Grundlagen (u¨berwiegend vorausgesetzter Schulstoﬀ · Oft interessieren bei Argumentationen mit...

Grundlagen (uberwiegend vorausgesetzter Schulstoff)

� teilweise kompakte Wiederholung in Vorlesung/Ubung� semesterbegleitende Aufarbeitung in den Tutorien

Viele der unten genannten Begriffe sind in folgendem Sinne vorausgesetzt:Zwar werden die wichtigsten Begriffe spatestens an den Stellen, an denen sieerstmals eingesetzt werden, noch einmal besprochen, aber weniger unter reinmathematischen Gesichtspunkten, sondern eher in Hinblick auf Anwendun-gen. Wichtige Ergebnisse werden danach aber oft nicht detailliert hergeleitet,sondern nur in der benotigten Form notiert und anhand von Beispielen be-sprochen. Dies ist, wenn der entsprechende Stoffbereich vollig neu fur Sieist, unzureichend und konnte Sie uberfordern (beispielsweise die elementareIntegralrechnung an nur einem Vormittag). Sie mussen also entsprechendvorbereitet sein, d.h. Ihre Schulkenntnisse aktivieren und aufbereiten oderggf. den entsprechenden Stoffbereich rechtzeitig nachholen. Deswegen werdenschon jetzt auch einige Bereiche aufgefuhrt, die bei Mathematik 1 nur selten,wesentlich aber erst bei Mathematik 2 benotigt werden.

Ein wichtiger Grund fur diese Zusammenfassung ist auch, dass wir (nicht un-bedingt einheitlich festgelegte) Schreibweisen und Definitionen wohlbekannterDinge in einer einheitlichen Form sammeln wollen:

Mengen, Aussagen

Symbolik/Sprechweisen, Grundregeln

Zahlenmengen

N, N0, Z, Q, R, Rn, Intervalle in R, Rn

Rechenregeln

Summenzeichen, Produktzeichen, Potenzregeln, Prozentrechnung

Funktionen

Relation/Abbildung, Definitions- und Wertebereich, Bild, UrbildFunktion, Umkehrfunktion, Monotone FunktionenGrundfunktionen

Betrag, Rundungsmethoden, Polynome, Potenzfunktionen mit rationa-len Exponenten, Exponentialfunktion, Logarithmus

[Eine elementare Differentiationsregel]

WS 15/16 Mathematik 1 : Grundlagen

Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 1 von 17

kraetsch

Schreibmaschinentext

kraetsch


kraetsch


kraetsch


kraetsch


Aussage A Ein sprachliches Objekt, dem genau eine der beiden Eigenschaf-ten

”wahr“ (= 1) oder

”falsch“ (= 0) zugeordnet werden kann:

A �→ w(A) = Wahrheitswert von A

Symbol Name Sprechweise(n) Wahrheitswert (Festlegungen)

¬A Negation nicht A w(¬A) = 1− w(A)

A ∧ B Konjunktion A und B w(A ∧B) = min(w(A), w(B))

A ∨ B Disjunktion A oder B w(A ∨B) = max(w(A), w(B))

A ⇒ B Implikation A impliziert B w(A ⇒ B) =�

1 falls w(A) ≤ w(B)0 sonst

A ⇔ B Aquivalenz A aquivalent B w(A ⇔ B) =�

1 falls w(A) = w(B)0 sonst

Weitere Zusammensetzungen von Aussagen mit Hilfe dieser Symbole

▼! vorsicht Aus einer falschen Aussage (Wahrheitswert 0) kann jedeandere Aussage gefolgert werden, und eine wahre Aussage (Wahrheits-wert 1) kann aus jeder anderen Aussage gefolgert werden.

Kontradiktion eine Aussage, die immer falsch istTautologie eine Aussage, die immer wahr ist

1 Ist eine Implikation A ⇒ B wahr, so heißtA hinreichende Bedingung fur B und B notwendige Bedingung fur A

Bestimmung des Wahrheitswertes einer zusammengesetzten Aussage, abhan-gig vom Wahrheitswert der an der Zusammensetzung beteiligten Teilaussagen:Wahrheitstafel z.B. fur (A ∧B) ∨ (¬C)

A B C A ∧B ¬C (A ∧B) ∨ (¬C)0 0 0 0 1 10 0 1 0 0 00 1 0 0 1 10 1 1 0 0 01 0 0 0 1 11 0 1 0 0 01 1 0 1 1 11 1 1 1 0 1

Fur alle 8 Falle der Wahrheits-werte von A, B, C wird ent-sprechend obiger Festlegungender Wahrheitswert der zusam-mengesetzten Aussage (in derletzten Spalte) schrittweise be-stimmt (z.B. Spalte 6 zeilen-weise als Maximum der Werteder Spalten 4 und 5).

Definitionssymbole:= Linke Seite := Rechte Seite bzw. Linke Seite :⇔ Rechte Seite:⇔ Das Objekt auf der linken Seite

”ergibt sich aus“ der rechten Seite

bzw. das Objekt links”wird definiert durch“ die Angaben rechts



Menge Zusammenfassung bestimmter (realer oder gedachter) wohlunter-schiedener Objekte (aus einem festen Bereich) zu einem Ganzen.Diese Objekte heißen dann Elemente der Menge.

x ∈ M x ist Element der Mengex �∈ M x ist nicht Element der Menge M

Angabe einer Menge durch Aufzahlen (nicht immer moglich)

M := {3, iii, ③, drei, try}, ∅ := {} (Leere Menge), N := {1, 2, 3, ...}Angabe einer Menge durch Angabe der mengenbildenden Eigenschaft

M := {x ∈ Grundmenge : Eigenschaft von x}, G := {2n : n ∈ N}

▼! vorsicht Die Objekte einer Menge sind verschieden. Nur durch Setzenvon geschweiften Klammern um eine Aufzahlung von Zahlen entstehtnicht notwendig eine Menge: {1, 2, 1} ist keine Menge, aber z.B. eine

”Liste“ oder eine

”indizierte Menge“ siehe � Informatik

Vergleich von Mengen A, B

A ⊂ B A ist Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch Elementvon B ist. (x ∈ A ⇒ x ∈ B)A ist echte Teilmenge von B, wenn A ⊂ B und es ein Element vonB gibt, das nicht zu A gehort

A = B B ⊂ A und A ⊂ B (x ∈ A ⇔ x ∈ B)Jedes Element von B ist auch Element von A und umgekehrt

▼! vorsicht Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, aber sie ist nichtElement jeder Menge siehe � Mengensysteme

Mengenoperationen

A ∪ B Vereinigungsmenge von A und BA ∪B := {x : x ∈ A oder x ∈ B}

A ∩ B Schnittmenge von A und BA ∩B := {x : x ∈ A und x ∈ B}

A \ B Differenzmenge, besser: Komplement von B in AA \B := {x : x ∈ A und x �∈ B}

B Komplement von B (in einer festen Grundmenge X)B := {x ∈ X : x �∈ B} = X \B

Distributivgesetze fur Mengen A, B, C

(A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) und (A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)



2 De Morgansche Regeln A ∪ B = A ∩ B und A ∩ B = A ∪ B

(M) = M doppelte Verneinung

Komplementbildung (und die morganschen Regeln) sind wichtige Hilfsmittelfur sprachlichen Beschreibungen von Mengen:

Ich tue . . .”nicht: dieses oder jenes“ =

”nicht dieses und nicht jenes“

Ich tue . . .”nicht: dieses und jenes“ =

”nicht dieses oder nicht jenes“

Zwei Mengen A, B heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elementehaben: A ∩ B = ∅. Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn jezwei (alle moglichen Paare) dieser Mengen disjunkt sind.

☞ Graphische Technik fur UbersichtenGliederung eines Projekts (Grundmenge) in Problemkreise (Teilmen-gen) und Zerlegung dieser Problemkreise in Segmente (= paarweisedisjunkte Teilmengen) Fallunterscheidung/Segmentierung

Vollstandige Segmentierung: Kein Segment lasst sich weiter unterteilen.

Bei einem Projekt X mit n Problemkreisen fuhrt eine vollstandige Segmentie-rung zur Zerlegung von X in max. 2n Segmente (einschl. Unproblematisches)

Problemkreise A (links), B (rechts), C (unten) eines Projekts X

5 4 61

3 2

7

8

1 A ∩B ∩ C

2 A ∩B ∩ C = (B ∩ C) \ A

3 A ∩B ∩ C = (A ∩ C) \B

4 A ∩B ∩ C = (A ∩B) \ C

5 A ∩B ∩ C = A \ (B ∪ C) = A ∩ B ∪ C

6 A ∩B ∩ C = B \ (A ∪ C) = B ∩ A ∪ C

7 A ∩B ∩ C = C \ (A ∪B) = C ∩ A ∪B

8 A∩B∩C = A ∪B ∪ C = X \(A∪B∪C)X ist die Vereinigung der Segmente 1–8

Eine Zerlegung von X in 4 Segmente ist z.B. X = A ∪�2 ∪ 6

�∪ 7 ∪ 8

� statt ∪ symbolisiert eine Vereinigung paarweise disjunkter MengenZerlegungen in disjunkte Teilmengen (= Segmente) mit zwei Mengen A, B

A = (A ∩ B) � (A \ B) B = (A ∩ B) � (B \ A)

A ∪ B = A � (B \ A) = (A \ B) � B = (A \ B) � (B \ A) � (A ∩ B)

Sprachliche Segmentierung mit”entweder . . . oder“ (�) statt

”oder“ (∪)

Ich tue . . .”dieses oder jenes“ =

”entweder dieses oder jenes oder beides“



Oft interessieren bei Argumentationen mit Mengen weniger deren einzelneElemente selbst, sondern eher nur deren Anzahl:

3 Die Elementeanzahl einer in Segmente (= paarweise disjunkte Teil-mengen) zerlegten Menge ergibt sich aus der Summe der Elementean-zahlen dieser Segmente

Schreibweise #(A) := Elementeanzahl der Menge A#(A) = #(A ∩B) + #(A \B), #(B) = #(A ∩B) + #(B \ A)#(A) + #(B) = #(A ∩B) + #(A \B) + #(A ∩B) + #(B \ A)

= #(A ∪B) + #(A ∩B) � Statistik

Das Wort Anzahl setzt voraus, dass die Menge auch”abgezahlt“ werden kann:

Endliche Menge M : Elemente zahlbar mittels {1, 2, . . . , n} fur einenaturliche Zahl n; #(M) := n

Abzahlbar unendliche Menge M : Nicht endlich, aber Elemente zahlbarmittels {1, 2, 3, . . .}; #(M) := ∞

Uberabzahlbare Menge M : weder endliche, noch abzahlbar unendlicheMenge; #(M) nicht definiert

∞ Lemniskate, Symbol fur das Unendliche, eine ideale”Zahl“, die nicht

zu R gehort∞ + ∞ := ∞, ∞ ± n := ∞ fur n ∈ N, ∞ − ∞ nicht definiert

Achten Sie also beim Rechnen mit Elementeanzahlen darauf, dass Sie beimUmformen von Gleichungen nur dann subtrahieren, wenn die entsprechendeMenge endlich ist. ∞ = #N = #{2n : n ∈ N}+ #{2n− 1 : n ∈ N}

Eine Menge von Mengen heißt auch MengensystemWichtigste Beispiele:Mengensysteme von Teilmengen einer festen Grundmenge X

{∅} ist Teilmenge jedes solchen Mengensystems und ∅ ist Element jedessolchen Mengensystems

Jedes solche Mengensystem ist Teilmenge der Menge aller Teilmengen vonX, der Potenzmenge von X:= {N : N ist Teilmenge von X}

Potenzmenge von {a, b, c} = {{∅}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

n ∈ {0, 1, 2, 3, . . .}Hat M insg. n Elemente, so hat die Potenzmenge von M insg. 2n Elemente

Mit Hilfe von Mengensystemen von Teilmengen einer festen Grundmenge las-sen sich Zufallsereignisse beschreiben � Wahrscheinlichkeitsrechnung



Zahlenmengen

Naturliche Zahlen N = {1, 2, 3, ...}, N0 = N ∪ {0}Ganze Zahlen Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Rationale Zahlen Q = {m/k : m ∈ Z, k ∈ N}Reelle Zahlen R = Menge aller Grenzwerte von (allen) Folgen ratio-

naler Zahlen siehe � Folgen und Grenzwerte

☞ Die Grenzwerteigenschaft bedeutet, dass jede reelle Zahl beliebig gut— nach Vorgabe einer Genauigkeit (z.B. 10−2) — durch rationaleZahlen, insbesondere eine endliche Dezimalzahl, approximiert werdenkann, z.B.

√2 ≈ 1.4142, 1/

√2 ≈ 0.7071,

√3 ≈ 1.7321, e ≈ 2.71828,

e−1 ≈ 0.3678, ln 2 ≈ 0.69, ln 10 ≈ 2.3, π ≈ 3.1415 oder so: π ≈ 227 .

Intervalle in R reelle Zahlen a, b mit a < b

[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} abgeschlossenes Intervall[a, b[ := {x ∈ R : a ≤ x < b} links abgeschl., rechts offenes Interv.]a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b} links offenes, rechts abgeschl. Interv.]a, b[ := {x ∈ R : a < x < b} offenes Intervall

]− ∞, a] := {x ∈ R : x ≤ a} linker Halbstrahl[a, +∞[ := {x ∈ R : a ≤ x} rechter Halbstrahl]− ∞, ∞[ := R Zahlengerade (Zahlenstrahl)[a, a] := {a} einpunktige Menge, kein Intervall

Bequeme, klare Schreibweise fur eingeschrankte Zahlenmengen

Zahlenmenge Bedingung := {x ∈ Zahlenmenge : x erfullt Bedingung}R>0 = {x ∈ R : x > 0}, R<0 = {x ∈ R : x < 0}, entsprechend R≥0, R≤0

▼! vorsicht beim Lesen der beliebten Symbole R+ und R− in verschie-denen Quellen: Es ist nicht einheitlich geregelt, ob dabei die Zahl 0zugezahlt wird oder nicht (aber wichtig bei Divisionen, Losungsmengen)

Rn n-Tupel (x1, . . . , xn) von reellen Zahlen (n-Vektoren)n = Dimension des Tupels (n ∈ N)Anordnung: i-te Stelle im Tupel heißt i-te Koordinate

R1 = R, d.h. (x) := x fur x ∈ R eindimensionalR2 = {(x1, x2) : x1, x2 ∈ R} Paare (2-Tupel) zweidimensionalR3 = {(x1, x2, x3) : x1, x2, x3 ∈ R} Tripel (3-Tupel) dreidimensionalRn = {(x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ R} n-Tupel n-dimensional



4 Indizierte Objekte z i mit i ∈ {m, . . . , n} und m, n ∈ Z (m ≤ n)

Zur Unterscheidung von Objekten in Aufzahlungen und Formeln werden dieseObjekte indiziert (nummeriert).

i heißt Index (Nummer) und ist Element der i-Indexmenge {m, . . . , n}, dien−m + 1 Elemente hat (= Anzahl Indizes i).

Vereinbarung. Alle nachfolgend indizierten Objekte sind — solange nichtsanderes erwahnt — Rechenausdrucke (Zahlen).

☞ Indizierte (nummerierte) Rechenausdrucke z m, . . . , z n (m ≤ n ∈ Z)Bei der Auswertung wird fur i = m, . . . , n jedes Vorkommen des Indexi im Objekt z i durch den laufenden Wert von i ersetzt, z.B.

zi := i · ai + bj , d.h. z i = i · ai + bj iund z.B. zm = m · am + bj i=m

Der Rahmen um die Objekte dient als optische Hilfe

5 Summenzeichenn�

i=mzi = zm + . . . + zn (m, n ∈ Z, m ≤ n)

6 Produktzeichenn�

i=mzi = zm · . . . · zn (m, n ∈ Z, m ≤ n)

n�i=m

z i = z m + . . . + z n bzw.n�

i=mz i = z m · . . . · z n

Fur i = m, . . . , n wird jedes Vorkommen des Index i im Ausdruck z i durchden laufenden Wert von i ersetzt, z.B.

�1i=−7 (2i + i)2 = (2−7 − 7)2 + (2−6 − 6)2 + . . . + (20 + 0)2 + (21 + 1)2

1�i=−7

(2i + i)2i= (2−7 + (−7))2

i=−7+. . .+ (20 + 0)2

i=0+ (21 + 1)2

i=1

�3i=1(7 · i2) = (7 · 12) · (7 · 22) · (7 · 32)

3�i=1

7 · i2 i = 7 · 12i=1 · 7 · 22

i=2 · 7 · 32i=3

Andere Schreibweisen�

i=m,...,nzi,

�i=m,...,n

zi,�

i∈{m,...,n}zi,

�

i∈{m,...,n}zi

Die i-Indexmenge hat jeweils n−m + 1 Elemente, d.h.die Summe hat n−m + 1 Summanden, das Produkt n−m + 1 Faktoren.



7n�

i=m(ai + bi) = (

n�i=m

ai) + (n�

i=mbi),

n�i=m

(c ai) = c (n�

i=mai)

n�i=m

(ai · bi) = (n�

i=mai)(

n�i=m

bi),n�

i=m(c ai) = cn−m+1(

n�i=m

ai)

�ni=m c = c · (n−m + 1) = c · (Anzahl Summanden)

�ni=m c = cn−m+1 = c (Anzahl Faktoren)

�ni=m(ai ± bi)2 = (

�ni=m a2

i )± 2 (�n

i=m aibi) + (�n

i=m b2i )

8 Indexverschiebungn�

j=mzj =

n+k�i=m+k

zi−k =n−k�

i=m−kzi+k (k ∈ N)

n�j=m

zj =n+k�

i=m+kzi−k =

n−k�i=m−k

zi+k (k ∈ N)

Verschiebung des Index und Verschiebung der Grenzen gleichen sich aus:j = i + v ∈ {m, . . . , n} ⇐⇒ i ∈ {m− v, . . . , n− v} fur v ∈ Z

�ni=1 xi = x1 + . . . + xn =

�n−1i=0 xi+1 =

�n+1i=2 xi−1 (x ∈ R fix)

�2007i=1997 ai = a1997 + . . . + a2007 =

�7i=−3 a2000+i (Basisjahr 2000)

�2007i=1997 bi = b1997 · . . . · b2007 =

�7i=−3 b2000+i (Basisjahr 2000)

☞ Indexverschiebung ist keine Umindizierung, die Indexmenge bleibtgleich. Bei einer Umindizierung/Umbasierung werden dagegen dieIndizes geandert, z.B. von a1997, . . . , a2007 zu a−3, . . . , a7 (Basisjahr 0)

9 Summen von doppelt indizierten Ausdrucken�

i=m,...,nj=k,...,l

zi,j

Die unterhalb des�

angegebene Indexmenge hat (n−m + 1) · (l− k + 1)Elemente (= Anzahl Summanden). Die Addition erfasst jeden Index genaueinmal, in irgendeiner Reihenfolge und Zerlegung in Teilsummen, z.B.

Einfache Doppelsumme�

i=m,...,nj=k,...,l

zi,j =n�

i=m(

l�j=k

zi,j) =l�

j=k(

n�i=m

zi,j)

Tabelle mit n Zeilen und l Spalten, ai,j = Zahl in Zeile i und Spalte j

i-te Zeilensumme:�l

j=1 ai,j , j-te Spaltensumme:�n

i=1 ai,j

Gesamtsumme:�

i=1,...,nj=1,...,l

ai,j =�n

i=1(�l

j=1 ai,j) =�l

j=1(�n

i=1 ai,j)



Bei Programmen/theoretischen Uberlegungen ist es bequem, auch die Sum-

me uber eine leere Indexmenge (z.B.�0

i=1(...)) zuzulassen. Dazu wird fest-gesetzt:

�

∅... = 0, egal welche Ausdrucke/Zahlen (...) auftreten. Deshalb:

▼! vorsicht beim Einsatz von Tabellenkalkulationsprogrammen:Fur Summen erhalten Sie immer ein Ergebnis. Eine Summe = 0 kannaber auch dadurch entstanden sein, dass nichts addiert wurde (leereBezugszellen bei der Tabellenkalkulation/leere Indexmenge).

10 Potenzen am mit ganzzahligen Exponenten

a, b ∈ R �=0 und n, m ∈ Za0 = 1, an+m = an · am, (a · b)n = an · bn, an·m = (an)m

n-te Wurzeln/allgemeinere Exponenten : siehe � Grundfunktionen

26 = 2026 = 2125 = 2224 = 2323 = (23)2 = (22)3, 1 = 60 = (63)0 = (60)3

b

��nj=1 j

�=

�nj=1 bj ,

�nj=1 z6

j = (�n

j=1 z2j )3 = (

�nj=1 z3

j )2 = (�n

j=1 zj)6

11 Binomische Formeln

(a2 ± 2ab + b2) = (a ± b)2

(a + b)(a − b) = a2 − b2

Anwendung zur Umrechnung von Differenzen

a − b =a2 − b2

a + bfur a + b �= 0

Fur n ∈ N ist√

n + 1−√

n =1√

n + 1 +√

n

12 Fakultat, Binomialkoeffizient

0! = 1, n! =�n

i=1 i fur n ∈ N Bsp. 10! = 3 628 800�n

k

�=

n!

(n − k)! · k!fur 0 ≤ k ≤ n

”n uber k“

= Anzahl Moglichkeiten, k von n Objekten auszuwahlen

Allgemeine binomische Formel

(a + b)n =n�

k=0

�nk

�akbn−k fur a, b ∈ R und n ∈ N

insbesondere ist (fur a = b = 1): 2n =�n

k=0

�nk

�



13 Prozentrechnung

Prozentualer Anteil WG = p

100 = p% = i

i = p% = Prozentsatz, p = Prozentzahl (Prozentpunkte)

Prozentwert W = G · i , Grundwert G = W/i

Bsp.: G = Nettowert, W = Steuerwert (Steuern), i = Steuersatz

▼! vorsicht mit Bezeichnungen bei der Prozentrechnung: Es ist auchublich, fur den Prozentsatz selbst das Symbol p zu verwenden (z.B.p = 5% = 0.05), die hierbei zugehorige Prozentzahl 100 · p erhalt dannmeist kein eigenes Symbol.

Prozentuale Veranderung G1−G0G0

= p100 = p% = i

Neuer Wert G1 = G0 · (1 + i) , Grundwert G0 = G1/(1 + i)

i = p% = Prozentuale (oder relative) Veranderung von G0 zu G1

(Die prozentuale Veranderung eines Grundwerts G0 ist der prozentualeAnteil der absoluten Veranderung W = G1 −G0 am Grundwert G0)

☞ Anderung von G0 um i = p%: Multiplikation von G0 mit (1 + i)

Zunahme von G0 um 10%: i = +10% = 0.1 und G1 = G0 · (1+0.1)Abnahme von G0 um 10%: i = −10% = −0.1 und G1 = G0 · (1−0.1)

Parlamentswahl:pj = Stimmenanteil (Prozentzahl) der Partei X bei Wahl Nr. j

pj+1 − pj = Absolute Veranderung der Prozentpunkte (Stimmenan-teile) von Partei X gegenuber der vorhergehenden Wahl

pj+1−pjpj

=pj+1pj

− 1 = Relative (oder: prozentuale) Veranderung der

Prozentpunkte gegenuber der vorhergehenden Wahl

35.2%− 32.0% = 3.2% (Absolute) Steigerung um 3.2 Prozentpunkte35.2%−32.0%

32.0% = 10% (Prozentuale) Steigerung der Prozentzahlen um 10%

Bruttowert = Nettowert · (1 + Aufschlag) Aufschlag = p% = i

Im Bruttowert enthaltener Aufschlagwert = Bruttowert · Aufschlag1 + Aufschlag

i1+i

= Anteil des Aufschlagwerts G0 · i am Bruttowert G1 = G0 · (1 + i)

Mwsteuersatz1+Mwsteuersatz = Prozentualer Anteil der Mwsteuer am Bruttopreis

= 0.191.19(= 19

119) ≈ 16% beim Mehrwertsteuersatz 19%



14 Abbildung/Relation von X in YZuordnung von gewissen Elementen einer Menge X zu gewissen Ele-menten einer Menge Y Haufiger Fall: X = Y

Schreibweise (1) Wenn die Zuordnungsvorschrift explizit angebbar ist:X → Y Mengen und Zuordnungsrichtungx �→ f(x) Zuordnungsvorschrift

Bsp. f : R → R : x �→ f(x) = |x− 1| � Funktionen

Schreibweise (2) Angabe der Menge der Paare der einander zugeordnetenWerte mit Angabe der paarbildenen Eigenschaft (Zuord-nungsvorschrift)F := {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y und (... Eigenschaften)}Bsp. F := {(x, y) : x, y ∈ R und x2 + y2 = 1}

� Implizite Funktionen

Schreibweise (3) x R y :⇔ (... Eigenschaften), wobei x ∈ X, y ∈ YAls R wird dabei oft auch ein Symbol gewahlt, das an diedefinierenden Eigenschaften und oder die Richtung der Zu-ordnung erinnern soll (z.B. � oder �, wenn es um einenVergleich geht) � Praferenzrelationen

Definitionsbereich {x ∈ X : x wird einem y ∈ Y zugeordnet}Wertebereich {y ∈ Y : y ist einem x ∈ X zugeordnet}

Bild von x0 ∈ X: Bild (x0) = {y ∈ Y : y ist x0 zugeordnet}Urbild von y0 ∈ Y : Urb (y0) = {x ∈ X : x ist y0 zugeordnet}

mehrdeutige Abbildung Wenigstens einem x ∈ X werden zwei oder mehrverschiedene y ∈ Y zugeordnet

eindeutige Abbildung Jedem x∈ Definitionsbereich wird genau ein y ∈ Yzugeordnet

eineindeutige Abbildung Jedem x∈ Definitionsbereich wird genau ein y ∈ Yzugeordnet und zu jedem y ∈ Wertebereich gibt esgenau ein x ∈ Definitionsbereich

Umkehrabbildung Die Umkehrung einer eineindeutigen Abbildung:Neue Zuordnung: Umkehrung der alten ZuordnungNeuer Definitionsbereich: alter WertebereichNeuer Wertebereich: alter Definitionsbereich



15 Funktion Eine eindeutige Abbildung von einer Menge X in R,d.h. jedem x des Definitionsbereiches einer Funktionwird genau eine Zahl zugeordnet Oft auch: X = Rf : X → R : x �→ y = f(x)

D(f) := Definitionsbereich von f mit D(f) ⊂ X

W (f) := Wertebereich von f mit W (f) ⊂ RGraphisch: Eine in (x, y)-Koordinaten gezeichnete

”Kurve“ stellt keine

Funktion dar, wenn die Senkrechte durch auch nur ein x die Kurve zweimaloder ofter schneidet. Sie stellt keine umkehrbare Funktion dar, wenn dieWaagerechte durch auch nur ein y die Kurve zweimal oder ofter schneidet.

16 Umkehrfunktion einer eineindeutigen Funktion von R in Rf : D(f) → W (f) : x �→ y = f(x) Zuordnung eineindeutig,

dann ist f umkehrbar.

Die Umkehrabbildung heißt Umkehrfunktion, Symbol: f−1

f−1 : W (f) → D(f) : y = f(x) �→ x = f−1(y)

Es gilt f−1(f(x)) = x und f(f−1(y)) = y

Eine Umkehrfunktion ist wieder umkehrbar, bei erneuter Umkehrungentsteht die ursprungliche eineindeutige Funktion: (f−1)−1 = f

▼! vorsicht Auch bei Umkehrfunktionen f−1 wird oft die Variable nichtmit y, sondern wieder mit x bezeichnet und der Wert dann mit f−1(x).Dies darf dann nicht mit dem Kehrwert der Zahl f(x) �= 0 verwechseltwerden: f(x)−1 = 1/f(x).

”Bestimmung“ der Umkehrfunktion

Methode 1 (nicht immer moglich)Eindeutiges Auflosen der Funktionsvorschrift y = f(x) nach x

Methode 2 (wenn Methode 1 versagt)Z.B. mit Hilfe eines Kriteriums (s.u.) weist man/frau nach, dass die Funk-tion umkehrbar (eineindeutig) ist und kann dann mit f−1

”rechnen“, Wer-

tebestimmung meist iterativ mit Hilfe der Gleichung f(f−1(x)) = x (me-thodisches Probieren). Wichtige solcher Umkehrfunktionen bekommen eineneigenen Namen/ein eigenes Symbol, z.B. ist

√x (mit D(

√) = R≥0), defi-

niert als Umkehrfunktion der Funktion f(x) := x2 (mit D(f) = R≥0).

17 ☞ Jede umkehrbare Funktion erfullt

fur alle x, y ∈ D(f) : x = y ⇔ f(x) = f(y)



18 Monotone Funktionen f : R → R I ⊂ D(f) ein Intervallf monoton wachsend in I :⇔

fur alle x, y ∈ I gilt: x < y ⇒ f(x) ≤ f(y)

aquivalent: x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)f monoton fallend in I :⇔

fur alle x, y ∈ I gilt: x < y ⇒ f(x) ≥ f(y)

aquivalent: x ≤ y ⇒ f(x) ≥ f(y)f streng monoton wachsend in I :⇔

fur alle x, y ∈ I gilt: x < y ⇒ f(x) < f(y)

aquivalent: x < y ⇔ f(x) < f(y) (MF 1)

aquivalent: x ≤ y ⇔ f(x) ≤ f(y) (MF 2)f streng monoton fallend in I :⇔

fur alle x, y ∈ I gilt: x < y ⇒ f(x) > f(y)

aquivalent: x < y ⇔ f(x) > f(y) (MF 3)

aquivalent: x ≤ y ⇔ f(x) ≥ f(y) (MF 4)

Statt einem Teilintervall I kann fur die Definitionen auch D(f) selbst gewahltwerden. Beachte: D(f) ist nicht notwendig ein Intervall.Gleichungen (MF 1)–(MF 4) sind nutzlich zur Umformung von Ungleichungen

19 Monotoniekriterium

Eine streng monoton wachsende bzw. fallende Funktion f ist umkehrbar(uber ihrem Monotoniebereich).

Ist z.B. D(f) = [a, b] ein Intervall und f strikt monoton ...... wachsend, dann ist W (f) = D(f−1) = [f(a), f(b)]

... fallend, dann ist W (f) = D(f−1) = [f(b), f(a)]

In beiden Fallen ist W (f−1) = D(f) = [a, b]

20 Grundfunktionen I

Betrag |x| :=

�x falls x ≥ 0

−x falls x < 0und x ∈ R

Aufrunden �x� := aufrunden von x zur nachsten ganzen Zahl, x ∈ RAbrunden �x� := abrunden von x zur nachsten ganzen Zahl, x ∈ R

Runden [x] := runden von x zur nachsten ganzen Zahl, x ∈ R(ubliche Festlegung des Grenzfalls der Mitte x = k+(k+1)

2

zwischen zwei ganzen Zahlen: Aufrunden (auf k + 1))



Polynom vom Grad n ∈ N mit Koeffizienten a0, . . . , an; an �= 0

f(x) :=�n

i=0 ai xi, D(f) = Rf(x) = a0 konstante Funktionf(x) = a0 + a1 · x, a1 �= 0 Gerade (affin lineare Funktion)f(x) = a0 + a1 · x + a2 · x2, a2 �= 0 quadratische Funktionf(x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 + a3 · x3, a3 �= 0 kubische Funktion

Ein Polynom n-ten Grades hat hochstens n verschiedene Nullstellen

Bedeutung der Polynome. Jede stetige Funktion kann — nach Vorgabeeiner Genauigkeit, die Auswirkungen auf die Große von n hat — beliebiggut durch ein Polynom n-ten Grades, also einen

”einfachen“ Funktionstyp,

approximiert werden.

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

Bsp. 14 + x + 3

2x2 − x3

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

32x2 − 1

2x3

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

14 + 2x− 2x2 + 3

4x3

21 Das Polynom 1 + x + x2 + . . . + xm (m ∈ N)

Grundlage vieler Formeln der elementaren Zinsrechnung:

m�i=0

xi = 1 + x + x2 + . . . + xm =

�xm+1−1

x−1 fur x �= 1

m+1 fur x = 1(m ∈ N)

Dies ist ein (einfaches) Beispiel einer sogenannten endlichen Summenformel

Bsp. a) 1 + 2 + . . . + 2n−1 = 2n − 1 (x = 2, m = n− 1)

b) 1 + 12 + . . . + (1

2)n = 1−(1/2)n+1

1/2 = 2− (1/2)n (x = 12 , m = n)

22 Zwei Umformungsmethoden zur Anwendung einer Summenformel

(1)�n

i=k xi =�n−k

i=0 xi+k = xk ·n−k�i=0

xi (Ausklammern)

(2)�n

i=k ai =n�

i=0ai −

k−1�i=0

ai (Erweiterung der Untergrenze)

Methode (1) klappt nur mit der Formel zu 21 (oben)Methode (2) ist universell anwendbar, bei jeder endlichen Summenformel



23 Grundfunktionen II

k-te Wurzel f : R≥0 → R≥0 : x �→ x1/k mit k ∈ N gerade

f : R → R : x �→ x1/k mit k ∈ N ungerade

x1/k ist eine Bezeichnung fur die Umkehrfunktion der Potenzfunktionf : R≥0 → R≥0 : x �→ xk (k gerade), f : R → R : x �→ xk (k ungerade)

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2Bsp. x2

x1/2

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2x4

x1/4

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x1/3

x3

x3

x1/3

Potenzfunktionen xr mit rationalen Exponenten r = m/kf(x) = xm/k mit k ∈ N, m ∈ Z, D(f) = R>0

Zusammengesetzte Funktion x �→ x1/k �→ (x1/k)m; eine negative Potenzist hierbei definiert als Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz.Bsp.

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

x1/2

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

x1

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

x3/2

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x−1/2

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x−1

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x−3/2



24 Grundfunktionen III

Exponentialfunktion ex andere Schreibweise: exp(x)

Wichtige Funktion zum (theoretischen) Rechnen bei der Analyse vonAnderungen und grenzwertigem Verhalten eines Modells

� stetige Verzinsung, Wachstumsfunktionen, statistische Schatzung

Definition Fur jedes x ∈ R definiert als Grenzwert eines Polynomtyps:

ex := limn→∞

n�i=0

xi

i! Definitionsbereich R und Wertebereich R>0

annahernd: ex ≈n�

i=0

xi

i! , fur”große“ n ∈ N, x ∈ R

Diese Naherung wird von Rechnern verwendet und ist schon fur relativkleine n gut brauchbar. Andere Grenzwertdarstellungen fur ex sindeher nur von mathematischem Interesse, z.B. ex = limn→∞(1 + x

n)n.

Eulersche Zahl e = limn→∞

�ni=0 1/(i!) = lim

n→∞(n+1

n )n ≈ 2.71828

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

ex

x

ln(x)

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

2x

x

log2(x)



Naturlicher Logarithmus ln = Umkehrfunktion von ex

Definitionsbereich R>0 und Wertebereich R ln(ex) = x = eln x

☞Rechenregeln ln(c) + ln(d) = ln(c · d) fur c, d > 0

ln(ct) = t · ln(c) fur c > 0, t ∈ Rinsbesondere ln(1) = 0; ln(e) = 1; ln( c

d) = − ln(dc ) fur c, d > 0

Bsp. a) Fur x, y, z > 0 ist ln(x1/7 ·y−2/3 ·z2/5) = 17 ln(x)− 2

3 ln(y)+ 25 ln(z)

b) 1.05x = 2 ⇔ ln(1.05x) = ln 2 ⇔ x · ln 1.05 = ln 2 ⇔ x = ln 2ln 1.05

Allgemeine Exponentialfunktion zur Basis b > 0

bx := ex ln b Definitionsbereich R und Wertebereich R>0

Bsp. a) 2x = ex ln 2, 21/10 = e(1/10) ln 2 ≈ 1.07177

b) 2n = Anzahl Moglichkeiten bei n Bit, 232 = 4 294 967 296

Logarithmus zur Basis b = Umkehrfunktion von bx b > 0, b �= 1

Definitionsbereich R>0 und Wertebereich R logb(bx)= x = blogb x

Bsp. a) �log2(n)� = benotigte Bitzahl fur n Moglichkeiten (n ∈ N)

b) log2(106) = 6 ln 10

ln 2 ≈ 19.9316, also �19.93� = 20 Bit fur 106 Mogl.

Umrechnen auf die Basis b > 0, b �= 1 logb(x) = ln(x)ln(b)

25 Allgemeine Potenzregeln

Fur a, b > 0 und s, t ∈ R ist a0 = 1 und

as·t = (as)t Faktorisierung des Exponenten

bs+t = bs · bt, insbesondere es+t = es · et gleiche Basis

(a · b)t = at · bt, insbes.√

a · b =√

a ·√

b gleicher Exponent

▼! vorsicht (vor beliebten Stressfehlern)Im Allgemeinen ist ln(a + b) �= ln(a) + ln(b) und

√a + b �=

√a +

√b

Differentiation und deren einige Anwendungen ist ein Thema von Mathematik 2.Bei Mathematik 1 (Thema 3) verwenden wir — um andere aufwendige Rechnun-gen zu vermeiden — vorweg die wohlbekannte elementare Differentiationsregel:

Fur fixes r ∈ Q, r > 0, hat die Funktion f(x) = xr (x > 0)

die Ableitung f �(x) = r · xr−1 (x > 0)



Grundlagen (u¨berwiegend vorausgesetzter Schulstoﬀ · Oft interessieren bei Argumentationen mit...

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