Grundlagen der Elektrotechnik (Buch)

0 Grundlagen der Mechanik Das Verständnis der elektrotechnischen Grundlagen setztdas Wissen über einige elementare Grundlagen derMechanik voraus. Die folgenden Erläuterungen sollen denLesern als Gedächtnisstütze, d.h. als Wiederholung bereitsgelernter physikalischer Zusammenhänge dienen.

Was ist Masse ?

Die Masse eines Körpers, bzw. Gegenstandes, beschreibteine charakteristische physikalische Eigenschaft einesKörpers, die unabhängig von der Lage und demAufenthaltsort des Gegenstandes ist.

Beispiel:

Die Masse einer Weltraumsonde ist vor dem Start auf demErdboden, in einer Höhe von 10 km, im Weltall und nach derLandung auf dem Mars immer gleich groß.

Ein Kilogramm wird definiert als die Masse des in Parisaufbewahrten Zylinders aus Platin-Iridium. Dieser Zylinderwird auch als Urkilogramm bezeichnet.

Was ist Kraft ?

Aus dem täglichen leben kennt man den Begriff Kraft invielen Zusammenhängen. Wir wenden z.B. Muskelkraft aufum Gegenstände zu bewegen oder zu verformen.

Beispiel:

Man schiebt einen leeren Wassereimer mit dem Fuß vor sichweg. Das wird keine großen Probleme bereiten, da nur einegeringe Gegenkraft zu verspüren sein wird.

Versucht man das gleich mit einem wassergefüllten Eimerwird sich eine erheblich größere Gegenkraft bemerkbarmachen.

Eine Kraft besitzt öffensichtlich eine Richtung (Wirkrichtung)und eine bestimmte Größe (Betrag). Jeder Kraft(Aktionskraft) steht eine Gegenkraft (Reaktionskraft)entgegen.

Das dynamische Grundgesetz:

F = m*a

Ersetzt man die Beschleunig ung durch die spezifischeErdanziehung g (=Beschleunigung, die ein Körper inRichtung des Erdmittelpunktes erfährt), so erhält man dieGewichtskraft eines Körpers: G= m * g

1

Bild : Basisgröen und Basiseinheiten

Anmerkung:

Wenn ein Körper keineBeschleunigung und keineVerformung erfährt, dann müssen

Aktionskraft und Reaktionskraft imGleichgewicht stehen.

Formelzeichen der Kraft:

F

[F]= kg m /s^2 = N

N= Newton

a= Beschleunigung

[a] = m/s^2

Formelzeichen der Gewichtskraft: G

Formelzeichen derErdbeschleunigung: g

Die Umgangssprache ist sehr ungenau hinsichtlichphysikalischer Zusammenhänge.

Gewöhnliche Haushaltswaagen ermitteln immer dieGewichtskraft eines Menschen (Körpers), obwohl dieAnzeige als Einheit kg aufweist. Das bedeutet, dass dieAnzeige einer Haushaltswaage eine Rechnung durchführt:

m = F/g

Da g als konstant vorausgesetzt wird, kann diese„Rechnung“ durch einfache Anpassung derSkalenbeschriftung erreicht werden.

Energie

Was ist Energie ?

Ein einfaches Beispiel dient der Erläuterung:

Man stelle sich vor, einen Gegenstand mit der Masse m =50 kg, in die zweite Etage eines Hauses transportieren zumüssen. Der Träger hat zwei Transportwege zur Auswahl.Zum ersten kann der Gegenstand über die Treppe zum Zielgebracht werden. Zusätzlich steht eine Leiter an derHauswand , die anstelle der Treppe genutzt werden kann.Für welchen Transportweg muss der Träger mehr Arbeitaufwenden, bzw. mehr Energie aufwenden ?

Lösung:

Wenn der Körper von der zweiten Etage auf den Erdbodenfällt, wird die Verformung des Untergrundes (Krater) inbeiden Fällen gleich stark sein. D.h. die Lageenergie desKörpers ist unabhängig vom Transportweg !

Epot = mgh

Die Höhe h ist also wegunabhängig.

Die Lageenergie wird beim autreffen des Körpers auf denBoden in Wärme und Verformungsenergie umgewandelt.

Energie wird nicht verbraucht, sie wird stets in andereEnergieformen umgewandelt.

2

[g] = m/s^2

g= 9,81 m/s^2

(Richtwert)

Bild 1

1 Grundlagen derElektrotechnik

Die Phänomene elektrischer Ladung sind in vielenBereichen des täglichen Lebens erkennbar, z.B. Blitze beieinem Gewitter oder gelegentlich den Funkenüberschlagbeim Angreifen der Autotür etc.

Zur Nachbildung dieser Erscheinungen dient folgenderVersuch:

Ein Kunststoffstab wird an einem Fell gerieben. Danachführt man den Kunststoffstab langsam an das Fell heran.

Beobachtung:

Die Haare des Felles werden vom Kunststoffstabangezogen.

Erklärung (Bild 1):

Diese und ähnliche Beobachtungen haben bereits die altenGriechen zu den unterschiedlichsten Erklärungsversuchengeführt. Da wir Menschen nicht in der Lage sind mitunseren Sinnesorganen die Veränderungen amKunststoffstab und am Fell zu erkennen, die dieseAnziehungskraft zwischen Stab und Fell begründen könnte,war es lange Zeit sehr schwer, dieses Phänomen zuerklären. Ein erprobtes Werkzeug, welches alsErklärungshilfe herangezogen werden kann ist dieEntwicklung eines Modelles.

Modelle bezeichnen Abbilder der Wirklichkeit, die nichtgenau den tatsächlichen Gegebenheiten entsprechenmüssen. Modelle ermöglichen eine Beschreibung desVerhaltens von Körpern, Stoffen und Systemen. Modellewerden in wissenschaftlichen Untersuchungen validiertund gegebenenfalls korrigiert.

Die Modellbeschreibung in unserem Beispiel basiert auf derAnnahme, dass Ladungsträger mit gegensätzlicher Ladungvorhanden sind, die durch die Reibung desKunststoffstabes mit dem Fell voneinander getrenntwurden. Das ureigenste Bestreben dieser positiven undnegativen Ladungsträger ist es einen Ausgleich, einGleichgewicht ihrer Ladung herbeizuführen. Die Wirkungdieses Ausgleichsbestrebens können wir in Form derAnziehung der Haare des Felles vom Kunststoffstaberkennen. Nachdem sich Fell und Kunststoffstab kurze Zeitberührten, d.h. sich die Ladungen ausgleichen konnten,verschwindet auch das Phänomen der Anziehungskraft. Zurgenaueren Untersuchung der elektrischen Ladungennehmen wir ein weiteres Modell zu Hilfe.

Gleichartige elektrische Ladungen stoßen einander ab,ungleichartige Ladungen ziehen sich an (Bild3).

3

Bild 1 Reibung zweier Materialien

Bild 2 Atommodell

Bild3 Elektrische Ladungen

1.1 Das Bohrsche Atommodell Alle auf der Erde vorkommenden Stoffe bestehen ausMolekülen, die ihrerseits aus einzelnen Atomenzusammengesetzt sind. Die physikalischen Eigenschaftender Atome und deren Verhalten untereinander werden durchihre Bestandteile bestimmt. Das Atommodell, welches vonNiels Bohr1 entwickelt wurde, geht von einem Modell aus,das im Zentrum einen Atomkern besitzt. Dieser wiederumbesteht aus Neutronen und Protonen. Auf konzentrischenKreisen um den Atomkern kreisen Elektronen inunterschiedlichen Abständen. Mit spricht hierbei von Schalen(Bild 1), weshalb das Bohrsche Atommodell auch alsSchalenmodell bezeichnet wird.

Alle auf der Erde vorkommenden Elemente sind in einemSystem, dem Periodensystem der Elemente, nachAtomaufbau und Atomgewicht eingeordnet. Neutronen sindelektrisch neutral. Im Verhältnis zu Protonen und Elektronenbesitzen sie eine sehr große Masse. Sie befinden sich imAtomkern (Bild 3).

Protonen sind elektrisch positiv geladen. Atome bestehenim Atomkern aus Neutronen und Protonen gleicher Anzahl.

Elektronen sind elektrisch negativ geladen. Sie kreisen aufunterschiedlichen Schalen um den Atomkern (Bild 2). DieAnzahl der Elektronen ist im Normalfall gleich der Anzahlder Protonen. Das Atom ist nach außen hin elektrischneutral.

Neutronen sind elektrisch neutral.

Protonen sind elektrisch positiv geladen.

Elektronen sind elektrisch negativ geladen.

Protonen und Elektronen weisen eine jeweils gleich großeLadung von e = ± 1,602 10-19 C(C = Coulomb, 1C=1As) auf.

Die elektrische Ladung ist die Elektrizitätsmenge, die sichauf der Oberfläche eines Körpers befindet. Die kleinste inder Natur vorkommende Elektrizitätsmenge ist dieElementarladung.

Im Folgenden wird am Beispiel eines Natriumatoms derAufbau von Atomen genauer untersucht. Das Natriumatombesteht im Kern aus elf Protonen und elf Neutronen. Umden Atomkern kreisen insgesamt elf Elektronen. DerVerdienst Nils Bohrs, war es nun genau diese Bestandteileeines Atoms zu beschreiben und ihren Aufenthaltsort inseinem Modell festzulegen, sodass das Verhalten derElemente physikalisch erklärt werden kann.

1 Niels Bohr : dänischer Physiker, 1885-1962

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Bild 1 Atomaufbau

Bild2 Kräfte und Ladungen

Bild3 Atommodell

Die physikalischen (elektrischen) Eigenschaften vonAtomen werden durch den Atomaufbau bestimmt.

1.2 LadungstrennungBeim Reiben des Felles an dem Kunststoffstab werdenLadungen getrennt. Zur vereinfachten Darstellung derLadungstrennung wird das Modell eines Natriumatomsherangezogen (Bild 1). Entzieht man dem Natriumatom einElektron, so überwiegen die positiven Ladungsträger(Protonen). Das Atom ist somit elektrisch positiv geladen.Erhält im Gegensatz hierzu ein Natriumatom ein Elektronmehr so verfügt es über mehr negative als positiveLadungsträger. Das Atom ist dann elektrisch negativ geladen(Bild 2).

Unter dem Mikroskop betrachtet würde ein sehr kleinerAusschnitt des Felles und des Kunststoffstabes wie zweisich gegenüberliegende Flächen erscheinen. ImAusgangszustand sind Fell und Kunststoffstab nach außenhin elektrisch neutral. Durch Reibung werden von einemKunststoffstab, Elektronen auf das Fell übertragen. Dieeingesetzte mechanische Arbeit wurde offensichtlich inLadungstrennungsarbeit umgesetzt (Bild 4). Je mehrReibung, d.h. Ladungstrennungsarbeit verrichtet wird, destostärker wird das Fell von dem Kunststoffstab angezogen.Aus diesem Zusammenhang lässt sich eine erste Definitionder elektrischen Spannung ableiten:

Die elektrische Spannung ist ein Maß für dieLadungstrennungsarbeit je LadungSpannung = Potentialunterschied

Durch das Einsetzen der Formelzeichen erhält man:

U=

U = elektrische Spannung W = Ladungstrennungsarbeit

Q= elektrische Ladung (für den Spezialfall Q= -1,602 10-19

AS setzt man das Formelzeichen e ein)

Die elektrische Ladung Q repräsentiert in diesem Fall dieElementarladung eines Elektrons (e = -1,602 10-19 As). Diemechanische Arbeit W ist hier die Reibung ([W]=Nm=kg m²/s²). Dadurch ergibt sich für die elektrische Spannungfolgende Einheit: [U] = (kg m² /As³).

Zu Ehren des italienischen Physikers Volta wurdestellvertretend für die Einheit der elektrischen Spannung derBuchstabe V eingeführt.

[U] = V (sprich: Volt) 1V=

Durch stärkere Reibung des Felles am Kunststoffstaberhöht sich die Anziehungskraft, die vom Kunststoffstab aufdie Haare des Felles wirken. Die größere Anziehungskraft

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Bild 1 Natriumatommodell

Bild 2 Elektronenüberschuss

Bild 3 ohne LadungstrennungBild 3 ohne Ladungstrennung

Bild4 Ladungstrennung Bild4 Ladungstrennung

W

Q

kg m2

As3

kann nur durch ein größeres Ausgleichsbestreben dergegensätzlichen Ladungen hervorgerufen werden. Da mehrReibung (Ladungstrennungsarbeit) zu einer größerenelektrischen Spannung führt, kann eine weitere Definitionder elektrischen Spannung festgelegt werden:Elektrische Spannung ist das Ausgleichsbestrebengegensätzlicher Ladungen.

1.2.1 Erzeugung elektrischer Spannung

Die Erzeugung elektrischer Spannung basiert immer auf derUmwandlung einer Energieform, z.B. mechanische Energie(Arbeit), in elektrische Energie. Derartige Energiewandler(Bild1) nennt man auch Spannungsquellen. Für dieQuellenspannung gilt die bereits bekannteDefinitionsgleichung: U= W/Q.

In Spannungsquellen wird elektrische Energiegespeichert

Heute übliche Energiewandler (Spannungsquellen) sind:

• Primärelement (chemische Reaktion) (Bild 2)• Thermoelemente (Wärmewirkung)• Zünder eines Feuerzeuges (Kristallverformung)• Induktionsspule (Induktion)• Blitze (Reibung)

Spannungsquellen besitzen zwei Anschlüsse. DieseAnschlüsse werden als Pole bezeichnet. Es gibt also einen- Pol auf der Seite der Spannungsquelle, die einenElektronenüberschuss aufweist und es gibt einen + Pol aufder Seite der Spannungsquelle, die einenElektronenmangel besitzt. (Bild3)

1.3 Spannungsarten

Die elektrische Spannung wird außer über ihrenSpannungswert zusätzlich mit dem zeitabhängigen Verhaltencharakterisiert. Der unterschiedliche zeitliche Verlauf derelektrischen Spannung kann bei der Spannungserzeugung,oder durch elektrische Schaltungen festgelegt werden. Derzeitliche Verlauf der elektrischen Spannung kann unterZuhilfenahme spezieller Mess-instrumente, wie z.B. demOszilloskop gezeigt werden. Ein Oszilloskop misstgrundsätzlich nur elektrische Spannungen. Es wird dazuparallel zum Verbraucher (Widerstand etc.) angeschlossen.Der Bildschirm des Oszilloskopes zeigt denSpannungsverlauf, wobei auf der X-Achse der zeitlicheVerlauf und auf der Y-Achse die Amplitude (Spannungswert)dargestellt wird. Gleich-spannung (s.u.) bezeichnet eineelektrische Span-nung, die über einen längeren Zeitraumkontinuierlich einen Spannungswert (Amplitude) aufweist.Spannungsquellen, die durch eine chemische ReaktionLadungen trennen, sind normaler Weise Gleichspannungs-

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Bild 1 Einige Arten derBild 1 Einige Arten der Ladungstrennung

Bild 2 Primärelemente

Bild 3 Symbol Primärelement

quellen. Beispiele hierfür sind Batterien wie Taschen-lampenbatterien, Autobatterien usw. Wechselspannung (Bild 2) ändern im Gegensatz zuGleichspannungen ihren Spannungswert im Laufe relativkurzer Zeitabschnitte. Diese Art elektrischer Spannungbesitzt weitere Merkmale und ist technisch von großerBedeutung, so dass sie in einem eigenen Unterkapitelbesprochen wird.Mischspannung (Bild 3) ist das Resultat der Überlagerungvon Gleich- und Wechselspannung. Mischspannung ist,ähnlich wie Wechselspannung, leicht an ihrem zeitlichenVerlauf zu erkennen. Im Gegensatz zu einer reinenWechselspannung schwankt die Amplitude (Spannungswert)nicht um einen Nullpunkt.

1.4 Elektrischer StromElektrischer Strom wird zum Transport der elektrischenEnergie benötigt. Verbindet man eine Glühlampe überKupferdrähte mit einer Batterie, so leuchtet die Lampe. Diein der Batterie gespeicherte Energie wird offensichtlich überdie Kupferdrähte zur Glühlampe transportiert und dort inLicht umgewandelt.Elektrische Spannung ist das Ausgleichsbestrebengegensätzlicher elektrischer Ladungen. In derSpannungsquelle herrscht an einem Pol (Anschluss) einÜberschuss an Elektronen und an dem anderen Pol einElektronenmangel. Schließt man den Stromkreis von derSpannungsquelle über die Kupferleitungen und dieGlühlampe, so wandern Elektronen von einem Pol derSpannungsquelle durch die Kupferleitung (Bild 4) und durchdie Glühlampe. Ein elektrischer Strom fließt durch dieGlühlampe. Die Glühlampe leuchtet.

Elektrischer Strom ist die gerichtete Bewegung vonLadungen

Die Elektronen werden von der Spannungsquelle über dengeschlossenen elektrischen Stromkreis von einem Pol derSpannungsquelle zum anderen Pol der Spannungsquelleverschoben. Der elektrische Stromkreis wird von derSpannungsquelle über elektrische Leiter (z.B. Kupferdraht)zur Glühlampe und von da aus wieder über elektrischeLeiter zur Spannungsquelle zurück geschlossen.

Elektrische Leiter sind Materialien, die frei beweglicheLadungsträger (z.B. Elektronen) besitzen.

Jeweils ein Elektron, welches von der Seite derSpannungsquelle mit einem Elektronenüberschuss wegwandert, besetzt genau eine freie Stelle auf der Seite derSpannungsquelle mit einem Elektronenmangel.

Die Anzahl der wegfließenden und die Anzahl derankommenden Ladungsträger (Elektronen) müssen an derSpannungsquelle immer gleich groß sein.

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Bild 1 Gleichspannung

Bild 2Wechselspannung

Bild 3Mischspannung

Bild 4 Ladungsträgertransport im Leiter

Mischspannung

Elektrischer Strom geht nicht verloren und wird nichtverbraucht.

In der Spannungsquelle findet durch den elektrischen Stromein Ladungsausgleich statt, dadurch sinkt die elektrischeSpannung der Spannungsquelle (Bild 1). Diesem Effektkann nur durch erneute Ladungstrennung entgegengewirktwerden (Bild 2). Bei einer Taschen-lampenbatterie erfolgtdie kontinuierliche Umwandlung chemischer Energie inLadungstrennungsarbeit. Dies ist bekannter Weise einendlicher Prozess, dessen Ende am erlöschen derGlühlampe festzustellen ist. Aus elektrotechnischer Sicht istdurch den Ladungsausgleich die Spannung der Batterie(Spannungsquelle) soweit abgesunken, dass entwederkein, oder ein nur noch sehr geringer Strom fließt. DieGlühlampe leuchtet infolge dessen nicht mehr oder nurnoch sehr schwach.

1.4.1 Kenngrößen des elektrischen Stromes

Der elektrische Strom kann durch die Angaben„Stromstärke“ und „Stromdichte“ quantitativ exaktbeschrieben werden.

Die elektrische Stromstärke I ist proportional zurLadungsmenge Q, die sich in einem Leiter pro Zeiteinheitbewegt.

Aus diesem Zusammenhang ergibt sich dieDefinitionsgleichung der Stromstärke:

I= Q

t [I]=

As

s

Die Einheit der Stromstärke ist das Ampere2 [I]=1 AStellt man diese Gleichung nach Q um, erhält man:Q=I t

Stromrichtung:

Die technische Stromrichtung ist entgegengesetzt derBewegung der Elektronen vom Plus-Pol zum Minus-Polder Spannungsquelle

Anwendungsbeispiel:Zur Verdeutlichung dieser Angaben nehmen wir dieLadungsmenge einer handelsüblichen MignonzelleQ=0,133Ah, die in einer leistungsstarken Taschenlampeeingebaut ist zur Hilfe. Gehen wir davon aus, dass einStrom von 1 A fließt, so ergibt sich:

t =Q

It =

0,133 Ah

1A

t = 0,133h = 7,98 Min = 487,8 s

2 Ampère, André Marie: franz. Physiker und Mathematiker, 1775-1836)

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Bild 1Ladungsausgleich

Bild 2 Ladungstrennung

Bild 4 Stromrichtung

-Pol derSpannungsquelle

+ Pol derSpannungsquelle

Technische Stromrichtung

Die kleinste mögliche Ladungsmenge eines Ladungsträgersbeträgt e=1,602 10-19As. Die Anzahl N der bewegtenLadungsträger bei einer Stromstärke von I=1A in der Zeitt=487,8s lässt sich nun berechnen:

Q= I t N= Q

e

N= I t

eN=

1A 487,8s

1,602 10-19

As

N= 3,045 1021

Dies ist eine extrem hohe, nicht vorstellbare Anzahl vonLadungsträgern, die im geschlossenen Stromkreis fließenmüssen.Die Leitung der Ladungsträger von der Spannungsquellezur Glühlampe und wieder zurück zur Spannungsquelleerfolgt im einfachsten Fall über elektrisch leitendeMetalldrähte. Die Ladungsträger, welche gleichzeitig durcheinen Leiter fließen, müssen sich praktisch gleichmäßigüber den Leiterquerschnitt verteilen. Diese Verteilung ist dieStromdichte.

Die Stromdichte J ist die auf den Leiterquerschnitt Abezogene Stromstärke I.

Definition der Stromdichte (Bild 1):

J=I

A

Die Einheit für die Stromdichte ergibt sich aus den bisherbekannten Einheiten:

[J]=A

mm2

Die Stromdichte ist verantwortlich für die Erwärmung einesstromdurchflossenen Leiters. Diesen Zusammenhang kannman leicht nachvollziehen, wenn man sich vorstellt, dass mitsteigender Stromdichte die Reibung der Ladungsträgerinfolge des „Platzmangels“ immer mehr steigt. DieseReibung bewirkt die Erwärmung des Leiters, die beigenügend großer Stromdichte zum Schmelzen derLeitungen führen kann (Brandgefahr !) (Tab.1)Technisch wird der Effekt einer sehr hohen Stromdichte inGlühlampen ausgenutzt. Eine Glühlampe besitzt einendünnen Draht, der sich infolge der hohen Stromdichte biszum Glühen erhitzt. Die Glühlampe leuchtet.

1.5 Der elektrische WiderstandLadungsträger, die sich durch einen Werkstoff bewegen,werden mehr oder weniger in ihrem Fluss behindert. DieseBehinderung ist die Folge der Reibung zwischen denLadungsträgern (z.B. Elektronen) und den Atomen desWerkstoffes (z.B. metallischer Leiter). Die Elektronenbewegen sich auf einem „zick zack“ Kurs zwischen denAtomen des elektrischen Leiters, sie erfahren dabei einenWiderstand in ihrer Bewegung.

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Bild 1 Stromdichte

Bild 2 Geometrie eines Leiters

Zulässige Stromdichte Q

(nach VDE 0298 Teil 4 bei Verlegungvon Instakabel)

I /A A/mm² J/(A/mm²)

16,5 1,5 11

30 4 7,5

53 10 5,3

Tab. 1 Stromdichten

Durch die Erhöhung der Temperatur eines Leiterwerkstoffeswerden zusätzlich die Atome des Leiters zuSchwingbewegungen angeregt. Dies hat zur Folge, dassdie Ladungsträger noch stärker in ihrer Bewegungbehindert werden, da noch mehr Kollisionen stattfinden.

· Der elektrische Widerstand ist die Eigenschaft einesWerkstoffes, sich dem elektrischen Strom zu widersetzen.

· Der elektrische Widerstand steigt bei elektrischen Leiternmit der Temperatur an.

Im folgenden Versuch werden die Beziehungen zwischenelektrischer Spannung, elektrischem Strom und elektrischemWiderstand (Bild 1) untersucht. Der Versuchsaufbau (Bild 2)besteht aus einer Spannungsquelle mit einer einstellbarenSpannung von U=0..9V und einem langen Draht, der aufeinen Zylinder gewickelt ist als Widerstand. Die Stromstärke wird mit einem Strommessgerät bestimmt.Die Spannungswerte werden eingestellt und dann jeweilsdie dazugehörenden Werte der Stromstärke am Strom-messgerät abgelesen. Danach folgt die Übertragung derSpannungswerte und der Stromstärken in ein Spannungs-Strom-Diagramm, Widerstand-Strom-Diagramm WiderstandSpannungs-Diagramm.

1.5.1 Das ohmsche GesetzDas sich ergebende U-I-Diagramm zeigt eine Gerade. Wieaus der Mathematik bekannt ist bedeutet dies, dass derelektrische Strom I und die elektrische Spannung Uproportional zueinander sind.U~ IDas Proportionalitätszeichen kann durch einGleichheitszeichen ersetzt werden, wenn einProportionalitätsfaktor eingeführt wird.U=K IDieser Proportionalitätsfaktor ist der elektrische WiderstandR. Die Einheit des elektrischen Widerstandes ergibt sichaus der Betrachtung der Einheiten der Spannung U und desStromes I:

K=U

I

Das ohmsche Gesetz lautet:

R=U

I[R]=

V

A= Ω

Der elektrische Widerstand R ist derProportionalitätsfaktor zwischen der Spannung U undder Stromstärke I

Die Einheit für den elektrischen Widerstand [R]=V/A wird zuEhren des Physikers Ohm3 mit dem griechischenBuchstaben Ω (Omega) bezeichnet (Ω sprich Ohm).

Werkstoffe, die einen kleinen elektrischen Widerstandaufweisen, behindern den Fluss des elektrischen Stromes

3 Georg Simon Ohm deutscher Physiker (1787-1854)

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Bild1 Symbol eines Widerstandes

Bild 2 Strom und Spannungen imeinfachen Stromkreis

Kennzeichnung eines Widerstandes:

Bsp.:

R=1kΩ

oder

G= 1mS

nur wenig, sie besitzen einen guten Leitwert. Der Leitwertist das Pedant zum elektrischen Widerstand. Definition des Leitwertes G:

Der Leitwert ist der reziproke Wert des Widerstandes.

G=1

R bzw. G=

I

U

[G]=1

bzw. [G]=A

V

[G]= S (S sprich Siemens4)

Auch bei dieser Einheit wurde ein vereinfachtes Einheits-zeichen (S) eingeführt.

1.6 Elektrische Arbeit und elektrischeLeistung

In den vorangegangenen Überlegungen wurde bereits derZusammenhang zwischen der elektrischen Spannung Uund der elektrischen Landungsmenge Q aufgezeigt:

U= W

Q

Die Umstellung der Formel nach der elektrischen Arbeit Wergibt: I)W= U*Q. Die Landungsmenge Q verhält sich proportional zu demelektrischen Strom I und zur Zeit t, wie schon bekannt ist: II)Q=I*tErsetzt (substituiert) man die Ladung Q in Gleichung I durchden Ausdruck von Gleichung II erhält man eine formaleBeschreibung der elektrischen Arbeit:

W= U*I*t [W]=A*V*s = Ws

W sprich Watt 5

Die elektrische Arbeit W wächst mit der Zeit, derelektrischen Spannung und dem elektrischen Stromproportional an.

Die Angaben zur umgesetzten elektrischen Energie in den„Stromrechnungen der EVU’s (Energieversorgungs-unternehmen), welche jeder Haushalt erhält, beziehen sichüblicher Weise auf die Einheit kWh (Kilowattstunde):

1 kWh = 3 600 000 Ws

Die elektrische Arbeit und die elektrische Leistungunterscheiden sich, analog zur mechanischen Arbeit imBezug zur mechanischen Leistung, nur durch den FaktorZeit. Jeder weis aus eigener Erfahrung, dass man dieAnstrengung, um eine Aufgabe zu erledigen, beiVerkürzung der zur Verfügung stehenden Zeit erhöhen

4 Werner v. Siemens, deutscher Erfinder (1816-1892)5 James Watt englischer Erfinder 1736-1819

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Anmerkung zur Messtechnik:

Strommesser werden immer in Reihe zueinem Verbraucher geschaltet.

Spannungsmesser werden immerparallel zu einem Verbraucher geschaltet.

Bild 1Strom- und Spannungsmessung

Bild 2 Strom in Abhängigkeit von derSpannung

Bild 3 Strom in Abhängigkeit vomWiderstand

Bild 4 Spannung in Abhängigkeit vomWiderstand

muss. Die Leistung verhält sich umgekehrt proportional zurZeit. Diese Abhängigkeit besitzt auch in der ElektrotechnikGültigkeit (Bild 1).

Die Leistung P ist elektrische Arbeit W pro Zeitdauer t.

P=W/t [P]= Ws/s = W

Beispiel: Ein Lötkolben besitzt die Aufschrift 100W, 230 V(Bild 2)

a) Wie groß ist der el. Strom I der im Betrieb desLötkolbens durch die Netzleitung fließt ?

b) Wie groß ist die el. Arbeit W, wenn der Lötkolben 15Min betrieben wird ?

c) Ist die Aussage „die el. Arbeit ist gleich der in Wärmeumgewandelten Energie“ richtig ?

d) Wieviel Euro muss man an das EVU(Energieversorgungsunternehmen) bezahlen, wenn !"

Lösung:a) I=P/U I=100W/230V=0,435Ab) W=P*t W= 100W*15*60s= 90 kWsW=25Wh = 0,025 kWhc) Ja, da elektrische Arbeit, analog zur mechanischenArbeit, nicht verloren geht, sie kann lediglich umgewandeltwerden. Elektrische Energie und elektrische Arbeit sindsynonyme Begriffe.e) # $%!& '() Gesamtkosten

GK=?:GK= W* k *+# &, -./, $'()*+# &, 0$& & 0&12!

1.7 Wirkungsgrad

Im täglichen Leben haben wir es mit unterschiedlichenelektrischen Geräten zu tun: ein Akkuladegerät, einFernseher, ein Computer oder den Elektromotor derSpielzeugeisenbahn. Welche Gemeinsamkeit, außer derTatsache, dass es sich um Elektrogeräte handelt, verbindetdiese Geräte ? Alle diese Produkte der Elektroindustrieerwärmen sich im Laufe ihres Betriebes. Bei einemComputer wird aus diesem Grund ein Kühlluftgebläseeingebaut. Die Wärmeentwicklung elektrischer und elektronischerGeräte folgt aus der ungewollten Umwandlung elektrischerArbeit in Wärme. Misst man zum Beispiel die StromstärkeI=1A in der Zuleitung zu einem Elektromotor kann man mitder Versorgungsspannung U = 230V dieLeistungsaufnahme berechnen:P =U*I P= 230V*1A = 230WDie zugeführte Leistung Pzu =230W wird teilweise insogenannte Verlustleistung PV (Wärme, mechanischeReibung usw.) umgewandelt. Die Nutzleistung, bzw.abgegebene Leistung Pab welche an der Welle desElektromotors messbar ist, berechnet sich zu (Bild 1):Pab=Pzu-PV

Der Wirkungsgrad beschreibt das Verhältnis derabgegebenen Leistung zur zugeführten Leistung:

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W

W2 P

W1 ∆W

∆t

t1 t2 t

W2-W1

P =---------------------- = konstant t2-t1

Lötkolben

Bild 2 Elektrischer Verbraucher

Weitere Beispiele elektrischer Ver-braucher

Bezeichnung Leistung in Watt

Lötkolben ca. 20-1200

Fön ca. 800-2000

Herdplatte ca. 1000-2000

Bohrmaschine ca. 300-2000

Glühlampe ca. 10-500

= P

ab

Pzu

[ ] = 1 (sprich eta)

Je kleiner die Verlustleistung, desto besser ist derWirkungsgrad. Der Wirkungsgrad kann maximal den Wert

< 1 annehmen.

1.1 Elektrisches FeldDas elektrische Feld ist eine elektrische Erscheinung, diebei räumlicher Anordnung von elektrischen Leitern undNichtleitern auftritt (Bild 2).

Als Nichtleiter werden Werkstoffe bezeichnet, die einensehr großen Widerstand R aufweisen. Beispiele fürNichtleiter sind Luft, Kunststoffe, Holz, Papier usw.

Die Anordnungen in einer Art „Sandwich-Schichtung“ ausLeiter-Nichtleiter–Leiter (Bild 3) nennt man auchKondensatoranordnung. In der Darstellung ist das Modelleines elektrischen Feldes zwischen zwei flächigenLeiterplatten dargestellt.

Ein Feld ist ein Raum, in welchem jedem Punkt ein Wert

einer physikalischen Größe zugeordnet ist, wie z.B. das

Temperaturfeld eines Zimmers, das Gravitationsfeld der

Erde usw.

Die Erscheinung elektrischer Felder und deren Wirkungkönnen wir Menschen nur indirekt erkennen. Ein einfachesund sicherlich jedem bekanntes Phänomen ist derFunkenüberschlag beim Angreifen einer Zimmertürklinke.Dies ist für uns Menschen relativ unangenehm, aberweitgehenst unschädlich.

Wie ist dieses Phänomen zu erklären ? Durch Reibung der Schuhe mit dem Teppich desFußbodens erfolgt eine Ladungstrennung, es entsteht eineelektrische Spannung. Stellen wir uns eine Großaufnahmeunserer Hand vor kurz bevor sie die Türklinke berührt. Mitetwas Phantasie zeigt die Großaufnahme zweigegenüberliegende flächige Leiterplatten. Die Luft dient hierals Nichtleiter. Infolge der Ladungstrennung besteht ein Ladungs-unterschied (Potentialunterschied) zwischen der Hand undder metallischen Türklinke. Die elektrische Spannungbewirkt zusammen mit der Anordnung Hand (Leiter) – Luft(Nichtleiter) –Türklinke (Leiter) ein elektrisches Feld. DieWirkung dieses elektrischen Feldes erkennt man daran,dass Ladungsträger Q durch die aus dem elektrischen Feldresultierende Kraft F von der Hand zur Türklinketransportiert werden. Wir spüren dies an dem „elektrischenSchlag“, bzw. an dem Funkenüberschlag.

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Pv (Wärme)

Pab

(Nutzleistung)

Bild 1 Zusammensetzung der Leistung

Bild 2 Elektrische Leitung

Bild 3 Kondensatoranordnung

Pzu

Die aus dem elektrischen Feld resultierende Kraft bezogenauf die Ladungsmenge Q steigt proportional zumelektrischen Feld an (Bild 1).

E= F

Q

Die Kraft F, welche als Folge des elektrischen Feldes aufeine Ladung Q wirkt, bewegt diese Ladung entlang einesWeges l. In unserem Beispiel von der Hand über die Längedes Luftspaltes bis zur Türklinke. Aus der Mechanik kennenwir noch den Zusammenhang zwischen der Kraft F, demWeg s und der Arbeit W:

W=F s daraus folg: F= W

s

Einführend wurde das Phänomen der elektrischenSpannung U und ihrer formalen Darstellung untersucht. Dieelektrische Spannung ist die Ladungstrennungsarbeit W jeLadung Q:

U = W

Qdaraus folgt: Q=

W

U

Jetzt können wir die bekannten Formeln einsetzen:

E=F

QE=

W

l *

U

W

E= U

l[E]= V/m

Die Ursache für das elektrostatische (temporäre,konstante) Feld ist die elektrische Spannung U

Ein elektrisches Feld von E=1 V/m entsteht dann, wenneine Spannung von U=1 V über eine Isolierstrecke(Isolierwerkstoff = Nichtleiterwerkstoff) von 1m anliegt.Zum Vergleich:Nehmen wir an, dass in unserem Beispiel von oben eineSpannung von ca. U≈10 000 V über der Hand und derTürklinke anliegen. Beim Überschlag des Funkens betrugder Abstand von der Hand zur Türklinke noch ca. l= 10 mm.Damit errechnet sich die elektrische Feldstärke zu:E= U/l = 10000 V / 10*10-3 m = 1 000 000 V/mAnmerkung:Es stellt sich die Frage, weshalb Funkenüberschläge, alsUrsache von sehr großen elektrischen Feldstärken, unsMenschen unter bestimmten Umständen nicht schaden.Laborversuche haben gezeigt, dass bei statischenEntladungen, wie im obigen Beispiel, zwar sehr großeSpannungen anliegen, aber nur sehr kleine Ströme fließen.Da der Funkenüberschlag nur eine sehr kurze Zeit anhältkann daraus auf die umgewandelte Energie geschlossenwerden. Auf den menschlichen Körper wird in diesem Fallnur eine sehr kleine Menge elektrischer Energie wirken.Bsp: U=10 000 V I= 1nA t=0,1s

W = U I t = 10 000 V 1 10-9 A 0,1 s = 1 µ Ws

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Bild 1 Elektrisches Feld

Beispiel:

Geg.: Q=e=1,6 10-19 As,

F=0,528 pN

Ges.: E, [E]

E= F

Q= 0,528 10

1 2kgm

s2

1,6 10 1 9

A s

E= 3,29 106 kg m m

A s3

m

E= 3,29 106 kg m

A s3

E = 3,3 MV

m

· ESD (Electrostatic Discharge):

· Elektronische Geräte und Komponenten müssen durch Verwendung von ESD-Schutzbändern, Spezial-schuhen usw. vor Zerstörung geschützt werden !

· Die Wirkung elektrischer Erscheinungen auf denmenschlichen Organismus hängt immer von einerMehrzahl elektrischer, bzw. physikalischer Größen abund ist oftmals nicht abschätzbar. Sie kann imschlimmsten Falle zum Tode führen !

Betrachten wir noch einmal zwei sich gegenüberliegendeflächig ausgedehnte Leiter, die durch einen Nichtleiter, z.B.Luft getrennt sind. Auf der einen Elektrode (neg. geladeneLeiterfläche) wurden Elektronen aufgebracht, auf deranderen Elektrode (pos. Geladene Leiterfläche) wurde diegleiche Anzahl Elektronen abgezogen. DerVerschiebungsfluss im Nichtleiter zwischen denLeiterflächen verhält sich proportional zur Ladungsmenge Qauf den Elektroden (Leitern). Je kleiner die Fläche der Elektroden desto größer erscheintdie Ladungsdichte bei gleichbleibendem Verschiebungs-fluss. Hieraus definiert man die Verschiebeflussdichte:

D= Q

A[D]=1

A s

m2

Unterschiedliche Nichtleiter, als isolierendes Materialzwischen den Leitern, beeinflussen die Größe deselektrischen Feldes verschieden stark.

Um diesen Zusammenhang darzustellen untersuchte mandas Verhältnis der Verschiebungsflussdichte zurelektrischen Feldstärke. Den Quotienten bezeichnet manmit dem griechischen Buchstaben ε (epsilon):

ε = D

E[ε]=

A s

m2 * m

V = A s

Vm

Für die Permittivität ε (früher auch Dielektrizität genannt)fand man folgende Gestzmäßigkeit: ε = ε0 εr

Die Permittivität setzt sich aus einem absoluten Anteil ε0

und einem materialabhängigen relativen Anteil εr

zusammen.ε0 = 8,854 10-12 As/VmDie relative Permittivität besitzt die Einheit 1, sie ist einreiner Faktor.

1.9 Magnetisches FeldEin magnetisches Feld kann genau wie ein elektrisches nurindirekt sichtbar gemacht werden (Bild 1). Das magnetischeFeld wirkt ohne materielle Verbindung auf bestimmteKörper, bzw. Materialien. Diese Kraftwirkung kann leichtanhand von, z.B. Kompassnadeln oder Hubvorrichtungen

15

E

E=f(s)

s

Bild 1 Feldstärkenverlauf

Bild 2 (vgl Tabellenbuch S. 112)

+ -

Bild 3 Sonderfall: Homogenes Feld

wie Magnetkräne usw. In der Elektrotechnik nutzt man einephysikalische Erscheinung zur Erzeugung magnetischerFelder:

Elektrische Ströme, d.h. bewegte elektrische Ladungen,verursachen ein magnetisches Feld in ihrer Umgebung.

Die konzentrische (kreisförmige) Anordnung derEisenspäne um den stromdurchflossenen Leiter verdeutlichtdie Vorstellung von magnetischen Feldlinien (Bild 5). Mangeht in der Elektrotechnik von dem Modell aus, dass dasmagnetische Feld aus Feldlinien besteht, welche in sichgeschlossen sind und sich konzentrisch um einenstromdurchflossenen Leiter legen.

Magnetische Feldlinien haben keinen Anfang und keinEnde, sie sind in sich geschlossen.

In der Bild 1 richten sich die Kompassnadeln alle in eineRichtung aus. Die Kompassnadeln zeigen die Richtung desmagnetisches Feldes an, welches vom Nordpol (rotgekennzeichnet) zum Südpol verläuft. Das physikalischeModell eines Permanentmagneten (Dauermagnet) geht voneiner Vielzahl sehr kleiner Elementarmagnete aus, welchealle gleichmäßig ausgerichtet sind.

Permanentmagnete (Dauermagnete) entstehendurchAusrichtung der Elementarmagnete eines ferro-magnetischen Stoffes. Ferromagnetische Stoffe behaltendie Ausrichtung der Elementarmagnete auf Dauer an.(siehe Abbildung)

Die magnetischen Feldlinien, die sich um einenstromdurchflossenen Leiter ausbilden besitzengleichermaßen eine Verlaufsrichtung. Diese Beobachtungdes dänischen Physikers Oersted6 kann man sich leicht mitder sogenannten Rechte-Faust-Regel oder auchSchraubenregel einprägen:

Greift man um einen stromdurchflossen Leiter mit derrechten Hand so, dass der Daumen in Richtung deselektrischen Stromes zeigt, so zeigen die gekrümmtenFinger die Verlaufsrichtung der magnetischen Feldlinien an(Bild 4).

1.9.1 Magnetische KreiseIn der Technik wird das Phänomen, dass sich umstromdurchflossene Leiter ein Magnetfeld bildet mittelssogenannter Spulen ausgenutzt. Der einfachste Aufbaueiner Spule besteht aus einem isolierten Leiter (z.B.Kupferdraht), der auf einem Kunststoffstab aufgewickelt ist.Da die Leiterschleifen alle parallel liegen und somit allemagnetischen Feldlinien in gleicher Richtung verlaufen,ergibt sich ein gesamtes Magnetfeld einer Spule (Bild 1).

6 Oersted, Hans Christian; dänischer Physiker; 1777-1851

16

Bild1 Ausrichtung von Kompassnadeln

Bild2 Ausrichtung von Elementar- magneten

Bild 3 Magnetkran

Bild 4 Kreisförmige Ausrichtung von Ei-senspänen um einen Stabmagneten

Ein magnetischer Kreis (Bild 3) beschreibt den für die Aus-breitung der magnetischen Feldlinien vorgesehenenRaum.

1.9.2 Grundgrößen des magnetischen FeldesMagnetische DurchflutungJede bewegte elektrische Ladung verursacht einmagnetisches Feld. Die elektrische Stromstärke I istproportional zu der Anzahl der elektrischen Ladungsträger e-,die pro Zeiteinheit bewegt werden. Die Größe des gesamtenmagnetische Feldes wächst proportional mit der Stromstärkeund der Anzahl parallel liegender Leiterwicklungen N aufdem Spulenkörper. Das Produkt aus der Stromstärke I und der Anzahl derWindungen einer Spule nennt man magnetischeDurchflutung

=I N [

]= A

Magnetische FeldstärkeDie magnetische Feldstärke ist eine rein rechnerischeGröße, die keine Auswirkung auf die Stärke desMagnetfeldes hat. Man nennt die magnetische Feldstärkeauch magnetische Erregung. Sie wird zur einfacherenBerechnung magnetischer Felder in Spulen und anderenBauelementen herangezogen.

Die magnetische Feldstärke H entspricht diemagnetische Durchflutung bezogen auf eine mittlere

Feldlinienlänge lm: H=

lm

[H]= A

m (vgl. Folgeseite Bild2, 3)

Magnetische Flussdichte und PermeabilitätDie Querschnittsfläche einer Spule zeigt die möglicheDurchdringungsfläche für die magnetischen Feldlinien. Jemehr Feldlinien pro Fläche auftreten desto dichter liegendiese. Die magnetische Flussdichte steigt somit proportionalmit der magnetischen Durchflutung und mithin mit dermagnetischen Flussdichte. Nun muss nur noch geklärtwerden, wie sich das Material des Spulenkernes, welchesvon den magnetischen Feldlinien durchdrungen wird, aufdie Flussdichte auswirkt. In diesem Zusammenhang sprichtman von der magnetischen Durchlässigkeit (Permeabilität)µ von Materialien. Die Permeabilität eines leeren Raumes(Vakuum) ist eine Feldkonstante:

µ0 = 1,256 10-6 Vs

Am

Die relative Permeabilität µr beschreibt den Faktor, umwelche die magnetische Durchlässigkeit eines Stoffesbesser ist als bei Vakuum. Die Permeabilität µ wird üblicher

17

Bild 1Magnetische Feldlinien einerSpule (in sich geschlossen)

Bild 2 Stromrichtung und Drehsinn dermagnetischen Feldlinien

Bild 3 Magnetischer Kreis

Weise als Produkt der relativen Permeabilität µr und derabsoluten Permeabilität µ0 angegeben: µ =µ0 µr

Die magnetische Flussdichte verändert sich inAbhängigkeit zur magnetischen Feldstärke und inAbhängigkeit zur magnetischen Durchlässigkeit einesStoffes:B= µ H [B] = VS/m2 =1 T (T sprich Tesla 7)

Magnetischer FlussDer magnetische Fluss ist definiert als die Summe allerFeldlinien. Wie bereits bekannt ist, ist die magnetischeFlussdichte die Summe aller Feldlinien bezogen auf dieDurchdringungsfläche. Daraus folgt, dass die magnetischeFlussdichte gleich dem magnetischen Fluss bezogen aufdie Durchdringungsfläche A sein muss:B =

A

Durch einfaches Umstellen der Formel für die magnetischeFlussdichte erhält man den Zusammenhang für dieWirkungsgröße im magnetischen Kreis, dem magnetischenFluss

.

Der magnetische Fluss ist die Gesamtheit allerFeldlinien in einem magnetischen Kreis. Er stellt dieWirkungsgröße im magnetischen Kreis dar (Bild 1).

= B A [

]=Vs = Wb (sprich Weber8)

1.9.3Magnetische WerkstoffeWerkstoffe beeinflussen grundsätzlich den Verlauf dermagnetischen Feldlinien. Die Stärke des Einflusses variiertallerdings in einem sehr großen Bereich. Eisen Nickel undKobalt führen zu einer Verstärkung des Magnetfeldes.Diese Werkstoffe nennt man ferromagnetische Werkstoffe.Andere Werkstoffe, wie z.B. Aluminium verstärken dasMagnetfeld nur sehr gering, solche Werkstoffe Verhaltensich paramagnetisch. Diamagnetische Werkstoffe, wie z.B.Kupfer, zerstreuen das sie durchdringende Magnetfeld, sodass es gegenüber Vakuum sogar abgeschwächt wird.

Ferromagnetische Werkstoffe verstärken das siedurchdringende Magnetfeld. µr>>1

Paramagnetische Werkstoffe haben einen sehrgeringen Einfluss auf Magnetfelder. µr >1

Diamagnetische Werkstoffe schwächen Magnetfelderab. µr <1

Die Permeabilitätszahl leitender Materialien, wie z.B.Aluminium und Kupfer, liegt im allgemeinen nahe eins(µr=1).

Leiterwerkstoffe besitzen ein sehr ähnliches magnetischesVerhalten wie Luft.

7 Tesla, Nicola: kroatischer Physiker, der in den USA tätig war, 1856-19438 Weber, Willhelm Eduard: deutscher Physiker 1804-1891

18

Tab. 1 relative Permeabilität Tab. 1 relative Permeabilität

Bild 2 Mittlere Feldlinienlänge

Bild 3 Berechnung der mittlerenFeldlinienlänge

Bild 1 Darstellung der Stromrichtungund des resultierenden Magnetfeldes

lm

Nur ferromagnetische Stoffe haben eine sehr großemagnetische Durchlässigkeit. Deshalb sind diese Werkstoffefür technische Anwendungen, die einen großen Magnetflussbenötigen besonders wichtig. Ferromagnetische Stoffeerlauben es, den Magnetfluss in einen konstruktiv vorge-geben Verlauf zu zwängen. Diese Eigenschaft ferromag-netischer Stoffe wird bei der Konstruktion von z.B. Genera-toren, Transformatoren und Elektromotoren ausgenutzt.

Ferromagnetische Werkstoffe werden zum Aufbaumagnetischer Kreise verwendet (Tab. 2).

1.9.4 Magnetisierung ferromagnetischerWerkstoffe

Ferromagnetische Werkstoffe verstärken das sie durch-dringende Magnetfeld. Der Grund für diese Verstärkungliegt in der Magnetisierung dieser Werkstoffe, wie z.B.Eisen. Bringt man ferromagnetiche Werkstoffe in einMagnetfeld, richten sich die im Werkstoff enthaltenenElementarmagnete in Richtung des Feldlinienverlaufes aus.Es findet eine Magnetisierung des ferromagnetischenStoffes statt, der das ursächliche Magnetfeld verstärkt. DieAusrichtung der Elementarmagnete (Magnetisierung)ferromagnetischer Stoffe verläuft nicht abrupt oder etwalinear. Bei kleiner Stromstärke durch die Spule, und somitkleiner Durchflutung, bzw Feldstärke, steigt dieMagnetisierung des Eisenkerns nahezu proportional an.Steigt die Feldstärke weiter bis zu großen Werten an, sinktdie Magnetisierung des Eisenkerns ab, es wird einsogenannter magnetischer Sättigungspunkt (Punkt A,Folgeseite Bild 2) erreicht. Die Abbildung zeigt den Verlaufder Neukurve.

Magnetische Kreise werden nicht im Sättigungsbereichbetrieben, um den Aufwand an elektrischer Energie geringzu halten

Schaltet man den Spulenstrom ab, so dass die FeldstärkeH=0 erreicht, kehren einige der Elementarmagneten desEisenkerns in ihre Ausgangslage zurück. Das bedeutet,dass sich die Magnetisierung des Eisenkerns bis auf einenRestmagnetismus (Remanenz, Punkt B) verringert.

Bei sogenannten Dauermagneten verbleibt nach derErstmagnetisierung eine große Remanenz.

Erzeugt man mit der Spule eine Gegenfeldstärke, durchUmkehrung der Stromrichtung, so findet eineEntmagnetisierung des Eisenkernes statt. Die (Gegen-)Feldstärke, die zur Beseitigung der Remanenz aufgewendetwerden muss wird als Koerzitivfeldstärke (Punkt C)bezeichnet.

Der Restmagnetismus kann mittels der Koerzitiv-feldstärkegelöscht werden.

Vergrößert man die Feldstärke über die Koerzitivfeldstärkehinaus, gelangt man wiederum in einen magnetischen

19

Tab. 1 Hartmagnetische Werkstoffe

Ferromag-netisch

Para-mag-netisch

Diamag-netisch

Fe,Co,Ni

Ferrite

Al,Mn,Cr,W

Cu,Zn,Ag

Wasser

5...9*103 ca.1,0001 –

1,001

ca. 0,9999

Tab.2 Werkstoffeinordnung

Sättigungsbereich (Punkt D, Bild 2). Wird der Strom in derSpule abgeschaltet und somit H=0, reduziert sich dieMagnetisierung des Eisenkerns wiederum auf einenbestimmten Remanenzwert (Punkt E). Jetzt kann zumzweiten Mal die Stromrichtung in der Spule gedreht werden,wodurch eine Feldstärke (Koerzitivfeldstärke) erzeugt wirddie den Restmagnetismus auf Null reduziert PunktF). Wirddie Stromstärke weiter erhöht, ergibt sich eine Feldstärke,die größer ist als die Koerzitivfeldstärke. Die Magnetisierungläuft auch hier wieder in die magnetische Sättigung (PunktA). Die sogenannte Hystereseschleife (Bild 2) hat sichgeschlossen.Durch ständige Änderung der Stromrichtung in der Spule,durchläuft die Magnetisierung des Eisenkerns zyklisch dieHystereseschleife. Die andauernde Umkehrung derAusrichtung der Elementarmagnete führt zu Reibung, dieeine Erwärmung des Eisenkerns zur Folge hat.

Kontinuierliche Ummagnetisierung magnetischer Werk-stoffe führt zur Umwandlung elektrischer Energie inWärmeenergie.

Je geringer die Koerzitivfeldstärke, desto geringer sind dieUmmagnetisierungsverluste. Werkstoffe mit geringerKoerzitivfeldstärke (kleine Fläche der Hysteresekurve)heißen weichmagnetisch. Werkstoffe (Bild 3) mit großerKoerzitivfeldstärke (große Fläche der Hysteresekurve)heißen hartmagnetisch, dies sind z.B. Dauermagnete.

1.9.5 Kraftwirkung auf parallel verlaufendestromdurchflossene Leiter

Zwei parallel verlaufende stromdurchflossene Leiter (Bild 2)besitzen jeweils ein eigenes Magnetfeld. Wie bereits obenerläutert, bildet sich um einen stromdurchflossener Leiterein Magnetfeld. Die Richtung der magnetischen Feldlinienkann bei bekannter Stromrichtung mit Hilfe der „rechtenFaust Regel“ bestimmt werden. Bei gleicher Stromrichtungin den Leitern heben sich die magnetischen Feldlinienzwischen den Leitern auf. Fließt der Strom in den Leitern inentgegengesetzter Richtung verdichten sich diemagnetischen Feldlinien zwischen den Leitern.

Parallel geführte stromdurchflossene Leiter ziehen sich an,wenn deren Stromrichtung übereinstimmt; beigegensinniger Stromrichtung stoßen sie sich ab (Bild 4).

Die auf die Leiter wirkende Kraft wird umso größer,

- je größer die Leiterströme I1 und I2 sind,

- je länger die Strecke ist, die die Leiter parallelverlaufen,

- - je geringer der Abstand der Leiter voneinander ist,- - je größer die magnetische Durchlässigkeit

(Permeabilität) des Stoffes zwischen den Leitern ist(bei Luft µr≅1).

Für zwei parallel verlaufende Leiter ergibt sich die auf dieLeiter wirkende Kraft F:

20

Bild 2Hysteresekurve

Bild3

Bild4 Stromdurchflossene Leiter

Bild1 Magnetischer Kreis mit Luft-spalt

Anmerkung:

Die im Bild 1 gezeigte Anordnungwird z.B. bei Elektromotoren undLautsprechern angewendet.

F=µ

0

2 * l

a * l1 l2

l=Leiterlänge a=Leiterabstand

1.9.6 Elektromagnetische InduktionStromdurchflossene Leiter werden von einem Magnetfeldumgeben. Dieses Magnetfeld ändert sich, wenn sich derStrom durch den Leiter ändert. Dieser Vorgang ist umkehrbar indem der Leiter, bzw. dieSpule einem sich ändernden Magnetfeld ausgesetzt wird(Bild 2). Das wechselnde Magnetfeld bewirkt eineSpannung im Leiter. Man sagt, es wird eine elektrischeSpannung induziert. Die induzierte Spannung steigt

- mit zunehmender Windungszahl N- mit Zunahme der Änderung des Magnetflusses- mit Verringerung der Zeit für eine bestimmte Änderung

des Magnetflusses.

In einem Leiter wird eine elektrische Spannung induziert,wenn dieser von einem sich ändernden Magnetfelddurchsetzt wird oder sich der Leiter im Magnetfeld bewegt.

Diese physikalische Erscheinung kann leicht mit Hilfe einesFahrraddynamos demonstriert werden. Der Aufbau einesFahrraddynamos besteht aus einem Permanentmagnetender sich innerhalb einer Spule (Leiterschleife) dreht (Bild 4).Im Stand dreht sich der Permanentmagnet nicht, es findetkeine Magnetfeldänderung statt, so dass keine Spannunginduziert wird. Die Lampen am Fahrrad leuchten nicht. Beilangsamer Fahrt dreht sich der Permanentmagnet langsam,das Magnetfeld um die Spule ändert sich nur langsam,folglich wird eine kleine Spannung induziert. Die Lampenam Fahrrad leuchten nicht sehr hell. Mit steigenderGeschwindigkeit ändert sich das Magnetfeld stärker, dieinduzierte Spannung steigt und somit leuchten auch dieFahrradlampen heller. Formal fasste diesen Zusammen-hang der englische Physiker Faraday in dem sogenanntenInduktionsgesetz zusammen:

Ui= -N

t

Ersetzt man den Magnettischen Fluss Φ = B A erhält manzwei Arten der Induktion:

Induktion der Bewegung :(konstante Magnetflussdichte B, variable Fläche A)

Ui= -N B

A

t (Bild3)

Induktion der Ruhe :(variable Magnetflussdichte B, konstante Fläche A)

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F

Bild1 Kraftwirkung auf strom-durchflossenen Leiter im Magnetfeld

Bild 2 Induktion

Bild3 Induktionsgesetz

Bild4 Leiterschleife im Magnetfeld

N

S

Ui= -N A

B

t

∆t: Zeit innerhalb derer eine Änderung geschieht

Jede Spannung besitzt eine Polarität, die einem durch dieseSpannung getriebenem Strom eine bestimmte Richtungvorgibt. Das gleiche gilt für die Induktionsspannung:- Die Arbeit (Energie), die mit Hilfe der

Induktionsspannung verrichtet werden kann, ist vomBetrag her maximal gleich groß wie die eingesetzteEnergie die zur Erzeugung der Induktionsspannungaufgewendet wurde,

- Energie ist eine Erhaltungsgröße; sie kann nichterzeugt werden sondern nur in andere Formenumgewandelt werden

Energieerhaltungssatz,

- Da der Energieerhaltungssatz gelten muss, muss dasMagnetfeld des von der Induktionsspannunggetriebenen Stromes (Induktionsstrom) in derLeiterschleife seinem Erregermagnetfeld entgegen-wirken.

Lenzsche Regel9:Der Induktionsstrom ist so gerichtet, dasser seiner Erregerursache, der Magnetflussänderung,entgegenwirkt.

Kraftwirkung im MagnetfeldBewegt man einen Leiter durch ein Magnetfeld, werden diein ihm enthaltenen freien Elektronen an ein Leiterendeverschoben. Das hat zur Folge, dass an einem Leiterendeein Elektronenüberschuss und am anderen Leiterende einElektronenmangel herrscht. Die Kraft, die die Elektronen zueinem Leiterende hin bewegt nennt man

Lorenzkraft F (für B ⊥ v):F=B Q v [F]=Vs/m2 As m/s =kgm/s2

v= Bewegungsgeschwindigkeit, B= FlussdichteQ= elektrische Ladung

Induktion der BewegungDie Fläche, die vom Magnetfluss durchsetzt wird ändert sichum ∆A=l ∆s (Bild 3).

Ui=N B

A

tUi=N B l

s

t

Ui= -N B l vl magnetisch wirksame Leiterlänge∆s Weg im Betrachtungszeitraum

Induktion der Ruhe (Bild 4)Bleibt die Spule in ihrer Lage unverändert und variiert dasMagnetfeld um die Spule, spricht man von Ruheinduktion.

9 Lenz, Heinrich Friedrich Emil: russischer Physiker 1804-1865

22

Bild 1 „Rechte-Hand-Regel“

Bild2: „Rechte-Hand-Regel“

Bild 3 Induktion der Bewegung

Bild4 Induktion der Ruhe

Die Änderung des Magnetfeldes kann z.B. durch eine Spule(Primärspule) über einen magnetischen Kreis auf einezweite Spule (Sekundärspule) übertragen werden. DasPrinzip eines Transformators beruht auf einer solchenAnordnung. Liegen die Wicklungen der beiden Spulen aufein und dem selben Eisenkern spricht man von einermagnetischen Kopplung.

Der Stromänderung in der ersten Spule folgt ein sichänderndes Magnetfeld, welches seinerseits in der zweitenSpule aufgrund der magnetischen Kopplung, eineSpannung induziert. Diese Erscheinung nennt manInduktion.

SelbstinduktionDie Änderung des Magnetfeldes einer Spule infolge einerStromänderung in der Spule selbst, bewirkt rückwirkend indieser Spule selbst wiederum eine Induktionsspannung.

Die Selbstinduktion ist die Induktionsspannung, welchedurch die Rückwirkung der Magnetflussänderung erzeugtwird.

Die Selbstinduktion hängt ausschließlich von denSpulendaten ab, sie steigt- mit der Windungszahl N,- mit der Permeabilität des Kernmaterials µr- durch Verringerung der mittleren Feldlinienlänge lm- mit steigendem Wicklungsquerschnitt A Wirbelströme:Wirbelströme sind die Folge von Selbstinduktions-spannungen in el. Leitern, Eisenkernen usw., die zuKurzschlussströmen führen. Wirbelströme können eineUrsache für die Erwärmung von Eisenkernen sein. ZurReduktion der Wirbelströme in Transformatorkernen werdenlamellierte Eisenkerne eingesetzt (zusammengesetzteeinzelne Bleche). In einem Magnetfeld bewegte el. Leiter, bzw. Metallteile,werden gemäß dem Lenzschen Gesetz abgebremst.Sogenannte Wirbelstrombremsen (Bild 1)bei z.B. Fahr-zeugen oder Seilbahnen basieren auf diesen physikalischenEffekten.Die Spulendaten fasst man formal alsSelbstinduktions-koeffizient oder Induktivität L zusammen:

L=N² µ0 µr A

lm

[L]= Vs/A = H (Henry10)

Wie bereits gezeigt wurde ist der magnetische Fluss

Φ=µ A I N

lm

und ∆Φ =

I µ A N

lm

Ersetzt man ∆Φ in der Formel für das Induktionsgesetz

10 Henry, Joseph; amerikanischer Physiker, 1797-1878

23

Beispiel:

Gegeben: Spule mit N=1000

Φ/mVs

t0 t1 t2 t/ms

Φ =0,4mVS (t0,t1)

Φ=1mVS (t2)

Gesucht:

a) Ui = ? zwischen t0 und t1

b) Ui = ? zwischen t1 und t2

Lösung:

a)Eine Spannung wird nur danninduziert, wenn sich der Magnetflussinnerhalb einer bestimmten Zeitändert. Deshalb ergibt sich ohneRechnung: Ui =0

b) Ui= N

t

Ui= N

2

1

t2

t1

Ui= 1000 1 mVs 0,4 mVs

5 ms 2 ms

Ui = 200 V

Bild 1 Schema einer Wirbelstrom-bremse

Ui= -N

t

erhält man:

Ui= -N

I N µ A

t lm

= -

I

t

N2 µ

0 µ

r A

lm

(mit µ=µ0 µr )

Selbstinduktionsspannung:

Ui L

I

t

1.10 Grundschaltungenelektrischer Widerstände

Die technische Nutzung elektrischer Stromkreise setzt dasZusammenschalten von elektrischen Bauelementen, wiez.B. elektrischer Widerstände voraus.

1.10.1 Widerstandsbauelemente imStromkreis

In der Elektrotechnik werden in fast allen SchaltungenWiderstandsbauelemente eingesetzt. Dabei unterscheidetman zwischen Festwiderständen und veränderlichenWiderständen. Festwiderstände bestehen meistens auseinem Porzellan-, Kunststoff- oder Glasträger, der mit einerdünnen Kohle-, Metalloxid- oder Metallschicht überzogenist. Auf diese Schicht folgt dann noch eine isolierendeSchicht eines nichtleitenden Materials, wie z.B. Kunststoff.Veränderliche Widerstände (Potentiometer), wie z.B.Schiebe- oder Drehwiderstände, besitzen einenzusätzlichen Abgriff, der die Länge des stromdurch-flossenen Widerstandsmateriales vergrößert oderverkleinert. Dadurch kann der Widerstandswert linearvariiert werden.

Messung von Strom und Spannung (Bild 1):

Strommessgeräte müssen vom zu messenden Stromdurchflossen werden; das Strommessgerät wird zumVerbrauchen in Reihe geschaltet.Spannungsmessgeräte werden parallel zu denVerbrauchern angeschlossen; das Spannungsmess-gerätmisst den Spannungsfall über einem Widerstand.

1.10.2 Widerstandskennzeichnung

Die Kennzeichnung von Festwiderständen wird durch dieIEC11-Normreihen, z.B. E6, E12 und E24 festgelegt. Bei denaufgezählten Normreihen werden auf denWiderstandskörper vier Farbringe oder vier Farbpunkteaufgebracht (Bild 2,3).

11 International electronical commission (www.iec.org)

24

Bild 1 Messung von Strom undSpannung

Bild 2: Widerstandsfarbtabelle

Bild 1 Widerstandskennzeichnung

Zur Bestimmung des Widerstandswertes der IEC-Normreihen E48, E96 und E192, die einen zusätzlichenfünften Farbring aufweisen, sei an dieser Stelle aufentsprechende Tabellenbücher verwiesen.

1.10.3 Reihenschaltung vonWiderständen

In einer Reihenschaltung von Widerständen (Bild 1) werdenalle Widerstände vom selben Strom durchflossen. Vor undnach den Widerständen ist die Stromstärke I gleich groß.

Die Stromstärke I ist innerhalb einer Reihenschaltung anjeder Stelle im Stromkreis gleich groß.

Wie man aus den Messwerten des Versuchsaufbauserkennen kann ergibt sich für die Spannungen folgendeAbhängigkeit:U = U1+U2

Dies gilt auch für n Widerstände:U= U1+U2+U3+...+Un

Da die Stromstärke überall gleich groß ist kann unterAnwendung des ohmschen Gesetzes derGesamtwiderstand berechnet werden:U/I=U1/I+U2/I+...+Un/IRges=R1+R2+...+Rn

Der Gesamtwiderstand in einer Reihenschaltung ist gleichder Summe der Einzelwiderstände.

Der Gesamtwiderstand einer Schaltung beschreibt denWiderstand, der die Spannungsquelle belastet. Unter der Bedingung, dass in einer Reihenschaltung derStrom I = I1=I2=I3 ist ergibt sich eine Verhältnisgleichung derSpannungen und Widerstände:

I1=I2U

1

R1

=U

2

R2

U1

U2

=R

1

R2

In einer Reihenschaltung stehen die Spannungen imgleichen Verhältnis wie die dazugehörenden Wider-stände

Durch einfache Erweiterung der Verhältnisgleichung stelltsich das Verhältnis von Widerständen und dendazugehörenden Leistungen dar:

Der Leistungsumsatz und die zugehörenden Wider-ständesind in der Reihenschaltung proportional.

U=U1+U2+....+Un

U I= U1 I+ U2 I+...+U3 IP = P1+P2+...+Pn

25

I

R1 U1

U

I

R2 U2

I

Bild 1 Reihenschaltung von Widerständen (Messung mit idealen Messgeräten)

Beispiel zu Bild 2:Geg.: R1 = 100Ω, R2 = 150Ω, U = 12 VMesswerte:Alle Strommessgeräte zeigen eineStromstärke von I1= I2=I3=I = 48 mAan.U1 = 4,8 V U2 = 7,2 V

I

U Rges

U

Bild 2 Ersatzschaltbild für die Schaltung in Bild 2 (ideales Strommessgerät)

I U1

I U2

R1

R2

P1

P2

R1

R2

Die Gesamtleistung ist in der Reihenschaltung vonWiderständen ist gleich der Summe der Einzel-leistungen.

Messaufgabe:

Messen und berechnen Sie alle Ströme, Spannungen undLeistungen in einem Netzwerk welches aus drei in Reihegeschalteten Widerständen besteht. U0= 12 V, R1=1kΩ, R2=2kΩ, R3=3kΩAnmerkung: Alternativ kann auch eine Simulationssoftwarezum Einsatz kommen

1.10.4 Maschensatz (zweitesKirchhoffsches Gesetz)

In einer Masche, d.h. in einer Reihenschaltung elektrischerBauelemente, ist die Summe der Einzelspannungen Null.Zur Festlegung der Vorzeichen wird für eine Maschezunächst ein Umlaufsinn festgelegt. Spannungsfälle(Spannungspfeile), die im Umlaufsinn der Masche abfallenerhalten ein positives Vorzeichen; Spannungspfeileentgegen des Maschenumlaufes erhalten entsprechend einnegatives Vorzeichen.:U1+U2-U0=0 U1+U2+...+Un=0

1.10.5 Parallelschaltung von WiderständenDer abgebildete Versuchsaufbau zeigt anschaulich dieVerhältnisse bei der Parallelschaltung von Widerständen.Im Versuch ergibt sich

I=I1+I2+I3 U=U1=U2=U3

Die Versuchsschaltung ließe sich beliebig erweitern.Dadurch würden sich die grundsätzlich Verhältnisse derSpannungen und Ströme nicht verändern

In einer Parallelschaltung von Widerständen ist derSpannungsfall über allen Widerständen gleich groß.

Die Summe der Teilströme ist gleich dem Gesamtstrom.

R1/R2=I2/I1Unter Anwendung des ohmschen Gesetzes erhält manaufgrund dieser Gesetzmäßigkeiten:I/U= I1/U+I2/U+...+In/U1/Rges=1/R1+1/R2+...1/Rn

Das Verhältnis von Stromstärke zum Spannungsfall, d.h.den kehrwert (reziproke) Wert des Widerstandes, nenntman Leitwert.

Die Ströme verhalten sich zu den entsprechendenWiderständen umgekehrt proportional

G=I/U [G]=A/V=1/Ω=S (sprich:Siemens) Der elektrische Leitwert ist ein Maß für die Fähigkeiteines Stoffes den elektrischen Strom zu leiten.

26

Aufgabe:Berechnen Sie alle Teilspannungen,Teilströme und Leistungen derSchaltung in Bild 1. Die folgendenWerte sind gegeben:

U0= 60 V

U2 = 20V

R1 = 1 kΩ

Berechnen Sie die gesuchten Wertea.) ausschließlich durch die Anwendung des Ohmschen Gesetzesb.) unter Zuhilfenahme der Verhältnisgleichungen

Bild 1 Maschenumlauf

Lösung:a)U1= U0-U2

I = U1/R1 R2= U2/I

P=U0*I

P1=U1*I P2=U2*I

b) U1= U0-U2

R2

R1

U0

U2

1

M I

U0

U2

R2

R

1

R2

U0

U2

1

R1

R2

Die Einführung des Leitwertes erleichtert die Berechnungder elektrischen Größen in der Parallelschaltung vonWiderständen. Gges=G1+G2+...Gn

In einer Parallelschaltung ist der Gesamtleitwert gleich derSumme der Einzelleitwerte.

Für die Berechnung einer Parallelschaltung mit nur zweiWiderständen kann eine vereinfachte Formel angewendetwerden:1/Rges=1/R1+1/R2

1/Rges=(R1+R2)/(R1*R2)

Rges=(R1*R2)/(R1+R2)

Da der Spannungsfall über allen Widerständen gleich großist folgt (Bild 1):

(I1*U)/(I2*U)=G1/G2=R1/R2

P1/P2=G1/G2=R2/R1

In einer Parallelschaltung verhalten sich Leistung undLeitwert proportional; somit stehen Leistung und diezugehörigen Widerstände in einem umgekehrtproportionalen Verhältnis

1.10.6 Knotenpunktregel (erstesKirchhoffsches Gesetz)

In einer Parallelschaltung verzweigt sich der Strom an denKnotenpunkten. Wie man aus der Tabelle (s.o., Tab 1) derMessschaltung herauslesen kann, ist die Summe derTeilströme gleich dem Gesamtstrom.

Unter der Voraussetzung, dass alle auf einen Knotenpunktzufließenden Ströme ein positives

Vorzeichen erhalten und alle wegfließenden Ströme einnegatives Vorzeichen erhalten gilt unter Beachtung derVorzeichen:

I1+I2+I3+...+In=0

1.11 Grundlagen derWechselstromtechnik

Wechselspannungen und Wechselströme sind in nahezuallen Bereichen der Elektrotechnik und Elektronikvorzufinden. Bei der Energieverteilung, den Anlagen undMaschinen und der Nachrichtentechnik. Die physikalischeBetrachtungsweise und die mathematische Behandlung vonWechselspannungen und Wechselströmen unterscheidensich zum großen Teil erheblich von denen derGleichspannungstechnik. Die Abbildung einerWechselspannung mittels eines Oszilloskopes zeigt denUnterschied zu einer Gleichspannung. Ein Oszilloskop ist

27

Bild 1 Parallelschaltung von Widerständen

Messübung

Geg.:

R1 =10Ω R2 =30Ω R3=180Ω

U = 12V

Messergebnisse Knotenpunkt 1:

I = 1,667A

I1=1,2A I2=0,4A I3=66,67mA

Messergebnisse Knotenpunkt 2:

I = 1,667A

I1=1,2A I2=0,4A I3=66,67mA

Rges = U/I Rges=12V / 1,667A=7,2

Probe:1

Rg e s

1

R1

1

R2

1

R3

1

Rg e s

1

10 1

30 1

180

1

Rg e s

0,1389

---> Gg e s

0,1389 S

Rges = 7,2

A

A

AA

A AA

A

ein Messinstrument, mit dem der zeitliche Verlauf einerelektrischen Spannung dargestellt werden kann.

Wechselspannungen bzw. Wechselströme sindphysikalische Größen, deren Werte sich innerhalb einesZeitabschnittes verändern (Bild 3).

1.11.1 Erzeugung von Wechselspannungenund Begriffsdefinitionen

Die Erzeugung einer Wechselspannung kann mit einemeinfachen Versuch dargestellt werden. Wie im Bild zusehen ist benötigt man einen Permanentmagneten und eineLeiterschleife mit einer Kurbel zum Drehen der Schleife. DieSchleifringe stellen den elektrischen Kontakt zu derLeiterschleife her. Das Ergebnis der Rotationsbewegungder Leiterschleife im Magnetfeld des Permanentmagnetenkann mittels eines Oszilloskopes dargestellt werden.

Eine rotierende Leiterschleife in einem Magnetfeld erzeugteine Wechselspannung (Bild 1).

Das Induktionsgesetz besagt, dass in einem Leiter eineelektrische Spannung induziert wird, wenn er von einemsich ändernden Magnetfeld durchsetzt wird. In unseremVersuchsaufbau ändert sich das Magnetfeld desPermanentmagneten natürlich nicht. In diesem Fall variiertdas Magnetfeld, welches die Leiterschleife durchdringtdadurch, dass die von der Leiterschleife aufgespannteFläche im Magnetfeld sich ändert. Dieser Zusammenhangwurde bereits oben als Bewegungsinduktion beschrieben(konstante Magnetflussdichte B, variable Fläche A)

Φ = B A

Ui = -N ∆Φ/∆t Ui = -N B ∆A/∆t

Durch die kontinuierliche Rotation der Leiterschleife ergibtsich zu jedem Zeitpunkt eine unterschiedliche, von derLeiterschleife aufgespannte Fläche, die vom Magnetfelddes Permanentmagneten durchdrungen wird. Somitergeben sich zu jedem Zeitpunkt t andere Werte für denFaktor ∆A/∆t. Nach einer Umdrehung (Drehwinkel α=360°)wiederholen sich die Werte der Induzierten Spannung(unter der Voraussetzung, dass die Rotations-geschwindigkeit konstant bleibt).

Wird die Leiterschleife mit einer konstantenGeschwindigkeit in einem homogenen Magnetfeld bewegt,so erzeugt dies eine periodische (sich wieder-holende)sinusförmige Wechselspannung (Bild 2).

Anstatt des Drehwinkels kann auf der X-Achse auch dieZeit aufgetragen werden, da für einen Drehwinkel von 360°eine bestimmte Zeitdauer benötigt wird.

28

Bild 1 Erzeugung einer Wechselspannung

Bild 2 Oszilloskop

Aufgabe:

Entwickeln sie eine sinusförmigenVerlauf aus dem Einheitskreis :

Zeigerlänge û=15 V

Periodendauer T=20ms

Bild 3 Periodendauer und Frequenz von Wechselgrößen

Periodische Signale wiederholen sich nach der Zeit-dauer T (Periodendauer). Der Drehwinkel der Leiter-schleife beträgt nach der Periodendauer T genau 360°.

Wechselgrößen werden mit kleinen Buchstabengekennzeichnet Ein Wert einer Wechselgröße zu einem bestimmtenZeitpunkt nennt man Momentanwert, z.B. u oder i

Den größten Wert einer Wechselspannung in positiveroder negativer Richtung bezeichnet man als û (sprich uDach) oder als us (sprich u Spitze)

Die maximale Differenz zwischen dem größten undkleinsten Wert einer Wechselgröße heißt uss (sprich USpitze-Spitze)Anmerkung: entsprechendes gilt für die Bezeichnunganderer Wechselgrößen

1.11.2 Zeiger zur Darstellung vonWechselgrößen

Die Behandlung von Wechselgrößen erfordert besondereHilfsmittel, die eine einfache mathematische Darstellungermöglichen. Hierzu verwendet man das Modell derprojizierten Leiterschleife, die eine Kreisbahn darstellt. Wirbetrachten nur den oberen Teil der Leiterschleife (Bild 1).Der Radius des Rotationskreises stellt den Zeiger dar. Zujedem Zeitpunkt t (X-Achse) ergibt die projektion derZeigerspitze, bei einer von links einfallenden Lichtquelle,einen Momentanwert (Y-Achse). Dieser kann über dieSinusfunktion mathematisch berechnet werden. Verläuft die Drehbewegung mit einer konstantenGeschwindigkeit, ergeben die projizierten Momentan-werteeinen sinusförmigen Verlauf. Anstatt der Zeit t kann auchder Drehwinkel α des Zeigers auf der X-Achse aufgetragenwerden.

Der Momentanwert einer Wechselgröße lässt sich durchdie Angabe der dazugehörenden Zeigerlänge und desDrehwinkels α, bzw. der Zeit t, exakt beschreiben.Der Drehwinkel α, bzw. die Zeit t, heißt „Phase“.

Die Zeigerlänge wird als „Betrag“ bezeichnet.

In unserem Beispiel ist der Betrag des Zeigers, also dieLänge des Zeigers und die Rotationsgeschwindigkeitkonstant. Dies hat eine harmonische und periodischeSchwingung zur Folge (Bild 3). Somit kann für jedenDrehwinkel α und, z. B. der Zeigerlänge û der dazugehörigeMomentanwert u berechnet werden: u = û sin α

1.11.3 Frequenz und Periodendauer

Periodische Schwingungen zeigen nach einer vollen Periodeden exakt gleichen Verlauf. Eine volle Schwingung einerPeriode benötigt die Zeit T (Periodendauer) für einen

29

Bild 1 Leiterschleife im Magnetfeld

Bild2 „Wirksame Fläche“

Bild 3 Induzierte Spannung in Abhängigkeit vom Drehwinkel

Durchlauf. Danach beginnt die nächste Periode, derenAnfangspunkt sich durch die gleiche Amplitude (z.B.Spannungswert) und die gleiche Verlaufsrichtung wie bei derersten Periode auszeichnet. Die Anzahl der Perioden proSekunde ist die Frequenz f.

f=1/T [f]=1/s=Hz (Hertz12)

1.11.4 KreisfrequenzDie Einteilung eines Kreises in 360 gleich große Abschnitteist die bekannte Unterteilung der Winkel im Gradmaß. ZurBerechnung des Weges der Zeigerspitze, d.h. den Umfangdes Kreisbogens mit dem Radius r, ist das Gradmaß nichtdirekt anwendbar. Die Verwendung des Bogenmaßes bringthier einige Vorteile. Es wird ein Einheitskreis definiert, der den Radius r=1besitzt. Die Größe des mit konstanter Geschwindigkeitrotierenden Zeigers beträgt somit r=1. Der Umfang desEinheitskreises beträgt (Bild 1):

U=d Π = 2 r Π = 2 1 Π= 2 Π [UEinheitskreis]= 1

Der Radius des Einheitskreises ist r = 1

360° 2 Π rad [rad]=1

Das Bogenmaß gibt die Länge des Kreisbogens an,welche die Spitze des Radius (Zeiger) von einemSchenkel zu einem zweitem Schenkel überstreicht.

Kreisfrequenz ω (Winkelgeschwindigkeit):

ω= 2 Πf [ω] = 1/s

Bei einer vollen Umdrehung des Zeigers um 360°, bzw. um2Π, verstreicht die Zeit T (Periodendauer). DieGeschwindigkeit ergibt sich, ganz allgemein, aus einerWegstrecke, die innerhalb einer bestimmten Zeitdauerzurückgelegt wurde. Da die Rotationsgeschwindigkeit desZeigers vorgibt, wie schnell ein Drehwinkel überstrichenwird, nennt man diese auch die Winkelgeschwindigkeit ω(griech: Omega). ω= 2Π / Tersetzt man T = 1/f ergibt sich:

Die Winkelgeschwindigkeit ω ist proportional zur Anzahlder Umdrehungen pro Sekunde (Frequenz) und zu dervon der Zeigerspitze überstrichenen Kreisbogenlänge(Rotation um den Winkel α(Bogenmaß) in der Zeit t):ω=α/t α= ω t

Fasst man diese Ergebnisse zusammen und setzt sie zurBerechnung des Momentanwertes harmonischerWechselgrößen ein (z.B. einer Wechselspannung) so folgt:u= û sin (ωt) = û sin (2 Π f t) 8.11.5 WellenlängeBetrachtet man in einem Punkt eines Leiters innerhalbeines geschlossenen Stromkreises den Verlauf einerharmonischen Wechselgröße, ergibt sich ein sinusförmiger

12 Hertz, Heinrich Rudolph; deutscher Physiker, 1857-1894

30

U

û bzw. us uss

T t

(Momentanwert)

U

Bild 1

Sinusförmige Wechselgröße und ihrecharakteristischen Werte am Beispieleines Spannungsverlaufes

U

Projektionslinien

αt

Bild 2: Projektion der rotierendenLeiter-schleife

|û|

α

Bild 3: Zeigerdarstellung

zeitabhängiger Verlauf. Nach der Periodendauer T beginntjeweils eine neue Schwingung. Die Wellenlänge beschreibtdie räumliche Ausbreitung einer Wechselgröße, bzw. dieFortpflanzungs-geschwindigkeit einer Welle, mithin dieGeschwindigkeit mit der der Energietransport erfolgt.Während der Periodendauer T legt die Welle dieWellenlänge λ zurück. Die Ausbreitung erfolgt unteroptimalen Bedingungen mit Lichtgeschwindigkeit(c0≅300000km/s). Die Wellenlänge λ wird mit zunehmenderFrequenz kleiner.

Wellenlänge

λ = c/f [m]

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit kann in vielen Fällennäherungsweise gleich der Lichtgeschwindigkeit c0 gesetztwerden. Auf einer zweiadrigen Leitung beträgt dieAusbreitungsgeschwindigkeit genauer betrachtet nur z.B.80% (oder weniger) der Lichtgeschwindigkeit, d.h. etwa240000km/s. Das Verhältnis von Ausbreitungs-geschwindigkeit zur Lichtgeschwindigkeit heißtVerkürzungsfaktor.

1.11.6 EffektivwertDer Effektivwert (von lat. effectivus=bewirkend) ist eineweitere Größe zur einfacheren Beschreibung vonWechselgrößen. Man stelle sich vor, eine Elektroheizungwird mit Wechselstrom betrieben. Die Heizleistung ändertsich somit entsprechend dem Verlauf des Wechselstromes.

Der Effektivwert einer Wechselgröße gibt eine Gleichgrößean, die dieselbe Wärmewirkung hervorruft.

Der Effektivwert ist definiert:

Leistung im Wechselstromkreis (Wirkwiderstände)Betrachtet man Wechselstromkreise, die nur aus reinohmschen Widerständen bestehen, lässt sich die Leistungunter Zuhilfenahme der Effektivwerte für Strom undSpannung sehr einfach berechnen. Das Produkt vonSpannung und Stromstärke ergibt auch imWechselstromkreis die elektrische Leistung. Da aberStromstärke und Spannung zeitlich nicht konstant sindmüssen zu jedem Zeitpunkt t die entsprechendenMomentanwerte miteinander multipliziert werden. Dieresultierende Wechselstromleistung „pulsiert“, d.h. sie istzeitlich nicht konstant (Folgeseite Bild 3). Für dentechnischen Einsatz (z.B. Elektroradiator) ist die äquivalenteGleichstromleistung wesentlich aussagekräftiger, da diesezeitlich konstant ist. Das Produkt der Effektivwerte vonSpannung und Stromstärke ergibt die äquivalenteGleichstromleistung für den Fall, dass sich im Stromkreisnur ohmsche Widerstände befinden.

31

Einige Beispiele bekannter Frequen-zen:

Herzschlag des Menschen: 1Hz

Versorgungsnetz der Bundesbahn: 162/3Hz

Versorgungsnetz (Steckdose): 50 Hz

Flugzeug: 400 Hz

Bogenmaß -- Gradmaß (in Grad)

0 0

∏/2 90

∏ 180

3/2∏ 270

2∏ 360

Bild 1 Einheitskreis

Bild 2 Grad- und Bogenmaß

Bild 3 Kreisfrequenz

I

î

2U

û

2

P= Ueff Ieff

Im Falle sinusförmiger Wechselgrößen (Bild 2,3):

P= û

2

î

2 P= û î

2 = ps/2

Ein ohmscher Widerstand R wird in derWechselspannungstechnik Wirkwiderstand genannt.

1.12 Der Kondensator im StromkreisDer Kondensator im GleichstromkreisAus den Betrachtungen des elektrischen Feldes sindbereits einige Eigenschaften des Plattenkondensatorsbekannt. Auf diesen Grundlagen soll aufgebaut werden. Das Verhalten eines Kondensators im Gleichstromkreiswird anhand des einfachen Versuches verdeutlicht. DerKondensator ist zu Beginn des Versuches nicht geladen. Wird nun die Gleichspannungsquelle durch Betätigen desSchalters geschlossen, fließen vom Minuspol der QuelleLadungsträger auf die eine Platte des Kondensators,während auf der anderen Platte des KondensatorsLadungsträger abgezogen werden. Der Kondensator lädtsich kontinuierlich auf. Die Spannung über demKondensator steigt, bis sie den Spannungswert der Quelleerreicht hat. Da sich während des Ladevorgangs dieSpannungsdifferenz zwischen der Quellenspannung undder Kondensatorspannung stetig verringert, verringert sichauch der Ladestrom. Das Messdiagramm zeigt dieKondensatorspannung und den Verlauf der Stromstärkewährend des Ladevorganges. Der Ladevorgang desKondensators folgt einer e-Funktion1. Der maximaleLadestrom ic des Kondensators wird beim Start desLadevorganges nur durch den Vorwiderstand R begrenzt.Die Ladedauer des Kondensators verlängert sich je größerR und je größer die Kapazität C des Kondensators ist. EinMaß für die Ladezeit ist die Zeitkonstante τ:

τ= R C [τ] =

Im Einschaltaugenblick fließt kurzzeitig die Stromstärke I0:

I0 = U

R

Ladestrom und Ladespannung beim Kondensator imGleichstromkreis:

ic=U

R e –t/τ mit

R C

uc = U (1-e –t/τ)

Faustformel: Ein Kondensator ist nach ca. 5 τ nahezuvollständig geladen.

1 Euler, Leonhard, schweizer Mathematiker, 1707-1783

32

Beispiel zur Berechnung der

Geg.: c=c0 ≅ 300000km/s f1=50 Hz f2=100 MHzGes: λ1, λ2, T1, T1

Lösung: λ1= c0 / f1

λ1=300000km/s/50Hzλ1=6000kmT1= 1/f1 = 1/50Hz = 20ms

λ2=c0/f1

λ2=300000km/s/100MHzλ2=3mT2= 1/f2 = 1/100MHz = 10 ns

Bild 2Effektivwerte

Bild 3 Wechselstromleistung

V

A

As

V s

Entladestrom und Entladespannung beim Kondensator imGleichstromkreis:

ic = -U

R e-t/τ uc = U e –t/τ

Achtung:Von einem geladenen Kondensator können Gefahren fürMenschen und Geräte ausgehen. Deshalb sollte man vordem Arbeiten mit Kondensatoren diese über einenhochohmigen Widerstand entladen.

Der Kondensator im Wechselstromkreis Das Verhalten eines Kondensators im Wechselstromkreissoll zunächst rein qualitativ durch einen Versuch dargestelltwerden. Die Lampe im Stromkreis dient als Indikator für denStrom ic. Nachdem die Wechselspannungsquelle an dieReihenschaltung aus Lampe und Kondensatorangeschlossen wurde leuchtet diese, d.h. es fließt einStrom ic. In einem weiteren Versuch untersuchen wir denZusammenhang zwischen Wechselstromstärke undWechselspannungsstärke am Kondensator. DasMessdiagramm zeigt eine proportionale Abhängigkeit vonStrom und Spannung am Kondensator, d.h. auch hiergelten die Gesetzmäßigkeiten entsprechend des ohmschenGesetzes (Bild 1).

Xc = U

C

IC

[Xc]=Ω

Xc = Kapazitiver Blindwiderstand

Ein Kondensator verhält sich im Wechselstromkreis wieein Widerstand (Blindwiderstand).

Nun betrachten wir einen weiteren Versuch bei dem dieFrequenz f der Spannungsquelle variiert und die SpannungU sowie die Kapazität C konstant bleiben. DasMessdiagramm zeigt, dass der Blindwiderstand Xc desKondensators mit steigender Frequenz in einemnichtlinearen Verhältnis abnimmt (Bild 2). Das dritte Messdiagramm bildet die Abhängigkeit desBlindwiderstandes Xc von der Kapazität C desKondensators ab, d. h. die Frequenz f und die Spannung Uder Spannungsquelle wurden konstant gehalten. Lediglichdie Kapazität des Kondensators C variiert. In diesemVersuch zeigt sich eine ähnlicher Verlauf desMessdiagrammes. Mit steigender Kapazität C sinkt derBlindwiderstand Xc. Xc ~ 1/ (f C)Führt man eine Konstante ein, die sich durch genauereAuswertung der Messergebnisse ermitteln lässt, kann mandie oben beschriebene Proportionalität als Gleichungdarstellen (Bild 3):

33

Bild 1 Blindwiderstand

Bild 2 Blindwiderstand in Abhängigkeitvon der Frequenz f

Bild 3 Blindwiderstand von derKapazität C

Blindwiderstand des Kondensators: Xc = 1/ (2Π f C)

Mit ω = 2Π f C erhält man

Xc = 1/ (ω C)

Im Gleichstromkreis fließt nur im Ein- und Ausschaltmomentein Strom, der elektrische Ladungen zu- bzw. abführt.Q=I t = C UWird ein Kondensator hingegen an eine sinusförmigeWechselspannung angeschlossen, so fließt ständig einStrom. Die Spannungsänderung der Wechselspannung ∆uim Zeitraum ∆t bewirkt eine Ladungsänderung ∆q: ∆q = ic ∆t = C ∆uc

ic = C ∆uc / ∆t uc= 1/C ∆ic / ∆tDie Spannungsänderungsgeschwindigkeit ∆uc / ∆t ist somitmaßgebend für die Größe des Lade- bzw. Entladestromesdes Kondensators. Hieraus folgt, dass beim Maximalwertder Spannung (∆uc / ∆t =0)die Stromstärke Null ist. Erreichtdie sinusförmige Wechselspannung ihren Nulldurchgang,weist die Spannungsänderungsgeschwindigkeit ∆uc / ∆t einMaximum auf. Mithin erreicht die Stromstärke ihrenScheitelwert (Bild 2).

Der Strom eilt beim idealen Kondensator imWechselstromkreis der Spannung um ϕ= 90° (Π/2) voraus.

LeistungZur Berechnung der Leistung, die der Kondensator imWechselstromkreis umsetzt, müssen die jeweiligenAugenblickswerte betrachtet werden.

Da Strom und Spannung um 90° phasenverschoben sind,verläuft die Leistungskurve beim Kondensator zu gleichenTeilen im positiven und negativen Bereich. Die mittlereWirkleistung ist somit Null !

Bei einem idealen Kondensator wird keine elektrischeEnergie in Wärme umgewandelt, da in der positivenHalbwelle Energie aufgenommen wird, die dann in dernegativen Halbwelle wieder abgegeben wird.

Das Produkt der Effektivwerte des Stromes Ic und derSpannung Uc wird kapazitive Blindleistung Qc genannt.

Qc = Uc Ic [Qc ] = var (Volt-Ampere-reaktiv)

1.13 Die Spule im StromkreisDie Spule im GleichstromkreisDas elektrische Verhalten einer Spule im Gleichstromkreisist mit dem einer langen Leitung vergleichbar. Lässt mandas Transientenverhalten1 (elektrische Eigenschaften imEinschaltmoment) außer Betracht, so zeigt eine Spule diecharakteristischen Merkmale eines rein ohm’schen

Widerstandes. R=P l

A

1 Einschwing-, bzw. Anfangsverhalten

34

Wichtige Formelzeichen:

τ Zeitkonstante in s

R Widerstand in Ohm

C Kapazität in Farad

U angelegte Gleichspannung in Volt

ic Strom durch den Kondensator

uc Spannung über dem Kondensator

t Zeit in s

e reelle Zahl (2,71828...)

Bild 1 Ladestromkreis

Bild 2 Phasenverschiebung

Eine reale Spule wirkt im Gleichstromkreis wie einohm’scher Widerstand.

Bei einer Idealen Spule ist der Widerstand Null.

Die Spule im Wechselstromkreis Analog zum Lade- und Entladeverhalten des Kondensators(Bild 3) verläuft das Lade- und Entladeverhalten der Spule.Man erhält qualitativ die Lade- und Entladekurve der Spuleindem man die Achsenbezeichnungen austauscht, denDiagramm-verlauf an der X-Achse spiegelt (I → -U, U → -I) und die Kapazität C durch die Induktivität L ersetzt.Zur Vereinfachung der Betrachtung geht man zunächst voneiner idealen Spule im Wechselstromkreis aus. Die Spulewird von einem sinusförmigen Wechselstrom durchflossen,der einen sinusförmigen magnetischen Fluss Φ zur Folgehat. Die Flussänderung bewirkt, wie bereits obenbeschrieben eine Induktionsspannung:Ui= -N ∆Φ/∆tDie Selbstinduktionsspannung ist entsprechend derLenzschen Regel der angelegten Spannungentgegengerichtet. Da für die Selbstinduktions-spannungdie magnetische Flussänderungs-geschwindigkeitmaßgebend ist, ergibt sich eine zeitliche Verschiebungzwischen Strom und Spannung. D.h. elektrische Strom undder magnetischer Fluss sind in Phase (zeitgleich), dieFlussänderung ist maximal wenn der magnetische Flussbeim Nulldurchgang ist und somit im Bezug auf denmagnetischen Fluss (bzw. auf den Strom) um 90° voreilend.Die Selbstinduktionsspannung berechnet sich aus derWindungszahl und der Flussänderungsgeschwindigkeit,allerdings mit negativem Vorzeichen, also um 180°phasenverschoben. Da die Selbstinduktionsspannung ihrerErregerspannung entgegen wirkt, muss dieErregerspannung in Phase mit der magnetischenFlussänderungsgeschwindigkeit sein. Daraus folgt:

In einem rein induktiven Wechselstromkreis (ideale Spule)eilt der Strom der Spannung um ϕ=90° nach.

Der induktive (Blind-) WiderstandIn einem Messaufbau, der aus Strom-, Spannungs-messgerät und einer Spule aufgebaut ist, werden dieMesswerte einmal mit angeschlossener Gleichspannungs-quelle und einmal mit angeschlossener Wechselspan-nungsquelle ermittelt. Die Berechnung des Widerstandeszeigt, dass bei identischen Spannungswerten der Quellen(Gleichspannung und Effektivwert der Wechsel-spannung)der Wechselstromwiderstand der Spule größer ist als derGleichstromwiderstand. Die Ursache für den zusätzlichen Widerstand der die Spuleim Wechselstromkreis dem Strom entgegenbringt findetsich in der Selbstinduktionsspannung.ui= -L ∆i/∆tWie bereits am Anfang des Kapitels beschrieben wurde,wirkt die Selbstinduktionsspannung ihrer Erregerspannung

35

u

i

Bild 1Strom und Spannung sind in „Phase“

Bild 2

Leistung im Wechselstromkreis

Bild 3

Lade- und Entladeverhalten einesKondensators

entgegen. Bei der idealen Spule ist die „wirksameSpannung“ gleich der Differenz aus Quellenspannung undSelbstinduktionsspannung (Bild 2). Den Widerstand, derinfolge der Selbstinduktionsspannung scheinbar der Spulebeaufschlagt wird, nennt man induktiver Blindwiderstand XL.Der induktive Blindwiderstand steigt proportional mit derSelbstinduktionsspannung ui, somit mit steigenderInduktivität L und mit steigender Stromänderungs-geschwindigkeit, mithin mit der Frequenz f, bzw. mit derKreisfrequenz ω der angelegten Wechselspannung.

Induktiver Blindwiderstand:

XL=ω L = 2Πf L [XL]= 1/s Vs/A = V/A = Ω

Leistung einer idealen SpuleBei der idealen Spule (Bild 1) eilt die Spannung dem Stromum 90° voraus. Die Leistung berechnet sich auch hier ausdem Produkt von Strom und Spannung. Wie im Bild zuerkennen ist, ergeben sich positive und negativeLeistungsanteile. In der ersten und drittenLeistungshalbwelle steigt der Betrag der Stromstärke undinfolge dessen auch der des magnetischen Flusses. DerEnergiefluss erfolgt von der Spannungsquelle zur Spule.Die zweite und vierte (negativen) Halbwelle der Leistungergeben sich als Folge der Umwandlung magnetischerEnergie in elektrische Energie (Selbstinduktionsspannung).Hierbei erfolgt der Energiefluss von der Spule zurSpannungsquelle.

Die Leistung ist positiv, wenn elektrische Energie inmagnetische Energie umgewandelt wird. Die Leistung istnegativ beim Abbau des Magnetfeldes, d.h. wennmagnetische Energie in elektrische Energie umgewandeltwird.

Bei der idealen Spule ist die mittlere Leistung, also dieWirkleistung P=0 (Bild 3). Der in der Schaltung messbareEffektivwert des Stromes I, der von dem Effektivwert derSpannung U getrieben wird, kann offensichtlich nicht dieWirkleistung P sein, da keine Nutzenergie (P=0)umgewandelt wird. Bei der idealen Spule spricht man vonBlindleistung, die zur Unterscheidung von der WirkleistungP mit dem Formelzeichen Q gekennzeichnet wird.

Q= U I ( ideale Spule) [Q]= var (Volt-Ampere-reaktiv)

36

Bild 1 Reale / ideale Spule

Bild 2 Ideale Spule im Stromkreis

Bild3 Leistung der idealen Spule

Bild 4 Linendiagramm ideale Spule