Herzlich Willkommen - · Allgemeine Hinweise. Die Durcharbeitung des Heftchens gilt . ......

Dipl.-Ing. (FH) I. Berger

Herzlich Willkommen

Einführungin das Physikalische Praktikum

InhaltInhalt

• Protokollführung

• Ausgewählte

Messverfahren

• Vorstellung des Praktikums

• Fehlerfortpflanzung

Teil 1

Teil 2

• Ergebnisdarstellung

• Allgemeine Hinweise

• Messunsicherheiten

• Auswertung von Messdaten

Versuche des Physikalischen PraktikumsVersuche des Physikalischen Praktikums

28 Mechanik

13 Wärmelehre

14 Elektrik

11 Optik

3 Festkörperphysik

12 Atom-

und Kernphysik

1. Semester

2. Semester

Versuchsauswahl 6 Versuche pro Semester

pro Versuch ein Anleitungsheft

InhaltInhalt


• Ausgewählte

Messverfahren


Teil 2





• Vorstellung des

PraktikumsTeil 1

Allgemeine HinweiseAllgemeine Hinweise

Ort

Zeit

Kontakt

Homepage

• Gebäude 4, Raum 4.244

• Garderobenschränke im Keller 4.015 und 4.016(0,50 €

Pfand)

Herr Dr. Hille - 831

• Terminliste im Schaukasten neben dem Praktikumsraum

Herr Berger - 423

Herr Dr. Wolf - 518

E-Mail: [email protected]

E-Mail:

[email protected]

E-Mail: [email protected]

Frau Fritzsche - 415E-Mail: [email protected]

http://www.b-tu.de/ag-experimentalphysik/lehre/physikalisches-praktikum

Allgemeines


• Verbot

von Essen und Trinken im Laborbereich

• Versuchsabschluss bei Anerkennung des Protokolls

• Einhaltung von Arbeits-, Gesundheits-

und Brandschutz

• Arbeitsgruppen zu je 2

Studenten

Alle geforderten Versuche müssen bis zur Prüfung abgeschlossen

sein.

Ist dies nicht der Fall, können in den entsprechenden Folgesemestern

Ersatzversuche nach Absprache durchgeführt werden.

•

Sie sind im Praktikum unfallversichert. Zur Anfertigung eines Unfallprotokolls ist der Unfall dem Betreuer zu melden.

•

Elektrische Schaltungen stromlos

aufbauen. Prüfung durch den Betreuer.

•

Berührung blanker, unter Spannung stehender Teile vermeiden (gefährlich: U~ ≥ 42V; U= ≥ 60V).

•

Bei grob fahrlässigem Verhalten kann der Praktikantregresspflichtig gemacht werden.

•

Im Notfall Netzverbindung unterbrechen; rote NOT-AUS-Taster

betätigen.

•

Handhabung von Lasern bzw. schwach radioaktiven Quellen sowie vom Röntgengerät nur nach gesonderter Einweisung

•

Bei Schäden (Geräte, Glas, Quecksilber, Gasgeruch,Brandgefahr) ist der Betreuer zu informieren.


Arbeitsschutz

Gründe


•

Krankheit

•

Keine Versuchsvorbereitung

•

Mehr als 15 min

Verspätung

•

Überschreitung der Versuchsdauer um 15 min

•

Versuchsabbruch durch technischen Defekt

•

Überschreitung des Abgabetermins

•

nach 3 Korrekturversuchen des Protokolls

•

unentschuldigtes Fehlen

Gründe

•

Betrugsversuch

für eine zeitnahe

Versuchswiederholung

für eine Versuchswiederholung nach dem regulärem

Praktikum

• Physikalisches Praktikum;D. Geschke, Teubner-Verlag, 12. Auflage 2001

•

Praktikum der Physik;W. Walcher, Teubner

Verlag, 9. Auflage 2006

•

Das Neue Physikalische Grundpraktikum;Eichler/ Kronfeldt

/ Sahm, Springer-Verlag, 2. Auflage 2005

•

Physik;Halliday

/ Resnick

/ Walker, WILEY-VCH, 2. Auflage 2009 (auch als Bachelor-Ausgabe

2007 erhältlich)

Literatur

Allgemeine Hinweise

Die Durcharbeitung des Heftchens gilt als Versuchsvorbereitung und Arbeitsschutzbelehrung !

•

Physik -

Für Wissenschaftler und Ingenieure;Paul A. Tipler, Spektrum Akademischer Verlag,6.Auflage 2009

• Einführung in das Physikalischen Praktikum;Philipp, Berger, Wolf, 7.Auflage 2014

InhaltInhalt


• Ausgewählte

Messverfahren

• Vorstellung des

Praktikums


Teil 1

Teil 2





Versuchs-Vorbereitung

• Erstellung eines Messwertprotokolls (Ablaufplan)

• Beantwortung der Fragen zur Vorbetrachtung

• Mitzubringen sind:-

lose DIN A4 Blätter zum Beschreiben

- Zeichen-

und Funktionspapier DIN A4(Homepage oder www.papersnake.de)

-

Taschenrechner, Lineal, Schreibgerät

• Die Versuchsanleitung ist durchzuarbeiten.

ProtokollführungProtokollführung

• Die Versuchsanleitung für den jeweils nächsten Versuchbefindet sich am Versuchsplatz (Vorbereitungszeit 2

Wochen)

• Abholung der ersten

Versuchsanleitung des Semesters im Praktikumsraum (4.244) mindestens eine Woche

vor Versuchsbeginn

Versuchs-Durchführung


• Handys sind während des Praktikums auszuschalten!

• Versuchsplatz so verlassen, wie er vorgefunden wurde!

• Im Praktikum wird in erster Linie gemessen!

• Eintragung der Messwerte in vorgefertigtes Messwertprotokoll

• Messwertprotokoll vom Betreuer unterzeichen lassen

• Sauberes, zügiges und konzentriertes Arbeiten

• Arbeitsbeginn nach Einweisungen des Betreuers

• Überprüfung der Geräte und Zubehör am Versuchsplatz aufVollständigkeit anhand der Geräteliste

(nicht mit Bleistift)

• pünktlicher Versuchsbeginn zu den ausgewiesenen Zeiten

• keine eigenmächtige Reparatur bzw. Austausch von Geräten vornehmen

• Protokollabgabe: 1 Woche nach VersuchsendeVersuchs-Auswertung

-

Aufgaben und Berechnungen

• Protokollaufbau:


• handschriftlich, sauber und übersichtlich• mit Heftstreifen (Aktendulli) zusammengeheftet

○

klar strukturiert und nachvollziehbar○

gegeben, gesucht, Lösung

○

ggf. Skizzen verwenden○

Beispielrechnung mit Zahlenwert und Einheit

○

Fehlerrechnung○

Ergebnisse zweimal

unterstreichen

- Diagrammdarstellung○

auf Millimeter-

oder andere Funktionspapiere

○

ein Diagramm pro Blatt

• Korrekturen mit Korrekturblatt hinter

das Protokoll heften.

Kein Excel

oder vergleichbare

Programme für die Protokoll- und

Diagramm-darstellungen verwenden!

- Deckblatt

-

unterzeichnetes Messwertprotokoll-

Versuchsanleitung

Gründe für die Nichtanerkennung

eines Protokolls


• Nichtbeachtung der geforderten Vorgaben

• Grobe Fehler

• Nichteinhaltung der äußeren Form

• Unkorrekte Durchführung der Messaufgaben

-

Berechnung-

Fehlerbetrachtung

-

Diagrammdarstellung

• Nichtbeachtung der Fragestellung

• Auswertung mit Excel oder vergleichbarer Programme

InhaltInhalt


• Ausgewählte

Messverfahren

• Vorstellung des

Praktikums


Teil 1

Teil 2





LängeWinkel

Zeit

Drehzahl

Temperatur

Masse

DruckKraft

Spannung, Strom, Widerstand

Magnet-flussdichte

Ladung

Beleuchtungs-stärke

MESSENim Praktikum

Ausgewählte MessverfahrenAusgewählte Messverfahren

Messschieber


Innenmaß

Außenmaß

Tiefenmaß

Feststellschraube

Auflösung

Nonius

20tel Skala

Umgang mit dem Nonius

12,0mm

12,75mm

11,45mm

12,0mm

12,6mm

11,4mm


Bügelmessschraube


Klemmhebel

Kupplung (Ratsche)

Skalentrommel

MessamboßMessspindel

Hartmetall-messflächen

Bügel Isolierplatte

Auflösung Messbereich

Skalen

Skalenhülse Bezugslinie

Richtiges Ablesen der Skala an einer analogen Bügelmessschraube

5,05mm


5,22mm

5,50mm

5,77mm

Auflösung: e = 0,01mm

Analysenwaage


Max. Last = 200gAuflösung = 1mg

Wägegut Wägestücke

Zeigeranzeige (1mg)

Stellrad für Feineinstellung

(100mg und 10mg)

4 Wägestücke

Feineinstellung am Stellrad 0,920g

37,000g

Zeigeranzeige -0,009g

37,911g

Beispiel:

Beim Auflegen der Wägestückeimmer die Arretierung

benutzen!

Barometer


Thermometer

LotQuecksilber-vorratsgefäß

Skale mit Nonius

Der Messwert wird in mbar

mit einer

Nachkommastelle direkt abgelesen!

Analoge Multimeter


Messbereichsschalter

Messbereichfür Wechselstrom

Messbereichfür Gleichstrom

Skalen fürWechselstrom

Skalen fürGleichstrom

Fehlerklasse

Minuspol Pluspol3-10A

Justierschraube

Umgang mit der Skala


Gleichstrom (DC) Wechselstrom (AC)MB = 10mA

MB = 300µA

MB = 1A

MB = 30mA

Messwert = 7,5mA

Messwert = 260µA

Messwert = 0,7A

Messwert = 27mA


Das Oszilloskop

ist ein

VERBESSERTES VOLTMETER

:

VOLTMETER, weil es die Potentialdifferenz (oder Spannung) zwischen zwei Punkten eines Stromkreises messen kann. Es wird folglich parallel zu den

zwei interessieren-

den

Punkten angeschlossen.

VERBESSERT, weil es damit möglich ist, diese Spannung in ihrer Zeitabhängigkeit sichtbar zu machen. Parameter wie Amplitude und Periode einer Wechselspannung werden dabei gemessen. Dann funktioniert das Oszilloskop

als Y-t-Schreiber, was

der am häufigsten verwendete Modus ist:

Die Spannung wird als Funktion der Zeit abgebildet.

Im X-Y-Betrieb stellt das Oszilloskop

eine Spannung als Funktion einer zweiten Spannung dar.

•

•

•

•


• Ausgewählte

Messverfahren

• Vorstellung des

Praktikums


Teil 1

Teil 2





Messunsicherheiten und FehlerfortpflanzungMessunsicherheiten und Fehlerfortpflanzung

• Grobe Messabweichung

• Systematische Messabweichung

• Zufällige Messabweichung

• Gesamtabweichung

Art der Mess-abweichungen

Grobe MessabweichungenGrobe Messabweichungen

• Meist durch Unachtsamkeit

• Zahlendreher (12,5 statt 15,2)

• Beim Ablesen von Skalen (25,1 statt 25,6)

Lassen sich natürlich vermeiden

Systematische MessabweichungSystematische Messabweichung

Systematische Messabweichungen einiger Messmittel siehe Arbeitsunterlagen.

Sie bleiben bei Messwiederholungen konstant

• ist eine zeitlich konstante Abweichung, die sich durch Wiederholungen feststellen oder beeinflussen lässt (Herstellerangaben).

durch Justierung verringern oder eliminieren,

nicht

• Wenn man die Abweichung kennt, kann man diese

durch geänderten Messaufbau vermeiden,

durch Einhaltung zulässiger Umgebungsbedingungen verhindern,

durch Toleranzen bzw. Fehlergrenzen in der Auswertung berücksichtigen.

• Unzulänglichkeit menschlicher Sinnesorgane

zufällige Messabweichungenzufällige Messabweichungen

unvermeidbar -

gehorchen den Gesetzen der Statistik -

• Begrenzte Anzeige-

und Einstellgenauigkeit der Geräte

• Veränderliche äußere Einflüsse (z. B. unsystematische Temperatur- oder Luftdruckschwankungen)

• Führt zu zufälliger Streuung der Messwerte um den Mittelwert

• Positive und negative Abweichungen gleichhäufig

• Eine physikalische Messung liefert nie den

Gesamtabweichung (Größtfehler)Gesamtabweichung (Größtfehler)

• Der gemessene Wert besitzt immer

ZufälligeMess-

abweichung=

SystematischeMess-

abweichung

Gesamt-abweichung +

wahren Wert.

Messabweichungen.

( ) ( ) ( )xuxuxu SZ +=

XXX SZ Δ+Δ=Δoder

Im Praktikumbevorzugte Schreibweise


• Ausgewählte

Messverfahren

• Vorstellung des

Praktikums


Teil 1

Teil 2





Auswertung von MessdatenAuswertung von Messdaten

• Lineare RegressionBestimmung durch eine Diagrammdarstellung

Bestimmung durch eine Berechnung

•

auf Millimeterpapier

•

auf halblogarithmischem Papier

•

auf doppeltlogarithmischem Papier

Bestimmung durch eine Diagrammdarstellung

Bestimmung durch eine Berechnung

Messwerte für Drehmomentbestimmung

Versuchsaufbau: TorrsionsmodulVersuchsaufbau: Torrsionsmodul

0,00

1,96

5,89

9,81

19,62

29,43

49,05

68,67

0,0

1,5

4,5

7,5

15,0

22,5

38,0

53,0

FN

ϕ°

ϕ

0,000

0,026

0,079

0,131

0,262

0,393

0,663

0,925

0,00

2 × 0,1+2 × 0,2+2 × 0,2+2 × 0,5+2 × 0,5+2 × 1+2 × 1

mkg

y-Achse x-Achse

0,0

0,2

0,6

1,0

2,0

3,0

5,0

7,0

Messwerte für Entladung eines Kondensators

UV

ts

10

9

8

7

6

5

4

3

2

0

13

30

49

72

100

133

176

238

Versuchsaufbau: Kondensator im GleichstromkreisVersuchsaufbau: Kondensator im Gleichstromkreis

Versuchsaufbau: Gammastrahlen

IsotopenGenerator

ÖffnungGM‐Zähler

Abstands‐Skale

Versuchsaufbau: Gammastrahlen

Messwerte für die Bestätigung des Abstandsgesetzes

Nullrate ohne Präparat: N0

= 0,31 s‐1

Abstand

acm

abs. Zählrate

Z1/100s

norm. Zählrate

N1/s

korr. Zählrate

Nkorr1/s

5,07,510,012,515,017,520,022,525,027,530,0

18901084777636529491427412431375371

18,9010,847,776,365,294,914,274,124,313,753,71

18,5910,537,466,054,984,603,963,814,003,443,40

Nkorr = N –

N0

Versuch: GammastrahlenVersuch: Gammastrahlen

t = 100 sMessintervall der Zeit:

Lineare RegressionLineare Regression

Covarianz:

•

Annahme: lineare Abhängigkeit zweier Messgrößen x,y

xbay ⋅+=

•

Gesucht: Gerade, die sich der Punktwolke am besten nähert

Varianz:

• Ausgleichsgerade nach dem Prinzip der kleinsten Summe der Fehlerquadrate(„Least Square Methode“):

∑=

−−

=n

ii xx

nxV

1

2)(1

1)(

∑=

−⋅−−

=n

iii yyxx

nxCov

1)()(

11)(

yxyxn

xCovn

iii ⋅−⋅

−= ∑

=111)(

Lineare RegressionLineare Regression

xbya ⋅−=

Beispiel: Schuhgröße als Funktion der Körperlänge

= 32779,6 –

(181)2 = 18,6

= 7696,9 –

(181·42,5)

= 4,4

0,237

= 42,5 –

0,237 ·181

= -0,397

Körper- größe

Schuh- größe

i xi yi

1 183 43

2 185 43

3 176 42

4 183 42

5 177 41

6 187 45

7 179 42

8 182 42

9 185 44

10 173 41

MW 181,0 42,5

Körper- größe

Schuh- größe

i xi yi xi2

1 183 43 33489

2 185 43 34225

3 176 42 30976

4 183 42 33489

5 177 41 31329

6 187 45 34969

7 179 42 32041

8 182 42 33124

9 185 44 34225

10 173 41 29929

MW 181,0 42,5 32779,6

Körper- größe

Schuh- größe

i xi yi xi2 yi

2

1 183 43 33489 1849

2 185 43 34225 1849

3 176 42 30976 1764

4 183 42 33489 1764

5 177 41 31329 1681

6 187 45 34969 2025

7 179 42 32041 1764

8 182 42 33124 1764

9 185 44 34225 1936

10 173 41 29929 1681

MW 181,0 42,5 32779,6 1807,7

Körper- größe

Schuh- größe

i xi yi xi2 yi

2 xi ·

yi

1 183 43 33489 1849 7869

2 185 43 34225 1849 7955

3 176 42 30976 1764 7392

4 183 42 33489 1764 7686

5 177 41 31329 1681 7257

6 187 45 34969 2025 8415

7 179 42 32041 1764 7518

8 182 42 33124 1764 7644

9 185 44 34225 1936 8140

10 173 41 29929 1681 7093

MW 181,0 42,5 32779,6 1807,7 7696,932779,6181,0 42,5 7696,9

4,4

18,6

0,237

xbay ⋅+=allgemeine Form

=4,4

18,6=( )22 xx

yxyxb−

⋅−⋅=

( )( ) ( )22

,xx

yxyxxV

yxCovb−

⋅−⋅==

( ) ( ) yxyxyxCovn ⋅−⋅=⋅− ,1

( ) ( ) ( )221 xxxVn −=⋅−

y = 0,237·x –

0,317

•


• Ausgewählte

Messverfahren

• Vorstellung des

Praktikums


Teil 1

Teil 2






Ziel: • Abschätzung der Genauigkeit eines Messverfahrens

• Bei einmaliger Messung

einer Größe:

• Bei Mehrfachmessung

einer Größe:

○

Abschätzung des zufälligen Fehlers(z.B.: aus der Anzeige- und Ablesegenauigkeit des benutzten Messgerätes)

○

zweifache Standardabweichung

○

Spannweite-Verfahren (Ausreißer entfernen)

( )2

minmax xxx −=Δ

xsx 2=Δ

Beispiel einer Abschätzung bei einmaliger MessungBeispiel einer Abschätzung bei einmaliger Messung

Bestimmung des elektrischen Widerstandes R eines elektrischen Bauteils• Messung Spannung

(U in V)Strom(I in A)

• Bestimmung der Messunsicherheiten:mit Vielfachmessgerät (Geräteklasse 1,5) mit grober Skaleneinteilung

• Messbereiche (Gleichgrößen) 10 V 1 A

• Abgelesene Werte 9,15 V 0,821 A

•

Zufällige MessunsicherheitAbweichungen durch Ablesung 0,2 V 0,02 A

•

Systematische Messunsicherheit Geräteklasse 1,5 (1,5% vom Skalenendwert)

•

Gesamtmessunsicherheit

uZ (U) = ±

0,1 V uZ (I) = ±

0,01 A

uS (U) = ±

0,15 V uS (I) = ±

0,015 A

u(U) = ±

0,25 V u(I) = ±

0,025 A


• Größtfehler einer Ereignisgröße Y = f(X1 , X2 , …)

Abschätzung des Größtfehlers jeder einzelnen Größe X1 , X2 , ...

Falls die Messunsicherheiten ΔX1 , Δ

X2 << X1 , X2 ,…dann ergibt sich für Y = f(X1 , X2 , ...)auf Grund der Taylorreihenentwicklung

für den Absolutfehler :

...22

11

+Δ∂∂

+Δ∂∂

=Δ XXYX

XYY


Taylorreihenentwicklung für Größtfehler (Beispiel: Druckmessung)

2rF

AFp

⋅==

πpY = FX =1 rX =2

pΔ = rrpF

Fp

Δ∂∂

+Δ∂∂

21r⋅π

xay ⋅=

2−⋅= xay

ay ='

32' −⋅−= xay

•

Nebenrechnung:

•

a x

x-2a

F

πF

21r

rrFF

rΔ

⋅−

+Δ⋅ 32

21ππpΔ =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+Δ

rr

FFp 2pΔ =

1. Summand

2. Summand

2rF⋅π

pΔ = rr

FFr

Δ⋅⋅−+Δ⋅ 32

121ππ

Bei Summen

(oder Differenzen) addieren sich die Absolutfehler

Bei Potenzprodukten

von Messgrößen addieren sich die Relativfehler

...321 +Δ⋅+Δ⋅+Δ⋅=Δ XcXbXaY

...3

3

2

2

1

1 +Δ

⋅+Δ

⋅+Δ

⋅=Δ

XXc

XXb

XXa

YY

...321 +⋅+⋅+⋅= XcXbXaY

...321 ⋅⋅⋅= cba XXXY


Beispiel: Maximale Unsicherheit (Größtfehler)

für RBeispiel: Maximale Unsicherheit (Größtfehler)

für R•

Abgelesende Werte U = 9,15 V I = 0,821 A

R = 11,1449 Ω•

Berechneter Wert

•

Messunsicherheit u(U) = ±

0,25 V u(I) = ±

0,025 Au(R) = ?

•

Grundlage (Ohmsche Gesetz)

•

Anwendung der „Potenzproduktregel“(relativer Fehler für R)

•

Einsetzen der Werte und Einheiten

= 0,0273

+ 0,0305

= 0,0578

u(R)R

0,25V9,15V

= + 0,025A0,821A

u(R) = u(R)R

· R = 0,0578

·

11,1449Ω

•

Darstellung des ErgebnissesR = (11,14 ± 0,64)Ω

u(R)R

= 5,8%

=

0,6442Ω

IUR =

u(R)R

= +u(U)U

u(I)I

= 5,78%

Beispiel: Maximale Unsicherheit (Größtfehler)

für RBeispiel: Maximale Unsicherheit (Größtfehler)

für R

•

Abgelesende Werte U = 9,15 V I = 0,821 A

•

Messunsicherheit u(U) = ±

0,25 V u(I) = ±

0,025 Au(R) = ?

•

„Min-Max-Regel“(relativer Fehler für R) u(R) = Rmax - Rmin

2

•

Maximalwerte Umax = 9,40 V Imax = 0,846 A

•

Minimalwerte

xmax = x +

u(x)

xmin = x -

u(x) Umin = 8,90 V Imin = 0,796 A

Rmax = =Umax

Imin= 11,8090Ω

9,40V0,796A

Rmin = =Umin

Imax= 10,5201Ω

8,90V0,846A

•

Maximalwerte für R

•

Minimalwerte für R

11,8090Ω

–

10,5201Ω

2= = 0,6445Ω

nach der „Min-Max-Methode“

•

Darstellung des Ergebnisses R = (11,14 ± 0,64)Ω

Messwerte für Drehmomentbestimmung

Beispiel für die Bestimmung der absoluten bzw. relativen Abweichung des AnstiegesBeispiel für die Bestimmung der absoluten bzw. relativen Abweichung des Anstieges

FN

ϕ°

0,00

1,96

5,89

9,81

19,62

29,43

49,05

68,67

0,0

1,5

4,5

7,5

15,0

22,5

38,0

53,0

ϕ

0,000

0,026

0,079

0,131

0,262

0,393

0,663

0,925

mkg

0,00

2 × 0,1+2 × 0,2+2 × 0,2+2 × 0,5+2 × 0,5+2 × 1+2 × 1

y-Achse x-Achse

0,0

0,2

0,6

1,0

2,0

3,0

5,0

7,0

FN

ϕ°

0,00

1,96

5,89

9,81

19,62

29,43

49,05

68,67

0,0

1,5

4,5

7,5

15,0

22,5

38,0

53,0

ϕ

0,000

0,026

0,079

0,131

0,262

0,393

0,663

0,925

mkg

0,00

2 × 0,1+2 × 0,2+2 × 0,2+2 × 0,5+2 × 0,5+2 × 1+2 × 1

0,0000

0,0007

0,0062

0,0171

0,0685

0,1542

0,4399

0,8557

y-Achse x-Achse

0,0

0,2

0,6

1,0

2,0

3,0

5,0

7,0

ϕ 2 ϕ · F

0,000

0,051

0,462

1,284

5,137

11,557

32,531

63,521

xbay ⋅+=

( )22 xxyxyxb

−

⋅−⋅=

xbya ⋅−=

= 74,1714,318 ‐

0,310 ∙

23,05

0,1928 –

(0,310)2=

= 23,05 –

74,17 ∙

0,310

F = 74,17 ∙

ϕ + 0,0623,05 0,310 0,1928 14,318

Bestimmung von b

Bestimmung von a

= 0,06

23,05 0,310 14,3180,1928

74,17

0,06

Mittelwert

Allgem. FunktionBerechnung der Regressionsgeraden


ϕ°

0,0

1,5

4,5

7,5

15,0

22,5

38,0

53,0

ϕ

0,000

0,026

0,079

0,131

0,262

0,393

0,663

0,925

0,06

2,00

5,89

9,77

19,48

29,19

49,25

68,67

x-Achse

F‘ (F – F‘)2

0,0036

0,0016

0,0000

0,0017

0,0203

0,0593

0,0406

0,0000

0,127

F‘ = 74,17 ∙

ϕ + 0,06

FN

0,00

1,96

5,89

9,81

19,62

29,43

49,05

68,67

mkg

y-Achse

0,0

0,2

0,6

1,0

2,0

3,0

5,0

7,0

Standardabweichung für F

( )∑ −⋅−

= 2'2

1 FFn

sF

( )∑ ∑−⋅⋅= 22 ϕϕn

nss FAnstieg

Standardabweichung des Anstieges

( ) AnstiegstAnstiegu ⋅=

Abweichung des Anstieges

t-Verteilung für 8 Einzelwerte : 2,37

=1

6·

0,127 = 0,059 Nϕ 2

0,0000

0,0007

0,0062

0,0171

0,0685

0,1542

0,4399

0,8557

= 0,059 N·8

8∙1,542 –

(2,478)2= 0,067 N

= 2,37 ∙

0,067 N

= 0,159

2,478 1,5423

Fϕ = (74,17 ±

0,16) N/rad

u(F/ϕ)F/ϕ = 0,22%

Summe

Funktionsgleichung

2,478 1,5423 0,127

2,37

0,059 N

0,067 N


Statistische Fehlertheorie für MehrfachmessungStatistische Fehlertheorie für Mehrfachmessung

Wendepunkt Wendepunkt

68%

s s

xsx − sx +

( )2

2

2

21)( s

xx

es

xf−

−⋅=

πGaußscheFehlerrechnung

( ) ∑=

=+++=n

iin x

nxxx

nx

121

1...1

Voraussetzungen sind eine

große Anzahl n

von Einzelmessungen, die normalverteilt

sind.

Statistische Fehlertheorie (Gaußsche Fehlerrechnung)Statistische Fehlertheorie (Gaußsche Fehlerrechnung)

• Standardabweichung der Einzelmessung ( )1

2

−

−= ∑

nxx

s ix

○

für fallen 68%

der Messwerte in den Bereich∞→n ±x xs

( )( )1

2

−−

= ∑nn

xxs i

x

• Standardabweichung des Mittelwertes

○

für fällt der Erwartungswert mit 68%

Wahr in den Bereich∞→n ±x xs

○

für wird mit dem Faktor

t (Student -

t-Verteilung, Praktikumsunterlagen)multipliziert, um die gleiche oder eine bessere) statistische

Sicherheit zu erhalten.

∞<<n


• Für wird mit dem Faktor

t (siehe Arbeitsunterlagen) multipliziert, um die gleiche (oder eine bessere) statistische Sicherheit P zu erhalten.

∞<<n xs

• t - Werte (Student t-Verteilung) für unterschiedliche statistische Sicherheiten

Pund verschiedenen Stichprobenumfang

n

• Man nennt xst ⋅ xstx ⋅±die Messunsicherheit

und den Vertrauensbereich.

n-1/P 60% 70% 80% 90% 95% 99% 99,9%2 1,060 1,39 1,89 2,92 4,30 9,92 31,6

4 0,941 1,19 1,53 2,13 2,78 4,60 8,61

5 0,920 1,16 1,48 2,02 2,57 4,03 6,86

9 0,883 1,10 1,38 1,83 2,26 3,25 4,7814 0,868 1,08 1,34 1,76 2,14 2,98 4,14

0,842 1,04 1,28 1,64 1,96 2,58 3,29∞

95%

4,30

2,78

2,57

2,26

2,14

1,96am häufigsten im Praktikum verwendet

Siehe Einführungsheft Seite 31

Statistische Fehlertheorie für MehrfachmessungStatistische Fehlertheorie für MehrfachmessungBeispiel: Bestimmung des Durchmessers d eines Metallstabes

Mittelwert :

0,0177

Sys. Messunsicherheit :

Standardabweichung :

Student – t-Verteilung :

Gesamtmessunsicherheit :

Zufällige Messunsicherheit :

0,005

0,006

2,09

0,0127

5,519

d = (5,52 ±

0,02) mm

aus Tabelle

( ) ( ) ( )dududu ZS +=

1234567891011121314151617181920

5,5155,5105,5305,520

5,5205,5255,5255,5205,5205,5105,5155,5205,5155,5255,5205,5155,520

5,525

5,515

5,505

n dmm

Ergebnis:

( )dZ stdu ⋅=

Genauigkeitsklasse II( ) dmduS ⋅+= −5105μ

∑=

⋅=n

iid

nd

1

1

( ) ( )∑=

−−⋅

=n

iid dd

nns

1

2

11

Statistische Fehlertheorie für MehrfachmessungStatistische Fehlertheorie für MehrfachmessungBeispiel: Bestimmung des Durchmessers d eines Metallstabes

5,500

5,535

5,5055,5105,5155,5205,5255,530

0

0

125741

0%

0%

5%10%25%35%20%5%

Hdmm

1234567891011121314151617181920

5,515

5,515

5,515

5,515

5,515

5,510

5,510

5,5305,520

5,520

5,5205,520

5,520

5,520

5,520

5,5255,525

5,525

5,5255,505

n dmm

Häufigkeitsverteilung Hmit einer Schrittweite von 0,005 mm

Statistische Fehlertheorie für MehrfachmessungStatistische Fehlertheorie für Mehrfachmessung

Häufigkeitsverteilung

0

1

2

3

4

5

6

7

8

5,500 5,505 5,510 5,515 5,520 5,525 5,530 5,535

Durchmesser

Anz

ahl d

er M

essu

ngen

dmm

Y = f(X1 , X2 , ...)


alle Größen X1 ... Xn sind gleich häufig gemessen•

Voraussetzung:

• Potenzprodukt von Messgrößen

• Bei Summen oder Differenzen

Y = a·X1 + b·X2 + c·X3 + …

Y = X1a · X2

b · X3c

...2

2

2

121

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∂∂

= XXY sXYs

XYs

...)()( 2221

+⋅+⋅= XXY sbsas

...2

2

2

1

21 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

Xs

bXs

aYs XXY

InhaltInhaltTeil 1


• Ausgewählte

Messverfahren

• Vorstellung des

Praktikums


Teil 1

Teil 2





ErgebnisdarstellungErgebnisdarstellung

• Messunsicherheiten werden auf im Normalfall auf höchstensangegeben.

• Messergebnis und Messunsicherheit sollten dabei die gleiche Dimension haben, d. h. die Messunsicherheit kann sein als das Messergebnis.

• Das berechnete Ergebnis kann ebenfalls sein als die Messergebnisse, aus denen es bestimmt wurde.

zwei signifikante Ziffern

nicht genauer

niemals genauer

E = (x ±

u(x)) Einheit

Beispiel 1: Bestimmung der

Dichte eines Quaderförmigen Körpers

x = (39,60 ±

0,05) mm

y = (38,20 ±

0,05) mm

z = (10,00 ±

0,05) mm

m = (40,0 ±

0,1) g

u(x) / x = 0,13%

u(y) / y = 0,13%

u(z) / z = 0,50%

u(m) / m = 0,25%

ρ = 2,64424348 g/cm3 u(ρ) / ρ = 1,01%


Vm

=ρ zyxV ⋅⋅=

zyxm

⋅⋅=ρ

Bestimmungsgleichung

gemessene Größen mitabsoluter und relativer

Messunsicherheit

Ergebnis mit relativerMessunsicherheit

absolute Messunsicherheit

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

ρρρρ uu u(ρ) = 0,02663157 g/cm3

ρ = (2,64 ±

0,03) g/cm3

2

121 lmJ ⋅=

l = (450 ±

0,5) mm

m = (99,8 ±

0,1) g

× 2


Beispiel 2: Bestimmung des Massenträgheitsmomentes eines langen dünnen Stabes

Bestimmungsgleichung

gemessene Größen mitabsoluter und relativer

Messunsicherheit

u(l) / l = 0,11%

u(m) / m = 0,10%

J = 0,001684125 kg·m2 u(J) / J = 0,32%Ergebnis mit relativerMessunsicherheit

absolute Messunsicherheit

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

JJuJJu

ΔJ = 5,3892E-06 kg·m2

ΔJ = 0,0000053892 kg·m2

J = (1,68 ±

0,01) ·

10-3

kg·m2

ZusammenfassungZusammenfassungVersuchsvorbereitung (Planung, Organisation, Aufbau), Versuchsdurchführung (sauberes, zügiges und konzentriertes Arbeiten) sowieAuswertung der physikalischen Experimente.

Verwendung von wissenschaftlicher Literatur (auch Handbücher, Tabellen usw.)

Messen (mit analogen und digitalen Messverfahren) einschließlich der Handhabung von Messgeräten und des Gebrauchs physikalisch-technischer Einheiten,

Anwenden graphischer und mathematischer Verfahren beim Lösen physikalisch-technischer Aufgaben und der Auswertung von Messungen,

•

•

•

•

Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

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