Grundlagen der Technischen Informatik 4. Übungej39evyx/GTI/SS12/... · ins Dezimal-, Oktal- und...

Grundlagen der Technischen Informatik

4. Übung

Christian Knell

Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

4. Übungsblatt – Themen

Aufgabe 1: Polyadische Zahlensysteme

Aufgabe 2: Gleitkomma-Arithmetik


4. Übungsblatt – Aufgabe 1

a) Wandeln Sie die Zahl 1010101110012 ins Dezimal-, Oktal-

und Hexadezimalsystem um!





Umwandlung ins Dezimalsystem:

1010101110012 = 211 + 29 + 27 + 25 + 24 + 23 + 20 =

= 2048 + 512 + 128 + 32 + 16 + 8 + 1 =

= 274510





Umwandlung ins Oktalsystem:

1. Erweitern auf 3er-Blöcke

2. Zusammenfassen der 3er-Blöcke

→ 1010101110012 = 101 010 111 0012 = 52718





Umwandlung ins Hexadezimalsystem:

1. Erweitern auf 4er-Blöcke

2. Zusammenfassen der 4er-Blöcke

→ 1010101110012 = 1010 1011 10012 = AB916



b) Wandeln Sie die Zahl 68410 ins Binär-, Oktal- und

Hexadezimalsystem um!





Umwandlung ins Binärsystem:

Sukzessive Division





→ 68410 = 10101011002


684 : 2 = 342 R0

342 : 2 = 171 R0

171 : 2 = 85 R1

85 : 2 = 42 R1

42 : 2 = 21 R0

21 : 2 = 10 R1

10 : 2 = 5 R0

5 : 2 = 2 R1

2 : 2 = 1 R0

1 : 2 = 0 R1




→ 68410 = 10101011002

Umwandlung ins Oktalsystem:

001 010 101 1002 = 12548





→ 68410 = 10101011002

→ 68410 = 001 010 101 1002 = 12548

Umwandlung ins Hexadezimalsystem:

0010 1010 11002 = 2AC16





→ 68410 = 10101011002

→ 68410 = 001 010 101 1002 = 12548

→ 68410 = 0010 1010 11002 = 2AC16



c) Wandeln Sie die Zahl 1011,10112 ins Dezimalsystem um!




1. Vorkommaanteil: wie üblich!

10112 = 23 + 21 + 20 = 1110





10112 = 23 + 21 + 20 = 1110

2. Nachkommaanteil: negative Exponenten!

10112 = 2-1 + 2-3 + 2-4 = 0,687510





10112 = 23 + 21 + 20 = 1110

2. Nachkommaanteil: negative Exponenten!

10112 = 2-1 + 2-3 + 2-4 = 0,687510

→ 1011,10112 = 11,687510



d) Wandeln Sie die Zahl 172,17510 ins Binärsystem um.

Nehmen Sie an, dass für Vor- und Nachkommastellen

insgesamt 31 Bits zur Verfügung stehen und maximieren Sie

die Genauigkeit!




1. Vorkommaanteil: 17210

→ 17210 = 101011002


172 : 2 = 86 R0

86 : 2 = 43 R0

43 : 2 = 21 R1

21 : 2 = 10 R1

10 : 2 = 5 R0

5 : 2 = 2 R1

2 : 2 = 1 R0

1 : 2 = 0 R1



2. Nachkommateil: 0,17510

→


0,175 * 2 = 0,35 0

0,35 * 2 = 0,7 0

0,7 * 2 = 1,4 1

0,4 * 2 = 0,8 0

0,8 * 2 = 1,6 1

0,6 * 2 = 1,2 1

0,2 * 2 = 0,4 0

0,4 * 2 = 0,8 0

210 0110001,0175,0





die Genauigkeit!

→ 172,17510 ≈ 10101100,001011001100110011001102






die Genauigkeit!

→ 172,17510 ≈ 10101100,001011001100110011001102

→ 10101100,001011001100110011001102 = 172,1749…10



a) Führen Sie die Addition der folgenden Dezimalzahlen im

Gleitkommaformat durch:

9,99910 * 101 + 1,61010 * 10-1

Bleiben Sie dabei immer im Dezimalsystem.





x1 = 9,999 * 101 x2 = 1,610 * 10-1

1. Transformiere durch Rechtschieben der kleineren Zahl auf

den Exponenten der Größeren

E(x1) = 1 E(x2) = -1

→ E(x1) > E(x2)

→ x2 durch Rechtsschieben um E(x1) – E(x2) = 2 Stellen

transformieren

→ M(x2) = 1,610

→ M(x2) = 0,01610





x1 = 9,999 * 101 x2 = 1,610 * 10-1

2. Addieren der Mantissen

→ 10,0151 = 1,00151 * 101

→ E = E(x1) + 1 = 2

→ x1 + x2 = 1,00151 * 102


M(x2) : 1, 610

M(x2) : 0, 0161

+ M(x1) : 9, 999

1 1 1 1

1 0, 0151


b) Wandeln Sie die Zahl -0,7510 in eine binäre Gleitkommazahl

(IEEE 754) um.




(IEEE 754) um.

1. Vorzeichen:

→ negative Zahl

→ V = 1




(IEEE 754) um.

2. Mantisse:

→ 0,7510 = 0,510 + 0,2510 = 0 + 2-1 + 2-2 = 0,112

→ 0,112 = 1,1 * 2-1




(IEEE 754) um.

3. Exponent:

→ M = 0,112 = 1,12 * 2-1

→ E = -1

→ C = E + BIAS = -110 + 28-110 – 110 = -110 + 12710 = 12610

→ 12610 = 011111102




(IEEE 754) um.

→ V = 1

→ M = 0,112 = 1,12 * 2-1

→ C = 011111102

→ -0,7510 = 1 01111110 1000000000000000000000002



c) Wandeln Sie die Zahl

110000111110100010000000000000002 (IEEE 754)

ins Dezimalsystem um!




110000111110100010000000000000002 (IEEE 754)


→ V = 1




110000111110100010000000000000002 (IEEE 754)


→ V = 1

→ C = 100001112 = 13510




110000111110100010000000000000002 (IEEE 754)


→ V = 1

→ C = 100001112 = 13510

→ E = C - BIAS = 13510 - 12710 = 810




110000111110100010000000000000002 (IEEE 754)


→ V = 1

→ C = 100001112 = 13510

→ E = C - BIAS = 13510 - 12710 = 810

→ M = 110100010000000000000002 = 2-1 + 2-2 + 2-4 + 2-8 =

= 0,8164062510




110000111110100010000000000000002 (IEEE 754)


→ V = 1

→ C = 100001112 = 13510

→ E = C - BIAS = 13510 - 12710 = 810

→ M = 110100010000000000000002 = 2-1 + 2-2 + 2-4 + 2-8 =

= 0,8164062510

→ 1 10000111 110100010000000000000002 =

= -1,81640625 * 28 = -46510



d) Wandeln Sie die Zahl 172,17510 in eine Gleitkommazahl

(Format: IEEE-Standard 754) um.





→ V = 0





→ V = 0

→ Vorkommateil: 17210 = 101011002





→ V = 0

→ Vorkommateil: 17210 = 101011002

→ Normalisieren: 101011002 = 1,010111002 * 27

→ C = E + BIAS = 7 + 127 = 134 = 100001102





Nachkommateil: 17510

→


0,175 * 2 = 0,35 0

0,35 * 2 = 0,7 0

0,7 * 2 = 1,4 1

0,4 * 2 = 0,8 0

0,8 * 2 = 1,6 1

0,6 * 2 = 1,2 1

0,2 * 2 = 0,4 0

0,4 * 2 = 0,8 0

210 0110001,0175,0




→ V = 0

→ Vorkommateil: 17210 = 101011002

→ Normalisieren: 101011002 = 1,010111002 * 27

→ C = E + BIAS = 7 + 127 = 134 = 100001102

→ Nachkommateil:

→ 172,17510 ≈ 0 10000110 010110000101100110011002


210 0110001,0175,0




→ V = 0

→ Vorkommateil: 17210 = 101011002

→ Normalisieren: 101011002 = 1,010111002 * 27

→ C = E + BIAS = 7 + 127 = 134 = 100001102

→ Nachkommateil:

→ 172,17510 ≈ 0 10000110 010110000101100110011002

→ 0 10000110 010110000101100110011002 = 172,1749…10


210 0110001,0175,0


e) Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in IEEE-754

Darstellung und führen Sie anschließend die Subtraktion

durch:

0,510 – 0,437510





durch:

0,510 – 0,437510

Konvertierung:

→ 0,510 = 2-1 = 0,12 = 1,0 * 2-1

→ -0,437510 = -(2-2 + 2-3 + 2-4) = -0,01112 = -1,11 * 2-2





durch:

0,510 – 0,437510

Konvertierung:

→ 0,510 = 2-1 = 0,12 = 1,0 * 2-1

→ -0,437510 = -(2-2 + 2-3 + 2-4) = -0,01112 = -1,11 * 2-2

Angleichen an größeren Exponenten:

→ -1,11 * 2-2 = -0,111 * 2-1





durch:

0,510 – 0,437510

Addieren der beiden Zahlen:

→ 1 * 2-1 – 0,111 * 2-1 = 0,001 * 2-1





durch:

0,510 – 0,437510

Addieren der beiden Zahlen:

→ 1 * 2-1 – 0,111 * 2-1 = 0,001 * 2-1

Normalisieren des Ergebnisses:

→ 1,000 * 2-4





durch:

0,510 – 0,437510

Normalisieren des Ergebnisses:

→ 1,000 * 2-4

Darstellung im IEEE-Format:

→ V = 0

→ E = -410 + 12710 = 12310 = 011110112

→ M = 000000000000000000000002

→ 0,510 - 0,437510 = 0 01111011 000000000000000000000002



f) Führen Sie die Multiplikation der beiden Zahlen aus

Teilaufgabe e) in Gleitkommadarstellung durch.





Konvertierung:

→ 0,510 = 2-1 = 0,12 = 1,0 * 2-1

→ -0,437510 = -(2-2 + 2-3 + 2-4) = -0,01112 = -1,11 * 2-2





Konvertierung:

→ 0,510 = 2-1 = 0,12 = 1,0 * 2-1

→ -0,437510 = -(2-2 + 2-3 + 2-4) = -0,01112 = -1,11 * 2-2

Addition der Exponenten:

→ E1 + E2 = -110 + (-210) = -310





Konvertierung:

→ 0,510 = 2-1 = 0,12 = 1,0 * 2-1

→ -0,437510 = -(2-2 + 2-3 + 2-4) = -0,01112 = -1,11 * 2-2

Addition der Exponenten:

→ E1 + E2 = -110 + (-210) = -310

Multiplikation der Mantissen:

→ M1 * M2 = 12 * 1,112 = 1,112





Multiplikation der Mantissen:

→ M1 * M2 = 12 * 1,112 = 1,112

Darstellung im IEEE-Format:

→ V = 1

→ E = -310 + 12710 = 12410 = 011111002

→ M = 1,112 = 110000000000000000000002

→ 0,510 * (-0,437510) = 1 01111100 110000000000000000000002


4. Übungsblatt

Danke für die

Aufmerksamkeit


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