Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übung
Christian Knell
Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Themen
Aufgabe 1: Polyadische Zahlensysteme
Aufgabe 2: Gleitkomma-Arithmetik
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
a) Wandeln Sie die Zahl 1010101110012 ins Dezimal-, Oktal-
und Hexadezimalsystem um!
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
a) Wandeln Sie die Zahl 1010101110012 ins Dezimal-, Oktal-
und Hexadezimalsystem um!
Umwandlung ins Dezimalsystem:
1010101110012 = 211 + 29 + 27 + 25 + 24 + 23 + 20 =
= 2048 + 512 + 128 + 32 + 16 + 8 + 1 =
= 274510
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
a) Wandeln Sie die Zahl 1010101110012 ins Dezimal-, Oktal-
und Hexadezimalsystem um!
Umwandlung ins Oktalsystem:
1. Erweitern auf 3er-Blöcke
2. Zusammenfassen der 3er-Blöcke
→ 1010101110012 = 101 010 111 0012 = 52718
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
a) Wandeln Sie die Zahl 1010101110012 ins Dezimal-, Oktal-
und Hexadezimalsystem um!
Umwandlung ins Hexadezimalsystem:
1. Erweitern auf 4er-Blöcke
2. Zusammenfassen der 4er-Blöcke
→ 1010101110012 = 1010 1011 10012 = AB916
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
b) Wandeln Sie die Zahl 68410 ins Binär-, Oktal- und
Hexadezimalsystem um!
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
b) Wandeln Sie die Zahl 68410 ins Binär-, Oktal- und
Hexadezimalsystem um!
Umwandlung ins Binärsystem:
Sukzessive Division
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
b) Wandeln Sie die Zahl 68410 ins Binär-, Oktal- und
Hexadezimalsystem um!
→ 68410 = 10101011002
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
684 : 2 = 342 R0
342 : 2 = 171 R0
171 : 2 = 85 R1
85 : 2 = 42 R1
42 : 2 = 21 R0
21 : 2 = 10 R1
10 : 2 = 5 R0
5 : 2 = 2 R1
2 : 2 = 1 R0
1 : 2 = 0 R1
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
b) Wandeln Sie die Zahl 68410 ins Binär-, Oktal- und
Hexadezimalsystem um!
→ 68410 = 10101011002
Umwandlung ins Oktalsystem:
001 010 101 1002 = 12548
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
b) Wandeln Sie die Zahl 68410 ins Binär-, Oktal- und
Hexadezimalsystem um!
→ 68410 = 10101011002
→ 68410 = 001 010 101 1002 = 12548
Umwandlung ins Hexadezimalsystem:
0010 1010 11002 = 2AC16
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
b) Wandeln Sie die Zahl 68410 ins Binär-, Oktal- und
Hexadezimalsystem um!
→ 68410 = 10101011002
→ 68410 = 001 010 101 1002 = 12548
→ 68410 = 0010 1010 11002 = 2AC16
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
c) Wandeln Sie die Zahl 1011,10112 ins Dezimalsystem um!
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
c) Wandeln Sie die Zahl 1011,10112 ins Dezimalsystem um!
1. Vorkommaanteil: wie üblich!
10112 = 23 + 21 + 20 = 1110
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
c) Wandeln Sie die Zahl 1011,10112 ins Dezimalsystem um!
1. Vorkommaanteil: wie üblich!
10112 = 23 + 21 + 20 = 1110
2. Nachkommaanteil: negative Exponenten!
10112 = 2-1 + 2-3 + 2-4 = 0,687510
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
c) Wandeln Sie die Zahl 1011,10112 ins Dezimalsystem um!
1. Vorkommaanteil: wie üblich!
10112 = 23 + 21 + 20 = 1110
2. Nachkommaanteil: negative Exponenten!
10112 = 2-1 + 2-3 + 2-4 = 0,687510
→ 1011,10112 = 11,687510
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
d) Wandeln Sie die Zahl 172,17510 ins Binärsystem um.
Nehmen Sie an, dass für Vor- und Nachkommastellen
insgesamt 31 Bits zur Verfügung stehen und maximieren Sie
die Genauigkeit!
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
d) Wandeln Sie die Zahl 172,17510 ins Binärsystem um.
1. Vorkommaanteil: 17210
→ 17210 = 101011002
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
172 : 2 = 86 R0
86 : 2 = 43 R0
43 : 2 = 21 R1
21 : 2 = 10 R1
10 : 2 = 5 R0
5 : 2 = 2 R1
2 : 2 = 1 R0
1 : 2 = 0 R1
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
d) Wandeln Sie die Zahl 172,17510 ins Binärsystem um.
2. Nachkommateil: 0,17510
→
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
0,175 * 2 = 0,35 0
0,35 * 2 = 0,7 0
0,7 * 2 = 1,4 1
0,4 * 2 = 0,8 0
0,8 * 2 = 1,6 1
0,6 * 2 = 1,2 1
0,2 * 2 = 0,4 0
0,4 * 2 = 0,8 0
210 0110001,0175,0
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
d) Wandeln Sie die Zahl 172,17510 ins Binärsystem um.
Nehmen Sie an, dass für Vor- und Nachkommastellen
insgesamt 31 Bits zur Verfügung stehen und maximieren Sie
die Genauigkeit!
→ 172,17510 ≈ 10101100,001011001100110011001102
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 1
d) Wandeln Sie die Zahl 172,17510 ins Binärsystem um.
Nehmen Sie an, dass für Vor- und Nachkommastellen
insgesamt 31 Bits zur Verfügung stehen und maximieren Sie
die Genauigkeit!
→ 172,17510 ≈ 10101100,001011001100110011001102
→ 10101100,001011001100110011001102 = 172,1749…10
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
a) Führen Sie die Addition der folgenden Dezimalzahlen im
Gleitkommaformat durch:
9,99910 * 101 + 1,61010 * 10-1
Bleiben Sie dabei immer im Dezimalsystem.
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
a) Führen Sie die Addition der folgenden Dezimalzahlen im
Gleitkommaformat durch:
x1 = 9,999 * 101 x2 = 1,610 * 10-1
1. Transformiere durch Rechtschieben der kleineren Zahl auf
den Exponenten der Größeren
E(x1) = 1 E(x2) = -1
→ E(x1) > E(x2)
→ x2 durch Rechtsschieben um E(x1) – E(x2) = 2 Stellen
transformieren
→ M(x2) = 1,610
→ M(x2) = 0,01610
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
a) Führen Sie die Addition der folgenden Dezimalzahlen im
Gleitkommaformat durch:
x1 = 9,999 * 101 x2 = 1,610 * 10-1
2. Addieren der Mantissen
→ 10,0151 = 1,00151 * 101
→ E = E(x1) + 1 = 2
→ x1 + x2 = 1,00151 * 102
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
M(x2) : 1, 610
M(x2) : 0, 0161
+ M(x1) : 9, 999
1 1 1 1
1 0, 0151
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
b) Wandeln Sie die Zahl -0,7510 in eine binäre Gleitkommazahl
(IEEE 754) um.
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
b) Wandeln Sie die Zahl -0,7510 in eine binäre Gleitkommazahl
(IEEE 754) um.
1. Vorzeichen:
→ negative Zahl
→ V = 1
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
b) Wandeln Sie die Zahl -0,7510 in eine binäre Gleitkommazahl
(IEEE 754) um.
2. Mantisse:
→ 0,7510 = 0,510 + 0,2510 = 0 + 2-1 + 2-2 = 0,112
→ 0,112 = 1,1 * 2-1
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
b) Wandeln Sie die Zahl -0,7510 in eine binäre Gleitkommazahl
(IEEE 754) um.
3. Exponent:
→ M = 0,112 = 1,12 * 2-1
→ E = -1
→ C = E + BIAS = -110 + 28-110 – 110 = -110 + 12710 = 12610
→ 12610 = 011111102
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
b) Wandeln Sie die Zahl -0,7510 in eine binäre Gleitkommazahl
(IEEE 754) um.
→ V = 1
→ M = 0,112 = 1,12 * 2-1
→ C = 011111102
→ -0,7510 = 1 01111110 1000000000000000000000002
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
c) Wandeln Sie die Zahl
110000111110100010000000000000002 (IEEE 754)
ins Dezimalsystem um!
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
c) Wandeln Sie die Zahl
110000111110100010000000000000002 (IEEE 754)
ins Dezimalsystem um!
→ V = 1
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
c) Wandeln Sie die Zahl
110000111110100010000000000000002 (IEEE 754)
ins Dezimalsystem um!
→ V = 1
→ C = 100001112 = 13510
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
c) Wandeln Sie die Zahl
110000111110100010000000000000002 (IEEE 754)
ins Dezimalsystem um!
→ V = 1
→ C = 100001112 = 13510
→ E = C - BIAS = 13510 - 12710 = 810
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
c) Wandeln Sie die Zahl
110000111110100010000000000000002 (IEEE 754)
ins Dezimalsystem um!
→ V = 1
→ C = 100001112 = 13510
→ E = C - BIAS = 13510 - 12710 = 810
→ M = 110100010000000000000002 = 2-1 + 2-2 + 2-4 + 2-8 =
= 0,8164062510
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
c) Wandeln Sie die Zahl
110000111110100010000000000000002 (IEEE 754)
ins Dezimalsystem um!
→ V = 1
→ C = 100001112 = 13510
→ E = C - BIAS = 13510 - 12710 = 810
→ M = 110100010000000000000002 = 2-1 + 2-2 + 2-4 + 2-8 =
= 0,8164062510
→ 1 10000111 110100010000000000000002 =
= -1,81640625 * 28 = -46510
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
d) Wandeln Sie die Zahl 172,17510 in eine Gleitkommazahl
(Format: IEEE-Standard 754) um.
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
d) Wandeln Sie die Zahl 172,17510 in eine Gleitkommazahl
(Format: IEEE-Standard 754) um.
→ V = 0
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
d) Wandeln Sie die Zahl 172,17510 in eine Gleitkommazahl
(Format: IEEE-Standard 754) um.
→ V = 0
→ Vorkommateil: 17210 = 101011002
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
d) Wandeln Sie die Zahl 172,17510 in eine Gleitkommazahl
(Format: IEEE-Standard 754) um.
→ V = 0
→ Vorkommateil: 17210 = 101011002
→ Normalisieren: 101011002 = 1,010111002 * 27
→ C = E + BIAS = 7 + 127 = 134 = 100001102
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
d) Wandeln Sie die Zahl 172,17510 in eine Gleitkommazahl
(Format: IEEE-Standard 754) um.
Nachkommateil: 17510
→
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
0,175 * 2 = 0,35 0
0,35 * 2 = 0,7 0
0,7 * 2 = 1,4 1
0,4 * 2 = 0,8 0
0,8 * 2 = 1,6 1
0,6 * 2 = 1,2 1
0,2 * 2 = 0,4 0
0,4 * 2 = 0,8 0
210 0110001,0175,0
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
d) Wandeln Sie die Zahl 172,17510 in eine Gleitkommazahl
(Format: IEEE-Standard 754) um.
→ V = 0
→ Vorkommateil: 17210 = 101011002
→ Normalisieren: 101011002 = 1,010111002 * 27
→ C = E + BIAS = 7 + 127 = 134 = 100001102
→ Nachkommateil:
→ 172,17510 ≈ 0 10000110 010110000101100110011002
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
210 0110001,0175,0
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
d) Wandeln Sie die Zahl 172,17510 in eine Gleitkommazahl
(Format: IEEE-Standard 754) um.
→ V = 0
→ Vorkommateil: 17210 = 101011002
→ Normalisieren: 101011002 = 1,010111002 * 27
→ C = E + BIAS = 7 + 127 = 134 = 100001102
→ Nachkommateil:
→ 172,17510 ≈ 0 10000110 010110000101100110011002
→ 0 10000110 010110000101100110011002 = 172,1749…10
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
210 0110001,0175,0
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
e) Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in IEEE-754
Darstellung und führen Sie anschließend die Subtraktion
durch:
0,510 – 0,437510
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
e) Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in IEEE-754
Darstellung und führen Sie anschließend die Subtraktion
durch:
0,510 – 0,437510
Konvertierung:
→ 0,510 = 2-1 = 0,12 = 1,0 * 2-1
→ -0,437510 = -(2-2 + 2-3 + 2-4) = -0,01112 = -1,11 * 2-2
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
e) Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in IEEE-754
Darstellung und führen Sie anschließend die Subtraktion
durch:
0,510 – 0,437510
Konvertierung:
→ 0,510 = 2-1 = 0,12 = 1,0 * 2-1
→ -0,437510 = -(2-2 + 2-3 + 2-4) = -0,01112 = -1,11 * 2-2
Angleichen an größeren Exponenten:
→ -1,11 * 2-2 = -0,111 * 2-1
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
e) Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in IEEE-754
Darstellung und führen Sie anschließend die Subtraktion
durch:
0,510 – 0,437510
Addieren der beiden Zahlen:
→ 1 * 2-1 – 0,111 * 2-1 = 0,001 * 2-1
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
e) Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in IEEE-754
Darstellung und führen Sie anschließend die Subtraktion
durch:
0,510 – 0,437510
Addieren der beiden Zahlen:
→ 1 * 2-1 – 0,111 * 2-1 = 0,001 * 2-1
Normalisieren des Ergebnisses:
→ 1,000 * 2-4
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
e) Konvertieren Sie die folgenden Zahlen in IEEE-754
Darstellung und führen Sie anschließend die Subtraktion
durch:
0,510 – 0,437510
Normalisieren des Ergebnisses:
→ 1,000 * 2-4
Darstellung im IEEE-Format:
→ V = 0
→ E = -410 + 12710 = 12310 = 011110112
→ M = 000000000000000000000002
→ 0,510 - 0,437510 = 0 01111011 000000000000000000000002
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
f) Führen Sie die Multiplikation der beiden Zahlen aus
Teilaufgabe e) in Gleitkommadarstellung durch.
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
f) Führen Sie die Multiplikation der beiden Zahlen aus
Teilaufgabe e) in Gleitkommadarstellung durch.
Konvertierung:
→ 0,510 = 2-1 = 0,12 = 1,0 * 2-1
→ -0,437510 = -(2-2 + 2-3 + 2-4) = -0,01112 = -1,11 * 2-2
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
f) Führen Sie die Multiplikation der beiden Zahlen aus
Teilaufgabe e) in Gleitkommadarstellung durch.
Konvertierung:
→ 0,510 = 2-1 = 0,12 = 1,0 * 2-1
→ -0,437510 = -(2-2 + 2-3 + 2-4) = -0,01112 = -1,11 * 2-2
Addition der Exponenten:
→ E1 + E2 = -110 + (-210) = -310
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
f) Führen Sie die Multiplikation der beiden Zahlen aus
Teilaufgabe e) in Gleitkommadarstellung durch.
Konvertierung:
→ 0,510 = 2-1 = 0,12 = 1,0 * 2-1
→ -0,437510 = -(2-2 + 2-3 + 2-4) = -0,01112 = -1,11 * 2-2
Addition der Exponenten:
→ E1 + E2 = -110 + (-210) = -310
Multiplikation der Mantissen:
→ M1 * M2 = 12 * 1,112 = 1,112
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
4. Übungsblatt – Aufgabe 2
f) Führen Sie die Multiplikation der beiden Zahlen aus
Teilaufgabe e) in Gleitkommadarstellung durch.
Multiplikation der Mantissen:
→ M1 * M2 = 12 * 1,112 = 1,112
Darstellung im IEEE-Format:
→ V = 1
→ E = -310 + 12710 = 12410 = 011111002
→ M = 1,112 = 110000000000000000000002
→ 0,510 * (-0,437510) = 1 01111100 110000000000000000000002
Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik
Top Related