y 1 Ort x -...

Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik

Blankenbach / HS Pf / Physik Wellen & Optik / WS 2014 1

6. Wellen (Waves)

Wellen: - "Schwingungen", welche sich ausbreiten

- erzeugen räumliche und zeitliche Zustandsänderungen

- Energie wird transportiert

Anzahl der

Komponenten

Form Ausbreitung Beispiele

wenige Schwingung ortsfest Pendel

1 Körper Eigenschwingung

'stehende Wellen'

im Körper Stimmgabel, „Hui-Maschine“

viele Wellen Fortpflanzung Schallwellen (Akustik)

Optik (em - Wellen)

Beschreibung:

Schwingung (Oscillation) Welle

Darstellungsarten:

Amplitude an einem Ort zu vielen

Zeitpunkten

Amplitude zu einem Zeitpunkt an

vielen Orten

y

t

y

t

y

1 Ort x

x

1 Zeitpunkt t

Ausbreitungsrichtung



Wellen in der Mechanik und Akustik:

Deformation eines Mediums greift auf Nachbarbereich über

Fortschreiten der Deformation (z.B. elastische Eigenschaften wie Feder) Welle

Dieser Wellentyp benötigt ein Übertragungsmedium z.B. Luft oder Metall

Bsp.: - Schallwellen, Oberflächenwellen (Wasser)

- Versuch: Stimmgabel Eigenschwingungen Wellen

Wellen in der Elektrotechnik (Funk) und Optik:

Bezeichnung: Elektromagnetische (em) Wellen, „funktionieren“ auch im Vakuum

JAVA Applet: Elektromagnetische Welle

Grundlagen („nur zur Info“ – relevant sind ebene harmonische Wellen)

Wellengleichung

- aus den Maxwellgleichungen

- 3D mit Vektoren

2

2

22

2

td

yd

c

1

xd

yd

(WE - 1)

- c: Ausbreitungsgeschwindigkeit

Problem: Randbedingungen

allgemeine Lösung

ctxy

(WE - 2)

Gesucht: Funktion mit 2. Ableitung nach Zeit proportional zu 2. Ableitung nach Weg x

Einfachster Fall (1D): sin(t kx) bzw. cos(t kx)

Fälle (Wellenformen, s.u.):

- Kugelwellen (freie Ausbreitung, z.B. Böller in Luft)

- Ebene Wellen (z.B. Laserstrahl)

- Wellen in Hohlleitern

- ...



6.1 Ebene Harmonische Wellen

‘Einfachste’ Welle mit kleiner, sinusmodulierter Amplitude sowie einer Richtung und Frequenz

z.B. Laserpointer

Ebene Harmonische Wellen

allgemein: vektoriell,

hier „genügt“ 1D:

y = yo sin(t kx + )

(WE - 3)

mit

Maximalamplitude yo

Kreisfrequenz T

2 ; f2 ;

f

1T ;

s

1

Periodendauer T ; [T] = s

Wellenzahl

2k

; m

1k

Wellenlänge ; [] = m

Phase (Bogenmaß)

+ : nach links fortschreitend (gem. DIN)

- : nach rechts fortschreitend

Ausbreitung

Polarisation: „hier nicht betrachtet“, zum Weiterlesen

Bestimmung von Werten aus Skizze:

- Wellenlänge = 4 (cm) m

1157

m04,0

2k

- Periodendauer = 4 (s) s

157,1

s4

2

- Amplitude z.B.: yo = 4 cm (Unterschiedliche Einheiten für Mechanik, Akustik, HF, Licht)

- Wellengleichung: x157t57,1sin4)t(y (mit den entsprechenden Einheiten)

y

t x

Wellental -berg

Periodendauer T

Wellenlänge

yo

1



Frequenz und Wellenlänge sind über die Ausbreitungsgeschwindigkeit verknüpft:

Ausbreitungsgeschwindigkeit (velocity of propagation)

[c] = m/s

c = f

(WE - 4)

c hängt ab von - Typ akustische- oder em-Wellen

- Medium (z.B. Luft, Wasser, ...)

- Frequenz (Dispersion, z.B. Spektralzerlegung Prisma)

- Wellenart (s.u.)

Bem.: - c ist Materialgröße

- em Welle im Vakuum oo

o

1c

300.000 km/s

- co entspricht max. Geschwindigkeit gem. Relativitätstheorie

- f bleibt konstant nach E = h , d.h. Wellenlänge 'passt' sich an

Ausbreitungsgeschwindigkeit Beispiele

Akustik (Schallgeschwindigkeit) Luft 330 m/s Eisen 5000 m/s

Elektromagnetische Wellen

(Lichtgeschwindigkeit) Luft 300.000 km/s Glas 200.000 km/s



6.2 Wellenlänge und Frequenz (c = f )

(alle Angaben ca.-Werte)

6.2.1 Akustik cLuft = 330 m/s

Bezeichnung Frequenzbereich Wellenlänge

Infraschall < 20 Hz > 15 m

Hörbereich 20 - 20.000 Hz 0,015 - 15 m

Ultraschall > 20 kHz < 0,015 m

6.2.2 EM-Wellen cLuft = 300.000 km/s

Bezeichnung Frequenz /Hz Wellenlänge

- Strahlung

1019

3 10-11 m

Röntgenstrahlung

1017

3 nm

UV

1016

30 nm

sichtbares Licht

5 x 1014

600 nm

Infrarot

1013

30 µm

Mikrowellen

1010

3 cm

UKW

108

3 m

KW

107

30 m

MW

106

300 m

LW

105

3 km

sichtbares Licht

Farbe Frequenz /1012Hz Wellenlänge /nm

Blau 630 475

Grün 550 550

Rot 460 650



6.3 Wellenformen

Kugelwellen Geometrie Ebene Wellen

Welle

(weit weg)

Theorie

Beugung

Welleneigenschaften

berücksichtigen

0

kleine Ab-

messungen

Strahlen (Geometrische Optik)

Wellencharakter vernachlässigt

Bsp.

- Sonne

- China-Böller (in Luft)

- Wasserwelle’

- Spalt

- Laser

- Sonnenlicht auf Erde

- Megaphon

Dies sind nur 2 ideale Fälle, es gibt viele weitere

Formen

Bsp.: Richtfunkantenne

Geometrische Dämpfung bei Kugelwellen

²r

1~)r(I

Quellintensität breitet sich kugelförmig aus

Beispiel : I(x = 1m) = 1 ; I(x = 2m) = 0,25

Antenne

Abstrahl-charakteristik



Es gibt auch noch andere Arten von Wellen:

Wellenausbreitung nach dem Huygens‘schen Prinzip

Jeder Punkt einer Welle ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle. Eine neue Wellenfront ergibt sich

aus der Überlagerung aller Kugelwellen. Hiermit lassen sich viele Wellenphänomene wie

Reflexion, Brechung und Beugung in einfacher Weise quantitativ beschreiben.

JAVA Applet: OPTIK Reflexion und Brechung von Lichtwellen (Erklärung Prinzip von Huygens)

Wellen-frontbeisehrvielenKugel-wellen



6.4 Wellenarten

Longitudinal (Longitudinal) Transversal (Transversal)

Beispiel

Akustik (Schall) (acoustics) - em-Wellen (Funk, Licht)

- Seil-, Wasserwelle

Ausbreitung „Medium erforderlich“ „geht im Vakuum“

Auslenkung /

Fortpflanzungs-

richtung

|| (parallel)

(senkrecht)

1 Zeitpunkt

y = po sin(t + kx) + pN

pN : Normaldruck

Longitudinalwellen breiten sich als

'Deformation' aus, die Amplitude

hat dieselbe Richtung wie die

Ausbreitungsrichtung:

- Stab nach Anschlagen

- Luft mit Druckschwankungen

E-Feld synchron und

senkrecht zu B-Feld

JAVA Applet: Elektrodynamik

Elektromagnetische Welle

Schwingungsrichtung Polarisation

Bsp.: - Polfilter

- H bzw. V-Polarisation

bei SAT-Signalen

y

x

niedriger hoher Druck

p

x

0

Normal-druck

pN

y

t

Seil 2D

y

x

Licht 3Dz

Ausbreitungsrichtung



6.5 Wichtige Begriffe und Definitionen der Wellenlehre

(hier vereinfacht für Ebene Wellen, Bezeichnungen und Abkürzungen s.o.):

Intensität

Quadrat der Amplitude (immer positiv) in der Optik

I = y²

(WE - 5)

Achtung

Die Frequenz der Intensität ist

wegen des 'Gleichrichteffektes'

scheinbar doppelt so groß wie die

der Welle

Bsp: 230 V-Glühlampe mit 50 Hz.

Hier misst man mit einer

Photodiode 100 Hz.

Superpositionsprinzip

nur kleine Amplituden, sonst nichtlineare Effekte

yr = y1 + y2 + ... = yi

(WE - 6)

Interferenz Phänomene bei der Überlagerung von Wellen (siehe auch Gangunterschied)

Gangunterschied

k2

(WE - 7)

Intensität

-1

-0,5

0

0,5

1

0 2 4 6 8 10

x, t

rel. Wert

sinx

sinx^2

Welle



Bsp: 2 Wellen gleicher Frequenz und Richtung, 1D

y1 = sin(t - kx)

y2 = sin(t - kx + )

yr = y1 + y2 = ?

Rechenregel:

sin + sin = 2 sin[(+)/2] cos[(-)/2]

yr = 2 cos[/2] x sin(t - kx + /2)

Amplitude x Interferenzterm

( hier 90°)

typische Werte

/° /rad yr

0 0 2 0

90 /2 1,4 /4

180 0 /2

Bei der Überlagerung gelten für Wellen bzgl. Wellenlänge dieselben Gesetzmäßigkeiten wie für

Schwingungen bzgl. ihrer Phase:

Schwingungen Wellen m = 0, 1, 2, ...

Verstärkung

Gleichphasig

= 0°

konstruktive Interferenz

= m

Auslöschung

Gegenphasig

= 180°

destruktive Interferenz

2

1m2

(WE - 8)

Anwendung: - Beugung

- Interferometrie (Michelson - Morley, Relativitätstheorie)

- Lärmreduktion mit gegenphasiger Schallerzeugung

Beispiel: Bose QuietComfort 15 Acoustic

Noise Cancelling - Kopfhörer

JAVA Applet: Interferenz zweier Kreis- oder Kugelwellen

y

x



Beispiele für Interferenz

Interferenz ebener Wellen

blau : Wellenberge

Interferenz zweier radialer Wellen (Wasser)

Beispiel Überlagerung zweier Wellen

Gangunterschied bei 2 Quellen in einer Ebene

Ebene Wellen mit gleicher Frequenz und Wellenlänge ( 2121 kk )

Resultierende Intensität Ir = (y1 + y2)² = y1² + y2² + 2 y1 y2 (binomische Formel)

also nicht die Summe der Einzelquadrate!



6.5.1 Überlagerung von Wellen (Superposition)

Parallele Überlagerung: Schwebung

JAVA Applet: Schwebungen, Versuch mit zwei Stimmgabeln leicht unterschiedlicher Frequenz

Beachte Einhüllende mit niedrigerer Frequenz

Rundfunkübertragung : - AM : Amplitudenmodulation (s.o.)

- FM : Frequenzmodulation (Sendefrequenz ist amplitudenabhängig)

Vorteil: Signalschwankungen beeinflussen Empfang nicht

Frequenzverhältnis 9:10

t

Amplitude

Frequenzverhältnis 1:10

t

Amplitude

ÜberlagerungSignalfrequenz



Parallele Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz

Bei senkrechter Überlagerung : Lissajous-Figuren, z.B. Oszi im x-y-Betrieb (Normal y-t)

Gleiche Phase : Maximale Verstärkung

-2

-1

0

1

2

0 5 10 15 20

t

Amplitude

Überlagerung

Phase 180° (gegenphasig) : Auslöschung

-2

-1

0

1

2

0 5 10 15 20

t

Amplitude

Überlagerung

beliebige Phase

-2

-1

0

1

2

0 5 10 15 20

t

Amplitude

Überlagerung



6.6 Reflexion und Brechung (Reflection and Refraction)

Trifft eine Welle an der Grenze eines Medium auf ein anderes so wird sie völlig (z.B. Licht auf

Spiegel) oder teilweise (Licht auf Wasser) reflektiert; der übrige Teil wird gebrochen; oder alles

wird absorbiert (schwarze Oberfläche). Beispiel aus der Akustik: Echo

Versuche: - Reflexion Laserstrahl Spiegel (gerichtete Reflexion) bzw. Leinwand (diffus)

- Laser auf doppelte Fensterglasscheibe ergibt 4 sichtbare Reflexionen auf Papier

JAVA Applet: - Reflexion und Brechung von Licht

- Reflexion und Brechung von Lichtwellen (Erklärung Prinzip von Huygens)

Bemerkungen:

- Die nachfolgenden Gesetze gelten für akustische und em-Wellen.

- Intensitätsverteilung Reflexion - Brechung kompliziert!

(z.B. Langkau, Lindström, Scobel: Physik kompakt: Elektromagnetische Wellen, vieweg)

Reflexion und Brechung treten auf, wenn eine Welle auf einen Übergang von einem Medium in ein

anderes trifft. Die Intensitätsverteilung zwischen gebrochenem und reflektiertem Anteil ist nur

mittels exakter Rechnung mit em-Wellen zu erhalten. Die räumliche Verteilung des reflektierten

Anteils hängt von dem Material und der Oberfläche ab, wie z.B. bei Glas, Spiegel oder Leinwand.

n2 > n

1

'

Reflexion

Brechung

Bsp.: Luft

Glas

ideal

diffuse Reflexion

n1

Intensitäts-verteilungReflexion

einfallender Strahl

c1

c2



6.6.1 Reflexion

Gerichtete Reflexion gilt nur Idealfall z.B. für Spiegel :

Einfallswinkel = Ausfallswinkel

= '

(WE - 9)

(Reflexion nur in einer einzigen Richtung sichtbar)

Problem: Intensitätsverteilung bei Reflexion und Brechung (s.u.)

Anwendung Reflexion: Parabolspiegel

Wellenrichtung umkehrbar

verstärkter Empfang von Wellen (em / akustisch)

z.B. Sat-Schüssel, Vogelstimmen-Mikro

1 m² Antennenfläche 1 cm² Empfängerfläche

Aussenden "gerichteter" Strahlen:

Richtfunk (em), Megaphon,

Autoscheinwerfer, Taschenlampe

Weitere Beispiele: - Nierenlithotripter (Ellipse)

- Funkwellen: Reflexion an oberen Luftschichten

Überreichweiten (‘round the world in 0,1s’)

- Katakaustik bei Reflexion an Kreis, z.B. Kaffeetasse

Beispiel:

Reflexion an Spiegel

Diffuse Reflexion

Tritt bei ‚unebenen‘ Grenzflächen wie z.B. bei

Leinwänden, Papier, Pflanzen, den meisten Baustoffen

etc. auf. Das reflektierte Licht ist von allen Seiten fast

unabhängig von der Blickrichtung sichtbar. Wird auch

zur „Entspiegelung“ bei Displays (matt) verwendet.

Empfänger / Sender



6.6.2 Brechung

Versuch: Reflexion und Brechung eines Laserstrahls an einem Stapel von Plastikplatten.

Definition der Brechung: Brechung tritt auf bei Übergang von einem Medium in ein anderes

Gilt sinngemäß auch für Reflexion!

Reflexion: = '

n2 > n1 (unten optisch dichter)

c1 > c2 (oben schneller)

Huygenssches Prinzip:

unterschiedlicher zurückgelegter

Weg in oberem und unteren

Medium in derselben Zeit wegen

unterschiedlicher

Ausbreitungsgeschwindigkeit

JAVA Applet: Reflexion und Brechung von Licht

Snelliussches Brechungsgesetz

n: Brechungsindex (Index of Refraction)

Akustik

2

1

Optik

1

2

c

c

n

n

sin

sin

(WE - 10)

n ( : Dielektrizitätskonstante): Zusammenhang Optik - ET / hoch- niedrigfrequent

Wellenlängen- bzw. Frequenzabhängigkeit: Dispersion: n = n() = n(f), z.B. Regenbogen

Dielektrizitätskonstante: r = r(f) in der ET

Bsp: Reflexion: Bild im See, am Fenster, Echo, Reflexion an Fensterglas ca. 4%

Brechung: Stab ins Wasser, "Knick"

n1 c1

n2 c2

Weg und in gleicherZeit zurückgelegtin Medium 1 und 2

Wellenfront

Lot

2

1

s

s1

c

2c1

s2

s



Medium Brechungsindex für = 600 nm

n = cvakuum / cmedium ; n = n()

Glas 1,5

Luft 1,003 nVakuum = 1

Wasser 1,333

Diamant 2,4

Bsp: Luft Wasser = 30° = 22°

zum Weiterlesen : Doppelbrechung (Birefringence)



Totalreflexion (Total Reflectance)

- tritt auf bei Übergang von optisch dichterem in optisch dünneres Medium

- bei einem bestimmten Winkel wird der einfallende Strahl nur noch in der Grenzschicht geleitet

- bei größeren Winkeln tritt der Strahl nicht ins dünnere Medium über Totalreflexion

Totalreflexion für alle g

Anwendung: Prisma

Lotwinkel hier 45° > g (38°)

nur Reflexion, keine Brechung, Erklärung: komplexe Wellenoptik

Medium Grenzwinkel zu Luft

Diamant 23°

Glas 38°

Wasser 49°

dichter n1

dünner n2 < n1

Totalreflexion

g

1

2g

n

nsin

45°



Anwendung der Totalreflexion

Lichtleiter - Glasfaserkabel

kann auch gebogen werden solange

Totalreflexionsbedingung erfüllt bleibt n1

n2 < n1

10 µm

nicht, da Totalreflexion



6.6.4 Wellenbetrachtung der Reflexion

Festes Ende (mechanisch) bzw. optisch

dichteres Medium

Loses Ende (mechanisch) bzw. optisch

dünneres Medium

Phasensprung um

Wellenknoten

keine Phasensprung

Wellenbauch

Wellenknoten: Amplitude immer Null, auch Schwingungsknoten

Wellenbauch: hier tritt die Maximalamplitude auf, auch Schwingungsbauch genannt

JAVA Applet: Stehende Welle (Erklärung durch Überlagerung mit der reflektierten Welle)

t t



Zeitlicher Verlauf: Bei T = T/4 ist der Phasensprung um bei festem Ende zu erkennen



6.7 Wellen in begrenzten Medien / Stehende Wellen

Def: Wellen (hier 2) die gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung das gleiche Medium

durchlaufen überlagern sich zu einer stehenden Welle.

Voraussetzung: Amplitude, Frequenz konstant und feste Phase

Am häufigsten geschieht dies durch Reflexion einer ebenen Welle an einer Grenzfläche; dies gilt

sowohl an dichteren/festen als auch an dünneren/losem Medium/Ende.

Beispielrechnung:

y1 = sin(t - kx) nach rechts

y2 = sin(t + kx) nach links

yr = y1 + y2 = 2 cos(kx) sin(t) (Mathe: Summenformel Sinus)

Das ist Schwingung mit ortsabhängiger Maximal-Amplitude (k = 2 /) und zeitlicher Modulation.

JAVA Applet:

- Stehende Welle (Erklärung durch Überlagerung mit der reflektierten Welle)

- Stehende Längswellen

Wellenknoten -bauch

x

y

2

2cos(kx) = 0 = 1

sin( t) = 1

sin( t) = 0



Was passiert, wenn man beispielsweise eine Saite anzupft?

Die Phänomene der Eigenschwingung bei festem und losem Ende können sehr schön mit einem

Stab oder Lineal ausprobiert werden.



In einem Medium begrenzter Länge L kann sich eine Stehende Welle (zeitlich und örtlich

konstante Überlagerung einer Welle mit sich selbst) nur ausbilden, wenn nachfolgende

Bedingungen erfüllt sind:

'Enden' Eigenschwingung

(Eigen Frequency))

1. Oberwelle

(Second Harmonic)

Wellenlänge

(Wave Length)

2 freie

Bsp.: Leerrohr

2 feste

Bsp.: Gitarrensaite

f2f;L 11

(WE - 14)

n

n

n

cf

1n

L2

n = 0, 1 , 2

Fest + frei

Bsp.: Blasen über

Sprudelflasche

f3f;L3

411

n

n

n

cf

1n2

L4

Siehe auch: JAVA Applet Stehende Längswellen

Obige 'Bilder' erhält man durch Erfüllen der Randbedingungen (fest, lose) unter Berücksichtigung

von Wellenknoten (Intensitätsminimum) und -bäuchen (Intensitätsmaximum) sowie Einpassen der

Wellenlängen bzw. deren Bruchteilen.

Anwendung: - Musikinstrumente (z.B. Orgelpfeifen, Klavier, Gitarre)

- Optik : Resonator, Laser

- Antennen (z.B. UKW : 100 MHz 3 m /4-Antenne l = 75 cm)

Warum singen Männer lieber in der Badewanne (L = 1,8 m) , Frauen im WC (L = 1 m) ?

Resonanz mit 2 festen Enden: Männer haben eine tiefere Stimme größere Wellenlänge

L

cf1 ergibt Stehende Welle für Badewanne mit 180 Hz bzw. WC mit 330 Hz, etc.

A

xL

Wellenbauch -knoten



Warum kann man Musikinstrumente unterscheiden - auch wenn sie alle

denselben Ton (z.B. Kammerton 440 Hz) spielen? (Nur zur Info)

Die unterschiedliche Verteilung der Oberwellenintensitäten 'macht' den Klang eines

Musikinstrumentes (Skizziert, real keine scharfen Peaks).

rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Trompete rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Horn

rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Oboe rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Clarinette



Machscher Kegel / Schallmauer (Sonic Barrier) (Nur zur Info)

Bei schnell fliegenden Flugzeugen entsteht der sog. Machsche Kegel, dessen Spitze beim

Durchbrechen der Schallmauer 'durchstoßen' wird, d.h. „der Schall kommt nicht mehr nach.“

‚Klappt‘ auch im Wasser :



7. Optik (Optics)

7.1 Anwendungen von Reflexion und Brechung in der Optik

Effekt: Reflexion und Brechung Richtungsumlenkung

Spektralzerlegung durch Dispersion n = n( ):

gilt auch für Linsen und das Auge Unschärfe bei Farbbildern!

weiß

Prisma

spektralzerlegt

Dispersion



7.1.1 Optische Effekte in der Atmosphäre (zur Info)

Prinzip: wellenlängenabhängige Brechung des Sonnenlichtes (Dispersion)

Himmelsblau

Rayleigh - Streuung

Sonnenauf- / -untergang

(vereinfachende Erklärung)

Regenbogen (Rainbow)

1 Reflexion 2 Reflexionen (intensitätsschwächer)

Erde

weiß

Luftweiß Luft

Erde

weiß

42°

Sonne

Regentropfen

Hauptregenbogen 42° Nebenbogen 52°Farbabfolge umgekehrt

weiß

rotations-

symmetrisch



Regenbogen

Wie ist dieses Bild entstanden?



Nur zur Info (diese Seite):

Spektrum des weißen Sonnenlichtes inkl. Treibhausproblematik (CO2)

Spektralzerlegung von weißem Licht

Der rechte und linke Rand (li.) erscheint dunkel, da

das Auge dort relativ unempfindlich ist im

Gegensatz zu Photodioden (re).

Die Spektralzerlegung (d.h. Zerlegung nach 'Frequenzen' - Analogie zur Fouriertransformation)

geht auch mit (optischen) Spalten oder Gittern!



7.2 Geometrische Optik

Definition / Näherung: - Licht breitet sich strahlenförmig und geradlinig aus,

- 'Licht' besitze keine Welleneigenschaften, d.h. 0

Bsp: Laser und Sonnenlicht erfüllen die Näherung gut

Grenze der Geometrischen Optik:

kleine Abmessungen im Bereich der Wellenlänge, z.B. Spalte

Näherung dicke Linsen (real) dünne Linsen

Prinzip von Linsen (lens):

durch geschickte Formgebung unter

Anwendung der Brechung (s.o.) werden

nutzbare Effekte erzielt!

Wichtigste Linsenformen bikonvex Bikonkav

Symbol

Funktion: (Normalfall)

Umgebung optisch dünner

Sammellinse

Zerstreuungslinse

" " dichter Zerstreuungslinse Sammellinse

Nur zur Info:

Effekte an Linsen Erwünscht Entsteht durch Abhilfe

Brechung +

Reflexion - Vorder- und Rückseite Vergütung

Absorption - molekulare Absorption Spezialglas

Streuung - Verunreinigungen Hochreines Glas

Dispersion - Material Spezialglas

Thermische Ausdehnung - Material Spezialglas

Optimierungsmöglichkeiten meist nicht gleichzeitig realisierbar.



Beispiel



Allgemeine Regeln zur Linsenkonstruktion (DIN 1335)

- Lichtrichtung von links nach rechts

- Gegenstandsgröße (von optischer Achse aus):

y (früher G)

- Bildgröße (von optischer Achse aus):

y' (früher B)

- Gegenstandsweite: a (früher g)

- Bildweite: a' (früher b)

- Brennweite: f (positiv bei Sammellinse)

- Brennpunkt: F

- Die y-Achse ist nach oben positiv,

die x-Achse nach rechts

- Der Lichtweg ist umkehrbar

Abbildungsgleichung

z.B. zur Bestimmung der Brennweite

Annahme ist immer „scharfe“ Abbildung.

Abbildungsmaßstab

a

1

'a

1

f

1

(OP - 2)

Achtung: a und y‘ sind hier als Betrag einzusetzen, also ohne das Vorzeichen (Definition)

des Koordinatensystems. Dies geschieht aus praktischen Gründen, da Längen „betragsmäßig

gemessen“ werden



7.2.1 Sammellinse als Dünne Linse

Kennzeichen: Brennweite f > 0 ; z.B. + 30mm

Konstruktionsprinzip: - Parallelstrahl F' - (Brennpunkts-) Strahl

{auch Gegenstand – Brennpunkt F Lines Parallelstrahl}

- Gegenstandsstrahl durch Optische Achse behält Richtung bei

Fall Konstruktion Bild Beispiel

a < f

virtuell,

vergrößert,

aufrecht

Lupe

f < a < 2f

reell,

vergrößert,

umgekehrt

Projektor

a > 2f

reell,

verkleinert,

umgekehrt

Fernrohr

JAVA Applet: Bilderzeugung durch Sammellinsen

Die Linsen sind mit ihrer Form gezeichnet, die Konstruktion vernachlässigt aber ihre Dicke!

F F'

aa'

f

yy'

optische

Achse

F

f

aa'

y'

yF'

2f

F

f

aa'

y'

yF'

2f



„Klassische“ Aufgabe aus der Praxis:

Aufnahme eines Gegenstandes mit einer Kamera, z.B. bei der Produktionsüberwachung

- Gegenstand meist größer als Kamerachip verkleinerte Abbildung a > 2f Prinzip „Fernrohr“

- Gerechnet wird üblicherweise in Millimeter

Abbildungsgleichung:

a

1

'a

1

f

1

Abbildungsmaßstab

Löst man den Abbildungsmaßstab nach a‘ (Abstand Linse – Chip, „meist unbekannt“) auf und setzt

dies in die Abbildungsgleichung ein, so erhält man:

(

)

Gesucht wird beispielweise

- Brennweite des Objektivs bei gegebener Gegenstandgröße und –abstand

- Abstand der Kamera vom Gegenstand bei gegebener Brennweite des Objektives

und gegebener Gegenstandgröße

Typische Sensorgröße in der industriellen Bildverarbeitung: ½ ‘‘ mit 6,4 x 4,8 mm² Größe

Industrielle Kameras haben üblicherweise ein Seitenverhältnis (Breite zu Höhe) von 4 : 3.

Insofern ist entweder Breite oder Höhe des Gegenstandes limitierend, je nach Ausrichtung.

ACHTUNG:

Aufgrund der „üblichen“ Zeichnung (s.o.) zur Rechnung nur „halbe“ Längen verwenden.

F

f

aa'

y'

yF'

2f



Rechenbeispiele:

A) Welche Brennweite ist bei einem 30 cm breiten Gegenstand, welcher die Breite des Chips

fast ganz ausfüllen soll, bei einer Gegenstandsweite von 60 cm erforderlich?

B) Welcher Arbeitsabstand wird benötigt, um mit einer 16 mm Linse an einer 1/2"-Kamera ein

Objektfeld von 100 mm Breite zu erfassen?

(

) (

)



7.2.2 Zerstreuungslinse (nur zur Info)

Kennzeichen f < 0 ; z.B. - 30 mm

Anwendung z.B. Galileisches Fernrohr

Aufrechtes virtuelles Bild ; verkleinert

Konstruktionsprinzip:

- Parallelstrahl mit Strahl von F (Brennpunkt)

ausgehend

- Gegenstandsstrahl durch Optische Achse

unverändert

weiterer Linsentyp: Fresnel-Linsen (flach, z.B. Overhead-Projektor, Campingbus, Leuchtturm)

Links Strahlengang : Entscheidend für die Wirkung einer Sammellinse ist nicht deren Dicke,

sondern die Oberflächenkrümmung. Im Prinzip stellt die Fresnel-Linse eine konvexe

Sammellinse dar, bei der außerhalb der Mittellinse nur dünne ‚Oberflächenteile‘

verwendet werden

Mitte Draufsicht

Rechts Anwendung bei Leuchttürmen als 360° Linse

F'

y'

F

f

aa'

y



7.2.3 Linsensysteme (nur zur Information)

Zweck Vergrößerung: Mikroskop, Lupe kleine Gegenstände; Fernrohr kleine Winkel

Limitierung: Beugung (Wellencharakter kann nicht vernachlässigt werden, s.u.)

Lupe (Magnifier)

Vergrößerung der Lupe

f

sv

mit s als deutliche Sehweite des

unbewaffneten Auges

üblicher Wert : s = 25 cm

Die Lupe ist das einfachste optische Instrument zur Vergrößerung von Gegenständen, die sich

Endlichen befinden. Am einfachsten wird der Gegenstand in der Brennebene einer Sammellinse

positioniert. Diese Lupenlinse verwandelt dann die Lichtstrahlen von allen Gegenstandspunkten zu

Parallelstrahlen, die von der Augenlinse wieder auf ihre bildseitige Brennebene abgebildet werden.

Damit wir dieses Bild scharf sehen, muss die Augenlinse so akkommodiert sein, dass sich diese

Brennebene gerade auf der Ebene der Retina befindet. D.h. wir stellen unser Auge auf das Sehen

von Gegenständen im Unendlichen ein. Die ist die Ruhestellung des Auges und daher am

wenigsten anstrengend.



Mikroskop (Microscope)

Vergrößerung des Mikroskopes

OkularObjektiv ff

stv

mit s als deutliche Sehweite des

unbewaffneten Auges

üblicher Wert : s = 25 cm

Das Mikroskop vergrößert den Sehwinkel.

Bei einem Mikroskop (2* Sammellinse) ist ein Gegenstand sehr nahe am Brennpunkt der sog.

Objektivlinse, es wird ein stark vergrößertes Bild erzeugt. Dieses Bild (Zwischenbild) wird in einer

Ebene im Abstand t vom zweiten Brennpunkt des Okulars erzeugt. Dieses Zwischenbild wird von

der zweiten Linse (Okular) weiterverarbeitet. Das Okular ist so platziert, dass das von der ersten

Linse erzeugte Bild genau auf seinem Brennpunkt erzeugt wird. Die Strahlen aus der ersten Linse,

dem Objektiv, werden nun so gebrochen, dass sie divergent sind. Dies entspricht der Lupen -

Funktion. Das Auge formt wieder ein reelles Bild, das nun aber sehr stark vergrößert ist.

Fernrohr (Telescope)

(Keplersches Fernrohr)

Vergrößerung des Fernrohres

Okular

Objektiv

f

fv

Je größer die Objektivbrennweite und je

kleiner die Okularbrennweite desto

größer die Vergrößerung.

JAVA Applet: Keplersches Fernrohr

Annahme : Gegenstände befinden sich im Unendlichen, d.h. die Lichtstrahlen von diesen

Gegenständen erreichen das Fernrohr als Parallelstrahlen. Die Objektivlinse ist eine Sammellinse,

die ein reelles Bild des Gegenstands in ihrer bildseitigen Brennebene entwirft. Dieses

Zwischenbild liegt in der Brennebene der Okkukarlinse.



7.3 Beugung (Diffraction)

Geometrische Optik: : Wellenausbreitung mit geradlinigen Strahlen

7.3.1 Prinzip

Versuch: Laser - Licht geradlinig - Geräteachse - kreisrunder Fleck auf Wand -Schirm

Spalt in Strahlengang

Gemäß Geometrischer Optik ist ein kleinerer Fleck aufgrund Abschattung zu erwarten

Aber: Beobachtung bei Verkleinern des Spaltes: Aufweitung mit hellen und dunklen Streifen

Schlussfolgerung:

- Abweichungen von der geradlinigen Ausbreitung an Hindernissen

- Licht als Welle

Die exakte mathematische Behandlung ist komplex und übersteigt das „Vorlesungsniveau“.

Qualitatives Verständnis: Überlagerungs- und Ausbreitungseigenschaften von Wellen mit

- Superpositionsprinzip Überlagerung mehrerer Wellen an einem Ort

analog Überlagerung von Schwingungen

I = I1 + I2 + I3 + ...

-Interferenz: Wechselwirkung einer Welle mit sich selbst

Extremfälle 2 Wellen gleicher Frequenz

- effektiver Gangunterschied = 0 in Phase max. Verstärkung

- Einzelamplituden gegenphasig = /2 : Auslöschung

- Ausbreitung von Lichtwellen - Huygenssches Prinzip:

Bsp: Wasserwellen - hineingeworfener Stein



Abweichung von Geometrischer Optik

Licht als Welle

optischen Instrumente mit endlichen

Öffnungsweiten: Beugung beschränkt

Auflösungsvermögen

Beugungsart a, b Licht Beschreibung

Fresnel klein divergent Komplex

Fraunhofer

a, b <

parallel

ggf. Sammellinsen

Winkel 'einfach'

7.3.3 Fraunhofersche Beugung

7.3.3.1 Einzelspalt

JAVA Applet:

Beugung von Licht am Einfachspalt

Beugungswinkel

Gangunterschied der Randstrahlen

= BC = d * sin

Näherung: Spaltbreite d << Spaltlänge l

a

Spalt Schirmb

Beugung

geom.

Optik

x

0

xmax

A

B

Cd

einfallendeWellenfront

nicht gebeugte Wellenfront

gebeugteWellenfront



Erklärung für die dunklen Stellen

Huygenssches Prinzip:

Jeder Punkt im Spalt ist Quelle einer neuen

Elementarwelle. Am Hindernis werden die

Wellen abgelenkt

Oberer und mittlerer sowie mittlerer und

unterer Strahl sind gegenphasig und

löschen sich somit aus !

Auslöschung bei Abstand d/2 BC = d.h. Gangunterschied = /2

BC: = d sinmin = 1. Minimum

Bsp: d = 10 min 6° (typischer Wert = 500 nm)

„Einfache“ Digitalkamera: d = 5 mm = 10.000 : d >>

Geometrische Optik d >> oder 0 Strahlen

weiteren Minima Gangunterschied ganzzahliges Vielfaches von

Minima (dunkel)

Beugungsordnung n = 1, 2, ...

n = d sinmin

(OP - 3)

A

BC

d/2

min

Auslöschung !

Auslöschung !



Beobachtung Versuch :

Zwischen Minima helle Stellen : Maxima

Superpositionsprinzip: Gangunterschied zwischen max. Verstärkung und Auslöschung /2

Maxima (hell)

Beugungsordnung n = 0, 1, 2, ...

(n + 1/2) = d sinmax

(OP - 4)

Die Intensität der Beugungsmaxima oder der Intensitätsverlauf können rein geometrisch nicht

hergeleitet werden. Zu vermuten ist aber eine geringere Helligkeit des 1. Maximums, da sich die

beiden unteren Strahlen auslöschen!

A

B

Cd/3

max

Verstärkung !

Auslöschung !

32



Beispiel Chip einer- Digitalkamera

- Chip 8 mm breit = 4.000 Pixel, d.h. ein Pixel ist 2 µm breit

- Linsendurchmesser d = 2 mm (Blende, hier als Spalt angenommen)

- Abstand Linse - CCD : b = 10 mm

- Annahme: Heller Spot in Pixelmitte

- Trifft das 1. Beugungsmaximum ein danebenliegendes Pixel ?

Entspricht der Ort für das erste Maximum (xmax) der Pixelbreite (2 µm) ?

- Geometrie : tan = xmax/b

1. Maximum 1/2 = d sinmax =d tan für kleine Winkel : 1/2 = d xmax / b

grünes Licht : 0,550 µm /2= 5mm xmax / 10mm

xmax = 0,55 µm

d.h. Pixelpitch liegt um einen Faktor von 4 über dem 1. Beugungsmaximum!

Selbst wenn gebeugtes Licht auf ein benachbartes fallen würde, wäre die Intensität

max. 5% des durchgehenden Strahles (s.u.). Dies wird relevant, wenn ein Pixel

100% 'hell' und das benachbarte ganz 'dunkel' sein soll, was üblicherweise nur

bei Testbildern vorkommt.

Beugung von polychromatischem Licht (nur zur Info)

polychromatisch: Licht mit 'vielen' verschiedenen Wellenlängen, z.B. Sonnenlicht

jede Wellenlänge wird an einen anderen Orte gebeugt, d.h. weißes Licht wird ‘farbig’

analog zur Spektralzerlegung durch Dispersion (s.o.)



Intensität (relevant ist das Ergebnis inkl. Skizze)

winkelabhängiger Intensitätsverlauf nicht ermittelbar aus den bisherigen Überlegungen

Intensitätsverlauf Einzelspalt

hyperbolische Abnahme der Helligkeitsmaxima mit 1/x²

2

x

xsin~I

(OP - 6)

x

I

0 xmax

~ 1

x2

Geometrische Optik

Beugung

5 %



Nur zur Info:

mathematische Herleitung aus Kirchhoffschen Formeln ist komplex, nachfolgend vereinfacht:

Berechne die in P ankommende Wellen

(auf '1' normierte Amplitude) :

ro : yo = sin(t - kro)

r1 : y1 = sin(t - kr1)

Gangunterschied = z sin

mit z als Koordinate

r1 mit r0 ausgedrückt

r1 = sin(t - k{ro + })

r1 = sin(t - kro – k z sin)

Überlagerung aller Elementarwellen des Spaltes:

- Aufsummieren aller Wellen

- für 'sehr viele' Wellen Übergang Summe - Integral :

(Vgl. Herleitung Integral durch Ober- und Untersummen von Rechtecken)

sin2

kdcossin

2

kdcos

sink

1

sinzkkrtcossink

1dzsinzkkrtsiny

2

d

2

d

o

2

d

2

d

o

Gangunterschied

P

- d/2

+ d/2

r0r1

z

0



mit cos(-) - cos(+) = 2 sin sin

sind

sin2

kdxmit

x

xsind~y

sin2

kd

sin2

kdsin

dkrtsin

sin2

kdsinkrtsin

sink

2y

o

o

Darauf folgt für I = y²:

sind

x

x

xsin~I

2

x = 0 nach L'Hopitalscher Regel I = 1



7.3.3.2 Gitter (Grid)

Versuch: Einzelspalt - breite Streifen

Gitter: scharfe Punkte, groß = Hauptmaxima

Verstärkung :Gangunterschied =

analog Minimum Einzelspalt

g >> d : Spaltbreite << Spaltabstand

Spalte = Punktquellen

Hauptmaxima beim Gitter m = 0, 1, 2, ... m = g sinmax (OP - 7)

durchgehender Strahl m = 0 = Hauptmaximum 0. Ordnung

Anwendung : - Messung von

- Strukturuntersuchungen mit Röntgenstrahlung Kristallgitter

Bsp: Gesucht: Beugungswinkel für Maximum 1. Ordnung bzw. Wellenlänge aus Ort

g = 1/500 mm, m = 1 , = 500 nm

= g sinmax

max = arcsin(/g) = arcsin(500 10-9 500 10-3)

= arcsin(0,25) 0,25

max 15°

tanmax = xmax / b und = g sinmax

A

B

Cd

g

max

Verstärkung !

Schirmb

0

xmax



Beugung ist die begrenzende Größe in der Halbleiter-Industrie bei der Herstellung von ICs:

Die Daten-„Leiterbahnen“ der Maske wirken wie Gitter Beugung

Strategie: Verkleinerung der Belichtungs-Wellenlänge in Richtung UV

Quellen: Wikipedia (oben), www.ixbt.com (unten)



Zusammenfassung

Fraunhofersche

Beugung

Einzelspalt

Gitter

(viele Spalte / mm)

Intensitätsverlauf

2

x

xsin~I

; ( I(0) 1 )

scharfe, diskrete Maxima

Formel für Maxima

b

xtanarc max

n = 1, 2, 3, ...

b : Abstand Spalt -

Schirm

d2

1nsin

(OP - 2)

d: Spaltbreite

gnsin

(OP - 3)

g: Abstand Gitterlinien

Fouriertransformation als Analogie zur optischen Beugung (zur Info)

mathematische Transformation eines

Rechtecksignales im Zeitbereich

Spaltfunktion im Frequenzbereich

Beugungsbild eines Spaltes entspricht Fouriertransformation eines Rechteckes mit der

Durchlässigkeit (0 1 0)

Die geometrische Optik erzeugt ein schmales und scharfes Rechteck, hier als Linie dargestellt

geometrische Optik

0 xmax x

Beugung

I I

x

geometrische Optik

0 xmax

f

Fouriertransformation

y(t) | F(f) |

t



Bsp: Beugung an Linsen begrenzt das Auflösungsvermögen

Fernrohr auf 2 dicht benachbarte Sterne (Lichtquellen) gerichtet

Beugung führt zur Verbreiterung der Bilder

im Grenzfall überlagern sich dicht benachbarte Zentral-Maxima

nur 1 hellen Fleck; Analoges gilt für das Mikroskop

Beugungsbild zweier

benachbarter Quellen

Überlagerung in einem verbreiterten

'Punkt'

Fernrohr 2 dicht benachbarte Sterne 2 Lichtquellen

Beugung Verbreiterung der Bilder

Grenzfall überlagern sich dicht benachbarte Zentral-

Maxima

nur 1 hellen Fleck (Mikroskop analog)

Beugungsbild einer Linse

mit 2 Lichtquellen (z.B. Sterne)

‚Rutschen‘ die Lichtquellen enger

zusammen (unten links und rechts)

können Sie nicht mehr

unterschieden (‚aufgelöst‘) werden!

Linse

Bildebene

Intensität

praktisch nichtunterscheidbar !

ÜberlagerungLicht zweierbenachbarterObjektez.B. Sterne



Anwendung der Beugung

- Messtechnik

- Röntgenuntersuchung (Werkstoffkunde)

Bsp: DNA (Watson-Crick)

Materialuntersuchungen mit Röntgenstrahlen

Voraussetzung: Beugung am Punktgitter

Bragg-Bedingung für konstruktive Interferenz

muß erfüllt sein:

n = 2 d sin mit n = 1, 2, 3, ...

Laue-Aufnahme von NaCl schwarze Punkte = Interferenzen

d



Beispiel für Untersuchungen mit Beugung: Muskel



Übungsblatt Wellen/Optik

1. Berechnen Sie die erhöhte Eingangsleistung eines Parabolspiegels (A = 1m²) für einen 1cm²

großen Empfänger bei parallel einfallender Strahlung. Wie hoch ist der Gewinn (dB) bei 1W

Leistung. Versuchen Sie die geometrischen Verhältnisse mittels Computer nachzubilden (y=x²,

Tangentensteigung - Reflexionsbedingung). 40dB

2. Zeichnen Sie das Reflexionsbild für einen Halbkreis für senkrecht einfallende parallele Strahlen

(Katakaustik). Gut zu erkennen bei seitlich beleuchteter Kaffeetasse.

3. Zeichnen Sie die Winkel für das 1. Maximum eines Einzelspaltes für die Wellenlänge 300nm

500nm und 700nm in Abhängigkeit von der Spaltbreite (0-30mm) auf. Warum wird bei der

Waferbelichtung möglichst kurzwelliges Licht verwendet? Berechnen Sie dies für eine

Leiterbahnbreite = Leiterbahnabstand von 0,5µm und einen „Schirmabstand“ (Masken -

Waferabstand) von 1mm in Abhängigkeit von . Optimierungsmöglichkeiten ?

4. Sie wollen die Wellenlänge von monochromatischem Licht mit einem Gitter bestimmen. Bei

einer Gitterkonstanten von 10000 (Linien/cm) messen Sie im Abstand von 1m hinter dem Gitter

einen Abstand von 0,5m zwischen dem Hauptmaximum und dem 1. Maximum. ? 477nm

5. Vergegenwärtigen Sie sich die Beugungserscheinungen an einem Doppelspalt ausgehend von

dem Huygensschen Prinzip.

6. Skizzieren Sie einzeln die 3 Fälle für die Sammellinse und vergleichen Sie.

7. Welche Extremfälle treten beim Auftreffen von Licht auf eine keilförmige Platte auf

a) monochromatisch

b) polychromatisch

(Beugung und Keilwinkel vernachlässigen)



Zur Info und zum Weiterlesen

„Spektrum“

Typische Darstellungsweise von Wellen mit mehreren (vielen) Frequenzen: Spektrum

Spektrum :

Energie, Amplitude, Intensität, ... über der Frequenz bzw. Wellenlänge, ggf. logarithmisch

Akustik

Empfindlichkeit des menschlichen Ohres Übertragungskennlinie Lautsprecher

Elektrotechnik / Hochfrequenztechnik

Frequenzgang OP - Tiefpass HF - Spektrum

1E-13

1E-12

1E-11

1E-10

1E-09

1E-08

1E-07

1E-06

1E-05

1E-04

1E-03

1E-02

1E-01

1E+00

1E+01

10 100 1000 10000

Sch

allin

tensit

ät /W

/m²

Frequenz /Hz

Ohr: Kurven gleicher Lautstärke 100

Phon

50 Phon



Optik

Empfindlichkeit des menschlichen Auges und

Sonnenspektrum

LEDs und Laser

Glühlampe (A) und Normleuchtstoffröhre (D65) LCD-CCFL

Problem des menschlichen Farbsehens: alle 3 Spektren werden als 'weiß' interpretiert!

Das bedeutet: Im Gegensatz zur 'deterministischen' Technik können hier unterschiedliche

Eingangssignale dasselbe Ausgangssignal, nämlich 'weiß' hervorrufen.



Definitionen bei Spektrallinien, Bandbreiten, ...

Grenzfrequenz Tiefpass (low pass filter)

Definition:

Abfall der Amplitude auf das 2

1 - fache ( 0,7)

bzw. um -3 dB des Maximalwertes

Die zugehörige Frequenz wird als

Grenzfrequenz fg definiert.

Bandbreite (bandwidth) / Güte

Bandbreite B = fgo - fgu

Amplitudenabfall s.o.

'Güte' Q bei Schwingkreisen etc. mit

Resonanzfrequenz fr : B

fQ r

Halbwertsbreite

typisch in der Optik, hier auch Linienbreite

genannt

teilweise auch Definition mit 1/e bzw. halbe

Fläche der Gesamtkurve

f

Ua

fg

Ue

1

0,707

ff gu

1

0,707

fgo

rel. Ua

rf

gu

1

0,5

go

rel. A

m



Beispiel Überlagerung zweier Wellen

Gangunterschied bei 2 Quellen in einer Ebene

ebene Wellen mit gleicher Frequenz und Wellenlänge ( 2121 kk )

Ir = (y1 + y2)² (binomische Formel)

= y1² + y2² + 2 y1 y2

erst quadrieren!

(Erklärung auch mit Pythagoras s.u.)

Phasendifferenz

= (t -kr1) - (t -kr2 +)

= k(r2 - r1) - = Gangunterschied

ztermInterferen

21

y

2

y

1r cosII2III22

21

unterschiedliche Länge von r1 und r2

Erläuterung der Überlagerungsformel mit Pythagoras

I = yr² = {y1 cos(1) + y2 cos(2)}²

+ {y1 sin(1) + y2 sin(2)}²

= y²1 cos²(1) + 2y1 y2 cos(1) cos(2) +y²2 cos²(2)

+ y²1 sin²(1) + 2y1 y2 sin(1) sin(2) +y²2 sin²(2)

mit sin² + cos² = 1 und sin sin und cos cos

= y²1 + y²2 + 2y1 y2 cos(1 - 2)

Q1

Q2

Pr1

r2

1

2

y1 cos(1)

y1 sin(1)

r1

r2

rr



Anwendung Totalreflexion: Optische Faser

‚Sprung‘ des Brechungsindexes

Innen- typ. 62,5 µm

Achtung: Unterschiedliche Laufzeiten !

‚allmähliche‘ Änderung des Brechungsindexes

typ. 62,5 µm

‚Sprung‘ des Brechungsindexes,

typ. 9 µm, deshalb praktisch kein Reflexionseinfluß



Intensitätsverteilung

Bsp: Durchgang durch Glas

Absorption durch Eindringen in Material

Intensitätsabnahme bei Ausbreitung in einem

Medium üblicherweise als e-Funktion

Absorption

: Absorptionskoeffizient [] = 1/m

d : Eindringtiefe [d] = m

d

)refeingeb eAAA

(WE - 13)

Der Absorptionskoeffizient ist wellenlängenabhängig : = ()

Beispiel: Der menschliche Körper ist für sichtbares Licht undurchdringbar, nicht aber für

Röntgenstrahlung !

I

x

Luft Glas Luft

1

einfallend

reflektiert

durch-

tretend

absorbiert

reflektiert

reflektiert

(übertrieben dargestellt)

I

dVakuum absorbierendenMedium



Reflexion in Abhängigkeit von der Einfallsrichtung

senkrechter Einfall :

22

1'n

1'nrLuftgegenOberfläche

n'n

n'nradflexionsgrRe

typischer Wert Luft - Glas r 0,05 (5%)

schräger Einfall :



Doppler - Effekt (Doppler Effect)

- tritt auf, wenn sich Wellenerreger (Quelle) und Beobachter relativ zueinander bewegen

- Effekt: Frequenzänderung

JAVA Applet: Doppler-Effekt

Es gibt 2 Fälle

a) Ruhende Quelle, bewegter Beobachter

+ : Beobachter nähert sich der Quelle

- : Beobachter entfernt sich von Quelle

c

v1ff B

QB

Bsp: Zug - Übergangs-Glocke

fQ = 440 Hz (a): vB = 30 m/s , c = 330 m/s

Zug nähert sich: fB = 480 Hz ; Zug entfernt sich: fB = 400 Hz f = 80 Hz Terz

ruh en de Q ue lle

ruh en de r B eo ba ch ter

v

b ewe gte r B eo ba ch te r

T : Z e i t zw is chen 2 W ellenbäuc hen

T =c

T =c + v

0

0,5

1

1,5

2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Fre

qu

en

z r

ela

tiv z

ur

au

sg

es

an

dte

n

Fre

qu

en

z

Geschwindigkeit relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit

B entfernt sich

B nähert sich

Doppler Effekt : Ruhende Quelle - Bewegter



b) Bewegte Quelle, ruhender Beobachter

+ : Quelle entfernt sich vom Beobachter

- : Quelle nähert sich zum Beobachter c

v1

ff

Q

QB

pro Zeiteinheit kommen mehr Wellen an als bei ruhender Quelle

Doppler Effekt bei bewegter Quelle ist nichtlinear :

Bsp: Verkehrs-Radar

fQ = 10 GHz , vQ = 30 m/s , c = 3 108 m/s fB = 10,000001 GHz f = 1 kHz

Beispiel: - Durchbrechen der Schallmauer (s.u.)

- Einsatzfahrzeuge (Martinshorn)

Anwendung: - Geschw. Messung Radar

- Astronomie zur Bestimmung von Planetengeschwindigkeiten („Rotverschiebung“)

be w eg te Q ue lle

ruhender Beobachter

v

0

0,5

1

1,5

2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Fre

qu

enz r

ela

tiv z

ur au

sg

esand

ten

Fre

qu

enz


Q entfernt sich

Q nähert sich

Doppler Effekt : Bewegte Quelle (Q) -

0

4

8

12

16

20

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Fre

qu

en

z re

lati

v z

ur au

sgesan

dte

n

Fre

qu

en

z


Q entfernt sich

Q nähert sich

Doppler Effekt : Bewegte Quelle (Q) -



Obige Gesetze für den Doppler Effekt gelten

- für akustische und em-Wellen

- nur Spezialfall : Quelle und Beobachter auf einer Geraden, einer ruht, anderer bewegt sich!

Doppler-Effekt, falls sich Quelle und Empfänger nicht auf einer Geraden bewegen

c

cosv1ff Q

QB

mit als Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektor der Quelle und der Verbindungsgeraden Quelle

– Empfänger.

Babinetsches Prinzip

Öffnungen und Hindernisse haben komplementäre Beugungsbilder

Versuch Spalt mit Draht vertauscht

es ergibt sich dasselbe Beugungsbild,

nur ist 'hell' und 'dunkel' vertauscht



Moiré - Streifen

werden erzeugt durch zwei nicht deckungsgleich aufeinanderliegende Gitter

Teilungsmoiré

Die Gitterkonstanten sind leicht

unterschiedlich - also 'verstimmt'.

Wie bei einer niederfrequenten Schwebung

(s.o.) im Zeitbereich tritt hier eine

'niedrigere' Ortsfrequenz auf.

Moiré-Streifenabstand: 12

12M

gg

gga

Verdrehungsmoiré

entstehen, wenn 2 Gitter mit gleicher

Gitterkonstante um den Winkel

gegeneinander verdreht sind.

Moiré-Streifenabstand:

g

aM

Auftreten der Moiré-Streifen bei Bildschirmen mit 'festen' Pixelraster (= Gitter) und Darstellung von

Bildinhalten mit gitterähnlicher Struktur

- 'Pepita' - Anzüge im Fernsehen

- schlechter Abgleich / Einstellung bei LCD-Videobeamern mit Analogeingang

- Digitale Bildaufnahme (Foto, Scanner [Pixel per Inch]) und Wiedergabe (Pixelraster)

am

am



Moire bei gedruckten Bildern oder Bildschirmen durch „doppelte“ Rasterung:

Beispiel: Eingescanntes Bild

bei hoher Scan-Auflösung

(links) und bei Scan-

Auflösung im Bereich der

Druckauflösung (rechts)

Raster des Druckes/Bildschirmes und der Kamera (Pixel des Chips) „überlagern“ sich.

Moiré verursacht bei Farbbildern außerdem Farbrauschen

Vergrößert Original



Gegenüberstellung von Fourier-Transformation und Beugung

Details siehe Mathe 3

Fourier / Beugung Zeit- / Ortsbereich Frequenz- / Wellenlängenbereich

Rechtecksignal

Gitter

2 Reckeckimpulse

Doppeltspalt

1 Rechteckpuls

Einzelspalt

Hieraus ist ersichtlich, dass das zugrundeliegende physikalische Prinzip dasselbe ist!

A

t, x

... ...

A

Frequenz, Wellenlänge

A

t, x

A


A

t, x

A


y 1 Ort x -...

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