Grundwissen Jahrgangsstufe 9

GM 9.1 Quadratwurzeln und die Menge der reellen Zahlen QUADRATWURZELN Unter der Quadratwurzel aus einer Zahl a (kurz: Wurzel aus a, Schreibweise a ) versteht man

diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich a ist. a ist also die nichtnegative Lösung der Gleichung x² = a. Zum Beispiel hat die Gleichung x² = 16 die positive Lösung 4 und die negative Lösung −4. Also ist 16 = 4. Die Zahl oder der Term unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand. Das Ermitteln des Werts einer Quadratwurzel nennt man Wurzelziehen oder Radizieren. Man beachte:

• a ist nur definiert, wenn a ≥ 0.

• ²a = a, falls a ≥ 0 und ²a = −a, falls a < 0. Zusammenfassend schreibt man: ²a = |a|. DIE MENGE DER REELLEN ZAHLEN Jede rationale Zahl lässt sich als Bruch mit einer ganzen Zahl im Zähler und einer natürlichen Zahl im Nenner schreiben. Die Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl ist entweder endlich (z.B. 375,08

3 = )

oder periodisch (z.B. 6,032 = ). Es gibt Zahlen, die sich nicht in der beschriebenen Art als Bruch

darstellen lassen. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch. Solche Zahlen heißen irrationale Zahlen. 2 ist eine irrationale Zahl, wie alle Quadratwurzeln a , wenn a nicht das Quadrat einer rationalen Zahl ist. Die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge R der reellen Zahlen. RECHNEN MIT QUADRATWURZELN Addieren und Subtrahieren von Quadratwurzeln Es gilt: c)ba(cbc ±=±a . Man kann also Wurzelterme addieren bzw. subtrahieren, wenn sie den gleichen Radikanden besitzen. Beispiel: ( ) ( ) 5534514362536543 +−=++−=+−+2 Man beachte: Wurzelterme mit verschiedenen Radikanden kann man nicht zusammenfassen. Insbesondere ist in der Regel baba +≠+ !

Beispiel: 743169 =+=+ , aber 525169 ==+ . Also 169169 +≠+ . Multiplizieren und Dividieren von Quadratwurzeln

Es gilt: abba =⋅ und ba

ba

= . Man kann also Wurzelterme multiplizieren bzw. dividieren,

indem man die Radikanden multipliziert bzw. dividiert. Beispiel: 1585342543 =⋅⋅⋅=⋅2

Man beachte: ( ) aaaa2

==⋅ . Im Gegensatz zu: a2aa =+

36

Teilweises Radizieren Manchmal lässt sich der Radikand so in ein Produkt zerlegen, dass man die Wurzel aus einem oder mehreren Faktoren ziehen kann. Dies ermöglicht ein teilweises Radizieren. Beispiele: 3532532575 =⋅=⋅=

36332394394108 =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=

b3cba4cbba34cba48cba48 22234234 =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= • a² ist nicht negativ, braucht also keine Betragsstriche. • Da b³ unter der Wurzel steht, kann b nicht negativ sein. b braucht deshalb

keine Betragsstriche. • c²c = (vgl. S. 36 oben).

Brüche und Bruchterme mit Wurzeln im Nenner Durch Erweitern eines Bruches bzw. eines Bruchterms kann man Wurzeln im Nenner beseitigen. Ebenso können durch Kürzen Wurzeln im Nenner eines Bruchs oder Bruchterms entstehen.

Beispiele: 32336

3336

36

==⋅

= * Hier wird mit 3 erweitert. *

21

22 * Hier wird mit 2 gekürzt. Beachte: ( )22=2 =*

2

xxx2

x2

* Hier wird mit x gekürzt. =*

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GM 9.2 Die Satzgruppe des Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite Hypotenuse, die dem rechten Winkel anliegenden Seiten werden Katheten genannt. In jedem rechtwinkligen Dreieck besteht zwischen den Längen der Katheten und der Länge der Hypotenuse eine besondere Beziehung, die bereits im Altertum bekannt war, der sog. Satz von Pythagoras: In jedem rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat über der Hypotenuse den gleichen Flächeninhalt wie die Quadrate über den beiden Katheten zusammen. Mit den Bezeichnungen aus der nebenstehenden Abbildung gilt: a² + b² = c² Der Kehrsatz des Satzes von Pythagoras gilt ebenfalls: Wenn für die Längen a, b und c der drei Seiten eines Dreiecks die Gleichung a² + b² = c² erfüllt ist, dann ist dieses Dreieck rechtwinklig mit der Hypotenuse c. Zur Satzgruppe des Pythagoras gehören noch zwei weitere Sätze: Höhensatz: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenusenhöhe flächengleich dem Rechteck, das die Hypotenusenabschnitte als Seitenlängen hat. Kurz: h² = pq Kathetensatz: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck, das den dieser Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt und die Hypotenuse als Seitenlängen hat. Kurz: a² = cp und b² = cq Anwendungen des Satzes von Pythagoras Diagonale im Quadrat Der Ansatz a² + a² = d² liefert: 2ad =

Höhe im gleichseitigen Dreieck Der Ansatz

22

2 a2ah =

+

liefert:

32ah =

Länge einer Strecke im Koordinatensystem

d a ah

2a

a

Für die Länge der Strecke [PQ] gilt:

( ) ( )2PQ

2PQ yyxxPQ −+−=

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GM 9.3 Quadratische Funktionen und Gleichungen Eine Funktion der Form y = ax² + bx + c bzw. f(x) = ax² +bx + c mit a, b, c ∈ R, a ≠ 0, heißt quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Die einfachste quadratische Funktion ist die Funktion y = x². Ihr Graph (vgl. Zeichnung rechts) ist eine sog. Normalparabel. Ihr tiefster Punkt heißt Scheitel und hat die Koordinaten (0|0). Sie ist achsensymmetrisch zur y−Achse. Alle anderen Parabeln entstehen aus der Normalparabel durch Verschiebung und/oder zentrische Streckung am Scheitel. Es gilt: a > 0 Die Parabel ist nach oben geöffnet. a < 0 Die Parabel ist nach unten geöffnet. |a| > 1 Die Parabel ist enger als die Normalparabel. |a| < 1 Die Parabel ist weiter als die Normalparabel. Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung kann man den Funktionsterm in die Scheitelform überführen. Beispiel: Quadratische Funktion y = 0,5x² − 2x + 1 a = 0,5 ausklammern y = 0,5(x² − 4x + 2) Quadratische Ergänzung y = 0,5(x² − 4x + ( ) ( )22

4224 − +2)

Quadratischen Term bilden y = 0,5((x − 2)² − 4 + 2) Zusammenfassen y = 0,5((x − 2)² − 2) Äußere Klammer auflösen y = 0,5(x − 2)² − 1 Aus der Scheitelform kann man die Koordinaten des Scheitels der Parabel ablesen. y = a(x − d)² + e ⇒ Die Parabel hat den Scheitel S(d|e). Beispiel: y = 0,5(x − 2)² − 1

Die Parabel hat den Scheitel S(2|−1). Sie ist achsensymmetrisch zur Gerade x = 2. Wegen a = 0,5 ist die Parabel nach oben geöffnet und weiter als die Normalparabel. Die zugehörige quadratische Funktion hat die Wertemenge W = [−1; ∞[.

Die Schnittstellen eines Funktionsgraphen mit der x−Achse heißen Nullstellen. Eine Parabel kann keine, genau eine oder zwei Nullstellen besitzen. Man bestimmt diese meist mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0

Lösungsformel a2

ac4bbx2

2,1−±−

=

Beispiel: 0,5x² − 2x + 1 = 0 a = 0,5 b = −2 c = 1

122

5,0215,0422x

2

2,1±

=⋅

⋅⋅−±=

1 2 3 4

x-1-2-3

1

2

3

4

5

6

7

y

v1.6d

1 2 3 4 5 6

x-1-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

y

urven v1.6d

22x1 −=

22x2 +=

39

Der in der Lösungsformel auftretende Radikand D = b² − 4ac heißt Diskriminante der quadratischen Gleichung. Die Diskriminante macht eine Aussage über die Anzahl der Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung und damit über die Anzahl der Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion. Es gilt: D > 0 Die Gleichung besitzt zwei verschiedene Lösungen. D = 0 Die Gleichung besitzt genau eine Lösung. D < 0 Die Gleichung besitzt keine Lösung. Besitzt ein quadratischer Term eine oder zwei Nullstellen, so kann man ihn faktorisieren. Umgekehrt kann man aus der faktorisierten Form des Terms seine Nullstellen ablesen.

Zur Erinnerung: Ein Produkt ist Null, wennmindestens einer seinerFaktoren Null ist!

a) Faktorisieren durch Ausklammern: ax² + bx = 0 ax(x + ab ) = 0

Nullstellen: x1 = 0, x2 = − ab

Beispiel: 2x² + 6x = 0 2x(x + 3) = 0 x1 = 0, x2 = −3 b) Faktorisieren mit Hilfe der binomischen Formeln: x² + 2dx + d² = (x + d)² Nullstelle: x = −d x² − 2dx + d² = (x − d)² Nullstelle: x = d Beispiel: x² + 6x + 9 = (x + 3)² Nullstelle: x = −3 c) Faktorisieren durch Kluges Raten: Manche quadratischen Terme lassen sich durch „kluges

Raten“ und Ausprobieren faktorisieren.

Beispiel: x² − x − 6 = (x ± …)(x ± …) Durch Überlegen und Ausprobieren findet man:

x² − x − 6 = (x + 2)(x − 3) Nullstellen: x1 = −2, x2 = 3

d) Faktorisieren mit Hilfe der Nullstellen: Ist bekannt, dass der Term ax² + bx + c die Nullstellen x1 und x2 besitzt, so kann man ihn in der Form a(x − x1)(x − x2) schreiben. Beispiel: Der Term 2x² +8x − 10 hat die Nullstellen x1 = −5 und x2 = 1. Also ist 2x² +8x − 10 = 2(x + 5)(x − 1).

40

GM 9.4 Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten Das Lösen mancher Probleme aus der Mathematik oder ihren Anwendungen erfordert das Lösen eines linearen Gleichungssystems mit mehr als zwei Unbekannten. In GM 8.5 sind drei Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten dargestellt. Auch beim Lösen von Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und drei Unbekannten kann man sich unterschiedlicher Methoden bedienen. Es genügt aber, eine dieser Methoden sicher zu beherrschen. Beispiel: (I) x + y + z = 3 (II) 4x − 2y + z = 0 (III) 9x + 3y + z = −5 1. Lösungsmethode: Diese Lösungsmethode beruht darauf, das Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Unbekannten auf ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten zurückzuführen. Dazu löst man eine der drei Gleichungen nach einer Variablen auf und setzt den Term in die beiden anderen Gleichungen ein. (I) nach z: z = 3 − x − y in (II): 4x − 2y + 3 − x − y = 0 ergibt (II)’ : 3x − 3y = −3 in (III) : 9x + 3y + 3 − x − y = −5 ergibt (III)’ : 8x + 2y = −8 Jetzt ist ein Gleichungssystem mit den 2(II)’ + 3(III)’: 30x = −30 zwei Gleichungen (II)’ und (III)’ und den x = −1 zwei Unbekannten x und y zu lösen. in (III)’: −8 + 2y = −8 [Vgl. dazu auch GM 8.5.] y = 0 in (I): z = 3 − (−1) − 0 = 4 Die Lösung des Gleichungssystems ist das Zahlentripel (−1 ; 0 ; 4), die Lösungsmenge L = {(−1 ; 0 ; 4)}. 2. Lösungsmethode: Diese Lösungsmethode beruht auf dem Additionsverfahren. Ziel ist jeweils, dass nach der „Addition zweier Gleichungen“ eine Variable wegfällt. Daher wird vor der Addition meist (mindestens) eine der zwei verwendeten Gleichungen mit einer geeigneten Zahl multipliziert.

(I) x + y + z = 3 | ⋅(−4) | ⋅(−9) (II) 4x − 2y + z = 0 (III) 9x + 3y + z = −5 (I) x + y + z = 3 (II)’ −6y − 3z = −12 | ⋅(−1) (III)’ −6y − 8z = −32 (I) x + y + z = 3 (II)’’ −6y − 3z = −12 (III)’’ −5z = −20 (III)’’ ⇒ z = 4 in (II)’: −6y − 12 = − 12 ⇒ y = in (I) : x + 0 + 4 = 3 ⇒ x = L = {(−1 ; 0 ; 4)}

41

+

Das Gleichunund kann von

0 −1

+

+

gssystem hat jetzt Dreiecksform unten nach oben gelöst werden.

GM 9.5 Potenzen mit rationalen Exponenten Die n-te Wurzel Unter n a (sprich: „n-te Wurzel aus a“) versteht man für n ∈ N \ {1} und a ∈ diejenige

nichtnegative reelle Zahl, deren n-te Potenz den Wert a hat. Für n ∈ N \ {1} und a ∈ R ist also

+0R

+0

n a ≥ 0

und ( = a. Im Ausdruck )nn a n heißt die Zahl bzw. der Term unter der Wurzel a Radikand. n bezeichnet man als Wurzelexponenten. Beispiele: 62163 = , weil 63 = 216

4 0016,0 = 0,2, weil 0,24 = 0,0016

Beachte: Auch wenn der Taschenrechner 3 8− ausrechnen kann, ist 3 8− dennoch nicht definiert!

Die Gleichung xn = a Die Gleichung xn = a kann zwei Lösungen, genau eine Lösung oder keine Lösung haben:

n gerade n ungerade

a > 0 L = {− n a ; n } a L = { n } a

a = 0 L = {0} L = {0}

a < 0 L = { } L = {− n a− } Beispiele: L = 10x4 = { }4 10;− 4 10

243x5 = L = { }364x6 −= L = { } 12x3 −= L = { }3 12 −

Potenzen mit rationalen Exponenten Wurzeln kann man auch als Potenzen schreiben:

n1

n aa = für n ∈ N \ {1} und a ∈ R +0

und somit nm

n m aa = für n ∈ N \ {1}, m ∈ Z und a ∈ R +

Mit dieser Festlegung kann man die Definition von Potenzen auch auf rationale Exponenten erweitern.

Beispiel: 44 343

51288 == Für das Rechnen mit Potenzen mit rationalen Exponenten gelten die selben Gesetze wie für das Rechnen mit Potenzen mit ganzzahligen Exponenten (vgl. GM 8.5): 1. Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert), indem man die gemeinsame Basis

beibehält und die Exponenten addiert (subtrahiert). 2. Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert (dividiert), indem man die Basen

multipliziert (dividiert) und den gemeinsamen Exponenten beibehält. 3. Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.

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GM 9.6 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt:

Sinus eines Winkels = HypotenusederLänge

WinkelsdiesesteGegenkathederLänge

Kosinus eines Winkels = HypotenusederLänge

WinkelsdiesesAnkathetederLänge

Tangens eines Winkels = WinkelsdiesesAnkathetederLänge

WinkeldiesesteGegenkathederLänge C

b Mit den Bezeichnungen nebenstehender Figur gilt: a

casin =α ,

cbcos =α ,

batan =α

A βα B c

Beispiele: 1. Von einem rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Kathete a = 5 cm und die Größe des Winkels

β = 70° bekannt. Damit kann man die fehlenden Seiten und Winkel leicht berechnen.

cm6,1470cos

cm5cos

accacos ≈

°=

β=⇒=β

cm7,1370tancm5tanababtan ≈°⋅=β⋅=⇒=β

oder: cm7,13)²cm5()²cm6,14(²a²cb²c²b² ≈−≈−=⇒=+a 2. Bei einem gleichschenkligen Dreieck ABC (vgl. Abbildung) beträgt die

Basislänge c = 8 cm, der Winkel an der Spitze γ = 30°. Berechne die Schenkellänge, die Höhe und die Größe der Basiswinkel.

γ

h

a

C

A αα

c B

°=γ−°=α 75)180(21 (Winkelsumme im Dreieck)

Die Höhe h auf die Basis zerlegt das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.

cm9,1475tancm8tanchc

htan 21

21

21

≈°⋅⋅=α=⇒=α

cm5,1575cos

cm4cos

ca

ac

cos 21

21

š

=α

=⇒=α

oder: ( ) ( ) cm4,15)²cm4()²cm9,14(²c²ha²a²c²h 2

121 ≈+≈+=⇒=+

Beachte: Wenn man mit gerundeten Werten weiterrechnet, können sich leicht abweichende Werte ergeben!

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Die Steigung einer Gerade Wir betrachten zunächst nur Geraden mit positiver Steigung: Die Steigung einer Gerade im Koordinatensystem ergibt sich aus dem Steigungsdreieck. Die dargestellte Gerade hat die Steigung

α

α

2

3

O

y

x

1

1

m = 32 .

Der Winkel α zwischen der Geraden und der (nach rechts verlaufenden) x-Achse heißt Steigungs-winkel der Geraden. Man findet ihn im Steigungs-dreieck wieder. Dort gilt:

32tan =α .

Die Steigung einer Geraden ist also gleich dem Tangens des Steigungswinkels: m α= tan Bemerkung: Diese Beziehung gilt auch, wenn die Steigung der Gerade negativ und der Steigungs-winkel größer als 90° ist. Zusammenhänge zwischen Sinus, Kosinus und Tangens Zwischen Sinus, Kosinus und Tangens bestehen folgende Zusammenhänge:

• )90cos(sin,)90sin(cos α−°=αα−°=α

• αα

=αcossintan

• (Trigonometrischer Pythagoras) ( ) ( ) 1cossin 22 =α+α

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GM 9.7 Zusammengesetzte Zufallsexperimente Setzt sich ein Zufallsexperiment aus mehreren Schritten zusammen, so spricht man von einem zusammengesetzten oder mehrstufigen Zufallsexperiment. Zusammengesetzte Zufallsexperimente lassen sich durch Baumdiagramme veranschaulichen. Dabei vermerkt man an jedem Zweig die zugehörige Wahrscheinlichkeit. Der Summenwert der Wahrscheinlichkeiten auf den Zweigen, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, muss dabei stets 1 betragen. Bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse helfen die sog. Pfadregeln: 1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf den

Zweigen des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt. 2. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der

zugehörigen Ergebnisse. Beispiele: 1. Florian geht aufs Oktoberfest. Er möchte dort am Schießstand eine Rose schießen. Nüchtern hat er

eine Treffsicherheit von 80 %. Nach einer Maß Bier sinkt sie auf die Hälfte. Florian schießt einmal im nüchternen Zustand und ein weiteres Mal nachdem er eine Maß Bier getrunken hat.

Baumdiagramm: T bedeutet Florian trifft. T ist das Gegenereignis von T, bedeutet also, dass Florian nicht trifft.

T

T

TT

0,6

0,2

0,40,4

0,8

T

T 0,6

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten:

• A = Florian trifft bei beiden Schüssen. A = {TT} P(A) = 0,8 ⋅ 0,4 = 0,32 = 32 %

• B = Florian trifft nur beim zweiten Schuss. B = { T T} P(B) = 0,2 ⋅ 0,4 = 0,08 = 8 %

• C = Florian trifft genau einmal. C = {T T ; T T} P(C) = 0,8 ⋅ 0,6 + 0,2 ⋅ 0,4 = 0,48 + 0,08 = 0,56 = 56 %

• D = Florian trifft mindestens einmal. D ist das Gegenereignis von D = Florian trifft keinmal. P(D) = 1 – P(D ) = 1 − 0,2 ⋅ 0,6 = 1 − 0,12 = 0,88 = 88 %

2. „Mindestens einmal“-Ereignisse Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim fünfmaligen Würfeln mindestens eine 6 zu werfen? E = Beim fünfmaligen Würfeln mindestens eine 6. E = Beim fünfmaligen Würfeln keine 6. Zu E gehören im Baumdiagramm 31 Äste, zu E gehört dagegen nur ein Ast. Er trägt auf allen Zweigen die Wahrscheinlichkeit dafür, beim Würfeln keine 6 zu werfen, also 6

5 .

Somit ist P(E) = 1 − P(E ) = 1 − ( 65 )5 ≈ 59,8 %.

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GM 9.8 Fortführung der Raumgeometrie Das gerade Prisma Ein Körper, dessen Grund- und Deckfläche zueinander parallele, kongruente n-Ecke und dessen Seitenflächen Rechtecke sind, heißt gerades Prisma. Der Abstand der Deckfläche von der Grundfläche heißt Höhe h des Prismas. Die Seitenflächen bilden zusammen den Mantel des Prismas, alle Flächen des Prismas bilden zusammen seine Oberfläche. Für das Volumen des Prismas gilt: Volumen = Grundflächeninhalt ⋅ Höhe

V = G ⋅ h Der gerade Kreiszylinder Jeder gerade Kreiszylinder hat als Grund- und Deckfläche zueinander parallele Kreisflächen mit dem gleichen Radius r. Der Abstand der Deckfläche von der Grundfläche heißt Höhe h des Zylinders. Schneidet man die Mantelfläche längs einer Mantellinie auf, so lässt sie sich zu einem Rechteck abrollen, dessen Seitenlängen die Zylinderhöhe h und der Umfang U der Grundfläche sind. Für den Oberflächeninhalt gilt: O = 2r²π + 2rπh Für das Volumen des Zylinders gilt: Volumen = Grundflächeninhalt ⋅ Höhe V = G ⋅ h = r²πh Die Pyramide Eine Pyramide ist ein Körper, der von einem n-Eck als Grundfläche und n Dreiecken als Seitenflächen berandet wird. Auch hier bilden die Seitenflächen den Mantel des Körpers. Mantelfläche und Grundfläche zusammen bilden die Oberfläche der Pyramide. Die Seiten der Grundfläche heißen Grundkanten, die übrigen Seiten der Seitenflächen heißen Seitenkanten der Pyramide. Sind alle Seitenkanten gleich lang, so spricht man von einer geraden Pyramide. Der Abstand der Spitze von der Grundfläche ist die Höhe h der Pyramide. Für das Volumen der Pyramide gilt:

Volumen = 31

⋅ Grundflächeninhalt ⋅ Höhe

V = 31 G ⋅ h

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Der gerade Kreiskegel Ein gerader Kreiskegel ist ein Körper, der von einem Kreis mit der Radiuslänge r als Grundfläche und einem Mantel berandet wird. Die Verbindungsstrecke der Spitze S mit dem Mittelpunkt des Grundkreises steht auf der Grundfläche senkrecht. Die Länge dieser Verbindungsstrecke heißt Höhe h des Kegels. Grundfläche und Mantelfläche bilden zusammen die Oberfläche des Kegels. Schneidet man den Mantel längs einer Mantellinie (Länge s) auf, so lässt er sich zu einem Kreissektor abrollen. Für den Mantelflächeninhalt gilt: M = rπs Für den Oberflächeninhalt gilt: O = r²π + rπs Für das Volumen des Kegels gilt:

Volumen = 31

⋅ Grundflächeninhalt ⋅ Höhe

V = 31 G⋅h =

31 r²πh

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