Hans Benker

Ingenieurmathematik mit Computeralgebra-Systemen

Die Bucher der Reihe IIAusbildung und Studium" bieten praxisorientierte Einfuhrungen fUr die Aus- und Weiterbildung sowie Bausteine fUr ein er­folgreiches berufsqualifizierendes Studium.

Unter anderem sind erschienen:

StudienfUhrer Wirtschaftsinformatik von Peter Mertens et 01. Studien- und ForschungsfUhrer Infonnatik an Fachhochschulen von Rainer Bischoff (Hrsg .)

Excel fUr Techniker und Ingenieure von Hans-Jurgen Holland und Fronk Bracke

Turbo Pascal Wegweiser fUr Ausbildung und Studium von Ekkehard Kaier

Delphi Essentials von Ekkehard Kaier

Programmieren mit Fortran 90 von Hans-Peter Baumer

Wirtschaftsinformatik mit dem Computer von Hans Benker

EinfUhrung in UNIX von Werner Brecht

Datenbank-Engineering von Alfred Moos und Gerhard Daues

Visual Basic Essentials von Ekkehard Kaier

Excel fUr Betriebswirte von Robert Horvat und Kambiz Koochaki

Grundkurs Wirfschaftsinformatik von Dietmar Abts und Wilhelm Mulder

Praktische Systemprogrammierung von Helmut Weber

Wissenschaftfiches Publizjeren mit~T}3X2e von Torsten Machert

Ingenieurmathematik mit Computeralgebra-Systemen von Hans Benker

Hans Benker

Ingenieurmathematik mit Computeralgebra-Systemen

AXIOM, DERIVE, MACSYMA, MAPLE, MATHCAD, MATHEMATICA, MATLAB und MuPAD in der Anwendung

II VI.Weg

Die deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme

Benker, Hans: Ingenieurmathematik mit Computeralgebra-Systemen: AXIOM, DERIVE, MACSYMA, MAPLE, MATHCAD, MATHEMATICA, MATLAB und MuPAD in der Anwendung I Hans Benker. - Braunschweig; Wiesbaden : Vieweg, 1998

(Vieweg Ausbildung und Studium)

ISBN-l 3:978-3-528-05673-5 e-ISBN-13: 978-3-322-86587-8 DOl: 10.1007/978-3-322-86587-8

Aile Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/wiesbaden, 1998

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Hochste inhaltliche und technische Qualitat unserer Produkte ist unser Zie!. Bei der Pro­duktion und Auslieferung unserer Biicher wollen wir die Umwelt schonen: Dieses Buch ist auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier gedruckt. Die EinschweiBfolie besteht aus Polyathylen und damit aus organischen Grundstoffen, die weder bei der Herstellung noch bei der Verbrennung Schadstoffe freisetzen .

ISBN-13 :978-3-528-05673-5

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Vorwort

Der Hauptzweck dieses Buches besteht darin, Ingenieuren und Na­turwissenschaftlern aufzuzeigen, wie man mathematische Probleme aus Technik und Naturwissenschaften einfach mit dem Computer unter Verwendung eines der universellen Computeralgebra-Systeme Ckurz: S:ysteme) AXIOM, DERIVE, MACSYMA, MAPLE, MATHCAD, MATHEMATICA, MATLAB und MuPAD Ibsen kann.

Der Schwerpunkt des Buches liegt auf der Umsetzung der zu lbsen­den mathematischen Problerne in die Sprache der Computeralgebra­Systeme und der Interpretation der gelieferten Ergebnisse. Bei der Anzahl der betrachteten Systeme kann naturlich nicht jede Einzelheit bzw. Besonderheit im Detail eriautert werden. Die im Buch behandelten Grundlagen reichen jedoch mit den in allen S:y­stemen integrierten Hilfefunktionen aus, urn Aufgaben der Inge­nieurmathematik mit einem der besprochenen S:ysteme lasen zu kbnnen .

• 1m vorliegenden Buch werden Gemeinsamkeiten aller betrachteten S:ysteme herausgearbeitet und ihre Anwendung zur Lasung von Auf­gaben der Ingenieurmathematik untersucht. Der Leser wird damit in die Lage versetzt, ohne grofSe Muhe mit einem der beschriebenen Systeme unter Verwendung der integrierlen Hilfefunktionen arbeiten zu kbnnen .

• Die mathematische Theorie wird im Buch nur kurz dargestellt. Es werden hauptsachlich Maglichkeiten zur exakten bzw. naherungs­weisen Lasung der betrachteten Aufgaben diskutiert, da dies fUr die Anwendung der Systeme wichtig ist. Fur ein tieferes Eindringen in die Mathematik wird auf die zahlreichen Lehrbucher zur Ingenieur­mathematik verwiesen Csiehe Literaturverzeichnis). 1m Rahmen die-

Vorwort

ses Buches zitieren wir die Bucher von Papula [41] zur Ingenieurma­thematik.

• Der Autor mbchte alle Leser dringend darauf hinweisen, nicht nur mittels der im vorliegenden Buch beschriebenen Computeralgebra­Systeme Mathematik zu betreiben, sondern auch Mathematiklehrbii­cher zu konsultieren. Urn die Mathematik effektiv zur Lbsung praktischer Probleme ein­setzen zu kbnnen, kann man sich nicht nur auf die Systeme verlas­sen, sondern muB auch den theoretischen Hintergrund, d.h., die mathematischen Grundlagen beherrschen. Die vorhandenen Syste­me liefem allerdings ein wesentliches Hi!jsmittel, urn umJangreiche Rechnungen schnell und ohne groBe Muhe durchzuJiihren. So kann sich der Anwender starker auf die Verbesserung seiner mathemati­schen Modelle und das tiefere Eindringen in deren mathematische Grundlagen konzentrieren.

• Obwohl eine Reihe von Lehrbuchem zur Ingenieurmathematik exi-stieren, sind dem Autor keine deutsch- oder englischsprachigen Bu­cher bekannt, die mehrere Computeralgebra-Systeme zur Lbsung der Grundprobleme der Ingenieurmathematik heranziehen. Es gibt nur Bucher, die einzelne Systeme zur Lbsung dieser Aufgaben ver­wenden (siehe Literaturverzeichnis).

Da einzelne Systeme nicht alle Aufgaben Ibsen oder falsche Lbsun­gen berechnen kbnnen, ist es fUr einen Anwender vorteilhaft, meh­rere Systeme einzusetzen, urn die Ergebnisse vergleichen zu kbnnen.

• Es werden acht bekannte Systeme bei der Lbsung mathematischer Probleme Technik und Naturwissenschaften getestet und ihre Vor­und Nachteile diskutiert. Damit erhalt der Anwender Hinweise, wel­ches der besprochenen Systeme fUr sein zu lbsendes Problem effek­tiv ist. Es ist hierbei aber nicht mbglich, ein bestes System zu em­pfehlen. Jedes System hat Vor- und Nachteile. Auch spielen Preis und Anwendungszweck eine wesentliche Rolle. Dieses Buch soll mit dazu beitragen, daB sich jeder Anwender sein optimales System auswahlen kann .

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Vorwort VII

Nach Ansicht des Autors werden zur L6sung mathematischer Pro­bleme in Technik und Naturwissenschaften in Zukunft verstarkt Computeralgebra-Systeme herangezogen, urn die immer umfangrei­cheren Rechnungen mit einem vertretbaren Aufwand unter Verwen­dung von Computern bewaltigen zu k6nnen. Der Aufwand bei der Anwendung der betrachteten Systeme ist wesentlich geringer als die Erstellung von Computerprogrammen mittels einer Programmier­sprache .

• Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die der Autor an der Universitat Halle gehalten hat, und wendet sich sowohl an Studenten, Dozenten und Professoren der * Mathematik * Technomathematik * Technikwissenschaften * Naturwissenschaften von Fachhochschulen und Universitaten als auch in der Praxis tati­ge * Mathematiker * Ingenieure * Naturwissenschaftler Die behandelten Systeme existieren mit Ausnahme von DERIVE fUr verschiedene ComputerplattJormen, so u.a. fUr IBM-kompatible Per­sonalcomputer, Workstations unter UNIX und APPLE-Computer. Wir verwenden im Buch die aktuellen Programmversionen fUr IBM-kom­patible Personalcomputer (kurz als PCs bezeichnet), die unter WIN­DOWS 3.1 und/oder 95 laufen.

Da sich der Aufbau der Benutzeroberjlache und die Kommando­struktur der Systeme fUr die einzelnen Computertypen nur unwe­sentlich unterscheiden, k6nnen die im Buch gegebenen Grundlagen fUr beliebige Computer angewendet werden .

• Die Struktur der KommandosiMenufolgen der Systeme wird sich bei zukilnftigen weiterentwickelten Versionen nicht wesentlich andern: * Es verbessert sich hauptsachlich die Effektivitat der verwendeten

Methoden.

VIII Vorworl

* Die Benutzerobetjlache wird von Version zu Version etwas um-gestaltet.

* Der Umfang der losbaren Aufgaben wird enueitert. Deshalb kann das vorliegende Buch auch in den nachsten Jahren als eine Anleitung zum Losen von Problemen der Ingenieurmathematik mittels der besprochenen Systeme verwendet werden. Falls bei einer neuen Version eines Systems einige Komman­dosiMeniiJolgen verandert bzw. hinzugejt:igt wurden, so kann man sich InJormationen hieriiber aus der integrierten Hiife holen.

• 1m folgenden werden noch einige Hinweise zur Gestaltung des Bu-ches gegeben: • Neben den OberschriJten werden Kommandos, Menzis und Be­

Jehle der Systeme und Vektoren und Matrizen im Fettdruck dar­gestellt.

• Programm-, Datei- und Verzeichnisnamen werden in GrojSbuch­staben geschrieben.

• Beispiele und Abbildungen werden in jedem Kapitel mit 1 begin­nend durchnumeriert, wobei die erste Zahl die Kapitelnummer angibt. So wird z.B. mit Beispiel 5.3 das Beispiel Nr.3 aus Kapi­tel 5 bezeichnet.

• Wichtige Textstellen werden kursiv dargestellt. ~lige Hinwei,e und Bemerimngen we,den dueeh da, Zeichen

markiert. AbschlieBend mochte ich mich bei allen bedanken, die mich bei der Erstellung des Buches untershitzt haben: • Vom Verlag Vieweg Herro Dr.Klockenbusch fUr die Aufnahme

des Buchtitels in das Verlagsprogramm und Herro Mosena fur die Unterstutzung bei der Erstellung des Manuskripts.

• Vom Fachbereich Mathematik der Universitat Paderborn Herro Dr.O.Kluge und Herro Dr.F.Postel fUr die kostenlose Bereitstel­lung der neuen Version 1.3 von MuPAD fUr WINDOWS 95 und die Beantwortung zahlreicher Fragen.

• Der Firma Scientific Computers, insbesondere Herro Hortsch, fUr die kostenlose Bereitstellung der Version 5 von MATLAB ein­schlieBlich aller Toolboxen.

• Der Firma MathsoJt fUr die kostenlose Bereitstellung der Version 6.0 PLUS von MATH CAD in deutscher und englischer Sprache.

Vorworl IX

• Der Firma Waterloo Maple Inc. in Waterloo (Kanada) fUr die ko­stenlose Bereitstellung der neuen Version von MAPLE.

• Meiner Tochter Uta fUr die kritische Durchsicht des Manuskripts. • Meiner Gattin Doris fUr ihr Verstandnis fUr meine Arbeit an den

Wochenenden und im Urlaub.

Merseburg, im Januar 1998 Hans Benker

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung .......................................................................... 1 1.1 Ingenieurmathematik................................................... 4 1.2 Mathematik mit dem Computer.. .................................. 4

1.2.1 Computeralgebra-Systeme .................................. 5 1.2.2 Weitere Systeme .................................................. 6 1.2.3 Programme fUr numerische Algorithmen ........... 7

2 Computeralgebra .............................................................. 8 2.1 Gegenstand der Computeralgebra ................................ 8 2.2 Funktionsweise von Computeralgebra-Systemen .......... 14

3 Handhabung und Aufbau der Systeme ............................ 17 3.1 Handhabung............... .................. ................................ 17

3.1.1 Allgemeine Prinzipien.............................. .......... 17 3.1.2 Besonderheiten der einzelnen Systeme .............. 20

3.2 Aufbau.......................................................................... 22 4 AXIOM ................................................................................ 25

4.1 Benutzeroberf1ache ....................................................... 25 4.2 Arbeitsfenster................................................................ 27

5 DERIVE ............................................................................... 29 5.1 Benutzeroberfhiche ....................................................... 29 5.2 Arbeitsfenster................................................................ 35

6 MACSYMA ........................................................................... 37 6.1 Benutzeroberflache ....................................................... 37 6.2 Arbeitsfenster ................................................................ 39

7 MAPLE ................................................................................. 41 7.1 Benutzeroberflache ....................................................... 41 7.2 Arbeitsfenster. ............................................................... 43

8 MATHCAD ........................................................................... 47 8.1 Benutzeroberflache ....................................................... 48 8.2 Arbeitsfenster................................................................ 52 8.3 Symbolisches Gleichheitszeichen .................................. 56

9 MATHEMATICA .................................................................. 58 9.1 Benutzeroberflache ....................................................... 58 9.2 Arbeitsfenster. ............................................................... 60

Inhaltsverzeichnis Xl

10 MATLAB .............................................................................. 63 10.1 Benutzeroberflache ....................................................... 63 10.2 Arbeitsfenster ................................................................ 64

11 MuPAD ................•.•.••..••.•.........•.•.•.•.............•..................... 66 11.1 Benutzeroberflache........ ................................ ............... 66 11.2 Arbeitsfenster.. .............................................................. 68

12 Exakte und naherungsweise Rechnungen ...................... 70 12.1 Exakte Rechnungen mittels Computeralgebra ............... 71 12.2 Naherungsweise Rechnungen ....................................... 73

13 Zahlen, Variablen, integrierte Konstanten und Funktionen ............................................................................................ 79 13.1 Ganze, rationale, reelle und komplexe Zahlen ............. 79 13.2 Variablen............................................. ......................... 80 13.3 Integrierte Konstanten ................................................... 84 13.4 Integrierte Funktionen........................................ .......... 85

14 Datentypen, Dateneingabe und -ausgabe ........................ 88 14.1 Datentypen ................................................................... 88 14.2 Dateneingabe und -ausgabe .......................................... 92

15 Programmierung innerhalb der Systeme ....................... l05 15.1 Zuweisungen ................................................................ 107 15.2 Verzweigungen ............................................................. 108 15.3 Schleifen ....................................................................... 113 15.4 Erstellung einfacher Programme ................................... 120

16 Mengen und Logik .........................................•.................. 125 16.1 Mengen ......................................................................... 125 16.2 Logik............................................................................. 128

17 Anwendung als wissenschaftlicher Taschenrechner .... 131 18 Umformung von Ausdriicken ........................................... 133

18.1 Vereinfachung.............................................................. 135 18.2 Partialbruchzeriegung................................................... 136 18.3 Potenzieren............................ ................. ..................... 138 18.4 Multiplikation.......... ..................................................... 139 18.5 Faktorisierung.......... ....... ..................... ..... ........ ............ 140 18.6 Auf einen gemeinsamen Nenner bringen ..................... 141 18.7 Umformung trigonometrischer Ausdriicke .................... 142

19 Summen und Produkte ..................................................... 146 19.1 Summen....................................................................... 146 19.2 Produkte....................................................................... 149

20 Vektoren und Matrizen ..................................................... 152 20.1 Ingenieurtechnische Anwendungen .............................. 152 20.2 Eingabe von Vektoren und Matrizen ............................. 152

XlI Inhaltsverzeichnis

20.3 Rechenoperationen mit Vektoren und Matrizen ............ 160 20.3.1 Addition und Multiplikation ................................ 160 20.3.2 Transponieren.................................................... 162 20.3.3 Berechnung der Determinante.......................... 163 20.3.4 Berechnung der Inversen.................................. 164 20.3.5 Skalar-, Vektor- und Spatprodukt.. ..................... 166

20.4 Eigenwertprobleme...................................................... 168 21 Funktionen ........................................................................ 172

21.1 Ingenieurtechnische Anwendungen ............................. 173 21.2 Elementare Funktionen................................................ 173 21.3 Definition von Funktionen ........................................... 175 21.4 Approximation von Funktionen .................................... 180 21.5 H6here Funktionen ....................................................... 183

22 Grafische Darstellungen ................................................... 184 22.1 Kurven. .................. ...................... ................................. 184 22.2 Flachen......................................................................... 199 22.3 Punktgrafiken............................................................... 210 22.4 Bewegte Grafiken, Animationen ................................... 213

23 LOsung von Gleichungen und Ungleichungen ............... 214 23.1 Ingenieurtechnische Anwendungen .............................. 214 23.2 Linearer Gleichungen .................................................... 214 23.3 Polynome ...................................................................... 224 23.4 Nichtlineare Gleichungen................ .............. ............... 227 23.5 Ungleichungen...... .................................................. ...... 233

24 Differentialrechnung ........................................................ 236 24.1 Ingenieurtechnische Anwendungen .............................. 236 24.2 Berechnung von Ableitungen ....................................... 237 24.3 Taylorentwicklung........................................................ 247 24.4 Differential und Fehlerrechnung ................................... 252 24.5 Berechnung von Grenzwerten ...................................... 254 24.6 Kurvendiskussion .......................................................... 258

25 Integralrechnung .............................................................. 262 25.1 Ingenieurtechnische Anwendungen .............................. 264 25.2 Unbestimmte und bestimmte Integrale ......................... 264 25.3 Uneigentliche Integrale ................................................. 271 25.4 Numerische Berechnung ............................................... 274 25.5 Mehrfache Integrale ...................................................... 277

26 Reihen und Fourierreihen ............................................... 280 26.1 Ingenieurtechnische Anwendungen .............................. 280 26.2 Zahlenreihen ................................................................. 280 26.3 Fourierreihen........... ........................ ............................. 283

Inhaltsverzeichnis XIII

27 Vektoranalysis ................................................................... 288 27.1 Ingenieurtechnische Anwendungen .............................. 288 27.2 Felder, Gradient, Rotation und Divergenz ..................... 288 27.3 Grafische Darstellung von Vektorfeldern ...................... 292 27.4 Kurven- und Oberflachenintegrale ................................ 295

28 Differentialgleichungen .................................................... 297 28.1 Ingenieurtechnische Anwendungen .............................. 298 28.2 Gewbhnliche Differentialgleichungen ........................... 301 28.3 Partielle Differentialgleichungen ................................... 323

29 Integraltransformationen ................................................ 325 29.1 Ingenieurtechnische Anwendungen .............................. 325 29.2 Laplacetransformation ................................................... 325 29.3 Fouriertransformation ................................................... 332 29.4 Lbsung von Differentialgleichungen ............................. 334

30 Optimierung ...................................................................... 342 30.1 Ingenieurtechnische Anwendungen ............................. 343 30.2 Extremwertaufgaben ..................................................... 344 30.3 Lineare Optimierung ..................................................... 360 30.4 Nichtlineare Optimierung ............................................. 368

31 Wahrscheinlichkeitsrechnung ........................................ 375 31.1 Ingenieurtechnische Anwendungen .............................. 376 31.2 Kombinatorik. ............................................................... 377

31.2.1 Fakultat und Binomialkoeffizient. ....................... 377 31.2.2 Permutationen, Variationen und Kombinationen379

31.3 Wahrscheinlichkeiten und ZufallsgrbBen ...................... 380 31.4 Verteilungsfunktionen ................................................... 381 31.5 Momente von Verteilungen ........................................... 393 31.6 Zufallszahlen ................................................................. 395

32 Statistik .............................................................................. 402 32.1 Ingenieurtechnische Anwendungen .............................. 404 32.2 Stich proben. .. ................................................................ 404 32.3 Statistische MaBzahlen .................................................. 406 32.4 Schatzungen und Tests........ ........ ................................. 413 32.5 Korrelation und Regression.......................................... 416

33 Zusammenfassung ............................................................ 424 Literaturverzeichnis ............................................................... 427 Sachwortverzeichnis .............................................................. 433