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Hierarchische lineare Modelle:

MehrebenenmodelleEine erste Einführung

in grundsätzliche Überlegungen und Vorgehensweisen

Dr. Matthias Rudolf: M3 – Multivariate Statistik – Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 1

Inhaltsübersicht 1 Problemlage 2 Beispieldatensatz 3 Auswertungsalternativen

Auswertung der Einzeldaten Auswertung gemittelter Daten Auswertung mittels HLM

• Mehrebenen-Modell

4 Fazit und Ausblick


1 Problemlage

Voraussetzung der meisten statistischen Verfahren: Unabhängigkeit der Probanden

Statistische Verfahren sind i. d. R. nicht robust gegen Verletzungen der Unabhängigkeitsvoraussetzung

Grundannahme der Unabhängigkeit ist in typischen Anwendungssituationen verletzt, zum Beispiel ......


1 Problemlage Beispiel 1: Beschäftigte in Abteilungen Level 2: Abteilungen Bauabteilung – Mechanik – Außendienst

Level 1: Beschäftigte


1 Problemlage Beispiel 2: Schüler in Klassen Level 2: Klassen (jeweils 5. Klasse) Klasse A (n=18) – Klasse B (n=30) – Klasse C (n=25) Level 1: Schüler


1 Problemlage

Beispiel 3: Längsschnittdaten

Level 2: Proband Level 2-Prädiktoren z.B. Alter, Intelligenz

Level 1: Messzeitpunkt Level 1-Prädiktor z.B. Aufgabenkomplexität Kriterium z.B. Lösungsqualität


1 Problemlage hierarchische Datenstrukturen

Daten auf mehreren hierarchisch geordneten Ebenen

Einheiten innerhalb aller Ebenen klar definiert und beobachtbar

Jede Einheit einer niedrigeren Ebene ist eindeutig einer Einheit der übergeordneten Ebene zuzuordnen

Gruppen der unterschiedlichen Level können unterschiedlich groß sein


1 Problemlage

hierarchische Datenstrukturen Kriterium wird auf der untersten Ebene (Level 1)

gemessen (d.h. i.d.R. bei jedem einzelnen Probanden)

Prädiktoren werden auf allen Ebenen / in allen Levels erhoben

Problem: Beobachtungen innerhalb einzelner Gruppen der übergeordneten Levels sind eventuell nicht unabhängig voneinander, ähneln sich stärker als zwischen den Gruppen (gemeinsame Bedingungen, Gruppeneffekte, ...)


2 Denkbare LösungsansätzeAuswertung gemittelter Daten Problem: Informationsverluste, Teststärkeverluste

Auswertung der Einzeldaten Problem: verletzte Voraussetzung

Mehrebenen-Modellierung Problemangepasstes Vorgehen


2.1 Auswertung gemittelter Daten

Auswertung gemittelter Daten ohne explizite Berücksichtigung der hierarchischen Datenstruktur ungünstig wegen.... .... Reduzierung der Stichprobengröße auf die

Anzahl der Tätigkeiten (Anzahl der Level 2-Einheiten)

.... undifferenzierter Einbeziehung unterschiedlicher (in Größe, Varianz usw.) Tätigkeiten (Level 2-Einheiten)


2.2 Auswertung der Einzeldaten

Auswertung der Einzeldaten ohne explizite Berücksichtigung der hierarchischen Datenstruktur ungünstig wegen.... .... Verletzung der Voraussetzung der

Unabhängigkeit .... künstlicher Vervielfältigung der Level 2-

Prädiktoren, indem jedem Probanden (Level 1) der jeweilige Wert der Tätigkeit (Level 2) zugewiesen wird (besonders problematisch bei ungleich großen Level 2-Einheiten)



Beispiel aus Eid, Gollwitzer & Schmitt (2010). Statistik und Forschungsmethoden, Kapitel 19. Weinheim: Beltz

Beispiel zur Illustration möglicher Auswirkungen bei Verletzung der Unabhängigkeitsvoraussetzung.

Untersuchung des Zusammenhanges von UV: Verantwortung und AV: Arbeitszufriedenheit an Daten aus 3 Firmen


2.2 Auswertung der Einzeldaten Ökologischer Fehlschluss: Fälschliche Interpretation

eines Zusammenhanges bzw. eines Effekts, der auf der Ebene von Gruppen (Level-2-Einheiten) gefunden wurde, auf der Ebene von Individuen!

Vgl. Eid, Gollwitzer & Schmitt (2010). Statistik und Forschungsmethoden, Kapitel 19. Weinheim: Beltz

Ergebnis bei Annahme der Unabhängigkeit: negativer Zusammenhang!


2.3 ICC und Fehlerkomponenten

Beurteilung des Ausmaßes der „Nicht-Unabhängigkeit durch systematische Level-2-Unterschiede: Intraklassen-Korrelation (intraclass correlation ICC):

2 22 2

2 2 22 1

Level Level

gesamt Level Level



Heuristische Illustration des ICC am Mini-Beispiel (keine korrekte Schätzung!):

2 0.56Firma As

8.2Firma Ay 6.2FirmaBy 2.2FirmaCy 2 6.22Ys

2 2 27.18 6.22 0.96Y innerhalb FirmenYs s s

2 1.76FirmaBs 2 0.56FirmaCs 2 0.96innerhalb Firmens

2 7.18Ys

2 22 2

2 2 22 1

6.22 0.877.18

Level Level

gesamt Level Level



Weitergehende (heuristische) Fehlerkomponentenalalyse: Berechnung von 3 firmenspezifische Regressionsgleichungen

(Y: Arbeitszufriedenheit; X: Verantwortung):

Firma A: ymA = 7.24 + 0.37 · xmA + rmA (m=1,…,5) Firma B: ymB = -0.05 + 1.25 · xmB + rmB (m=1,…,5) Firma C: ymC = 1.04 + 0.15 · xmC + rmC (m=1,…,5)

Level-1-Residuen: rmA, rmB, rmC (m=1,…,5) mit

Varianz der Level-1-Residuen: Level-1-Varianz s2r

mi mi mir y y



Weitergehende (heuristische) Fehlerkomponentenanalyse:

Variabilität der Regressionskonstanten b0 auf Ebene 2 b0A= 7.24, b0B= -0.05 , b0C= 1.04 Variabilität der Regressionskoeffizienten b1 auf Ebene 2 b1A= 0.37, b1B= 1.25, b1C= 0.15

Level-2-Residuen: u0A, u0B, u0C mit Level-2-Residuen: u1A, u1B, u1C mit

Varianz der Level-2-Residuen : Level-2-Varianz s2u0

Varianz der Level-2-Residuen : Level-2-Varianz s2u1

Kovarianz der Level-2-Residuen: Level-2-Kovarianz su0u1

0 2.74b

1 0.59b

0 0 0i iu b b 1 1 1i iu b b


2.4 2-Ebenen-Beispieldatensatz

Level 1: 100 Beschäftigte Kriterium: Leistung Prädiktor: Motivation

Level 2: 10 unterschiedliche Tätigkeiten Prädiktor: Profil der Tätigkeit

(Freiheitsgrade)


2.4 2-Ebenen-Beispieldatensatz Level 1-Daten: Level 2-Daten:



Folie Nr. 21Dr. Matthias Rudolf: M3 – Multivariate Statistik – Vorlesung Einführung HLM


Folie Nr. 22Dr. Matthias Rudolf: M3 – Multivariate Statistik – Vorlesung Einführung HLM


Anforderungen an ein Mehrebenenmodell im Beispiel:

Modellierung der individuellen Leistungswerte in Abhängigkeit von der individuellen Motivation (Regressionskoeffizienten tätigkeitsabhängig).

Modellierung der unterschiedlichen Regressionskonstanten unter den Level-2-Stufen (Tätigkeiten) durch die unterschiedlichen Tätigkeitsprofile (Level 2-Prädiktor).

Modellierung der unterschiedlichen Regressionsanstiege (d.h. der unterschiedlichen Abhängigkeiten von Motivation und Leistung) unter den Level-2-Stufen (Tätigkeiten) durch die unterschiedlichen Tätigkeitsprofile (Level 2-Prädiktor).

2.5. Mehrebenenmodell


Tätigkeits-Profil Fehlerkomponenten

Level 2

Fehler Level 1Motivation Leistung

Level 2:

Level 1:




Level 1-Regressionsgleichung

yij = b0j + b1j · xij + rij (i=1,...,nj, j=1,...,p))

bzw. Leistungij = b0j + b1j · Motivationij + rij

yij: Kriteriumswert des i-ten Pb unter j-ter L. 2-Stufe b0j: Regressionskonstante unter j-ter Level 2-Stufe b1j: Regressionskoeffizient unter j-ter Level 2-Stufe xij: Prädiktorwert des i-ten Pb unter j-ter Level 2-Stufe rij: Fehlerterm des i-ten Pb unter j-ter Level 2-Stufe p: Anzahl der Level 2-Stufen nj: Anzahl der Pb unter j-ter Level 2-Stufe



Level 2-Regressionsgleichung

Level 1-Gleichung (1 Level 1-Prädiktor): yij = b0j + b1j · xij + rij bzw. Leistungij = b0j + b1j · Motivationij + rij

Level 2-Gleichungen (1 Level 2-Prädiktor): b0j = g00 + g01 · zj + u0j bzw. b0j = g00 + g01 · Profilj + u0j

b1j = g10 + g11 · zj + u1j bzw. b1j = g10 + g11 · Profilj + u1j

zj: Level 2-Prädiktor unter j-ter Stufe b0j,b1j: gruppenspezifische Level 1-Regr.-koeff. g00, g01, g10, g11: Level 2-Regressionskoeffizienten u0j: gruppenspezifische Fehlerkomponente von b0j u1J: gruppenspezifische Fehlerkomponente von b1j



yij: Leistung

rij: Fehler Level 1xij: Motivation

1: Konstante

b1j

b0j

zj: Profil u0j: Fehler Level 2u1j: Fehler Level 2

g01 g11



Ergebnisse im Beispiel Level 1-Gleichung: Leistungij = b0j + b1j · Motivationij+ rij

Level 2-Gleichungen: b0j = 2461 + 15 · Profilj + u0j b1j = 43 + 0.2 · Profilj + u1j

Varianz(u0) nicht signifikantVarianz(u1) nicht signifikant

Literatur und Software Ausgewählte Literatur:

Petrenz, M. (2016): Möglichkeiten der Umsetzung von Hierarchischen Linearen Modellen in SPSS im Kontext der Blickbewegungsforschung. Masterarbeit, TU Dresden, Studiengang Psychologie: HPSTS

Raudenbush, S.W. & Bryk, A.S. (2002). Hierarchical Linear Models. Applicationsand Data Analysis Methods (Second Edition). Thousand Oakes: Sage.

Heck, R.H. & Scott, T.L. (2009). An Introduction to Multilevel Modeling Techniques. New York: Routledge.

Eid, M., Gollwitzer, M. & Schmitt, M. (2010). Statistik und Forschungsmethoden, Kapitel 19. Weinheim: Beltz.

Hox, J.J. (2010). Multilevel Analysis: Techniques and Applications. Taylor & Francis.

Luke, Douglas,A. (2004). Multilevel Modeling. Thousand Oakes: Sage.

Software: HLM, SPSS, Mplus, Stata, R u.a.


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