funktion

• B3: f(t) ist vollsymmetrische Funktion mit f(t)= - f(t + T/2)

t

f(t)

f(t+T/2)

t+T/2

tT



N T S


Es gilt dafür :

oder nach Aufteilung des Intervalls:

für gilt:

sowie für :

0

2 ( ) cos( )T

a f t t dtT

2

2

2 ( ) cos( ) ( ) cos( )

TT

To

a f t t dt f t t dtT

2k 2

2

2

2 ( )cos(2 ) ( )cos(2 ) 0

TT

kTo

a f t k t dt f t k t dtT

2 1k 2

2 10

4 ( ) cos (2 1)

T

ka f t k t dtT

Grund: Geradzahlige k ergeben sich nach T/2 wiederholende cos-Funktionen. Auslöschung der Terme wegen zu T/2 negativen und sich wiederholendem f(t) !



N T S


- Auf ähnlicher Weise läßt sich die Gültigkeit folgender Aussagen einsehen (auch sin-Funktion wiederholt sich für gerade k nach T/2):

2 0kb 2

2 10

4 ( )sin (2 1)

T

kb f t k t dtT

und

- Es kommen daher in dieser Fourier-Reihe nur ungeradzahlige Schwingungen vor, für die 2 1k gilt:

2 1 2 11

( ) cos (2 1) sin (2 1)k kk

f t a k t b k t



N T S

2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-Reihemit symmetr. Funktion

• B4 : Funktion ist vollsymmetrisch mit f(t) = f(t + T/2 ) . Daraus folgt dann:

0

f(t)8t#

TT/2t tt+T/2

2

20

4 ( ) cos(2 )

T

ka f t k t dtT

und 2 1 0ka

2

20

4 ( )sin(2 )

T

kb f t k t dtT

und 2 1 0kb

Grund: Nach T/2 erfolgt Wiederholung der cos/sin-Funktionen mit den Indizes 2k. Cos/sin-Funktionen mit Indizes 2k+1 haben bei T/2 Abstand jeweils andere Halbwelle!

Die Fourier-Reihe von f(t) hat dann eine Form mit allein geradzahligen Koeffizienten:

02 2

1( ) cos (2 ) sin (2 )

2

k kk

af t a k t b k t



N T S


• B5 : f(t) ist gerade und vollsymmetrisch [ f(t) = - f(t + T/2) ] :

tT

T/2

0

f(t)

02 0

2 ka a und 0b

4

2 10

8 ( ) cos[(2 1) ]

T

ka f t k t dtT

Resultat: Nur ungeradzahlige Kosinusschwingungen kommen vor

Somit lautet die entsprechende Fourier-Reihe hier:

2 10

( ) cos 2 1kk

f t a k t



N T S


• B6 : f(t) ist ungerade und vollsymmetrisch [ f(t) = -f(t + T/2) ] :

t

T

T/2

0

f(t)

Hier treten in der Fourier-Reihe nur ungeradzahlige Sinuschwingungen auf

0 02a a 2 0kb

4

2 10

8 ( )sin[(2 1) ]

T

kb f t k t dtT

und

Für die Fourier-Reihe läßt sich hier schreiben :

2 10

( ) sin 2 1kk

f t b k t



N T S


• B7: f(t) wird auf der Zeitachse verschoben :

Beträgt die Verschiebung t dann gilt mit 't t t

0

1

( ') ( ) cos[ ( )] sin[ ( )]2

ag t f t t a t t b t t

Dieser Ausdruck ermöglicht es, die Fourier-Reihenentwicklung für den neuen Koordinatenursprung zu ermitteln.

Es ist oft von Vorteil, den Koordinatenursprung zu verschieben, z.B. wenn sich damit symmetrische Eigenschaften der Funktion ergeben.

( ) ergibt jv tvf t t c e Ein einfacherer Ausdruck resultiert für die

kompl. Koeffizienten:



N T S

2.2.6 Fourier-Analyse

• Es besteht die Möglichkeit , eine periodische nicht-sinusförmige Funktion hinsichtlich ihres “Informationsgehaltes” auf zwei Arten darstellen:

df(t)

T/40 t-A

T/2 T-T/4

3T/4

1 ) Im Zeitbereich ( s. folgendes Bild)

2 ) Im Spektralbereich (Frequenzbereich): Darstellung der Amplituden ,a b

bzw. der cos-Amplitude d und der Phase in Abhängigkeit von der Frequenz.



N T S

2.2.6 Fourier-AnalyseWeitere Beispiele

Beispiel: Fourier-Analyse der TrapezfunktionDiese ist gerade und vollsymmetrisch (s. B5) mit

02 0, 0

2 k

a a b4

2 10

8 ( ) cos[(2 1) ]

T

ka f t k t dtT

und

Für f(t) gilt in der ersten Viertelperiode:

04

( )

4 4 4

TA const für t df t

A T T Tt für d t dd

Damit resultiert:4 4

2 10

4

8 cos[(2 1) ] ( )cos[(2 1) ]4

T Td

kT d

A Ta A k t dt t k t dtT d



N T S


Als Endergebnis ergibt sich (nach part. Integration etc.):

2 1 2

4 cos[(2 1) ( )](2 1) 4k

A Ta k dk d

Die Fourier-Reihe der Trapezfunktion lautet damit:

4 1 1( ) [sin( ) cos( ) sin(3 )cos(3 ) sin(5 ) cos(5 )... ...)9 25

Af t d t d t d td

2 1 2

4 sin[(2 1) ] sin[(2 1) ](2 1) 2k

A k da kk d

bzw. nach Auflösung des Arguments im cos in zwei Ausdrücke und Umschreiben des damit resultierenden Terms cos (x-y) in cos und sinProduktterme:



N T S


• Sonderfall 1 der Trapezfunktion : Die Dreiecksfunktion (d = T/4) :

t

3T/4

TT/2

T/40

-T/4

f(t)

A

d



N T S


• Dafür ergibt sich das folgende Amplituden und Phasenspektrum:

2 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2

2 1:

8 8, 0, , , 0(2 1) (2 1) 2k k k k k

kEndergebnisse

A Aa b dk k

5 731073210

2

2

v8² ²vAdv

Koeffizienten der Sinus-Reihe erfordern

Phase von:

/ 2

2



N T S


• Sonderfall 2 der Trapezfunktion : Rechteckfunktion mit 0d

0-T/4

A

3T/4

tT

T/2

f(t)d

T/4



N T S


• Bildung des Grenzüberganges mittels der Regel von Bernoulli-L’Hospital:

975310

4v

Acv

vc

07

53

1

-

2

2

v

v

v

'

'0 0 0

sin[(2 1) ]sin[(2 1) ]lim lim lim ((2 1) ) (0) 1(2 1) (2 1)

d d d

k dk d si k d sik d k d

Damit folgt: 2 1

2 1 2 1 2 1

4 sin[(2 1) ], 0(2 1) 2

4 , sin[(2 1) ] , 0(2 1) 2 2

k k

k k k

Aa k bkAd k

k



N T S

2.2.7 Die komplexe Form der Fourier-Reihe

• Allgemein gilt für die Fourierreihen-Darstellung

0

1( ) cos( ) sin( )

2af t a t b t

Ausserdem gilt: cos( )2

j t j te et

sin( )2

j t j te etj

und damit : 0

1( )

2 2 2

j t j t j t j ta e e e ef t a bj

0

1( )

2 2 2j t j ta a jb a jbf t e e

bzw.



N T S


• Nunmehr werden auch negative Werte für einbezogen.

Mit den Abkürzungen 0

0 ,2

für positive 2

für negative 2

ac

a jbc

a jbc

erhält man Paare von Koeffizienten.

Dies lassen sich in der sehr kompaktenDarstellung der Fourier-Reihe in ihrerkomplexen Form schreiben:

( ) j tf t c e

*Also: c c



N T S


• Für die komplexen Koeffizienten resultieren damit die Bestimmungsgleichungen:

0

0

0 0

0 0

00

1 ( ) ,2

1 1( )[cos( ) sin( )] ( ) ,2

t T

t

t T t Tj t

t t

ac f t dtT

a jbc f t t j t dt f t e dtT T

0

0

1 ( ) , 0,1,2,...t T

j t

t

c f t eT

Es gilt außerdem: 2 ( ) 2 ( ) 0 a c b c



N T S

2.2.8 Interpretation der Fourier-Koeffizienten

0

1( ) cos( ) sin( )

2af t a t b t

Es werden damit folgende Darstellungen der Fourier-Reihe benutzt:

oder

01

( )

oder

( ) cos( )

j tf t c e

f t d d t

Verabredung ab hier: c statt c



N T S

2.2.8 Interpretation der Fourier-Koeffizienten

- Gleichanteil des Signals : 00 02

a c d

- Scheitelwerte oder Amplituden der Fourier-Komponenten: , ,a b c und d

- Nullphasenwinkel (Phase) der cosinusförmigen Schwingungen:

- Grundschwingung: 1 1cos( ) d t



N T S

2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei einem Netzwerk

• Bei cosinus-förmiger Spannung ˆ( ) cos( )uu t u t wird üblicherweise ein komplexer Scheitelwert

zugeordnet.

ˆ ˆ ˆmit ( ) Re{ }uj j tu u e u t u e

01

01

ˆ( ) cos( )

ˆ( ) cos( )

v u

v i

u t u u t

i t i i t

Auch bei elektrische Netzwerken nutzt man die Darstellung (der Spannungen und Ströme) in Kosinusform:

Nun kann man für jede periodische Funktion ansetzen:

*

0

1 ˆ , 120

1 ˆ 12

v

v

v

u für

u u für

u für

( ) mit

j tvu t u e



N T S


C

Ri(t)

0 ( )u t( )Lu t

tTT/20

0 ( )u t

u

0 21

ˆ ˆ2 4( ) cos(2 )(4 1)k

u uu t k tk

0 ˆ( ) sin( ) mit = 2 /Tu t u t Hier ist gegeben :

Zu berechnen sind : ( )Lu t( )i t und

Beispiel-Netzwerk: Reihen-Schwingkreis

Daraus folgt:



N T S


• Lösungsansatz :

- Verwendung der Impedanz für jede Frequenz k :

ˆ

ˆ k

k

k

uZ

i

- Angabe der Fourier-Reihe zu 0 ( )u t in komplexer Form mit: 2

ˆ4ˆ(4 1)

k

uuk

20 2

ˆ2( )(4 1)

j k t

k

uu t ek



N T S


• Impedanz bzw. Strom des Reihen-Schwingkreises für eine bestimmte Frequenz :k

k kZ R jX mit

Dann gilt für den Strom :

1 kX k L

k C

22

2

ˆ2 1( ) .(4 1)

j k t

kk k k

ui t i ek R jX

22

ˆ2 1( ) . .[cos(2 ) sin(2 )](4 1)

k k

ui t k t j k tk R jX

Mit der Euler’schen Formel resultiert:

und /k k ki u Z



N T S


• Nach einer Umformung (per konjugiert komplexer Erweiterung des Nenners) ergibt sich :

2 22 2 2 2 2

2 2

ˆ cos(2 ) sin(2 ) sin(2 ) cos(2 )2( )(4 1)

k k

k k k

R k t X k t R k t X k tui t jk R X R X

Werden die Eigenschaften der Funktionen ( cos , sin ) für +/- k ausgenutzt, so gilt

22 2 2

0 2

ˆ cos(2 ) sin(2 )4( )(4 1)

k

k k

R k t X k tui tk R X

mit (mit Wegfall der Imaginärteils!):k kX X



N T S


• Die Spannung an der Spule erhält man über:

( )( )Ldi tu t Ldt

22 2 2

0 2

ˆ 2 [ sin(2 ) cos(2 )]4( )(4 1)

kL

k k

k L R k t X k tuu tk R X

2 2 20 22

ˆ4 2( ) . cos[(2 ) arctan( )](2 1)L

k kk

u k L Ru t k tk XR X

Die Ergebnisse lassen sich auch in Polarform darstellen:

22 2 2

0 2

ˆ4 1( ) . cos[(2 ) arctan( )](2 1)

k

k k

Xui t k tk RR X



N T S

2.2.10 Formulierung der Parseval’schenGleichung

- Betrachtet werden zwei im allgemeinen nicht-sinusförmige periodischeFunktionen 1( )f t 2 ( )f tund mit gleicher Periodendauer T:

- Die entsprechenden Fourier-Reihen lauten: 0

0

0

0

1 1

2 2

1( ) ( )

1( ) ( )

t Tj t j t

t

t Tj t j t

t

f t C e mit C f t e dtT

und

f t D e mit D f t e dtT

- Für das Produkt beider Funktionen gilt : 1 2( ) ( ) .

j t j tf t f t C e D e

0

0

1 2 1 21( ) ( ) mit ( ) ( )

t Tjk t jk t

k kk t

f t f t E e E f t f t e dtT

und zugleich da periodisch :



N T S


• Weiterhin gilt:0

0

1 .t T

j t j t jk tk

t

E C e D e e dtT

0

0

0

0

( )

( )

1

bzw.

1

t Tj k t

kt

t Tj k t

kt

E C D e dtT

E C I mit I D e dtT

• Man kann zeigen, dass I verschieden von Null ist nur bei:

(wg. Orthogonalität von cos(nx) und sin(nx) )0k

Damit wird der Integrandidentisch mit 1 und es gilt:

1I D T DT



N T S


k kE C D C D

die Fourier-Koeffizienten des Produktes 1 2( ) ( )f t f t

0

1 2

Bestimmung des Gleichanteils (zeitl. Mittelwert) des Produktes ( ) ( ) über 0 :

Ef t f t k

0

0

0 1 21 ( ). ( ) .

t T

t

E f t f t dt C DT

infolge 0 k bzw. k v

Es gibt diverse Anwendungen dieser Beziehung (Bestimmung des Integrals im Zeit- oder Frequenzbereich)!



N T S


• Alle komplexen Fourier-Koeffizienten besitzen die Eigenschaft :* *undC C D D

Damit läßt sich die folgende Formel umschreiben von

* *0 Re ReE C D C D

Dies ist die Parseval’sche Gleichung

0

0

1

0 1 2 0 01

* *0 0 0 0

1 1 1

*0 0 0 0

1 1

1 ( ) ( )

( )

( ( ) ) 2 Re

t T

vt

v v v v

v v v v

E f t f t dt C D C D C D C DT

C D C D C D C D C D C D

C D C D C D C D C D

zu:



N T S

2.2.11 Die Leistung bei nicht-sinusförmigen periodischen Netzwerkgrößen

Die elektrische Energie pro Periode (Wirkleistung) an einemohmschen Widerstand beträgt:

0 0 0

0 0 0

2 21 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )t T t T t T

Wt t t

P u t i t dt u t dt R i t dtT R T T

Anwendung der Parseval’schen Gleichung für diesen Sonderfall:

1 2( ) ( ) ( )f t f t f t 21 2( ) ( ) ( )f t f t f t

0

0

2 ( )2 *0

2 220

1

1 ( ) Re Re

2

v v

t Tj C C

t

E f t dt C C C eT

C C C

ergibt:

und damit



N T S


• Mit 00 0 , 1

2 2a a jbc C c C

folgt:

0

0

2 22 2 2 222 2 0 0

01 1 1

1 ( ) 2 22 4 2 2

t Tv v v v

t

a a b a a bf t dt c cT

Wenn f(t) Spannungs- oder Stromcharakter hat, werden die entsprechenden Spektralgrößen ,a b und c die Wirkleistungsverhältnisse desentsprechenden Netzwerkelementes beschreiben.



N T S


Betrachtet wird nun ein Eintor (nicht nur ohmsch) mit nicht-sinusförmigen periodischen Netzwerkgrößen u(t) und i(t):

U(t) Eintor

i(t)1

1’

1

2

( ) ( )

( ) ( )

j t

jv t

u t f t C e

u n d

i t f t D e

0 0

0 0

*1 2 0 0

1

*0 0

1

1 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 Re

2 Re

t T t T

Wt t

P u t i t dt f t f t dt C D C DT T

C D C D

Für die Wirkleistung gilt:



N T S


Unter Berücksichtigung der Zusammenhänge entsprechend S. 40

0 0 0 01 1 ˆˆ, , ,2 2

C U D I C u D i

folgt :

* *0 0 0 0

1 1

1 1ˆ ˆˆ ˆRe Re2 2W v v v vP U I u i U I u i

Damit ist die Gesamtleistung über die Summe aller Einzelleistungen jeder Spektrallinie zu bestimmen!



N T S

2.2.12 Die Beurteilung der Abweichung vom sinusförmigen Verlauf periodischer Funktionen

Definition des Effektivwerts einer periodischen Funktion:

0

0

21( ) ( )

t T

efft

f t f t dtT

2( )efff t c

Die Parseval’sche Gleichung gestattet die Bestimmung des Effektivwerts über die Fourier-Koeffizienten (bzw. über die zugehörigen Effektivwerte):



N T S


- Der Effektivwert für eine periodische Spannung u(t) beträgt:

22 20

1 0

ˆ2

eff effuU U U

- Der Effektivwert für einen periodischen Strom beträgt sinngemäß: 2

2 20

1 0

ˆ

2eff effiI I I I

0U : Gleichanteil von u(t)

u : Scheitelwert

ˆ / 2effU u : Effektivwert der -ten Teilspannung (Frequenz: )



N T S


Ansonsten ist f(t) eine Mischgrösse

2 2

1 1

2

0

eff eff

effeff

U Us

UU

(Gleichanteil und Wechselanteil der nicht-periodischen Funktion f(t)ist zugleich vorhanden).

0Also gilt für Mischgrößen: 02a

Dafür ist der Schwingungsgehalt s definiert (Anteil AC am Gesamtsignal):

Bei reinen Wechselgrössen, also ohne Gleichanteil gilt: 0a 0



N T S


Die Abweichung vom sinusförmigen Ablauf kann durch den Grundschwingungsgehalt g beschrieben werden:

1 1

2

1

e f f e f f

e f fe f f

U Ug

UU

2 2

2 2

2

1

eff eff

effeff

U Uk

UU

2 2 1g k

Der Oberschwingungsgehalt k ( Klirrfaktor ) beträgt:



N T S


Zusätzlich gibt es weitere Definitionen mit Formfaktor und Scheitelfaktor:

2

0

0

1 ( )

e f f

f T

Uk

u t d tT

Formfaktor :

Scheitelfaktor für Signale ohne Gleichanteil: max

2

1

( )

a

eff

u tkU

Bei rein sinusförmigen Verlauf erhält man:

1,11 2 1, 412 2f ak und k



N T S

2.2.13 Zusätzliche Eigenschaftern der Fourier-Reihe

· Linearität

· Zeitverschiebung

· Spiegelung

( ) ergibt Reihe mit vk s t k c

1 2 1 2( ) (t) ergibt Reihe mit v va s t b s a c b c

11( ) ergibt Reihe mit jv t

vs t t c e

*( ) ergibt Reihe mit vs t c



N T S

Grundlagen der Elektrotechnik 3

Kapitel 2.3Beschreibung aperiodischer Zeitvorgänge

mittels der Fourier-Transformation



N T S

2.3.1 Vorbemerkungen

Beispiel : Betrachtet wird ein periodischer Rechteckimpuls

t

f(t)

0

2t

2t

T-2t

0( ) 2 20

i it tU für tu t

sonst

Es soll eine Fourier-Analyse dieses Signals durchgeführt werden

u(t) sei hier eine gerade Funktion

Ansatz: Entwicklung der Fourier-Transformation aus der Fourier-Reihedurch Überführung periodischer Funktion in aperiodischen Impuls



N T S


• Lösung :2

00 0

2

1

i

i

tt

i

tt

U tc U dtT T

0

2 20

0

22

0 0

1 sin( )cos( )2 2

2

2 2sin sin sin2 2

i

i

ii

t tt

ttb t

i i i

i

i

a jb a U tc U t dtT T

mitT

t tv v tT TU U t Tc tT T

T



N T S


bzw:

0 0

sin2 2 2 ( )

i

i i i

i

tU t U t tTa c sitT T T

T

Damit gilt:

0( ) si

j ti iU t tu t eT T

0,2itTSkizze des Spektrums von u(t) für den Fall

1,0

0.5

0

1C2C

3C4C

5 0C 10 0C

sin( )xx

15 0C

0C



N T S

2.3.2 Das Fourier-Integral• Im folgenden wird weiter die Fourier-Reihe einer

periodischen Funktion f(t) untersucht. Die Periode sei hier: f(t)

t

T/2-To/2 0

Dabei sollen die nachstehenden Voraussetzungen gemacht werden :1 ) f(t) sei stetig . möge die Funktion2 ) In jeder endlichen Periodendauer 0 0

2 2 T Tt

den Dirichlet’schen Bedingungen genügen3 ) Bei beliebiger Periodendauer sei f(t) absolut integrierbar

0( )

j tf t c e

00

2T



N T S

2.3.2 Das Fourier-Integral

Die folgende Darstellung geht aus von einem periodischem Signal welches in ein nicht-periodisches Signals überführt wird. Ansatz: Vergrößerung der Periodendauer - also per:

0

limT

0

0 2

Tm

Jeder Term in komplexer Fourier-Reihe entspricht einer Linie im Spektrum. Die Linienabstände betragen:

In einem Intervall um einen beliebigen Frequenzpunkt liegen mLinien mit der Anzahl:

0 02 / T

Bei genügend kleinem Intervall resultiert dann nur geringer Unterschied der m einzelnen Terme der komplexer Fourier-Reihe zueinander. Konsequenz: Zusammenfassung dieser Terme ist erlaubt!



N T S


0 TFür kann man dann die Intervalle infinitesimal klein wählen (wenn m unverändert bleiben soll)

0 00

2 jv t jv t

v vTm c e c e

Damit ergibt sich für den Beitrag jedes Intervalls zur Reihe:

• In jedem Intervall mit m Linien gilt damit für dessen Beitrag zur Reihe:

00 00 mit daher:

2 2 jv t j t

v vT Td c e v c e d

Außerdem läßt sich abkürzend schreiben:

Insgesamt resultiert damit: 1( ) ( )2

j tf t F e d

0 ( )vT c F



N T S


Es gilt also: 1( ) ( )2

j tf t F e d

0 0

00

1mit ( )t t T

j t

t t

c f t e dtT

( )f t ( )F

Das Symbol dazu:

) ( ) ( )

j tt F f t e dtF

Das Fourierspektrum bzw. die Fourier Transformierte der Funktion f(t)

kann auch dargestellt werden über:

00 ( ) und lim :v T

T c F

Nunmehr folgt wegen



N T S

2.3.3 Die Fourier-Rücktransformation

Die Funktion f(t) läßt sich also mittels ihres Fourierspektrums darstellen über:

1( ) ( )2

j tf t F e d

Die (Rück)Transformation zwischen Bildbereich und Originalbereich kennzeichnet man so: ( )F ( )f t

Amplitude x Zeit oder AmplitudeFrequenz

( )f t dt S const

( )F hat nicht Amplitudencharakter (wie bei F.-Reihe), sondern es ist eine Amplitudendichte mit der Dimension :

Die Existenz des Fourier-Integrals ist dann gesichert wenn f(t) absolut integrierbar ist:



N T S

2.3.4 Interpretation und Zusammenfassung

Betrachtung eines Signals s(t) aus dem per idealer BP-Filterung nur Anteile innerhalb eines bestimmten Frequenzbandes extrahiert werden. Die Filterung erfolge so schmalbandig, dass sich darin das Spektrum (und die Exponentialfunktion) nur unwesentlich ändert. Für diesen extrahierten Anteil g(t) folgt:

0 0

0

0 0

0

0

0 0

*0 0 0

( )0 0 0 0

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

( ( ) ( ) )2

Re{ ( ) } wegen ( ) ( )

Re{ ( ) } ( ) cos( ( ))

j t j t j t

j t j t

j t

j S j t

g t S e d S e d S e d

S e S e

S e S S

S e e S t S



N T S

2.3.4 Zusammenfassung und Interpretation

• Die Fouriertransformation ist (unter gegebenen Vorr.) also unter Bezug auf die betrachtete Bandbreite und bei der betrachteten Frequenz ein Maß für die Amplitude und die Phasenlage einer Signalanteils (Signalkomponente).

• Die Anwendung der Fouriertransformation erlaubt:1 ) Ein im Zeitbereich bekanntes Signal gleichwertig im Frequenzbereich über die zugeordnete Fouriertransformation zu beschreiben 2 ) Aus einer bekannten Fourier-Transformierten die Zeitfunktion zurückzugewinnen Die Fouriertransformation ist ein wichtiges Werkzeug der Elektrotechnik, Regelungstechnik, Physik ( Optik, Mechanik , …). Zugleich bildet diese die Grundlage der Laplace-Transformation, Z-Transformation und der diskreten Fouriertransformation incl. der FFT.

Grundlagen der Elektrotechnik 3nts.uni-duisburg-essen.de/downloads/get3/GET3_K2a_Sh.pdf · R. Paul...

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