HOMODYN-INTERFEROMETER -...

HOMODYN-INTERFEROMETER

ZUR VIBRATIONSANALYSE

Aufbau eines Vibrometers.

Erzeugung, Anpassung und Demodulation von Signalen.

Diplomarbeit

Durchgeführt am Fachbereich Elektrotechnik der

Hochschule für Gestaltung, Technik und Wirtschaft Pforzheim

Verfasser: Iván Flores Delgado

Korrektor: Prof. Dr.-Ing. Friedemann Mohr

Zeitraum: SS 2006

I

Thesis Laservibrometer Ivan Flores Delgado Dezember, 2006

ERKLÄRUNG

Ich versichere die vorliegende Diplomarbeit selbständig verfasst, keine anderen als

die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benützt, sowie alle wörtlich oder

sinngemäß übernommenen Stellen in der Arbeit gekennzeichnet zu haben.

Pforzheim, den 4. Dezember 2006 ……...……………………

Iván Flores Delgado

II


DANKSAGUNG

Bei der Anfertigung der vorliegenden Diplomarbeit wurde ich von vielen Seiten

direkt oder indirekt unterstützt. Hiermit möchte ich mich bei allen für ihre Hilfe

bedanken.

Vor allem geht mein Dank für die Möglichkeit diese Diplomarbeit durchführen zu

können und für die Unterstützung, wenn es um Hintergrundinformationen zu

diesem Thema ging an Herrn Prof. Dr.-Ing. Friedemann Mohr. Darüber hinaus

möchte ich mich bei ihm für seine hilfreiche Unterstützung während meines ganzen

Aufenthalts in Deutschland recht herzlich bedanken.

Einen weiteren Dank möchte ich an alle Mitarbeiter von dem Messtechniklabor der

Hochschule Pforzheim aussprechen, die mir stets geholfen haben.

Besonders bedanken möchte ich mich bei Herrn Dipl.–Ing. Frank Schadt für die

wissenschaftliche Unterstützung, Betreuung und für seine Hilfe bei der

Ausarbeitung von verschiedenen Abschnitte der Diplomarbeit, sowie bei Herrn

M.Sc. Qamar Abbas Tarar für seine Unterstützung und Zusammenarbeit bei der

praktischen Arbeit des Projektes und weil er mir, wenn es irgendwelche Probleme

gab, immer zur Seite stand.

Weiterhin bedanke ich mich sehr bei Julia Ocker und Markus Benkert für ihre

große Hilfe bei der Korrektur, und bei der Abfassung des Dokuments.

Zum Abschluss möchte ich mich natürlich noch besonders bei meinen Eltern

bedanken, die mich während meines Studiums immer bestärkt und unterstützt

haben.

III


ABBILDUNGSVERZEICHNIS

ABB. 1: ÜBERLAGERUNG VON ZWEI WELLEN MIT PARALLELEN ELEKTRISCHEN VEKTOREN ....................................9

ABB. 2: ÜBERLAGERUNG VON INKOHÄRENTEN WELLEN ........................................................................................10

ABB. 3: SUPERPOSITION NICHT PARALLELER ELEKTRISCHER VEKTOREN. MAXIMUM.............................................12

ABB. 4: SUPERPOSITION NICHT PARALLELER ELEKTRISCHER VEKTOREN. MINIMUM ..............................................12

ABB. 5: MICHELSON-INTERFEROMETER. GRUNDKONZEPT .....................................................................................14

ABB. 6: MICHELSON-INTERFEROMETER. VERKIPPTER STRAHLVERLAUF ................................................................14

ABB. 7: M.I. BERECHNUNG DES OPTISCHEN WEGES ...............................................................................................16

ABB. 8: ZUR INTERFERENZ VON PARTIELL KOHÄRENTEM LICHT ............................................................................18

ABB. 9: MACH-ZEHNDER-INTERFEROMETER, GRUNDAUFBAU ...............................................................................20

ABB. 10: M.Z.I ZUR MESSUNG VON VIBRATIONEN .................................................................................................22

ABB. 11: MZI HETERODYNKONZEPT ......................................................................................................................23

ABB. 12: HETERODYNVIBROMETER. FREQUENZVERSCHIEBUNG BEI BEWEGUNG DES MESSOBJEKTS .....................24

ABB. 13: VIBROMETER-SYSTEMARCHITEKTUR MIT FM-DEMODULATOR ...............................................................25

ABB. 14: HOMODYNINTERFEROMETER MIT EINEM EINZIGEN PHOTODETEKTOR......................................................26

ABB. 15: HOMODYNINTERFEROMETER. AUFBAU ZUR ERZEUGUNG VON I UND Q...................................................27

ABB. 16: VIER AUS DEM MZI GEWONNENE SIGNALE..............................................................................................27

ABB. 17: ELEKTRONISCHE DEMODULATION MIT QUADRATUR-AUFWÄRTSMISCHUNG ...........................................28

ABB. 18: „DIFFERENTIATE & CROSS-MULTIPLY“-ALGORITHMUS ZUR DEMODULATION DER I- UND Q-SIGNALE....29

ABB. 19: DARSTELLUNG VON I UND Q IM ZEIGERDIAGRAMM.................................................................................30

ABB. 20: FUNKTIONSGENERATOR FÜR BELIEBIGE FUNKTIONEN. MODELL AFG3102 VON TEKTRONIX..................39

ABB. 21: BENUTZERINTERFACE IN ARBEXPRESS ....................................................................................................40

ABB. 22: ERZEUGUNG EINES I-SIGNALS IN ARBEXPRESS. MF=1000 .......................................................................40

ABB. 23: ERZEUGUNG EINES I-SIGNALS IN ARBEXPRESS. MF=100 .........................................................................41

ABB. 24: VERSUCHSANORDNUNG ZUM TESTEN VON I- UND Q-SIGNALEN ..............................................................41

ABB. 25: I- UND Q-SIGNALE AM BILDSCHIRM DES F.G FÜR MF=50 ........................................................................42

ABB. 26: ZEITVERLAUF VON I UND Q IM OSZILLOSKOP ..........................................................................................42

ABB. 27: XY-MODE VON I UND Q IM OSZILLOSKOP ...............................................................................................43

ABB. 28: EINSTELLUNG DES F.G BEI MF=50 UND FM=100KHZ ..............................................................................43

ABB. 29: BESTÄTIGUNG DER MODIFIZIERTEN CARSON-REGEL IM OSZILLOSKOP....................................................44

ABB. 30: BANDBREITE. FUNKTION VON FM. MF=1000............................................................................................45

ABB. 31: BANDBREITE. FUNKTION VON FM. MF=500..............................................................................................46

ABB. 32: BANDBREITE. FUNKTION VON FM. MF=100..............................................................................................47

ABB. 33: BANDBREITE. FUNKTION VON FM. MF=50................................................................................................48

ABB. 34: BANDBREITE. FUNKTION VON FM. MF=3*PI .............................................................................................49

ABB. 35: SCHEMA DES VERSUCHSAUFBAUS ...........................................................................................................51

ABB. 36: BILD DES GESAMTEN VERSUCHSAUFBAUS ...............................................................................................52

ABB. 37: DEMODULATIONSSYSTEM FÜR EIN EINZIGES I-SIGNAL ............................................................................54

ABB. 38: SYSTEM ZUR ERZEUGUNG DER IN GEGENPHASE LIEGENDEN SIGNALE: I1 UND I1´...................................55

ABB. 39: DEMODULATIONSSYSTEM FÜR DIE IN GEGENPHASE LIEGENDEN SIGNALE: I1 UND I1´.............................56

ABB. 40: DEMODULATIONSSYSTEM FÜR ZWEI IN QUADRATUR LIEGENDE SIGNALE: I UND Q .................................56

IV


ABB. 41: SYSTEM ZUR ERZEUGUNG DER SIGNALE I UND Q ....................................................................................57

ABB. 42: KOMPONENTEN ZUR STEUERUNG DES MESSOBJEKTS IM VERSUCHSAUFBAU ...........................................59

ABB. 43: AUFBAUSCHEMA DES M.Z.I .....................................................................................................................59

ABB. 44: AUFBAUSCHEMA DES M.Z.I MIT ZUSÄTZLICHEN OPTISCHEN KOMPONENTEN ..........................................60

ABB. 45: AUFBAUSCHEMA DES M.Z.I ZUR ERZEUGUNG VON I1 UND I1´ ................................................................61

ABB. 46: PRAKTISCHE AUFBAUSCHEMA DES M.Z.I MIT GEKENNZEICHNETEN BAUTEILEN .....................................64

ABB. 47: FOTO DES AUFGEBAUTEN M.Z.I...............................................................................................................64

ABB. 48: BILD DES GESAMTEN VERSUCHSAUFBAUS ...............................................................................................65

ABB. 49: SCHEMATISIERTE ANALOGE SCHALTUNG.................................................................................................67

ABB. 50: LABVIEW-PROGRAMMTEIL. ERFASSUNG UND SUBTRAKTION DER SIGNALE ..........................................72

ABB. 51: LABVIEW-PROGRAMMTEIL. OFFSET-ENTFERNUNG UND MEDIAN-FILTER..............................................73

ABB. 52: LABVIEW-PROGRAMMTEIL. ADAPTIVE TIEFPASSFILTER........................................................................73

ABB. 53: FLUSSDIAGRAMM DES PROGRAMMS ........................................................................................................74

ABB. 54: KONTROLLEN IM BENUTZERINTERFACE DES LABVIEW-PROGRAMMS ....................................................76

ABB. 55: PFAD-KONTROLLE IM BENUTZERINTERFACE DES LABVIEW-PROGRAMMS ............................................76

ABB. 56: ANZEIGEN IM BENUTZERINTERFACE DES LABVIEW-PROGRAMMS .........................................................77

ABB. 57: BENUTZERINTERFACE DES PROGRAMMS. VERSUCH MIT I UND Q UNABHÄNGIG AUS F.G ........................78

ABB. 58: BENUTZERINTERFACE DES PROGRAMMS. VERSUCH MIT I AUS F.G; Q DURCH H.T ..................................80

ABB. 59: BENUTZERINTERFACE DES PROGRAMMS A. VERSUCH MIT I1 UND I1´AUS INTERFEROMETER..................82

ABB. 60: BENUTZERINTERFACE DES PROGRAMMS B. VERSUCH MIT I1 UND I1´AUS INTERFEROMETER..................83

ABB. 61: ANALYSE EINES I-SIGNALS MIT HILFE EINES TABELLENKALKULATIONSPROGRAMMS. A ........................84

ABB. 62: ANALYSE DES AUSGANGS MIT HILFE EINES TABELLENKALKULATIONSPROGRAMMS. A..........................85

ABB. 63: ANALYSE EINES I-SIGNALS MIT HILFE EINES TABELLENKALKULATIONSPROGRAMMS. B........................85

ABB. 64: ANALYSE DES AUSGANGS MIT HILFE EINES TABELLENKALKULATIONSPROGRAMMS. B..........................85

V


INHALTSVERZEICHNIS

KURZFASSUNGEN DEUTSCH - ENGLISCH - SPANISCH 1

1 ALLGEMEINES ZUM LASERVIBROMETER 7

1.1 Übersicht 7

1.2 Grundlagen 7

1.2.1 Optische Interferenz 7

1.2.2 Interferometer in Zweistrahlanordnung. 13

1.2.3 Laservibrometer 21

1.2.4 Heterodynvibrometer 23

1.3 Homodynkonzept 25

1.3.1 Prinzip des Homodyninterferometers 25

1.3.2 Elektronische Demodulation mit Quadratur-Aufwärtsmischung 28

1.3.3 Homodynkonzept mit synthetischer Heterodyn-Demodulation 29

2 UNTERSUCHUNG UND ERZEUGUNG VON SIGNALEN 32

2.1 Übersicht 32

2.2 Theoretische Untersuchung. 33

2.2.1 Einleitung. Vergleich mit Frequenzmodulation 33

2.2.2 Bandbreite. Bessel Funktionen. Carson-Regel. 34

2.2.3 FM ohne Trägerfrequenz. Modifizierte Carson-Regel 36

2.3 Erste Experimentelle Analyse. 38

2.3.1 Zur Vorgehensweise 38

2.3.2 Programmierung des Funktionsgenerators. Software ArbExpress. 39

2.3.3 Experimentelle Messungen. 41

2.3.4 Bandbreite als Funktion von fm und mf. Tabellarische und graphische Darstellung. 45

3 SIGNALERFASSUNG UND DEMODULATION 50

3.1 Übersicht 50

3.2 Vorbereitung und Erzeugung von Signalen 52

3.2.1 Homodyn-Demodulation: Übersicht über das gesamte System 52

VI


3.2.2 Steuerung des Messobjekts. 58

3.2.3 Optische Einrichtung. Verschiedene Variationen. 59

3.2.4 Elektrisch/optische Wandlung und analoge Anpassung. 66

3.3 Digitale Signaldemodulation 67

3.3.1 Vorgehensweise 67

3.3.2 Digitale Implementierung mit LabVIEW 68

3.3.3 Signalanpassung 69

3.3.4 LabVIEW Programm. Gebrauchsanweisung 71

3.3.5 Messungen und Ergebnisse 77

3.4 Schlussfolgerungen 86

4 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK 88

ANHANG 90

A.1 LabVIEW Blockdiagramme 90

A.2 Verschiedene Messergebnisse 92

A.3 HP-Programme 96

LITERATURVERZEICHNIS 97

INTERNETQUELLEN 98

1


KURZFASSUNGEN

DEUTSCH - ENGLISCH - SPANISCH

Unter den verschiedenen Methoden zur Messung von Vibrationen sind optische

Systeme für viele Anwendungen besonders geeignet, da sie keinen mechanischen

Kontakt zum Messobjekt erfordern. Laservibrometer wiederum erscheinen als eine

besonders interessante Geräteklasse, denn sie sind aufgrund ihrer Flexibilität

besonders vielfältig einzusetzen. Außerdem zählen zu ihren Leistungsmerkmalen

eine höhere Empfindlichkeit und eine sehr große Bandbreite.

Das Funktionskonzept von Laservibrometern, wie sie hier betrachtet werden sollen,

basiert auf der Architektur eines Interferometers. Dabei kann man hinsichtlich der

Signalgewinnung und –demodulation zwischen den beiden Hauptvarianten

Heterodynvibrometer und Homodynvibrometer unterscheiden. Beide Lösungen

besitzen Vor- und Nachteile. Doch die Nachteile des Homodynvibrometers

scheinen mit neuen elektronischen Technologien immer einfacher überwindbar zu

sein.

Diese Diplomarbeit befasst sich mit dem Homodyn-Laservibrometer als zentralem

Thema. Die Entwicklung eines solchen Vibrometers ist ein Projekt von Prof. Dr.-Ing.

Friedemann Mohr und seiner Arbeitsgruppe in der Fakultät Technik der

Hochschule Pforzheim. Das Thema der Diplomarbeit entstand aus diesem Projekt

2


heraus, und es war das erklärte Ziel, wichtige Erkenntnisse für die Auslegung der

dort zu realisierenden Signalverarbeitung zu gewinnen.

Die Ziele der durchgeführten Arbeit waren im Wesentlichen:

‚ Einen allgemeinen Einblick in das Gebiet „Interferometer“ zu geben.

Besonderer Wert wird dabei auf das Thema Homodynvibrometer gelegt.

‚ Eine mathematische Untersuchung durchzuführen über die Signale, die von

den Interferometern generiert werden. Vor allem wird hier die benötigte

Bandbreite betrachtet.

‚ Ein funktionsfähiges Homodynvibrometer aufzubauen – mit dem dafür

benötigten Demodulationssystem, welches unter Verwendung digitaler

Technologien implementiert wird, als Schwerpunkt.

‚ Einen Algorithmus zur Demodulation in LabVIEW zu programmieren, und

ihn mit einer Erweiterung des Programms zur Signalanpassung zu ergänzen.

‚ Verschiedene Messungen durchzuführen, um die Funktionsfähigkeit des

Vibrometers und insbesondere des Demodulationssystems zu bewerten.

‚ Am Ende eine Auswertung der Arbeit vorzustellen, zusammen mit einem

Ausblick bzw. Verbesserungsvorschlägen für zukünftige Arbeit in dem

Projekt.

Die vorliegende Dokumentation wird in drei Kapitel untergegliedert:

Das erste Kapitel befasst sich mit sowohl allgemeinen als auch konkreteren Aspek-

ten von Laservibrometern.

Im zweiten Kapitel wird eine mathematische Untersuchung von Signalen und von

der Bandbreite, die unser Demodulationssystem benötigt würde, vorgenommen.

Darin wird auch erklärt, wie solche Signale in einem Funktionsgenerator für

beliebige Funktionen programmiert werden.

Das dritte Kapitel ist die eigentliche ingenieurtechnische Arbeit. Hier wird ein

Mach-Zehnder-Interferometer als Ausgangspunkt für ein Homodynvibrometer

aufgebaut. Der Schwerpunkt des Kapitels ist das System zur Signaldemodulation,

3


welches in LabVIEW als Algorithmus programmiert wird. Danach werden

verschiedene Messungen vorgenommen. Schließlich werden Schlussfolgerungen

und Erweiterungsvorschläge präsentiert.

Optical systems are, for many applications, the most suitable methods to measure

vibrations, since they don’t need mechanical contact with the item under test. Laser

vibrometers are, due to their flexibility, particularly appropriate for innumerable

applications. Furthermore, they own higher sensitivity and very large Bandwidth.

In principle there are two kinds of laser vibrometers called heterodyne and

homodyne vibrometers. Both differ in the kind of signals delivered from the optical

set-up to the electronic processor, and in the way how the processor derives a

vibration-dependent output signal from these.

Both solutions carry pros and cons. Presently, heterodyne vibrometers seem to

dominate the market, however, by consequently exploiting the potential of new

electronic technologies, homodyne vibrometers appear to have the potential to

compete with these.

The main topic of this diploma thesis is an investigation of the homodyne laser

vibrometer. On the other hand, the development of one kind of laser vibrometers is

one of the current projects led by Professor - engineer Friedemann Mohr and his

team of the Faculty of Engineering at Pforzheim University of Applied Sciences.

Therefore, this thesis could be integrated into this Project and serve as a reference.

The present thesis and the previous accomplished works in this project have the

following goals:

‚ To give a general view of the topic interferometers. The emphasis is placed

on the topic homodyne vibrometer.

4


‚ To accomplish a mathematical investigation of the signals, which are

generated by the interferometer, with the focus placed on the necessary

bandwidth.

‚ To construct a functional homodyne vibrometer with the necessary

demodulation system, which is implemented using digital technology.

‚ To program an algorithm for demodulation using the system LabVIEW. This

program can also be extended for signal adjustment purposes.

‚ To carry out several measurements, in order to evaluate the operability of the

vibrometer and in particular the demodulation system.

‚ To present at the end an evaluation of the work, together with suggestions of

ways of improvement for future work.

The available document is subdivided in three chapters:

The first chapter is concerned with both the general and more concrete aspects of

laser vibrometers.

In the second chapter there is a mathematical investigation of signals and the

Bandwidth, which is needed in the demodulation system.

It is also explained, how a signal generator for arbitrary functions can be programmed

in order to produce these signals.

The third chapter is the actual engineering work. Firstly a Mach-Zehnder

interferometer was developed as the starting point for a Homodyne vibrometer.

The emphasis of the chapter is on the system for signal demodulation, whose

algorithm is programmed in LabVIEW. Afterwards different measurements are

made. Finally conclusions and extension suggestions are presented.

Entre los diferentes Métodos existentes para medir vibraciones son los sistemas

ópticos, los mas apropiados para diversas aplicaciones, dado que no necesitan de

un contacto mecánico directo con el objeto de medida. En particular los vibrometros

5


láser son, debido a su flexibilidad especialmente adecuados en innumerables usos.

Además se encuentran entre sus características una muy alta sensibilidad así como

un mayor ancho de banda.

El concepto de vibrómetro láser, tal y como será aquí considerado, se basa en la

arquitectura de un interferómetro. Así se pueden diferenciar, referido a la señal

generada tanto como al sistema de demodulación, entre dos tipos distintos de

interferómetro. Estos son: vibrómetro homodino y heterodino, respectivamente.

Ambas soluciones conllevan ventajas e inconvenientes. Sin embargo, las desventajas

de los vibrómetros homodinos parecen ser, con la inserción de nuevas tecnologías

en electrónica, más fácilmente superables.

El principal asunto tratado en este proyecto fin de carrera es una investigación

acerca del vibrómetro láser homodino. Independientemente, el desarrollo de tal

vibrómetro láser es uno de los actuales proyectos dirigidos por el profesor Dr.-Ing.

F. Mohr junto con su grupo de trabajo en la facultad técnica Hochschule Pforzheim. El

presente trabajo procede de dicho proyecto, y tiene como objetivo obtener

conclusiones sobre diferentes aspectos, fundamentalmente sobre el procesamiento

de señales y aportar información útil para el desarrollo y realización de dicho

vibrómetro láser.

El actual documento y previo trabajo realizado para este proyecto tienen como

objetivos fundamentales:

‚ Ofrecer una visión general del campo de los interferómetros, haciendo

especial incapié en el interferómetro homodino.

‚ Realizar una investigación matemática de las señales, que serán generadas

por este tipo de interferómetro. El punto mas importante aquí será el ancho

de banda requerido.

‚ Construir un vibrómetro homodino funcional. El principal objetivo de

estudio será el necesario sistema de demodulación, que será realizado

usando tecnologías digitales.

6


‚ Implementar un algoritmo para la demodulación, en LabVIEW. Este

programa deberá también ser ampliado con objeto de procesar las señales,

cuando sea necesario.

‚ Efectuar diversas medidas, para evaluar el buen funcionamiento del

vibrómetro y particularmente del sistema de demodulación.

‚ Finalizar con una evaluación del trabajo realizado, junto con sugerencias de

mejora.

El presente documento se ha dividido en tres capítulos:

El primer capítulo, trata tanto de aspectos generales así como más concretos acerca

de vibrómetros láser.

En el segundo capítulo, se realiza una investigación matemática de señales y del

ancho de banda, que se necesita en el sistema de demodulación. También se explica,

cómo se pueden obtener tales señales en un generador de funciónes arbitrarias

programable.

En el tercer capítulo, se describe la parte ingenieríl y mas importante del proyecto.

Aquí se tratará primero de lograr un interferómetro del Mach-Zehnder como punto

de partida para la consecución de un vibrómetro homodino. El énfasis del capítulo

se pone en el sistema para la demodulación de señales, cuyo correspondiente

algoritmo será programado en LabVIEW. A continuación se realizan diversas

medidas. Finalmente, se presentan las conclusiones y las sugerencias para la mejora

del proyecto.

7


1 ALLGEMEINES ZUM

LASERVIBROMETER

1.1 ÜBERSICHT

Das erste Kapitel des folgenden Dokuments ist eine theoretische Einführung in das

Thema Laservibrometer. Die hier benutzte Information wurde aus verschiedenen

Literaturquellen entnommen, zusammengefasst und zweckmäßig adaptiert. Die

allgemeinen optischen Grundlagen sind in [1] J. Casas Peláez zu finden. Für

konkretere Aspekte des Laservibrometers wurde die Publikation von [3] A. Lewin,

F. Mohr, H. Selbach benutzt. Weiterhin wurden einige Details aus [8] F. Mohr

übernommen.

1.2 GRUNDLAGEN

1.2.1 Optische Interferenz

Bei der Überlagerung von zwei harmonischen Wellen mit gleicher Frequenz,

Wellenlänge und Amplitude – wenn die zwei Wellen gleiche Phasen aufweisen –

ergibt sich nach dem Superpositionsprinzip eine Welle mit verstärkter Amplitude.

Sind die beiden Wellen um 180° verschoben, löschen sie sich gegenseitig aus. So

entsteht eine so genannte konstruktive bzw. destruktive Interferenz.

8


In hier interessierenden Fall handelt es sich um elektromagnetische Wellen, daher

sind mehr Faktoren zu berücksichtigen. Eine Untersuchung wird im Folgenden

durchgeführt.

1.2.1.1 Arten von Interferenzen

Überlagert man in einem bestimmten Raum zwei optische monochromatische

Wellen der Form )tcos(AR iii l-©y©? mit i=1,2, mit gleicher Frequenz und

Amplitude und mit parallel laufenden elektrischen Vektoren, so wird die Intensität

proportional zur quadrierten Amplitude und ist allein von der Phasendifferenz

21 l/l?f abhängig. Diese Intensität hat, abgesehen von einem

Proportionalitätsfaktor, die Form:

fcos2 21

2

2

2

1 ©©©--? AAAAI (1.1)

Im Fall gleicher Amplituden AAA »? 21 erhalten wir:

* +2

cosA4cos1A2I 222 f©©?f-©©? (1.2)

Daher ist die resultierende Lichtstärke maximal, wenn die Phasen übereinstimmen

(In Phase) und minimal wenn sie entgegengesetzt laufen (Gegenphase).

m©©? rf 2 ?m 0, 1, 2,… Maximum (1.3)

* + rf ©-©? 12 m ?m 0, 1, 2,… Nullminimum (1.4)

Zwei monochromatische Wellen gleicher Amplitude, mit elektrischen Vektoren E1

und E2, die sich in Richtungen s1 bzw. s2 ausbreiten, werden in Abb. 1 dargestellt.

9


Abb. 1: Überlagerung von zwei Wellen mit parallelen elektrischen Vektoren

Wir setzen monochromatische und unendliche Wellen voraus, dass heißt, die

Phasendifferenz verändert sich nicht mit der Zeit. Deshalb ergeben sich Bereiche

wie P, wo die resultierende Lichtstärke immer null ist und andere wie Q, wo sie

immer maximal ist. Diese Beleuchtungsstärkevariationen aufgrund Phasen-

verschiebung werden als Interferenzphänomene bezeichnet.

1.2.1.2 Bedingungen für das Entstehen von Interferenz

Interferenzphänomene treten grundsätzlich auf, wann immer zwei

elektromagnetische Wellen zur Überlagerung gebracht werden. Doch um diese

Phänomene zu detektieren und anzuwenden, müssen bestimmte Bedingungen

erfüllt sein. Idealerweise muss gelten:

a) Die überlagerten Wellen sind kohärent;

b) Sie haben gleiche Frequenz und möglichst gleiche Amplitude;

c) Die entsprechenden Feldvektoren (E, H) sind parallel, d.h. die Wellen haben

gleiche Polarisation.

Die Kohärenzbedingung a) bedeutet, dass die Phasendifferenz zwischen den beiden

Wellen für jeden Raumpunkt unabhängig von der Zeit sein soll. Um das zu

verdeutlichen, nehmen wir an, dass eine lichtundurchlässige Wand zwischen eine

10


Lichtquelle und einen Projektionsschirm gestellt wird und zwei kleine Löcher

hinein gebohrt werden. Die Abb. 2 zeigt schraffiert den Bereich, wo sich die vom

Schirm ausgehenden Lichtwellen überlagern. Allerdings wird im Fall einer

klassischen, d.h. inkohärenten Lichtquelle auf dem Bildschirm keine Interferenz

beobachtet, da die aus P1 und P2 herkommenden Wellen voneinander ganz

unabhängigen Atomen unserer Lichtquelle entstammen.

Inkohärent bedeutet: Haben an einem bestimmten Punkt P und zu einem Zeitpunkt

t1 die zwei Wellen eine bestimmte Phase und weisen sie parallele elektrische

Vektoren auf, so kann schon im nächsten Augenblick t2 der Fall eintreten, dass

sowohl die Phase geändert ist als auch ihre Feldvektoren (die Polarisation).

Denn derartige Variationen des

Emissionszustands passieren in einer

solchen Quelle („klassische

Lichtquelle“, s.o.) zufällig, und zwar

einmal in weniger als 1010 /

Sekunden. Aus diesem Grunde

können mit einem im Vergleich zu

diesen schwankungserscheinungen

langsamen Detektor die

besprochenen Interferenzphänomene

nicht detektiert werden.

Abb. 2: Überlagerung von inkohärenten

Wellen

Stattdessen wird der Detektor im angenommenen Fall mit zwei nicht kohärenten

Wellen nur einen Mittelwert der Lichtstärke detektieren. Mathematisch bedeutet

das, dass sich in Gleichung (1.1) f" zufällig ändert, und dass die vom langsamen

Detektor über viele Schwankungsperioden durchgeführte zeitliche

Mittelwertbildung das Ergebnis hat 0)(cos ?f . Daher ist:

21

2

2

2

1 IIAAI -?-? = (im Fall gleicher Teilintensitäten) = 2A² (1.5)

11


Als Regel kann man also sagen, dass die Überlagerung von inkohärenten

Lichtwellen eine Gesamtintensität ergibt, die so groß ist wie die Summe der

Einzelintensitäten vor der Überlagerung.

Sind die Lichtwellen dagegen kohärent (z.B. weil sie aus einem Laser stammen), so

wird die Phasendifferenz zwischen beiden Teilwellen stabil sei. In Abb. 2 wird dann

an jedem Punkt eine zwar unterschiedliche, aber zeitlich konstante Phasendifferenz

f auftreten. Man erhält damit eine örtlich variierende Gesamtintensität, die sich

wieder nach Gl. (1.2) berechnen lässt. Für Punkte entlang der Symmetrieachse der

Abb. 2 haben beide Teilwellen gleiche Weglängen zurückgelegt, weisen also gleiche

Phasen auf, so dass die Phasendifferenz f verschwindet. Deswegen wird, wieder im

Fall gleicher Teilintensitäten:

2A4I ©? (1.6)

Kohärenz ist ein für Interferenzerscheinungen sehr wichtiges Phänomen; es wird

deshalb nochmals im Abschnitt 1.1.2.2 im Zusammenhang mit Interferometern

diskutiert. Zu weiteren Details, siehe [1] J. Casas Peláez.

Gleiche optische Frequenz b) ist eine Folge der Kohärenzbedingung. Wenn die

Welle unterschiedliche Frequenzen aufweisen, erhält man keine statische

Interferenzfigur. Es gibt jedoch Experimente, die sogar ausdrücklich auf einer festen

Frequenzverschiebung zwischen beiden Teilwellen beruhen. Siehe hierzu den

Abschnitt 1.1.2 Heterodyn-Interferometer. Auch die Forderung nach möglichst

gleicher Amplitude ist logisch, da man eine Interferenzfigur mit gutem Kontrast

zwischen Maximum und Minimum erhalten will. Falls 21 AA ” , haben die Punkte in

Gegenphase kein Nullminimum (siehe Gl. 1.1)

Zur Bewertung der Polarisationsbedingung c) soll jetzt angenommen werden, dass

sowohl a) als auch b) erfühlt sind. Allerdings stehen die elektrischen Vektoren E1

und E2 im gesamten Superpositionsraum in einer Winkeldifferenz c zueinander.

Wenn die zwei Wellen sich in einem Punkt überlagern, gibt es zwischen beiden eine

Phasenverschiebung von optischem Weg abhängig.

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In manchen Punkten werden die Vektoren in Phase sein und die resultierende

Amplitude ist maximal wie in Abb. 3 dargestellt.

Abb. 3: Superposition nicht paralleler elektrischer Vektoren. Maximum

Abb. 4: Superposition nicht paralleler elektrischer Vektoren. Minimum

In einem anderen Punkt kann die Phasenverschiebung 180° betragen, und folglich

ist die resultierende Amplitude dort minimal. Trotzdem wird wegen der

Winkeldifferenz c die Amplitude nicht null werden (siehe Abb. 4).

Wenn"c sehr klein ist, gibt es noch klare Interferenzen. Bei zunehmendem Winkel c

verliert man Kontrast und bei 2rc ? verschwinden die Interferenzstreifen.

Um eine Überlagerung von Wellen zu realisieren, die die Kohärenzbedingung

möglichst gut erfüllt, geht man am besten von einer Laserquelle aus, deren Strahl in

13


zwei Wege aufgeteilt und dann wieder zusammengeführt wird. Für die

Strahlteilung gibt es grundsätzlich 2 Möglichkeiten:

Eine Wellenfront wird räumlich in zwei Teilwellen getrennt, um danach diese zwei

Wellen zu überlagern. Siehe Abb. 2.

Eine Welle wird durch Anwendung eines teilreflektierenden Spiegels in zwei

Strahlen aufgespaltet, die danach wieder überlagert werden.

Diese letzte Technik wird in unserem Interferometer angewendet.

1.2.2 Interferometer in Zweistrahlanordnung.

Die folgenden Interferometeranordnungen arbeiten durch Teilung der Amplitude.

Zunächst wird das Michelson-Interferometer und seine Betriebsweise erklärt. Das

Mach-Zehnder-Interferometer könnte das passende Interferometer für unsere

Zwecke sein, wenn einige Änderungen eingearbeitet werden.

1.2.2.1 Michelson Interferometer.

Das in Abb. 5 dargestellte Michelson-Interferometer (im folgende M.I) besteht aus

zwei senkrecht zum Strahl angeordnete Spiegel E1 und E2 und einem in einem

Winkel von 45° zu dem Spiegel ausgerichteten Strahlteiler L. Dadurch wird das von

der Lichtquelle kommende Licht in zwei Lichtstrahlen mit gleicher Intensität

aufgeteilt, welche zum entsprechenden Spiegel gerichtet werden.

In der Abbildung ist der Strahlweg r skizziert, der zu E1 senkrecht steht. In L wird

der Strahl in r1 und r2 aufgeteilt. Diese zwei kohärenten Strahlen werden von den

Spiegeln reflektiert und hinterher in dem Strahl r1+r2 zusammengeworfen. So

entstehen die von der Phasendifferenz f abhängigen Interferenzphänomene. Eine

Glasplatte C muss den optischen Weg von r1 und r2 ausgleichen: Sie sorgt dafür,

dass jeder Teilstrahl auf dem Weg von der Strahlteilung zum Spiegel eine gleiche

Glasstrecke durchlaufen muss.

14


Abb. 5: Michelson-Interferometer. Grundkonzept

Der Strahlverlauf bei verkipptem Ausgangsstrahl ist in Abb. 6 dargestellt. Die

Strahlen r1 und r2 verlaufen jetzt nicht mehr deckungsgleich, aber immer noch

parallel. Sie werden erst durch eine konvergente Linse zur Interferenz gebracht.

Abb. 6: Michelson-Interferometer. Verkippter Strahlverlauf

15


Um den optischen Weg zu berechnen, kann man die Abb. 7 benutzen. Wie in [1] J.

Casas Peláez begründet ist, ergibt sich zwischen 2 Strahlen I1 und I2 eine Differenz

des Optischen WegesF :

)cos(2 s©©?F d (1.7)

mit: s … Winkel zwischen den Strahlen und der Hauptachse

d … Differenz zwischen der Entfernung von E1 und E2 zu L

Alle möglichen zwei Strahlen in s ° zur Optischen Achse sind kohärent zueinander,

daher sind die Interferenzfigur Ringe. Die zwei Extremsituationen sind

gekennzeichnet durch:

ns ©?©©?F md )cos(2 å Maximum (1.8)

* +2

12)cos(2n

s ©-©?©©?F md å Minimum (1.9)

Es wird angenommen, dass sich der in der Mitte stehende Ring am Ausgangpunkt

in einem Zustand von maximaler Intensität befindet.

Sollte E1 verschoben werden, so dass d um 2/n größer wird, wechselt der Ring im

Mittelpunkt von Maximum zu Minimum und wieder zu Maximum.

Nicht alle Ringe verschieben sich gleichmäßig. Stattdessen quellen die Ringe aus

der Mitte heraus, wenn d erhöht wird. Soll d verringert werden, verschwinden

die Ringe in der Mitte.

16


Abb. 7: M.I. Berechnung des optischen Weges

Daher ist klar, dass solche Interferometer verwendet werden können, um Abstände

zu messen. Dafür stellt man einen Spiegel fest und zählt die Ringe, die in der Mitte

verschwinden bzw. auftauchen, wenn sich der andere Spiegel bewegt. Demzufolge

ist daraus auch möglich Position, Geschwindigkeit, Oszillationsfrequenz, etc. zu

messen und das alles mit sehr hoher Auflösung.

1.2.2.2 Kohärenzlänge und Laser

Im Abschnitt 1.1.1.2 ist schon das Thema Kohärenz im Zusammenhang mit

Bedingungen für den Interferenzvorgang oberflächlich diskutiert worden. Die

Darstellung der Abb. 2 hat dort deutlich gemacht, dass eine größere Lichtquelle dem

Kontrast in der Interferenzfigur schadet, denn dann gelangen Photonen auf dem

Detektor zur Interferenz, die aus unterschiedlichen Bereichen der Lichtquelle

17


stammen und somit keine gemeinsame Vorgeschichte – also keine gemeinsame

Phase - haben. Diese Art von Kohärenz wird räumliche Kohärenz genannt und ist

von der Fläche der Lichtquelle abhängig.

Benützt man ein Standard-Michelson-Interferometer, um einen Abstand von etwa

50cm zu messen, sieht man Folgendes: Je größer der Abstand wird, um so mehr

verlieren die Interferenzstreifen an Kontrast, und nach einigen cm sind überhaupt

keine Streifen mehr zu sehen.

Die Begründung dafür ist, dass die aus einer Lichtquelle kommenden Wellen nicht

sinusförmige Wellenzüge mit ideal gleich bleibender Wellenlänge sind, die sich bis

ins Unendliche erstrecken und auch präzise vorausgesagt werden könnten.

Vielmehr baut sich im Verlauf eines Sinuszugs eine immer mehr anwachsende

zufällige Phasenänderung auf, die es unmöglich macht, die nachfolgenden

Auslenkungswerte der Welle über mehr als eine für jede Quelle charakteristische

Länge vorauszuberechnen. Diese Länge heißt Kohärenz-Länge. Einer bestimmten

Länge eines Wellenzugs kann man auch eine zeitliche Dauer zuordnen: Nämlich

die Zeit, die die Welle braucht, um einen Weg dieser gegebenen Länge

zurückzulegen. Diese Zeit nennt man Kohärenzzeit, und generell spricht man bei der

Charakterisierung dieses Zusammenhangs von zeitlicher Kohärenz.

Man kann das Phänomen auch so darstellen, als würde ein Wellenzug aus

einzelnen Teil-Wellenzügen mit idealem Sinusverlauf und einer der Kohärenzlänge

gleichen Länge bestehen, wie sie in Abb. 8 in grüner und blauer Farbe markiert sind.

Nach Ablauf eines jeden dieser Teilzüge beginnt ein neuer mit zwar wieder

identischer Wellenlänge, aber anderer, zufälliger Phase. Aus Abb. 8 wird deutlich,

dass wenn die Differenz F des optischen Weges zwischen 1 und 2 größer ist als die

Kohärenzlänge, die kohärenten Wellensegmente 1 und 2 nicht mehr zur

Überlappung kommen. Stattdessen werden 1 und 2’ überlagert.

18


Abb. 8: Zur Interferenz von partiell

kohärentem Licht

Diese beiden Wellenelemente sind jedoch unkorreliert, da sie zu unterschiedlichen

Zeiten in der Lichtquelle entstanden sind und dazwischen der besagte zufällige

Phasensprung stattgefunden hat. Ein nachfolgendes Paar von interferierenden

Wellenzügen hat das gleiche Problem: Beide entstammen unterschiedlichen

Entstehungszeiten in der Lichtquelle und haben somit wieder eine andere

Phasendifferenz zueinander. So macht zwar jedes Paar von Wellenzügen kurzzeitig

eine Interferenz-Intensität, aber jedes Paar eine andere, da bei jedem die

Phasendifferenz einen anderen, zufälligen Wert aufweist. Da der Detektor aber

über viele Perioden der Intensität mittelt, kann er diesen schnellen Schwankungen

der Interferenz-Intensität nicht folgen: Die von ihm angezeigte Interferenz

verschwindet. Ist die Wegdifferenz F zwischen beiden interferierenden Wellen

kleiner als die typische Länge eines Wellenzugs (also kleiner als die

Kohärenzlänge), so tritt eine zwar schwächer ausgeprägte, aber immer noch

beobachtbare Interferenz auf. Man spricht dann von partieller Kohärenz der beiden

zur Interferenz gebrachten Teilwellen.

Stimulierte strahlungsaussendende Lichtquellen (Laser) haben faszinierende Eigen-

schaften, die sie stark von klassischen Lichtquellen unterscheiden. Aufgrund ihrer

19


hohen Kohärenz-Eigenschaften kann mittels Lasern die Wellennatur des Lichts z.B.

durch Interferenzeffekte direkt beobachtet werden. Laserlicht ist in der Regel

zeitlich sehr kohärent. Das bedeutet, dass es als Welle dann als nahezu idealer

Sinuszug betrachtet werden kann, was wiederum mit dem Vorhandensein einer

klar definierten Wellenlänge und somit Frequenz verbunden ist. Laserlicht ist

deswegen auch immer monochromatisch (einfarbig). Laser sind aber gleichzeitig

auch räumlich sehr kohärent; deswegen kann Laserstrahlung hoch intensiv und gut

gebündelt (fokussiert) werden. Eine weitere Folge der Kohärenz ist, dass Laserlicht

sehr gut polarisiert (meist linear polarisiert) ist.

Eine tiefere Untersuchung des Lasers und seiner Anwendungen ist in [1] J. Casas

Peláez zu finden.

1.2.2.3 Andere Varianten. Mach-Zehnder-Interferometer

Man kann das Michelson-Interferometer auch mit einer geringen Modifikation

aufbauen: Statt einer Lichtquelle, die einen Strahl mit geringem Querschnitt liefert,

kann man eine punktförmige Lichtquelle in Kombination mit einer konvergenten

Linse verwenden. Diese Kombination erzeugt einen Strahl mit großem Querschnitt,

den man dann in der entsprechenden Weise wieder aufteilt und zur Interferenz

bringt. Diese Anordnung nennt man Twyman-Interferometer. Da jetzt alle Strahlen

parallel und kohärent aus der Lichtquelle ausgehen (sie stammen ja aus einem sehr

kleinen punktförmigen Volumenbereich der Quelle), sind weder Ringe noch

irgendwelche Interferenzfiguren mehr zu beobachten, sondern die gleiche Intensität

im ganzen Beobachtungsfeld. Wenn wir den Spiegel E1 um 4/n entfernen oder

annähern, so wechselt die beobachtete Intensität von Maximum zu Minimum.

Die räumliche Kohärenz die mit der konvergenten Linse gewonnen wurde, könnte

aber auch mit einem Laser bewirkt werden. Daneben hat der Laser aber vor allem

den bereits erwähnten Vorteil der hohen zeitlichen Kohärenz.

Ein anderes wichtiges Interferometer ist das Mach-Zehnder-Interferometer (M.Z.I).

20


Wie in Abb. 9 dargestellt ist, besteht es aus zwei Strahlteilern und zwei Spiegeln, die

an den vier Scheitelpunkten eines Vierecks aufgestellt werden. Der Strahl wird

durch L1 in zwei Strahlen aufgeteilt, die in L2 zur Überlagerung gebracht werden.

Eine Anwendung dieses Grundmodells von M.Z.I sind zum Beispiel Messungen

des Brechungsindex n. Der M.Z.I kann auch ohne die Konvergenten Linsen und

stattdessen mit einem Laser eingebaut werden.

Abb. 9: Mach-Zehnder-

Interferometer, Grundaufbau

Verschiedene auf der Basis-Architektur des M.Z.I hervorgehende werden in den

folgenden Abschnitten 1.1.3, 1.1.4, 1.2 und später in Kapitel 3 detailliert erklärt. Jetzt

soll dargelegt werden, dass man durch solche Erweiterungen des M.Z.I - wie auch

mit dem M.I. - Geschwindigkeit messen kann. Im Unterschied zum M.I. kann man

jedoch beim M.Z.I mit zwei Detektoren arbeiten, da der Aufbau zwei Ausgänge

aufweist. Das hat den Vorteil, dass man doppelt so viel Signalintensität auswerten

kann und somit einen besseren Signal-Rausch-Abstand gewinnt. Diese Tatsache

bekommt später besondere Bedeutung, wenn wir aus dem Interferenzsignal eine

21


Information über die Richtung der Spiegelbewegung ableiten wollen (Siehe

Abschnitt 1.3.1 ).

1.2.3 Laservibrometer

Die folgende theoretische Einführung in Laservibrometer wurde von [3] A. Lewin,

F. Mohr, H. Selbach und [8] F. Mohr übernommen.

Um Vibrationen von Oberflächen zu messen, ist es manchmal erforderlich, dass es

keinen mechanischen Kontakt zur Oberfläche gibt. Das ist der Fall, wenn z. B. das

messende Objekt zu klein ist oder wenn die Masse des Sensors die Messung

verfälschen kann. Als Geräte ohne mechanischen Kontakt bieten sich optische

Interferometer geradezu an, denn aufgrund der Messung mit der Bezugsgröße

Licht weisen sie auch eine sehr große Auflösung der Messgröße auf.

Interferometer, die speziell zur Erfassung von Vibrationen – d.h. dynamischen

Bewegungen – optimiert sind, werden als Laservibrometer bezeichnet. Wie vorher

diskutiert (1.1.1 und 1.1.2), ergibt sich am Ausgang eines Interferometers eine

Intensität, die von der relativen Phase zwischen Mess- und Referenzstrahl abhängt.

Das ermöglicht es, den Weg zum Messobjekt zu messen. Eine besondere

Auslegung der Auswerteelektronik macht es dann wiederum möglich, hieraus die

Geschwindigkeit und Vibrationsfrequenz abzuleiten.

In der Abb. 10 ist ein geeignetes Interferometer für diese Aufgabe vereinfacht

dargestellt. Es handelt sich um eine Variation des M.Z.I

22


Abb. 10: M.Z.I zur Messung von Vibrationen

Ein erster neutraler Strahlteiler BS1 teilt den Laserstrahl in Referenzstrahl 1 und

Messstrahl 2 auf. Ein Spiegel wendet 1 zum neutralen Strahlteiler BS2, wo der

Interferenzvorgang erfolgt. Der zweite Spiegel, den es im ursprünglichen M.Z.I

(siehe Abb. 9) gibt, wird durch einen polarisierten Strahlteiler PBS ersetzt, um den

Messstrahl zu dem Messobjekt zu richten. Danach wird 2 von PBS zu BS2

zurückgeworfen und zu Überlagerung mit 1 gebracht. Die resultierende Intensität

kann nach der Interferenz durch zwei Detektoren D1 und D2 wahrgenommen

werden.

Wie bereits früher erwähnt, gibt es grundsätzlich zwei Anordnungen von

Interferometern: Homodyn- und Heterodyninterferometer. Beim Homodynkonzept

haben beide zur Interferenz gebrachten Strahlen die gleiche optische Frequenz. Die

resultierende Intensität ist bei stehendem Messobjekt eine Gleichintensität, deren

Größe von der relativen Phasenlange beider Wellen abhängt. Der Weg des

Messstrahls lässt sich aus der beobachteten Intensität bestimmen.

Bei Heterodyninterferometern werden dagegen zwei Wellen mit verschiedenen

Frequenzen zu Überlagerung gebracht. Nach der Optisch-elektrischen Wandlung

ergibt sich ein FM-moduliertes Vibrationssignal. Durch einen FM-Demodulator

kann man die Objektgeschwindigkeit gewinnen. Daraus lässt sich dann die

Objektfrequenz berechnen.

23


1.2.4 Heterodynvibrometer

Ein Heterodynvibrometer (Abb. 11) könnte beispielsweise so aufgebaut werden,

wie in der Abbildung zu sehen ist. Um die zwei Wellen mit verschiedenen

Frequenzen zu überlagern, wird ein M.Z.I benutzt und in dem Weg der

Referenzstrahl eine Braggzelle (akustooptischer Modulator) gestellt. Zwischen dem

polarisierenden Strahlteiler PBS und dem Messobjekt kann noch eine konvergente

Linse verwendet werden, um den auf das Objekt gerichteten Messstrahl dort auf

einen möglichst kleinen Punkt zu fokussieren.

Abb. 11: MZI Heterodynkonzept

Im Fall eines stehenden Objekts ist bei Heterodyninterferometern die resultierende

Intensität nicht konstant, sondern sie oszilliert mit einer Frequenz, die genau der

Frequenzdifferenz („HF“) beider Wellen entspricht.

Bei Bewegung des Messobjekts mit einer Gleichgeschwindigkeit v verschiebt sich

die Ruhefrequenz um die von der Bewegung verursachte Dopplerfrequenz fD, wie

in Abbildung 12 zu sehen ist.

24


Abb. 12: Heterodynvibrometer.

Frequenzverschiebung bei

Bewegung des Messobjekts

Soll das Messobjekt ein vibrierendes Objekt sein, schwankt die wahrgenommene

Frequenz periodisch nach oben und unten, und es ergibt sich ein

frequenzmoduliertes Signal mit der Trägerfrequenz fB=HF. Daher wird zur

Rückgewinnung der Geschwindigkeit aus dem Detektionssignal ein FM-

Demodulator benötigt.

Ein vereinfachtes Beispiel eines Gerätekonzepts mit einem solchen FM-

Demodulator ist in Abb. 13 dargestellt.

25


Abb. 13: Vibrometer-Systemarchitektur mit FM-Demodulator

1.3 HOMODYNKONZEPT

1.3.1 Prinzip des Homodyninterferometers

Ein möglicher Aufbau eines Homodyninterferometers wird in Abb. 14 dargestellt.

Es handelt sich wiederum um ein M.Z.I; wie das im Abschnitt 1.1.3 erklärt wurde.

Wie vorher erwähnt wurde, haben die 2 überlagerten optischen Wellen beim

Homodyninterferometer die gleiche Frequenz. Im Fall eines stehenden Objekts ist

jetzt die resultierende Intensität konstant und von der Differenz zwischen dem

optischen Wege der Strahlen 2 und 1 abhängig. In diesem Fall und abgesehen von

Proportionalitätsfaktoren erhalten wir von Gl. (1.1) eine Intensität in jedem

optischen Detektor der Form:

* +fcos12 2 -©©? AI , (1.10)

mit f … Phasenverschiebung

26


Abb. 14: Homodyninterferometer mit einem einzigen Photodetektor

Beim M.Z.I kann die Beziehung zwischen f und Z folgendermaßen dargestellt

werden:

)(22

Z©©©

?n

rf , (1.11)

wobei Z…Entfernung zwischen Vibrometer und Messobjekt

Im Gegensatz zum Heterodynkonzept wird jetzt keine Zwischenfrequenz

gewonnen, und deshalb ist nicht möglich, mit einem einzigen Detektor die

Bewegungsrichtung zu erkennen. Um das Bewegungsvorzeichnen zu erfahren,

muss unser Homodyninterferometer erweitert werden. Genauer gesagt, sollen zwei

Signale erhalten werden, die zueinander eine Phasendifferenz von 90° aufweisen.

Ein solches Signalpaar ist als Quadratursignale bekannt, und das so realisierte

Interferometer soll als Quadratur-Interferometer bezeichnet werden.

Ein möglicher Aufbau zur Gewinnung der als I und Q bezeichneten Signale ist in

Abb. 15 dargestellt.

Die Ausgänge der dort eingezeichneten vier Detektoren haben folgende Form:

)sin(11 f-?I (1.12)

)cos(1'2 f/?I (1.13)

)cos(12 f-?I (1.14)

27


)sin(1'1 f/?I (1.15)

Diese Zusammenhänge sind in Abb. 16 graphisch dargestellt.

Abb. 15: Homodyninterferometer. Aufbau zur Erzeugung von I und Q

Abb. 16: Vier aus dem MZI gewonnene Signale

Aus den 4 Detektorsignalen des Interferometers werden zwei offsetfreie

Quadratursignale I und Q durch Subtraktion berechnet:

)sin(2'11 f©?/? III (1.16)

28


)cos(2'22 f©?/? IIQ (1.17)

Die zwei Kanäle lassen sich auf verschiedene Weise technisch realisieren. Die hier

erwähnte Lösung, die in Abb. 14 gezeigt wurde, wird in Kapitel 3 genauer erklärt.

Sind einmal die Signale I und Q in elektrischer Form gewonnen, stellt sich die

Frage, wie diese Signale demoduliert werden können, bzw. wie daraus die

Messobjektgeschwindigkeit erhaltet werden kann. Zwei Lösungen sind im

Folgenden vorgestellt.

1.3.2 Elektronische Demodulation mit Quadratur-Aufwärtsmischung

Eine erste Möglichkeit wäre, den in Abb. 17 dargestellten Algorithmus zu benutzen.

Abb. 17: Elektronische Demodulation mit Quadratur-Aufwärtsmischung

Dabei werden die beiden Detektorsignale I und Q mit zwei ebenfalls in Quadratur

befindlichen Referenzsignalen gemischt (d.h. multipliziert). Dadurch erhalten wir:

))tsin(Q))tcos(I)t(v ©y©-©y©? , (1.18)

das heißt:

)tsin()cos(2)tcos()sin(2)t(v ©y©f©-©y©f©? . (1.19)

nach Anwendung trigonometrischer Additionstheoreme ergibt sich die Gleichung:

)tsin(2)t(v f-©y©? (1.20)

Diese Gleichung hat genau die Form eines frequenzmodulierten Signals. Deswegen

könnte man, wie in einem Heterodynsystem, einen FM-Demodulator benutzen.

Anders als in einem Heterodynsystem ist jetzt die Trägerfrequenz y weder von der

29


Laserquelle noch von der Braggzelle bestimmt. Hier lässt sich diese Frequenz durch

freie Wahl der Frequenz des Lokaloszillators festlegen und damit der zu messenden

Geschwindigkeit anpassen.

1.3.3 Homodynkonzept mit synthetischer Heterodyn-Demodulation

Es gibt eine zweite Möglichkeit, um die Demodulation direkt im Basisband zu

realisieren. Dazu geeignet ist das so genannte „differentiate and cross-multiply“

Konzept. Der entsprechende Algorithmus ist in Abb. 18 dargestellt. Die

Geschwindigkeit wird direkt am Ausgang gewonnen.

Abb. 18: „Differentiate & cross-multiply“-Algorithmus zur Demodulation der I- und Q-Signale

Um das zu verstehen, kann man in den Gleichungen 1.16, 1.17 nachprüfen, dass

unsere durch Homodyninterferometer gewonnenen Signale, abgesehen von einem

Proportionalitätsfaktor, folgende Form haben:

)sin(f?I (1.21)

)cos(f?Q (1.22)

Die Signale sind auch in der Form eines Zeitdiagramms in Abb.19 dargestellt.

30


Es ist sinnvoll, den Phasor Z folgendermaßen zu definieren:

QjIZ ©-?: , so dass )Re(ZI ? und )Im(ZQ ?

Abb. 19: Darstellung von I und Q im Zeigerdiagramm

Definitionsgemäß ist die Winkelgeschwindigkeit die Ableitung von f<

t•

•?

)('

ff (1.23)

wobei

ÕÖÔÄ

ÅÃ?

IQ

arctgf . (1.24)

Man erhält also

t

IQ

IQt

IQ

arctg

t •

ÕÖÔÄ

ÅÃ•

ÕÖÔÄ

ÅÃ-

?•

ÕÖÔÄ

ÅÃ•

?•

•?

2

1

1)(

)('

ff . (1.25)

Das kann weiter umgeformt werden zu:

22

'''

QI

IQIQ

-

©/©?f (1.26)

Die Größe f‘ ist jedoch noch nicht die eigentlich gewünschte Lineargeschwindigkeit

d’ sondern die Winkelgeschwindigkeit. Der Zusammenhang zwischen diesen

31


beiden für unser Laservibrometer ist, wenn man mit n die Wellenlänge unseres Lasers

bezeichnet:

'4

' d©©

?n

rf , (1.27)

32


2 UNTERSUCHUNG UND

ERZEUGUNG VON SIGNALEN

2.1 ÜBERSICHT

Das nachfolgende Kapitel befasst sich mit der Untersuchung von den in Kapitel 1

angesprochenen I- und Q-Signalen. Besonders wichtig für diese Aufgabe ist es zu

wissen, welche Bandbreite solche Signale benötigen. Auch der Zusammenhang

zwischen Bandbreite und verschiedenen Faktoren wie Modulationsfrequenz und

Modulationsfaktor ist zu beachten.

Diese Untersuchung wird zuerst rein theoretisch und danach praktisch mit Hilfe

eines Oszilloskops durchgeführt. Die benutzte Information über FM-Signals

stammt prinzipiell aus [9] J. H. Taub, D.L. Schilling Die Mathematische ausdrücke

würden vor allem aus [2] M.R. Spiegel, L. Abellanas entnommen.

Um solche Signale zu untersuchen müssen sie zuerst generiert werden. Zu diesem

Zweck werden die I- und Q-Signale durch einen Funktionsgenerator erzeugt.

Diese generierten Signale werden auch in Kapitel 3 für die Auswertung eines

Systems zur Demodulation sehr nützlich sein.

In folgender Untersuchung gehen wir von dem im Abschnitt 1.2.1 beschriebenen

Homodyninterferometer aus.

33


2.2 THEORETISCHE UNTERSUCHUNG

2.2.1 Einleitung. Vergleich mit Frequenzmodulation

Die Detektorsignale unseres Homodyninterferometers haben, wie oben gezeigt

wurde, in Abhängigkeit von der Phasendifferenz der interferierenden Wellen die

Form:

)sin(11 f-?I (2.1)

)cos(1'2 f/?I (2.2)

)cos(12 f-?I (2.3)

)sin(1'1 f/?I (2.4)

Aus diesen lassen sich, wie ebenfalls gezeigt wurde, zwei Quadratursignale I und Q

berechnen:

)sin(2'11 f©?/? III (2.5)

)cos(2'22 f©?/? IIQ (2.6)

Für unsere Interferometer gilt:

)(22

d©©©

?n

rf (2.7)

mit d…Verschiebung (Auslenkung)

Wir setzen eine harmonische Bewegung voraus, das heißt:

)sin( tXd ©©? y µ ))sin((22

tX ©©©©©

? yn

rf

und benennen n

r XK

©©?

4: µ )sin( tK ©©? yf .

Daher sind:

))sin(sin(2 tKI ©©©? y (2.8)

))sin(cos(2 tKQ ©©©? y (2.9)

34


Wir benutzen jetzt lieber die bei der Behandlung der Frequenzmodulation übliche

Benennung, wobei:

fmK ?: …Modulationsfaktor

2.2.2 Bandbreite. Bessel Funktionen. Carson-Regel.

2.2.2.1 Grundzusammenhänge

In einem frequenzmodulierten Sinussignal mit

fF … Deviation

cA … Amplitude

fm. …Modulationsfaktor

y … Modulationsfrequenz

cy … Trägerfrequenz

wird die Signalform üblicherweise geschrieben als:

))sin(2

sin(:)( ttAtef

cc ©©F©©

-©©? yy

ry

das heißt, ))sin(sin( tmtAe fcc ©©-©©? yy . (2.10)

Nach Anwendung trigonometrischer Additionstheoreme erhalten wir:

)))sin(sin()cos())sin(cos()(sin( tmttmtAe fcfcc ©©©©-©©©©©? yyyy

Dieser Ausdruck lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln, deren Koeffizienten sich

durch Besselfunktionen angeben lassen:

...)4cos()(2)2cos()(2)())sin(cos( 420 -©©©©-©©©©-?©© tmJtmJmJtm ffff yyy

)...5sin()(2

)3sin()(2)sin()(2))sin(sin(

5

31

tmJ

tmJtmJtm

f

fff

©©©©-

-©©©©-©©©?©©

y

yyy

folglich: ...)))cos()(cos()()sin()(( 10 -©-/©/©/©©©? ttmJtmJAe ccfcfc yyyyy

35


Das Spektrum setzt sich demnach zusammen aus einer Trägerfrequenz mit

Amplitude )(0 fmJ und symmetrisch auf beiden Seiten liegenden Modulations-

produkten.

2.2.2.2 Signalenergie eines FM-Signals:

Die Signalenergie eines FM-Signals ist sowohl von der Modulationsfrequenz=y als

auch von der Trägerfrequenz= cy unabhängig. Wenn wir zudem bedenken, dass

die folgende unendliche Reihe gilt

...)(2)(2)(2)(2)( 2

4

2

3

2

2

2

1

2

0 -©-©-©-©- fffff mJmJmJmJmJ = 1, (2.11)

sehen wir, dass die Signalenergie auch unabhängig vom fm ist.

...))(2)(2)(2)(2)((2

1 2

4

2

3

2

2

2

1

2

0 -©-©-©-©-? fffffv mJmJmJmJmJP = 2

1

2.2.2.3 Bandbreite von FM-Signalen:

Generell ist die Anzahl der Modulationsprodukte unendlich, und damit ist die

Bandbreite auch unbegrenzt. Jedoch ist ein Grossteil der Signalenergie auf wenige

Frequenzkomponenten beschränkt, deren Anzahl mit der so genannten Carson-

Regel berechnen lässt. Dieser Zusammenhang wird im Folgenden abgeleitet.

Die Signalenergie der ersten n Fourierkomponenten beiderseits der Modulations-

frequenz beträgt:

))(2...)(2)(2)(2)((2

1 22

3

2

2

2

1

2

0

*

fnffffv mJmJmJmJmJP ©-©-©-©-? (2.12.)

Diese Reihe ist jedoch abhängig von fm . Eine empirische Untersuchung für

steigende fm zeigt, dass in den Fourierkomponenten bis 1-? fmn , 98% der

Signalenergie enthalten ist. Nach Carson wird demzufolge

fm f ©-©? )1(2BW (2.13)

als Bandbreite eines FM-Signals bezeichnet. Dieser Zusammenhang ist als

„Carson-Regel“ bekannt.

Nähere Erklärungen darüber können in [9] J. H. Taub, D.L. Schilling nachgelesen

werden.

36


2.2.3 FM ohne Trägerfrequenz. Modifizierte Carson-Regel

2.2.3.1 Vorüberlegungen:

Die bisherige Berechnung ist für unsere I- und Q-Signale nur bedingt geeignet: Wir

können nicht begründen, dass für unseren besonderen Fall – Frequenzmodulation

mit Trägerfrequenz yc = 0 - die „Carson Regel“ anwendbar ist, da nun Frequenzen,

die für mc yy @@ positiv sind, in den Bereich negativer Frequenzen fallen.

Bevor wir eine mathematische Untersuchung durchführen, können wir nur

vermuten, welche Bandbreite wir benötigen werden. Wir beobachten das Spektrum

eines beliebigen FM-Signals mit cy > BW/2.

Jetzt verringern wir yc. Das Spektrum wird dann im Frequenzbereich nach links

verschoben. Für yc = 0 kann man annehmen, dass die linke Hälfte des Spektrums

nicht betrachtet werden muss, und wir könnten sie aus dem Frequenzbereich

entfernen. Wenn dass so wäre, entspräche unsere Bandbreite nicht mehr

fm f ©-© )1(2 , sondern fm f ©-? )1(BW

2.2.3.2 Theoretische Verarbeitung.

Die aufgestellte These ist logisch, aber mathematisch noch nicht bewiesen.

Allerdings gehen wir nicht mehr von einem symmetrischen Spektrum aus. Jetzt

stellt sich die Frage, ob wir die negativen Frequenzen einfach löschen können oder

ob dieser Vorgang eine Auswirkung auf die positiven Frequenzen hat.

Deswegen wird eine mathematische Untersuchung durchgeführt, die der

Rechtfertigung der Carson-Regel ähnelt, aber jetzt muss berücksichtigt werden,

dass cy =0 ist.

))sin(sin(___ tmAIInphaseohneSignal fcc ©©©?» yy (2.14)

))sin(cos(___ tmAQQuadraturohneSignal fcc ©©©?» yy (2.15)

37


Da die Fourierreihen lauten

)...t5sin()m(J2)t3sin()m(J2)tsin()m(J2))tsin(msin( f5f3f1f ©y©©©-©y©©©-©y©©?©y© ,

...)4cos()(2)2cos()(2)())sin(cos( 420 -©©©©-©©©©-?©© tmJtmJmJtm ffff yyy ,

ergibt sich durch Einsetzen:

)...)5sin()(2

)3sin()(2)sin()(2))sin((sin(

5

31

tmJ

tmJtmJtmAI

f

fffc

©©©©-

-©©©©-©©©?©©©?

y

yyy

...)4cos()(2

)2cos()(2)())sin(cos(

4

20

-©©©©-

-©©©©-?©©?©

tmJ

tmJmJtmAQ

f

fffc

y

yy

Für Q setzt sich das Spektrum wieder aus einem DC-Anteil J0(mf) und aus auf der

rechten Seite liegenden Modulationsprodukten zusammen. Doch jetzt ist der

Abstand zwischen zwei nacheinander folgenden Modulationsprodukten doppelt so

groß wie zuvor. Außerdem ist jedes dieser Produkte doppelt so groß.

Das Gleiche gilt für I. Nur gibt es hier kein Modulationsprodukt, dessen Frequenz 0

ist. Und nun ist die Signalenergie von Q und I nicht mehr unabhängig vom fm , da

...)(2)(2)(2)(2)( 2

4

2

3

2

2

2

1

2

0 -©-©-©-©- fffff mJmJmJmJmJ = 1

aber

)(...)(2)(2)( 2

4

2

2

2

0 ffff mFunktionmJmJmJ ?-©--©--

)(...)(2)(2 2

3

2

1 fff mFunktionmJmJ ?-©-©

2.2.3.3 Bandbreite von Q- bzw. I-Signal:

Die Signalenergie der ersten n Fourierkomponenten beträgt:

))(2...)(2)((2

1 2

2

2

2

2

0

*

fnffQv mJmJmJP ©-©-? (2.16)

))(2...)(2(2

1 2

12

2

1

*

fnfIv mJmJP-

©-©? (2.17)

Die ganze Signalenergie entspricht der unendlichen Fourierreihe:

...))(2)(2)((2

1 2

4

2

2

2

0 -©-©-? fffQvmJmJmJP (2.18)

38


...))(2)(2(2

1 2

3

2

1 -©-©? ffIvmJmJP (2.19)

Dennoch sind beide Reihen abhängig von fm . Eine empirische Untersuchung

ähnlich der Unter-suchung zur „Carson-Regel“ für steigende fm zeigt, dass in den

Fourierkomponenten bis 1-? fmn ein Anteil von 98% der Signalenergie enthalten

ist. Daher wird

fm f ©-B )1(BW (2.20)

als Bandbreite eines I- bzw. Q-Signals bezeichnet.

Dieser Zusammenhang wurde auch durch eine numerische Untersuchung bestätigt.

Dafür wurde der entsprechende Algorithmus in einem programmierbaren

Taschenrechner „Hewlett-Packard 48G“ implementiert. (siehe Anhang 5.3: HP-

Programms)

2.3 ERSTE EXPERIMENTELLE ANALYSE.

2.3.1 Zur Vorgehensweise

Nun sollen die I- und Q-Signale elektrisch generiert werden. Dies hat zweierlei

Vorteile:

Zum einen kann man mit den in Quadratur generierten Signalen arbeiten, ohne

warten zu müssen, dass diese Signale von der optische Einrichtung erzeugen

werden. Das heißt, dass verschiedene Gruppen dieses Signal benutzen können, um

beispielsweise einen Digital- bzw. Analog-Signaldemodulator zu testen. Solche

Anwendungen von den hier erzeugten Signalen sind in Kapitel 3 zu sehen.

Zum anderen können wir mit Hilfe eines Oszilloskopes und FFT (Fast Fourier

Transformation) Darstellungsmodus unser Spektrum beobachten, um die

durchgeführte theoretische Untersuchung über Bandbreite zu bestätigen.

Um solche Signale zu erzeugen, reicht ein normaler Funktionsgenerator nicht aus.

Doch gibt es Geräte wie den AFG3102 Funktionsgenerator für beliebige Funktionen

(im folgenden F.G) von Tektronix, die diese Aufgabe durchführen können (siehe

Abb. 20).

39


Der AFG3102 ist ein zwei-Kanal-Funktionsgenerator, der es erlaubt, direkt mit der

Tastatur komplizierte Funktionen in Signale umzusetzen. Man kann sogar FM-

Signale durch die Einstellung von verschieden Parametern direkt einsetzen. Dafür

sind erforderlich: Deviation, Amplitude, Modulationsfrequenz und Trägerfrequenz.

Im unserem Fall können die I- und Q-Signale nicht so einfach generiert werden, da

der FM-mode nur eine Trägerfrequenz ‡ Deviation erlaubt.

Trotzdem kann man auch den Funktionsgenerator mit beliebigen Funktionen

programmieren. Das geschieht über den Arbitrary Mode.

Abb. 20: Funktionsgenerator für beliebige Funktionen. Modell AFG3102 von Tektronix

2.3.2 Programmierung des Funktionsgenerators. Software ArbExpress.

Um unsere I- und Q-Signale zu generieren, wird in ArbExpress (Abb. 21) die

entsprechende Datei gewonnen, da dies die geeigneste Software für diesen Vorgang

ist. Die Datei wird danach auf den F.G AFG3102 geladen.

Die benötigten Funktionen können direkt mathematisch beschrieben werden. Für

detaillierte Gebrauchshinweise, siehe [16] ArbExpress.

40


Abb. 21: Benutzerinterface in ArbExpress

Die Funktionen müssen kompiliert und gespeichert werden. Sie können zum

Beispiel auf einem USB-Stick zum Funktionsgenerator übertragen werden.

Die nächsten zwei Abbildungen zeigen solcher Funktionen in ArbExpress für

1000?fm bzw. 100?fm :

Abb. 22: Erzeugung eines I-Signals in ArbExpress. mf=1000

41


Abb. 23: Erzeugung eines I-Signals in ArbExpress. mf=100

2.3.3 Experimentelle Messungen.

Jetzt muss experimentell nachgeprüft werden ob die aufgestellte Formel stimmt.

Die Versuchsanordnung könnte folgendermaßen aussehen:

Abb. 24: Versuchsanordnung zum Testen von I- und Q-Signalen

Das Oszilloskop und der Funktionsgenerator werden durch zwei Kanäle

zusammen geschaltet und ein paar passende I- und Q-Signale ausgewählt.

42


Zum Beispiel wie unten gezeigt mit fm =50. Die Signale sind in die zwei Kanäle von

F.G aufgeladen und aktiviert, die Modulationsfrequenzen müssen auch

ausgeglichen werden.

Abb. 25: I- und Q-Signale am Bildschirm des F.G für mf=50

So sehen die beiden Signale im Bildschirm des Oszilloskops aus:

Abb. 26: Zeitverlauf von I und Q im Oszilloskop

Wenn die Signale richtig angesteuert sind, sollte im Modus „XY-Darstellung“ ein

Kreis erscheinen.

43


Abb. 27: XY-Mode von I und Q im Oszilloskop

Als Nächstes wählt man eine bestimmte Modulationsfrequenz für das aufgeladene

Signal mit mf=50. Zum Beispiel fm=100KHz.

Abb. 28: Einstellung des F.G bei mf=50 und fm=100KHz

Mit Hilfe des FFT-Modus wird die benötige Bandbreite geschätzt und die Formel

zur Berechnung der Bandbreite nachgewiesen.

44


Abb. 29: Bestätigung der modifizierten Carson-Regel im Oszilloskop

In der oberen Abbildung ist fm =50, f=100KHz und BWB 5MHz, und erfüllt also

tatsächlich die Gleichung: fm f ©-B )1(BW

Nachfolgend wollen wir verschiedene Messungen durchführen um damit den

Zusammen-hang zwischen fm , f, und BW zu beobachten.

Wir laden jedes Mal beide I- und Q-Signale für ein bestimmtes mf. Dann messen

wir mit Hilfe eines Oszilloskopes im FFT-Modus, welche Bandbreite die Signale für

jede Frequenz aufweisen.

45


2.3.4 Bandbreite als Funktion von fm und mf. Tabellarische und graphische

Darstellung.

1.Versuch. fm =1000

Messung: BW in oszi. FFT mode

Tabelle: 1

Zusammenhang

zwischen: BW und fm

fm : 1000

XY-Darstellung.

Maximale Frequenz 100 Hz

BW und fm

1,0E+00

1,0E+01

1,0E+02

1,0E+03

1,0E+04

1,0E+05

1,0E+06

1,0E+07

1,0E-01 1,0E+00 1,0E+01 1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04

fm (Hz)

BW

(H

z)

Abb. 30: Bandbreite. Funktion von fm. mf=1000

fm (Hz) BW (Hz)

1,00E-01 128

2,00E-01 255

3,80E-01 488

1,00E+00 1,28E+03

4,00E+00 5,10E+03

1,00E+01 1,29E+04

2,00E+01 2,57E+04

4,00E+01 5,10E+04

1,00E+02 1,28E+05

2,00E+02 2,55E+05

4,00E+02 5,15E+05

1,00E+03 1,28E+06

2,00E+03 2,55E+06

4,00E+03 5,00E+06

7,50E+03 9,70E+06

46


2. Versuch. fm =500


Tabelle: 2

Zusammenhang

zwischen: BW und fm

fm : 500

XY-Darstellung.

Maximale Frequenz 500 Hz

0,0E+00

2,0E+06

4,0E+06

6,0E+06

8,0E+06

1,0E+07

1,2E+07

0,0E+00 5,0E+03 1,0E+04 1,5E+04 2,0E+04

fm (Hz)

BW

(H

z)

fm (Hz) BW (Hz)

1,00E-01 51,56

1,00E+00 5,16E+02

1,00E+01 5,16E+03

1,00E+02 5,16E+04

1,00E+03 5,16E+05

1,00E+04 5,16E+06

1,90E+04 9,77E+06

Abb. 31: Bandbreite. Funktion

von fm. mf=500

47


3.Versuch. fm =100


Tabelle: 3

Zusammenhang

zwischen: BW und fm

fm : 100

XY-Darstellung.

Maximale Frequenz 2KHz

1,0E+00

1,0E+01

1,0E+02

1,0E+03

1,0E+04

1,0E+05

1,0E+06

1,0E+07

1,0E+00 1,0E+01 1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04 1,0E+05

fm (Hz)

BW

(H

z)

fm (Hz) BW (Hz)

5,00E+00 529

5,00E+01 5,29E+03

5,00E+02 5,29E+04

5,00E+03 5,29E+05

5,00E+04 5,29E+06


von fm. mf=100

48


4.Versuch. fm =50


Tabelle: 4

Zusammenhang

zwischen: BW und fm

fm : 50

XY-Darstellung.


BW und fm

1,0E+00

1,0E+02

1,0E+04

1,0E+06

1,0E+00 1,0E+01 1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04

fm (Hz)

BW

(H

z)

fm (Hz) BW (Hz)

1,00E+01 543

1,00E+02 5,43E+03

1,00E+03 5,43E+04

1,00E+04 5,43E+05


von fm. mf=50

49


5.Versuch. fm =3*pi


Tabelle: 5

Zusammenhang

zwischen: BW und fm

fm : 3*pi

XY-Darstellung.


1,0E+00

1,0E+02

1,0E+04

1,0E+06

1,0E+00 1,0E+01 1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04

fm (Hz)

BW

(H

z)

fm (Hz) BW (Hz)

1,00E+02 1,32E+03

1,00E+03 1,32E+04

1,00E+04 1,32E+05


von fm. mf=3*pi

50


3 SIGNALERFASSUNG UND

DEMODULATION

3.1 ÜBERSICHT

Das dritte Kapitel in dieser Diplomarbeit befasst sich grundsätzlich mit der

Untersuchung von dem in Abschnitt 1.2 beschriebenen Homodynvibrometer:

insbesondere mit der Homodyndemodulation durch den in Abschnitt 1.2.3

genannten „differentiate and cross-multiply“-Algorithmus.

Das Kapitel ist in drei Abschnitte unterteilt. Zuerst wird in Abschnitt 3.2 der Einbau

des gesamten Systems erklärt. Das beinhaltet:

‚ Die Einrichtung des M.Z.I;

‚ Eine analoge Schaltung zur Anpassung von Signalen;

‚ Die digitale Stufe zur Demodulation (PC und D.A.Q-Karte);

‚ Das System zur Steuerung von Vibration des Messobjekts.

Alle durchgeführten Experimente und Aufbauten, die in diesem Abschnitt erklärt

werden, sind Verbesserungen von verschiedene Aufbauten, Versuchen und

Untersuchungen, die von Prof.-Ing. F. Mohr und seiner Arbeitsgruppe in

Messtechniklabor realisiert wurden. Die benutzte Dokumentation stammt aus [8] F.

Mohr und [3] A. Lewin, F. Mohr, H. Selbach.

51


In Abschnitt 3.3 werden die Implementierung des Algorithmus zur Demodulation

und die verschiedenen Verbesserungen, die dazu gehören, beschrieben. Hier wurde

unterschiedliche Dokumentation benutzt. Vor allem: [10] W. Georgi, E. Metin , [8] F.

Mohr und [18] NI developer zone.

Schlussfolgerungen werden in Abschnitt 3.4 angesprochen.

Ein Schema des gesamten Versuchsaufbaus ist in Abb. 35 zu sehen.

Abb. 35: Schema des Versuchsaufbaus

Die in der oberen Abbildung als „Erzeugung von Signalen“ gekennzeichnete Stufe

entspricht dem nachfolgenden Abschnitt 3.2, wobei der Programmierende

Funktionsgenerator nur für Testzwecke dient. Die Rechte Seite („Erfassung und

Demodulation von Signalen“) der Abbildung wird in Abschnitt 3.3 erklärt. Hier gibt es

wiederum ein Oszilloskop, das nicht erforderlich für Demodulation ist, jedoch als

Hilfe dient, um das I- und Q-Signal zu beobachten.

Wie das ganze System praktisch eingebaut wird, ist in Abb. 36 zu sehen. Die

verschiedenen Bauteile werden in den folgenden Abschnitten vorgestellt und

erklärt.

52


Abb. 36: Bild des gesamten Versuchsaufbaus

3.2 VORBEREITUNG UND ERZEUGUNG VON SIGNALEN

Nachfolgend werden verschiedene Aspekte des ins Labor eingebauten

Versuchsaufbaus genauer untersucht. Der optische Aufbau und das System zur

Demodulation werden dargestellt. Darüber hinaus werden die Anordnungen der

mechanischen Bauteile kommentiert. Schließlich wird die Steuerung des

vibrierenden Messobjekts erklärt und die analoge Schaltung zur Anpassung

erläutert.

3.2.1 Homodyn-Demodulation: Übersicht über das gesamte System

Wie bereits in Abschnitt 1.2 beschrieben wurde, besteht unsere Zieleinrichtung aus

vier Photodetektoren, welche die in Quadratur verschobenen I- und Q-Signale

erzeugen. Doch um sowohl den optischen Einbau als auch das

Demodulationssystem zu testen, haben wir verschiedene Vereinfachungen in

Betracht gezogen:

53


Erstens kann, wie in Kapitel 2 beschrieben wurde, sowohl das I- als auch das Q-

Signal von einem geeignet programmierten Funktionsgenerator (F.G) erzeugt

werden.

Zweitens ist es möglich, von einem unabhängigen I-Signal ein Q-Signal durch

Hilbert-Transformation (H.T) zu gewinnen.

Daraus resultieren im Prinzip vier mögliche experimentelle Vorgehensweisen. Und

zwar:

I von F.G; Q durch H.T;

I von Interferometer; Q durch H.T;

I und Q von F.G;

I und Q von Interferometer.

3.2.1.1 I von F.G; Q durch H.T

Zuerst wird der F.G mit einer entsprechenden Datei programmiert, um das I-Signal

zu erzeugen. Der F.G wird an die D.A.Q-Karte durch einen Bananen-zu-BNC-

Adapter und entsprechende Kabel angeschlossen. Diese D.A.Q-Karte dient als

Analog-Digital-Wandler (A.D.C) und wird in unserem PC als digitales Signal

übertragen.

Ein LabVIEW-Programm muss den Rest (Anpassung, H.T, Algorithmus)

durchführen. All dies ist im folgenden Abschnitt 3.2 genauer erklärt.

Die gesamte Stufe zur Demodulation ist in Abb.37 skizziert.

54


Abb. 37: Demodulationssystem für ein einziges I-Signal

3.2.1.2 I von Interferometer; Q durch H.T

Um das I-Signal zu demodulieren, benutzt man eine identische Anordnung zu Abb.

32. Die Anordnung wurde im vorherigen Abschnitt 3.2.1.1 detailliert erklärt. Nun

wird dennoch ein zusätzliches Bauteil gebraucht, denn jetzt wird die „Analoge

Anpassung“ nicht nur einen Adapter darstellen, sondern noch eine analoge

Schaltung umfassen, die unser Strom-Signal in ein geeignetes Spannungs-Signal

umwandelt. Jene Schaltung ist prinzipiell ein Transimpedanzverstärker und wird in

Abschnitt 3.2.4 beschrieben. z

Das System zur Erzeugung des I-Signals ist jetzt nicht mehr der F.G, sondern das

MZI Erforderlich ist nur ein einziger Photodetektor. Mit nur einem Detektor wird

nicht ein I-Signal (ohne Offset-Anteil) erzeugt, sondern vielmehr ein I1-Signal der

Form )sin(11 f-?I in der Art, wie es im ersten Kapitel beschrieben wurde (siehe

Gleichung (1.12)).

Den Offset-Anteil kann man ohne Probleme in unserem Programm löschen. Dafür

kann man z.B. das DC-Anteil des Signals entfernen, aber dies hat den Nachteil, dass

unser Signal jetzt mit einem Hochpassfilter verarbeitet wird: Daher ist das System

nicht in der Lage, ganz langsame Oszillationen zu messen.

55


Eine bessere Alternative, um den Offset-Anteil zu entfernen, wird in Abb.38

dargestellt.

Abb. 38: System zur Erzeugung der in Gegenphase liegenden Signale: I1 und I1´

Jetzt werden zwei Photodetektoren benutzt, so dass die beiden Signale 180°

Phasenverschiebung aufweisen. Die Signale werden I1 und I1’ genannt und die

Weise, wie solche Signale optisch erzeugt werden, wird in Abschnitt 3.2.2.2

aufgezeigt.

Das geeignete Demodulationssystem ist jetzt nur leicht verändert, wie in Abb. 39zu

sehen ist.

Da die zwei Signale jetzt die Form )sin(11 f-?I bzw. )sin(1'1 f/?I aufweisen,

reicht eine Subtraktion zwischen den beiden aus, um den Offset-Anteil zu

entfernen. In diesem Fall wird jene Subtraktion durch unser Programm

durchgeführt. Deshalb braucht man jetzt zwei A.D.C, was im vorliegenden Fall

praktisch bedeutet: Es werden zwei Kanäle in der DAQ-Karte verwendet.

56


Abb. 39: Demodulationssystem für die in Gegenphase liegenden Signale: I1 und I1´

3.2.1.3 I und Q von F.G

Es ist sinnvoll, die I- und Q-Signale unabhängig zu generieren. Unser angestrebtes

Demodulationssystem kann so geeignet getestet werden.

Ein solches Demodulationssystem ist im folgendes dargestellt.

Abb. 40: Demodulationssystem für zwei in Quadratur liegende Signale: I und Q

57


Man benötigt wiederum zwei Kanäle, aber jetzt werden nach digitaler Anpassung

die I- und Q-Signale ohne Subtraktion und ohne Hilberttransformation direkt an

den Digitalen Algorithmus angeschlossen.

Um I und Q zu generieren, muss man einfach den Funktionsgenerator mit

passenden I- und Q-Signalen programmieren. Selbstverständlich sollen

Modulationsfaktor und Modulationsfrequenz von beiden Signalen gleich sein und

die zwei Signale müssen noch synchronisiert werden.

3.2.1.4 I und Q von Interferometer.

Wenn das M.Z.I so eingebaut wird, dass vier Detektoren die Signale I1, I2, I1’ und I2’

wahrnehmen (siehe Abschnitt 1.2.1), kann man ein analoges System einrichten, das

die genannten vier Signale in I und Q umwandelt. Ein solches System besteht

grundsätzlich aus Transimpedanzverstärkern und Subtrahiergliedern und ist in

unterer Abb. 41 zu sehen.

Abb. 41: System zur Erzeugung der Signale I und Q

Wie diese vier Signale von M.Z.I bei Anwendung optischer Komponenten

gewonnen werden, wird in Abschnitt 3.3.2.1 erklärt werden.

58


3.2.2 Steuerung des Messobjekts.

Um das entwickelte Vibrometer zu testen, wird ein System benötigt, das die

geeigneten Vibrationen verursachen kann. Erforderlich ist, dass die Vibrationen

eine harmonische Form aufweisen. Die Vibrationsfrequenz soll sich in dem ersten

Versuch von 0 bis mindestens 10 Hz befinden. Die Vibrationen sollten eine

Amplitude besitzen, die ungefähr in den Bereich von 100 nm bis zu einigen om

fallen.

Das Messobjekt wird am Anfang ein Spiegel sein, der im 90°-Winkel zum

Messstrahl steht. Dieser Spiegel wird an einem Piezoaktuator befestigt. Jener

ermöglicht, dass der Spiegel sich in Richtung des Messstrahls verschieben kann.

Der Piezoaktuator wird durch eine Stromquelle geregelt und der Ausgang dieser

Stromquelle wird wiederum durch ein Spannungssignal bestimmt, das von einem

Funktionsgenerator erzeugt wird. Die drei beschriebenen Komponenten sind im

unteren Bild hervorgehoben.

59


Abb. 42: Komponenten zur Steuerung des Messobjekts im Versuchsaufbau

3.2.3 Optische Einrichtung. Verschiedene Variationen.

Jetzt stellt sich die Frage, wie das M.Z.I praktisch aufgebaut wird; das heißt, welche

optischen Bauteile benutzt werden und wie solche Bauteile angeordnet und justiert

werden.

3.2.3.1 Aufbaukonzept

Wir gehen aus von dem in Abschnitt 1.3.1 erklärten Homodyninterferometer.

Dieses Interferometer ist nochmals in der folgenden Abbildung skizziert.

Abb. 43: Aufbauschema des M.Z.I

Das gezeichnete Interferometer ist eine vereinfachte Version, wobei wir bisher noch

nicht auf praktische Details eingegangen sind. Doch allein mit solchen

Neutralstrahlteilern (BS aus Englisch „Beam Splitter“) und

Polarisationsstrahlteilern (PBS aus Englisch „Polarisation Beam Splitter“) würde

das ganze Interferometer nicht funktionieren.

60


Damit der PBS den vom Messobjekt reflektierten Strahl zur BS2 umlenkt und damit

auch die vier Detektoren die gewünschten Signale wahrnehmen, braucht man

zusätzliche optische Komponenten.

Eine mögliche Lösung besteht aus zwei n/4-Platten (eine davon ist integriert mit

PBS) und aus einer n/2-Platte und wird in Abb. 44 dargestellt.

Abb. 44: Aufbauschema des M.Z.I mit zusätzlichen optischen Komponenten

Die obere n/4-Platte wandelt in Vorwärtsrichtung das aus PBS kommende linear

polarisierte Licht in zirkular polarisiertes.

Der Spiegel bewirkt, dass die Polarisationsdrehrichtung umgekehrt wird. Dann ist

der zurückgeworfene Lichtstrahl nach der n/4-Platte wieder linear polarisiert, aber

gegenläufig gerichtet. Insgesamt hat die Polarisationsachse also um 90° gedreht.

Damit kann das PBS den aus dem Messobjekt reflektierten Strahl zur BS2

umlenken.

Die anderen Bauteile sollen erreichen, dass sich aus dem Interferenzvorgang

elliptisch polarisiertes Licht ergibt. Mit solchem Licht kann man danach durch

Anwendung polarisierter Strahlteiler die gewünschten Signale I1, I2, I1’ und I2’

gewinnen.

61


3.2.3.2 Vereinfachte M.Z.I für I1 und I1’ Signale.

Die in 3.2.2.1 vorgestellte optische Einrichtung kann unser Ziel erreichen, zwei

unabhängig erzeugte I- und Q-Signale zu gewinnen. Schwierig daran ist, dass eine

solche Einrichtung mehr Bauteile und eine bessere Justierung als einfachere

Aufbau-Möglichkeiten benötigt. Deshalb wurde im Labor zuerst eine vereinfachte

Version des M.Z.I errichtet, um unser Demodulationssystem zu testen und um erste

Ergebnisse zu interpretieren.

Der im Labor eingerichtete Aufbau entspricht der Vorgehensweise in Abschnitt

3.2.1.2. Das heißt, man erzeugt zwei zueinander in Gegenphase liegende Signale,

um ein I-Signal ohne Offset zu gewinnen. Dadurch kann im Demodulationssystem

durch H.T ein Q-Signal gewonnen werden.

Das optische Aufbauschema wird in der nächsten Abbildung dargestellt.

Abb. 45: Aufbauschema des M.Z.I zur Erzeugung von I1 und I1´

Wie in 3.2.2.1 besprochen, sorgt die n/4-Platte dafür, dass der PBS den vom

Messobjekt reflektierten Strahl zur BS2 umlenkt. Die n/2-Platte dreht die

Polarisationsrichtung von 1 um 90°, so dass der Referenz- und der Messstrahl

voneinander überlagert werden können. Denn Strahlen, deren Polarisationsachsen

zueinander in einem 90°-Winkel liegen, ergeben keine Interferenz.

62


Somit stellt sich die Frage, welche Phasenverschiebung zwischen den Signalen

besteht, die von D1 und D2 detektiert werden. Um das zu erfahren, müssen wir

wissen, wie die verschiedenen optischen Bauteile die Phasenlage beeinflussen

werden.

Das folgende Argumentationsschema ist stark vereinfacht. Für eine genauere

Untersuchung von Auswirkungen der optischen Bauteilen sollte man auf

spezialisierte Literatur zurückgreifen. Zum Beispiel: [1] J. Casas . Die Spiegel

verschieben den Phasenzustand nicht. Die Strahlteiler (BS1, BS2, und PBS) werden

verschieden auf den Polarisationszustand wirken, je nachdem ob das Licht

zurückgestrahlt (Reflektion) oder durchgeleitet (Transmission) wird.

Bei Reflexion verschiebt sich die Phase um +45°. Erfolgt eine Transmission,

verschiebt sich dagegen die Phase um -45°.

Um die ganze Phasenverschiebung zu berechnen, definieren wir:

fl-? 45:NAMER

fl/? 45:NAMET

, wobei: R steht für Reflexion, T für Transmission und NAME bezeichnet ein

bestimmtes optisches Bauteil;

und

STRAHLP ......Phasenverschiebung für STRAHL.

So erfolgt für das von D2 wahrgenommene Licht, das vom Referenzstrahl 1 kommt:

Reflexion in BS1

Reflexion in BS2

Das entspricht:

flB-?/

90212 BSBSDRAHLREFERENZSTRRP

63


Für das Licht, welches aus dem Referenzstrahl stammt, aber in D1 detektiert wird:

flB-?/

0211 BSBSDRAHLREFERENZSTTRP

Und genauso berechnen wir auch:

fl/B---?/

90211 BSBPSBPSBSDMESSSTRAHLTRTTP

flB---?/

0212 BSBPSBPSBSDMESSSTRAHLRRTTP

daher ergibt sich:

flBfl//fl? 180)90(902DP

flBfl/fl? 0001DP

Insgesamt erhalten wir eine Phasendifferenz von 180° zwischen dem in D1

wahrgenommenen optischen Signal und jenem in D2.

3.2.3.3 Praktische Vorgehensweise.

Das M.Z.I wird auf einem Tisch aufgebaut. Dieser Tisch ist sehr stabil und bietet die

Möglichkeit, alle Bauteile mit Schrauben zu befestigen.

Zunächst werden drei Schienen parallel zueinander montiert. Dadurch wird

ermöglicht, die verschiedenen optischen Komponenten zu verschieben und an der

passenden Stelle zu fixieren.

Die Bauteile, die in Abb. 46 dargestellt wurden, werden auch in das folgende

Schema eingezeichnet und mit ihrem jeweiligen Namen markiert.

64


Abb. 46: Praktische Aufbauschema des M.Z.I mit gekennzeichneten Bauteilen

Ein Bild unseres Aufbaus ist schließlich in Abb. 47 zu sehen.

Abb. 47: Foto des aufgebauten M.Z.I

65


In dem unteren Bild ist das M.Z.I in Verbindung mit vor- und nachgelagerten

Versuchsabschnitten des Gesamtaufbaus zu sehen.

Abb. 48: Bild des gesamten Versuchsaufbaus

Die richtige Justierung jedes Bauteils ist für ein Interferometer kritisch.

Grundsätzlich sollen die Laserstrahlen ein perfektes Rechteck formen. Der

Messstrahl und der Referenzstrahl sollen in geeigneter Weise im BS2 überlagert

werden. Auch jeder Strahl soll sich in einer einzigen Ebene befinden, die parallel

zum Tisch ist. Schließlich soll jedes einzelne Bauteil so angeordnet werden, dass der

Abb. 46 entsprochen wird.

Um eine sehr gute Justierung zu bewerkstelligen, sind vor allem eine gut

durchdachte Methode und eine sorgfältige Arbeitsweise wichtig. Doch selbst mit

der besten Methode können immer Fehler auftreten. Ziel ist es daher, zunächst

Fehler möglichst zu vermeiden. Sind diese unvermeidlich, müssen sie verringert

und kompensiert werden: Ergibt sich beispielsweise statt einer angestrebten

Rechtecksform ein schiefes Parallelogramm, so können sich die Strahle richtig

überlagern sofern die Komponenten zweckmäßig nachgeregelt werden.

66


Um alles so gut wie möglich feststellen und kompensieren zu können, sollten die

Bauteile so vorbereitet werden, dass sie viele Freiheitsgrade besitzen. Deswegen

wurden viele Bauteile so unabhängig voneinander wie möglich aufgestellt und an

mechanischen Bestandteilen befestigt, die in verschiedene Richtungen verschoben

bzw. gedreht sein können.

Wir gehen aus von der in Abb. 49 dargestellten Anordnung. Die Methode zur

Justierung besteht aus folgenden Punkten:

Justierung des Lasers. Man nimmt die anderen optischen Bauteile weg und

befestigt den Laser so, dass der Strahl parallel zu dem Tisch steht.

Justierung von BS1. Die resultierenden beiden Strahlen: 1 und 2 sollen senkrecht

zueinander und parallel zum Tisch verlaufen. Die Justierung von BS1 ist am

Wichtigsten und muss sehr präzise durchgeführt werden. Hinterher wird BS1 nicht

mehr berührt.

Justierung von PBS und OBJ. Der Messobjekt: OBJ (in diesem Fall ein kleiner

Spiegel) soll rechtwinklig zum Laserstrahl stehen. Die von BS1 und PBS

reflektierten Strahlen müssen parallel zueinander und zu dem Tisch verlaufen.

Justierung der Spiegel. PBS und OBJ werden entfernt ohne die Winkel zu ändern,

so dass sie später wieder genau so gestellt werden können. Jetzt sollen der direkte

Strahl und der von dem Spiegel reflektierte Strahl parallel zueinander laufen.

Wiedereinfügen von PBS und OBJ. Die Winkel dürfen dabei nicht verändert

werden. Man stelle nur die Bauteile so hin wie vorher.

Einlegen und Justierung von BS2. Die zwei Strahlen sollen sich in der Mitte der

Linse treffen und sich von dort an überlagern. Die Überlagerung muss für den

ganzen Bereich des Strahls stattfinden und nicht nur für einen kleinen Abschnitt.

3.2.4 Elektrisch/optische Wandlung und analoge Anpassung.

Die von den Photodioden wahrgenommenen optischen Signale werden in

Stromsignale umgewandelt. Die müssen in passende Spannungssignale umgesetzt

werden um von der DAQ-Karte erfasst werden zu können. Daher braucht man eine

67


analoge Schaltung. Diese besteht aus zwei Stufen: Die erste Stufe ist ein

Transimpedanzverstärker der als IåV-Wandler funktioniert. Die zweite ist ein

Spannungsverstärker, mit dem man die Signalamplitude anpassen kann. Die

gerade beschriebene analoge Schaltung wird in Abb. 49 dargestellt.

Eine genauere Untersuchung einer solchen analogen Anpassung wäre vorteilhaft.

Abb. 49: Schematisierte analoge Schaltung

3.3 DIGITALE SIGNALDEMODULATION

3.3.1 Vorgehensweise

Der zweite Abschnitt des Versuchsaufbaus wurde in Abb. 35 als „Erfassung und

Demodulation von Signalen“ gekennzeichnet. Er beinhaltet eine DAQ-Karte (Data

AQuisition card), die als A/D-Wandler zu gebrauchen ist und einen PC mit

geeigneter Software als Demodulationssystem.

Der schon in Abschnitt 1.2.3 angesprochene „differentiate and cross-multiply“

Algorithmus ist mit digitaler Technologie besonders einfach zu implementieren. In

diesem Fall wird er durch ein LabVIEW-Programm realisiert.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, einen derartigen Algorithmus zu

programmieren. Aus den vielen möglichen Variationen wurden drei anwendbare

Versionen entwickelt. Die Programme sind für folgende Anwendungen geeignet:

‚ Demodulation von I und Q Signalen (siehe 3.2.1.3 und 3.2.1.4).

68


‚ Demodulation eines I Signals (siehe 3.2.1.1).

‚ Demodulation von I1 und I1´ Signalen (siehe 3.2.1.2)

Für jede Anwendung muss das entsprechende Programm geladen werden. Das

heißt:

‚ cont scanAlgoritmusOhneHilbert_Optische_2oder4_Diode_I und Q signale_letzte_test_15.09.09

‚ cont scanAlgoritmusMitHilbert_Optische_1_Diode_letzte_test_15.09.09

‚ cont scanAlgoritmusMitHilbert_Optische_2_Diode_180_Verschiebung_letzte_test_15.09.09

3.3.2 Digitale Implementierung mit LabVIEW

Das ausgewählte Programmiersystem ist das bekannte LabVIEW von National

Instruments. Dieses System besteht aus einer graphischen Programmiersprache nach

dem Datenfluss-Modell und ist besonders gut für Datenerfassung und Bearbeitung

geeignet (siehe [10] W. Georgi,E. Metin)

Die verwendete Version ist die LabVIEW 6. Diese Version reicht für diese Zwecke

aus und funktioniert sowohl mit der benutzten DAQ-Karte als auch mit dem

entsprechenden Treiber einwandfrei.

Die DAQ-Karte ist die NI Lab-PC-1200, eine Multifunktions- I/O-Karte von National

Instruments für das ISA-Bussystem.

Ihre Leistungsmerkmale: bis zu 100 kS/s, 12-Bit-Auflösung an 8 single-ended oder 4

differenziellen Analogeingängen, Digitaltrigger, drei 16-Bit-Counter/Timer (8

MHz), 24 digitale I/O-Kanäle sowie zwei 12-Bit-Analogausgänge.

Für das Projekt werden zwei Kanäle als analoger Eingang mit gemeinsamer Masse

verwendet.

Die Aufgaben des Programms sind, abgesehen von der graphischen Darstellung

der Signale, die folgenden:

‚ Implementierung des Algorithmus

‚ Digitale Anpassung der Signale

‚ Speichern von Dateien

69


3.3.3 Signalanpassung

Die hier erklärten grundsätzlichen Zusammenhänge wurden U. Tietze, Ch. Schenk

[4] sowie aus [11] entnommen.

Die Eingangssignale werden zusammen mit einem Offset-Anteil erfasst.

Solche Signale wie I1 und I1’, I2 und I2’ sind in den Gleichungen 1.12 bis 1.15 zu

sehen. Wie schon in Abschnitt 3.2.1.4 erklärt wurde, werden diese Signale

subtrahiert um die I- und Q-Signale zu gewinnen. Somit wird der Offset-Anteil der

zu erfassenden Signale gegenseitig ausgeglichen.

In anderen Fällen dagegen gibt es nur ein Signal der Form I1 und daher muss der

Offset-Anteil durch das Programm entfernt werden. In diesem Fall wird der DC-

Anteil durch Anwendung eines Mittelwert-Subalgorithmus unterdrückt.

Die Signale kommen auch oft mit Rauschen verschiedener Arten, das abgeschwächt

werden soll. Die Eingangssignale werden zuerst mit einem Median-Filter

bearbeitet.

Auf einer graphische Darstellung am Benutzerinterface unseres Programms wurde

beobachtet, dass das Signal zusammen mit Rauschen erfasst wurde. Dieses

Rauschen ist eine Art von „salt and pepper“-Rauschen. Deswegen ist es angebracht,

ein Median-Filter zu verwenden, bevor das Signal durch den Algorithmus

verarbeitet wird.

Das Median-Filter ist eine nicht lineare digitale Filtertechnik. Die Idee ist, eine

Probe des Eingangeswertes zu nehmen und zu entscheiden, ob sie repräsentativ für

das Signal ist. Dieses wird mit einem Fenster durchgeführt, das aus einer

ungeraden Zahl von Proben besteht. Die Werte im Fenster werden in numerisch

aufsteigend sortiert; die Probe in der Mitte des Fensters wird als Ausgangswert

gewählt. Die älteste Probe wird weggeworfen, eine neue Probe wird erfasst und die

Berechnung wiederholt sich. Median-Filter sind besonders nützlich um „salt and

pepper“-Rauschen zu verringern.

70


Das demodulierte Signal (Winkelgeschwindigkeit) wird dann von einem

Tiefpassfilter verarbeitet. Um das Signal anzupassen, kommen die üblichen

analogen Filter für die Signalverarbeitung in Frage:

‚ Kritisch gedämpftes Filter

‚ Bessel-Filter

‚ Butterworth-Filter

‚ Tschebyscheff-Filter

Das Butterworth-Filter ist für unseren Zweck am besten geeignet, da es im

Gegensatz zu Bessel- oder kritisch gedämpften Filtern eine frequenzunabhängige

Amplitudenübertragungsfunktion im Durchlassbereich besitzt. Es besitzt keine

Welligkeit in der Amplitudenübertragungsfunktion und verarbeitet einfache

Signale wie unsere fast ohne Verzerrungen.

Die Hilberttransformation ist eine lineare Integraltransformation, die wie folgend

definiert ist:

Ð¢

¢/ /? dx

xy

xfyg

)(1)(

r

Die Hilbertransformation kann auch als die Faltung einer reellen Funktion f(x) mit

der Übertragungsfunktion h(y) ausgedrückt werden, wie es im Bereich der

Nachrichtenübertragung üblich ist. Dabei ist h(y) definiert als

yyh

©?r

1)(

Im Bereich der Signalverarbeitung ist auch der Umstand wichtig, dass diese

Transformation eine lineare und zeitinvariante Transformation ist - dabei wird oben

eingeführte Variable y dann meist mit dem Buchstaben t bezeichnet und drückt den

Parameter Zeit aus.

In der Signalverarbeitung wird sie daher regelmäßig dazu genutzt um aus einem

reellwertigen Signal die so genannte analytische Funktion zu gewinnen, d. h. den

71


Imaginärteil zu ergänzen. Damit kann man mit relativ geringem Aufwand die

Phase des Signals berechnen.

Die Hilberttransformation kann auch als Phasenverschiebung aller Frequenzen um

+90° gedeutet werden. Statt also im Zeitbereich eine umständliche Integration

durchzuführen, bildet man die Fouriertransformierte: } ’x(t)F)( ?©yjX

und wendet darauf dann die Hilberttransformation an:

. } ’ )()sgn(-)( yyy ©©©?© jXjjXH

Die Hilberttransformierte der Funktion im Zeitbereich erhält man dann wieder

durch eine Fourier-Rücktransformation

} ’ } ’} ’©©? )(HF)( -1 yjXtxH

Praktische Betrachtungen

Die Funktion h(y) ist ein nicht-kausal Filter und kann nicht folglich eingeführt

werden, wie ist, wenn f ein zeitabhängiges Signal ist. Wenn f eine Funktion einer

nicht-zeitlichen Variable z.B. ist räumlich, konnte die Nichtkausalität nicht ein

Problem sein.

Der Filter ist auch von der endlosen Unterstützung, die ein Problem in bestimmten

Anwendungen sein kann.

Eine andere Ausgabe bezieht auf, was mit der Nullfrequenz (DC) geschieht, die

vermieden werden kann, indem man versichert, dass f nicht einen DC-Bestandteil

enthält.

3.3.4 LabVIEW Programm. Gebrauchsanweisung

3.3.4.1 Übersicht über das Programm. Flussdiagram

Nun wird das Hauptprogramm erklärt. Der Algorithmus ist als Flussdiagramm in

Abb. 53 dargestellt und entspricht der in Abschnitt 3.3.1 erwähnten ersten Version.

Und zwar: c) Demodulation von I1 und I1´ Signale .

72


Im Anhang A. LabVIEW „Block Diagrams“, ist das gesamte Block-Diagramm des

LabVIEW-Programms zu sehen.

Die zu den I1- und I1´-Signalen gehörigen Werte werden aus zwei Kanälen der

DAQ-Karte eingelesen und sind als Array im LabVIEW-Programm verfügbar.

Durch die Subtraktion beider Arrays bekommt man ein I-Signal mit sehr geringem

Offset-Anteil und mit doppelt so großer Amplitude wie jede vorige I1- und I1´.

Abb. 50: LabVIEW-Programmteil. Erfassung und Subtraktion der Signale

Da man kein Q-Signal aus dem Interferometer erhält, ist ein Q-Signal durch Hilbert-

Transformation aus dem I-Signal generiert worden.

Davor muss der Offset-Anteil des I-Signals entfernt werden. Zusätzlich benützt

man den Median-Filter, um ein sauberes Signal zu erhalten.

Wie in 3.3.3 erwähnt, ein Programm zu Demodulation von die in Gegenphase

liegende I1- und I1´-Signale, hat dem zweck keine DC-Filter benutzen zu müssen. In

verschiedene Versuche wurde beobachtet dass ohne solche filter, ist die

resultierende I-Signal tatsächlich fast ohne DC-Anteil. Das bedeutet dass wenn zwei

unabhängige I- und Q-Signale demodulieren würden, wäre wahrscheinlich nicht

nötig gewesen ein solches DC-Filter einzusetzen. Allerdings ist es hier notwendig,

da das Q-Signal könnte nicht aus dem Q-Signal durch H.T gewonnen werden,

wenn auch Q zusammen mit einem geringen DC-Anteil erfasst wird.

73


Abb. 51: LabVIEW-Programmteil. Offset-Entfernung und Median-filter

Nach der Demodulation wird das Signal durch den Butterworth-Tiefpassfilter

verarbeitet. Die Ordnung der Filter ist manuell einstellbar. Die Grenzfrequenz ist

für den manuellen Modus auch einstellbar. In Automatik-Modus ist er jedoch

automatisch eingestellt und zwar so, dass er vier Mal so hoch ist wie die

Hauptfrequenz der Schwingung des Messobjekts.

Abb. 52: LabVIEW-Programmteil. Adaptive Tiefpassfilter.

Schließlich werden die Arrays mit dem I-Signal und vom entsprechenden Ausgang

abgespeichert. Zusätzlich wird ein drittes Array abgespeichert das die zugehörigen

Zeitpunkte darstellt. Das kann nachher zur Analyse nützlich sein. Andere Details

des Programms sind in Anhang A zu sehen, wie z.B. Berechnung des

Modulationsfaktor (K), wahrgenommene Frequenz, und low cuttoff-Frequenz.

Ebenso sind die SubProgramme (in LabVIEW, SubVIs) für den „differentiate and

74


cross multiply“-Algorithmus und das Subroutine zum Abspeichern von Dateien

dargestellt.

Abb. 53: Flussdiagramm des Programms

3.3.4.2 Gebrauchsanweisung

Wir gehen davon aus, dass der gesamte optische Aufbau des Interferometers richtig

eingerichtet wird. Auch das System zur Steuerung des Messobjekts und die analoge

Schaltung müssen entsprechend eingestellt und getestet werden.

Die verfügbaren Programme ermöglichen jede der im Abschnitt 3.3.1 aufgezählten

Anwendungen.

75


Man öffnet das geeignete Programm. Zum Beispiel wird für eine Arbeitsweise, wie

in 3.2.1.4 beschrieben, eine Demodulation von I- und Q-Signalen benötigt. Daher

startet man das Programm:

cont scanAlgoritmusOhneHilbert_Optische_2oder4_Diode_I und Q signale_letzte_test_15.09.09.VI

Im Benutzerinterface (Front Panel) sind folgende Kontrollen einzustellen:

‚ „number of scans to read“å Zahl der Abtastungen, die in jeden Laufkreis aus

der Karte eingelesen werden. Dies soll so angepasst werden, dass auf dem

Bildschirm mindestens drei Perioden erscheinen.

‚ „scan rate“ å Abtastrate. Eine gute Wahl für die benutzte Karte und

Hardware ist 6000.

‚ „rank median“ å Rang der Fenster für den Median-Filter. Die Größe der

Fenster ist gleich 12___ -‚? medianrankFensterimWerte . Empfehlenswert

ist für uns rank median=1. Somit hat das Fenster drei Werte.

‚ „Einstellbare low cutoff Frequenz“ å Das ist die Grenzfrequenz für das

Butterworth-Filter, wenn es auf Manuell eingestellt wird. Es muss

mindestens zehn Mal so groß wie unsere erwartete Vibrationsfrequenz sein.

‚ „Manual filtern/Auto filtern“-Umschalter å Nach einigen Laufkreisen soll

normalerweise der Auto filtern-Modus eingestellt werden. Damit wird die

Grenzfrequenz für das Butterworth-Filter immer vier Mal so groß wie die

wahrgenommene Vibrationsfrequenz des Messobjekts. So arbeitet der

Butterworth-Filter als adaptiver Filter.

‚ „auf Datei speichern“: Durch Betätigung dieses Druckknopfs werden alle

Arrays gleichzeitig in ihren jeweiligen Dateien abgespeichert.

‚ Unter „Pfad“ wird das Verzeichnis angezeigt, in dem die Dateien unter

Verwendung geeigneter Namen abgespeichert wurden.

Alle erwähnten Kontrollen sind in den nachfolgenden Abbildungen zu sehen.

76


Abb. 54: Kontrollen im Benutzerinterface des LabVIEW-Programms

Abb. 55: Pfad-Kontrolle im Benutzerinterface des LabVIEW-Programms

Darüber hinaus werden einige Anzeigen im Front Panel dargestellt. Die wichtigsten

davon stehen unter „Output“ (siehe Abb. 56) und werden nachstehend aufgelistet:

‚ „Low cutoff Frequenz“ ist die berechnete Grenzfrequenz des Butterworth-

Filters. (Sie ist im Manuell-Modus einstellbar.)

‚ „wahrgenommene Frequenz“ ist die Frequenz der Oszillation, deren Amplitude

am größten ist.

‚ „detektierte Amplitude“ ist die Amplitude (Spitze-Spitze) der gemessenen

Oszillation.

‚ „Berechnete K:=Modulationsfaktor“ ist der Modulationsfaktor des I- bzw. Q-

Signals.

77


Abb. 56: Anzeigen im Benutzerinterface des LabVIEW-Programms

3.3.5 Messungen und Ergebnisse

3.3.5.1 Messungen in LabVIEW

Verschiedene Messungen und Experimente wurden im Labor durchgeführt. Hier

werden drei Beispiele vorgestellt, die alle mit einer den in Abschnitt 3.3.1 erwähnten

Programmversionen arbeiten.

Demodulation von I- und Q-Signalen

Der erste Test wird mit der in Abschnitt 3.2.1.3 erläuterten Anordnung

durchgeführt. Das heißt, sowohl das I- als auch das Q-Signal kommen aus dem

Funktionsgenerator.

Da in diesem Fall mit unabhängigen Signalen gearbeitet wird, ist die erste Version

unserer Software die richtige. Deren Datei lautet:

cont scanAlgoritmusOhneHilbert_Optische_2oder4_Diode_I und Q signale_letzte_test_15.09.09

In der nächsten Abbildung wird eine Messung dargestellt, die folgende

Einstellungen voraussetzt:

Funktionsgenerator:

‚ Modulationsfrequenz=3 Hz

‚ Modulationsfaktor=50

‚ Tastensteuerung auf Front Panel :

78


‚ number of scans to read=6000

‚ scan rate=6000

‚ rank median=1

‚ Einstellbare low cutoff Frequenz=1000 (nach einigen Sekunden in den

automatischen Modus umschalten)

So kann nachgeprüft werden, dass der Algorithmus richtig funktioniert. Frequenz

und Modulationsfaktor sind erwartungsgemäß.

Nach dem Algorithmus besitzt das Signal (Winkelgeschwindigkeit) einen Fehler in

Form einer Welligkeit im Zeitverlauf, wie im untersten Graph zu sehen ist. Durch

das Butterworth-Filter wird dieser Fehler korrigiert und unser gefiltertes

Ausgangssignal fast ohne Verzerrung angezeigt. Allerdings tritt eine zeitliche

Verzögerung am Ausgang auf. Dies stellt einen Nachteil dar, wenn wir bei Echtzeit

arbeiten.

Abb. 57: Benutzerinterface des Programms. Versuch mit I und Q unabhängig aus F.G

Demodulation eines I-Signals

79


Der zweite Test wird mit der in Abschnitt 3.2.1.1 geschilderten Anordnung

durchgeführt. Das I- Signal kommt also aus dem Funktionsgenerator und das Q-

Signal wird durch H.T daraus gewonnen.

Die Datei der entsprechenden Software lautet:

cont scanAlgoritmusMitHilbert_Optische_1_Diode_letzte_test_15.09.09

Im Folgenden werden die Einstellungsparameter zur nächsten Abbildung

aufgelistet:

Funktionsgenerator:

‚ Modulationsfrequenz=3

‚ Modulationsfaktor=25

Tastensteuerung auf Front Panel :


‚ scan rate=6000

‚ rank median=1



Wie zu sehen ist, wird jetzt der Algorithmus die betragsmäßige Geschwindigkeit

richtig darstellen. Doch die Richtung der Bewegung ist nicht mehr zu erkennen und

die Geschwindigkeit erscheint immer positiv.

Daher wurde im Prinzip eine doppelt so große Oszillationsfrequenz berechnet.

Dieser Fehler wurde korrigiert durch ein Dividieren durch 2 in dieser Version.

Dass die Richtung nicht erkannt wird, ist in diesem Fall zu erwarten. Immerhin

haben wir nur ein I-Signal zu demodulieren, so dass es nicht genügend Information

zum Erkennen der Richtung gibt (siehe Abschnitt 1.3.1). Das kann auch erklärt

werden, wenn wir bedenken, dass die Hilbert-Transformation ein Nicht-Kausal

Filter darstellt (siehe Abschnitt 3.3.3).

80


Das Signal nach dem Algorithmus (Winkelgeschwindigkeit) besitzt außerdem einen

größeren Fehler in Form einer Welligkeit im Zeitverlauf. Dies wird durch das

Butterworth-Filter wieder korrigiert und schon wieder wird eine Verzögerung am

Ausgang ausgelöst.

Abb. 58: Benutzerinterface des Programms. Versuch mit I aus F.G; Q durch H.T

Demodulation von I1- und I2-Signalen

Der dritte Test wird mit der in Abschnitt 3.2.1.2 beschriebenen Anordnung

durchgeführt. Das I-Signal kommt also aus dem Interferometer und das Q-Signal

wird durch H.T daraus gewonnen. Aber in diesem Fall werden zwei Signale erfasst,

nämlich I1 und I1’. Das Programm selbst subtrahiert die Signale, damit ein I-Signal

mit sehr geringem Offset und doppelter Amplitude gewonnen wird.

Die Datei der entsprechenden Software lautet:

cont scanAlgoritmusMitHilbert_Optische_2_Diode_180_Verschiebung_letzte_test_15.09.09

81


Im Folgenden werden die Einstellungsparameter zur nächsten Abbildung

aufgelistet:

Steuerungssystem:

‚ Vibrationssfrequenz=2 Hz

‚ Amplitude: Muss so eingestellt werden, dass ein Modulationsfaktor von 27

erreicht wird.



‚ scan rate=5000

‚ rank median=1



Wie in Abb. 59 zu sehen ist, werden bei dieser Version drei zusätzliche Graphen

dargestellt. Da die Signale jetzt aus dem Interferometer kommen, ist es interessant

diese Signale zu beobachten bzw. zu analysieren, bevor sie verarbeitet werden.

Die ersten beiden Graphen zeigen das I1- bzw. I1’-Signal, nachdem die Signale von

der Karte erfasst werden. Der dritte Graph zeigt das I-Signal nach der Subtraktion,

also I=I1-I1’.

In der Abb. 60 werden vier Graphen dargestellt:

I nach Anpassung (Entfernung des DC-Anteils und Median-Filter)

Q durch H.T

Gefilterter Ausgang

Ausgang gleich nach Algorithmus (vor Butterworth-Filter)

Der Algorithmus stellt wiederum nur den Betrag der Geschwindigkeit dar. So ist

hier auch die Richtung nicht zu erkennen.

Das Signal aus dem Algorithmus (Winkelgeschwindigkeit) besitzt nun eine

erhebliche Störung. Diese kann nicht lediglich mit einem Median-Filter entfernt

82


werden. Durch das Butterworth-Filter wird diese Störung reduziert. Obwohl das

gefilterte Signal eine deutliche Verzerrung besitzt, ist es gut genug um die

Geschwindigkeit zu schätzen und andere Parameter wie z.B.

Maximalgeschwindigkeit oder Oszillationsfrequenz genau zu messen.

Auch hier wird eine Verzögerung am Ausgang ausgelöst.

Abb. 59: Benutzerinterface des Programms A. Versuch mit I1 und I1´aus Interferometer

83


Abb. 60: Benutzerinterface des Programms B. Versuch mit I1 und I1´aus Interferometer

3.3.5.2 Analyse von Daten aus den Messungen

Wie schon im Abschnitt 3.3.4.2 Gebrauchsanweisung erwähnt, ermöglicht das

LabVIEW-Programm Dateien zu speichern, die nützlich für die Analyse der

Experimente sein könnten. Durch Betätigung der Taste „auf Datei speichern“ werden

automatisch folgende drei Dateien unter einem geeigneten Namen abgespeichert: I-

Signal, Ausgang und Zeitarray. Jede Datei enthält so viele Werte wie der

entsprechende Array und wird durch „number of scans to read“ bestimmt.

Eine solche Analyse soll nachstehend durch ein Beispiel verdeutlicht werden.

Setzen wir voraus, dass während des Messvorgangs folgende

Einstellungsparameter gewählt wurden:

Steuerungssystem:

‚ Vibrationssfrequenz=2 Hz

‚ Amplitude: Wurde so eingestellt, dass ein Modulationsfaktor von 50 erreicht

wurde.


84



‚ scan rate=1000

‚ „Pfad“= C:\Labview6\Interferometer\Messungen

Dann werden in das Verzeichnis C:\Labview6\Interferometer\Messungen drei

Dateien gespeichert, welche folgende Namen besitzen:

‚ Datei Isignal_ModFreq 2 and K 50_1000 ms_6000 Samples

‚ Datei Ausgang_ModFreq 2 and K 50_1000 ms_6000 Samples

‚ Datei ZeitArray2 and K 50_1000 ms_6000 Samples

Die erste Datei enthält das I-Signal, die zweite Datei beinhaltet das Ausgangssignal

und die dritte die entsprechenden Zeitpunkte, gemessen in ms.

Mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Excel kann man nachträglich die

Messungen analysieren, Tabellen und graphische Darstellungen gewinnen, etc. Die

folgenden beiden Abbildungen zeigen solche Darstellungen für Eingang bzw.

Ausgang.

Isignal

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0 200 400 600 800 1000

Zeit (ms)

I (V

olt

s)

Abb. 61: Analyse eines I-Signals mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms. A

85


Ausgang

0

200

400

600

800

1000

1200

0 200 400 600 800 1000

Zeit (ms)

Win

ke

lge

sc

hw

ind

igk

eit

(R

ad

/se

c)

Abb. 62: Analyse des Ausgangs mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms. A

In den nächsten beiden Abbildungen sind die gleichen Signale von t=330 ms bis

t=680 ms zu sehen.

I-Signal

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

330 380 430 480 530 580 630 680

Zeit (ms)

I (V

olt

s)

Abb. 63: Analyse eines I-Signals mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms. B

Ausgang

0

200

400

600

800

1000

1200

330 380 430 480 530 580 630 680

Zeit (ms)

Win

kelg

esch

win

dig

keit

(R

ad

/sec)

Abb. 64: Analyse des Ausgangs mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms. B

86


Mehrere Messungen wurden während des Projekts durchgeführt. Einige dieser

Messungen können in Anhang B nachgesehen werden.

3.4 SCHLUSSFOLGERUNGEN

Im dritten Kapitel wurde die im Labor realisierte Arbeit dokumentiert. Im

Abschnitt 3.2 wurde dabei der Ausgangpunkt für die Erstellung eines

Homodynvibrometers erklärt. Hier ist auch beschrieben, wie die benötigte optische

und mechanische Einrichtung eingebaut wurde. Im darauf folgenden Abschnitt 3.3

wurde erläutert, wie ein Demodulationssystem für ein solches

Homodynvibrometer als LabVIEW-Programm implementiert wurde.

Die Ergebnisse der Versuche haben zur Folge:

Das gesamte System funktioniert zweckmäßig als Vibrometer. Das heißt, es ist in

der Lage, Geschwindigkeit bzw. Vibrationsfrequenz zu messen.

Die optische Einrichtung ist kritisch für die richtige Funktionsweise des

Interferometers. Die hinreichend genaue Justierung von optischen Bauteilen stellt

eine nicht zu vernachlässigende Herausforderung dar. Auch die optisch/elektrische

Wandlung durch Photodetektoren und die analoge Anpassung (I/V-Wandlung)

sind sehr wichtig.

Verschiedene Arten von Störungen (sowohl optische als auch elektrische)

verfälschen das Signal und haben unerwünschte Folgen im Demodulationsvorgang.

Signalverarbeitung ist eine unentbehrliche Phase im Demodulationsprozess.

Es ist wichtig, den Offset-Anteil des Signals zu entfernen.

Mit Hilfe der Hilbert-Transformation kann man verschiedene Versuche

durchführen. Allerdings tauchen Probleme auf, wie die Nicht-Erkennung der

Bewegungsrichtung des Messobjekts oder Fehler in das berechnete Q-Signal, wenn

es einen geringen DC-Anteil gibt.

Aufgrund der beschränkten Bandbreite ist der Fehler am Ausgang größer mit

steigender Frequenz. Die Amplitude der Vibration hat ähnliche Folgen, da für

87


größere Ablenkungen auch der Modulationsfaktor K größer wird. Eine zu niedrige

Amplitude verursacht, dass der Demodulationsalgorithmus nicht richtig

funktioniert. Es gibt also immer einen optimalen Modulationsfaktor bzw. eine am

besten geeignete Amplitude.

88


4 ZUSAMMENFASSUNG

UND AUSBLICK

In dieser Diplomarbeit wurde zunächst eine theoretische Einleitung zum

Interferometer gegeben. Zunächst wurden die Grundlagen sowohl der optischen

Interferenz als auch des Zweistrahlvibrometers präsentiert. Weiterhin wurde die

Demodulation beim Homodynkonzept erläutert.

Danach wurde eine mathematische Untersuchung der I- und Q-Signale

durchgeführt. Es wurde festgestellt, dass diese Signale eine Bandbreite von

fm f ©-B )1(BW benötigen. Die I- und Q-Signale wurden durch einen

Funktionsgenerator erzeugt und der eben erwähnte Zusammenhang experimentell

überprüft.

Dann wurde ein Homodynvibrometer im Labor eingerichtet. Hier wurde von

einem Mach-Zehnder-Interferometer ausgegangen, und verschiedene Varianten

wurden geprüft.

Die Justierung der Komponenten war eine wichtige Aufgabe, die genau untersucht

werden musste. Andere Abschnitte des Interferometers wie z.B. das

Steuerungssystem und die analoge Schaltung wurden als gegeben betrachtet und

nicht weiter untersucht.

89


Ein Demodulationssystem wurde mit digitaler Technologie in Betrieb genommen.

Dafür wurden eine DAQ-Karte und ein PC benutzt. Der Algorithmus, mit dem das

Demodulationssystem arbeitet, wurde in LabVIEW implementiert.

In diesem Programm wurde eine Anwendung der Hilbert-Transformation benötigt.

Das verursachte Probleme wie beispielsweise, dass die Bewegungsrichtung des

Messobjekts nicht erkannt wurde oder Fehler, wenn das Signal zusammen mit

einem DC-Anteil erfasst wurde.

Um Störungen bei der Signalerfassung zu vermeiden, mussten die Signale durch

verschiedene Filter verarbeitet werden.

Die Funktionsfähigkeit des Vibrometers wurde durch verschiedene Messungen

nachgeprüft.

Als Verbesserungs- oder Erweiterungsvorschläge bieten sich an:

Eine genauere Einrichtung der Mach-Zehnder-Interferometer. Verschiedene

Variationen sollten ausprobiert werden. Mit vier Photodioden zu arbeiten ist

wichtig, um echte I- und Q- Signale zu generieren. Auf diese Weise braucht man

weder Hilbert-Transformation noch eine Entfernung des DC-Anteils.

Die analoge Schaltung muss erweitert werden, die Anschlusse sollen besser gegen

Einstreuung von Störsignalen geschützt sein. Der Analog/Digital -Wandler sollte

eine höhere Abtastrate besitzen. Zu deren genauerer Festlegung sind noch weitere

Untersuchungen nötig.

Auch das Programm könnte auf verschiedene Weise verbessert werden:

Tiefere Untersuchung der Filter für die Signalverarbeitung oder Implementierung

zweier unabhängiger Programme für die Erfassung bzw. Anpassung und

Verarbeitung von Signalen.

90


ANHANG

A.1 LABVIEW BLOCKDIAGRAMME

91


LabVIEW Implementierung. Algorithmus zur Demodulation

LabVIEW Implementierung. Algorithmus zum Speichern

92


A.2 VERSCHIEDENE MESSERGEBNISSE

93


94


95


96


A.3 HP-PROGRAMME

Bessel-Funktionen und Energie

´PvQ´

<< 0 1 E FOR

I 2 * I Ń´ STO

J SQ + 1 STEP

2 * 0 Ń´ STO

J SQ + 2 / >>

´Pv´

<< 0 1 E FOR

I I Ń´ STO

J SQ + 1 STEP

2 * 0 Ń´ STO

J SQ + 2 / >>

Dabei ist:

´J´

<< 0 0 M FOR

I I ´K´ STO

JK + 1 STEP >>

´JK´

<< -1 K ^ d 2 / N 2 K * + ^ * K ! N K + ! * / >>

97


LITERATURVERZEICHNIS

[1] J. Casas Peláez: Optica. 7a Edición, 1994.

[2]

M.R. Spiegel, L. Abellanas Rapun: Mathematical Handbook of formulas

and tables. 1977

[3]

A. Lewin, F. Mohr, H. Selbach: Heterodyn-Interferometer zur

Vibrationsanalyse. In: Technisches Messen 57. 1990. Seite 335-345.

[4] U. Tietze, Ch. Schenk: Halbleiter-Schaltungstechnik. 2002.

[5]

Holger Frommer: Diplomarbeit: Optical feeder for simultaneous

transmission of PSK or QAM subcarrier multiplexed signals at

intermediate- and mm-wave frequencies. In: Fachhochschule für

Gestaltung, Technik und Wirtschaft Pforzheim, 30.09.2003, Pforzheim.

[6]

Christoph Lörcher, Tobias Ott, Holger Ulrich: Projektarbeit:

Schlüsselkomponenten für ein Laser-Scanningvibrometer. In:

Fachhochschule für Gestaltung, Technik und Wirtschaft Pforzheim,

28.02.2006, Pforzheim.

[7]

Jochen Müller: Diplomarbeit: Peltierkühlung für eine CCD-Detektorzeile

In einem Miniaturspektrometer. In: Fachhochschule für Gestaltung, Technik

und Wirtschaft Pforzheim, 23.04.2003, Pforzheim.

[8] F. Mohr, Unveröffentlichte Studie, FH Pforzheim, 2006

[9]

J. H. Taub, D.L. Schilling: Principles of communication Systems. 2a

Edition, 1994.

[10] Wolfgang Georgi, Ergun Metin: Einführung in LabVIEW. 2006.

98


INTERNETQUELLEN

[11] http://de.wikipedia.org/wiki/Hilberttransformation Stand vom 20.10.2006

[12]

I.M.S Group Institute for Software Technology and Interactive Systems

Vienna University of Technology: Wissenschaftliches Schreiben. In:

http://www.ims.tuwien.ac.at/teaching/se_inf/wiss_schreiben.php Stand

vom 18.10.2006

[13]

M. Anton: Aufbau wissenschaftlicher Artikel. In:

http://www.infosys.tuwien.ac.at/Teaching/WissArtikel.html. Stand vom

22.09.2006

[14]

Wolfgang Georgi, Ergun Metin: Einführung in LabVIEW. Beispiele. In:

http://www.geme-labview.de/. Stand vom 20.8.2006

[15]

NI developer zone. In: http://zone.ni.com/devzone/cda/main . Stand vom

17.10.2006

[16]

ArbExpress Software for arbitrary and funktion generators. In :

http://www.tek.com/products/signal_sources/arbexpress.html . Stand

vom 5.4.2006

90


ANHANG

A.1 LabVIEW Blockdiagramme

HOMODYN-INTERFEROMETER -...

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