Ideen und Konzepte der Informatik - Optimierung .L¶sung angeht? 2.L¶sen des...

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  • Ideen und Konzepte der Informatik

    OptimierungAntonios Antoniadis(Folien von Kurt Mehlhorn)

    27. Nov. 2017

    27. Nov. 2017 1/20

  • OptimierungsproblemeFinde den schnellsten Weg von A nach B. Plane die Fahrteneines Logistikunternehmens.Gegeben sei eine Menge von Arbeitern und eine Menge vonAufgaben. Die Arbeiter brauchen unterschiedlich lang fr dieBearbeitung der Arbeiten. Finde die Zuordnung der Aufgabenan die Arbeiter, die die Gesamtbearbeitungszeit minimiert(alternativ, mglichst frhe Fertigstellung).Steuere die Sgen in einem Sgewerk so, dass mglichst vieleProdukte erzeugt werden.Steuere einen Marschflugkrper so, dass seineGesamtflugstrecke nicht berschritten und dieWahrscheinlichkeit eines Abschusses minimiert wird.Packe Objekte in einen Container.

    27. Nov. 2017 1/20

  • Optimierungsprobleme

    Optimiere den Fahrplan der Bundesbahn, der SaarbrckerBusse, . . .Finde einen Stundenplan fr die UdS.Finde einen Evakuirungsplan fr ein Sportstadion.Berechne den billigsten Ernhrungsplan (Dit).Berechne fr eine Telefongesellschaft, wo Masten fr denMobilfunk aufgestellt werden sollen. Ziel ist eine mglichstgroe berdeckung bei geringen Kosten.

    27. Nov. 2017 2/20

  • Wie lsen wir solche Probleme?1. Formulierung des Problems und Erstellen eines

    mathematischen Modells. Was mchten wirmaximieren/minimieren? Gibt es Einschrnkungen, was dieLsung angeht?

    2. Lsen des Modellproblems.3. Rckbersetzen der Lsung in die reale Welt und Hinterfragen

    der Lsung. Ist die Lsung ntzlich in der realen Welt, oderweist sie eher auf eine Schwche der Modellierung hin? Imzweiten Fall, Verbesserung des Modells.

    Warnung: Ein Modell erfasst immer nur einen Ausschnitt derWirklichkeit. Auch beim sorgfltigen Erstellen des Modells kannes passieren, das dieser Ausschnitt wichtige Aspekte derWirklichkeit weglsst. Daher ist der dritte Schritt wichtig! DieLsung eines Optimierungsproblems weist oft auf Schwchendes Modells hin.

    27. Nov. 2017 3/20

  • Wie lsen wir solche Probleme?1. Formulierung des Problems und Erstellen eines

    mathematischen Modells. Was mchten wirmaximieren/minimieren? Gibt es Einschrnkungen, was dieLsung angeht?

    2. Lsen des Modellproblems.3. Rckbersetzen der Lsung in die reale Welt und Hinterfragen

    der Lsung. Ist die Lsung ntzlich in der realen Welt, oderweist sie eher auf eine Schwche der Modellierung hin? Imzweiten Fall, Verbesserung des Modells.

    Warnung: Ein Modell erfasst immer nur einen Ausschnitt derWirklichkeit. Auch beim sorgfltigen Erstellen des Modells kannes passieren, das dieser Ausschnitt wichtige Aspekte derWirklichkeit weglsst. Daher ist der dritte Schritt wichtig! DieLsung eines Optimierungsproblems weist oft auf Schwchendes Modells hin.

    27. Nov. 2017 3/20

  • Warnendes Beispiel

    Modellannahme: Umsteigezeit mindestens fnf Minuten.Optimaler Fahrplan wird fr viele Verbindungen dieMinimalumsteigezeit planen.Bei Benutzung/Inspektion der Lsung stellt man fest, dassauch schon kleine Versptungen die Lsung totaldurcheinander bringen.Konsequenz: Man sollte manche Umsteigezeiten erhhen,oder sich berlegen, wie man die Robustheit eines Fahrplansgegenber Versptungen modellieren kann (stochastischeOptimierung).

    27. Nov. 2017 4/20

  • Ernrungsplan OptimierenWieviel kostet eine Ernhrung, die alle Grundbedrfnisseerfllt? George J. Stigler: The cost of subsistence. Journal of Farm Economics, 27(2):303-314, 1945

    Es gab damals schon viele Bcher und Artikel zuausgewogener und gnstiger Ernhrung.Der amerikanische Staat musste Hunderttausende vonSoldaten ernhren.

    George Joseph Stigler (19111991):US-amerikanischer konom und Trgerdes Nobelpreises fr Wirtschaftswis-senschaften (1982). Ausgezeichnetwurde er fr seine Arbeit zu IndustrialOrganization, dem Funktionieren vonMrkten und Ursachen und Folgen vonMarktregulierung.

    27. Nov. 2017 5/20

  • Ernrungsplan OptimierenWieviel kostet eine Ernhrung, die alle Grundbedrfnisseerfllt? George J. Stigler: The cost of subsistence. Journal of Farm Economics, 27(2):303-314, 1945

    Es gab damals schon viele Bcher und Artikel zuausgewogener und gnstiger Ernhrung.Der amerikanische Staat musste Hunderttausende vonSoldaten ernhren.

    George Joseph Stigler (19111991):US-amerikanischer konom und Trgerdes Nobelpreises fr Wirtschaftswis-senschaften (1982). Ausgezeichnetwurde er fr seine Arbeit zu IndustrialOrganization, dem Funktionieren vonMrkten und Ursachen und Folgen vonMarktregulierung.

    27. Nov. 2017 5/20

  • 1. Schritt: Modellierung fr Ernhrung

    1. Antwort: Eine Ernhrung, die die Empfehlungen des NationalResearch Councils bezglich 9 wesentlicher Nhrstoffe erfllt.

    Nahrstoff Tglicher Bedarf

    Kalorien 3000 KalorienProtein 70grKalzium 0.8grEisen 12mgrVitamin A 5000 IUVitamin B1 1.8mgrVitamin B2 2.7mgrNiazin 18mgrVitamin C 75mgr

    Stigler weist darauf hin, dass diese Empfehlungen wahrscheinlichunvollstndig und ungenau sind.Heute: niedrigere Kalorienzahl und obere Schranke fr Fett imSpeiseplan.

    27. Nov. 2017 6/20

  • 1. Schritt: Modellierung fr Ernhrung

    1. Antwort: Eine Ernhrung, die die Empfehlungen des NationalResearch Councils bezglich 9 wesentlicher Nhrstoffe erfllt.

    Nahrstoff Tglicher Bedarf

    Kalorien 3000 KalorienProtein 70grKalzium 0.8grEisen 12mgrVitamin A 5000 IUVitamin B1 1.8mgrVitamin B2 2.7mgrNiazin 18mgrVitamin C 75mgr

    Stigler weist darauf hin, dass diese Empfehlungen wahrscheinlichunvollstndig und ungenau sind.Heute: niedrigere Kalorienzahl und obere Schranke fr Fett imSpeiseplan.

    27. Nov. 2017 6/20

  • Preise der Nahrungsmittel?

    Stigler betrachtet die 77 Nahrungsmittel, fr die das Bureau ofLabor Statistics regelmig Preise ermittelt.Fr jedes Nahrungsmittel entnimmt er der Literatur den Gehaltder verschiedenen Nhrstoffe.Er weist darauf hin, dass diese Zahlen mit Vorsicht zugenieen seien (Zubereitung und Lagerungszeit knnen dieNhrstoffe zerstren und nicht jeder Apfel ist gleich).

    Formalisierung der Aufgabe: Wie viel soll man von jedemNahrungsmittel kaufen, damit die Anforderungen an denSpeiseplan erfllt sind und die Kosten minimal sind?

    27. Nov. 2017 7/20

  • Preise der Nahrungsmittel?

    Stigler betrachtet die 77 Nahrungsmittel, fr die das Bureau ofLabor Statistics regelmig Preise ermittelt.Fr jedes Nahrungsmittel entnimmt er der Literatur den Gehaltder verschiedenen Nhrstoffe.Er weist darauf hin, dass diese Zahlen mit Vorsicht zugenieen seien (Zubereitung und Lagerungszeit knnen dieNhrstoffe zerstren und nicht jeder Apfel ist gleich).

    Formalisierung der Aufgabe: Wie viel soll man von jedemNahrungsmittel kaufen, damit die Anforderungen an denSpeiseplan erfllt sind und die Kosten minimal sind?

    27. Nov. 2017 7/20

  • Modellxi := Die Menge (in kg) des i-ten Nahrungsmittels (NM) imoptimalen Speiseplan, i=1,2,. . . 779 Bedingungen (eine je Inhaltsstoff): Plan muss Inhaltsstoffe inhinreichender Menge zur Verfgung stellen, etwa fr Kalorien:

    Kalorien/kg von NM1 x1 + + Kalorien/kg von NM77 x77 3000.

    Kosten:

    Preis/kg von NM1 x1 + + Preis/kg von NM77 x77.

    Aufgabe: Finde nichtnegative Werte fr die Unbekannten x1 bisx77 die alle Nebenbedingungen erfllen und die Kostenminimieren.

    27. Nov. 2017 8/20

  • Modellxi := Die Menge (in kg) des i-ten Nahrungsmittels (NM) imoptimalen Speiseplan, i=1,2,. . . 779 Bedingungen (eine je Inhaltsstoff): Plan muss Inhaltsstoffe inhinreichender Menge zur Verfgung stellen, etwa fr Kalorien:

    Kalorien/kg von NM1 x1 + + Kalorien/kg von NM77 x77 3000.

    Kosten:

    Preis/kg von NM1 x1 + + Preis/kg von NM77 x77.

    Aufgabe: Finde nichtnegative Werte fr die Unbekannten x1 bisx77 die alle Nebenbedingungen erfllen und die Kostenminimieren.

    27. Nov. 2017 8/20

  • Schritt 1: Vereinfachung

    Damals gab es keinen Algorithmus zur Lsung vonUngleichungssystemen. Stigler bestimmte eineNherungslsung.

    Dominanz: Wenn A billiger ist als B, aber von jedem Inhaltsstoffmindestens so viel enthlt wie B, dann kann man B streichen,ohne eine optimale Lsung zu verlieren Reduktion auf 15NM.Mehl dominiert Brot, Rinderleber alle Fleischarten, alle patentiertenCerealien und Getrnke werden dominiert.Knstliche Nahrungsmittel, etwa 5 Kilo Mehl plus 2 Kilo Kraut:Wenn ein knstliches NM ein echtes NM dominiert, kann mandas Echte streichen Reduktion auf 9NM.

    27. Nov. 2017 9/20

  • Schritt 1: Vereinfachung

    Damals gab es keinen Algorithmus zur Lsung vonUngleichungssystemen. Stigler bestimmte eineNherungslsung.Dominanz: Wenn A billiger ist als B, aber von jedem Inhaltsstoffmindestens so viel enthlt wie B, dann kann man B streichen,ohne eine optimale Lsung zu verlieren

    Reduktion auf 15NM.Mehl dominiert Brot, Rinderleber alle Fleischarten, alle patentiertenCerealien und Getrnke werden dominiert.Knstliche Nahrungsmittel, etwa 5 Kilo Mehl plus 2 Kilo Kraut:Wenn ein knstliches NM ein echtes NM dominiert, kann mandas Echte streichen Reduktion auf 9NM.

    27. Nov. 2017 9/20

  • Schritt 1: Vereinfachung

    Damals gab es keinen Algorithmus zur Lsung vonUngleichungssystemen. Stigler bestimmte eineNherungslsung.Dominanz: Wenn A billiger ist als B, aber von jedem Inhaltsstoffmindestens so viel enthlt wie B, dann kann man B streichen,ohne eine optimale Lsung zu verlieren Reduktion auf 15NM.

    Mehl dominiert Brot, Rinderleber alle Fleischarten, alle patentiertenCerealien und Getrnke werden dominiert.Knstliche Nahrungsmittel, etwa 5 Kilo Mehl plus 2 Kilo Kraut:Wenn ein knstliches NM ein echtes NM dominiert, kann mandas Echte streichen Reduktion auf 9NM.

    27. Nov. 2017 9/20

  • Schritt 1: Vereinfachung

    Damals gab es keinen Algorithmus zur Lsung vonUngleichungssystemen. Stigler bestimmte eineNherungslsung.Dominanz: Wenn A bill