GrundlagenderElektrotechnik PraktikumTeil1 VersuchB1/2 · PDF...

Grundlagen der ElektrotechnikPraktikum Teil 1Versuch B1/2

”R-L und R-C Kombination”

Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik (ATE)

Elektrotechnik und Informationstechnik

Fakultat fur Ingenieurwissenschaften

Universitat Duisburg-Essen

Duisburg, September 2011

Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen: Spannungen und Strome mit sinusformiger Zeitabhangigkeit 1

1.1 Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Effektivwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Messung von Wechselstromen und Wechselspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Komplexe Zeitfunktion und komplexer Scheitelwertzeiger . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Impedanz und Admittanz von Zweipolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5.1 Definition der Begriffe Impedanz und Admittanz . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5.2 Die Impedanz des ohmschen Widerstandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.3 Die Impedanz einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.4 Die Impedanz eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.5 Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Spule . . . . . . . . . 121.5.6 Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und eines Kondensators . . . . 13

1.6 Reale Netzwerkelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 Messung von Impedanzen mit drei Spannungsmessern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8 Zusammengesetzte Schwingungen (Lissajous–Figuren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Versuchsdurchfuhrung 20

2.1 Messung von Wechselspannungen mit dem Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Bestimmung einer unbekannten Impedanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Bestimmung der Zeitfunktionen von Spannungen und Stromstarke . . . . . . . 202.2.2 Drei–Spannungsmesser–Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.3 Reihen– und Parallel–Ersatzschaltbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.4 Lissajous–Figur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

i


1 Grundlagen: Spannungen und Strome mit sinusformiger Zeitabhangigkeit

1.1 Zeitfunktionen

Spannungen und Strome mit sinusformiger Zeitabhangigkeit (Wechselspannungen bzw. Wechsel-strome) werden durch Kosinusfunktionen der Form

u(t) = u cos(ωt+ ϕu) (1)bzw.

i(t) = ı cos(ωt+ ϕi) (2)

beschrieben. Die bestimmenden Parameter dieser Funktionen sind

(i) der Scheitelwert u ≥ 0 bzw. ı ≥ 0 ,

(ii) die Kreisfrequenz ω = 2πf =2π

T, mit f =

1

Tder Frequenz und T der Periodendauer , sowie

(iii) der Nullphasenwinkel ϕu bzw. ϕi, welcher die Phase der Spannung bzw. des Stromes zum Zeit-punkt t = 0 angibt.

Als Phase wird der als Argument der Kosinusfunktionen nach Gl. (1) bzw. (2) auftretende Zahlenwertωt + ϕu bzw. ωt + ϕi bezeichnet. Der Nullphasenwinkel hangt von der Wahl des Ursprungs auf derZeitachse ab. Die Bedeutung der einzelnen Großen veranschaulichen die Bilder 1 und 2.

1.2 Effektivwerte

Anstelle des Scheitelwertes u einer Wechselspannung bzw. des Scheitelwertes ı eines Wechselstromeswird in der Praxis haufig der Effektivwert angegeben. Die Definition des Effektivwertes einer zeitlichperiodischen Spannung u(t) bzw. Stromstarke i(t) beruht auf der in einem ohmschen Widerstand imzeitlichen Mittel in Warme umgesetzten Leistung (Bild 3).

In einem ohmschen Widerstand R, an dem die Gleichspannung U anliegt, wird die (zeitunabhangige)Leistung

P =U2

R= I2R (3)

6u(t)

-

ωt

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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6

u

?−ϕu

6i(t)

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t.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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6

ı

?−ϕi

ω

Bild 1. Wechselspannung mit sinusformigerZeitabhangigkeit, aufgetragen uber demWinkel ωt.

Bild 2. Wechselstrom mit sinusformigerZeitabhangigkeit, aufgetragen uber der Zeit t.

1


in Warme umgesetzt. Liegt der Widerstand an einer nach Gl. (1) sinusformig von der Zeit abhangigenSpannung u(t), so ist die im Widerstand umgesetzte Leistung eine Funktion der Zeit (Bild 3, Schal-terstellung A). Es gilt

p(t) =u2(t)

R=u2

Rcos2(ωt+ ϕu) (4)

oder

p(t) = i2(t)R = ı 2R cos2(ωt+ ϕi). (5)

Der lineare zeitliche Mittelwert der Leistung ist

p(t) :=1

T

t0+T∫

t0

p(t) d t =1

T

t0+T∫

t0

u2(t)

Rd t =

1

T

t0+T∫

t0

i2(t)R d t. (6)

Eine im zeitlichen Mittel gleich große Leistung wird in Schalterstellung B (Bild 3) in dem Widerstandin Warme umgesetzt, wenn die Gleichspannung U so eingestellt wird, dass mit Gl. (3) gilt

P = p(t). (7)

Der Betrag der Gleichspannung U fur den Gl. (7) erfullt ist, wird als als Effektivwert U der zeitlichperiodischen Spannung u(t) definiert. Die zugehorige Gleichstromstarke I wird als Effektivwert derzeitlich periodischen Stromstarke i(t) definiert. Durch Einsetzen von Gl. (3) auf der linken und Gl. (6)auf der rechten Seite von Gl. (7) folgt

U2

R=

1

T

t0+T∫

t0

u(t)2

Rd t also U =

√√√√√ 1

T

t0+T∫

t0

u2(t) d t. (8)

Der Effektivwert U ist somit der quadratische Mittelwert der Zeitfunktion u(t). Fur den hier be-trachteten Sonderfall der sinusformigen Zeitabhangigkeit von u(t) gilt mit Gl. (4)

U =

√√√√√ 1

T

t0+T∫

t0

u2 cos2(ωt+ ϕu) d t. (9)

Unter Verwendung der Identitat cos2(α) ≡ 12

(1 + cos(2α)

)ergibt sich der Effektivwert zu

U =

√√√√√ 1

T

t0+T∫

t0

u21 + cos

(2(ωt+ ϕu)

)

2d t =

√1

T

u2T

2, U =

u√2. (10)

i(t).................................................

.......................

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?∼u(t)

I..........................................

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?=U

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A

B

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R −→.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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6p(t)

-

t

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� T -

p(t) = P = U2

R

...........................................

..........................

6u2

2R

?6u2

2R

?

Bild 3. Definition des Effektivwertes U der Wechselspannung u(t) und des EffektivwertesI des Wechselstromes i(t) uber den zeitlichen Mittelwert der Leistung.

2


Das Verhaltnis des Scheitelwertes zum Effektivwert

ks :=u

U=√2 ≈ 1, 41 (11)

wird als Scheitelfaktor bezeichnet. Der Scheitelfaktor√2 nach Gl. (11) gilt nur fur sinusformige

Zeitabhangigkeit.

Aufgabe: Zeigen Sie ausgehend von Gl. (7), dass der Effektivwert einer nach Gl. (1) sinusformig von derZeit abhangigen Stromstarke gegeben ist durch

I =ı

ks=

ı√2≈ 0, 707 · ı. (12)

1.3 Messung von Wechselstromen und Wechselspannungen

Messinstrumente fur Wechselspannung bzw. Wechselstrom zeigen in der Regel Effektivwerte an. Alsechte Effektivwertmesser werden solche Messinstrumente bezeichnet, die aufgrund des verwendetenphysikalischen Prinzips oder mit Hilfe einer elektronischen Schaltung tatsachlich, wie durch Gl. (8)gefordert, den quadratischen Mittelwert der zu messendenWechselspannung u(t) bzw. des zu messendenWechselstromes i(t) bilden.

Ein einfacher echter Effektivwertmesser ist z.B. das Hitzdrahtinstrument. Die Zeigerauslenkungwird dabei durch die Warmeausdehnung eines stromdurchflossenen Drahtes hervorgerufen und istsomit unmittelbar ein Maß fur die in dem Draht (ohmscher Widerstand) umgesetzte Leistung. Einechter Effektivwertmesser ist auch das Dreheisenmesswerk , bei dem der Zeigerausschlag aufgrund desphysikalischen Prinzips vom Quadrat der Stromstarke abhangt. Die zeitliche Mittelwertbildung erfolgtdabei durch das mechanische Tragheitsmoment von Messwerk und Zeiger.

Das in analogen Zeigerinstrumenten am haufigsten verwendete Messwerk ist das lineare Drehspul-messwerk bei dem der Zeigerausschlag der Stromstarke proportional ist. In Wechselspannungs– bzw.Wechselstrom–Messbereichen wird dem Messwerk ein Bruckengleichrichter vorgeschaltet. Durch dasMesswerk fließt dann der Strom

iM(t) = |i(t)| = ı |cos(ωt+ ϕi)|. (13)

Aufgrund der mechanischen Tragheit des Messwerkes stellt sich (fur nicht zu kleine Frequenzen) eindem linearen zeitlichen Mittelwert des Messstromes

iM(t) = |i(t)| = 1

T

t0+T∫

t0

ı |cos(ωt+ ϕi)| d t (14)

proportionaler Zeigerausschlag ein. Der Wert |i(t)| wird als Gleichrichtwert des Wechselstromes i(t)bezeichnet. Mit Hilfe der Substitution φ = ωt + ϕi und mit t0 = −π+ϕi

ω sowie unter Ausnutzung derSymmetrieeigenschaften der Kosinusfunktion, berechnet sich der Gleichrichtwert zu

|i(t)| = ı

2π

π∫

−π

|cos(φ)| dφ =4ı

2π

π/2∫

0

cos(φ) dφ =4ı

2πsin(

π

2) =

2

πı. (15)

Der Quotient aus Effektivwert I und Gleichrichtwert |i(t)| ist der Formfaktor

kf :=I

|i(t)|. (16)

3


Fur den hier betrachteten Sonderfall sinusformiger Zeitabhangigkeit gilt mit Gl. (16) und (11)

kf =I

|i(t)|=I

ı

ı

|i(t)|=

1

ks

π

2=

1√2

π

2=

π

2√2≈ 1, 11 (17)

Der Formfaktor kf ≈ 1, 11 ist in den fur Wechselspannung bzw. Wechselstrom gultigen Skalen vonanalogen Zeigerinstrumenten mit Drehspulmesswerk bereits berucksichtigt, so dass unmittelbar derEffektivwert abgelesen werden kann. Der verwendete Formfaktor gilt jedoch nur fur sinusformigeZeitabhangigkeit. Bei anderen Zeitabhangigkeiten ist die Anzeige solcher Messinstrumente unzutref-fend.

Auch elektronische Messgerate sind, unabhangig davon ob sie mit Digital– oder Analoganzeige aus-gestattet sind, in der Regel keine echten Effektivwertmesser. Anderfalls sind sie ausdrucklich z.B. mit“true rms” (fur true root mean squared) als solche gekennzeichnet. In diesem Fall wird entweder mitHilfe einer elektronischen Schaltung eine analoge Quadrierung des Messtromes vorgenommen oder dieMessgroße mit hoher Abtastrate zunachst digitalisiert und dann numerisch der quadratische Mittelw-ert gebildet.

1.4 Komplexe Zeitfunktion und komplexer Scheitelwertzeiger

Einer Wechselspannung mit sinusformiger Zeitabhangigkeit nach Gl. (1) wird durch

u(t) := u cos(ωt+ ϕu) + j u sin(ωt + ϕu) = u e j(ωt+ϕu) (18)

eine komplexe Zeitfunktion u(t) zugeordnet. Der Realteil der komplexen Zeitfunktion u(t) stimmt mitder reellen Zeitfunktion

u(t) = Re{u(t)} = u cos(ωt+ ϕu) (19)

6j Im{u }

-Re{u }

uu(t)

ϕu

�

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ωt*

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-u(t)

?ωt

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........

........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........

−ϕu

2π − ϕu

Bild 4. Graphische Darstellung deskomplexen Scheitelwertzeigers u und derOrtskurve der komplexen Zeitfunktionu(t) (gestrichelt) fur die Wechselspannungnach Bild 1. Zu gegebenem ωt ergibtsich der Wert der reellen Zeitfunktion u(t)durch Projektion der komplexen Zeitfunk-tion u(t) auf die reelle Achse.

4


nach Gl. (1) uberein. Der Imaginarteil der komplexen Zeitfunktion hat keine physikalische Bedeutung.Die komplexe Zeitfunktion nach Gl. (18) ist wegen

u(t) = u e j(ωt+ϕu) = u e jϕu · e jωt (20)

eindeutig beschrieben durch die beiden Parameter

(i) komplexer Scheitelwertzeiger

u := u e jϕu (21)

und

(ii) Kreisfrequenz ω =2π

T.

Der komplexe Scheitelwertzeiger u ist eine zeitunabhangige Große. Sein Betrag stimmt mit demScheitelwert u und sein Argument ϕu mit dem Nullphasenwinkel der reellen Zeitfunktion u(t) uberein(Bild 4):

|u | = u und arg u = ϕu. (22)

Die in Gl. (20) auftretende Multiplikation des komplexen Zeigers u mit dem Faktor e jωt stellt sichin der komplexen Ebene (Bild 4) als Drehung des Zeigers u um den Winkel ωt im mathematischpositiven Sinne dar. Die komplexe Zeitfunktion u(t) entspricht somit einem Drehzeiger, der sichmit der Kreisfrequenz ω um den Ursprung der komplexen Ebene dreht. Die reelle Zeitfunktion u(t)entspricht der Projektion dieses Drehzeigers auf die reelle Achse.

Analog wird fur einen durch Gl. (2) beschriebenen Wechselstrom eine komplexe Zeitfunktion durch

i(t) = ı cos(ωt+ ϕi) + j ı sin(ωt + ϕi) = ı e j(ωt+ϕi) (23)

eingefuhrt. Der komplexe Scheitelwertzeiger der Stromstarke ist

ı := ı e jϕi . (24)

Die zugehorige reelle Zeitfunktion ergibt sich aus dem komplexen Scheitelwertzeiger ı bei bekannterKreisfrequenz ω, analog zu Gl. (19), durch Realteilbildung zu

i(t) = Re{ı e jωt}. (25)

Neben den komplexen Scheitelwertzeigern werden in der Praxis auch die komplexen Effektivwertzeiger

U :=u√2

und I :=ı√2. (26)

verwendet. Sie unterscheiden sich lediglich im Betrag (um den Kehrwert des Scheitelfaktors) von denScheitelwertzeigern.

1.5 Impedanz und Admittanz von Zweipolen

1.5.1 Definition der Begriffe Impedanz und Admittanz

Gleichspannung und Gleichstrom an einem ohmschen Widerstand sind durch das ohmsche Gesetzin der Form U = RI durch einen Proportionalitatsfaktor (den Widerstand R) verknupft. Eineanaloge Beschreibung kann unter Verwendung der komplexen Zeiger u und ı fur Wechselspannungenund Wechselstrome sinusformiger Zeitabhangigkeit an einem allgemeinen linearen passiven Zweipol(Eintor) nach Bild 5 angegeben werden. Ein solcher Zweipol darf in seinem Inneren beliebig vieleWiderstande Ri (i = 1, 2 . . . ), Induktivitaten Lj (j = 1, 2 . . . ) und Kapazitaten Ck (k = 1, 2 . . . )

5


enthalten. Liegt an einem der genannten Netzwerkelemente eine Spannung u(t) mit sinusformigerZeitabhangigkeit, so fließt, wie in den folgenden Abschnitten noch gezeigt wird, ein Strom, der eben-falls eine sinusformige Zeitabhangigkeit hat. Alle auftretenden Spannungen und Strome sind dahervon der Form der Gleichungen (1) und (2) und konnen durch komplexe Zeitfunktionen oder durchkomplexe Scheitelwertzeiger beschrieben werden.

Liegt an den Klemmen des Zweipols in Bild 5 eine durch den komplexen Spannungszeiger

u = u e jϕu (27)

beschriebene Wechselspannung, so fließt durch den Zweipol ein Wechselstrom, der durch den kom-plexen Stromzeiger

ı = ı e jϕi (28)

beschrieben werden kann. Der Zusammenhang zwischen dem komplexen Spannungszeiger u unddem komplexen Stromzeiger ı ist durch die Eigenschaften des Zweipols gegeben und wird durch einekomplexe Große, die Impedanz

Z :=u

ı=u e jϕu

ı e jϕi=u

ıe j(ϕu−ϕi) = |Z| e jϕ = Z e jϕ (29)

beschrieben. Der Betrag der Impedanz (Scheinwiderstand)

Z = |Z| = | uı| = u

ı(30)

ist gleich dem Quotienten der Scheitelwerte von Spannung und Strom. Der Phasenwinkel

ϕ := ϕu − ϕi (31)

ist die Differenz der Nullphasenwinkel von Spannung und Strom. Die Zerlegung der Impedanz inReal– und Imaginarteil

Z = Re{Z}+ j Im{Z} = R+ jX (32)

definiert die Resistanz R (Wirkwiderstand) und die Reaktanz X (Blindwiderstand).

Der Kehrwert der Impedanz ist die Admittanz

Y :=ı

u=

ı e jϕi

u e jϕu=ı

ue j(ϕi−ϕu) = |Y | e jψ = Y e jψ . (33)

Der Betrag der Admittanz (Scheinleitwert)

Y = |Y | = | ıu| = ı

u=

1

Z(34)

i(t)..................

..................

.......................

.......................................................................................................................◦?

u(t)

.......................................................................................................................◦. . . ◦

Ri

◦. . .

. . . ◦Lj

◦. . .

. . . ◦Ck

◦. . .

Bild 5. Linearer passiver Zweipol.

6


ist der Kehrwert des Betrages der Impedanz und

ψ := ϕi − ϕu = −ϕ (35)

ist gleich dem negativen Phasenwinkel nach Gl. (31). Die Zerlegung der Admittanz nach Real– undImaginarteil

Y = Re{Y }+ j Im{Y} = G+ jB (36)

definiert die Konduktanz G (Wirkleitwert) und die Suszeptanz B (Blindleitwert).

Durch Einfuhrung der Begriffe Impedanz und Admittanz wird eine komplexe Verallgemeinerung desohmschen Gesetzes moglich. Bei linearen passiven Zweipolen besteht zwischen dem komplexen Span-nungszeiger und dem komplexen Stromzeiger der Zusammenhang

u = ı Z = ı |Z| e jϕ (37)bzw.

ı = u Y = u |Y | e jψ . (38)

1.5.2 Die Impedanz des ohmschen Widerstandes

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............................................................................................... ◦ ............................................................................................................................................................................................

R............................................................................................................................................................................................ ◦ ...............................................................................................

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..........................................

.......................

i(t)

��

?∼u(t)

Bild 6. Stromkreis mit ohmschemWiderstand.

Ein Widerstand R wird nach Bild 6 an eine Spannungsquelle angeschlossen, die durch die komplexeZeitfunktion

u(t) = u e jωt = u e jϕu · e jωt (39)

beschrieben wird. Die reelle Zeitfunktion der Urspannung ist dann

u(t) = Re{u(t)} = u cos(ωt+ ϕu). (40)

Durch den Widerstand R fließt der Strom der Stromstarke

i(t) = Re{i(t)} = Re{ı e jωt} = Re{ı e jϕi e jωt}. (41)

Das ohmsche Gesetz besagt

i(t) =u(t)

R=

Re{u(t)}R

= Re{u(t)R} = Re{ u

Re jωt} = Re{ u

Re jϕu e jωt}. (42)

Da die rechten Seiten von Gl. (41) und (42) fur jeden Zeitpunkt t ubereinstimmen mussen, folgt durchVergleich

i(t) =u(t)

Rsowie ı =

u

R, d.h. ı =

u

Rund ϕi = ϕu. (43)

7


(a)

6u(t), i(t)

-t

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................

u(t)HH

i(t)

��.

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−ϕu

ω=−ϕi

ω

(b)

6j Im{u , ı }

-Re{u , ı }

....................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

u

ı

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..................................

ϕu = ϕi

Y

(c)

6j Im{Z}

-Re{Z}

............................................................................................................................................... ......................ZR = R

ϕ=ϕu−ϕi=0

��

Bild 7. Ohmscher Widerstand: (a) Zeitfunktionen von Strom und Spannung, (b)zugehorige komplexe Scheitelwertzeiger, (c) Impedanz des ohmschen Widerstandes.

Das ohmsche Gesetz gilt also formal unverandert auch fur die komplexen Zeitfunktionen u(t) und i(t)und ebenso fur die komplexen Scheitelwertzeiger u und ı . Folglich ist die Impedanz des ohmschenWiderstandes

ZR :=u

ı=u e jϕu

ı e jϕi=u

ı= R (44)

gleich dem Betrag des Widerstandes. Bild 7a zeigt die Zeitfunktionen von Strom und Spannung aneinem ohmschen Widerstand. Der Phasenwinkel ϕ = ϕu−ϕi ist gleich null. Die Zeiger u und ı zeigenin der komplexen Ebene in die gleiche Richtung (Bild 7b). Der Zeiger ZR = R = Re{ZR} liegt aufder reellen Achse der komplexen Z–Ebene (Bild 7c).

1.5.3 Die Impedanz einer Spule

Andert sich der magnetische Fluß Φ durch eine Flache A pro Zeitintervall ∆t um ∆Φ, so wird in einemLeiter, der die Flache A berandet, die Spannung

u = lim∆t→0

−∆Φ(t)

∆t= − d

dtΦ(t) (45)

induziert.

Betrachtet wird eine Spule aus w Windungen eines als widerstandslos angenommenen Drahtes, die umeinen kreisformigen Eisenkern mit der Permeabilitat µ = µ0µr mit µr ≫ 1 gewickelt ist (Bild 8a). Wenndie Wicklung eng genug gewickelt und gleichmaßig auf den ganzen Umfang des ringformigen Kernsverteilt ist, ist die von dem Strom hervorgerufene magnetische Erregung von der Umfangskoordinateunabhangig. Entlang eines Kreises der Lange ℓ (in Bild 8a gestrichelt) ist die magnetische Erregung~H = Hα~eα rein azimuthal gerichtet mit

Hα(t) =w i(t)

ℓ. (46)

Der magnetische Fluss durch den Querschnitt A des Eisenkerns berechnet sich daraus (mit einemgeeigneten Mittelwert fur ℓ) zu

Φ(t) = µ0µrAHα(t) =µ0µrwA

ℓi(t). (47)

8


.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.....................

..........................

.............

.............

.............

.............

.............

.............

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.......................... .............

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......

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.............

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.............

HHHℓ

HHA

HHµ0µr

~H = Hα~eα....................................................................................................................

w∫ ∫ ∫ ∫ ∫

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◦ �u(t)

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i(t)

i(t).................................................

.......................◦.................................................................................................................................

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L

?

u(t)

◦........................................................................................................................................................................................................................

(a)

(b)

Bild 8. (a) Spule mit Eisenkern;(b) Schaltzeichen einer Spule.

Unter Beachtung des in Bild 8 eingezeichneten Spannungsbezugspfeils folgt fur die Klemmenspannung

u(t) = wd

dtΦ(t) =

µ0µrw2A

ℓ

d

dti(t). (48)

Definiert wird ein Netzwerkelement Spule mit dem Schaltzeichen nach Bild 8b. Die Spannung an denKlemmen der Spule L ist

u(t) = Ld

dti(t). (49)

Sie ist proportional zur Ableitung der Stromstarke nach der Zeit. Die Proportionalitatskonstante istdie Induktivitat L. Nach Gl. (48) hangt die Induktivitat

L =µ0µrw

2A

ℓ(50)

nur vom Aufbau des magnetischen Kreises ab. Um die Impedanz der Spule zu bestimmen, wird diese

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............................................................................................... ◦ ............................................................................................................................................................................................

L?

u(t)...................................................................................................................................................................................... ◦ ...............................................................................................

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��

6i(t)Bild 9. Spule an einerStromquelle.

nach Bild 9 an eine Stromquelle mit

i(t) = Re{i(t)} = Re{ı e jωt} (51)

9


angeschlossen. Mit Gl. (49) folgt

u(t) = Ld

dti(t) = L

d

dtRe{i(t)} = Re{L d

dtı e jωt} = Re{ jωL ı e jωt}. (52)

Es zeigt sich, dass u(t) mit

u = jωL ı (53)

wieder in der Form

u(t) = Re{u e jωt} (54)

geschrieben werden kann, also sinusformige Zeitabhangigkeit aufweist. Die Impedanz der Spule ergibtsich aus Gl. (53) zu

ZL =u

ı=u

ıe j(ϕu−ϕi) = jωL. (55)

Unter Beachtung der Identitat j ≡ e jπ/2 kann Gl. (55) fur den Phasenwinkel ϕL das Ergebnis

ϕL = ϕu − ϕi =π

2(56)

entnommen werden. Die Spannung uber der Spule eilt der Stromstarke, wie in Bild 10a dargestellt,zeitlich um 90◦ voraus. In der komplexen Ebene ist der Spannungszeiger um 90◦ im mathematischpositiven Sinne gegenuber dem Stromzeiger gedreht (Bild 10b). Der Impedanz

ZL = jωL = j Im{ZL} = jXL (57)

liegt folglich auf der positiven imaginaren Achse der Z–Ebene (Bild 10c). Die Reaktanz der SpuleXL = ωL ist positiv.

(a)

6u, i

-ωt

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

u(t)

i(t)

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−ϕu −ϕi

�-π2

(b)

6j Im{u , ı }

-Re{u , ı }

....................................................................................................................................................................................

u

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.................................

ϕu

Y

................................................................................................................... ......................

ı

�ϕi..............................

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...........

•

(c)

6j Im{Z}

-Re{Z}

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

...............................

...................... Z = jωL

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.........................�• ϕL = π

2

Bild 10. Spule: (a) Zeitfunktionen von Stromstarke und Spannung, (b) zugehorige kom-plexe Scheitelwertzeiger, (c) Impedanz der Spule.

1.5.4 Die Impedanz eines Kondensators

Zwischen der Ladung Q auf den Elektroden und der Spannung u zwischen den Elektroden einesPlattenkondensators nach Bild 11a besteht die Beziehung

Q =ǫ0ǫrA

dU = CU. (58)

10


◦

◦

+Q(t)

−Q(t)

?

u(t)

i(t)...................................................

..........................

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�� 6

?dA

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AAAǫ0ǫr? ? ? ? ? ? ? ??

???????

~E(t)

i(t).................................................

.......................◦.................................................................................................................................

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C

?

u(t)

◦........................................................................................................................................................................................................................

(a) (b)

Bild 11. (a) Plattenkondensator; (b) Schaltzeichen des Kondensators.

C bezeichnet die Kapazitat der Anordnung.

Die Ladung auf den Elektroden kann sich nur andern, wenn uber einen Draht den Elektroden Ladungzugefuhrt oder von ihnen abgefuhrt wird. Ladung und Stromstarke hangen daher gemaß

i(t) = lim∆t→0

∆Q

∆t=

d

dtQ(t) (59)

zusammen. Mit Gl. (58) folgt

i(t) =d

dtCu(t) = C

d

dtu(t), (60)

d.h. die Stromstarke i(t) ist proportional zur zeitlichen Ableitung der Spannung u(t).

Es wird ein Netzwerkelement Kondensator definiert, in dem der Zusammenhang zwischen Stromstarkeund Spannung durch Gl. (60) beschrieben wird, mit dem Schaltzeichen nach Bild 11b.

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............................................................................................... ◦ ............................................................................................................................................................................................

C............................................................................................................................................................................................ ◦ ...............................................................................................

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..........................................

.......................

i(t)

��

?∼u(t)

Bild 12. Kondensator an einer Span-nungsquelle.

Wird nach Bild 12 ein Kondensator der Kapazitat C an eine Urspannungsquelle mit der Zeitfunktion

u(t) = Re{u(t)} = Re{u e jωt} = Re{u e jϕu e jωt} (61)

angeschlossen, so fließt nach Gl. (60) ein Strom der Starke

i(t) = Cd

dtRe{u e jωt} = Re{C d

dtu e jωt} = Re{ jωCu e jωt}. (62)

11


Das Ergebnis kann mit

ı = jωCu (63)

wieder in der Form

i(t) = Re{ı e jωt} (64)

angegeben werden. Der Strom weist also wieder eine sinusformige Zeitabhangigkeit auf. Die Impedanzdes Kondensators ergibt sich mit Gl. (63) zu

ZC =u

ı=u

ıe j(ϕu−ϕi) =

1

jωC. (65)

Mit1

j≡ e− jπ/2 folgt fur den Phasenwinkel

ϕC = ϕu − ϕi = −π

2. (66)

Die Spannung an einem Kondensator eilt der Stromstarke zeitlich um 90◦ nach (Bild 13a). Derkomplexe Spannungszeiger u ist um −90◦ gegenuber dem komplexen Stromzeiger ı gedreht (Bild13b). In der komplexen Z–Ebene liegt die Impedanz

ZC = − j1

ωC= j Im{ZC} = jXC (67)

folglich auf der negativen imaginaren Achse (Bild 13c). Die Reaktanz des Kondensators XC = − 1

ωCist negativ.

(a)

6u, i

-ωt

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

u(t)

i(t)

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−ϕi −ϕu

�-π2

(b)

6j Im{u , ı }

-Re{u , ı }

....................................................................................................................................................................................

u

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.................................

ϕu

Y

........................................................

.................................................................................ı

�ϕi

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...............................................

............

...............

.........................................

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. •

(c)

6j Im{Z}

-Re{Z}

..................................................................................................................................................................... Z

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.........................

•�ϕC = −π2

Bild 13. Kondensator: (a) Zeitfunktionen von Strom und Spannung,(b) zugehorige komplexe Scheitelwertzeiger, (c) Impedanz des Konden-sators.

1.5.5 Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Spule

Bild 14 zeigt die Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes R und einer Spule der Induktivitat Lan einer Spannungsquelle mit sinusformig von der Zeit abhangiger Spannung u(t). Die Impedanz derReihenschaltung soll bestimmt werden.

12


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............................................................................................... ◦ .............................................................................................................................................................

R?

uR(t)

L?

uL(t)............................................................................................................................................................................................................................ ◦ ...............................................................................................

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..........................................

.......................

i(t)

��

?∼u(t)

Bild 14. Reihenschaltungeines ohmschen Widerstandes undeiner Spule an einer Wechselspan-nungsquelle.

Die Maschenregel der elektrischen Netzwerke sagt aus, dass in einer Masche die Summe aller Span-nungen u1(t), u2(t), . . . , un(t) in jedem Zeitpunkt gleich null ist, d.h.

0 =n∑

k=1

uk(t) =n∑

k=1

Re{uk(t)} =n∑

k=1

Re{u k e jωt} = Re{e jωtn∑

k=1

u k}. (68)

Die rechte Seite der Gl. (68) kann nur dann fur alle Zeitpunkte t verschwinden, wenn auch

n∑

k=1

u k = 0 (69)

gilt. Die Maschenregel kann daher unmittelbar fur die komplexen Scheitelwertzeiger u k oder auch furdie komplexen Zeitfunktionen uk(t) ausgewertet werden. Fur die in Bild 14 dargestellte Masche gilt

u(t)−R i(t)− L d

dti(t) = 0 (70)

bzw.

u − (R+ jωL) ı = 0. (71)

Die Impedanz der Reihenschaltung von R und L nach Bild 14 ergibt sich aus Gl. (71) zu

ZR,L =u

ı= R+ jωL, (72)

d.h. als Summe der Impedanzen von R und L. Die Zerlegung der Impedanz ZR,L nach Betrag undPhasenwinkel liefert

|ZR,L| =√R2 + ω2L2 und ϕR,L = ϕu − ϕi = arctan

ωL

R. (73)

Die Zeigerdiagramme fur Spannungen und Strome sind in Bild 15a angegeben und die Impedanzen inBild 15b in der komplexen Großenebene dargestellt.

1.5.6 Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und eines Kondensators

Die Parallelschaltung eines Widerstandes R und eines Kondensators der Kapazitat C wird an eineSpannungsquelle mit sinusformiger Zeitabhangigkeit angeschlossen (Bild 16).

Die Knotenregel der elektrischen Netzwerke sagt aus, dass die Summe aller Strome i1(t), i2(t), . . . , in(t),die in einen Knoten hineinfließen, zu jedem Zeitpunkt gleich Null ist. Fur die zugehorigen komplexenStromzeiger bzw. fur die komplexen Zeitfunktionen muß daher gelten

n∑

k=1

ı k(t) = 0 bzw.n∑

k=1

ik(t) = 0 (74)

13


(a)

6j Im{u , ı }

-Re{u , ı }

................................................................................

................................................................................

................................................................................

............................... ......................ı

ϕi

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K

................................................................................

................................................................................

........................................ ......................uR

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..................................................................................................................................................................................................................................................................

uL = jXL ı

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

...

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................................... •..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

u = ZR,L ı

ϕu

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...............Y

(b)

6j Im{Z}

-Re{Z}

...................................................................................................................................................................................................................................... ....................................

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

.................................

......................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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...............................................................................................................

R

jωL

ZR,L = R+ jωL

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ϕR,LI

Bild 15. Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Spule: (a) Zeigerdia-gramm fur Strom- und Spannung, (b) Impedanz in der komplexen Großenebene.

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A..........................................

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iR(t)

R =1

G

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C

iC(t)

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..............................................................................................................................................................................................

..........................................

.......................

i(t)

��

?∼u(t)

Bild 16. Parallelschaltung eines Wider-standes und eines Kondensators an einerWechselspannungsquelle.

(Herleitung analog zu Gl. (68)). Fur den Knoten A in Bild 16 besagt die Knotenregel

i(t)− iR(t)− iC(t) = 0. (75)

Mit Gl. (42) und (60) folgt

i(t)− u(t)

R− C d

dtu(t) = 0. (76)

Da fur den in u(t) auftretenden Zeitfaktor e jωt die Bildung der zeitlichen Ableitung einer Multiplikationmit jω entspricht, kann mit G := 1

R anstelle von Gl. (76) geschrieben werden

i(t)−Gu(t)− jωCu(t) = ı e jϕi e jωt−(G + jωC) u e jϕu e jωt = 0. (77)

Nach Division durch e jωt bleibt

ı − (G+ jωC)u = 0. (78)

Daraus ergibt sich die Admittanz der Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und eines Kon-densators zu

Y G,C =ı

u= G+ jωC = G+ jBC, (79)

d.h. als Summe der Admittanzen des Leitwertes G = 1R und eines Kondensators der Kapazitat C. Die

Zeigerdiagramme fur Strome und Spannung sowie die Admittanz der Parallelschaltung vonWiderstandund Kondensator sind in den Bildern 17a,b dargestellt.

14


(a)

6j Im{u , ı }

-Re{u , ı }

................................................................................

................................................................................

................................................................................

............................... ......................u

ϕu

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K

................................................................................

................................................................................

........................................ ......................ıR

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..................................................................................................................................................................................................................................................................

ıC = jBC u

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

...

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................................... •..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ı = Y G,C u

ϕi

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...............Y

(b)

6j Im{Y}

-Re{Y }

...................................................................................................................................................................................................................................... ....................................

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

.................................

......................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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...............................................................................................................

G = 1R

jωC

Y G,C = G+ jωC

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ϕG,CI

Bild 17. Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und eines Kondensators: (a)Zeigerdiagramm fur Strom- und Spannung, (b) Admittanz in der komplexen Großenebene.

1.6 Reale Netzwerkelemente

Reale Spulen und Kondensatoren sind stets mit Verlusten behaftet. Fur die rechnerische Behand-lung von Schaltungen ist es zweckmaßig, fur verlustbehaftete Bauelemente Reihen– bzw. Parallel–Ersatzschaltbilder anzugeben, in denen neben idealen (verlustfreien) Bauelementen ohmscheWiderstandeenthalten sind, die die Verluste beschreiben.

Fur die verlustbehaftete Spule werden das Reihen– und das Parallel–Ersatzschaltbild nach Bild 18a,bverwendet. Fur die Reihenschaltung von Impedanzen bzw. die Parallelschaltung von Admittanzen gilt,wie Gl. (79) bzw. Gl. (72) bereits erkennen ließen, aufgrund der Maschenregel bzw. der Knotenregel

(a) Die Gesamtimpedanz Z einer Reihenschaltung vonn Impedanzen Z1, . . . , Zn ist die Summe der Einze-limpedanzen: Z =

n∑

k=1

Zk. (80)

(b) Die Gesamtadmittanz Y einer Parallelschaltung von nAdmittanzen Y 1, . . . , Y n ist die Summe der Einzelad-mittanzen: Y =

n∑

k=1

Y k. (81)

Unter Verwendung dieser Regeln ergeben sich fur die beiden alternativen Ersatzschaltbilder nach Bild18 die Impedanzen

Zr = RLr + jωLr, bzw. Zp =RLp jωLp

RLp + jωLp. (82)

Nach Zwischenrechnung ergibt sich aus der Bedingung Zr = Zp

RLr =RLp ω

2L2p

R2Lp + ω2L2

p

und Lr =R2

Lp Lp

R2Lp + ω2L2

p

. (83)

Beide Ersatzschaltbilder konnen herangezogen werden, um den Verlustfaktor einer verlustbehaftetenInduktivitat

tan δL :=RLr

ωLr=ωLp

RLp(84)

15


(a)

◦

RLr

Lr

◦

6j Im{Z}

-Re{Z}

................................................................................................................................. ....................................

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

................................

......................

............................................................................................................................................................................................................................................................

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...........................................................

RLr

jωLr

Zr

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...........................

Iϕ

δL

(b)

◦................................

•...............................................................................................................................................................

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Lp RLp

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•◦

6j Im{Y}

-Re{Y }

................................................................................................................................. ....................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................

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...........................................................

GLp = 1RLp

− j

ωLp

Y p

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............

...........................

ψ

δL

Bild 18. (a) Reihen– und (b) Parallel–Ersatzschaltbild einer verlustbehaftetenSpule.

zu berechnen. Er ist ein Maß fur die Verluste der Spule. Unter Verwendung des durch Gl. (84)definierten Verlustfaktors kann Gl. (83) in der Form

RLr =ωLp tan δL1 + tan2 δL

, Lr =Lp

1 + tan2 δL(85)

geschrieben werden. Analog konnen das in Bild 19 dargestellte Reihen– und Parallel–Ersatzschaltbildfur den verlustbehafteten Kondensator ausgewertet werden. Der Verlustfaktor eines verlustbehaftetenKondensators wird definiert durch

tan δC := ωCrRCr =GCp

ωCp(86)

und es gelten die Umrechnungsbeziehungen

RCr =tan δC

ωCp(1 + tan2 δC), und Cr = Cp

(1 + tan2 δC

). (87)

(a)

◦

RCr

Cr

◦

6j Im{Z}

-Re{Z}

................................................................................................................................. ....................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................

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...........................................................

RCr

− jωCr

Zr

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...........................

ϕ

δC

(b)

◦................................

•...............................................................................................................................................................

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Cp GCp

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•◦

6j Im{Y}

-Re{Y }

................................................................................................................................. ....................................

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

................................

......................

............................................................................................................................................................................................................................................................

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...........................................................

GCp

jωCp

Y p

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............

...........................

Iψ

δC

Bild 19. (a) Reihen– und (b) Parallel–Ersatzschaltbild eines verlustbehaftetenKondensators.

1.7 Messung von Impedanzen mit drei Spannungsmessern

Zu einem unbekannten Zweipol, dessen Impedanz Z bestimmt werden soll, wird nach Bild 20 einohmscher Widerstand R in Reihe geschaltet. Mit drei Spannungsmessern konnen der Effektivwert

16


u(t)

?

◦......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................•

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��տ U..............................................................................................•

uZ(t)?

•

Z

•

R

•

uR(t)?

��տ UZ

..............................................................................................................................•

��տ UR

◦......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

6j Im{U }

-Re{U }

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........................................................................................................................................................................................................ ......................

U R

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................U

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................U Z

ϕ

Y

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......................................................

Bild 20. Schaltung zur Drei—Spannungsmesser–Methode.

Bild 21. Zeigerdiagrammder Spannungen fur eine induktiveImpedanz Z.

U der Gesamtspannung u(t) und die Effektivwerte UZ und UR der Teilspannungen uZ(t) und uR(t)gemessen werden. Wenn bekannt ist, ob der Zweipol induktiv oder kapazitiv ist, kann aus den dreiMeßwerten ein Zeigerbild, zweckmaßigerweise fur die zugehorigen komplexen Effektivwertzeiger U ,U Z

und U R, konstruiert werden. Bild 21 zeigt ein Beispiel fur eine induktive Impedanz Z.

Rechnerisch ergibt sich bei bekanntem ohmschem Widerstand R fur den Betrag der unbekanntenImpedanz Z der Wert

Z = |Z| = RUZUR

(88)

und fur den Betrag des Phasenwinkels mit Hilfe des Kosinussatzes

|ϕ| = | arccos(U2 − U2

R − U2Z

2URUZ

)|. (89)

1.8 Zusammengesetzte Schwingungen (Lissajous–Figuren)

Betrachtet werden zwei phasenverschobene Wechselspannungen

ux(t) = ux cos(ωt+ ϕux), (90)

uy(t) = uy cos(ωt+ ϕuy) (91)

gleicher Kreisfrequenz ω = 2πf = 2πT . Wird zu jedem Zeitpunkt t auf der x–Achse eines kartesischen

Koordinatensystems eine zur Spannung ux(t) proportionale Lange

x(t) := kxux(t) = kxux cos(ωt+ ϕux) (92)

und auf der y–Achse eine zu uy(t) proportionale Lange

y(t) := kyuy(t) = kyuy cos(ωt+ ϕuy) (93)

abgetragen, so beschreibt die dadurch festgelegte Punktmenge(x(t), y(t)

)eine Ellipse. Die Konstruk-

tion der Ellipse ist in Bild 22 angedeutet.

Es lasst sich auch analytisch zeigen, dass das Gleichungssystem (92, 93) die Parameterdarstellung einerEllipse ist. Das Hauptachsenverhaltnis a : b der Ellipse (Bild 23) hangt von der Phasenverschiebungϕyx = ϕy − ϕx ab. Der Winkel α hangt außer von der Phasenverschiebung auch von den Amplitudenx = kxux und y = kyuy ab.

17


6

y

- x

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................

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t = 0

t = T/4

t = T/2

�t

6

y(t) = kyuy(t)

−T/4 0 T/4 T/2 3T/4

- t

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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ty = −ϕy

ω

T/2

−T/4

0

T/4

3T/4

?t

- x(t) = kxux(t)

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................ tx = −ϕx

ω

Bild 22. Grafische Konstruktionder Ellipse (Lissajous–Figur).

18


6y

-x

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.←−−−−−−−−−−− 2A −−−−−−−−−−−→

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.←−−−−−−−−−−−−−−− 2x −−−−−−−−−−−−−−−→

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................↑||||2y

||||↓ .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................↑|||

2B|||↓

K α......................................

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

.............

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.................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........

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2a

2b

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.................................. •

.........................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................

......................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................................

Bild 23. Zur Bestimmungdes Phasenwinkels ϕyx herange-zogene geometrische Großen furdie Ellipse nach Gl. (92, 93).

Die Phasenverschiebung ϕyx = ϕy −ϕx zwischen y(t) und x(t) kann aus der Darstellung nach Bild 23dem Betrage nach wie folgt bestimmt werden:

1. Fur den Sonderfall x = y, d.h. kxux = kyuy ergibt sie sich aus dem Verhaltnis der Hauptachsenzu

|ϕyx| = |ϕy − ϕx| = |2 arctan(2a

2b

)|. (94)

2. Im allgemeinen Fall gilt

|ϕyx| = |ϕy − ϕx| = | arcsin(2B

2y

)| = | arcsin

(2A

2x

)|. (95)

Fur die Sonderfalle ϕyx = 0 und ϕyx = ±π entartet die Ellipse zu einer Geraden. Sie entartet zueinem Kreis, wenn ϕyx = ±π/2 und x = y ist (Bild 24).

ϕyx = 0◦..........................................................................................................................................................................................................

ϕyx = 45◦

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ϕyx = 90◦

..............

..................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ϕyx = 180◦

..........................................................................................................................................................................................................

Bild 24. Lissajous–Figuren zweier Wechselspannungen gleicher Frequenz fur aus-gewahlte Phasenwinkel ϕyx. Die Darstellung gilt bei Einstellung gleicher Amplitudenx = kxux = y = kyuy .

19


2 Versuchsdurchfuhrung

Der Versuch wird mittels ELVIS -Funktionsgenerator, -Oszilloskop und -Adapter durchgefuhrt. Einekurze Einfuhrung in ELVIS bietet folgender Link an:http://www.ate.uni-duisburg-essen.de/data/dokumente/praktikum/ELVIS/ELVIS Einfuhrung.pdf

Vor dem Aufbau der Schaltung ist das ELVIS Prototyping Board auszuschalten!Schalter: Prototyping Board Power ”OFF”Erst nach Abnahme der Schaltung durch den Versuchsbetreuer ist das Board einzuschalten!Schalter: Prototyping Board Power ”ON”

2.1 Messung von Wechselspannungen mit dem Oszilloskop

Der ELVIs-Funktionsgenerator liefert die Spannung u1(t) mit der in Bild 25 skizzierten periodischenZeitabhangigkeit. Bestimmen Sie den Effektivwert U1 und den linearen zeitlichen Mittelwert u1(t).Ermitteln Sie Periodendauer und die Frequenz der Spannung aus dem Oszillogramm.

6u1(t)

-t

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................

↑|u1|↓

←−−−−−−−−− T1 −−−−−−−−−→

(a)

T1 =

f1 =

u1 =

U1 =

u1(t) =

Bild 25. Zeitabhangige Spannung.

2.2 Bestimmung einer unbekannten Impedanz

Die unbekannte Impedanz Z eines vorgegebenen Zweipols soll unter Verwendung der Schaltung nachBild 26 (bei bekanntem ohmschem Widerstand R) mit verschiedenen Methoden nach Betrag undPhasenwinkel bestimmt werden.

2.2.1 Bestimmung der Zeitfunktionen von Spannungen und Stromstarke

Als Signalquelle dient die LabVIEW-Anwendung ATE-Generator, die ein sinusformiges Signal mitder Amplitude u(t) = 1V und f = 100Hz bereitstellen soll. Vor der eigentlichen Messung ist dieSignalquelle (DAC 0) mit dem Anschluss CH A (BNC) des Oszilloskops zu verbinden und das Signaleinzustellen.Stellen Sie die Zeitfunktionen der Spannungen und Strome in der Schaltung nach Bild 26 mit demELVIS–Zweikanal–Oszilloskop dar. Die Ergebnisse sollen maßstablich in die Diagramme nach Bild 27bzw. 28. ubertragen werden.

20


Bild 26. Messschaltungmit vorgegebenem Zweipol der un-bekannten Impedanz Z und bekan-ntem ohmschem Widerstand R.

..........................................

.......................

i(t)◦

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............................................................ ........................................................................................................................................................................................• ◦

Z?

uZ(t)

•...............................................................◦

R =?

uR(t)

........................................................................................................................................................................................◦ • ◦

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............................................................

��

?∼u(t)

f =

&%'$

A

©

B

©••

.

Verbinden Sie dieMesspunkte der Mess–schaltung nach Bild 26mitden Eingangen SCOPECHA und SCOPE CHBdesOszilloskops, so dass dieSpannungen u(t), uZ(t)und uR(t) dargestelltwerden. Tragen Sieden Wert des Refe–renzwiderstandes unddie Frequenz ein.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

-2

-1

0

1

2

-

6

ms

t

V

u(t), uR(t), uZ(t)

Bild 27. Zeitabhangigkeit derSpannungen u(t), uR(t) und uZ(t).

u =

uR =

uZ =

ϕu =

ϕuR =

ϕuZ =

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-

6

ms

t

mA

i(t)

Bild 28. Zeitabhangigkeit derStromstarken i(t), iR(t) und iZ(t).

ı = ıR = ıZ =

ϕi =

21


Konstruieren Sie ausgehend von Bild 27 in Bild 29 das Zeigerdiagramm fur die komplexen Scheitel–wertzeiger u , uR und uZ. Bestimmen Sie daraus Z nach Betrag und Phasenwinkel.Das Ergebnis kann mit einer direkten Impedanzmessung durch den ELVIS Impedance Analyzer (An-schlusse Current Lo u. Current Hi) uberpruft werden.

0 1 20

1

2

-

6

V

Re{u , uR, uZ}

V

Im{u , uR, uZ}

Bild 29. Scheitelwertzeiger–Diagrammder Spannungen nach Bild 27.

u =

uR =

uZ =

|Z| =

ϕ =

2.2.2 Drei–Spannungsmesser–Methode

Messen (!) Sie in der Schaltung nach 26 die Effektivwerte U,UZ und UR und konstruieren (!) sie inBild 30 das Zeigerdiagramm fur die Effektivwertzeiger U ,U Z und U R.

U =

UZ =

UR =

0 0.5 10

0.5

1

-

6

V

Re{U ,U Z , U R}

V

Im{U ,U Z , U R}

Bild 30. Effektivwertzeiger–Diagrammlaut Drei–Spannungsmesser–Methode.

U =

U R =

U Z =

|Z| =

aus Skizze: ϕ =

aus Gl. (89): ϕ =

22


2.2.3 Reihen– und Parallel–Ersatzschaltbild

Bestimmen Sie das Reihen– und das Parallel–Ersatzschaltbild des zuvor ausgemessenen Zweipols.

|Z| =

ϕ =

◦

Rr

Lr

◦(a)

Rr =

Lr =

tanϕ =

tan δ =

◦................................

•...............................................................................................................................................................

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Lp Rp

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•◦

(b)

Rp =

Lp =

tanϕ =

tan δ =

Bild 31. (a) Reihen– und (b) Parallel–Ersatzschaltbild des Zweipols.

2.2.4 Lissajous–Figur

Verwenden Sie nun die Schaltung nach Bild, 26 um mit Hilfe eines externen Oszilloskops (keinELVIS-Oszilloskop) mit separat ansteuerbarer X-Ablenkung, die Funktionen uZ(t) und i(t) alsLissajous–Figur in der Form (

x(t), y(t))=(kxi(t), kyuZ(t)

)

darzustellen. Ubertragen Sie das Ergebnis in das Diagramm in Bild 32 und bestimmen daraus dieunbekannte Impedanz Z nach Betrag und Phasenwinkel.

0

0 -

6

x

y

Bild 32. Lissajous–Figurnach Gl. (2.2.4) .

X: AMPL/DIV

Y: AMPL/DIV

kx =

ky =

2A =

2B =

2x =

2y =

|Z| =

ϕ =

23

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