Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik Ch 03 · ~/PowerPoints/Ch03.ppt • Was ist...

© PTB: A Henrion 2005

Ch 03Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik

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• Was ist Statistik ?

• Wahrscheinlichkeit

• Grundgesamtheit und Verteilung

• Verteilung von Stichproben-parametern und Intervall-schätzung

• Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA)

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Ch 03

2

Verfälschung eines Signals durch zufällige Einflüsse

Wiederholung führt zu einer „Verteilung“ von Ergebnissen

Galton-Brett

Modellannahme:

Messung bestimmt ein Ergebnis nur innerhalbeiner charakteristischenVariationsbreite

Grundgesamtheit und Verteilung


Ch 03

3

Grundgesamtheit:

Gesamtheit der Realisierungen, die aus dem Wurf ein und derselben Kugel resultieren mögen:

• Begriff GG abstrakt

• Begriff GG hat zentrale Bedeutungfür Diskussion vonBeobachtungs-ergebnissen

• GG nur denkbar,nicht einsehbar:

• Wir sehen nur einigeRealisierungen, nicht die Startposition



Ch 03

4

Beispiel: Unterschiedliche Beobachtungen.

Unterschiedzufällig

beide Kugeln rot

Unterschiedsystematisch

eine Kugel gelbeine rot

Ergebnis 1: Ergebnis 2:

Frage: Aus gleicher oder verschiedenen GGs?

Gleiche GG:

Versch. GGs:



Ch 03

5

Typische Situationen mit Hintergrund Frage gleiche oder verschiedene GG

• Verschiedene Laboratorien, gleiche Probe

• Gleiches Laboratorium, gleiche Probeverschiedene Gelegeneheiten (Tage)

• Gleiches Laboratorium, gleiche Probeverschiedene Meßverfahren

(Vergleichsmessungen)

(Test Robustheit Meßverfahren, Trend)

(Validierung nach Verfahrensänderung)



Ch 03

6

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Ordnet jeder Realisierung die Häufigkeit (Wahrscheinlichkeit) ihres Auftretens zu:

Realisierung

)(xf

x

Beschreibung von GGs

1 Diskreter Wertevorrat an Realisierungen



Ch 03

7

)(xf

x

Beschreibung von GGs

2 Kontinuierlicher Bereich an Realisierungen x

Stattdessen:

Wahrscheinlichkeit, daß in ein bestimmtes Intervallfällt:

x

�= o

u

X

Xdxxfp )(

uX oXAnmerkung:

für sich nichtinterpretierbar alsWahrscheinlichkeit für Beobachtung des Wertes !x

)(xf

p

Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion („pdf“)



Ch 03

8

Verteilungs-funktion

Dichtefunktion

1

Verteilungsfunktion- Dichtefunktion

Verteilungsfunktion ist kumulative Dichtefunktion:

Gibt Wahrscheinlichkeit für XX beobachtet ≤

X(Diskrete Vertei-lungen analog)



Ch 03

9

Parameter zur Beschreibung von Beobachtungsergebnissen:

1. Erwartungswert der Beobachtung

Bildhaft: Wohin wäre die Kugel gerollt, wäre ihr Lauf nicht durch die Nägel gestört worden?

2. Varianz der Verteilung

Bildlich: Welchen Wertebereich an beobachtbaren Realisierungen verursacht diese Störung?

Unterliegende Fragestellung: Da konkret beobachtet wurde, wie weit mag es entfernt sein vom Erwartungswert?

x

{ }xE

2σ



Ch 03

10

Parameter zur Charakterisierung von Verteilungen

{ }xE

1 Lageparameter

auch: Mittelwert µ

Erwartungswert der Beobachtung

Wohin wäre die Kugel gerollt, wäre ihr Lauf nicht durch die Nägel gestört worden?

{ }xE



Ch 03

11

σ2

2 Streuparameter

Varianz 2σ

Parameter zur Charakterisierung von Verteilungen

Breite der Verteilung

Charakterisiert Unsicherheitder Beobachtung

In welcher Umgebung vomErwartungswert ist zu vermuten?

x



Ch 03

12

(Formal-) Statistische Definition:

Erwartungswert (auch: Mittelwert ) einer Verteilung:

{ } ( )ii

i xfxxE ⋅== �:µ

ix

diskreter Wertevorrat x

{ } ( ) dxxfxxE ⋅== �∞

∞−:µ kontinuierlicher Bereich x

( )ixf „Wahrscheinlichkeits-Dichtefunktion“ für

µ

Wahrscheinlichkeit ( )xfx



Ch 03

13

Beispiel 1:

Mittelwert Augenzahl beim Würfeln

{ }== ixEµ

61

61

61

)( ixf1 2 3 4 5 6

61ix

� �

� === 6

15,361

ii� =

⋅6

1)(

i ii xfx



Ch 03

14

Beispiel 2:

Mittelwert Gleichverteilung (auch: Rechteckverteilung)

{ } ( )� −==b

adxabxxEµ)(xf

a b

ab −1

( ) 2ba +=

)(2)( 22 abab −−=

µ



Ch 03

15

Für eine Funktion der Zufallsvariablen (*))(xϕ x

{ } �∞

∞−⋅= dxxfxxE )()()( ϕϕ

1. Begriffs- Verallgemeinerung Erwartungswert:

2. -tes Moment der Verteilung von (Bezug zur optischen Spektrometrie):k x

{ }kk xE=:µ

* hier für den Fall kontinuierlichen Wertebereichs von x formuliert



Ch 03

16

{ }xE ordnet nach gegebener Vorschrift einer Verteilung eine reelle Zahl zu

Wie anhand der Definition leicht nachzuvollziehen, ist E ein linearer Operator, heißt:

Für irgendzwei voneinander unabhängige Zufallsvariablen undx y

{ } }{xEcxcE ⋅=⋅

{ } }{}{ yExEyxE +=+



Ch 03

17

Varianz der Verteilung von

{ } ( )ii

i xfxxE ⋅== � 222 :σ diskreter Wertevorrat x

{ } ( )dxxfxxE ⋅== �∞

∞−

222 :σ kontinuierlicher Bereich x

x2σ

2. Moment , entsprechend dem Erwartungswert von 2)( xx =ϕ2µ



Ch 03

18

Gebräuchlicher:

( ){ } ( ) ( )ii

i xfxxE ⋅−==− �222 : µσµ

( ){ } ( ) dxxfxxE )(: 222 ⋅−==− �∞

∞−µσµ

Varianz „um den Mittelwert“:



Ch 03

19

Beispiel 1: Varianz Ergebnisse beim Würfeln

)( ixf1 2 3 4 5 6

61ix

( )� =⋅−= 6

1

22 )(i ii xfx µσ

( ) 9,25,3616

1

2 ≈−⋅= � =ii

� �



Ch 03

20

Beispiel 2: Varianz Gleichverteilung (auch: Rechteckverteilung)

)(xf

a b

ab −1

( )[ ]( ) dx

abbaxb

a� −+−=

22

43/)( 2 ⋅−= ab

( ) dxxfx )(22 ⋅−= �∞

∞−µσ

dzzab

ab

ba�−

−−= 2

2

21 ( ) ( )( )ab

baab−⋅⋅

−−−=83

33 ( )( )ab

ab−⋅⋅

−=83

2 3

32/)( ⋅−= abσ

σ



Ch 03

21

Kovarianz und Korrelation

Für zwei Zufallsvariablen :yx,

{ } 2),(cov xyyxEyx σ=⋅=

In der Praxis:

{ })()(),(cov yx yxEyx µµ −⋅−=

Maß für Zusammenhang von Zufallsvariablen



Ch 03

22

Kovarianz und Korrelation

Korrelationskoeffizient:22

2

yx

xyxy σσ

σρ

⋅=

(dimensionslos) 11 ≤≤− xyρ 1−=xyρ negativ

1=xyρ positiv

0=xyρ nicht korreliert



Ch 03

23

Produktmoment - Kovarianz – Korrelation. (Veranschaulichung)

µµµµ= µµµµ= 0 µµµµ= µµµµ= 0 µµµµ= µµµµ= 0

x ,y3 3

x ,y2 2x ,y

1 1 x ,y1 1

x ,y2 2

x ,y3 3

x ,y1 1

x ,y2 2

x ,y3 3

x·y im Trend größer Null x·y im Trend kleiner Null Kein Trend für x·y

E{x·y} > 0 E{x·y} < 0 E{x·y} = 0

Positiv korreliert

Negativ korreliert

Unkorreliert

Positives x, positives yund umgekehrt.

Positives x, negatives yund umgekehrt.

Keine ,Verkettung‘ der Vorzeichen



Ch 03

24

Verteilungsformen von Beobachtungsergebnissen

1 Binomialverteilung:

( )xnx pp

xnxn

xf −−−

= )1(!!

!)(

Häufigkeit Eintreffen eines Ereignissesder Wahrscheinlichkeit p nach n Versuchen

Mittelwert: { } pnxE ⋅==µ

Varianz: )1(2 ppn −⋅⋅=σ



Ch 03

25

pp−1

Illustration Binomialverteilung:

Galton Brett: Zahl der Fälle, in denen die Kugel nach rechts rollt

6=n

=x 0 1 2 3 4 5 6

xnx ppx

nxf −−��

�

��

�= )1()(

hier:5.0=p



Ch 03

26

Praxisbeispiel: Isotopen sind binomialverteilt:

Man stelle sich den Einbau von Kern- Typen (Isotopen) in ein gegebenes Molekül als Zufallsprozeß vor, z.B.

C157H232N40O47S2Chancen, 13C einzubauen

01.0≈p

157=n

Wahrscheinlichkeit 13C(Insulin, B-Kette)

•

•

M

M+1M+2

M+3

( )xnx

x

xMI

−−��

��

�

=+

)01.01(01.0157

@ I

=x 0 1 2 3 4 5 6



Ch 03

27

2 Poisson- Verteilung

( )!

)(x

npexf

xnp−=

Grenzfall Binomialverteilung für sehr kleines , großes

Mittelwert: { } pnxE ⋅==µ

Varianz: pn ⋅=2σ

p


n



Ch 03

28

pp−1

Beispiel Poisson- Verteilung:

Binomialverteilung für sehr kleines (bei großem )p

( )!

)(x

npexf

xnp−=

n



Ch 03

29

Situationen, in denen Poisson- Verteilungen auftreten:

Zählen von seltenen Ereignissen je Zeitintervall(z.B. Kern- Zerfälle)

Messen an der Nachweisgrenze bei Verwendungvon zählenden Detektoren (z.B. SEV)



Ch 03

30


3 Gauss- oder Normalverteilung:

( )��

��

� −−= 2

2

2exp

21

)(bax

bxf

π

Verteilung metrisch skalierter Meßgrößen,soweit fernab der Nachweisgrenze

Mittelwert: { } axE ==µVarianz: 22 b=σ

σ

µ



Ch 03

31

Verteilungsformen, angenommen da nicht besser bekannt

4 Gleich- oder Rechteckverteilung

abxf

−= 1

)(

Wird ersatzweise verwendet, wenn man sich auf Ergebnisse Dritter bezieht, die nur einen Bereich als Unsicherheitsangabeliefern, jedoch keine Verteilungsform spezifizieren.

Mittelwert: { } ( ) 2baxE +==µ

Varianz: 32

22

��

��

� −= abσ

bxa ≤≤ )(xf

a b

ab −1

σ

µ



Ch 03

32

Verteilungsformen, angenommen da nicht besser bekannt

4 Dreieckverteilung

( )2

1)(

cb

cx

cbxf

−−

−−

=

Anwendungssituation ähnlich wie zuvor: Verteilungsform nichtbekannt, nur Unter- und Obergrenze. Man nimmt zusätzlich an,daß Auftretens- Wahrscheinlichkeit in der Mitte am höchsten.

Mittelwert: ( ) 2ba +=µ

Varianz: 62

22

��

��

� −= abσ

)(xf

a b

cb −1

σ

2bac +=

µ



Ch 03

33

GUM- Konzept der Kombination von Mittelwerten und Varianzen

• Aufstellen Formel- Zusammenhang, der gemesseneEingangsgrößen zur Zielgröße verknüpft

• Ermitteln Schätzwert für Zielgröße durch Einsetzen Schätzwerte Eingangsgrößen in Formelzusammenhang

• Kombination der Einzel- Unsicherheiten (Varianzen) zur Unsicherheit d. Zielgröße (Fehlerforpflanzungsgesetz)

• Erweiterung der kombinierten Unsicherheit mit einem passenden Faktor , so daß ein Konfidenzintervall mit gegebener Überdeckungswahrscheinlichkeit resultiert.

2iu

2cu

cuk U

(„Erweiterte Meßunsicherheit“: )cukU ⋅=



Ch 03

34

Kombination von Messungen zu einem Gesamtergebnis

( )2111 ,σµx

�

( )2222 ,σµx

( )2, kkkx σµ

gemessene Größen

( )kxxf �1

Zielgröße

( )fµ

( )f2σ

gesucht:



Ch 03

35

Kombination von Messungen zu einem Gesamtergebnis

( ) ( )kff µµµµ ,,, 21 �=

gilt nur in einigen Fällen, z.B. wenn eine Linearkombinationoder Produkt voneinander unabhängiger(!) Variabler, also

f

( ) �=+++= iikkk xcxcxcxcxxf �� 22111

Vorsicht!

Die intuitive Vermutung

( ) ∏=⋅⋅⋅= iikkk xcxcxcxcxxf �� 22111

oder



Ch 03

36

Kombination von Messungen … Kritische Situationen

Gegenbeispiel: vu, seien (unabhängig voneinander) gleichverteilt mit gleichem Mittelwert

1 1000)(uµ

u

1 1000)(vµ

v

10.000 Paare { }ii vu ,(Zufallsgenerator)

10.000 Quotienten { }ii vu

1)()( =vu µµ

Arithm. Mittel der Quotienten aus Simulation:

)/(5.3 vuµ≈

Vermutung,



Ch 03

37

Kombination von Messungen … Kritische Situationen

Explizit:

a b)(uµ

u

a b)(vµ

v

dvduvu

abvu

b

a

b

a⋅

−= � � 2)(

1)(µ

2ln

)(1 22

2

abab

ab−⋅⋅

−=

Für 10001 == ba

46.3)( =vuµ



Ch 03

38

Verteilungsform der resultierenden Zufallsvariablen

Erweiterung von cu gemäß cukU ⋅= zu einem Konfidenz-intervall setzt voraus, daß die aus Beobachtungen der Eingangs-größen kombinierte Zielgröße normalverteilt

Vorsicht!

Intuitive Annahme:

Bei genügender Zahl von Eingangsgrößen sei die resultierende immer normalverteilt, unabhängig von der Verteilung der Eingangsgrößen. (Zentr. Grenzwertsatz)

Grenzwertsatz nur für Linearkombinationen Variabler gültig



Ch 03

39

Schlußfolgerung:

Ermittlung Erwartungswert (wie auch Verteilungsform)kombinierter Zufallsvariabler mitunter nicht trivial

Ausweg:

Messung mehrerer Sätze der Eingangsvariablen, Auswertung der resultierenden Werte der Zielvariablen

Experimentelle Ermittlung



Ch 03

41

Grundgesamtheiten sindnicht vollständig einsehbar

Meßserie 1 Meßserie 2

usw.

Aus Stichproben lassen sich „Schnappschüsse“ gewinnen, z.B.:

und bleiben verborgenµ 2σ

Stichprobenparameter und Intervallschätzung


Ch 03

42

Definition Messung/ Beobachtung:

Erhebung einer Stichprobe von Beobachtungen{ }nXXX ,,, 21 �

Bestmögliche Schätzung und anhand dieser Datenµ 2σ

Klassische Schätzer:

� =⋅= n

i iXnX1

1

für µ

( ) ( )2

12 11 � =

−⋅−= n

i i XXns

für 2σ

Arithm. Mittel Stichprobenvarianz



Ch 03

43

Schätzer für Parameter von GG sind ihrerseits Zufallsgrößen (!)

09.5=X 47.62 =s 78.5=X 11.62 =s

Stichproben- „Schnappschüsse“ sich scheinbar ändernder GG

Somit anschaulich:

1 20 3 4 5 6 7 8 9 10

1

1 20 3 4 5 6 7 8 9 10

2



Ch 03

44

1 Erwartungswert des arithmetischen Mittels einer Stichprobe:

XEigenschaften der Zufallsgrößen und

X

2s

{ } { }� == n

i iXnEXE1

1

Da E linearer Operator (s. Abschn. „GG und Verteilung“):

{ } { }�� ==⋅= n

i i

n

i i XEnXnE11

11

Da ( ):, 2σµGGX i ∈∀ { } ( ) µµ =⋅⋅=⋅� =nnXEn

n

i i 111

{ } µ=XE ( „erwartungstreuer“ Schätzer für )X µ



Ch 03

45

2 Erwartungswert der Stichprobenvarianz :

XEigenschaften der Zufallsgrößen und 2s

{ } ( )�

� � −

−= � =

n

i i XXn

EsE1

22

11

2s

{ }� =−

−= n

i i XXEn 1

2

11

{ } { }2222 XXXXEXXE iii +−=− ( )[ ] 21 xnn σ⋅−=

{ } 21

22 11

1 σσ =−−

= � =

n

i nn

nsE

{ } 22 σ=sE ( „erwartungstreuer“ Schätzer für )2s 2σ



Ch 03

46

{ } ( )[ ] 222 /12 xii nnXXXXE σ⋅−=+−

{ } 222 µσ += xiXE1

{ } { } [ ]�� +=⋅= n

j ji

n

j jii xxnXXEnXXE 2),cov(11 µ2

{ } { }�� ⋅⋅= ii XXEnXE 221

{ }� �= =⋅= n

i

n

j ji XXEn1 1

21

[ ]22221 µσ nnn x +⋅=

3

22 µσ += nx

Nähere Ausführung

( ) 22221 µσµσ +=+⋅= nnn xx



Ch 03

47

3 Varianz des arithmetischen Mittels

XEigenschaften der Zufallsgrößen und

2X

σ

2s

{ } [ ]�

� � −=− � =

2

122 )(1)(

n

i iXnEXE µµ

{ }� �= =−−= n

i

n

j ji XXEn1 1

2 )()(1 µµ

{ } nxEnn 222 )(1 σµ =−⋅⋅=

nX

22 σσ = (verringert sich bei steigendem Stichprobenumfang)



Ch 03

48

Folgerung:

2X

σ

2σ charakterisiert das Meßverfahren

(„Standardabw. des Einzelwerts“)

charakterisiert die aktuelle Stichprobe

(Ergebnis der Meßserie) und wird vom

„Fleiß“ des Experimentators mitbestimmt

(„Standardabw. des arithm. Mittels“)



Ch 03

49

Anmerkung:

Für die Ableitung war die Annahme einer bestimmten Verteilungsform nicht erforderlich.

Die Feststellungen bzw. { } µ=XE { } 22 σ=sE

( und erwartungstreu) sowieX 2s

* vorausgesetzt ist natürlich, daß die Erwartungswerte überhaupt existieren

Erwartungstreue Schätzer werden auch als unverzerrt (unbiased) bezeichnet.

gelten also grundsätzlich.*

nX

22 σσ =



Ch 03

50

Intervallschätzung

Angenommen, Verteilung bekannt, * ( )2,σµN

)(xf

xuX oX

Ein 50%- Intervall wäre dann z.B.

�= o

u

X

Xdxxfp )(

mit

OU XXX ≤≤

5.0=p

* Schreibweise für Gauss- Verteilung mit spezifiziertem und µ 2σ



Ch 03

51

uX oX uX oX

andere Varianten mit :5.0=p

∞− oX uX ∞



Ch 03

52

Intervallschätzung:

• Voraussage von Beobachtungs- Bereichen

mit spezifizierter Wahrscheinlichkeit

• allein genügt nicht zur eindeutigen Festlegung

p

p

• Festlegung richtet sich nach der Fragestellung



Ch 03

53

Intervallschätzung: Abhängigkeit von Fragestellung

µ

∆

1 95%- Konfidenzintervall um den Mittelwert

üblicherweise symmetrisch(jedoch nicht zwingend!)

Führt zu Aussagen der Art: liegt im Bereich

mit stat. Sicherheit bzw. Irrtumsrisiko

X ∆±µ95.0=p 05.0=α

%5.2 %5.2



Ch 03

54

Intervallschätzung: Abhängigkeit von Fragestellung

2 „Einseitige“ Fragestellungen

Geforderter Mindestwert mitüberschritten

%5

kritX

%5

kritX

%95=pTolerierter Höchstwert mit

unterschritten%95=p



Ch 03

55

Intervallschätzung

Gauss- Verteilung, wie jede andere angenomene Verteilungsform von GG genau genommen nicht verwendbar:

Dichtefunktion bzw. Parameter der Verteilung in Wahrheit nicht bekannt

Man braucht einen alternativen Weg zur Schätzung basierendauf entsprechenden Stichprobenparametern, wie

2,σµ

2, sX



Ch 03

56

Intervallschätzung: Student‘s t als Zufallsvariable

Anwendung des kombinierten Stichprobenparameters

nsX

Tµ−=

Xs

X µ−=

Für Gauss- verteilte GGs: Verteilung von gleichder bekannten Student- t Verteilung

T



Ch 03

57

Eigenschaften t- Verteilung

4=ν

10=ν

∞=ν

• Unsicherheit Schätzung findet Niederschlag in breiterer Vertlg.2X

σ

• Familie von Verteilungen, abhängig von (Zahl Freiheitsgrade)ν

• Im Grenzfall ( ) Gauss-

verteilt:

∞=ν( )2,

XN σµ

• 1−= nν



Ch 03

58

t Tabelle (zweiseitige Fragestellung)

0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.011 1.00 3.1 6.3 12.7 31.8 63.72 0.82 1.89 2.92 4.30 6.96 9.923 0.76 1.64 2.35 3.18 4.54 5.844 0.74 1.53 2.13 2.78 3.75 4.605 0.73 1.48 2.02 2.57 3.36 4.03

10 0.70 1.37 1.81 2.23 2.76 3.17

30 0.68 1.31 1.70 2.04 2.46 2.75

0.67 1.28 1.64 1.96 2.33 2.58∞

p/ν

2p 2p

→t



Ch 03

59

Intervallschätzung: Anwendung von Student‘s t

Xs

Xt

µ−=Mit

XU stX ⋅−= ανµ ;

XO stX ⋅+= ανµ ;

untere Vertrauensgrenze für

obere Vertrauensgrenze für

µ

µ

da symmetrisch verteilt:t



Ch 03

60

Ergebnisangabe:

XstX ⋅± αν ;

Erweiterungsfaktor synonym für k αν ;t

oder α−∆± 1X

GUM- Notation:

X mit erweiterter Unsicherheit

XskU ⋅=



Ch 03

62

Zerlegung Gesamtvarianz in Bestandteileverschiedenen Ursachen entsprechend

Beispiel: Ringversuchsergebnis (gedacht):

Within- Lab Varianzen (W)

Between- Lab Varianz (B)

Total- Varianz (T)

+B=W

T

*

*

*

Einzelergebnisse je Lab(Treffergebiete):

Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA)


Ch 03

63

ANOVA- What is it about?

B charakterisiert Unterschiede in der Handhabung zwischen Labs.

Ursachen Feste Effekte wie:Kalibriersubstanzen aus verschiedenen Quellen, unterschiedliche Analysenprinzipien, …

Zufalls- Effekte wie:Örtlich variierende Umgebungsbedingungen oder andere schlecht langfristig konstant zu haltende Parameter beeinflussen das Analyseergebnis

Übergänge zwischen beiden Gruppen fließend!Unterschiede in der stat. Behandlung: Keine.

� Trenne B von W



Ch 03

64

ANOVA- zentrales Werkzeug für analysierenden Experimentator

Quantifizierung des Effekts essentieller Faktoren, die nach Plan absichtlich variiert werden oder zufällig sind. Unterscheidung vom rein experimentellen Rauschen.

Anwendungen Optimierung von Verfahren (Industrie, Landwirtschaft, …, auch: Analytik)

Test von Hypothesen, Gewinnung von Modellen (Psychometrie, Soziologie,Chemometrie,…)

In diesem Kurs: Analyse auf Beiträge (meist zufälliger) Faktorenzur Gesamtunsicherheit von Meßergebnissen



Ch 03

65

T, W und B - Wie definiert?

1µ

2µ3µ

µijy

T

WB

( )µµ −i( )iijy µ−=− µijy +

Entsprechend Zerlegung von Tin (Zufalls-)variablen W und B:



Ch 03

66

Parameter der Grundgesamtheit zu kennen, bleibt den Göttern vorbehalten!

( )µµ ,i

Wir behelfen uns mit entsprechenden „Stichprobenparametern“:

⋅1y

⋅2y⋅3y

⋅⋅y

ijy

T

WB

�,, 21 ⋅⋅ yy Gruppenmittelwerte

⋅⋅y Gesamtmittelwert



Ch 03

67

2Tσ 2

Wσ 2Bσ

( )� �= =

⋅−−

=l

i

n

jiij yy

nl 1 1

2

111

�=

=l

iiW s

ls

1

22 1 )1( −= nlWνFreiheitsgrade

( )�=

⋅⋅⋅− −−

=l

iiMittelGruppen yy

ls

1

22

11 mit 1−= lν

Freiheitsgraden.

( )��= =

⋅⋅−−⋅

=l

i

n

jijT yy

nls

1 1

22

11 1−⋅= nlTν

Freiheitsgrade

n Werte je Gruppel Gruppen

An Stelle der Parameter , , nunmehr Schätzungen



Ch 03

68

„Statistische Erwartung“ dieser Schätzer*:

{ } 22TTsE σ= (erwartungstreu)

{ } 22WWsE σ= (erwartungstreu)

{ } 222 1WBGM n

sE σσ += (verzerrt bezüglich )

*Ableitung des Zusammenhangs auf extra- PowerPoint

Richtige Schätzung demnach:2Bσ nsW

2−2GMs

2Bσ



Ch 03

69

Im Kontext von Ringversuchs- Auswertungen:

2Wσ „Wiederholvarianz“ (Varianz unter

Wiederholbedingungen eines Labors)

2Bσ „Zwischen- Labor- Varianz“ (Labor-

Labor- Variabilität)

Schätzung Labor- Meßunsicherheit („Präzision“): 222BWLab sss +=

GUM- Terminologie: 222BWLab ssu +=

(Nähere Diskussion am Beispiel: � CH 17)



Ch 03

70

Anhang: Statistische Implikationen

�=

=l

iiW s

ls

1

22 1

2Ws ist eine within- Varianz gemittelt über die Werte aller Labors

Solches „Pooling“ setzt voraus, daß alle aus ein und derselbenGrundgesamtheit stammen (sog. „Varianzhomogenität“)

2is

Verfahren Test Varianzhomogenität: z.B. Bartlett- Test �(Lehrbücher)

Vorteil für Ringversuchsteilnehmer: gepooltes vereinigt auf sichdie Freiheitgrade aller Labors (zuverlässigere Schätzung als !!)

2Ws 2

is



Ch 03

71

Test Signifikanz des extrahierten :2Bs

Ausdruck { }{ } 2

22

2

2

W

WB

W

GM nsEsEn

σσσ +⋅=⋅ 1=

1>02 =Bσ02 >Bσ

Dementsprechend testet man das Verhältnis 22 /ˆWGM ssnF ⋅=

gegen ( )ανν −1,, WGMF

mit und Freiheitsgraden1−= lGMν ( )1−= nlWν

bei Irttumsrisiko („stat. Sicherheit“ ) α α−1

2Bs)(ˆ tabelliertFF > indiziert Signifikanz



Ch 03

72

Nachtrag:

Im Zusammenhang mit der Aufstellung von Unsicherheits- Budgetswird offenbar stets verwendet, selbst wenn nicht signifikant.2

Bs

Dies ist konservativ, sorgt aber dafür, daß man sich auf der „sicheren Seite“ befindet.

Im Kontext der Aufstellung von Modellen/ Prüfung auf Vorhanden-sein von Einflußgrößen (Effekten) wäre das natürlich falsch.

In diesem Kurs beschränken wir uns auf erstere Fragestellung.



Ch 03

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Gefragt, woran er gerade arbeite, antwortete er:

„Ich habe große Mühe. Ich bereite meinen nächsten Irrtum vor.“

Brecht

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